Metodo Discos y Arandelas

Volumen Mediante Metodo de Arandelas

Este método se basa en el método anterior llamado "Método de Discos" pero en este caso se utilizan dos discos. El disco mas pequeño es vació por la tanto se le da el nombre de arandela por formar un especie de solido hueco. En términos generales este método se utiliza cuando el eje de rotación se encuentra a una distancia de la función que formara el solido. Este espacio entre el eje y la función crea un hueco en el solido, por esto mismo se necesita restar el área del hueco al solido en revolución. Es muy importante mentalizar que este método se utiliza dos radios por lo tanto dos discos diferentes   pero siempre el ancho del disco es

o

dependiendo del eje de rotación.

1. Se dibuja, en un diagrama, el area generatriz, una franja representativa  paralela al eje de rotacion, y su rectangulo correspondiente. 2. Se halla el volumen (= circunferencia media X altura X espesor) del anillo cilindrico producido en la rotacion del rectangulo generico con respecto al eje de giro y se halla la suma correspondiente a los n rectangulos. 3. Se aplica el teorema fundamental, o regla de Barrow, suponiendo que el numero de rectangulos crece indefinidamente.

Ejemplo # 1 y

Hallar el volumen del sólido resultante al hacer hacer girar en el eje

la figura figura encerrada por las curvas:

 para encontrar el área de un anillo: tenemos que: Encontramos el volúmen calculamos para n-anillos y optimisamos.

Reescribimos como la integral variando de 0 a 1

resolvemos.

Por medio del método de discos

Este método consiste en hacer rotar nuestra función sobre algún eje para obtener un sólido de revolución que pueda modelarse como la sumatoria de discos. El área transversal de los discos será el área de un circulo , y el ancho será un . Es importante saber el eje de rotacion, ya que dependiendo de esto se encuentra o despeja la ecuación en función de la variable específicamente. Por ejemplo si rotaramos la funcion en el eje y, despejamos la funcion dependiendo de y. Siendo el ancho del disco

.

Por lo tanto,

n = Cantidad de discos usados Usualmente el radio del disco esta dado por le función. Para estos casos, haciendo el numero de discos tender al infinito:

Ahora lo cambiamos a forma de integral (si

es el limite inferior y

es el limite superior):

.
En el caso de que el radio no este dado por la función, debemos encontrarlo segun las condiciones del problema dado. De forma mas general, el volumen será:

(si r esta en función de x).

 A. El eje de rotación forma parte del

contorno del área plana .

1. Se traza un diagrama indicando el área generatíz, una franja representativa  perpendicular al eje de rotación, y su rectángulo generico. 2. Se halla el volúmen del disco producido en la rotación del rectángulo genérico alrededor  del eje de rotación y la suma correspondiente a los n rectángulos. 3. Se aplica la regla de Barrow o teorema fundamental del cálculo integrales suponiendo que el número de rectágulos crece indefinidamente.

Ejemplo

Hallar

el volúmen generado al girar el área limitada por la parábola correspondiente a x = 2.

alrededor de la ordenada

Dividiendo el área mediente franjas horizontales, cuando el rectángulo genérico de la figura gire alrededor del eje y se   procede un disco de radio 2 - x, de altura \Delta y y de volúmen

. El volúmen pedido será: