http://librosdeingenieriagratis.com http://librosdeing enieriagratis.com/category/ingen /category/ingenieria-industrial/ ieria-industrial/ MODELACION DE !"O#LEMA$ DE !"O%"AMACI&N LINEAL Construya un modelo para los siguientes problemas. Defina adecuadamente las variables de decisión y documente bien las restricciones y el objetivo
'. !rograma de producci(n. La compañía Everfit dispone de los siguientes materiales: 1! m" de algodón# 11! m" de seda y 1$! m" de lana. %n vestido de mujer re&uiere " m" de algodón# 1 m" de seda y 1 m" de lana. %n vestido de 'ombre re&uiere 1 m" de algodón# " m" de seda y ( m" de lana. )i un vestido de mujer deja una utilidad de *+!!! y uno de 'ombre deja *1$!!!. ,Cu-ntos vestidos de 'ombre y cu-ntos de mujer debe confeccionar la empresa para obtener la m-ima utilidad/
). Me*clas %n agrónomo de la compañía 0bocol necesita preparar un abono &ue contenga por lo menos 1!!# 1"! y +! unidades de los fertiliantes 0# 2 y C# respectivamente. respectivamente. 3ara ello puede meclar un producto lí&uido &ue contiene $# " y 1 unidades de 0# 2 y C# respectivamente# respectivamente# por galón y un producto sólido &ue contiene 1# " y 4 unidades de 0# 2 y C# respectivamente# por 5ilogramo. El producto lí&uido tiene un precio de *(!! por galón y el producto sólido se compra a *"!! el 5ilogramo. ,6u7 cantidad de cada uno de los productos debe utiliarse para satisfacer los re&uisitos de composición eigidos incurriendo en el mínimo costo posible/
+. Asignaci(n de recursos. 3rolec'e dispone de dos tipos de ve'ículo para transportar la lec'e desde las fincas 'asta la planta de producción. 8iene cuatro del tipo 0 &ue poseen "!! pies c9bicos de espacio refrigerado y 4!! pies c9bicos de espacio no refrigerado y tiene del tipo E &ue poseen (!! pies c9bicos de espacio refrigerado y la misma cantidad de espacio no refrigerado. ecesitan transportar transportar +!!! pies c9bicos de producto refrigerado y 1"!!! pies c9bicos de producto no refrigerado. %tiliar el camión 0 cuesta *(! por milla y utiliar el camión E cuesta a *4! por milla. ,Cu-ntos camiones de cada tipo deben utiliarse de tal forma &ue se minimice el costo total de transporte/
,. !rogramaci(n de actiidades. La Cooperativa de ;ineros de 0mag- eplota " minas de carbón. La mina 0 produce en el día 1 tonelada de material de alta calidad# ( toneladas de calidad intermedia y $ toneladas de baja calidad. La mina ) produce diariamente " toneladas de cada una de las tres calidades. La cooperativa necesita diariamente# para su posterior procesamiento# 1!! toneladas de material de alta calidad# 1$! de mediana calidad y 1
. Dietas.
0leandra es la nutricionista de la clínica Las =egas y necesita preparar la dieta para cierto paciente &ue re&uiere cuando menos "!! miligramos de proteínas y m-imo !!! calorías# cada día. )uponga &ue ella cuenta sólo con " alimentos: soya y arro. %n 5ilo de soya contiene "!!! calorías y 1!! miligramos de proteínas y un 5ilo de arro contiene 4!!! calorías y $! miligramos de proteínas. )i el 5ilo de soya cuesta *1!! y el de arro *"$!# ,&u7 cantidad de cada alimento debe utiliarse para satisfacer la dieta y gastar la menor cantidad posible de dinero/
. Asignaci(n de recursos. Elmer 2ara'ona y cuatro amigos# son pe&ueños comerciantes &ue reunieron 1(! millones de pesos y decidieron viajar desde Cali 'asta )an 0ndr7s para ad&uirir mercancía barata directamente en los barcos &ue llegan con turistas. 3ueden comprar televisores# e&uipos de sonido y aspiradoras# aspiradoras# cuyos precios correspondientes son: *>"!.!!!# *+!!.!!! y *(!!.!!!. Estos artículos se venden en Cali f-cilmente a: *1."!!.!!!# *1.$!.!!! y *(!.!!!# respectivamente. respectivamente. La aduana no permite &ue una persona transporte m-s de die artefactos el7ctricos. Determine cómo debe invertirse el dinero con el fin de obtener la mayor utilidad posible. )i adem-s no se permite &ue una persona transporte mas de cuatro aparatos del mismo tipo# ,Cómo cambia esto el modelo/
0. Modalidades de corte. 3apelsa recibió un pedido de papel corrugado# constituido así:
1. Modalidades de corte. 3apeles acionales ).0 produce normalmente rollos de !? de anc'o# pero debe satisfacer el siguiente pedido formado por rollos m-s pe&ueños: (! rollos de "
2. !rograma de producci(n. @ndustrias Camel produce los artículos 0 y 2. La elaboración de una unidad del artículo 0 cuesta *"! por concepto de mano de obra y una unidad del artículo 2 cuesta *1!. Cada unidad de 0 utilia *1! de materia prima y cada unidad de 2 utilia *(!. El desgaste del e&uipo se considera proporcional proporcional a la producción. 3or cada unidad producida de 0 el e&uipo se desgasta *$# y por cada unidad producida de 2 el e&uipo se desgasta *1. )e cuenta con un presupuesto de *1!! !!! para salarios y de *1
0leandra es la nutricionista de la clínica Las =egas y necesita preparar la dieta para cierto paciente &ue re&uiere cuando menos "!! miligramos de proteínas y m-imo !!! calorías# cada día. )uponga &ue ella cuenta sólo con " alimentos: soya y arro. %n 5ilo de soya contiene "!!! calorías y 1!! miligramos de proteínas y un 5ilo de arro contiene 4!!! calorías y $! miligramos de proteínas. )i el 5ilo de soya cuesta *1!! y el de arro *"$!# ,&u7 cantidad de cada alimento debe utiliarse para satisfacer la dieta y gastar la menor cantidad posible de dinero/
. Asignaci(n de recursos. Elmer 2ara'ona y cuatro amigos# son pe&ueños comerciantes &ue reunieron 1(! millones de pesos y decidieron viajar desde Cali 'asta )an 0ndr7s para ad&uirir mercancía barata directamente en los barcos &ue llegan con turistas. 3ueden comprar televisores# e&uipos de sonido y aspiradoras# aspiradoras# cuyos precios correspondientes son: *>"!.!!!# *+!!.!!! y *(!!.!!!. Estos artículos se venden en Cali f-cilmente a: *1."!!.!!!# *1.$!.!!! y *(!.!!!# respectivamente. respectivamente. La aduana no permite &ue una persona transporte m-s de die artefactos el7ctricos. Determine cómo debe invertirse el dinero con el fin de obtener la mayor utilidad posible. )i adem-s no se permite &ue una persona transporte mas de cuatro aparatos del mismo tipo# ,Cómo cambia esto el modelo/
0. Modalidades de corte. 3apelsa recibió un pedido de papel corrugado# constituido así:
1. Modalidades de corte. 3apeles acionales ).0 produce normalmente rollos de !? de anc'o# pero debe satisfacer el siguiente pedido formado por rollos m-s pe&ueños: (! rollos de "
2. !rograma de producci(n. @ndustrias Camel produce los artículos 0 y 2. La elaboración de una unidad del artículo 0 cuesta *"! por concepto de mano de obra y una unidad del artículo 2 cuesta *1!. Cada unidad de 0 utilia *1! de materia prima y cada unidad de 2 utilia *(!. El desgaste del e&uipo se considera proporcional proporcional a la producción. 3or cada unidad producida de 0 el e&uipo se desgasta *$# y por cada unidad producida de 2 el e&uipo se desgasta *1. )e cuenta con un presupuesto de *1!! !!! para salarios y de *1
'3. !rograma de producci(n %n ebanista tiene 1$!! decimetros" de tabla tipo 0 y 1!!! decimetros" de tabla tipo 2. 8ambi7n dispone de
Art4culo
Madera 5ipo A 6dm)/u7
Madera 5ipo # 6dm)/u7
8oras 8ombre 6h-h/u7
9tilidad 6/u7
;esa )illa Escritorio Estante
$ 1 + 1"
" ( 4 1
( " $ 1!
1" $ 1$ 1!
Determine cu-ntas unidades de cada uno de los artículos debe producir el ebanista con el fin de cumplir su demanda y obtener la m-ima utilidad.
''. Asignaci(n de recursos. La compañía D8=# fabrica aparatos de televisión en dos tipos de referencia: de "4? y de "1?. El televisor de "4? se vende a *4+$.!!! la unidad y ocasiona un costo de producción de *"<.!!!. el de "1? se vende a *"(4.!!! y ocasiona un costo de producción de *111.+!!. 8anto 8anto el aparato de "1? como el de "4? tienen pantalla plana. La planta tiene capacidad diaria para fabricar 'asta $! pantallas para televisión de "4?. Cada 8= de "4? re&uiere de 1< 'orasA'ombre 'orasA'ombre para el ensamblaje del c'asis# el de "1? re&uiere de < 'orasA'ombre. La planta emplea ""$ 'ombres con un turno diario de < 'oras en el departamento de ensamblaje. Cada aparato de "4? re&uiere de 1. 'oras 'ombre para su armado completo# mientras &ue el de "1? re&uiere 1 'oraA'ombre. La planta emplea (! 'ombres con turno de < 'oras diarias para esta labor. Cada 8= de "4? re&uiere " 'orasA'ombre 'orasA'ombre para inspección final mientras &ue cada 8= de "1? re&uiere de !.$ 'orasA'ombre. La planta emplea "! inspectores de tiempo completo y uno de medio tiempo. ,Cu-ntos 8= de cada tipo deben producirse para maimiar la utilidad/
'). Asignaci(n de recursos. La Bac dispone de 14 aviones ballena? y < 8iburón? para efectuar una misión de apoyo logístico a las tropas &ue ocupan dos sitios estrat7gicos. Cada ballena? tiene capacidad de transportar "! toneladas de armamento# 4 camiones y ( jeeps cada 8iburón? puede transportar transportar 1$ toneladas toneladas de armamento# 1 camión y " jeeps. )e debe debe abastecer el punto estrat7gico 0 con al menos : $>! ton de armamento# "$ camiones y 1< jeeps y tambi7n el punto estrat7gico 2 con por lo menos ($! ton de armamento y todos los camiones y jeeps &ue sea posible llevarle. En 2 'ay combustible sólo para "! camiones ó para 1( jeeps ó una combinación apropiada de camiones y jeepsF. El comando superior 'a determinado &ue toda la operación se efect9e desde cierto aeropuerto secreto operando sólo durante el tiempo &ue se re&uiere para decolar "! aviones 2allena? ó 14 aviones 8iburón? o cual&uier combinación posible de aviones dentro del tiempo asignado a esta maniobraF. Cada vuelo del avión 2allena? cuesta *1"!.!!! 'asta el punto 0 y *
*+!.!!! al punto 0 y *!.!!! al punto 2. Cómo planearía usted esta misión para &ue fuera lo m-s económica posible/
'+. Me*clas. 3ara la elaboración de un producto &uímico se cuenta con 4 materias primas: 0# 2# C y D &ue contienen cierto factor f tal como se indica en el cuadro siguiente:
Materia !rima
Contenido de ;actor <6=7
Costo por >ilogramo
0 2 C D
$1 11 14 (
*4 *" *".4! *(
)e trata de obtener al mínimo costo una tonelada del producto con la condición de &ue el factor f sea por lo menos del 1
',. Asignaci(n de recursos. %n barco tiene bodegas en la proa# en el centro y en la popa. Las capacidades de cada bodega son:
#odega
Capacidad 5oneladas
Capacidad !ies C?bicos
3roa Centro 3opa
"!!! (!!! 1$!!
1!!!!! 1($!!! (!!!!
Los dueños del barco pueden aceptar el total o una parte de los artículos &ue se ofrecen para el transporte. Las características de estos artículos son las siguientes:
Art4culos 5ipo
!eso 5oneladas
@olumen !ies C?bicos por 5oneladas
9tilidad /5on
0 2 C
(!!! 1!!! "!!!
! $! "$
!!!
3ara preservar el e&uilibrio del barco# el tonelaje transportado en cada bodega debe ser la misma proporción de la capacidad de la bodega respectiva. Determina la forma de ubicar la carga para obtener la m-ima utilidad por el transporte.
'. Asignaci(n de recursos.
Don Heliodoro es un rico 'acendado &ue dispone de los siguientes recursos para emplearlos en la próima siembra de su finca: *1$.!!!.!!! 1($! 'oras de tractor $ 'ect-reas de tierra cultivable. 3uede sembrar ;aí# )orgo ó Bríjol. )e supone &ue tiene a su disposición 'ombres suficientes. Los costos de producción son los siguientes: 8ractor e implementos# *$!I'ora mano de obra# $*I'ora semillas para la plantación# *"!!I'ect-rea. Los re&uerimientos de los cultivos son los siguientes:
Cultio
Mano de Obra 6h/8a7
5ractor 6h/8a7
Otros Costos 6/8a7
@enta 6/8a7
;aí )orgo Bríjol
1! "$ ($
"! "$ 1$
*1$! *"!! *
*(!!! *(
Determine la forma de cultivar &ue le produce la m-ima utilidad.
'. Asignaci(n de recursos. La ensambladora C'evroletAColmotores &ue produce automóviles y camiones tiene los siguientes departamentos: 0: 8ro&uelado de carrocerías. 2: 0rmado de motores. C: ;ontaje de automóviles. D: ;ontaje de camiones. El departamento 0 puede tro&uelar carrocerías cada mes para "$!!! automóviles o ($!!! camiones o las correspondientes combinaciones de automóviles y camiones. El departamento 2 puede armar por mes ((((( motores de automóviles ó 1> motores de camión o una combinación adecuada de motores de ambos. El departamento C puede montar y terminar "$$!! automóviles. El departamento D puede montar y terminar "$!!! camiones. Cada automóvil deja una utilidad neta de *+ millones y cada camión de *$.$ millones. 3lanifi&ue la producción para obtener la m-ima utilidad.
'0. !rogramaci(n de la producci(n. La fabrica de camisas 0fa debe cumplir el contrato de entrega de un pedido durante 4 meses en los cuales varían los costos de producción. El costo de almacenamiento para unidades producidas en un mes y no entregadas en ese mes es de *1! por unidad y por mes. )e da la siguiente información:
de Mes Contrato @entas 1 " ( 4
"! (! $! 4!
Capacidad de !roducci(n 4! $! (! $!
Costo 9nitario *14! *1! *1$! *1>!
Cu-l es el programa de producción &ue cumple con el contrato y minimia los costos totales/
'1. Asignaci(n de recursos. 0ces ser- creada de nuevo y para empear tiene el proyecto de comprar nuevos aviones y puede escoger entre tres tipos de capacidad de vuelo# corta# mediana y larga. Los aviones de capacidad corta cuestan a %)*(.$!!.!!!# los de mediana capacidad a %)*$.!!!.!!! y los de larga capacidad a %)*.>!!.!!!. )e tiene un presupuesto para el proyecto de %)*1$!.!!!.!!!. Los aviones ser-n utiliados al m-imo de su capacidad# produciendo una ganancia neta anual# así: aviones de corta capacidad %)*"(!.!!!# aviones de mediana capacidad# %)*(!!.!!! y aviones de larga capacidad# %)*4!!.!!!. La compañía tiene (! pilotos capacitados para operar estos tipos de avión. )i solamente se compran aviones de corta capacidad los 'angares serían suficientes para 4! de ellos sin embargo# el espacio ocupado por los de mediana capacidad es 4I( de la ocupada por los de corta. 0sí mismo el espacio ocupado por los de larga capacidad es de $I( la de corta capacidad. )e desea conocer cu-ntos aviones de cada tipo se deben comprar para obtener una ganancia m-ima.
'2. Asignaci(n de recursos. 8ampa es una compañía de aviación &ue transporta carga 9nicamente y tiene < aviones tipo 1# 1$ aviones tipo " y 1" aviones tipo ( disponibles. La capacidad en toneladas es de: 4$ para los de tipo 1# > para los de tipo " y 4 para los de tipo (. La compañía viaja desde su ciudad base 'asta las ciudades 0 y 2. Las demandas de 'oy son: "!! toneladas para la ciudad 0 y 1
8ipo 1 "( $<
8ipo " $ 1!
8ipo ( 1.4 (.<
Bormule un modelo de programación lineal para organiar el envío de tal manera &ue se obtenga el mínimo costo.
)3. 5ransporte. La cervecería 2a'ía posee tres plantas localiadas en tres ciudades diferentes# con las cuales surte el consumo del país dividido en cuatro onas: orte# Central# )uroriental y del 3acífico. La planta @ produce 1.(!!.!!! litros cada mes# la planta @@# >!!.!!! li tros y la planta @@@# (!!.!!! litros. La demanda mensual en las diferentes onas de consumo es como sigue: ona # !!.!!! litros# ona C# 4!!.!!! litros y ona 3# $!!.!!! litros. Los costos combinados de producción y transporte de las diferentes plantas a los centros de consumo# se muestran en la tabla siguiente:
!lanta
ona N
ona C
ona $
ona !
@
$!!
!!
>!!
@@ @@@
!!
$!! !!
!! (!!
Cómo deben programarse los envíos para generar el mínimo costo total/
)'. Asignaci(n de recursos. J. )eas es propietario de un barco &ue tiene dos bodegas cuyas capacidades de peso y volumen son: 2odega delantera: "!!! toneladas# >$!!! pies (. 2odega trasera: 1!!! toneladas# ($!!! pies (. Hay (!!! toneladas de madera y 1!!! toneladas de acero para ser transportadas. La madera ocupa ! pies ( Itonelada y su transporte produce una ganancia de *>!Itonelada. El acero ocupa sólo "$ pies ( Itonelada y la ganancia por su transporte es de *4!Itonelada. 3ara la seguridad del barco# el peso transportado en la bodega de adelante no debe superar el doble del peso &ue se transporta en la bodega de atr-s. J. )eas est- interesado en saber cómo cargar el barco para maimiar sus ganancias.
)). Me*clas La empresa antio&ueña de licores compra K'is5y de los grados 0#2 y C# los cuales combina en tres formas diferentes# &ue se caracterian por los diferentes porcentajes m-imo y mínimo de los K'is5ies grados 0 y C en la mecla. Estos porcentajes se dan en la tabla siguiente:
J;2E DE L0 ;EMCL0
CJD@C@JE) 300 LJ) @NED@E8E): OH@)PEQ 20)@CJ 0 Q C
2L%E DJ8
o menos del !G del K'is5y 0
3EC@J 3J 2J8ELL0
%)*.
o m-s del "!G del K'is5y C. H@NHL0D
%)*$.>!! o m-s de !G del K'is5y C
JLD BEMQ
o menos del 1$G del K'is5y 0.
%)*4.$!!
o m-s del $!G del K'is5ey C
La provisión de los tres K'is5ies b-sicos# junto con sus costos# se presenta en la tabla &ue sigue:
B8I$>E #A$ICO
MIMA CAN5IDAD DI$!ONI#LE 6#O5ELLA !O" DIA7
CO$5O !O" #O5ELLA
A
2000
US$7.000
B
8500
US$5.000
C
1200
US$4.500
Determine la forma de producción de las meclas &ue maimia las ganancias. ,Cu-nto se produce de cada mecla/
)+. !rogramaci(n de actiidades La firma R30=@;E8J) ).0.R# est- licitando por un contrato para la construcción de la calada de una carretera. Las especificaciones dadas indican &ue el espesor debe tener un mínimo de 1" cm y un m-imo de 4< cm. 3uede construirse de concreto# asfalto# gravilla o cual&uier combinación de los tres siempre y cuando# la resistencia total# sea al menos e&uivalente a la &ue tendría una calada de + cm de concreto. La firma 'a establecido &ue ( cm de asfalto son tan fuertes como 1 cm de concreto y &ue cm de gravilla son tan resistentes como 1 cm de concreto. El costo estimado para un metro cuadrado y un centímetro de espesor para el concreto# es de *(!.!!!. Bormule el problema de programación lineal &ue le permita a la firma# saber cu-l es la mejor combinación para la calada y conocer su costo.
),. Asignaci(n de recursos. Los talibanes acaban de comprar dos tipos de co'etes antia7reos: 8ipo 0 &ue pesa 1" toneladas y tipo 2 &ue pesa 1! toneladas. Compraron 1! de tipo 0 y de tipo 2 &ue deben transportar vía marítima# mediante dos barcos N y 3. El volumen de los co'etes no representa ning9n problema# pero el barco N tiene una capacidad de 1!! toneladas y el 3 de ! toneladas. El costo de transporte es de *$!!.!!!Itonelada en el barco N y *!!.!!!Itonelada en el barco 3. ,Cómo deben transportarse los co'etes para minimiar el costo total/
). !rogramaci(n de personal El departamento de 3olicía de la ciudad de ;edellín determinó los siguientes re&uerimientos mínimos de policías# &ue considera aproimadamente constantes para cual&uier día de la semana# ecepto s-bado y domingo .
8O"A$ DEL DIA
!E"IODO FMIN. DE !OLICIA$ "EG9E".
"A
1
"!
A1!
"
$!
1!A14
(
14A1<
4
1!!
1
$
4!
""A"
(!
Cada policía trabaja < 'oras consecutivas al día. Cómo deben organiarse las asignaciones de los agentes a los turnos de trabajo# de tal manera &ue se re&uiera utiliar el mínimo de agentes.
). !rogramaci(n de Actiidades %na compañía comercialiadora compra y vende maí en efectivo. 3osee una bodega con capacidad de $!.!!! bultos. El primero de enero espera tener un inventario de 1!.!!! bultos y adem-s tener * "!! millones en efectivo. El precio estimado del bulto de maí para el primer trimestre es:
Mes !recio de compra
!recio de enta
Enero
".<$!
(.1!!
Bebrero
(.!$!
(."$!
;aro
".+!!
".+$!
El maí &ue se compra un mes no puede venderse 'asta el mes siguiente. La compañía desea tener un inventario final de "!.!!! bultos al terminar el trimestre y necesita establecer un programa de compra y venta &ue maimice el inventario neto total del trimestre.
)0. !rogramaci(n de Actiidades )e debe programar la producción de un articulo durante las próimas cuatro semanas. El costo de la producción durante las dos primeras semanas es de *1!! por unidad y para las dos 9ltimas es de *1$!. Las demandas semestrales son de ># <# +# 1! unidades respectivamente. La planta tiene capacidad para producir + unidades cada
semana# pero adem-s puede emplear 'oras etras con lo cual aumenta la producción en dos unidades por semana. 3or cada unidad producida en tiempo etra se aumenta el costo de producción en *$<. El eceso de producción en una semana puede almacenarse a un costo de *( por unidad. Cómo debe programarse la producción de tal forma &ue se minimicen los costos en el periodo.
)1. !rogramaci(n de la producci(n. 6 pl separable7 %na compañía fabrica tres productos 0# 2# C. Cada unidad de 0 re&uiere una 'ora de ma&uinaria# < 'oras de mano de obra y 4 libras de material. Cada unidad de 2 necesita ( 'oras de ma&uinaria# ( de mano de obra y ( libras de material. Cada unidad del producto C re&uiere " 'oras de ma&uinaria# 4 de mano de obra y " libras de material. La empresa dispone de
!roducto A
!roducto #
!roducto C
9nidades 9tilidad 9nidades 9tilidad 9nidades 9tilidad @endiadas 9nitaria @endiadas 9nitaria @endiadas 9nitaria ! S 4!
1!
! S $!
! S 1!!
(
41 S 1!!
+
$1 S 1!!
4
1!1AAA
4
1!1 S 1$!
<
1!1AAAA
(
1$1 AAA
Elabore un modelo matem-tico para determinar cuantas unidades de cada producto se deben fabricar para maimiar la utilidad total. ,Es posible escribir un modelo de programación lineal/
)2. Asignaci(n. En la ciudad 'ay una banda compuesta por 4 delincuentes principales y el departamento de policía 'a seleccionado a 4 detectives famosos para &ue dirijan la operación de captura de los delincuentes. La tabla siguiente muestra la probabilidad de &ue el e&uipo &ue comanda cada detective capture a cada delincuente.
Detectie Delincuente
'
)
+
,
'
!.<
!.
!.$
!.>
)
!.1
!."
!.1
!.(
+
!.1
1.!
!.<
!.$
,
!.+
!.$
!.
1.!
Elabore un modelo de programación lineal para resolver el problema de asignación de los detectives de tal manera &ue se maimice la suma de las probabilidades de apresar a todos los delincuentes. ,Cómo ser- el modelo si el objetivo es maimiar la probabilidad de apresarlos a todos/ Discuta esta situación con su profesor de 8eoría de la 3robabilidad.
+3. !rogramaci(n de la producci(n. %na fabrica tiene demandas D1# D"# D( y D4 para su producto durante los próimos cuatro trimestres. En este momento no 'ay inventario ni se desea inventario de final de año. El costo de almacenar se calcula como * ci multiplicado por el inventario promedio del trimestre i . El costo de producción en el trimestre i es de $Pi. )i en el problema anterior se presenta un nuevo costo por cambiar el nivel de producción de un trimestre a otro# digamos *di multiplicado por el valor absoluto del cambio del nivel de producción# el nuevo problema &ue debe formularse es a9n de 3L. Epli&ue claramente su respuesta.
+'. Me*clas y transporte. La Bederación acional de Cafeteros desea determinar los sitios en donde debe instalar plantas procesadoras de caf7 y la cantidad a procesar en cada sitio. Hay varios sitios en donde se cultiva caf7# algunos de ellos producen caf7 tipo @ y otros caf7 tipo @@. El tipo @ es mejor &ue el tipo @@# pero es m-s costoso y escaso# por esto el caf7 procesado &ue llega al p9blico se compone de una parte de caf7 tipo @ y dos partes de caf7 tipo @@. El país tiene 4 sitios de producción de caf7 tipo @ cuyas ofertas por mes son 1!!# 1"!# "!! y 1$! miles de bultos. 8ambi7n 'ay 4 sitios de producción del caf7 tipo @@ cuyas ofertas por mes son de $!!# ($!# 4!! y >"! miles de bultos.
Hay ( sitios de demanda llamados 0# 2# C cuyas necesidades por mes 'an sido estimadas en >"!# 1!!!# y $
CA;H 5I!O I Ad by GoSave | Close Ad by GoSave | Close
$itio de cultio
$itio de !rocesamiento
'
)
+
'
1!
1"
1$
)
+
14
1
+
$
1!
1"
,
>
+
CA;H 5I!O II $itio de !rocesamiento $itio de Cultio '
)
+
'
11
14
1<
)
+
(
$
+
>
4
"
,
1!
>
+
Elabore el modelo de 3rogramación Lineal para el problema de identificar el programa de producción &ue minimia los costos totales .
+). Actiidades agropecuarias. %na ganadería tiene inicialmente 1!! terneras y 1$! terneros. )upongamos &ue cada una pesa 1$! Lb. Los terneros y terneras se pueden cebar durante 1$! días con una de las dos dietas siguientes:
Dieta %anancia de peso 6Lb7
Cantidad de Alimento consumido 6gr. / animal7 Concentrados Leguminosas
1
4!!
1#>"<
$4!
"
($!
1#1$!
14
)i no se dedican a la ceba los terneros y las terneras se pueden dedicar a la reproducción# caso en el cual se re&uiere de un toro por cada "! vacas. %n toro o una vaca son un ternero o una ternera &ue se 'a dejado crecer durante (!! días con una de las siguientes dietas.
Dieta %anancia de peso 6Lb7
(
(!!
Cantidad de Alimento consumido 6gr. / animal7 Concentrados
Leguminosas
$!!
"$!!
4
(!!
4!!
($!!
Cuando el ternero se vuelve toro o la ternera se vuelve vaca durante (!! días es necesario aumentarle la siguiente dieta para sostenerlos.
Dieta %anancia de peso 6Lb7
Cantidad de Alimento consumido 6gr. / animal7 Concentrados Leguminosas
$
"!!
$!!
(!!!
La ganadería dispone cada 1$! días de C gramos de concentrado y L de le guminosas. lo &ue se use durante esos 1$! días se pierdeF. 3or cada toro y por "! vacas dedicados a la reproducción se obtienen 1! terneros y + terneras. Los toros y las vacas solo se pueden vender al final del periodo. Cu-l debe ser el plan de acción durante los próimos +!! días si la libra de ternero o de ternera flacos se vende a *
días.
Dieta %anancia de peso 6Lb7
"!!
Cantidad de Alimento consumido 6gr. / animal7
Concentrados
Leguminosas
>!!
"!!!
a. La cantidad de leguminosas de &ue se dispone es ilimitada. b. La cantidad de concentrado aumenta en un $!G. c. Los terneros se pueden costear y alimentar en la dieta $ ó desde un principio
para volverlos bueyes y al final se pueden vender en *v cada uno.
++. 5ransporte. Las demandas para un tipo de articulo en los sitios 0# 2# C son 1!!# +!! y
;abrica
$itio de demanda A
#
C
I
1"
1$
1
II
1(
1"
1$
III
+
<
1>
I@
"1
"4
"!
a. Construya el modelo de 3L. para determinar cuantas unidades se deben
despac'ar de cada f-brica a cada sitio de demanda para &ue satisfaciendo todas las demandas# se tenga el mínimo costo de transporte. b. )i las producciones m-imas disminuyen en un $!G en todas las f-bricas y
deseamos satisfacer la mayor cantidad posible de demanda al mínimo costo# cómo se debe construir el modelo. c. La m-ima cantidad &ue se puede enviar de @@@ a 2 es de 1"!. ,Cu-l ser- el
modelo/ d. o es posible utiliar la ruta &ue une a @@ con C. ,Cu-l es el modelo/
e. La demanda en 0 se reduce a +$!. ,Cu-l es el modelo/
+,. Me*clas. %na ama de casa le pide a su carnicero &ue le muela varios troos de carne de res para formar con ellos una mecla &ue tenga partes iguales de proteínas y grasas y &ue impli&ue el mínimo costo. Los troos de carne tienen las siguientes características: Chata Lomo Pecho Costill Cader Sobrebarrig Lomito s a a a
G 3roteína
1+
"!
1
1>
1+
1
1>
G Nrasas
1
1<
"$
"(
11
"<
"!
Costo *ILbF
.+
+.<
1.(+
1."+
1.1+
1.$!
1.$
El G restante es agua. a. Elabore el modelo de 3.L para determinar la forma m-s económica de ubicar la
mecla deseada. b. )i el carnicero dispone de grasa etra sin ning9n costo# cómo se puede cambiar
el modelo/
+. Me*clas %n productor de fertiliantes desea producir una mecla &ue contenga al menos $ libras de itrógeno y al menos 1! libras de Bosfato. )upongamos por a'ora &ue no 'ay limite en cuanto al peso de la mecla. 8iene cuatro ingredientes con las siguientes características.
Ingrediente A
#
C
D
Contenido de Nitr(geno 6Lb por cada 1!! Lb 7
$
$
"
<
Contenido de
$
1"
1!
Costo 6* I 1!!Lb7 Elabore el modelo para determinar cu-l es la mecla de ingredientes &ue representa el mínimo costo. ,Cu-nto pesar- la mecla/
+. !rogramaci(n de actiidades. La pintura de un ve'ículo puede realiarse mediante uno de los tres procesos siguientes: inmersión# pistola y cuarto de pintura. 0lgunos datos relacionados con el proceso son:
!roceso de N?mero de 9nidades pintadas por hora si el pintura puestos de puesto se dedica eKclusiamente a trabaJo pintar partes del tipo 5ipo '
5ipo )
5ipo +
Inmersi(n
"
4!
1!
(!
!istola
4
$!
(!
4!
Cuarto
(
4$
1$
"!
,Cómo debe dividirse el trabajo de cada proceso para obtener el m-imo n9mero de partes pintadas por 'ora/
+0. Estrategia !ublicitaria. Helados ;imos decidió patrocinar un programa de televisión de media 'ora &ue presenta un imitador y un trovador. La compañía necesita &ue 'aya por lo menos ( minutos de anuncios comerciales sobre su producto y la programadora de televisión eige &ue el tiempo destinado a publicidad no eceda de 1" minutos# ni tampoco el
tiempo dedicado al imitador. El imitador no est- dispuesto a trabajar m-s de "! minutos del programa. El imitador cobra *1$! por minuto# el trovador *1!! por minuto y los anuncios valen a *$! por minuto. La eperiencia indica &ue por cada minuto &ue el imitador apareca en el programa 'abr- 4!!! televidentes adicionales y por cada minuto &ue apareca el trovador 'abr"!!! nuevos espectadores pero por cada minuto de propaganda apagan el televisor 1!!! personas. Elabore un programa de 3L. para distribuir el tiempo del programa# si se desea uno de los dos objetivos siguientes: a. ;aimiar el n9mero de televidentes. b. 3roducir el programa a un costo mínimo.
+1. Asignaci(n de recursos. La Bac tiene la misión de acabar con la fabricación clandestina de ametralladoras en unas regiones apartadas del país. Los fabricantes tienen 4 sitios claves en cada uno de los cuales producen una parte de las armas. La destrucción de uno de los sitios es suficiente para acabar con el negocio ilícito. Debido a la escase de presupuesto no se pueden gastar m-s de $>.$!! galones de gasolina en la misión. Cada avión &ue participe debe llenarse con suficiente gasolina para su viaje de ida y regreso y con +! galones para imprevistos. Los datos de los tipos de avión disponibles son:
5ipo
Descripci(n
Millas / %al(n
9nidades disponibles
BC
Caa S bombardero
4
"$
C ,
8ransp. S bombardero
(
$!
# )
2ombardero
(
"(
et
Caa S bombardero
"
1>
0 continuación aparecen los datos acerca de la ubicación de cada sitio de fabricación y de su vulnerabilidad al ata&ue de cada tipo de avión.
$itio
Distancia de la base 6millas7
!robabilidad de ser destruido por un ai(n del tipo
B C C - ,
# - )
et
'
41$
!.1!
!.!4
!.!<
!."$
)
(+
!."!
!.1!
!.1
!.("
+
"">
!.1$
!.1"
!.1"
!.(<
,
!.!$
!.1"
!."!
!."
)uponiendo &ue un sitio no sufre daño si la misión no logra destruirlo totalmente# ,Cómo debe programar la B0C el envío de sus aviones/ Sugerencia: comente este problema con su profesor de teoría de la probabilidad.
+2. !rogramaci(n de actiidades. %na compañía marítima re&uiere una flota de barcos para dar servicio de transporte de carga entre ciudades. Hay 4 rutas específicas &ue deben atenderse. Estas rutas y el n9mero de barcos re&ueridos para cada ruta son los siguientes:
"uta N
Origen
Destino
N de barcos reueridos por d4a
'
Cartagena
ueva Qor5
(
)
;arsella
Estambul
"
+
-poles
2ombay
1
,
ueva Qor5
;arsella
1
Los cargamentos son compatibles# de manera &ue sólo se re&uiere un tipo de barco. 0 continuación se muestra la matri de tiempos de viaje en días e ntre las distintas ciudades: Nápoles Nápoles Marsella Estambul Nueva York Cartagena Bombay
Marsella
! 1 " 14 > >
1 ! ( 1( < <
Estambul
" ( ! 1$ $ $
Nueva York
14 1( 1$ ! 1> "!
Cartagena
> < $ 1> ! (
Bombay
> < $ "! ( !
)e re&uiere un día para descargar un barco y un día para cargarlo. El administrador desea conocer mínimo cu-ntos barcos debe tener la compañía marítima para cumplir con las necesidades diariamente. Elabore un modelo de 3L para resolver este problema.
,3. Asignaci(n de recursos. %na empresa produce dos productos diferentes: 31 y p". el precio de venta de 31 es 4 *Iunidad y el de 3" es de (*Iunidad. 0mbos productos# 31 y 3"# re&uieren ( insumos diferentes &ue llamaremos 0# 2 y C. 3ara producir una unidad de 31 la empresa re&uiere una unidad de 0# una unidad de 2 y tres unidades de C. 3ara producir una unidad de 3"# se re&uiere una unidad de 0# dos unidades de 2 y dos unidades de C. Las cantidades m-imas de insumo disponibles por unidad de tiempo &ue pueden ser un día o una 'ora por ejemploF# son: $! unidades de 0#
,'. Inersiones. Don 0bundio dispone de (!.!!!.!!!# &ue desea invertir en tal forma &ue las utilidades durante el período de tres años sean m-imas. 8iene las siguientes alternativas de inversión: ALTERNATIVA A: Disponible al principio de cada año durante los próimos tres años. Cada peso invertido retornar- *1."! un año despu7s. ALTERNATIVA : Disponible al principio del primer año. Cada peso invertido# retornara *1.$! dos años despu7s. )e pueden invertir como m-imo *"!.!!!.!!!
ALTERNATIVA C: Disponible al principio del segundo año. Cada peso invertido en C retornar- *1.! dos años despu7s. 3uede invertirse un m-imo de *1$.!!!.!!! ALTERNATIVA !: Disponible al principio del tercer año. Cada peso invertido en D retornar- *1.4! un año despu7s. )e pueden invertir como m-imo *1!.!!!.!!!
,). !rogramaci(n de la producci(n.67 %na unidad completa de cierto producto consta de 4 unidades del componente 0 y ( unidades del componente 2. Las dos componentes se fabrican a partir de dos materias primas de las cuales se tienen disponibles 1!! y "!! unidades respectivamente. El proceso de producción tiene ( departamentos# cada uno de los cuales utilia un m7todo diferente para fabricar los componentes. La siguiente tabla muestra los re&uisitos de materia prima por corrida de producción y las unidades resultantes de cada componente:
Departamento
Entrada por corrida 6unidades7
$alida por corrida 6unidades7
;ateria prima 1
;ateria prima "
Componente Componente 0 2
'
<
>
$
)
$
+
+
+
(
<
<
4
)e desea determinar el n9mero de corridas de producción de cada departamento &ue maimia el n9mero de unidades completas del producto final.
,+. !rograma de producci(n. La empresa T fabrica dos tipos de artículos de acero. ormalmente la compañía compra barras de acero a 4*Iunidad# &ue utilia para fabricar el producto tipo 0 y tambi7n compra barras de acero especial a $*Iunidad# &ue utilia para el producto de tipo 2. Cada artículo debe pasar por tres procesos# incurriendo en diferentes costos en cada uno para cada tipo de artículo.
En el proceso de perforado 'ay capacidad para atender "! unidades de 0 ó "$ de 2 por 'ora. En el proceso de corte 'ay capacidad para (! de 0 ó "! de 2 por 'ora y en el proceso de terminado la capacidad es de 4! unidades de 0 ó (! de 2 por 'ora. %na 'ora de trabajo en los departamentos cuesta *$!# *(! y *4! respectivamente. Los precios de venta de los artículos son de *1! y *1" respectivamente. Debido a un contrato con un comprador importante# la empresa debe producir al menos $ unidades de 0 por 'ora. 3or otro lado del producto 2 no se espera vender m-s de 4< unidades diarias se trabaja un turno al díaF. ,Cómo debe programarse la producción/
,,. !rogramaci(n de la producci(n. %na compañía produce seis tipos de motores. Cada artículo pasa por oc'o procesos 'asta &uedar terminado. Las capacidades semanales de cada proceso para cada tipo de motor se dan en la siguiente tabla:
9nidades por semana !roceso
M'
M)
M+
M,
M
M
'
4$
$!
$!
(!
"$
"!
)
(!
4$
4$
1$
1$
1!
+
$!
4!
($
(!
(!
"!
,
($
($
(!
1$
1"
$
"$
">
">
""
1
14
$!
$!
$!
($
"$
"$
0
"$
">
"$
""
1>
14
1
"!
!
4!
4!
Margen de utilidad
(1$
($!
4
>1$
<"!
+!!
Elabore un modelo de 3L para determinar la m-ima ganancia.
,. Dieta. Los ingredientes utiliados para preparar una dieta para pollos son: maí# soya y calia. Los contenidos de los nutrientes de estos alimentos son:
Ingredient e
= de nutrientes
Costo 6/libra7
Calcio
!rote4na
;ibra
Ma4*
!.1
+
"
4.(!
$oya
!."
$!
<
1".$!
Cali*a
(<
!
!
1.4!
La dieta diaria de un pollo debe cumplir los siguientes re&uerimientos:
Calcio: 0l menos !.
,Cu-l es la composición de la dieta m-s barata/
,. !rogramaci(n de la producci(n. La empresa T est- planeando producir un nuevo artículo. Hay dos modelos del artículo: el de lujo y el normal. El modelo normal puede fabricarse en cual&uiera de las tres plantas de la compañía# llamadas 0# 2# C. El modelo de lujo sólo puede fabricarse en las plantas 2 y C. El modelo normal necesita seis 'oras de mano de obra en 0# tres en 2 y cinco en C. El modelo de lujo re&uiere cuatro 'oras de mano de obra si se produce
en 2 y cinco si se produce en C. Las plantas tienen las siguientes capacidades de mano de obra: 0 tiene ".!!! 'oras# 2 tiene .!!! y C 4.!!!. Los salarios por 'ora &ue se pagan son: 1.$! en 0# (.!! en 2 y " en C. El costo de material y otros costos directos para cada modelo son: *1! por unidad para el normal y *1$ por unidad para el de lujo. La empresa piensa vender los modelos normales por *(! la unidad y los de lujo a *4!. El departamento de mercadeo de la empresa reportó &ue la compañía no espera vender m-s de ".!!! unidades del modelo normal y m-s de 1.$!! unidades del modelo de lujo. Bormule el modelo de 3L para este problema.
,0. !roducci(n. %na compañía programa su producción con tres meses de anticipación. La planta tiene capacidad para fabricar 1(!! unidades en tiempo normal de trabajo. El costo de producción es de *4 por unidad. %sando tiempo etra se puede fabricar $!! unidades adicionales a un costo de *1! unidad. El costo de almacenamiento es de *( unidad cada mes. )e tienen pronostico de ventas mensuales de 1!!!# 1"!! y 1
,1. !rogramaci(n de la producci(n. %na compañía produce dos artículos : 0 y 2# de acuerdo a la siguiente ruta:
!roducto A
!roducto #
MPuina
5iempo de procesamiento en 8oras / unidad
;racci(n de
;1
!.!(
!.!1
;"
!.!>
!.!$
;(
!.!$
!.!"
;1
!.1"
!.!(
;(
!.!<
!.1!
;4
!.1>
!.!"
;1
!.!4
!.!>
Costos de operaci(n MPuina
Costo 6/ 8ora7
5iempo disponible 8oras
1
"!
4!!
"
(!
(4!
(
4!
41!
4
$!
1!
In
Costo materia prima /unidad
Niel de entas
M4nimo
MPKimo
A
!
"!
1!! %nid.
inguno
#
1!!
"$
1$! %nid.
"$! %nid
3lantee un modelo con el cual se puede 'allar el programa de producción para el próimo periodo.
,2. !rogramaci(n de producci(n. %na empresa tiene las m-&uinas 0# 2# C# D# E. Babrica un producto P# mediante un proceso &ue se es&uematia enseguida# en donde T# Q son dos materias primas.
La m-&uina 0 produce el "!G de desperdicio# &ue la empresa vende por una cantidad igual al costo del material. Debido a un contrato ya ad&uirido con un comprador importante# la empresa debe suministrarle b5 unidades mensuales. 3ero tambi7n tiene otros consumidores. )ólo dispone de 2 unidades de materia prima T y de 2y unidades de la materia prima Q# cada mes. Las capacidades mensuales de las m-&uinas son respectivamente: 20# 22# 2C# 2D# 2E. El precio de venta del articulo P es C5 *Iunidad. Los costos de producción de las m-&uinas son: C0# C2# CC# CD# CE *Iunidad# mientras los materiales cuestan respectivamente CT y CQ *Iunidad. Cu-l es el modelo matem-tico para el problema &ue busca maimiar las ganancias del proceso/
3. !rogramaci(n de la producci(n. %na compañía necesita programar la producción de un articulo# de tal forma &ue cumpla el siguiente plan de ventas ya comprometidas.
Mes
Enero
;ebrero
Mar*o
Cantidad
1.!!!
(.!!!
".!!!
La capacidad normal de la planta es de 1.!! unidades al mes# pero tambi7n puede utiliar 'oras etras 'asta para producir m-imo 1.1!! unidades adicionales por mes. La manufactura de cada unidad en 'ora normal cuesta *$ y en 'ora etra *>. El costo de almacenamiento mensual de una unidad es de *". La empresa no tiene inventario inicial y tampoco desea tener inventario final. Bormule el problema como un modelo de 3L.
'. !rogramaci(n de la producci(n Cierta empresa tiene el siguiente plan de ventas para uno de sus productos# durante el próimo año. Datos en milesF
"es
#
%
&
'
(
)
*
+ #, ## #
Ventas es-eradas 209 164 339 103 183 192 198 181 168 596 518 102
La compañía esta planeando producir en el año todo lo &ue espera vender# suponiendo entonces &ue no 'ay inventario inicial# ni se desea inventario final. 0dem-s la producción de cada mes debe abastecer la demanda correspondiente a las ventas. La compañía calcula el inventario promedio de cada mes como la semisuma del inventario inicial y del final. La f-brica opera con tres m-&uinas# en cual&uiera de las cuales se puede producir el articulo. 3roducir 1.!!! artículos en la m-&uina 1 cuesta *! en la m-&uina " cuesta *>! y en la m-&uina ( cuesta *+!. El costo de almacenar 1.!!! artículos durante un mes es de *( las capacidades de las m-&uinas son de 1
). Me*clas %na compañía necesita producir 4.!!! 5ilos de aleación de aluminio# &ue debe cumplir ciertas características de composición &uímica# al como se indica en la siguiente tabla
Componente Aluminio 8ierro Cobre 8ierro Q Manganeso cobre
m/0imo
!.!4
!.!$
!.!>
!.!"
m1nimo
!.>!
La compañía posee cuatro materiales de c'atarra a partir de los cuales obtiene los componentes para la aleación. Las composiciones de los materiales son:
Material Aluminio 8ierro Cobre Manganeso !recio/>ilo
1
!.$
!."(
!.!
!.!"
$
"
!.>!
!.1+
!.!$
!.!"
1!
(
!.
!.!<
!.!(
!.!(
1$
4
!.>$
!.!+
!.1"
!.!1
1"
La empresa tambi7n puede comprar aluminio y cobre cuando lo necesita. Las composiciones de estos materiales son:
0luminio
Aluminio
Cobre
8ierro
!recio/ >ilo
!.+
!.!(
!.!1
"$
!.+<
!.!"
4$
Cobre
0ctualmente se tienen los siguientes inventarios de materiales
Material
'
)
+
,
E0istencias
$!!
133
+333
'333
Bormule este problema como un modelo de 3L.
+. Me*clas. %na compañía produce dos tipos de gasolina: etra y regular. La etra se vende a *"1 Igalón y la regular a *1< Igalón. La refinería puede comprar dos clases de crudo# cuyos an-lisis de composición y costos se dan en la siguiente tabla.
Crudo
Composici(n 6
Costo / %al(n
A
#
C
'
!.<
!.1
!.1
14
)
!.(
!.(
!.4
1!
La gasolina etra debe contener al menos !G de 0 y no m-s del (!G de C. La gasolina regular debe contener m-imo 4!G de 0 y al menos el (!G de C. Los abastecimientos de crudo tienen capacidad para 1!!.!!! galones de crudo 1 y "!!.!!! de crudo " diariamente. La compañía espera vender a lo m-imo
,. Me*clas. 3ara el problema anterior# suponga &ue en el proceso se pierde el (G de 0# el "G de 2 y 4G de C# debido a la evaporación. eformule el problema considerando este supuesto.
. Me*clas. %na empresa fabrica pastillas de vitaminas a partir de dos materias primas llamadas T# Q. De una unidad de T# se etrae una unidad del componente 0 y una del 2. De una unidad de Q se etrae una unidad de 0 y dos de 2. Cada pastilla debe tener al menos "! unidades de 0 y (! unidades de 2. El costo por unidad de T es *(! y el de 2 es *$!. Bormule el problema de 3L para minimiar el costo de producción de una pastilla.
