LABORATORIO Nº1 METROLOGIA SEMESTRE II/2010
METROLOGIA 1. OBJETIVOS.
Familiarizarse con instrumentos de medida como ser: tronillo micrométrico. Vernier.
Además efectuar un análisis de errores y determinar la densidad de distintos cuerpos geométricos.
2. FUNDAMENTO TEORICO. El conocimiento de los fenómenos naturales, comprenden a parte de su descripción, su cuantificación, es decir su medida. En realidad la medición constituye una de las operaciones más importantes de todo trabajo cie ntífico. Toda medida que se realiza en física consiste en determinar un número y su correspondiente unidad. El proceso de medir requiere de singular cuidado porque es el resultado de comparar una cierta cantidad con otra similar tomada como patrón de medida. Sin embargo ninguna medida efectuada es totalmente exacta porque está influenciada por diferentes tipos de errores originados por distintas causas. Regla Graduada.
Es uno de los instrumentos más simples y comunes, se utiliza realizando una comparación entre la longitud de la regla y la del objeto en unidades conocidas. Con una regla se puede obtener mediciones con una aproximación de 1 mm y se pueden apreciar longitudes relativamente considerables. Existen reglas de 30 cm, 1m, etc. En la medida de ciertas longitudes normalmente se usan reglas de madera, plástico o materiales similares que debido a su bajo costo son utilizados con frecuencia. Sin embargo son los que nos exponen a comete r mayores errores, ya que generalmente la impresión de la escala es deficiente. Cuando se desea comparar una longitud relativamente pequeña, la regla ya no es un instrumento útil. Si se emplea una regla graduada para efectuar mediciones, se sugiere tomar en cuenta los siguientes errores que se comenten con frecuencia: Error de cero.
Fig. 1
Fig. 2
1
LABORATORIO Nº1 METROLOGIA SEMESTRE II/2010
No es aconsejable colocar al extremo del objeto coincidiendo con el extremo de la regla, esto porque el extremo de la regla puede estar deteriorado y no marcar el cero correcto (fig. 1). Generalmente se debe verificar la posición cero antes de efectuar cualquier medición. Este problema se soluciona colocando el objeto a la derecha del cero (fig. 2) y efectuando la resta entre la cantidad leída y la cantidad inicial. Error de Paralelaje
Fig. 3 Cuando existe una separación entre la escala y el objeto a ser medido, a la línea de visión, no se encuentra perpendicular a la regla se obtiene una lectura incorrecta (fig. 3). Se puede corregir este error colocando el objeto lo más cerca posible de la escala de la regla, y mejor aun si se coloca un espejo paralelo a la escala de lectura y se alinea el objeto con su imagen de manera que la línea de visión forme un ángulo recto con la escala. Vernier Rectilíneo
Fig. 4
Este instrumento puede medir longitudes menores que el valor de la menor división de la regla graduada normal. La utilización de Vernier aumenta la prec isión de una medida. El vernier comúnmente empleado es aquel que presenta 10 divisiones, es decir 10 partes de la escala Vernier coinciden con 9 partes de la escala principal (fig. 4). La relación entre ambas escalas es la siguiente: 2
LABORATORIO Nº1
* *
METROLOGIA SEMESTRE II/2010
En general la escala Vernier lleva “n” divisiones que en la misma lo ngitud en la escala principal corresponden a “n-1” divisiones.
La aproximación del instrumento está dado por: Entonces:
Para los instrumentos de laboratorio tenemos: EP = 1 mm
;
n = 10
;
A = 0.01 mm = 1/10mm
Orígenes del vernier
El primer instrumento de características similares fue encontrado en un naufragio en la isla de Giglio, cerca de la costa italiana, datado en el siglo VI a. C. Aunque considerado raro, fue usado por griegos y romanos. Durante la Dinastía Han (202 a. C. - 220 d. C.), también se utilizó un instrumento similar en China, hecho de bronce, hallado con una inscripción del día, mes y año en que se realizó. Se atribuye al cosmógrafo y matemático portugués Pedro Núñez (1492-1577) —que inventó el nonio o nonius —, el origen del pie de rey. También se ha llamado pie de rey al vernier, porque hay quien atribuye su invento al geómetra Pierre Vernier (15801637), aunque lo que verdaderamente inventó fue la regla de cálculo vernier, que ha sido confundida con el nonio inventado por Pedro Núñez. En castellano, se utiliza con frecuencia la voz nonio para definir esa e scala. El calibre moderno con nonio y lectura de milésimas de pulgada, fue inventado por el americano Joseph R. Brown en 1851. Fue el primer instrumento práctico para efectuar mediciones de precisión que pudo ser vendido a un precio ac cesible. Tornillo Micrométrico
3
LABORATORIO Nº1 METROLOGIA SEMESTRE II/2010
Fig. 5 Este instrumento permite medir longitudes con mucha más precisión longitudes del orden del centésimo o milésimo de milímetro. Está provisto de una escala principal lineal y otra escala circular fijada sobre un tambor. Se define el paso del tornillo como la longitud que avanza o retrocede el tambor al dar una vuelta completa. En nuestro caso: 1 vuelta = 0.5 mm (fig. 5). La aproximación está dada por:
P = Paso de tornillo. N = Número de divisiones del tambor.
Para el caso de nuestro Laboratorio tenemos: P = 0.5 mm
N = 50 divisiones
A = 1/100 mm
Es muy frecuente que debido al excesivo uso del tornillo, esté presente un error de cero, es decir que al cerrar el instrumento el cero de la escala circular no coincida con el cero de la escala lineal, si es así, ésta discrepancia debe ser sumada a la medida realizada. Si por el contrario el cero de la escala circular queda antes del cero de la escala lineal, esta discrepancia debe sr restada a la me dida realizada. Orígenes del tornillo micrométrico.
La palabra micrómetro proviene del griego micros, pequeño, y metrón, medición, también llamado Tornillo de Palmer, es un instrumento de medición cuyo funcionamiento está basado en el tornillo micrométrico y que sirve para medir las dimensiones de un objeto con alta precisión, del orden de centésimas de milímetros (0,01 mm) y de milésimas de milímetros (0,001 mm) (micra). El primer tornillo micrométrico fue inventado por William Gascoigne en el siglo 17, como una mejora del vernier, fue entonces usado en un telescopio para medir las distancias angulares entre las estrellas. Su adaptación para las medidas pequeñas, fue hecha por Jean Louis Palmer, este dispositivo es desde entonces llamado Palmer en Francia.
Balanzas
4
LABORATORIO Nº1 METROLOGIA SEMESTRE II/2010 Balanza analítica de precisión (Balanza de brazos iguales)
Esta balanza es un instrumento de uso corriente en el laboratorio para medir masas con gran precisión. Aunque al utilizar la masa se habla de “pesar” y al conjunto de masas patrones se denomina “pesas”, lo que la balanza mide realmente son masas y no peso s.
La parte esencial de la balanza analítica de brazos iguales en una palanca ligera y rígida, sobre la cual están montadas sólidamente cuchillas de ágata igualmente espaciada, paralelas entre si y perpendiculares al eje longitudinal de la palanca. El borde de la cuchilla central descansa sobre un plano de ágata perfectamente pulido sostenido desde el fondo de la caja de la balanza. Los platillos cuelgan de dos pequeñas placas idénticas que descansan sobre los bordes de las cuchillas en los e xtremos de la balanza. Una aguja o fiel vertical, fijo a la palanca, oscila frente a una escala. Los bordes de las cuchillas actúan perfectamente como pivotes sin rozamiento. Puesto que los platillos pueden oscilar libremente alrededor de las cuchillas que los sostienen, el centro de gravedad de los platillos y de los pesos colocados sobre ellos se encuentran siempre en la misma vertical que pasa por el borde de la cuchilla cuando la palanca esta horizontal. La palanca o cruz es por consiguiente un cuerpo en equilibrio bajo la acción de un cierto número de fuerzas paralelas (fig. 7). Para utilizar la balanza, se coloca un cuerpo de masa m 1 desconocido en el plato izquierdo y en de la derecha masas conocidas m2
Fig. 6 Cuando se varia la masa patrón m2 hasta que el ángulo Ѳ sea nulo, se deduce que m 1 = m2, es decir la masa desconocida es igual a la masa patrón. La balanza más sensible es aquella que se inclina en un ángulo Ѳ mayor, para una p equeña
diferencia entre m1 y m2. Empleando una cruz o palanca larga ligera cuyo centro de
5
LABORATORIO Nº1 METROLOGIA SEMESTRE II/2010 gravedad se encuentra a una distancia muy pequeña de la cuchilla central, la sensibilidad de la balanza puede hacerse tan grande como se desee. Desgraciadamente las mismas condiciones que aumentan la sensibilidad, aumenta el tiempo que tarda la balanza en tomar su posición final de equilibrio. Por consiguiente es necesario buscar una compensación entre la sensibilidad y el tiempo de o scilación. Una buena balanza de este tipo aprecia la decima parte de un gramo y un instrumento realmente excelente la centésima o la milésima del gramo. También en Laboratorio se emplean con frecuencia otros tipos de balanzas de un solo plato (monoplato) que funcionan bajo el mismo principio de palanca y contrapesos. La apreciación de estas balanzas varia generalmente entre la decima y centésima del gramo (fig. 7).
Fig. 7
En la actualidad el avance de la técnica, en los laboratorios también se tiene a disposición las denominadas balanzas electrónicas que permiten medir masas con apreciación desde la decima hasta la milésima del gramo (fig. 8).
Fig. 8
3. MATERIALES. Para la siguiente práctica de laboratorio hicimos uso de los siguientes materiales:
Una balanza.
3 cuerpos regulares de distinto material.
Vernier. 6
LABORATORIO Nº1 METROLOGIA SEMESTRE II/2010
Tornillo micrométrico
Regla graduada
4. PROCEDIMIENTO. Para la práctica se nos proporciono 3 cuerpos regulares, entre los cuales estaban una arandela metálica, una esfera también metálica, y por ultimo una pirámide de madera.
Primeramente se trabajo con la arandela. Para la cual me utilizo el vernier para las mediciones de los diámetros, tanto interno (d) como externo (D) como se observa en la figura 9. También se hizo medidas de su espesor (e). Se tomaron 5 medidas de cada una, también se peso el cuerpo en una balanza electrónica, y una de brazos iguales, se pudo observar que hubo solo una ligera variación de una balanza a otra.
Figura 9
Se paso luego a trabajar con la pirámide de base cuadrada, para lo cual también se uso el vernier. Se hizo mediciones del lado a, lado b y la altura del objeto (figura 10). También se hicieron 5 mediciones de cada una, luego se paso a pesar el objeto también en la balanza electrónica.
Figura 10
Por último se trabajo con una esfera (figura 11), para esta también se uso el vernier en la medición de su diámetro (D). También se tomaron 5 mediciones de está. Seguido de esto se paso a pesar el objeto en la balanza electrónica. Figura 11
7
LABORATORIO Nº1 METROLOGIA SEMESTRE II/2010
5. ANALISIS DE DATOS. Para el análisis de datos haremos uso de las siguientes tablas, que corresponden a los cuerpos en estudio:
N
m (g)
D (cm)
d (cm)
e (cm)
1
66.4
6.95
3.450
0.300
2
66.4
6.96
3.475
3
66.4
6.92
3.480
0.350
4
66.5
6.92
3.465
0.350
5
66.4
6.92
3.465
0.350
0.350
Tabla 1. Esta tabla corresponde a las mediciones del primer objeto (arandela metálica). Se puede observar en la segunda columna la masa del objeto, seguido de esto se observa el diámetro externo, en la cuarta columna esta el diámetro interno y por último se encuentra el espesor del objeto, las longitudes están expresadas en centímetros y la masa del objeto en gramos.
h (cm)
N
m (g)
a (cm)
b (cm)
1
99.1
7.875
7.850
7.915
2
99.0
7.820
7.830
7.800
3
99.0
7.890
7.865
7.915
4
99.0
7.885
7.875
7.925
5
99.0
7.890
7.850
7.855
Tabla 2. Corresponde a los datos tomados al medir la pirámide. En la primera columna tenemos la masa, seguido tenemos el lado a, en la cuarta columna se tiene el lado b y por último la altura de la pirámide de base cuadrada, todas las mediciones de longitud de midieron en centímetros, la masa en gramos.
8
LABORATORIO Nº1 METROLOGIA SEMESTRE II/2010
N
m (g)
D (cm)
1
16.3
1.580
2
16.3
1.575
3
16.3
1.585
4
16.3
1.585
5
16.3
1.585
Tabla 3. Tabla correspondiente a los datos tomados de la esfera, la segunda columna es la masa, la cual esta expresada en gramos. La tercera columna es el diámetro que esta expresada en centímetros.
a) Para cada cuerpo encontrar el volumen promedio y mediante propagación de errores determinar
1. Primeramente se trabajara con la tabla 1
Para calcular el volumen promedio de la arandela solo necesitaremos la tercera, cuarta y quinta columna. Como se puede observar podemos tomar a la arandela como un cilindro hueco de base circular para el cual podemos utilizar la siguiente fórmula:
Donde:
e = espesor de la arandela. D = diámetro externo de la arandela d = Diámetro interno de la arandela Pero antes de ello debemos hallar las medias aritméticas y el respectivo error de cada medida tomada. Para ello modificaremos la tabla 1 de la siguiente forma:
9
LABORATORIO Nº1 METROLOGIA SEMESTRE II/2010 N
m (g)
D (cm)
d (cm)
e (cm)
1
66.4
6.950
3.450
0.300
2
66.4
6.960
3.475
3
66.4
6.920
4
66.5
5 ∑
( ) -0.016
0.017
0.040
0.000256
0.000289
0.350
-0.026
-0.008
-0.010
0.000676
0.000064
3.480
0.350
0.014
-0.013
-0.010
0.000196
0.000169
6.920
3.465
0.350
0.014
0.002
-0.010
0.000196
0.000004
66.4
6.920
3.465
0.350
0.014
0.002
-0.010
0.000196
0.000004
66.4
6.934
3.467
0.340
0.001520
0.000530
0.0016 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0020
Tabla 4. Esta tabla es una ampliación de la tabla 1, la necesitamos para calcular el error estándar cometido en las mediciones, las columnas 6, 7 y 8 son las diferencias del valor medio con cada fila de la medida, en las últimas tres columnas las elevamos al cuadrado. En la fila 7 tenemos la sumatoria de las columnas, solo las sumatorias que necesitamos. En las columnas que aumentamos, también esta expresada en cm.
Ahora calculamos el error estándar de las longitudes tomadas, para ello usaremos la siguiente fórmula:
∑̅ ∑
Y como el número de mediciones n es pequeño esta la multiplicaremos por 3 para ser un cálculo de errores más real y tenemos:
Seguimos los mismos pasos para el diámetro interno y el espesor y tenemos:
Como dijimos anteriormente los tenemos que multiplicar por tres y tenemos:
Ahora acomodando tenemos lo siguiente:
También lo podemos expresar en forma porcentual:
10
LABORATORIO Nº1 METROLOGIA SEMESTRE II/2010
* * * * * * Con los valores medios calculamos el volumen de la arandela:
Ahora calculamos el error del volumen por propagación de errores, para ello haremos uso del método de diferenciación logarítmica y tenemos:
Ahora diferenciamos
Ahora cambiamos la notación de diferenciación por la de e rror estándar:
Ahora calculamos el error:
Reemplazando los valores tenemos:
Entonces el volumen de la arandela es e l siguiente:
11
LABORATORIO Nº1 METROLOGIA SEMESTRE II/2010
2. Ahora para calcular el segundo objeto seguiremos los mismos pasos que seguimos para la arandela, pero trabajaremos con la tabla 2 y tendremos:
( ) ( )
N
m (g)
a (cm)
b (cm)
h (cm)
1
99.1
7.875
7.850
7.915
-0.003
0.004
-0.033
0.000009
0.000016
2
99.0
7.820
7.830
7.800
0.052
0.024
0.082
0.002704
0.000576
3
99.0
7.890
7.865
7.915
-0.018
-0.011
-0.033
0.000324
0.000121
4
99.0
7.885
7.875
7.925
-0.013
-0.021
-0.043
0.000169
0.000441
5
99.0
7.890
7.850
7.855
-0.018
0.004
0.027
0.000324
0.000016
∑
99.0
7.872
7.854
7.882
0.003530
0.001170
0.00109 0.00672 0.00109 0.00185 0.00073 0.01148
Tabla 5. Esta tabla es similar a la tabla 4, pero esta tabla es una expansión de la tabla 2. Esta tabla ayudara a encontrar los debidos valores junto con los errores correspondientes a cada longitud.
Como ya vimos en el anterior paso omitiremos los pasos y pondremos los
valores directamente y tenemos:
También podemos expresarlo de la forma:
Ahora para el cálculo del volumen de la pirámide utilizamos la siguiente fórmula:
Reemplazando los valores medios para hallar el volumen medio tenemos:
Ahora para hallar el error del volumen usaremos propagación de errores, el método que usaremos será el de Derivadas parciales.
12
LABORATORIO Nº1 METROLOGIA SEMESTRE II/2010
* * * √
Reemplazando en la ecuación tenemos:
Y expresando el valor del volumen de la pirámide se rá:
3. Por último calculamos el volumen de la esfera con ayuda de la tabla 3. Como ya se vio en los anteriores pasos lo haremos de forma directa según a la siguiente tabla:
N
m (g)
D (cm)
1
16.3
1.580
2
16.3
1.575
0.007
3
16.3
1.585
-0.003
4
16.3
1.585
-0.003
5
16.3
1.585
-0.003
∑
16.3
1.582
0.002
0.000004 0.000049 0.000009 0.000009 0.000009 0.000080
Tabla 6 Esta tabla es una ampliación de la tabla 3, la cual nos ayudara a calcular los errores del diámetro, la columna 4 y 5 esta expresada en centímetros.
Ahora para calcular el volumen de la esfera tomamos la siguiente fórmula:
13
LABORATORIO Nº1 METROLOGIA SEMESTRE II/2010
Reemplazando con el diámetro tenemos el volumen:
Ahora calculamos el debido error con propagación de errores, que lo haremos de forma directa.
Y el volumen de la esfera es:
Entonces los volúmenes calculados son:
Volumen de la arandela:
Volumen de la pirámide:
Volumen de la esfera:
b) En función a cada uno de los datos anteriores determinar la densidad de cada cuerpo. Para calcular la densidad de cada uno de los cuerpos utilizaremos la siguiente
fórmula:
Y como solo nos pide la densidad es solo reemplazarla en función al volumen medio y a la masa media con ayuda de la tabla 4 para la arandela, tabla 5 para la pirámide y la tabla 6 para la e sfera entonces tenemos: Densidad de la arandela:
La densidad de la pirámide es:
Y por último tenemos a la esfera, la cual tiene una densidad de:
14
LABORATORIO Nº1 METROLOGIA SEMESTRE II/2010
* *
Por último tenemos las densidades:
Densidad de la arandela:
Densidad de la pirámide:
Densidad de la esfera:
c) Empleando propagación de errores determinar:
De acuerdo a la fórmula utilizada anteriormente tenemos:
Ahora para la propagación de errores utilizaremos el método de Diferenciación logarítmica y tenemos: Ahora diferenciamos
Ahora cambiamos la notación de diferenciación por la de er ror estándar:
Ahora para calcular el error tenemos:
Ahora tenemos la fórmula para calcular el error de la densidad, y solo tenemos que reemplazar los diferentes datos para cada una de las densidades correspondientes a cada objeto. Primero para la arandela, reemplazando los datos tenemos:
* *
15
LABORATORIO Nº1
̅
METROLOGIA SEMESTRE II/2010
Siguiendo los mismos pasos para la pirámide y la esfera tenemos: Para la pirámide: Para la esfera:
Ahora las densidades calculadas con su respectivo error serán:
Densidad de la arandela:
Densidad de la pirámide:
Densidad de la esfera:
d) Construir una tabla de densidades e indicar de que materiales están construidos los cuerpos utilizados en el experimento.
CUERPO
DENSIDAD (g/cc)
MATERIAL
ARANDELA
6.9
Metal
PIRAMIDE
0.6
Madera
ESFERA
7.9
Metal
Tabla 7. En esta tabla esta armada las respectivas densidades de los materiales en estudio, en la tercera columna se ven los materiales del cual está hecho cada pieza.
e) Para la esfera utilizada en el experimento, calcular el número de veces que se debe medir el diámetro si se quiere obtener una precisión del 0.015% Para calcular el número de veces a medir, utilizaremos el tratamiento de errores con los siguientes datos D = 1.582 cm S = 0.001 cm EPE = 0.015 16
LABORATORIO Nº1
Pero:
*
METROLOGIA SEMESTRE II/2010
Reemplazando en la primera ecuación tenemos:
Y reemplazando los datos tenemos:
Llevando al mayor más cercano tenemos:
El número de veces que se debe medir el diámetro de la esfera es 19 veces. f)
Si el error asignado para medir el volumen del cilindro fuera 1.5% y se miden una sola vez el diámetro y la altura, realizar el proceso inverso de propagación de errores en la fórmula de volumen y determinar los errores relativos que se cometen en la medida del diámetro y la altura.
Tomamos los siguientes datos:
Ahora el volumen del cilindro es:
Con el volumen hacemos propagación de errores (usaremos el método de diferenciación logarítmica):
Ahora con lo que tenemos hacemos Propagación inversa de errores
Una posible solución:
N = Nº de términos que son menores al error relativo prefijado 17
LABORATORIO Nº1 METROLOGIA SEMESTRE II/2010 N=2 Entonces:
Para estar más seguros se iguala:
Entonces tenemos los errores relativos del diámetro y la altura
Y los errores relativos son:
6. CUESTIONARIO. 1.
Definir los términos exactitud y precisión.
Rpta. Se denomina exactitud a la capacidad de un instrumento de medir un valor cercano al valor de la magnitud real. Se denomina precisión a la capacidad de un instrumento de dar el mismo resultado en mediciones diferentes realizadas en las mismas condiciones 2.
Describir las características que debe tener un Vernier para que su aproximación sea: a) 0.02 mm. b) 0.05mm
Rpta. Para el primer inciso de 0.02 mm de aproximación tenemos las siguientes características: Que la escala del vernier sea de 1 mm y tenga 50 divisiones Para el segundo inciso de 0.05 mm de aproximación tenemos: Que la escala del vernier sea también de 1 mm pero que tenga 20 divisiones. 3.
En la medición de una cierta magnitud, ¿se puede obtener la misma aproximación con dos instrumentos de diferentes apreciaciones? Argumente su respuesta
Rpta. Claro, se puede obtener una apro ximación, pero como son de diferentes aprec iaciones una puede leer más cifras y la otra no 18
LABORATORIO Nº1 METROLOGIA SEMESTRE II/2010 Un ejemplo seria: 7.5 cm con un instrumento, y cuando se mida con otro de diferente apreciación se leerá de la siguiente forma 7.523 cm, como se ven ambos tienen la misma aproximación.
7. CONCLUCIONES. A lo largo de la práctica se utilizaron los respectivos instrumentos de medición de longitudes y también de pesos, en lo que refiere a longitud, se utilizo el Vernier y la regla graduada, en lo que atañe al tornillo micrométrico solo se lo uso para ver si los valores coincidían con los del Vernier, y como se vio solo se tuvo una pequeña variación de una medida a otra. Para pesar los diferentes cuerpos se utilizo la balanza electrónica, y la balanza analítica solo se uso para ver si el valor variaría o no, y como se pudo notar la diferencia no fue notoria. Por otro punto al efectuar el análisis de errores en lo que respecta al volumen se lo realizo sin problema, pero a la hora de los resultados se tuvo un error de 8.89 % en la arandela, 3.11% en la pirámide y de 1.14% en la esfera. Para el primer objeto se puede ver que el error no es aceptable y es exagerado lo que se puede hacer para corregir el error seria extender las mediciones o sea medir más veces el espesor, con ello podemos reducir el error. Para el segundo objeto nos dio un error excesivo, no tanto como el primero pero si de consideración, lo que se puede hacer para corregir ese error seria medir más veces el lado b, ya que este nos dio un error casi un 3%. Para la esfera el error es aceptado pero para una óptima medición medir un par de veces más el diámetro de la esfera. En lo que respecta a las densidades, también se puede ver que hay un excesivo error en los cálculos, esto debido a que se acarreo errores desde el volumen, y se puede solucionar cuando se corrija los errores del volumen. Por otro lado en la tabla 7 se puede ver los materiales de los que están hechos los respectivos objetos, la arandela como se puede notar tiene una mayor densidad que la pirámide, pero la esfera tiene mayor densidad que ambas, entonces se puede deducir que la esfera y la arandela están hechas de alguna clase de metal, y por el contario la pirámide está hecha de madera. Físicamente también se puede notar estas afirmaciones. Para finalizar vale recalcar que para una mayor confiabilidad de los volúmenes y las densidades calculadas, se deberían de tomar más medidas, para que el error no sea muy grande.
8. BIBLIOGRAFIA. Guía de Laboratorio de Física Básica I, Ingeniero Rene Delgado S. http://es.wikipedia.org/wiki/Calibre_%28instrumento%29 http://www.blogger.com/feeds/2558163115715026893/posts/default 19
LABORATORIO Nº1 METROLOGIA SEMESTRE II/2010 http://es.wikipedia.org/wiki/Precisión http://es.wikipedia.org/wiki/Exactitud
20
