modul komputasi DIII TI.pdf

DIII TEKNIK INFORMATIKA

KOMPUTASI MATEMATIKA MATHEMATICA DAN MATLAB Hartatik,M.Si dan Tim

KOMPUTASI MATEMATIKA


BAB I PENGENALAN PENGENALAN PAKET PROGRAM PROGRAM KOMPUTASI MATHEMATIKA MATHEMATIKA

# TUJUAN# KEBUTUHAN APLIKASI :mathematica dan matlab

a. Diharapkan mahasiswa, mahasiswa, dapat mengoperasikan,memilih paket program komputasi matematika yang sesuai (mathematica dan matlab) dengan baik b. Dapat memberikan informasi berdasarkan permasalahan yang ada, tidak hanya output berupa angka

data-- - kom putasi - - informasi[not num ber] 1.1 MENGENAL MATHEMATICA mathematica merupakan suatu sistem aljabar komputer (CAS,Computer Algebra System)

yang mengintegrasikan kemampuan komputasi(simbolik,numerik),visualisasi(grafik),bahasa pemrograman dan pengolahan kata (word prosessing) ke dalam suatu lingkungan yang mudah digunakan. sistem matematica terdiri atas 2 bagian :

1. front end : berupa interface dengan lingkungan kerjanya yang disebut notebook. 2. kernel: komputasi matematiknya dalam bab ini akan dibahas tentang :

1. mengenal lingkungan kerja 2. aturan dasar syntak mathematica 3. kalkulasi numerik 2

4. komputasi simbolik 5. list dan matrik DIII TEKNIK INFORMATIKA INFORMATIKA | FMIPA UNS



BAB I PENGENALAN PENGENALAN PAKET PROGRAM PROGRAM KOMPUTASI MATHEMATIKA MATHEMATIKA

# TUJUAN# KEBUTUHAN APLIKASI :mathematica dan matlab

a. Diharapkan mahasiswa, mahasiswa, dapat mengoperasikan,memilih paket program komputasi matematika yang sesuai (mathematica dan matlab) dengan baik b. Dapat memberikan informasi berdasarkan permasalahan yang ada, tidak hanya output berupa angka

data-- - kom putasi - - informasi[not num ber] 1.1 MENGENAL MATHEMATICA mathematica merupakan suatu sistem aljabar komputer (CAS,Computer Algebra System)

yang mengintegrasikan kemampuan komputasi(simbolik,numerik),visualisasi(grafik),bahasa pemrograman dan pengolahan kata (word prosessing) ke dalam suatu lingkungan yang mudah digunakan. sistem matematica terdiri atas 2 bagian :

1. front end : berupa interface dengan lingkungan kerjanya yang disebut notebook. 2. kernel: komputasi matematiknya dalam bab ini akan dibahas tentang :

1. mengenal lingkungan kerja 2. aturan dasar syntak mathematica 3. kalkulasi numerik 2

4. komputasi simbolik 5. list dan matrik DIII TEKNIK INFORMATIKA INFORMATIKA | FMIPA UNS



1.2 Memulai Program Komputasi (Mathematica dan Matlab) 

Cara memulai mathematica:

1. double klik ikon front front end mathematica mathematica dan dan kernel akan secara otomatis akan bekerja pada background window mathematica. 2. pada lingkungan kerja k erja windows mathematica terlihat t erlihat bagian notebook yang terpisah dari baris menu.

3. bagian sel yang dicetak tebal merupakan "input", hasilnya ditampilkan pada sel "output". 4. nomor input dan output dinyatakan dengan ln[n] dan out[n], dengan n adalah bilangan bulat positif

5. kedua lambang "in dan out" o ut" disembunyikan melalui kernel --> show In/Out Names 6. Mathematica juga menyediakan banyak pallete yang memudahkan dalam penulisan operasi operasi, yaitu cukup hanya mengklik tombol tombol yang diperlukan. Pallete tersebut dapat dimunculkan dengan mengklik file--pallete file--pallete 7. jika memerlukan bantuan : help-->help-->Browser

DIII TEKNIK INFORMATIKA INFORMATIKA | FMIPA UNS


3


ada beberapa pilihan dalam help browser yaitu : built in fucntion (menjelaskan fungsi buil in mathematica serta contoh penggunaannya), add-ons (menjelaskan fungsi tambahan yang digunakan dalam kalkulus, aljabar linear dsb. 

Di dalam MatLab :

Setelah proses loading usai, akan muncul command prompt di dalam command window:

>>

Dari prompt inilah kita bisa mengetikkan berbagai command M ATLAB, seperti halnya command prompt di dalam DOS. Sebagai permulaan, mari kita ketikkan command date : >> date

setelah menekan Enter, akan muncul ans = 05-Mar-2013

4

DIII TEKNIK INFORMATIKA | FMIPA UNS



1.3 Bekerja dengan mat hematica 1.3.1 aturan dasar synt aks mathemati ca.

1. nama nama fungsi built in mathematica dimulai dengan huruf besar, tanpa spasi dan tanpa underscore"_". Jika suatu fungsi terdiri dari 2 kata atau lebih, huruf pertama masing masing kata menggunakan huruf kapital. dapat pula didefinisikan fungsi baru yang sebaiknya dimulai dengan huruf kecil untuk membedakan dengan fungsi built in. contoh fungsi built-in : Log, ParametricPlot contoh fungsi baru

: MySqrt, myStandartDeviation

2. perintah matemathica bersifat sensitif , sineSINEsin 3. tanda kurung siku [...] menyatakan argumen fungsi, (..) menyatakan pengelompokan operasi.Kurung kurawal {..} menyatakan list, domain, atau iterator.kurung siku ganda [[...]] menyatakan indeks suatu list. argumen fungsi

: Sin[x], f[x]

pengelompokan

: (x-1)^10-Log[(2x+3)/(x+4)]

list

: List1={1,3,5,7}

domain

: Plot[Sin[x]/x,{x,-10,10}]

iterator

: Sum[i^3, {i, 1,n}]

indeks

: List1[[3]], menghasilkan "5"

Berikut ilustrasi penggunaannya: Fungsi Love… 4. operator aritmatik:

^ *atau spasi / + -

: : : : ;

pangkat kali bagi tambah kurang

5




keterangan:

a. penambahan atau pengurangan : memiliki preseden lebih rendah dari pada perkalian yang juga memiliki preseden lebih rendah dari pangkat b. perkalian yang diawali simbol selain angka harus menggunakan notasi : spasi atau * c. perkalian angka dan simbul dapat menggunakan simbil spasi, * atau tanpa spasi contoh1: benar : c u, c*u, 4 u, 4u, 4*u, 4(u) [praktekkan] (X) salah : cu, u2

1.3.2 memasukkan dan mengevaluasi input

setelah menuliskan perintah atau operasi pada sel, tekan shift dan enter lalu lepas bersama sama. cara yang lebih ringkas adalah dengan tekan enter di bagian numerik. karena didalam sel notebook , enter hanya berfungsi sebagai pemindah kursor. Contoh 2:      

2+3 4! 2+3*4 2*3^2 Sin[Pi/3] Sin[Pi/2]

BAGAIMANA HASILNYA? COBA ANDA JELASKAN

salah penulisan: Sin [pi/3] p Si n 3 sin[Pi/3]

 

General : : spel l 1 :

   

si n

Possi bl e

spel l i ng

err or : new s



6

3 Sin [pi/3] p Si n 3 DIII TEKNIK INFORMATIKA | FMIPA UNS



Latihan1: cari penyelesaian, untuk x=pi: a. cos 5x b. tan 2x c. cos 5x+tan 2x

MENGGAMBAR GRAFIK:

 

Plot[Sin[x],{x,0,Pi}]

Plot[Sin[x],{x,0,2Pi}];

1

0. 5 0. 8 1

0. 6 0. 4

-0.5

0. 2

-1

0. 5

1

1. 5

2

2. 5

2

3

4

5

6

3

7




Plot[Sin[3x],{x,0,2Pi}];

Plot[Sin[x],{x,0,2Pi}];

1

1

0. 5

0. 5

1

2

3

4

5

1

6

2

3

4

5

6

-0.5

-0.5

-1

-1

Unt uk beber apa f ungsi mat emat i ka bi sa di t ul i skan dal am sat u per i nt ah s aj a, yai t u:  Sin 2 , Sin  3 , Sin  4 , Sin 5 , Sin  6 , Sin 12 

   1,

3 , 2

1

1 , 2 2

      1 2

5

1 5 , , 2



  

1 2

3

2

1.3.3 mengacu ke hasil sebelumnya

Mathematica mampu mengingat semua input dan output pada suatu sesi.untuk mengacu ke hasil sebelumnya, dapat digunakan tanda persen (%). tanda persen tunggal mengacu ke output trakhir, tanda %% mengacu ke output kedua terakhir, out[n] : mengacu ke out[ke-n]. Sebagai contoh: Misalkan bahwa contoh 3, berikut ini adalah outpt terakhir,  Sin 2 , Sin  3 , Sin  4 , Sin 5 , Sin  6 , Sin 12 

   1,

3 , 2

1

1 , 2 2

      1 2

5

1 5 , , 2



  

1 2

3

2

8




Maka apabila kita ketikkan % maka akan terlihat nilai berikut: %

         3 , 2

1,

1

1 , 2 2

1 2

5

1 5 , , 2



  

1 2

3

2

LAKUKAN :



%3



%%%



%%%%%



%8

1.3.4 Bekerja di dalam notebook

Mathematica notebook dapat digunakan sebagai lembar kerja untuk memasukkan input komputasi maupun pengolah kata. sebuah notebook memiliki grup grup sel yang berdiri sendiri maupun sebuah hirarki. sebuah grup sel input mislanya, merupakan tempat masukan komputasi dan hasilnya muncul pada grup sel output. Sebuah dokumen dapat pula diorganisasikan ke dalam title, subtitle, subsubtitle, section, subsection, sub subsection.

keseluruhan grup dapat dipilih melalui menu : format--> style contoh 4:

nama mahasiswa

TEKNIK INFORMATIKA FMIPA UNS

9

Merupakan salah satu program unggulan di teknik informatika UNS adalah program studi TI, di mana lulusannya diharapkan bisa memenuhi keinginan pasar. DIII TEKNIK INFORMATIKA | FMIPA UNS



contoh 5: I.KOMPUTASI MATEMATIKA

1.1 pendahuluan mempelajari tentang aturan penulisan

1.1.3 BEBERAPA FUNGSI MATEMATIKA Mathematica memiliki fungsi yang sangat banyak . gambar 1.7 adalah beberapa fungsi di dapal

matematika

Two important points about functions in Mathematica.  Sangatlah penting untuk selalu ingat bahwa dalam mathematica setiap instruksi harus di dalam bracket atau [ ]  Parentheses in Mathematica are used only to indicate the grouping of terms, and never to give function arguments. contoh 6: Log[8,4]

2 3 Log[8.4] 2. 12823

10




LAKUKAN JUGA UNTUK LATIHAN DI BAWAH INI 4 

Sqrt[16]  Sqrt[5]  Sqrt[5] //N

The presence of an explicit decimal point tells Mathematica to give an approximate numerical |HITUNG nilai 3029...1. Computing factorials like this can give you very large numbers. You should be able to calculate up to at least 2000! in a short time ( Wowww…) 30!

265252859812191058636308480000000

Nilai ini bisa dituliskan dalam bentuk yang lebih simple/numeric. 30! //N 2. 65253 10 N[30!] 2. 65253 10

Beber apa ni l ai pent i ng dal am mat emat i ka:

Contoh penggunaan : Sin[20 Degree] //N

1.4 PENULISAN EKSPRESI 1.4.1 SIMBUL

a.Simbul dituliskan dengan: guruf, rangkaian huruf-angka, karakter, lambang tertentu b. Semua simbul di awali dengan huruf besar atau diawali dengan $ c. contoh :

simbul ( abg,u5ma, ca, Sin, Log, Mod)

11

bukan simbul (4u)




1.4.2 BILANGAN

Secara umum ada 4 macam bilangan : a. integer b. Real c. Rasional d. Complex Contoh 7 :

 

Head  1, 1.0,

1 , 1  2



{Integer,Real,Rational,Complex}

 

Head  1, 1.0,

1 , 1  ; 2



Tanpa perintah tertentu pula, matematika akan secara otomatis mengevaluasi ekspresi bilangan bulat, rasional, dan kompleks secara eksak. Contoh 8:  (3/4)(1/5) 3 

20 3 3

 

NUMERIK"N"

evaluasi hasil secara numerik, yang merupakan hampiran dari ekspresi tersebut. Contoh 9:

 3 1.73205  3  N

N

1.73205

12

1.4.3 STRINGS

Karakter String adalah karakter yang ditampilkan dengan tanda :" " DIII TEKNIK INFORMATIKA | FMIPA UNS



Contoh 10:

1. apabila tanda "" tidak ditampilkan dalam tampilan "Praktikum Komputasi Matematika"

Praktikum Komputasi Matematika 2. Apabila "" ditampilkan dalam rangkaian kalimat "\"Praktikum Komputasi Matematika\""

"Praktikum Komputasi Matematika"

Kustomisasi text pada notebook: Colors[%,RGBColor[1,0,0]] 1.4.4 PENGISIAN EKSPRESI

a  4; b  a  4; b  3a+b

a

a

1.4.5 PENGGABUNGAN EKSPRESI (Pembuatan Variabel)

dalam penggabungan ekspresi bisa dituliskan dengan kebawah dalam satu group atau kesamping dengan pemisahan tanda kutip. Contoh 11:

13




1.4.6 EVALUASI EKSPRESI

ekspresi dievaluasi bisa juga dnegan menggunakan : "/." Contoh: 12 ekspresix2  x  1, ingindievaluasidenganx  2

1.5 OPERATOR 1.5.1 operator ARITMATIKA

14




1.5.6 Relational and Logical Operators

contoh: 5<7&&34

Tr ue COBA LAKUK AN UNTUK : 15




1.2. MATLAB 1.2.1. Mengenal Matlab

Matlab adalah bahasa pemrograman level tinggi yang dikhususkan untuk komputasi teknis. Bahasa ini mengintegrasikan kemampuan komputasi, visualisasi dan pemrograman dalam sebuah lingkungan yang tunggal dan mudah digunakan. Matlab memberikan sistem interaktif yang menggunakan konsep array/matrik sebagai standar variabel elemennya tanpa membutuhkan pen-deklarasi-an array seperti pada bahasa lainnya. Dalam lingkungan pendidikan, Matlab menjadi alat pemrograman standar bidang Matematika. 1.2.2. Bekerja dengan Matlab

Dalam melakukan pekerjaan pemrograman menggunakan bahasa Matlab, anda dapat menggunakan salah satu cara yaitu : Cara #1 :

Dengan menggunakan window Command Window. Window ini berfungsi sebagai penerima perintah dari pemakai untuk menjalankan seluruh fungsi-fungsi yang disediakan oleh Matlab.Misalnya : Untuk membuat program, perintah-perintah diketikkan pada prompt Matlab dalam command window seperti yang ditunjukkan pada Gambar (1.1).

16 Gambar 1.1 Command Window pada Matlab




Gambar 1.2 Cara Penulisan pada Command Window

Cara #2 :

Cara selanjutnya adalah dengan menggunakan File M. Kelebihan cara ini dibanding cara sebelumnya adalah kemudahan untuk mengevaluasi perintah secara keseluruhan. Gambar (1.2) menunjukkan contoh pembuatan program dengan menggunakan file M.

17 Gambar 1.3 Matlab Editor




1.2.3. Sintak dasar Matlab

Beberapa hal penting yang harus diperhatikan dalam penulisan sintak adalah : 1.1.Penamaan variabel bersifat case sensitive 1.2.Panjang nama variabel tidak dapat melebihi 31 karakter 1.3.Penamaan variabel harus selalu diawali dengan huruf.

1. Variabel

Pada Matlab, tipe data yang dikenal hanya ada dua yaitu Numeric dan String. Ada beberapa cara penulisan variabel pada Matlab yang dapat digunakan sesuai jenis data yang ingin diolah, yaitu : 1. Data Numerik Tunggal : 1.1.1. Cara penulisan

Gambar 1.4. Tampilan penulisan variable data numeric tunggal

2. Data Numerik Berdimensi Banyak (Array/Matrik) 1.1.1.

Cara penulisan

18




Gambar 1.5. Tampilan penulisan variable data numeric berdimensi banyak

1.1.2. Cara pengaksesan

Gambar 1.6. Tampilan pengaksesan variable data numeric berdimensi banyak



19


Gambar 1.7. Tampilan pengaksesan elemen baris tertentu

Task :

1.1.2.1.

Bagaimana pengaksesan dengan kolom tertentu?? Let’s try!

1.1.2.2.

Bagaimana mengakses untuk baris dan kolom sekaligus?

3. Data String/Teks : 1.1.1. Cara penulisan

20

Gambar 1.8. Tampilan penulisan Data String/Teks.




2. Operasi Matematika

Operasi matematika dalam pemrograman Matlab sangat sederhana, sama halnya dengan memakai kalkulator biasa. Berikut adalah tabel operator matematika yang digunakan dalam pemrograman Matlab.

Gambar 1.9. Contoh operasi matematika

21

Gambar 1.10. Contoh operasi matematika pada matriks DIII TEKNIK INFORMATIKA | FMIPA UNS



3. Operasi Bilangan Kompleks Kelebihan lain dari pemrograman Matlab adalah kemampuannya dalam mengolah data bilangan kompleks tanpa membutuhkan deklarasi variabel khusus untuk itu. Berikut adalah cara mendeklarasikan variabel untuk bilangan kompleks.

Gambar 1.11. Contoh operasi bilangan kompleks

4. Fungsi Umum Matematika Tabel () menunjukkan fungsi-fungsi matematika umum yang sering digunakan. .

22




soal latih an awal:

1. tuliskan Text sesuai tulisan dibawah ini:

KOMPUTASI MATHEMATIKA Mata Kuliah Komputasi Matematika menggunakan "Software Mathematica versi 5". Dimana dengan software ini saya akan lebih bisa memahami mata kuliah sebelumnya serta mata Kuliah yang berhubungan dengan Mk ini. Dibuat oleh : Nama mahasiswa dan NIM 2. BUATKAN PLOT(dengan matematica dan matlab) :

a. sin 2x, untuk x dari -π sampai π b. sin x, untuk x dari -π sampai π 3. gunakan operator logika untuk soal berikut, dan selidiki kebenarannya

a. 4  5  1dan4  22 b .10  5 atau5.6  40 4. Definisikan fungsi berikut:

   x3  2 x2  10, tentukan f 5 dan f 4

f x

23


Komputasi Matematika Komputasi Kalkulus Hartatik,M.Si dan Tim

BAB II KALKULUS

Tujuan Setelah mengikuti praktikum ini, diharapkan mahasiswa dapat melakukan operasioperasi hitung yang berkaitan dengan kalkulus dengan menggunakan paket program matematica dan matlab dengan baik, dan dapat mengembangkan untuk operasi hitung yang lebih kompleks.

kompetensi : 2.1Fungsi 2.2Grafikfungsi 2.3Limit 2.4Kekontinuan 2.5TurunanFungsi 2.6Integral 2.7ContohAplikasi 2.8LatianSoal


2.1 Fungsi 2.1.1 Pendefinisian Fungsi : = (SetDelay)

Lambang " : = " ( SetDelay) menyatakan bahwa suku di sebelah kanannya tidak dievalusi saat pendefini-sian, tetapi baru dievaluasi setiap saat suku di sebelah kirinya (fungsi f) dipanggil.

Contoh: Fungsi f akan menghasilkan pangkat tiga dari argumennya

   

f f f f

x_ : x3 2 a 1

= ( Set )

Contoh:

  

f x_ f 2 f a

2

 x  2 x

Coba fikirkan apa beda penggunaan SetDelay dan Set ? Clear

Seringkali definisi fungsi atau ekspresi mengalami modifikasi. Nilai maupun definisi fungsi atau ekspresi sebelumnya dapat dihapus dari memori dengan menggunakan perintah Clear.


Contoh: Perintah Clear[ f, x ] berikut akan menghapus nilai maupun definisi f dan x yang mungkin sudah pernah didefinisikan sebelumnya. Clear[f,x] f[x_]:=2x+3 f[a+b] f[1] / ; (Condition)

Simbul " / ; " dapat digunakan untuk menyatakan domain fungsi. Contoh: Berikut ini pendefinisian suatu fungsi susun beserta grafiknya. f[x_]:=x/;0x<1 f[x_]:=1/;1x<2 f[x_]:=3-x/;2x3 Plot[f[x],{x,0,3}]

2.1.2 Fungsi Matematik

Berikut ini diberikan beberapa fungsi matematik yang penting.

Sqrt [ x ]

: akar kuadrat (

)

Exp [ x ]

: eksponensial (

Log [ x ]

: Logaritma asli (

Log [ b, x ]

: Logaritma basis b (

) x) x)


Sin [ x ], Cos[ x ], Tan [ x ] : fungsi-fungsi trigonometri trigonometri ( argumen dalam dal am radian) Round [ x ]

: bilangan bulat terdekat ke x

Max [ x, y, ... ] , Min [ x, y, ... ] : maksimum / minimum dari x, y, ... Floor [ x ]

: bilangan bulat terbesar yang  x

Ceiling [ x ]

: bilangan bulat terkecil yang  x

2.1.3 Penyelesaian Persamaan Mathematica menggunakan

tanda " ==" ( Equal) pada persamaan yang akan dicari

penyelesaiannya. Contoh-contoh: Solve[x^29,x] Solve[Sin[x]1,x] NSolve[x^210,x] NSolve[x^2+x-20,x]

Coba fikirkan apa perbedaan penggunaan Solve dan NSolve ?

Solve juga dapat digunakan untuk menentukan solusi persamaan simultan. Perhatikan dua cara berikut: Solve[{x1+2y,y3+2x},{x,y}] pers={x1+2y,y3+2x};Solve[pers,{x,y}]

LATIHAN: Kerjakan Soal Latihan 2.8 nomor 1 s/d 3........ 3....... . (3 POIN)


2.2 Grafik Fungsi 2.2.1 Grafik Dua Dimensi 2.2.1.1 Plot

Cara termudah untuk menampilkan grafik fungsi dalam dua dimensi adalah dengan perintah Plot. Perintah berikut akan menghasilkan grafik fungsi f dengan domain ( )

 

,



Plot f x , x, xmin , xmax

Contoh: Grafik fungsi f(x) =

 

dengan domain -1x1.



Plot x2, x, 1, 1

Grafik 2 fungsi pada domain yang sama. Plot[{Sin[x],Cos[x]},{x,-,}]

2.2.1.2 Opsi dan Gaya Tampilan Opsi Grafik

Tampilan grafik dapat diatur sesuai dengan yang diinginkan, dengan memberikan opsi tertentu. tertentu. Setiap opsi opsi dituliskan dalam sintaks: Nama Option  nilai

Jika terdapat lebih dari satu opsi, masing-masing opsi dipisahkan dengan tanda koma.


Contoh: Grafik f(x) = dengan domain -1x1 berikut diberi label, garis grid dengan bingkai, dan juga interval tampilan x  (-2, 2) dan y  (-1, 2). Untuk keempat keperluan tersebut, berturut-turut dinyatakan dengan opsi PlotLabel, GridLines, Frame,dan PlotRange.

 



    

Plot x2, x,  1, 1 , PlotLabel  "Grafik f x x2", GridLines  Automatic, Frame  True, PlotRange 

2,

2 ,

1,

2

Gaya Tampilan Grafik

Opsi grafik yang digunakan untuk mengatur gaya tampilan grafik adalah PlotStyle. Dengan opsi ini, dapat diatur mengenai warna ( RGBColor [ . . . ]), jenis garis ( Dashing[ . . . ]), ketebalan garis ( Thickness[ . . . ]), dll.

Contoh: Grafik sin(x) ditampilkan dengan ketebalan garis 1% dari lebar grafik, sedangkan grafik cos(x) ditampilkan dengan garis terputus-putus dan panjang 2% dari lebar grafik. Kedua grafik tersebut ditampilkan pada domain -3  x  3. Plot[{Sin[x],Cos[x]},{x,3,3},PlotStyle{Thickness[0.01], Dashing[{0.02}]}];

Ada beberapa cara untuk memberikan efek warna. Perintah RGBColor[ r , g , b] menyatakan warna yang tersusun dari r , g, dan b persen warna merah, hijau, dan biru. Misalnya: RGBColor[1,0,0] adalah warna merah, sedangkan RGBColor[1,0,1] adalah warna


ungu (campuran warna merah dan biru). Parameter r, g , dan b harus bernilai mulai dari 0 hingga 1.

Contoh: Grafik

,-

, dan x digambarkan masing-masing dengan warna ungu, merah, dan hijau.

Plot[{x^2,x^2,x},{x,3,3},PlotStyle{RGBColor[1,0,1],RGBColor[1,0,0],RGBColor[0,1,0 ]}];

2.2.2 Grafik Tiga Dimensi

Perintah untuk menampilkan grafik permukaan pada ruang berdimensi tiga menggunakan Plot3D. Argumennya berupa fungsi dua variabel beserta masing-masing domainnya. Contoh: Berikut ini ditampilkan grafik fungsi z = sin(

) dengan domain -  x   dan -  y

 , dan meberikan label x , y, dan z pada masing-masing sumbunya.

       

Plot3D Sin









x2  y2 , x,  ,  , y,  ,  , AxesLabel  "x", "y", "z"

LATIHAN: Kerjakan Soal Latihan 2.8 no. 4...................(1 POIN)

2.3 Limit 2.3.1 Limit Fungsi

Untuk menentukan nilai limit suatu fungsi f jika x mendekati nilai tertentu, misal , Mathematica menyediakan perintah dengan sintaks:


Limit [ f , x 

]

Contoh: Berikut ini plot fungsi

yang diberi warna merah dengan domain -2  x  2,

kemudian ditentukan nilai limit fungsi tersebut untuk x  0 dan x  1 Clear[f,x]













Plot x2  2 x  3, x, 2, 2 , PlotStyle  RGBColor 1, 0, 0

 

 

Limit x2  2 x  3, x  0 Limit x2  2 x  3, x  1

Jika fungsi f didefinisikan lebih dahulu, langkahnya sebagai berikut:



f x : x2  2 x  3

Limit[f[x],x0] Limit[f[x],x1]

2.3.2 Limit Kiri dan Limit Kanan

Untuk menentukan nilai limit suatu fungsi f jika x mendekati digunakan sintaks: Limit [ f , x 

Jika x mendekati

0

, Direction  1]

dari arah atas (kanan), digunakan sintaks:

Limit [ f , x 

0

, Direction  -1]

0

dari arah bawah (kiri),


Contoh: Fungsi f(x) = 1/x ditentukan nilai limitnya untuk x mendekati

0

= 0 dari kiri maupun

kanan. Limit[1/x,x0,Direction1] Limit[1/x,x0,Direction-1]

Jika di cek dengan melihat grafiknya, terlihat sebagai berikut: Plot[1/x,{x,-3,3}]

Terlihat nilai limit kiri tidak sama dengan nilai limit kanan, menurut kuliah teori, apa kesimpulannya ? Sekarang , jika fungsi f(x) =

2

x



2 x 3

ditentukan limit kiri/ kanannya untuk x

mendekati 1, sebagai berikut:

 

 

Limit x2  2 x  3, x  1, Direction  1

Limit x2  2 x  3, x  1, Direction  1

Terlihat limit kiri = limit kanan , di dalam kuliah teori, diperoleh kesimpulan apa ?

2.4 Kekontinuan

Dalam kehidupan sehari-hari, istilah kontinu digunakan untuk menjelaskan suatu proses yang berjalan tanpa terputus oleh gangguan. Dalam matematika istilah kontinu mempunyai arti yang serupa dan didefinisikan sebagai berikut.

Definisi: Kekontinuan fungsi di satu titik.


Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a. Fungsi f dikatakan kontinu di a jika

f(x) = f(a).

Catatan: Jika fungsi f kontinu di a, maka grafik fungsi f merupakan suatu kurva yang tidak terputus di sekitar a.

Contoh: Diketahui f(x) = | x+2 | x. Berikut ini diselidiki kekontinuan fungsi f di x = -2. Clear[f] f[x_]:=Abs[x+2] x f[-2]

Diperoleh f (-2) = 0. Selanjutnya diselidiki nilai limitnya dengan melihat nilai limit kiri dan limit kanannya. Limit[f[x],x-2,Direction1] Limit[f[x],x-2,Direction-1]

Terlihat nilai limit kiri = nilai limit kanan = 0, sehingga disimpulkan hasil-hasil di atas, diperoleh

lim

x 2

lim

x 2

f(x) = 0. Dari

f(x) = f(-2), sehingga menurut definisi di atas, f kontinu

di x = -2. Terlihat pada grafik, fungsi f tersambung di sekitar x = -2. Plot[f[x],{x,-5,3}]

Konsep kekontinuan di satu titik dapatdiperluas menjadi kekontinuan fungsi pada selang.


Definisi: Kekontinuan pada selang.

1. Fungsi f dikatakan kontinu pada selang terbuka (a, b) jika fungsi f kontinu di setiap titik x  (a, b). 2. Fungsi f dikatakan kontinu pada selang tertutup [a, b] jika fungsi f kontinu pada (a, b) dan

f(x) = f(a) serta lim x

b



Contoh: Diketahui fungsi f(x) =

f(x) = f(b).

           x 

2

x



1

. Berikut ini ditentukan nilai-nilai x sehingga

fungsi f kontinu.

Daerah definisi fungsi f, yaitu D f , adalah himpunan semua nilai x sehingga f(x0 bernilai real, yang dipenuhi jika x +

x

-10

. Dengan menggunakan Mathematica , dipanggil dulu paket program InequalitySolve pada folder Algebra.

<


InequalitySolve x 

2 x



 1  0, x

Diperoleh D f = (0,). Selanjutnya dilihat nilai f(a) untuk setiap a  (0,).

           

Clear f

f x_ :

f[a]

x

2 x

1


Kemudian ditentukan nilai limit fungsi f(x) untuk xa. Limit[f[x],xa] lim x

          f(x) = = f(a). Jadi f kontinu pada selang (0, ). 1



2 a



a

a Diperoleh Dari grafik terlihat fungsi f tersambung (kontinu) pada selang (0, ). 

Plot[f[x],{x,0,10}]

LATIHAN : Kerjakan Soal Latihan 2.8 no. 5b, 6, 7a dan 7b......................( 4 POIN)

2.5 Turunan Fungsi

Untuk menentukan turunan suatu fungsi,

Mathematica

menyediakan perintah

dengan D Contoh: 2 Berikut ini ditentukan turunan fungsi f(x) = x + 2x - 1 terhadap variabel x





D x2  2 x  1, x

Cara lain menentukan turunan dapat menggunakan tanda '. Untuk cara ini, fungsi f perlu didefinisikan lebih dahulu. Clear[f,x]



f x_ : x2  2 x  1

f'[x]

Dengan menggunakan perintah D, sebagai berikut: D[f[x],x]

Cara lain untuk menentukan turunan fungsi, dengan mengklik simbul x

  2x 1

 

pada Palletes


t





t2  2 t

Untuk menentukan turunan tingkat ke-n , digunakan perintah dengan sintaks : D [ f , {x , n}] Clear[f,x]



f x_ : x3  2 x2  x

D[f[x],x] D[f[x],{x,2}]

2.6 Integral Fungsi 2.6.1 Integral Tak Tentu

Untuk menentukan nilai integral tak tentu suatu fungsi f , menyediakan perintah dengan sintaks: Integrate [ f , x ]

Selain itu, juga dapat mengklik simbul  pada Palletes. Contoh:





Integrate x2  2 x  1, x

 



x2  2 x 1

 x

Jika fungsi f didefinisikan lebih dahulu, langkahnya sebagai berikut:



f x_ : x2  2 x 1

Integrate[f[x],x] f[x]x 2.6.2 Integral Tertentu

Mathematica


Untuk menentukan nilai integral tertentu suatu fungsi f terhadap variabel x , dengan batas bawah integral adalah

xmin dan

batas atas integral adalah

xmax ,

digunakan

sintaks:

Integrate [ f , {x , xmin , xmax }]







Selain itu juga dapat dengan cara mengklik simbul







yang ada pada Palletes.



Integrate 3 x2  2 x, x, 0, 1

  1

0



3x2  2 x

 x

LATIHAN : Kerjakan Soal Latihan 2.8 no. 8a, 9a, 9b.......................(3 POIN)

2.7 Contoh Aplikasi 2.7.1 Contoh Aplikasi Turunan

Keuntungan hasil penjualan komputer suatu pabrik (dalam ribu $) untuk waktu tertentu t (tahun) dapat disajikan sebagai suatu fungsi f dengan f(t) =







t3  9 2 t2  23 4 t  15 8

. Akan ditentukan waktu kapan hasil penjualan mencapai

maksimum atau minimum serta berapa nilai keuntungan tersebut. Kemudian hasilnya di cek dengan menunjukkan grafik fungsinya.

Langkah-langkah penyelesaiannya sebagai berikut: Didefinisikan fungsi f terlebih dahulu Clear[f,t]









f t_ : t3  9 2 t2  23 4 t  15 8


Selanjutnya ditentukan turunan pertama dari f trn1=D[f[t],t]

Untuk menentukan titik-titik ekstrimnya (titik maksimum/ minimum) dilakukan dengan cara menyelesaikan turunan pertama yang sama dengan nol NSolve[trn10,t]

Diperoleh titik ekstrim di t = 0.92265 dan t = 2.07735. Selanjutnya untuk menentukan apakah titik-titik ekstrim tersebut merupakan titik maksimum atau minimum, ditentukan lebih dahulu turunan kedua dari fungsi f.

Kemudian titik-titik ekstrim tersebut

disubstitusikan ke fungsi yang merupakan turunan kedua f. Jika diperoleh nilai yang positif, maka berarti titik ekstrim tersebut merupakan titik minimum.

Tetapi jika nilainya negatif, maka berarti titik ekstrim tersebut merupakan titik maksimum. trn2=D[f[t],{t,2}] 6t-9/.t0.92265

Karena pada t = 0.92265 nilai turunan keduanya adalah -3.4641 (yaitu negatif), maka titik t = 0.92265 adalah titik maksimum. Jadi keuntungan hasil penjualan mencapai maksimum pada waktu t = 0.92265 (tahun). Hasil keuntungan tersebut adalah nilai fungsi pada titik tersebut, ditentukan sebagai berikut: f[0.92265]

Jadi hasil keuntungannya adalah 0.3849 ribu $. 6t-9/.t2.07735


Karena pada t = 2.07735 nilai turunan keduanya adalah 3.4641 (yaitu positif), maka titik t = 2.07735 adalah titik minimum. Jadi keuntungan hasil penjualan mencapai minimum pada waktu t = 2.07735 (tahun). Hasil keuntungannya adalah: f[2.07735]

Jadi perusahaan mengalami kerugian sebesar 0.3849 ribu $ pada saat t = 2.07735 (tahun) Selanjutnya di cek dengan melihat grafiknya. Plot[f[t],{t,0,3}]

2.7.2 Contoh Aplikasi Integral

Salah satu aplikasi integral adalah untuk menghitung luas daerah yang dibatasi dua grafik fungsi. Pada contoh ini akan ditentukan luas daerah yang terletak diantara grafik fungsi y1 = - 2 dan y2 = - +6 pada domain fungsi -2  x  3. Langkah-langkahnya sebagai berikut:

Diplot lebih dahulu grafik fungsi y1=

-2 (dengan warna merah) , dan y2 = - +6 (dengan

warna biru). Dengan perintah FilledPlot, daerah antara grafik fungsi y1 dan fungsi y2 akan diwarnai dengan warna tertentu.Untuk menggunakan perintah tersebut, perlu dipanggil lebih dahulu paket FilledPlot pada folder Graphics.  Graphics`FilledPlot`

 





FilledPlot x2  2, x2  6 , x, 2, 3 ,









PlotStyle  RGBColor 1, 0, 0 , RGBColor 0, 0, 1


Selanjutnya ditentukan titik potong kedua grafik tersebut.





Solve x2  2  x2  6, x

Ternyata titik potong kedua grafik pada x = -2 dan x = 2. Untuk menentukan luas daerah antara kedua grafik pada -2  x  3 , menggunakan rumus (dari kuliah teori) :

 

Luas daerah =



2

x





   +    

6



x



2 dx

2

x



2

x

 





6 dx

Dengan Mathematica , dilakukan sebagai berikut:



Integrate

2

   

x  6 



x2  2 , x, 2, 2

  

 Integrate

x2  2



2

 

x  6



, x, 2, 3

Jadi luas daerah yang dibatasi oleh grafik y1 dan y2 pada domain -2  x  3 adalah 26 (satuan luas).

LATIHAN: Kerjakan Soal latihan 2.8 no. 11 .........(1 POIN)

2.1. Fungsi

2.2. Grafik Fungsi

Pada tingkatan pemodelan matematika, teknik visualisasi data sangat penting untuk dapat mengetahui karakteristik suatu data. Matlab menyediakan teknik visualisasi data hingga tiga dimensi. Berikut diberikan contoh teknik visualisasi data menggunakan Matlab.


2.2.1. Grafik Fungsi Dua Dimensi

(liat di file modul praktikum matlab 1, hal 19, teknik visualisasi data)

2.2.2. Grafik Tiga Dimensi

2.3. Limit

(liat contoh modul praktikum pemrograman 13) Matlab memiliki kemampuan untuk menghitung limit dari sebuah fungsi dengan perintah limit. Sebagai contoh,

>> syms x; >> f=x^3+3*x^2-4*x+10; >> g=2*x^3+10*x^2-4*x+10; >> limit(f/g,inf)

Hitunglah keluaran hasil dari fungsi limit tersebut! Jawaban :


Latihan : Dapatkan hasil limit dari ungkapan berikut ini : 1. 2. 3.

2.4. Kekontinuan

2.5. Turunan Fungsi (modul 1.doc)

>> syms x; >> y=x^3+2*x^2+6*x+7; >> z=diff(y)


Apa keluaran perhitungan differensial tersebut ?

z = 3*x^2+4*x+6 Merupakan turunan dari fungsi y.

Task :

1. Bagaimana turunan kedua dari fungsi y? Jawab :

z = 6*x+4 merupakan turunan kedua fungsi y. Latihan : 1. Buatlah program differensial dengan menggunakan Matlab, gunakan dengan inputan.

2.6. Integral Fungsi


Pada Matlab, untuk menentukan integral suatu fungsi dapat menggunakan fungsi inline dan fungsi quad. Fungsi inline digunakan untuk menampung fungsi integralnya, sedangkan fungsi quad digunakan untuk menghitung hasil nilai integralnya. Misalnya : Menentukan nilai integral dari fungsi …

Step 1 : Pada command window Matlab ketik :

1.1.Menampung fungsi dengan fungsi inline :

1.2.

→ (y,-1,2)

Menghitung nilai dengan fungsi quad :

artinya y = fungsi integral yang diroses, -1 = batas bawah dari integral, dan 2 =

batas atas dari integral.

Step 2 : Dengan menggunakan M-File

2.7. Interpolasi


2.8. Contoh Aplikasi

2.8.1. Contoh Aplikasi Turunan dengan Matlab. Latihan : 2

1. Jika

y = x . cos3x

2. Jika

ƒ ( x )= 6 x 2−

, maka tentukanlah turunan pertamanya.

4x + 1

maka tentukanlah nilai dari f’ (2).

3.

2.8.2. Contoh Aplikasi Integral


2.9. Contoh Aplikasi dengan Matlab


2.8 Soal-Soal Latihan

Kerjakan soal-soal berikut: 1. Definisikan fungsi f(x) =

+ 2 - 10 , kemudian tentukan f(5) dan f(-4).

2. Selesaikan persamaan 2

- 4x + 2 = 0, berikan solusi eksak maupun numeriknya.

3. Gambarkan grafik f yang memenuhi f(x) = 4. Gambarkan grafik y1 = 2

+ 4 dan grafik y2 = 6 -

pada domain 0  x  2 , dengan

y1 dan y2 masing-masing diberi warna merah dan biru , diberi bingkai dan label "Grafik Fungsi". 5. Tentukan nilai limit dari fungsi f(x) berikut untuk x  1, kemudian gambarkan fungsinya untuk domain -2  x  5 : a. f(x) =

+ 2x -1

b. f(x) = 6. Diketahui fungsi f(x) =

. Tentukan limit kiri maupun limit kanan fungsi f(x) untuk

x  3. Apa kesimpulan yang saudara peroleh ? 7. Apakah fungsi f berikut kontinu di x = 2 ? Jika tidak, jelaskan alasannya. a. f(x) = 4 - 2x + 12 b. f(x) = Cek lah dengan menggambar grafik fungsinya. 8. Tentukan turunan pertama maupun kedua dari fungsi-fungsi berikut: a. f(x) = 10 + 2 - 5x b. g(x) =


c. h(x) =

(2x)

d. l(x) = sin ( cos 3x ) 9. Tentukan nilai integral berikut: a.

b.

c.

d.

10. Diketahui fungsi f(x) = -2 + 3 a. Tentukan titik-titik kritis f(x) b. Tentukan titik maksimum/ minimumnya (gunakan turunan kedua) 11. Tentukan 2 bilangan tak negatif yang jumlahnya 10 dan yang hasil kalinya maksimum. 12. Dono mempunyai 200m kawat duri yang ia rencanakan untuk memagari ladang berbentuk persegi panjang. Jika diinginkan agar luas maksimum, berapa ukuran panjang dan lebarnya ? 13. Tentukan luas bidang datar yang dibatasi oleh kurva-kurva y =

dan y = 2x -

.

Gambarkan bidang datar tersebut. 14. Tentukan luas daerah R di bawah kurva y =

-2

+ 2 antara x = -1 dan x = 2

15. Seorang manajer perusahaan komputer memperhitungkan bahwa penggunaan seperangkat peralatan akan menghasilkan penghematan operasi pada perusahaan. Dari


data yang lalu, untuk jangka waktu pemakaian sampai dengan 10 tahun, kecepatan penghematan operasi adalah f(x) dolar per tahun bila peralatan tersebut telah dipakai selama x tahun, dengan f(x) = 4000x + 1000. a. Berapa jumlah penghematan ongkos operasi dalam 5 tahun pertama ? b. Jika harga peralatan tersebut $36.000, dalam berapa tahun harga peralatan tersebut kembali ?


2.7 APLIKASI TURUNAN DAN INETGRAL

APLIKASI turunan, misalkan di bidang penjualan. Suatuperusahaan komputer.keuntungan penjualan dituliskan dengan f t t3  92 t2  23 t 4





15 . akanditentukan waktu kapan penjualan tertinggidan terendah, 8.

danberapa keuntunganyg bisa diperoleh pada saat itu?

penyelesaian : berarti menggunakan konsep titik maksimum dan minimum. 1. mendefiniskan fungsi f(x) 2. mennetukan turunan pertama dari f. 3. cari peyelesaian turunan pertama. 4. mengecek apakah t merupakan titik maksimum atau minimum.(jika f'(t)>0--> titik balik minimum dan sebaliknya) maka :

 

Clear f, x

 

f t_ : t3 

9 2

t2 

 

23 4

15

t

8

trn1  D f t , t 23 

4

9 t  3 t2

 234

NSolve

t







9 t  3 t2 , t





0.92265 , t  2.07735

 234

trn2  D





9 t  3 t2 , t

96t



maka dimasukkan untuk nilai : t 0.92265,t2.07735 ke dalam trn2, diperoleh :



9  6 t . t  0.92265



3.4641





9  6 t . t  2.07735



3.4641

didapatkan nilai trn2 (0.92265) < 0, maka t = 0.92265 merupakan titik balik maksimum, atau pen jualan tertinggi pada tahun ke - 1. dan penjulan tertendah pada tahun ke - 2. di bulan bulan awal. dengan keuntungan/kerugian :

2

02 a hartatik_slide aplikasi D dan Integral 2012 - Copy.nb





f 0.92265 0.3849





f 2.07735 0.3849



perusahaan akan mencapai kerugian sebebsar $384,9dan dipresikai akan mencapai kerugian sebesar $384 di tahun ke-2.

2.7 .2 APLIKASI INTEGRAL

diaplikasikan untuk menghitung luas daerah. misal, tentukanluas daerahyang dibatasi oleh grafiky1  x2  2, y2  x2  6, domain



2x3

penyelesaian :

1. plot grafik y1 dan y2 2. tentukan titik potong kedua grafik 3.tentukan luas daerah maka :

















  

Plot x2  2, x2  6 , x, 2, 3 , PlotStyle  RGBColor 1, 0, 0 , RGBColor 0, 0, 1 , Filling  1  2
















 6", 2.5, 1,

Plot x2  2, x2  6 , x, 2, 3 , PlotStyle  RGBColor 1, 0, 0 , RGBColor 0, 0, 1 ,

        Red, Text"Luas I", 0, 2, Text"Luas II", 2.4, 2 2



2

Filling  1  2 , Epilog  Blue, Text "y1x 2", 2.5, 5 , Text "y2x









Solve x ^2  2  x ^2  6, x

x





2 , x2



makaluas daerah : Luas I



LuasII yaitu

  x^2 6 x^2 2 2









2

x





 x^2 2  x^2 6 3



 

2

maka dengan mathematica: 2

  x ^2 6 x^ 2 2 x LuasII  x ^2 2  x ^ 2 6 x LuasI 









 





2



3







2

64 3 14 3 luasdaerah  LuasI  LuasII 26

atau dengan cara langsung :

 x ^2 6 x ^2 2, x,

Integrate









26 jadi luasan daerahnya adlah : 26 satuan



2, 2







  x ^2 6, x, 2, 3

Integrate x ^ 2  2

 





x



3

4


 





Plot Sin x , x, 0, 2 Pi , Filling  Axis, FillingStyle  Red 1.0

0.5

1

2

3

4

5

6

0.5

1.0





ListLinePlot 1, 3, 2, 5, 2 , Filling  Axis



















Plot x2  2, x2  6 , x, 2, 3 , PlotStyle  RGBColor 1, 0, 0 , RGBColor 0, 0, 1 ,

  

Filling  1  2 , Frame  True, FillingStyle  Orange



6

4

2

0

2

2

1

0

1

2

3


*** PEMROGRAMAN DENGAN MATHEMATICA(HOW TO SOLVE FUNCTION) Clear p1, p2, d, e; HEADING PROGRAM 

Print"" Print"program latihan 03" Print"mathematica programming" Print"solusi" Print""  MAIN PROGRAM 

p1



Input"persamaan 1:"; Print"pers1", p1

p2



Input"persamaan 2:"; Print"pers2", p2

d  Solve p1, p2, x, y; e



NSolve p1, p2, x, y;

hasilcetak PROGRAM 

Print"penyelesainnya adalah adalah:", d  Print"penyelesainnya numerik

adalah:", e

5

BAB III MATRIKS DAN DETERMINAN

TUJUAN :

KOMPETESNI : 3.1. list 3.2.matriks 3.2 .1carapenulisan 3.2 .2 ukuran matriks 3.2 .3matriks matrikskhusus satuan, nol, diagonal, segitigabawah  atas  3.2 .4 operasipadamatriks penjumlahan, kesamaan dua matriks, perkalian skalar dan matriks, perkalian antar matriks, 3.2 .5sifat operasimatriks 3.2 .6sifatoperasitanspose mariks 3.3. Determinan 3.4. invers matriks

partisi matriks, t ransose matriks

03 Hartatik_matriks 2013 v2 2013.nb

2

3.1 MATERI ONLINE BAB 3:MATRIK 

HOW TO | LIST Ada beberapa bentuk khusus matrik . Untuk bisa menentukan bentuk khusus matrik maka anda harus tahu terlebih dahulu elemen dari matriks, yaitu baris dan kolom. dalam mathematica ada cara penulisan baris dan kolom sehingga membentuk suatu matriks. Dalam kesempatan on line ini ... AKAN DIPELAJARI BAGAIMANA MENULISKAN MATRIKS DENGAN MATHEMATICA, yaitu dengan menggunakan syntak : LIST Apa saja kegunaan dan bagaimana cara manipulasi matriks dengan

LIST berikut akan kitapelajari lebih lanjut.

LIST Vectors dan matrices in Mathematica are secara sederhana dapat dituliskan dengan daftar anggota himpunan: a, b, c 

vector a , b , c 

a, b,  c, d  matrix



a b c d

LIST dalam MATRIKS ada beberapaperintah yangbisa digunakan yaitu : List, Part, Take

Part ces:

—

i j

m

i j

m

,

,



elements and submatri; resettable with

x

Take — take rows, columns and submatrices Drop — drop rows, columns and submatrices Diagonal — get the list of elements on the diagonal RotateLeft , RotateRight — cyclically rotate


3

rows or columns Reverse — Transpose — columns Join — several matrices

reverse rows or columns interchange rows and join rows or columns of

Getting Pieces of Lists First list 

the first element in list

Last list 

the last element

Part list , n  or list n

the nth element

Part list , n or list n

the nth element from the end

Part list , m ;; n

elements m through n

Part list ,  n1 , n2 ,

 or

…

list n1 , n2 ,



…

the list of elements at positions n1 , n 2 , Take list , n

the first n elements in list

Take list , n

the last n elements

Takelist ,  m, n 

elements m through n (inclusive)

Rest list 

list with

its first element dropped

Drop list , n list with its first n elements dropped Most list 

list with

its last element dropped

Droplist , n list with its last n elements dropped Drop list ,  m, n  list with elements m through n dropped

coba sekarang praktekkan : A  a, b, c

a, b, c B  4, N ,

9 

4,  N , 3 List2



B,

a, a, b

4,  N , 3, a,  a, b

…


4

apa kesimpulan anda? Menentukan elemen ke  i menggunakan : Ai danPartA, i . misalkan : A  a, b, c

a, b, c A1 PartA, 1

sedangkan untuk menentukan elemen ke i dan j bisa menggunakan A[[{i,i}]] dan Part[A,{i,j}]: A2, 3

b, c PartA, 2, 3

b, c A1 c

1.Bagaimana untuk menentukan elemen ke 1 dan 3 dari himpunan A ?? ? 2. Apa bedanya A[[1]] dan A[[-1]]??? 3. sebutkan cara lain untuk menentukan elemen ke-1 dari himpunan A 

LAKUKAN JUGA UNTUK PERINTAH DIBAWAH INI : DropA, 1

{b, c} DropA, 2

{c} DropA,

1



DropA, 3


5

RestA LastA

c TakeA, 2 TakeA, 1 TakeA, 3

{a, b, c} APA KESIMPULAN ANDA??JELASKAN



MENENTUKAN BANYAKNYA ELEMEN : Range — form a list from a range of numbers or other objects 1, 2, 3, ... Table — make a table of any dimension of values of an expression Array — make an array of any dimension by applying a function to successive indices ConstantArray — form of a constant array of any dimension SparseArray, Normal — create a list from a sparse array position value specification 

Functions for vectors. contoh : 

RANGE a.untuk menentukan banyaknya elemen pada A, digunakan perintah Lenght[A] LengthA

b. Perintah Range untuk menuliskan List:


6

Range6

{1, 2, 3, 4, 5, 6} Range4, 6

{4, 5, 6} Range1, 11, 3

{1, 4, 7, 10} jelaskan mengenai Range di atas.apa yang dapat anda simpulkan? 

TABEL 

PEMAKAIAN TABLE:

untuk beberapa elemen list ada kalanya membentuk suatu pola angka tertentu. maka untuk model khusus tersebut bisa menggunakan perintah Table:

Table100  5, 3 Tablek  1, k, 3 Tablek  1, k, 2, 5 Tablek, k, 2, 10, 2


Tablek  2, k, 3

OPERASI PERHITUNGAN MATRIKS : 

LIST sebagai himpunan, dilakukan operasi himpunan(gabungan, irisan, komplemen) :

contoh :

1,

2, 3

  3,

4, 5

{1, 2, 3, 4, 5} Union1, 2, 3, 3, 4, 5

{1, 2, 3, 4, 5}

1,

2, 3

  3,

4, 5

{3} Intersection1, 2, 3, 3, 4, 5

{3} Complementa, b, c, d, a, b

{c, d} ComplementA, a, b

{c} Jelaskan apa kesimpulan anda?

7


8



silahkan anda coba

keterangan dan contoh : untuk menentukan posisi suatu elemen d dalam liat digunakan "position{list,elemen} Position[{a, b, c, a, b}, a] {{1}, {4}} menghitung banyaknya a.

Count[{a, b, c, a, b}, a] 2



PENYISIPAN ELEMEN:

Selain itu dalam list juga dapat dilakukan penyisispan elemen, penambahan elemen bagian belakang maupun depan :

Position — find positions where elements that match a pattern occur Extract — extract elements that appear at a list of positions ReplacePart — make replacements for collections of elements ArrayRules — get a list of positions and values for nonzero elements



Adding, Removing and Modifying List Elements


9

Prepend list , element 

add element at the beginning of list

Appendlist , element 

add element at the end of list

Insert list , element , i

insert element at position i in list

Insert list , element , i

insert at position i counting from the end of list

Rifflelist , element 

interleave element between the entries of list

Deletelist , i 

delete the element at position i in list

ReplacePartlist , i  new

replace the element at position i in list with new

ReplacePartlist ,  i, j  new

  with new

replace list i, j

contoh : untuk menambahkan elemen baru dalam matriks: A {a, b, c} Append[A, 2] {a, b, c, 2} Prepend[A, 1] {1, a, b, c} Insert[A, m, 2] {a, m, b, c} kemudian untuk menggantikan suatu elemen ke dalam matriks dengan elemen baru dengan menggunakan ReplacePart[list,elemen baru,posisi] B = {1, 2, 3, 5, 6} {1, 2, 3, 5, 6} ReplacePart[B, x, 2] {1, x, 3, 5, 6} Insert[B, x, 2] {1, x, 2, 3, 5, 6} apa perbedaan replacepart dan Insert ?? ?



MENULISKAN KOMBINASI ELEMEN KEANGGOTAAN : Tuples list , n 

generate all possible n-tuples of elements from list


10

Tuples list 1 , list 2 ,

 generate all tuples whose ith element is from list i

…

Finding possible tuples of elements in lists. This gives all possible ways of picking two elements out of the list. Tuplesa, b, 2 This gives all possible ways of picking one element from each list. Tuplesa, b, 1, 2, 3 Subsetsa, b, c



MENGURUTKAN ELEMEN :

untuk mengurutkan dan mengatur kembali posisi elemen suatu list, digunakan perintah sort, reserve, rotate: Sortexpr 

sort the elements of a list or other expression into a standard order

Sort expr , pred 

sort using the function pred to determine whether pairs are in order

Ordering expr 

give the ordering of elements when sorted

Ordering expr , n

give the ordering of the first n elements when sorted

Ordering expr , n , pred 

use the function pred to determine whether pairs are in order

OrderedQ expr 

give True if the elements of expr are in standard order, and False otherwise

Orderexpr 1 , expr 2 

give 1 if expr 1 comes before expr 2 in standard order, and

contoh :

misalkan didefinisikan list 3 sbb: list3  5, 10, 0, 12, 20, 3

dengan reverse maka penulisan akan dibalik ururutannya: Reverselist3

1 if



it comes after


11

Sortlist3

kemudian dengan rotate maka n elemen akan ditempatkan dikiri atau kanan: list3 RotateLeftlist3 RotateLeftlist3, 3 RotateLeftlist3, 4 RotateRightlist3 RotateRightlist3, 3



PENGGABUNGAN ELEMEN :

untuk menghilangkan tanda kurung dalam suatu output dengan menggunakan perintah Flattern: 

SILAHKAN ANDA COBA Flatten[{{a}, {b, {c}}, {d}}] Joina, b, c, x, y, u, v, w list



Tablei  j  1, i, 4,  j, i

Flattenlist, 1 sedangkan unutuk menghilangkan tanda kurung satu atau dua pasang ...dst menggunakan perintah berikut: Flatten[{{a}, {b, {c}}, {d}}, 1] Flattena, b, 2 Flattena, b Flattena, b, 1

APA KESIMPULAN ANDA?

*****selamat mencoba*****


12

3.2.1 cara penulisan matriks



a. dengan menggunakan LIST perintah aij, i  1, 2 d an j  1, 2, 3

matriksA  a1, 1, a1, 2, a1, 3, a2, 1, a2, 2, a2, 3

 

 

 

  

a 1, 1 , a 1, 2 , a 1, 3

,

 

 

matriksA  MatrixForm

 

   

   

  

a 1, 1 a 1, 2 a 1, 3 a 2, 1 a 2, 2 a 2, 3

Sebagai illustrasi, untuk matrik B ukuran 2 x3 : matriksB  1, 3, 5, 0, 2, 1



 

1, 3, 5 ,



0, 2, 1

matriksB  MatrixForm



1 3 5 0 2 1



a 2, 1 , a 2, 2 , a 2, 3



untuk mencari matriks B baris ke i, dan elemen ke i dan j

matriksB1 matriksB1, 2 matriksB1, 1, 2  MatrixForm matriksB1, 2, 1, 2  MatrixForm matriksB1, 2, 1  MatrixForm






13

b.menggunakan perintah array misa misalka lkann matrik matrikss C  cij matriksC  Arrayc, 5, 6



 MatrixForm

c.perintah table matriksD  Tabledi, j, i, 5,  j, j, 6 







 MatrixForm

menggu menggunaka nakann fasilit fasilitas as pallet palletes es ataukalau tidak tidak ada dengan dengan menggu menggunaka nakann : input Cretae_Tabl Cretae_Tablee  Matrix  Pall Pallet et ... ... ataubis ataubisaa lang langsu sungden ngdenga gann : ctrl ctrl  Sift  C matriks matriks F 

matriksG 



























Null

LATIHAN: 1. tul tulisk iskan an mat matrik rikss ber beriku ikutt de denga ngann car caraa  ca caradi radi at ataas :

A

1 2 3 0 , B2 1 0 1 4

2. bua buatk tkan an mat matrik rikss ber beriku ikutt :

F

1 2 3 4 5

2 3 4 5 6

3 4 5 6 7

4 5 6 7 8

5 6 7 8 9

2



3 , C 



3 0





1 2 0 , D  3 4 , E  4 0 0 1 2


14

2 4 6 8 10 Go 12 14 16 18 20

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

3. a. tul tulisk iskan an mat matrik rikss bar baris is ke  1darimatriksA b.tuliskanelemenke2danke3darimatriksB c. tu tuli lisk skan an el elem emenbari enbariss ke2 ko kolo lom m ke3 ma matr trik ikss C d. tu tuli lisk skan an ma matr trik ikss ba bari riss 2 da dann 3 ma matr trik ikss F e. tu tuli lisk skan an ma matr trik ikss ba bari riss 3 da dann 5 da dari ri ma matr trik ikss G

3.2 MATRIKS 

3.2.1 cara penulisan matriks(dengan LIST)



a. den dengan gan men menggu gguna nakan kan per perint intah ah a ij , i  1, 2 d an an j  1, 2, 3

matriksAa1,1,a1,2,a1,3,a2,1,a2,2,a2,3 matriksAMatrixForm

misal untuk matrik B ukuran 2 x3 : matriksB  1, 3, 5,  0, 2, 1; matriks matriksB B  MatrixForm matriksB  MatrixForm matriksB matriksB



 1, 3, 5,  0, 2, 1  MatrixForm  penulisa penulisa ini tidak sarankan sarankan

untuk mencari matriks B baris ke i, dan elemen ke i dan j

matriksB1


15

matriksB1, 2 matriksB1,  1, 2  MatrixForm tent tentuk ukan an elem elemen en matr matriksB iksB bariske bariske dua dua kolom kolom 3



b.menggunakan perintah array misa misalk lkan an matr matriksC iksC  cij matriksC  Arrayc,  5, 6  MatrixForm

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

c 1, 1 c 1, 2 c 1, 3 c 1, 4 c 1, 5 c 1, 6 c 2, 1 c 2, 2 c 2, 3 c 2, 4 c 2, 5 c 2, 6 c 3, 1 c 3, 2 c 3, 3 c 3, 4 c 3, 5 c 3, 6 c 4, 1 c 4, 2 c 4, 3 c 4, 4 c 4, 5 c 4, 6 c 5, 1 c 5, 2 c 5, 3 c 5, 4 c 5, 5 c 5, 6



c.perintah table matriksD  Tabledi, j,  i, 5,  j, j, 6  MatrixForm

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

d 1, 1 d 1, 2 d 1, 3 d 1, 4 d 1, 5 d 1, 6 d 2, 1 d 2, 2 d 2, 3 d 2, 4 d 2, 5 d 2, 6 d 3, 1 d 3, 2 d 3, 3 d 3, 4 d 3, 5 d 3, 6 d 4, 1 d 4, 2 d 4, 3 d 4, 4 d 4, 5 d 4, 6 d 5, 1 d 5, 2 d 5, 3 d 5, 4 d 5, 5 d 5, 6



d.palletes dengan menggunakan template yang ada di Palletes : 







menggunakan cara:

fasilitas

palletes

atau

kalau

tidak

ada

dengan


16

matriksF 

matriksG 



























Null 

3.2.2 Ukuran /ordo matriks:

dengan menggunakan perintah dimension matriksH  1, 2, 3,  3, 4, 5 matriksH  MatrixForm matriksH



1 2 3 3 4 5





 1, 2, 3,  3, 4, 5; matriksH  MatrixForm


17

DimensionsmatriksH





2, 3



3.2.3 MATRIKS MATRIKS KHUSUS

a. matriks satuan(matriks identitas) ada beberapa cara penulisan matriks : 1. langsung dituliskan (untuk matriks ukuran kecil) misalkan akan disajikan matriks A yang elemen-elemennya dinyatakan dengan aij untuk i=1,2 dan j=1,2,3. Hal ini dapat dilakukan dengan cara menuliskan suatu elemennya(sebagai list dari list), sebagai list dari list)

matriksA  a1, 1, a1, 2, a1, 3,  a2, 1, a2, 2, a2, 3

ternyata hasilnya tidak seperti penulisan matriks yang sudah dipelajari, sehingga untuk tampilan seperti itu dengan menggunakan perintah //matrikForm

2. dengan menggunakan perintah : IdentityMatrix

contoh :

matriksA  MatrixForm matriksA


18

matriksI  1, 0, 0,  0, 1, 0,  0, 0, 1  MatrixForm 1 0 0 0 1 0 0 0 1

matrI  IdentityMatrix4; matrI  MatrixForm TableIfi



j, 1, 0, i, 4, j, 4  MatrixForm

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

b. Matriks Nol cara penulisan : 

langsung dengan ketikkan : ConstantArrayn atau Table0,  m,  n

ConstantArray0,  2, 2  MatrixForm 0 0 0 0

Table0,  2,  3  MatrixForm



0 0 0 0 0 0




19

3. Matriks Diagonal cara penulisan : 

menggunakan : DiagonalMatrix 

MatrixFormDiagonalMatrixa, b, c a 0 0 0 b 0 0 0 c

4. Matriks Segitiga Bawah dan Atas matriks segitiga bawahMatrixFormTableIfi matriks segitiga atasMatrixFormTableIfi







j, 2, 0, i, 4,  j, 4

j, 2, 0, i, 4,  j, 4

3.2 .4 OPERASI PADA MATRIKS

A. penjumlahan/pengurangan matriks BAGAIMANA ATURAN dua matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan ?? ??? berikut syarat 2 matriks atau lebih bisa dilakukan operasi penjumlahan: 1. masing masing matriks berordo sama 2. hasil operasi matriks akan menghasilkan matriks dengan ordo yang sama

contoh :

ClearmatriksA, matriksB, matriksC


20

matriksA  2, 1, 0, 3,  1, 0, 2, 4,  4, 2, 7, 0; matriksA  MatrixForm 2 

1

4

1

0 3

0

2 4



2 7 0

matriksB  4, 3, 5, 1,  2, 2, 0, 1,  3, 2, 4, 5; matriksB  MatrixForm 

4 3

2

2

3

2

5

1

0 



4

1

5

matriksC  1, 1,  2, 2; matriksC  MatrixForm



1 1 2 2



DimensionsmatriksA

DimensionsmatriksB

DimensionsmatriksC

matriksD  matriksA  matriksB; matriksD  MatrixForm 

2 4 5 4

1

2 2 3

7

0 3 5

DimensionsmatriksD

matriksA  matriksC  MatrixForm Thread::tdlen : Objects of unequal length in 2, 1, 0, 3 , 1, 0, 2, 4 , 4, 2, 7, 0  1, 1, 2, 2 cannot be combined. 



   

1, 1 ,

2, 2



 

2, 1, 0, 3 ,



 

1, 0, 2, 4 ,

4,





2, 7, 0


B. KESAMAAN DUA MATRIKS ClearmatriksE

matriksE  3  3, 2 ^ 0,  6  3, 2 ^ 1



  

1, 1 ,

2, 2

matD  matriksE  matriksC

matD  MatrixForm

pengecekan kesamaan matriks bisa juga dilakukan dengan:



matriksE  matriksC True

c. PERKALIAN SKALAR DAN MATRIKS(silahkan dipraktikkan sendiri) misalkan matriks A, B, C dan skalar k = 2, -1, 1/3. ClearmatriksA, matriksB, matriksC matriksA  2, 3, 4,  1, 3, 1 matriksB  0, 2, 7,  1, 3  5 matriksC  9, 6, 3,  3, 0, 12 matriks2A  2  matriksA matriksminB  1  matriksB matriksCper3  1  3  matriksC

21


22

3  IdentityMatrix4  MatrixForm

D. PERKALIAN ANTAR MATRIKS (silahkan dipraktikkan sendiri) operasi perkalian antar matriks menggunakan "." atau " dot" syarat : 1. kolom matriks pertama = jumlah kolom matriks ke - 2, dst 2. misal : A (m, n) dan B (n, k), maka AxB = C (m, k) 3. tidak berlaku komutatif contoh :

Clear matriksA, matriksB, matriksC matriksA  1, 2, 4,  2, 6, 0; matriksB  4, 1, 4, 3,  0, 1, 3, 1,  2, 7, 5, 2; matriksC  1, 2,  3, 4,  5, 6,  7, 8; sebelum melakukan operasi matriks : DimensionsmatriksA DimensionsmatriksB DimensionsmatriksC perkalian matriks, bisakah ? matriksA.matriksB  MatrixForm

matriksA.matriksC  MatrixForm matriksB.matriksC  MatrixForm


matriksB.matriksA  MatrixForm

5. PARTISI MATRIKS sebuah matriks bisa dipartisi menjadimatriks yg kecil kecil sub matriks.

contoh menuliskan matriks dalam suatu sub matriks :

Clear matriksA 

A  4, 1, 4, 3,  0, 1, 3, 1,  2, 7, 5, 2; A  MatrixForm

MatrixFormA

A11  A1, 2,  1, 2, 3; A11  MatrixForm A12  A1, 2,  4; A112  MatrixForm

A21  A3,  1, 2, 3; A21  MatrixForm

A22  A3,  4; A22  MatrixForm

maka matriks A terdiri atas :

A

A11 A12 A21 A22

penggabungan n matriks bisa juga dengan cara penggabungan sub sub matriksnya : JOIN

23


24

contoh :

Clear

A1  JoinA11, A12, 2

A2  JoinA21, A22, 2

A  JoinA1, A2  MatrixForm

F. TRANSPOSE MATRIKS(silahkan di coba sendiri) A  1, 2, 3,  4, 3, 5

TransposeA

A  MatrixForm





 MatrixForm

3.2.5 Sifat-sifat Operasi Hitung Matriks(silahkan anda praktikkan sendiri) Misalkan A,B dan C adalah sembarang matriks, k1, k2 adalah sembarang skalar. Beberapa sifat operasi hitung matriks, diantaranya adalah : 1. A + B = B + A (sifat komutatif penjumlahan) 2. (A+B)+C = A+(B+C) (sifat asosiatif penjumlahan) 3. (A.B).C = A.(B.C) (sifat asosiatif perkalian) 4. A( B + C) = A.B + A.C (sifat distributif kiri terhadap penjumlahan) 5. k1(B + C) = k1.B + k1.C 6. (k1 + k2) C = k1 C + k2 C 7. k1( k2 C ) = (k1.k2) C 8. A + O = O + A = A (O adalah matriks nol)


25

9. A.I = A ; I . A = A (I adalah matriks identitas) dsb......... Saudara dapat melakukan pengecekan terhadap sifat-sifat tersebut dengan membuat matriksmatriks sembarang A, B, C dan skalar-skalar sembarang k1, k2. Untuk itu perhatikan ukuran matriksmatriks tersebut sedemikian sehingga dapat dilakukan operasi hitung diantaranya. 

Contoh: Diketahui matriks A =

2 3 1 5 , matriks B = 1 1 3 10

dan matriks C =

1 2 . Skalar k1 = 4 dan 3 4

k2 = 3. Selanjutnya dilakukan operasi-operasi matriks seperti di bawah. Apa yang terjadi ??? ClearmatA, matB, matC 2 3 1 5 1 2 matA  ; matB  ; matC  ; 1 1 3 10 3 4 matA  matB  MatrixForm 3 8 4 9

matB  matA  MatrixForm 3 8 4 9

matA  matB  matC  MatrixForm 4 10 7 13

matA  matB  matC  MatrixForm 4 10 7 13

matA.matB  matC  MatrixForm 22 56 4 7

matA.matB  matA.matC  MatrixForm 22 56 4 7

k1  4;k2  3;


26

k1  matB  matC  MatrixForm 8 28 24 56

k1  matB  k1  matC  MatrixForm 8 28 24 56

k1  k2  matC  MatrixForm 12 24 36 48

k1k2  matC  MatrixForm 12 24 36 48

Ternyata hasil dari operasi hitung matriks tersebut memenuhi sifat-sifat di atas. Untuk sifat-sifat yang lain, dapat dicoba sendiri. 

3.2.6 Sifat-sifat Operasi Transpose Matriks(silahkan anda praktikkan sendiri) Jika A, B adalah matriks-matriks sembarang, dan k adalah skalar sembarang, beberapa sifat transpose matriks adalah: 1.  A t t = A 2.  A  B t = A t + B t 3.  k .A t = k. A t 4.  A .B  t = B t .A t Saudara dapat melakukan pengecekan sifat-sifat tersebut dengan membuat sembarang matriks A, B dan sembarang skalar k, dengan memperhatikan ukuran matriks supaya matriks-matriks tersebut dapat dioperasikan.



Contoh Diketahui matriks-matriks A =

1 2 5 6 , B = , k = 4. Dilakukan operasi hitung matriks berikut. 3 4 7 8

Bagaimana hasilnya??? ClearmatA, matB, k

matA 

1 2 5 6 ; matB  ; k  4; 3 4 7 8


27

TransposeTransposematA  MatrixForm 1 2 3 4

TransposematA  matB  MatrixForm 6 10 8 12

TransposematA  TransposematB  MatrixForm 6 10 8 12

Transposek  matA  MatrixForm 4 12 8 16

k  TransposematA  MatrixForm 4 12 8 16

TransposematA.matB  MatrixForm 19 43 22 50

TransposematB.TransposematA  MatrixForm 19 43 22 50

3.3 Determinan Berikut ini dibicarakan penentuan determinan suatu matriks dengan menggunakan ekspansi kofaktor. Determinan dari matriks A dinotasikan dengan det(A) atau |A|. Untuk matriks ukuran 1 x 1, misal X = ( x ), didefinisikan | A | = x. Menggunakan perintah di Mathe- matica , ketiklah Det, kemudian di dalam kurung siku isikan matriks yang akan ditentukan


28

determinannya. ClearA A  x MatrixFormA DetA

Untuk matriks ukuran2 x 2, misal B 

a11 a12 , didapat B a21 a22



a11.a22  a12.a21

Menggunakan Mathematica , ClearB B  a11, a12,  a21, a22; MatrixFormB DetB

Untuk matriks ukuran 3 x 3, misal A =

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

,

didapat | A | = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 - a13 a22 a31 - a11 a23 a32 - a12 a21 a33 = a11 ( a22 a33 - a23 a32 ) + a21 ( a13 a32 - a12 a33 ) + a31 ( a12 a23 - a13 a22 ) = a11 ( a22 a33 - a23 a32 ) - a21 ( a12 a33 - a13 a32 ) + a31 ( a12 a23 - a13 a22 ) = a11. M11 - a21. M21 + a31. M31 = a11. C11 + a21. C21 + a31. C31 dengan Mij = minor elemen aij = determinan sub matriks A setelah baris i dan kolom j dihapus. Cij = kofaktor elemen aij =  1  i  j . Mij Cara penentuan determinan seperti matriks A di atas disebut ekspansi kofaktor sepanjang kolom 1. Secara teoritis dapat dibuktikan bahwa determinan suatu matriks dapat ditentukan dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris/ kolom yang ada. 

Contoh Berikut ini akan ditentukan determinan matriks A = sepanjang kolom 1.

3 2 5

1 4 4

0 3 2

menggunakan ekspansi kofaktor


29

ClearA A  3, 1, 0,  2, 4, 3,  5, 4, 2 MatrixFormA M1, 1  A2, 2  A3, 3  A2, 3  A3, 2 M2, 1  A1, 2  A3, 3  A1, 3  A3, 2 M3, 1  A1, 2  A2, 3  A1, 3  A2, 2 c1, 1  M1, 1; c2, 1  M2, 1; c3, 1  M3, 1; detA  A1, 1  c1, 1  A2, 1  c2, 1  A3, 1  c3, 1

Menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang kolom 1, diperoleh | A | = -1. Sekarang dicoba menggunakan perintah di Mathematica DetA

Selanjutnya saudara dapat mencoba untuk menentukan determinan matriks A tersebut menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris/ kolom yang lain. Untuk matriks dengan ukuran 4 x 4 atau yang lebih besar lagi, ide untuk menentukan determinannya sama dengan ide untuk menentukan determinan matriks ukuran 3 x 3 di atas. Silahkan saudara untuk mencobanya !!!

3.4 Invers Matriks Diketahui matriks A berukuran n x n. Matriks kofaktor dari A adalah matriks yang elemenelemennya berupa Cij ( i = 1, 2, ..., n ; j = 1, 2, ..., n ). Transpose matriks kofaktor dari A tersebut disebut adjoint matriks A, dengan notasi adj (A). Invers matriks A mempunyai notasi A 1. Didefinisikan A 1 =

1 A

. adj(A).

Dengan Mathematica , untuk menentukan invers suatu matriks, cukup ketik Inverse kemudian dalam kurung siku isikan matriks yang akan dicari inversnya. 

Contoh Akan ditentukan invers dari matriks A =

ClearA

3 1 2

2 6 4

1 3 0



.


30

A

3 2 1 1 6 3 ; 2 4 0

Minor elemen-elemen A adalah M[i,j] dengan i = 1, 2, 3 dan j =1, 2, 3. M1, 1  A2, 2  A3, 3  A2, 3  A3, 2 M1, 2  A2, 1  A3, 3  A2, 3  A3, 1 M1, 3  A2, 1  A3, 2  A2, 2  A3, 1 M2, 1  A1, 2  A3, 3  A1, 3  A3, 2 M2, 2  A1, 1  A3, 3  A1, 3  A3, 1 M2, 3  A1, 1  A3, 2  A1, 2  A3, 1 M3, 1  A1, 2  A2, 3  A1, 3  A2, 2 M3, 2  A1, 1  A2, 3  A1, 3  A2, 1 M3, 3  A1, 1  A2, 2  A1, 2  A2, 1

Selanjutnya dibuat matriks kofaktor dari A sebagai berikut matkof  TableIfEvenQi  j, Mi, j, Mi, j,  i, 3,  j, 3; MatrixFormmatkof

Kemudian ditentukan adj (A) yang merupakan transpose matriks kofaktor dari A adjA  Transposematkof; MatrixFormadjA

Akhirnya invers matriks A dihitung dengan rumus A 1 =

1 A

. adj(A)

invA  1  DetA  adjA  MatrixForm

Menggunakan Mathematica , invers matriks A tersebut dicari sebagai berikut InverseA  MatrixForm



Latihan 3.5 1. Diketahui matriks-matriks A =



3 2 5 2

, B=

1 6 3

2 7 1



3 1 4

, C=

1 2 4 1

4 0 1 0

3 6 2 2 

1 3 5 4

.


31

Dari matriks-matriks tersebut, tentukan : a. matriks kofaktornya b. determinan matriks A dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris 1 c. determinan matriks B dengan ekspansi kofaktor sepanjang kolom 2 d. determinan matriks C dengan ekspansi sepanjang baris/ kolom sembarang e. adj (A) , adj (B) dan adj (C) f. A 1 , B 1 dan C 1 .

2. Diketahui matriks A =

a b c d e f

dan misal | A | = -7

g h i

Tentukan : a. | 3A | b. | A 1 |

c. | 2 A 1 | d. | ( 2 A  1|

3. Diketahui matriks-matriks A = a. A 1 

1 2 5 6 , B = 3 4 7 8

dan skalar k = 3. Tentukan :

t

b. A  B  t c.  B t  t d. k A  t LATIHAN: Kerjakan Latihan 3.5 no 1a , 1b , 1e , 1f untuk matriks A. .....................................(4 POIN)

Bab IV KOMPUTASI SPL

Tujuan

Setelah mengikuti praktikum Sistem Persamaan Linear, diharapkan mahasiswa dapat: 1. menentukan penyelesaian SistemPersamaan Linear dengan operasi baris elementer 2. menentukan invers suatu matriks menggunakan operasi baris elementer 3. menentukan penyelesaian sistem persamaan linear menggunakan invers matriks koefisien dan matriks konstanta ruas kanan 4. menentukan penyelesaian beberapa sistem persamaan linear dengan matriks koefisien sama. 5. menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dengan cara Cramer

4.1 Persamaan Linear

Persamaan Linear dalam n variabel x 1, x 2 , . . . , x n dapat dinyatakan dalam bentuk : a 1 x 1 + a 2 x 2 + . . . + a n x n = b dengan a 1 , a 2, . . . , a n dan b adalah konstanta-konstanta real. Penyelesaian persamaan linear a 1x 1 + a 2x 2 + . . . + a n x n = b adalah barisan n bilangan s 1 , s 2, . . . , s n sehingga persamaan dipenuhi jika dilakukan substitusi x 1 = s 1 , x 2 = s 2 , . . . , x n = s n . 

Contoh 4.1 1. 4 x - 2 y = 1 2. x 1 - 4x 2 + 7x 3 = 5 Penyelesaian persamaan linear no.1 adalah x = t dan y = 2t - 1/2 , yaitu tak hingga banyak penyelesaian tergantung pemberian nilai t. Misalkan t = 3, menghasilkan x = 3, y = 11/2 , dan misalkan t = - 1/2, menghasilkan x = - 1/2 dan y = - 3/2.

4.2 Sistem Persamaan Linear (SPL)

Sistem Persamaan Linear (SPL) atau Sistem Linear adalah himpunan berhingga persamaan linear. Penyelesaian SPL dalam variabel x 1, x 2 , . . . , x n adalah barisan n bilangan s 1 , s 2 , . . . , s n yang memenuhi SPL (memenuhi semua persamaan linear yang membentuk SPL). 

Contoh 4.2 1. SPL : x + y + 2z = 9 2x + 4y - 3z = 1 3x + 6y - 5z = 0 mempunyai penyelesaian x = 1, y = 2 dan z = 3 , karena bilangan-bilangan tersebut memenuhi ketiga

04 SPL 2013.nb

37

persamaan linear. 2. SPL : 2x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 0 -2x 1 +5x 2 + 2x 3 = 1 8 1 + x 2 + 4x 3 = -1 mempunyai penyelesaian x 1 = - 1/7 - 3/7 x 3 , x 2 = 1/7 - 4/7 x 3 , yaitu ada tak hingga banyak penyelesaian tergantung pemberian nilai untuk x 3 . 3. SPL : x + y = 4 2x + 2y = 6 tak mempunyai penyelesaian, sebab jika persamaan yang bawah dikalikan dengan 1/2, diperoleh persamaan yang kontradiksi dengan persamaan yang atas. Secara umum, SPL dapat : 1. mempunyai penyelesaian tunggal (contoh 1) 2. mempunyai tak hingga banyak penyelesaian (contoh 2) 3. tidak mempunyai penyelesaian (contoh 3) Bentuk umum Sistem m persamaan linear dalam n variabel x 1 , x 2 , . . . , x n adalah : a 11x 1 + a 12x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22x 2 + . . . + a 2 n x n = b 2 . . . a m1 x 1 + a m2x 2 + . . . + a mnx n = b m Matriks diperbesar (augmented matrix ) dari SPL tersebut adalah matriks yang elemen-elemennya adalah koefisien-koefisien a ij dan b i , i = 1, 2, ..., m dan j = 1, 2, ..., n . 

Contoh 4.3 SPL :

x + y + 2z = 9 2x + 4y - 3z = 1 3x + 6y - 5z = 0

mempunyai matriks diperbesar 

1

1

2

9

2

4

1

3

6

3 5

0

4.2.1 Operasi Baris Elementer (OBE)

Untuk menyelesaikan SPL (menentukan penyelesaian SPL), dilakukan dengan mengganti sistem dengan sistem lain yang mempunyai penyelesaian sama tetapi lebih mudah diselesaikan. Sistem yang baru ini diperoleh dengan melakukan sederetan langkah (3 tipe operasi) yang dikenakan pada persamaan-persamaannya. Karena baris pada matriks diperbesar adalah penyajian dari persamaan pada SPL, maka 3 tipe operasi yang dilakukan terhadap persamaan akan ekuivalen dengan 3 operasi yang dilakukan terhadap baris-baris matriks diperbesarnya. Ketiga tipe operasi tersebut dikenal dengan sebutan "Operasi Baris Elementer (OBE)", yaitu :

04 SPL 2013.nb

38

1. mengalikan suatu baris dengan konstanta tidak nol 2. mempertukarkan antara 2 baris 3. menambahkan perkalian suatu baris ke baris lainnya. 

Eliminasi Gauss-Jordan (Bentuk Eselon Baris Tereduksi) Berikut ini dijelaskan penyelesaian SPL menggunakan operasi baris elementer sehingga diperoleh matriks berbentuk eselon baris tereduksi. Metode penyelesaian ini disebut metode eliminasi Gauss-Jordan.



Contoh 4.4 Untuk menyelesaikan SPL pada Contoh 2.2 no.1: x + y + 2z = 9 2x + 4y - 3z = 1 3x + 6y - 5z = 0

yang mempunyai matriks diperbesar

A=

1

1

2

9

2

4 6

3 5

1

3

, dilakukan sederetan langkah OBE

0

sebagai berikut: 1. tambahkan (-2) x baris 1 ke baris 2, diperoleh matriks baru yang ekuivalen, yaitu A = 1

1

0

2

3

6

2

9

 7  17 5 0

Dengan Mathematica , digunakan perintah sebagai berikut: 1 1 2 9 2 4 3 1 ; 3 6 5 0

A

 

A 2

  A2; A  MatrixForm

2 A 1



1 1 2 0 2 7 3 6 5



9 17 0

2. tambahkan (-3) x baris 1 ke baris ke 3, diperoleh matriks baru yang ekuivalen, yaitu A = 1

1

0

2

0

3

2

9

 7  17  11  27

Dengan Mathematica, digunakan perintah sebagai berikut:

 

A 3


3A 1



1 1 0 2 0 3

2 7 11



9 17 27

3. kalikan baris ke 2 dengan konstanta 1

1

2

9

0

1

 72

 17 2

0

3

1 , 2

diperoleh matriks yang ekuivalen, yaitu A =

 11  27

Dengan Mathematica , digunakan perintah sebagai berikut:

04 SPL 2013.nb

39

  1  2 A2; A  MatrixForm

A 2





1 1

2

0 1

7  2

0 3



9 

11

17 2

27



4. tambahkan (-3) x baris 2 ke baris 3, diperoleh matriks yang ekuivalen, yaitu A = 1

1

0

1

0

0

2

9

7

17

2 

2

1

3

2

2


 

A 3


3A 2





1

5. kalikan baris 3 dengan konstanta -2, diperoleh matriks ekuivalen, yaitu A =

1

0

1

0

0

2

9

7

 2  17 2 1

3


 

A 3

  

2  A 3 ; A MatrixForm



1

6. tambahkan (-1) x baris 2 ke baris ke 1, diperoleh matriks ekuivalen, yaitu A =

0

0

1

0

0

11

35

2

2

7

 2  17 2 1

3


 

A 1


1 A 2

 



7. tambahkan (- 112 ) x baris 3 ke baris 1 dan juga tambahkan ( 72 ) x baris 3 ke baris 2, diperoleh matriks ekuivalen,

yaitu A =

1

0

0

1

0

1

0

2

0

0

1

3

. Dengan Mathematica , digunakan perintah sebagai berikut:

  11 A3 A1; A2 2 A  MatrixForm A 1







7 



2

  A2;

A 3



Dari matriks bentuk terakhir, diperoleh penyelesaian: x = 1 , y = 2 dan z = 3 (merupakan penyelesaian tunggal). Bentuk matriks A yang terakhir diperoleh, disebut bentuk eselon baris tereduksi ( reduced rowechelon ). Sederetan OBE yang dilakukan untuk memperoleh bentuk eselon baris tereduksi, disebut eliminasi Gauss-Jordan. Dengan Mathematica , untuk menentukan bentuk eselon baris tereduksi suatu matriks, dapat digunakan perintah RowReduce, kemudian dalam kurung siku isikan matriks yang akan ditentukan bentuk eselon baris tereduksinya. Sekarang dicoba untuk menentukan bentuk eselon baris tereduksi dari matriks diperbesar pada Contoh 2.4 di atas.

04 SPL 2013.nb

40

1 1 2 9 A  RowReduce 2 4 3 1 3 6 5 0



; A  MatrixForm

1 0 0 1 0 1 0 2 0 0 1 3

Ada beberapa fungsi built-in dalam Mathematica yang dapat digunakan untuk menyelesaikan SPL, diantaranya adalah: 1. Menggunakan perintah Solve, kemudian di dalam kurung siku isikan perkalian matriks koefisien ruas kiri SPL dengan matriks kolom variabelnya, lalu diikuti tanda = = dan matriks koefisien ruas kanan SPL, selanjutnya diikuti variabel-variabel yang akan ditentukan nilainya dalam kurung kurawal. Dari Contoh 2.2 no.1: x 1 1 2 Solve 2 4 3 . y z 3 6 5



x



1, y  2, z  3



9 1 , x, y, z 0







2. Menggunakan perintah LinearSolve, kemudian di dalam kurung siku isikan matriks koefisien ruas kiri SPL, diikuti tanda koma dan matriks koefisien ruas kanan SPL. Dari Contoh 2.2 no.1: 1 1 2 9 LinearSolve 2 4 3 , 1 3 6 5 0





1, 2, 3 Pertanyaan selanjutnya, apa perbedaan hasil dari kedua perintah tersebut ? Sekarang diperhatikan penggunaan kedua perintah tersebut untuk Contoh 2.2 no.2 x 2 2 2 Solve 2 5 2 . y z 8 1 4





0 1 , x, y, z 1





Solve::svars : Equations may not give solutions for all "solve" variables. More…

x

1 

3z 

7

7

, y

1

4z 

7

2 2 2 LinearSolve 2 5 2 , 8 1 4



 1 ,  1 , 0 

7

7

dengan ROwReduce :

7



0 1 1



04 SPL 2013.nb

41

2 2 2 0 J  RowReduce 2 5 2 1 ; J MatrixForm 8 1 4 1



3 7 4 7

1 0 0 1

 

1 7 1 7



0 0 0

0

Apa yang dapat saudara simpulkan dengan penggunaan kedua perintah tersebut ? LATIHAN: Selesaikan SPL berikut menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan (OBE). ............................(2 POIN) 2x + y - z = 2 x + 2y + z =7 - x + 2y + 2z = 6 Jawaban: x=2, y=1, z=3 

4.2.2 Menentukan invers matriks menggunakan OBE

Selain menggunakan matriks adjoint, invers suatu matriks juga dapat ditentukan menggunakan operasi baris elementer. Misalkan akan ditentukan invers matriks A yang berukuran n x n. Langkah yang dilakukan adalah mengubah bentuk matriks [ A n | I n ] ke bentuk matriks [ I n | A 1 ]. Jadi menggunakan operasi baris elementer, matriks A n yang berada di sebelah kiri matriks identitas direduksi sampai diperoleh bentuk matriks identitas, yang berakibat di bagian kanan matriks identitas tersebut adalah matriks A 1 . 





Contoh 4.5 Akan ditentukan invers matriks A =

1

2

3

2

5

3

1

0

8

Bentuk matriks [ A n | I n ] nya adalah

1

2

3

1

0

0

2

5

3

0

1

0

1

0

8

0

0

1

.

Langkah-langkah yang dilakukan adalah : 1. tambahkan -2 x baris 1 ke baris 2 dan juga -1 x baris 1 ke baris 3, akan didapat matriks 1

2

0

1

0

2

AI 

3

1

3 2 5 1

0

0

1

0

0

1

1 2 3 1 0 0 2 5 3 0 1 0 ; 1 0 8 0 0 1

  2 AI1 AI  MatrixForm

AI 2



1 2 3 0 1 3 0 2 5





1 0 0 2 1 0 1 0 1

   

AI 2 ; AI 3

 

1 AI 1

 



 

AI 3 ;

04 SPL 2013.nb

42

2. tambahkan 2 x baris 2 ke baris 3, akan didapat matriks

 

AI 3



 

2  AI 2

1 2 3 0 1 3 0 0 1



1

2

0

1

0

0

 

1

3 2 1 5

0

0

1

0

2

1

  

AI 3 ; AI MatrixForm

1 0 0 2 1 0 5 2 1

3. kalikan baris 3 dengan konstanta -1, akan diperoleh matriks AI 3

3

1

2

0

1

0

0

3

1

3 2 1

5

0

0

1

0

2 1

  

1 AI 3 ; AI MatrixForm

 

1 2 3 1 0 0 0 1 3 2 1 0 0 0 1 5 2 1

4. tambahkan 3 x baris 3 ke baris 2 dan juga -3 x baris 3 ke baris 1.

  3 AI3 AI  MatrixForm AI 2







   

AI 2 ; AI 1

 

3  AI 3





 

AI 1 ;

1 2 0 14 6 3 0 1 0 13 5 3 0 0 1 5 2 1

5. tambahkan -2 x baris 2 ke baris 1

 

AI 1

 

2  AI 2



1 0 0 0 1 0 0 0 1



  

AI 1 ; AI MatrixForm

40 16 9 13 5 3 5 2 1



Akhirnya matriks A n sudah direduksi menjadi matriks I n dan di sebelah kanan matriks I n adalah matriks A 1 , yaitu 

1

 40

A = 

16

9

5 3 . 2 1

13 5

Sekarang dicek menggunakan perintah di Mathematica , A

1 2 3 2 5 3 ; 1 0 8

  

IA  Inverse A ; IA MatrixForm 40 16 9 13 5 3 5 2 1





Contoh 4.6 Sekarang dicoba untuk menentukan invers matriks B =

1

6

4

2

4

1

1

2

5

04 SPL 2013.nb

43

1 6 4 1 0 0 2 4 1 0 1 0 ; 1 2 5 0 0 1

BI 

  2 BI1 BI2; BI3 1 BI1 BI3; BI  MatrixForm BI2 1  8 BI2; BI  MatrixForm BI3 8 BI2 BI3; BI1 6 BI2 BI1; BI  MatrixForm BI 2





 





















Ternyata di bagian kiri tidak diperoleh matriks identitas, tetapi didapat matriks dengan baris terdiri elemen 0 semua. Ini berarti matriks B tidak mempunyai invers. Dicek menggunakan perintah dalam Mathematica , 1 6 4 2 4 1 ; 5 1 2

B



Inverse B



 

  1, 2, 5 is singular. More…

Inverse::sing : Matrix 1, 6, 4 , 2, 4, 1 ,



 



  1, 2, 5

Inverse 1, 6, 4 , 2, 4, 1 ,



Dikatakan bahwa matriks B singular, yaitu | B | = 0. Dicek menggunakan perintah dalam Mathematica ,



Det B 0

LATIHAN: Tentukan invers matriks berikut menggunakan OBE. ................................(2 POIN)



2

1

1

1

2

3

1

4

2

4.2.3 Menentukan Penyelesaian SPL Menggunakan Invers Matriks Koefisien dan Matriks Konstanta Ruas Kanan

Yang lalu sudah diterangkan bahwa SPL dapat dituliskan dalam bentuk matriks AX = B, dengan A = matriks koefisien ruas kiri, X = matriks kolom variabel-variabelnya dan B = matriks konstanta ruas kanan. Jika matriks A mempunyai invers, maka penyelesaian SPL dapat ditentukan dengan X = A 1 .B 



Contoh 4.7 Akan ditentukan penyelesaian SPL : x 1+ 2x 2 + 3x 3 = 5 2x 1 + 5x 2 + 3x 3= 3 x 1 + 8x 3 =17 SPL tersebut dapat ditulis dalam bentuk matriks AX = B dengan A = 5 3 17

Pada Contoh 2.5 sudah diketahui bahwa A mempunyai invers.

1

2

3

2

5

3

1

0

8

x1

,X=

x2 x3

dan B =

04 SPL 2013.nb

44

1 2 3 5 2 5 3 ;B 3 ; 1 0 8 17

A





inA  Inverse A ; inA MatrixForm

Selanjutnya untuk menentukan penyelesaian SPL, dilakukan langkah-langkah sebagai berikut



X  inA.B; X MatrixForm

Diperoleh penyelesaian: x 1 = 1, x 2 = -1 dan x 3 = 2. 

4.2.4 Beberapa SPL dengan Matriks Koefisien Sama

Jika ada beberapa SPL : AX 1 = B 1 , AX 2 = B 2 , . . . , AX k = B k dengan matriks koefisien A yang sama, maka jika ditentukan penyelesaiannya menggunakan cara pada sub bab di atas yaitu X 1 = A 1 B 1 , X 2 = A 1 B 2 , . . . , X k = A 1B k , diperlukan 1 kali operasi penentuan invers dan k kali operasi perkalian matriks. Metode lain yang lebih efisien dilakukan adalah dengan menggunakan OBE mengubah matriks [ A | B 1 | B 2 | . . . | B k ] ke matriks [ I | X 1 | X 2 | . . . | X k ] 







Contoh 4.8 Akan ditentukan penyelesaian dari 2 SPL berikut : a). x 1+ 2x 2+ 3x 3 = 4 1 2x 1 + 5x 2 + 3x 3 = 5 x 1 + 8x 3 = 9 Matriks [ A | B 1 | B 2 ] adalah

AB 

1 2 3 4 1 2 5 3 5 6 ; 1 0 8 9 6

Langkah-langkah OBE yang dilakukan adalah :

  2 AB1 AB  MatrixForm

AB 2 1 0 0





   

 

   





AB 2 ; AB 3



AB 1 ; AB 3

 

1 AB 1



 

AB 3 ;

2 3 4 1 1 3 3 4 5 5 7 2

 

AB 1

 

2  AB 2



1 0 9 10 7 0 1 3 3 4 0 0 1 1 1

 

AB 3

 



1 AB 3 ; AB MatrixForm

 

1 0 9 10 7 0 1 3 3 4 0 0 1 1 1

 

2  AB 2



 



AB 3 ; AB MatrixForm

dan b)

x 1+ 2x 2 + 3x 3 =

2x 1+ 5x 2+ 3x 3 = 6 x 1 + 8x 3 = -6

04 SPL 2013.nb

45

  9 AB3 AB  MatrixForm

AB 1







   

AB 1 ; AB 2



 

3  AB 3



 

AB 2 ;

1 0 0 1 2 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1

Diperoleh matriks [ I | X 1 | X 2 ], yaitu penyelesaian SPL a) adalah x 1 = 1 , x 2 = 0 dan x 3 =1 b) adalah x 1 = 2 , x 2 = 1 dan x 3 = -1

4.3 Menyelesaikan SPL dengan Cara Cramer

Untuk menyelesaikan SPL dengan cara Cramer, harus dipenuhi syarat-syarat berikut: 1. Misal A adalah matriks koefisien ruas kiri dari SPL, disyaratkan | A |  0 2. Matriks A harus berupa matriks bujur sangkar, yaitu banyak baris = banyak kolom. Jika SPL terdiri dari n persamaan linear dalam n variabel x 1 , x 2 , . . . , x n , maka A berukuran n x n. Penyelesaiannya adalah

x i =

A i A

, dengan A i = matriks A dengan kolom i diganti konstanta ruas

kanan SPL 

Contoh 4.9 Misalkan akan ditentukan penyelesaian SPL pada Contoh 2.2 no.1: x + y + 2z = 9 2x + 4y - 3z = 1 3x + 6y - 5z = 0



Clear A, A1, A2, A3 A

x y  z



1 1 2 9 1 2 1 9 2 1 1 9 2 4 3 ; A1  1 4 3 ; A2  2 1 3 ; A3  2 4 1 ; 3 6 5 0 6 5 3 0 5 3 6 0

  DetA DetA2 DetA DetA3 DetA Det A1

Diperoleh penyelesaian SPL : x = 1 , y = 2 , z = 3.

4.4 Contoh Aplikasi

Berikut ini diberikan contoh dari kasus nyata sebagai berikut : Suatu pabrik perakitan monitor komputer memproduksi 2 model (model A dan model B ) di tempat perakitan yang sama. Masing-masing produk harus menjalani proses perakitan di 3 unit kerja. Waktu perakitan di unit kerja I adalah: 2 jam untuk model A dan 2 jam untuk model B . Di unit kerja II adalah: 3 jam untuk model A dan 1 jam untuk model B. Di unit kerja III adalah: 1 jam untuk model A dan 3 jam untuk model B. Tiap unit kerja menyediakan waktu untuk proses perakitan dalam sehari adalah: 18 jam di unit kerja I, 17 jam di unit kerja II, dan 19 jam di unit kerja III.

04 SPL 2013.nb

46

Untuk mendapatkan hasil yang optimal, pabrik mengharuskan karyawannya menggunakan seluruh jam yang disediakan. Berapa banyak monitor masing-masing model yang dihasilkan dalam sehari ? Penyelesaian:

Untuk menjawab permasalahan tersebut di atas, diidentifikasi lebih dahulu variabel-variabel yang digunakan. Misal x = banyaknya monitor model A y = banyaknya monitor model B Selanjutnya nanti akan ditentukan nilai untuk x dan y. Dibuat sistem persamaan linear yang disusun dari masalah di atas, sebagai berikut: Di unit kerja I: untuk mengerjakan model A perlu waktu 2 jam dan untuk mengerjakan model B perlu waktu 2 jam, sedangkan waktu yang disediakan (dan harus dipakai seluruhnya) adalah 18 jam. Jadi diperoleh persamaan linear I : 2x + 2y = 18. Di unit kerja II: untuk mengerjakan model A perlu waktu 3 jam dan untuk mengerjakan model B perlu waktu 1 jam , sedangkan waktu yang disediakan (dan harus dipakai seluruhnya) adalah 17 jam. Jadi diperoleh persamaan linear II : 3x + y = 17. Di unit kerja III: untuk mengerjakan model A perlu waktu 1 jam dan untuk mengerjakan model B perlu waktu 3 jam, sedangkan waktu yang disediakan (dan harus dipakai seluruhnya) adalah 19 jam. Jadi diperoleh persamaan linear III : x + 3y = 19 Tiga persamaan linear tersebut membentuk suatu sistem persamaan linear (SPL), yang selanjutnya diselesaikan untuk menentukan nilai-nilai x dan y nya. 2 2 x Solve 3 1 . y 1 3





18 17 , x, y 19

2 2 18 LinearSolve 3 1 , 17 1 3 19



 



Apakah masalah tersebut dapat diselesaikan dengan cara Cramer ? Jelaskan ! Coba kalau diselesaikan dengan OBE, apa yang diperoleh ?

Latihan 4.1

1. Diketahui SPL :

- x - 2y - 3z = 0 w + x + 4y + 4z = 7 w + 3x + 7y + 9z = 4 -w - 2x - 4y - 6z = 6 Tentukan penyelesaian SPL tersebut menggunakan: a. operasi baris elementer b. perkalian antara invers matriks koefisien dengan matriks konstanta ruas kanan c. cara Cramer d. perintah Solve dan LinearSolve dalam Mathematica .

2. Tentukan penyelesaian 2 (dua) SPL berikut secara bersama-sama:

04 SPL 2013.nb

47

a).

x - 2y + z = -2 b). x - 2y + z = 1 2x - 5y + z = 1 2x - 5y + z = -1 3x - 7y + 2z = -1 3x - 7y + 2z = 0 Selanjutnya ceklah hasil masing-masing menggunakan perintah Solve dan LinearSolve.

BAB V VEKTOR

TUJUAN

setelah mempelajari tentang vetor, diharapkan mahasiswa : 1. menggambarkan vektor secara geometris 2. melakukan operasi aritmatik pada vektor 3. menghitung norm vektor

5.1. PENGERTIAN VEKTOR Seeslideshow 5.2 PENYAJIAN VEKTORSECARA GEOMETRISDI RUANGD2 Seeslide show 5.3 operasi penjumlahan vektor  Seeslideshow

5.4 PENYAJIAN VEKTOR DALAM SISTEM KOORDINAT DI R-2 (MENGGAMBAR VEKTOR)  GraphicsÀrrow`

u  1, 2; v  2, 1; w  1, 1; ShowGraphicsHue0.0, Arrow0, 0, u, Text"u",  .6, .8, Hue0.3, Arrow0, 0, v, Text"v",  1, .7, Hue.7, Arrow0, 0, w, Text"w",  .7, .4, Axes  True, AxesLabel  X, Y; Y 2 1.5 1 u 0.5

w

X -1

-0.5

0.5

1

-0.5 v -1

u  1, 2; v  2, 1; k  2; n  1;

1.5

2

2

V vektor.nb

ShowGraphicsHue0.0, Arrow0, 0, u, Text"u",  .6, .8, Hue0.3, Arrow0, 0, v, Text"v",  1, .7, Hue.7, Arrow0, 0, u  v, Text"uv",  2, .4, Axes  True, AxesLabel  X, Y; Y 2 1.5 1 u 0.5

uv X 0.5

1

1.5

2

2.5

3

0.5 v -1

uv

3, 1 ShowGraphicsHue0.0, Arrow0, 0, u, Text"u",  .6, .8, Hue0.3, Arrow0, 0, v, Text"v",  1, .7, Hue.7, Arrow0, 0, u  v, Text"uv",  .5, 2, Axes  True, AxesLabel  X, Y; Y 3

u v

2

1 u

X -1

-0.5

0.5

1

1.5

2

v -1

uv

1, 3 Show GraphicsHue0.6, Arrow0, 0, u, Text"u",  1, .8, Hue0.9, Arrow0, 0, k u, Text"ku",  1.5, 2.4, Axes  True, AxesLabel  X, Y; Y 4

3 ku 2

1 u

0.5

u ku

1, 2 2, 4

1

1.5

2

X

V vektor.nb

3

ShowGraphicsHue0.6, Arrow0, 0, v, Text"v",  1, .8, Hue0.9, Arrow0, 0, n v, Text"nv",  1, .8, Axes  True, AxesLabel  X, Y; Y 1 nv 0.5

X -2

-1

1

2

-0.5 v -1

5.4.2 TITIK AWAL VEKTOR TIDAK DI PUSAT KOORDINAT contoh : Diketahuititik P 1, 3 , Q 4, 2. berikut ditentukan komponen PQ dan gambar vektornya.  GraphicsÀrrow`

OP  1, 3; OQ  4, 2; PQ  OQ  OP

3, 1 ShowGraphicsHue0.0, Arrow0, 0, OP, Text"P",  .6, .8, Hue0.3, Arrow0, 0, OQ, Text"Q",  2, .7, Hue.7, Arrow1, 3,  4, 2, Text"PQ",  2, 2.4, Axes  True, AxesLabel  X, Y; Y 3 2.5

PQ

2 1.5 1 P

Q

0.5 X 1

2

5.5 NORM VEKTOR

Clearnormu, normv, norms

3

4

4

V vektor.nb

normu1_, u2_   Sqrtu1^2  u2^2 u12  u22 normu  norm4, 3 5 norms  norm1, 1 2 normv  norm2, 1 5

5.6 JARAK DUA TITIK

MISAL diketahuiP  2, 1, Q  1, 3. ditentukan jarak kedua titiktersebut. P  2, 1; Q  1, 3; PQ  Q  P

3, 4 Jarak antara P dan Q adalah panjang d, d  norm3, 4 5

5.7 PERKALIAN VEKTOR

VEKTOR U DANV adalah vektorbukannol. titik awal masing masing vektorberimpit. Sudut antara u danv dinotasikan  , o    .

V vektor.nb

v

v

v u

5

6

V vektor.nb

v u

jika diketahui u  u1, u2, dan ventirv  v1, v2. perkalian titik u dan v didefinisikan :

contoh; vektoru  6, 2, dan v  4, 0. berikut diberikan perkalian antara dua vektor u  6, 2; v  4, 0; u.v 24

Dotu, v 24

menghitung sudut : cos 

u.v norm6, 2 norm4, 0

3 

10 

NArcCoscos 

2.81984

5.8vektor vektor yang tegak lurus  GraphicsÀrrow`

u  3, 6; v  4, 2; u.v 0

modul komputasi DIII TI.pdf

Recommend Documents