modélisation des options asiatiques sur le taux de change. Auteur: MARIANE Mouhammed, ENSAE

Rapport Rapport de Groupe de Trav Travail

Papa Gora Ndao Mouhammed Marianne Antoine de Milleville

30 mai 2007

LES OPTIONS ASIATIQUES

encadr´ encadré par Georges Georges Nemes Nemes (SGCIB) (SGCIB)

2

Table ab le des de s mati` ma ti` eres er es Introduction

1

1 Pr´ esentation du march´ e du change 1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Principales caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 1.2 .1 Un ma marc rch hé domi domin né par par quelq quelque uess plac places es finan financi ci`ères e res 1.2. 1.2.22 Un ma marc rch hé dom omin in´é par par quel quelq ques ues mo monn nnai aies es . . . . . 1.2.3 Un march´ m arché domin´ do miné par pa r les l es op´ o pérations eratio ns a` terme . . .

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2 2 2 2 2 2

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3 3 3 3 4

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7 7 8 9 10 10 11 11 12 14

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14 14 15 15 15

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16 16 16 18 18 20

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2 Mo d` ele de Garman et Kohlhagen 2.1 Quelques notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Mod´ odélisation financière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Hypothèses classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 2.2.2 Absenc Absencee d’oppor d’opportun tunit it´é d’arbi d’arbitra trage ge et chang changeme ement nt de probab probabilit ilit´é

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3 M´ ethode de Monte Carlo 3.1 Principe de la résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Applica icatio tion au pricing d’un ’une option asiatiq tique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. 3.2.11 Sim Simulat ulatio ion n de la part partie ie stoc stocha hast stiq iqu ue du taux taux de chang hangee . . . . . . . . . . . 3.2. .2.2 Simulatio tion d’un ’une loi uniforme U(0, (0,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 3.2.3 Simula Simulation tion de la loi loi norm normale ale (0, (0, 1) : M´ Métho e thode de d’in ’inversio rsion n . . . . . . . . . 3.3 3.3 Mo Mon nte Carl Carloo et et Tec Techn hniq ique uess de de R´ Réduc e ducti tion on de Varia arianc ncee . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. 3.3.11 util utilis isat atio ion n de varia ariabl bles es anti antith th´étiqu tiques es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Résultats Numériques : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Reconstitut Reconstitution ion de la densit´ densit´ e de la moyenne moyenne a` part partir ir de de simu simula latio tions ns de de Mont Montee Carl Carloo

N

4 Turnbull et Wakeman 4.1 4.1 le prin princi cipe pe de l’al l’algo gorrith ithme de Turnbu rnbull ll et Wakem akeman an 4.2 Approximation de de la densit´ densité de S . . . . . . . . . . . 4.2.1 4.2.1 Calcul Calcul des des deux deux premi premiers ers mome moment ntss de S . . . 4.2.2 Détermination de la loi de Y . . . . . . . . . 5 R´ esolution par ´ equations aux d´ eriv´ ees 5.1 EDP en dimension 2 . . . . . . . . . . 5.1. .1.1 établi ablisssement de l’équati ation . . 5.1.2 commentaires . . . . . . . . . . 5.2 EDP en dimension 1 . . . . . . . . . . 5.3 Discrétisation en temps . . . . . . . .

partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5.4 Discrétisation en espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Algo lgorithme de calc alcul de la fonctio tion valeur . . . . . . . . 5.6 Inte Interpo rpolat lation ion et inte interp rprrétati e tation on des des r´ résul e sulta tats ts num´ num´ eriq e rique uess 5.6.1 Interpol polation des resultats . . . . . . . . . . . . . 5.6.2 Interprétation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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6 Intro duction d’un mod` ele avec taux sto chastiques 6.1 Mod´ odélisation financière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1. 6.1.11 Dyna Dynami miqu ques es des des pro proce cess ssus us de prix prix en abse absenc ncee d’ar d’arbi bitr trag agee . . . . . . . . . 6.1.2 6.1.2 Lien Lien entre entre primes primes de risq risque ue λd et λf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3 Construction Construction de la probab probabilit´ ilit´ e de Pricing Pricing : Probabilit Probabilit´é Forwa Forward rd Neutre Neutre . . 6.1.4 Application au Pricing d’Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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21 21 22 22 22

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24 24 25 25 26 27

7 Analyse des r´ esultats

30

Conclusion

32

A ANNEXES A.1 Graphes de Prix . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2 Graphes de densité . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3 Turnbull et Wakeman . . . . . . . . . . . . . . . A.3.1 démonstration emonstration du cacul des deux premiers A.4 A.4 Eval Evalua uatio tion n par par équa e quati tion onss aux aux dériv e riv´ées e es par partie tielle lless A.4. .4.1 Algorithm thme de calculde la fonction valeu leur

33 33 37 39 39 41 41

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . moments de S . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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INTRODUCTION

1

Introduction Avec la croissance croissa nce des de s marchés es financiers, fina nciers, des produits pro duits de plus plu s en plus sophist s ophistiqu´ iqués es sont so nt maintenant mainten ant offerts. La complex c omplexit´ ité de ces instruments instrum ents ne n e cesse ce sse de cro c roˆˆıtre pour répondre epon dre aux a ux besoins b esoins pressants des entreprises qui cherchent à se couvrir contre des risques de plus en plus nombreux. Ces innovations financières, eres, connues co nnues sous le nom d’options d’opti ons exotiques, exot iques, se caract´ carac térisent erisent par pa r des paiements pa iements beaucoup b eaucoup plus ´ compliqu´ compli qués es que les options o ptions standards. standa rds. Echang´ Echan gées ees sur le march´ mar ché hors bourse bo urse,, ou de gré a` gré, e, elles ell es sont faites sur mesure pour, d’une part, r´ epondre epondre aux besoins sp´ ecifiques ecifiques des investisseurs, investisseurs, d’autre part, fournir de nouveaux instruments de couverture. En utilisant ou en cr´ eant eant de tels produits, les professionnels de la finance se voient confrontés es au problème eme de leur évaluation evaluation ou pricing. pricin g. En effet la complexit´ comple xité des payoffs relatifs relati fs a` ces produits rend impossible l’utilisation de formules fermées ees simples comme la formule de Black-Sc Bla ck-Scholes holes pour p our les options vanille. Le but de ce projet pro jet est e st alors al ors d’étudier etudier et de d e comparer com parer différentes erentes méthodes etho des de pricing pour un produit particulier : les options asiatiques. La particularité de ces options est que le paiement terminal dépend ep end d’une d’ une moyenne moye nne (ari (a rith thm´ métiqu et iquee le l e plu p luss sou s ouvent vent,, par p arfo fois is pond´ po ndér´ erée ee ou enco en core re géom´ eo métri et rique que)) cal c alcul cul´ée ee sur les l es cours du sous-jacent des options, observ´ es es à différentes erent es dates dat es établi eta blies es a` la signature du contrat. Nous étudie etu dierons rons plus précis´ eci sément ement ces pro p rodui duits ts financ fi nancier ierss sur le march´ m arché du chang ch ange, e, et nous nou s restre res treind indrons rons aux options option s sur moyenne arithmétique. etique. Dans un premier temps, nous pr´ esenterons esenterons les principales caractéristiques eristiques du march´ e du change avant avant de nous attarder attard er sur le modèle ele de base utilis´ utili sé dans notre étude, etude, a` savoir le modèle ele de Garman G arman et Kohlhagen, application du mod` mo dèle ele de Black et Scholes p our les options de change. Puis, nous insisterons sur les le s métho et hode dess numériqu er iques es dévelop evel opp´ pées ee s dans da ns notre no tre progr pro gram amme me,, impl´ im plément´ em enté en JAVA, JAVA, pour po ur évaluer eval uer ces options, à savoir la méthode etho de de Monte Carlo, C arlo, l’algorith l’al gorithme me de Turnbull et Wakeman et la résolution esolut ion d’équations equatio ns aux dériv´ erivées ees partielles. partie lles. Enfin, nous proposerons propo serons une alternative altern ative au modèle ele de Garman et Kohlhagen en introduisant un modèle ele de taux stochastiques.

´ ´ DU CHANGE PRESENTATION DU MARCH E

1

2

Pr´ esentation esentatio n du d u march´ ma rch´ e du d u change chan ge

1.1

D´ efinitions efinitions

Le change change est l’acte par lequel lequel on échange echange les monnaies monnaies des diff´ différents erents pays. pays. La majeure partie des actifs act ifs monétaire eta iress échang´ echan gés es sur le march´ mar ché du change chang e sont des dépˆ epˆ ots o ts a` vue dans les banques. Le taux de change est le prix de la monnaie d’un pays en terme de la monnaie d’un autre. Un taux de change peut être etre exprim´ e de deux manières eres : la cotation au ”certain” consiste a` donner le nombre d’un d’ unit it´és es mo mon´ nétai et aire ress étra et rang ng`ères er es équi eq uival valen entt a` une unité de monnaie locale ; la cotation cotation a` ”l’incertain” indique le nombre d’unités es monétaires etair es locales loca les correspondant corresp ondant a` une un e uni u nit´ té de mo monna nnaie ie étra et rang` ngère. ere . Ainsi Ai nsi,, lorsque l’euro s’apprécie ecie contre les autres devises, sa cotati co tation on au a u certain cert ain s’él` elève eve tandis tan dis que q ue sa cotation cotat ion a` l’incertain diminue. 1.2

1.2.1

Principales caract´ eristiques eristiques

Un march´ e domin´ d omin´ e par p ar quelques quelqu es places place s financi` fin anci` eres eres

Le marché du change ne connaˆıt ıt pas de frontière ere : il y a un seul marché du change dans le monde. Les transactions sur devises se font aussi bien à Paris, Londres, Tokyo ou New York. Le march´ e du change est donc une organisation organi sation économique econom ique sans véritable eritab le réglementation eglementa tion ; elle est auto-organis´ auto-o rganisée ee par les instances instan ces publiques publiqu es et privées ees qui y interviennent. intervienn ent. Il est géographiquement eograp hiquement très es concentré sur les places financières eres de quelques pays. En 1998, le Royaume-Uni représentait esentait 32% des opérations, eratio ns, les Etats-Unis, 18%, le Japon, 8%, l’Allemagne, 5%, et la France 4%. 1.2.2

Un march´ e dominé par quelques monnaies mon naies

Les opérations erations sur le march´ e du change, repr´ esentant esentant plus de 3 milliards de dollars d ’échange echange quotidien, sont concentrées ees sur un petit p etit nombre de monnaies, et très es majoritairement sur le dollar. En 1998, le dollar dolla r américain ericain intervenait en moyenne dans 87% des transactions transa ctions identifiées, ees, soit du côt´ oté de l’offre, soit du côt´ oté de la demande. Aujourd’hui, les monnaies de la zone euro apparaissent dans 52% 5 2% des transactions. Le yen et la livre sont plus en retrait puisqu’ils interviennent respectivement dans 21% et 11% des transactions. 1.2.3 1.2 .3

Un march´ mar ch´ e domin´ dom in´ e par les op´ eratio era tions ns ` a terme ter me

Le risque de change est le risque risque de perte p erte en capital capital li´ e aux variations variations futures du taux de change. change. Depuis les années ees soixante-dix, soixante -dix, ce risque s’est fortement forteme nt accru avec le flottement flotte ment gén´ enéralis´ eralisé des monnaies et le développement eveloppement des transactions commerciales et financières eres internationales. L’existence de variations des taux ta ux de change cha nge entraˆıne ıne deux deu x types d’attitude d’att itude de la part des de s intervenants sur le marché : certains groupes ne souhaitent pas ou n’ont pas le droit de parier sur ce que seront les taux de change dans le futur. futur. Ils sont sont expos´ exposés es a` un risque risque de change change dans le cours de leurs activit´ activités es ordinaires ordinaires et

` MODELE DE GARMAN ET KOHLHAGEN

3

recherchent une u ne couverture c ouverture à leur l eur position posi tion créditrice editri ce ou débitrice. ebitri ce. D’autres D’autr es group g roupes es estiment e stiment pouvoir prendre une positi p osition on exposée ee à un risque de change pour réaliser ealiser un gain. Il y a alors sp´ eculation eculation sur l’évolution evolutio n future des taux au moyen d’op´ d ’opérations erati ons d’arbitrage. d’arbi trage. Le contrat de change à terme est le principal moyen de se couvrir ou de spéculer eculer sur le march´ e du change. change. Ce qui explique pourq p ourquoi uoi il domine le contrat contrat de change change au comptant comptant . Il existe existe diff´ différents erents contrats de change à terme : les contrats fondés es sur les opérations erations traditionnelles, terme bancaire et ”swap”cambiste, ”swap”cambi ste, sont les plus répandus epandus (57% des opérations erati ons des marchés es du change ) ; ceux fondés es sur les autres produits d´ eriv´ erivés, es, ”futures” ”futures” et options options sur devises devises restent restent encore encore marginaux marginaux (6% des opérat er atio ions ns ).

2

Mod` ele ele de Garman Garman et Kohlhagen Kohlhagen

2.1

Quelqu Quelques es notati notation onss

Nous avons étudi´ etudié le modèle ele de Garman et Kohlhagen en nous inspirant de l’article ”Foreign ”Foreign Currency Option Values”.(cf Annexes) Puisque nous travaillons travaillons sur le march´ e du change, nous allons considérer erer un univers composé de deux devises : la devise étrang` etrangère, ere, indicée ee par f et la devise domestique, domest ique, indicée ee par d. Dans chacune des deux économies economies (domestique (d) et étrang` etrang` ere ere (f)), (f )), la devise crrespondante constitue un actif sans risque, dont la dynamique entre t et t + dt dépend epend du taux t aux sans risque (rd pour l’économie econom ie domestique domest ique et rf pour po ur l’´ l’écon ec onom omie ie étra et rang` ngère) er e).. Par contre, vue de l’´ l ’économie econom ie domestique( dome stique(d), d), la devise (f) (f ) est un u n actif acti f risqué dont la valeur a` chaque instant est donnée ee par pa r le taux de change chang e S f Po ur all´ a lléger eger les équatio equa tions, ns, nous nou s notero no terons ns S f S . La f →d . Pour f →d premi` prem ière ere devise devi se indiqu´ indi quée ee en e n dénommant enom mant l’opti l’o ption on sera toujour tou jourss la l a devis d evisee étrang` etra ngère, ere, et la seconde seco nde devise devi se sera la devise domestique. Par exemple une option EuroDollar, repr´ esentera esentera une option sur le taux de change Euro (étranger) etranger) vers Dollar (domestique) et son prix sera exprim´ e en Dollar. De plus, on note rd le taux sans risque de l’économie economie domestique, rf le taux tau x sans san s risque risq ue de l’économi econ omiee étrang` etr angère. ere.

≡

2.2

2.2.1

Mod´ Mo d´ elisat eli sation ion financi` fina nci` ere ere

Hypoth` eses eses classiques

Avant de pricer les options opt ions asiatiq as iatiques ues de change, chan ge, il est impératif eratif de supposer supp oser quelques que lques hypoth` hyp othèses eses sur les march´ m archés es financ fin anciers iers puis pui s de mod´ m odéliser eli ser l’´ l ’évolutio evolu tion n des taux tau x de change cha nge dans cet univer u nivers. s. La mo mod´ délisat eli sation ion financi` ere couramment retenue pour ere p our ces actifs est celle de Garman et Kohlhagen, qui est analogue au modèle ele de Black et Scholes, utilis´ utili sé pour caractériser eriser l’évolution evolutio n du cours des actions actio ns et ainsi pricer les options vanille sur ces derniers sous-jacents. Les hypoth` eses eses que nous avons retenues sont les suivantes suivantes : – Il est possible de vendre et d’acheter d’acheter le sous-jacent sous-jacent a` tout moment sans coˆ ut ut de transaction. – Les ven ventes tes a` découv ec ouvert ert sont so nt auto au tori ris´ sées. ee s.


4

– On supposera enfin que les taux de change sont des variables aléatoires eatoires suivant une loi lognormale et leur évolutio evolu tion n est e st donc mo mod´ délis´ eli sée ee par l’équatio equa tion n de diffusi diff usion on suivante sui vante : dS = µSdt + σSdW P o` u W P est un mouvement brownien, sous la l a probabilité historique propre a` l’agent, µ est un paramètre etre de drift, dr ift, ou rendement re ndement moyen et σ représente esente la volatilit´ volatil ité de l’actif l’act if sous-jacent. sous-ja cent. On notera (F (F t )(t≥0) la filtration engendr´ ee ee par le mouvement mouvement brownien et Ω l’ensemble des états etats possibles du monde. Pour modéliser eliser les taux d’intérˆ erêt, et, on utilise utili se une courbe courb e de taux zéro-coupon, ero-cou pon, a` partir de laquelle on calcule les facteurs d’actualisation B (t, T ) T ) selon l’équation equati on suivante : T

B (t, T ) T ) = exp

−  t



r(s)ds =

1 (1 + R(t, T )) T ))T −t

où R(t, T ) T ) désigne esi gne le taux ta ux zéro-c ero -cou oupo pon n entre ent re t et T, récup´ ecu pér´ eré a` partir par tir des donn´ don nées ees de march´ mar ché. e. 2.2.2

Absence d’opportunit´ d’op portunit´ e d’arbitrage et changement de d e probabilit´ e

Le principe de non arbitrage est une hypoth` ese ese fondamentale sur le march´ e. e. Nous allons donner ci-dessous sa traduction mathématique ematique dans deux situations : d’abord dans le cas d’un actif ne versant pas de dividendes, puis dans le cas d’un actif versant versant une rémun´ emunération eration avec un taux de dividende conti co ntinu nu not´ no té c(t). Notons que si c(t) est le dividende continu, cela traduit qu’entre t et t+dt, l’actif verse un montant c(t)S (t)dt. dt. Sous la probabilité historique P, le processus de prix de l’actif suit la dynamique suivante suivante : dS (t) = µ(t)dt + σ (t)dW P (t) S (t) o` u W P (t) est un P-mouvement brownien. En l’absence d’opportunit´ d’opp ortunité d’arbitrage, il existe un vecteur λ(t), dénomm´ eno mmé prime pri me de risque ris que tel que µ(t) = r(t) + σ (t)λ(t). Dans le cas o` u l’actif verse un dividende avec un taux continu c(t), il existe un vecteur de prime de risque λ(t) tel que µ(t)+ c(t) = r(t)+ σ (t)λ(t) Remarque : D’un point de vue financier, ce résultat esultat exprime le fait que le rendement instantané de n’importe quel portefeuille sans risque ( σ (t) = 0) est exactement égal egal au taux sans risque. Dans le l e cas ou l’actif verse un dividende, le rendement instantané global est λ(t) + c(t). Applications : Nous nous pla¸cons cons maintenant dans l’économie economie domestique, dans laquelle la devise domestique (d) constitue l’actif sans risque avec une dynamique : dS d (t) = S d (t)rd (t)dt La devise étrang` etrangère ere est un actif risqué , qui, avec les notations notati ons adoptées ees a une dynamique dynamiq ue qui s’écrit ecrit : dS (t) = µ(t)S (t)dt + σ (t)S (t)dW P


5

D’autre part il est clair que la devise étrang` ere ere peut être etre vue comme un titre versant versant un dividende continu rf (t), rf (t) étant etant le taux sans risque étranger. etranger. En effet, la possession d’une unité de devise étrang` etrangère ere entre t et t+dt donne droit a` une un e rému em unération égale à rf (t)dt. dt. On peut donc en se pla¸cant cant dans l’économ eco nomie ie (d) applique appl iquerr la deuxi` deux ième eme assert ass ertion ion du théor` eorème eme préc´ ecédent edent et ainsi ain si conclu con clure re en l’exisl’e xistence d’une prime de risque ri sque notée ee λd (t) telle que µ(t) + rf (t) = rd (t) + σ (t)λd (t) L’équation equation (1) de la diffusion du taux de change peut p eut donc se ré´ eécrire ecrire sous la forme (2) suivante suivante : dS (t) = (rd

P

− rf ) rf )S (t)dt + σ (t)S (t)(dW )(dW

+ λd (t)dt) dt)

D’apr` D’a près es le théor` eo rème em e de d e Gir G irsa sanov nov,, il i l exis e xiste te une proba pro babi bili lit´ té Qd équivalente equi valente a P sous so us laquel la quelle le W P (t)+ λd (t)t reste un mouvement brownien. Cette mesure Qd est la probabilit´ probabi lité risque neutre n eutre de la l a devise domestique. domest ique. On peut à présent esent ré´ eécrire ecri re la dynamiq dyna mique ue du taux tau x de change chang e sous la probabi prob abilit´ lité Qd . En exprimant Q P dans l’équation equation (2) le fait que sous Qd , W d (t) = W (t) + λd (t)t est un mouvement brownien, on en déduit edui t que sous sou s Qd la diffusion du taux de change satisfait l’équation equation (3) ( 3) suivante suivante : dS (t) = (rd (t) S (t)

Q d (t))

))dt + σ (t)(dW )(dW − r (t))dt f

Nous savons de plus que sous la mesure Qd , la l a valeur actual act ualis´ isée ee de toute tou te strat´ str atégie egi e auto a utofinan financ´ cée ee est martingale. martin gale. Pour pricer notre option o ption de change, il suffit suffi t alors alor s de calculer cal culer l’esp´ l ’espérance erance du d u payoff actualis´ actua lisé de notre actif. Application au Pricing d’options de Change : Nous Nou s avons donc don c d’apr` d’a près es ce qui préc` ecède ede une mesure mes ure Qd qui rend martingale toute stratégie egie autofinancée ee actualis´ actual isée, ee, et par conséquent equent le processus proce ssus de prix actualis´ actual isé de n’importe n’imp orte quelle option optio n sur le taux de change. Considérons erons une option de change livrant un payoff quelconque Φ a` la date T. On en déduit eduit une formule gén´ enérale erale donnant son prix a la date t : P t =

E tQd

.

T

 −  Φexp



rd (s)ds

t

Quelques Quelques Exemples Exemples :

−    −    T T

– Pour Pour un Call Call de strike strike K : P t = exp rd (s)ds E tQd [max( max(S T K, 0)] T t – Pour Pour une option asiatique sur moy moyenne enne discr` ete ete avec avec constatations constatations aux dates (t (t1 , t2 ,...,tN ), on

−

N

défini efi nitt la moyenn moye nnee disc di scr` rète et e S =

1

St i , alors

N

i=1

T

P t = exp

t

rd (s)ds E Qd max( max(S



− K, 0)


6

Pour les calls, une formule ferm´ ee ee d’évaluation evaluation existe et le pricing ne pose aucune difficulté particulière. ere. La formule d’évaluation evaluation repose sur le r´ esultat esultat suivant, suivant, connu sous le nom de formule de Black-Scholes. Si X est une variable variable aléatoire eatoire suivant une loi lognormale, telle que ln(X) a une variance variance σ 2 . Alors E [ E [max( max(X avec

N

la

fonction

  E (X ) K

de

− K ), 0] = E (X ) N N (d1) − K N (d2)

répartition

1 2 2σ

ln + d1 = et d2 = d1 σ Cas d’un Call de Change :

de

la

lo i

normale

centrée

réduite.

− σ.

L’équation equati on de diffusion diffusio n sous la probabilit´ probabi lité risque r isque neutre est dS t = [rd (t) S t

Q d (t)

)]dt + σ dW − r (t)]dt t

f

et donne par intégration egrati on T

S T T = S t exp

− 

rd (s)

t

−

1 rf (s)ds + 2

T



T

2

σ (s)ds +

t



σ(s)dW s

t



La formule de Black-Scholes donne alors le prix par formule fermée ee d’un call de change : T

C t = exp

− 

rd (s)ds S t N (d1)

t

Avec d1 =

t ln S + K

et

   −

T T rd (s) t



 

− r (s)ds + f

  

T T 2 σ (s)ds t

T

− K exp K exp

−  t



rf (s)ds N (d2)

T T 2 σ (s)ds t

T

d2 = d1

σ 2 (s)ds

t

Conclusion : Le mod` mo d` ele ele de Garman et Kohlhagen Kohlhagen donne donc dans le cas d’un call et d’un put vanilles, anilles, une formule fermée, ee, tout comme celui de Black-Scholes. Par contre, on voit que pour une option asiatique, on ne peut pas effectuer un calcul analogue à celui que l’on vient de faire. En effet, la moyenne du taux de change apparaˆıt ıt comme une somme de variables aléatoires eatoi res lognormales logno rmales corrél´ elées, ees, et sa distribution distri bution n’est donc pas lognormale. lognor male. Ainsi, les sections sectio ns suivantes su ivantes vont traiter traite r de méthodes etho des de résolution esolut ion du mod` m odèle ele

´ M ETHODE DE MONTE CARLO

7

de Garman et Kohlhagen dans le cas d’une option asiatique (Méthode ethode de Monte-Carlo, Algorithme de Turnbull et Wakeman, approche par EDP).

3

M´ ethode ethode de Monte Monte Carlo

3.1

Principe de la r´ esolution esolution

Nous commen¸cons cons par rappeler rappe ler brièvement evement les arguments argume nts théoriques eorique s qui justifient justifie nt la méthode etho de de Monte-Ca Monte -Carlo rlo ainsi ain si que les moyens d’évaluer evalue r num´ nu mériqueme eriq uement nt sa s a pr´ p récisio eci sion. n. Th´ eor` eorème1 eme 1 : Loi Forte ort e des Grands Gran ds Nombres Nombr es Soit X 1 ,..,X n , une suite de variables aléatoires eatoi res iid (indépendantes, epend antes, identiquement identiquem ent distribu´ distri buées ees de moyenne m et de variance σ 2), telles que i, E ( X i ) < , et e t défini efi nies es sur su r un u n même em e espa e space ce de proba pro babi bili lit´ té. e.

∀

N

Alors la suite

1 N



| | ∞

X i converge presque sûrement urement vers la valeur m = E (X i ).

i=1

N

ˆ = Ce théor` eorème eme assure la convergence presque-sˆ presque- sûre ure vers la valeur E (X i ). L’estimateur L’estimateur X

1 N

 i=1

X i

est donc d onc convergent. c onvergent. D’autre D’ autre part, il est facile f acile de voir qu’il est sans s ans biais, b iais, par lin´ l inéarit´ earité et indépendance ependa nce des X i . Le contrôle ole de l’erreu l’e rreurr est donn´ don né par le théor` eorème eme suivant. suivant . Th´ Th ´ eor` eo r` eme2 em e2 : Th´ Th ´ eor` eo r` eme em e Centr Ce ntral al Limi Li mite te Sous So us les le s mêmes em es hypot hyp oth` hèses es es que le théor` eo rème em e préc´ ecédent, ede nt, on peut pe ut concl co nclure ure que : n

 √  n

1 n

i=1

X i



−m



N (0, (0, σ2 )

la convergence étant une convergence en loi. l oi. Commentaires : On peut p eut déduire eduire de cette convergence convergence en loi que pour p our tout t out couple de réels eels a et b



a lim P σ < n→∞ n

√

n

 i=1

X i n

−



b m<σ = n

√

1 2Π

√

b

 −  exp

a

1 2 x dx 2


8

N

| |

D’autre D’autre part, si X suit une loi normale normale (0, (0, 1), on sait que P ( P ( X < 1.96) = 95%. On en e n déduit eduit que P Xni m ) < 1.96 √σn 95%.. Ainsi, 95% Ains i, on obtient obt ient à l’ai l ’aide de de d e ce théor` eorème, eme, un interval i ntervalle le de d e confian co nfiance ce a` 95%. Mais on voit qu’il reste a` pouvoir p ouvoir estimer estime r le paramètre etre inconnu, pour pouvoir achever l’´ l ’évaluation evaluation de l’erreur effectuée ee dans la méthode etho de de MonteCarlo. MonteCar lo. Le dernier résultat esulta t rappel´ rappe lé ci-dessous ci-dess ous donne un estimateur estima teur du paramètre, etre, a` partir de la variance empirique de l’échantillon echantillon iid. Théor` eo r` eme3 em e3 : Estim Est imat atio ion n du para pa ram` m` etre et re :

|

− |

→

Sous So us les le s mˆ m êmes em es hypot hyp oth` hèses es es que les le s deux d eux théor` eo rèmes em es préc´ ecédents ede nts,, la varian vari ance ce em empi piriq rique ue 1

2

σn =

n

−1

n

     − n i=1

X i

X i

2

n

i=1

est un estimateur sans biais et convergent de σ2 (convergence presque sûre). ure). Commentaires : Ce dernier r´ esultat esultat permet p ermet donc de calculer l’erreur MonteCarlo. En pratique, on σn considèrera erera que l’erreur l’erreu r à 95% est 1. 1.96 . n

√

3.2

Applica Application tion au au pricing pricing d’un d’une e option option asiati asiatique que

Nous considérons erons une option asiatique asi atique sur taux de change qui livre à la date T le payoff : N



1 Φ= N

S ti

i=1



+

− K

Le prix de non arbitrage de cette option à la date t s’écrit ecrit : T

 − 

P t (Φ) = E exp



rd (s)ds Φ

t

L’application de la l a méthode ethode de MonteCarlo va consister d’abord d’ab ord a` simuler N variables aléatoires eatoi res Φ1 ,..., ΦN de même eme loi que Φ. En vertu de la loi forte des grands nombres, nombres, on pourra p ourra utiliser utiliser comme estimateur du prix : T

P t (φ) = exp

−  t

N

 

1 rd (s)ds N

Φh

h=1

Ensuite, on estime l’erreur en utilisant les deux derniers résultats esultats de la section pr´ ec´ ecédente. edente. On commence par estimer la volatilité de l’estimateur du prix a` l’aide l’a ide de l’échantill echant illon on tiré. e. On a : N N T 1 Gh 2 2 σ (P t (Φ)) = exp 2 rd (s)ds Gh N 1 N t

− 



−

 −   h=1

h=1


9

Le résultat esulta t préc´ ecédent edent permet perme t de conclure conclur e que l’erreur MonteCarlo MonteCarl o avec une u ne probabilit´ probabi lité de 95% est la suivante : 1.96 ErreurMC = exp n

√

T

− 



rd (s)ds σ (P t (Φ))

t

Chaque variable aléatoire eatoi re Φh a` simuler simu ler s’écrit ecri t : Φh = .

N

  1 N

S thi

i=1



− K

On voit donc que la simulation d’une variable aléatoire eatoire Φi nécessite ecessit e donc de savoir tirer une tra jectoire de N points du taux de change. change. La diffusion diffusion du taux de change change sous la probabilit probabilit´é risque risque neutre neutre a déja` ét´ eté étab et abli liee dans da ns les le s secti sec tion onss préc´ ecédente ede ntess et s’écrit ecr it de la ma mani` nière ere suivante sui vante : dS t = (rd (t) S t

Q t

− r (t)) dt + σdW f

En notant S 0 , la valeur initiale du taux de change, change, on montre montre en utilisant utilisant le lemme d’Itô que la solution de cette équation stochastique est : t

S t = S 0 exp



rd (s)

0

t

 −  

− r (s)ds f

1 2

0

2

σ (s)ds +

t





σ (s)dW s

0

Tout d’abord, on peut constater que S t s’écrit ecrit comme produit d’un facteur déterministe eterministe que nous t t 1 noterons F t = S 0 exp rd (s) rf (s)ds σ 2 (s)ds et d’un facteur stochastique noté exp(Y exp(Y t ) 2 0 0 t avec Y t = 0 σ (s)dW s. Le facteur F t se calcul cal culee aisément ement avec les donn´ don nées ees de march´ mar ché. e. Nous présentons esent ons t ci-dessous la méthode ethode de simulation d’une tra jectoire du processus Gt = exp(Y exp(Y t ) avec Y t = 0 σ(s)dW s.





3.2.1 3.2.1

−

−

Simula Simulatio tion n de la partie stoch stochast astiqu ique e du taux de change change t





Le processus Y t = 0 σ (s)dW s est une int´ egrale egrale de Wiener dans la mesure o` ou` on suppose que σ(s) est déterministe. etermi niste. On a donc les deux propriét´ etés es suivantes qui serviront a` effectuer la simulation de Y t . t 2 – Y t suit une loi normale N (0 N (0,, 0 σ (s)ds) ds) – Le proces processus sus est est à accroissements accroi ssements indépendants epend ants (si t > s, alors Y t Y s est indépenda ep endant nt de F s o` u F s désigne esig ne la filtrat filt ration ion engendr´ eng endrée ee jusqu’` jusq u’à la date s par le processus Y). En subdivisant l’intervalle l’intervalle [0, T] avec un pas de temps h, on peut donc écrire ecrire que : – Y 0 = 0 (k+1)h 2 – Y (k+1)h Y kh σ (s)ds . kh suit une loi N 0, kh Ainsi la r´ ecurrence ecurrence ci-dessous p ermet de simuler une trajectoire t rajectoire du processus pro cessus Y t . – Y 0 = 0

 

 

−

– Y (k+1)h = Y kh kh +

  

(k+1)h kh

σ2 (s)dsZ k



−




10

N

o` u les Z k sont des tirages tirage s indépendants epend ants suivant une loi normale n ormale (0, (0, 1). La simulation simulation de Gt = exp(Y exp(Y t ) en découle ecoule en prenant a` chaque date kh, Gkh = exp(Y exp(Y kh kh ). Remarque : La simulation de trajectoires nécessite ecessite donc d’effectuer des tirages ind´ ependants ependants selon une loi normale (0, (0, 1). Ceci est un point point crucia cruciall dans dans la simulatio simulation n de Monte Monte Carlo Carlo ; il est donc donc nécessai eces saire re d’obte d’o btenir nir un gén´ enérateur erat eur de nombres nomb res aléatoir eat oires es perfor pe rformant mant (avec de bonnes bo nnes propri´ prop riét´ etés es statis sta tis-tiques) et disposant d’une p´ eriode eriode suffisante pour p our les calculs que l’on souhaite mener. Nous pr´ esentons esentons ci-dessous la démarche emarche que nous avons adoptée ee dans le cadre de notre projet qui consiste a` commencer par simuler une loi uniforme sur [0,1], puis utiliser util iser la l a méthode ethode d’inversion d’inversion de la fonction de r´ epartition. epartition.

N

3.2.2 3.2.2

Simula Simulatio tion n d’une d’une loi unifo uniforme rme U(0,1 U(0,1))

Des gén´ enérateurs erateurs de nombres quasi-al´ quasi- aléatoires eatoi res sont disponible disp onibless dans la plupart des systèmes. emes. D’une mani` ma nière ere gén´ enérale era le,, ces ce s gén´ enérate era teur urss sont so nt des de s gén´ enérate era teurs urs cong co ngrue ruenti ntiel els, s, c’es c’ estt-` a-dire a`-dire qu’ils forunissen forunissentt une suite d’entiers (x (xn )n≥0 donnés es par la relation relati on de récurrence ecurrenc e suivante : xn+1 = axn + b (modulo m). La valeur x0 est appelée ee la graine, a est le multiplicat multiplicateur eur et la p´ eriode eriode maximale maximale d’une telle séquence eque nce est de m. Des exemple exem pless de gén´ enérateurs erat eurs intégr´ egrés es aux systèmes eme s sont par exemple exem ple les foncti fon ctions ons RANDOM de Pascal et Java, ou encore le RAND (écrit ecrit par les auteurs du syst` s ystème eme Unix). La qualité de ces ce s gén´ en érat er ateu eurs rs est es t évalu eva lu´ée ee a` l’aide l’ aide de tests tes ts statist st atistiques iques d’uniformit´ d’unifo rmité, e, d’ind´ d’ indépendance, epend ance, mais aussi de l’évaluation evaluation de leur période. eriode. On peut par exemple citer le test de Kolmogorov-Smirnov qui compare n

la fonction fonctio n de répartition eparti tion empirique empiri que calculée ee a` la suite de nombres F n (t) =

1 n



χ[Ui
i=1

la fonction indicatrice), a` la vraie fonction de r´ epartition epartition F ( F (t) = P ( P (U < t) = t quelque soit t dans [0,1]. [0, 1]. La plupar plu partt de ces gén´ enérateurs erat eurs préd´ edéfinis efin is n’ont n’o nt pas de très es bonnes bo nnes propri´ prop riét´ etés es statis sta tistiq tiques. ues. Nous nous sommes donc fond´ es es sur la l a littérature erature existant sur ce sujet et les conclusions des nombreux tests déjà effectués es dans ce domaine. domai ne. L’un des meilleurs meill eurs gén´ enérateurs erateurs disponible disp onibless a` l’heure actuelle est celui de Mersenne Twister développ´ eveloppé par Makoto Matsumoto et Takuji Nishimura en 1997 (enti` erement erement disponible sur le site Internet des auteurs : http ://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/). Notre projet utilise utili se une implémentation ementati on de d e cet algorithme algori thme en JA J AVA. 3.2.3 3.2.3

Simula Simulatio tion n de la loi loi norm normale ale

N (0, (0, 1) : M´ ethod eth ode e d’inversi d’i nversion on

Le résultat esultat utilis´ util isé est le suivant. On suppose que U suit une loi uniforme U[0,1]. Alors, si on pose p ose Y = F −1 (U ), ), avec F −1 inverse inverse de la fonction fonction de r´ epartition epartition de la loi normale normale (0, (0, 1), la variable aléatoire eatoi re Y suit une loi l oi normale n ormale (0, (0, 1). Démonstration emonstration : La preuve vient du fait que P ( P (Y < t) = P [ P [F −1 (U ) U ) < t] = P [ P [U < F ( F (t)] = F ( F (t) avec F fonction répartition epartition de la loi normale (0, (0, 1). On en déduit eduit que Y suit une loi normale (0, (0, 1). D’un point de vue numérique, erique, nous avons impl´ i mplément´ ementé sous Java l’algori l’a lgorithme thme d’inversion de Moro d’une très es grande précision ecisio n . (Ref Moro ” The T he Full Monte ” , Risk, Vol 8 No2, No 2, Février evrier 95-P57-58). 95-P57 -58). Description de l’Algorithme d’inversion de Moro : En supposant connue la valeur de N(x), l’algorithme ci-dessous permet de retrouver x.

N

N

N

N


11

L’approximation est faite en fonction de la valeur de N(x). Soit y = N (x) Si y 0, 42, alors l’approximation faite est :

| |≤

− 0, 5

3

 

ai y2i

x = y i=0 4

b j y2 j

j =0

||

Si en revanche y > 0, 42, alors l’approximation est faite a` l’aide des polynˆ omes omes de Tchebychev : 8

x=ε

  − ci T i (t)

ε

i=0

o` u ε est le signe de y et :

 −

t = k1 2ln

1 ln( ln( 2

c0 2

  −| | − y)

k2

En résum´ esu mé, e, nous no us avons avon s donc do nc présent´ es enté les le s métho et hode dess util ut ilis´ isées ee s pour po ur pouvo po uvoir ir gén´ enérer ere r une tra tr a jecto jec toir iree +

N

du taux de change et évaluer evaluer le payoff associ´ asso cié à chaque trajectoi tra jectoire re (h) : Φh =

 1

N

i=1

S thi



− K

. Les

calculs de prix et d’erreurs s’en déduisent eduisent en utilisant les l es formules établies etablies un peu plus haut, a` savoir que l’estimateur du prix est P t (Φ) = exp

ErreurMC = 3.3

3.3.1

− 

N

 − 

T T rd (s)ds t

√

1.96 exp N

1

Φh . L’erreur à 95% s’écrit ecri t :

N

h=1

T



rd (s)ds σ (P t (Φ))

t

Monte Carlo et Techniques echniques de R´ eduction eduction de Variance Variance

utilisation de variables variables antith´ etiques etiques

La précisio eci sion n de la méthod eth odee de MonteCa Mont eCarlo rlo peut pe ut être etr e amélior´ eli orée ee par des techniqu techn iques es de réductio educ tion n de la variance de l’estimateur. l ’estimateur. Aussi, allons-nous allo ns-nous utiliser ici la technique des variables antithétiques. etiques. Rappelons Rappe lons cependant cepen dant le théor` eorème eme suivant, nécessaire ecessai re à la mise en oeuvre de cette technique : Th´ eor` eme : Soit X une u ne variable varia ble aléatoire, eatoi re, T une transformati transfo rmation on décroissante ecroiss ante de telle que T(X) T (X) a la même eme loi que X et Φ une fonction monotone. Alors



COV CO V (Φ( (Φ(X X ), T (Φ( T (Φ(T T ((X )) )) .

≤0


12 +

N

Pour pricer l’option de payoff Φ = cons co nsis ist´ té a` approximer E (Φ) (Φ) par

 1

N

S thi

i=1 (Φ1 +Φ2 +...+ΦN )



− K

, la m´ ethode ethode de Monte Monte Carlo classique classique a

. On O n va utilis uti liser er une propri´ prop riét´ eté de d e sym´ s ymétrie etr ie en loi dans l’exl’e x-

N

   ∗ ∗ −  ∗  ∗ ti ti

pressio pres sion n de Φ. Comme Com me indiqu´ indi qué dans la sectio sec tion n préc´ ecédente edent e S ti ti = F ti ti exp

0

σ(s)ds o` u F ti est le facteur ti

détermi ete rminis niste te vu a` la sect se ctio ion n préc´ ecédent ed entee (évalu´ eva lué a` la date ti ). Posons S ti = F ti exp Par sym´ sym étri et rie, e, S ti * garde la même eme loi que S ti . Ainsi, si on pose Φ∗ =

1

S ti

N

i=1

0

+

N

− K

,

§

ti



σ(s)dW s . est appe ap pel´ lée ee

la variable variab le antith´ anti thétique eti que asso ciée ee a` ti . Dans la mesure o` u E (Φ) (Φ) = E (Φ (Φ∗ ), on o n en déduit eduit que pour p our calculer calcul er E (Φ), (Φ), on o n peut p eut effectuer N tirages indépendants ependants de Φ et Φ∗ et utiliser l’estimateur suivant :

§

E ∗ =

1 (Φ1 + Φ∗1 + ... + ΦN + Φ∗N ) 2N

a` la place de l’estimateur classique E =

1 (Φ1 + ... + Φ2N ) 2N

. Ces deux estimateurs de l’espérance erance sont tous les deux convergents convergents et sans biais, mais l’int´ erˆ erˆ et et d’utiliser le premier résulte esulte du fait que sa variance est plus faible. En effet , en utilisant utili sant l’hypothèse ese d’ind´ ependance ependance et de distribution identique des tirages, on montre que V ar(Φ ar(Φ∗ ) = V ar(Φ) ar(Φ) + cov(Φ cov (Φ,, Φ∗ ). Le ga gain in de varian vari ance ce résult esu ltee du théor` eo rème em e préc´ ecédent ede nt qui perme pe rmett d’étab et abli lirr que cov(Φ cov(Φ,, Φ∗ ) N

en l’appliquant à la variable aléatoire eatoi re X =

1 N

 i=1

3.3.2 3.3 .2

S ti Φ(x) = (x ti , et pour la fonction Φ(x

≤ 0. En effet,

− K )+.

R´ esultat esu ltatss Num´ erique eri quess :

Les graphes ci-dessous permettent de comparer la convergence des prix et les erreurs Monte carlo obtenues avec et sans réduction eduction de variance en faisant varier le nombre de trajectoires.


13

1 – Comparaison des erreurs Monte Carlo avec et sans réduction eduction de variance Fig.

Fig.

2 – Convergence Convergence des prix Monte Carlo avec et sans réduction eduction de variance

Nous constat c onstatons ons que qu e la variance obtenue ob tenue avec la l a méthode etho de antith´ anti thétique etique est plus pl us faible. fai ble. On remarque rema rque également egalement que la courbe des prix de Monte Carlo antith´ etique etique a moins de fluctuations que dans le cas d’un Monte Carlo sans réduction eduction de variance, donc que le prix converge effectivement plus rapidement dans le premier cas.

14

TURNBULL ET WAKEMAN

3.4

Reconstitution Reconstitution de la densit´ densit´ e de la moyenne moyenne ` a partir de simulations simulations de Monte

Carlo

Notons qT (x) la densité de la moyenne arithmétique etique sur l’horizo l’ horizon n T. Le prix d’un Call C all asiati a siatique que sur moyenne (de strike K) calculé a` l’aide l’a ide de la simulation de Monte Carlo s’exprime aussi par l’int´ egrale egrale suivante :

  ∞

T

C 0 (K ) = exp

− 

rd (s)ds

0

On déduit eduit de cette c ette relation relati on que q ue

qT (x)(x )(x

K

∂ 2 C 0 (K ) = exp ∂K 2

T

− 

− K )dx



rd (s)ds qT (K )

0

Ainsi qT (K ) est es t lié a` la dériv´ erivée ee seconde du prix par rapport rappo rt au strike. T

qT (K ) = exp

 0



rd (s)ds

∂ 2 C (K ) ∂K 2

Cette relation relatio n est connue sous le nom de formule de Breeden Litzenberger. L’approximation numérique erique que nous avons effectu´ eff ectuée ee consiste consist e à évaluer evaluer le prix du call pour une série erie de valeurs discrètes etes de strike K 1 , K 2 ,...,K N . (On suppose que K i K i−1 = δ consta con stant). nt). La dériv´ eri vée ee seconde seco nde de C est alo alors rs approxim´ appr oximée ee par ∂ 2 C (K ) C (K i−1 )C (K i+1 ) 2C (K i ) = ∂K 2 δ2 K =K i

−





−

On pourra p ourra se reporter aux annexes pour les graphes de densité obtenue à l’aide l ’aide de cette méthode. etho de. qui sont par ailleurs comment´ es es dans la section 7 ”Analyse des résultats”. esultats”. Conclusion : Finalement le pricing des options par les simulations de Monte Carlo donne des r´ esultats esultats relativement pr´ ecis. ecis. On peut de plus améliorer eliorer la performance de cette méthode ethode par une technique de réduction eduction de variance. variance. N´ eanmoins, eanmoins, cette technique de pricing est coˆ uteuse uteuse en temps de calcul puisque pour obtenir obteni r des résultats esulta ts de d e densit´ den sité satisfai sa tisfaisants, sants, il est nécessaire ecessai re de simuler au moins m oins un millio mi llion n de trajectoi tra jectoires res de d e prix. pri x. Nous N ous allons a llons donc dans la partie p artie suivante étudier etudier un proc´ pr océd´ edé beaucoup b eaucoup plus rapide :l’algorithme de Turnbull et Wakeman.

4 4.1

Turn urnbull bull et Wakema akeman n le principe principe de l’algori l’algorithm thme e de Turn Turnbull bull et Wak Wakema eman n

Pour développer evelopp er cette partie, nous avons étudi´ etudié l’article l’art icle de Turnbull Turnbull et Wakeman, ”A Quick Algorithm for pricing pricin g european europ ean Asian Options”, Option s”, dont les réf´ eférences erences sont notées ees en annexes. annexes . Soit C t le prix du call cal l europ´ euro péen een consid´ con sidér´ eré, e, o` u K est le prix d’exercice de l’option et n le nombre d’observations du prix de l’actif sous-jacent.

15

TURNBULL ET WAKEMAN

T

 − 

C t = E t exp(

rd dt) dt)S

0



− K/S ≥ K

N

où E t est l’espérance erance conditionnelle sachant sachant le l e prix de l’actif l’acti f en t et S =

1 N



S ti

i=1

Pour évaluer evaluer cette option, il faut donc connaˆ connaˆıtre la fonction de densit´ e de la moyenne S . Or S étant eta nt une somme som me de log lognorm normale aless corrél´ elées, ees, il est en gén´ enéral era l difficil diffi cilee d’évaluer evalue r sa densit´ den sité ; néanmoi ean moins, ns, on peut plus facilement calculer ses moments. L’algorithme de Turnbull et Wakeman repose alors sur une approximation de la distribution de S par une distribution lognormale dont les deux premiers moments sont calés es sur ceux de S . Cette approche nous permet par la suite d’évaluer evaluer notre option par la formule fermée ee de Black-Scholes. Black-Schol es.

4.2

Approximation Approximation de la densit´ densit´ e de S



On suppose que S est egale en loi l oi à une variable variab le aléatoire eatoir e lognormale logn ormale qu’on notera n otera Y = µ exp σX S est égale

N

−

o` uX (0, (0, 1). 1). De cette ce tte condition condit ion d’égalit´ egali té en loi, les deux premiers premier s moments mo ments de S sont so nt égau eg aux x a` ceux de Y. Nous sommes donc amen´ amenés es a` calculer les deux premiers moments de S pour déterminer etermin er les para pa ram` mètre et ress µ et σ . En utilisant la transformée ee de Laplace,on trouve les deux premiers moments de Y et on a : 

E (Y ) Y ) = µ

(1)

E (Y 2 ) = µ2 exp( σ 2 )E [exp(2σX [exp(2σX )] )] = µ2 exp(σ exp(σ 2 )

−

(2 )

car E [exp(2 E [exp(2σX σX )] )] = exp(2σ exp(2σ 2 ) 4.2.1 4.2.1

Calcul Calcul des des deux deux premie premiers rs momen moments ts de S

On se réf´ eférera erer a aux annexes ann exes pour po ur la démonst emo nstrat ration ion de ces résultat esul tats. s. On a, après es calcul cal cul :

S 0 E (S ) = N

4.2.2

−  − −  ti

exp

i=0

(rd (s)

0

2 n 1n 1

S 0 E (S ) = n 2

N 1

− r (s))ds ))ds f

ti

exp

i=0 j =0

 tj

(rd (s)

0

− r (s))ds ))ds + f

 0

 ∧

ti tj

(rd (s)

− r (s))ds ))ds f

0

2



σ (s)ds

D´ etermination etermination de la loi de Y 2

Nous avons choisi d’appro cher la densité de S par S par une loi lognormale de la forme Y = µ exp(σX exp(σX σ2 ) o` u X (0, (0, 1) (cf ci-dessus). Les paramètres etres µ et σ 2 , qui caractèrisent erisent ainsi exactement la loi de 

N

−

σ2

2



,

´ ´ ´ ´ RESOLUTION PAR EQUATIONS AUX DERIV EES PARTIELLES

16

Y, sont alors détermin´ etermin´ es es de telle sorte que les deux premiers moments de Y co¨ co¨ıncident avec les deux moments que nous venons de calculer. Nous devons donc avoir :

E (Y ) Y ) = µ = E (S )

(3)

V ( V (Y ) Y ) = E (Y 2 )

(4 )

− E (Y ) Y )2 = µ2 exp(σ exp(σ 2 ) − µ2 = V ( V (S )

2

ce qui nous donne µ2 exp(σ exp(σ 2 ) = E (S ) soit 2

σ

2

= ln

  E (S ) µ2

µ = E (S )

La loi de Y est alors complètement etement caract´ eris´ erisée, ee, ce qui va nous permettre de pricer notre call en calculant calcul ant l’esp´ l’ espérance erance de son so n payoff actualis´ actual isé ; on obtient ainsi : T

C t = exp

−  0

ln(

µ

)+ 12 σ 2

 N

rd (s)ds [µ (d1)

− K N (d2)]

−

avec d1 = K σ et d2 = d1 σ Conclusion : L’avantage L’avantage de cette méthode ethode par rapport a` la méthode ethode probabiliste de Monte Carlo C arlo est qu’elle est beaucoup plus rapide car ne suppose que deux calculs, à savo savoir ir les deux deux premier premierss moments de S . En contrepartie, elle repose sur une approximation fausse consid´ erant erant la l a densit´ e de S lognormale. lognormale. En effet, même eme si on constate constate pour certains couples, par exemple exemple dans le cas du couple EUR/USD, que ne tenir compte que des deux premiers moments de la loi de S conduit a` des résultat esul tatss très es satisfais sat isfaisants, ants, nous nou s obtenons obte nons parfois pa rfois (comme ( comme dans le cas du couple c ouple EUR/JPY) des prix pri x différents erents de ceux donn´ don nés es par la premi` prem ière ere méthod eth ode. e. (L’ana (L’ analys lysee de ces résultat esul tatss est présent´ esentée ee dans dan s la section sect ion 7.) Dans la partie suivante, suivante, nous allons alors al ors envisager une nouvelle approche qui assimile la moyenne moyenne discrète ete a` une moyenne continue. Cette technique consiste à évaluer evalue r les option opt ionss par résoluti esol ution on d’équatio equa tions ns aux dériv´ er ivées ee s part pa rtie iell lles es..

5

R´ esol es olut utio ion n par pa r ´ equa eq uati tion onss aux a ux d´ eriv´ eri v´ ees ee s par p arti tiel elle less

5.1 5.1

5.1.1

EDP EDP en en dim dimen ensi sion on 2

´ etablissement etabl issement de l’´ equation equati on

En conservant les mêmes emes notations notati ons que préc´ ecédemment, edemment, rappelons rappe lons les dynamiques dynamiqu es des actifs sans risque S d (actif domestique), S f (acti f étranger) etrange r) et de l’actif l’act if risqué S. f (actif


17

dS d = rd dt S d dS f f = rf dt S f f dS = (rd rf )dt + σdW tQ S

−

où (W tQ)(t≥0) est un mouvement mouvement brownien sous la probabilité risque neutre Q, probabilit´ probabi lité sous laquelle les actifs actualisés es sont martingales. 0 Soient ρt et ρt , les quantités es respectives respe ctives de l’actif l’act if sans risque domestique domest ique et de l’actif l’act if risqué, e, détenus etenus par un investisseur sur le marché. e. Notons par ailleurs Φ[(S Φ[(S t )0≤t≤T ] le payoff d’un call asiatique sur l’actif S t , évalu´ eval ué sur su r la moyenne moye nne de la pério erio de [0, [0, T ] T ] : + T T S du u 0 Φ[(S Φ[(S t )0≤t≤T ] = K T

 



−

En absence d’opportunité d’arbitrage, le prix de ce call s’écrit ecrit : T T

−

P t = exp( rd (T

−

t))E ))E tQ

  0

S u du T

+



− K

En suppos s upposant ant que notre marché est es t complet, co mplet, on peut p eut répliquer eplique r tout to ut actif a ctif contingent par une strat´ s tratégie egie d’investissement d’investisse ment autofinanc´ autofin ancée ee fondée ee sur les actifs risqué et sans risque :

∃(ρ0, ρ ) ∈ 2\P = ρ0S 0 + ρ S t

t

t

t

t

t t

Mais étant etant donné que le payoff n’est pas markovien(il markovien(i l dépend epend de la moyenne sur la période), erio de), on t introduit la variable I t = 0 S u du qui va permettre de le rendre markovien. Par application du lemme d’Itˆ o, o, on trouve :



∂P ∂P 1 ∂ 2 P 2 2 ∂P ∂P dP t = + S (rd rf ) + S σ + s dt + Sσ dW tQ 2 ∂t ∂S 2 ∂S ∂I ∂S Par ailleurs, aill eurs, en utilisant utili sant le caractère ere autofinanc´ autofin ancé de la stratégie egie de réplication, eplica tion, on trouve :



  

−

dP t = (ρ0t S t0 rd dt + ρt S t rf + ρt S t rf )dt + ρt σS t dW tQ et en identifiant identifia nt les termes des équations equati ons préc´ ecédentes, edentes, on tire l’équation equati on déterministe etermi niste de P t qui 2) : s’écrit ecrit sous la forme du problème eme suivant de Cauchy sur s ur ([0, ([0, T ] T ]

∗

∂ t P t +



S,I P

= r d Π, 0

P ( P (T,S,I ) = Φ(I )

≤ t < T

(5) (6)


avec

1 2 = σ 2 S 2 ∂ S + (r (rd 2



S,I

5.1.2 5.1.2

2

− r )S∂

S S +

f

18

S∂ I I

commen commentai taires res

– On constate que l’EDP de dimension dimension 2 satisfaite satisfaite par le prix du call asiatique fait appara apparaˆıtre un terme suppl´ ementaire ementaire qui traduit la dépendance ependance du payoff en la valeur moyenne de l’actif. – Notons que la pr´ esence esence de ce terme t erme supplémentaire ementaire fait sortir l’approximation l’ approximation du prix de l’option asiatique asiatique du cadre standard standard de r´ esolution esolution des EDP, EDP, ce qui n´ ecessite ecessite un cadre de traitement traitement sp´ ecifique ecifique comme celui propos´ proposé par ”Zvan ”Zvan et Al” et qui permet de tenir compte de la nature nature dégénérée de I dans l’opérat ra teur S,I .



5.2 5.2

EDP EDP en en dim dimen ensi sion on 1

En opérant erant le l e changement chang ement de variables variab les suivant :

T

I 0

T

=



S u du

0

xt =

− KT

(7)

T t

− TI S

(8)

t

et par application du lemme d’Itˆ o, o, on trouve que dxt =

−

xt σdW tQ

On peut donc montrer que :

 −

(rd

−r − f

σ2 1 )xt + dt 2 T



−

P t = S t u(t, xt ) exp( exp( rf t) o` u u est solution soluti on de l’équation equatio n différentielle erentiell e suivante :



∂u + (rd ∂t

−

1 rf )x + T



∂u ∂x

−

1 2 2 ∂ 2 u σ x = 0, x > 0, t > 0 2 ∂x 2 u(0, (0, x) = 0, x 0 1 u(t, 0) = (1 exp( (rd (rd rf )T

≥ −

−

(9) (10)

T )),, t ≥ 0 − − r )T )) f

(11)

Comme le montre le travail de Lelièvre, evre, le problème eme (9, 10, 11) donne des résultats esulta ts instables instab les lorsque la diffusion diffusi on (la volatilit´ volatil ité) e) est petite. peti te. Une méthode etho de pour contourner ce problème eme consiste consist e à transformer transfo rmer l’équation equati on d’advection-diff d’advecti on-diffusion usion en une u ne pure p ure diffusion, diffusi on, c’est à dire di re de faire disparaˆıtre ıtre le terme convectif


19

lié a` la prem pr emi` ière er e dériv´ er ivée grˆ grace aˆce a` un changement changement de variable approprié. e. Pour cela on doit simplement intégrer eg rer l’équat equ atio ion n sui s uivante vante : (rd

− r )x + T 1 = T y exp((r exp((r − r )t), y > 0 f

d

( 12 )

f

On constate que : – lorsqu lorsquee t = 0, la relation (12)s’écrit ecrit pour x > 0 et y > 1 :

− r )x = T 1 (y − 1)

(rd

f

– lorsqu lorsquee x = 0, on a simplement pour t > 0 et y < 1 :

− − r )T ) T )

y = exp( (rd

f

Ces consid´ erations erations conduisent aux changements changements de variable suivants : (t, x)

→ (Θ ≡ t, y ≡ ((r ((r − r )T x + 1) exp( exp(−(r − r )t)) d

f

d

f

avec la condition condit ion supplémentaire ementair e 1

Θ>

(rd

−

1 log( ) rf ) y

ainsi que le changement de la fonction inconnue u(.,.) : u(t, x)

≡ v(τ, y)

Suite à ces transformatio transfo rmations, ns, les dériv´ erivées ees partielles partiel les dans l’équation equati on (9) deviennent devienne nt : ∂u ∂t ∂u ∂x ∂ 2 u ∂x 2

=

∂v ∂τ

= (rd

− (r − r )y ∂v ∂y ∂v − r )T exp(−(r − r )τ ) τ ) ∂y d

f

f

d

f

2

= ((r ((rd

∂ v − r )T ) T )2 exp(−2(r 2(r − r )τ ) τ ) 2 ∂y f

d

f

compte tenu de la relation (9), on a 1 2 2 ∂ 2 u 1 σ x = σ 2 ((r ((rd 2 2 ∂x 2

− r )xT exp( xT exp(−(r − f

d

2 2 ∂ v rf )τ )) τ )) ∂y 2

1 = σ 2 (y 2

− exp(−(r − d

2 2 ∂ v rf )τ )) τ )) , ∂y 2

et l’équation equati on d’évolution evolutio n de la nouvelle fonction foncti on inconnue s’écrit ecrit : ∂v ∂τ

2

∂ v 1 1 − 12 σ2(y − exp(−rτ )) rτ ))2 2 = 0, 0 , τ > 0, y > 0, τ > log( ) ∂y (r − r ) y

Dans cette nouvelle équation, equation, les l es conditions conditio ns au bord deviennent :

d

f

(13)


20

– pour τ = 0 et y > 1, la condition initiale prend maintenant 10 la forme v (0, (0, y ) = 0 1 (rd rf )

log( y1 ), la condition à la limite devient :



1 log( ), y rf ) y

– pour y < 1 et τ = v

−

1 (rd

−



= g (y) =

(rd

1 (1 rf )T

−

− y), 0 < y ≤ 1

. On constate cons tate alors a lors que qu e le probl` pr oblème eme aux limites limit es (9, 10, 11) 1 1) est posé sur un domaine domai ne non rectang r ectangulaire ulaire : ΩT =



1

≤ τ ≤ T , τ ≥ (r −

(τ, y ), 0

d

1 log( ) rf ) y



dont la frontière ere contient la courbe courb e définie efinie par : Γ=



τ =

1 (rd

−



1 log( ), y , 0 < y rf ) y

 ≤ 1

La discr´ d iscrétisat eti sation ion de ce c e probl` pr oblème eme demande dema nde de réfl´ efléchir echi r sur su r un mai mailla llage ge en e n espac es pace-t e-temps emps qui contient cont ient explicitement explici tement la courbe courb e de frontière. ere. On suggère ere le schéma ema de précision ecisio n d’ordre deux obtenu grˆ ace ace a` un θ-schéma ema en temps tem ps a` pas constant et à pas non uniforme pour la variable y. 5.3

Discr´ Discr´ etisation etisation en temps temps

Nous écrivons ecrivons l’équation equatio n (13) sous la forme ∂v = A(τ ) τ ) (v (τ ) τ )) ∂τ avec τ qui varie au cours du temps et y exp( rτ ). rτ ). L’op´ L’ opérate era teur ur A(τ ) τ ) est donn´ don né par :

·

≥

A(τ ) τ ) = µ(τ, y)

(14)

−

∂ 2 ∂y 2

2

2

∂ ≡ σ2 (y − exp(−rτ )) rτ ))2 2 ∂y

(15)

A pr´ esent, esent, on introduit un pas de temps subdivisant notre intervalle intervalle [0 ;T] en N intervalles intervalles égaux [τ k ; τ k+1 [ assoc ass oci´ iés es aux instant ins tantss interm´ i ntermédiaires edia ires τ k : T , τ k k ∆t , 0 k N N Pour trouver des solutions approch´ ees, ees, nous utilisons des θ-sch´ -s chémas em as :

≡

∆t =

1 (vk+1 ∆t

≤ ≤

− v ) = 12 A(τ +1) · (v ) k



k

k

qu’on peut écrire ecrire autrement sous la forme suivante : (1



− (1 − θ)∆ A +1) · (v +1) = (1 + θ∆ A )v , O ≤ θ ≤ 1 t

k

k

t

k

k

(16)

(17)

( 18 )


21

et la l a condition initiale (10) peut p eut s’écrire ecrire sous la forme suivante : v0 = 0 5.4

Discr´ Discr´ etisation etisation en espace espace

Les temps intermédiaires ediai res θk définissent efinisse nt naturellement naturel lement pour 0 courbe limite et l’on pose :

≤ k ≤ N , des points y

− sur la

N k

≡ exp(−rτ − ), 0 ≤ j ≤ N. On remarque également egalem ent que y0 = exp(−rT ) rT ) et y = 1. On établit etablit par ailleurs la l a relation suivante suivante : y j

N N j

N

y j +1 = exp (r ( r ∆t ) y j

(19)

Les données ees géom´ eométriques etrique s introduites introd uites ci-dessus ci-des sus conduisent condui sent a` une grille cartésienne esienne (τ k , y j ) a` pas constant en temps et à pas géom´ eométrique etrique en espace, en suivant suivant la relation 19. La condition pour un point discret d’appartenir au domaine s’exprime, compte tenu de la relation pr´ ec´ ecédente, edente, sous la forme :

(τ k , y j )

∈ Ω ⇔ j ≥ N − k

(20)

T

Les conditions aux limites limi tes sur la grille discr` ete ete sont : – d’une d’une part part a` l’instant initial : v j0 = 0, j 0

≥

– d’autr d’autree part sur la courbe courbe limite limite : k vN −k =

5.5

(rd

1 (1 rf )T

−

−y

N k ), 0

−

≤ k ≤ N

Algori Algorith thme me de calcu calcull de la fonct fonction ion vale valeur ur

On doit dans un premier temps borner l’ensemble des valeurs ponctuelles en espace, de manière ere à d´ efinir efinir un ensemble fini de variables. On le fait en fixant un entier J qui indique le nombre de points de discr´ disc rétisat eti sation ion a` l’instant initial. L’ensemble des points po ints admissibles en espace au pas de temps numéro ero k est paramétr´ etré par des entiers j qui vérifient erifient la condition condit ion : N

− k ≤ j ≤ N + J

Par Par ailleur ailleurs, s, dans dans un souci souci de simplic simplicit´ it´ e de la mise mise en oeuvre, oeuvre, on garde garde ici une progress progression ion géom´ eométrique etrique pour l’ensemble l’ense mble des points de la suite (y j ), qui vérifient erifient donc la relation (19) pour tous les indices j tels que 0 j N + J .

≤ ≤


22

Par conséquent, equent, l’ordre l’ord re du système eme linéaire eaire à résoudre esoudre est variable en fonction foncti on de l’indice l’indi ce du pas de temps. Au fur et à mesure m esure que le temps discret avance, l’ordre l’ ordre du système eme linéaire eaire a` résoudre eso udre passe pass e progressivement de J(à l’instant initial), a` N + J (` a l’instan l’instantt final) ; à l’instant k, on a un syst` eme eme linéaire eai re d’ordre d’o rdre J + k a` résou es oudr dre. e. Compte tenu de la relation (14) valable dans le cas d’un espace continu, l’opérateur erateur discret Ak agit sur les fonctions valeur à l’aide l’ai de d’un opérateur erateur aux différences erences finies : ∂ 2 ω k ( 2 ) j ∂y

N k+J



−

k ωm ∆ j,m

m=N k

−

qui doit être etre compatible avec les points p oints existants sur la grille grill e a` l’instant k. En pratique, pratiq ue, pour un indice j, on choisit un opérateur erateur aux différence erence finies centré a` cinq points(voir Annexes ”Evaluation ”Evaluatio n par p ar équations equatio ns aux dériv´ erivées ees partielles” partiel les” pour le calcul des coefficiants coeffi ciants ∆ j,m ).

5.6

5.6.1 5.6.1

Interpolat Interp olation ion et interpr´ etation etati on des r´ esultats esult ats num´ eriques eriqu es

Inter Interpolat polation ion des result resultats ats

Cherchons par exemple à calculer le prix d’un call asiatique à la monnaie (x (x = 1) à maturit mat urit´é T. Une premi` prem ière ere difficul diffi cult´ té consist cons istee a` situer la position x = 1 entre deux points y j de la grille. En vertu de la relation (15), nous procédons edons de la manière ere suivante suivante : nous pla¸ cons cons d’abord le point x = 1 entre deux points x j et x j +1 tels que : 1 1 (y j exp(rT exp(rT )) 1) x = 1 x j +1 = (y j +1 exp(rT exp(rT )) 1) rT rT Puis nous évaluons evaluons la valeur de u(T , x = 1) à partir des valeurs valeurs calculées ees u j avec la méthod eth odee des différences erences finies. Dans le cas d’interpolation affine, nous utilisons les valeurs valeurs u j et u j +1 ainsi que le coefficient d’interpolation naturel associé a` la relation relati on préc´ ecédente. edente. Dans le cas d’une interpolati interp olation on parabolique, nous utilisons le triplet (j-1, j, j+1) ou le triplet (j, j+1, j+2). La dernière ere approximation que nous nou s avons employ´ em ployée ee prend pre nd la forme d’un polynˆ polyn ome oˆme de degr´ de gré 3 ; trois tr ois quadruplets quadrupl ets sont donc do nc utilis´ ut ilisés es : ”` a gauche”, ( j ( j 2, j 1, j , j + 1), au ”centre ”centre”, ”, ( j ( j 1, j , j + 1, j +2), et ”` a droite” ( j,j + 1, j + 2, j +3). Pour Pou r évaluer eval uer U N ethodes ethodes d’approximati d’approximation on sur la grille N (T , x = 1), nous disposons donc de six m´ qu’on peut combiner par les trois θ-schémas emas les plus utilis´ utili sés es dans la discrétisation etisa tion des EDP (implicite, (impl icite, Crank-Nicholson, explicite). x j =

− −

5.6.2

− ≤

≤

−

−

Interpr´ etation etation

Dans le cas particulier d’une option asiatique sur le taux de change EUR/USD (r (reuro = 3.151% 151%,, rdollar = 5.531% 531%,, σ = 6.850%) en utilisant utilisant un maillage de points compos´ e de N=250 pas de temps et J=250 points de discr´ etisation etisation a` la date initiale, initiale, les prix obtenus par les diff´ erentes erentes approximatio approximations ns sont exposés es dans le tableau tablea u suivant.


Fig.

23

3 – Comparaison Compar aison des prix pour différentes erentes méthodes etho des d’interpolati d’interp olation on

Dans ce cas, on constate l’apparition d’une incertitude sur les résultats esultats num´ eriques eriques qui s’accentue particulièrement erement en utilisant l’approximation linéaire eaire des prix. En effet, pour un θ-sch´ -s chéma em a donn´ do nné, e, le calcul calcul pr´ edit edit une valeur du prix avec 4 chiffres chiffres significatifs significatifs qui corresponde correspondent nt au nombre nombre de chiffres chiffres identiques pour les 6 méthodes ethodes d’approximation. Si on ne prend pas en compte l’interpolation affine, (qui utilise peu d’informations pour approximer le prix), les valeurs valeurs pr´ edites edites ont une significativité qui s’él` elève eve au sixième eme chiffre après es la virgule. virgule . Cette remarque étant etant faite, nous avons choisi l’approximal’app roximation cubique centr´ centrée ee pour comparer les résultats esultats donn´ es es par les EDP avec ceux obtenus par d’autres approches. Pour choisir le θ-sch´ -s chéma em a a` utiliser utiliser dans l’approxim l’approximation ation des prix, nous avons avons trac´ tracé le graphe graphe de convergence des prix dans les trois situations. --E.D.P-Convergence vers le prix de l'option par raffinement du maillage de points

0,0274 0,0269

x i r P

0,0264 Explicite

Crank-Nicholson

Implicite

0,0259 0,0254 0,0249 25

50

75

Fig.

100

150

200

250

300

350

400 450 500 600 Nombre de discrétisations

4 – Convergence vers le prix de l’option

` INTRODUCTION D’UN MODELE AVEC TAUX STOCHASTIQUES

24

On observe que la méthode etho de de résolution esolut ion par un schéma ema implicite impli cite donne des résultats esulta ts moins satisfaisants puisque la convergence convergence vers le prix de l’option est plus lente que dans le cas du sch´ ema ema de Crank-Nicholson ou dans le cas du sch´ ema ema explicite, qui donne les r´ esultats esultats les plus performants. D’ailleurs, le graphe ci-dessous confirme ce constat : --E.D.P-Gain de précision par raffinement du maillage de points 5,00E-03 n o i s i c é r P

4,00E-03 3,00E-03

Expl Explic icit ite e

Cran Crankk-Ni Nich chol olso son n

Impl Implic icit ite e

2,00E-03 1,00E-03 0,00E+00

Explicite

75 --> 100

100 --> 150

150 --> 200

200 --> 250

250 --> 300

300 --> 350

350 --> 400

400 --> 450

450 --> 500

550 --> 600

1,64 1,64EE-03 03 7,90E 7,90E-0 -04 4 9,73E 9,73E-0 -05 5 4,07 4,07EE-05 05 6,31 6,31EE-05 05 6,65E 6,65E-0 -05 5 5,98E 5,98E-0 -05 5 5,31 5,31EE-05 05 4,66 4,66EE-05 05 8,43E 8,43E-1 -10 0

2,88EE-03 03 2,01E 2,01E-0 -03 3 7,06E 7,06E-0 -04 4 3,24 3,24EE-04 04 1,80 1,80EE-04 04 1,07E 1,07E-0 -04 4 7,04E 7,04E-0 -05 5 4,82 4,82EE-05 05 3,45 3,45EE-05 05 1,04E 1,04E-0 -08 8 Crank-Nicholson 2,88 Implicite

Fig.

4,12 4,12EE-03 03 3,24E 3,24E-0 -03 3 1,32E 1,32E-0 -03 3 6,91 6,91EE-04 04 4,75 4,75EE-04 04 2,73E 2,73E-0 -04 4 1,96E 1,96E-0 -04 4 1,24 1,24EE-04 04 3,45 3,45EE-05 05 2,74E 2,74E-0 -07 7

5 – Gain de pr´ ecision ecision par raffinement du maillage de points p oints

Nous avons représent´ esenté le gain de précision ecisio n apport´ appo rté par une augmentation augmentat ion du nombre de points de discr´ etisation. etisation. Par exemple, dans le cas du sch´ ema ema explicite, lorsque l’on passe de 75 a` 100 points de discrétisation, etisat ion, nous améliorons elioro ns la précision ecisio n de notre prix de 1, 64 64..10−3 . Cela signifie que si pour deux points po ints consécutifs ecut ifs d’une d’u ne des d es courb c ourbes, es, l’am´ l’a méliora eli oratio tion n de la précisio eci sion n évolue evolu e peu, p eu, nous nou s somme so mmess déj` ej` a proches du prix de convergence. convergence. Nous remarquons alors que c’est effectivement effectivement le schéma ema explicite qui converge le plus rapidement.

6

Introduction Introduction d’un mod` ele ele avec avec taux stochastiques stochastiques

L’objectif de cette section est de proposer prop oser une alternative au modèle ele de Garman et Kohlhagen qu’on a étud et udi´ ié jusq ju sque ue-l -l` a`. Il s’agit notamment d’introduire des taux stochastiques, et d’observer l’impact de a. cette modélisation elisation sur les prix . De fa¸con con empirique, on constate constat e que sur le march´ e, e, on peut p eut avoir des mouvemen mouvements ts de translation, translation, pivotement pivotement de la courbe des taux. Le prix d’un z´ ero-coupon ero-coupon peut donc varier suite à un u n mouvem m ouvement ent de la courbe cou rbe des taux tau x et e t doit doi t donc d onc en réalit´ eal ité être etre mo mod´ délis´ eli sé par p ar un process pro cessus us stochastique. Ce ” risque de taux ” ne peut a` priori prio ri pas être etr e néglig´ egl igé, e, surtout surt out sur des maturit´ mat urités es longue lon gues. s. Nous allons allon s présenter esenter la modélisation elisa tion utilis´ utili sée ee pour prendre en compte ce phénom` enomène ene et analyser analyse r les résultat esul tatss numériques eri ques en com compara paraiso ison n avec ave c ceux des section sect ionss préc´ ecédentes. edent es. Pour développ evelo pper er cette cet te section sect ion,, nous nous sommes inspirés es des articles ref 8 et ref 9 de la bibliographie) 6.1

Mod´ Mo d´ elisat eli sation ion financi` fina nci` ere ere

Diff´ Di fférente ere ntess app a ppro roche chess ont o nt ét´ eté d´ d évelo eve lopp´ ppées. ees . Par exemp exe mple le,, le mo mod` dèle el e de Vasicek Vasic ek consi co nsist stee a` consi co nsid´ dérer er er la courbe des taux comme fonction d’une variable d’état etat qui est le taux court et à le modéliser eliser par un


25

processus de retour à la moyenne. D’autres D’ autres approches appro ches comme comm e celle cel le présent´ esentée ee dans da ns l’aricle l’ aricle de Geman Gem an ElEl karaoui, (Rochet 95) consistent a` partir des processus de prix des zéro-coupon ero-coupon B(t,T) et à les mo mod´ déliser eli ser par des processus d’Itô avec un drif µ drif µ(t, T ) T ) et un vecteur de risque ou de volatilité σ (t, T ) T ). Nous allons nous placer pla cer dans ce cadre et modéliser eliser respectivement les deux processus pro cessus de prix de z´ ero-coupon ero-coupon dans les deux économi econ omies. es. Les prix à la date t des z´ ero-coupon ero-coupon de maturité T dans les deux économies economies sont notés es respectivement Bd (t, T ) instanta nés es sont notés es rd (t) et rf (t), et le taux de T ) et Bf (t, T ). T ). Les taux courts instantan´ change change de (f) vers vers (d) est not´ e S(t) . On suppose que dans les deux économies, economies, n sources sources de bruits bruits ind´ in dépend ep endant antes( es(n n 3) expliquent les perturbations aléatoires eatoires de tous les produits financiers. On notera W P (t) ce brownien multidimensionnel sous la probabilité historique P propre a` l’agent et (F (F t )(t≥0) , la filtration qu’il engendre.

≥

6.1.1 6.1.1

Dynami Dynamique quess des processus processus de prix prix en absence absence d’arbitr d’arbitrage age

On note : λd (t) et λf (t), les primes de risque dans chaque économie,σ economie,σd (t, T ) T ) et σf (t, T ) T ) les vecteurs de volatil vola tilit´ ité des deux zéro-cou ero- coupo pon. n. En l’absen l ’absence ce d’oppo d’ opportunit´ rtunité d’arbitr d’ arbitrage, age, dans chacune des deux d eux économies, econom ies, on peut p eut écrire ecrire les relations suivantes. dBd (t, T ) T ) Bd (t, T ) T ) dBf (t, T ) T ) Bf (t, T ) T ) dS (t) S (t)

= rd (t)dt+ dt+ < σd (t, T ) T ), dW p (t) + λd dt > = rf (t)dt+ dt+ < σf (t, T ) T ), dW p (t) + λf dt > = (rd

p

− r )dt+ dt+ < σ (t, T ) T ), dW (t) + λ dt > f

s

d

Le lien entre les deux primes de risques λd et λf s’obtient en traduisant le non arbitrage entre les deux économies econom ies (d) et (f). (f ). 6.1.2 6.1.2

Lien Lien entre entre primes primes de risq risque ue λd et λf

Bf (t, T ) T ) est le prix du zéro ero coupon coup on étranger etrang er exprimé en monnaie monnai e étrang` etrangère. ere. On exprime que la dynamique du processus Z t = Bf (t, T ) T )S (t) qui correspond correspond au prix exprim´ e en devise devise (d) satisfait satisfait au principe princip e de non arbitrage arbitra ge énonc´ enoncé dans d ans l’économie economi e (d). (d ). Sa dynamiqu d ynamiquee est es t donc d onc de la l a forme fo rme : rd (t)dt+ dt+ < σZ , dW P (t) + λd dt > . Par application du lemme d’Itˆ o, o , on a dZ dS dBf dS dBf = + +< , > Z S Bf S Bf


26

dB

f avec < dS = () ( T ) > dt ce qui apr` es es calcul nous donne le lien entre les deux primes S , Bf > < σs t , σf t, T ) de risque suivant : λf = λd σs dt D’autre D’autre part, comme on l’a d´ ej` ej` a effectu´ effe ctué préc´ ecédemment edem ment,, on peut peu t définir efini r une probabi prob abilit´ lité Qd , T T équivalente equi valente à P sous sou s laquel laq uelle le W Qd = W P + 0 λd (s)ds est un mouvement brownien. Sous la probabi ba bililit´ té Qd (risque neutre domestique), les dynamiques des trois processus s’écrivent ecrivent donc de la fa¸con con suivante :

−



dBd (t) Bd (t) dBf (t, T ) T ) Bf (t, T ) T ) dS (t) S (t)

= rd (t)dt+ dt+ < σd (t, T ) T ), W Qd (t) > Qd

− < σ (t), σ (t) >]dt+ dt+ < σ (t, T ) T ), W

= [rf (t) = (rd

s

f

f

Qd

− r )dt+ dt+ < σ (t), W s

f

(t) >

(t) >

Sous Sou s la l a probabi prob abilit´ lité Qd (domestique), (domest ique), on a déj` ej` a vu que le prix en t d’un actif contingent versant Φ a` la date T s’écrit ecrit : Qd

P t = E

T

 −  Φexp



rd (s)ds

t

Il est clair que dans le cas de taux stochastiques, stochastiques, le facteur facteur d’actualisation d’actualisation ne peut être etre sorti de l’espérance erance permettant perme ttant de calculer ca lculer le prix p rix d’un d ’un actif contingent continge nt comme com me dans da ns les l es section s ection préc´ ecédentes edentes et il il n’est plus très es commo commode de de d e se placer sous la probabilit´ probabi lité Qd . Nous allons donc effectuer un changement de numérair era ire. e. 6.1.3

Construction de la probabilit´ e de Pricing : Probabilit´ e Forward Forward Neutre

La technique du changement de numéraire eraire que nous allons utiliser utili ser ici est développ´ eveloppée ee dans l’article l’art icle d’El Karaoui, Geman et Rochet (95). On note F t , le prix à la date dat e t du forward for ward de change chang e d’éch´ echéance ean ce T : Bf (t,T ) F t = S t Bd (t,T ) . En utilisant utili sant les équations equati ons de diffusion diffusi on du paragraphe paragra phe préc´ ecédent, edent, ainsi que les formules d’Itˆ o, o, on montre que, dF t =< σs (t) + σf (t) F t

− σ (t, T ) T ),dWQ (t) − σ (t, T ) T )dt > d

d

d

. Nous voyons donc don c que q ue si on arrive arri ve à définir efini r une u ne probabi prob abilit´ lité QT telle que dW Qd (t) QT mouvement brownien, le forward sera martingale sous QT . Une telle tel le probabi pro babilit´ lité QT existe exis te d’apr` d’a près es le théor` eorème eme de Girsan Gir sanov, ov, et on a dQT ( ) T = Z T T = exp dQd \F T

T

−  0

2

σd (s, T ) T )ds +

T

 0

− σ (t, T ) T )dt est un d



σd (s, T ) T )dW s

La probabilit´ probabi lité aainsi insi définie efinie est la probabilit´ probabi lité forward f orward neutre, qui rend martingale martin gale les processus proce ssus de prix forward de n’importe quel actif contingent. Ainsi, si on note P t , le prix à la date t d’un actif contingent versant Φ à la date T dans l’économie economie domestique (d), ( d), la formule de pricing devient P t = Bd (t, T ) T )E QT (Φ)


27

. 6.1.4 6.1.4

Applica Applicatio tion n au Prici Pricing ng d’Opt d’Option ionss

Application Application au Pricing Pricing d’Options d’Options Nous allons d’abord (pour des ob jectifs jectifs de calibration calibration du mod` ele), ele), calculer le prix d’un Call de Change. Prix d’un call de change On a déj` ej a` étab et ablli dF t =< σ s (t) + σf (t, T ) T ) σd (t, T ) T ), dW QT > F t

−

et on note le vecteur des volatilit´ volatil ités es du forward d’éch´ echéance eance T : σGK (t, T ) T ) = σs (t) + σf (t, T ) T )

− σ (t, T ) T ) d

. En int´ egrant egrant cette équation equation entre les dates t et T , on obtient : Bf (t, T ) T ) S T exp T = S t Bd (t, T ) T ) .

T

−  1 2

t

T

2

σGK (s, T ) T )ds

 −



σGK (s, T ) T )dW s

t

En suppos s upposant ant la volatilit´ volatil ité du forward déterministe, etermin iste, on conclut co nclut que X T T suit une loi lognormale et on peut calculer le prix d’un Call de Change dans ce modèle, ele, en utilisant la formule de Black Scholes.

N N

C t = S t Bf (t, T ) T ) (d1) avec

S B (t,T )

1 2

t f ln KB + d (t,T )

d1 =

      −

− KB (t, T ) N (d2) T ) N d

T T 2 σGK (s, T ) T )ds t



T T 2 σGK (s, T ) T )ds t

et

T

d2 = d1

t

2 (s, T ) σGK T )ds

Remarques sur la calibration du mod` ele ele : On note de fa¸con générale ρxy , le coefficient de X ,σY > corr´ elation elation instantan´ e entre les prix de deux processus de prix X et Y (ρxy = <σ σX σY ). Le prix de march´ rc hé a` la l a date da te 0 d’un Call de change chan ge de d e maturit´ ma turité T permet perme t donc do nc de calibrer calibr er le l e mod` mo dèle. ele. La volatilit´ vola tilité moyenne implicite impli cite qui en est déduite eduite est la quantité : t

 0

2

t

σGK (u, t)du =

 0

σs2 (u, t) + σf 2 (u, t) + σd2 (u, t)

   − 2ρ (σ (u))(σ (u, t)) (σ (u, t))(σ (u, t))du

+ 2ρsf σs (u)) (σf (u, t)) + 2ρf d

f

d

sd

s

d


28

Cette équation equati on donne le lien entre la volatilit´ volatil ité implicite(o impli cite(observ´ bservée) ee) et la volatilit´ volatil ité du spot qui servira notamment notamment dans le calcul du prix de l’option l’option asiatique asiatique par la m´ ethode ethode de MonteCarlo MonteCarlo.. Il est a` noter que la volatilité implicite inclut la volatilité des trois processus de prix ainsi que leur corr´ elation. elation. Prix de l’Option Asiatique Il reste donc à pr´ eciser eciser la dynamique de S t sous la probabilit probabilit´é Forward orward neutre, neutre, pour pouvoir pouvoir appliquer la méthode ethode de MonteCarlo. En partant de la relation dF t =< σGK (t, T ) T )dW QT >=< σs (t) + σf (t, T ) T ) F t

QT

T )dW − σ (t, T ) d

,

on déduit edu it que qu e Bf (0, (0, T ) T ) Bd (t, T ) T ) S t = S 0 exp Bf (t, T ) T ) Bd (0, (0, T ) T )

T

−  1 2

t

T

2

σGK (s, T ) T )ds

 −



σGK (s, T ) T )dW s

t

B (t,T )

Bd (t,T ) Il faut maintenant pouvoir exprimer les ratio B et Bf f (0,T ) , autrement dit les dynamiques des d (0,T ) zéro-co ero -coupo upon n sous la probabi prob abilit´ lité QT . Pour établir etabl ir ces équations, equati ons, on utilise utili se Bd (t, T ) T ) et Bf (t, T ) T ) comme num´ eraires eraires et on montre par application du lemme d’Itô qu’` a t’ fixé, e, les zéro-coupon ero-cou pon domestique domest ique et étrange etra ngerr d’éch´ echéance ean ce t’ ont pour po ur dynamiq dyna mique ue dans dan s ces numéraires erai res :

dBd (t, t ) Bd (t, T ) T ) dBf (t, t ) Bf (t, T ) T )

=

Bd (t, t ) < σd (t, t ) Bd (t, T ) T )

= < σf (t, T ) T )

QT

− σ (t, T ) T ), dW d

− σ (t, t), σ

T ) GK (t, T )

f

>

> dt+ dt+ < σf (t, T ) T )

QT

− σ (t, t), dW f

>

On intègre egre ensuite ces équations equations entre les dates dat es 0 et t , puis on pose t’=t, ce qui permet d’exprimer Bd (t, T ) T ) et Bf (t, T ) T ) en fonction de Bf (0, (0, t) et Bd (0, (0, t). L’avantage L’avantage est que ces quantit´ es es sont connues a` partir de la courbe des taux initiale. initia le. La dynamique du spot sous la probabilité forward neutre s’écrit ecrit finalement : (0, t) Bf (0, 1 t S t = S 0 exp (σs (u) + σf (u, T ) T ) σd (u, T )) T ))2 du Bd (0, (0, t) 2 0 1 t exp < (σs (u) + σf (u, T ) T ) σd (u, T )) T )),, σd (u, t) σd (u, T ) T ) > du 2 0

−  

− 

−

−

−

t

exp



< (σs (u) + σf (u, T ) T )

0

Qt

T )),, dW − σ (u, T )) d

(u) > du





Remarque Remarque : Cette équation equation de diffuson diffuson du spot permettra permettra d’effectuer d’effectuer l epricing epricing par simulations simulations Monte Carlo. Notons également egalement que lorsque σd (u, t) = 0 et σf (u, t) = 0, on retrouve la dynamique établie etabli e dans le cadre du modèle ele de Garman Kohlhagen Kohlha gen avec taux t aux déterministes. etermin istes. Simulation Simulat ion de MonteCarlo MonteCarl o : La simulation simulati on nécessite ecessit e de pouvoir pouvoi r gén´ enérer erer de nouvelles trajectoi tra jectoires res de spot avec taux stochastiques, l’équation equation de diffusion du spot étant etant celle obtenue ci-dessus. La structure de volatilit´ volatil ité prise pour les zéro-coupon ero-cou pon est la suivante : σd (t, T ) T ) = [1

− exp( exp(−α (T − t))] U d

d


o` u U d est un vecteur de

3

σf (t, T ) T ) = [1

29

exp(−α (T − t))] U − exp( f

f f

3 . Les normes de U et U , ainsi que les valeurs de α et α sont o` u U f in terp rpr´ rét´ etées ee s f est un vecteur de d f f d f so nt inte comme des facteurs facteurs permettant permettant de modéliser eliser les d´ eformations eformations de la courbe de taux en niveau niveau et en pente. D’autre part, les produits scalaires entre vecteurs de volatilité intervenant dans la dynamique de S t , sont so nt inte interp rpr´ rét´ etés es a` l’aide l’aid e de la corrélation. elati on. Les corrélations elati ons entre les différents erents processus proc essus ρf d, ρf s , ρsd , ainsi que les normes des vecteurs U d et U f etres etres variables de la simulation. f sont donc les param` Enfin, σS (t) qui est la dernière ere grandeur grandeu r non encore spécifi´ ecifiée, ee, est calculée ee en utilisant utili sant l’équation equati on établi eta bliee dans d ans la section sect ion préc´ ecédente ede nte donnant don nant le lien lie n entre e ntre volatil vola tilit´ ité impl i mplici icite te σGK (t, T ) T ) observable sur le marché (celle ( celle du forward de change) , les autres volatilit´ volatil ités es σd (t, T ) T ), σf (t, T ) T ), et les termes de corrélation. elati on. Les simulati simul ations ons ont ét´ eté effectu´ effe ctuées ees pour po ur certain cert ainss jeux de param` para mètres etr es et sont présent´ esentés es dans la section sect ion suivante.



Analyse Anal yse des r´ esultats esul tats

7

30

Analyse Analyse des r´ r´ esultats esultats

Nous nou ssomes ssomes d’abord plac´ placés es dans le cadre du mod` ele ele de Garman et Kohlhagen Kohlhagen et avons avons impl´ imp lément´ ementé trois tro is méthod eth odes es de pricing pri cing (pricin (pri cingg par formule formu le fermée ee dérivant eri vant de d e l’algo l’a lgorit rithme hme de Turnbull et Wakeman, méthode etho de de Monte Carlo et résolution esolut ion par équations equati ons aux dériv´ erivées ees partielles). partiel les). Ensuite nous avons prolong´ p rolongé notre étude etude en a joutant un un modèle ele de taux stochastiques stocha stiques.. Notre objectif ob jectif était etait alors de comparer compar er l’efficacit´ l’effica cité et le temps de calcul de ces différentes erentes méthodes. etho des. Ainsi, Ainsi, pour rendre rendre compte de leur perfor p erformance mance , nous avons avons trac´ tracé les graphes graphes de densit´ densité et de prix obtenus. On se r´ ef` efèrera erera aux annexes pour l’observation de ces graphes. Leur étude etude nous permet de comparer d’une part, les résultats esultats d’une méthode ethode selon les paramètres etres choisis (comme le nombre de trajectoires pour les simulations Monte Carlo, le nombre de dates servant a` calculer la moyenne des cours de change ou encore le nombre de points de discr´ etisation etisation pour la résolution esolution par EDP), d’autre d’a utre part, l’efficience des unes par rapport aux autres, compte tenu de leurs contraintes (hypothèses eses de base ou temps de calcul). Int´ eressons-nous eressons-nous dans un premier temps aux graphes de prix (figures 6, 7, 8, 9 en annexes). – Les graphes graphes 6 et 7 com compar paren entt les prix obtenus obtenus par EDP et par simulati simulations ons de Monte Monte Carlo pour des nombres de dates (pour le calcul de la moy moyenne) enne) différents erents ( respective respectivemen mentt 12 dates et 50 dates) : on constate que plus le nombre de dates augmente, plus les prix Monte Carlo se rapprochent des prix EDP. EDP. Cette remarque va dans le sens de l’hypothèse ese de résolution esolution par EDP qui consiste à assimiler moyenne discrète ete te moyenne moyenne continue. D’ailleurs, nous pouvons constater qu’avec qu’avec seulement 50 dates l’écart ecart de prix entre les deux méthodes ethodes est de l’ordre de 10−4 . – En réalisant ealisant les graphes 8 et 9, nous avons tent´ e de comparer l’approche de Monte Carlo avec 50 dates, aux deux autres approches. On remarque alors qu’à l’instar de la méthode ethode par EDP, EDP, l’évaluation evaluatio n d’opti d ’options ons par le modèle ele de Turnbull et Wakeman donne les mêmes emes prix (ou du moins des écarts ecarts du même eme ordre o rdre de grandeur) gr andeur) que la l a méthode etho de de Monte Carlo pour le couple de devises de vises EURO/USD. Cette observation aurait pu nous amener à retenir rete nir la méthod eth odee d’évaluatio evalua tion n par formule for mule fermée ee de Turnbull et Wakeman qui est beaucoup b eaucoup plus rapide que les deux autres (elle (ell e est presque instantanée ee alors que les autres demandent plusieurs heures de temps de calcul, à savoir a` peu près es 6 heures pour des simulations Monte Carlo a` un million de trajectoires antith´ etiques etiques et 3h30 pour la r´ esolution esolution par EDP avec 600 points de discr´ etisation etisation du temps t emps et de l’espace). l’ espace). Cependant, Cep endant, on a par ailleurs ai lleurs constaté que pour certains couples de devises (comme le couple EURO/JPY cf figure 10 en annexes), les prix donnés es par cette approximation approxima tion n’étaient etaie nt pas exacts. D’autre part, dans la mesure où c’est la densit´ e de notre moyenne moyenne qui est a` la base de tout calcul de prix d’options, d’opti ons, nous avons étudié les différenes erenes fonctions foncti ons de densité obtenues par chaque approche. appro che. La figure 11 des annexes donne trois courbes de densit´ es es Monte Carlo (12 dates, 24 dates et 50 dates) et une courbe de densit´ densité EDP. EDP. Comme on avait avait pu le constater constater pour les prix, prix, on observe observe qu’avec qu’avec

Analyse Anal yse des r´ esultats esul tats

31

l’accroissem l’accroissement ent du nombre nombre de dates servant servant à calculer calculer la moy moyenne enne du cours de change, change, la densit´ densit´ e Monte Carlo se rapproche de la densité EDP. EDP. Cette remarque tend donc à légitimer egitimer les résultats esultats obtenus obtenus puisque puisque la r´ esolution esolution par EDP utilise une moy moyenne enne continue. continue. Sur le graphe graphe de la figure 14, on constate aussi que les l es densit´ es es Monte Carlo 50 dates et EDP sont relativement proches. De même eme (cf FIG 15), les densités es obtenues par l’algorithme l’ algorithme de Turnbull et Wakeman et Monte Carlo avec taux stochastiques stochas tiques sont très es proches. Enfin, nous avons également egalement étudi´ etudi´ e l’impact de la volatilite des taux d’int´ erˆ erêt et sur les prix en comparant comparant les prix Monte Monte Carlo ou Turnbull urnbull et Wakman avec taux d´ eterministe eterministess et les prix Monte Carlo avec taux stochastiques. stochas tiques. Pour cette étude, etude, nous avons considér´ eré deux maturit´ maturi tés es : une maturit´ maturi té courte courte de 6 moi moiss et une maturit maturit´é longue longue de 6 ans. ans. On constat constatee alors alors (cf figures figures 11 et12 ) que pour des options de maturité courte, l’introduction d’aléas eas sur les taux d’int´ erˆ erêt et influence peu les prix d’options. d’opti ons. A l’inverse, dans le cas des maturit´ maturi tés es longues, longue s, les prix sont beaucoup beauc oup plus élev´ elevés. es. Ce résultat esulta t nous semble cohérent erent dans la mesure o` u on introduit introd uit un aléa ea supplémentaire ementaire lié aux taux qui peut aussi bien faire augmenter le cours de l’actif sous-jacent, que le faire fortement diminuer. Mais alors que dans d ans le premier cas, le gain peut être etre très es élev´ elevé dans d ans le cas d’un call), dans le second cas, la perte se limite a` la prime. Par ailleurs, cet aléa ea sur les taux a beaucoup b eaucoup plus de chances d’influer sur le cours des actifs, donc sur le prix des options, optio ns, si la maturit´ maturi té de d e l’opti l ’option on est élev´ elevée. ee.

CONCLUSION

32

Conclusion En conclusion, conclus ion, nous avons impl´ im plément´ ementé trois t rois méthodes etho des de pricing des options optio ns asitiqu a sitiques es de d e change chan ge en en nous fondant sur le modèle ele de Garman et Kohlhagen. La premi` ere ere approche, l’algorithme de Turnbull et Wakeman, a l’avantage d’être etre extrêmement emement rapide, rapide , mais repose repos e sur une hypothèse ese fausse puisque ce modèle ele suppose suppo se lognormale logno rmale la densité d’une moyenne de varibles lognormales logno rmales corrél´ elées. ees. Même eme si elle nous a fourni fo urni des résultats esulta ts satisfaisants sati sfaisants pour certains certain s prix d’optio d’ options, ns, elle ell e donne parfois p arfois des d es résultats esulta ts peu pe u fiables. Nous avons alors implément´ ementé une technique plus robuste mais beaucoup plus longue en temps de calcul, à savoir la technique des simulations de Monte Carlo. C arlo. Ce procéd´ ed´ e apporte effectivement effectivement des r´ esultats esultats cohérents erents mais pour cela, il suppose la simulation d’un million de trajectoires de cours du spot, spot , soit soi t près es de 6 heures heur es de temps de calcul. ca lcul. Enfin, la derni` d ernière ere approche a pproche est une u ne méthode etho de de pricing pricin g de résolut eso lution ion par équatio equa tions ns aux dériv´ erivées ees partie par tielle lless ; elle ell e est fondée ee sur une hypoth` hypo thèse ese moi moins ns contraig contr aignante nante que le modèle ele de Turnbull et Wakeman : elle consiste a` assimiler la moyenne moyenne discr` ete ete pour le calcul du payoff a` une moyenne continue. Dans une derni` ere ere partie, nous avons finalement introduit un modèle ele de taux stochastiques pour tenir compte du risque de taux et nous avons alors mis en évidence evidence l’impact de cet aléa ea sur les taux pour les options opti ons à maturit´ maturi té longue uniquement. uniqueme nt.

ANNEXES

A A.1 A.1

ANNEXES Grap Graphe hess de Prix Prix

Fig.

6 – Comparaison des prix Monte Carlo avec 12 dates et prix EDP

Fig.

7 – Comparaison des prix Monte Carlo avec 50 dates et prix EDP

33

ANNEXES

Fig.

Fig.

34

8 – Comparaison des prix Monte Carlo et des prix par EDP

9 – Comparaison des prix Monte Carlo et des prix Turnbull et Wakeman

ANNEXES

35

10 – Comparaison des prix Monte Carlo et des prix Turnbull et Wakeman pour le couple EURO/JPY

Fig.

ANNEXES

36

11 – Comparaison Co mparaison des prix Monte Carlo avec taux ta ux déterministes eterministes et taux stochastiques à maturi mat urit´ té courte cour te Fig.

12 – Comparaison Co mparaison des prix Monte Carlo avec taux ta ux déterministes eterministes et taux stochastiques à maturi mat urit´ té longue lon gue Fig.

37

ANNEXES

A.2

Graphes Graphes de densit´ densit´ e

Fig.

13 – Comparaison des densités es EDP et Monte Carlo

ANNEXES

Fig.

14 – Comparaison des densit´ es es Monte Carlo 50 dates et EDP

38

39

ANNEXES

15 – Comparaison Compar aison des densit´ den sités es Turnbull et Wakeman et Monte Carlo Ca rlo avec taux stochastiqu stochastiques es a` maturit´ mat urité courte cou rte Fig.

A.3

A.3.1

Turnbull urnbull et Wakema akeman n

d´ emonstration emonstration du cacul des deux premiers moments moments de S

On rappelle rapp elle l’équation equati on de S t étab et abliliee pr´ préc´ ec édem ed emme ment nt : t

S t = S 0 exp



(rd (s)

0

1 2

− r (s))ds ))ds − f

t



t

2

σ (s)ds +

0





σ (s)dW s

0

Posons : t

F t = exp



(rd (s)

0

Alors on a :

− r (s))ds ))ds − f

1 2

t





σ 2 (s)ds

0

t

     N

S t = S 0 F t exp

σ (s)dW s

0

On sait de plus que :

t

 0

t

σ (s)dW s

0,



σ 2 (s)ds

0

Or si X (0, (0, v2 ), la transform´ ee ee de Laplace nous permet de déterminer eterminer les moments d’ordre k de Y = exp(X exp(X ) ; en effet effet,, on a :

N



k 2 v2 E (Y k ) = exp km + 2





40

ANNEXES

Donc

t

 



E exp

σ (s)dW s

0

et finalement

t

 

1 = exp 2



2

σ (s)ds

0

t

E (S t ) = S 0 exp



− r (s))ds ))ds))

(rd (s)

f

0



Nous pouvons désormais esormais calculer l’espérance erance de la moyenne du prix de notre sous-jacent. En effet, puisque N −1 1 S = S ti N

 − i=0

on a 1 E (S ) = N soit S 0 E (S ) = N

N 1

E (St i )

i=0

N 1

− 

ti

exp

(rd (s)

0

i=0



− r (s))ds ))ds f

2

Nous devons à pr´ esent esent calculer le moment d’ordre 2 de S , E [S ] N 1

2

−  − − ≤−  1

En dévelo eve loppa ppant nt S , sachant que S =

St i , on obtient :

N

i=0

2

S =

1 N 2

N 1 j N 1

N 1

St i2 + 2

i=0

i=0

St i St j

j>i

On a d’ap d’ apr` rès es les le s calc ca lcul ulss préc´ ecédents ede nts :

2

E (St i ) =

S 02 exp

soit 2

E (St i ) =

ti

    2

ti

rd (s)

0

S 02 exp

2

ti

2

E (St i ) =

0

  ti

       − −       − −   −    rf (s)ds exp

2

θ (s)ds E exp 2

0

rf (s)ds exp

ti

2

θ (s)ds exp 2

0

S 02 exp

ti

rd (s)



2

θ (s)ds

0

ti

2

θ(s)dW s

0

ti

rd (s)



rf (s)ds exp

0

θ2 (s)ds

0

De plus, ti

 

E (St iSt j ) = S 02 exp 2

0

tj

r2 (d)

  

− r (s)ds f

exp 2

0

rd (s)



− r (s)ds f

41

ANNEXES ti

1 2

exp

1 2

θ2 (s)ds exp

0

ti

E exp 2

θ(s)dW s +

θ(s)dW s

al´ aléato ea toir iree Y =

ti

θ(s)dW s et

θ(s)dW s sont indépendantes, ependantes, donc la variable

0

ti ti

tj

θ(s)dW s + 2

0

ti

tj

Or les variables aléatoires eatoires

θ2 (s)ds

tj

0



tj

−   −           θ(s)dW s est normale. normale.

0

ti

Ses deux premiers moments sont : – E (Y ) Y ) = 0 ti

– V ( V (Y ) Y ) = 4



θ2 (s)ds +

0

tj



θ2 (s)ds

ti

Par la transform´ transfo rmée ee de Laplace, Laplace , on en déduit eduit ti

 

E (exp(Y (exp(Y )) )) = exp 2

0

1 θ (s)ds + 2 2

tj





2

θ (s)ds

ti

d’o` u l’on l’ on tire, t ire, après es calcul c alcul : E (St i St j ) =

S 02 exp

Donc :

ti



tj

rd (s)

0

 

− r (s)ds f

exp

ti

S 2 E (S ) = 0 n 2

n 1n 1

− − 

ti

exp

i=0 j =0

0

tj

(rd (s)

− r (s)ds

rd (s)

f

0

S 0 E (S ) = N

− r (s))ds ))ds + f

 0

 

N 1

− 

exp

(rd (s)

(rd (s)

0

i=0

− r (s))ds ))ds

A.4

Evaluation Evaluatio n par ´ equations equat ions aux au x d´ eriv´ eriv´ ees ees partiel par tielles les

A.4.1 A.4.1

Algori Algorithm thme e de calculde calculde la foncti fonction on vale valeur ur

f

θ (s)ds

0

ti

exp



2

))ds − r (s))ds

 ∧

ti tj

0

 

f

σ 2 (s)ds

On désigne esigne par j le num´ ero ero du point courant et on suppose que les l es points yn utilis´ utili sés es pour l’approximation proximati on de la dériv´ erivée ee seconde sont bien définis, efinis, ainsi que les valeurs un du champ U. On pose yk,l = yl

−y

k

L’approx L’a pproxima imatio tion n centr´ ce ntrée ee à cinq points poi nts se présente esente sous la forme d’un schéma ema numérique erique du type :

42

ANNEXES

∂ 2 u (y j ) ∂y 2

j +2

≈



∆ j,m um

m= j 2

−

Après es un calcul cal cul él´ elémentai eme ntaire, re, on obtient obt ient : ∆ j,j −2 = 2 ∆ j,j −1 = ∆ j,j = 2

y j,j +1 y j,j +2 + y j,j +2 y j,j −1 + y j,j −1 y j,j +1 y j −2,j −1 y j −2,j y j −2,j +1 y j −2,j +2

−2 y

j,j +1 y j,j +2

+ y j,j +2 y j,j −2 + y j,j −2 y j,j +1 y j −2,j −1 y j −1,j y j −1,j +1 y j −1,j +2

y j,j −2 y j,j −1 + y j,j +1 y j,j +2 + (y (y j,j −2 + y j,j −1 )(y )(y j,j +1 + y j,j +2 ) y j −2,j y j −1,j y j,j +1 y j,j +2

∆ j,j +1 =

−2 y

∆ j,j +2 = 2

+ y j,j +2 y j,j −2 + y j,j −2 y j,j −1 (y j −2,j +1 y j −1,j+1 )y j,j +1 y j +1,j +2

j,j 1 y j,j +2

−

y j,j −1 y j,j +1 + y j,j +1 y j,j −2 + (y (y j,j −2 y j,j −1 ) (y j −2,j +2 y j −1,j +2 )y j,j +2 y j +1,j +2

L’ap L’ appro proxi xima mati tion on décent ec entr´ rée ee a` droite a` cinq points poi nts que nous avons utilis´ utili sée ee s’écrit ecrit : ∂ 2 u (y j ) ∂y 2

j +3

≈



∆ j,m um

m= j 1

−

Le calcul des coefficiants ∆ conduit aux valeurs suivantes : ∆ j,j −1 = 2 ∆ j,j =

−2 y

y j,j +1 y j,j +2 + y j,j +2 y j,j +3 + y j,j +3 y j,j +1 y j −1,j y j −1,j +1 y j −1,j +2 y j −1,j +3

j,j 1 y j,j +3

+ y j,j +3 y j,j +1 + (y (y j,j −1 + y j,j +3 )(y )(y j,j +3 + y j,j +2 ) y j −1,j y j,j +1 y j,j +2 y j,j +3

−

∆ j,j +1 = 2 ∆ j,j +2 =

y j,j −1 y j,j +2 + y j,j +2 y j,j +3 + y j,j +3 y j,j −1 (y j −1,j +2 y j,j +2 )y j +1,j +2 y j +2,j +3

−2 y

∆ j,j +3 = 2

+ y j,j +1 y j,j +3 + (y (y j,j +3 y j,j −1 ) (y j −1,j +2 y j,j +2 )y j +1,j +2 y j +2,j +3

j,j 1 y j,j +1

−

y j,j −1 y j,j +1 + y j,j +1 y j,j +2 + (y (y j,j +2 y j,j −1 ) (y j −1,j +3 y j,j +3 )y j +1,j +3 y j +2,j +3

L’approximation des points à droite dro ite du domaine do maine d’étude etude utilis´ utili sée ee se fonde sur une un e approximati app roximation on a` quatre points p oints et s’écrit ecrit sous la forme : ∂ 2 u (y j ) ∂y 2

j

 ≈

m= j 3

−

∆ j,m um

43

ANNEXES

avec ∆ j,j −3 = 2 ∆ j,j −2 =

−2 y −3 j

∆ j,j −1 = 2

∆ j,j =

−2

y j −2,j y j −1,j y j −3,j −2 y j −3,j −1 (y j −3,j )2 y j −3,j y j −1,j 2 ,j −2 y j −2,j −1 (y j −3,j )

y j −3,j y j −2,j y j −3,j −1 y j −2,j −1 (y j −1,j )2

y j2−3,j y j2−2,j + y j2−2,j y j2−1,j + y j2−1,j y j2−3,j + y j −3,j y j −2,j y j −1,j (y j −3,j + y j −2,j + y j −1,j ) y j2−2,j y j2−3,j y j2−1,j

La dern de rni` ière er e dérive er iverr à approximer concerne les avant-derniers avant-derniers points du domaine d’étude. etude. l` a aussi, on utilise une approximation à quatre points : ∂ 2 u (y j ) ∂y 2

j +1

≈



m= j 2

−

avec

∆ j,j =

−2

∆ j,j −2 =

(3y +1 − 2y +1 −1 ) −2 yy −+12 (3y −1 y −2 (y −2 +1 )2

∆ j,j −1 =

(3y +1 − 2y +1 −2 ) −2 y y+1−2(3y −1y −1 (y +1)2

6y j2+1,j

∆ j,j +1 = +

−

∆ j,m um

−2

j,j

j

j

,j

j,j

j

j

j

j

− 3(y 3(y +1

,j

,j

j

,j

,j

j

j

,j

,j

j

,j

,j

j,j

− + y j +1,j−1 )y j +1,j + y j +1,j−2 y j +1,j−1 2 y j −2,j y j −1,j y j,j +1

,j 2

3(y 3(y j +1,j −2 + y j +1,j −1 )y j3+1,j + (y (y j +1,j −2 y j +1,j −1 )2

y j +1,j −2 y j +1,j −1

2 y j2−2,j +1 y j2−1,j +1 y j,j +1

− 2(y 2(y 2+1 j

2 )(y j2+1,j ) − + y j +1,j )(y

,j 2

2 y j2−2,j +1 y j2−1,j +1 y j,j +1

2y j +1,j −2 y j +1,j −1 y j +1,j (y j +1,j −2 + y j +1,j −1 ) 2 y j2−2,j +1 y j2−1,j +1 y j,j +1

´ ERENCES ´ REF

44

R´ ef´ er e n c e s [1] John HULL : Options, Option s, futures et autres actifs dériv´ erivés, es, Pearson, 2004 [2] Bruno Bruno BOUCHARD BOUCHARD : Polycopié Cours ENSAE 3éme eme année ee : Evaluation Evaluat ion d’actifs d’actif s financiers financi ers par absence d’opportunit´ d’opportun ité d ’ arbitrage [3] GARMAN GARMAN et KOHLHA KOHLHAGEN GEN : Foreign Currency Option Values. J. International Money and Finance 2, 231-237,1983 [4] Makoto MATSUMOTO MATSUMOTO et Takuji NISHIRUMA NISHIRUMA : http ://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/, 1997 [5] TURNBULL et WAKEMAN WAKEMAN : A Quick Algorithm for pricing european Asian Options. Journal of Financial and Quantitative Analysis 26, 1992 (P377-389) [6] Bruno Bruno BOUCHARD BOUCHARD : Polycopié Cours ENSAE 2ème eme année ee : Methodes de MonteCarlo MonteCa rlo [7] Lionel MARTELLINI, MARTELLINI, Philippe PRIAULET : Produits P roduits de taux tau x d’int´ d’in térˆ erêt, et, Economica, Econo mica, 2004 200 4 [8] EL KARAOUI, KARAOUI, GEMAN GEMAN et ROCHET ROCHET :Changes of numeraire,changes of probability measures and options pricing, 1995 [9] Klaus SANDMA SANDMAN N : Pricing of Asian Exchange Rate Options under stochastic Rates as a sum of Options. Finance and Stochastic Manuscripts, 1997 [10] Julien GAUBER GAUBERT T et David RUSO : Pricing et Couverture des Options Asitiques, 2004 [11] Tony LELIEVRE et Fran¸ Fran¸cois cois DUBOIS :Calcul d”terministe du prix des options asiatiques, 2004 [12] ROGERS ROGERS et Z.SHI Z.SHI : The value of an asian option [13] S.CREPEY S.CREPEY : Computational finance, 2007

modélisation des options asiatiques sur le taux de change. Auteur: MARIANE Mouhammed, ENSAE

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