2. Gabungan (Union) Gabungan dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan dimana unsur-unsurnya adalah unsur yang berada di A atau di B atau dikeduanya. U A
B
3. Irisan (Intersection) Irisan dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang unsur-unsurnya dimiliki oleh A dan juga dimiliki oleh B secara bersamaan. U A
B
4. Selisih Himpunan (Set Difference) Selisih dari dua himounan A dan B adalah suatu himpunan yang semua unsur-unsurnya termasuk di A tetapi tidak termasuk di B.
U A-B
D. Himpunan Bilangan Himpunan bilangan yang pertama kita kenal adalah himpunan bilangan bulat positif
(himpunan bilangan asli/bilangan alam), yaitu ,1,2,3,... Notasi nya adalah N.
Himpunan N tertutup terhadap operasi-operasi perkalian dan pertambahan. Artinya bila kita
lakukan operasi-operasi tersebut pada himpunan bilangan asli maka hasilnya juga merupakan bilangan asli. Tetapi untuk operasi pengurangan dan pembagian tidaklah demikian. Jadi N tidak tertutup terhadap operasi perngurangan dan pembagian. Artinya bila kita operasikan 4
operasi tersebut trhadap himpunan bilangan asli maka akan menimbulkan himpunan bilangan baru. a – b b akan menghasilkan bil asli bila a > b a : b akan menghasilkan bil asli bila a mrpk kelipatan dari b
Adapun operasi penambahan dan perkalian pada bil asli tunduk pada hukum-hukum berikut: 1. a+b = b+a
; hukum komutasi penjumlahan
2. (a+b)+c = a+(b+c) ; hukum asosiasi penjumlahan 3. axb = bxa
; hukum komutasi perkalian
4. (a+b)xc = ac+bc
; hukum distribusi perkalian
Karena bil asli tertutup untuk operasi pengurangan dan pembagian, maka para matematikawan
menciptakan bilangan nol, bilangan bulat negatif dan bilangan pecahan.
Bilangan pecahan dapat ditulis dalam bentuk desimal. Desimalnya selalu berakhir atau
berulang. Misal: ½ = 0,5 13/11 = 0.1818181818... 0.1818181818... 2/7 = 0,285714285714... 0,285714285714...
(285714 berulang)
11/13 = 0,846153846153... 0,846153846153... (846153 berulang)
Gabungan bilangan bulat dan bilangan pecahan disebut bilangan rasional. Ternyata bilangan
rasional juga tidak mampu untuk memenuhi akan bilangan matematika. Maka pada tahun 500 SM, Phytagoras memperkenalkan suatu bilangan yang disebut bilangan Irrasional. Misal:
2
= 1,414213562... 1,414213562...
= 3,141592654... 3,141592654... e = 2,718281828...
Bilangan riil adalah bilangan yang mungkin bulat, mungkin pecahan dan mungkin
irrasional.
Skema himpunan bilangan dapat dilihat pada gambar berikut ini:
Gambar 1.1 5
Skema Himpunan Bilangan
Bilangan Kompleks
Bilangan Nyata (riil)
Bilangan Khayal
Bilangan Irasional
Positif
Bilangan Rasional
Bilangan Bulat
Bilangan Pecahan
Nol
Negatif
6
SOAL UNTUK LATIHAN
1. Bila diketahui himpunan-himpunan berikut: Semesta (U) = {x|x adalah bilangan asli <15} V = {x|x adalah bilangan prima <15} W = {1, 2, 3, 4, 5,6} Maka tentukanlah: a. V W
e. V’ W
i.
W’ - V’
b. V W
f.
j.
(V’ W)’
c. V’
g. V’ W’
d. W’
h. (V W)’
V W’
k. (V – (V – W) W)
2. Bila diketahui himpunan-himpunan berikut: A = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j} B = {x|x huruf hidup} C = {a, b, c, d, e, f, g} Maka tentukanlah: a. B C
g. A B
m. C - A
b. A B C
h. A C
n. C - B
c. A - B
i.
B C
o. (A – (A – B) B) C
d. A - C
j.
A B C
p. A – B B - C
e. B - C
k. A B
f.
l.
B-A
A C
7
8
BAB II FUNGSI A. Tujuan Kompetensi Khusus
Setelah mengikuti kegiatan belajar, diharapkan mahasiswa mampu:
Mengerti dan memahami fungsi linier
Mampu manggambar fungsi linier
Mengerti dan memahami fungsi non linier
Mampu manggambar fungsi non linier
B. Tugas Latihan
Mahasiswa mengerjakan tugas latihan yang tersaji di akhir bab.
8
BAB II FUNGSI Fungsi adalah hubungan matematis antara suatu variabel dengan variabel lainnya Unsur-unsur pembentukan fungsi : 1. Variabel →
Variabel yang berubah-ubah dari suatu keadaan ke keadaan lainnya
2. Koefisien→ Koefisien→
bil. atau angka yang diletakkan tepat didepan suatu variabel
3. Konstanta→ Konstanta→
Sifatnya tetap | tidak terkait dengan dengan suatu variabel apapun apapun
Secara umum :
Y = f(x), dimana x adalah variabel bebas y adalah variabel terkait
A. Fungsi Linier Fungsi Linier adalah fungsi. Polinom yang variabel bebasnya memiliki pangkat paling tinggi adalah satu : 1
y = ao + a1x
dimana
: ao konstanta, nilainya positif, negatif, atau nol a1 koefisien, nilainya positif, negatif, atau nol
Contoh : y = 4 + 2x
CARA MENGGAMBAR FUNGSI LINIER
a) Dengan cara sederhana ( curve traicing process ) Yaitu dengan menggunakan tabel x dan y, dimana kita tentukan dulu nilai x sebagai variabel bebas, maka dengan memasukkan beberapa nilai x kita akan memperoleh nilai y. Misalkan y = 4 + 2x X
-2
-1
0
1
2
Y
0
2
4
6
8
Kemudian kita tinggal memplotkan masing-masing pasangan titik tersebut.
b) Dengan cara matematis (menggunakan ciri-ciri yang penting) Misalkan diketahui y = 4 + 2x Maka grafik fungsi dapat digambarkan menggunakan ciri-ciri penting, yaitu:
9
1) Titik potong fungsi dengan sumbu y, pada x=0, maka y=4. Jadi titiknya adalah A(0,4) 2) Titik potong fungsi dengan sumbu x, pada y=0, maka x=4. Jadi titiknya adalah A(-1/2,0 Dengan menggunakan kedua ciri ini maka kita dapat menggambar grafik fungsi y=4 + 2x seperti terlihat pada gambar berikut:
y y=4+2x (0,4) x
(-2,0) Perpotongan Perpotongan Dua Fungsi Linier
Untuk fungsi. Linier yang saling berpotongan, maka untuk mencari titik potongnya dapat dilakukan dengan cara : 1. Subtitusi 2. Eliminasi Contoh : Tentukanlah titil potong fungsi 2x +3y = 4 dengan x + 2y = 1 1. Subsitusi : a) 2x + 3y = 4 2x = 4 – 4 – 3y 3y x=
4 3y 2
x + 2y = 1 [
4 3y 2
…..1) masuk ke …2) …2)
+ 2y = 1] X 2
4 – 3y 3y + 4y = 2
- 3y + 4y = 2 – 2 – 4 4 y = -2 b) 2x + 3y = 4 3y = 4 - 2x y=
4 2x 3
….1) masuk ke …2) 10
4 2x
[x+2
3
= 1] X 3
3x + 2 (4 – (4 – 2x) 2x) = 3 3x + 8 – 8 – 4x 4x = 3
- x = 3 – 3 – 8 8 x=5 Jadi himpunan penyelesaiannya { 5, -2 } 2. Eliminasi :
2x + 3y = 4 x + 2y = 1
X 1 maka 2x + 3y = 4 X 2 maka 2x + 4y = 2 y=-2
2x + 3y = 4
X 2 maka 4x + 6y = 8
x + 2y = 1
X 3 maka 3x + 6y = 3 x= 5
Jadi himpunan penyelesaiannya { 5, -2 } Untuk menggambar, gunakan langkah-langkang menggambar garis lurus:
B. Fungsi Non Linier Fungsi non Linier dapat berupa fungsi Kuadrat, fungsi Eksponen, fungsi Logaritma, fungsi pecahan, dll. Gambar dari fungsi ini bukan suatu garis lurus, melainkan suatu garis lengkung. Fungsi kuadrat disajikan dalam gambar berupa suatu parabola vertikal & horizontal, fs rasional yang gambarnya berbentuk hiperbola, fs kubik, lingkaran & elips. 11
FUNGSI KUADRAT
Fungsi. Kuadrat adalah Fungsi Fungsi yang pangkat pangkat tertinggi dari variabel a/ dua bentuk umum umum dari fungsi. Kuadrat 2
y = f (x) = ax + bx + c dimana : Y = Variabel terikat X = Variabel bebas a, b, c = konstanta. Dan a ≠ o
CARA MENGGAMBAR FUNGSI KUADRAT
c) Dengan cara sederhana ( curve traicing process ) Yaitu dengan menggunakan tabel x dan y, dimana kita tentukan dulu nilai x sebagai variabel bebas, maka dengan memasukkan beberapa nilai x kita akan memperoleh nilai y. Misalkan y = x 2 - 5x + 6 X
-2
-1
0
1
2
3
y
20
12
6
2
-1/4
0
Kemudian kita plotkan masing-masing pasangan titik tersebut.
d) Dengan cara matematis (menggunakan ciri-ciri yang penting) Misalkan diketahui y = x 2 - 5x + 6 Maka grafik fungsi dapat digambarkan menggunakan ciri-ciri penting, yaitu: 1) Titik potong fungsi dengan sumbu y, pada x=0, maka y=6. Jadi titiknya adalah A(0,6) 2) Titik potong fungsi dengan sumbu x, pada y=0, maka kita harud mencari nilai Diskriminan (D) terlebih dahulu: Nilai diskriminan ini akan menentukan apakah parabola vertikal memotong, menyinggung dan atau tidak memotong maupun menyinggung sb x.
Jika nilai D = b2 – 4ac adalah negatif maka tidak terdapat titik potong sb x.
12
Jika nilai D = b2 – 4ac 4ac adalah positif maka terdapat dua titik potong sb x.
Jika nilai D = b2 – 4ac adalah nol maka terdapat satu titik potong dengan sb x.
Maka kerena D = 25 – 4 (1) (6) = 1 > 0, terdapat dua buah titik potong dengan sumbu x
dengan menggunakan rumus X1,2 =
b
b
2
4ac
2a
diperoleh nilai x 1 dan x2 yaitu: x1
x2
5 25 4(1)(6)
2 5 25 4(1)(6) 2
5 1 2 5 1 2
3 jadi titik nya B 1 (3,0) 2 jadi titiknya B2 (2,0)
3) Titik puncak, yaitu titik dimana arah dari grafik fungsi kuadrat kembali ke
b (b 2 4ac) arah semula. Titik puncak: , jadi titiknya C(5/2,-1/4) 2 4 a a 4) Sumbu simetri adalah sumbu yang membagi/membelah dua grafik fungsi kuadrat tersebut menjadi dua bagian yang sama besar. Sumbu simetri x=-b/2a jadi sumbu semetrinya adalah: x=5/2 Dengan menggunakan keempat ciri ini maka kita dapat menggambar grafik fungsi y = x2 - 5x + 6 seperti cara menggambar grafik fungsi linear di atas.
Perpotongan Dua Fungsi Kuadrat
Dengan cara yang sama dengan perpotongan dua fungsi linier, maka kita dapat menentukan titik potong dua fungsi kuadrat.
SOAL-SOAL LATIHAN: 1. Gambarlah grafik fungsi a. y = 9 – 9 – 2x 2x b. y = 2x 2 – 9x 9x + 12 c. y = -x2 + 8y - 15 2. Jika diketahui fungsi y = 4 – 4 – x x2 dan y = 2x 2 – 5x 5x + 4 a. Carilah titik potong antara kedua fungsi tersebut b. Gambarlah grafik kedua fungsi tersebut. 13
BAB III PENERAPAN FUNGSI DI BIDANG EKONOMI DAN BISNIS A. Tujuan Kompetensi Khusus
Setelah mengikuti kegiatan belajar, diharapkan mahasiswa mampu:
Fungsi penawaran dan permintaan Keseimbangan pasar Pengaruh pajak terhadap keseimbangan pasar Pengaruh subsidi terhadap keseimbangan pasar Fungsi penerimaan Fungsi biaya
B. Tugas Latihan
Mahasiswa mengerjakan tugas latihan yang tersaji di akhir bab.
14
BAB III PENERAPAN FUNGSI DI BIDANG EKONOMI DAN BISNIS
Penerapan fungsi Linier dalam bisnis dan teori ekonomi mikro, yaitu : Fungsi permintaan, fungsi penawaran, keseimbangan pasar, pengaruh pajak dan subsidi terhadap keseimbangan pasar, fungsi penerimaan, fungsi biaya dan break-even analisis.
Penerapan fungsi Linier dalam teori ekonomi makro : Fungsi pendapatan yang terdistribusi menjadi fungsi konsumsi dan fungsi tabungan fungsi pendapatan rasional yang dihitung dihitung melalui pendekatan pendekatan pengeluaran.
A. Fungsi Permintaan dan Penawaran Fungsi Permintaan
Fungsi permintaan merupakan fungsi mencerminkan hubungan antara variabel harga (P, price) suatu barang dengan variabel jumlah barang yang diminta (Qd : quantity demand) P = f(Qd) Fungsi ini mencerminkan prilaku konsumen di pasar di mana sifat yang berlaku yaitu bahwa jika harga barang mengalami peningkatan, maka jumlah barang yang diminta akan mengalami penurunan, begitu juga sebaliknya. Fungsi permintaan suatu barang dicerminkan sbb. :
P P’ P’ P”
O
Qd Qd Qd
Qd
Fungsi Penawaran
fungsi penawaran merupakan fungsi yang mencerminkan hubungan antara variabel harga (P : Price ) suatu barang barang dengan variabel jumlah barang yang ditawarkan (Qs : Quantitif supply) : P = f(Qs)
15
Fungsi ini mencerminkan prilaku produsen dipasar dipasar dimana sifat yang berlaku yaitu yaitu bahwa jika barang mengalami peningkatan, maka jumlah barang yang ditawarkan akan mengalami peningkatan, begitu juga sebaliknya. Fungsi. penawaran suatu barang dicerminkan sbb. :
P
P=f(Qs)
Qs
o B. Keseimbangan Pasar
1. Keseimbangan pasar (equilibrium (equilibrium)) adalah harga yang terjadi di pasar yang merupakan kesepakatan antara penjual ( supply ( supply)) dan pembeli (demand (demand ). ). 2. Keseimbangan dapat dihitung dengan menyamakan fungsi permintaan dan fungsi penawaran (D = S) yang membentuk titik keseimbangan (equilibrium ( equilibrium). ). 3. Keseimbangan hanya berlaku pada nilai-nilai yang positif atau kuadran I. 4. Titik keseimbangan terbentuk pada pertemuan harga dan jumlah atau, (Q 1,P1).
P = f(Qs)
Pe P = f(Qd) o
Qe
Qd,Qs
C. Pengaruh Pajak Terhadap Keseimbangan Pasar
Pemerintah mengenakan pajak penjualan kepada para produsen. Pajak penjualan tersebut dinyatakan dengan tarif pajak (t) = satuan unit uang / satuan unit barang. Pengaruh pajak terhadap keseimbangan harga / kuantitas di pasar
16
Sesudah
Sebelum ada Pajak
ada
pajak
[tarif pajak (t)]
Fungsi permintaan
P = f (Qd)
P = f (Qd)
Fungsi Penawaran
P = f (Qs)
P = f (Qs) + t
Contoh soal Diberikan fs permintaan dan fs penawaran sebagai : Qd = 11 – 11 – P P dan Qs = -4 + 5 kepada produsen tersebut pemerintah mengenakan pajak dengan tarif pajak sebesar t = 3 / unit barang a. carilah keseimbangan harga dan kuantitas di pasar sesudah ada pajak b. Gambarkan perubahan akibat pajak tersebut c. Berapa tarif pajak yang ditanggung konsumen d. Berapa tarif pajak yang ditanggung produsen e. Berapa total pajak yang diterima pemerintah f.
Berapa tarif pajak yang ditanggung pemerintah
g. Berapa tarif pajak yang ditanggung produsen h. Arsirlah total pajak masing-masing pada gambar diatas Jawab ! Adanya pengenaan pajak dari permintaan kepada produsen ternyata mengakibatkan : 1. Keseimbangan harga setelah ada pajak lebih tinggi dari pada keseimbangan harga sebelum pajak : Pe’ = 7 → Pe → Pe = 5 Maka Pe’ < Qe 2. Keseimbangan kuantitas setelah ada pajak lebih rendah dari pada keseimbangan kuantitas sebelum kena pajak : Pe’ = 4 → Pe → Pe = 6 Maka Qe’ < Qe Tarip pajak yagdikenakan oleh pemerintah kepada produsen t = 3 / unit. Akan tetapi produksi sebagian dari pajak tersebut dibebankan kepada konsumen. Beban tarif pajak yang dibebankan a/ produksi kepada konsumen terasa a/ adanya kenaikan keseimbangan harga dari Pe = 5 terjadi Pe’ = 7, sedangkan yang ditanggung produsen berarti tanggal masanya terhadap Pajak
|
Total Pajak : 17
Tarif Pajak
Total Pajak
Tarif pajak yang dikenakan o/ pemerin
Total pajak yang diterima o/ pemerintah
ah kepada produsen T = 3 / unit
T = t x Qe’ = 3 x 4 = 12
Tarif pajak yang dibebankan o/ produ
Total pajak yang berasal dari konsumen
sen kepada konsumen Tk = Pe’ – Pe Pe
Tk = tk x Qe’
= 7 – 5 5 = 2
=2x4=8
Tarif pajak yang ditanggung o/ produsen
Total pajak yang berasal dari produsen
Tp = t – t – tk tk
Tp = tp x Qe’
= 3 – 3 – 2 2 = 1
=1x4=4
Diketahui suatu perusahaan barang mempunyai, fungsi permintaan dan fungsi penawaran sebagai berikut : D: P = 40 – 40 – 2Q 2Q S:P= Q -5 Ditanyakan : a. Bila dikenakan pajak sebesar Rp.3,00 per unit, tentukan keseimbangan sebelum dan setelah pajak b. Total pajak yang diterima pemerintah c. Pajak yang dibayar produsen dan konsumen d. Gambar grafiknya Gambar grafiknya sebagai berikut :
18
Diketahui fungsi penawaran S : P = Q 2 – 8 8 dan fungsi permintaan D: P = Q2 – 14Q 14Q + 48 dengan pajak sebesar 20 % maka P t = P ( 1 + t ) , tentukan: a. Keseimbangan sebelum dan sesudah pajak b. Besar total yang diterima pemerintah dan pajak yang ditanggung konsumen dan produsen c. Gambar grafik fungsi sebelum dan sesudah pajak.
19
D. Pengaruh Subsidi Terhadap Keseimbangan Pasar Pengaruh Subsidi terhadap Keseimbangan Pasar
Pemerintah memberikan subsidi
kepada para produsen. Subsidi
tersebut dinyatakan
dengan tarif subsidi (s) = satuan unit uang / satuan unit barang. Penaruh pajak terhadap keseimbangan harga / kuantitas di pasar Sebelum ada Subsidi
Sesudah ada Subsidi
Fungsi permintaan
P = f (Qd)
P = f (Qd)
Fungsi Penawaran
P = f (Qs)
P = f (Qs) - s
Contoh soal Dari soal sebelumnya, diketahui fs permintaan | fs penawaran sbb. : Qd = 11 – 11 – P P dan Qs = 4 + 2P kepada produsen tsb. pemerintah memberikan subsidi dengan tarif subsidi sebesar s = 1 / unit barang a. Carilah keseimbangan harga dan kuantitas di pasar sesudah ada subsidi b. Gambarkan perubahan akibat subsidi tersebut c. Berapa tarif subsidi yang ditanggung konsumen d. Berapa tarif subsidi yang ditanggung produsen 20
e. Berapa total subsidi yang diterima konsumen f.
Berapa tarif subsidi yang ditanggung produsen
g. Berapa tarif subsidi yang ditanggung pemerintah Jawab ! Adanya pemberian subsidi dari pemerintah kepada produsen teryata menghasilkan : 1. Keseimbangan harga setelah ada subsidi lebih rendah dari pada keseimbangan harga sebelum ada subsidi : Pe’ = 4,33 → Pe → Pe = 5 Maka Pe’ < Pe 2. Keseimbangan kuantitas setelah ada subsidi lebih tinggi dari pada keseimbangan kuantitas sebelum ada subsidi : Qe’ = 6,67 → Qe → Qe = 6 Maka Qe’ > Qe’ > Qe Tarif subsidi yang diberikan oleh pemerintah kepada produsen s = 4 / unit. Akan tetapi : produsen tidak menikmatiya sendiri. Sebagian dari dari subsidi tersebut diberikannya diberikannya kepada konsumen. Tarif subsidi yang diberikan diberikan c/ produsen kepada konsumen terasakan o/ o/ adanya penuntas keseimbangan harga dari Pe = 5 menjadi Pe’ = 4,33, sedangkan yang diberikan produsen. Tarif Subsidi | Total Subsidi : Tarif subsidi Tarif
subsidi
Total subsidi yang
dikenakan
o/
pemerintah kepada produsen
Total
subsidi
yang
diterima
yang
berasal
o/
pemerintah
S = 1 / unit = 1 x 6,67 = 6,67
Tarif subsidi
yang diterima
S = s x Qe’
o/ produ Total
subsidi
sen kepada konsumen
konsumen
Sk = Pe – Pe – Pe’ Pe’
Sk = sk x Qe’
= 5 – 4,33 – 4,33 = 0,67
dari
= 0,67 0,67 x 6,67 6,67 = 4,47
Tarif subsidi yang ditanggung o/ produ produ
Total subsidi yang diminati produsen
sen
Sp = sp x Qe’ 21
Sp = s – s – sk sk
= 0,33 x 6,67 = 2,20
= 1 – 1 – 0,67 0,67 = 0,33 Fungsi Penerimaan Fungsi penerimaan disebut juga fungsi
pendapatan atau fungsi hasil penjualan
dilambangkan dengan R (Revenue) atau TR (Total Revenue) Fungsi Penerimaan merupakan fungsi dari output : R = f(Q) dengan Q = jumlah produk yang laku terjual. Fungsi penerimaan merupakan hasil kali antar a harga jual perunit dengan jumlah barang yang dip[roduksi dan laku dijual : Jika P adalah harga jual perunit, maka : R=PxQ
dengan P = harga jual per unit R = jumlah produk yang dijual
Contoh : Misalkan suatu produk dengan harga Rp. 5.000 per unit barang, bagaimanakah fungsi permintaannya ? Gambarkan fungsi pemerintah tersebut pada grafik Penyelesaian : R=PxQ R = 5.000Q Gambar : Karena intersepnya tidak ada (nol) maka fs penerimaan di gambarkan melalui titik (0,0) dengan gradien positif :
R
R = 5000
Q
o E. Fungsi Penerimaan
Fungsi penerimaan disebut juga fungsi
pendapatan atau fungsi hasil penjualan
dilambangkan dengan R (Revenue) atau TR (Total Revenue)
22
Fungsi Penerimaan merupakan fungsi dari output : R = f(Q) dengan Q = jumlah produk yang laku terjual. Fungsi penerimaan merupakan hasil kali antar a harga jual perunit dengan jumlah barang yang dip[roduksi dan laku dijual : Jika P adalah harga jual perunit, maka : R=PxQ
dengan P = harga jual per unit R = jumlah produk yang dijual
Contoh : Misalkan suatu produk dengan harga Rp. 5.000 per unit barang, bagaimanakah fungsi permintaannya ? Gambarkan fungsi pemerintah tersebut pada grafik Penyelesaian : R=PxQ R = 5.000Q Gambar : Karena intersepnya tidak ada (nol) maka fs penerimaan di gambarkan melalui titik (0,0) dengan gradien positif :
R
R = 5000
Q
o F.
Fungsi Biaya
Diimbangkan dengan C (Cost) atau TC (Total Cost) terdiri atas dua j enis fungsi gaya. 1. Fixed cost atau fungsi biaya tetap (FC) merupakan fungsi yang tidak bergantung pada jumlah produk yang diproduksi. Jadi fungsi biaya tetap adalah fungsi konstanta FC = k dengan k konstanta positif Contoh : Suatu perusahaan mengeluarkan biaya tetap sebesar Rp. 100.000.000 Bagaimanakah fungsi biaya tetapnya dan gambarkan fungsi tersebut pada grafik kartesius
23
Jawab :
FC = 100.000.000
FC FC =
o
Q
2. Variabel cost atau fungsi biaya yang berubah-ubah (VC) Merupakan fungsi biaya yang besarnya bergantung ber gantung dari jumlah produk yang diproduksi Jadi : VC = f(Q) merupakan hasil kali antara harga jual perunit dengan jumlah barang yang diproduksi. Jika P adalah biaya produksi per unit, dimana biaya produksi per unit senantiasa lebih kecil dibandingkan harga jual perunit barang, maka VC = P x Q dengan P = biaya produksi produksi per unit dan Q = produk yang diproduksi Contoh : Suatu produk diproduksikan dengan biaya produksi Rp. 3.000 per unit. Bagaimana fungsi biaya variabelnya dan gambarkan fungsi tersebut pada grafik Jawab :
VC = P x Q = 3.000 Q
karena intersepnya td F ada (nol) maka fungsi biaya variabelnya di gambarkan mmelalui titik (0,0) dengan gradiennya positif.
VC VC = 8.000 Q
o
Q
3. Fungsi Total Cost (TC) merupakan penjumlahan antara biaya tetap dengan biaya variabel TC = FC + VC Contoh :
24
adalah contoh diatas, dimana biaya tetap yang dikeluarkan sebuah perusahaan sebesar Rp. 100.000.000,- dan biaya variabelnya : 3.000 Q,maka TC = 100.000.000 + 3.000 Q. Ternyata intersep dari fungsi total biaya adalah sama dengan biaya tetapnya dan gradiennya sama dengan gradien fungsi biaya tetap. Hal ini mencerminkan bahwa
T
penggambaran fungsi total biaya harulah melalui mel alui titik (0,FC) dan sejajar sejaj ar dengan grafik VC.
SOAL UNTUK LATIHAN:
1. Diketahui fungsi permintaan suatu barang P = - ½ Q + 50 Ditanyakan: a. Berapa harga barang apabila jumlah barang yang diminta sebesar 10 unit? tingkat harga Rp. 10? b. Gambarkan kurva permintaannya! 2. Diketahui fungsi penawaran suatu barang adalah sebagai berikut Q = - 20 + 4P. Ditanyakan: a. Berapa jumlah pada harga Rp. 8? b. Berapa harga pada jumlah 4 unit? c. Pada harga berapa penjual tidak mau menjual barangnya? d. Gambarkan grafik kurvanya! 6 15. Diketahui fungsi permintaan permintaan D : Q = P2 – 12P 12P + 36 dan fungsi = P2 maka Qt =
P 1 t
penawaran S : Q
. Pada barang tersebut dikenakan pajak sebesar t = 25%, 25%,
tentukan: a. Keseimbangan sebelum dan sesudah pajak. b. Besar total pajak yang diterima pemerintah dan pajak yang ditanggung konsumen juga produsen. c. Gambar grafik fungsi sebelum dan setelah pajak.
25
26
27
BAB IV BARISAN DAN DERET
A. Tujuan Kompetensi Khusus
Setelah mengikuti kegiatan belajar, diharapkan mahasiswa mampu:
Memahami Barisan dan deret Aritmatika (deret hitung) hi tung)
Memahami Barisan dan deret Geometri (deret ukur)
B. Tugas Latihan
Mahasiswa mengerjakan tugas latihan yang tersaji di akhir bab.
26
BAB IV BARISAN DAN DERET A. Barisan dan deret Aritmatika (deret hitung) Andaikan suku pertama,suku kedua, suku ketiga, suku keempat berturutturut sampai dengan suku ke-n suatu barisan diulis sbb : S1, S2, S3, S4,…, Sn Barisan di atas merupakan merupak barisan hitung apabila selisih antara dua suku yang berurutan (misalnya b ) adalah sama. Jadi : S2 - S1 = S3 - S2 = S4 - S3= … = Sn - Sn-1 = b Jika suku pertama dari barisan tersebut dimisalkan adalah a dan selisih antara dua suku yang berurutan adalah b, maka nilai masing-masing suku dari barisan hitung dapat dihitung dengan cara sbb : S1 = a S2 = S1 + b = a + b S3 = S2 + b = a + b + b = a + 2b S4 = S3 + b = a + 2b + b = a + 3b . Sn = Sn-1 + b = a + (n – (n – 2)b 2)b + b = a + (n-1)b Maka rumus untuk menghitung nilai suku ke-n suatu barisan hitung dapat tulis sbb:
Sn = a + (n-1)b Dimana :
Sn = nilai suku ke-n a = nilai suku pertama n = banyaknya suku
( b bisa positif, bisa negative tetapi b ≠0) b = selisih atau beda (b
Jumlah dari seluruh bilangan yang membentuk suatu barisan hitung disebut dengan deret hitung. n
D n
s i i 1
Atau Dn = S1 + S2 + S3 + S4 +… + Sn Dengan memasukkan nilai-nilai setiap suku barisan hitung sebagaimana diuraikan sebelumnya, diperoleh : Dn = a + (a+b) + (a + 2b) + (a + 3b) + … + a + (n -1)b
27
Apabila suku terakhir, yaitu a + (n-1)b tetap dituliskan dengan Sn, maka : Dn = a + (a+b) + (a + 2b) + (a + 3b) + … + S n
Jika deret hitung Dn ditulis dua kali dengan urutan yang berlawanan dan kemudian dijumlahkan, diperoleh : Dn
=
a + (a + b) + (a + 2b) + (a ( a + 3b) + … +S n
Dn
=
Sn + ( Sn – b) b) + ( S n – 2b) 2b) + ( S n – 3b) – 3b) + … + a
2Dn
= (a + Sn) + (a + Sn) + (a + Sn) +(a + Sn) + … + (a + S n) 2Dn
+
= n(a + S n) n
D n
D n
D n
2 n
2 n
2
(a S n )
a a ( n 1)b 2a ( n 1)b
Maka rumus jumlah deret hitung dari barisan hitung dari suku ke-n adalah sbb :
D n
n
2
2a ( n 1)b
CONTOH SOAL Contoh 1
Hitung suku ke-16 dan jumlah deret hitung sampai suku ke-16 dari barisan hitung berikut : a. 10, 12, 14, 16, 18, … b. 80, 75, 70, 65, 60, …
Contoh 2
Nilai suku pertama dari suatu barisan hitung adalah 20 dan nilai suku ke-10 adalah 38. Hitung : a. Beda antara dua suku yang berurutan, b. Nilai dari suku ke-21 c. Suku ke berapa yang bernilai 100, d. Jumlah deret hitung sampai suku ke-41.
Contoh 3
28
Suku ke-5 suatu barisan hitung adalah 2000 dan suku ke-14 adalah 4250. Hitung : a. Beda antara dua suku yang berurutan b. Suku pertama dan suku ke-17 c. Jumlah deret hitung sampai suku ke-17
B. Barisan dan deret Geometri (deret ukur) Andaikan suatu barisan ditulis sbb : S1, S2, S3, S4,…, Sn
Barisan diatas adalah deret ukur apabila rasio antara dua suku yang berurutan (misalkan r) adalah sama. Jadi : S2 S1
S 3 S2
S4 S3
S n S n 1
... r
Jika suku pertama dari deret ukur adalah a dan rasio antara dua suku yang berurutan adalah r, maka nilai masing-masing suku dari deret ukur tersebut dapat dihitung dengan cara sbb : S1 = a S2 = S1 r = a r S3 = S2 r = a r r = a r 2
2 3
S4 = S3 r = a r r = a r . . Sn = Sn-1 r = a r
n-2
r = a r
n-1
Maka rumus untuk menghitung nilai suku ke-n suatu deret ukur dapat tulis sbb : n-1
Sn = a r
Dimana :
Sn = nilai suku ke-n a = nilai suku pertama n = banyaknya suku r = rasio atau pembanding (r ( r bisa positif, bisa negative tetapi
r ≠ dan r ≠ 1) 1)
Bila bilangan-bilangan S1, S2, S3, S4,…, Sn dapat ditentukan yang membentuk suatu barisan ukur dijumlahkan, hasilnya disebut dengan deret ukur. Misalkan jumlah deret ukur sampai suku ke-n adalah D n, maka :
29
n
D n
s i i 1
Atau Dn = S1 + S2 + S3 + S4 +… + Sn Dengan mensubtitusikan nilai masing-masing suaku deret ukur, diperoleh : a + ar + ar 2 + … + ar n-1
Dn
=
rDn
=
Dn - rDn=
a - a r n
(1 – (1 – r)D r)Dn
=
D n
ar + ar 2 + … + ar n-1 + ar n
a(1 + r n) n
a(1
r
1
r
)
Maka rumus jumlah deret ukur dari suku ke-n adalah sbb : D n
n
a(1
r
1
r
n
D n
a( r
)
1) r 1
jika r < 1
atau
jika r > 1
Contoh 4
Hitunglah suku ke-10 dan jumlah deret hitung sampai suku ke-10 dari barisan ukur berikut : a. 2, 6, 18, 54, 162, … b. 10, - 20, 40, - 80, 160, … c. 1, (1.05), (1.05) 2, (1.05)3, (1.05)4, …
Contoh 5
Nilai suku ke-4 dari suatu barisan ukur adalah 1600 dan nilai suku ke-6 adalah 25600. Hitung : a. Rasio antara dua suku yang berurutan b. Suku pertama dan suku ke-9 c. Jumlah deret ukur sampai suku ke-9
Contoh 6
30
Seseorang menulis suatu surat berantai dan mengirimkannya kepada lima orang temannya (tahap pertama). Oleh kelima orang ini, surat tersebut digandakan dan kemudian mengirimkannya lagi ke masing-masing lima temannya (tahap kedua). Jika pada tahap-tahap berikutnya, setiap orang yang menerima surat menggandakan dan mengirimkannya lagi ke masing-masing lima temannya, hitung jumlah orang yang sudah mendapatkan surat berantai sampai tahap ke-10
SOAL UNTUK LATIHAN
Terdapat (tergabung) dalam bab berikutnya.
31
32
BAB V PENERAPAN BARISAN DAN DERET DI BIDANG BI DANG EKONOMI DAN BISNIS
A. Tujuan Kompetensi Khusus
Setelah mengikuti kegiatan belajar, diharapkan mahasiswa mampu:
Memahami penggunaan deret untuk Perkembangan Kegiatan Perusahaan
Memahami penggunaan deret dalamTeori Nilai Uang
B. Tugas Latihan
Mahasiswa mengerjakan tugas latihan yang tersaji di akhir bab.
32
BAB V PENERAPAN BARISAN DAN DERET DI BIDANG BI DANG EKONOMI DAN BISNIS
A. Perkembangan Kegiatan Perusahaan Contoh 1
PT.Chyntiamega menghasilkan suatu produk sebesar 10.000 unit pada tahun pertama produksinya dan menjualnya dengan harga sebesar Rp.50.000 per unit. Jika setiap tahunnya perusahaan mampu meningkatkan produksi sebesar 5.000 unit dan harga jual meningkat sebesar Rp.2.500 per unit, tentukan : a. Tingkat produksi pada tahun ke-10 dan jumlah produksi selama 10 tahun tersebut. b. Tingkat harga pada tahun ke-10 c. Hasil penjualan pada tahun ke-10 Contoh 2
Perusahaan keramik “Seroja Jaya” mengeluarkan Jaya” mengeluarkan biaya total sebesar Rp 8.000.000,dan memperoleh penerimaan total sebesar Rp 6.000.000,- pada bulan pertama produksinya. Jika biaya marginal dan penerimaan marginal perusahaan setiap bulannya bertambah dengan mengikuti pola barisan hitung, yaitu biaya marginal sebesar Rp 1.500.000,- dan penerimaan marginal sebesar Rp 2.000.000,- . Tentukanlah! a. Total biaya dan penerimaan perusahaan, masing-masing pada bulan ke-12? b. Pada bulan keberapa perusahaan mencapai titik impas? c. Pada bulan keberapa perusahaan memperoleh laba sebesar Rp 4.000.000,-? Contoh 3
Hasil penjualan “PT Mega” pada tahun pertama produksinya adalah sebesar Rp 150.000.000,- Apabila hasil penjualan penjualan tersebut bertambah sebesar 8% per tahun, berapa hasil penjualan perusahaan pada tahun ke-6?
33
B. Teori Nilai uang Contoh 4
Albert meminjam uang sebesar Rp.5.000.000 dari “Koperasi Karyawan“ di lingkungan kerjanya dan berjanji akan membayar secara ci cilan sebesar Rp.250.000 tiap akhir bulan dengan membayar bunga 15% per tahun dari sisa hutangnya. Hitung total bunga yang dibayar sampai dengan pinjamannya lunas. Jawab : 62.500, 59.375, 56.250, ....3.125 jadi a= 62.500 ; b = - 3.125 3.125 ; n = 20 atau Dn =
n 2
a S
20
jadi
D20 =
2
n
62.500 3.125
= 10 ( 65.625)
= Rp 656.250,00
Contoh 5
Ricahardo meminjam uang sebesar Rp.10.000.000 dari suatu lembaga perkreditan dan berjanji akan membayarnya secara angsuran sebesar Rp. 400.000 tiap akhir 3 bulan ditambah dengan bunga bunga 18% per tahun dari sisa hutangnya. hutangnya. Hitung : a. Jumlah bunga yang dibayar pada angsuran yang terakhir? b. Jumlah bunga yang dibayar sampai dengan pinjamannya lunas? c. Jumlah uang yang harus dibayar dalam melunasi pinjaman tersebut? Contoh 6
Suatu lembaga pendidikan berencana untuk membentuk suatu dana yang akan dihadiahkan dalam bentuk beasiswa secara abadi kepada sejumlah mahasiswa yang berprestasi dengan jumlah beasiswa sebesar Rp.20.000.000 per semester. Untuk mencapai tujuan tersebut, berapa jumlah dana yang harus disetor lembaga tersebut sekarang dalam suatu rekening yang menghasilkan suku bunga 15% dimajemukkan secara semesteran apabila pembayaran pertama beasiswa tersebut dilakukan sekarang juga.
34
SOAL UNTUK LATIHAN
1. Carilah suku ke-n dan jumlah deret ukur sampai suku ke-n dari setiap barisan ukur berikut, untuk n yang ditentukan. a. 54, 162, 486, 1458, …
untuk n = 20
b. 320, -160, 80, -40, - 40, …
untuk n = 15
c. ½, 1/8, 1/16, …
untuk n = 10
d. 1, (1.12), (1.12) 2, (1.12), …
untuk n = 24
2. Tentukan suku pertama , rasio antara dua suku-sukunya yang berurutan dan suku ke-15 dari suatu barisan ukur, apabila pada barisan ukur tersebut diketahui: a. S4 = 3200 dan S 8 = 819200
c. S 3 = dan S7 = 4
b. S7 = (1.02)13 dan S10 = (1.02)19
d. SS5 = (1.05)-4 dan S9 = 1
3. PT. Chyntiasari memperoleh hasil penjualan sebesar Rp 460.000.000 pada tahun ke-3 dan Rp 850.000.000 pada tahun ke-6. Apabila pertambahan hasil penjualan perusahaan mengikuti pola barisan hitung, hitung, tentukan :
a. Pertambahan hasil hasil penjualan perusahaan per tahun b. Hasil penjualan perusahaan pada tahun pertama, c. Pada
tahun
berapakah
hasil
1.370.000.000?
35
penjualan
perusahaan
menjadi
Rp
36
BAB VI BUNGA DAN DISKONTO SEDERHANA
A. Tujuan Kompetensi Khusus
Setelah mengikuti kegiatan belajar, diharapkan mahasiswa mampu:
Memahami serta menghitung Jumlah Bunga, Nilai Kemudian dan Nilai Sekarang
Memahami Metode Menghitung Bunga Sederhana
Menghitung Suku Bunga dan Periode Waktu
B. Tugas Latihan
Mahasiswa mengerjakan tugas latihan yang tersaji di akhir bab.
36
BAB VI BUNGA DAN DISKONTO SEDERHANA
A. Jumlah Bunga, Nilai Akhir dan Nilai Sekarang Dalam perhitungan bunga sederhana ( simple interest ), ), jumlah yang dihitung pada suatu periode waktu tertentu terte ntu tidak diikutkan dalam menghitung jumlah bunga pada periode waktu berikutnya. Jumlah uang pokok dengan bunga pada saat j atuh tempo disebut dengan nilai jatuh tempo atau nilai akhir atau nilai akumulasi. Untuk memudahkan penulisan formula dalam menghitung beberapa variable dalam matematika bisnis yang berhubungan dengan bunga sederhana sbb : I = Jumlah bunga sederhana r = suku bunga per tahun t = periode waktu (tahun) P = Uang pokok atau nilai sekarang atau nilai diskonto S = Nilai akhir atau nilai akumulasi atau nilai jatuh tempo Pada bunga sederhana,jumlah bunga atas suatu trasaksi keuangan
adalah
merupakan fungsi dari tiga variabel,yaitu:besarnya variabel ,yaitu:besarnya uang pokok,persentase suku bunga dan periode waktu.dengan demikian,sejumlah uang uang pokok P yang dikenakan suku bunga yang sederhana sebesar r persen per tahun selama periode waktu t tahun akan menghasilkan tahun jumlah bunga I sebesar uang pokok dikali dengan suku bunga dengan periode waktu.dalam bentuk pesamaan dapat ditulis: I = P r t
(1)
Nilai akhir dari sejumlah uang pokok tersebut pada saat jatuh tempo tempo adalah uang pokok ditambah dengan jumlah bunga atau : S=P+I
S= P + P r t
(2)
Dengan mensubtitusikan nilai I pada persamaan (1) ke persamaan (2) diperoleh (3)
S = P (I + rt)
Persamaan (3) merupakan formula untuk menghitung sejumlah uang yang akan diterima pada masa yang akan dating dati ng yang disebut dengan nilain akhiratau nilai akumulasi, dimana dim ana (I + rt) pada persamaan tersebut adalah factor akumulasi yaitu nilai nilai akumulasi dari Rp 1 per periode. Proses menghitung nilai akhir S dari dari nilai sekarang P disebut mengakumulasi. 37
Apabila persamaan (3) ditulis kebali dilihat dari segi P diperoleh: Atau rt= r=(
S P S P
t=(
- 1 - 1) : t
S P
- 1) : r
Persamaan (4) merupakan formula untuk menghitung nilai sekarang dari sejumlah uang pada masa yang akan dating,dimana [1 + r t ] disebut faktor diskonto dari Rp 1 per periode proses perhitungan sekarang P dari nilai akhir S disebut mendiskonto. mendiskonto.
Bunga Sederhana untuk periode waktu bulan atau hari
Periode waktu dalam formula menghitung jumlah bunga,dinyatakan pada persamaan (1) sampai persamaan (4) dapat juga dinyatakan dalam bulan atau hari.suku bunga dinyatakan dalam persentase tertentu per tahun,dalam waktu periode waktu bulan atau hari maka periode waktu tersebut harus dikonversi menjadi periode waktu dalam tahunan dengan cara sebagai berikut: a. apabila periode waktu dinyatakan dalam bulan,maka rumus mengkonversi waktu tersebut menjadi tahun adalah:
b. apabila periode waktu dinyatakan dalam hari, maka ada dua cara menghitung bunga sederhana yaitu:
ter est 1. Bunga Eksak (Ex act in ter )
Dalam menghitung bunga eksak dianggap bahwa 1 tahun adalah 365 hari (tanpa membedakan tahun kabisat)mengkonversi periode waktu dari harian menjadi tahunan dapat digunakan rumus berikut:
2. Bunga ordinari ( Ordin ary i nteres ) nterest t
38
Dalam menghitung bunga ordinari dianggap bahwa 1 tahun adalah 360 hari (sering juga disebut banker`s year). mengkonversi periode waktu dari harian menjadi tahunan dapat digunakan rumus berikut:
Menghitung Jumlah Hari Diantara Dua Tanggal Kalender
Ada dua cara untuk menghitung jumlah hari diantara dua tanggal kalender yaitu: a.
Waktu eksak ( (exact tim e )
Adalah hitungan jumlah hari yang sebenarnya yang dapat dihitung dengan menggunakan suatu tabel yang disebut suatu Tabel Angka serial masingmasing,angka serial dalam table yang dimulai dari angka 1 (angka serial untuk 1 januari) sampai dengan angka 365 (angka untuk 31 desember) tahun yang sama.jumlah hari diantara dua tanggal yang ditetapkan adalah merupakan selisih diantara angka serial yang mewakili kedua-duanya.khusus untuk tahun kabisat,angka serial untuk semua hari setelah tanggal 28 pebruari perlu ditambah dengan 1,misalnya 354 + 1 = 355.angka serial suatu hari yang jatuh tempo pada 1 tahun berikutnya ditambak 365,angka serial suatu hari yang jatuh tempo untuk dua tahun berikutnya ditambah 730 dan seterusnya
B
appr oximate time ) .Waktu kiraan (appr
Adalah hitungan jumlah hari yang mengasumsikan bahwa semua bulan mempunyai jumlah hari yang sama masing-masing 30 hari tanpa mempersoalkan tahun kabisat. kabisat.
Contoh 1
Tuan A meminjam Rp 10.000.000,00 selama 3 tahun yang dikenakan suku bunga sederhana 15%. Hitung jumlah bunga dan nilai akhir dari pinjaman tersebut! Contoh 2
Tuan B membuka suatu rekening tabungan pada bank yang mengenakan suku bunga sederhana 20%. Jika selama sela ma 3 tahun nilai rekening r ekening tabungannya menjadi Rp 8.000.000 berapa tabungan pokok yang yang setor tuan B ? Contoh 3
Tuan C meminjam Rp 10.000.000 pada suku bunga sederhana 18%, hitung jumlah bunga dan nilai akhir dari pinjaman dengan dengan menggunakan : 39
a. Bunga sederhana selama 5 bulan b. Bunga eksak selama 146 hari c. Bunga ordinary selama 240 hari Contoh 4
Setelah dua tahun 73 hari, tuan D mengembalikan pinjamannya termasuk bunga sebesar Rp 7.640.000. Jika bunga atas pinjaman tersebut adalah 24%, hitung jumlah uang yang sebenarnya sebenarnya telah dipinjam dengan menggunakan : a. Bunga eksak
b. Bunga ordinary
Tabel 1 . Angka Serial dari dari masing-masing masing-masing hari dalam setahun setahun Tgl 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
Jan 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
Feb 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
Mar Mar Apr Mei Jun 60 91 121 152 61 92 122 153 62 93 123 54 63 94 124 155 64 95 125 156 66 65 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151
157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181
40
Jul 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212
Agt Sep Okt 213 244 274 214 245 275 215 246 276 216 247 277 217 248 278 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243
249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273
279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304
Nov 305 306 307 308 309
Des 335 336 337 338 339
Tgl Tgl 1 2 3 4 5
310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334
340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
Contoh 5 :
Hitung waktu eksak dan waktu kiraan dari 20 Januari sampai 25 Agustus pada tahun yang sama. Jawab : Waktu eksak sbb: Tanggal
Angka serial
25 Agustus
237
20 Januari
20
Waktu eksak
217 hari
Waktu kiraan : Tanggal
Bulan
Hari
25 Agustus
8
25
20 Januari
1
20
Waktu kiraan
7
5
Waktu kiraan = 7 bulan 5 hari = 7 x 30 hari + 5 hari = 215 hari Contoh 6
Hitung waktu eksak dan waktu kiraan dari 15 Februari sampai 10 Desember pada tahun yang sama untuk tahun tahun kabisat. Contoh 7
Hitung waktu eksak dan waktu kiraan dari 10 September sampai 24 Juni satu tahun berikutnya? Contoh 10
Pinjaman selama 10 bulan terhitung dari tanggal 31 januari akan jatuh tempo pada tanggal 30 november tahun yang sama. Pinjaman selama 11 bulan yang dimulai pada tanggal 31 maret akan jatuh tempo pada tanggal 28 februari (atau pada tanggal 29 februari untuk tahun kabisat). a. Jika pinjaman dimulai pada tanggal tertentu dan berlangsung selama beberapa bulan atau beberapa hari dan ternyata tanggal jatuh tempo pinjaman tersebut tepat berada pada hari libur, maka tanggal jatuh tempo akan diundur ke hari kerja berikutnya dan tambahan hari tersebut akan diperhitungkan dalam periode pembayaran bunga. 41
B.
Metode-metode Menghitung Bunga Sederhana Contoh 11
Pada tanggal 13 Maret, seseorang meminjam m eminjam Rp 30.000.000 dari suatu bank yang menggunakan suku bunga sederhana 15% dan akan melunasinya pada tanggal 20 Desember dalam tahun yang sama. Hitung jumlah bunga dan nilai akhir pinjaman tersebut dengan menerapkan : a. Metode bunga eksak dan waktu eksak b. Metode bunga ordnary dan waktu eksak c. Metode bunga eksak dan waktu kiraan d. Metode bunga ordnary dan waktu kiraan Contoh 12
Pada tanggal 8 Agustus seseorang menginvestasikan m enginvestasikan Rp 10.000.000 dengan suku bunga sederhana 18%. Hitung jumlah bunga dan nilai akhir dari investasi tersebut pada tanggal 21 Desember satu tahun yang berikutnya dengan menerapkan : a. Metode bunga eksak dan waktu eksak b. Metode bunga orinary dan waktu eksak c. Metode bunga eksak dan waktu kiraan d. Metode bunga ordinary dan waktu kiraan Contoh 13
Pada tanggal 1 agustus seseorang, memperoleh sejumlah pinjaman dari suatu bank yang mengenakan suku bunga sederhana 18%. Jika pada tanggal 17 November satu tahun berikutnya dia mengembalikan pinjaman beserta bunga sebesar Rp 12.365.000 hitung berapakah jumlah pinjaman pokoknya dengan menerapkan : a. Metode bunga orinary dan waktu eksak b. Metode bunga eksak dan waktu kiraan c. Metode bunga eksak dan waktu kiraan d. Metode bunga ordinary dan waktu kiraan
42
C. Menghitung Suku Bunga dan Periode Waktu 1. Menghitung Suku Bunga Contoh 14
Hitung suku bunga sederhana dari suatu tabungan sebesar Rp 10.000.000 jika tabungan tersebut menghasilkan jumlah bunga sebesar Rp 750.000 selama 6 bulan. Contoh 15
Hitung suku bunga eksak dari pinjaman pokok sebesar Rp 6.250.000 jika selama 292 hari menghasilkan nilai akumulasi sebesar Rp 7.250.000. Jawab : P = 6.250.000 ; S = 7.250.000 ; t = 1
Suku bunga bunga eksak eksak : r =
=
1 P
t
S
292 365 1 292 7.250. 7.250.000 000
1 365 6.250. 6.250.000 000
= 0.2 = 20 %
Contoh 16
Pada tanggal 5 maret seseorang meminjam Rp 15.000.000 dari suatu bank dan akan membayar sebesar Rp 16.875.000 termasuk bunga pada tanggal 30 desember tahun yang sama. Jika bank menerapkan banker’s rule (metode bunga ordinary dan waktu eksak), hitung suku bunga yang dikenakan oleh bank. Contoh 17
Berapa harikah pinjaman pokok sebesar Rp 2.500.000 berlangsung sehingga menghasilkan bunga sebesar Rp 300.000 apabila bunga dihitung menggunakan bunga ordinary 16% ? Jawab : P=2.500.000 P=2.500.000 ; I = 300.000 300.000 ; r = 0.16 Periode waktu :
t =
1 Pr
t =
300.000 2.500.00 .000 0 0.16 0.16 2.500
t = 0,75 tahun Dalam bunga ordinary . 1 tahun = 360 hari, jadi 0,75 tahun = 0,75 x 360 = 270 hari Contoh 18
43
Berapa bulankah tabungan pokok sebesar Rp 3.000.000 berlangsung sehingga menghasilkan nilai akhir sebesar Rp 4.125.000, Apabila tabungan tersebut menghasilkan suku bunga sederhana 15% ?
SOAL UNTUK LATIHAN
1. Hitung jumlah bunga bunga dan nilai akhir dari pinjaman-pinjaman berikut : a. Rp 5.000.000 5.000.000 selama 1 tahun pada suku bunga bunga sederhana 18% b. Rp 4.000.000 selama 1 tahun 3 bulan pada suku bunga sedehana 16%? 2. Seseorang menginvestasikan menginvestasikan Rp 8.000.000 pada suku bunga 15%. Hitung: Hitung: a. Bunga sederhana dan nilai akhir investasi tersebut selama 15 bulan, b. Bunga eksak dan nilai akhir investasi tersebut selama 1 tahun 85 hari, c. Bunga ordinary dan dan nilai akhir investasi investasi tersebut selama 450 hari. 3. Setelah 2 tahun 146 hari, seseorang mengembalikan pinjamannya termasuk bunga sebesar Rp 6.800.000. Jika pinjaman tersebut dikenakan suku bunga 15%, hitung jumlah uang yang sebenarnya telah dipinjam dengan menerapkan : a.
Bunga eksak
b. Bunga ordinary
4. Pada tanggal 10 januari 2000, seseorang meminjamkan Rp 15.000.000 15.000.000 yang yang dikenakan suku bunga sederhana 14%. Pinjaman tersebut akan dilunasi pada tanggal 25 desember dalam tahun yang sama. Hitung jumlah bunga dan nilai akhir dari pinjaman tersebut dengan menerapkan : a. Metode bunga eksak dan waktu eksak b. Metode bunga orinary dan waktu waktu eksak c. Metode bunga eksak dan waktu kiraan d. Metode bunga ordinary dan waktu kiraan 5. Pada tanggal 8 agustus agustus seseorang menginvestasikan Rp 10.000.000 10.000.000 dengan dengan suku bunga sederhana 18%. Hitung jumlah bunga dan nilai akhir dari investasi tersebut pada tanggal 21 desember satu yang berikutnya dengan menerapkan : a. Metode bunga eksak dan waktu eksak b. Metode bunga orinary dan waktu waktu eksak c. Metode bunga eksak dan waktu kiraan d. Metode bunga ordinary dan waktu kiraan
44
45
BAB VII BUNGA DAN DISKONTO MAJEMUK
A. Tujuan Kompetensi Khusus
Setelah mengikuti kegiatan belajar, diharapkan mahasiswa mampu:
Mengerti dan memahami bunga majemuk dan nilai akhir
Memahami dan menghitung equivalensi suku bunga
Mengetahui dan memahami suku bunga dan periode perio de pembayaran bunga
B. Tugas Latihan
Mahasiswa mengerjakan tugas latihan yang tersaji di akhir bab.
45
BAB VII BUNGA DAN DISKONTO MAJEMUK
Transaksi keuangan yang mengunakan perhitungan bunga majemuk yaitu bunga yang dihitung pada periode pertama ditambahkan ditam bahkan kepada uang uan g pokok mulamula mula dan jumlahnya adalah merupakan uang pokok. Kedua dalam menghitung bunga pada akhir periode kedua. Untuk memudahkan dibuat formula berupa notasi dalam matematika bisnis yaitu: P = uang pokok mula-mula atau nilai sekarang atau nilai diskonto S = nilai akhir atau nilai akumulasi atau nilai jatuh tempo m = banyaknya periode bunga dalam satu tahun n = total periode bunga dalam keseluruhan jangka waktu jm= suku bunga nominal pertahun yang dimajemukan sebanyak m kali per
tahun i = suku bunga per periode konversi
Suku bunga per periode konversi (i) adalah suku bunga Nominal ( j m ) di bagi dengan banyaknya periode bunga dalam Satu tahun ( m ) atau: maka
i
jm m
n=mt
A. Bunga Majemuk dan Nilai Akhir Perhitungan Bunga Bunga majemuk dan Nilai Akhir untuk Uang Uang Pokok (P) Suku bunga bunga I per periode sebanyak n periode: S=P(1+i)
Karena i = jm /m
j S P 1 m m
n
atau n = m t maka persamaan dapat ditulis
mt
Contoh : Ruth Yosephine membuka rekening tabungan pada suatu bank dengan menyetor Rp 2.000.000,00 pada suku bunga nominal 15% yang dimajemukan Secara bulanan ( j12 = 15% ). Hitung nilai rekening tabungannya pada akhir 2 tahun berapa bunga majemuk atas tabungan tsb? 46
Jawab: P = 2.000.000 ; i =
0.15 12
= 0.0125 ; n = 12 x 2 = 24
Nilai rekening tabungan pada akhir akhir 2 tahun : S = P [ 1 + i ]n = 2.000.000 [ 1 + 0.0125 ] 24 = Rp 2.694.701,11 Bunga majemuk untuk 2 tahun pertama ( misalkan I i ): I1= nilai rekening tabungan pada akhir 2 tahun dikurangi dengan
tabungan
pokok I1 = 2.694.702,11 – 2.000.000 2.000.000 = Rp 694.701,11
B. Ekuivalensi Suku Bunga Ekuivalensi Suku Bunga Nominal Majemuk dengan Suku Bunga Efektif
Apabila suku bunga j adalah ekuivalen dengan suku bunga j m maka: (1+j) j
m
=
(1+i)
=
( 1 + i ) - 1
m
Dimana j adalah suku bunga efektif tahunan Contoh 6 : Hitung suku bunga efektif yang ekuivalen dengan: a.j2 = 15 % jawab : a.
b. j12 = 18% j
= (1+
0.15 2
c. j365 = 12%
)2 -1
= ( 1 + 0.075 )2 – 1 1 =
1.155625 – 1 1 = 0.155625 = 15%
Ekuivalensi Dua Suku Bunga Nominal Majemuk
Apabila kedua suku bunga tersebut menghasilakan nilai akumulasi yang sama dari sejumlah uang pokok pada akhir suatu periode. Contoh : Tentukan suku bunga nominal majemuk j 4 yang ekuivalen dengan suku bunga nominal majemuk berikut : a. j12 = 12%
b. j3 = 21%
c. j2 = 17%
jawab: a.( 1 + j 4 ) 4 4
=
(1+
0.12 12
)12 47
( 1 + j 4 )
( 1 + 0.01 ) 3
=
4
1 + j 4
=
1.03031
4
j 4
=
0.03031
4
j4
=
0.121204 = 12 %
Ekuivalensi Suku Suku Bunga Nominal Majemuk Majemuk dengan dengan Suku Suku Bunga Sederhana. Sederhana.
Suatu suku bunga majemuk adalah ekuivalen dengan suku bunga tsb menghasilkan nilai akumulasi dari sejumlah uang yang sama pada akhir suatu periode tertentu. Contoh: Tentukan suku bunga sederhana yang ekuivalen dengan : a. J2
= 14%
jika uang diinvestasikan selama 1 tahun
b. J12 = 13.5% jika uang diinvestasikan selama 2 tahun c. J365 = 12 %
jika uang diinvestasikan selama 3 tahun
Contoh 10 : Seseorang mengivestasikan Rp 15.000.000,00 selama 10 tahun dengan suku bunga nominal majemuk j 4 = 16% . Hitung nilai akumulasi investasi tsb dengan menggunakan n: a. Formula bunga majemuk? b. Suku bunga bunga efektif yang ekuivalen dengan j 4 = 16% ? c. Suku bunga majemuk bulanan yang ekuivalen dengan j 4 = 16% ? d. Suku bunga sederhana yang ekuivalen dengan j 4 = 16%? Jawab: a. Hitung nilai akumulasi S dari : P = Rp 15.000.000 ; i = 0,04 ; n = 40 S = P(1 + i) n = 15.000.000 (1 + 0,04) 40 = Rp.72.015.309,41 Rp.72.015.309,41
48
C. Suku Bunga dan Periode Pembayaran Untuk memperoleh suku bunga bunga i dengan cara sbb; sbb; a) Menyelesaikan persamaan S = P (1 – i) i)n untuk suku bunga per periode i atau suku bunga nominal j m secara aljabar b) Menyelesaikan persamaan S = P (1 – i) i)n untuk suku bunga per periode i atau suku bunga nominal j m secara logaritma
Sedangkan untuk memperoleh n dengan metode sbb: a) Metode teoritis yaitu metode yang menyelesaikan persamaan S = P (1 – i) i)n secara logaritma b) Metode praktis, praktis, yaitu metode yang menyelesaikan persamaan S = P (1 – i) i)n dengan menggunakan interpolasi linier
Contoh 18: Berapakah suku bunga nominal j 3 yang membuat sejumlah uang pokok menjadi 3 kali lipat dalam waktu 6 tahun? Jawab: Misal x = jumlah uang pokok P = x ; S = 3x ; n=18 Menghitung suku bunga j 3 secara aljabar S = P (1 + i) n 3x = x(1+ i) 18 (1 + i)18 = 3 1+i = 31/18 diperoleh i = 0,06293507 j3 = 3 i = 0,188805211 ~ 18.88% Menghitung suku bunga j 3 secara logaritma S = P (1 + i) n 3x = x(1+ i) 18 (1 + i)18 = 3 18 log (1 + i) = log 3 diperoleh i = 0,06293507 49
j3 = 3 i = 0,188805211 ~ 18.88%
3.8
SOAL UNTUK LATIHAN
1. Hitung nilai akumulasi dan jumlah bunga majemuk dari a. Rp 1.000.000 pada suku bunga j 2 = 16% selama 6 tahun, b. Rp 2.000.000 pada suku bunga bunga j 3 = 15% selama 5 tahun, c. Rp 3.000.000 pada suku bunga j 4 = 14% selama 4 tahun, d. Rp 4.000.000 pada suku bunga j 12 = 12% selama 3 tahun. 2. Hitung nilai akumulasi investasi i nvestasi sebesar Rp 25.000.000 untuk jangka waktu 5 tahun pada suku bunga nominal 15% yang dimajemukan secara: a. Tahunan,
e. Bulanan,
b. Setengah tahunan,
f. Minggguan,
c. Empat bulanan,
g. Harian
3. Pada tanggal 1 pebruari 2002, Ikobastian memasukkan tabungan sebesar Rp 5.000.000 pada suatu rekening pada suatu bank yang mengenakan suku bunga j 4 = 18%. Hitung nilai rekening tabungannya pada : a.Tanggal 1 pebruari 2004, c. Tanggal 1 Agustus 2006, b. Tanggal 1 Mei 2005, 2005,
d. Tanggal 1 November November 2007.
4. Edofrans ingin mendepositokan uang sebesar Rp 15.000.000 15.000.000 selama 18 bulan pada suatu bank. Untuk memaksimumkan memaksimumkan nilai depositonya pada saat jatuh tempo, tentukan bank mana dari 3 alternatif bank berikut harus dipilih. Alternatif Bank
Suku Bunga Nominal
Frekuensi Pemajemukan Pemajemukan (m)
Bank Arthagraha Arthagrah a
18%
Semesteran
Bank Bonigraha
15%
Bulanan
Bank caniagraha
14%
Kontinu
7. Tentukan suku bunga bunga efektif j yang ekuivalen dengan : a. j2 = 20%,
b. j 3 = 18%,
c. j4 = 16%,
d. j12 = 15%,
8. Tentukan ekuivalensi suku bunga bunga berikut : a. j2 yang ekuivalen dengan j 1 = 16%, , b. j4 yang ekuivalen dengan j 12 = 16%, 50
c. j12 yang ekuivalen dengan j 3 = 16%, 9. Tentukan suku bunga r yang ekuivalen dengan : a. j3 = 18% 18% selama 3 tahun, b. j4 = 16% selama 2 tahun, c. j12 = 15% selama 1 tahun. 10.Suatu lembaga keuangan menawarkan 4 jenis sertifikat investasi yang berbeda suku bunga nominal dan frekuensi pemajemukannya, yaitu j 12 = 24%, j 4 = 23%, j3 =22% dan j 2 = 21%. Alternatif mana yang terbaik? 11.Yosephine menginvestasikan dana sebesar Rp 10.000.000 selama tiga tahun yang menghasilkan suku bunga nominal j 3 = 21%. Hitung nilai akumulasi investasi tersebut dengan menggunakan : a. Formula bunga majemuk, b. Suku bunga bunga efektif yang ekuivalen dengan j 3 = 21%, c. Suku bunga majemuk semesteran yang ekuivalen dengan j 3 = 21%, d. Suku bunga majemuk bulanan yang ekuivalen dengan j 3 = 21%. 12.Pada tanggal 1 Juni 2001, Christanty menyetor tabungan sebesar Rp 5.000.000 pada suatu bank yang mengenakan mengenakan suku bunga nominal j 2 = 18%. Hitung nilai rekening tabungannya pada tanggal 1 Desember 2004 dengan menggunakan : a. Formula bunga majemuk, b. Suku bunga bunga majemuk bulanan yang ekuivalen dengan dengan j 2 = 18%, c. Suku bunga majemuk tiga bulanan yang ekuivalen dengan j 2 = 18%, d. Suku bunga sederhana yang ekuivalen dengan j 2= 18%. 13.Hitung nilai diskonto dan diskonto majemuk dari uang sebesa r Rp 8.000.000 pada a. Suku bunga j 365 = 12% selama 3 tahun, b. Suku bunga bunga j 12 = 15% selama 4 tahun, c. Suku bunga j 4 = 16% selama 5 tahun. 14.Dalam pembelian suatu barang, seseorang diberi alternatif apakah membayar tunai sebesar Rp 20.000.000 atau akan mengangsurnya dengan cara membayar uang muka sebesar Rp 10.000.000 dan angsuran sebesar Rp 4.000.000 per tahun selama 4 tahun. Jika Ji ka uang dihargai pada suku bunga j 1 16%, tentukan alternatif mana yang lebih murah.
51
52
