theories des options

Théorie eorie des des Opti Option onss Yassine EL QALLI Institut National de Statistique et d’Economie Appliqu´ Appliqu´ ee ee

Septembre 2018 Filière ere Actuariat-Finance Actuariat-F inance - Semestre Semest re 5

1

Evolu Ev olutio tion n des d es Ins Instr trume uments nts D´ eriv´ eriv´ es es

2

Marc h´ March´ es fina es financi ncier erss à temp t empss dis discr cret et Strat´ Stra t´ egies egie s et Portefeuille Portefe uilless March´ es es financiers financ iers viables viabl es March´ Marché comp comple lett Mod` Mo d` eles ele s Binomi Bin omials als Modèle ` a une ´ etape Mod` Mo d` ele CRR CR R Extension Exte nsionss du mod` mo d` ele ele CRR Choix Optimal de portefeuille et de Consommation

3

Marc h´ March´ es fina es financi ncier erss à temp t empss co conti ntinu nu Descr Des cript iption ion du march´ marc h´ e Strat´ egies, egies, portefeuilles portefeuill es et Arbitrage Mesure Mesu re Martingale Marting ale ´ equivalen equiv alente te Modèle ele de Black-S Blac k-Schole choless L’EDP L’E DP d’´ evalu evaluati ation on Couverture et valorisation d’une option europ´ eennes eennes dans le mod` ele ele de Black et Scholes Formule de Black et Scholes Sensibil Sens ibilit´ it´ es es des options opti ons Extensions du mod` ele ele de Black-Scholes Black-Sc holes

Evolutio Evol ution n des Instrume Inst ruments nts D´ eriv´ eri v´ es es

Evol Ev olut utio ion n de dess In Inst stru rume ment ntss Dériv´ erivés es


L’act L’a ctiv ivit´ ité finan financi` cière ere se dévelo eve lopp ppee à trave travers rs un cert certai ain n nombr nombree d’instruments tels que: la circulatio circu lation n de monnaie monnai e exprimée ee dans différentes erent es devises devise s les opérations erati ons de prˆ prêts ets et d’emprunts d’emprunt s qui sont assorties assortie s de paiements paiem ents d’intérêts dépendant de la mat ma turité des opérations les actions actio ns émises emise s par les entreprises entrepris es qui reflètent etent leur capitalisa capit alisation. tion. Des indice indicess ont ét´ eté crées ees (SP500, (SP500, CAC 40, MASI...) MASI ...) afin de permett ermettre re aux investisseurs étrangers etrangers d’avoir une information rapide ra pide sur le niveau économique economique et le comportement des actions d’un pays.

Evolution des Instruments D´ eriv´ es

La très grande variabilité de ces paramètres ou de ces titres a conduit naturellement à une demande de transfert des risques (pour les éliminer ou au moins les réduire) de la part d’un certain nombre d’intervenants, comme les entreprises industrielles, les compagnies d’assurance... Les banques jouent évidemment un rˆ ole fondamental dans cette transformation, notamment en proposant un certain nombre de produits financiers, qui seront appelés produits dérivés.


Les produits dérivés ne datent pas du XX ème siècle. L’exemple historique majeure est la Hollande du XVII ème siècle qui proposait un marché d’options sur la tulipe. Un hiver rigoureux impliquait une récolte moyenne et une hausse des cours et inversement. Voulant se prémunir contre une baisse des cours et voulant stabiliser leurs revenus, les producteurs ont cherché une solution financière. A l’inverse, les négociants désireux de s’enrichir, proposèrent aux producteurs des options qui leur conféraient le droit de vendre leurs productions de bulbes à des prix prédéterminés.


Cette expérience innovante n’allait cependant pas durer... Apr` es un hiver particuli` erement doux, le cours du bulbe s’effondra. Les producteurs usèrent massivement de leurs options, et les négociants ne purent pas faire face. Une analyse postérieure a montré que la faillite de ce marché s’explique par la sous- estimation de la prime de l’option. En fait, il fallut attendre 1973, pour que les américains, Black et Scholes (et Merton) proposent un modèle mathématiques pour l’évaluation des options.


Exemple (Risque de change) Real Madrid souhaite acheter le contrat du joueur de Tottenham Gareth Bale. Tottenham demande 100M € =85.9M £ ( 1/7/2013 ). Tottenham souaite aussi que le virement soit en livres sterling. Après négociations le virement va être effectué après la fin du “mercato” le 2 septembre. Real Madrid est face au risque de change. 1€ = 0.859 au 1/7/2013 = 1€ =?? au 2/9/2013 .

⇒

Pour limiter le risque Real Madrid ach` ete aujourd’hui 1/7/2013 une option de change avec laquelle RM échange 1€ contre 0.859 £ à la maturité 2/9/2013 .




Deux De ux Pr Prob obl` lème mes s : 1

Combien Real Madrid doit payer (prime) pour p our avoir ce droit dr oit (c-à-d a-d pour acheter l’option de change)? C’est le pricing, Valorisation

2

Commen Commentt celui celui qui va assumer assumer le risque risque de change change (vendeur (vendeur de l’option) va utiliser la prime re¸cu cu pour se couvrir? C’est le hedging, Couverture


Evolu Evo luti tion on de dess in inst stru rume ment ntss dériv´ erivés es Comme Comm e c’est c’est le cas de n’imp n’importe orte quel quel produi produit, t, les produi produits ts dériv´ eri vés es évoluen evol uentt comme un résultat esulta t d’innovation d’inno vation ; une innovation innova tion qui va répondre ep ondre aux besoins de plus en plus complexes. a- Le contrat forward Probab Probablem lement ent c’est c’est le premier premi er produi produitt dériv´ eri vé!! e!! Dans un contrat forward forward deux de ux parties se mettent d’accord pour p our compléter eter une transa transacti ction on au future future mais mai s avec avec un prix préd´ edétermi etermin´ né aujour auj ourd’hu d’hui. i. Exemple Un producteur qui promet d’assurer un produit (le sous-jacent) et un consommateur qui a besoin du produit 1

Un cultivateu cultivateurr de Cacao. Cacao.

2

un confiseur (pˆ atissier) atissier) consommateur de cacao.

3

le cultivateur cultiva teur estime récolter ecolter 120 120 tonnes tonnes d’ici 6 mois.

4

le confiseur confis eur lui reste une quantité qui va lui durer 6 mois et il a besoin de reconstituer recon stituer son stock sto ck apr` es es 6 mois de 120 120 tonnes. tonnes.


Exemple (suite)

⊕ ⊕

Producteur Produit disponible dans 6M

⊕ ⊕



Consommateur Besoin de ce produit dans 6M Les deux parties sont face au risque Le producteur craint une chute du prix instantan´ i nstantané d’ici 6 d’ici 6M le consommateur est sensible à une augmentation du prix d’ici 6M Donc le deux parties parties sont face au risque dans le sens oppos´ opposé. e. Il est logique logique que les deux parties parties n´ egocient egocient un prix prix avec lequel la tran transa sact ctio ion n peut eut être etre eff effec ectu´ tuée ee dans dans 6M. Une fois les termes sont bien pr´ précis, ecis, on a donc un contrat contrat forw forward ard (date, prix, pri x, qual qu alit´ ité, e, quan quanti tit´ té... e...). ).


Exemple (suite) Less bén´ Le enéfice eficess d’ d’un un te tell co cont ntra rat t Le producteur connaˆ connaˆıt le prix qu’il va recevoir en d´ epit epit de ce qui se passera dans 6 mois. le consommateur il sait d’avance combien il doit payer dans 6 dans 6 mois. Les deux ont fait un “regard” sur le prix/coˆ ut future Ils peuvent pe uvent bien se position po sitionner ner par rapport rapp ort à leurs activit´ activi tés. es. par exempl exemplee le pâtissi atissier er peut pe ut détermi eterminer ner à ses client cli entss les prix avec avec lesquels il peut d´ elivrer elivrer le chocolat.


b- Le besoin des contrats futures On peut se demander pourquoi on a besoin d’un contrat futures si le contrat forward peut faire la gestion du risque!! Un nouveau produit ne peut survivre s’il n’a pas une valeur ajoutée sur les produits qui existent déjà. En effet les contrats futures ont été crées pour résoudre les problèmes liés aux contrats forwards. double co¨ıncidence: les deux parties doivent trouver une contrepartie qui n’a pas seulement un besoin opposé par rapport à l’actif sous-jacent mais aussi par rapport au temps et la quantit´ e. Plusieurs facteurs doivent co¨ıncider avant d’arriver à la négociation du contrat forward. contrat forcé: Le contrat peut être forcé sur une partie (urgence d’une partie, asymetrie d’information,...) risque de la contrepartie: c’est le problème le plus important.


Futures Forwards Futures Forwards

Marché organisé gré à gré (OTC) Appel de Marge Non

Standardisé Personnalisé

Contrepartie centrale Non

Moins de risque de contrepartie Plus de risque de contrepartie

L’avantage fondamental présenté par les contrats à terme par rapport à leurs prédécesseurs de gré à gré, les forwards, est l’existence d’une chambre de compensation avec contrepartie centrale qui se substitue à tous les intervenants : elle est l’acheteur de tous les vendeurs et le vendeur à tous les acheteurs.


1

Dès qu’une transaction est enregistrée auprès de la Chambre de compensation, elle se substitue en tant que contrepartie au vendeur et à l’acheteur initial.

2

Ainsi, lorsqu’un opérateur A achète un contrat à un opérateur B, la transaction est en réalité divisée en deux : A achète à la chambre de compensation, B vend à cette même chambre.

3

Si B devait faire défaut, A n’en subirait aucune conséquence.

4

La contrepartie centrale doit, pour jouer effectivement son rˆ ole, disposer de capacités de gestion des risques adaptées ;

5

Elle exige donc de chaque intervenant un dépˆ ot de garantie initial et procède à un appel de marge quotidien (versement obligatoire de fonds supplémentaires pour couvrir la dépréciation d’une position ouverte sur le marché).


Mécanismes des marchés futures : “Margin requirements” Lorsqu’on prend une position, longue ou courte, sur les contrats futures, un broker membre de la chambre de compensation de la bourse où la transaction a lieu, se place en contrepartie.


Mécanismes des marchés futures : “Margin requirements” Lorsqu’on prend une position, longue ou courte, sur les contrats futures, un broker membre de la chambre de compensation de la bourse où la transaction a lieu, se place en contrepartie. Il faut effectuer un dépôt d’argent, appelé marge initiale, auprès de ce broker. Cette marge correspond généralement à 5% du prix du contrat.


Mécanismes des marchés futures : “Margin requirements” Lorsqu’on prend une position, longue ou courte, sur les contrats futures, un broker membre de la chambre de compensation de la bourse où la transaction a lieu, se place en contrepartie. Il faut effectuer un dépôt d’argent, appelé marge initiale, auprès de ce broker. Cette marge correspond généralement à 5% du prix du contrat. A la fin de chaque journée de trading, et pendant toute la période d’échange, ce dépôt sera ajusté en fonction de l’évolution du prix dudit contrat.


Mécanismes des marchés futures : “Margin requirements” Lorsqu’on prend une position, longue ou courte, sur les contrats futures, un broker membre de la chambre de compensation de la bourse où la transaction a lieu, se place en contrepartie. Il faut effectuer un dépôt d’argent, appelé marge initiale, auprès de ce broker. Cette marge correspond généralement à 5% du prix du contrat. A la fin de chaque journée de trading, et pendant toute la période d’échange, ce dépôt sera ajusté en fonction de l’évolution du prix dudit contrat. Si on est acheteur, et que le prix du contrat a baissé, le broker versera la différence sur notre compte, en revanche, si le cours a augmenté, la différence sera retranchée.


Mécanismes des marchés futures : “Margin requirements” Lorsqu’on prend une position, longue ou courte, sur les contrats futures, un broker membre de la chambre de compensation de la bourse où la transaction a lieu, se place en contrepartie. Il faut effectuer un dépôt d’argent, appelé marge initiale, auprès de ce broker. Cette marge correspond généralement à 5% du prix du contrat. A la fin de chaque journée de trading, et pendant toute la période d’échange, ce dépôt sera ajusté en fonction de l’évolution du prix dudit contrat. Si on est acheteur, et que le prix du contrat a baissé, le broker versera la différence sur notre compte, en revanche, si le cours a augmenté, la différence sera retranchée. On appelle marge de maintenance, le seuil en de¸cà duquel le niveau de notre compte ne doit descendre, elle représente près de 30% de la marge initiale.


Mécanismes des marchés futures : “Margin requirements” Lorsqu’on prend une position, longue ou courte, sur les contrats futures, un broker membre de la chambre de compensation de la bourse où la transaction a lieu, se place en contrepartie. Il faut effectuer un dépôt d’argent, appelé marge initiale, auprès de ce broker. Cette marge correspond généralement à 5% du prix du contrat. A la fin de chaque journée de trading, et pendant toute la période d’échange, ce dépôt sera ajusté en fonction de l’évolution du prix dudit contrat. Si on est acheteur, et que le prix du contrat a baissé, le broker versera la différence sur notre compte, en revanche, si le cours a augmenté, la différence sera retranchée. On appelle marge de maintenance, le seuil en de¸cà duquel le niveau de notre compte ne doit descendre, elle représente près de 30% de la marge initiale. Si cela venait à arriver, le broker procède à un appel de marge, le client doit alimenter son compte pour ramener son niveau à celui de la marge initiale.


Mécanismes des marchés futures : “Margin requirements” Lorsqu’on prend une position, longue ou courte, sur les contrats futures, un broker membre de la chambre de compensation de la bourse où la transaction a lieu, se place en contrepartie. Il faut effectuer un dépôt d’argent, appelé marge initiale, auprès de ce broker. Cette marge correspond généralement à 5% du prix du contrat. A la fin de chaque journée de trading, et pendant toute la période d’échange, ce dépôt sera ajusté en fonction de l’évolution du prix dudit contrat. Si on est acheteur, et que le prix du contrat a baissé, le broker versera la différence sur notre compte, en revanche, si le cours a augmenté, la différence sera retranchée. On appelle marge de maintenance, le seuil en de¸cà duquel le niveau de notre compte ne doit descendre, elle représente près de 30% de la marge initiale. Si cela venait à arriver, le broker procède à un appel de marge, le client doit alimenter son compte pour ramener son niveau à celui de la marge initiale. Si le client ne répond pas à l’appel de marge, le broker liquide sa position.


L’objectif derrière ce mécanisme de dépˆ ots de marge, qui fait la particularité des marchés organisés, est de remédier au risque de contrepartie. Ainsi, le client ne peut se désengager lorsque le marché n’évolue pas en la faveur de la position qu’il a prise.



Mécanismes des marchés futures : “La chambre de compensation” Chaque marché de futures dispose de sa propre chambre de compensation. Tous les membres de l’échange (les brokers) sont, eux aussi comme leurs clients, tenus de rapporter leurs transactions à la chambre de compensation à la fin de chaque session de trading.



Mécanismes des marchés futures : “La chambre de compensation” Chaque marché de futures dispose de sa propre chambre de compensation. Tous les membres de l’échange (les brokers) sont, eux aussi comme leurs clients, tenus de rapporter leurs transactions à la chambre de compensation à la fin de chaque session de trading. Le même procédé de dépˆ ot de marge se tient entre le broker et la chambre de compensation. Cela dit, les marges exigées peuvent être différentes de celles requises des particuliers.


Un contrat futures est un contrat forward avec réajustement continu. C’est un contrat qui fixe un prix (prix futures) sur la base duquel on pratique les “appels de marge”.



≤ ≤

A chaque temps 0 t T , il existe sur le marché un objet coté f (t, T ), connu sous le nom de prix futures.



≤ ≤

A chaque temps 0 t T , il existe sur le marché un objet coté f (t, T ), connu sous le nom de prix futures. Chaque opérateur verse un dépˆ ot de garantie dont le montant lui est crédité sur un compte courant.



≤ ≤

A chaque temps 0 t T , il existe sur le marché un objet coté f (t, T ), connu sous le nom de prix futures. Chaque opérateur verse un dépˆ ot de garantie dont le montant lui est crédité sur un compte courant. A la clˆ oture quotidienne, la position de chaque opérateur est ajustée. Si une perte apparaˆıt, l’opérateur doit en assurer le financement. Dans le cas contraire, son compte est crédité. En effet durant chaque intervalle de temps (s, t] le détenteur du contrat re¸coit le montant f (t, T ) f (s, T ).

−



≤ ≤


−



≤ ≤


−

Considérons l’exemple suivant: Le 15 octobre, un op´ erateur a vendu un contrat future sur Brent d’échéance 1er décembre du même année, au cours de 97.52 et de nominal de 5000$.


Le tableau suivant indique les mouvements de marge générés par cette position jusqu’à la veille de son dénouement. Le signe indique une perte et donc un apport de marge; Le signe + indique un gain et donc une restitution de marge.

−

date 15/10 16/10 17/10 18/10 19/10 22/10 23/10

Cours de clˆ oture 97.86 97.70 97.10 96.74 96.22 96.50 96.06

marge 1700$ + 800$ +3000$ +1800$ +2600$ 1400$ +2200$

−

−


Le tableau suivant indique les mouvements de marge générés par cette position jusqu’à la veille de son dénouement. Le signe indique une perte et donc un apport de marge; Le signe + indique un gain et donc une restitution de marge.

−

date 15/10 16/10 17/10 18/10 19/10 22/10 23/10

Cours de clˆ oture 97.86 97.70 97.10 96.74 96.22 96.50 96.06

marge 1700$ + 800$ +3000$ +1800$ +2600$ 1400$ +2200$

−

−

L’opérateur a racheté son contrat le 24 octobre au cours de 96.00. Les mouvements de marge lui ont laissé une somme nette de 7300$, à laquelle il faut ajouter le résultat de la journée du 24 octobre, soit un gain supplémentaire de 300$ correspondant à la différence entre le cours du rachat (96.00) et le cours de clˆ oture du 23 octobre (96.06).


Bien entendu, le total des mouvements de marge et du gain (ou perte) obtenu le jour o` u la position est soldée, soit ici au total 7600$, correspond à la différence entre le cours vendeur initial et le cours acheteur final, soit 5000(97.52

− 96.00) = 7600$.


b- Le besoin des options Bien que les forwards et futures nous permettent de savoir le prix avec lequel un produit va être échangé dans le futur, ils ne permettent pas de bénéficier des mouvements favorables des prix. Les futures ne sont pas adéquats pour certaines situations risquées. On distingue deux familles de produits dérivés

Contrats à terme

↓

Obligation d’exercice



Options

↓

Droit d’exercice


Une option est un produit dérivé qui donne le droit, et non l’obligation, soit d’acheter (option d’achat, appelée aussi “call”), soit de vendre (option de vente, appelée aussi “put”), une quantité donnée d’un actif financier (action, obligation, indice boursier, devise, matière première, un autre produit dérivé, etc.), appelé actif sous-jacent, : à un prix précisé à l’avance (prix d’exercice), et à une échéance convenue. Types d’option: Options Vanilles : les plus simples, et généralement les plus liquides (les plus vendues)= options Européennes ou Américaines ... Options Exotiques : généralement beaucoup plus compliquées= options Asiatiques, lookback, barrières ...


Rˆ ole d’un produit dérivé ´ Echanger différents types de risques. Se protéger contre un risque déterminé. Faire des bénéfices sur des marchés en hausse, en baisse, ou même statiques. L’acquisition de produits dérivés tels que les options peut être dictée par deux types de préoccupation tout à fait opposées : MOTIF de COUVERTURE ( Hedging) : Couverture d’un portefeuille d’actifs financiers contre certains risques par l’achat de dérivés (“position d’assuré”) MOTIF de SPECULATION : Prise de risque importante contre un espoir de rentabilité moyenne supérieure (“position d’assureur”)


Valeur d’une option d’achat européenne ( call européen) Payoff : flux financier généré par l’actif dérivé T = maturité de l’option K = prix d’exercice S (T ) = prix réel de marché observé à l’instant T

V (T ) = max(S (T )

Pricing : V (0) =?

− K, 0) = (S (T ) − K )+


Forme du payoff d’un call


Le call et le put ont le gain suivant, selon le prix final du sous-jacent :

Call

Put


Le call et le put ont le gain suivant, selon le prix final du sous-jacent :

Call Dans le cas d’un call,

Put

les gains sont illimit´ es pour l’acheteur et ses pertes sont limit´ ees au montant de la prime, du point de vue du vendeur les pertes sont illimitées, et les gains plafonnés au montant de la prime.

pour l’acheteur du put, la perte maximale est limitée au montant du premium décaissé et le gain potentiel, bien que très important, n’est pas illimité


Figure: Ecran de Bloomberg pour la feuille de march´ e d’une option sur l’action de IBM


L’écran de Bloomberg montre les prix du call et du put négociés sur l’actif IBM. Cet écran a été accédé le 6 janvier 2007. Le prix négocié de IBM est 97.42. Les prix et et les volumes sur le IBM call et put sont repartis sur cinq prix d’exercice et trois maturités. Par exemple la ligne 8 montre le prix du call avec un prix d’exercice de 95 et une expiration en 17 Fév 2007 négociés à 4.10 (bid, prix d’achat) et 4.20 (ask, prix de vente) La ligne 23 montre le prix du put avec un prix d’exercice de 95 et une expiration en 7 Fév 2007 négociés à 1.35 (bid, prix d’achat) et 1.45 (ask, prix de vente)


Figure: Ecran de Bloomberg pour l’évaluation d’un call sur l’action de IBM


Figure: Ecran de Bloomberg pour l’évaluation d’un call sur l’action de IBM


Figure: Ecran de Bloomberg pour l’évaluation d’un call sur l’action de Microsoft


Facteurs influen¸cant la valeur des options Le cours du sous-jacent à la date d’évaluation (S 0 ) : quand S augmente, la valeur C du call augmente, et la valeur P du put diminue, à prix d’exercice K fixé.


Le prix d’exercice, ou strike, K : plus ce dernier est élevé, plus le call est bon marché, et plus le put est cher, puisque, en cas d’exercice, K sera payé par le détenteur du call, et encaissé par le détenteur du put.


La volatilité du prix du sous-jacent σ : elle est mesurée par l’écart-type de la distribution du taux de rentabilité du support.

Plus le cours du titre est volatile, plus il a de chances, au terme d’une période donnée, de s’élever au dessus du prix d’exercice (ce qui est favorable au call), et plus il a de chances de descendre en dessous de celui-ci (cas favorable au put).


La maturité : la durée T qui sépare une option de son échéance

Plus l’échéance est lointaine, plus la probabilité de voir le cours du support s’écarter fortement du prix d’exercice (et donc pour l’acheteur de réaliser un profit) est élevée.


Options Exotiques Définition (Option binaire) L’option binaire ou encore appelée digitale confère à son acheteur une somme fixe d’argent si le cours du sous-jacent atteint ou franchit le prix d’exercice préalablement fixé. Ce prix est le prix d’exercice de l’option binaire. Exemple L’option all or nothing (Tout ou rien) : (Aussi appelée “Cash or nothing”) : Le détenteur d’une telle option re¸coit un coupon fixe, déterminé à l’avance, si l’option arrive à l’échéance dans la monnaie. Dans le cas contraire, la prime de l’option est perdue. Payoff du Call : N si S (T ) K V = 0 si S (T ) < K



≥


Exemple L’option “asset or nothing ” (Actif ou rien) : Cette option présente quasiment les mêmes caractéristiques que l’option “all or nothing ”, à la seule exception, que si elle arrive à l’échéance le coupon versé ne sera pas un montant fixé mais la valeur de l’actif sous-jacent ou un multiple de celui-ci. Payoff du Call : M.S (T ) si S (T ) K V = 0 si S (T ) < K



≥

L’option gap : Cette option permet de recevoir un coupon représentant la différence entre la valeur de l’actif sous-jacent et une constante déterminée à l’avance si l’option arrive dans la monnaie. V =



(S (T ) 0

− Y )

≥

si S (T ) K si S (T ) < K


Exemple (Basket option) L’option “panier” ou “basket”, se classe dans la famille des options sur plusieurs actifs sous-jacents. Cette option ne prend pas en compte la somme des performances de chacun des actifs sous-jacent du panier, pris de fa¸con indépendante, mais elle a les mêmes caractéristiques de remboursement à l’échéance que l’option standard, mais l’actif sous-jacent servant de référence représente, en fait, un panier de plusieurs actifs équipondérants ou non. Le détenteur de ce panier peut ainsi voir la baisse d’un actif compenser, en tout ou partie, la hausse d’un autre. Payoff du Call : V = (α1 S 1 (T ) + α2 S 2 (T ) + . . . + αn S n (T ) K )+

−


Exemple (Basket option)

R´ eduction du prix : Lorsque les composantes sont assez peu corrélées entre elles, le prix de l’option sur panier sera largement inférieur à la somme des options sur chacune. Diversification des risques : Il est possible de créer une option sur l’ensemble d’un portefeuille ; on bénéficie alors des avantages de la diversification et des avantages liés à l’option. Le choix de la devise de r´ ef´ erence : lorsque le client décide d’investir sur des indices ou des actions cotées dans des devises différentes, la prime et le payoff de l’option seront exprimés dans la devise de référence de l’investisseur, ce qui lui évite la gestion du risque de change sur chacun des sous-jacents.


Exemple (Chooser option) Une “as-you-like-it” option, plus communément appelée “chooser option” spécifie les prix d’exercice de deux options standards à la date d’émission, et permet à son détenteur de décider après cette période, déterminée à l’origine (“the choose, choice date ou conversion period ”), de convertir l’option en call ou en put. Apr` es avoir décidé la conversion de la “ chooser option ”, le profil de performance est celui d’une option standard avec un prix d’exercice connu.

Int´ erˆ et: Dans des moments de grande incertitude sur l’évolution future du cours d’un actif, beaucoup d’investisseurs choisissent de rester en dehors du marché. Par exemple, le cas d’élections dont l’issue n’est pas sˆ ure, ou encore l’issue d’un conflit arm´ ee... Une “chooser”, convient à ce type de situation incertaine, en permettant à l’investisseur de reporter des décisions de couverture d’actifs ou de spéculation, durant une période définie.


Remarque Ces options sont “non-path-dependent” : c’est à dire des options dont la valeur finale ne d´ epend pas du chemin suivi par le cours du sous-jacent pendant toute la durée de vie de l’option. Exemple (Path-dependent options) Call lookback : Titre financier donnant le droit d’acheter à une date future fixée une quantité fixée d’un actif financier à son prix minimum atteint tout au long de la période. Strike : Droit d’acheter au prix minimum K = min S s s [0,T ]

− K )+ = S T − K

Payoff : V (T ) = (S T

∈

Put lookback : Titre financier donnant le droit de vendre à une date future fixée une quantité fixée d’un actif financier à son prix maximum atteint tout au long de la période Strike : Droit de vendre au prix maximum K = max S s s [0,T ]

Payoff : V (T ) = (K

− S T )+ = K − S T

∈


Exemple (Option Asiatique (ou à Moyenne)) Option à moyenne sur le prix : C’est une option de type européen donnant droit à son détenteur de recevoir à l’échéance de l’option la différence positive éventuelle entre le prix d’exercice de cette option et la moyenne arithmétique (ou éventuellement géométrique) des cours du sous-jacent. Le payoff du Call : V (T ) = (Moy s∈[0,T ] S s K )+

−

Option à moyenne sur le prix d’exercice : Le payoff à l’échéance, ou lors de l’exercice, de cette option est déterminé en effectuant la différence entre le cours de l’actif à l’échéance et le prix d’exercice moyen calculé comme étant le cours moyen de cet actif sous-jacent sur un nombre fixe de points. Le payoff du Call : V (T ) = (S T Moy s∈[0,T ] S s )+

−


R´ eduction du risque : contrairement aux options classiques, dont le payoff est exposé à un mouvement brutal du cours de l’actif sous-jacent à l’échéance, les options asiatiques permettent de figer des valeurs du Sous-jacent au cours de la durée de vie de l’option. Ces options sont donc particulièrement intéressantes lorsque le marché est faiblement liquide ou fortement volatil. Flexibilit´ e du produit : l’acheteur d’une option asiatique à la possibilité de déterminer : la p´ eriode de constatation : au lieu de calculer une moyenne sur l’ensemble de la durée de vie de l’option, il est possible de réduire la période d’observation. La fréquence de constatation : décidée lors de la négociation du contrat, elle peut être quotidienne, hebdomadaire, mensuelle... le type de moyenne : généralement, le calcul de la moyenne se fait de fa¸con arithmétique. Cependant, il est aussi possible d’utiliser des moyennes géométriques ou bien d’affecter une pondération différente à chacune des valeurs au gré de la volonté de l’acheteur.


Exemple (Option à barrière) Les options à barrière sont des options dont la valeur est conditionnée par l’évolution, pendant leur durée de vie, du prix du sous-jacent par rapport à un ou plusieurs seuils, il y a une barrière fixe par rapport à laquelle on compare le sous-jacent. Barrière activante ( in) : l’option se met en activit´ e si le cours du sous-jacent traverse la barrière. Barrière désactivante ( out ) : l’option cesse définitivement ses effets si le cours du sous-jacent traverse la barrière. L’effet de la barri` ere peut jouer si on la traverse par le haut ( down) ou par le bas ( up ) .


Calls Barrier Type

Payoff +

Down and out

V B CDO

 (S (T ) − K ) = 0  (S (T ) − K ) = 0  (S (T ) − K ) = 0  (S (T ) − K )

+

Up and out

V B CUO

+

Down and in

V B CUO

+

Up and in

V B CUO =

0

si t S t > B sinon si t S t < B sinon si t S t B sinon B si t S t sinon

∀ ∀ ∃ ≤ ∃ ≥

Puts Barrier Type

Payoff +

Down and out

V B CDO

 (K − S (T )) = 0  (K − S (T )) = 0  (K − S (T )) = 0  (K − S (T ))

+

Up and out

V B CUO

+

Down and in

V B CUO

+

Up and in

V B CUO =

0

si t S t > B sinon si t S t < B sinon B si t S t sinon si t S t B sinon

∀ ∀ ∃ ≤ ∃ ≥


Remarque L’investisseur n’a plus besoin de la protection si le cours d´ epasse un certain niveau ; par rapport à une option européenne cela va réduire le prix de l’option. Il veut se protéger contre une baisse du cours mais il est prêt à abandonner cette protection si le cours augmente au dessus de la barrière. le prix des options à barrière peut être selon le niveau de la barrière, nettement plus faible que celui d’une option standard de mêmes caractéristiques.


Exemple (Protection contre une éventuelle baisse d’un titre détenu) S 0 = 700 DH. Achat d’un put up-and-out : B = 750 DH et K = 700 DH. Le prix de cette option est de 5.50% contre 13% pour un put standard. A l’échéance: Si la barrière est franchie, l’option à barrière perd sa couverture : cette perte de couverture n’est à priori pas gˆ enante puisque le cours du titre évolue dans un sens favorable. Cependant, si le titre se met à baisser fortement après le franchissement de la barrière, la position n’est plus couverte et les pertes peuvent être importantes. Si la barri` ere n’est pas franchie, on a un put standard qu’on a acquis en payant une faible prime : on est donc parfaitement couvert tout au long de la durée de vie de l’option.


Options Synthétiques Ce sont des produits composés à la fois de positions sur le sous-jacent et de positions sur des options sur ce sous-jacent. Exemple (Sous-jacent + Put) Considérons une position longue sur le sous jacent et sur un put. C’est la stratégie de l’assurance de portefeuille. Le payoff de cette stratégie est V (T ) = S (T ) + (K S (T ))+ = max(S (T ), K ) C’est un investissement dans le sous-jacent S mais avec une protection minimale de niveau K ( par exemple K = S (0) garantie de nominal)

−


Exemple (Sous-jacent - call) Considérons une position longue sur le sous-jacent et position courte sur un call. Le payoff de cette stratégie est V (T ) = S (T ) (S (T ) K )+ = min(S (T ), K ) C’est un investissement dans le sous-jacent S mais en acceptant une valeur maximale de niveau K ( par exemple K = S (0) ou K = 2 S (0) )

−

−

×


Effet de levier des options C’est le nom que porte la démultiplication des taux de rentabilité par les opérations sur les options. L’acheteur du call ou du put bénéficie d’un effet de levier important si son option n’expire pas sans valeur. Supposons qu’on achète un call à 4.8Dh sur un sous-jacent qui valait 98Dh avec un strike de 100Dh. A la maturité le support vaut 107Dh. Un investissement dans le support aurait rapporté 107 98 = 9.2% 98 alors que l’acheteur du call bénéficie d’un taux de rendement (107 100) 4.8 = 45.8% 4.8 Le taux de rentabilité de l’actif est multiplié par presque 5 pour avoir le taux de rentabilité de l’option. C’est ce que l’on appelle l’effet de levier des options. Bien entendu, si le support ne vaut que 100Dh , le détenteur de ce dernier a gagné 2, 04% et l’acheteur du call a perdu 100% de son investissement

−

−

−

Marchés financiers ` a temps discret



Références es Financiers en Temps Continu Dana, R., Jeanblanc, M March´ Valorisation et Equilibre , Economica,1998. ¨ rk, T Arbitrage Theory in Continuous Time , Oxford, 2004. Bjo Lamberton, D., Lapeyre, B. Introduction au Calcul

Stochastique Appliqué à la Finance , Ellipses, 1991. Musiela, M., Rutkowski, M. Martingale Methods in Financial

Modeling. 2ed., Springer, 2005. Hull, J. Options, Futures and Other Derivatives , 6ed., Prentice

Hall, 2005.


Dans ce chapitre, nous ne considérerons que des évolutions discrètes. L’unité de temps peut correspondre à une année, un mois, une heure ou encore à la clˆ oture de la bourse chaque jour. Les actifs financiers peuvent être classés en deux grandes catégories : actif sans risque: il rapporte un rendement constant connu à l’avance le rendement du titre entre les dates t et t + 1 est connu à la date t. Il s’agit en général d’un livret de caisse d’épargne, un bon du trésor à taux fixe ou pr´ evisible ou encore une obligation sans risque de défaut.

actifs risqués : ils rapportent un rendement non connu à l’avance. Il s’agit par exemple des actions de compagnie privées cotées en bourse ou encore des obligations émises par des entreprises pouvant faire défaut...


F

On considère un espace de probabilité fini (Ω, , P) muni d’une filtration ( k )k=0,...,N o` u

F

Le paramètre N joue le rˆ ole d’un horizon temporel, et terminal fix´ e, souvent appelé horizon du marché . Dans la pratique, il est le plus souvent correspondant à la date d’échéance des options. L’investisseur possède de plus en plus d’informations au cours du ` l’instant k, cette information est modélisée par la donnée de temps. A k.

F

Remarque

F k )k est croissante: F 0 ⊂ F 1 ⊂ ... ⊂ F N .

La suite des sous-tribus (


Modélisation du marché financier à d+1 actifs : On suppose qu’il y a sur le marché d + 1 actifs financiers, dont les prix à l’instant k sont donnés par les variables aléatoires S k0 , S k1 ,..., S kd à valeurs strictement positives, mesurables par rapport à la tribu k .

F

L’actif S 0 représente les placements sans risque. On posera S 00 = 1. Si le taux d’intérêt des placements sans risque sur une période est constant et égal à r on aura S k0 = (1 + r)k

pour tout 1

≤ k ≤ N.

Le vecteur S = (S 1 , S 2 ,...,S d ) représente les d actifs risqués. On suppose que S k est k mesurable quel que soit k 0, 1,...,N .

F

∈ {

}


Remarque Dans le cas o` u le rendement r = (rk )k dépend des périodes [k, k + 1], la valeur de l’actif sans risque est donné, pour 1 k N , par

≤ ≤

k

S k0 =



(1 + ri ).

i=1

Processus d’actualisation: Le coefficient d’actualisation (de la date k à la date 0) est défini par β k := 1/S k0 . C’est la somme d’argent qui, investi à l’instant 0 dans l’actif sans risque, permet de disposer de 1 unité à l’instant k. Dans le cas o` u le rendement r = (rk )k dépend des périodes [k, k + 1], le processus d’actualisation est donc k 1

β k = I{k=0} +

−

(1 + ri )

−

1

I{k≥1} .


Stratégies et Portefeuilles

March´ es es financiers ` a temps discret

Strat´ egies egies et Portefeuilles Portefeuille s

Définition Unee st Un stra rat´ tégi eg ie fin finan anci ci`ère er e est est un processus d’investissement Φ = (φ0 , φ1 ,...,φd ) dans les actifs sans risque et risqués es o` u u φ0k repr´ r eprésen esente te la quan quanti tit´ té d’un d’unit´ ités es plac´ placés es au taux taux sans sans risq risque ue sur sur la période [k, k + 1] Pour 1 i d, la variable φik rep repr´ résent se ntee la qua qu antit nt it´é d’ac d’ acti tiff risqu is qu´é e S i qui sera ser a détenue ete nue en portefe portefeuil uille le sur cette cet te même eme pério eri ode.

≤ ≤

Le processus Φ = (φ0 , φ) est 0 i d d,,

≤ ≤

φi0 est

F -prévisible au au sens suivant: pour tout

F 0-mesurable. Pour tout k ≥ 1 1,, φik est F k−1 -mesurable.



La valeur du portefeuille ` a` l’in ’i nstant k est e st donnée ee par la relation relat ion d

V k (Φ) = φ0k S k0 + φk , S k





Rd

=



φik S ki .

i=0

La va vale leur ur ac actu tual alis´ isée ee est est donn´ donnée ee par d

˜k (Φ) = V



φik ˜ S ki

i=0

˜i = β k S i pour k = 0,...,d o` u S ,...,d.. k k Remarque Contrairement aux valeurs des titres S ki , les v.a. φik peu p euve vent nt être tr e négat egativ ives es:: Si φik est e st négatif, ega tif, cela cel a signifi signifiee qu’il qu’il y a eu vente vente à découve eco uvert rt de ( φik ) parts du titre non risquée, ee, c.à.d: a.d: que l’on vend des actions que l’on ne poss` pos sède ede pas ou encore voir ( φik ) comme un emprunt et une dette de φik S ki un unités.

− −

−



Définition Unee st Un stra rat´ tégie egie es estt au auto tofin finan anc´ cée ee si si son montant est suffisant pour effectuer le placement (φ0k+1 , φk+1 ) entre k et k + 1, i.e., φ0k S k0 + φk , S k





Rd

= φ0k+1 S k0 + φk+1 ; S k





Rd .



Définition Unee st Un stra rat´ tégie egie es estt au auto tofin finan anc´ cée ee si si son montant est suffisant pour effectuer le placement (φ0k+1 , φk+1 ) entre k et k + 1, i.e., φ0k S k0 + φk , S k





Rd

= φ0k+1 S k0 + φk+1 ; S k





Rd .

Cette relation relat ion s’interpr` s’inte rprète ete de la fa¸con con suivante: suivan te: à l’instant l’inst ant k, après es avoi av oirr pris connaissance des cours S k0 ,...,S kd , l’inve l’investi stisse sseur ur réajust eaj ustee son portefeuille pour le faire passer de la composition φk à la co comp mposi ositi tion on φk+1 , le r´ eajustement eajustement se fait au cours de la date k en réinv einves esti tiss ssan antt la valeur total du portefeuille et rien de plus.

March´ es financiers ` a temps discret

Strat´ egies et Portefeuilles

Remarque L’inégalité φ0k S k0 + φk , S k





Rd

= φ0k+1 S k0 + φk+1 ; S k





Rd .

est équivalente à d

V k+1 (Φ)

− V k (Φ) =

  φik+1

i=0

i S k+1

−

S ki



.

` l’instant k + 1, la différence φk+1 (S k+1 S k ) représente le gain net dˆ A u à la variation des cours entre les instants k et k + 1. Une stratégie autofinancée est donc une stratégie pour laquelle les variations de valeur du portefeuille viennent uniquement des gains dˆ us à l’agitation des cours.

−



Définition Une stratégie Φ est dite admissible si elle est autofinancée et la valeur du portefeuille V k (Φ) 0 pour tout k 0, 1,...,N .

≥

∈ {

}

Définition Une stratégie d’arbitrage est une stratégie admissible de valeur initiale nulle et de valeur finale non nulle. Autrement dit, une stratégie de gestion de portefeuille (φk )0≤k≤n vérifiant les trois conditions suivantes: 1 2 3

∀ω ∈ Ω, V 0(Φ) = 0, ∀ω ∈ Ω, V N (Φ) ≥ 0, ∃ω ∈ Ω, V N (Φ) > 0.



Proposition ¯ En AOA, si deux stratégies autofinancées Φ et Φ ont la même valeur en T , alors ils ont la même valeur en 0. ¯ = V T (Φ) = V T (Φ)

¯ ⇒ V 0(Φ) = V 0(Φ).



Proposition ¯ En AOA, si deux stratégies autofinancées Φ et Φ ont la même valeur en T , alors ils ont la même valeur en 0. ¯ = V T (Φ) = V T (Φ)

¯ ⇒ V 0(Φ) = V 0(Φ).

¯ alors on peut construire une stratégie Supposons que V 0 (Φ) < V 0 (Φ), ¯ achat de Φ et placement d’arbitrage à t = 0, vente de Φ, ¯ V 0 (Φ) V 0 (Φ) > 0 à la banque.

−

Opération ¯ vente de Φ Achat Φ Placement valeur

en 0 ¯ V 0 (Φ) V 0 (Φ) ¯ V 0 (Φ) V 0 (Φ) > 0 0

− −

en T ¯ V T (Φ) V T (Φ) ¯ (V 0 (Φ) V 0 (Φ))erT >0

− −

¯ De manière similaire, on obtient Donc AOA = V 0 (Φ) V 0 (Φ). ¯ si bien que V 0 (Φ) = V 0 (Φ). ¯ V 0 (Φ) V 0 (Φ),

≤

⇒

≥



Remarque ¯ Une stratégies Φ est une stratégie d’arbitrage s’il existe une autre stratégie ¯ ¯ P-p.s. Φ de capital initial V 0 (Φ) = V 0 (Φ) telles que V N (Φ) < V N (Φ) ¯ La stratégie Φ est dite dominante par rapport à Φ. Définition On dit qu’il y a absence d’opportunité d’arbitrage (AOA) si la condition V 0 (Φ) = 0 et V N (Φ)

≥0 ⇒

V N (Φ) = 0

pour toute stratégie admissible Φ est vérifiée.



Exemple Considérons un marché avec 2 actions échangées, A et B. On suppose qu’il y a deux dates t = 0 et t = 1 (modèle monopériodique). A t = 1 deux états sont possibles, hausse ou baisse. Actif A ω1 : état hausse 80 ω2 : état baisse 35

B 80 35

Imaginons que le prix actuel de A est de 50Dh , et celui de B est de 57Dh . Comment peut-on construire une stratégie qui nous fasse gagner de l’argent en t = 0 sans en perdre en t = 1?



Exemple Considérons un marché avec 2 actions échangées, A et B. On suppose qu’il y a deux dates t = 0 et t = 1 (modèle monopériodique). A t = 1 deux états sont possibles, hausse ou baisse. Actif A ω1 : état hausse 80 ω2 : état baisse 35

B 80 35

Imaginons que le prix actuel de A est de 50Dh , et celui de B est de 57Dh . Comment peut-on construire une stratégie qui nous fasse gagner de l’argent en t = 0 sans en perdre en t = 1? On vent à découvert B et on achète A. A t = 0, on gagne 7Dh ; A t = 1, on utilise les flux re¸cus de la vente de A pour acheter B



Une telle opportunité de profit certain est une opportunité d’arbitrage. Les investisseurs s’empresseraient d’acheter A (la moins chère), le prix de A monterait, et de vendre B, dont le prix baisserait, jusqu’à obtenir un “´ equilibre”. Donc sur un marché financier “équilibré”, il ne devrait pas y avoir d’opportunité d’arbitrage (équilibre = AOA). Une des conséquences majeures de l’absence d’opportunité d’arbitrage sur les marchés financiers est la loi du prix unique (law of one price)

⇒



Une telle opportunité de profit certain est une opportunité d’arbitrage. Les investisseurs s’empresseraient d’acheter A (la moins chère), le prix de A monterait, et de vendre B, dont le prix baisserait, jusqu’à obtenir un “´ equilibre”. Donc sur un marché financier “équilibré”, il ne devrait pas y avoir d’opportunité d’arbitrage (équilibre = AOA). Une des conséquences majeures de l’absence d’opportunité d’arbitrage sur les marchés financiers est la loi du prix unique (law of one price)

⇒

Proposition (Law of one price) Sous l’hypothèse d’AOA, 2 actifs qui ont exactement les mêmes payoffs ont le même prix. C’est cette loi qui est la base de l’évaluation des produits financiers. Corollaire Pour évaluer un actif, on peut utiliser une combinaison d’actifs existants, qui donnerait exactement les mˆ emes payoffs que notre actif. Une telle combinaison est appelée portefeuille de réplicati o n (r ep l i ca ti ng p or t fo lio).



Exemple Considérons 3 actifs C , D et E de flux futurs à t = 1 Actif C ω1 : état hausse 60 ω2 : état baisse 20

D 75 40

E 105 50

Le prix de C et D est respectivement 36 et 50. Quel est le prix de E ?



Exemple Considérons 3 actifs C , D et E de flux futurs à t = 1 Actif C ω1 : état hausse 60 ω2 : état baisse 20

D 75 40

E 105 50

Le prix de C et D est respectivement 36 et 50. Quel est le prix de E ? Construisons un portefeuille avec C et D qui réplique les flux futurs (cash flows) de E . Supposons qu’il contienne nC unités de C et nD unités de D. Alors 105 = 60 nC + 75 nD ; 50 = 20 nC + 40 nD

×

×

×

×

ce système a une solution nC = 0.5 et nD = 1. Donc un portefeuille avec 0.5 unités de C et 1 unité de D réplique E . Donc par non-arbitrage, E doit avoir le même prix que ce portefeuille réplicant P E = 0.5

× 36 + 1 × 50 = 68Dh


March´ es financiers viables

Définition Nous dirons qu’un marché financier est viable s’il n’existe aucune opportunité d’arbitrage. ˜k (Φ) = V k (Φ)/S 0 et donc On note que V k

φk , S ˜k 

Rd+1

˜k = φk+1 , S





Rd+1 .

d

˜k+1 (Φ) = V ˜k (Φ) + V

 

˜i φik+1 S k+1

i=0

− S ˜ki



.

Proposition Supposons qu’il existe une probabilité P∗ équivalente à P sous laquelle les prix actualisés des actifs sont des martingales ( mesure martingale ou ˜k (Φ))k est une martingale sous P∗ . probabilité risque neutre ). Alors (V



Preuve ˜k (Φ) est Soit Φ une stratégie auto-financée. Il est évident que V e. On a k -adapt´

F

d

˜k+1 (Φ) E∗ (V

∗  

− V ˜k (Φ)|F k ) = E

˜i φik+1 S k+1

i=0

− S ˜ki

 |F  k

.

F k -mesurable et (S ˜k )k est une martingale on aura

Et comme φk+1 est

d

˜k+1 (Φ) E∗ (V

− V ˜k (Φ)|F k ) =

 i=0

 ∗

φik+1 E

˜i S k+1

− S ˜ki

 |F  k

= 0.



Proposition Supposons qu’il existe une probabilité P∗ équivalente à P sous laquelle les prix actualisés des actifs sont des martingales. Alors, il n’existe pas d’opportunité d’arbitrage. Preuve ˜k (Φ))k est une martingale sous P∗ alors Puisque (V Ñ (Φ)) = E∗ (V ˜0 (Φ)) = E∗ (V 0 (Φ)). E∗ (V Ñ (Φ)) = 0 d’o` Si la stratégie est de valeur initiale nulle, on aura E∗ (V u Φ ne peut être une opportunité d’arbitrage.



Proposition On suppose qu’il n’y a pas d’opportunité d’arbitrage. Alors il existe une probabilité P∗ équivalente à P sous laquelle les prix actualisés des actifs sont des martingales. Preuve Voir Dana-Jeanblanc (1998) pages 45-46. Théorème Le marché est viable, si et seulement si, il existe une probabilité P∗ équivalente à P sous laquelle les prix actualisés des actifs sont des martingales.



Marché complet

March´ es financiers a ` temps discret

March´ e complet

Définition On dit que l’actif contingent (v.a N -mesurable) défini par h est simulable ou atteignable ou duplicable s’il existe une stratégie admissible dont la valeur à l’instant N est égale à h.

F

Remarque Dans un marché viable, pour que l’option h soit simulable, il suffit qu’il existe une stratégie autofinancée de valeur égale à h à l’instant N . En effet, si Φ est une stratégie autofinancée et si P∗ est une probabilité équivalente à P sous laquelle les prix actualisés sont des martingales, alors, ˜k (Φ))0≤k≤N est une martingale. On a donc, pour sous P∗ le processus (V tout k, ˜k (Φ) = EP V Ñ (Φ) k . V ∗

Ñ (Φ) Il est clair que si V

 F 

≥ 0, la stratégie Φ est admissible.


March´ e complet

Définition On dit que le marché est complet si tout actif contingent est simulable. Théorème Un marché viable est complet, si et seulement si, il existe une seule probabilité P∗ équivalente à P sous laquelle les prix actualisés des actifs sont des martingales. Preuve Supposons que le marché est viable et complet. Soient P1 et P2 deux mesure martingales équivalentes à P. Soit X une variable aléatoire egie Φ telle que X = V N (Φ), soit en N -mesurable. Il existe une strat´ actualisant X Ñ (Φ). = V 0 S N

F


March´ e complet

Preuve (Suite) ñ (Φ))n est une P1 -martingale (et une P2 -martingale). D’o` On a vu que (V u Pi

Pi ˜ E (V N (Φ)) = E (V 0 (Φ)) = V 0 (Φ)

i = 1, 2.

Il s’ensuit que P1

E

  X 0 S N

P2

=E

 

X . 0 S N

Cette égalité étant vraie pour tout X , N -mesurable, on a P1 = P2 sur N . Pour la réciproque voir Voir Dana-Jeanblanc (1998) pages 52-53.

F

F


Mod` eles Binomials

Modèle Binomial ` a une ´ etape


Mod` eles eles Binomials

Un ma marc rch´ hé à un unee étap et apee es estt un ma marrch ch´é fin finan anccie ierr à de deux ux da date tess t = 0 et t = 1 o` u il n’ y a que deux états etats du monde pos possible sible à l’horizon du marché. e. Le modèle: Le marché étudi´ etu dié comporte comp orte une action act ion et un placem pla cement ent sans sans risque. 1 2

` la date 0, l’action vaut S 1 = S A S u un nités. 0 ` la date 1, l’action vaudra S 1 = S h ou S 1 = S b uni A unit´ tés es (avec av ec 1 1 S b < S h ) suivant que son prix monte ou descend.

Le placem pla cement ent sans sans risque ris que à un taux taux de rendem ren dement ent égal egal à r > 0 0,, c.à.d une une unit´ unité plac´ placée ee aujo aujour urd’ d’hu huii rapp rapporte orte 1 + r à l’hori orizon zo n 1.



` Evaluation du prix d’une option d’achat: Le d’achat: Le but est d’évaluer evalu er le prix d’une option d’achat C 0 à l’in l’inst stan antt init initia iall t = 0, c.à.d a.d trou trouver ver la somme som me à vers verser er par l’acheteur au vendeur qui lui donne le droit et non l’obligation d’ache d’acheter ter à la date dat e t = 1 l’ac l’acti tion on à un prix prix K .

≤ ≤ ≤

S b K S h :Soit le portefeuille Φ = (α; β ) o` u α est le nombre d’unit´ d’unités es plac´ pla cées ees dans dans l’acti l’actiff sans san s risque ris que et β est est le nombre d’actions que l’inve l’investi stisse sseur ur détient eti ent.. ` la date t = 0, la valeur du portefeuille est α + β S et A e t à l’hor l’horiz izon on t = 1,



α(1 + r) + β S h α(1 + r) + β S b

si le prix de l’acti l’action on a monté sinon.



` l’instant initiale, le vendeur ne sait pas quelle valeur prendra S 1 à A l’éch´ echéance, eance, mais mai s il peut évalue eva luerr ce qu’il qu’il devra devra à l’ache l’acheteu teurr dans dans les deux deux états: Si S 11 = S b , l’acheteur n’exercera pas (puisqu’il peut acheter l’actif sous so us-j -jaacent ce nt sur su r le marc march´ hé à un pri prix inf´ in férie ri eur à K ), ), et donc la valeur de l’option est nulle. Si S 11 = S h , l’acheteur l’ach eteur réclamera eclame ra au vendeur vendeu r la différence erenc e entre le prix de marché et de le prix convenu conven u K soit S h K , somme lui permettant d’effectuer son achat à ce prix.

−

Question: Comment le vendeur peut -il avec la prime qu’il a re¸cu, cu, faire facee à ses eng fac engage agemen ments? ts? L’idée ee est d’util d’utiliser iser la prime po pour ur constr construire uire un portefe portefeuille uille,, app appel´ elé portefeuille de couverture.



Ce portefeuill porte feuillee de couverture couver ture doit vérifier erifie r les deux équations equat ions suivantes: suivan tes:



α(1 + r) + β S h = S h α(1 + r) + β S b = 0.

− K

(1)

On résolvant esolva nt facilement facil ement ce système, eme, on obtient obtie nt les valeurs valeur s de α et β : α=

−

−

S b (S h K ) (1 + r)( )(S S h S b )

−

S h et β = S h

− K . − S b

Le prix prix de l’option l’option est la valeur du portefeuille portefeuille de couverture couverture à l’instant l’instant t = 0, soit S h K S b C 0 = α + β S = S . S h S b 1+r

− −

− 


Mod` eles Binomials

S b K S h n’est pas vérifiée. On cherche le couple Φ = (α∗ , β ∗ ) solution du système

≤ ≤



α(1 + r) + βS h = (S h α(1 + r) + βS b = (S b

− K )+ = C h − K )+ = C b.

− C b . La valeur de l’option est − S b C = α ∗ + β ∗ S = (1 + r)−1 {πC h + (1 − π)C b }

On trouve β ∗ =

C h S h

o` u π :=

1

{ (1 + r)S − S b } . S h − S b


≤

Mod` eles Binomials

≤

≤ ≤ 1.

Probabilité risque-neutre: Si S b (1 + r)S S h , alors 0 π La probabilité π peut s’interpreter, en l’écrivant sous la forme (1 + r)S = πS h + (1

− π)S b.


≤

Mod` eles Binomials

≤

≤ ≤ 1.

Probabilité risque-neutre: Si S b (1 + r)S S h , alors 0 π La probabilité π peut s’interpreter, en l’écrivant sous la forme (1 + r)S = πS h + (1

− π)S b.

Le premier membre est le gain réalisé en investissant S unités dans un placement sans risque. Le second membre est l’espérance du gain réalisé en achetant une action au prix de S unités avec une probabilité de hausse de ce prix égale à π et une probabilité de bas égale à 1 π.

−

L’investisseur est “neutre par rapport au risque”: il est indifférent de choisir d’investir sans risque ou avec risque.


≤

Mod` eles Binomials

≤

Vérifions que l’hypothèse S b (1 + r)S S h correspond à une absence d’opportunité d’arbitrage. En effet, si (1 + r)S < S b , l’agent peut, à la date t = 0, emprunter la somme S au taux r, et acheter l’action au prix S . A l’échéance, il revend l’action, au moins, au prix S b et donc a gagné S b (1 + r)S > 0. Un raisonnement analogue peut se faire dans le cas S h < (1 + r)S .

−

Proposition Le prix de l’option est l’espérance du gain actualisé par rapport à la probabilité risque-neutre.



Remarque Nous avons (S 11 K )+ (K S 11 )+ = S 11 K . En prenant prena nt l’esp´ l’espérance era nce sous la probabilit´ probabili té risque risqu e neutre neutr e π π après es actualisat actua lisation ion et en remarquant remarqua nt que que l’es l’esp´ péran erance ce de (1 + r)−1 S 11 est S , on obtient la relation suivante

−

− −

C = P + S

−

−

K . 1+r

Cette formule formule est connue sous le nom du relation relation du parit parit´é put-call. put-call.



Risque lié à l’a ’acctif On introduit l’espérance erance du rendement de l’actif

−

pS h + (1 p p))S b mS = S o` u p est est la probab prob abililit´ ité d’être etre dans dans l’état etat du mond mondee h. Pour meusurer le risque lié à l’actif, on utilise couramment la variance du rendement 2 vS =p



S h S



− mS

soit vS =

S h

2

+ (1

− p p))



S b S

− S b ( p p(1 (1 − p p)) ))

S On dit que vS est la volatilit´ volati lité de l’actif. l’act if.

1 2



− mS

2



Rissque lié à option Ri Soit C une une option sur l’action. On appelle delta appelle delta (∆) de l’option le nombre de part de l’actif n´ ecessaires ecessaires pour dupliquer l’option (c’est le β du C h C b portefeuille de couverture). On remarque que ∆ = . Cette S h S b quan qu anti tit´ té repr´ eprésent se ntee la sens se nsiibil bi lit´ ité de C C au au prix S de de l’actif sous-jacent. L’élasticité η de de l’o ’opt ptiion est es t égal eg alee à

− −

η= soit o` u C C est est le prix de l’option.

C h

− C b

C



S h

S η= ∆ C

− S b

S



On note mC l’espérance erance du rendement de l’option. Le risque de l’option est est mesu mesur´ ré par la vola volati tililit´ té vC qui est la variance du rendement de l’option : pC h + (1 p p))C b mC = C

−

vC =

C h

− C b ( p p(1 (1 − p p)) ))

1 2

C et l’on a vC = η ηvvS : le risque risque d’un d’un call cal l est égale egale au produi pro duitt de l’élasti ela sticit´ cité de l’option par la volatilité de l’actif sous-jacent. Plus l’actif sous-jacent est volatil, plus le call est risqué. e.


Mod` eles Binomials

Exercice 1 Montrer que la volatilit´ e d’une option est plus grande que la volatilité de l’actif sous-jacent, i.e vC v S . 2

≥

Monter que le rendement du call est plus grand que le rendement de l’actif, i.e mC m S

≥


Mod` eles Binomials

Mod` ele de Cox-Ross-Rubinstein


Mod` eles Binomials

Modèle de Cox-Ross-Rubinstein Le modèle de Cox-Ross-Rubinstein est une version discrétisé du modèle de Black-Scholes dans laquelle il y a un seul actif à risque, de prix S n à l’instant n, 0 n N , et un actif sans risque de rendement certain r sur une période, de sorte que S n0 = (1 + r)n . On fait les hypothèses suivantes sur l’évolution du cours de l’actif risqué : entre deux périodes consécutives, la variation relative des cours est soit a, soit b, avec 1 < a < b:

≤ ≤

−

S n+1 =

F



S n (1 + a) S n (1 + b)

La tribu n sera, pour n = 1, . . . , N , la tribu σ(S 1 , . . . , Sn ) engendré par les variables aléatoires S 1 , . . . , Sn .


Mod` eles Binomials


Mod` eles Binomials

Si on suppose que S n > 0, on définit le quotient (rendement) comme T n+1

S n+1 = S n

Si Q est une probabilité risque-neutre alors la valeur moyenne des rendement est égale à 1 + r EQ (T n+1 / n ) = 1 + r.

F

En effet EQ (T n+1 / n )

F

= EQ (T n+1 /

F n)

Q

= (1 + r)E = 1+r

¯n+1 S ¯n S

  F  n

1 + r Q ¯ = ¯ E S n+1 S n

  F  n


Mod` eles Binomials

Proposition

∈ (a, b) alors le marché est viable. En effet si r ≤ a, on peut demander un crédit de somme égale à S 0 à Si r

l’instant initial et on achète une unité de l’actif risqué. A l’instant N on rembourse le crédit et on revend l’actif risqué. Le profit réalisé est S N S 0 (1 + r)N 0 car S N S 0 (1 + a)N 0, de plus S N > S 0 (1 + a)N avec une probabilité non nulle. On a donc bien un arbitrage. Si r b on procède d’une forme similaire : on vend l’actif risqué à découvert. Pour que le marché soit viable, il est nécessaire que r appartienne à l’intervalle (a, b).

−

≥

−

≥

≥


Mod` eles Binomials

Si le marché est viable, alors il existe une probabilité Q équivalente à P , ñ )n est une martingale et donc sous laquelle (S EQ (T n+1 / n ) = 1 + r

F

EQ (T n+1 ) = 1 + r

{

}

T n+1 prend ses valeurs dans 1 + a, 1 + b et donc (1 + a)Q(T n+1 = 1 + a) + (1 + b)Q(T n+1 = 1 + b) = 1 + r

⇒ Q(T n+1 = 1 + a) = 1 − Q(T n+1 = 1 + b) := pn On a donc nécessairement 1 + r ∈ (1 + a, 1 + b) =⇒ r ∈ (a, b). −r et dans toute la suite r ∈ (a, b). Posons q = bb− a Q est une proba =


Mod` eles Binomials

Proposition ñ n est une martingale sous Q si et seulement si les variables La suite S aléatoires T 1 , . . . , TN sont indépendantes équidistribuées et leur loi commune étant donnée par

{ }

Q(T 1 = 1 + a) = q = 1

− Q(T 1 = 1 + b).

Corollaire Le marché S n

{ }n est viable et complet.

On peut aussi modéliser S par S n+1 = q u = Q(T n+1 = u) = 1

−d − q = 1+r u−d



uS n avec d < u et dans ce cas dS n


Mod` eles Binomials

Calcul des prix des options européennes Considérons une option européenne d’achat sur un actif financier de prix d’exercice K . Le profit de ce contrat portera un bénéfice (S N K )+ . Désignons par C n le prix de cette option à l’instant n. Nous avons

−

C n = (1 + r)n−N E((S N

− K )+/F n)

   N

= (1 + r)n−N E

S n

T i

i=n+1

Si on pose C n = C (n, S n ) on a donc =

(1 + r)n

N

−

E

− K

+

   x T − K    (N − n)! q (1 − q) N

C (n, x)

+

 

i

i=n+1

N −n

=

n−N

(1 + r)

j

j =0

j!(N

− n − j)!

N −n−j

x(1 + a) (1 + b) j

N −n−j

 − K

+


Mod` eles Binomials

Pour une option de vente de prix d’exercice K on a le prix à l’instant n est donné par P n = (1 + r)n−N E((K S N )+ / n )

−

F

Ce prix peut être obtenu via la propriété de parité call-put C n

− P n

= (1 + r)n−N E((S N = =

− K )+ − (K − S N )+/F n) (1 + r)n−N E((S N − K )/F n ) S n − K (1 + r)n−N

On peut également déterminer un portefeuille qui duplique l’option d’achat. De plus il est unique dans de sens. Un tel portefeuille doit v´ erifier αn S n0 + β n S n = C (n, S n ) S n ne peut prendre que deux valeurs S n−1 (1 + a) et S n−1 (1 + b), d’o` u αn S n0 + β n S n−1 (1 + a) = C (n, S n−1 (1 + a)) αn S n0 + β n S n−1 (1 + b) = C (n, S n−1 (1 + b))


Mod` eles Binomials

Et par suite β n = αn =

−

C (n, S n−1 (1 + b)) C (n, S n−1 (1 + a)) S n−1 (b a) C (n, S n−1 (1 + a)) β n S n−1 (1 + a) (1 + r)n

−

−


Mod` eles Binomials

Passage du temps discret au temps continu On suppose maintenant que le temps varie de manière continue dans l’intervalle [0, T ]. Fixons un nombre entier naturelle N > 1 et divisons T l’intervalle [0, T ] en N sous intervalles de pas N . Taux d’intérêt : Supposons que le taux d’intérêt dans le modèle discret T r = R N o` u R est le taux d’intérêt instantané entre 0 et T . On pose T δ = N . On a donc lim (1 + r)N = lim

N

→∞

N

→∞



T 1+ R N

N



= exp(RT )

Dans le modèle à temps continu et sur un intervalle de longueur t le capital se multiplie par le facteur exp(Rt) i.e. S t0 = S 00 exp(Rt).


Mod` eles Binomials

Prix des actifs : Supposons que d = 1. Les prix de l’actif sont des variables S aléatoires S j , j = 0, . . . , N . On suppose que les T j = S j j 1 prennent les deux valeurs 1 + a et 1 + b avec une probabilité égale à 1/2. Nous allons prendre 1 + b = exp(µδ + σ δ ) ; 1 + a = exp(µδ σ δ ) −

√

−

√

Proposition Sous la probabilité risque neutre le prix S tn converge en loi vers une variable aléatoire de la forme



S 0 exp rt

N ≤ −

−

σ2 2

t + σW t



o` u W t a une loi normale (0, t) et pour toute subdivision 0 < t0 < t1 < .. . < tm T les variables aléatoires W t1 −t0 , . . . , Wt m −tm 1 sont indépendantes et possèdent une loi conjointe normale centrée et de variances t1 t0 , . . . , tm tm−1 , respectivement.

−

−


Mod` eles Binomials

Ainsi pour une option européenne d’achat nous avons C 0N = (1 + r)−N E((S N K )+ ). Or le facteur (1 + r)−N converge vers exp( RT ), par conséquent on obtient comme limite de C nN

−

−

−

C 0 = exp( RT )E

 

√

= S 0 Φ(d1 + σ T ) log o` u d1 =

  S 0 K

+ R

√ σ T

−

S 0 exp rT

2

− σ2

σ2 T + σW T 2

− exp(−RT )K Φ(d1)



T

+

−   K


Extensions du mod` ele CRR




Il existe de multiples variantes de cette approche par arbre de l’évaluation d’actifs financiers, qui sont des modèles améliorés du modèle de Cox Ross et Rubinstein. Si on généralise cette approche par arbres en supposant qu’il y a plusieurs possibilités d’augmentation ou de diminution à chaque période. On obtient plus généralement ce que l’on appelle arbre multinomial.

Arbre Trinomial Rappelons que dans le cas du modèle binomial on a S n+1 = ξ n S n o` u les ξ n sont indépendantes identiquement distribuées prenants deux valeurs possibles u et d et que AOA est équivalente à d < 1 + r < u.



Dans le cas de l’arbre trinomial on peut envisager la possibilité o` u le prix peut rester stable, c’est-à-dire de prendre 3 valeurs u, m = 1 et d. Un des choix qu’on peut rencontrer dans la littérature pour u et d est le suivant u = e

√ σ 2t

;

d = e

√ −σ 2t

Figure: Arbre trinomial



(Résultat Numérique) Le modèle trinomial est plus efficace que le modèle binomial : Si on choisit

 −−  ert/2

d

2

 −−  u ert/2 u d

2

comme probabilités de transition pu = , pd = et u d pm = 1 pu pd , où r est le rendement du sous-jacent, ce modèle trinomial donne des résultats aussi précis que le modèle binomial, mais en utilisant 4 fois moins d’intervalles de temps :le modèle trinomial demande moins de temps de calculs .

− −



Modèle de Jarrow-Rudd (1983) C’est un modèle binomial avec un autre choix de paramètres : la probabilité de monter et de descendre est fixée égale à 1/2 avec u = e (r−

1 2

σ

2

√ ∆t+σ ∆t

)

;

d = e (r−

1 2

σ

2

√ ∆t−σ ∆t

)

Noter que la modèle binomial est symétrique puisque ud = 1, alors que le 2r−σ 2 )∆t ( modèle de JR asymétrique puisque on a ud = e

Figure: Arbre trinomial asymétrique



Modèle de Titan (1993) Dans ce modèle binomial, les paramètres u et d sont choisis différemment µν µν u= ν + 1 + ν 2 + 2ν 3 ; d = ν + 1 ν 2 + 2ν 3 2 2 avec



µ = e r∆t



et ν =

2 σ e ∆t .

 −



 −

Ce modèle est peu utilisé en pratique.

 −

Le cas général un modèle pour les prix d’actifs risqués est dit de CRR généralisé si le prix vérifie S n = S n−1 ξ n−1 avec S 1 = S 0 ξ 0 , S 0 est une constante positive et ξ n = X n ν n o` u (ν n )n sont des variables aléatoires de Bernoulli prenants deux valeurs u et d avec probabilités p 1 p. Les variables (X n )n et (ν n )n sont supposées être indépendantes. Evidement pour avoir AOA il faut que 0 < d < 1 + r < u

−



Modèles Binomials sous R On peut utiliser le package fOptions sous R pour calculer les prix des options avec les modèles binomials. CRRBinomialTreeOption = CRR Binomial Tree Option, JRBinomialTreeOption = JR Binomial Tree Option, TIANBinomialTreeOption = TIAN Binomial Tree Option, BinomialTreeOption = Binomial Tree Option, BinomialTreePlot = Binomial Tree Plot.

⇒

⇒

⇒ ⇒ ⇒



Exemple Plot CRR Option Tree: CRRTree = BinomialTreeOption(TypeFlag = "pa", S = 50, X = 50,Time = 0.4167, r = 0.1, b = 0.1, sigma = 0.4, n = 5) BinomialTreePlot(CRRTree, dy = 1, cex = 0.8, ylim = c(-6, 7),xlab = "n", ylab = "Option Value") title(main = "Option Tree")



Figure: Réalisation de la fonction CRRBinomialTreeOption



Figure: Réalisation de la fonction BinomialTreePlot

Marchés financiers a ` temps continu

Marchés financiers ` a temps continu


Description du march´ e

L’incertitude sur les marchés financiers est modélisée par un espace de probabilité (Ω, , P) muni d’une filtration F = ( t )t≥0 o` u:

F

F

l’ensemble Ω représente tous les états du monde

F

la tribu représente la structure d’information globale disponible sur le marché (dans le cas o` u l’horizon T de marché est fini, on suppose usuellement F T = ).

F

la filtration F est croissante décrivant l’information disponible aux agents du marché à la date t. La propriété de croissance traduit le fait que le marché n’oublie rien et donc qu’on dispose de plus en plus d’informations au fur et à mesure du temps. la probabilité P qui donne les probabilités à priori des événements considérés. C’est la probabilité historique ou objective .



On définit sur cet espace probabilisé un mouvement Brownien standard n-dimensionnel B = (B 1 ,...,B n ) et on considère que F = FB la filtration naturelle du mouvement Brownien B. On suppose que les transactions et le changement des prix peuvent avoir lieu en un temps quelconque t [0, T ] o` u T désigne un horizon fini donné.

∈



Un marché financier est représenté par un processus stochastique de dimension d + 1 indexé sur [0, T ] noté par S t = (S 0 , S 1 ,...,S d ) o` u S 0 représente l’actif sans risque dont la dynamique des prix est gouverné par l’équation ordinaire S t0 = 1 +

t

 0

r(s)S s0 ds.

(2)

les d actifs S 1 ,...,S d sont risqués dont la dynamique des prix est donnée par la famille des processus de Itˆ o de la forme S ti

i

=x +

t



t

i

µ (s)ds +

0

  0

σ i (s), dBs



Rn

(3)

o` u x = (x1 ,...,xd ) Rd est fixé et les r, µ et σ sont des processus n i (s), dB i,j (s)dB j . n -adapt´ e s et σ = σ s t s R j=1

F



∈







On suppose que r est borné et P

 |

µi (s) + σ i (s)

| 

  ∞ 2

ds <

= 1.

Remarque 1

Le processus d’actifs risqués peut s’écrire encore sous la forme suivante t

S t = x +



t

µ(s)ds +

0

 0

σ(s)dBs

o` u µ est à valeur dans Rd et σ à valeurs dans Rd 2

Le processus d’actifs sans risque est donné par S t0 = exp

t

 0



r(s)ds .

× Rn.



On définit le processus (A)t∈[0,T ] par 1 At = 0 = exp S t

t

− 



r(s)ds .

0

Le processus A est appelé processus d’actualisation. ˜)t∈[0,T ] défini par Le processus (S ˜i = A t S i = S i /S 0 S t t t t est appelé prix actualisé (cette formule est connue sous le nom “Actualisation des prix”).


Strat´ egies, portefeuilles et Arbitrage

Définition Une stratégie financière est un processus t -adapté Π = (π 0 , π 1 ,...,π d ) o` u, pour chaque 0 i d et tout t [0, T ], la valeur πti représente la quantité d’actifs détenus pour l’actif sous-jacent i: c.à.d, π 0 est le nombre d’unités placées dans placée au taux sans risque dans S 0 et pour 1 i d, π i représente le nombre d’unités placés dans l’actif risqué S i .

≤ ≤

∈

F

≤ ≤

Définition Le processus de valeur (fonction de valeur) du portefeuille Π est donnée par d

V tπ = Πt , S t =





 i=0

πti S ti

∈

pour tout t [0, T ].

˜ π est la richesse actualisée. V tπ est aussi appelé richesse et V t



Définition Une stratégie est autofinancée si la variation instantanée de la richesse V ne dépend que de la variation de cours des actifs risqués et du rendement du montant placé au taux sans risque. Nous dirons donc q’un portefeuille est auto-financé si d

dV tπ =



πti dS ti

i=0

d

  −

= πt0 S t0 rt dt +

πti dS ti

i=1 d

=

V tπ rt dt +

πti

i=1

rt S ti dt

+ dS ti



.

(4)



Remarque Cette notion intuitive d’auto-financement signifie qu’une fois le portefeuille constitué il est géré sans retirer ni emprunter de l’argent. La dynamique de la valeur d’un portefeuille autofinan¸cant peut s’écrire sous la forme dV tπ = rt V tπ dt + Π∗t , rt S t dt + dS t .

 −

o` u Π∗ est la quantité investie aux actifs risqués.





la dynamique de la valeur actualisée s’écrit comme ˜ π = V π ( rt At dt) + At dV π dV t t t = =

− At (−rt V tπ dt + dV tπ ) d At πti −rt S ti dt + dS ti

   ∗ i=1

d

=

˜i = Π , dS ˜t . πti dS t t

i=1



 (5)

Sous forme intégrale d

˜π V t

= V 0 +

t

  i=1

0

˜i p.s. πui dS u

(6)



Proposition Soit Π = (π 0 , π) un processus adapté vérifiant T 0 2 T 2 dt < π ds + π p.s. On pose t t 0 0

 |

 | |

|

∞

d

V t = π t0 S t0 +



˜t = e−rt V t . et V

πti S ti

i=1

Alors, π définit une stratégie autofinancée si et seulement si d

˜t = V 0 + V

i=1

∈


t

  0

˜i p.s. πui dS u



Remarque Cette dernière relation montre donc que l’autofinancement est complètement caractérisé par la valeur initiale de la richesse V 0π et les quantités de (π 1 ,...,π d ) dans les actifs risqués (S 1 ,...,S d ). En effet, d

V tπ πt0

= =

S t0

    −

V tπ

V 0π

t

+

i=1 0 d i i i=1 πt S t . 0 S t

˜u πui dS





Définition Une stratégie auto-financée est dite admissible s’il existe une variable aléatoire K = K (π) < telle que

∞

V tπ

≥ −K

∈

pour presque tout (t, ω) [0, T ]

× Ω.

Définition Une opportunité d’arbitrage sur [0, T ] est une stratégie de portefeuille autofinan¸cant et admissible Π dont la valeur V π vérifie 1

V 0π = 0;

2

V T π

3

P (V T π > 0) > 0.

≥ 0;



Dans la suite, nous ferons l’hypothèse suivante : (AOA) Il n’existe pas d’opportunité d’arbitrage parmi les stratégies de portefeuille admissibles. Proposition Sous l’hypothèse d’ AOA, deux portefeuilles admissibles ayant la mˆ eme valeur p.s. en T ont la même valeur p.s. à toute date intermédiaire t. Mˆ eme raisonnement du cas discret, voir proposition 2.1


Mesure Martingale e´quivalente

La condition d’AOA impose aussi des conditions sur les prix. Dans un modèle en temps discret, par exemple le modèle binomial, on sait que la condition d’AOA implique l’existence d’une probabilité P∗ , appelée risque-neutre , équivalente à la probabilité objective telle que le prix des actifs actualisés soit une martingale. Ce résultat fondamental de la finance a une version analogue en temps continu.



Définition Une mesure de probabilité Q sur T est dite mesure de martingale ˜t s = S ˜s pour le marché normalisé ou sur les prix actualisés si EQ S pour tout t > s.

F

 |F 

Si en plus, la mesure Q est équivalente à P alors on dit que Q est une mesure martingale équivalente pour le marché normalisé. Remarque Une définition équivalente est la suivante: Une probabilité Q est appelée ˜ est probabilité martingale si Q est équivalente à P et si le prix actualisé S une martingale sous Q.



Proposition (AOA-MM) Supposons qu’il existe une mesure martingale équivalente sur la marché normalisé. Alors, il n’ y a pas d’opportunité d’arbitrage sur ce marché. Sous quelle condition a t-on l’existence de mesure martingale?



Théorème (Théorème de Girsanov) Supposons que (Y t )t∈[0,T ] est un processus de Itˆ o à valeur dans Rd de la forme Y ti = Y 0i +

t



n

µi (s)ds +

0

t

  0

j=1

σ i,j (s)dB js .

Supposons qu’il existe deux processus u et ρ tels que n

   

σ i,j (t)(t)u j (t) = µi (t)

j=1

et

E exp

1 2

T

0

− ρi(t)



u2 (s)ds

<

∞.

(7)



On pose t

M t = exp

−  0

u(s)dBs

−

t

1 2





u2 (s)ds ,

0

∈


F T par

Soit Q la mesure définie sur

dQ := M T dP.

(8)

F T , équivalente à P telle que le

Alors, Q est une probabilité, définie sur processus ˜t = B t + B

t



u(s)ds,

0

0

≤ t ≤ T

˜ le est un mouvement Brownien sous Q. De plus, en terme de B, processus Y peut s’écrire sous la forme suivante Y ti = Y 0i +

t

 0

n

ρi (s)ds +

t

 

j=1

0

˜ j , σ i,j (s)dB s

1

≤ i ≤ d.



En vertu de la construction explicite du théorème de Girsanov et la proposition (AOA-MM), on peut donner des conditions pour éviter les opportunités d’arbitrage directement en terme des coefficients r, µ et σ.



Théorème Supposons qu’il existe un processus (ut )t à valeurs dans Rn et tel que σ(t)u(t) = µ(t) r(t)(S t1 ,...,S td )

F t-adapté

−

ou sous forme scalaire n



σ i,j (t)u j (t) = µ i (t)

j=1

− r(t)S ti,

1

≤ i ≤ d.

Supposons de plus que, T

  

E exp

1 2

0



u2 (s)ds

Alors il n’y a pas d’arbitrage dans le marché.

<

∞.

(9)



Définition (Actifs contingents et complétude)

F T -mesurable

1

Un actif contingent est une variable aléatoire F qui est et bornée inférieurement.

2

On dit que l’actif contingent F est atteint (ou duplicable) dans le marché S t : t [0, T ] s’il existe un portefeuille admissible Π Rd+1 et un nombre réel x tels que

{

∈

}

F = V T π = x +

∈

T

 

Πs , dS s

0



cela veut dire que F est égale à la valeur du processus (fonction) de valeur à l’instant T . Si un tel portefeuille existe, il est appelé le portefeuille qui réplique (duplique) F . 3

{

Le marché S t : t atteint.

∈ [0, T ]} est dit complet si tout actif contingent est


1

2 3


Quels sont les actifs atteints dans un marché financier donné S t : t [0, T ] ?

{

∈

}

Quels sont les marchés complets ?

Si un actif contingent F est atteint, comment peut-on définir sa valeur initiale et le portefeuille qui le r´ eplique ? sont-ils unique ?



Dans le théorème ci-dessous nous présentons une caractérisation de la complétude d’un marché S t : t [0, T ] en terme de mesure martingale équivalente. Ce résultat est due essentiellement à Harrison et Pliska (1983).

{

∈

}

Théorème Un marché S t : t [0, T ] est complet si et seulement si il existe une et une seule mesure martingale équivalente Q telle que les prix actualisés sont des martingales.

{

∈

}



Le théorème suivant donne un critère direct pour montrer qu’un marché est complet en terme des coefficients qui définissent l’évolution des prix. Théorème Soit S t : t [0, T ] un marché dont la dynamique des prix est donnée par les équations ( 2) et ( 3) . Supposons qu’il existe un processus u(t) : t [0, T ] à valeurs dans Rn , t -adapté tel que

{

{

∈

∈

}

}

et

F σ(t)u(t) = µ(t) − r(t)(S t1 ,...,S td ) E exp

{

T

   ∈

1 2

}

0



u2 (s)ds

<

∞.

Alors le marché S t : t [0, T ] est complet si seulement matrice σ(t) Rd×n admet un inverse à gauche noté −1 σ(t) Rn×d . Autrement dit si et seulement si rang (σ(t)) = n

∈

∈

(10)


Mod` ele de Black-Scholes




Le modèle de Black et Scholes correspond, dans sa version unidimensionnelle (n = d = 1), au modèle suivant t

S t = S 0 +



t

µS u du +

0



σS u dBu ,

0

0

≤ t ≤ T

(11)

o` u µ et σ sont des constantes fixées et S 0 est le cours observé à la date t = 0. Le taux d’intérêt r dans ce modèle est déterministe, tel que l’actif sans risque est égale S t0 = e rt . Rappelons que la solution de l’équation différentielle stochastique (11) est sous la forme, pour tout 0 t T ,

≤ ≤



S t = S 0 exp σB t + (µ

−

σ2 2



)t .



Remarque Selon le modèle de Black Scholes,la loi de S t est une loi Log-Normal. Plus précisément, log(S t ) est un mouvement Brownien (non nécessairement standard). De plus, le processus (S t )t∈[0,T ] vérifie les propriétés suivantes: Continuité des trajectoires;

≤

Indépendance des accroissements relatifs: si u t, l’accroissement relatif (S t S u )/S u est indépendant de la tribu σ (S v , v u).

−

Stationnarité des accroissements relatifs: si u est identique à celle de (S t−u S 0 ) /S 0 .

−

≤

≤ t, la loi (S t − S u)/S u



Nous allons montrer qu’il existe une probabilité équivalente à la probabilité ˜t = e−rt S t de l’action est une référence P sous laquelle le prix actualisé S martingale. L’équation différentielle stochastique vérifiée par l’actif actualisé est ˜t = dS =

−re−rt S tdt + e−rt dS t ˜t ((µ − r)dt + σdB t ) . S

Par conséquent, si on pose W t = B t +

µ

− r t, on peut écrire σ

˜t = σ S ˜t dW t . dS

(12)


D’après Girsanov et en prenant u(t) =


µ

− r , il existe une probabilité P∗

σ équivalente à P sous laquelle (W t )t∈[0,T ] est un mouvement Brownien standard. Alors, si on se place sous la probabilité P∗ , on déduit de l’égalité (12) que ˜t )t est une martingale et que (S



˜t = exp σW t S

−

σ2 2



t .



L’EDP d’évaluation Nous décrivons dans ce paragraphe la dérivation originale du prix d’arbitrage selon Black et Scholes. On se donne un actif contingent h(S T ) et on cherche un prix de la forme V t = v(t, S t ) qui soit la valeur d’un portefeuille autofinan¸cant et répliquant h(S T ) à la maturité T . En supposant que la fonction v soit régulière, on peut appliquer la formule d’Itˆ o et obtenir : ∂ 2 v





∂v ∂v 1 2 2 dv(t, S t ) = (t, S t ) + µS t (t, S t ) + σ S t 2 (t, S t ) dt ∂t ∂x 2 ∂x ∂v +σS t (t, S t )dBt . ∂x D’autre part, si v(t, S t ) est la valeur d’un portefeuille autofinan¸cant de couverture π en actif S , alors elle admet une différentielle de la forme (4) c-à-d :

− (rv(t, S t ) + (µ − r)πt S t ) dt + σπ t S t dBt .

dv(t, S t ) = rv(t, S t )dt + πt ( rS t dt + dS t ) =



En identifiant les parties en partie Brownienne dB, on a nécessairement : ∂v πt = (t, S t ) ∂x et en dt nous avons ∂v ∂v 1 2 2 ∂ 2 v v(t, S t ) + µS t (t, S t ) + σ S t 2 (t, S t ) = rv(t, S t ) + (µ ∂t ∂x 2 ∂x

− r)πtS t.

´ Apr` es simplification, la fonction v doit satisfaire l’Equation aux Dérivées Partielles (EDP) : ∂v ∂v 1 2 2 ∂ 2 v v(t, x)+rx (t, x)+ σ x (t, x) = rv(t, x), (t, x) 2 ∂t ∂x 2 ∂x

∈ [0, T )×]0, +∞) (13)



Cette EDP est appelée EDP de Black-Scholes à laquelle il faut bien entendu rajouter la condition terminale correspondant à la replication de l’actif contingent: v(T, S T ) = h(S T ) en écrivant v(T, x) = h(T ),

∀ x > 0.

(14)

On résume le raisonnement précédent sous la forme : Théorème Supposons qu’il existe une solution régulière v solution du problème de Cauchy ( 13 )-( 14 ). Alors le flux h(S T ) est replicable par un portefeuille de ∂v valeur v(t, S t ) et de couverture πt = (t, S t ) à la date t. ∂x



Interpr´ etation financi` ere Une conséquence essentielle de l’EDP d’évaluation est que le prix de l’option ne dépend pas du rendement µ de l’actif risqué, i.e. de la tendance du marché à la hausse ou à la baisse, puisque ce paramètre n’apparaˆıt pas dans l’EDP (13). En annulant le risque dˆ u à la tendance du marché, la stratégie de couverture dynamique permet à l’émetteur de l’option de se couvrir contre les mouvements défavorables du marché. Cette stratégie de couverture est donnée par la dérivée du prix de l’option, appelée aussi delta de l’option. Sur le plan statistique ou de la calibration de modèle, cela fait un paramètre en moins à estimer. Notons que le risque dˆ u aux fluctuations du marché est toujours présent et influe significativement sur le prix de l’option par l’intermédiaire du paramètre de volatilité. C’est la gestion de ce paramètre qui va décrire le savoir-faire du trader.



Couverture et valorisation d’une option europ´ eennes dans le modèle de Black et Scholes Rappelons qu’une option européenne est caractérisée par son payoff h(S T ) o` u h(x) = (x K )+ dans la cas d’un call et h(x) = (K x)+ dans le cas d’un put.

−

−

Théorème Dans le modèle de Black et Scoles, toute option définie par une variable aléatoire h positive, T -mesurable et de carré intégrable sous la probabilité P∗ est réplicable et la valeur à l’instant t de tout portefeuille simulant est donné par

F

V t = E

∗ − e

r(T t)

−

h

F  t

.

(15)



Preuve Supposons d’abord qu’il existe une stratégie admissible Π = (π 0 , π) simulant l’actif h. Nous avons ˜t = π 0 + πt ˜ V S t , t puisque la stratégie Π est autofinancée, alors d’après ( 5) ˜t = V 0 + V

t

  0

t

= V 0 +

0

˜u πu dS σπ u ˜ S u dW u .

˜t )t est une Il en résulte que, sous la probabilité P∗ , le processus (V martingale de carré intégrable. D’o` u

∗ F 

˜t = E V

˜T V

t



Preuve (Suite) et par conséquent V t = E

∗ − e

r(T t)

−

h

F  t

.

Ainsi nous avons montré que si le portefeuille Π simule l’option définie par h, sa valeur est donnée par ( 15 ). Maintenant, trouvons la stratégie admissible Π = (π 0 , π) telle que πt0 S t0 + πt S t = E

∗ − e

r(T t)

−

h

F  t

.

Sous la probabilité P∗ , le processus défini, pour tout t, par M t = E∗ e−rT h t est une martingale de carré intégrable (puisque h L2 (Ω, T , P) h L2 (Ω, T , P∗ )). De plus, la filtration naturelle de W est ( t )t la même que celle de B. Donc, d’après le théorème de représentation des martingales, il existe un processus adapté (H t )t tel que T E∗ 0 H s2 ds < et

∈



 F  F ⇒ ∈

F

∞

F t

M t = M 0 +

 0

H s dW s ,

∀ t ∈ [0, T ].



Preuve (Suite) ˜t ) et π 0 = M t πt ˜ Posons πt = H t /(σ S S t . D’après ( 6) , Π ainsi défini est t une stratégie autofinancée dont la valeur à l’instant t est

−

∗ −

V tπ = e rt M t = E

e

r(T t)

−

F 

h

t

.

Il est claire de cette expression que V tπ est une variable aléatoire positive de carré intégrable sous P∗ et que V T π = h. On a bien une stratégie admissible réplicable.



Formule de Black et Scholes Dans le cas d’un put ou d’un call d’une option européenne, on peut expliciter la valeur de V t en fonction de S t et t. En effet, V t = E = E

∗ − ∗ − e

e

r(T t)

−

h(S T )

r(T t)

−

F  t

−σ

r(T t) σ(W T W t )

h(S t e

−

e

−

2

2

(T t)

−

)

La variable aléatoire S t est t -mesurable et, sous P∗ , W T indépendante de t , on a donc

F

F

t

.

− W t est

∗ −

V t = F (t, S t ) ; F (t, x) = E

F 

e

r(T t)

−

h(xe

−σ

r(T t) σ(W T W t )

−

e

−

2

2

(T t)

−

Or, sous P∗ , la variable W T T t, donc on peut écrire

−

− W t est gaussienne centrée de variance

+

 ∞  −

F (t, x) = e −r(T

t)

h

−∞

√ σ xe(r− )(T −t)+σy T −t 2

2

y2 /2

 √ − e

2π

dy.



) .



Dans le cas d’un call, la calcul devient

∗ − −  −  √ − − − 

F (t, x) = E

e

r(T t)

= E xeσ

θG

xer(T

σ2 2

θ

t) σ(W T W t )

−

e

Ke

rθ

−

σ2 2

(T t)

−

 +

− K

+

− t.

o` u G est une variable aléatoire gaussienne réduite et θ = T Introduisons les quantités log d1 =

   x K

+ r +

√ σ θ

σ2 2

θ et d2 = d 1

−σ

√

θ.



Avec ces notations, on a

 √ − − −   { ≥− }  ∞  √ − − −  √ − −   − √ − − −  √ − σ θG

F (t, x) = E

xe

+

=

2

σ θy

xe

d2 d2

=

σ2

xe

σ θy

θ

Ke

σ

2

2

θ

σ2 2

θ

rθ

Ke

Ke

I G

rθ

e

d2

y 2 /2

2π

rθ

e

y2 /2

2π

−∞

dy dy.

En écrivant cette expression comme la différence de deux intégrales et en faisant dans la première le changement de variable z = y + σ θ, on obtient

√

F (t, x) = x N (d1 ) − Ke−rθ N (d2 )

;

1 2π

N (d) = √

d



−∞

Dans le cas d’un put européenne, un calcul analogue donne F (t, x) = Ke−rθ

N (−d2) − x N (−d1).

2

x − e

2

dx.


Sensibilit´ es des options

Sensibilités des options



En remarquant la formule de Black-Scholes pour les options

N (d1) − Ke−rθ N (d2)

C t = S t

P t = K e−rθ

N (−d2) − S N t (−d1 )

log d1 =

   S t K

+ r +

√ σ θ

σ2 2

θ et d2 = d 1

−σ

√

on constate que ces prix dépendent des paramètres suivants La valeur du sous-jacent S t Le temps à la maturité θ La volatilité σ Le niveau du taux d’intérêt r.

θ



Il est naturel de chercher l’effet de la variation de chaque paramètre sur le prix de l’option. On parle de la sensibilité de l’option par rapport à ces paramètres et on utilise les lettres grecques pour noter ces sensibilités. Les grecques sont ainsi des indicateurs pour la gestion de risque li´ e aux options. Ce sont les dérivées du prix de l’option par rapport aux valeurs de S,θ,σ et r. Le Delta δ mesure la sensibilité de la valeur d’une option par rapport aux variations du prix du sous-jacent Le Gamma γ mesure la sensibilité de l’option aux variations du δ Le Theta Θ mesure la sensibilité d’une option par rapport au temps à l’échéance θ Le Vega

V mesure la sensibilité de l’option par rapport à σ

Le Rho ρ mesure la sensibilité d’une option au taux d’intérêt.



Le delta Le Delta mesure la sensibilité du prix de l’option aux variations du cours du sous-jacent. Il est le premier des indicateurs pris en compte par le trader. C’est la mesure de la variation du prix de l’option en unité de monnaie pour une variation unitaire du sous-jacent. On note par P la prime de l’option. Définition Le Delta représente la variation de l’option lorsque le sous-jacent varie d’une unité monétaire. ∂P δ = . ∂S Il fournit une information sur la variabilité de l’option mais aussi sur la probabilité d’exercer l’option. Enfin, il nous donne le nombre d’actions à utiliser pour couvrir une option.



Pour le call, le delta est n´ ecessairement positif (au pire nul) La hausse du sous-jacent influence de manière positive (respectivement négative) le call (respectivement put). La baisse du sous-jacent influence de manière négative (respectivement positive) le call (respectivement put). Le delta du call est nécessairement compris entre 0 et 1, 0

−1 et 0,

Le delta d’un put est nécessairement compris entre 1 δ 0.

− ≤ ≤

≤ δ ≤ 1.



Pour le call : En dehors de la monnaie (cours du sous-jacent < prix d’exercice) : le delta est compris entre 0 et 50%. Plus le delta est proche de zéro, moins l’option est sensible aux variations du sous-jacent. A la monnaie (cours du sous-jacent = prix d’exercice) : le delta est proche de 50%. Dans la monnaie (cours du sous-jacent > prix d’exercice) : le delta est compris entre 50 et 100%. Plus le delta approche de 100%, plus la prime de l’option réplique les variations du cours du sous-jacent.

Figure: Delta du call de prix d’exercice 100



Pour le Put :

−

Le delta d’un put est toujours n´ egatif. Il est compris entre 100% et 0% suivant le niveau du cours du sous-jacent par rapport au prix d’exercice. En dehors de la monnaie (cours du sous-jacent > prix d’exercice) : le delta est compris entre 50% et 0%. Plus le delta est proche de zéro, moins l’option est sensible aux variations du sous-jacent.

−

A la monnaie (cours du sous-jacent = prix d’exercice) : le delta est proche de 50%.

−

Dans la monnaie (cours du sous-jacent < prix d’exercice) : le delta est compris entre 100% et 50%. Plus le delta approche de 100%, plus la prime de l’option augmente avec la baisse de cours du sous-jacent.

−

−

−



Proposition Le Delta d’un Call européen dans le modèle de Black-Scholes est donné par ∂C δ = = ∂S Pour un put on a

∂P δ = = ∂S

N (d1).

N (d1) − 1.



Couverture en Delta-neutre Le delta revêt une importance capitale pour un trader qui cherche à insensibiliser son portefeuille à tout mouvement du sous-jacent et donc à construire un portefeuille sans risque. On parle alors de couverture en delta-neutre ou delta hedging . Pratiquement, cela consiste par exemple à vendre une option et à acheter δ actifs sous-jacents. Ainsi, une évolution défavorable de la valeur de l’option est compensée par l’évolution favorable de l’actif sous-jacent. Le delta varie avec le temps et la valeur du sous-jacent : Le nombre d’actifs à posséder pour immuniser son portefeuille varie constamment et un trader doit rééquilibrer son portefeuille en continu



Exemple Supposons que δ = 0.4.Pour couvrir la vente d’une option d’achat, l’investisseur achète 0.4 actions par option vendue (pour une action). Si on vend 100 options d’achat alors le vendeur est en deux position La position acheteur (longue) est de 0.4

× 100 = 40 actions

La position vendeur (courte) est de 100 options.

Le delta global d’une position est défini par le gain ou la perte réalisé par cette position lorsque le cours de l’action augmente d’une unité monétaire. Le delta d’une action est 1. le delta de la position courte pour 100 options

∗−

δ (courte) = 0.4 ( 100) le delta de la position longue pour 40 actions

×

δ (longue) = 1 40 Le delta global est donc 0, d’o` u le nom de stratégie “Delta-neutre”.



Dans le cas des marchés liquides et à faibles coˆ uts de transaction, une couverture en delta-neutre peut être mise en œuvre. Sur des marchés moins liquides ou à coˆ uts de transaction élevés, il est souvent très coˆ uteux de rééquilibrer son portefeuille, et la couverture est alors revue mois fréquemment. Dans ce dernier cas, le delta ne peut suffire à mesurer la variation d’un portefeuille due à des mouvements plus larges du sous-jacent. On prend alors en compte un indicateur de second ordre (Gamma) dans la gestion du portefeuille.



Le thˆ eta Le thˆ eta d’une option mesure la variation attendue du prix de cette option sur une courte p´ eriode, due au seul passage du temps. Θ=

∂P = ∂t

− ∂P . ∂θ

La valeur d’une option diminue avec le temps. Le thêta d’une option est donc toujours négatif. Dans le modèle de Black-Scholes, pour un call Θ=

−

∂C = ∂θ

 − √

Sσ f (d1 ) + rK e−rθ 2 θ

N (d2)

o` u f est la densité d’une loi normale centrée réduite, f (x) =

2

√ − x 1 e 2π

2

.



< 0



Pour un portefeuille, un thêta positif signifie que le simple écoulement du temps entraˆınera une augmentation de la valeur du portefeuille, et inversement. Dans une position delta-neutre, on peut éventuellement utiliser le temps comme source de profit, en construisant un portefeuille à thêta positif. Mais, Lorsque un portefeuille est géré en delta-neutre, les valeurs des coefficients thêta, gamma et véga sont très liées. La politique optimale pour la gestion d’un portefeuille ne sera donc pas toujours la positivité du thêta.



Le gamma Le gamma représente la vitesse du delta, c’est-à-dire l’accélération de la prime aux variations du sous-jacent. ∂ 2 P γ = . 2 ∂S Il est identique pour l’option d’achat et l’option de vente. Le gamma représente la convexité du prix d’une option en fonction du cours du sous-jacent. Il indique si le prix de l’option a tendance à évoluer plus ou moins vite que le prix du sous-jacent. Lorsque le gamma est faible, les fluctuations du cours du sous-jacent n’ont que des effets très négligeables sur le delta. Dans ce cas, il ne sera guère nécessaire de réviser les positions détenues pour maintenir le delta proche du niveau recherché. Une position avec un gamma élevé nécessite une surveillance constante et une révision fréquente du portefeuille.



Le gamma est maximal à la monnaie et minimal dans la monnaie et en dehors de la monnaie.

Figure: Gamma du call de prix d’exercice 100

Dans le modèle de Black-Scholes, il vaut ∂ 2 P γ = = 2 ∂S

1 (d1 ) > 0 Sσ θ

N

√



A la monnaie, le δ est instable que ce soit pour l’option d’achat ou pour l’option de vente (γ élevé). A l’inverse, loin de cette position, le δ est stable (γ faible). La connaissance du γ est très importante dans une stratégie delta-neutre. Si le γ est élevé, les stratégies de rééquilibrage seront nombreuses parce qu’il y aura une forte instabilité de la couverture. Idéalement, la position globale devra avoir un delta nul mais également un γ proche de 0. Considérons l’exemple d’un portefeuille en delta neutre, avec un gamma positif et un thêta négatif. Ce portefeuille est constitué d’une option (position longue) et de sa couverture (position courte). Sur une courte période, les variations subies par le portefeuille peuvent être décomposées en deux phénomènes : - l’option perd de la valeur lorsque le temps s’écoule, indépendamment des mouvements du marché (thêta négatif) - tout mouvement du sous-jacent entraˆıne une augmentation de la valeur du portefeuille (gamma positif), car la valeur du dérivé sera toujours supérieure à la valeur de la couverture



Le v´ ega Le véga d’une option est la sensibilité du prix de cette option à la volatilité du sous-jacent. ∂P = . ∂σ

V

Contrairement au gamma et au thêta, le véga est une fonction croissante de la maturité. Ainsi une augmentation parallèle de la volatilité aura-t-elle plus d’impact sur les options dont la date d’échéance est éloignée que sur celles dont elle est proche. En effet, une volatilité forte augmente les chances d’exercer l’option et augmente donc son prix. Une position généralement appréciée des traders est alors d’avoir une position globalement gamma positive (sensible aux grands mouvements de marché) et véga négative, qui consiste à acheter des options courtes et à vendre des options longues.



Dans le modèle de Black-Scholes on a ∂P = = S θ (d1 ) > 0. ∂σ Cette quantité représente peu d’intérêt dans le cas du modèle de Black-Sholes puisque σ est supposée constante.

V

√ N

Le rho Le Rho mesure la sensibilit´ e du prix de l’option par rapport au taux d’intérêt continu r. C’est le taux de variation de la valeur du portefeuille en fonction du taux d’intérêt. ∂P ρ= ∂r Il permet de mesurer les risques des options liés à l’évolution des taux d’intérêt à court terme. Ce paramètre est peu utilisé car les taux d’intérêt sont supposés constants dans le modèle de Black-Scholes et car ils varient peu en pratique sur la durée de vie de l’option.



Dans le modèle de Black-Scholes ρC =

ρP =

∂C = θKe−rθ ∂r

∂P = ∂r

N (d2) > 0

−θKe−rθ N (−d2) < 0



Idéalement, un portefeuille devrait être parfaitement couvert pour s’assurer un rendement quasiment sans risque. Dans la pratique, cette couverture parfaite est impossible. On cherche alors tout d’abord à immuniser son portefeuille contre les variations du sous-jacent (delta) puis de la volatilité (véga) qui sont considérés comme les risques de premier ordre. Reste alors un choix à effectuer en ce qui concerne le risque résiduel. Ainsi, en fonction des anticipations de la volatilité du marché, on privilégiera une stratégie en thêta positif, o` u le temps est une source de profit, ou une stratégie en gamma positif, o` u les variations du marché sont une source de profit.


Extensions du mod` ele de Black-Scholes




Formule de B-S pour les actifs payants des dividendes Pour les actifs non-payants des dividendes la formulation de Black-Scholes suppose que le processus de prix obéit dS t = S t (µdt + σdB t ) et le prix d’un actif contingent est solution de l’EDP ∂v ∂v 1 2 2 ∂ 2 v v(t, x) + rx (t, x) + σ x (t, x) = rv(t, x), 2 ∂t ∂x 2 ∂x v(T, x) = h(T ),

∀ x > 0.



Hypothèse L’actif risqué verse des dividendes à un taux continu proportionnellement à la valeur de l’actif. Quelle est l’expression du rendement du dividende (par unité de temps)



Hypothèse L’actif risqué verse des dividendes à un taux continu proportionnellement à la valeur de l’actif. Quelle est l’expression du rendement du dividende (par unité de temps) dividende par unité de temps = δS



Hypothèse L’actif risqué verse des dividendes à un taux continu proportionnellement à la valeur de l’actif. Quelle est l’expression du rendement du dividende (par unité de temps) dividende par unité de temps = δS Quelle est la valeur du dividende pay´ ee dans un intervalle de temps dt



Hypothèse L’actif risqué verse des dividendes à un taux continu proportionnellement à la valeur de l’actif. Quelle est l’expression du rendement du dividende (par unité de temps) dividende par unité de temps = δS Quelle est la valeur du dividende pay´ ee dans un intervalle de temps dt dividende pay´ e dans dt temps = δSdt



Hypothèse L’actif risqué verse des dividendes à un taux continu proportionnellement à la valeur de l’actif. Quelle est l’expression du rendement du dividende (par unité de temps) dividende par unité de temps = δS Quelle est la valeur du dividende pay´ ee dans un intervalle de temps dt dividende pay´ e dans dt temps = δSdt Quelle est l’EDS ob´ eit par l’actif versant ces dividendes



Hypothèse L’actif risqué verse des dividendes à un taux continu proportionnellement à la valeur de l’actif. Quelle est l’expression du rendement du dividende (par unité de temps) dividende par unité de temps = δS Quelle est la valeur du dividende pay´ ee dans un intervalle de temps dt dividende pay´ e dans dt temps = δSdt Quelle est l’EDS ob´ eit par l’actif versant ces dividendes dS t = (µ + δ )S t dt + σSdBt



On définit le processus des dividendes Dt par dDt = δS t dt et on appelle processus de gain le processus G Gt = S t + Dt On suppose que G est une processus de Itˆ o. Le gain total d’un portefeuille Φ (capital plus dividende) est donné par t

 0

t

φs dGs =

 0

t

φs dS s +

Définition Soit F un actif contingent

 0

φs dDs .

F T mesurable. tOn dit que Φ finance F si

φt S t = φ 0 S 0 +

 0

φs dGs





On se donne un actif contingent h(S T ) et on cherche un prix de la forme V t = v(t, S t ) qui soit la valeur d’un portefeuille autofinan¸cant et répliquant h(S T ) à la maturité T . En supposant que la fonction v soit régulière, on peut appliquer la formule d’Itˆ o et obtenir : ∂ 2 v





∂v ∂v 1 2 2 dv(t, S t ) = (t, S t ) + (µ + δ )S t (t, S t ) + σ S t 2 (t, S t ) dt ∂t ∂x 2 ∂x ∂v +σS t (t, S t )dBt . ∂x D’autre part, si v(t, S t ) est la valeur d’un portefeuille autofinan¸cant de couverture π en actif S , alors elle admet une différentielle de la forme (elle équivalente à la propriété de l’autofinancement dV t = π t dGt ) c-à-d :

− πtS t(r + (r − 1)δ )dt + πtdS t [rv(t, S t ) − πt S t (r + (r − 1)δ − µ)] dt + σπ t S t dBt .

dv(t, S t ) = rv(t, S t )dt =



En identifiant les parties en partie Brownienne dB, on a nécessairement : ∂v (t, S t ) πt = ∂x ´ et en dt après simplification, la fonction v doit satisfaire l’Equation aux Dérivées Partielles (EDP) : ∂v v(t, x) + (r ∂t

−

∂v 1 2 2 ∂ 2 v δ )x (t, x) + σ x (t, x) = rv(t, x) 2 ∂x 2 ∂x

(16)

En faisant le changement de variable suivant v(t, S t ) = e −δ(T −t) v1 (t, S t ) alors la fonction v1 satisfait l’équation de Black-Scholes usuelle avec r remplacé par r δ et avec la mˆ eme valeur finale que v.

−



Pour un Call européen C (t, S ) = e−δ(T −t) C 1 (t, S t ) = e−δ(T −t) S (d1,1 )

N

− Ke−r(T −t) N (d1,2)

avec d1,1

ln(S/K ) + (r δ + σ 2 /2)(T = σ T t

− √ −

− t)

,

d1,2 = d 1,1

√ − σ T − t.



Mod` ele de Heston (1993) Heston 1993 a proposé le modèle suivant pour décrire l’évolution des actifs risqués

o` u S t est le prix de l’actif, V t est le processus de volatilité et W 1 et W 2 sint deux mouvement brownien corrélés avec paramètre de corrélation ρ. V est un processus de retour la moyenne avec racine carré (Cox-Ingersoll-Ross 1985), avec moyenne à long terme θ, taux de retour κ et σ ce qu’on appelle la volatilité de la volatilité.



Mod` ele de Heston (1993) Sous le modèle de Heston la valeur U (S t , V t , t) de toute option doit satisfaire

Λ(S,V,t) est appelé la prime de risque de la volatilité. Heston dans son papier suppose que cette prime de risque de la volatilité est proportionnelle à la volatilité (k une constante)

theories des options

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