Tehnički fakultet Rijeka
VJEŽBE - MEHANIKA FLUIDA
IZBOR ZADATAKA – DINAMIKA
STRUJANJE REALNOG FLUIDA F LUIDA U CJEVOVODU
Lado Kranjčević
D10) Crpka crpi vodu iz spremnika kroz cijev promjera d=12cm i isporučuje je velikom brzinom kroz mlaznicu (točka 2) promjera dm=5 cm. Cijevi su čelične apsolutne hrapavosti e=0.0442 mm i ukupne duljine L=10.8 m. Ako crpka isporučuje P=35 kW snage vodi, koja je izlazna brzina na mlaznici vm=? i koji je protok Q=?. Koef. kin. viskoznosti vode ν = 1 ⋅ 10 −6 m2 /s. 5 0 , 0
1
2
2
2 1 , 0
VODA
Zadano: d = 0,12 m, z2 – z1= 2 m, dm = 0,05 m, P=35000 W, e=0.0000442 m, =10-6m2 /s, vm=?, L=10.8 m, Q=? _________________ • Bernoullijeva jednadžba od 1 – 2 :
≈0 p1
v1
2
p 22
v2
2
+ + Z 1 = + + Z 2 ρ g 2 g ρ g 2 g Snaga crpke: P = F ⋅ v
+ h L − h P
= p ⋅ A ⋅ v = ρ g h P Q , slijedi:
( jer je p1 = p2 = patm ) , (Z2 – Z1 = 2)
h P
=
P ρ g Q
.
Bernoullijeva jedn. i izraz za snagu daju: 2 2 v2 4Q L v P 0= + 2 + λ − tj. uz v = 2 slijedi: 2 g d 2 g ρ g Q d π 0 = 13220,3 ⋅ Q
2
+ 2 + λ ⋅ Q 2 ⋅ 35862,35 −
3,57
.
Q Preuređen, gornji izraz daje iteracijsku formulu: 3,57
Q
=
Q
−2
13220,3 + λ ⋅ 35862,35
Pretpostavljeno: λ =0.025, Q =1 m3/s. Izračunato
e d
= 3.683 ⋅10 −4 . Slijedi:
Iteriranje:
Q I = 0,01 m3/s , Re I=
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
3
4Q
d πν
=1061033, ⇒ Q II = 0,0494 m3/s , Re II= 524237, λ II=0,0168,
Q III = 0,071 m /s , Re III= 756497, λ III=0,0165 Q IV = 0,059 m3/s , Re IV= 627323, λ IV=0,01667, Q V = 0,065 m3/s , Re IV= 690420, λ IV=0,0166, Q VI = 0,062 m3/s , Re VI= 657840, λ VI=0,0166. Prihvaćeno Q VI.
Slijedi: v m
=
4Q 2
d mπ
= 31,58 m s −1
D11) Voda struji iz gornjeg jezera raznine z 1=197,3m, u donje jezero raznine z 1=50m i predaje snagu turbini. Promjer i duljina tlačnog cjevovoda jesu D=0,25m i L=100 m, hrapavost cijevi e=0,0025 m, a protok Q=0,15 m3s-1. Zanemariti lokalne gubitke. Koeficijent viskoznosti vode ν = 1 ⋅ 10 −6 m2 /s. a.) Izračunati snagu vode predanu turbini P=? b.) Rekonstrukcijom tlačnog cjevovoda povećan je promjer na D=0,3 m i izmjerena snaga na turbini P=245 kW. Koji je protok Q=? 1
2
a.) D = 0,25 m, Q= 0,15 m3s-1, e=0.0025 m, =10-6m2 /s, P=? _________________ • Bernoullijeva jednadžba od 1 – 2 :
≈0 p1
+
v1
2
+ Z 1 =
≈0 p
2 2
ρ g 2 g ρ g Snaga turbine: P = F ⋅ v
+
v2
2
2 g
+ Z 2 + h L + hT
= p ⋅ A ⋅ v = ρ g hT Q , slijedi:
( jer je p1 = p2 = patm ) , (Z1 – Z2 =H =147,3 m)
hT
=
P ρ g Q
.
Bernoullijeva jedn. i izraz za snagu daju: 2 8 ⋅ L ⋅ Q P H = λ 5 + ( 1) 2 ρ g Q D g π Množenjem gornjeg izraza sa ρ g Q slijedi: 8 ρ L 3 P = H ρ g Q − λ 5 2 Q (2) D π P = 1445013 ⋅ Q − λ ⋅ 83002312 ⋅ Q 3 4Q e = 763944 i = 0,001 pomoću Moodyjevog dij. ili približne Colebrookove Iz Re = D π ν D jednadžbe λ =
1,325
e 5,74 ln 3,7 ⋅ D + Re 0,9
2
slijedi λ =0,02.
Uvrštavanjem λ =0,02 i Q=0,15 m3s-1 u izraz (2) slijedi: P = 211149 W ≈ 211 kW .
D11 - b.) D = 0,3 m, P= 245 kw , e=0.0025 m, =10-6m2 /s, Q=? _________________ Izraz 8 ρ L P = H ρ g Q − λ 5 2 Q 3 (2) D π treba preurediti u iteracijski izraz. Iteracijski izraz oblika ρ gHQ − P Q= ne bi dao točan rezulatat jer je očekivani korijen kubnog polinoma u 3 ρ 8 L λ 5 2 D π blizini vrijednosti Q ≈ 0,15...0,18... , što kubirano u jednadžbi (2) daje za red veličina manju vrijednost drugog člana desne strane u odnosu na prvi član desne strane. Pri iteracijskom rješavanju izraza potrebno je predpostaviti član manje apsolutne vrijednosti. Stoga je u izrazu (2) potrebno eksplicitno izraziti prvi član desne strane tj. predpostaviti vrijednost drugog člana desne strane. 8 ρ L H ρ g Q = P + λ 5 2 Q 3 tj. D π P 8 L Q= Q3 (3) + λ 5 2 H ρ g H g D π Q
= 0,1695 + λ ⋅ 23,08 ⋅ Q 3 .
Iteriranje: Pretpostavljeno λ = 0,019 , Q = 0,16 . Izračunato
( I ) Slijedi Q I
= 0,171 odnosno
Re I
=
4Q
Dπν
e D
0,3 0,0025
= 0,00083
= 727004 , tj. λ I=0,0194
( II )⇒ Q II = 0,172 m3/s , Re II= 729991, λ II=0,0194. Pošto je konvergirala prihvaća se vrijednost
Q=Q II =0,172 m3/s.
=
Ulje gustoće ρ=820 kgm-3 struji kroz venturimetar. Dimenzije venturimetra su dane na slici. Pretpostaviti koeficijent protoka venturimetra Mjerni fluid u uređaju je glicerin ρm=1260 kgm-3. Koji je protok ulja? C v=0,984. D12)
d1 = 0,5 m, d2 = 0,2 m, =820 kgm-3,
m=1260
kgm-3, C v =0.984 m, hm=1,5 m, z1-z2=-0,5m, Q=?
_________________________________ • Jednadžba za protok kroz venturimetar: C v A2 2 ∆ p + 2 g ( z 1 − z 2 ) , gdje je ∆ p=p1-p2 Q= 2 ρ 1 − ( A2 / A1 )
(1)
Za zadane promjere cijevi d1 i d2 površine presjeka su A1 = 0,1964m2, A2 = 0,0314m2. Iz mjerne U-cijevi izjednačivši tlak na izobari A-B slijedi
= p B p 2 + ρ g x + ρ m g hm = p1 + ρ g y p1 − p 2 = ρ m g hm + ρ g ( x − y )
(2)
+ x = y + z 2 − z 1 x − y = − hm + z 2 − z 1
(3)
p A
Iz slike su vidljivi odnosi: hm
Iz (2) i (3) slijedi: p1 − p 2 = ρ m g hm − ρ ghm + ρ g ( z 2 − z 1 ) Dobiveni izraz za razliku tlakova (4) uvršten u jednadžbu protoka (1) daje: ρ m − 1 2 g h m ρ Q = C v A2 4 d 2 1 − d 1 , a to je također poznat izraz za protok kroz venturimetar. Direktno iz (5) slijedi: Q = 0,124m 3 s −1
(4)
(5)
D13) Kroz koljeno koje ima kut skretanja Θ=120o protječe Q=8,5 l/s vode. Voda u presjeku 1 ima predtlak p1=275790 Pa. Koljeno povezuje dvije cijevi promjera D1=1,83m i D2 =1,22m i nalazi se u vertikalnoj ravnini uz visinsku razliku ulaznog i izlaznog presjeka H =3m, a težina vode u njemu je W =80000N. Gubici kroz koljeno jesu
2
0,15
v1
2 g
. Odrediti intenzitet i smjer
rezultantne sile fluida na koljeno i njene komponente u x i z smjeru. 2 D 2
1
1
D
z
Q 0
x
D1 = 1,83 m, D2 = 1,22 m, Q=0,0085m3s-1, =1000 kgm-3, p1=275790 Pa, hL= 0,15 v1 / 2 g , W =80000 N, H=3 m, F x=?, Fy=?, FR=? 2
•
_________________________________ Zakon očuvanja količine gibanja, tj. impulsni zakon: ρ ρ &(v 2 − v1 ) F = m
∑
• Suma svih sila
∑ F te ulazna v i izlazna brzina v prikazane na skici: 1
2
p2 A 2 v2
FR
Fz 1
2
Fx
p1 A 1
W
v1
Kontrolni volumen ograničen je ulaznim i izlaznim presjekom te čvrstom stijenkom. U sumu svih sila ulaze:
∑ F = W + p A + p A 1
1
2
2
+ F S x + F S z ,
gdje je: W težina vode;
F S x , F S z komponente sile stijenke na fluid koje su istog intenziteta, ali suprotnog predznaka od sila fluida na koljeno F x , F z ;
p1 A1 , p 2 A2 tlačne sile na protočnoj granici. Djeluju suprotno od normale protočne plohe (presjeci 1 i 2) tj. uvijek “ulaze” u kontrolni volumen. p1 i p2 jesu predtlaci, a A1 i A2 površine protočnih ploha na kojima djeluju predtlaci. - impulsni zakon u x i z smjeru:
− F s x + p1 A1 + p2 A2 cos120 o = ρ g (− v 2 cos120 o − v1 ) − W + F s z − p2 A2 sin 120 o = ρ g v 2 sin 120 o − 0
(1) (2)
- Bernoullijeva jednadžba 1 – 2:
p1
ρ g
+
v1
2
2 g
+ z 1 =
p 22
ρ g
+
v2
2
2 g
+ z 2 + h L
(3)
2
Uz h L
= 0,15
v1
, A1=2,63 m2, A2 =1,169 m2, v1=Q/A1=3,23 ms-1, v2=Q/A2=7,27 ms-1, z1=0 m,
2 g z2=H iz (3) slijedi: p 2 = 224357 Pa .
Iz (1) i (2) sad je moguće izračunati: F S x = 914816,9 N
F S z
= 360651,4 N
Slijede komponente sile fluida na koljeno F x = − F S x = −914816,9 N
F z
= − F S z = −360651,4 N
i rezultanta F R ≈ −983 kN
Fz
FR Fx
Nagib F R definiran je odnosom F tan α = Z tj. F X = 21o30’
