MF Tema 2 Hidrostatica

Mecánica de Fluidos

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Tema 2

H I D R O S T AT I C A Estática de fluidos

Presión La presión se define como una fuerza por unidad de superficie. Por ejemplo un sólido apoyado sobre una superficie ejerce una presión igual al peso sobre el área d ela superficie de contacto. W

Area A

P =

W A

P

Ecuación fundamental de la hidrostática Esta es una expresión que permite determinar el campo de presiones dentro de un fluido. Consideremos un elemento diferencial ( dm) de masa del fluido de lados dx, dy, dz.

z

Como todo fluido, este elemento puede estar sometido a fuerzas superficiales y fuerzas volumétricas: dz • La única fuerza volumétrica que por lo general interesa en P L P R los problemas de ingeniería es la debida a la gravedad o peso propio: y d F B = g dm = g ρ d V = ρ g dx dy dz dx • Al estar el fluido en reposo la única fuerza superficial a la que está sometido es la debida a la presión, ya que no x dy soporta fuerzas cortantes. Luego ésta se puede expresar haciendo un desarrollo en serie de Taylor alrededor del punto “O” (centro del elemento) para cada una de las caras del elemento. Así, si P es la presión en el centro del elemento y se desprecian los términos de orden superior, para la cara izquierda: ∂ P ∂ P ⎛ dy ⎞ ∂ P dy P P Y y P P = + − = + − = − ( ) ⎜ ⎟ L L ∂ y ∂ y ⎝ 2 ⎠ ∂ y 2 Y se pueden obtener expresiones similares para las demás caras del elemento, así para la cara derecha: ∂ P ∂ P dy (Y R − y ) = P + P R = P + ∂ y ∂ y 2 Cada fuerza de presión es entonces el producto de tres factores: • La magnitud de la presión (ecuación anterior) • El área de la cara donde actúa la fuerza (para las caras izquierda y derecha será dxdz) • El vector unitario correspondiente (para las caras izquierda j y derecha –j) La ecuación para las fuerzas superficiales queda entonces como: r

r

r

r

Jean-François DULHOSTE – Escuela de Ingeniería Mecánica - ULA


2

⎛ ∂ P dx ⎞ ⎛ ∂ P dx ⎞ ⎟(dydz )(i ) + ⎜ P + ⎟(dydz )(− i ) ∂ x 2 ⎠ ∂ x 2 ⎠ ⎝ ⎝ ⎛ ∂ P dy ⎞ ⎛ ∂ P dy ⎞ ⎟⎟(dxdz )( j ) + ⎜⎜ P + ⎟⎟(dxdz )(− j ) + ⎜⎜ P − ∂ ∂ 2 2 y y ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ∂ P dz ⎞ ⎛ ∂ P dz ⎞ + ⎜ P − ⎟(dxdy )(k ) + ⎜ P + ⎟(dxdy )(− k ) ∂ ∂ z z 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

d F S = ⎜ P − r

Agrupando y cancelando términos obtenemos: ⎛ ∂ P ∂ P ∂ P ⎞ d F S = −⎜⎜ i+ j + k ⎟ dx dy dz = −∇ P dx dy dz ∂ y ∂ z ⎠⎟ ⎝ ∂ x r

⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞ + j + k ⎟⎟ P se denomina gradiente de presión . ∂ y ∂ z ⎠ ⎝ ∂ x

Donde ∇ P = ⎜⎜ i

La fuerza total en el elemento será entonces: d F = d F B + d F S = ( ρ g − ∇ P ) dx dy dz Que podemos expresar por unidad de volumen como: d F d F = = ( ρ g − ∇ P ) d V dx dy dz Por otro lado si aplicamos la ley de Newton tendremos: d F = a ρ d F = a ρ d V ⇔ d V d F Como el fluido está estático a = 0 , por lo tanto =0 d V Igualando las dos ecuaciones obtenemos: ρ g − ∇ P = 0 Como se trata de una ecuación vectorial, esta se puede expresar en termino de sus componentes: ∂ P ρ g x − = 0 en dirección x ∂ x ∂ P = 0 en dirección y ρ g y − ∂ y r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

ρ g z −

∂ P = 0 en dirección z ∂ z

Si se escoge un sistema de coordenadas tal que la dirección de la gravedad coincida con uno de los ejes ( z por ejemplo) entonces tendremos que: ∂ P

=0 ∂ x ∂ P =0 ∂ y ∂ P = − ρ g ∂ z

Obtenemos así la ecuación fundamental de la hidrostática : dP = − ρ gdz Jean-François DULHOSTE – Escuela de Ingeniería Mecánica - ULA


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Esta ecuación es válida bajo las condiciones siguientes: 1. Fluido en reposo 2. La única fuerza volumétrica es la gravedad 3. Eje z vertical hacia arriba Si consideramos que el fluido es incompresible, lo cual se puede suponer para muchos casos prácticos, entonces se puede integrar esta expresión entre el nivel de referencia z0 al cual corresponde una P 0 y un nivel z al cual corresponde una presión P : P

∫

P 0

z

∫

dP = − ρ gdz z0

Si ρ y g son constantes: P − P 0 = − ρ g ( z − z 0 )

Y si llamamos h = ( z − z 0 ) , siendo h positiva de arriba hacia abajo tendremos: P = P 0 + ρ gh P 0

h

P

Propiedades de la presión en un fluido • • • • •

La presión en un fluido en reposo es igual en todas las direcciones (principio de Pascal) La presión en todos los puntos situados en un mismo plano horizontal en el seno de un fluido en reposo es la misma. La estática de los fluidos ideales no se diferencia de la estática de los fluidos reales. La fuerza de presión en un fluido en reposo es siempre a compresión y jamás a tracción La superficie libre de un líquido en reposo es siempre horizontal.

Presión atmosférica Es la presión ejercida por el peso de la atmósfera sobre la superficie terrestre. Se ha aceptado internacionalmente a la atmósfera estándar a nivel del mar (altitud 0 m) como: T = 288 ºK P = 101.3 KPa En Mérida la presión es del orden de 85 KPa (alrededor de la facultad de Ingeniería), pero varía en función de la zona de la ciudad debido a los cambios de altitud y condiciones climáticas.

Referencias de presión Las presiones de pueden medir como presiones absolutas o relativas.



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Presión absoluta La presión absoluta es la medida de la presión referida al cero absoluto (vacío total o ausencia total de materia)

Presión relativa Las presiones relativas son las presiones referidas a otra presión. La presión de referencia más utilizada es la presión atmosférica. Se tiene así diversas denominaciones de presión como: Presión manométrica Es la presión referida a la `presión atmosférica. Presión de vacío Es la presión referida a la presión atmosférica pero por debajo de ella. Presión diferencial Es la diferencia entre dos presiones cualesquiera Presión atmosférica Es la presión ejercida por el peso de la atmósfera sobre la tierra. AS nivel del mar esta es de aproximadamente 760 mm de Hg , 14.7 psia o 100 KPa. En Merida que se encuentra a aproximadamente 1600 metros de altitud esta es de aproximadamente 85 KPa. Presión barométrica Es la medida de la presión atmosférica la cual varía levemente con las condiciones climáticas.

P. diferencial

P2 P1

P. manométrica P. atmosférica

P. absoluta P. vacío P1

P. barométrica Vacío absoluto

Unidades de presión Las unidades de presión expresan una unidad de fuerza sobre unidad de área. Las más usadas son Kg/cm 2, psi (lbf/pulg2), Pascal (N/m2), bar, atmósfera, Torr (mm de columna de Hg). La siguiente tabla resume los factores de conversión de las unidades de presión más comunes. Pulg psi Pa Kg/cm2 Bar Atmósfera Torr Cm H2O Pulg Hg H2O 1 6896.5 0.0703 0.0689 0.0680 51.715 70.31 27.68 2.036 psi 0.000145 1 0.00001019 0.00001 0.00000987 0.0075 0.01 0.0039 0.00029 Pa 2 14.22 98067 1 0.9807 0.9678 735.58 1000 393.7 28.96 Kg/cm 14.50 100000 1.019 1 0.9869 750.062 1024 401.46 29.53 Bar 14.70 101325 1.0332 1.01325 1 760 1033 406.78 29.92 Atmósfera 0.01934 133.32 0.001359 0.00133 0.001316 1 1.359 0.5352 0.0394 Torr 0.0142 100 0.0010 0.0009 0.00096 0.7356 1 0.3937 0.0289 Cm H2O 0.0361 254.6 0.00254 0.00249 0.00246 1.8683 2.540 1 0.07355 Pulg H2O 0.4912 3386 0.0345 0.0333 0.0334 25.40 34.53 13.6 1 Pulg Hg



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Ejercicios. Ejercicio 1 A través de los tubos A y B, vistos en corte en la figura, fluye agua. En el tubo en forma de U invertida se tiene aceite con una densidad relativa de 0.8. En los otros dos segmentos del manómetro se tiene mercurio con una densidad relativa de 13.6. Determine la diferencia de presión entre los tubos A y B en lbf/pulg 2. H2O

A

B

Aceite 8” 4”

10”

3”

Ejercicio 2 El manómetro de depósito de la figura tiene un tubo de diámetro 10 mm y un depósito de diámetro 32 mm. El líquido manométrico es aceite rojo merian con DR=0.827. Determine el desplazamiento de líquido en el tubo del manómetro por cada milímetro de agua de presión diferencial aplicada.

Ejercicio 3 El manómetro inclinado mostrado en la figura tiene un depósito con diámetro D = 90 mm y un tubo medidor con diámetro d =6 mm. El fluido manométrico es aceite rojo merian con DR=0.827. La longitud del tubo medidor es 0.6 m y posee un angulo θ = 30º. Determinar la presión máxima en Pa que puede medirse con este manómetro.

5”

4”

Hg

d D h

Nivel de líquido en equilibrio

H

d

P1 h D

θ

Línea de cero

H

L


P2


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Fuerzas hidrostáticas sobre superficies sumergidas La fuerza sobre una superficie sumergida se compone de: 1. La magnitud de la fuerza. 2. La dirección de la fuerza. 3. La línea de acción de la fuerza.

Fuerzas hidrostáticas sobre superficies planas sumergidas Sea la superficie de la figura, se desea determinar la fuerza sobre su superficie superior, si ésta está bajo la presión de un líquido mientras que por el otro lado no tiene presión aplicada. z

θ

dA

x

h dF

F R

dy

Cp

y

Cg

y

dA

y

y'

x'

Cp: centro de presión Cg: centroide x , y : coordenadas del centroide de la placa x' , y' : coordenadas del centro de presión de la placa. y : coordenada del elemento diferencial de presión θ : ángulo de la placa con el eje vertical h : altura desde la superficie libre la elemento diferencial F R : fuerza resultante

x y

Como ya se dijo la fuerza hidrostática actúa perpendicularmente a cualquier superficie en el fluido. dF = PdA La fuerza resultante se determina sumando las contribuciones de cada elemento diferencial: F R = PdA

∫

A

Para ello se debe tomar en cuenta que la relación entre la presión y la altura viene dada por: P = P 0 +

h

∫0 ρ gdh = P 0 + ρ gh = P 0 + γ h

Si se usan presiones manométricas, en general P 0 es cero, luego: P = γ h Y como la geometría de la placa se expresa en función de x e y, h se puede expresar como: h = y sin θ En este caso la ecuación de la fuerza será: F R = γ hdA = γ sin θ y dA

∫

A

∫

A

La distancia a un centroide se define como: y =

1 A

∫ ydA A



7

Por lo tanto la fuerza se puede expresar como: F R = γ sin θ y A = γ h A Donde h es la distancia vertical desde la superficie libre hasta el centroide del área. El punto de aplicación de la fuerza debe ser tal que el momento de dicha fuerza con respecto a cualquier eje resulte igual al momento de la fuerza distribuida respecto al mismo eje. Si llamamos a las coordenadas del punto de aplicación de la fuerza resultante a x’, y’. El valor de la coordenada y’ se puede obtener igualando momentos alrededor del eje x, siendo este horizontal: y ' F R = yPdA

∫

A

Luego la coordenada y’ será: y ' =

1

∫

yPdA =

1 1 = ( ) sin y γ y θ dA y 2 dA ∫ ∫ A A γ sin θ y A y A

F R A Donde el momento de inercia del área A se define como: I x = y 2 dA

∫

A

Este momento de inercia se puede determinar a partir del momento de inercia respecto al centroide con la ayuda del teorema de transferencia de ejes paralelos: I x = I + A y 2 Sustituyendo estos valores en la ecuación para la coordenada y’ obtenemos: I + A y 2 I y ' = = + y y A y A Y el valor de la coordenada x’, se puede obtener igualando momentos alrededor del eje y: x' F R = xPdA

∫

A

Luego la coordenada y’ será: x' =

1

∫

xPdA =

1 1 x γ y θ dA xydA = ( ) sin γ sin θ y A ∫ A y A ∫ A

F R A Donde el producto de inercia del área A se define como: I xy = xydA

∫

A

Utilizando el teorema de transferencia para el producto de inercia: I xy = I xy + A x y Obtenemos: I xy + A x y I xy x' = = + x y A y A Nótese que si la superficie tiene un área simétrica x’ coincide con

.

En resumen tenemos que: 1. La magnitud de la fuerza esta dada por la ecuación: F R = γ h A 2. La dirección de la fuerza es perpendicular a la superficie. 3. La línea de acción de la fuerza resultante pasa a través del punto ( x’, y’), cuyas coordenadas se obtienen con las expresiones: I xy I + x ; + y x' = y ' = y A y A Jean-François DULHOSTE – Escuela de Ingeniería Mecánica - ULA


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Propiedades de superficies planas Figura

Rectángulo

Centroide

h

y

y =

h

y =

h

2

Momento de Inercia

Area

A = bh

I =

bh 3

12

b

Triángulo

h

y

3

A =

bh

2

bh 3

I =

36

b

d

Círculo

Semicírculo

y

r

r

y

y = r

4r y = 3π

A =

A =

π d 2

I =

4

π d 2

8

π d 4

64

π d 4

I x =

128

2r

2b

Elipse

y

y = b

A = π ab

I =

π ab 3

4

2a

Semielipse

b

y

y =

4b 3π

A =

π ab

2

2a


I x =

π ab 3

8


9

Ejercicios. Ejercicio 4 La superficie inclinada que se muestra en la figura, está articulada en el punto A y tiene 5 metros de ancho. Determine la fuerza resultante, F R que ejerce el agua sobre ésta.

D = 2m

30º L = 4m 4m Ejercicio 5 Para el problema anterior se cambia la compuerta rectangular por una compuerta trapezoidal, como se muestra en la figura. Determine la fuerza resultante, F R que ejerce el agua sobre ésta.

5m

5m Ejercicio 6 Un submarino se encuentra a 100 pies por debajo de la superficie del agua como se muestra en la figura. Determine la fuerza F necesaria para abrir la escotilla circular, cuya forma es como se indica en la figura. Suponga la presión dentro del submarino igual a la presión atmosférica.

100 pies 5 pies 30º F



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Fuerzas hidrostáticas sobre superficies curvas sumergidas La diferencia básica en el cálculo de la fuerza que actúa sobre una superficie curva respecto de una plana radica en el hecho de ser dF perpendicular en todo momento a la superficie, entonces cada diferencial de fuerza tiene una dirección diferente. Para simplificar la operación de totalización solo debemos sumar los componentes de los vectores fuerza, referidos a un eje de coordenadas adecuado. Por lo tanto en este caso debemos aplicar 3 veces, como máximo, la ecuación para la superficie.

Componentes de la fuerza Si se tiene la superficie mostrada en la figura. z

F Rz

dA y

z’

F R

dA x F Ry

dA

F Rx y’

x’

dA z

y

x

La fuerza de presión en este caso esta dada por: dF = PdA La fuerza resultante se determina sumando las contribuciones de cada elemento diferencial: F R = PdA

∫

A

Esta fuerza resultante se puede descomponer en componentes: F R = F Rxi + F Ry j + F Rz k Donde i, j, k son los vectores unitarios de las direcciones x, y, z respectivamente. Cada una de estas componentes de fuerza se puede expresar como:

∫ ∫ = ∫ P cosθ dA = ∫ PdA = ∫ P cosθ dA = ∫ PdA

F Rx = P cosθ x dA = PdA x A

F Ry F Rz

A

A

A

y

z

A

A

y

z

Donde θ x , θ y y θ z son los ángulos entre dA y los vectores unitarios i, j y k respectivamente. Por lo tanto dA x, dA y y dA z son las proyecciones del elemento dA sobre los planos perpendiculares a los ejes x, y y z respectivamente. Jean-François DULHOSTE – Escuela de Ingeniería Mecánica - ULA


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Aquí se pueden diferenciar dos casos: • Las componentes horizontales de la fuerza de presión sobre una superficie curva es igual a la suma vectorial de las fuerzas de presión ejercidas sobre la proyección de la superficie curva en los planos verticales. • La componente vertical de la fuerza de presión sobre una superficie curva es igual al peso del líquido que se encuentra verticalmente por encima de dicha superficie hasta la superficie libre. Esto ya que si analizamos la expresión para la fuerza vertical y tomando en cuenta que P = γ h obtenemos lo siguiente: F Rz = P cos θ z dA = γ h cos θ z dA =γ d V

∫

∫

A

∫

A

V

Línea de acción de la fuerza Una vez establecidas las componentes de las fuerzas se debe especificar las líneas de acción de cada componente, utilizando el mismo criterio que para las superficies planas. Es decir la sumatoria de momentos de cada componente de la fuerza resultante debe ser igual al momentote la fuerza distribuida, respecto al mismo eje. Así se tiene: x' = y ' = z ' =

1 F Ry + F Rz

1 F Rx + F Rz

1 F Rx + F Ry

∫ xP (dA

y

+ dA z )

∫ yP (dA

+ dA z )

∫ zP (dA

+ dA y )

A

x

A

A

x

Caso de superficie con curvatura en dos dimensiones Para comprender mejor el problema lo vamos a simplificar al caso de una superficie curva en dos dimensiones. Es decir una superficie curva con ancho constante en la dirección x. Por lo tanto no existirán fuerzas hidrostáticas en esa dirección. La figura muestra un corte de la superficie con un plano yz. En este caso las componentes de la fuerza se expresan:

∫ ∫ = ∫ P cosθ dA = ∫ PdA

F Ry = P cosθ y dA = PdA y A

F Rz

z

z ' =

F Rz

1

F Ry

F Rz

z’

z

A

Y la línea de acción se obtiene con las expresiones: y ' =

F R

A

A

1

z

∫

yPdA z

∫

zPdA y =

y y’

Az

1

∫

xd V F Ry Ay V V Cuando se trabaja con superficies cilíndricas (radio de curvatura constante) es conveniente expresar el dA en función del ángulo de barrido en la circunferencia, es decir: dA = WRd θ Donde: R: radio del cilindro W : ancho de la superficie θ : ángulo de barrido de la circunferencia. De esta forma se puede utilizar θ como variable de integración, quedando la fuerza expresada de la siguiente forma:

dA

θ


l


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∫

F Rl = P cos θ dA = A

θ 2

∫ 1 P cosθ WRd θ θ

Donde θ es el ángulo entre el vector dA y el vector unitario de la dirección l .

Ejercicios. Ejercicio 7 La compuerta mostrada en la figura tiene un ancho constante de W = 5 m. La ecuación que describe la superficie es x = y 2 a donde a = 4 m. El nivel del agua en el lado derecho de la compuerta es 4 m. Determine las componentes horizontal y vertical de la fuerza resultante debida al agua y la línea de acción de cada una.

z

x

10 pies

Ejercicio 8 El tanque abierto mostrado en la figura se llena con agua hasta un nivel de 10 pies. Determine las magnitudes y las líneas de acción de las componentes vertical y horizontal de la fuerza resultante que ejerce el agua sobre la parte curva en el fondo del tanque.

10 pies Radio 4 pies 12 pies

Ejercicio 9 La compuerta de la figura que tiene forma de cuarto de cilindro está articulada en el punto A y tiene 2 m de ancho perpendicularmente al plano del papel. El fondo de la compuerta se encuentra 3 m por debajo de la superficie del agua, determine: a. Magnitudes de la fuerza horizontal y vertical b. Líneas de acción de la fuerza.

A


3m


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Flotación y estabilidad Flotación Se denomina flotación o fuerza de empuje a la fuerza que experimenta un cuerpo cuando se sumerge o flota sobre una superficie, debido a la presión del líquido. La expresión para determinar la fuerza de empuje puede encontrarse fácilmente utilizando las expresiones para fuerza sobre superficies sumergidas. Consideremos el cuerpo de la siguiente figura que se encuentra sumergido. P 1 dA h1 h2

PA

dA

z

d V

P 2 dA

y

x

Si suponemos que el cuerpo está formado por elementos de volumen de forma cilíndrica, se tendrá que la fuerza neta aplicada sobre cada elemento cilíndrico será igual a la sumatoria de las fuerzas de presión aplicadas. La fuerza horizontal es cero ya que al estar sometido a la misma presión por todos lados, la fuerza ejercida de un lado contrarresta la del otro. Para la fuerza vertical en cambio las presiones en la parte superior e inferior son diferentes por lo tanto existirá una fuerza resultante que se puede determinar con la expresión: dF Z = P 2 dA − P 1dA Siendo la dirección positiva de z de abajo hacia arriba. Como la presión en un fluido en reposo es igual a: P = P 0 + ρ gh Tendremos entonces: dF Z = ( P 0 + ρ gh2 )dA − ( P 0 + ρ gh1 )dA dF Z = ρ g (h2 − h1 )dA

Resulta que:

(h2 − h1 )dA = d V Donde d V es el diferencial de volumen del elemento cilíndrico. Por lo tanto: F Z = dF Z = ρ g d V = ρ g V

∫

∫

V

Por lo tanto deducimos que la fuerza de empuje, la cual permite flotar a algunos cuerpos, es igual al peso del volumen de líquido desplazado, esto ultimo es conocido como el principio de Arquímedes, quien en el año 220 a.c. lo utilizo para determinar si la corona del rey Hieron II estaba hecha de oro puro. Hoy en día este principio es utilizado para el diseño de embarcaciones. Este principio nos indica que un cuerpo flota si su peso es inferior al peso del volumen del líquido desalojado, si no es así el cuerpo se hunde.



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Estabilidad La estabilidad del cuerpo viene determinada por la línea de acción de la fuerza, la cual se puede determinar mediante el procedimiento expuesto para superficies sumergidas. Un cuerpo se encuentra en equilibrio estable cuando el par T (o momento) formado por el peso y la fuerza de flotación tienden a reestablecer la posición del cuerpo. En el caso contrario la fuerza de flotación tenderá a voltear el cuerpo y por lo tanto este será inestable. En general se puede decir que un cuerpo es estable cuando su centro de gravedad se encuentra por debajo de la línea de flotación, de lo contrario es inestable. T Cg Cg

T W

W

F Z

Estable

F Z Inestable

Ejercicio 10 Un hydrómetro, como el mostrado en la figura, es un dispositivo para medir la densidad relativa de un líquido. El valor de esa propiedad queda indicado por el nivel donde la superficie libre interfecta el vástago del dispositivo, cuando a éste se le permite flotar en el líquido.

1 h

El nivel 1 corresponde al agua destilada. Para el dispositivo mostrado en la figura de 6 mm de diámetro el volumen sumergido en agua destilada fue de 15 cm3. Determine la distancia h desde el nivel 1 hasta la superficie cuando el hidrómetro se coloca en una solución de ácido nítrico cuya densidad relativa es 1.5.

D

Ácido nítrico



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Fluidos con movimiento de cuerpo rí gido Cuando un fluido se somete a un movimiento de cuerpo rígido (un vaso lleno de agua que se muevo, por ejemplo), este se mueve sin deformarse como si se tratase de un sólido. Al no haber deformación el único esfuerzo que actúa sobre el elemento es la presión. Por lo tanto si este movimiento pose aceleración, entonces la variación de presión en el fluido ya no será solo función de h por la gravedad, sino también función de la dirección de la aceleración al cual está sometido. Por lo tanto la superficie libre del líquido ya no será un plano horizontal. Recordemos que la presión en un fluido estático viene dada por la expresión: d F = ρ g − ∇ P d V Por otro lado si aplicamos la ley de Newton tendremos: d F = a ρ d V Igualando las dos ecuaciones obtenemos: ρ g − ∇ P = ρ a Como se trata de una ecuación vectorial, esta se puede expresar en termino de sus componentes: ∂ P ρ g x − = ρ a x en dirección x ∂ x ∂ P ρ g y − = ρ a y en dirección y ∂ y r

r

r

r

r

r

ρ g z −

∂ P = ρ a z en dirección z ∂ z

Si se escoge un sistema de coordenadas tal que la dirección de la gravedad coincida con uno de los ejes ( z por ejemplo) entonces tendremos que: ∂ P = − ρ a x ∂ x ∂ P = − ρ a y ∂ y

∂ P = ρ g z − ρ a z ∂ z

z b

Aceleración lineal uniforme Si se tiene un tanque con una aceleración lineal uniforme como el mostrado en la figura: En este caso para simplificar las expresiones se hace coincidir la dirección de la aceleración con el plano xz, de esta manera la presión en el fluido se podrá expresar con solo dos componentes: ∂ P = − ρ a x ∂ x ∂ P = ρ g z − ρ a z ∂ z La diferencia de presión en el seno de un fluido es:

e θ

a z

a

a x d

g


x


dP =

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∂ P ∂ P dx + dz ∂ ∂ z

Y en la superficie libre del líquido el cambio de presión es cero: ∂ P ∂ P dx + dz = 0 ∂ x ∂ z Sustituyendo las expresiones para las derivadas, y tomando en cuanta que g x = − g , tendremos:

− ρ a x dx − ρ ( g + a z )dz = 0 La superficie libre queda definida por la expresión: − a x dz

=

dx g + a z Esto muestra que la superficie libre será una recta inclinada, cuya pendiente está definida por: − a x z 2e = = tan θ = x b g + a z

Rotación uniforme alrededor de un eje vertical En este caso utilizaremos coordenadas polares para resolver z ω el problema. Aquí el fluido se somete a una aceleración centrífuga, la cual lleva la dirección radial hacia afuera y su expresión es: b 2 a R = ω R Por lo tanto solo existe aceleración en la dirección radial R. e De esta manera la presión en el fluido se puede expresar con solo dos componentes una radial y una vertical: ∂ P = ρ a R ∂ R ∂ P d = ρ g z ∂ z Sustituyendo la expresión de la aceleración en función de la velocidad angular nos queda: ∂ P = ρω 2 R ∂ R g ∂ P = ρ g z ∂ z La diferencia de presión en el seno de un fluido se expresa en este caso como: ∂ P ∂ P dP = dR + dz ∂ R ∂ z Y en la superficie libre del líquido el cambio de presión es cero: ∂ P ∂ P dR + dz = 0 ∂ R ∂ z Sustituyendo las expresiones para las derivadas y tomando en cuanta que g x = − g , tendremos: ρω 2 RdR − ρ gdz = 0 Integrando a ambos lados obtenemos: g dz = ω 2 RdR

∫

∫


R


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2 R

gz = ω

2

2

La superficie libre queda definida por la expresión: ω 2 R 2 z = 2 g Esta expresión representa una parábola en el plano zR lo que indica que la superficie libre será un paraboloide de revolución. Ejercicio 11 Una persona debe mudarse a otra localidad. De sus pertenencias, debe llevar consigo una pecera en la parte trasera d esu vehículo. La pecera tiene forma de prisma rectangular de 12 por 24 por 12 pulgadas. Si suponemos que la aceleración máxima que puede producir el vehículo es de 2/3 de g y que esta es horizontal. ¿Qué cantidad de agua debe colocar en la pecera con el objeto de asegurar que el agua no se derrame durante el viaje?. Ejercicio 12 El cilindro que se muestra en la figura gira alrededor de su línea central. a. ¿Qué velocidad de rotación se requiere para que el agua apenas toque el origen O? b. Calcule la presión en los puntos A y B. NOTA: El volumen de un paraboloide de revolución es la mitad del de un cilindro con el mismo radio y altura. z R

B ω

2 cm

10 cm

A

O

r

20 cm


MF Tema 2 Hidrostatica

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