MODUL-14-VEKTOR-POYNTING.doc

Medan Elektromagnetik Elektromagne tik

Fina Supegina, ST, MT

MODUL 14 Vektor Poynting

Vektor poynting, dengan simbol besaran S atau P, didefinisikan sebagai produk vektor dari vektor vektor intensitas intensitas medan listrik listrik E

dengan dengan vektor vektor medan medan magnetik magnetik H pada pada suatu

gelombang elektromagnetik, yaitu S=ExH

(14!1"

#pabila untuk ve$tor E dan ve$tor H kita gunakan %arga&arga sesaat maka ve$tor poynting 'uga merupakan %arga sesaat dan apabila vektor E dan vektor H merupakan %arga rata&ratanya maka akan diperole% %arga rata&rata dari vektor poynting Pengertian fisik dari vektor poynting yaitu menggambarkan menggambarkan la'u energi per satuan aktu per satuan luas penampang medium yang dilalui gelombang, baik %arga sesaat maupun %arga rata& rata )ilai vektor poynting yang besar, berarti menggambarkan intensitas gelombang dan vektor vektor poyntin poynting g adala% adala% intensit intensitas as gelomban gelombang g merupak merupakan an suatu suatu besaran besaran skalar, skalar, sedan sedangk gkan an vektor vektor poyn poyntin ting g adala adala% % besa besaran ran vekto vektorr yang yang mengg menggam amba barka rkan n ara% ara% perambatan gelombang dan besarnya kerapatan energi gelombang per satuan aktu, atau la'u energi gelombang dalam satuan *oule per sekon per meter persegi (+S" atau Erg per per sekon sekon per per $enti $entime meter ter perse persegi gi (-.S" (-.S" /eorema orema tenta tentang ng vekto vektorr poynti poynting ng dikembangkan ole% seorang ilmuan 0nggris yang bernama *o%n H Poynting pada aalnya adala% postulat pada ta%un 14 karena vektor intensitas medan magnetik dan vektor intensitas medan listrik itu saling tegak lurus satu sam lainnya maka %asil kali vektor dari E dan H men'adi S=

E H

aS

2imana aS menyatakan vektor satuan dari vektor S dan ara%nya selalu tegak lurus ara% vektor E dan tegak lurus ara% vektor H 3ntuk gelombang yang terpolarisasi linier ara% sumbu x, merambat diudara pada ara% sumbu 5 positif maka Ex = Ex6 $os (ω t − β z ) ax V7m dan Hy = Hy6 (ω t − β z ) ay =

E x 0 ay 377

$os (ω t − β z ) (V7m"

+aka %arga sesaat dari ve$tor poynting adala% S(t" =

E 2 x 0 377

$os8 (ω t − β z ) a5 *7s m8

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB

Fin S!"egin# ST$ MT$

MEDAN ELE%TROMAGNET&%

1

Medan Elektromagnetik


#tau E 2 x0 1 + cos 2 (ω t − β z ) 

S(t" =

377

 

2

 a5 97m8 

 E 2 x0  8  Harga efektif ve$tor poynting S eff =   9att7m , 'uga memenu%i %arga rata&rata 75   ve$tor pointing S rata&rata yang dapat dibuktikan dari Srata&rata

2

T 2

0

T T !377

Srata&rata

2 − 

T 2

S (t ) dt = T ∫ T !377 ∫

=

2 2 E 2 x 0  t

2 E 2 x 0

0

(1 + cos(ω t − β z )) 2

dt =

sin 2 (ω t − β z )  T " 2 ω

0 

 E 2 x0  8  =   97m 75  

*ika la'u energi diartikan daya (poer", maka daya yang keluar dari suatu permukaan tertutup S :

∫ S !ds 9att

P=

2idalam bentuk bilangan kompleks, vektor poynting kompleks adala% setenga% dari produk E kompleks dan H kompleks 1

S=

2

ExH

Vektor poynting kompleks %anya bisa ter'adi di medium konduktor karena medium konduktor ini memiliki impedansi intrinsik kompleks sebagai akibat dari konduktivitas listriknya yang $ukup besar Hal yang perlu diper%atikan 'uga sudut fase antara medan E dan H berbeda -onto% Soal 14; .elombang bidang dengan frekuensi f = 1 .%5 merambat diudara bebas dan 'atu% apada permukaan datar tembaga se$ara normal *ika diketa%ui konduktivitas tembaga

σ =

!, x 16 < +%o7m, permeabilitas µ 6 = 14,!< x 16 &< H7m dan permitivitas

ε = ε 0

= #,#5 × 10 −12 7m /entukan :

a impedansi intrinsik tembaga, b kedalaman kulit




8



$ konstanta atenuasi d konstanta fase e 'ika amplitudo intensitas medan E yang 'atu% dipermukaan tembaga E 6x =

2V

m

,

berapa amplitudo intensitas medan H yang 'atu% dipermukaan tembaga, dan f

daya rata&rata yang diserap per meter persegi tembaga

Solusi a 0mpedansi 0ntrinsik 1" 2

 jωµ     = σ ωε + j  

−7 $ ωµ %,2# × 10 × 12,57 × 10 (6,<6< > 6,<6<' " ?%m = σ 5,# × 10 −7

= (,8 > ,8'" m ?%m b edalaman kulit pada f = 16 ; H5:

δ =

1 (π f µ 0σ )

1" 2

= 2,0$ µ m

1" 2 $ onstanta atenuasi α = (π f µσ ) = 4<,4@ x 16 4 rad7m

d onstanta fase adala% konstanta atenuasi = 4<,4@ x 16 4 rad7m e #mplitudo medan H = f

E 0 x η ud

=

2 377

A " m

2aya rata&rata yang diserap tembaga


2

1  2

2

 (,8 x 16 &A" = 11@ n9 = H (riil impedansi intrinsik" =   2 2  377  1



A



PERSAMAAN-PERSAMAAN MA'(ELL

Persamaan&persamaan +axell untuk medan listrik

adala%

persamaan&

persamaan yang sesuai dengan %ukum .auss, %ukum #mpere, teorema divergensi .auss, dan %ukum ir$%off 3ntuk medan yang beruba%&uba% dengan aktu medium dielektrik, udara atau ruang vektor dapat diperole% persamaan Helm%olt5, yaitu persamaan gelombang medan listrik dan persamaan gelombang medan listrik

Solusi persamaan gelombang medan listrik dari gelombang medan magnetik ini yaitu kuat medan listrik yang periodik fungsi aktu dan 'arak dan kuat medan magnetik yangg 'uga periodik ungsi aktu dan 'arak dari suatu gelombang bidang 2ari suatu persamaan gelombang medan E dan medan H ini, yang umumnya untuk gelombang terpolarisasi linier dapat diperole% %arga vektor poynting gelombang dan kerapatan energi gelombang

2ari %arga medan E dan medan H dapat diperole% impedansi intrinsik gelombang 2ari persamaan gelombang dapat diperole% 'uga ke$epatan merambat atau ke$epatan fase gelombang

14$1 Me)n Li*trik Sttik )n Me)n Mgnetik Sttioner

3ntuk +edan Bistrik statik dan magnetik stationer (tunak", persamaan&persamaan +axell bentuk diferensial adala% :

∇ 2

= ρ v

∇ xE

=6

∇ xH

=*

∇  C= 6

Centuk 0ntegral dari persamaan +axell diatas adala%




4



∫ D!dS = ∫ ρ dv = Q v

S

∫ E !dl = 0

∫ H !dl = ∫ J !dS = 1

∫ B!dS = 0 S

Persamaan (14!" adala% %ukum .auss untuk medan listrik statik dan persamaan (14" adala% %ukum .auss untuk medan magnetik tunak Hukum .auss untuk medan listrik statik : Q

Q

= ∫ D!dS pada persamaan (14!" mengikuti teorema divergensi men'adi S

= ∫ D!dS = ∫ ∇! DdV S

Sedangkan dari definisi tentang di muatan total D disuatu ruang dengan kerapatan muatan ruang ρ v adala%

Q=

∫ ρ dV v

2ari persamaan (14;" dan persamaan (1416" diperole% persamaan +axell bentuk diferensial, persamaan (141" +enurut %ukum tegangan ir$%%off 'umla% tegangan pada suatu rangkaian tertutup adala% nol, maka

∫ E !dl = ∑ V = 0 Sesuai dengan teorema Stokes, dimana

∫ E !dl = ∫ ∇ × E !dS 2ari persamaan (1411" dan persamaan (1418" diperole% persamaan +axell bentuk diferensial, persamaan (1488" Persamaan (14A" adala% %ukum #mpere bentuk




!



diferensial dan persamaan (14<" adala% %ukum #mpere bentuk 0ntegral Persamaan +axell bentuk diferensial yang ke&4 yaitu ∇ C = 6 diperole% dari %ukmum .auss untuk medan magnetik tunak, yaitu ∫

B!dS =

0

dan menurut teorema divergensi

∫ B!dS = ∫ ∇!BdV se%ingga diperole% ∫ ∇!BdV = 6 atau

∇  C = 6 sesuai dengan

persamaan (144" 'adi dapat disimpulkan ba%a keempat persamaan +axell untuk medan listrik dan medan magnetik tunak dapat diturunkan dari %ukum .auss, %ukum tegangan ir$%%off, dan %ukum #mpere

1Per*+n-"er*+n M,e.. !nt!k Me)n Li*trik )n Me)n Mgnetik yng Ber!/0-U/0 )engn (kt!

Persamaan&persamaan +axell bentuk diferensial untuk medan listrik dan medan magnetik yang beruba%&uba% dengan aktu adala%

∇ xE

= −

∂ B ∂t

∇ xH

=*

+ ∂ B ∂t

∇ 2

= ρ v

∇  C= 6

Centuk integral dari keempat persamaan +axell diatas untuk medan listrik dan medan magnetik yang beruba%&uba% dengan aktu adala%

∫

E !dL

= − ∫ ∂ B !dS ∂t ∂ D

∫ H !dl = 1 + ∫ ∂t ⋅ dS S

∫ D!dS =

∫

ρ v dV

V =Volume

∫ B!dS = 0 S




@



2iruang Hampa atau diudara bebas, dimana terdapat perambatan gelombang datar atau gelombang bidang, persamaan +axell bentuk diferensialnya tanpa arus konduksi *, tanpa muatan bebas ( ρ v = 6 " dengan permeabilitas µ = µ 6

∇ xE

=

∇ xH

=

∇ 2

=

∂ B ∂ H = − µ 0 ∂t ∂t ∂ D ∂ E = ε 0 ∂t ∂t ε 0 ∇ ⋅ E = 0 −

∇  C= µ 0 ∇ ⋅ H = 0 Sisi kiri dari persamaan (1481" menyatakan medan listrik yang diturunkan ter%adap 'arak mempunyai produk yang tegak lurus ter%adap medan magnetik yang turunkan ter%adap aktu Sebaliknya pada persamaan (1488", medan magnetik yang diturunkan ter%adap 'arak mempunyai produk yang tegak lurus ter%adap medan listrik yang diturunkan ter%adap aktu

#nalisis tiga dimensi dalam sistem koordinat kartesian adala% :

 ∂ E ∂ E   ∂ E x − ∂ E z  ∇ ⋅ E =  z − y    ay > a > x  ∂ ∂ y z z x ∂ ∂     =

− µ 0

∂ H x ∂t

ax

− µ 0

∂ H y ∂t

ay

− µ 0

 ∂ E y ∂ E x    −  a5 ∂ ∂ x y  

∂ H z a5 ∂t

3ntuk gelombang datar terpolarisasi linier atau terpolarisasi bidang dengan ara% polarisasi sumbu 5 (medan listrik E selalu bergerak keara% sumbu 5 " dan ara% perambatan gelombang datar ditentukan seara% dengan sumbu y positif, maka untuk penerapan satu dimensi dari persamaan (148!" adala%

∂ H x ∂ E z = − µ 0 ∂ y ∂t PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB



<



3ntuk medan E dan medan H yang beruba%&uba% se$ara sinusoida ter%adap aktu, persamaan (148@" men'adi

∂ E z = − jωµ 0 H x ∂ y #tau

∇ × E = − jωµ H 0

x

Persamaan (148" 'ika di rotasi men'adi

∇ × ∇ × E z = ∇(∇! E z ) − ∇ 2 E z = jωµ 0 ∇ × H x /etapi dari persamaan (148A"

∇×

Hx = ε 0

∇ × E = 6 dari persamaan (1488" diperole% 5

∂ E z = jωε 0 E z ∂ t

+aka persamaan (148;" men'adi

∇ 8 E5 = − ω 2 µ 0ε 0 E z d #tau

∂ 2 E z ∂ x 2

>

∂ 2 E z ∂ y 2

>

∂ 2 E z ∂ z 2

=

− ω 2 µ 0ε 0 E z

3ntuk gelombang terpolarisasi linier ara% 5, persamaan (14A1" yang dikenal sebagai persamaan Helm%olt5 men'adi 2

d E z dy

2

=

− ω 2 µ 0ε 0 E z

Solusi persamaan (14A8" dengan memasukkan faktor e 't dan gelombang bergerak di sepan'ang sumbu y positif

 

E5 = E65 $os ω  t −

2imana : $ =

y  c

 

1 ( µ 0 ε 0 )1 " 2

= ke$epatan perambatan gelombang di ruang vakum atau di udara bebas

-onto% soal 141







Suatu


ε =

medium yang serba sama dengan permitivitas listrik

permeabilitas magnetik µ = 14,! x 16 &@ H7m onduktivitas

σ =

6,8 n7m dan

6, memiliki vektor

intensitas medan listrik E = 66 $os (16 ; t&k5"ax V7m .unakan persamaan +axell untuk mendapatkan (a" C, (b" H, ($" 2, (d" k

Solusi a

 ∂ E ∂ E   ∂ E x − ∂ E z  ∇ ⋅ E =  z − y   ay > ax >   ∂ ∂ y z ∂ ∂ z x    

 ∂ E y ∂ E x    −  a5 ∂ ∂ x y  

3ntuk satu dimensi :

∇ x E =

dE x dz

= #00k sin (16; t  k5"a y

2ari persamaan kita perole% ω

2an

=

k=

2π

T 2π

λ

= 10$ rad " s =

ω c

#tau k = ω ( µε )1 " 2 = 16; (14,! x 16 &@ x 6,8 x16 &;"178 = !6 m &1 b C = $ H =

∫ (∇ × E )dt = ∫ B

µ

(66"(!6" sin (16; t  !65" dt a y / = &4 x 16 &! $os (16 ;t&!65"ay/

= &A,8 $os (16 ; t &!65"ax V7m, 2 =

d konstanta fase k =

2π

λ

=

ω c

ε E -7m8 = 1@6 $os (16 ; t &!65" n-7m8

= !6 m&1

-onto% Soal 148 0ntensitas medan magnetik diudara suatu gelombang datar adala% !6 #7m didalam ara% ax (sumbu x positif" .elombang merambat disepan'ang sumbu 5 positif dengan frekuensi sudut ω = 8 x 16 ; rad7s /entukan : a berapa meter pan'ang gelombang b periode / $ frekuensi f d amplitudo intensitas medan listrik Solusi




;


a ω =

2π

T


= 8 x 16 ; rad7s, / = A,14 x 16 &; s = A,1 nS

Pan'ang gelombang λ = /- = A,14 x 16 &; (A x16" m = 6,;48 m b Periode / =

2π

$ rekuensi f =

ω 1

T

= A,14 x 16 &; s = A,14 nS = A1,4< x 16 @ H5 = A1,4< +%5 1" 2

 µ 0      ε 0 

d 0mpedansi intrinsi$ udara :

= A<< ?%m

E H

= A<< ?%m,

*adi E = A<< H = 1!6 V7+

-onto% Soal 14A − j 0 z *ika diketa%ui vektor intensitas medan listrik E = 1500e ay > (866&@66'"a 5 x e&'6,4x

berada di udara bebas /entukan : (a" frekuensi sudut ω dan (b" E di titik (8,A,1" m pada t = 6 Solusi a β = k = konstanta fase =

2π

λ

= 0,,

ω c

= 0,

'adi ω =6,4 (A x 16 " = 146 + rad7s − j 0 z b E = {1500e ay > (866&@66'"a 5 '146x16

%

t > 6,4x

Erill = {1500 cos 0 ay > 866 a 5" $os (146 x 16 @t > 6,4x" 3ntuk t = 6  x = 8 

+aka E Rill

= {(1500 cos 0



)2

+ 200 2 }

1" 2

cos(0,#rad )

= 1230 cos 5,% = $27,73 V 

Ey = E $os β  E5 = E $os γ  3ntuk titik (8,A,1" : -os β =

3 (1)1 " 2

dan $os γ =


1 (1)1 " 2

 *adi E = E yay > E5a5 = <44,1@ a y > 84,6@ a 5 V7m



16

MODUL-14-VEKTOR-POYNTING.doc

Recommend Documents