C´ alcul alc ulo o Vecto ec toria riall
Pr´ actic ac tica a No 3
1. Encuentre Encuentre
∂f ∂x
∂f ∂y
y
a) f ( f (x, y ) = 2x2
− 3y − 4
b) f ( f (x, y) =
1 x + y + y
d) f ( f (x, y) = x y
c) f ( f (x, y ) = ln(x ln(x + y + y)) 2. Calcule Calcule f x , f y y f z a) f ( f (x,y,z) x,y,z ) = 1 + xy + xy 2
− 2z
2
b) f ( f (x,y,z) x,y,z) = x
c) f ( f (x,y,z) x,y,z ) = ln(x ln(x + 2y 2y + 3z 3z)
−
d) f ( f (x,y,z) x,y,z) = exp
y2 + z 2
xyz
−
3. Calcule Calcule la derivada derivada parcial de la funci´ on con respecto a cada variable. on a) f ( f (t, α) = cos(2πt cos(2πt
b) g(u, v) = v 2 e
− α)
c) h(ρ,φ,θ) ρ,φ,θ) = ρsen ρ senφ φ cos θ
2u v
d) g(r,θ,z) r,θ,z) = r(1 r (1
− cos θ) − z
4. Encuentre Encuentre todas las derivadas derivadas parciales parciales de segundo segundo orden de las siguiente siguientess funciones. funciones. b) g(x, y ) = x 2 y + cos y + y + ysen senx x
a) f ( f (x, y ) = x + x + y y + + xy xy y c) s(x, y) = tan 1 ( ) x
d) r(x, y) = ln(x ln(x + y + y))
−
5. Verifique erifique que w que w xy = w yx . a) w = ln(2x ln(2x + 3y 3y )
b) w = exp x + x + x ln y + y + y ln y
c) w = xy = xy 2 + x2 y3 + x3 y4
d) w = x = xsen senyy + y + ysen senx x + xy + xy
6. ¿ Cu´ al al orden de derivaci´ on on calcular´ a f xy as a s r´ apido: apido: x o y ? Trate rate de contes contestar tar sin xy m´ escribir. x b) f ( f (x, y) = y + y + ( ) y
a) f ( f (x, y ) = xsen x senyy + e + ey c) f ( f (x, y ) = y + y + x x2 y + 4y 4y3
− ln(y ln(y
2
+ 1)
d) f ( f (x, y) = x ln(xy ln(xy)) 1
7. La derivada parcial de quinto orden ∂ 5 f/∂x2 ∂y 3 se anula para cada una de las siguientes funciones. Para mostrar esto lo m´ as r´apidamente posible, ¿ con respecto a cu´al variable derivar´ıa primero, x o y? Trate de contestar sin escribir. a) f (x, y) = y 2 x4 ex + 2
b) f (x, y) = y 2 + y(senx
c) f (x, y) = x 2 + 5xy + senx + 7ex
d) f (x, y) = xe y
2
/2
4
−x )
8. Use la definici´ on de derivada parcial mediante l´ımites para calcular las derivadas parciales de las funciones en los punto dados. 2
a) f (x, y) = 1
− x + y − 3x y, b) f (x, y) = 4 + 2x − 3y − xy , 2
∂f ∂x
∂f ∂y
y
∂f ∂x
y
en (1, 2)
∂f ∂y
en ( 2, 1)
−
9. Sea w = x 2 yz 2 una funci´ on de de tres variables independientes. Escriba la definici´on formal de la derivada parcial ∂f/∂z en (x0 , y0 , z0 ) . Use esta definici´ on para calcular ∂f/∂z en (1, 2, 3). 10. Sea w =
−2xy
2
+yz 2 una funci´ on de de tres variables independientes. Escriba la definici´on
formal de la derivada parcial ∂f/∂y en (x0 , y0 , z0 ) . Use esta definici´ on para calcular ∂f/∂y en ( 1, 0, 3).
−
11. Determine el valor de ∂z/∂x en el punto (1, 1, 1), si la ecuaci´ on xy + z 3 x
− 2yz = 0
define a z como funci´ on de las dos variables independientes x y y, y la derivada parcial existe. 12. Muestre que cada una de las siguientes funciones satisface la ecuaci´ on de Laplace ∂ 2 f ∂x 2
+
∂ 2 f ∂y 2
+
∂ 2 f ∂z 2
= 0.
a) f (x,y,z) = x 2 + y 2 c) f (x, y) = ln
− 2z
2
b) f (x, y) = e
2y
−
cos2x
d) f (x,y,z) = e3x+4y cos5z
x2 + y 2
13. Muestre que todas las siguientes funciones son soluci´ on de la ecuaci´on de onda a) w = sen(x + ct)
b) w = ln(2x + 2ct)
c) w = 5 cos(3x + 3ct) + ex+ct
d) w = cos(2x + 2ct) 2
∂ 2 w ∂t 2
2
f = c 2 ∂ . ∂x 2
14. En los siguientes ejercicios : a) Exprese dw/dt como funci´ on de t, use la regla de la cadena y exprese w en t´erminos de t; derive en forma directa con respecto a t. b) Eval´ ue dw/dt en el valor de t.
• • • •
w = x 2 + y 2 ,
x = cos t,
w = ln(x2 + y 2 + z 2 ), w = z
− senxy,
w = x 2 + y 2 ,
y = sent,
x = cos t,
x = t,
√
y = sent, z = et
y = ln t,
x = cos t + sent,
t = π
y = cos t
1
−
z = 4 t ,
t = 1
− sent.
t = 0
15. En los siguientes ejercicios : a) Exprese ∂z/∂u y ∂z/∂v como funciones de u y v, use la regla de la cadena y exprese z en t´erminos de u y de v antes de derivar. b) Eval´ ue ∂z/∂u y ∂z/∂v en el punto dado (u, v).
• •
z = 4 expx ln y, z = tan
1
−
(x/y),
x = ln(u cos v), x = u cos v,
y = usenv, y = usenv,
(u, v) = (2, π/4) (u, v) = (1.3, π/6)
16. Trace un diagrama de a´rbol y escriba una f´ormula con la regla de la cadena para cada derivada a)
dz dt
para z = f (x, y),
b)
dz dt
para z = f (u,v,w),
c)
∂w ∂x
d)
∂y ∂r
y
∂w ∂y
x = g(t),
u = g(t),
para w = g(u, v),
para y = f (u),
y = h(t) v = h(t),
u = h(x, y),
w = k(t) v = k(x, y)
u = g(r, s)
17. Determine ∂w/∂r cuando r = 1, s = sen(r + s). 18. Determine ∂w/∂v cuando u =
2
−1 si w = (x + y + z) , x = r − s, y = cos(r + s), z =
−1, v = 2 si w = xy + ln z, x = v
19. Determine ∂z/∂u y ∂z/∂v cuando u = ln 2, v = 1 si z = 5 tan
1
−
20. Determine ∂z/∂u y ∂z/∂v cuando u = 1 y v = 3
2
/u,y = u + v, z = cos u.
x y x = eu + ln v.
−2 si z = ln q y q = √ v + 3tan
1
−
u.
21. En los siguientes ejercicios determine el gradiente de la funci´ on en el punto dado. Luego trace el gradiente junto con la curva de nivel que pasa por el punto. b) f (x, y) = ln(x2 + y 2 ),
a) f (x, y) = y c)
− x, (2, 1) g(x, y) = y − x , (−1, 0)
x2 d) g(x, y) = 2
2
−
y2 , 2
(1, 1)
√
( 2, 1)
22. En los siguientes ejercicios determine
∇f en el punto dado..
a) f (x,y,z) = x 2 + y 2 b) f (x,y,z) = 2x3
− 2z 2
2
+ z ln x,
(1, 1, 1)
+ y 2 )z + tan
− 3(x
1
−
c) f (x,y,z) = (x2 + y 2 + z 2 )
−
1 2
xz,
+ ln(xyz),
d) f (x,y,z) = e x+y cos z + (y + 1)sen
1
−
x,
(1, 1, 1) ( 1, 2, 2)
−
−
(0, 0, π/6)
23. Encuentre la derivada de la funci´ on en P o en la direcci´on de A. a) f (x, y) = 2xy
2
− 3y ,
b) f (x, y) = 2x2 + y 2 ,
P o (5, 5), P o ( 1, 1),
−
c) g(x,y,z) = 3ex cos yz,
A = 4i + 3j A = 3i
Po (0, 0, 0),
d) h(x,y,z) = cos xy + eyz + ln zx,
− 4j
A = i + j + k
Po (1, 0, 1/2),
A = i + 2j + 2k
24. En los siguientes ejercicios determine las direcciones en que las funciones crecen y decrecen m´ as r´ apidamente en P o . Luego encuentre las derivadas de las funciones en estas direcciones. a) f (x, y) = x 2 + xy + y 2 , b) f (x,y,z) = ( xy )
− yz,
c) h(x,y,z) = ln(x2 + y 2
P o ( 1, 1)
−
Po (1, ln 2, 1/2)
− 1) + y + 6z,
d) f (x,y,z) = ln xy + ln yz + ln xz, 25. Trace la curva f (x, y) = c junto con
P o (1, 1, 0)
Po (1, 1, 1) f y la recta tangente en el punto dado. Luego
escriba una ecuaci´ on de la recta tangente. a) x2 + y 2 = 4, c) x2
− y = 1,
√ √ √
( 2, 2)
b) xy = d) x2
( 2, 1)
−4,
− xy + y
(2, 2)
−
2
= 7,
( 1, 2)
−
26. ¿ En qu´e direcci´on se anula la derivada de f (x, y) = xy + y 2 en P (3, 2)? 4
27. ¿ En qu´ e direcciones se anula la derivada e f (x, y) = (x2
2
2
− y )/(x
28. ¿ Existe una direcci´ on u en que la raz´ on de cambio de f (x, y) = x 2 sea igual a 14 ? Justifique su respuesta.
+ y 2 ) en P (1, 1)?.
− 3xy + 4y
2
en P (1, 2)
29. ¿ Existe una direcci´ on u en que la raz´on de cambio de la funci´on temperatura T (x,y,z) = 2xy
− yz (temperatura en grados Celsius, distancia en pies) en P (1, −1, 1) sea igual a
−3 /pie? Justifique su respuesta. ◦
√
30. La derivada de f (x, y) en P 0 (1, 2) en la direcci´on i + j es 2 2 y en la direcci´on de
−2 j es
−3.¿ Cu´al es la derivada de f en la direcci´on de −i − 2 j?. Justifique su respuesta. 31. La derivada de f (x,y,z) en P alcanza su m´ √ aximo en la direcci´on de v = i + j − k. En esta direcci´ on, el valor de la derivada es 2 3 (a) ¿C´ omo es
f en P ? Justifique su respuesta.
(b) ¿Cu´ al es la derivada de f en P en la direcci´ on de i + j? 32. ¿ Cu´ al es la relaci´ on entre la derivada de una funci´ on diferenciable f (x,y,z) en un punto P 0 en la direcci´on de un vector unitario u , y la componente escalar de ( f )P en la direcci´on
de u? Justifique su respuesta.
0
33. ¿ Suponiendo que las derivadas necesarias de f (x,y,z) est´ an definidas, ¿ Cu´ al es la relaci´ on entre D i f, D j f, Dk f
y
f x , f y .
34. En los siguientes ejercicios encuentre las ecuaciones para : (i) el plano tangente y (ii) la recta normal en el punto P 0 , en la superficie dada. (a) x2 + y 2 + z 2 = 3, (b) x2 + y 2
2
P 0 (1, 1, 1)
− z = 18, P (3, 5, −4) (c) cos πx − x y + exz + yz = 4, P (0, 1, 2) 0
2
(d) x + y + z = 1,
0
P 0 (0, 1, 0)
35. En los siguientes ejercicios encuentre ecuaciones param´etricas para la recta tangente a la curva de intersecci´on de las superficies en el punto dado: a) Superficies : x + y 2 + 2z = 4, x = 1 Punto: (1,1,1) 5
b) Superficies : xyz = 1, x2 + 2y2 + 3z2 = 6 Punto: (1,1,1) c) Superficies : x3 + 3x2 y 2 + y 3 + 4xy Punto: (1,1,3)
−z
2
= 0, x2 + y 2 + z 2 = 11
36. ¿ A cu´ anto asciende el cambio de f (x,y,z) = ln
x2 + y 2 + z 2
si el punto P (x,y,z) se mueve desde P 0 (3, 4, 12) una distancia de ds = 0.1 unidades en la direcci´ on de 3i + 6j
− 2k
37. ¿ A cu´ anto asciende el cambio de f (x,y,z) = expx cos yz si el punto P (x,y,z) se mueve desde P 0 (2, 1, 0) una distancia de ds = 0.2 unidades en la direcci´ on de 2i + 2j
−
− 2k
38. Suponga que la temperatura Celsius en el punto (x, y) en el plano xy es T (x, y) = xsen2y y que la distancia en el plano xy se mide en metros. Una part´ıcula se mueve en el sentido de las manecillas del reloj alrededor de la circunferencia de radio 1m con centro en el origen,
a la raz´ on constante de 2m/s. (a) ¿ Con qu´e rapidez cambia la temperatura experimentada por la part´ıcula, en grados
√
Celsius por metro, en el punto P (1/2, 3/2)? (b) ¿ Con qu´e rapidez cambia la temperatura experimentada por la part´ıcula, en grados Celsius por segundo en P ? 39. Determine la linealizaci´ on L(x, y) de la funci´ on en cada punto. (a) f (x, y) = x 2 + y 2 + 1
en a.(0, 0),
b.(1, 1)
(b) f (x, y) = (x + y + 2) 2
en a.(0, 0),
b.(1, 2)
(c) f (x, y) = 3x
en a.(0, 0),
b.(1, 1)
− 4y + 5
(d) f (x, y) = exp2y
x
−
en a.(0, 0),
b.(1, 2)
40. Determine la linealizaci´ on L(x,y,z) de las funciones de los siguientes ejercicios en los puntos dados: 6
(a) f (x,y,z) = xy + yz + xz en a.(1, 1, 1)
b.(1, 0, 0)
c.(0, 0, 0)
(b) f (x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 en a.(1, 1, 1)
b.(0, 1, 0)
c.(1, 0, 0)
(c) f (x,y,z) = expx +cos(y + z) en a.(0, 0, 0)
b.(0, π/2, 0)
c.(0, π/4, π/4)
41. Usted planea calcular el a´rea de un rect´ angulo largo y delgado a partir de las medidas de su largo y ancho, ¿ Cu´ al dimensi´ on debe medir con m´as cuidado? Justifique su respuesta. 42. a. Alrededor del punto (1,0), ¿ la funci´ on f (x, y) = x 2 (y +1) es m´ as sensible a los cambios en x o los cambios en y? Justifique su respuesta. b. ¿ Cu´ al raz´ on entre dx y dy har´ a que df sea igual a cero en (1, 0)? 43. Una lata com´ un de 12 onzas l´ıquidas de refrescos es en esencia un cilindro de radio r = 1 pulgada y altura h = 5 pulgadas. a. Con estas dimensiones, ¿ cu´ an sensible es el volumen de la lata a un peque˜no cambio en el radio, en comparaci´ on con un peque˜ no cambio de altura? b. ¿ Podr´ıa dise˜ n ar una lata que pareciera contener m´ as refresco, pero que de hecho contenga las mismas 12 onzas l´ıquidas ? ¿Cuales ser´ an sus dimensiones ? (Hay m´ a s de una respuesta correcta). 44. La f´ ormula de econom´ıa dice ormula de Wilson para el tama˜ n o de un lote Esta f´ que la cantidad m´ as econ´ omica Q de bienes (radios, zapatos, cepillos, etc´ etera) para un pedido de una tienda est´ a dada por la f´ormula Q =
2KM/h, donde K es el
costo de elaboraci´ on del pedido, M es el n´ umero de art´ıculos vendidos por semana y h es el costo de almacenamiento semanal para cada art´ıculo (costo del espacio, utiler´ıa, seguridad, etc´etera). ¿ A cu´ al de las variables K, M y h es m´as sensible Q cerca del punto (K 0 , M 0 , h0 ) = (2, 20, 0.05)? Justifique su respuesta.
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