Cuprins • TEME: • 1. Definitia “AUTOMATICII”. Definitia “AUTOMATIZARILOR”.Element automat independent. Sistem automat. CLASIFICARE SISTEMELOR AUTOMATE. Reglarea manuală, conducerea şi reglarea automată. Structura sistemelor automate. Scheme bloc. • 2. Stabilirea schemelor bloc dupa schema de principiu (Sistem de reglare a vitezei. Sistem automat de reglare pneumatic. Sistem automat de reglare hidraulic. Sisteme unificate electrice ). Performanţele şi stabilitatea sistemelor automate. Direcţii de studiu în automatică. • 3. Transformata Laplace (proprietati). Semnale si perturbatii (probleme generale). Semnale deterministice. • 4. Regim tranzitoriu si stationar. Ecuatiile diferentiale ale elementelor (aperiodic de ord. I si oscilant de ord. II). • 5. Raspunsul elementelor de ordinul I si II. Rezolvarea ecuatiilor diferentiale si studiul dupa factorul de amortizare. • 6. Functia de transfer (forme de exprimare). Exemple de determinare a semnalului de iesire. • 7. Algebra sistemelor liniare continue (inclusiv cele cu timp mort). Determinarea functiei de transfer echivalente (exemplu). • 8. Metode de analiza si sinteza ale S.A. Locul de transfer. Caracterisici de frecventa. Caracteristici logaritmice. • 9. Stabilitatea sistemelor liniare continue. Criterii de stabilitate: planul complex, algebric, Nyquist, Mihailov, logaritmic (Bode). • 10. Performantele S.A. liniare continue. Indici de calitate. Elemente si metode de corectie (compensare); retele de corectie cu avans, cu intarziere, cu avans si intarziere de faza.
Bibliografie 1. 2. 3. 4. 5.
Oprea , C., Teoria sistemelor si reglarea automata, Tipografia Universitatii de Nord, Baia Mare, 1995. Oprea , C., Barz, Cr., Tehnica reglarii automate,-Indr.de lab.-, Tipografia Universitatii de Nord, Baia Mare, 2000. Oprea , C., Automatica, Editura Risoprint Cluj Napoca, 2001. Oprea , C., Reglarea automata –teorie si aplicatii-, Editura Risoprint Cluj Napoca, 2003. Oprea , C., Automatizari, Editura Risoprint Cluj Napoca, 2003.
INTRODUCERE Definitia “AUTOMATICII” Definitia “AUTOMATIZARILOR” Element automat independent Sistem automat
1. 2. 3. 4.
i(t)
e(t)
e(t) = f[i(t), y(t)]
y(t) h11k
hk
h21k
g12k
h22k
m01k
m1k gk
m02k
m2k g21k
a.
h12k
g11k
g22k
b.
m2k = gk · m1k + hk
m1k = m01k + g11k·m1k + h11k + g21k·m2k + h21k m2k = m02k + g22k·m2k + h12k + g22k·m2k + h22k
CLASIFICARE SISTEMELOR AUTOMATE a.După dependenţa dintre mărimile de intrare şi ieşire: • Sisteme automate liniare când dependenţele sunt liniare; • Sisteme automate neliniare , când cel puţin un element al sistemului e neliniar; b. După modul de prelucrare al semnalelor: • Sisteme automate continue, la care mărimile sunt funcţii continue de timp; • Sisteme automate discrete, la care cel puţin una din variabilele sistemului are o variaţie discontinuă. c. După modul de variaţie al mărimilor de intrare şi ieşire: • Sisteme de reglare automată, la care mărimea de intrare este constantă; • Sisteme cu program, la care mărimea de intrare variază în timp după un program prestabilit; • Sisteme de urmărire, la care mărimea de intrare variază arbitrar, având un caracter aleator (necunoscut în prealabil). d. După numărul mărimilor de ieşire: • Sisteme automate cu o singură ieşire; • Sisteme automate cu mai multe ieşiri; • Sisteme automate multivariabile. e. După numărul de bucle principale (cele secundare se formează datorită reacţiilor locale): • Sisteme cu o singură buclă principală; • Sisteme de reglare în cascadă, la care există mai multe bucle principale. f. După viteza de răspuns a instalaţiei tehnologice a procesului: • Sisteme automate pentru procese rapide, la care constantele de timp ale procesului au valori sub 10 secunde (cazul acţionărilor electrice); • Sisteme automate pentru procese lente, la care constantele de timp ale procesului au valori peste 10 secunde (cazul instalaţiilor tehnologice de reglare a temperaturii, nivelului, presiunii, concentraţiei, etc). g. După natura fizică a agentului de lucru: sisteme automate pneumatice, • hidraulice, electrice şi combinate. h. După caracteristicile constructive ale dispozitivului de automatizare: • Sisteme automate unificate, la care elementele componente ale DA au la intrare şi ieşire mărimi de aceeaşi natură şi cu aceeaşi gamă de variaţie; • Sisteme automate specializate, la care condiţia anterioară nu este îndeplinită
Reglarea manuală, conducerea şi reglarea automată Fluid de
Fluid de încălzit
încălzit
Q
1
Q
1
2
2 4
4
Fluid încălzitor
Fluid încălzitor T
T
3
3 Q
Robinet
Q
Tc OPERATOR SCHIMBATOR
ROBINET
Termocupl u
P
COMANDA
I
θ0
Convertor elect.pneum.
θ
TERMOMETRU
R
Regulator
.
mp me
mb PEM C mr
P C
ER
U I
Adaptor tens.-curent
Structura sistemelor automate. Scheme bloc N
i(t)
e(t )
m D A
z
ez
D
P i(t)
a
c
R
ep e(t)
m
E
P
±r a=i± r e = eP + ez
M
P(IA)
DA SA
E
R D i(t) DP
a
TI
c A
±r
ERS
z
m’ ME
N ez
m
E OE
P
ep
Reacţie secundară M TB
ES
DISPOZITIV AUTOMATIZARE (DA)
Reacţie principală
PROCES (IA)
SISTEM DE REGLARE AUTOMATA (SA)
e(t)
Sistem de reglare a vitezei
Valoare prescrisă +
R4
Tf (m)
P1
i
R1
+
(a)
AO
Tr
(c) uc
P2
M
BC
TG
-
+ (r)
R2
R3
R5
RA
EC(P1,R1 ,R2) i a (uI)
n ur
R
c
(ua) (AO,C,R4 (uc) )
E (BC,Tr)
±r (ur)
M (TG)
m (um)
P (M)
e (n)
Sistem automat de reglare pneumatic S
FR
RS Pa
d p1
FT
V
C
T D
P
A p0
h
1,4 bar
pu =0,2÷1 bar VM Q
EC – Pa; R – D+A; E – VM; P – V; M – P; i – Fr; a – d; c – pu; m – Q; r – FT; e – h.
Sistem automat de reglare hidraulic C K
Q D
p1
p2
p3
P
p4
FM
Rs
FR
TM
R
ME
p0
evacuare
i - FR; EC – TM; R – R; a – poz.TM; c – p3, p4; E – P + K; m – poz. K; e – Q; M – D + ME ; r – FM.
Sisteme unificate electrice
PARAMETU AMPLIFICATOR REGLAT FINAL TENSIUNE C.C. ± 24 ÷ 800 V TENSIUNE C.A. 24 ÷ 6000 V. ef. CURENT C.C. ± 2,5 ÷ 10000 A CURENT C.A. ± 5 ÷ 10000 Aef. VITEZA ± 1000 ÷ 6000 rot/min POZITIE ± 2400 ÷ n.3600 ±600
TRADUCTOR
REGULATOR
AMPLIFICATOR
ADAPTOR
200 kW 4W
0 ± 10 V
V/V I/V ω/V θ/V
AMPLIFIC. MAGNETIC
0 ±10 V
BASCULANT 40
120 W 600W
kW AMPLIDINA 1000kW
PID
0 ± 10 V
DCG TIRISTOR 10
Comanda CONTINUU
GRILA
MW
MUTATOR
• • • • •
•
•
•
. modul în care sistemul transmite o comanda de la calculator la Performanţele şi stabilitatea sistemelor automate
instalaţie; modul în care sistemul este sensibil la modificări de elemente; modul în care sistemul este capabil să facă faţă unor perturbaţii ce apar în desfăşurarea procesului tehnologic. Pe baza acestor trei aspecte, performanţele unui sistem de conducere automată pot fi apreciate astfel: un sistem de conducere automată este cu atât mai bun cu cât este capabil să transmită o comandă de la intrare (calculator) spre ieşire (instalaţia de automatizat), într-un interval de timp cât mai mic şi cu deformări reduse; un sistem de conducere automată este cu atât mai bun cu cât este mai puţin sensibil la modificări constructive ale elementelor componente şi la perturbaţiile ce apar în instalaţia de automatizat. Deoarece sistemele automate sunt aproape în totalitate în circuit închis, în anumite situaţii acesta poate lucra necontrolat, stare ce se caracterizează prin aceea că semnalele prelucrate şi transmise au o variaţie periodică în timp, variaţie ce nu e o consecinţă a comenzilor date şi care e cunoscută sub deniumirea de instabilitate. Dar, cum această stare de instabilitate este incompatibilă cu o funcţionare corectă a sistemului, se impune ca o primă condiţie de realizare a unui sistem de conducere automată , asigurarea stabilităţii acestuia. Sub aspectul tehnic, cele două probleme (performanţele şi stabilitatea sistemelor) au un caracter opus deoarece, cu cât performanţele unui sistem sunt mai bune, cu atât se manifestă mai puternic tendinţa sistemului de a deveni instabil. Deoarece performanţa şi stabilitatea sistemelor sunt condiţii care trebuie îndeplinite simultan, e necesar ca în practica inginerească să se facă un compromis între cele două cerinţe.
Direcţii de studiu în automatică •
•
•
•
•
•
Analiza SRA. Cunoscându-se iniţial structura şi parametri elementelor componente ale unui sistem, este necesar să se stabilească performanţele acestuia prin determinarea variaţiei în timp a mărimii de ieşire ca urmare a unei variaţii a mărimii de intrare sau a unei perturbaţii. Analizând variaţia în timp a semnalului de ieşire din sistem, variaţie ce reprezintă răspunsul sistemului la variaţia mărimii de intrare sau a perturbării, se stabilesc indicii de calitate ai sistemului în regim staţionar şi tranzitoriu, determinându-se astfel performanţele staţionare şi tranzitorii şi concluzionând dacă sistemul analizat poate să fie sau nu utilizat în practică. Una din principalele condiţii pe care trebuie să le îndeplinească un sistem automat pentru utilizarea sa practică o constituie stabilitatea sistemului, adică proprietatea acestuia de a reveni prin acţiunea sa, dintr-un regim tranzitoriu la un nou regim staţionar. De aceea analiza are sens să se facă numai la SRA ce îndeplinesc condiţia de stabilitate. Sinteza SRA. Fiind cunoscută instalaţia tehnologică, adică procesul, precum şi performanţele impuse funcţionării sistemului, se determină elementele şi parametri dispozitivului de automatizare, o importanţă majoră dându-se alegerii şi acordării regulatoarelor. Sinteza sau proiectarea SRA se face pe baza identificării procesului , adică descrierii ecuaţiilor matematice de funcţionare a procesului tehnologic. Identificarea proceselor. Se poate realiza prin intermediul ecuaţiilor diferenţiale, funcţiilor de transfer, caracteristicilor de frecvenţă sau cu ajutorul unor metode statistice. Pentru cazul proceselor rapide, cum ar fi cazul acţionărilor electrice, modelul matematic se stabileşte uşor, deoarece în general ecuaţiile maşinilor şi subansamblelor componente In cazul proceselor lente (metalurgice, chimice, etc.) stabilirea modelului matematic este dificilă, datorită complexităţii acestora. In majoritatea cazurilor, identificarea proceselor lente se face cu multe aproximări, folosind metode experimentale de obţinere a răspunsului SRA la un semnal de intrare tip, metode de frecvenţă şi metode statistice, ceea ce conduce la o precizie mult mai redusă decât în cazul proceselor rapide. Sistemul optimal. Este cel mai bun sistem, privit dintr-un anumit punct de vedere prestabilit, dintr-o grupă de SRA cărora li se impun aceleaşi condiţii tehnice de limitare şi restricţie. Pentru stabilirea sau realizarea sistemului optimal, e necesară o comparaţie (din punct de vedere prestabilit) a tuturor sistemelor din cadrul grupei de sisteme amintite, folosindu-se în acest scop un anumit criteriu de comparaţie anterior adoptat . Precizia SRA. Reprezintă proprietatea sistemelor de a asigura o anumită concordanţă între măsurări repetate ale aceleiaşi caracteristici, cu aceeşi metodă şi în aceleaşi condiţii. Practic, precizia SRA este legată de eroarea cu care mărimea de ieşire reproduce semnalul aplicat la intrarea sistemului. Calculatoarele electronice. Pot fi utilizate atât pentru analiza şi sinteza SRA cât şi ca elemente componente ale acestora.
Transformata Laplace. Proprietăţi
[ f ( t )] f ( t ) ε st dt F( s )
£
0 a. Teorema liniarităţii:
f ( t ) £ F( s )
f ( t ) A at , pentru t t0
-1
n n L ak f k ( t ) ak L [ f k ( t )] k1 k 1 df ( t ) L L dt s f ( t ) f ( 0 )
b. Teorema derivării: In cazul general şi considerând condiţiile iniţiale nule se poate scrie: d n f ( t ) n nk n L d L n s f ( t ) s k 1 f ( t ) ( 0 ) sLn L [f(t)] dt dt nk k 1
1 c. Teorema [ f ( t ) dt ] L f ( t ) s integrării: L at d. Teorema deplasării (translaţiei): L F( s a ) f ( t )
g. Transformata Laplace a produsului de convoluţie f. Teorema valorii finale e. Teorema valorii iniţiale
Nr.crt .
f(t)
L [f(t)] = F(s)
Nr. rel.
1.
1 şi u(t) = i0 = 1
1/s
(2.12)*
2.
δ(t) = du(t)/dt
1
(2.13)*
3.
ε -at
1/(s + a)
(2.14)*
4.
1/(n!.tn.εat
1/(s + a)n+1
(2.15)*
5.
(1 – a.t).ε -at
s/(s + a)2
(2.16)*
6.
1 – cos ωt
ω2/[s.(s2 +ω2)]
(2.17)*
7.
sin ωt
ω / (s2 +ω2)
(2.18)*
8.
cos ωt
s / (s2 +ω2)
(2.19)*
9
ε -at .sin ωt
ω / [ (s + a)2 +ω2]
(2.20)*
10.
ε -at .cos ωt
(s + a) / [ (s + a)2 +ω2]
(2.21)*
11.
sh ωt
ω / (s2 - ω2)
(2.22)*
12.
ch ωt
s / (s2 - ω2)
(2.23)*
13.
(ε –at - ε –bt)/(b – a)
1/[(s + a).(s + b)]
(2.24)*
14.
sin2 t
2/[s.(s2 + 4)]
(2.25)*
15.
cos2 t
(s2 + 2)/[s.(s2 + 4)]
(2.26)*
16.
at
1/(s – ln a)
(2.27)*
17.
t.sin ωt
2.s.ω./(s2 - ω2)2
(2.28)*
18.
t.cos ωt
(s2 - ω2)/ (s2 +ω2)2
(2.29)*
Semnale şi perturbaţii Cele două noţiuni din acest paragraf au un caracter cu totul general, referindu-se la mărimile fizice ce pot să apară la intrarea, în interiorul sau la ieşirea unui sistem, fără a ţine seamă de natura lor fizică, dar măsurarea acestora ne dă o serie de informaţii asupra elementelor (sistemului). Informaţiile culese de la semnalele şi perturbaţiile ce apar şi sunt transmise de sisteme, pot duce la o serie de concluzii referitoare atât la calitatea şi comportarea acestora, cât şi la modul în carea ele sunt prelucrate. Intre noţiunea de semnal şi perturbaţie există doar o diferenţă simbolică de esenţă, în sensul că un semnal poate fi realizat practic, pe când o perturbaţie nu poate fi analizată decât pe baze statistice, în funcţie de locul şi perioada de apariţie. Intr-un sens restrâns un semnal este fizic realizabil şi să spunem, dorit într-un sistem, pe când o perturbaţie este nedorită în sistemul respectiv. Pentru exemplificare, în cazul unui amplificator electronic, tensiunea de intrare şi cea de ieşire sunt semnale (deoarece prin măsurarea lor se pot determina o serie de parametri ai amplificatorului), iar variaţia rezistenţei interne şi rezistenţei de sarcină a cestuia constituie perturbaţii, deoarece valoarea lor nu poate fi măsurată şi influenţează în sens negativ funcţionarea amplificatorului. Precizăm că, un anumit semnal poate fi el însuşi purtătorul unei perturbaţii, denumit frecvent sub numele de zgomot sau brum, cum este cazul unei tensiuni induse pe un anumit canal care se suprapune peste tensiunea utilă (Exemplu: canalul TV transmite pe o anumită frecvenţă şi la o amplitudine dată. Peste acest canal se transmite cu aceeaşi frecvenţă dar cu o amplitudine mai mare un semnal distorsionat ceea ce duce la înrăutăţirea recepţiei programului util).
f(t)
f(t)
f(t)
t
T 2T 3T 4T
n
a.
b.
f(t)
c.
f(t)
t d.
T e.
nT
In tehnica sistemelor, semnalele ce apar au un caracter imprevizibil, întâmplător, datorită faptului că atât evoluţia sistemului cât şi efectul perturbaţiilor ce apar în sistem sunt imprevizibile, adică întâmplătoare. Dacă un sistem este perfect determinat, adică se cunoaşte în totalitate evoluţia acestuia în funcţie de semnalul aplicat la intrare, se spune că sistemul (procesul) este deterministic şi lucrează cu semnale realizabile fizic, semnale ce pot fi continue sau discrete. Interpretarea unui sistem pe baza semnalelor aleatoare (stohastice sau întâmplătoare) necesită un formalism matematic dificil, făcându-se apel la calculul probabilităţilor sau o serie de metode statistice. Datorită caracterului lor determinant, exprimată printr-o funcţie univocă de timp, semnalele deterministice pot fi definite la orice valoare a variabilei. Astfe, un semnal sinusoidal de forma:
x A sin ωt Dacă vom considera un semnal aleator (stohastic) continuu de forma x(t), la o anumită valoare a timpului t se poate determina numai posibilitatea de distribuţie a acestuia, adică pentru t = t1 putem preciza:
xmin( t1 ) x( t1 ) xmax( t1 )
Semnale deterministice
u( t ) 0 , pentru t 0 a.Semnalul treaptă u(t): u( t ) k , pentru t 0 STGO
k
STUO - [ u( t )]
L
0
as 1 STUT – ε st dt ; [ u( t a )] ε dt s L o s a
v( t ) 0 , pentru t 0 SRGO v( t ) kt, pentru t 0
v(t) v(ta)
st
Fig. 2.3.
st
st
b.Semnalul rampă
a
Semnalul treaptă poate fi realizat uşor în practică, prin închiderea sau deschiderea unui întreruptor într-un circuit de curent continuu, iar răspunsul unui element sau sistem la un semnal treaptă unitar este cunoscut sub numele de răspuns indicial.
t
a Fig. 2.2.
0
u( t a ) 0 , pentru t a u( t a ) k , pentru t a
as k ε k STGO – L [ u( t )] k dt ; STGT[ u( t a )] ε k dt –L s a s 0
st
u(t) u(ta)
ST GT
t
k SRGO –[L v( t )] k t dt 2 ; s 0 st 1 SRUO [ v( t )] ε t dt -L s2 o
v(t a) 0, pentru t a STGT v(t a) kt, pentru t a as ε SRGT [–v( t a )] ε t dt L s2 a
SRUT –[ L v( t a )]
st
k ε as ε k t dt 2 s a
st
Fizic, semnalul rampă reprezintă o viteză şi poate fi realizat cu ajutorul unor generatoare de curent sau tensiune liniar crescătoare
c.Semnalul impuls.
ta δ( t a ) 0 a α a αδ( t a ) dt 1 α 0 δ(ta) 1/2 α
a.
0
Conform primei relaţii rezultă că funcţia impuls există numai la t = a, în rest fiind nulă, iar relaţia a doua arată că aria delimitată de aceasta este unitară. In concluzie, funcţia impuls este concentrată la abscisa de definiţie, sub forma unui impuls de durată foarte mică, astfel ca cea de-a doua relaţie să fie îndeplinită.
δ(ta) b.
a-α a a+α t
0 Fig. 2.4.
Astfel, dacă se consideră o funcţie arbitrară f(t) continuă şi se înmulţeşte cu funcţia impuls, se va obţine valoarea funcţiei f(t) la abscisa de apariţie a semnalului impuls, adică: a2
δ( t a ) f ( t ) dt f ( a ) pentru a1 a a 2
a1
O altă proprietate a funcţiei impuls constă în legătura dintre aceasta şi semnalul treaptă. Astfel:
d u( t a ) δ( t a ) dt Dacă vom deriva ambele părţi avem:
0 t a u( t a ) δ( t a ) dt 0 1 t a t
d. Semnalul sinusoidal
x A sin( t ) sau y A cos( t f ) e ε sin ωt 2j jωt
jωt
ε ε ; cos ωt ; j 1 2 jωt
jωt
Acest tip de semnal este foarte cunoscut, realizându-se fizic cu ajutorul generatoarelor de semnale sinusoidale,
Ecuaţiile diferenţiale ale elementelor sisteme In mod cu totul general se poate aprecia că aspectul funcţional poate fi formulat (descris) matematic cu un sistem de ecuaţii diferenţiale, pentru cazul elementelor liniare continue acestea fiind bineânţeles ecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi. Regimul staţionar se defineşte ca acel regim descris de o ecuaţie diferenţială, atunci când toate derivatele sunt nule, fiind o consecinţă a existenţei unui semnal de intrare staţionar (semnal treaptă sau sinusoidal de amplitudine, fază şi frecvenţă constantă) şi a unei stări de echilibru a elementului. e(t) = es(t) + et(t), In cazul cel mai general, comportarea dinamică a unui siastem liniar continuu este descrisă de o ecuaţie diferenţială liniară de forma:
d n e( t ) d n1e( t ) d 2 e( t ) de( t ) an n an1 n1 .... a2 2 a1 a0 e( t ) dt dt dt dt
d mi( t ) d m1i( t ) d 2i( t ) di( t ) bm m bm1 m1 .... b2 2 b1 b0 i( t ) dt dt dt dt an…a0 şi bm…b0 sunt coeficienţi constanţi, iar pentru un sistem fizic real m ≤ n.
Element aperiodic de ordinul 1 R
de 1 1 T e k i ui R i i dt; ue i dt C C dt Deoarece:due /dt = (1/C).i va rezulta
i
u
ui
due due ui R C ue sau T ue ui dt dt
e
Fig. 2.8.
cu T = RC şi k = 1.
Schimbătorul de căldură în ipotezele că temperatura din recipient este uniformă, capacităţile pereţilor acestuia şi ale conductei sunt neglijabile şi recipientul este complet izolat termic, ecuaţia ce descrie procesul d este : M c Q c S K ( ) Q c dt
1
a
unde : M – masa fluidului din recipient ; c – căldura specifică a fluidului ; θi – temperatura de intrare a fluidului de încălzit ; θa – temperatura fluidului încălzitor ; Q – debitul de fluid încălzit ; S – suprafaţa conductei de încălzire din recipient ; K – coeficient de transfer de căldură între conductă şi fluid.
d T Q c 1 S K a dt T M c
(Qc S K )
Element oscilant (cu întârziere
2
de ordinul 2) a. Sistem de urmarire
i
J D
ud A
P1
P2
ui
iex.= ct.
M m k3 ex i
θe
A2
ur
θi A1
M
Fig. 2.9.
M m k4 i
d e de T1 2 T e k i dt dt Sistemul prezentat este realizat în scopul ca A2 să urmărească în permanenţă poziţia unghiulară a arborelui A1, cu menţiunea că ultime îşi modifică poziţia arbitrar. In acest fel, sistemul asigură în regim staţionar egalitatea lui θe şi θi.
ui k1 i ; ue k2 e i k 2 ud
ur = ui
ud ui ur ud = 0
Mm Ma M f Mr Ma M f
d 2e d M a J 2 M f D e i k2 ud k2 ( ui ur ) k1 k2 ( e i ) dt dt
d 2e de d 2e de k1 k 2 k 4 ( e i ) J 2 D J 2 D k e k i dt dt dt dt Intre mărimea de ieşire şi cea de intrare se stabileşte în domeniul timp o ecuaţie diferenţială de ordinul II şi, fiind vorba de sisteme liniare J, D şi k au valorile unor constante.
b. Regulatorul centrifugal
r
a F Fc 2 r m 2 - forţa datorită elasticităţii b Farcului: kX a - forţa centrifugă:
m
-forţa de inerţie a maselor în mişcare de translaţie: F a
Fi m r d 2 X dt 2
Δr
r
ρ2 X
b a ρ1
X
- forţa dezvoltată de amortizorul hidraulic: ω
Fam S( P1 P2 )
a.
Fc = Fa + Fi + Fam sau
b.
a 2 2 2 2 r m k X mr d X dt S( P1 P2 ) b =
S Re μ dX Fam d dt
+
+
cu Re – numărul Reynolds; μ – coeficient de vâsco-zitate dinamică; d – diametrul orificiului. Deoarece forţa centrifugă Fc este o funcţie neliniare X şi ω, Fc = Fc0 + ΔFc ; X pentru liniarizare se consideră cazul variaţiilor infinit mici, adică ω = ω0 + Δ ω; = X0 + x ω0 este viteza iniţială iar X0 se alege în aşa fel ca la ω = ω0, x = 0. Vom av
a a ΔFc 2 m ω02 Δr 4 m r0 ω0 Δω b b
d 2 X S Re μ dX mr 2 d dt dt
ρ a a ΔFc 2 m ω02 2 x 4 m r0 ω0 Δω b ρ1 b
+ (c 2- m a ω 2 ρ 2 ) X 4 m a r
b
0
ρ1
b
0
ω0 Δω
Transformata Laplace. Proprietăţi
[ f ( t )] f ( t ) ε st dt F( s )
£
0 a. Teorema liniarităţii:
f ( t ) £ F( s )
f ( t ) A at , pentru t t0
-1
n n L ak f k ( t ) ak L [ f k ( t )] k1 k 1 df ( t ) L L dt s f ( t ) f ( 0 )
b. Teorema derivării: In cazul general şi considerând condiţiile iniţiale nule se poate scrie: d n f ( t ) n nk n L d L n s f ( t ) s k 1 f ( t ) ( 0 ) sLn L [f(t)] dt dt nk k 1
1 c. Teorema [ f ( t ) dt ] L f ( t ) s integrării: L at d. Teorema deplasării (translaţiei): L F( s a ) f ( t )
g. Transformata Laplace a produsului de convoluţie f. Teorema valorii finale e. Teorema valorii iniţiale
Nr.crt .
f(t)
L [f(t)] = F(s)
Nr. rel.
1.
1 şi u(t) = i0 = 1
1/s
(2.12)*
2.
δ(t) = du(t)/dt
1
(2.13)*
3.
ε -at
1/(s + a)
(2.14)*
4.
1/(n!.tn.εat
1/(s + a)n+1
(2.15)*
5.
(1 – a.t).ε -at
s/(s + a)2
(2.16)*
6.
1 – cos ωt
ω2/[s.(s2 +ω2)]
(2.17)*
7.
sin ωt
ω / (s2 +ω2)
(2.18)*
8.
cos ωt
s / (s2 +ω2)
(2.19)*
9
ε -at .sin ωt
ω / [ (s + a)2 +ω2]
(2.20)*
10.
ε -at .cos ωt
(s + a) / [ (s + a)2 +ω2]
(2.21)*
11.
sh ωt
ω / (s2 - ω2)
(2.22)*
12.
ch ωt
s / (s2 - ω2)
(2.23)*
13.
(ε –at - ε –bt)/(b – a)
1/[(s + a).(s + b)]
(2.24)*
14.
sin2 t
2/[s.(s2 + 4)]
(2.25)*
15.
cos2 t
(s2 + 2)/[s.(s2 + 4)]
(2.26)*
16.
at
1/(s – ln a)
(2.27)*
17.
t.sin ωt
2.s.ω./(s2 - ω2)2
(2.28)*
18.
t.cos ωt
(s2 - ω2)/ (s2 +ω2)2
(2.29)*
Semnale şi perturbaţii
Cele două noţiuni din acest paragraf au un caracter cu totul general, referindu-se la mărimile fizice ce pot să apară la intrarea, în interiorul sau la ieşirea unui sistem, fără a ţine seamă de natura lor fizică, dar măsurarea acestora ne dă o serie de informaţii asupra elementelor (sistemului). Informaţiile culese de la semnalele şi perturbaţiile ce apar şi sunt transmise de sisteme, pot duce la o serie de concluzii referitoare atât la calitatea şi comportarea acestora, cât şi la modul în carea ele sunt prelucrate. Intre noţiunea de semnal şi perturbaţie există doar o diferenţă simbolică de esenţă, în sensul că un semnal poate fi realizat practic, pe când o perturbaţie nu poate fi analizată decât pe baze statistice, în funcţie de locul şi perioada de apariţie. Intr-un sens restrâns un semnal este fizic realizabil şi să spunem, dorit într-un sistem, pe când o perturbaţie este nedorită în sistemul respectiv. Pentru exemplificare, în cazul unui amplificator electronic, tensiunea de intrare şi cea de ieşire sunt semnale (deoarece prin măsurarea lor se pot determina o serie de parametri ai amplificatorului), iar variaţia rezistenţei interne şi rezistenţei de sarcină a cestuia constituie perturbaţii, deoarece valoarea lor nu poate fi măsurată şi influenţează în sens negativ funcţionarea amplificatorului. Precizăm că, un anumit semnal poate fi el însuşi purtătorul unei perturbaţii, denumit frecvent sub numele de zgomot sau brum, cum este cazul unei tensiuni induse pe un anumit canal care se suprapune peste tensiunea utilă (Exemplu: canalul TV transmite pe o anumită frecvenţă şi la o amplitudine dată. Peste acest canal se transmite cu aceeaşi frecvenţă dar cu o amplitudine mai mare un semnal distorsionat ceea ce duce la înrăutăţirea recepţiei programului util).
f(t)
f(t)
f(t)
t
T 2T 3T 4T
n
a.
b.
f(t)
c.
f(t)
t
T
d.
e. Fig.2.1.
nT
In tehnica sistemelor, semnalele ce apar au un caracter imprevizibil, întâmplător, datorită faptului că atât evoluţia sistemului cât şi efectul perturbaţiilor ce apar în sistem sunt imprevizibile, adică întâmplătoare. Dacă un sistem este perfect determinat, adică se cunoaşte în totalitate evoluţia acestuia în funcţie de semnalul aplicat la intrare, se spune că sistemul (procesul) este deterministic şi lucrează cu semnale realizabile fizic, semnale ce pot fi continue sau discrete. Interpretarea unui sistem pe baza semnalelor aleatoare (stohastice sau întâmplătoare) necesită un formalism matematic dificil, făcându-se apel la calculul probabilităţilor sau o serie de metode statistice. Datorită caracterului lor determinant, exprimată printr-o funcţie univocă de timp, semnalele deterministice pot fi definite la orice valoare a variabilei. Astfe, un semnal sinusoidal de forma:
x A sin ωt Dacă vom considera un semnal aleator (stohastic) continuu de forma x(t), la o anumită valoare a timpului t se poate determina numai posibilitatea de distribuţie a acestuia, adică pentru t = t1 putem preciza:
xmin( t1 ) x( t1 ) xmax( t1 )
Semnale deterministice
u( t ) 0 , pentru t 0 a.Semnalul treaptă u(t): u( t ) k , pentru t 0 STGO
k
STUO - [ u( t )]
L
0
as 1 STUT – ε st dt ; [ u( t a )] ε dt s L o s a
v( t ) 0 , pentru t 0 SRGO v( t ) kt, pentru t 0
v(t) v(ta)
st
Fig. 2.3.
st
st
b.Semnalul rampă
a
Semnalul treaptă poate fi realizat uşor în practică, prin închiderea sau deschiderea unui întreruptor într-un circuit de curent continuu, iar răspunsul unui element sau sistem la un semnal treaptă unitar este cunoscut sub numele de răspuns indicial.
t
a Fig. 2.2.
0
u( t a ) 0 , pentru t a u( t a ) k , pentru t a
as k ε k STGO – L [ u( t )] k dt ; STGT[ u( t a )] ε k dt –L s a s 0
st
u(t) u(ta)
ST GT
t
k SRGO –[L v( t )] k t dt 2 ; s 0 st 1 SRUO [ v( t )] ε t dt -L s2 o
v(t a) 0, pentru t a STGT v(t a) kt, pentru t a as ε SRGT [–v( t a )] ε t dt L s2 a
SRUT –[ L v( t a )]
st
k ε as ε k t dt 2 s a
st
Fizic, semnalul rampă reprezintă o viteză şi poate fi realizat cu ajutorul unor generatoare de curent sau tensiune liniar crescătoare
c.Semnalul impuls.
ta δ( t a ) 0 a α a αδ( t a ) dt 1 α 0 δ(ta) 1/2 α
a.
0
Conform primei relaţii rezultă că funcţia impuls există numai la t = a, în rest fiind nulă, iar relaţia a doua arată că aria delimitată de aceasta este unitară. In concluzie, funcţia impuls este concentrată la abscisa de definiţie, sub forma unui impuls de durată foarte mică, astfel ca cea de-a doua relaţie să fie îndeplinită.
δ(ta) b.
a-α a a+α t
0 Fig. 2.4.
Astfel, dacă se consideră o funcţie arbitrară f(t) continuă şi se înmulţeşte cu funcţia impuls, se va obţine valoarea funcţiei f(t) la abscisa de apariţie a semnalului impuls, adică: a2
δ( t a ) f ( t ) dt f ( a ) pentru a1 a a 2
a1
O altă proprietate a funcţiei impuls constă în legătura dintre aceasta şi semnalul treaptă. Astfel:
d u( t a ) δ( t a ) dt Dacă vom deriva ambele părţi avem:
0 t a u( t a ) δ( t a ) dt 0 1 t a t
d. Semnalul sinusoidal
x A sin( t ) sau y A cos( t f ) e ε sin ωt 2j jωt
jωt
ε ε ; cos ωt ; j 1 2 jωt
jωt
Acest tip de semnal este foarte cunoscut, realizându-se fizic cu ajutorul generatoarelor de semnale sinusoidale,
e( t ) es ( t ) et ( t )
Răspunsul elementelor de ordinul 1 şi 2
de T e k0 i dt
a.Elemente de ordinul 1:
de T e 0 ( 1) dt
es k0 i0 (2)
det 1 det dt t et ; ; ln et ln C et C ε dt T et T T
e( t ) es et k0 i0 C ε t = 0 , e(0) = 0 - C = -k0.i0 e(t)
k0.i 0,632k0.i0
0
t T
t T
t e( t ) k0 i0 ( 1 T )
e( T ) k0 i0 ( 1 1 ) 0 ,632k0 i0
α
0
t T
ε-1 ≈ 0,368 Deoarece durata regimului tranzitoriu, teoretic e infinită, în practică se consideră că timpul de desfăşurare a acestui regim este tt = 3T sau 4T, când amplitudinea semnalulului de ieşire atinge 95%, respectiv 98% din valoarea
b. Elemente de ordinul 2
1 d 2 e 2ξ de 2 e k 0 i0 2 ωn dt ωn dt r 2 2 n r n
2
1 d 2e 2 de 2 e 0 2 n dt n dt
r1,2 n j n 1
2
e( 0 ) k i0 C1 C2 0 de t 0 r1 C1 r2 C 2 0 dt
es k0 i0
et es et k i0 C1 r1 t C2 r2 t C1
k0 i0 r2 k ir si C2 0 1 r2 r1 r2 r1
A
r2 r1 t r1 r2 t e( t ) k0 i0 ( 1 ) r2 r1 r2 r1
B
+ω
r1
+ξωn(1-ξ)n1/2 GF C
φ O -ξωn(1ξ)1/2 r2
ωn
D
ξωn ωn
E
-
Deoarece ωn este întotdeauna pozitiv, conform relaţiei (2.59) se observă că în toate cazurile în care ξ < 0, regimurile tranzitorii nu se amortizează şi mărimea de ieşire nu devine staţionară. Deoarece sistemele nu pot funcţiona în aceste cazuri, ele vor fi evitate, în studiu luându-se în considerare cazurile ξ ≥ 0. Cazul 1: ξ = 0 r1,2 = ± Doua rădacini imaginare, jωn OA şiOE reprezentate de vectorii
jnt jnt e( t ) k0 i0 ( 1 ) k0 i0 ( 1 cos nt ) 2 că semnalul de ieşire este periodic, de amplitudine constantă şi oscilează în jurul valorii k0i0 (curba 1), acest regim fiind numit oscilant neamortizat.
Cazul 2: 0 < ξ < 1. In acest caz r1,2 sunt două rădăcini complex conjugate cu parte reală negativă, vectoriiOB , OD
e(t)
2k0i0
1( ξ=0)
n r1,2 j n 1 2 t e( t ) k0 i0 [ 1 ( sin t cos t )]
(0< ξ<1) 2
k0i0 4( ξ>1)
3 ( ξ=1)
Componenta tranzitorie are un Tm i(t) caracter amortizat (curba 2), regimul denumindu-se oscilant amortizat. Pulsaţia de oscilaţie β este întotdeauna mai mică decât ωn, iar amortizarea componentei tranzitorii depinde de α, deci implicit de factorul de amortizare ξ. Constanta de timp în acest caz este T = 1/(ξ.ωn) si se poate scrie succesiv:
e( t ) k0 i0 [ 1
nt 1 2
(cos sin n 1 2 t sin cos n 1 2 t )]
nt k0 i0 1 sin( n 1 2 t 1 2
) , respectiv :
n t e( t ) k0 i0 1 sin 1 2 t arccos 1 2
Cazul 3: ξ = 1. Tinând cont că cele două rădăcini au aceeaşi valoare, reprezentate de OC
r1 r2 n
r2 r1t r1 r2t e( t ) k0 i0 [( 1 lim ita ( )] r2 r1 n r2 r1
existenţa unei nedeterminări
d r1t r2 t r1 t r2 t dr r2 r1 r t 1 e( t ) k0 i0 1 2 k0 i0 1 d 1 r2 r1 n ( r2 r1 ) r r dr2 2 1 n
e( t ) k0 i0 ( 1 nt ( 1 nt ) Regimul de funcţionare se numeşte aperiodic critic (curba 3), iar constanta de timp are valoarea T = 1/ωn. Cazul 4: ξ > 1. In acest caz cele două rădăcini vor fi:
r1 n n 1 2 0 OF
= r1 şiOG= r 2
r2 n n 1 2 0
Răspunsul la un semnal treaptă unitară e dat de:
T t T t e( t ) k0 i0 1 1 T1 2 T2 T1 T2 T1 T2 T1 şi T2 se pot considera constante de timp ale elementului considerat având valorile T1 = -(1/r1) > 0 şi T2 = -(1/r2) > 0. Regimul de lucru al elementului în acest caz, reprezintă regimul aperiodic sau supraamortizat (curba 4)
Pentru studiul sistemelor automate, în practică se utilizează elemente tip la care între mărimea de ieşire şi cea de intrare se stabilesc relaţiile : •Element proporţional P
Element integrator I
e( t ) k p i 1 e( t ) k p i dt Ti
Element proporţionalderivativ PD
di e( t ) k p ( 1 Td ) dt
Element proporţional-integrator PI:
1 e( t) k p (1 i dt) Ti
Element prop.-integr.-deriv. PID:
1 di e( t ) k p ( 1 i dt Td ) Ti dt
kp – constantă de proporţionalitate (factor de amplificare), TI – constantă de timp integrală, Td – constantă de timp derivativă, cu precizarea că elemente pur derivative nu se pot utiliza în practică deoarece duc la forţarea elementelor (sistemelor).
Funcţia de transfer. Forme de exprimare Funcţia de transfer, pe care o vom nota cu Y(s), pentru un element sau ansamblu de elemente liniare continue se defineşte ca raportul dintre transformata Laplace a mărimii de ieşire E(s) şi transformata Laplace a mărimii de intrare I(s) în element sau ansmblul de elemente, în condiţii iniţiale nule, adică:
Y( s )
E( s ) I( s )
( ansn an1sn1 .... a2 s2 a1s a ) E( s ) ( bmsm bm1sm1 .... b2 s2 b1s b0 ) I ( s ) m
Y( s )
m
m 1
2
bk sk
E ( s ) bm s bm1 s .... b2 s b1 s b0 k 0 n n 1 2 I ( s ) an s an1 s .... a2 s a1 s a0 n k ak s k 0
bm m bm 1 m 1 b b s s .... 2 s 2 1 s 1 E ( s ) b0 b0 b0 b0 Y( s ) ko an n an1 n1 a a I( s ) s s .... 2 s2 1 s 1 a0 a0 a0 a0
k ( s z1 )( s z2 )....(s zm ) Y( s ) s p ( s p1 )( s p2 )....(s pn p )
Dacă se grupează sub formă de binoame termenii ce corespund rădăcinilor reale şi sub formă de trinoame termenii ce corespund rădăcinilor complex conjugate, ale celor două polinoame, funcţia de transfer se poate exprima cu:
1 2 21 s s1 2 1 k 1T s Y( s ) 1 1 ..... p 1 T s 1 2 2 2 s 2 s s1 2 2 2 P
YP ( s ) k p
I
YI ( s )
1 Ti s
PD Y ( s ) k T s PD p d PI D
YPID ( s ) k p
PI YPI ( s ) k p
1 Td s Ti s
1 Ti s
In sinteza sistemelor automate funcţia de transfer se aplică la determinarea construcţiei elementelor care să fie capabile să efectueze transformarea cerută, cunoscute fiind mărimile de intrare I(t) si de ieşire e(t). Astfel, din e(t) şi i(t) se găsesc imaginile E(s) = L[e(t)] şi I(s) = L[i(t)], apoi se determină funcţia de transfer Y(s) = E(s)/I(s). In analiza sistemelor automate, funcţia de transfer este utilizată la determinarea semnalului de ieşire e(t) dacă se cunoaşte mărimea de intrare i(t) şi expresia funcţiei de transfer Y(s). In acest caz, din i(t) se află imaginea I(s) = L[i(t)], apoi se calculează imaginea E(s) = Y(s).I(s) din care se va determina mărimea de ieşire e(t) prin efectuarea transformatei Laplace inversă L1[Y(s).I(s)].
Funcţia de transfer şi mărimea de ieşire a elementelor (ex Elementul de ordinul 1 este caracterizat de ecuaţia generală şi la intrare se consideră i(t) = i0 = 1. Imaginea mărimii de intrare este I(s) = 1/s.
E ( s) Y ( s) I ( s)
k 0 i0 k 0 i0 1 Ts 1 s T 1 s s T
1 1 A 1 B 1 1 s s s s ; 1 A s Bs; 1 s(A B) T T s T s 1 T T
1
A B 1 s s 1 s s T T 1 1 1 T ( ) ss 1 T s s 1 T
A B 0 A T; B -T A T 1
1 1 ki 1 E( s) 0 0 k0i0 T s s 1 T s s 1 T
e(t ) k0 i0 (1 )
E( s) Y ( s) I ( s)
k E ( s) Y ( s) 2 0 Luând în considerare elementul I ( s) s 2 de ordinul 2, care primeşte la 1 2 intrare un semnal treaptă unitar cu n n I(s) = i0/s, funcţia sa de transfer va fi:
E( s)
L -1
k0 i 0 s 2 2 s 1 n2 n
1 1 b at a bt ab ab(b a) s ( s a )( s b )
ki s 2 2 n s 1 0, s1,2 n j n 1 2 s( s 2 2n s 1) 2 00 n
1 1 e(t ) k0i0n2 s2 s1t s1 s2t s1s2 ( s1 s2 ) s1s2
t T
s1s2 n2 ; s1 s2 ( s1 s2 ) 2 jn3 1 2 ; s1t nt jn 1 ; s2t -nt -jn 1 ; 2
jn 1 t cos n 1 - 2 t j sin n 1 - 2 t 2
nt 2 e(t ) k0i0 1 sin(n 1 t arccos 1 2
2
Algebra sistemelor liniare continue Componenţa (structura) sistemului este reprezentată prin schemele bloc ale elementelor componente, legate între ele în diverse variante, iar schema funcţională (bloc) echivalentă va respecta legea superpoziţiei (suprapunerii efectelor), deoarece fiecare element component prezintă o comportare liniară. Datorită acestor motive schema funcţională poate fi restructurată sau simplificată, în funcţie de modul de interconectare al elementelor. a. Elemente legate în serie Y11 Y1
I(s)
X12
X23 Y2
Y3
E(s )
Y1 ( s )
X (s) X 12 ( s ) E( s ) ; Y2 ( s ) 23 ; Y3 ( s ) I( s ) X 12 ( s ) X 23 ( s )
E( s ) X 23 Y3 X 12 Y2 Y3 I Y1 Y2 Y3 Y( s ) Y1 ( s ) Y 2 ( s ) Y 3 ( s ) I( s ) I I I
n
Yserie ( s ) Yk k 1
b. Elemente legate în paralel. I
X
1
I
X X X E X X X Y1 1 ; Y2 2 ; Y3 3 Y 1 2 3 Y1 Y2 Y3 , I I I I I
Y X
I
Y 2
I
Y
2
+
1
+
E
n
Yparalel ( s ) Yk ( s )
+ X
k 1
3 3
Funcţia de transfer a elementului sau grupului de c. Element (sistem) cu elemente de pe calea (bucla) directă , ce are la Yd E / A intrare mărimea de acţionare a(t), reacţie iar funcţia de transfer a elementului (elementelor) de pe calea de reacţie care are Y R / E r la intrare mărimea de ieşire e(t) va fi I A E Yd Deoarece i(t) = a(t) ± r(t), funcţia de transfer a grupului în sistem închis v ± R
Y0 ( s ) Yr
E( s ) E( s ) I ( s ) E( s ) Y ( s ) E( s ) r Yd ( s )
Y0 ( s )
Yd ( s ) 1 Yd ( s ) Yr ( s )
I 1
I
E
+
Y
d. Mutarea elementului de comparaţie +
1
±
±
1
I
I
2
E
Y
E I1 Y1 I 2 1 E ( I1 I 2 ) Y1 Y1
1
1/Y
2
1
a .
I+
Y1
E
1
I
b . Y
1
1
E
+ ±
±
I
I2
2
E I1 Y1 I2 Y1 ( I1 I2 ) Y1
Y 1
d.
c.
I
I1 Y1 I 2 E ( I1 I 2 ) Y1
e. Modificarea buclei de reacţie +
Yd
E
I
1/Yr
+
±
Yd
Yr
± Yr a.
I+
Yd
b. E
I
Yr
+
±
Yd
1/Yr
E
± Yr d.
c.
Y E 1 Y Y Y0 d r d I Yr 1 Yd Yr 1 Yd Yr 1 Yd E Y Yr Y0 Yr d 1 I 1 Yd Yr 1 Yd Yr
E Y Y0 d I 1 Yd Yr
E Y Y0 d I 1 Yd f. Suprapunerea semnalelorI 2
I1+
Y1 +
+
Y2
E I1 +
Y01
-
Y3 a.
I2 +
Y02 b.
E Y01 I1 Y02 I 2 ; + E
E Y Y Y01 1 2 I1 I 0 1 Y1 Y2 Y3 2
Y1 Y 2 Y2 E Y2 E Y02 1 Y1 Y2 Y3 1 Y1 Y2 Y3 I2 I 0 1 Y1 Y2 Y3 1
Y1
g. Reducerea schemelor funcţionale
I
g_1. Reactii neincrucisate
Y2
Y14 ( Y1 Y2 Y3 ) Y4 ; Y5 8 Y5 Y6 Y7 Y8 ;
Y5 Y4
Y6
Y11 +
Y7
Y3
Y8
Y12
Y1519 ( Y15Y16 Y17 ) Y18 Y19 ; Y 9-14
Y14
Y912 Y914 ; Y 5 -19 Y5 8 1 Y912 Y1314 1 Y5 8 Y914 Y1519 Y Y Y Y0 14 5 8 9 14 1 Y5 8 Y9 14 Y1519
g_2. Reactii incrucisate I A Y B 1 + _
+
C
E
Y10
_
+
Y 9-12 Y 9 Y10 (Y11 Y12 ); Y13-14 Y13 Y14 ;
Y9
Y2
D +
+
Y6
F Y 3 +
Y5
Y16
Y13
Y15
Y19 Y18 Y17
G Y 4
E
E G Y4 ; G F Y3 ; F D E Y5 ; D C Y2 ; C B G Y6 ; B A Y1 ; A I E Y0
Y1 Y2 Y3 Y4 1 Y2 Y3 Y4 Y3 Y4 Y5 Y1 Y2 Y3 Y4 1 n Y0 k ck k 1
Pentru mai multă rapiditate se recomandă metode din teoria grafurilor, dezvoltate de Mason şi se poate demonstra că funcţia de transfer echivalentă este: Ck = Ck(s) reprezintă valoarea căii de ordinul k, ţinând cont de sensul de circulaţie al semnalelor, calea fiind parcursă de la intrare spre ieşire, fără a se repeta vreo porţiune din traseu. Se consideră a k astfel de căi posibile ce nu se intersectează între ele; Δ = Δ(s) este valoarea determinantului general al schemei bloc ce rezultă B din B Brelaţia: Bt Bu ........... r Bsreciproc B fiind valoarea bucleleor existente, iar produsele efectuându-se numaip întreq buclele netangente; Δk = Δk(s) reprezintăreprezintaloarea determinantului ce corespunde căii Ck, produsele efectuânduse numai pentru buclele reciproc tangente. Valoarea unei căi Ck sau a unei bucle B rezultă prin înmulţirea tuturor funcţiilor de transfer corespunzătoare căii sau buclei ţinând cont că la parcurgerea unui element de comparaţie cu (-) se va inversa semnul funcţiei de transfer din faţa acestui element. Pentru sistemul dat, unde există o singură cale posibilă, de la intrare spre ieşire C (kY =Y 1) Yvom Y avea:
1
2
3
4
Deoarece, toate buclele existente sunt tangente reciproc, se vor exclude produsele de bucle şi determinantul general va fi: Δ 1 Y 2 Y 3 Y 6 Y 3 Y 4 Y 5 Y1 Y 2 Y 3 Y 4 Toate buclele fiind reciproc tangente şi tangente la calea C1 excluzând produsele de bucle precum şi toate buclele, determinantul căii C1 va fi unitar, adică Δ1 = 1.
E 1 Y1 Y2 Y3 Y4 Y0 1 C1 I 1 Y2 Y3 Y4 Y3 Y4 Y5 Y1 Y2 Y3 Y4
Algebra sistemelor liniare continue cu timp mort Timpul mort se datoreşte vitezei finite de parcurgere a semnalului în diferite medii sau dispozitive în cazul unor procese ca: transportul la distanţă a energiei electrice, deplasarea fluidelor prin conducte, tran-smiterea căldurii, transportul unor materiale granulate sau pulveru-lente pe benzi transportoare, etc. i( t)
i(t – Tm) = e(t),iar pentru t
Tm=L /v
e
e (t )
v L
Y(s) = L[e(t)]/ L[i(t)]= ε sTm c
d k e m d k i( t Tm ) ε sTm a Ls k [i(t)] = b sLk [e(t)] k k a k k bk k k 0 k 0 k 0 k 0 dt dt n
n
t T
a.
n
b.
n
ak s k
YTm ( s ) k n0
bk s k
ε sTm Y ( s ) ε sTm
1 1 ε jsTm cos ωTm j sin ωTm YTm 1 Tm s Tm2 s 2 s 3 ...... 2! 3!
k o
a. Conectarea în serie a. Conectarea în paralel a. Conectarea în circuit E( s)
E1 =I2
Y1 ε
sT1
Y2 ε
E1 ( s ) Y1 ( s ) ε
sTm1
sT2
E(s)
I( s )
sT
E( s ) Y 2 ( s ) ε m 2 E 1 ( s ) E( s ) s( T T ) YTm ( s ) Y 1 ( s ) Y 2 ( s ) ε m1 m 2 I( s ) s( Tm Tm ...Tm ) n YTm ( s ) Y1( s ) .... Yn ( s ) 1 2
n
Yk
k 1
sTmk
I(s)
Y1 ε
E
sT1
1
E
Y2 ε sT2
I(s) ±E(s)
A(s sTmd ) ± Yd ε
±
sT Yr ε md
2
E( s ) sT sT [ Y1( s ) m1 Y2( s ) m2 ] I ( s )
YTm ( s ) sT sT [ Y1( s ) m1 Y2( s ) m2 ] n
YTm ( s ) Yk ε k 1
E(s)
sTmk
E( s ) Yd ( s ) ε sTmd A( s ) R( s ) Yr ( s ) ε sTmr A( s ) A( s ) I ( s ) R( s )
Y Tm ( s )
Yd ( s ) ε sTmd 1 Yd Yr ( s ) ε
s ( Tmd Tmr )
Calculul funcţiei de transfer echivalente Determinarea funcţiei de transfer echivalente a unui sistem presupune cunoaşterea funcţiilor de transfer a fiecărui u element component şi, în funcţie de modul de LE G G M interconectare al acestora, prin algebra schemelor funcţionale se poate obţine funcţia de transfer globală, funcţie care ulterior se Exc.=c θ poate utiliza la analiza şi sinteza sistemului de t. e reglare în studiu.
C
iE RE
1
R
u A
R
u
A
u
1
Q
A
E
2
+ u -
ui uI u
θi
+ -
Pi
A
θi
Pi
u
iE
Q
ur Pr u
A
ur Q
Y0 = L[θe] / L[θI]
G
G
M
Considerând că θi scade datorită unei acţiuni din exterior, tensiunea în punctul 1 scade, vor scădea uA , uQ , iE şi uG, θe motorul rotind cursorul lui Pr în sensul scăderii tensiunii în punctul 2. Astfel, când θe = θi tensinile (potenţialele) în punctele 1 şi 2 sunt egale şi de semn contrar, uA , uQ , iE şi uG devin nule, motorul oprindu-se. Din aceste considerente rezultă că θe urmăreşte fidel θi , după o scurtă perioadă de timp ce determină regimul tranzitoriu.
1 R L[uA] = C s 2. L[uI]/ L[θI] R1 1 ki = kr R L[uI]/ Cs Pr
1. u k θ P i i i
u Pr k r θ r
3.
L[i] şi L[uQ] =R1.L[i] Y (s) Q
Ts 1 Ts k 1
T = RC k1 = (R + R1)
L[θI])
k A A LE s R E TE s 1
4.
A·uQ = uE = LE··diE / dt + RE··iE Ya(s) =
diM RM iM dt dn M M CM iM J M R f n dt n dθ e / dt
YG(s) = L[uQ]/ L[IE] = kG
5. uG k M n LM
CM R f RM k M C M LM T1 T2 R f RM k M C M R f LM R M T1 T2 R f RM k M C M k
k s [ T1 T2 s 2 ( T1 T2 ) 1 ]
YM(s) = L[θe] / L[uG] =
Y0(s) = L[θe] / L[θYi]Pi = YQ Y A YG Y M
1 Y Pr YQ Y A YG Y M
Y0 ( s )
b1 s b0 a3 s3 a2 s 2 a1 s a0
Matricea de transfer Y i1 i2
e e 1 E.L.M .
I1
Y1
I2
2
2
11
Y2 Y m
im
Im
e
Y2 1
Y
22 Yn
m1
E1 Y11 I 1 Y12 I 2 ........ Y1m I m
E 1 E 2
Y1k = E1 / IkE 2
E
m n
n
Y21 I 1 Y22 I 2 ........ Y2m I m
...................................................... E Yn1 I 1 Yn 2 I 2 ........ Ynm I m
Sistemul de calcul prezentat se poate transcrie sub forma matricială: unde E şi I E=YI reprezintă vectorul de ieşire (mx1), respectiv vectorul de intrare (nx1) iar: reprezintă matricea de transfer de ordinul (nxm), în care fiecare element este redat de o funcţie de transfer. Practic, prin utilizarea matricei de transfer se pot pune în evidenţă totalitatea acţiunilor posibile ale tuturor intrărilor asupra tuturor ieşirilor în cazul unui E.L.M., ceea ce duce la simplificarea esenţială a calculelor matematice, calcule deosebit de laborioase prin alte metode prezentate într-o serie de lucrări.
Y11Y12 ........Y1m Y=
Y21Y22 ........Y2m ...................... Yn1Yn 2 ........Ynm
Algebra schemelor funcţionale cu matrici de transfer I
E1 I
Legarea în serie Y 1
E Y2
2
n
Ys = Y
2
k
k 1
1
Y 1
I Legarea în paralel
E1 +
E
n
Yp = Yk k 1
E Y2
Sistem în circuit închis E = Yd · A; R = Yr · E; A = I I + A Yd ± R, rezultă ± E = Y · I, R Yr unde:
Yd Y 1 Yd Yr
2
La legarea în serie a elementelor multiple se va ţine cont de premultiplicarea (multiplicarea spre stânga) a matricilor de transfer pentru k crescător, cu respectarea sensului de parcurgere al semnalelor, iar numărul semnalelor de ieşire dintr-un element trebuie să fie identic cu numărul semnalelor de intrare în elementul imediat următor. In cazul legării în paralel a elementelor trebuie respectată condiţia ca numărul semnalelor de ieşire ale fiecărui element multiplu să fie acelaşi
In cazul determinării matricii de transfer a unui sistem în circuit închis se impune succesiunea de multiplicare a matricilor, iar numărul de semnale de ieşire din elementul multiplu trebuie să fie identic cu numărul de semnale de intrare în elementul imediat următor.
Calculul matricii echivalente de transfer Se va lua în considerare un sistem automat pentru reglarea temperaturii (θ) a gazelor arse şi a turţiei (n) în cazul unei turbine cu gaz, care constituie procesul P, după schema principială: uθre
+
f -
uθ
Regulator de temperatu ră
an Regulator
unre+
de
f
θ (P)
qag TURBI NA Clapetă gaz gaz
θ YT11 q a YT12 q g n YT21 q a YT22 q g
n
turaţie
un
-
qa Clapetă ae aer r
Termocu plu
q a Y RE11 a θ 0 a n q g 0 a θ Y RE22 a n uθ Y M 11 θ 0 n u n 0 θ Y M 22 n
Tahogene rat.
YT =
YT11 YT12
M=
Y RE11 0
A=
0 Y RE22
aθ
θ
n
si M
an u
Y M 11 0
YM =
; E=
qg
YT21 YT22
YRE =
qa
E si R = θ
un
0 Y M 22
cele două tensiuni uθ şi un sunt proporţionale cu temperatura θ a gazelo I +
A
YRE M
R
YT
E I=
Y M
u θref u nref
M YRE A E Y M T = R YM E A I R
G ( 1 Y M 11 YT11 Y RE11 ) ( 1 Y M 22 YT22 Y RE22 ) Y M 11 Y M 22 YT12 Y RE11 Y RE22 G11 ( 1 Y M 22 YT22 Y RE22 ) YT11 Y M 11 YT12 Y RE22 Y RE11 G12 ( 1 Y M 22 YT22 Y RE22 ) YT12 Y RE22 Y M 11 Y RE11 Y RE22 YT12 YT22 G 21 Y M 22 Y RE11 Y RE22 YT11 YT12 ( 1 Y M 11 Y RE11 YT11 ) YT21 Y RE11 G 22 Y M Y RE Y RE YT YT ( 1 Y M Y RE YT ) Y RE YT 22 11 22 12 21 11 11 11 22 22 In cazul în care se neglijează interacţiunile din turbină între qa şi n, respectiv qg şi θ (acest lucru doar pentru simplificare, deoarece în cazul real nu se poate face), atunci YT12 = YT21 = 0
θ
Y Y Y T RE 1 YT Y RE Y M
E= I·Y
YT11 Y RE11 1 Y M 11 Y RE11 YT11
E=
Y=
1 G11 G12 G G21 G 22
θ 1 G11 uθref G12 unref n G G21 uθ G22 un ref ref
uθref n
YT22 YRE22 1 YM 22 YRE22 YT22
unref
METODE DE ANALIZA SI SINTEZA ALE SISTEMELOR AUTOMATE LIN Pentru analiza sistemelor automate liniare se utilizează diverse reprezentări grafice, cunoscute sub numele de răspunsul la frecvenţă, prin reprezentarea funcţiei de transfer frecvenţiale în diagrame polare (planul complex) şi în diagrame logaritmice (reprezentarea Bode). Se mai pot utiliza şi alte metode grafo-analitice, mai frecvent metodele de analiză în planul complex şi în planul modulfază. Sinteza sistemelor automate se referă la alegerea, dimensionarea şi modul de interconectare a elementelor componente ale sistemului, în aşa fel încât acesta să se poată încadra în performanţele impuse atât în regim staţionar, cât si în regim dinamic (tranzitoriu). Performanţele unui sistem pot fi modificate prin introducerea unor poli şi zerouri (locul geometric al rădăcinilor ecuaţiei caracteristice), prin utilizarea unor reţele de corecţie, determinarea performanţelor şi a indicilor de calitate, etc.
A. Răspunsul la frecvenţă al sistemelor Legătura între domeniul timp şi cel frecvenţial se realizează prin transfor-marea Fourier, care se obţine prin înlocuirea variabilei complexe s = ζ + jω cu variabila pur imaginară s = jω în transformarea Laplace..
A.1. Locul de transfer. Caracteristici de frecvenţă
Y ( j ) P( ) j Q( ) M ( ) j ( ) jQ
P(ω )
Q( ω)
φ(ω ) Y(j ω)
Elemente de ordinul 1
K 2 2 K K M ( ) P ( ) Q ( ) 2 2 1/ 2 Y ( jω ) Y( s ) ( 1 T) 1 jωT 1T s K K( 1 jωT ) K K ωT P ( ω ) 2 2 Y ( jω ) 2 2 j 2 2 2 2 1 ω T 1 ω T 1 ω T 1 ω T jQ Q() KT Q() 2 2 () arctg arctgT P() 1 T ω=-∞ Pω=0K P ω=+ ω=0 ∞ Φ(ω)
P
Y(jω)
Q
M ( ) P2 ( ) Q2 ( ) ( ) arctg
Y0 (s)
M(ω) a. P(ω) Q(ω) k φ(ω)
Q( ) P( )
M M(ω ) P(ω ) ω=1/ T
0
Q( ω) φ(ω )
- k/2π/4 π/ 2
ω
b.
Y ( s) 1 Y ( s)
K Y ( j ) 1 jT Y0 ( j ) K 1 Y ( j ) 1 1 jT K K 1 K T 1 K jT 1 j 1 K
Y0 ( j ) Deoarece K > 0
K0 1 jT0 K0 < K
STABILITATEA SISTEMELOR AUTOMATE LINIARE Prin stabilitatea unui sistem automat se înţelege proprietatea acestuia de a restabili în timp finit, prin intermediul acţiunii elementelor sale componente, un nou regim staţionar, dacă a fost scos din starea sa staţionară anterioară din cauza variaţiei mărimii de intrare sau a unei perturbări.
I m
I m
et
lim e( t ) est. si lim et 0
t
et ek
ek
pk
e t ( t ) C i p i t
R e -0 α
t
R e
p1 p2 p3
0
t
0
pk+
a. I m
Re[p k,k 1 ] 0
b. I m
et
et
pk
t
R e
ek
R e
α
0 + α
0
pk+ 1
c.
d.
I m
et p1=j β
ek p3 = 0
R e
0
t 0
p2=jβ
e.
pi < 0
et (t ) C k t sin(t )
0
α
1
t
t
Criteriul matematic general de stabilitate absolută a sistemelor automate se poate enunţa astfel: “pentru ca un sistem automat liniar , fără timp mort, să fie stabil, e necesar şi suficient ca toate rădăcinile reale ale ecuaţiei caracteristice să fie negative, iar toate rădaăcinile complexconjugate să prezinte parte reală negativă”. Rezultă că, toate rădăcinile ecuaţiei caracteristice (polii funcţiei de transfer ai sistemului închis Y0(s) să se găsească în semiplanul stâng al planului complex s). Cu cât aceste rădăcini (poli) sunt mai îndepărtate de axa imaginară, cu atât durata componentei tranzitorii este mai scurtă.
Criteriul de stabilitate în planul s Im pk
(I I)x p
n 1 2
2
xp
xp
θ
6
4
p
x
x
1
-x p(II) 2
x
p p Rp e k
δ
3 5 x-p 4 x-p6
(I )
nt cos( n 1 2 t )
Funcţia pondere posedă un regim staţionar, adică se amortizează în raport cu timpul la sfârşitul unui regim tranzitoriu, numai în cazul în care toţi polii funcţiei de transfer Y0(s) au parte reală negativă, adică α < 0, indiferent de forma reală, complex-conjugată, multiplă sau nemultiplă a acestora. In cazul în care această condiţie nu este îndeplinită, chiar şi pentru un singur pol, atunci funcţia pondere nu prezintă un regim staţionar, neamortizându-se în timp, sistemul fiind instabil. Toţi polii reali situaţi în stânga dreptei(I) vor introduce componente aperiodice amortizate mai rapid decât εδt , iar toţi polii complex-conjugaţi situaţi în interiorul dreptelor (II) introduc componente periodice amortizate, cu amortizare mai mare decât ξ = cos θ.
Deoarece durata regimului tranzitoriu nu este singura condiţie impusă ca regimul unui sistem să fie satisfăcător, acesta trebuie să prezinte şi un suprareglaj acceptabil prin alegerea unghiului θ = arccos ξ. Condiţia de stabilitate absolută prin limitarea semiplanului stâng la abscisa –δ se face pe considerente practice, pentru sisteme automate studiate anterior şi într-o primă aproximare, pot fi neglijaţi polii aflaţi la stânga abscisei –5δ, datorită amortizării rapide a funcţiilor exponenţiale ce caracterizeaza aceşti poli şi care nu influienţează sensibil regimul tranzitoriu.
an
an 2
an 4 ........ a2
a0
an-1
an-3
an-5......... a1
0
b1
b2
b3
0
0
c1
c2
c3 ............ 0
0
................................................................. (n-2 )1 (n-2 )2 0 ........... 0 0 (n-1 )1
0
0 .......... 0
0
n1
0
0 ........... .0
0
Criteriul de stabilitate Routh-Hurwitz (algebric)
an pn an1 pn1 ........a2 p2 ap a0 0 b1
an1 an2 an an3 a a a a b a b a ; b2 n 1 n 4 n n 5 ;....c1 1 n 3 2 n 1 ; an 1 an 1 b1 c2
b1 an5 b3 an 1 (n 1)1 (n 2)2 0 ..........................n1 b1 (n 1)1
Criteriul se referă la prima coloană a matricei, a , a , adică: b c ,........, (n 2) n
n 1
1
1
1
(n 1)1 n1
şi poate fi exprimat astfel: “numărul de schimbări al termenilor din coloană corespunde
numărului de rădăcini cu parte reală pozitivă ale polinomului”. Rezultă că, dacă polinomul reprezintă ecuaţia caracteristică a sistemului, sistemul este stabil dacă în prima coloană nu există schimbări de semn, în caz contrar e instabil.
La întocmirea matricei pot interveni două cazuri particulare: - Primul termen dintr-o linie este nul, caz în care nu se mai pot calcula ceilalţi termeni. Pentru continuarea calculelor se va înlocui termenul cu un număr mic, pozitiv şi se vor continua calculele. - Toţi termenii unei linii sunt nuli. In acest caz există două rădăcini pur imaginare şi sistemul este oscilant întreţinut. Calculul matricei se va continua prin înlocuirea liniei de zerouri cu o linie formată din derivarea polinomului liniei precedente, făcându-se presupu-nerea că fiecare linie corespunde unui polinom având puterile n, n-2, n4,…pentru prima linie, n-1, n-3, n-5,… pentru a doua linie şi aşa mai departe. La întocmirea tabelului pentru uşurarea calculelor, se va ţine cont de următoarele reguli: - Toţi termenii unei linii pot fi înmulţiţi cu o constantă pozitivă, pentru simplificare. In acest sens termenii unei linii pot fi de exemplu înmulţiţi cu numitorul, simplificând astfel calculul termenilor dar, semnul numitorului trebuie păstrat. - Polinomul poate fi simplificat printr-o schimbare a scării timpului p = kP unde k se ΔH = ia de obicei o putere a lui 10, sau prin înmulţirea polinomului cu o constantă.
an1
an3
an5
an-7 ....... .......... ... 0
an
an-2
an-4
an-6 ................. ... 0
0
an1
an3
0
an
an2
a .......... .........0
n5
an-4 ................ .... 0
In conformitate cu acest criteriu, “sistemul este stabil (toţi polii funcţiei de transfer sunt situaţi în semiplanul stâng al planului s, numai dacă ΔH > 0 şi toţi minorii după diagonala principală sunt pozitivi”.
.......... .......... .......... .......... .......... .......... .............. ........ . 0 .......... .......... .......... .......... .......... .......... ...b2 b0 0 0 ......... ........... .......... .......... .......... .......... ..b3 b1 0 0 .......... .......... .......... .......... .......... .......... .b
1 180 5 0 -1 0 1,26 0 31,4 0 0 0 126 0
bn1 bn-3 bn bn-2
; Δ3 bn bn-2 bn-4 .... 0 bn-1 bn-3
p8+50p7+1300p6+6,6.104p5+4,1.105p4+1,39.107p3+6,5.107p2+3,6.108
Exemplu 1. (P8) 65 (P7) 36 (P6) 900 (P5) 0 (P5) 0 (P3) 0 (P3) 0
b b0
2
Δ1 bn1 ; Δ2
bn1 bn-3 bn-5
13
41
66
193
12
289
16,38
45,36
409,5 0 819
1134 0 0
P8 + 5P7 + 13P6 + 66P5 +41P4 + 193P3 + 65P2 + 36P + Sistemul descris de ecuaţia caracteristică dată este instabil deoarece există două schimbări de semn în prima coloană (+5, -1, +1,26), adică există două rădăcini cu parte reală pozitivă. Mai mult, există şi două rădăcini pur imaginare indicate de linia de zerouri apărută în matrice la linia (P3) şi care a fost înlocuită cu derivata polinomului (P4). Dacă ne interesează numai stabilitatea sistemului, nu şi numărul rădăcinilor cu parte reală pozitivă, calculul termenilor se poate opri la linia (P6), adică la prima schimbare de
Exemplu 2. Utilizarea mediului de programare Labview a permis relizarea unor programe performante, prezentarea unui astfel de program fiind făcută în continuare foarte sumar considerând că polinomul caracteristic al sistemului este:
P( s ) s 5 2s 4 6 s 3 48s 2 8 s 120
Fig. 4.4.
Criteriul de stabilitate Nyquist Criteriul simplificat: Un sistem liniar şi continuu stabil în stare deschisă, având funcţia de transfer Yd(s).Yr(s) va fi stabil şi în stare închisă dacă punctul de coordonate (-1, j0) din planul complex nu se găseşte în interiorul caracteristicii amplitudine-fază, trasată la o variaţie a pulsaţiei de la - la + Criteriul generalizat: Un sistem liniar şi continuu, instabil în stare deschisă va fi stabil în stare închisă dacă punctul de coordonate (-1, j0)din planul complex este înconjurat, în sens antiorar, de caracteristica amplitudine-fază a sistemului deschis - la + Yd(s).Yr(s), trasată şi parcursă pentru o variaţie a pulsaţiei de la de un număr de ori egal cu numărul Y (s) 1 Yd (s)de Yr (s) poli ai funcţiei de transfer: numărându-se numai polii aflaţi în dreapta axei imaginare.
F (s) 1 Yd (s) Yr (s) H (s) Im
D(s)
F ( s) A
(s s1)(s s2 ).....(s sr ) argF(s) arg(s s1 ) ..... arg(s sr ) (s s )(s s ).....(s s ) arg(s sα ) ..... arg(s s ρ )
Planul s
Д=Y(j ω) x
F(j ω) Y(j
x x
x
0
+1 j0 1,j 0
x x
R
a. Im
Γ1
Planul F(s) +
ωc
F(j ω)
3 ωf3
ω)
Re
x x
Γ’
Im
C3 +
Im
Re
3
-1,j0 Y2(jω
) 2 Y3(jω )
γ3< 0
γ2=ωf 0 1 Y1(j ω) 1
R e γ1> 0
Marginea de fază γ reprezintă unghiul pe care-l face vectorul complex unitar cu semiaxa reală negativă. Se consideră: γ1 > 0, pentru sisteme stabile (curba – 1); γ2 = 0, pentru sisteme la limita de stabilitate (curba – 2); γ3 < 0, pentru sisteme instabile (curba – 3).
Re 0
b.
1 Yd ( j f ) Yr ( j f )
sau, db Yd ( j f ) Yr ( j f )
Yd ( j f 3 ) Yr ( j f 3 ) Y3 ( j 1; 3 1 db
Exemplu 1.
Y d s
k1 k Y r s 2 T1 s 1 T2 s 1
Y d s Y r s
1
K Yd j Yr j jT1 1 jT2 1
-1
Va rezulta Z=0, deci sistemul este instabil indiferent de valoarea lui K pe motivul că, nu există intersecţii ale caracteristicii cu semiaxa negativă a pulsaţiilor. Conform celor precizate, punctul critic de coordonate (-1, j0) nu poate fi cuprins de locul de transfer. Exemplul 2Y ( s)
K s ( sT 1)
+jQ
K T1 s 1T2 s 1
unde α = 0, 1, 2,…
ω=-8 ω=+8
T1 + T2 P
A
k Fig. 4.8.
Considerând α = 0, locul de transfer e redat în figura a, sistemul fiind stabil indiferent de valoarea lui K (P = 0, R = 0, Z = 0). Pentru α = 1, locul de transfer e redat în figura b, sistemul fiind stabil indiferent de valoarea lui K (P = 0, R = 0, Z = 0). Pentru α = 2, locul de transfer e redat în figura 4.14.a, iar pentru α = 3 în 4.14.b. Se poate observa că în ambele cazuri sitemul este instabil indiferent de valoarea lui k deoarece în primul caz P=0, R=-2, Z=2, iar In al doilea P=0,R=-1,Z=1. S-a demonstrat că sistemele ce prezintă +j +j o funcţie de transfer de forma: Q Q ω= 0+
ω= 0+
-1 ω 8 =+ 8 ω ω= =0-
a.
ω8 =+ 8 ω P =ω= 0-
-1 P
Fig. 4.14.
b.
K A ( s) Y ( s) m s Bn ( s)
unde α > 2 sunt instabile, Am(s) şi Bm(s) fiind polinoame de grad m,respectiv n de variabilă s (m < n).
Criteriul de stabilitate logaritmic (Bode)
M ( ) Y ( j ) P ( ) Q ( ) 1 ( ) arctg 2
2
Q( ) P( )
Datorită faptului că în planul logaritmic, M(ω) = 20 lg 1 = 0 şi ţinând cont de rezerva de stabilitate criteriul de stabilitate logaritmic poate fi enunţat astfel: “Un sistem liniar continuu cu funcţia de transfer în circuit deschis Yd(s)· Yr(s) care nu prezintă poli în semiplanul drept al planului s (P = 0), este stabil în stare închisă dacă modulul caracteristicii logaritmice de amplitudine M(ω) are o valoarea negativă, pentru care caracteristica logaritmică de fază φ(ω) are valoarea –π”.
+1 0
M(ω)[db ] M1(ωM2( ) ω)
d Yd0 Yr ( jω) / dω
M ( ) 0, pentru ( ) si P 0 rD ω
rc
-1 0
Se constată că rezerva de fază γ0 pentru sistemul stabil e
Φ( ω)0
0 1800 0 ( ) M ( )0 200
γ0
18 00
M ( ) 0, pentru ( ) si P 0
Pentru exemplificare, în figura se prezintă două caracteristici logaritmice pentru anumite valori ale factorului de amplificare. La mărirea acestuia se constată că acelaşi sistem devine instabil. In figură s-a notat marginea de ampliudine cu rc, rd, iar marginea de fază cu γ0 şi β0.
β0
ω
iar marginea de amplitudine (rezerva de modul sau de amplificare r0) pentru un sistem stabil este:
rc M 0 3,2 db
Fig. unjde ω0 reprezintă pulsaţia critică la care φ(ω0) = -18004.16 . . Pentru sistemul instabil, ca cel prezentat de M2(ω) nu se mai poate discuta despre rezerva de şi rc rd 0 0 0 0 stabilitate deoarece:
Discuţia stabilităţii sistemelor conform acestui criteriu se poate face în funcţie de marginea de câştig rc (rD) şi marginea de fază γ (β) conform tabelului Tabelul 4.1.
γ (β) [0]
Discuţie
>0 <0
Sistem stabil Sistem instabil
rC (rD) [db) <0
<0 >0
Performanţele sistemelor liniare continue. Indici de calitate Pentru buna funcţionare a unui sistem automat, performanţele impuse acestuia reprezintă indicii săi de calitate. Performanţele impuse unui sistem se referă la obţinerea unei anumite valori pentru indicii de calitate, referindu-se atât la regimul staţionar, cât şi la regimul tranzitoriu, în urma variaţiei mărimii de intrare sau a unei perturbaţii. De asemenea, performanţele sistemului se pot referi şi la caracteristicile de frecvenţă, adică la regimul staţionar sinusoidal Performanţele sistemelor liniare continue a.Eroarea staţionară, caracterizează precizia de funcţionare a sistemelor automate în regim staţionar. Luând în considerare un sistem automat liniar, cu notaţiile din figura, unde cu a e,i e am simbolizat eroarea (abaterea), valoarea ζ3 e1max i ζ1= 1,05 1 staţionară a acesteia va fi dată de: a = i – e ζ st est lim e( t ) st 0,95 unde: reprezintă valoarea t ζ2 staţionară (stabilizată) a mărimii de ieşire; i – semnalul aplicat la intrare. est=i =1
0
t1
t2
e,i e1max
ζ1= ζ
1 est
e
b. Suprareglajul (depăşirea), caracterizează regimul tranzitoriu al răspunsului, t4 tr t notându-se de obicei cu ζ. a. Suprareglajul ζ reprezintă depăşirea maximă pe care o are mărimea de ieşire e pe timpul regimului tranzitoriu la variaţii în treaptă ale mărimii de intrare i, în raport cu valoarea staţionară stabilită: σ = e1max – est.. In cazul ast ≠ prezentat, depăşirea maximă apare în prima 0 semiperioadă a oscilaţiei amortizate.
t3
ζ3 ζ2
0
b.
e1 ln 2 e2 e 1 ln 1 2 e2
2
t
c. Gradul de amortizare reprezintă un indice de calitate al regimului tranzitoriu al sistemelor automate. Cu referire la figurile 3.14.a., b., în cazul unei variaţii date a mărimii de intrare i(t), gradul de amortizare δ reprezintă diferenţa dintre unitate şi raportul amplitudinilor a două semioscilaţii succesive de acelaşi semn ale mărimii de ieşire e(t), măsurate în raport cu valoarea staţionară:
• d. Timpul de răspuns tr reprezintă intervalul de timp în care diferenţa dintre mărimea de ieşire şi valoarea sa staţionară se încadrează în anumite limite fixate, fără a mai depăşi ulterior aceste limite. Măsurarea timpului de răspuns se face de la începutul regimului tranzitoriu. Se consideră că regimul tranzitoriu este încheiat, restabilindu-se un nou regim staţionar unde Δ reprezintă e dacă: est valoarea minimă fixată, care în practică se adoptă Δ = 0,05 est, adică o plajă de ± 5% în jurul valorii staţionare.
e. Timpul de creştere, timpul primului maxim, timpul atingerii primei valori staţionare reprezintă indici de calitate care dau informaţii asupra rapidităţii sistemului de reglare automată. Aceşti indici se referă la răspunsul e(t) pentru o variaţie tip treapt a mărimii de intrare i(t). Timpul de creştere tc reprezintă timpul necesar pentru ca răspunsul e(t) să crească de la valoare 0,05·est la valoarea 0,95·est . Pentru determinarea lui tc se poate proceda în două feluri şi anume: Se duce o dreaptă prin punctele curbei e(t) care au coordonatele 0,05·est şi 0,95·est, stabilindu-se punctele de intersecţie ale acestei drepte cu axa timpului şi cu orizontala dusă prin ordonata e = est . Se adoptă pentru tc o valoare egală cu proiecţia pe axa timpului a segmentului de dreaptă dintre cele două puncte de intersecţie. Se trasează tangenta la curba e(t) în punctul de inflexiune sau în punctul de coordonată 0,05·est al curbei. Se stabilesc punctele de intersecţie ale tangentei cu axa abscisei şi cu orizontala dusă prin ordonata e = est , adoptându-se pentru tc o valoare egală cu proiecţia pe axa timpului a segmentului de tangentă cuprins între cele două puncte de intersecţie. IY0(j ω)Idb
f. Banda de trecere – reprezintă domeniul de frecvenţă de la ωm (minim) şi până la ωM (maxim) în care nu scade sub 3 db fată de valoarea sa corespunzătoare frecvenţei centrale ωc (fig. 3.15) a benzii de trecere. Pentru cazul sistemelor automate continue ωm = 0.
3d b
ω
ω
m Bandă C
trecere
ω de
Performanţele unui sistem pot fi apreciate şi după panta Mω modulului funcţiei de trensfer frecvenţiale în jurul frecvenţei de tăiere, pantă ce se recomandă a fi de –20 db/dec. în jurul frecvenţei de tăiere. Interpretarea performanţelor sistemului în funcţie de banda sa de trecere se face în raport cu spectrul de frecvenţă al semnalului de intrare. Considerând, de exemplu, ωa cea mai mare frecvenţă a semnalului de intrare, rezultă că frecvenţa proprie naturală a unui sistem de ordinul doi va trebui să devină: 2 3 condiţie necesară ca semnalul să 0 a transmită această componentă neatenuată.
Studiul factorului de amortizare ξ şi a pulsaţiei naturale performanţei sistemelor liniare continue Considerând 0 < ξ < 1
e( t ) k0 i0 [ 1
nt 1 2
k0 i0 1 1 2
Pentru simplificarea calculelor, vom considera în continuare k·i0 2 sin( n 1 t ) =1.
e( t1 ) est 1 e1 max e( t1 ) 1
n 1 2 t k ,unde k 0,1,2...
n 1
n 1 2
1
1 2
sin( )
3
n 1 2
etr
e3 ( t ) 1
nt 1 2
1 2
1 2
1 2
100_ 80_ 60_ 40_ 20_
t3
2
n 2 1 n 2 1 sin n 1 1 2 n 1 2
1 2 tg( n 1 t ) tg
2
t 2 de 1 n n sin n 1 t 2 t 2 2 dt 1 1 n cos 1 t n n
1 2 tm 2 n 1 2 n 1 2
asupra
(cos sin n 1 2 t sin cos n 1 2 t )] nt
tm
ω0
I
sin
I
I 0
I
I
I
I
I
I
I 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
0,8 0,9 1
3
1 2
sin
sin( 3 ) 1
sin( n 1 t ) 2
etr
3 1 2
nt 1 2
3
3 1 2
1 3 1
2 1 2
sin( n 1 2 t ) 0,05est 0,05
Deoarece valorile absolute ale sinusului se limitează la unitate, relaţia se poate înlocui, cu valoare acoperitoare, cu expresia:
nt 1
2
0,05, sau pentru t t r ,
ntr 1
2
0,05
2 ln( 0 , 05 1 nt r n( 0,05 1 2 , respectiv : t r n
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
ξ tr
6,28/ωn 5,35/ωn 4,78/ωn 4,37/ωn 4,35/ωn
Elemente şi metode de corecţie (compensare) Dacă, de exemplu un sistem este instabil sau se află la limita de stabilitate, introducerea elementului de corecţie va face sistemul stabil (prin modificarea factorului total de amplificare). De asemenea, se poate îmbunătăţi comportarea în regim tranzitoriu sau staţionar, prin introducerea unor zerouri suplimentare ce determină defazaje pozitive, de anticipare într-o gamă largă a frecvenţei. În acelaşi timp, introducerea unor poli suplimentari va putea duce la eliminarea abaterii (erorii) staţionare. În practică se face un compromis pentru a obţine o comportare optimă, deoarece s-ar putea ca prin introducerea unor elemente de corecţie unele performanţe ale sistemului să scadă. Tipuri de reţele de corecţie
YCP(s ) YCS(s )
YK(s)
Yk+1(s )
± YK(s)
a. b. I(s )
A( s) Y1(s)
±
+
YK(s) -
YK+1( s)
YCR(s )
c.
YK ( s ) YCs ( s ) YK ( s ) YCp ( s )
YK ( s ) 1 YK ( s ) YCr ( s )
E( s)
Reţele de corecţie cu avans de fază Im
C1
ψcdma
ω
x
R1 u1
R2
u2
Ycd(ω) ω=0 a. b.
0
ψcd(ω)
ω=8
1/αd
1 Re
c. ψcd
YCd ( s )
ψcdma
U 2 ( s ) 1 1 d Td s U 1 ( s ) d 1 Td s
x
ω
R R d 1 2 1 R2
R R Td 1 2 C R1 R 2
cd ( s ) arctg ( d Td ) arctg ( Td )
2 1 1 ( d Td ) YCd ( j ) d 1 ( Td ) 2
cdmax arcsin
1 d 1 d max Td d d 1
Reţele de corecţie cu întârziere de fază Im ω=8 0
R1
ω=0
1/αi
ψci(ω)
1 Re
Yci(ω)
u1
R2
u2
C2 ω
ψcdma x
a. b. c.
ψci
ω
ψcdmax
R R i 1 2 1 R2
Ti R 2 C 2
U 2 ( s ) 1 Ti s YCi U 1 ( s ) 1 i Ti s
YCi ( j )
ci ( ) arctg ( Ti ) arctg( i Ti )
1 ( Ti )2 1 ( i Ti ) 2
Reţele de corecţie cu avans şi întârziere de fază Im Im C C1d 1d
u u11
1/α 1/αdd
R R1i 1i
R R1d 1d R R2d 2d
R R2i 2i
u u u22 k≥α u k≥α u11 dd u33
0 u u44 0
ψ ψcdmax cdmax
Re 1 1 Re
ψ ψcimax cimax
C C2i 2i
a. a. b. b. c. c. d. d. ψ (ω) ψcid cid(ω)
α αII=α =αdd=α =α T > T TI > Td I
IY (jω) IYcid (jω) ciddb IIdb
d
α αII=α =αdd=α =α T TI > >T Td I
ψ ψcdma cdma xx
x x
ψ ψcimax cimax
1/αT 1/Tii 1/αTii1/T
ω ωima ima ω ωdma dma
d
1/αT 1/Tdd 1/αTdd 1/T (logω) (logω)
ω ω
x x
IY (jω)Idd IYcid cid(jω)I b b
IY (jω)Idb db IYcid cid(jω)I
K 1 d Td s 1 Ti s YCdi d 1 Td s 1 i Ti s 2 2 K 1 ( d Td ) 1 ( Ti ) YCdi ( j ) 2 d 1 ( Td ) 1 ( i Ti ) 2
cdi ( ) arctg ( d Td ) arctg ( Td ) arctg ( Ti ) arctg ( i Ti )
EXEMPLU
IY(jω)I db
1/Ta 1/T1
1/Tb
1/T2
-40db -20db dec. dec.
2
Ycs(ω)
kdd b -20db dec. [T1/T2]db
0
ω
ω
a
1
ω ω0 ω0
1
b
310
1
-60db dec.
1
ω
Y( s )
Kd s ( 1 Ta s ) ( 1 Tb s )
(logω) 3 Ydcs(ω)
ψ(ω) π/ 2
Ycd ( s )
Ψcs(ω)
1 T1 s cu T1 T2 T2 s
ω
0 π/ 2-π
T3 T1
Ψd(ω)
Ψdcs(ω)
3π/ 2
Se poate observa că, reţeaua de corecţie derivativă, alegând convenabil pe T1 şi T2 , poate realiza o reducere a atenuării în domeniul pulsaţiei de frângere (tăiere) şi chiar la creşterea acesteia, rezultând o bandă de trecere cuprinsă între 0 şi ωb. Rezultă că, în acelaşi timp va creşte rezerva de stabilitate a sistemului automat în amplitudine şi în fază. Consecinţa celor de mai sus, este faptul că, răspunsul sistemului oscilant are un caracter mai redus, factorul de amplificare va creşte, iar durata regimului tranzitoriu şi suprareglajul se vor reduce.
