Unidad Unidad I I Mecá Mecánica nica de F luido luidos
II.
ESTATICA DE LOS FLUIDOS ó HIDROSTATICA
2.1 Hidrostática Estudia los lo s fluidos en reposo re poso es decir en las que no existe el movimiento ó desplazamiento de una masa líquida ó capa de fluido con relación a la adyacente, por lo tanto no existen esfuerzos cortantes en el fluido (τ), sino solamente tensiones ó esfuerzos normales a las n ). Ej: Presión. La única fuerza interna es debida superficies ( de bida a la fuerza de gravedad.
2.2 Gradiente de Presión El gradiente de d e presión P en un punto es la derivada direccional, direc cional, tomada en la dirección en que P varía más rápidamente. Matemáticamente es la relación que nos indica la variación de la presión con respecto a las coordenadas de un determinado sistema: P
P
i
ˆ
x
P
j
ˆ
dy
P
k ˆ
dz
(2.1)
2.3 Ecuación Básica de la Hidrostática F uer uer zas zas que que actúan actúan sobre sobre las P artículas artí culas de de un F luido lui do:: Se dividen en: Fuerzas Superficiales : Fuerzas de presión debido al contacto directo con otras partículas fluidas o paredes sólidas, dirigidas normalmente n ), así como las fuerzas de hacia el área sobre la cual actúan ( ). rozamiento interno que son tangenciales ( Fuerzas de Masa ó fuerzas internas :
Actúan sobre las partículas de fluido a distancia, son las fuerzas de gravedad y las de inercia. Las fuerzas de masa se caracterizan por las aceleraciones que ellas comunican a la unidad de masa. a g Considerando un elemento de fluido con aristas dx,dy,dz, en reposo con respecto a un sistema coordenado rectangular : ,
S.Santos H
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a) Fuerzas Másicas : F M a : aceleración del sistema coordenado
Z
⃗
d y d z
g : aceleración gravitacional
d x
g - g e: aceleración efectiva, g e = ( a) dm : diferencial de masa X
F M g dm a dm
⃗
Y
Fig 2.1
F m g e dm g e d
F m g a dm
(2.2)
gdm = fuerza del campo gravitacional adm = fuerza del cuerpo g - ( a) dm = fuerza neta que actúa sobre el elemento Si el sistema no tiene aceleración a = o g e = g b) Fuerzas Superficiales (F S S ) Sea P la presión ejercida sobre el centro de gravedad del volumen V, V, suponiendo que la presión varía en función de X, Y y Z , entonces: Z
P y P x z y 2
P z P x y z 2 P y P x z y 2
Y X
P z P y x z 2
F i g 2.2 F uer uer zas zas de de P r esión si ón sobr sobr e un ele elem mento de flui flu i do V
Entonces las Fuerzas de Superficie que actúan sobre el cubo V, V, son:
S.Santos H
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Cara
Fuerzas Superficiales P dy dxdz j P y 2
Derecha
ˆ
P dy P dxdz j y 2 P dx P dydz i x 2 P dx P dydz i x 2 P dz P dxdy k z 2
Izquierda
ˆ
Anterior
ˆ
Posterior
ˆ
Superior
ˆ
P dz P dxdy k z 2
Inferior
ˆ
P P P i j k x y z F Superficie x y dz ˆ
ˆ
ˆ
F Superficie P ( x y z ) P V
Por estar en equilibrio De (2.2) y (2.3): F g e
(2.3)
F F M F S o
d P d 0
P g e
2.4
Ecuación Básica de la Hidrostática
F lui dos de densidad constante en un campo gravitacional Supongamos un fluido con = cte. (flujo incompresible) en reposo respecto a un sistema coordenado rectangular de referencia (a
g e
0) .
De la Ecuación Básica de la Hidrostática:
P
S.Santos H
ˆ
i
ˆ
x
P no varía en las direcciones X, Y sólo en Z: Integrando y haciendo P = P o para Z = Z o :
g k
P
dZ
P
k g e ˆ
ˆ
dy
dp
j
dZ
g k ˆ
g (2.4.1)
P Po
g z
zo (2.5)
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2.4 Manometría Es la técnica de medición de presiones, usando el principio de igual nivel igual presión, por medio de un manómetro ó un barómetro. De la ec.(2.5) se puede concluir que: para una presión de referencia fija P o y un valor dado Z o , tanto la presión como la carga piezométrica son constantes en todo el fluido. La Presión depende únicamente de Z, para Z = cte. hay líneas de presión constantes.
A
B
Fig 2.3 Línea de Presión constante P A = P B = P C
C
Si h = - (Z - Z o ) profundidad del fluido por debajo del nivel de referencia Z o (Ej : Superficie de laguna o tanque) P Po
2
gh
h
2
Unidades: N/m , Pa, lb/pulg
,
P man = h (2.6) P abs = P man + P atm
P P man
P o
... (2.7)
PRESION ABSOLUTA O PRESION TOTAL (P abs ): Presión que se mide en relación con el vacío perfecto. Es la suma de la presión relativa y la presión atmosférica. PRESION MANOMETRICA ó RELATIVA (P man ): Presión que se mide teniendo como presión de referencia a la presión atmosférica. PRESION ATMOSFERICA ó BAROMETRICA (P atm ): Es la presión que ejerce el aire atmosférico y es igual al peso del aire entre el área sobre el cual actúa.
MA NÓME TR OS Miden presiones relativas con respecto a un origen arbitrio que generalmente es la relación atmosférica (P man ). Utilizan la relación que existe entre un cambio de presión y un cambio de elevación en un fluido estático. De la ec. (2.6) : P man = h El tipo elemental de estos aparatos es el denominado tubo piezométrico, que consta de un simple tubo abierto, el cual se conecta por el extremo inferior del recipiente que contiene el líquido cuya presión se desea conocer.
S.Santos H
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Fig 2.4 Manómetro Abierto
El líquido llena parcialmente el tubo hasta alcanzar cierto nivel (1-1). La presión absoluta en A se deduce aplicando la ecuación: Ó también: P A
Patm
h
Pr esión absoluta
La altura h se denomina ALTURA PIEZOMETRICA. Los piezómetros sirven para medir presiones en tuberías con líquido en movimiento. Para medir presiones comparativamente altas se emplean manómetros con líquido de peso específico elevado a fin de evitar que la columna manométrica alcance una altura exagerada. MANOMETROS ABIERTOS : Se utilizan para medir presiones mayores y menores que la atmosférica. Deben ser de rama invertida. Sea el recipiente mostrado en el gráfico, lleno con un líquido sometido a presión, al que se le ha conectado un manómetro de mercurio. Podemos aplicar: P B
Por tener el mismo nivel
P C
Por tanto: Pc
P atm
m h
P B
P h1 A
P A
P atm
h1
m h
Fig 2.5 Manómetro Abierto
S.Santos H
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MANOMETROS DIFERENCIALES : Son manómetros cuya finalidad es determinar la diferencia de presiones entre dos fluidos. Para establecer la diferencia de presión que existe entre A y E se aplica el criterio general: P C
P D
Así:
P C
P A
P D
Por lo tanto: P
A
P E
1h1
P E
1h1
m h2
2 h3
P A
m h2
P E
h 1 1
m
h2
2 h3
h 2
3
Fig 2.6 Manómetro Diferencial
En la que 1 y 2 son los pesos específicos de los líquidos contenidos en los recipientes I y II y m del líquido manométrico.
Distribución de presión en líquidos homogéneos P= 0 h P= γh
h1 P1= γh1
Distribución de presión en líquidos no homogéneos
S.Santos H
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Cap 2.
Hidrostática
PRACTI CA DI RI GI DA Nº 2 1. En una determinada atmósfera, las condiciones a nivel del mar son: 10ºC y 73.66cm Hg. Si el sensor de un avión señala 75.8 KPa (absolutos), determinar a qué altura se encuentra volando, sabiendo que la temperatura disminuye a razón de 6.5ºC/Km. (R = 287 m2 /(s2.ºK)) S = 0.68
2. Determine la diferencia de presión entre la tubería de agua y la tubería de aceite que se muestran en la figura
15 cm 20 cm Agua
Aceite S = 0.86 15 cm
10 cm
S = 13.6
3. La gata hidráulica de la figura es llenada con aceite a 56 lbf/pie3. Despreciando el peso del pistón ¿Qué fuerza se requiere en el brazo para soportar el peso de 2000 lbf? F
1”
15”
Φ=3” aceite
Φ=1”
4. Determinar las presiones en B,C y D, considerando que la presión en A es de 1900 lbf/pie2 del aire dentro del recipiente 3’ es aproximadamente cero y que γagua = 62.4 lbf/pie 3.
Aire
Aire
B
2’ Aire
A
C 4’
5’ Agua
S.Santos H
D
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2.5 Fuerzas Sobre Superficies Planas Fr
Fr Fr
Fig 2.7 Fuerzas sobre superficies planas Presión: acción de fuerzas distribuidas sobre una superficie finita en contacto con el fluido.
Fig 2.8 Distribución de Presiones en una compuerta vertical abierta y cerrada SUPERFICIES HORIZONTALES: dF P dA
F
Caso (a)
PdA
Presión es constante Fuerza es perpendicular a la superficie
F P A
Línea de acción de la fuerza resultante es el centro de gravedad (C.G) Centro de Gravedad del Area ó Centroide: (C.G.) Punto de equilibrio del área Momento del área respecto al eje y: My A x x
S.Santos H
1
A
My
x
1
A
xdA A
(2.8)
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Momento del área respecto al eje y: Mx A y
y
1
A
y
Mx
X
1
A
ydA (2.9) A
y
A x
Y
Fig 2.9 Centro de Gravedad
SUPE RF I CI E S I NCLI NA DA S: Casos (b y c) Z dF
θ
O
X
PdA
h dA1
h y Sen 2
h
h
y de (2) en (1): A’
y p
O y
B’ CG dA Cp dy
dF y Sen dA F Sen ydA3 Pero: y
x p
Y
1
ydA A A ydA y A 4
h y Sen 5
Y
Fig 2.10 Fuerzas sobre superficies inclinadas de (4) y (5) en (3) : F Sen y A2.10
F
h A
F
P CG . A 2.11
La ecuación (2.11) indica que el módulo de la fuerza ejercida sobre una superficie plana sumergida en un líquido es el producto del área por la presión en el centro de gravedad del área (P CG ).
S.Santos H
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La línea de acción de la fuerza resultante, pasa sobre el centro de presión del área CP: (X P ,Y P ). Centro de Presión (X P ,Y P )
Momento de la F uerza respecto al eje x:
Yp
Yp. F Y P .dA
1
F
y P .dA
Yp
ó
M F ydF dF
Yp. F
(6)
A 2 ydF y hdA y ysen dA sen y dA sen I x (7)
I x
y 2 A I x
(8)
De (7) y (8) en (6): Yp
sen y 2 A F
sen I x F
sen y 2 A y sen A
sen I x F
Momento de la F uerza respecto al eje y:
X p . F xP .dA A
X p
1
F
A xP .dA
X p
xdF dF
Yp y
sen I x F
(2.12)
M F X p F Xp x
sen I xy F
(2.13)
I x: Momento de inercia del área respecto a x I x : Momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide del área I xy : producto de inercia respecto al eje que pasa por el centroide del área
S.Santos H
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S.Santos H
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2.6 Fuerzas Sobre Superficies Curvas dF
hCG
h dA
F F V
F V
F
F V
2
F H
F H
2
(2.14)
F cg
F H
Fig 2.11 Fuerzas sobre superficies curvas Fuerza resultante de la presión, se calcula descomponiendo sus componentes horizontal y vertical.
COMPONE NTE HORI ZONTAL
Equivale al área de proyección de la superficie en el plano vertical normal a la dirección horizontal, multiplicado por la presión hidrostática a la profundidad del centroide de área de dicha proyección. F H
Av *
Pc AV
F H
h
CG
Aproy (2.15)
COMPONENTE VE RTI CAL
Es igual al peso de la columna líquida real o imaginaria que gravita sobre la superficie que se considera, extendiéndose hasta la superficie libre. F v
g
ó
F v
(2.16)
: Volumen real o imaginario Fv : actúa a través del C.G. del líquido del imaginario
S.Santos H
Fv .CG
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Fig.2.15 Compuerta Radial ¿Cómo sería el volumen y el sentido de la fuerza vertical a considerar en los siguientes casos?
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PRACTI CA DI RI GI DA Nº 3 Fuerzas Sobre Superficies Planas y Curvas 1. Determinar la magnitud y dirección de la fuerza total que ejerce la presión del agua sobre el área de la compuerta mostrada en la figura, el ancho de la compuerta es de 1.50m. 2m
2. La compuerta AB es una masa homogénea de 180 kg, de 1.2 m de ancho y descansa sobre el punto B. El sistema tiene una temperatura de 20°C. ¿Para qué profundidad h de agua la fuerza en B será igual a cero?. γ glicerina = 12360 N/m3 , 3 γagua = 9790 N/m . 3. Determinar la magnitud ubicación y dirección de la fuerza total que ejerce la presión del agua sobre el área del plano mostrado en la figura ( γ H20 = 62.4 lb-f/pie3 ) 10’ 8’ 6’ 4’
4. Determinar la fuerza total de la Presión del agua sobre la superficie curva AB, siendo el ancho del tanque 4pies y ( γ H20 = 62.4 lb-f/pie3 ).
5’ A 3’ B
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5. Un cilindro sólido de 80cm de radio, está articulado en A y se emplea como una compuerta automática. Cuando el nivel del agua llega a 4.2m, la compuerta se abre girando en torno a la articulación. Determinar: a) La fuerza hidrostática que actúa sobre el cilindro y su línea de acción cuando se abre la compuerta. b) El peso del cilindro por metro de longitud del mismo.
4.2m
A
0.80m
6. La compuerta parabólica de la figura tiene 2m. de ancho. Determinar: a. Magnitud y línea de acción de la Fuerza vertical que ejerce el agua sobre la compuerta. b. Magnitud y línea de acción de la Fuerza horizontal que ejerce el agua sobre la compuerta.
y
C 2m
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Cx 2 0.25 / m
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2.7 Empuje y Flotación Principio de Arquímedes: “Un cuerpo sumergido está sujeto a una fuerza hacia arriba igual al peso del fluido desplazado por el cuerpo y pasa por el centroide del volumen desplazado”.
E N UN CUE RPO SUME RGI DO Analizamos las fuerzas sobre un cuerpo sumergido, siendo γ f : peso específico del fluido F B: Fuerza de flotación = Empuje A: Sección transversal del cuerpo
h e
E
Fuerza sobre superficie superior de cuerpo: γ f hA Fuerza sobre superficie inferior de cuerpo: γ f (h+e)A
E=F B= γ f (h+e)A- γ f hA= γ f eA = γ f F B = Peso del fluido desplazado = f Por lo tanto: E f ...(2.17) E: es independiente de la distancia del cuerpo a la superficie Punto donde actúa el empuje es el centro de empuje: x Por Teorema de Varignon: E x
x
x x d 1
xd ...(2.18)
Un cuerpo sólido cuando está dentro de un fluido puede flotar, quedar en reposo o hundirse dependiendo de la densidad relativa del fluido.
Aplicaciones del Principio de Arquímedes o o o o
3
¿Fuerza de flotación de aire sobre personas? (ρaire= 1.2 kg/m )
Ascenso del aire cálido en un ambiente más frío (fenómeno de convección natural) Ascensión de globo con aire caliente, globos con helio. Diques reparadores de barcos
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2.7.1 Estabilidad de Flotación Existen dos clases de estabilidad: Lineal y Rotacional
ESTABILI DAD LI NEAL
Se produce cuando un pequeño desplazamiento lineal en cualquier sentido, origina fuerzas restauradoras (E) que tienden a volver el cuerpo a su posición original F. aplicada
ESTABILI DAD R OTACI ONAL
E. aparece
Se produce cuando un pequeño desplazamiento angular origina un par restaurador. T aplicado
aparece T restaurador
M: metacentro GM : altura Metacéntrica
a) Cuerpo flotante en equilibrio b) Estabilidad Rotacional de objetos flotantes Centroide de volumen desplazado se mueve hacia la derecha (B’), (G) permanece inalterable, se crea momento de restitución y regresa cuerpo a posición original. Cuerpo flotante está en equilibrio si M está sobre G. En barcos balanceo de hasta ± 20°. c) Cuando G está sobre M se crea un momento de volcadura en lugar de uno de restitución
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2.7.2 Equilibrio Relativo- Fluidos en Movimiento como un sólido Se le denomina equilibrio relativo de un líquido porque a pesar de estar en movimiento debido a una aceleración diferente a la gravedad (g e ) se comportan con las mismas características de un fluido en reposo.
LI QUIDOS CON ACELE RACI ÓN LI NE AL CONSTANTE z x
a g
y
g
g e
a
sometido a una aceleración a
sin movimiento
g e : gravedad efectiva g e = g + a
/ g /
g
2
a
2
Los líquidos obtienen inclinación de la superficie libre en una dirección contraria a la a del recipiente. * Presión dentro del recipiente:
A
t
g e
B
A a
t
h
A g B
h g e
B g g e
t h
t
g g e .......(a) h
Por hidrostática: P B P A De (a) en (b):
P B
P A
gh
.....(b)
t
g e h
h P B P A g e t .....(c)
De la Ecuación (c) se deduce que la presión varia en la dirección de g e , y los planos paralelos a la superficie son planos de presión constante.
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Decir cuál sería el valor de la presión en B cuando: * Recipiente asciende verticalmente
Recipiente desciende verticalmente
a
a
t
t B
B
CUE RPOS CON ACEL E RACI ÓN VE RTI CAL Y HORI ZONTAL az a ax
ϕ
a a
ax g g- a z
de la ec. Básica de la Hidrostática: g e
ai
x
ˆ
P
i
ˆ
x
dP
P x
P
dy
dy
P
dz
dP 0 (sup . isobárica )
dx
a x g a z
tg
Superficie isobárica: superficie de presión constante ϕ: ángulo de inclinación de superficie
isobárica
S.Santos H
dy
k g e ˆ
dZ
z
dz
a x dx g a z dz
dz
P
ˆ
ˆ
ˆ
dx
j
(0) j ( g a z )k
La diferencial total de la presión es: dP
P
ϕ
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PRACTI CA DI RI GI DA Nº 4 1. Un bloque cúbico grande de hielo que flota en el mar. Las gravedades específicas del hielo y del agua de mar son 0.92 y 1.025 respectivamente. Si una parte de 10cm de altura del bloque de hielo se extiende por encima de la superficie de la superficie del agua, determine la altura (h) del bloque de hielo por debajo de la superficie. 10 cm Bloque de hielo
h
mar
2. Se requiere determinar el peso específico de un mineral de volumen irregular que pesa 60 gr, al pesar el cuerpo sumergido en agua se registra el valor de 37gr.
Peso = 37 gr
3. Un pie3 de cierto material que pesa 67 lbf se sumerge en agua como se muestra. Una barra de madera de 10 pies de longitud y 3 pulg 2 de sección transversal une el peso con la pared. Si la barra pesa 3lbf ¿Cuál Será el ángulo θ de equilibrio?
1’
θ
S.Santos H
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4. ¿Cuál es el valor de a x? para el cual el agua comienza a derramarse por la pared de atrás del recipiente. Cuando el recipiente está en reposo el agua tiene una profundidad de 1.5m.
5. Un recipiente rectangular cuya base mide 0.4*0.2 m 2 y cuya altura tiene 0.4 m se llena de agua hasta el nivel 0.2m, la masa del recipiente vació es 10 kg. El recipiente se coloca en un plano inclinado un ángulo de 30º respecto a la horizontal. Si el coeficiente de rozamiento entre el recipiente y el plano es 0.3, determinar el ángulo que forma la superficie del agua respecto a la horizontal.
S.Santos H
