Métodos cuantitativos para la toma de decisiones Modulo 1

Métodos cuantitativos para la toma de decisi ones

Tema 1. Estadística Descriptiva Objetivos del tema Al finalizar el tema, serás capaz de: y y

Describir el enfoque del análisis cuantitativo. Emplear el uso del modelado en el análisis cuantitativo.

Introducció n

La estadística siempre ha estado a nuestro alrededor. De hecho sería muy difícil pasar una semana entera sin utilizar la estadística. Imagina un partido de fútbol profesional donde no existiera marcador. ¿Cómo podríamos determinar quién gana o pierde? La acción por sí misma nos dará la suficiente emoción para quitarnos la atención por un rato; pero piensa lo siguiente, sin esto se perdería el drama del juego, si ganar o perder no fuera importante. Ahora imagina que vas a comprar un automóvil, y que quieres comprarte el mejor auto en función del costobeneficio. Sin estadísticas o números ésta podría ser una tarea fácil. Sin embargo, no sabrías si estás haciendo la mejor inversión por él. Sin estadísticas no podríamos planear nuestros presupuestos, pagar nuestros impuestos, disfrutar los deportes, evaluar el desempeño de las personas. ¿Empiezas a captar la idea? ¡Necesitamos la estadística! Vamos a echar un vistazo a la forma más básica de la estadística, conocida como estadística descriptiva. Este tipo de análisis es la base para todo el conocimiento estadístico, sin embargo no es algo que vas simplemente a aprender y utilizarlo en el futuro cercano. La estadística descriptiva es algo que ya utilizas actualmente, por ejemplo, en tus materias de la maestría, en las actividades de tu trabajo, en un partido de fútbol, cuando haces las compras en una tienda de autoservicio. Es muy probable que sepas más estadística de lo que tú crees.

Actividad individual Instruccio nes:

Realiza cuidadosamente lo que se te indica a continuación en cada uno de los problemas. Ejercicios: 1.

Contesta las siguientes preguntas: a. ¿Cuál es el alcance del análisis cuantitativo? b. ¿Cuál es el alcance del análisis cualitativo? c. ¿Cuál es es la diferencia entre entre el análisis cuantitativo y el cualitativo? cualitativo?

2.

Realiza un esquema sobre el enfoque enfoque del del análisis análisis cuantitativo.

3.

Investiga y define define por medio del del modelado del del análisis cuantitativo, 3 situaciones de empresas reales. En este ejercicio debes incluir los 7 pasos del modelo. No es necesario que incluyas todo el proceso que siguieron las empresas, sólo incluye un breve resumen de cada uno de los pasos.

Envía la actividad a tu tutor, en formato de práctica de ejercicios. ejercicios .

Modulo 1 Introducción a la Estadística

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Cierre

El análisis cuantitativo es el enfoque científico para la toma decisiones. El modelo del análisis cuantitativo incluye los siguientes pasos: 1) Definición del Problema. 2) Desarrollar el Modelo. 3) Recopilación de Datos. 4) Desarrollo de la Solución. 5) Prueba de la Solución. 6) Análisis de Resultados. 7) Implementación de Resultados. En esta actividad pudimos ver cómo la definición del problema y el planteamiento de los objetivos son determinante, asimismo observamos cómo las empresas plantean hipótesis de trabajo. Pudimos ver cómo la recopilación de los datos también debe de llevar un cierto nivel de análisis para evitar incluir situaciones que no reflejen el comportamiento de los datos; cómo antes de aplicar la solución encontrada a toda la empresa tenemos que hacer una prueba piloto y que al corroborar los resultados podemos iniciar con los planes de acción que tendrán cambios en la forma de operar de la organización.

Para aprender más En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer tu aprendizaje. y

y y

Coden, J. (1997). Decision Making Under Conditions of Uncertainty: A Wakeup Call for the Financial Planning Profession. Journal of Financial Planning : 84-91. Howard, R., Schlaifer, R. (2000). Applied Statistical Decision Theory, Nueva York: John Wiley & Sons, Inc. Wallace, S. W. (2000), Decision Making under Uncertainty; Is Sensitivity Analysis of Any Use?, en O perations Research 48 (1): 20-25).


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Explicació n del tema 1 Métodos cua ntitativos para la toma de decisio nes Tema 1. Estadística Descriptiva 1.1. Análisis cua ntitativo

El análisis cuantitativo es el método científico más adecuado para ayudarte a hacer la toma de decisiones administrativas. Las corazonadas, sentimientos, emociones no forman parte de él.


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1.2. Modelo de a nálisis cua ntitativo Podemos definir el proceso del análisis cuantitativo con el siguiente diagrama: Definición del Problema: Todas las partes dentro del proceso son importantes; sin embargo si iniciamos con una pobre definición del problema es muy probable que al finalizar todo el proceso cuantitativo no lleguemos a la solución del problema. En las organizaciones normalmente van surgiendo problemas en la operación de las mismas, y lo determinante aquí es saber priorizar aquellos problemas cuyas soluciones tendrán un mayor beneficio. El tiempo es vital y no podemos desperdiciarlo en la solución de casos o problemas que no tendrán impacto. Lo que te sugiero en este paso es que en el planteamiento de los objetivos estos sean alcanzables y medibles. Desarrollo del Modelo: Una vez que ya determinamos los objetivos, es hora de desarrollar el modelo. Hay muchas formas de hacerlo, y esto no es exclusivo de alguna rama científica en especial, se aplica en todos los ámbitos, aunque tal vez no todos lo aplican de manera matemática, lo cual no es incorrecto. Puedo definir el modelo desde una forma sencilla a una compleja, la clave aquí es que el investigador o persona encargada del modelo lo defina. Por ejemplo, el gerente de una empresa ha notado un comportamiento en el equipo de capturistas, tiene la hipótesis de que entre más tiempo pasan trabajando tienen más errores de captura. Aquí el modelo del gerente es el siguiente: Hipótesis Nula (Ho): No influyen la duración de las jornadas en el desempeño de los capturistas. Hipótesis Alterna (Ha): Sí influye la duración de las jornadas en el desempeño de los capturistas. Otra forma más matemática de plantear esta misma hipótesis puede ser de la siguiente manera: Ho: El promedio de errores de captura no se ve afectado por las jornadas laborales. Ha: El promedio de errores de captura se ve afectado por las jornadas laborales. Recopilació n de Datos: Otra de las partes esenciales del proceso, y en ocasiones la más tardada debido a que en primer lugar tenemos que ver si ya contamos con un historial de la información, o si necesitamos iniciar a recopilarlos a partir de este momento. Este paso del análisis cuantitativo no consiste únicamente en recopilar la información de las variables que se definieron en el estudio, sino que también implica un cierto análisis para descartar situaciones o comportamientos atípicos en la información. Por ejemplo, imaginemos que una de las variables del estudio son las ventas de una tienda departamental, y que el periodo de tiempo del que tienen la información es lo que va del año 2009, normalmente las ventas de esa tienda son mayores los días viernes, sábado y domingo; sin embargo la persona que recopiló los datos no se percató de que debido a la enfermedad de la influenza humana las ventas de esos días disminuyeron drásticamente, asimismo no notó que habían cerrado por primera vez en su historia un fin de semana por esta misma situación. Si la persona incluye estos datos en el análisis podría llegar a concluir que las ventas están disminuyendo o si hace un pronóstico


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va a estar influido por esto. Desarrollo de la Situació n: En este paso debemo

s seleccionar el método con el cual vamos a resolver el problema, en este curso veremos algunos métodos de solución que te servirán para solucionar problemas en tu ámbito laboral. El objetivo de este punto es manipular los datos del modelo para llegar a la mejor solución posible. Prueba de la Solució n: Antes de implementar los resultados encontrados, tenemos que hacer una prueba, esto para evitar un error como el de las ventas de la tienda departamental. Para lo cual podemos hacer un paso previo que en algunas empresas se determina prueba piloto. En estas pruebas aplicaremos la solución sólo a una parte de la población, puede ser mediante muestreo, algún departamento de la tienda, o alguna agrupación en la cual pueda obtener resultados con los cuales pueda determinar si la solución se acerca a lo que la empresa estaba buscando. Análisis

e Implementación de los Resultados:

En esta fase tenemos que analizar las implicaciones de la solución. En la mayoría de los casos los resultados nos ayudarán a definir planes de acción o cambios que se tienen que realizar en la operación o manejo de la organización. Por ejemplo, retomando el caso del gerente del equipo de capturistas si después de los resultados confirma que entre más horas trabajan los empleados cometen más errores de captura, entonces los cambios que podría proponer es tener empleados de medio tiempo en diferentes turnos para disminuir los errores. Ahora que ya vimos los pasos del análisis cuantitativo, es hora de ver un resumen básico del análisis cualitativo. Breve i ntroducción del Análisis Cualitativo: Una primera característica de estos modelos se manifiesta en su estrategia para tratar de conocer los hechos, procesos, estructuras y personas en su totalidad, y no a través de la medición de algunos de sus elementos. La misma estrategia indica ya el empleo de procedimientos que dan un carácter único a las observaciones. La segunda característica es el uso de procedimientos que hacen menos comparables las observaciones en el tiempo y en diferentes circunstancias culturales, es decir, este método busca menos la generalización y se acerca más a la fenomenología y al interaccionismo simbólico. Una tercera característica estratégica importante para este trabajo (ya que sienta bases para el método de la investigación participativa), se refiere al papel del investigador en su trato ±intensivo- con las personas involucradas en el proceso de investigación, para entenderlas. El investigador desarrolla o afirma las pautas y problemas centrales de su trabajo durante el mismo proceso de la investigación. Por tal razón, los conceptos que se manejan en las investigaciones cualitativas en la mayoría de los casos no están operacionalizados desde el principio de la investigación, es decir, no están definidos desde el inicio los indicadores que se tomarán en cuenta durante el proceso de investigación.


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Tema 2. Probabilidad Objetivos del tema Al finalizar el tema, serás capaz de: y y y y

Reafirmar los fundamentos básicos del análisis de probabilidad. Utilizar el teorema de Bayes para establecer probabilidades posteriores. Distinguir los diferentes tipos de distribuciones discretas. Distinguir los diferentes tipos de distribuciones continuas.

Introducció n

Como vimos en el tema anterior, el cuarto paso del análisis cuantitativo se debe desarrollar la solución, en muchas ocasiones esto depende de las probabilidades de ciertos eventos. ¿Qué es la Probabilidad? ¿Qué significa decir que la probabilidad de lanzar una moneda y obtener sol o águila es de 50%, o las posibilidades de aprobar una materia son de 80%, o que la probabilidad de que un equipo vuelva a quedar campeón de manera consecutiva en el campeonato del fútbol mexicano es 0.1? Primero, piensa en algún evento donde el resultado sea incierto. Se te pueden venir a la mente muchos ejemplos, como lanzar un dado, obtener póker en una mano de cartas, quién puede ser el próximo presidente de México, va a llover mañana, o si compro un boleto de lotería sacarme el premio mayor. En cada caso, no tenemos la certeza de cuál será el resultado. Por ejemplo, si lanzas un dado en este momento, no sabes exactamente qué número te va a salir. A menudo escuchamos frases como ³probablemente´, ³es muy poco probable´, ³hay muchas posibilidades de que pase esto´, etc. Todas estas frases hacen referencia a la incertidumbre de un resultado. La probabilidad es una herramienta que modela y trata con situaciones bajo incertidumbre. Por otro lado, cuando aplicamos técnicas estadísticas para recolectar, analizar e interpretar datos, la teoría de probabilidad proporciona una base para evaluar la confiabilidad de las conclusiones alcanzadas y las inferencias realizadas. Dado que la probabilidad juega un papel muy importante dentro de la estadística, es necesario familiarizarse con sus elementos básicos, lo que constituye la parte central de este tema. Actividad individual Instruccio nes:


Realiza un cuadro sinóptico sobre las distribuciones discretas y continuas, incluye las fórmulas, tipo (discreta o continua), parámetros y alguna característica con la cual puedes reconocerla.

2.

Una persona decide comprar un boleto de lotería cada viernes hasta que se saque la lotería una vez. Si en cada sorteo tiene una probabilidad de 0.001 de ganar, encuentra: a. La probabilidad de que requiera participar en más de 100 sorteos. b. El número promedio de sorteos en los que tendrá que participar.

3.

De un grupo de 30 mujeres y 20 hombres se seleccionan 8 personas al azar. a. Encuentra la probabilidad de que se seleccione al menos una mujer. b. Encuentra la probabilidad de que se seleccionen más mujeres que hombres. c. ¿Cuántas mujeres en promedio serán seleccionadas?

4.

El número de bacterias de cierto tipo, sigue una ley de probabilidades de Poisson a razón de 3 bacterias


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por cada mililitro de agua. a. ¿Cuántas bacterias se espera encontrar en una muestra de 8 mililitros de agua? b. ¿Cuál es la probabilidad de que en los 8 mililitros se encuentren a lo más 5 bacterias? c. ¿Cuál es la probabilidad de que en los 8 mililitros se encuentren más de 10 bacterias? 5.

Identifica la distribución que debería aplicarse en cada caso, así como los parámetros correspondientes: a. Se aplica un examen de selección múltiple a un alumno. El examen tiene 30 preguntas con tres opciones cada una y el alumno no conoce la respuesta de ninguna de las preguntas. b. Se entrevistan personas una a una y se les pregunta si son o no creyentes hasta que se localizan 5 creyentes. c. De una sección de productos lácteos en la que hay 10 litros de leche del día anterior y 80 litros de leche fresca se compran 6 al azar. d. Un matrimonio decide tener tantos hijos como sean necesarios hasta que nazca un varón. e. Se cuenta el número de defectos en una tela en la que, en promedio, se observan 3 defectos por metro cuadrado de tela.

6.

La cantidad diaria en litros de café, despachado por una máquina ubicada en la sala de espera de un aeropuerto es una variable aleatoria que tiene distribución uniforme en el intervalo [6,10]. Encuentra: a. La probabilidad de que en un día determinado la cantidad de café despachado por la máquina sea más de 7.4 litros pero menos de 9.5 litros. b. El promedio de venta diaria de café. c. La probabilidad de que en un día determinado la máquina despache más de 7.5 litros.

7.

Si el número de automovilistas que corren a alta velocidad, detectados por un radar, en la Av. Eugenio Garza Sada es una variable aleatoria de Poisson con l=8.4 por hora: a. ¿Cuál es la probabilidad de que transcurran menos de 10 minutos entre dos automovilistas que circulan a alta velocidad? b. ¿Cuál es la probabilidad de que transcurran entre 5 y 10 minutos para detectar un automovilista que circula a alta velocidad?

Envía la actividad a tu tutor, en formato de práctica de ejercicios. Cierre

Poco a poco vamos avanzando en el estudio de métodos de probabilidad que nos ayudan a eliminar la incertidumbre. Vimos cómo el azar puede ser estudiado y aprendimos a interpretarlo, sabemos que no es algo que se pueda controlar. Por ejemplo, aun cuando conocimos las distribuciones de probabilidad no podemos asegurar que un evento va a pasar, podemos decir que un evento tiene cierta probabilidad de que suceda, únicamente, y a esperar el resultado. ¿Imaginas que se pudiera controlar el azar? Si no existiera el azar entonces los dados y juegos de cartas no existirían. Algo podemos concluir de esto, si entendemos cuál es la naturaleza de las variables de estudio, podremos iniciar a tomar decisiones bajo incertidumbre con una mayor seguridad. En el siguiente tema veremos una de las distribuciones más importantes de la probabilidad.


Berenson, M., Levine, D., Krehbiel, T. (2002) Prentice Hall.


Basics Business

Statistics, 8ª ed., Upper Saddle River, NJ:

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Explicació n del tema 2 Métodos cua ntitativos para la toma de decisio nes Tema 2. Probabilidad 2.1. Conceptos fundamentales En el estudio de la estadística tratamos básicamente con la presentación e interpretación de resultados fortuitos que ocurren en un estudio planeado o investigación científica. A continuación veremos algunos conceptos claves para el entendimiento de la probabilidad. Los estadísticos utilizan la palabra experime nto para describir cualquier proceso que genere un conjunto de datos. Un ejemplo simple de experimento puede ser el lanzamiento al aire de una moneda. En este experimento sólo hay dos resultados posibles, águila o sol. Otro experimento puede ser el lanzamiento de un misil y la observación de su velocidad en tiempos específicos, y así podemos encontrar miles de ejemplos. El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento estadístico se llama espacio muestral y se representa con el símbolo S. Cada resultado en un espacio muestral se llama elemento o miembro del espacio muestral, o simplemente punto muestral. Si el espacio muestral tiene un número finito de elementos, podemos enlistar los miembros separados por comas y encerrarlos en paréntesis. Por ejemplo, retomando el experimento del lanzamiento de la moneda, el espacio muestral quedaría de la siguiente manera: S = { A, S}, donde A = Águila, y S = Sol. En algunos experimentos es útil enlistar los elementos del espacio muestral de forma sistemática mediante un diagrama de árbol. Sobre todo se utiliza cuando son de un tamaño más difícil de manejar. Por ejemplo, imagina que además del lanzamiento de la moneda, deseamos ver qué pasaría si lanzamos la moneda 3 veces consecutivas para ver el resultado. En este caso es más difícil visualizar o enlistar los resultados posibles. Podemos iniciar con S = {AAA, ASA, AAS, « SSS}, podremos correr el riesgo de dejar fuera alguno de los resultados, sin embargo si lo planteamos como un diagrama de árbol, se vería de la siguiente manera:

Con esto es más fácil enlistar los posibles resultados, los cuales serían: S = {AAA, AAS, ASA, ASS, SAA, SAS, SSA,


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SSS}. Imagina ahora cuando el experimento tiene más de dos posibles resultados. Con el diagrama de árbol es muy práctico hacerlo. Para cualquier experimento dado podemos estar interesados en la ocurrencia de ciertos eventos más que en el resultado de un elemento específico en el espacio muestral. Por ejemplo, podemos estar interesados en evento A en el que el resultado sea que los tres lanzamientos de la moneda sean iguales. Éste ocurrirá si el resultado es un elemento del subconjunto A = {AAA, SSS} del espacio muestral anterior. Para cada evento asignamos una colección de puntos muestrales, que constituye un subconjunto del espacio muestral. Ese subconjunto representa la totalidad de los elementos para los que el evento es cierto. Por lo tanto un evento es un subconjunto de un espacio muestral. El compleme nto de un evento A con respecto a S es el subconjunto de todos los elementos de S que no están en A. Denotamos el complemento de A mediante el símbolo A¶. Retomando el ejemplo del lanzamiento de las 3 monedas, el complemento de A sería: A¶ = {AAS, ASA, ASS, SAA, SAS, SSA}. La intersecció n de dos eventos A y B, denotada mediante el símbolo A  B, es el evento que contiene a todos los elementos que son comunes a A y a B. Aquí podemos hacer un ejemplo muy ilustrativo, por ejemplo, digamos que A es el evento vocales del abecedario, y el conjunto B es el evento consonantes del abecedario. Por lo tanto la intersección de los eventos A y B = A  B = el abecedario completo, dado que el abecedario únicamente tiene vocales y consonantes. Para ciertos experimentos estadísticos no es nada extraño definir dos eventos, A y B, que no pueden ocurrir de forma simultánea. Se dice entonces que los eventos A y B son mutuamente excluyentes. Expresado de manera más formal. Tenemos la definición siguiente: Dos eventos A y B son mutuamente excluye ntes si A  B = Ø; es decir, si A y B no tienen elementos en común. Por ejemplo, sea el evento A automóviles producidos por Chevrolet y B automóviles producidos por Honda. Si nos interesa saber la intersección de A y B, serían los automóviles producidos en ambas armadoras, a lo cual no tienen ningún modelo que sea producido en ambas. Por lo cual A  B = 0. La unión de dos eventos A y B, que se denota mediante el símbolo A U B, es el evento que contiene todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Ejemplo: Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {3, 4, 5, 6}, por lo tanto la unión A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Sólo como práctica, en este caso la intersección A  B = {3, 4}. La relación entre eventos y el correspondiente espacio muestral se puede ilustrar de forma gráfica mediante diagramas de Ve nn. En un diagrama de Venn representamos el espacio muestral como un rectángulo y los eventos con círculos trazados dentro del rectángulo. De esta forma, el ejemplo anterior quedaría de la siguiente manera:


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Para encontrar la probabilidad de un evento A, sumamos todas las probabilidades que se asignan a los puntos muestrales en A. Esta suma se denomina probabilidad de A y se denota P(A). Por lo tanto la probabilidad de un evento Entonces, 0  P(A)  1, P(Ø) = 0, y P(S) = 1

A

es la suma de los pesos de todos los puntos muestrales de A.

Ejemplo: Se lanzan al aire dos veces una moneda. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra al menos una águila? Solución: El espacio muestral de este experimento es: S = {AA, AS, SA, SS} Si la moneda está balanceada, cada uno de estos resultados tendrá la misma probabilidad de ocurrencia. Por lo tanto, asignamos una probabilidad de ³w´ a cada uno de los puntos muestrales. Entonces 4w = 1, o w = ¼ . Si A representa el evento de que al menos una águila, entonces: A = {AA, AS, SA} y P(A) = ¼ + ¼ + ¼ = ¾ Si un experimento puede tener como resultado cualquiera de N diferentes resultados igualmente probables, y si exactamente n de estos resultados corresponden al evento A, entonces la probabilidad del evento A es:

A continuación veremos algunas reglas aditivas de probabilidad: Si A y B son cualesquiera dos eventos, entonces

Por lo tanto si volvemos al ejemplo anterior del Diagrama de Venn, la unión de A y B sería = 1, 2, 5, 6, debido a que 3 y 4 es la intersección de A y B.

Si A y A¶ son eventos complementarios, entonces

En este caso podemos recordar el ejemplo donde A = Vocales del alfabeto y A´= Que no sean vocales (en otras palabras consonantes), Si sumamos la probabilidad de las dos obtendremos que tenemos a todos los elementos del espacio muestral. La probabilidad condicional de B, dado A, que se denota como P(B|A), se define como:


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Dos eventos A y B son independientes si y sólo si:

De otra forma, A y B son dependientes. Ahora bien, si en un experimento pueden ocurrir los eventos A y B, entonces:

Por lo tanto dos eventos A y B son independientes si y sólo si:

2.2. Teorema de Bayes Por último veremos la Regla de Bayes: Si los eventos B 1, B2, B3, «, Bk, constituyen una partición del espacio muestral S donde P(B i)  0 para i = 1, 2, «, k, entonces para cualquier evento A en S tal que P(A)  0,

2.3. Distribucio nes de probabilidad discretas El comportamiento de una variable aleatoria queda descrito por su distribución de probabilidad discreta sin importar si ésta se representa de forma gráfica mediante un histograma, en forma tabular o con una fórmula. A menudo, las observaciones que se generan en diferentes experimentos estadísticos tienen el mismo tipo general de comportamiento. En consecuencia, las variables aleatorias discretas asociadas con estos experimentos se pueden describir esencialmente con la misma distribución de probabilidad, y por tanto se pueden representar mediante una sola fórmula. De hecho, se necesitan sólo algunas distribuciones de probabilidad importantes para describir muchas de las variables aleatorias discretas que se encuentran en la práctica. La más simple de todas las distribuciones de probabilidad discreta es una donde la variable aleatoria toma cada uno de sus valores con una probabilidad idéntica. Tal distribución de probabilidad se denomina Distribució n Uniforme Discreta. Si la variable aleatoria X toma los valores uniforme discreta está dada por:

, con idénticas probabilidades, entonces la distribución

Utilizamos la notación f(x;k) en lugar de f(x) para indicar que la distribución uniforme depende del parámetro k. Ejemplo: Cuando se lanza un dado, cada elemento del espacio muestral S = {1,2,3,4,5,6} ocurre con probabilidad 1/6. Por tanto, tenemos una distribución uniforme, con


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La media y la varianza de la distribución uniforme discreta f(x;k) son:

Con los datos del ejemplo, entonces la media y la varianza quedarían de la siguiente manera:

Distribución Binomial Un experimento de Bernoulli puede tener como resultado un éxito con probabilidad p, y un fracaso con probabilidad q=1-p. Entonces la distribución de probabilidad de la variable aleatoria binomial X, el número de éxitos en n pruebas independientes, es:

La media y la varianza de la distribución binomial b(x;n,p) son

Ejemplo: La probabilidad de que un basquetbolista anote un tiro de tres puntos es 0.4. Si el jugador fue invitado a un concurso de tiros de tres puntos en donde se hacen 15 lanzamientos, ¿Cuál es la probabilidad de que enceste al menos 10 tiros? Solución:

Sea X el número de tiros encestados.

En este ejemplo la media y varianza quedarían de la siguiente manera:

Distribución Hipergeométrica La distribución de probabilidad de la variable aleatoria hipergeométrica X, el número de éxitos en una muestra aleatoria de tamaño n que se selecciona de N artículos de los que k se denominan éxito y N-k fracaso es:


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Ejemplo: Lotes de 40 componentes cada uno se denominan aceptables si no contienen más de tres defectuosos. El procedimiento para muestrear el lote es la selección de cinco componentes al azar y rechazar el lote si se encuentra un componente defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre exactamente un defectuoso en la muestra si hay tres defectuosos en todo el lote? Solución:

Si utilizamos la distribución hipergemétrica con n=5, N=40, k=3 y x=1 encontramos que la probabilidad de obtener un defectuoso es:

Distribución Geométrica Si pruebas independientes repetidas pueden tener como resultado un éxito con probabilidad p y un fracaso con probabilidad q=1-p, entonces la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X, el número de la prueba en el que ocurre el primer éxito, es:

Ejemplo: Se sabe que el proceso de revisión de la aduana en la frontera de México con EUA, en promedio, uno de cada 100 vehículos que cruzan es detenido para revisión. ¿Cuál es la probabilidad de que el quinto vehículo en cruzar en cualquier día sea el primer vehículo en marcar la revisión? Solución:

Al usar la distribución geométrica con x=5 y p=0.01, tenemos

Distribución Poisson La distribución de probabilidad de la variable aleatoria de Poisson X, que representa el número de resultados que ocurren en un intervalo dado o región específica que se denota con t, es:

Donde  es el número promedio de resultados por unidad de tiempo o región y e = 2.71828 Ejemplo: El número promedio de automóviles simultáneos que llegan a una gasolinera es 10. La gerencia de la gasolinera sabe que pueden manejar a lo más 15 automóviles al mismo tiempo. ¿Cuál es la probabilidad de que en algún día dado, los clientes se tengan que ir por falta de atención?


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Solución:

Sea X el número de clientes que llegan simultáneamente. Entonces con el uso de la tabla de la distribución Poisson tenemos:

2.4. Distribucio nes de probabilidad co ntinuas Distribución Exponencial La variable aleatoria continua X tiene una distribución exponencial, con parámetro , si su función de densidad está dada por:

Donde >0 Ejemplo: Suponga que un sistema contiene cierto tipo de componente cuyo tiempo de falla en años está dado por T. La variable aleatoria T se modela bien mediante la distribución exponencial con tiempo medio para la falla =5. Si se instalan cinco de estos componentes en diferentes sistemas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos dos aún funcionen al final de ocho años? Solución:

La probabilidad de que un componente dado aún funcione después de ocho años está dada por:

Otra de las distribuciones continuas más importantes es la distribución normal, la cual se verá en el siguiente tema.


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Tema 3. Distribució n Normal Objetivos del tema Al finalizar el tema, serás capaz de: y y y

Utilizar las tablas de la distribución normal estándar para el cálculo de probabilidades. Aplicar una de las distribuciones continuas más populares y útiles de la estadística. Asociar la distribución binomial mediante la aproximación a la distribución normal.

Introducció n

En el tema anterior vimos algunas de las distribuciones discretas y continuas, y tocamos base con la distribución normal. La distribución normal es por mucho la distribución más importante y más utilizada en la estadística. Algunas veces es llamada la curva de campana aunque los extremos sean más delgados y alargados que los de una campana de verdad. Es también llamada la distribución Gaussiana o curva de Gauss por el matemático alemán Karl-Friedrich Gauss. Si investigamos un poco de historia respecto a este gran matemático, veremos que Gauss fue el primero en descubrir la distribución normal, aunque este sólo fue uno de tantos descubrimientos de Gauss y tal vez no el más relevante en su carrera. La distribución normal describe aproximadamente muchos fenómenos que ocurren en la naturaleza, la industria y la investigación. Las mediciones físicas en áreas como los experimentos meteorológicos, estudios de lluvia y mediciones de partes fabricadas a menudo se explican más que adecuadamente con una distribución normal. Aún cuando la distribución normal es extremadamente importante, no puede ser aplicada a todo en el mundo real. Para poder utilizarla se deben de cumplir algunos supuestos importantes, o de lo contrario si la utilizamos cuando no se cumplen estos supuestos, las conclusiones o resultados a los que lleguemos no serán válidos.

Actividad individual Instruccio nes:


Encuentra P(-1.5  Z  1), que es el área comprendida entre z=-1.5 y z=1.

2.

Encuentra P(Z>1.5).

3.

Durante los periodos de meditación trascendental la reducción del consumo de oxígeno de una persona es una variable aleatoria distribuida normalmente con una media igual a 37 centímetros cúbicos (cm 3) por minuto y una desviación estándar de 4 cm 3. Determina la probabilidad de que la reducción en el consumo de oxígeno esté entre 35 y 40 cm 3.

4.

Los resultados de los exámenes de admisión en la Universidad TecMilenio tienen distribución normal con media 7.5 y desviación estándar de 1.5. Determina el porcentaje de estudiantes cuya calificación se espera


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sea superior a 9. 5.

Determina el valor Z0 tal que P(-z0  Z  z0) = 0.95

6.

Determina el valor x0 tal que P(-z0  Z  z0) = 0.95, donde X~N(20,4).

Envía la actividad a tu tutor, en formato de práctica de ejercicios.

Cierre

En este tema conocimos la distribución más famosa y útil de la estadística, la distribución normal. Debido a que la naturaleza de muchas variables en diversos ámbitos como la industria, agricultura, medicina, psicología, administración, etc. siguen una distribución normal, es factible hacer este tipo de análisis para encontrar probabilidades relevantes. Como vimos tiene una base matemática fuerte, con integrales y funciones; sin embargo la practicidad de las tablas, y los cálculos (incluso en Excel) es algo que la hace más popular, porque cualquier persona que estudie y siga la fórmula puede aplicarla sin problemas. Aún cuando este tema fue muy express, te invito a que sigas practicando el cálculo de las probabilidades normales, para que posteriormente puedas aplicar en el ámbito laboral este método sin problemas. En el siguiente tema iniciaremos a ver algunos métodos que nos ayudarán a ir construyendo mejor nuestro proceso para la toma de decisiones.


y

Newbold, P., Carlson, W., Thorne, B. (2002). Statistics for Business and Economics. 5ª Ed. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. Walpole, Myers, Myers. (1999). Probabilidad y Estadística para Ingenieros. 6ª Edición México: Prentice Hall.


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Explicació n del tema 3 Métodos cua ntitativos para la toma de decisio nes Tema 3. Distribució n Normal

3.1. Áreas bajo la curva normal Una variable aleatoria continua X que tiene la distribución en forma de campana se llama variable aleatoria normal. La ecuación matemática para la distribución de probabilidad de la variable normal depende de los dos parámetros µ y , su media y desviación estándar. De aquí, denotamos los valores de la densidad X con n(x; µ, ). La función de densidad de la variable aleatoria normal X, con media µ y varianza 2, es:

Una vez definidos µ y , la curva normal queda determinada por completo. A continuación veremos algunos ejemplos de distribuciones normales con diferente desviación estándar e igual media:

A continuación veremos algunos ejemplos de distribuciones normales con diferentes medias e igual desviación estándar:


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Hay algunas características importa ntes que tenemos que tomar en cuenta sobre la distribución normal: 1. 2. 3. 4. 5.

La curva tiene forma de campana. La media, moda y mediana son iguales y se localizan al centro de la distribución. La distribución normal es simétrica alrededor de su media. Por lo tanto, la mitad del área bajo la curva está antes del punto central y la otra mitad después. El área total bajo la curva es igual a 1. La curva normal se aproxima al eje horizontal de manera asintótica conforme nos alejamos de la media en cualquier dirección.

La curva de cualquier distribución continua de probabilidad o función de densidad se construye de modo que el área bajo la curva limitada por las dos ordenadas x = x 1 y x = x2 es igual a la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor entre x = x 1 y x = x2. Así, para la curva normal una distribución normal quedaría de la siguiente manera:

La distribución normal estándar La mayor dificultad se encuentra al resolver las integrales de funciones de densidad normal, sin embargo para facilitar los cálculos se decidió tabular la normal para diferentes probabilidades con variables que siguen la distribución normal. Pero, puesto que sería imposible tener una tabla para cada posible distribución normal, se elaboró sólo una tabla, la tabla de la distribución normal estándar, que es la distribución con media igual a cero y desviación estándar igual a uno. Hoy en día también se pueden hacer estos cálculos para cualquier probabilidad mediante Excel. La distribución de una variable aleatoria normal con media cero y varianza 1 se llama distribución estándar .

normal

De esta manera sólo se tiene que transformar o estandarizar una distribución normal específica, se revisa la tabla, y se conoce la probabilidad. Para estandarizar los valores de una variable, se utiliza la siguiente transformación:

Gracias a esta fórmula podemos transformar cualquier distribución normal a la distribución normal estándar. De esta misma fórmula se puede despejar matemáticamente para obtener el valor de x para un determinado valor de z, µ y . La fórmula sería la siguiente:


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Una vez entendido esto también debemos tener en cuenta cuál es el proceso para probar hipótesis, sin importar la distribución que estemos utilizando. Este proceso se ve más teórico de lo que es, y para esto haremos un ejemplo: 3.2. Aplicacio nes de la distribució n normal El gerente de producción de una fábrica de telas tiene como estándar que la merma de tela sea en promedio 300 metros, y sabe que la desviación estándar normalmente es de 50 metros entre los días. El Director general le comentó al gerente que si la merma era mayor a 362 metros podrían tener problemas con los dueños porque con esto las ganancias se reducirían. El Director general le preguntó al gerente qué tan probable es que esto sucediera. El gerente sabe que la variable de producción de telas sigue una distribución normal. ¿Qué es lo que tiene que hacer el gerente? Primero podemos enunciar los parámetros del ejercicio:

Podemos aplicar la fórmula de la distribución normal estándar para normalizar la variable:

De aquí planteamos la probabilidad de la siguiente manera:

Ahora tenemos que buscar cual es la probabilidad en la tabla de la distribución normal estándar que equivale a 1.24, la cual es 0.8925 y esta tendríamos que restársela a 1.

Con este resultado, el gerente puede comentarle al Director general que la probabilidad de que eso suceda es 0.1075, lo cual a pesar de que es una probabilidad baja, es recomendable que a partir de este resultado ejecuten algún plan de acción para reducir las mermas y bajar esta probabilidad lo más posible, para no reducir las ganancias y provocar el malestar de los dueños de la fábrica. 3.3. Aproximació n normal a la bi nomial Las probabilidades asociadas con experimentos binomiales se obtienen fácilmente a partir de la fórmula b(x;n,p) de la distribución binomial cuando n es pequeña. Además, las probabilidades binomiales están fácilmente disponibles en muchos paquetes de software. Sin embargo, es instructivo aprender la relación entre la distribución binomial y la normal. La distribución normal a menudo es una buena aproximación a una distribución discreta cuando la última adquiere una forma de campana simétrica. Desde un punto de vista teórico, algunas distribuciones convergen a la normal conforme sus parámetros se aproximan a ciertos límites. La distribución normal es una distribución de aproximación


19


conveniente pues la función de distribución acumulada se tabula muy fácil. La distribución binomial se aproxima bien por la normal en problemas prácticos cuando se trabaja con la función de distribución acumulada. Estableceremos ahora un teorema que nos permitirá utilizar áreas bajo la curva normal para aproximar propiedades binomiales cuando n es suficientemente grande. Si X es una variable aleatoria binomial con media µ=np y varianza  2=npq, entonces la forma limitante de la distribución de

Conforme

, es la distribución normal estándar n(z;0,1)

Resulta que la distribución normal con µ=np y varianza  2=npq, no sólo proporciona una aproximación muy precisa a la distribución binomial cuando n es grande y p no está extremadamente cercana a 0 o 1, sino que también proporciona una aproximación bastante buena aún cuando n es pequeña y p está razonablemente cercana a ½. Ejemplo: Si X es una variable binomial y Z una variable normal estándar, entonces


20


Tema 4. Teoría de Decisio nes y Árboles de Decisió n Objetivos del tema Al finalizar el tema, serás capaz de: y y

Explicar las fases del proceso de toma de decisiones. Construir árboles de decisiones precisos y útiles. Introducción

Una vez que revisamos los conceptos básicos de la probabilidad y de las distribuciones, tenemos que empezar a explorar los métodos que nos ayudarán a crear un proceso para tomar decisiones. En el mundo actual todo implica una decisión. La teoría de decisiones es básicamente lo que su nombre dice« Decisiones. Analicemos los siguientes ejemplos: ¿Me llevaré mi paraguas el día de hoy? La decisión depende de algo que desconozco, todo depende de que llueva o no. Quiero comprar una casa nueva. ¿Debo comprar esta casa? Esta casa se ve bien, pero sé que puedo encontrar una mejor por el mismo precio si continúo buscando. Pero ¿Cómo se cuándo debo de parar de buscar? La corte tiene que decidir si el acusado es culpable o no. Hay dos posibles errores que la corte puede cometer, nombrar al acusado inocente cuando es culpable, o nombrar a un acusado culpable cuando es inocente. ¿Qué principio debería aplicar la corte si se considera que el primer error es más serio que el segundo? Casi todo el comportamiento humano involucra decisiones. Por lo tanto el hacer una teoría sobre las decisiones es casi como hacer una teoría acerca de la conducta humana. Aunque la teoría de decisiones no estudia precisamente a los comportamientos humanos, si se enfoca en particular en cómo utilizamos nuestra libertad de decisión. Los árboles de decisión son herramientas utilizadas para ayudarte a seleccionar la mejor opción de varias. Ellos proveen una estructura altamente efectiva dentro de la cual puedes explorar diversas opciones, e investigar los posibles resultados de seleccionar esas opciones. También te pueden ayudar a formar una foto completa de los riesgos y recompensas asociadas con cada curso de acción posible. Esto los hace particularmente útiles por seleccionar entre diferentes estrategias, proyectos u oportunidades de inversión, particularmente cuando los recursos son limitados. Actividad individual Instruccio nes:

Analiza el siguiente problema y resuélvelo por medio de un árbol de decisión. Carlos se acaba de graduar con honores de la maestría en TecMilenio y durante la última semana ha recibido 3 propuestas laborales de 3 distintas empresas y debe escoger una pronto. Ha determinado que las prestaciones de cada una de las empresas son similares y que la ubicación de las mismas se encuentra dentro del rango aceptable para no tener que manejar todos los días más de 15 minutos en el traslado de su casa al trabajo. La primera empresa se llama Orange Company, la cual se dedica a la logística y planeación estratégica. El Director General sufre una enfermedad crónica. Carlos calcula que la probabilidad de que el Director General se retire pronto es 0.3 y que al retirarse lo asciendan al puesto de Director General con un sueldo aproximado de $120,000.00, en lo que se retira el Director General, le ofrecen a Carlos el puesto de Director practicante, esta


21


posición no percibe ingresos, pero sí desarrollo. La segunda empresa se llama Jalisco Motors, la cual es una distribuidora de automóviles. En esta empresa Carlos estima que la probabilidad de ser nombrado Director General en el próximo año es de 0.6 y de 0.4 de ser nombrado en más de 1 año, únicamente si ingresa a Dirección General como asistente. Si decide aceptar entrar a esta empresa podría ingresar como Subgerente General, donde hay una probabilidad de 0.5 de ganar $60,000.00 y de 0.5 de ganar $50,000.00, o bien podría entrar a la Subdirección Regional donde ganaría $60,000.00 con probabilidad de 0.7 o $45,000.00 con probabilidad de 0.3. En caso de aceptar el trabajo de asistente del Director General, su sueldo sería aproximadamente $40,000.00 La tercera empresa es un negocio familiar de consultoría con su tío, el cual sólo puede ofrecer a Carlos un sueldo de $45,000.00 pero su puesto sería el de Director General. 1. 2.

¿Qué trabajo debe aceptar Carlos? ¿Por qué? Fundamenta tus respuestas por medio de un árbol de decisión. ¿Cuál es el riesgo involucrado en la secuencia óptima de decisiones?

Envía la actividad a tu tutor, en formato de práctica de ejercicios. Cierre

El desarrollo de los árboles de decisión ha beneficiado a los analistas en dos formas. Primero que todo, la necesidad de describir condiciones y acciones llevan a los analistas a identificar de manera formal las decisiones que actualmente deben tomarse. De esta forma, es difícil para ellos pasar por alto cualquier etapa del proceso de decisión, sin importar que éste dependa de variables cualitativas o cuantitativas. Los árboles también obligan a los analistas a considerar la consecuencia de las decisiones. Si los árboles de decisión se construyen después de completar el análisis de flujo de datos, entonces es posible que los datos críticos se encuentren definidos en el diccionario de datos (el cual describe los datos utilizados por el sistema y donde se emplean). Si únicamente se usan árboles de decisiones, entonces el analista debe tener la certeza de identificar con precisión cada dato necesario para tomar la decisión. Los árboles de decisión no siempre son la mejor herramienta para el análisis de decisiones. El árbol de decisiones de un sistema complejo con muchas secuencias de pasos y combinaciones de condiciones puede tener un tamaño considerable. El gran número de ramas que pertenecen a varias trayectorias construye más un problema que una ayuda para el análisis. En estos casos los analistas corren el riesgo de no determinar qué políticas o estrategias de la empresa son la guía para la toma de decisiones específicas. Cuando aparecen estos problemas, entonces es momentos de considerar análisis un poco más complejos de la programación lineal.


y y

Coden, J. (1997). Decision Making Under Conditions of Uncertainty: A Wakeup Call for the Financial Planning Profession. Journal of Financial Planning : 84-91. Howard, R., Schlaifer, R. (2000). Applied Statistical Decision Theory, Nueva York: John Wiley & Sons, Inc. Wallace, S. W. (2000), Decision Making under Uncertainty; Is Sensitivity Analysis of Any Use?, en O perations Research 48 (1): 20-25).


22


Explicació n del tema 4 Métodos cua ntitativos para la toma de decisio nes Tema 4. Teoría de Decisio nes y Árboles de Decisió n Todos los días las personas nos vemos enfrentadas a innumerables situaciones en las que debemos tomar determinadas decisiones y seguir los cursos de acción. El análisis de decisión se puede usar para seleccionar una estrategia cuando quien tiene que tomar decisiones enfrenta varias alternativas y un patrón incierto de eventos futuros. Este análisis es un procedimie nto lógico para determinar y valorar los factores que afectan la decisión. El objetivo del análisis de decisión es que una vez concluido el proceso de análisis, la persona que toma la decisión sepa: y y y

Lo que desea y cuanto lo valora. La naturaleza de la situación que enfrenta. El efecto de las acciones que puede emprender.

Como resultado de esto, la persona que toma la decisión sabrá con claridad lo que le conviene hacer y podrá explicarlo a otros. Los procesos de toma de decisiones los podemos clasificar principalmente en decisiones bajo certidumbre y decisiones bajo incertidumbre. Una decisión es el proceso de elegir la solución para un problema suponiendo que existen varias alternativas. 4.1. Seis fases del proceso de toma de decisio nes A continuación te mostramos cuáles son las seis fases del proceso de la toma de decisiones:


23


Ahora expliquemos un poco más sobre algunas características de estos procesos: Toma de decisio nes bajo certidumbre: y y

Los parámetros son constantes conocidas y ciertas. Dentro de estos modelos encontramos la Programación Lineal.

Toma de decisio nes bajo i ncertidumbre: y

Los parámetros varían con el tiempo y obedecen a procesos estocásticos.


24


Algunas de las técnicas utilizadas en el análisis de decisio nes son: y

Jerarquías de objetivos o

y

Análisis

o

y

Análisis

o

y

Cálculo

o

y

Los árboles de decisión son una técnica que permite analizar decisiones secuenciales basada en el uso de resultados y probabilidades asociadas.

Un diagrama de influencia es una forma gráfica de modelar un sistema. Sirve para modelar sistemas en que la variación o introducción de un elemento afecta sobre la cantidad o presencia de otro elemento.

Mapas de co nocimie nto o

y

Este análisis es básicamente lo que vimos en el tema 2 y 3 del módulo 1.

Diagramas de i nfluencia o

y

probabilístico

Árboles de decisio nes o

y

Los objetivos tienden a ocurrir en jerarquías. Para cubrirse, el objetivo más general tendrá varios sub-objetivos que deben exitosamente cubrirse primero. Cada uno de estos sub-objetivos puede también tener sub-objetivos y así sucesivamente, en una jerarquía que puede consistir de varios niveles de objetivos.

Se basa en la identificación de requerimientos de conocimiento de todos los procesos que tienen una fuerte dependencia de los activos intelectuales. de se nsibilidad Una importante función del análisis de sensibilidad es que permite a los administradores experimentar con los valores de los parámetros de entrada. de valor de la i nformación Nos muestra cuál es la máxima cantidad de dinero que un individuo está dispuesto a pagar por obtener una información que le indica, sin absoluta certeza, qué ocurrirá con una determinada variable.

Modelos reusables de decisió n o

Un modelo reusable consiste de un modelo maestro de decisión que describe la estructura general de la situación, y un metamodelo que indica cómo construir, a partir del modelo maestro, un modelo específico para cada caso particular.

4.2. Árboles de decisió n Los árboles de decisión son normalmente construidos a partir de la descripción de la narrativa de un problema. Ellos proveen una visión gráfica de la toma de decisiones necesaria, especifican las variables que son evaluadas, qué acciones deben ser tomadas y el orden en la cual la toma de decisión será efectuada. Cada vez que se ejecuta un árbol de decisión, sólo un camino será seguido dependiendo del valor actual de la variable evaluada. Se recomienda el uso del árbol de decisión cuando el número de acciones es pequeño y no son posibles todas las


25


combinaciones. Las ventajas de un árbol de decisión se enlistan a continuación: y

y y y y y

Resume los ejemplos de partida, permitiendo la clasificación de nuevos casos siempre y cuando no existan modificaciones sustanciales en las condiciones bajo las cuales se generaron los ejemplos que sirvieron para su construcción. Facilita la interpretación de la decisión adoptada. Proporciona un alto grado de comprensión del conocimiento utilizado en la toma de decisiones. Explica el comportamiento respecto a una determinada tarea de decisión. Reduce el número de variables independientes. Es una herramienta magnífica para el control de la gestión empresarial.

El primer paso para resolver problemas complejos es descomponerlos en subproblemas más simples. Los árboles de decisión ilustran la manera en que se pueden desglosar los problemas y la secuencia del proceso de decisión. Todo árbol consta de nodos y ramas. Un

nodo

es un punto de unión. Una rama es un arco conector.

Cuando se conocen las probabilidades de los diversos estados, éstas se reflejan sobre las ramas, que las representan. Al final de cada camino se refleja el resultado que correspondería a esa sucesión de decisiones y sucesos. Por convención, a los nodos decisionales se les representa con cuadrados, en tanto que a los aleatorios se les representa con círculos. Condiciones:

Son todas aquellas situaciones dependientes de una variable del sistema que involucran la bifurcación del flujo de control en un conjunto de alternativas. Alter nativas:

Son cada uno de los conjuntos de estados relevantes que asume la condición (deben conformar un conjunto disjunto). La situación de alternativas no-disjuntas se conoce como contradicción. Acciones:

Para cada combinación de las distintas alternativas de cada condición se establece una o más acciones.

Valor Esperado: Es la media de la distribución de probabilidad. Se calcula de la siguiente manera:

Varianza: La varianza se calcula como:

Donde P(X j) es la probabilidad del evento X j y E(X) es el valor esperado de X. Componentes

y estructura de un árbol de decisió n:


26


Ejemplo: Supón que un amigo te vende un boleto para la rifa de una motocicleta Harley-Davidson valuada en $50,000.00 USD. El boleto cuesta $1,000.00 USD y se van a vender la cantidad de 100 boletos. Hay dos eventos posibles, 1) ganar la rifa o 2) perder. ¿Cuál es el valor esperado del juego? La distribución de probabilidades es: Evento X Gana

P(X)

$49,000 USD 1/100

Pierde - $1,000 USD 99/100 Por lo tanto el valor esperado es: 49000*(1/100) + -1000*(99/100) = -500 ¿Qué significan esos -500 USD? Análisis:

y y y

criterio del valor monetario esperado.

Generalmente se inicia de derecha a izquierda, calculando cada pago al final de las ramas. Luego en cada nodo se calcula el valor esperado. Después en cada punto de decisión se selecciona la alternativa con el valor esperado óptimo.

Ahora veamos cómo quedaría el árbol de decisión:


27


y y y y

En el nodo de evento se calculó el valor esperado de jugar la rifa. Luego se selecciona, en este caso el valor más alto (por ser ganancias). La decisión desechada se marca con \\. En este caso la decisión es no jugar la rifa.

Glosario Procesos Estocásticos: Un proceso estocástico es aquel en el que se representan todos y cada uno de los pasos necesarios para realizar una actividad, además de las formas o maneras en que cada uno de los pasos puede ser llevado a efecto y sus respectivas probabilidades, dicho de otra manera, cualquier proceso en el que se involucren probabilidades es un proceso estocástico.


28


Actividad Integradora

1

Objetivos Al finalizar la actividad integradora, serás capaz de: y

y y

Obtener una impresión general sobre el contenido de la estadística descriptiva en particular y sobre la estadística en general. Distinguir las diversas aplicaciones de las distribuciones de probabilidad. Construir un criterio para la toma de decisiones bajo incertidumbre.

Introducció n

Cuando la gente escucha la palabra Estadística, automáticamente la asocia con problemas matemáticos. Y por ende un tema teórico difícil de comprender. Cuando la gente escucha la palabra Estadística, automáticamente la asocia con problemas matemáticos. Y por ende un tema teórico difícil de comprender. Es inevitable estudiar la estadística sin tocar las bases de la probabilidad, por lo cual veremos conceptos fundamentales de la probabilidad, así como la aplicación de algunas distribuciones discretas y continuas. Por último, conocerás la distribución continua más importante de la estadística: la distribución normal, la cual es relevante debido a que muchas de las pruebas estadísticas están basadas en que la distribución de los datos es normal. Estos temas te ilustrarán en los supuestos básicos de algunos de los métodos estadísticos existentes, con los que iniciarás en el análisis cuantitativo. Instruccio nes:

La firma de Consultoría ³Milenio´ es una empresa joven que acaba de iniciar hace cerca de 2 años. Ofrece sus servicios especializados a industrias y empresas, algunos de sus servicios son la aplicación de métodos cuantitativos para los negocios. El gerente de la empresa Cosmos de Guadalajara ha solicitado una asesoría para resolver un problema que han tenido hace muchos años, el cual con la crisis financiera mundial de 2009 les hizo ver que sus procesos tenían que evolucionar si querían sobrevivir la crisis. Es por eso que acudió a Milenio para que iniciaran un proyecto de mejora en su empresa. La información que presentó el gerente es la siguiente: y y y

La empresa Cosmos de Guadalajara fue fundada en el año 1980. Se dedica a la producción de embases de plástico. Cuentan con 5 máquinas para la creación de los embases, las cuales fueron compradas en el extranjero antes de la devaluación del peso. Cada máquina cuesta aproximadamente $100,000 USD. Según los ingenieros expertos en las máquinas, saben que la vida de las máquinas tiene una distribución normal, y además le dieron al gerente la siguiente tabla que ilustra la vida promedio de cada máquina y la varianza de la vida. Máquina

Años

1

Vida Promedio

Varianza de vida promedio

29

30

1

2

29

30

0.1

3

29

30

0.2


de Uso

29


4

29

30

5

5

28

30

6

Tú fuiste seleccionado para llevar la consultoría de la empresa Cosmos. Como parte de esta actividad tienes que realizar lo siguiente: y

y

y

Utiliza la modelación del Análisis Cuantitativo para modelar el problema de Cosmos. El gerente de Cosmos está interesado en saber cuál de las 5 máquinas es más probable que tenga que reemplazar pronto. Incluye la probabilidad de falla de cada una de las máquinas. o Justifica tu respuesta con datos. o Suponiendo que el gerente tiene que comprar una máquina, ayúdale a decidir cuál de ellas compraría, apoyándote de un árbol de decisión.

Lo que tienes que hacer en este ejercicio es lo siguiente: y y

El árbol de decisión. Tomar una decisión para sugerirle al gerente de Cosmos, justificando la decisión con el análisis adecuado.

Toma en cuenta la siguiente información: o

y

Las probabilidades del ejercicio 2 para cada máquina y la siguiente información sobre las ganancias: Máquina

Ganancia mensual USD

1

$

7,000.00

2

$

12,000.00

3

$

10,800.00

4

$

60,000.00

5

$

3,000.00

Si se descompone alguna máquina, los proveedores tardan 15 días en enviar una máquina nueva. La probabilidad de que se descomponga una máquina (sin importar cuál) es 0.2. Las pérdidas de la empresa son aproximadamente: Máquina Pérdida diaria USD 1

$

1,000.00

2

$

1,500.00

3

$

1,200.00

4

$

6,000.00

5

$

500.00

Envía la actividad a tu tutor, en formato de práctica de ejercicios.


30


Cierre

Ahora podemos iniciar a practicar el mundo de la estadística. 





Conocimos el modelo del análisis cuantitativo, las bases probabilísticas de la estadística, y algunas de las más utilizadas distribuciones discretas y continuas. Conocimos la distribución más famosa de la estadística (la distribución normal), y entramos de lleno a la teoría de decisiones. Aplicamos un árbol de decisión y es hora de practicar para reforzar el conocimiento adquirido mediante estos temas.


31


Caso

1. Una aplicació n de los pro nósticos e n la industria del Call Center

Durante el desarrollo del curso resolverás dos casos a través de foros de discusión empleando el método de resolución de casos, esto con el propósito de darte la oportunidad de experimentar problemas reales. Recuerda que tus aportaciones debes realizarlas a través del apartado " Discussio n Boards" del menú " Comunicació n". Cada uno de los casos tendrá una duración de dos semanas y se resolverá en tres etapas de estudio. Etapa individual El estudiante analiza el caso y los objetos de aprendizaje correspondientes, y reflexiona individualmente. Responde la pregunta detonante y las preguntas de estudio. Contarás con dos días para realizar este ejercicio. Etapa de foro de discusión en equipo: Foro de equipo; un grupo de estudiantes asignados por el maestro analizan, interactúan, responden y comparten sus respuestas a las preguntas de estudio del caso. Contarás con 3 días para realizar tus aportaciones. Para conocer la manera de realizar tus aportaciones, revisa el documento ³ Ejemplo de solución de caso´. Deberás realizar mínimo 4 aportaciones estructuradas y argumentadas. Etapa de foro de discusión plenario: Durante esta etapa el alumno aportará de manera organizada y secuencial todos los aspectos determinantes para la solución del caso (Mínimo 5 aportaciones argumentadas y referenciadas). Para conocer la manera de realizar tus aportaciones, revisa el documento ³ Ejemplo de solución de caso ´. Contarás con 4 días para realizar tus aportaciones. Al final de este proceso deberás realizar un reporte individual en el cual incluya la resolución al caso de manera detallada, incluyendo gráficas y comentarios, esta deberá ser entregada siguiendo los aspectos estipulados en el siguiente formato ³ Reporte final individual - Casos ´. Caso 1 El reporte para el caso 1 se entregará en el tema 8 Para ver el Caso 1. Una aplicació n de los pronósticos en la industria del Call Center , haz clic aquí.

Caso

1

Una aplicación de los pronósticos en la industria del Call Center Introducció n

Ecko Center es una empresa joven establecida en 2007 en la ciudad Guadalajara, Jalisco, con una amplia experiencia en la industria del contact y call center. Sus socios acumulan más de 20 años de experiencia en la industria, lo cual lo hace una empresa confiable y de gran reconocimiento. Hoy en día los centros de contacto son clave en el logro de las estrategias de negocio de las empresas exitosas y en Ecko Center lo tienen muy en cuenta. Es por esto que ofrecen un amplio catálogo de servicios para la implementación y gestión de su centro de contacto. La misión de la empresa es proveer servicios profesionales de consultoría enfocados a la estrategia de su centro de contacto, la efectividad de sus procesos y la tecnología adecuada. Los socios fundadores Ricardo Cardozo, Pedro Fernández y Alfredo Moreno tienen


32


una amplia experiencia en procesos operativos, capacitación y procesos de reclutamiento. A pesar de tener tanta experiencia en los procesos de call center sabían que dentro de sus filas tenían áreas de oportunidad en las cuestiones de pronósticos y series de tiempo. Con la crisis mundial de 2009, tuvieron que pensar en cómo lograr ser una empresa más eficiente. Después de hacer un análisis llegaron a la conclusión de que lo mejor era contratar a una empresa consultora para que analizara a fondo los números. Para lo cual subcontrataron a la firma consultora estadística JP Parker. La firma consultora asignó el caso a Mario Pearson, el cual acababa de graduarse con honores de la maestría en administración. Situación Actual La empresa hizo la inversión inicial de un software de pronósticos de aproximadamente $20,000.00 USD, la cual se basa en el método de promedios móviles para realizar sus pronósticos. De acuerdo al mercado, un pronóstico se considera adecuado o certero cuando el delta entre las llamadas pronosticadas contra las llamadas recibidas es menor o igual al 5%. (Ver Anexo 1 para información específica de la empresa). Cuando este número es mayor se debe investigar las causas que pudieron hacer mayor la diferencia. Dentro de las cuales pueden ser por factores como publicidad, incremento de la cartera de clientes, algún evento natural como que se vaya la luz en una determinada zona de la ciudad y esto afecte los sistemas del proveedor, etc. Esto debe ser registrado en una bitácora, la cual nos ayudará a omitir los datos atípicos o sucesos que difícilmente se van a volver a repetir. En el caso de Ecko Center al no tener un especialista en pronósticos no llevan la bitácora de eventos, lo cual no les ha permitido detectar los cambios en esta métrica. Se realizaron algunas gráficas para analizar el comportamiento de las métricas principales, mismas que se muestran en el Anexo 2. El modelo El consultor Mario Pearson inició a la brevedad la investigación, para lo cual los socios fundadores de Ecko Contact le sugirieron a Mario realizar una lluvia de ideas con una parte del personal de la empresa. Algunos de los resultados más relevantes que encontró Mario con los empleados fueron los siguientes: y y y y y

La información que estaban utilizando para pronosticar no era la suficiente. La información que estaban utilizando para pronosticar no era confiable. El método con el cual estaban pronosticando no era el adecuado. Estaban recibiendo más llamadas de lo que habían pronosticado. Había factores que no estaban considerando en la proyección, y estaban afectando el resultado.

El segundo paso de Mario fue investigar si tenían algún historial de llamadas que le permitiera hacer un análisis estadístico. Lo que le comentaron fue que tenían un historial de 31 semanas, el cual iban almacenando diariamente ( Anexo 1). Con esta información Mario obtuvo algunas gráficas para comprobar algunas de las hipótesis de los empleados. ( Anexo 2). Preguntas 1. 2. 3.

¿Cuáles son los supuestos que debió de considerar Mario para sus análisis? ¿Es suficiente la información para poder hacer un pronóstico? ¿Consideras que los pronósticos realizados por el software de Ecko Center son adecuados? Justifica tu respuesta.


33


4. 5.

Si Mario tiene que entregar un pronóstico para las siguientes 10 semanas del año, ¿qué método de pronóstico utilizarías? Y ¿Por qué? De acuerdo al inciso anterior, calcula el pronóstico para las siguientes 10 semanas.

¿Cuáles serían tus recomendaciones finales para Ecko Center? NOTA: Este caso fue escrito con el propósito de servir como material de discusión en clases, no pretende ilustrar buenas o malas prácticas administrativas. Algunos datos de este documento han sido modificados a petición de las personas e instituciones involucrados.

Anexo 1 Caso 1. Una aplicación de los pronósticos en la industria del Call Center Este es el historial de llamadas de las últimas 31 semanas. Las variables del estudio son: Semana: Número de la semana del historial. Día Inicial: Día en que inicia la semana. Día Fi nal: Día que termina la semana. Pronóstico: Llamadas pronosticadas para la semana. Dato Real: Llamadas recibidas. Diferencia: Dato Real ± Pronóstico. Delta: Porcentaje de diferencia del dato real entre el pronóstico. AHT: Tiempo promedio de llamada.

Semana

Día Inicial

Día Fi nal

Pronóstico

Dato Real

Diferencia Delta

AHT

1

Jan 5 2009 12:00AM

Jan 11 2009 12:00AM

5085

6051

966

19% 484

2

Jan 12 2009 12:00AM

Jan 18 2009 12:00AM

5653

6475

822

15% 515

3

Jan 19 2009 12:00AM

Jan 25 2009 12:00AM

5588

6325

737

13% 500

4

Jan 26 2009 12:00AM

Feb 1 2009 12:00AM

5991

6971

980

16% 533

5

Feb 2 2009 12:00AM

Feb 8 2009 12:00AM

6456

7591

1135

18% 537

6

Feb 9 2009 12:00AM

Feb 15 2009 12:00AM

7514

8666

1152

15% 533

7

Feb 16 2009 12:00AM

Feb 22 2009 12:00AM

7178

8079

901

13% 525

8

Feb 23 2009 12:00AM

Mar 1 2009 12:00AM

7336

8343

1007

14% 540

9

Mar 2 2009 12:00AM

Mar 8 2009 12:00AM

7149

8709

1560

22% 558

10

Mar 9 2009 12:00AM

Mar 15 2009 12:00AM

7107

9105

1998

28% 538

11

Mar 16 2009 12:00AM

Mar 22 2009 12:00AM

6948

8606

1658

24% 551

12

Mar 23 2009 12:00AM

Mar 29 2009 12:00AM

6744

8280

1536

23% 566

13

Mar 30 2009 12:00AM

Apr 5 2009 12:00AM

7595

8498

903

12% 565

14

Apr 6 2009 12:00AM

Apr 12 2009 12:00AM

7367

7602

235

3%

558

15

Apr 13 2009 12:00AM

Apr 19 2009 12:00AM

7226

7723

497

7%

565

16

Apr 20 2009 12:00AM

Apr 26 2009 12:00AM

7488

7565

77

1%

574

17

Apr 27 2009 12:00AM

May 3 2009 12:00AM

7731

7632

-99

-1%

574

18

May 4 2009 12:00AM

May 10 2009 12:00AM

8877

7906

-971

-11% 584


34


19

May 11 2009 12:00AM

May 17 2009 12:00AM

9756

8890

-866

-9%

588

20

May 18 2009 12:00AM

May 24 2009 12:00AM

10140

9880

-260

-3%

607

21

May 25 2009 12:00AM

May 31 2009 12:00AM

8724

8245

-479

-5%

586

22

Jun 1 2009 12:00AM

Jun 7 2009 12:00AM

9318

9666

348

4%

582

23

Jun 8 2009 12:00AM

Jun 14 2009 12:00AM

9116

10278

1162

13% 579

24

Jun 15 2009 12:00AM

Jun 21 2009 12:00AM

9473

10557

1084

11% 590

25

Jun 22 2009 12:00AM

Jun 28 2009 12:00AM

9690

11584

1894

20% 603

26

Jun 29 2009 12:00AM

Jul 5 2009 12:00AM

9676

11346

1670

17% 620

27

Jul 6 2009 12:00AM

Jul 12 2009 12:00AM

11116

11962

846

8%

597

28

Jul 13 2009 12:00AM

Jul 19 2009 12:00AM

12560

13685

1125

9%

602

29

Jul 20 2009 12:00AM

Jul 26 2009 12:00AM

11244

12887

1643

15% 611

30

Jul 27 2009 12:00AM

Aug 2 2009 12:00AM

11184

12067

883

8%

617

31

Aug 3 2009 12:00AM

Aug 9 2009 12:00AM

10760

11744

984

9%

641

Anexo

2

Caso 1. Una aplicación de los pronósticos en la industria del Call Center


35

Métodos cuantitativos para la toma de decisiones Modulo 1

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