8.7 Curva de remanso Se denomina curva de remanso a la que se produce en un canal al presentarse un movimiento gradualmente variado. El cálculo de la curva de remanso significa básicamente la solución de la ecuación dinámica del movimiento gradualmente variado. Para obtener la longitud de la curva de remanso debemos integrar la ecuación general del M. G. V. La longitud de la curva de remanso se define como la longitud comprendida entre un punto extremo que act!a como sección de control en la que el tirante es calculable " otro ubicado en el extremo del escurrimiento en el que el tirante es igual o prácticamente igual al tirante normal. La definición de longitud de la curva de remanso tiene un sentido práctico. Podr#amos por e$emplo decir que la curva t ermina cuando la diferencia entre el tirante normal " el del movimiento gradualmente gradualmente variado es inferior a un valor dado %por e$emplo & cm'. En muc(os casos no es posible integrar directamente directamente la ecuación diferencial del movimiento gradualmente gradualmente variado. En consecuencia consecuencia es necesario proceder con m)todos aproximados indirectos o gráficos. El uso de un programa de cómputo resulta particularmente !til. Para la obtención de la curva de remanso presentaremos tres m)todos *ntegración gráfica +proximaciones +proximaciones sucesivas *ntegración *ntegración directa Método de la integración gráfica ,omo su nombre lo indica este m)todo consiste en integrar gráficamente la ecuación diferencial del movimiento gradualmente variado. Examinemos la siguiente figura
,onsideremos ,onsideremos dos secciones transversales transversales próximas & " -. Evidentemente que x2
∫
y 2
dy ∫ dx dy
x = x 2− x 1= dx = x1
ótese que
G. V.
%
y 1
dx dy es igual a la inversa del segundo miembro de la ecuación general del M.
S −S dy = 0 2 f dx Q T 1− 3 gA
)
Para el cálculo de una curva de remanso es decir la longitud de la curva del movimiento gradualmente variado es indispensable conocer un punto de dic(a curva lo que siempre es posible. Para iniciar el cálculo de la curva de remanso con este m)todo consideraremos que se
y en una sección de control. Luego se determina el tipo de curva que
conoce el valor de
se presentará %M& por e$emplo' " a continuación se procederá de la manera que se se/ala a continuación. *.
Suponer un valor para el tirante
**.
,alcular el valor correspondiente de
dx dy a partir de la ecuación general del M. G.
V.
dx dy que es la inversa del valor anterior.
***.
,alcular
*V.
,onstruir una curva como la mostrada a continuación con los valores de y %tirantes supuestos' " los valores obtenidos para
dx dy .
El valor de x es el área ac(urada entre la curva el e$e correspondientes a los valores de
y . Luego
y 2
dy ∫ dx dy
Area= x =
y 1
+l medir esta área se tiene el valor de x .
0inalmente se obtendrá una curva de este tipo.
y " las ordenadas
dx dy
1e esta curva se puede obtener los correspondientes valores de
∆ A .
Para una sección transversal cualquiera se sugiere traba$ar con la siguiente tabla
Es decir que para cada sección se calcula a partir de un valor de
y el área per#metro
radio (idráulico factor de capacidad factor de sección inclinación del e$e (idráulico su inversa el valor del área comprendida en el gráfico " el correspondiente valor de Por !ltimo se dibu$a. x e
x .
y " se obtiene la curva de remanso.
Método de la integración directa En el apartado anterior se estableció que la ecuación general del movimiento permanente gradualmente variado es
dy =S 0 dx
[ ] −[ ]
1−
1
2
K n
K
Z c
2
Z
Para la presente exposición de la integración de la ecuación anterior se sigue el procedimiento de 2a3(mettef expuesto por Ven 4e ,(o5 en &677. En primer lugar es necesario recordar la suposición (ec(a por 2a3(mettef de que el cuadrado del factor de capacidad K es proporcional a una cierta potencia del tirante es decir 2
N
K = C 1 y
%89-:'
C 1 Es una constante de proporcionalidad. N Es el exponente (idráulico para el cálculo del movimiento uniforme. Sus caracter#sticas se establecen a continuación. 4omando logaritmos neperianos en la ecuación 89-:' se obtiene 2 (lnK )= ln ( c1 y
N
)
1erivando con respecto a y se llega a N − 1
dy / dy d ( lnK ) c 1 N y = 2 N dy c 1 y
1e donde
K ln ¿
¿ d¿ ¿
Pero al aplicar la fórmula de Manning se obtiene que el factor de capacidad
K =
A R n
2 3
4omando logaritmos en esta !ltima expresión se obtiene
lnK =ln
( ) A R n
2 3
1erivando con respecto a
y se llega a
K es
d ( lnK ) 2 1 dR 1 dA = + dy 3 R dy A dy *ntroducimos a(ora las conocidas expresiones
dA = T dy A R = P ; se obtiene
d ( lnK ) 2 1 dR T = + dy 3 R dy A Pero
d
( )= A P
dR = dy dy
T − R
dP dy
P
d ( lnK ) 2 1 = dy 3 R
(
T − R
dP dy
P
[
)+
d ( lnK ) = 1 5 T − 2 R dP dy dy 3 A
T A
]
*ntroduciendo la ecuacion 89-> se obtiene
N = 1 2 y 3 A
[
5 T −2 R
dP dy
]
1e donde
N =
2 y 3 A
[
5 T −2 R
]
dP … … . ( 8 − 25 ) dy
Que es la expresión general del exponente hidráulico N para cualquier sección transversal. Para una sección trapecial se obtiene a partir de la ecuación 8-25 que
10 N = 3
[ ( )] − [ ( )] ( − [ + ( )] [ + √ + ( )] 1 + 2 z
y b
8 3
y 1 z b
√ 1+ z2
y b
8 26 )
2 y 1 2 1 z b
b en ancho en el !ondo " z al talud del canal
iendo
Para el caso particular de una sección rectangular
N =
10 8 − 3 3
y b
(
y 1 +2 b
)
( z =0 ) se obtiene
( 8−27 )
Si se tratase de una sección mu" anc(a entonces la relación
y / b es mu" peque/a " tiende a
cero con lo que
N =
10 3
Se puede (acer un desarrollo similar a partir de la suposición de que el cuadrado del factor de sección 2
Z %ec. 89&' es proporcional a una potencia M del tirante M
Z = c 2 y
M es el exponente (idráulico para el cálculo de las condiciones cr#ticas. Sus caracter#sticas se establecen a continuación 4omando logaritmos 2 ln ( Z )= ln
(c y ) M
2
#erivando con respecto a 2
y
d ( lnZ ) M dy = dy y dy
e llega a d ( lnZ ) M = (1 ) dy 2 y
Pero$
Z =√ A / T %ec. 8-2). &uego$ to'ando logarit'os en la ecuación 8-2 " 3
derivando con respecto a y se obtiene
d ( lnZ ) 3 T 1 dT = − ( 2 ) dy 2 A 2 T dy
(gualando %) " %2) se obtiene
(
)
y A dT ( 8−30 ) M = 3 T − A T dy
que es la expresión del exponente (idráulico M para cualquier sección transversal.
Para un canal trapecial 3
M =
[
y 1+ 2 z b
Siendo
[
]
2
−2 z y
b
y 1 + 2 z b
][
[
1 + z
y 1 + z b
]
y b
]( − 8
31)
b el anc(o en el fondo " z el talud del canal.
Para el caso particular de una sección rectangular
( z =0 )
se obtiene
M =3
Para efectos de integrar la ecuación general del movimiento permanente gradualmente variado se considerará a partir de la ecuaciones 89-: " 89-6 lo siguiente 2
N
2
N
K =c 1 y K n= c1 y 2
M
2
M
Z = c 2 y Z n =c 2 y
dy =S 0 dx
( ) −( )
1− 1
y n y
y c y
N
… … … … … ( 8 −33)
M
que es la ecuación general del movimiento permanente gradualmente variado para cualquier sección transversal en función de los exponentes (idráulicos. @bs)rvese que si en la ecuación 89:: se reempla=a N =10 / 3 M =3
%ec. 89-8' "
%ec. 89:-' se obtiene la ecuación general del movimiento permanente
gradualmente variado para un canal mu" anc(o en el que se aplica la fórmula de Manning " que es la ecuación 89&8 previamente establecida Si se considera que entre el tirante " el movimiento gradualmente variado " el tirante normal y n existe la relación u se tiene
que es la expresión del exponente (idráulico M para cualquier sección transversal.
Para un canal trapecial
[ = 3
M
Siendo
y 1+ 2 z b
[
]
2
−2 z
y 1 + 2 z b
][
y b
[
1 + z
y 1 + z b
]
y b
]( − 8
31)
b el anc(o en el fondo " z el talud del canal.
Para el caso particular de una sección rectangular
( z =0 )
se obtiene
M =3
Para efectos de integrar la ecuación general del movimiento permanente gradualmente variado se considerará a partir de la ecuaciones 89-: " 89-6 lo siguiente 2
N
2
N
K =c 1 y K n= c1 y 2
M
2
M
Z = c 2 y Z n =c 2 y
dy =S 0 dx
( ) −( ) y n
1−
N
y
y c
1
… … … … … ( 8 −33)
M
y
que es la ecuación general del movimiento permanente gradualmente variado para cualquier sección transversal en función de los exponentes (idráulicos. @bs)rvese que si en la ecuación 89:: se reempla=a N =10 / 3 M =3
%ec. 89-8' "
%ec. 89:-' se obtiene la ecuación general del movimiento permanente
gradualmente variado para un canal mu" anc(o en el que se aplica la fórmula de Manning " que es la ecuación 89&8 previamente establecida Si se considera que entre el tirante " el movimiento gradualmente variado " el tirante normal y n existe la relación u se tiene u=
y y n
,omo se recuerda si U es ma"or que & se trata de corrientes peraltadas " si es menor que & se trata de corrientes deprimidas. *ntroduciendo la ecuación 89:> en la 89:: se llega a
() −( )
1
dy =S 0 dx
1
−
N
1
u
y c y
M
#e acá se obtiene dx =
y n S0
[
1−
1 N
1 −u
+
M
[ ] y c
N − M
u
N
1−u
y n
du
Para integrar esta ecuación se supone que los exponentes N " M son constantes para el tramo considerado. Luego x =
y n S0
[
1
M u
[ ] y c
du
N − M
u
∫ 1−u + y ∫ 1 −u du +c ….. ( 8−35)
u−
N
0
n
N
0
Para obtener el resultado es necesario resolver dos integrales. + la primera de ellas Ven 4e ,(o5 la denomina función del flu$o variado " la representa como
u
∫ 1−duu … (8− 36 )
F ( u , N )=
N
0
Para la segunda integral de te c(o5 introduce una variable auxiliar N !
=u … ( 8−37 )
Siendo N ! = … ( 8 −38) N − M + 1
,on la que la segunda integral del segundo miembro de la ecuacion 89:7 queda asi. u
∫ 0
"
N − M
u
! d" = ! F ( " , ! ) … .. ( 8−39 ) du= N ! N 0 1− " N 1−u
∫
#e donde$ "
∫ 1−d"" …. ( 8− 40 )
F ( " , ! )=
!
0
*ntroduciendo en la ecuación 89:7 la nueva notación de ambas integrales se l lega a M y n y c ! x = u − F ( u , N )+ F ( " , ! ) + C … .. ( 8− 41) S0 y n N
[
( )
]
*en te cho+ usa la siguiente notación$ x = A [ u− F ( u , N ) + #F ( " , ! ) ] + c … . ( 8 −42 )
iendo$
A =
y n S0
( )
#=
u=
y c
y n
y y n N !
" =u
M
! N
N ! = N − M + 1
+ partir de la ecuación 89>- se obtiene la longitud L de la curva de remanso entre dos secciones & " - de modo que $= x 2− x 1= x = A ( u2−u 1) − F ( u 2 , N ) − F (u1 , N ) + # F (" 2 , ! )− F ( " 1 , ! )
{
[
Los exponentes (idráulicos N
]}
] [
y
M dependen de la ecuación particular que se
use %,(e=" o Manning por e$emplo' de la forma de la sección transversal %rectangular parabólica etc.' " del tirante. + partir del conocimiento del factor de capacidad K " del respectivo tirante se puede calcular el valor correspondiente del exponente (idráulico N . Si bien es cierto que el exponente (idráulico
N es variable tambi)n lo es que su rango
de variación no es mu" amplio. 2a3(mettef se/ala que N var#a entre - " 77 para diferentes secciones transversales.
2a3(mettef quien fue profesor de Aidráulica en San Petersburgo preparó (acia &6&> unas tablas con diversos valores de N . En la revolución rusa estas tablas se perdieron durante muc(os a/os. Más tarde se recalcularon para
2,8 < N < 5,4 " fueron publicadas
por 2a3(mettef en &6:-. La 4abla 8.- que se ad$unta fue preparada por Ven 4e ,(o5 entre &67- " &67> para valores de N comprendidos entre - " 77 " aparece en su conocido libro sobre canales del que se (a tomado. En la 4abla 8.- se presenta para diversos valores de
% " de N los correspondientes a
la función F ( u , N ) . La 4abla 8.- sirve tambi)n para la función F ( " , ! ) reempla=ando
u por
" " N por
! .
Para el cálculo se suponen conocidos el caudal la pendiente la rugosidad " las caracter#sticas de la sección transversal. El procedimiento de cálculo para aplicar el m)todo de integración directa es el siguiente
&. Seleccionar una fórmula para el cálculo del flu$o %,(e=" o Manning por e$emplo' " determinar el tirante normal -. ,alcular el tirante cr#tico y c
y &
:. Se supone que para un tramo determinado
(∆ x )
los exponentes (idráulicos
N " M son constantes. Se calcula N %ec. 89-B o alguna de sus simplificaciones' " M %ec.89:C o alguna de sus simplificaciones' >. Se calcula J con la ecuación 89:8 7. Se calcula para las secciones extremas %inicial " final' del tramo considerado los valores de
% %ec. 89:>' " v %ec. 89:?'
B. Se entra a la 4abla 8.- " se obtiene F ( u , N ) , ingresando con los valores previamente calculados de
% y N . Suele ser necesario (acer
interpolaciones. ?. Se ingresa a la 4abla 8.- " se obtiene F ( " , ! ) , ingresando con los valores de
" de
! previamente calculados
8. Se calcula la longitud
∆ x correspondiente mediante la ecuación 89>:
