Cuprins
1. Introducere....................... Introducere.................................................. ...................................................... ................................................ ..................... 3 1.1 Scurtă istorie despre reţelele Petri......................................................... Petri ......................................................... 4 1.2 Dezvoltarea iniţială a reţelelor Petri ....................................................... 4 1.3 Modelare................................................................................................ Modelare................................................................................................ 5 1.4 Structura unei reţele Petri...................................................................... Petri ...................................................................... 6 1.5 Caracteristici ale sistemelor................................................................... sistemelor ................................................................... 6 2. Reţele Petri Hibride .................................................................................... 8 2.1 Structuri particulare de Reţele Petri Hibride ......................................... .........................................17 17
2.1.1 Reţele Petri Petri Hibride Hibride cu arce inhibitoare inhibitoare ................................ ........ ............... ............. ......17 17 2.1.2 Reţele Reţele Petri Hibride tempori temporizate zate ............................................. ....... ............... ............ ....19 19 2.1.3 Exemple de procese descrise descrise prin modele de tip hibrid ............................. ...................... .......21 21 Bibliografie............................................................................................................... Bibliografie ...............................................................................................................28 28
Retele Petri Hibride
2
1. Introducere Reţelele Petri sunt un instrument pentru studiul sistemelor. Teoria reţelelor Petri permite unui sistem să fie modelat de către o reţea Petri, realizându-se astfel o reprezentare matematică a sistemului. Analiza reţelei Petri poate apoi să furnizeze informaţii importante despre structura şi comportamentul dinamic al sistemului modelat, putând fi folosită pentru a evalua sistemul modelat şi pentru a sugera îmbunătăţiri sau schimbări. Astfel, dezvoltarea unei teorii a reţelelor Petri se bazează pe aplicarea reţelelor Petri în modelarea şi proiectarea sistemelor. Retelele Petri sunt compuse din doua tipuri de noduri: locuri si tranzitii. In mod grafic, locurile sunt reprezentate de cercuri si tranzitiile prin linii. Locurile si tranzitiile sunt legate prin arcuri. Fiecare loc poate sa contina un numar de jetoane. Tranzitia se realizata doar atunci cand toate locurile aflate intr-o pozitie superioara fata de ea contin cel putin un jeton. La un moment dat poate avea loc o singura tranzitie; executia acesteia are loc decrementand un jeton din locurile aflate inaintea acesteia si incrementand jetoanele locurilor situate dupa ea. O tranzitie poate porni cand fiecare dintre locurile conectate la ea are cel putin un jeton; cand se declanseaza, tranzitia indeparteaza jetonul din fiecare loc de intrare si depune unul in fiecare dintre locurile cu care este conectata. Aceasta este numita regula de declansare (firing rule). Deplasarea jetoanelor intre locuri are loc in functie de regulile de declansare impuse de tranzitii. Uneori este necesar ca un loc de intrare sa contina doua sau mai multe jetoane inainte ca tranzitia sa poata sa porneasca. Pentru a nu fi necesara trasarea a mai mult de un arc intre loc si tranzitie, multiplicitatea arcelor se noteaza cu un numar langa arc. Starea sistemului imbina informatii despre toate starile locale. Se pot introduce arcuri inhibitoare, reprezentate pe arc cu un cerc la extremitatea dinspre loc. In acest caz, tranzitia este executabila daca toate locurile de unde provin arcurile inhibitoare sunt vide si daca celelalte locuri din pozitiile superioare contin cel putin un jeton. Executia unei tranzitii se face in aceeasi maniera ca si in cazul precedent, cu diferenta ca locurile din pozitiile superioare legate prin arcuri inhibitoare nu sunt decrementate cu un jeton. Daca un arc leaga o tranzitie Tj de un loc Pi, atunci arcul este reprezentat prin perechea (Tj, Pi) si se spune ca Tj este o tranzitie de intrare 3
in locul Pi iar Pi este un loc de iesire din tranzitia Tj. Analog, daca un arc leaga un loc Pi de o tranzitie Tj, atunci arcul este reprezentat printr-o pereche (Pi, Tj) si se spune ca locul Pi este un loc de intrare in tranzitia Tj iar tranzitia Pj este o tranzitie de iesire din locul Pi. 1.1
Scurtă istorie despre reţelele Petri
Certificatul de naştere al reţelelor Petri a fost dizertaţia lui Petri, dar majoritatea studiilor din Statele Unite se bazează de asemenea pe raportul final al proiectului pentru teoria sistemelor informaţionale (Information System Theory Project) care nu numai că a tradus în engleză studiul lui Petri, dar l-a şi îmbunătăţit considerabil. Raportul intitulat "Event and Conditions" [Holt and Commoner, ed. 1970], a fost de asemenea o parte importantă în dezvoltarea teoriei reţelelor Petri. Petri a prezentat un scurt raport la Congresul IFIP din 1962 care a fost tipărit în cele ce au urmat [Petri 1962b]. Acest raport se bazează pe ideile din studiul său. Abordarea prezentată în această lucrare derivă din munca la "The Computation Structures Camp" la M.I.T. şi s-a dezvoltat din munca lui Dennis [1970a], Patil [1970a], şi a altora, culminând cu studiile lui Hack [1975c]. Keller a avut de asemenea o mare influenţă cu raportul său despre sistemele de înlocuire a vectorilor [Keller 1972] şi prin punctul său de vedere asupra modelării [Keller 1975a].
1.2
Dezvoltarea iniţială a reţelelor Petri
Reţelele Petri sunt proiectate special pentru a modela sisteme cu componente cu interacţiune concurentă. Reţelele Petri au la bază studiile lui Carl Adam Petri. În lucrarea sa de doctorat, "Communikation mit Automaten" (Comunicarea cu automate), Petri formulează fundamentele unei teorii a comunicaţiilor între componente asincrone ale unui sistem computaţional, oprindeu-se mai ales asupra descrierii relaţiilor cauzale dintre evenimente. Această lucrare a fost în principal o dezvoltare teoretică a conceptelor fundamentale pornind de la care s-a dezvoltat mai apoi teoria reţelelor Petri. Munca lui Petri a ajuns în atenţia lui A.W. Holt şi a altora care lucrau la proiectul pentru teoria sistemelor informaţionale (Information System 4
Theory Project) în cadrul ADR (Applied Data Research, Inc.). Multe din teoriile iniţiale, notaţiile şi reprezentările reţelelor Petri s-au dezvoltat prin munca la acest proiect (Information System Theory Project) şi au fost publicate în raportul final al proiectului [Holt, ed. 1968], şi într-un raport separat intitulat "Event and Conditions" (Evenimente şi condiţii) [Holt and Commoner, ed. 1970]. Această muncă a arătat cum pot fi aplicate reţelele Petri în modelarea şi analiza sistemelor cu componente concurente.Munca lui Petri a atras de asemenea atenţia proiectului M.A.C. de la Institutul de Tehnologie din Massachusetts (M.I.T.). "The Computation Structures Camp" coordonat de profesorul Jack B. Dennis, a fost sursa a numeroase cercetări şi articole publicate despre reţelele Petri, şi de asemenea a numeroase dizertaţii şi rapoarte. "The Computation Structures Camp" a ţinut două conferinţe asupra reţelelor Petri: Conferinţa proiectului M.A.C. asupra sistemelor concurente şi calculului paralel, în 1970 la Woods Hole [Dennis, 1970] şi conferinţa despre reţelele Petri şi metodele aferente, din 1975 de la M.I.T. Ambele au fost utile pentru selectarea rezultatelor şi abordărilor utile referitoare la teoria reţelelor Petri. Utilizarea şi studiul reţelelor Petri s-au răspândit mult în ultimii ani. Un laborator de lucru cu reţele Petri s-a ţinut în Paris în 1977 ca o avanpremieră la cursul de "Teoria generală a reţelelor" (General Net Theory) din 1979 de la Hamburg. Un grup de studiu pentru reţelele Petri s-a format în Germania, în scopul cercetării şi răspândirii ariei de aplicare a acestora.
1.3
Modelare
Reţelele Petri sunt folosite în modelare. În multe domenii, un fenomen nu este studiat direct, ci indirect cu ajutorul unui model al fenomenului. Un model este o reprezentare, cel mai adesea în termeni matematici, a ceea ce par a fi caracteristici importante ale obiectului sau sistemului studiat. Prin manipularea reprezentării se speră că se vor obţine noi cunoştinţe despre fenomenul modelat evitând pericolul, costul sau inconvenientele reprezentate de manipularea fenomenului real propriu-zis. Exemple ale utilizării modelării includ astronomia (unde modele ale naşterii, morţii şi interacţiunii dintre stele permit studierea teoriilor care se desfăşoară pe perioade lungi de timp şi cu mari cantităţi de materie şi energie), fizica nucleară (unde atomii radioactivi şi particulele subatomice studiate există pentru perioade foarte scurte de timp), sociologie (unde directa manipulare a grupurilor de oameni studiate poate crea probleme etice), biologie (unde 5
modelele de sisteme biologice cer puţin spaţiu, timp şi hrană pentru a se dezvolta), şi aşa mai departe. Majoritatea modelelor folosesc matematica. Caracteristicile importante ale celor mai multe fenomene fizice pot fi descrise numeric, iar relaţiile dintre acestea prin ecuaţii sau inegalităţi. În particular, în ştiinţele naturale şi inginerie, proprietăţi precum masa, poziţia, acceleraţia şi forţele se pot descrie cu ajutorul ecuaţiilor. Pentru a utiliza cu succes tehnica modelării, este necesară o bună cunoaştere atât a fenomenului modelat cât şi a proprietăţilor tehnicilor de modelare. Astfel, matematica s-a dezvoltat ca o ştiinţă în parte datorită utilităţii sale în modelarea fenomenelor altor ştiinţe. De exemplu, calculele diferenţiale s-au dezvoltat ca un răspuns indirect la necesitatea de a găsi o cale pentru modelarea proprietăţilor în continuă schimbare, precum poziţia, viteza, şi acceleraţia în fizică. Dezvoltarea vitezei computerelor a crescut considerabil aria de utilizare şi utilitatea modelării. Prin reprezentarea unui sistem ca un model matematic care va fi apoi implementat şi rulat pe un computer devine posibilă modelarea de sisteme mai mari şi mai complexe. Acest fapt a determinat apariţia a numeroase studii referitoare la computere şi tehnici de modelare pe computer. Computerele sunt implicate în modelare şi ca o temă de modelare 1.4
Structura unei reţele Petri
O reţea Petri este compusă din patru părţi: o mulţime de locaţii S; o mulţime de tranziţii T; o funcţie de intrare I; o funcţie de ieşire O. Funcţiile de intrare şi ieşire sunt relaţii între T (mulţimea de tranziţii) şi S (mulţimea de locaţii). Funcţia de intrare I este o funcţie de la o tranziţie tj la o colecţie de locaţii I(tj) care poartă numele de locaţiile de intrare ale tranziţiei. Funcţia de ieşire O este o funcţie de la o tranziţie tj la o colecţie de locaţii O(tj) care poartă numele de locaţiile de ieşire ale tranziţiei. Structura unei reţele Petri este definită de locaţiile şi tranziţiile sale, de funcţia sa de intrare şi de cea de ieşire. 1.5
Caracteristici ale sistemelor
6
Sistemele computaţionale sunt foarte complexe, chiar mari, fiind sisteme cu multe componente ce interacţionează. Fiecare componentă poate fi suficient de complexă şi la fel şi modul în care interacţionează cu alte componente din sistem. Acest fapt este valabil şi în multe alte sisteme. Sistemele economice, sistemele legale, sistemele pentru controlul traficului şi sistemele chimice, toate presupun componente individuale ce interacţionează cu alte componente, posibil în moduri complexe. Astfel, în ciuda diversităţii sistemelor de modelat, există totuşi şi multe părţi comune. Acestea ar trebui să fie caracteristicile unui model folositor pentru aceste sisteme. O idee fundamentală este aceea că sistemul este compus din componente separate, ce interacţionează între ele. Fiecare componentă poate fi la rândul ei un sistem, dar comportamentul ei poate fi descris independent de celelalte componente. Fiecare componentă are propria sa stare curentă. Starea curentă a unei componente este o abstractizare a informaţiei relevante necesare pentru descrierea acţiunilor sale (viitoare). Cel mai adesea starea curentă a unei componente depinde de stările anterioare ale acesteia. De aceea, starea unei componente se poate schimba în timp. Conceptul de "stare" este foarte important în modelarea unei componente. De exemplu, în modelarea în sistem liniar a unei bănci, pot fi câţiva furnizori şi câţiva clienţi. Un furnizor poate fi fie liber (în aşteptarea unui client care să-i solicite serviciile), fie ocupat (servind un client). În mod similar, un client poate fi fie liber (aşteptând ca unul dintre furnizori să devină liber pentru a-l putea servi), fie ocupat (servit de un furnizor). În modelarea unui spital, starea unui pacient poate fi critică, gravă, bunicică, bună, sau excelentă. Componentele unui sistem pot implica noţiunile de concurenţă sau paralelism. Activarea unei componente a unui sistem se poate produce simultan cu o altă activare a unei alte componente. Într-un sistem computaţional, de exemplu, dispozitivele periferice pot opera toate concurent, controlate de către computer. Într-un sistem economic, fabricile pot produce unele produse în timp ce vânzătorii vând alte produse şi consumatorii folosesc şi ei alte produse, toate acestea în acelaşi timp. Concurenţa activităţilor într-un sistem creează unele dificultăţi în modelarea acestuia. De vreme ce componentele sistemului interacţionează, este necesară realizarea unei sincronizări. Transferul de informaţie sau materiale de la o componentă la o alta necesită sincronizarea activării componentelor implicate. Această operaţie poate provoca situaţia în care o componentă aşteaptă după o alta. Modalitatea de acţionare a diferitelor componente poate fi foarte complexă şi interacţiunile dintre componente greu de descris. 7
2. Reţele Petri Hibride
SISTEM Subsistem Subsistem discret discret
Sistem cu evenimente discrete
Subsistem Subsistem continuu continuu
Tehnici de analiză :
Stări discrete
- reţele Petri -- fire teoria de proceselor Markov aşteptare - reţele -discrete reţele continue - reţele hibride. . .
Pilotat de evenimente
Determinis Stochastic te e
8
Reţea discretă P1 T2
T1 P3
P2
T3
T2
P4
T1
T4
Reţea continuă T3 2 P1 P2 1
T4
P4 0
0 P3
Reţea hibridă P T P 3 2 T2
P
1 4
2
T1
T4 P
0 3
O Reţea Petri Hibridă autonomă este reprezentată sub forma unui ansamblu: RPH = < P, T, h ,Pre, Post, M0 > (2.10) în care: - P = {P1, P2, …, Pn} este mulţimea poziţiilor reţelei, alcătuită din elemente discrete şi continue: P = PD ∪ P C, unde:
- PD ⊂ P reprezintă submulţimea poziţiilor discrete ale reţelei, - PC ⊂ P – submulţimea poziţiilor continue ale acesteia. - T = {T1, T2, …, Tq} – mulţimea tranziţiilor, formată , din tranziţii
discrete şi continue: T = T D ∪ TC, cu: - TD ⊂ T – submulţimea tranziţiilor discrete, - TC ⊂ T – submulţimea tranziţiilor continue. - h : P ∩ → T → {D, C} este o funcţie hibridă care indică tipul fiecărui nod al reţelei : discret sau continuu;
9
- Pre : P × T → R+ sau N+
- matricea de incidenţă de intrare (pre –
tranziţie); - Post : P × T → R+ sau N+ - matricea de incidenţă de ieşire (post – tranziţie); - M0 : P → R+ sau N+ - vectorul coloană al marcajului iniţial. Mecanismul care asigură dinamica unei astfel de reţele reuneşte, în mare măsură, particularităţile impuse de existenţa în cadrul aceleiaşi structuri a unor elemente diferite - atât ca natură, cât şi din punct de vedere al comportamentului.. Astfel, o tranziţie discretă Tj a unei reţele hibride este validată dacă [59], [145]: m i ≥ Pre( Pi, Tj ), ∀ Pi ∈ Tj, j= 1, q, (2.11) unde mi este marcajul corespunzător poziţiei Pi a reţelei. O tranziţie continuă Tj este validată dacă fiecare din poziţiile Pi Tj îndeplineşte condiţiile: mi ≥ Pre(Pi, Tj ),
(2.12)
dacă poziţia Pi este una discretă şi: m i > 0,
(2.13)
sau: Vk > 0
∀
Tk ∈ Pi , k=1 , q
(2.14)
dacă este vorba de o poziţie continuă, iar Vk este viteza de execuţie a tranziţiei Tk . Mai mult decât atât , o tranziţie continuă Tj este puternic validată dacă fiecare poziţie de intrare a sa conţine un marcaj strict pozitiv; altfel, tranziţia este slab validată.
10
În strânsă legătură cu definirea submulţimilor P D şi PC ale reţelei se află şi vectorul marcajului, M. Astfel, fiecărei submulţimi îi corespunde marcajul D C M - alcătuit din poziţii discrete, respectiv M -format din poziţii continue. Se poate arăta că, într-o reţea hibridă este totdeauna posibil să se stabilească o relaţie de ordine între poziţiile părţii discrete şi cele ale părţii continue (indicele „i” al unei poziţii discrete - P i să fie mai mic decât indicele „k” ce corespunde
11
unei poziţii continue – Pk ) , şi astfel, pentru vectorul marcajelor reţelei se poate fi utilizată notaţia:
(2.15) Dacă se consideră o aceeaşi ordonare a tranziţiilor, vectorul v al vitezelor instantanee de execuţie a acestora are expresia:
(2.16) unde: este un vector cu toate componentele nule, de dimensiune egală cu numărul tranziţiilor discrete ale reţelei; C - V – vector ce conţine vitezele instantanee de execuţie ale tranziţiilor continue din reţea, de dimensiune egală cu numărul tranziţiilor discrete. -0
În general, dinamica unei Reţele Petri Hibride este asigurată de comportarea fiecăreia dintre cele două părţi ale sale, care interacţionează în permanenţă şi asigură înlănţuirea regimurilor dinamic şi staţionar. Tranziţia de la o stare staţionară la alta are loc doar dacă se produce unul din următoarele evenimente: - se execută o tranziţie discretă, sau - marcajul unei poziţii continue al cărei bilanţ este negativ devine zero, sau - marcajul unei poziţii continue al cărui bilanţ este pozitiv şi care este în acelaşi timp o poziţie de intrare a unei tranziţii discrete se îmbogăţeşte cu o cantitate egală cu ponderea arcului de legătură între poziţie şi tranziţie (cu suma ponderilor, dacă există mai multe poziţii de intrare în tranziţia respectivă).
12
Printr-un raţionament analog cu cel folosit la exprimările (2.15), respectiv (2.16), vectorul execuţiilor discrete ale tranziţiilor – n, se scrie:
(2.17) In care: - nD este vectorul de dimensiune egală cu numărul tranziţiilor discrete ale reţelei, ale cărui elemente sunt numere asociate execuţiei tranziţiilor ; - 0 – vector de dimensiune egală cu numărul tranziţiilor continue, cu toate elementele nule; În acest fel, vectorul caracteristic Vdefinit pentru reţelele discrete şi continue, care intervine în ecuaţia fundamentală, este unul ale cărui componente sunt numere întregi (corespunzătoare tranziţiilor discrete) sau numere reale pozitive (pentru tranziţiile continue), : t
V σ
(t)= n(t) +
∫ (u) v
du,
g
(2.18)
0
unde v este vectorul vitezelor de execuţie a tranziţiilor continue. Primul termen al relaţiei (2.18) corespunde tranziţiilor discrete, iar cel de-al doilea termen, tranziţiilor continue. Cu această precizare, ecuaţia fundamentală a unei Reţele Petri Hibride capătă forma:
⋅ M= Mo + U n(t ) + ∫ v(u) ⋅ du 0 t
13
(2.19)
In care: M este vectorul marcajului curent al reţelei; M0 – vectorul marcajului iniţial; U este matricea de incidenţă.
Observaţii: 1.Într-oReţea Petri Hibridă sunt surprinse mult mai exact interacţiunile dintre subsistemul operativ şi subsistemul de comandă, părţii discrete fiindu-i, în general, rezervată modelarea modificărilor de structură şi/sau comportament ale sistemului, subreţeaua continuă rămânând să surprindă evoluţia stării între acţiunea a două evenimente externe. 2.Nu există încă un punct de vedere unitar asupra formalizării matematice a acestui tip de reţea, deoarece metodele proprii sistemelor cu evenimente discrete sunt total diferite de cele utilizate în teoria sistemelor continue, dar unele dintre soluţiile propuse sunt încurajatoare. 3. Prin specificul lor, Reţelele Petri Hibride pot modela procese continue particulare: amestecuri de constituenţi lichizi sau pulverulenţi – în instalaţiile de dozare, sau de umplere (engl: batch processes), linii de fabricaţie cu cadenţă ridicată etc., pentru care alte metode de analiză nu sunt la fel de operante. În rezumat, în structura unei reţele hibride se întâlnesc aşadar, două subreţele : una discretă (care conţine poziţii discrete şi tranziţii discrete) şi una continuă (alcătuită din poziţii şi tranziţii continue). Acestea sunt interconectate prin intermediul arcelor, care pot lega noduri discrete de noduri continue Astfel, poziţiile P1 şi P3 (Fig. 1.10.b) modelează un sistem de două rezervoare R 1, R 2 , (Fig1.10 a), între care este vehiculat un fluid. Marcajul aferent corespunde nivelului de lichid existent în fiecare dintre acestea, tranziţia T 1 reprezintă operaţia de pompare a lichidului din R2 în R1 („transportul” marcajului din P 1 în P3), iar tranziţia T 2 corespunde curgerii gravitaţionale dintre cele două rezervoare. Subreţeaua discretă (alcătuită din poziţiile P2 şi P4 şi tranziţiile T3, T4) surprinde stările în care se poate găsi resursa sistemului (pompa) şi acţiunile asupra acesteia (evenimentele externe de tip comandă): când pompa funcţionează (un jeton în poziţia P 2), tranziţia T1 este validată şi se execută continuu cu viteza v1 (valoarea v1 este măsura debitului de lucru al pompei). La oprirea pompei (comanda de oprire este asociată tranziţiei T 3), reţeaua discretă surprinde modificarea stării resursei (jeton în P 4, dar nu şi în P 2), tranziţia T1 nu mai este validată şi nu se mai execută (transportul lichidului din R 2 în R 1 nu mai are loc).
14
Fig. 1.10 Explicativă la modelarea cu Reţele Petri Hibride: a) Structura sistemului compus din două rezervoare; b) Reţeaua hibridă model.
În partea continuă a reţelei, tranziţia T 2 este singura care se execută în continuare, câtă vreme marcajul corespunzător poziţiei P 3 este pozitiv, modelând curgerea gravitaţională între cele două rezervoare până la golirea completă a lui R 1. În dinamica RPC nu puţine sunt situaţiile în care partea continuă a unei reţele intervine în mecanismul de tranziţie a stărilor subsistemului discret. De exemplu, comanda de repornire a pompei (Fig.1.10), poate fi elaborată în funcţie de nivelul lichidului din rezervorul R 1 (valoarea nivelului determină execuţia tranziţiei discrete T 4 din starea „oprit” a resursei). Într-un alt exemplu, propriu unei linii flexibile, tranziţia T 1 corespunde fabricaţiei unui produs de către o maşină automată. La fel de bine, dacă sistemul este de talie mare, numărul de semifabricate sau produse finite care se realizează poate fi aproximat printr-o mărime continuă care are semnificaţia unui flux al produselor (Fig. 1.11).Iniţial, stocul de intrare S1 are capacitatea N 1 , iar nivelul stocului S2 este N2 (N2 < N1). Jetonul din poziţia P 2 autorizează execuţia continuă a tranziţiei T1 (MU produce, nivelele în cele două stocuri se modifică). Când stocul de ieşire, modelat de poziţia P3 atinge nivelul N3 (N3 > N2) , tranziţia T2 este activată, iar maşina unealtă este oprită (jeton în P 4). Execuţia acestei tranziţii este prioritară în raport cu celelalte tranziţii ale modelului.
15
Fig. 1.11 Influenţa reţelei continue asupra celei discrete: a) Structura staţiei de producţie; b) Modelul de tip hibrid.
Un aspect interesant al modelării cu RPH este legat de posibilitatea transformării unui marcaj exprimat sub formă reală într-unul discret.(Fig. 1.12 a), o dată cu execuţia unei tranziţii discrete. Dacă marcajul corespunzător poziţiei P 5 are o valoare inferioară ponderii arcului P5 – T 5, tranziţia T5 nu este validată şi nu poate fi executată. Execuţia acesteia este permisă numai când m5 > k1 (m5 este valoarea marcajului existent în P 5, iar k 1 – ponderea arcului ). Problema duală constă în conversia marcajului discret într-unul continuu (Fig. 1.12 b.): tranziţia T 7 este executabilă, iar execuţia acesteia conduce la extragerea unui jeton (număr întreg) din poziţia P 7 şi adăugarea unei „cantităţi” de marcaj egală cu ponderea arcului T7 - P8 în poziţia P8.
Fig. 1.12 Explicativă la transformarea marcajelor într-o reţea hibridă: a) Nevalidarea tranziţiei T 5, în condiţiile m5 = 0,34, k1 = 0,75 ; b) Execuţia tranziţiei T 7 conduce la modificarea marcajului P8.
16
Observaţie: În general, într-o Reţea Petri Hibridă, o tranziţie discretă poate fi conectată fie la poziţii discrete, fie la poziţii continue. Aceeaşi regulă se aplică şi pentru tranziţiile continue, dar trebuie precizat că poziţiile discrete se conectează prin arce care au aceeaşi pondere şi, mai mult, o poziţie de ieşire a unei tranziţii continue trebuie să fie, în acelaşi timp şi poziţie de intrare în aceeaşi tranziţie (Fig.1.10 şi Fig. 1.11). Această proprietate este esenţială pentru conservarea caracterului discret al marcajului. Consecinţa imediată este că executarea unei tranziţii continue nu poate modifica marcajul părţii discrete a reţelei. 2.1 Structuri particulare de Reţele Petri Hibride
2.1.1 Reţele Petri Hibride cu arce inhibitoare
Prezenţa arcelor inhibitoare în structura unei reţele discrete sporeşte puterea de modelare a acesteia. Se cunoaşte că un astfel de arc – de pondere „r” – care leagă o poziţie P i de o tranziţie Tj permite executarea acesteia doar dacă marcajul poziţiei P i este inferior ca valoare ponderii arcului .Altfel, execuţia tranziţiei este inhibată. Această proprietate se regăseşte şi în cazul structurii hibride, conducând la modificări în mecanismul de execuţie a tranziţiilor. Arcul inhibitor P 3 – T1 (Fig.1.13 a) al reţelei care modelează un sistem producător – consumator, autorizează reluarea producţiei doar dacă nivelul stocului de ieşire (modelat de poziţia continuă P 3, împreună cu marcajul m 3 al acesteia) scade sub valoarea ponderii „r” a arcului P 3 – T 1. În momentul în care consumul produselor din stoc (execuţia tranziţiei T 3) aduce nivelul acestuia la valoarea m 3 < r tranziţia T1 poate fi executată, iar execuţia acesteia adaugă un jeton în poziţia P 2, şi validează tranziţia T2, pentru reluarea producţiei. Dacă arcul inhibitor îşi are originea într-o poziţie discretă P i a unei reţele discrete sau a uneia hibride şi are ponderea unitară, acesta modelează un „test de zero”: tranziţia corespunzătoare se execută doar dacă marcajul poziţiei este nul. Dacă originea arcului inhibitor este o poziţie continuă „testul de zero” va putea fi modelat prin adoptarea unei convenţii prin care „valoarea” 0+ reprezintă o pondere infinit mică, dar nenulă a arcului de legătură. Astfel, tranziţia T 1 este validată doar dacă m3 = 0 (Fig. 1.13 b)
17
Fig. 1.13 Structură particulară a unei reţele hibride datorată arcelor inhibitoare: a) Restricţie în executarea unei tranziţii discrete, cu r = 10,3 şi m3 = 15; b) Modelarea unui test de zero, cu r = 0+ şi m 3 = 15.
Se cunosc mai multe structuri tipice construite prin introducerea de arce inhibitoare prin care sunt introduse în model restricţiile de comportament ale sistemului real, rezultate din interacţiunea cu sistemele vecine (Fig. 1.14), Ponderea “r” a arcului inhibitor poate fi un număr natural (Fig. 1.14 a şi Fig. 1.14 b), real pozitiv sau de valoare 0+ dacă originea arcului este o poziţie continuă (P5 în Fig. 1.14 c şi P7 în Fig. 1.14 d). Aşadar, faţă de reţelele hibride „clasice” , prezenţa arcelor inhibitoare aduce o serie de elemente noi care măresc puterea de reprezentare a acestora. Sunt surprinse astfel mai intuitiv restricţiile între partea continuă şi cea discretă a sistemului şi se poate modela un „test de zero” considerând că ponderea unui arc (inhibitor sau nu) cu originea într-o poziţie continuă Pi este r ∈ R+ ∪ {0+}, iar valoarea marcajului corespunzător acesteia un număr m i ∈ R+ ∪ {0+};
Fig. 1.14 Structuri obţinute prin introducerea arcelor inhibitoare în reţelele hibride: a), b) Ponderea arcului inhibitor este un număr natural; c), d) Ponderea arcului inhibitor este un număr real.
18
2.1.2 Reţele Petri Hibride temporizate
Analiza proprietăţilor cantitative ale sistemului modelat printr-o reţea hibridă este posibilă prin introducerea în topologia reţelei a poziţiilor sau tranziţiilor temporizate (reprezentarea este, oricum, duală). Unei poziţii discrete, care semnifică starea unui element al sistemului real (o maşină automată, sau un conveior, de exemplu) i se poate asocia o durată operatorie în care jetoanele marcajului sunt indisponibile (nu participă la dinamica reţelei) şi, care ilustrează intervalul de timp în care elementul modelat participă la desfăşurarea unei activităţi (prelucrarea unui semifabricat, transportul de piese, încărcarea unei maşini etc.). La fel, tranziţiile pot fi temporizate (trebuie spus că pe această cale se pot introduce în structura realizată şi componente proprii reţelelor stochastice), impunând dinamicii modelului particularităţi specifice. În funcţie de specificul procesului surprins, se poate opta pentru utilizarea uneia, sau alteia dintre cele două variante. Cei mai mulţi autori, consideră, totuşi că prin asocierea timpului tranziţiilor reţelei, construcţia astfel realizată este mai aproape de situaţia reală şi face posibilă o verificare mai rapidă a proprietăţilor comportamentale şi structurale. Modelele temporizate de tip hibrid sunt utile în special pentru surprinderea situaţiilor în care procese care se execută fie paralel, fie înlănţuit, au timpi de evoluţie foarte diferiţi ca valoare. Este o situaţie frecvent întâlnită în liniile de fabricaţie în care, o maşină automată are o cadenţă ridicată în comparaţie cu o alta, pentru care durata operatorie este mai mare, sau, care efectuează mai multe operaţii asupra unui semifabricat şi, în plus, periodic se poate defecta, ori poate fi supusă unei revizii planificate(Fig. 1.15). Linia de fabricaţie analizată este compusă din două maşini automate M A şi MB care procesează alternativ patru semifabricate, M A fiind dedicată unei singure operaţii – O p1, iar MB având posibilitatea execuţiei a două operaţii distincte – Op2 şi Op3, cu durate operatorii egale, sau diferite. În starea iniţială (Fig. 1.15 a), în stocul M A există două semifabricate (două jetoane în P 1), maşina MA prelucrează un semifabricat (jeton în poziţia P 2), iar maşina automată MB execută şi ea operaţia O p2 asupra unui semifabricat, dar este în acelaşi timp disponibilă pentru execuţia O p3 (jeton în P4). Duratele operatorii ale fiecărei maşini dA ,respectiv dB - asociate în mod curent cu poziţiile P 2 şi P4 asigură indisponibilitatea jetoanelor din poziţia P2 într-un interval dA , înainte ca tranziţia T 2 să fie executată şi o durată de indisponibilitate pentru jetoanele din P 4 egală cu dB. Dualitatea reprezentărilor de tip reţea P- temporizată, respectiv T – temporizată, conduce la posibilitatea alocării timpului unor elemente ale reţelei fără ca prin această operaţie topologia acesteia să se modifice. Astfel, acelaşi proces (Fig. 1.15 a) este surprins într-o reţea T - temporizată în care, la nivelul tranziţiilor T 2 şi T4 s-a asociat câte un interval de timp (Fig. 1.15 c) a cărui margine superioară reprezintă sfârşitul operaţiei executate la maşina automată respectivă (poziţiile P2 şi P4 din amontele tranziţiilor). Celelalte tranziţii ale reţelei vor fi executate imediat după validare, conform regulii clasice. Dacă duratele operatorii diferă foarte mult 19
ca ordin de mărime, reţeaua poate fi transformată dintr-o structură discretă într-un model continuu, sau, desigur, hibrid (Fig. 1.16).
Fig. 1.15 Explicativă la modelarea cu reţele temporizate: a) Structura liniei de fabricaţie; b) Modelul de tip P - temporizat ; c. Modelul de tip T – temporizat
Fig. 1.16 Variante ale modelului corespunzător liniei de fabricaţie: a) Reţea continuă; b), c) Reţele hibride.
20
Operaţiile executate la maşinile MA şi MB sunt reprezentate prin câte o viteză asociată fiecăreia din tranziţiile T12 şi T34 (Fig. 1.16.a). Pentru valori constante ale duratelor operatorii, vitezele maxime asociate celor două tranziţii sunt V 12 = 1/dA, respectiv V34 = 2/dB (MB execută două operaţii în paralel). Topologia reţelei hibride (Fig. 1.16 c) induce o comportare prin care se asigură VA + VB = V34 (Fig. 1.16 b). 2.1.3 Exemple de procese descrise prin modele de tip hibrid
Modelele de tip hibrid sunt un instrument puternic de reprezentare a unor sisteme a căror structură conţine atât elemente continue cât şi discrete, care interacţionează unele cu altele. Introduse iniţial ca un caz limită al Reţelelor Petri discrete, reţelele continue pot modela procese care, în teoria clasică a sistemelor continue sunt descrise prin ecuaţii diferenţiale, sau altele în care construcţia continuă este o aproximare foarte bună a unui sistem discret cu dinamica pilotată de evenimente asincrone, pentru care numărul stărilor tangibile este foarte mare, iar reţeaua discretă utilizată drept model de referinţă se dovedeşte dificil de manipulat şi interpretat. Mai mult decât atât, o Reţea Petri Hibridă oferă posibilitatea descrierii comportamentului continuu al stărilor sistemului, între apariţia evenimentelor externe care determină tranziţia acestora. Această trăsătură este deosebit de interesantă, întrucât permite utilizarea unui instrument unic de analiză al comportamentului sistemului în ansamblu, chiar dacă pentru descrierea evoluţiei subsistemelor sale (discret şi continuu) se utilizează în esenţă formalisme diferite. Există procese pentru care utilizarea unui model de tip hibrid reprezintă soluţia cea mai viabilă de identificare a unui comportament specific în diverse situaţii reale: cele caracteristice liniilor automate de îmbuteliere, de dozare şi amestecare a unor produse lichide sau sub formă de pulberi, liniilor automate care lucrează în cadenţă ridicată, staţiilor de sortare şi ambalare automată, liniilor automate de transfer al produselor, tehnologiilor din industria alimentară etc. A. Sistem de transfer al produselor lichide Exemplul analizat surprinde o structură a unui subsistem de recirculare a unui lichid, între doi recipienţi (rezervoare), (Fig. 1.17 a). Între cele două rezervoare curgerea are loc natural şi asigură un debit de intrare q 2 în R 2, iar pentru realimentarea lui R 1 este utilizată o pompă cu debit constant – q 1 (Fig. 1.17 a). Nivelul de lichid în cele două rezervoare, corespunzător stării iniţiale în care se găseşte sistemul este, în general diferit de la un recipient la altul (h 1in h 2in, de exemplu h 1in = 120 cm, h2in = 60 cm). În ansamblu, sistemul este unul continuu şi acceptă o descriere realizată sub forma unei reţele continue (Fig. 1.17.b).
21
Poziţiile P3 şi P4 corespund lui R 1, respectiv R 2, iar marcajul acestora (m3 şi m4) reprezintă nivelul de lichid în fiecare din cele două rezervoare. Curgerea liberă între R 1 şi R 2 este surprinsă prin intermediul tranziţiei T 3 (viteza de execuţie a acesteia este egală cu valoarea debitului q2), iar curgerii forţate - înapoi în R 1 - îi este alocată T4 (viteza de execuţie a acesteia este egală cu valoarea debitului q 1).
Fig. 1.17 Explicativă la modelarea sistemului de recirculare a unui lichid: a) Structura sistemului; b) Modelul de tip continuu; c. Variaţia nivelului de lichid în cele două rezervoare pentru q 1 = 2 l/s, q2 = 3 l/s, h1 in. = 120 cm, h 2in = 60 cm.
22
Dinamica reţelei hibride poate fi analizată şi prin intermediul grafului de evoluţie (Fig.1.19 b). Acesta este constituit din noduri (stări distincte) interconectate prin intermediul tranziţiilor, care determină modificarea stării sistemului. Reprezentarea este similară cu cea întâlnită la analiza modelelor continue, unei stări distincte a grafului fiindui proprie o porţiune în care se indică marcajul corespunzător subreţelei discrete şi una în care sunt redate vitezele instantanee de execuţie a tranziţiilor continue, în starea respectivă (pentru care, atât marcajul discret cât şi vectorul vitezelor instantanee sunt constante).
Fig. 1.18 Explicativă la modelarea cu Reţele Petri Hibride a sistemului de reciculare: a) Structura sistemului; b) Modelul de tip hibrid în starea iniţială.
Fig. 1.19 Reprezentarea evoluţiei reţelei hibride care modelează sistemul de recirculare: a)Evoluţia marcajului din starea iniţială pentru h 1in = 60 cm, h2in = 120 cm, q1 = 2 l/s, q2 = 3 l/s;
23
Fig. 1.19 Reprezentarea evoluţiei reţelei hibride care modelează sistemul de recirculare: b) Graful de evoluţie.
Determinarea componentelor vectorului M al marcajului la un moment „t” se poate face prin aplicarea la exemplul analizat a relaţiilor (2.18) şi (2.19). Astfel, în intervalul t ∈ [0, 170], tranziţia T 1 este executată la momentul t = 90 s, iar T2 la t = 165 s. Tranziţia continuă T 3 se execută continuu cu viteza v 3 = V3 în intervalele 0 ≤ t ≤ 20, respectiv 165 ≤ t ≤ 170, iar T4 se execută continuu cu viteza v4 = V 4 pentru 90 ≤ t ≤ 165. Cu (2.18) şi (2.19) se obţine în final vectorul M al marcajului reţelei la t = 170 s:
M(0)=
1 0 ; U= 60 120
−1
1 0 0
24
1 −1 0 0
0 0 −1 1
0 0 ; 1 −1
1 1 n(170)= 0 ; 0
170
∫
( ) gdt=
v t
0
0 0 , M(170)= 75 150
1 0 135 45
(2.20)
B. Sistem de tip linie de fabricaţie serială.
În numeroase cazuri, structurile de fabricaţie sunt alcătuite din staţii de prelucrare dispuse într-un flux serial, având alocate, fiecare din ele, stocuri de materii prime, semifabricate şi/sau produse finite (Fig.1.20). O staţie SA i poate fi caracterizată, în general, prin trei parametri: durata operatorie constantă S i, o rată de defect - λ i şi o rată a remedierii defectului - µ i. Fiecare stoc (buffer) este descris prin capacitatea proprie, Cj.
Fig. 1.20 Structura liniei de fabricaţie seriale.
În cazul unei producţii de serie (care determină, de altfel, această structură a sistemului) numărul stărilor posibile în care se poate găsi linia de fabricaţie este foarte mare. De aceea, se poate utiliza o aproximare a modelului discret printr-un model continuu, în care se asociază tranziţiilor viteze de execuţie V i = 1/Si. În esenţă este vorba şi în acest caz de un sistem hibrid. Pe de o parte se remarcă existenţa subsistemului continuu şi a celui discret între care are loc schimbul permanent de informaţie, pe de altă parte, sistemul are o natură duală: este determinist (prelucrarea semifabricatelor şi comanda maşinilor unelte integrate în fluxul de fabricaţie) şi stochastic ( timpii de bună funcţionare ai maşinilor unelte şi duratele reparaţiilor efectuate sunt, de multe ori, variabile stochastice) S-a arătat că modelele utilizate până în prezent (reţele discrete şi continue, fire de aşteptare, automate) nu permit o analiză unitară a sistemelor integrate liniilor flexibile şi că, o posibilă rezolvare constă în utilizarea modelelor de tip RPH, în care reţeaua discretă să fie de tip stochastic (Fig.1.21).
25
Fig. 1.21 Modelul hibrid al liniei de fabricaţie.
Observaţii: 1. În cazul sistemelor flexibile de producţie, structura fizică a sistemului se poate modifica în cursul funcţionării, schimbarea fiind solicitată fie la sfârşitul intervalelor de producţie (prin trecerea la fabricaţia unui alt produs), fie forţată de evenimente aleatoare(apariţia defectelor). Modificarea poate afecta o serie de parametri (mărimea loturilor de produse, cadenţa liniei etc.), sau chiar structura acesteia. Prin urmare, este evident că modelul iniţial de tip discret nu mai este valabil şi trebuie modificat. 2. Principial, sunt posibile două direcţii prin care problema să poată fi atacată: una dintre ele propune utilizarea unei singure reţele pentru modelarea sistemului în toate stările (configuraţiile) posibile, iar cea de-a doua operează cu o mulţime de subreţele separate, fiecare asociată unei configuraţii particulare a sistemului, care devin active pe măsură ce restricţiile de precedenţă impuse sunt luate în considerare. 3. Reţelele Petri Hibride conduc la realizarea de modele în conformitate cu ambele abordări semnalate şi oferă o flexibilitate ridicată întregii structuri. Trebuie precizat că activarea subreţelelor componente în cursul evoluţiei nu înseamnă modificarea structurii reţelei iniţiale (matricea de incidenţă rămâne nemodificată), fapt care ar ridica dificultăţi în legătură cu formalizarea matematică.
26
4. Deşi ambele abordări sunt suficiente, în multe cazuri pentru a oferi un rezultat concludent, se ajunge în situaţii fără ieşire atunci când sistemul este complex, iar numărul stărilor este foarte mare. Mai mult decât atât, ambele direcţii necesită, în prealabil cunoaşterea tuturor configuraţiilor posibile ale sistemului, lucru care vine în contradicţie cu atributul de flexibilitate al liniei, sau al sistemului. 5. Construcţiile care pot oferi un răspuns în toate aceste situaţii sunt reprezentate de o posibilă extindere a formalismului Reţelelor Petri Hibride, sub forma unor reţelelor cu structură variabilă, care să fie capabile să urmărească modificările de configuraţie ivite în sistemul fizic real. 6. În ceea ce priveşte posibilităţile de utilizare a acestui formalismului în organizarea unor structuri de comandă, acestea nu sunt încă pe deplin exploatate, deşi topologia şi dinamica proprie le transformă, în anumite cazuri, în instrumente eficiente (este suficient să se asocieze comenzi binare tranziţiilor subreţelei discrete).
27
Bibliografie 1. Păstrăvanu, O. (1997). Sisteme cu evenimente discrete – Tehnici calitative bazate pe formalismul reţelelor Petri, Ed. MatrixRom, Bucureşti.
2. Păstrăvanu, O., Matcovschi, M.H., Mahulea, C. (2002). Aplicaţii ale reţelelor Petri în studiul sistemelor cu evenimente discrete, Editura Gh. Asachi, Iaşi.
3. Calin O.A.,
Stanescu M.A., Formalisme de Modelare a Sistemelor Dinamice cu Evenimente Discrete.
4.http://www.scribd.com/doc/28665288/Teoria-Retelelor-Petri-Si-ModelareaSistemelor
28
