MODEL O DE FALLA CIRCUL AR
E.A. P Ing. Minas
I.
Modelo de falla Circular
Introducción
En el caso de suelos, escombros y macizos rocosos de baja calidad muy alterados o meteorizados, meteorizados, la rotura se produce a través de la masa o el macizo macizo (sin seguir discontinuidades) discontinuidades) siguiendo la línea de menor resistencia. En el ámbito minero esta rotura es relativamente comn en escombreras y presas de estériles, y también en taludes de e!plotaciones de arcillas o arenas. "ambién se da muy comnmente en taludes de carretera y en laderas naturales. #e produce a lo largo de una super$icie de deslizamiento interna, de $orma apro!imadamente circular y cóncava. #e puede demostrar %ue en suelos &omogéneos la super$icie de rotura es una espiral logarítmica y %ue, por tanto, se apro!ima muc&o a un círculo. 'a mayoría de las teorías de análisis suelen partir de la &ipótesis de %ue la super$icie de rotura o deslizamiento es circular por lo %ue no cometen un error signi$icativo. signi$icativo. 'os círculos de rotura rotura suelen, suelen, además, pasar por el pie del talud. El movimiento tiene una naturaleza más o menos rotacional, alrededor de un eje dispuesto paralelamente al talud, segn se muestra en la igura ..
Figura 11.1. Rotura típica con forma cilíndrica.
*un%ue las salidas salidas de rotura tienden a pasar pasar por el pie del talud, pueden también también originarse en otras partes di$erentes del talud, segn las características resistentes del material, altura e inclinación del talud, etc., t al como %ueda puesto de mani$iesto en la igura . . +.a. En la super$icie del terreno suelen aparecer grietas concéntricas y cóncavas &acia la dirección del movimiento, con un escarpe en su parte alta, tanto más acusado cuanto mayor desplazamiento desplazamiento su$re la masa deslizada, segn se muestra en la igura .+.b.
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a)
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b)
igura .+. a) i$erentes super$icies de rotura circular. b) -or$ología del deslizamiento rotacional de un talud.
arnes arnes (/01) describió de manera detallada detallada la mor$ología característica característica de este tipo de movimientos del terreno (igura .2.a.), %ue constará de una zona de de$lacción en la %ue el terreno desciende y una zona de acumulación en la %ue el terreno aumenta su cota. 'a zona superior de de$lacción suele %uedar delimitada delimitada por un escarpe principal de coronación superior %ue puede ir acompa3ado o no de escarpes secundarios in$eriores. #e muestra en la $otogra$ía de la igura .2.b el escarpe superior de un movimiento de ladera de unos +44 metros de largo por 44 de anc&o, con un escalón de unos 25 cm. El contacto entre las zonas de de$lacción y acumulación suele %uedar registrado en el terreno por la aparición de grietas de tracción, tal y como muestran los mecanismos de la igura .2.a. y la $otogra$ía de la igura .2.c, correspondiente al movimiento del terreno debido a una época de lluvias persistentes de una ladera en un granito residual altamente descompuesto. En la igura .2.d. se muestra un plano topográ$ico de una zona con un ligero movimiento de este tipo en un granito residual altamente descompuesto, descompuesto, donde se puede observar %ue no resulta sencillo delimitar de manera e!acta la e!tensión del movimiento, pero si situar algunos escarpes y grietas %ue permitirán apro!imar apro!imar con e!actitud su$iciente para su análisis la posición de entrada y salida de la super$icie de deslizamiento. 'a delimitación de la zona in$erior del movimiento y por lo tanto de la zona de acumulación, acumulación, suele resultar más compleja y dependiente dependiente del mecanismo de rotura (movimiento rotacional rotacional normal, 6debris 6debris $lo78, ...), pero en todo caso suele observarse observarse o topogra$iarse topogra$iar se o bien un abombamiento o un gran desplazamiento del terreno en la zona. 'a inclinación de los postes o árboles suele ser bastante indicativa de la ocurrencia de $enómenos rotacionales.
En ocasiones en las %ue el macizo rocoso una di$erencia signi$icativa entre las resistencias de pico y residual, residual, estas roturas ocurrirán de manera rápida por lo %ue el
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movimiento será $ácilmente reconocible aun%ue más di$ícil de analizar por poder &aber tenido lugar una rotura progresiva.
igura .2. -or$ología de los movimientos rotacionales típicos de la rotura circular segn arnes (/09), junto con $otogra$ías y un plano correspondientes a un movimiento de este tipo en un granito residual altamente descompuesto
I.
METODOS DE ANALISIS PARA ESTAILIDAD DE TALUDES CON ROTURA CIRCULAR
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Metodos de Equilibrio Limite (GLE) Metodo de fajas o #o E"actos rebanadas
metodo de a!ro"imados estabilidad global o del solido libre
!recisos o com!letos metodo de fajas o doelas
$ellenius % ma& arco arco circular logaritmico
II.
-!encer
a!ro"imados
'is(o! modi)cado Circulo con rozamiento o circulo sueco
Morgenstern % Price !recisos o com!letos
Lo*e & +ara)an circulo sin rozamiento o de Peterson jambu sim!licado
'is(o! com!leto
,tros
,tros
.ambu com!leto
MÉTODOS DE ESTABILIDAD LOBAL
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:ara analizar la estabilidad de un talud de características resistentes y geometría determinadas, es necesario conocer el centro y el radio del círculo por donde se produce el deslizamiento. Este &a de satis$acer la condición de %ue la relación entre la resistencia al corte del macizo rocoso a lo largo de la super$icie y los es$uerzos tangenciales sea la mínima de todas las super$icies posibles. #u posición se suele estimar mediante tanteos. En la Figura 11.! se pueden ver las $uerzas %ue actan sobre la masa de terreno inestable, %ue son las siguientes;
• • • • •
:eso, P .
'a resultante de las $uerzas tangenciales actuantes en la línea de rotura se puede descomponer de la siguiente $orma;
donde, R
∅
y Rc son las $uerzas tangenciales resistentes $riccional y co&esiva
%ue el terreno puede desarrollar a lo largo de la línea de rotura, y el coe$iciente de seguridad de la masa deslizante. Rc es totalmente conocida tanto en magnitud como en dirección, ya %ue suponiendo %ue la co&esión, c , es constante y conocida a lo largo de todo el arco de deslizamiento desde a &asta b resulta;
donde 'abcuerda es la magnitud de la cuerda ab y además el vector tiene la dirección de dic&a cuerda. :ara determinar la distancia
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y por tanto;
R
∅
no es conocida ni en dirección, ni en magnitud, pero va ligada a N , por;
y por de$inición es perpendicular a la línea de acción de =, de la %ue se sabe %ue pasa necesariamente por el centro del círculo de rotura.
Figura 1.!. Fu"r#a$ %u" act&an "n una rotura circular.
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En el análisis de e%uilibrio límite se conocen P , A y U . :ara conocer T c &ace $alta F . :ara conocer el momento de T
&acen $alta N , F y r . e N sólo se
sabe %ue pasa por el centro del círculo desconociéndose su magnitud y el otro parámetro direccional. *sí pues se cuenta con 1 incógnitas (.F; +. 'a magnitud de N > 2. :arámetro de la línea de acción de N y 1.r ) y sólo 2 ecuaciones (. :royección en ?> +. :royección en @ y 2. E%uilibrio de momentos). *sí pues el problema es estáticamente indeterminado y es necesario realizar &ipótesis para $ijar una incógnita y poder resolver el problema> entre las &ipótesis $ormuladas cabe destacar las siguientes;
•
"odos los es$uerzos normales se concentran en un punto. Esta &ipótesis no es realista, pero da el límite in$erior de F , %ue es lo %ue se conoce en terminología anglosajona como 6lo7er bound8.
•
'os es$uerzos normales se concentran en los e!tremos del arco de deslizamiento. Esta &ipótesis, también denominada &ipótesis de rA&lic&, daría el límite superior de F , %ue es lo %ue se conoce en terminología anglosajona como 6upper bound8.
•
En un talud real la distribución de estos es$uerzos normales es desconocida. #in embargo, se puede suponer una distribución $uncional, por ejemplo, sinusoidal de los es$uerzos normales ("aylor, /19). Bon esta &ipótesis e!iste un ábaco %ue permite obtener la relación r
∅
C r en
$unción del arco de círculo %ue incluye a toda la super$icie de deslizamiento y %ue se puede consulta en te!tos clásicos como "aylor (/19) o 'ambe y D&itman (//). * partir del valor de esta relación se puede resolver el problema e incluso obtener ábacos especí$icos para este tipo de &ipótesis, %ue aun%ue razonable, puede no ser en algunos casos e!cesivamente realista.
•
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III.
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'IR'(LO DE RO)AMIE*TO
) Feneralidades. En terrenos &omogéneos las super$icies de deslizamiento de directriz circular se ajustan con bastante precisión a la realidad observada, denominándose por ello 6deslizamientos rotacionales8. Bomplementariamente y desde un punto de vista práctico, el arco de circun$erencia constituye una geometría sencilla de $ácil análisis matemático, lo %ue sin duda &a contribuido también a su é!ito y di$usión. Gistóricamente, las primeras descripciones detalladas de super$icies de deslizamiento de directriz curva se deben probablemente al ingeniero $rancés *le!andre Bollin, uno de cuyos dibujos se reproduce en la $igura .5.
Figura 1.5: Deslizamiento en la trinchera de cimentación de la presa de Grosbois (Collin, A. 1!"#. ($omado de %&empton, A.'.#.
En
lo
%ue
respecta
a
las
super$icies
de
deslizamiento
de
directriz
especí$icamente circular, al parecer se comenzaron a emplear en #uecia en / tras la observación sistemática d e algunos
muelles
del
puerto
este
mecanismo de
rotura
en
de Fotemburgo (:etterson, H.E.). ic&a
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tipología $ue posteriormente corroborada, en /++, a través de un in$orme elaborado por una Bomisión Feotécnica de los errocarriles #uecos, encargada de estudiar mltiples casos de inestabilidad, muc&os de las cuales resultaron tener el mismo mecanismo circular de rotura. * partir de entonces, este tipo de super$icie de rotura se &a empleado con pro$usión. El modelo de cálculo global desarrollado a partir de las observaciones anteriores se denomina método del crculo de rozamiento por los motivos %ue más adelante se e!ponen, o también &abitualmente y dado su origen, del 6crculo sueco8. uizás la descripción más conocida de este método sea la recogida por "aylor, .D. (/), cuyo desarrollo se e!pone a continuación.
+) esarrollo conceptual
'a $igura .. muestra una super$icie de rotura circular de centro ) y radio * , tentativa para un determinado talud &omogéneo.
Figura 1.": Fuerzas actuantes en una super+icie circular de deslizamiento.
'as $uerzas %ue actan sobre la masa potencialmente deslizante son; • A;
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•
' . :eso propio de la masa de suelo.
•
:
•
-:
•
*m:
el sistema anterior se supone %ue A es conocida y puede ser determinada tanto en magnitud como en dirección. 'o mismo cabe decir de ', %ue puede ser calculada conociendo la geometría del talud y
la super$icie de
deslizamiento supuesta, y de , cuya estimación puede e$ectuarse a partir de las condiciones &idrogeológicas e!istentes. En lo %ue respecta a - J, al ser la resultante de las tensiones e$ectivas normales a una super$icie circular, &a de pasar por su centro ) , pero su punto de aplicación y su magnitud son por el momento desconocidas, dependiendo ambos lógicamente de la distribución d e
tensiones e$ectivas normales a
lo largo de la super$icie de deslizamiento. inalmente,
*m
es
la
resultante
de
las
tensiones
tangenciales
movilizadas para alcanzar el e%uilibrio estricto, cuya e!presión general se &a de ajustar al criterio de rotura de -o&rKBoulomb;
' es la longitud del arco *L de la super$icie de deslizamiento supuesta y dl es el di$erencial de longitud de dic&o arco, considerado como vector.
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ado %ue la resultante de tensiones tangenciales en su $orma más general tiene dos componentes, co&esiva y $riccional, para a&ondar un poco en su conocimiento, supóngase %ue se divide el arco *L, de longitud total /a en pe%ue3os elementos, y %ue en cada uno de ellos se representan los dos términos de la resistencia movilizada *m. En la $igura .0.a se muestran las componentes debidas a la co&esión, y en la $igura .0.b las $riccionales o de rozamiento. Bon respecto a las $uerzas resistentes co&esivas, descomponiendo cada una de ellas en la dirección de la cuerda *L y en la perpendicular a ésta, y realizando su suma vectorial, es inmediato observar %ue su resultante &a de ser paralela a la cuerda *L (la suma de
componentes perpendiculares es nula). :or
precisamente; R
c
tanto su
magnitud es
= c' ·L m , donde 'c es la longitud de dic&a cuerda.
m
En cuanto a su línea de acción, el momento de la resultante respecto al centro del círculo &a de ser igual a la suma de momentos de todas las $uerzas co&esivas en los pe%ue3os elementos, de cuerda asimilable al arco y de longitud 'i, así %ue llamando r al brazo de la resultante;
y, por tanto;
Bon relación a la $uerza resistente $riccional, en cada uno de los elementos su magnitud será;
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$igura 0.12 3etalles sobre las fuerzas inolucradas en el an4lisis de estabilidad. (modicada de 5a&lor6 3.7. o!. cit.)
:or de$inición la resultante vectorial :i de cada pareja (=Ji, < $ormar un ángulo
∅
∅ m. i
) &a de
Jm con la línea de acción de la $uerza =Ji correspondiente y,
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además, la línea de acción de cada =Ji pasa necesariamente por M. En consecuencia, las resultantes :i serán tangentes a otro círculo, concéntrico con el de la super$icie de deslizamiento supuesta y de radio
∅
Jm. * este ltimo
círculo se le denomina círculo de $ricción, y da nombre al método de cálculo. *&ora bien, como se puede apreciar $ácilmente en la $igura .0.b, la suma vectorial de cual%uier pareja de $uerzas :i no es tangente al círculo de $ricción, y por tanto su resultante : tampoco lo será. 'o %ue sí se sabe es %ue si el vector L ($igura .0.c) representa a la resultante de las $uerzas conocidas inicialmente, D, * y N, para %ue e!ista e%uilibrio la línea de acción de : &abrá de pasar por el punto , intersección de las líneas de acción de L y de
∅
, por ejemplo, de la misma $igura). Esta
indeterminación se debe a %ue se desconoce la distribución de tensiones e$ectivas normales a lo largo de la super$icie de deslizamiento. #i se realiza una &ipótesis sobre la $orma de dic&a distribución, se conocerían las líneas de acción de =J y <8m, y sólo %uedarían dos incógnitas; y =J. :or lo tanto, es necesario suponer una distribución de tensiones %ue dependa de un parámetro, de manera %ue el nmero de incógnitas sea igual a 2.
2) :rocedimiento original
'a &ipótesis más sencilla consiste en suponer %ue las tensiones e$ectivas normales se concentran en un punto de la super$icie de rotura, es decir, %ue el punto de aplicación de - se encuentra en dic&a super$icie. En estas circunstancias r
∅
P < y la resultante 0 &a de ser tangente al círculo de
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rozamiento, lo %ue evidentemente simpli$ica el problema.
'a &ipótesis anterior puede parecer bastante grosera, pero se &a comprobado %ue el coe$iciente de seguridad obtenido a partir de ella es un límite in$erior del coe$iciente real. *dicionalmente la desviación con respecto a éste no es muy importante, de manera %ue resulta una &ipótesis sencilla y ligeramente conservadora, lo %ue puede ser conveniente en la mayoría de los casos. En la situación anterior, an &ay %ue recordar %ue el valor de se desconoce, y por tanto las magnitudes de las componentes de la resistencia, de $orma %ue es preciso actuar por apro!imaciones sucesivas. En la figura 1.+ se muestra un ejemplo del proceso a seguir para la obtención de , %ue consta de los siguientes pasos;
Figura 1.: 2todo gr3+ico para determinar el +actor de seguridad de una super+icie de deslizamiento circular (en la +igura 1. .b se representa sólo uno de los tanteos#
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. #e obtiene el vector 4, resultante del peso ' , de la $uerza del agua y de las acciones e!ternas A. +. #e determina el punto , intersección del vector L y de la línea de acción de la
resistencia co&esiva
centro del círculo M igual a La
rP
R
Lc
2. #e asume un valor inicial φJm, lo %ue obviamente e%uivale a suponer un coe$iciente de seguridad PtanφJCtanφJm %ue denominaremos φ
1. Bon el valor de φJm seleccionado se dibuja el círculo de rozamiento, de centro M y radio
:ara %ue &aya e%uilibrio la línea de acción de la resultante 0 &a de pasar por el
punto . *demás, por la &ipótesis realizada en cuanto a las tensiones normales, dic&a línea de acción &a de ser tangente al círculo de rozamiento. #e traza pues desde una tangente a dic&o círculo, %ue constituirá la línea de acción buscada. . esde el e!tremo de 4 se traza una paralela a la cuerda *L (a la línea de acción de la resistencia co&esiva), y cerrando el paralelogramo de $uerzas se obtiene la magnitud de
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0. ado %ue
9.
Mbviamente el valor obtenido de c no tendrá por %ué coincidir con el valor de φ
inicialmente supuesto, pero proporcionará un punto ( φ, c) en el grá$ico de la $igura .9.b. /. #e supone otro valor de φJm y se repite el proceso desde el paso (2), obteniendo un nuevo punto (φ, c) en el grá$ico .9.b. 4. #e repite el procedimiento tantas veces como se necesario (2 es usualmente su$iciente) &asta trazar una curva de puntos ( φ, c). #u intersección con la recta φP c (a 15° desde el origen de coordenadas) proporcionará el $actor de seguridad buscado.
'os pasos anteriores permiten determinar el $actor de seguridad de un círculo de deslizamiento determinado. :ara estimar el general del talud será necesario repetir el proceso completo con otras super$icies circulares de deslizamiento &asta obtener la más des$avorable, es decir, la de coe$iciente de seguridad mínimo.
I,.
'irculo $in ro#ami"nto o d" -"t"r$on
En arcillas &omogéneas en condiciones no drenadas o a corto plazo, el problema
de
cálculo
se
simpli$ica
sustancialmente
tomando
momentos
simplemente con respecto al centro del círculo de deslizamiento ). *sí de las
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$uerzas implicadas en el e%uilibrio ($igura ./), - y no dan momentos con respecto a ) , y además la resultante de la resistencia movilizada se reduce a la componente co&esiva;
•
• • • •
#m es la resistencia al corte movilizada #u la resistencia al corte sin drenaje del suelo el coe$iciente de seguridad ' la longitud del arco *L dl el di$erencial de longitud de dic&o arco, considerado como vector.
En estas circunstancias la suma de momentos del peso D, las acciones e!ternas * y la resistencia movilizada
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(
=
a
−
- u /9 /L
M 7 + MA
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,.
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Si$t"mati#acin d"l arco circular. M/todo d" 0aco$.
) Introducción
En los apartados anteriores se &a descrito cómo obtener el coe$iciente de seguridad de una determinada super$icie de deslizamiento estableciendo las ecuaciones de e%uilibrio de la masa de suelo involucrada. "ambién se &a apuntado %ue es necesario repetir el mismo proceso de cálculo con diversas super$icies de deslizamiento &asta obtener la más des$avorable (la %ue proporciona menor coe$iciente de seguridad), lo %ue sin duda resulta bastante tedioso y lento. Bomo &a sido tan &abitual en la &istoria de la práctica ingenieril, para &acer $rente a esta di$icultad en ausencia de ordenadores, diversos autores concentraron sus es$uerzos en la obtención de ábacos de uso más sencillo e inmediato. Mbviamente las variables implicadas son muc&as, y por ello e!isten un buen nmero de ábacos y tablas disponibles. En los apartados siguientes se describen algunos de los de uso más comn y práctico.
En general, para el empleo de los ábacos se emplea una determinada nomenclatura %ue permite distinguir entre di$erentes tipos de círculos de deslizamiento. ic&a nomenclatura se encuentra recogida en la $igura .4. *l pie de la misma se indican asimismo las situaciones en las %ue cada tipo de rotura es más probable, lo %ue sin duda resulta muy práctico desde el punto de vista del planteamiento de los análisis de estabilidad a realizar.
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Figura 1.1: Denominación de las di6ersas tipologas de crculos de deslizamiento (tomado de 7im2nez %alas, 7.A. 8 olina, *.#.
a) Crculo super+icial de pie. :asa por el pie del talud y su punto más bajo se encuentra en dic&o pie. #e produce en los casos siguientes;
•
En taludes $ormados por terreno con φJ medio a alto.
•
En taludes de φJ medio a bajo, y an nulo, siempre %ue su pendiente sea importante, mayor %ue un valor %ue se indica más adelante.
b) Crculo pro+undo; :asa por debajo del pie del talud.
•
#e produce en taludes tendidos con φJ muy bajo o nulo.
c) Crculo pro+undo de pie. :asa por el pie del talud pero pro$undiza por debajo de éste en algn punto.
•
#e produce en casos intermedios entre (a) y (b).
d) Crculo de talud: 'a línea de deslizamiento a$lora en la cara del talud .
+) *baco de "aylor para te rrenos &omogéneos sin rozamiento
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"aylor (op. cit) realizó cálculos sistemáticos sobre la estabilidad de taludes &omogéneos bajo la acción e!clusiva de acciones gravitatorias (sin cargas e!te e!tern rnas as)) y obtu obtuvo vo
las las
supe super$ r$ic icie ies s
de
desl desliz izam amie ient nto o
crít crític icas as
y
los los
coe$icientes de seguridad mínimos asociados. asociados. En este apartado se describen sus resultados, recogidos recogidos en $orma de ábacos, para el caso de taludes en arcillas &omogéneas cuando las condiciones pueden suponerse no drenadas o a corto plazo. El empleo de estos ábacos re%uiere la previa de$inición de una serie de variables geométricas, %ue se encuentran representadas en la $igura .. ..
Figura 1.11: De+inición de 6ariables geom2tricas para el empleo de los 3bacos de $a9lor (tomada de 7im2nez %alas, 7.A. et al. (1;"##.
< ; altura del • talud • β; inclinación inclinación del talud •
D; actor de pro$undidad. El producto D< se3ala la pro$undidad, medida desde la coronación del talud, del punto más bajo del círculo crítico. Buan Buando do e!i e!ist sta a un estr estrat ato o duro duro estabilidad, D<
%ue %ue
a$ec a$ecte te
a
las las
cond condic icio ione nes s de
representará la pro$undidad de dic&o dic&o estrato desde la
coronación del talud.
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• =< ; istancia del punto de a$loramiento del círculo crítico al pie del talud en $unción de la altura del mismo #e considera positivo cuando dic&o círculo pasa por debajo del pie.
•
α; ángulo del sector circular %ue de$ine el círculo crítico.
•
θ; ángulo %ue $orma la cuerda del circulo crítico con la &orizontal
:or otra parte, el uso de un mismo ábaco para cual%uier tipo de talud re%uiere la utilización de algunos parámetros adimensionales. "ay "aylor lor empleó para ello el llamado Coe+iciente de >stabilidad - s, de$inido como;
•
γ ; es el peso especí$ico
•
< ; es la altura del talud de$inida en la $igura .
•
c a es la co&esión movilizada. e acuerdo con la nomenclatura empleada &asta
aparente del terreno.
a&ora en estas líneas, dic&a co&esión será;
Gec&as estas consideraciones, la $igura .+ reproduce los ábacos de "aylor para el caso descrito;
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•
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'a .+.a recoge la relación entre el ángulo del talud (β), el $actor de pro$undidad y el coe$iciente de estabilidad =s.
•
'a .+.b muestra la relación entre el ángulo del talud (β) y los ángulos (α) y (θ) %ue sitan el círculo cír culo de pie crítico cuando β≥54°.
•
'a .+.c re$leja la relación entre el ángulo del talud (β) y el $actor de pro$undidad () para varios valores de ?.
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Figura 1.1?. @bacos de $a9lor para terrenos sin rozamiento (tomados de 7im2nez %alas, 7.A. et. al. (1;"#.
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e su consulta detallada se pueden e!traer algunas observaciones de indudable interés práctico;
• •
#i β ≥ " ° el círculo crítico es super+icial de pie. #i "β ≥ 5B°, el círculo crítico es pro+undo de pie. Esta condición re%uiere %ue el $actor de pro$undidad sea T (en caso contrario el círculo no podría pro$undizar por debajo del pie). #i no se da esa condición y no puede desarrollarse un círculo pro$undo de pie, el círculo critico será tangente al estrato duro y podrá cortar al talud (crculo de talud ). En cual%uier caso, para las inclinaciones de talud $ijadas el nmero de estabilidad no será muy di$erente si se considera o no la e!istencia del estrato duro.
•
#i β 5B° se pueden distinguir 1 casos;
• •
En la zona rayada los círculos críticos son de pie. :or debajo de la zona rayada el círculo crítico es pro$undo y tangente al estrato duro. *demás, para un terreno sin rozamiento el centro del círculo se sita en la vertical %ue pasa por el punto medio del talud, por lo %ue también se le denomina crculo de punto
medio. #i no e!iste estrato duro (P∞), el círculo crítico sigue siendo pro$undo y de punto medio, y su radio es in$inito. Mbservando el ábaco se puede comprobar %ue en esta situación el coe$iciente de estabilidad es =s P 5.5+
•
#i e!iste limitación de ? (ver por ejemplo la $igura .2), el círculo crítico no podrá ser de punto medio. :ara ?P4, nico caso resuelto por "aylor, el círculo más des$avorable será de pie y la evaluación de su seguridad puede
•
realizarse a partir de la línea de puntos del ábaco .+.a. :or encima de la zona rayada los círculos críticos son de talud y tangentes al estrato duro.
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Figura 1.1B: /imitación en el desarrollo de un crculo de punto medio por la eistencia de suelo Eunto al pie del talud (tomada de 7im2nez %alas, 7.A. et. al. (1;"#.
2) Abaco de $a9lor para terrenos homog2neos con
cohesión 9 rozamiento.
Este caso se encuentra resuelto en el ábaco de la $igura 9., si bien su validez es limitada ya %ue sólo considera el talud 6seco8, sin presiones intersticiales. 'a nomenclatura empleada es similar a la del apartado 9.+, con las siguientes observaciones; •
φa es el ángulo de rozamiento e$ectivo movilizado. e acuerdo con la nomenclatura empleada en estas líneas;
•
c a es la co&esión movilizada.
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Bomo parámetro adimensional, en el eje de ordenadas se emplea el -mero de estabilidad , inverso del coe$iciente de estabilidad del apartado 9.+;
Bomo puede apreciarse, a igualdad de circunstancias cuanto mayor sea =, menor resulta el coe$iciente de seguridad. El ábaco se divide en dos grandes zonas. En la * los círculos críticos son siempre super+iciales de pie, mientras %ue en la L penetran por debajo de dic&o pie. En esta ltima zona se observan sin embargo diversas líneas continuas o a trazos, largos o cortos. *un%ue el mismo ábaco incluye una leyenda e!plicativa (casos , + y 2), su interpretación y empleo no resultan inmediatos, de manera %ue resulta de interés realizar una descripción algo más detallada (no se incluyen en esta descripción las situaciones del ábaco con aP4, %ue ya se &an incluido en la descripción del caso sin drenaje). :ara ello, en primer lugar se seguirán sucesivamente las líneas del ábaco correspondientes a los distintos rozamientos movilizados Ja. :osteriormente se comentarán los casos en los %ue parece e!istir una duplicidad de posibilidades (líneas di$erentes para los mismos rozamientos movilizados).
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Figura .": Abaco de $a9lor para suelos con cohesión 9 rozamiento. ($omado de 7im2nez %alas, 7.A. et al, 1;"#.
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. φa P 5° .
a) :ara βT50° se está en zona * y por lo tanto el círculo crítico es super+icial de
pie (línea continua). b) :ara 22UβU50° se está en zona L, luego el círculo crítico penetra por debajo del pie del talud. *demás es un círculo de pie (línea continua), luego siguiendo la terminología de la $igura 9. se trataría de un crculo pro+undo de pie (T). =o obstante, este mecanismo podría no ser posible en el caso de %ue e!istiera un estrato duro a escasa pro$undidad %ue no dejara %ue el círculo pro$undizara. Esta cuestión se analiza más delante. c)
:ara βU22° la línea es discontinua con trazos largos, por lo %ue el círculo crítico será pro+undo. e nuevo, su desarrollo podría esta condicionado a la e!istencia de un estrato duro a escasa pro$undidad (limitación de ), o a la e!istencia de terreno junto al pie del talud (limitación de ?). *mbos casos se discuten más adelante.
+. φa P 4° .
a) :ara βT5+° la situación es análoga a la (a). El círculo crítico es super$icial de pie. b) :ara 5UβU5+° la situación es análoga a la (b). El círculo crítico es pro$undo de pie, con las limitaciones se3aladas. c) :ara βU5° la situación es análoga a la (c). El círculo crítico es pro$undo con las limitaciones se3aladas.
2. φa P 5° .
'os círculos críticos pasan siempre por el pie del talud. :ara βT1° son super$iciales de pie, y para βU1° pro$undos de pie.
E.A. P Ing. Minas
Modelo de falla Circular
1. φa P +4° .
'os círculos críticos pasan siempre por el pie del talud. :ara βT25° son super$iciales de pie, y para βU25° pro$undos de pie. 5. φa P +5° .
'os círculos críticos son siempre super$iciales de pie.
1)
Abacos de
El estudio de roturas circulares planteado por estos autores se encuentra contenido en un te!to sobre estabilidad de taludes en roca (GoeV W Lray,/9) . Bomo es sabido, en este tipo de materiales las inestabilidades se encuentran gobernadas en general por la e!istencia de discontinuidades (planos de estrati$icación, juntas, etc.). #in embargo, cuando el macizo rocoso se encuentra $uertemente alterado y $racturado puede llegar a comportarse como si de un 6suelo &omogéneo8 se tratara. En estas circunstancias la tipología de rotura más probable sería la circular. :ara estudiar este tipo de roturas GoeV W Lray elaboraron los ábacos %ue a continuación se presentan. 'os cálculos realizados para su obtención se encuentran basados en el método del círculo de rozamiento, con la &ipótesis conservadora de concentración de tensiones en un sólo punto del círculo de deslizamiento (ver 0.2), e incorporan dos e$ectos de indudable interés y utilidad práctica;
a) 'a e!istencia de presiones intersticiales en el seno del talud.
Este e$ecto se incorpora a los cálculos a partir de la resolución de varias de redes
de
$lujo
estacionario
%ue
representan
con
bastante
acierto situaciones típicas en taludes reales. 'os casos estudiados,
E.A. P Ing. Minas
Modelo de falla Circular
desde talud 6seco8 a talud completamente saturado y con recarga, se muestran en la $igura 9.9.
b) El desarrollo de una grieta de tracción en la coronación del talud.
:ara incluir este e$ecto, también muy &abitual, los autores realizaron diversos cálculos &asta obtener la combinación Xcírculo de deslizamiento K localización de grietaY más des$avorable para cada geometría de talud y para cada régimen de presión intersticial supuestos.
Bomo posible limitación, los cálculos realizados y los ábacos resultantes consideran sólo círculos de pie. :ara su justi$icación, GoeV W Lray se3alan, citando a "erzag&i, %ue este tipo de rotura es la más des$avorable en terrenos en los %ue
∅
JT5Z.
* este respecto se puede indicar, como se &a visto anteriormente, %ue la di$erencia en el ábaco de "aylor ($igura 9.) entre considerar círculos de pie o pro$undos, cuando éstos ltimos son los críticos, no es en e!ceso relevante. *demás, estas ligeras di$erencias sólo se producen e$ectivamente con valores de
∅
Ja muy bajos, lo %ue de alguna manera justi$ica la &ipótesis de GoeV W
Lray. inalmente, los ábacos evidentemente e!cluyen las roturas producidas en condiciones sin drenaje (cP#u, los
círculos
∅
uP4), para las %ue ya se &a visto %ue
más des$avorables pueden no ser de pie. En cual%uier caso,
como GoeV W Lray se3alan, dic&as situaciones no se producen en macizos rocosos de e!cavaciones mineras, como los estudiados por ellos. En de$initiva, los ábacos pueden emplearse para estudiar la estabilidad de taludes en terrenos &omogéneos, tipo suelo o roca muy $racturada, en los no sea necesario considerar situaciones sin drenaje o a 6corto plazo8.
E.A. P Ing. Minas
Modelo de falla Circular
El proceso a seguir para el empleo de los ábacos, %ue se encuentran recogidos en las $iguras 9./ a 9.2, es el siguiente ($igura 9.0);
Figura .;: 0rocedimiento para determinar el coe+iciente de seguridad de un talud. ($omado de
. Bonocido el régimen de presión intersticial en el talud, se selecciona en la $igura 9.9 la situación %ue más se apro!ima a la realidad, lo %ue proporciona el ábaco a emplear.
E.A. P Ing. Minas
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+. En el ábaco seleccionado se determina el parámetro adimensional
•
γ ; es el peso especí$ico aparente del terreno, representativo del cuerpo del
•
talud. • < ; es la altura del talud. c y φJ son la co&esión y ángulo de rozamiento interno e$ectivos del terreno.
2. * continuación, se localiza el valor numérico del parámetro anterior en el borde circular e!terior del ábaco. * partir de ese punto se recorre el radio del ábaco &acia el origen de coordenadas, &asta interceptar la línea %ue representa el ángulo de inclinación del talud. 1. esde el punto de intersección se traza una &orizontal o una vertical, %ue proporcionan respectivamente los parámetros adimensionales;
a par ti r de los cuál es se puede obtener indistintamente el coe$iciente de seguridad .
E.A. P Ing. Minas
Modelo de falla Circular
Figura .: Condiciones de +luEo de agua 9 presión intersticial para la selección del 3baco de c3lculo ($omado de
E.A. P Ing. Minas
Modelo de falla Circular
Figura .: Abaco 1 ($omado de
E.A. P Ing. Minas
,I.
Modelo de falla Circular
M/todo d" fa2a$
) undamentos del método Bomo se &a visto en los apartados anteriores, el método del círculo de rozamiento desarrollado para estudiar el e%uilibrio global de una masa de suelo potencialmente inestable se encontraba matemáticamente indeterminado al e!istir un mayor nmero de incógnitas %ue de ecuaciones. :ara evitar este e$ecto era necesario realizar alguna &ipótesis
sobre
la
distribución
de
tensiones e$ectivas normales a lo largo de la super$icie de deslizamiento. Bon el $in de racionalizar esta &ipótesis, ellenius planteó estudiar el e%uilibrio, no de toda la masa potencialmente deslizante, sino de una serie de $ajas o rebanadas verticales en las %ue dic&a masa se dividiría ($igura /.).
Figura .1: Di6isión en rebanadas de una masa de suelo potencialmente inestable.
'a idea proviene del razonamiento intuitivo de %ue la tensión normal en un punto cual%uiera de una
super$icie de deslizamiento &a de
depender
$undamentalmente del peso de suelo %ue gravita sobre él. e esta manera, dividiendo la masa de suelo en rebanadas su$icientemente pe%ue3as (es decir, en un nmero su$icientemente grande de rebanadas), se puede asumir %ue las $uerzas normales en cada rebanada actan en el punto medio de su base.
E.A. P Ing. Minas
Modelo de falla Circular
Evidentemente el estudio del e%uilibrio de las rebanadas da lugar a la necesidad de considerar las $uerzas de interacción %ue actan entre ellas, cosa %ue no ocurría con los métodos globales. e &ec&o, una de las di$erencias entre los métodos de rebanadas y los de e%uilibrio global es la necesidad de realizar &ipótesis sobre las $uerzas de interacción entre rebanadas, en lugar de sobre la distribución de tensiones normales a lo largo de la línea de deslizamiento. :recisamente las di$erencias entre los diversos métodos de rebanadas disponibles provienen en general de las &ipótesis realizadas en este sentido, %ue lógicamente in$luirán en la distribución de las tensiones normales, aun%ue en bastantes ocasiones de $orma secundaria. 'os métodos de rebanadas también son de e%uilibrio límite y re%uieren postular una determinada super$icie de deslizamiento, para la %ue se calcula el coe$iciente de seguridad. En consecuencia, como en casos anteriores resulta necesario repetir los cálculos con diversas super$icies &asta encontrar la crítica (la de menor coe$iciente de seguridad). :or ltimo, los métodos de rebanadas, además de ser más e!actos, presentan algunas ventajas con respecto a los de e%uilibrio de la masa global, entre las %ue cabe destacar;
.
'os parámetros de resistencia al corte (cJ, φJ) super$icie de deslizamiento (bases modi$icar
de
rebanada
de
las
a rebanada, de
a lo largo de
la
rebanadas)
se
pueden
manera %ue
es
posible
considerar taludes no &omogéneos con diversos tipos de terreno. +.
*lgunos de
los
métodos no
re%uieren %ue
las
super$icies de
deslizamiento a tantear sean circulares, de $orma %ue $acilitan el análisis de $ormas
de
rotura
gobernadas
por
&eterogeneidades
geológicas
estratigrá$icas ($igura 1.+).
+) De+inición de rebanadas. ariables, incógnitas 9 ecuaciones
o
E.A. P Ing. Minas
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En la $igura /.+ se &a representado un talud con super$icie de deslizamiento circular, de la %ue se &a e!traído una rebanada. #e &an representado asimismo las principales variables geométricas %ue la de$inen, así como las $uerzas %ue actan sobre ella y %ue &abría %ue considerar para su e%uilibrio. Estas son;
Figura .?: Geometra de una rebanada 9 +uerzas actuantes.
ariables geométricas.
E.A. P Ing. Minas
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•
bi ; anc&o de la rebanada
•
l i ; longitud de la base de la rebanada
•
αi ; ángulo %ue $orma la inclinación de la rebanada con la &orizontal.
•
hi ; altura media de la rebanada.
•
i: brazo del peso de la rebanada con respecto al centro del círculo.
•
Ω; ángulo central del círculo de deslizamiento.
uerzas;
•
' i ; :eso de la rebanada.
• i ;
* m,i ;
donde cJ y φJ son la co&esión y rozamiento interno e$ectivos en plano de la base de la rebanada.
• = i , = iH1;
•
> i , > iH1;
•
Ai ; resultante de las cargas e!teriores al talud situadas en la rebanada. (=o se
&a considerado en el dibujo para simpli$icar la e!plicación, pero su inclusión en cálculo resulta inmediata).
E.A. P Ing. Minas
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e las $uerzas anteriores, el peso de la rebanada puede ser $ácilmente calculado, y la resultante de las presiones intersticiales y su punto de aplicación también pueden deducirse conocido el régimen de $lujo e!istente.
Ecuaciones #uponiendo a&ora %ue el talud se divide en n rebanadas, se tendrían las siguientes incógnitas;
0ar3metro
-I de
)bser6aciones
incógnitas uerzas =Ji
n
Nna por rebanada
:unto de aplicación de =J i
n
Nna por rebanada
n
Nna por rebanada
uerzas tangenciales entre rebanadas ?i
nK
uerzas normales entre rebanadas (E i)
nK
:unto de aplicación de $uerzas normales (Ei)
nK
Boe$iciente de seguridad
)
)
) )
%,
"nJ
A
?
En las rebanadas e!tremas sólo acta una, interior al talud. En las rebanadas e!tremas sólo acta una, interior al talud. En las rebanadas e!tremas sólo acta una, interior al talud #e supone constante a lo largo de toda la super$icie de
E.A. P Ing. Minas
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Bon relación a las ecuaciones, se dispone de las siguientes;
*elación b3sica
-I de ecuaciones
)bser6aciones
disponibles E%uilibrio
de
$uerzas
n
Nna por rebanada
de
$uerzas
n
Nna por rebanada
E%uilibrio de momentos
n
Nna por rebanada
Briterio
n
Nna por rebanada
&orizontales E%uilibrio verticales
de
rotura
R = c'·l i + N' i ·tanφ' %,A
!n
Bomo puede apreciarse, e!isten (nK+)K1n P +nK+ más incógnitas %ue ecuaciones, luego para resolver el problema es necesario realizar +nK+ &ipótesis adicionales. Nna de las más simples, comn a todos los métodos, es suponer, como se &a indicado antes, %ue el punto de aplicación de las $uerzas =J i, se encuentra en el centro de la base de la rebanada. Esto sería cierto si se &ace tender el nmero de rebanadas a in$inito, y en la práctica la apro!imación resulta razonable con un nmero su$iciente de éstas. Bon relación al resto, los métodos disponibles se di$erencian precisamente en las &ipótesis %ue ser realizan al respecto, tal y como se describe a continuación
E.A. P Ing. Minas
Modelo de falla Circular
2) -étodos apro!imados #on a%uellos en los %ue, por el nmero de &ipótesis realizadas, no se llegan a satis$acer todas las ecuaciones de e%uilibrio. 'os más relevantes por su di$usión práctica son los siguientes;
2.)
ellenius (/2) desarrolló el primer método de cálculo de estabilidad de taludes mediante su división en rebanadas verticales. 'a super$icie de deslizamiento se supone circular, y la condición $undamental para la obtención del coe$iciente de seguridad se basa en el e%uilibrio de momentos. El método parte de la &ipótesis ya apuntada de %ue el punto de aplicación de =J i se sita en el centro de la base de cada rebanada, lo %ue da lugar a %ue la resultante = i P =JiSNi en cada una de ellas deba pasar por el centro del círculo M. *demás, la suma de los momentos de las $uerzas entre rebanadas a lo largo de todo el talud resulta nula, con lo %ue problema %ueda bastante simpli$icado. *sí, tomando momentos con respecto a M, las nicas $uerzas implicadas son los pesos y las resultantes de resistencia movilizada;
M lo %ue es lo mismo;
E.A. P Ing. Minas
Modelo de falla Circular
*sumiendo a&ora %ue el coe$iciente de seguridad es nico a lo largo de la super$icie, se puede despejar éste de la e!presión anterior, resultando;
:ara determinar a continuación la $uerza normal en la base de las rebanadas, =i, de las dos ecuaciones de e%uilibrio de $uerzas disponibles, ellenius eligió calcular sólo el e%uilibrio en una dirección; la perpendicular a la base de cada rebanada;
con lo %ue sustituyendo (/.+) en (/.);
* la vista de esta complicada ecuación, en la %ue en principio sería necesario conocer las $uerzas entre rebanadas ? i y Ei, ellenius decidió realizar la &ipótesis simpli$icadora de %ue;
%ue e%uivale a suponer %ue todas las $uerzas entre rebanadas son
En consecuencia, el $actor de seguridad resulta;
en realidad nulas;
E.A. P Ing. Minas
Modelo de falla Circular
En resumen, las &ipótesis adicionales realizadas por ellenius $ueron;
0ar3metro
-I de hipótesis
:unto de aplicación de =J i uerzas tangenciales entre
n
nK)
rebanadas ?i uerzas
normales
entre
nK)
rebanadas (Ei)
%A
BnJ?
lo %ue supone &aber realizado n &ipótesis más de las estrictamente necesarias (una por rebanada). Evidentemente, no cumple con todas las condiciones de e%uilibrio. Este método, %ue como puede apreciarse resulta muy sencillo en su aplicación y tan sólo re%uiere la realización de un sumatorio 6a mano8 o mediante una &oja de cálculo, resulta aceptable si la variación del ángulo αi es discreta, o lo %ue es lo mismo, si el ángulo central Ω es relativamente pe%ue3o. En caso contrario el e$ecto de la presión intersticial se magni$ica y puede dar lugar a valores de =J i e!cesivamente bajos, o incluso negativos, lo %ue reduce el coe$iciente de seguridad obtenido.
:.;)
E.A. P Ing. Minas
Modelo de falla Circular
En /51 Lis&op desarrolló un procedimiento similar al de ellenius, introduciendo una variante de importancia. 'as consideraciones iniciales en cuanto a la posición de las $uerzas =J i y a la selección del e%uilibrio de momentos como condición de e%uilibrio $undamental resultan iguales a la propuesta por ellenius, con lo %ue el desarrollo es idéntico &asta la obtención de la e!presión (/.).
Bon respecto al e%uilibrio de $uerzas, Lis&op seleccionó también una sola dirección, pero en este caso $ue la vertical por el centro de cada rebanada. En estas condiciones la ecuación de e%uilibrio correspondiente resulta (ver $igura /.+);
(#
espejando =Ji de esta e!presión;
E.A. P Ing. Minas
Modelo de falla Circular
'lamando a&ora ∆"iP ?iK?iS, recordando %ue biPliRcosαi y sustituyendo (/.1) en (/.);
'a e!presión anterior corresponde al método 6más riguroso8 de Lis&op. Bomo puede apreciarse, el coe$iciente de seguridad se encuentra implícito en la ecuación, lo %ue obliga asumir un coe$iciente de seguridad inicial (cuando los cálculos se realizaban sin ordenador, $recuentemente se partía del coe$iciente del método de ellenius algo mayorado) y llevar a cabo varias iteraciones &asta %ue la solución converge. :or otra parte, en la ecuación anterior $iguran las $uerzas verticales entre rebanadas. ado %ue en principio son desconocidas, Lis&op sugirió suponerlas todas nulas (∀i> "i P 4), lo %ue dio lugar al llamado 6método simpli$icado8, %ue también &a de resolverse por iteraciones y cuya e!presión resulta;
E.A. P Ing. Minas
:ara
Modelo de falla Circular
introducir de
propuso
nuevo
ajustarlas mediante
las
$uerzas entre
iteraciones
rebanadas, Lis&op
&asta
cumplir
las
n
ecuaciones de e%uilibrio &orizontal. #in embargo este proceso resulta di$ícil, de $orma %ue el procedimiento %ue realmente se di$undió de $orma universal $ue el 6simpli$icado8.
0ar3metro :unto de aplicación de =J i uerzas tangenciales entre
-I de hipótesis n
nK)
rebanadas ?i %,A
?nJ1
lo %ue supone &aber realizado &ipótesis más de las estrictamente necesarias, dando lugar a la necesidad de resolver por iteraciones. :ara $inalizar, es interesante &acer notar %ue con este método la sobreeestimación del e$ecto de las presiones intersticiales para ángulos centrales elevados no es tan severo como en el método de ellenius, proporcionando coe$icientes de seguridad más elevados y pró!imos a la realidad. 'a $igura /.2 muestra las comparaciones realizadas por Lis&op (/55) entre ambos procedimientos para diversos valores del ángulo central y del $actor r u.
3.34 Rotura no circular. M/todo $implificado d" 5anu. En los métodos de ellenius y Lis&op la condición $undamental a satis$acer es la de e%uilibrio de momentos. e &ec&o, en ninguno de los dos casos se satis$ace el e%uilibrio de $uerzas &orizontales.
E.A. P Ing. Minas
Modelo de falla Circular
:uestos a elegir, si se tiene %ue renunciar a una de las ecuaciones de e%uilibrio, la propuesta anterior resulta intuitivamente razonable en el caso de mecanismos de rotura /.1.a).
#in
embargo,
e!isten
marcadamente
rotacionales
($igura
otras situaciones y mecanismos de
rotura en los %ue, también intuitivamente, el e%uilibrio en la &orizontal parece más relevante. Este sería el caso, por ejemplo, de deslizamientos marcadamente traslacionales ($igura /.1.b
igura /.1; Importancia relativa del cumplimiento del e%uilibrio de momentos o de $uerzas &orizontales en $unción del probable mecanismo de rotura.
E.A. P Ing. Minas
Modelo de falla Circular
:ara este tipo de situaciones, [anbu (/55) desarrolló un método de rebanadas, en el %ue la ecuación de
e%uilibrio $undamental es
precisamente la de $uerzas &orizontales (no cumple el
e%uilibrio de
momentos). El procedimiento se puede emplear para cual%uier $orma de la super$icie de deslizamiento, %ue &abitualmente &ay %ue de$inir punto a punto a partir de consideraciones geológicas. En lo %ue respecta al planteamiento del método, al igual %ue en el de Lis&op, se considera el e%uilibrio de $uerzas verticales en cada rebanada. *simismo se supone %ue ∆"iP4, lo %ue da lugar al método 6simpli$icado8 de [anbu.
donde;
:osteriormente, [anbu (/02) introdujo un $actor empírico de corrección ($ 4) sobre el coe$iciente de seguridad anterior con el $in de mejorar los resultados. ic&o $actor, dependiente del tipo de suelo y de la geometría del deslizamiento, se muestra la $igura /.5.
E.A. P Ing. Minas
Modelo de falla Circular
Figura .5: Factor de corrección + para el m2todo de 7anbu (FK+ 5 LF + #.
Bomo en el caso de Lis&op simpli$icado, el nmero de &ipótesis adicionales es +nK, una más de las necesarias. 1) 2todos
completos
o
rigurosos. #e denominan así los %ue cumplen todas las ecuaciones de e%uilibrio, lo %ue les permite considerar cual%uier $orma en la super$icie de rotura. Bon el $in de e!plicar conceptualmente este tipo de métodos, supóngase para simpli$icar %ue la super$icie de deslizamiento considerada es circular. *doptando la primera &ipótesis &abitual de %ue las $uerzas normales =J i se localizan en el centro de la base de cada rebanada y empleando la misma notación %ue para el caso simpli$icado de Lis&op, la ecuación de e%uilibrio de momentos resultaría de nuevo ($igura /.+);
E.A. P Ing. Minas
Modelo de falla Circular
n
∑
n
Wi ·x i =
∑R
m,i
·R 1
1
y aceptando %ue el coe$iciente de seguridad m respecto al e%uilibrio de momentos es constante a lo largo de todo el talud;
1
∑ N
n i
·sen α i = ·cos α i
∑R
m, i
1
#ustituyendo la e!presión de
y por lo tanto;
E.A. P Ing. Minas
Modelo de falla Circular
'a $uerza normal en la base de las rebanadas se determina, como en el caso de Lis&op, mediante el e%uilibrio en la vertical;
donde en la ecuación (/.9) es m o $ , dependiendo de si considera el e%uilibrio de momentos (/.) o de $uerzas (/.0). :ara resolver el problema se necesita realizar alguna &ipótesis adicional con respecto a las $uerzas entre rebanadas, siendo precisamente esta &ipótesis la %ue di$erencia los diversos métodos completos.
!.14 M/todo d" Morg"n$t"rn 6 -ric" 7189:4 ; LE En este primer caso se supone %ue la relación entre las $uerzas entre rebanadas puede e!presarse mediante una $unción;
=i = λ/f (") E i donde $(!) ($igura /.) describe de alguna manera la $orma en %ue ?iCEi varía a lo largo del talud, y el coe$iciente λ (4UλU) es un $actor de corrección a determinar (incógnita) para %ue se cumplan las condiciones de e%uilibrio &orizontal y de momentos (mP$ ). Bon estas premisas, las &ipótesis adicionales realizadas son;
0ar3metro :unto de aplicación de =J i
-I de hipótesis n
nK)
?nJ1
E.A. P Ing. Minas
Modelo de falla Circular
Bomo puede apreciarse, se introduce una &ipótesis más de las estrictamente necesarias (+nK+). #in
embargo, λ
constituye una
incógnita adicional a calcular para %ue se cumpla el e%uilibrio de $uerzas y momentos, de manera %ue el sistema %ueda determinado y tiene solución matemática. -orgenstern W :rice (/5) se3alan, en su epígra$e de conclusiones, %ue la $unción $(!) puede seleccionarse a partir del conocimiento apro!imado de la distribución de las tensiones internas en el talud, o de su monitorización (se re$ieren al caso de presas). En la práctica &abitual suelen preseleccionarse sin embargo algunas $ormas típicas para la $unción $(!) ($igura /.0). Nna vez resueltas las ecuaciones correspondientes y obtenida una solución, se puede realizar la comprobación de %ue los resultados son lógicos, es decir, %ue por ejemplo;
•
las $uerzas ?i no e!ceden la má!ima movilizable segn el criterio de -o&rK Boulomb;
= i < c
•
los puntos de aplicación de las $uerzas Ei son lógicos (%ue al menos estén situados dentro de las caras de la rebanada).
E.A. P Ing. Minas
•
Modelo de falla Circular
la distribución de $uerzas =Ji es razonable a lo largo de la línea de rotura (no se producen 6picos8 o cambios no lógicos).
En
cual%uier
caso
y
a$ortunadamente,
ya
en
su
primera
propuesta de /5 -orgenstern W :rice se3alaban %ue los $actores de seguridad obtenidos no suelen verse e!cesivamente a$ectados por el tipo de $unción elegida, lo %ue lógicamente resta relevancia a su selección, e incluso a lo razonable de las tensiones internas resultantes (en términos de ?i y Ei). El nico problema %ue puede plantearse en algunas ocasiones es, en todo caso, el de la convergencia numérica si dic&as tensiones no son compatibles con el e%uilibrio, ante lo cuál es necesario modi$icar la $unción $(!) seleccionada. En
cual%uier
caso
y
a$ortunadamente,
ya
en
su
primera
propuesta de /5 -orgenstern W :rice se3alaban %ue los $actores de seguridad obtenidos no suelen verse e!cesivamente a$ectados por el tipo de $unción elegida, lo %ue lógicamente resta relevancia a su selección, e incluso a lo razonable de las tensiones internas resultantes (en términos de ?i y Ei). El nico problema %ue puede plantearse en algunas ocasiones es, en todo caso, el de la convergencia numérica si dic&as tensiones no son compatibles con el e%uilibrio, ante lo cuál es necesario modi$icar la $unción $(!) seleccionada.
E.A. P Ing. Minas
Modelo de falla Circular
Figura .;: Funciones +(# habituales.
E.A. P Ing. Minas
Modelo de falla Circular
!.<4 M/todo d" Sp"nc"r 7189=4
En este método se supone %ue las resultantes de las $uerzas entre rebanadas tienen una inclinación constante a lo largo de todo el talud;
=i = tanθ , Ei Esto signi$ica %ue $(!)P y λPtanθ, y por tanto se trata de un caso particular del método anterior.
,II.
-rograma$ %u" impl"m"ntan lo$ m/todo$ d" fa2a$
'os métodos de $ajas tienen %ue ir probando un nmero grande de super$icies de deslizamiento &asta encontrar la crítica, por eso no se suelen realizar cálculos a mano y e!isten programas %ue los implementan. #e presentan a continuación y brevemente algunos de los programas más comnmente utilizados (no necesariamente los mejores ni los nicos) para el análisis de rotura circular mediante métodos de $ajas;
STABL (de la Nniversidad de :urdue K www.ecn.purdue. e du /S TA BL) $ue probablemente el precursor de los programas %ue implementan los métodos de $ajas. Está escrito en M<"<*= y en su ltima versión :B#"*L'E, permite incluir en los análisis geote!tiles, bulones y cables> y obtener coe$icientes de seguridad mediante los métodos de Lis&op simpli$icado, [anbu simpli$icado y corregido y #pencer. E!isten algunos programas evolucionados de #"*L', como p. ej. F#"*L'0 %ue trabajan con editores como el denominado stedDI= (www. stedwin. com ),
E.A. P Ing. Minas
Modelo de falla Circular
%ue $acilitan el uso de este programa &aciendo más sencilla la obtención de salidas.
SLIDE (de la compa3ía
,III.
Rotura progr"$i>a
'os métodos presentados &asta el momento permiten analizar la estabilidad de roturas circulares en materiales elastoKplásticos per$ectos, esto es a%uellos %ue mantienen constante su resistencia má!ima o de pico. #in embargo, no todos los materiales geológicos se comportan de esta manera, por lo %ue no convienen descartar a priori la posible aparición de $enómenos de rotura progresiva %ue &an dado lugar a algunos de los deslizamientos de mayor de repercusión internacional en los ámbitos de la ingeniería civil y minera. *sí en /2 unas +544 personas $allecieron como resultado de un deslizamiento asociado a una rotura progresiva, %ue dio lugar a una ola %ue sobrepasó el embalse de aiont ([aeger, /0+) y recientemente el deslizamiento de la balsa de estériles de la mina de *znalcollar también $ue asociado a una rotura progresiva a través de un nivel
de
margas
sobreconsolidadas
(Mllalla
y
Buellar,
+44).
Mtros
deslizamientos menos mediáticos también &an ido asociados a este tipo de roturas (ornes y Nriel, //+). #e puede considerar %ue puede e!istir rotura progresiva en un talud cuando las condiciones tensionales observadas o deducidas mediante análisis retrospectivos llevan a la conclusión de %ue la resistencia media aparente movilizada es in$erior a la resistencia al es$uerzo tangencial de pico o má!ima del suelo o la roca involucrados en el problema (Nriel, /99). 'a magnitud de la resistencia movilizada a lo largo de la super$icie de rotura dista muc&o de ser uni$orme, de $orma %ue si en algn momento la tensión cortante supera la resistencia
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Modelo de falla Circular
disponible en una zona reducida de la super$icie de deslizamiento el e!ceso de carga tendrá %ue ser transmitido a las zonas adyacentes. En suelos o macizos rocosos %ue presenten un comportamiento con reblandecimiento o $rágil (esto es, %ue una vez alcanzado el pico de resistencia, disminuya bruscamente su capacidad de resistir carga), esta transmisión de la carga puede llevar a la rotura subsiguiente de las zonas adyacentes y así sucesivamente &asta dar lugar al deslizamiento completo de la masa mediante el $enómeno denominado rotura progresiva. :ara %ue se produzca este tipo de rotura, por tanto, tendrá %ue &aber una etapa inicial en la %ue por la causa %ue $uere y en una zona de la super$icie potencial de rotura se supere la resistencia al corte de pico del terreno, posteriormente la transmisión de es$uerzos irá produciendo el progreso de la rotura.
En general los suelos granulares sueltos y las arcillas normalmente consolidadas presentan un comportamiento no $rágil, por lo %ue en estos casos se suele descartar la rotura progresiva. #in embargo, para arenas densas y arcillas $isuradas y sobrecosolidadas, %ue se pueden considerar materiales $rágiles, la resistencia de los puntos en los %ue se &a alcanzado la tensión de pico suele ir decreciendo a medida %ue se va produciendo el movimiento cortante y &asta %ue se produce el deslizamiento completo del talud. Buanto más $rágil sea el material, mayor será la di$erencia entre la resistencia movilizada y la resistencia de pico promedio en la super$icie de rotura. Ljerrum (/0) sugiere %ue la meteorización de arcillas sobreconsolidadas y pizarras sedimentarias da lugar a la destrucción lenta de los enlaces diagenéticos de estos materiales, lo %ue &ace aumentar su $ragilidad y por lo tanto su tendencia a su$rir rotura progresiva. Nna vez iniciada una rotura de este tipo, el proceso %ue lleva &asta la rotura total puede tener lugar de $orma lenta o rápida. E!isten in$ormes de mltiples casos en los %ue taludes naturales o construidos &an permanecido estables o &an ido su$riendo desplazamientos casi indetectables durante a3os antes de llegar al periodo $inal de movimientos acelerados y rotura.
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#e puede de$inir un índice de $ragilidad como el cociente entre la di$erencia de las resistencias de pico y residual de un material y la resistencia del pico del mismo. 'a posibilidad de %ue ocurra un rotura progresiva será proporcional al valor de este índice. El análisis de estabilidad de este tipo de roturas se puede realizar atendiendo a planteamientos analíticos (Nriel, /99) o mediante técnicas numéricas (Mlalla y Buellar, +44). =o obstante, resulta indudable %ue los parámetros, condiciones de contorno y características %ue se precisa conocer para enjuiciar e!actamente el espectro completo del $enómeno son muy diversos y a veces complicados de obtener, especialmente la disminución del criterio de rotura asociado a un parámetro de reblandecimiento y el denominado módulo de descarga o pendiente de bajada de la curva tensiónKde$ormación una vez superada la resistencia de pico y en su camino &asta el valor residual. *demás la simulación numérica de estos materiales con reblandecimiento presenta problemas en lo %ue concierne a la variación de los resultados con el anc&o de malla y en la aparición de $enómenos de de$ormación no &omogénea (bi$urcación y localización de las de$ormaciones).
I?.
Aplicacin d"l programa SLIDE a ca$o d" mina -ic@ita 'ia min"ra Lo$ '@unc@o$
) actores de seguridad mínimos
El $actor de seguridad, viene a ser la relación %ue e!iste entre las $uerzas %ue resisten, propias de la roca 6vs8 las $uerzas %ue inducen el deslizamiento, debido al peso de la masa de roca. :ara la etapa del planeamiento desarrollado se &a considerado un .#.P.5 en bancos de producción y un .#.P.+ en talud $inal, pudiendo bajar este valor en $unción a la calidad de roca %ue se vaya encontrando durante la operación de minado.
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+) Bondiciones de análisis :ara la realización del análisis se &a considerado la dirección del avance del minado, la cual &a sido establecida de =K# por el área de planeamiento. :ara el planeamiento de del tajo se &izo uso del so$t7are atamine, estimando un promedio de 9 bancos con altura de 5 mt. @ berma de 2 mt. Bon una gradiente de rampa de 9\, ello nos lleva a tener un anc&o má!imo de tajo de 5+ mt y mínimo de +0 mt. 'uego de lo cual se realizo seis cortes longitudinales de =K# para interceptar el cuerpo y poder analizar la estabilidad del tajo en di$erentes posiciones, para ello se uso el programa #'IE 5.4, asimismo se &a tomado los valores de las propiedades $ísico y mecánicas resultantes de los ensayos de laboratorio.
2) *nálisis de estabilidad en condiciones estáticas y seudoKestaticas En el análisis de condiciones estáticas se analiza por e%uilibrio limite y en condiciones seudo estáticas en $unción de las aceleraciones isovaloricas, el valor asumido es la tercera parte del valor de la aceleración, %ue en nuestro caso será de 4.+, teniendo en cuenta una e!cedencia de 4\ en 44 a3os. * continuación se muestra la salida del programa #'IE 5.4, así como los $actores de seguridad obtenidos en condición estática y seudoKestática. 1) ise3o de taludes #egn el planeamiento de minado detallado y teniendo en cuenta las propiedades mecánicas de la roca e!istente en el área, de$inidas por la valoración geomecánica se puede establecer los siguientes parámetros;
• *ngulo de talud $inal 24] • *ltura de bancos 5 m • *ngulo del banco InKsitu 4] • *nc&o de berma 5 m
