Modul Vektor Vektor Mata Kuliah Fisika
Disusun Oleh: Garda Giri Wardana Wardana
1602029
Kelas 1 Elektronika Elektronika A PROGRAM STUDI ELEKTRONIKA POLITEKNIK GAJAH TUNGGAL 201
I!
"ektor
II! II!
T#$#an $#an Pe% Pe%&e &ela la$a $ara ran n 'an 'an Ko%(e Ko%(ete tens nsii 'asa 'asarr )an* )an* +ar +ar#s #s 'i, 'i,a( a(ai ai--
1. Mahasi Mahasiswa swa dapat dapat en!ela en!elaska skann dan eaha eahaii tentan" tentan" Ve Vektor ktor dan #kalar #kalar serta Operasi Vektor 2. Keha Kehadi diran ran aha ahasi sisw swaa dala dala setia setiapp tatap tatap uka uka dapa dapatt di!ad di!adik ikan an $aha $ahann dala tu"as dan ateri untuk enun!an" peahaan ahasiswa %an" le$ih luas. &. Mahasi Mahasiswa swa dapat dapat eah eahai ai #kalar #kalar '. Mahasi Mahasiswa swa dapa dapatt eaha eahaii Ve Vektor ktor (. Mahasiswa Mahasiswa dapat dapat eahai eahai perhitun"an perhitun"an Operasi Operasi Ve Vektor
Ko%(etensi Dasar-
• •
III III!
#kalar dan Vektor Operasi Vektor
Da.t Da.tar ar P#st #staka/R ka/Ree.er .erensi
1. )ari #u$a"%a #u$a"%a dan *"us *"us +aran"" +aran""ono. ono.200, 200,.. Fisika Fisika 1.-akarta: ui *ksara. 2. /oskin skin ralan""a ralan""a *nwa *nwars% rs%a. a.201 2010. 0. Besaran Besaran Vektor Vektor dan dan Skalar . https:%oskin.wordpress.o!upa34isika354isika353seester3i$esaran3 ektor3dan3skalar.16 -anuari 201, Fi s i k aSt udyCe nt er . 2017. . ht t p: / / fi si k as t udy c ent er . c om/ fi si k ax s ma/ 5v ek t or . 16 &. V e k t o r J a nu ar i 2 01 7
!
I"!
#.2016. Kumpulan Kumpulan Soal dan Jawaban Besaran Vektor Vektor . http:$ahan$ela!arsekolah.$lo"spot.o.id201(0(kupulan3soal3dan3 !awa$an3$esaran3ektor.htl.2& !awa$an3$esaran3ektor.htl.2& -anuari 201,
MATERI
1! Skalar
7ada saat anda en"hitun" luas se$uah $idan" $u!ur san"kar8 aka anda han%a en%e$ut an"kan%a sa!a8 isalkan 2(
2
cm
. Deikian pula8 saat
anda e$eli dan eni$an" satu keran!an" $uah an""a8 aka pada ti$an"an tertera an"ka %an" enun!ukkan assa an""a terse$ut8 isalkan ' k". 7ada ontoh terse$ut8 $esaran luas $u!ur san"kar dan asssa an""a erupakan $esaran skalar8 %aitu $esaran %an" han%a eiliki $esar nilai sa!a dan tidak eiliki arah. ontoh $esaran #kalar %aitu : pan!an"8 assa8 waktu8 suhu8 assa !enis8 olue8 ener"i potensial8 usaha8 potensial listrik8 ener"i listrik dan lain se$a"ain%a. 2! "ektor
-ika se$uah an""a %an" anda $eli tadi $erada dala "en""aan tan"an anda %an" seula dia8 keudian ter!atuh. *pa %an" anda aati uah an""a terse$ut !atuh kearah lantai %an" di se$a$kan oleh Graitasi ui. 7ada "erak an""a8 dari keadaan dia $er"erak den"an keepatan %an" terus $erta$ah den"an arah ke$awah hin""a en%entuh lantai. Dari ke!adian terse$ut8 kita dapat en%e$utkan $ahwa8 $esaran Ga%a dan $esaran Keepatan erupakan $esaran Vektor8 %aitu $esaran %an" eiliki nilai dan arah. Vektor dapat dituliskan dala huru4 keil dan $esar8 atau den"an dua huru4 seperti $erikut :
#e$uah ektor di "a$arkan den"an se$uah anak panah8 %aitu pan!an" panah enun!ukkan nilai atau $esarn%a ektor dan arah anak panah enun!ukkan arah ektor
Ta&el e&era(a onto+ esaran Skalar 'an esaran "ektor N O
BESARAN SKALAR
BESARAN VEKTOR
1 2 3 4 5 6 7 8 1 ! 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5
JARAK MASSA PANJANG KELAJUAN VOLUME WAKTU ENERGI POTENSIAL ENERGI KINETIK USAHA DAYA
PERPINDAHAN BERAT PERCEPATAN KECEPATAN PERCEPATAN GRAVITASI MOMENTUM IMPULS GAYA MOMEN GAYA TEGANGAN PERMUKAAN
MASSA JENIS
GAYA GESEK
MUATAN LISTRIK
INDUKSI MAGNETIK
POTENSIAL LISTRIK
MEDAN GRAVITASI
JUMLAH "AT
MEDAN LISTRIK
KERAPATAN ARUS
TEKANAN
2!1 Ko%(onen "ektor
#e$uah ektor F $erada dala $idan" datar %an" e$entuk sudut terhadap su$u ;. Vektor terse$ut !ika di pro%eksikan terhadap su$u ; dan su$u / akan eiliki koponen3koponen ektor terhadap su$u3su$u terse$ut8 %aitu F5 dan F%. ∝
7ersaaan koponen ektor terse$ut adalah : F5 < F os F% < F sin
∝
∝
#e$uah ektor dapat erupakan pen!ulahan dari dua atau ti"a koponen ektor8 ter"antun" dari apakah ektor terse$ut dala dua diensi atau ti"a diensi. Koponen ektor dua diensi adalah
koponen ektor terhadap su$u 5 dan koponen ektor terhadap su$u %. Misalkan se$uah ektor *8 di "a$arkan seperti "a$ar $erikut ini.
Koponen ektor terhadap su$u 5 adalah *5 nilain%a adalah * cos ∝
. Koponen ektor terhadap su$u % adalah *% nilain%a adalah * sin ∝
. 7en""unaan ruus ini harus den"an eperhatikan posisi sudut %an" di$eritahukan pada ontoh "a$ar diatas. 7en!ulahan dua koponen ektor ini akan en"hasilkan ektor itu sendiri. Dan
Untuk menjumlahkan beberapa vektor, maka haruslah terlebih dahulu diuraikan menjadi komponen-komponen vektor, setelah itu vektor sejajar dijumlahkan, lalu nilainya dicari. Misalkan vektor A dan B adalah dua vektor yang akan dijumlahkan maka nilai skalarnya dapat juga dinyatakan sebagai berikut.
2!2 A(likasi "ektor
Dala kehidupan sehari3hari $an%ak kita !upai aplikasi ektor8 ontoh sederhana adalah se$uah $enda %an" !atuh dari tan"an anda ke$awah lantai. Dala hal ini $enda !atuh aki$at "raitasi $ui %an" arahn%a enu!u pusat $ui. )al ini !u"a enun!ukan $enda eiliki $erat %an" arah dan $esarn%a saa den"an "a%a tarik $ui terhadap $enda terse$ut.
ontoh lain dapat anda lihat dala "a$ar $erikut :
Mendoron" Mo$il 7ada esin derak palan" pen%an""a enahan "a%a $erat $e$an =W> dan "a%a tarik tali =F>8 den"an "a%a doron" palan" pen%an""a ?. 7ada esin peoton" ruput8 seoran" peker!a endoron" esin den"an "a%a =F>. 7ada "a$ar selan!utn%a8 seoran" endoron" o$il den"an "a%a =F> %an" eni$ulkan perepatan =a>.
3! O(erasi "ektor
Vektor dapat dita$ahkan8 dapat !u"a dikalikan8 atau di$andin"kan. Operasi perkalian atau pen!ulahan ektor tentu tidak saa den"an operasi ateatika pada $esaran skalar lainn%a. @ntuk peahaan dasar8 akan le$ih $aik untuk en""a$arkan ektor3ektor %an" sedan" diker!akan 3!1 Pen$#%la+an 'an Pen*#ran*an "ektor
-ika ektor
adalah pen!ulahan ektor
dan
8 diana
en%atakan perpindahan se$uah $enda se!auh ( ke kanan8 dan ektor
en%atakan perpindahan $enda den"an arah %an"
saa se!auh ' . #eara ateatis dapat dituliskan : Ga$ar $erikut ini eperlihatkan ektor terse$ut
(
A
$ Vektor dari ektor dan
"
B
2 4 ! # ' & % "$
adalah hasil pen!ulahan dua ektor terse$ut. Ailai skalar erupakan pen!ulahan dari nilai sekalar dari ektor Ailain%a adalah :
< (B( <10 7erhatikan notasi %an" di"unakan tanpa en""unakan tanda panah di atas8 ini en%atakan $ahwa operasin%a adalah en""unakan nilai skalar. 7en!ulahan den"an odel ara seperti ini $erlaku untuk ektor3ektor %an" se!a!ar satu den"an %an" lainn%a. #eandain%a ektor eiliki arah %an" $erlawanan 1C0 dera!at terhadap ektor
8 aka nilai skalar ektor
en!s4i ne"atie8 sehin""a
ektor
akan $ernilai 1. ihat "a$ar $erikut ini:
Den"an eperhatikan proses pen!ulahan ektor terse$ut di atas8 aka dapat kita lihat8 !ika urutan ektor kita pertukarkan aka hasil %an" akan diperoleh akan saa. )al ini eperlihatkan $ahwa pen!ulahan ektor $ersi4at koukati4. Diana akan saa den"an
-ika dua $uah ektor atau le$ih %an" di!ulahkan eiliki arah %an" tidak se!a!ar8 aka pen!ulahan seperti ini akan salah. 7erhatikan "aa$ar $erikut B
A a"aiana en!ulahkan kedua ektor terse$ut @ntuk en!ulahkan kedua ektor terse$ut aka ada $e$erapa hal %an" harus diperhatikan terle$ih dahulu. 1. -ika se$uah ektor di"eser tanpa en"u$ah arah dan $esar8 aka nilai ektor se$elu dan sesudah di"eser akan saa. 2. Men""a$arkan pen!ulahan ektor %an" $enar adalah eperteukan u!un" satu ektor den"an pan"kal ektor %an" lain8 untuk inilah di"unakan pen""eseran=translasi>. Den"an deikian !ika pen!ulahan dua ektor terse$ut dilakukan aka "a$arn%a dapat dilihat pada "a$ar $erikut ini
Ga$ar di atas enun!ukkan $ahwa ektor pen!ulahan dari ektor ektor
dan
adalah hasil
. +erlihat pada "a$ar $ahwa
dipro%eksikan terhadap su$u 5 dan su$u %. 7ro%eksi
terhadap 5 adalah #E8 pro%eksi terhadap su$u % adalah E?8 nilai asin"3asin" adalah se$a"ai $erikut. )ari hubungan segitiga *+ berdasarkan hukum phytagoras maka dapat dinyatakan baha dimana
#ehin""a
-ika operasi %an" dilakukan adalah pen"uran"an8 diana aka perhitun"ann%a akan en"alai sedikit peru$ahan8 7ersaaan
dapat diu$ah dala $entuk %an" lain
en!adi -ika ditapilkan dala "a$ar8 aka "a$arn%a akan terlihat seperti "a$ar $erikut ini
)engan mengubah nilaimenjadi sudut , persamaan akhir yang akan diperoleh a
*tau saa den"an
#ehin""a
3!2 Perkalian
Operasi perkalian dapat ter!adi antara konstanta den"an $esaran ektor8 isalkan ektor N adalah hasil perkalian konstanta # den"an ektor 8 aka dapat dituliskan $ahwa
N
< uM 8 !ika ektor
M
(Cat: M adalah penulisan notasi vektor, ! adalah besaran skalar terhadap sumbu ! dan " adalah besaran skalar terhadap sumbu ", sedan#kan a ! dam a " adalah vektor satuan$
#ehin""a N < u M N5u =M5a4BM%a%> N< u M5a4BuM%a% Den"an deikian nilai skalar8 dari ektor ini akan $eru$ah8 seentara arahn%a tidak en"alai peru$ahan.
7erkalian ektor terdiri dari dua !enis %aitu 1. 7erkalian +itik =#alar 7rodut> -ika dua $uah ektor dan dikalikan den"an perkalian titik. Dan =$aa A dot 6 #eperti terlihat pada "a$ar8
7erkalian seperti ini dise$ut perkalian skalar8 dan hasiln%a adalah seperti ditun!ukkan pada persaaan $erikut.
Dari persaaan ini terlihat $ahwa hasil perkalian skalar antara ektor dan adalah perkalian antara nilai ektor A terhadap nilai (ro)eksi ektor terhadap A!
+erlihat pada "a$ar $ahwa hasil
pro%eksi terse$ut hasiln%a adalah
2. 7erkalian #ilan" =Vektor 7rodut> )asil dari perkalian ektor adalah ektor %an" te"ak lurus den"an $idan" ektor %an" dikalikan. Misaln%a ekto A dikalikan den"an ektor dan hasiln%a adalah ektor R Maka R5 A 7 !
7erkalian ini akan en"ikuti kaidah tan"an kanan. 7erhatikan "a$ar $erikut ini.
7ada perkalian silan" ini $erlaku hu$un"an3hu$un"an se$a"ai $erikut8 A 7 5 8 7 A9
-ika R5 A 7 hu$un"an3hu$un"an antara din%atakan se$a"ai $erikut: A 7 5 R
7A58 R R758 A A 7 R 5 8
7 R5 A R7A5
esaran perkalian silan" dua ektor $erikut:
A98
dan
R
dapat
A # A $ ! % B # B $ ! % C#C$!
A
dan
din%atakan se$a"ai
Diana adalah sudut antara ektor A dan ! @ntuk perkalian silan" =ross> $e$erapa ektor $erlaku distri$utie 7 :A B 6 < 7 A B 7
Dan
"!
SOAL 'an PEMAHASAN 1!
Di$erikan dua $uah ektor "a%a %an" saa $esar asin"3asin" ektor $esarn%a adalah 10 Aewton seperti "a$ar $erikut.
-ika sudut %an" ter$entuk antara kedua ektor adalah 608 tentukan $esar =nilai> resultan kedua ektorH Pe%&a+asan
?esultan untuk dua $uah ektor %an" telah diketahui sudutn%a.
Den"an F1 < 10 A8 F 2 < 10 A8 I adalah sudut antara kedua ektor =I < 60>. Dan ? adalah $esar resultan kedua ektor. #ehin""a:
2!
Dua $uah ektor asin"3asin" F 1 < 1( satuan dan F 2 < 10 satuan en"apit sudut 60.
+entukan arah resultan kedua ektorH Pe%&a+asan
an"kah pertaa tentukan dulu $esar resultan ektorn%a:
/an" diaksud arah resultan adalah sudut J pada "a$ar di $awah:
Den"an ruus sinus:
diperoleh arah resultan:
3!
Dua $uah ektor keepatan 7 dan E asin"3asin" $esarn%a '0 s dan 20 s e$entuk sudut 60.
+entukan selisih kedua ektor terse$utH Pe%&a+asan
Menentukan selisih dua $uah ektor %an" diketahui sudutn%a:
#ehin""a
!
Dua $uah ektor "a%a asin" asin" C A dan ' A salin" en"apit sudut 120. +entukan $esar resultan kedua ektor terse$utH Pe%&a+asan
Data: F1 < C A F2 < ' A I < 120 ? < ........
#eperti soal pertaa han%a $er$eda sudut antaran%a8 den"an ruus %an" saa:
Diperoleh hasil
atantan ruus : os =1C0 L I> < L os I #ehin""a untuk nilai os 120: os 120 < os =1C0 L 60> < L os 60 < L 12 ;!
7erhatikan "a$ar $erikutH
-ika satu kotak ewakili 10 Aewton8 tentukan resultan antara kedua ektorH Pe%&a+asan
ari !ulah resultan pada su$u 5 dan su$u %8 ukup den"an en"hitun" kotak dari asin"3asin" ektor8 F 1 adalah &0 ke kanan8 '0 ke atas8 seentara F2adalah (0 ke kanan8 20 ke atas8 keudian asukkan ruus resultan:
Di$erikan & $uah ektor F 1<10 A8 F2 <2( A dan F&<1( A seperti "a$ar $erikut.
+entukan: a. ?esultan keti"a ektor $. *rah resultan terhadap su$u ; #in &, < =&(>8 #in (& < ='(>N os &, < ='(>8 os (& < =&(>N Pe%&a+asan
a. kuti lan"kah3lan"kah $erikut: 1. @raikan seua ektor ke su$u 5 dan su$u % =keuali ektor %an" sudah lurus pada su$u 5 atau % seperti F 2>. ihat "a$ar di $awahH 2. ari !ulah ektor pada su$u 5 = kanan B8 kiri 3> &. ari !ulah ektor pada su$u % =atas B8 $awah 3> '. Masukkan ruus resultan
Vektor %an" dala perhitun"an selan!utn%a tidak di"unakan la"i karena sudah diuraikan tadi8 dihapus sa!a8 a"ar kelihatan le$ih $ersih8 sisan%a seperti ini:
-ulah koponen ektor3ektor pada su$u 5 dan % :
$. Menari sudut %an" ter$entuk antara resultan ektor ? den"an su$u 5 tan P < QF% QF5 tan P < L,L1 < , P < ar. tan , < C18C, !
Ditentukan 2 $uah ektor F %an" saa $esarn%a. ila per$andin"an antara $esar !ulah dan $esar selisih kedua ektor saa den"an R&8 tentukan $esar sudut %an" di$entuk oleh kedua ektorH =#u$er #oal : #7M> Pe%&a+asan
-ulah dan selisih kedua ektor asin"3asin" adalah:
7er$andin"an !ulah dan selisihn%a adalah R& sehin""a:
Kuadratkan ruas kiri dan kanan
Kali silan" :
=!
#e$uah perahu en%e$eran"i sun"ai %an" le$arn%a 1C0 dan keepatan airn%a ' s. ila perahu diarahkan en%ilan" te"ak lurus den"an keepatan & s8 tentukan pan!an" lintasan %an" ditepuh perahu hin""a sapai ke se$eran" sun"aiH =#u$er #oal : @M7+A>
Pe%&a+asan
*susikan $ahwa perahu $er"erak lurus $eraturan enepuh lintasan *D dan resultan keepatan perahu dan air adalah ( s ="unakan aturan 7h%ta"oras>.
Den"an e$andin"kan sisi3sisi se"iti"a * dan *D :
>!
erikut ontoh soal dia$il dari soal +*A*# =@A tepo dulu8 Saan kakak3kakak kita> tahun 2000. 7erhatikan "a$ar "a%a3"a%a di $awah iniH
esar resultan keti"a "a%a terse$ut adalah.... *. 280 A . 2 R& A . &80 A D. & R& A . 'R& A Pe%&a+asan
T@ntuk dua $uah ektor den"an $esar %an" saa dan e$entuk sudut 120o aka resultan kedua ektor $esarn%a akan saa den"an $esar salah satu ektorT erikut ilustrasin%a:
Dua $uah ektor den"an $esar %an" saa %aitu 10 A e$entuk sudut 120o aka nilai resultan kedua ektor !u"a 10 A.
7ada soal di atas8 2 $uah ektor ="a%a> asin"3asin" & A e$entuk sudut 120o8 sehin""a resultan kedua "a%a !u"a & A. ?esultan kedua "a%a ini akan se"aris den"an "a%a 6 A8 naun $erlawanan arah. #ehin""a den"an udah soal ini $isa di!awa$ resultan keti"a "a%a adalah 6 A dikuran"i & A hasiln%a adalah & A. 10! Di$erikan & $uah ektor : a < 2i B &! satuan & < 'i B (! satuan , < 6i B ,! satuan
+entukan $esar resultan keti"a ektor8 dan keirin"an sudut antara resultan dan su$u ; Pe%&a+asan
Data:
@ntuk le$ih !elas $erikut ilustrasin%a:
12 pada su$u 5 1( pada su$u % *rahn%a adalah sudut P %an" $isa diari dari sin P8 os P aupun tan P. -ika diari dari tan P aka %an" di$andin"kan nilai pada su$u % den"an nilai pada su$u 5. -ika diari dari sin P %an" di$andin"kan nilai pada su$u % den"an nilai resultan ?8 !ika di"unakan os P $andin"kan nilai pada su$u 5 den"an nilai resultan ?. 11!
Di$erikan & $uah ektor a8 &8 , seperti "a$ar di $awah.
Den"an etode poli"on tun!ukkan : =i> ' < a B & B , =ii> ' < a B & L , =iii> ' < a L & B , Pe%&a+asan
Den"an etode poli"on : =i> ' < a B & B ,
=ii> ' < a B & L ,
=iii> ' < a L & B ,
12! Di$erikan dua $uah ektor asin"3asin" ektor dan $esarn%a adalah A < C satuan8 < 10 satuan. Kedua ektor ini e$entuk sudut &,. +entukan hasil
dari: a> A& $> A U
Pe%&a+asan a> A& adalah perkalian
titik =dot> antara ektor * dan ektor @ntuk perkalian titik $erlaku A& < % B os P #ehin""a A& < % B os &, < =C>=10>=08C> < 6' satuan $> A U adalah perkalian silan" =ross> ektor * dan ektor @ntuk perkalian silan" $erlaku A U < % B sin P #ehin""a A U < % B sin &, < =C>=10>=086> < 'C satuan 13! #e$uah "a%a ? < =2i B & $> A elakukan usaha den"an titik tan"kapn%a $erpindah enurut r < ='i B a $> dan ektor i dan $ $erturut3turut adalah
ektor satuan %an" searah den"an su$u 5 dan su$u % pada koordinat kartesian. ila usaha itu $ernilai 26 -8 aka nilai a saa den"an...
*. ( . 6 . , D. C . 12 Sumber: Soal &') ahun 1**1 Pe%&a+asan
#oal ini adalah soal penerapan perkalian titik = dot produ+t > antara ektor "a%a ? dan ektor perpindahan r den"an kedua ektor dala $entuk i dan ! atau vektor satuan. esaran %an" dihasilkan nantin%a adalah skalar =usaha terasuk $esaran skalar8 han%a eiliki $esar8 tanpa arah>. @saha dila$an"kan den"an W dari kata work . W < ? & r 26 < =2i B &!> ='i B a!> ara perkalian titik dua ektor dala $entuk i8! adalah %an" i kalikan i8 %an" ! kalikan !8 hin""a seperti $erikut 26 < C B &a &a < 26 L C a < 1C& < 6 1! Di$erikan dua $uah ektor asin"3asin": * < 'i B & j L 2k < ,i B 2 j B (k
+entukan hasil dari * U Pe%&a+asan
7erkalian silan"8 A @ ara (erta%a-
Misal : A < =*5 i B *% j B *S k > dan < =5 i B % j B S k > aka : * U < =*% S L *S %> i B =*S 5 L *5 S> j B =*5 % L *% 5> k
?uus 7erkalian #ilan" Dua Vektor = +ross produ+t > dala i8 !8 k Data : A < 'i B & j L 2k < ,i B 2 j B (k *5 < ' 5 < , *% < & % < 2 *S < L 2 S < ( aka A @ < =*% S L *S %> i B =*S 5 L *5 S> j B =*5 % L *% 5> k A @ < =&>=(> L =L2>=2>N i B =L2>=,> L ='>=(>N j B ='>=2> L =&>=,>N k
A @ < =1( B '> i B =L1' L 20> j B =C L 21> k A @ < 19 i L&' j L 1&k
ua%an repot kalau au diha4al ruus perkalian di atas8 alternati4n%a den"an ara %an" kedua8 ara Ke'#aA < 'i B & j L 2k < ,i B 2 j B (k
#usun dua ektor di atas hin""a seperti $entuk $erikut:
@ntuk eperudah perkalian8 ta$ahkan dua kolo di se$elah kanan susunan %an" telah di$uat tadi hin""a seperti $erikut:
eri tanda plus dan inus8 ikuti ontoh $erikut:
Kalikan en%ilan" ke $awah terle$ih dahulu den"an eperhatikan tanda plus inus %an" telah di$uat8 lan!utkan den"an en%ilan" ke atas8 A @ < =&>=(> i B =L2>=,> j B ='>=2>k L =,>=&>k L =2>=L2> i L =(>='> j A @ < 1( i L1' j B C k L 21k B ' i L 20 j A @ < =1( B '> i B =L 1' L 20> j B =C L 21> k A @ < 19 i L &' j L 1& k 1;! Dua $uah ektor * dan en"apit sudut 120 o. ?esultan kedua ektor adalah
20R& A. -ika resultan terse$ut e$entuk sudut &0 o terhadap ektor *8 aka $esar * dan adalah ..... *. 20 A dan '0 A
D. '0R& A dan 20R& A
. '0 A dan 20 A
. 20R& A dan 20R& A
. 20R& A dan '0R& A
Pe%&a+asan -
-ika di"a$arkan akan terlihat seperti di "a$ar di $awah ini :
erdasarkan aturan sinus8 aka $erlaku :
*
?
<
<
sin 90 sin &0 sin 120 *
? <
sin 90 sin 120 * 20R& < 1 =3> / * < '0R2 =R2>
esar ektor dapat dihitun" den"an persaaan : *
? <
sin 90 sin 120 * 20R& < 1 =3> / * < '0R2 =R2> / +2 < (00 A
-adi8 +1 < +2 < (00 A. JaBa&an -
.
1
kela!uan ' s te"ak lurus terhadap arah arus sun"ai. -ika air sun"ai en"alir den"an keepatan & s8 aka !arak tepuh perahu terse$ut sapai di se$eran" sun"ai adalah ..... *. 100
D. 11(
. 10(
. 12(
. 110
Pe%&a+asan -
Dik : Vair < Va < &s8 Vperahu < Vp < ' s8 5 < 100 .
Karena perahu $er"erak te"ak lurus arah aliran sun"ai8 aka sudut antara Va dan Vp adalah 90 o. Den"an $e"itu keepatan resultann%a dapat dihitun" den"an en""unakan dalil 7h%ta"oras se$a"ai $erikut : / Vr < RVa2 B Vp2 / Vr < R&2 B '2 / Vr 5 ( s.
#udut %an" di$entuk resultan den"an ektor keepatan air adalah : / sin a <
Vp Vr
/ sin a <
' (
/ a < (&o.
Den"an deikian8 !arak %an" ditepuh oleh perahu =s> adalah : / sin (& <
5
o
s ' 100 / < ( s / s < 12( . JaBa&an - E! 1! Dua $uah ektor "a%a 7 dan ? en"apit
sudut (& o dan en"hasilkan resultan se$esar '0R2 A. -ika 7 : ? < 1 : (8 aka $esar ektor 7 dan E adalah ..... *. 6 A dan 6 A
D. C A dan ' A
. 2 A dan 10 A
. ' A dan C A
. 10 A dan 2 A
Pe%&a+asan -
Dik : ? < 1( A8 7? < 1(8 aka ? < (7 erdasarkan aturan osinus : / ? < R7 2 B ? 2 B 27? os P / ? < R7 2 B =(7>2 B 27=(7> os (& o / ? < R7 2 B 2(72 B 1072 => / ? < R&27 2 / ? < R=16 5 2>72 / '0R2 < '7R2
/ 7 < 10A
Den"an deikian8 $esar ektor E adalah : / E < 7 / E < =10> / E < 2 A JaBa&an - 1= ! Dua $uah ektor salin" e$entuk sudut 6, o. -ika resultan e$entuk
sudut &,o terhadap ektor kedua %an" $esarn%a 1( A8 aka $esar ektor pertaa adalah ..... *. 1C A
D. 2' A
. 20 A
. &0 A
. 22 A
Pe%&a+asan -
Dik : F2 < 1( A. erdasarkan aturan sinus : F1
F2 sin &0
?
< o
sin &, F1
1( sin &0
< o
< o
1 F1 ( <
sin &,o
sin 6,o
F1 <1C A JaBa&an - A 1>! +i"a $uah ektor *8 8 dan %an" setitik tan"kap asin"3asin" $esarn%a 1(
A. Vektor $erada di antara * dan . -ika sudut antara * dan saa den"an sudut antara dan %aitu 60 o8 aka resultan keti"a ektor terse$ut adalah .... *. 10
D. '0
. 20
. (0
. &0
Pe%&a+asan -
Diketahui : * < < < 1( A.
Dari "a$ar di atas !elas terlihat $ahwa * B < . Den"an deikian resultann%a adalah : / ? < * B B / ? < B / ? < 2 / ? < 2=1(> / ? < &0 A.
-awa$an di atas !u"a dapat di$uktikan den"an aturan osinus. #udut %an" di$entuk oleh * dan adalah 120 o8 sehin""a :
/ * B < R* 2 B 2 B 2*. os P / * B < R* 2 B *2 B 2*.* os 120o / * B < R2* 2 B 2*2 =3> / * B < *
Karena * < < < 1( A8 aka : / ? < * B B / ? < * B B / ? < * B / ? < 1( A B 1( A / ? < &0 A. JaBa&an -
