Proceso De Inferencia. Métodos: Demostración Demostración por Reducción al Absurdo o Contradicción: El método de demostración por reducción al absurdo se fundamenta en la condición de no contradicción para una teoría, básicamente la estrategia consiste en suponer explícitamente la negación de la proposición a demostrar, a partir de esta hipótesis se trata de generar una contradicción, esto es: que la teoría con ese supuesto es inconsistente y, en consecuencia, tal hipótesis es falsa, o lo que es equivalente, que su negación es verdadera, quedando validada la proposición inicial. Reductio ad absurdum, expresión latina por Reducción al absurdo, es un
método de demostración lógico. Es usado para demostrar la validez de proposiciones categóricas; se parte por suponer como hipotética la negación o falsedad de la tesis de la proposición a demostrar, y mediante una concatenación de inferencias lógicas válidas se pretende derivar una contradicción lógica, un absurdo; de derivarse una contradicción, se concluye que la hipótesis de partida (la negación de la original) ha de ser falsa, y la original es verdadera y la proposición o argumento es válido. A este método también se le conoce como prueba por contradicción o prueba ad absurdum. Parte de la base es el cumplimiento del principio de exclusión de intermedios: una proposición que no puede ser falsa necesariamente es verdadera. La demostración por reducción al absurdo es un tipo de argumento lógico muy empleado en demostraciones matemáticas. Consiste en demostrar que una proposición matemática es verdadera probando que si no lo fuera conduciría a una contradicción. Ejemplo: Supóngase que se desea demostrar una proposición P . El procedimiento procedimiento consiste en demostrar que asumiendo como cierta la falsedad de P (o sea P negada) conduce a una contradicción lógica. Esta P debería no ser falsa. Por lo tanto habría de ser verdadera. Demuestre que si m y n son enteros tales que n + n2 + n3 = m + m2, entonces n es par Solución: Solución: Supongamos que n es impar. A partir de esto debemos conseguir una contradicción. Como n es impar, entonces n 2 y n3 son ambos impares, de donde n + n2 + n3 es impar (ya que esla suma de tres impares). Entonces, como m + m2 = n + n2 + n3, setiene que m + m2 es impar. Sin embargo m + m2 es siempre par (ya que m + m2 = m (m + 1) y necesariamente alguno de los números m ó m+1 es par). Hemos llegado a una
contradicción. De allí se tiene que n es par, que es lo que queríamos demostrar.
Términos y Predicados: Todos los hombres son mortales. Sócrates es hombre. Luego, Sócrates es mortal. Esta estructura deductiva, tratada con la hipótesis que sirve de base al cálculo proposicional, tendría la siguiente representación matemática: p q _____________ r Por tanto, ninguna de las proposiciones p, q, r, puede describirse mediante partes de las mismas dotadas de significado propio, unidas por conectivas, que sean comunes en algunas de ellas y, la relación entre premisas y conclusión que hace la deducción correcta, no puede detectarse con este nivel de representación. Esto se debe a que la relación entre las proposiciones está en la propia estructura interna de éstas, en efecto: se afirman en ellas las mismas propiedades o relaciones para distintas personas o conjuntos de personas. Las propiedades son “Ser Hombre”, “Ser mortal”, las personas objeto de atribución de estas propiedades son colectivos, en la primera proposición, e individuos concretos, Sócrates, en las otras, por ello, para tratar matemáticamente este tipo de estructuras deductivas es preciso crear una teoría que no tome como base la simbolización matemática de la proposición total sino la de sus componentes, es decir: • Qué se afirma. • De quién o quiénes se afirma El primer elemento se define como el predicado y el segundo, como los sujetos o términos. Así en la frase: • Juan es negro. “Es negro” es el predicado y “Juan” el sujeto o término de la proposición. Puede haber proposiciones con varios términos, por ejemplo: • Juanita está en clase entre Pedro y Manuela.
En este caso el predicado es “-está en clase entre - y-” y los términos son Juanita, Pedro y Manuela. Los predicados que se refieren a un único término se denominan predicados absolutos o monádicos. Los que se refieren a varios sujetos se denominan predicados de relación o poliádicos ( según el número de términos pueden ser diádicos, triádicos, etc.).
Simbolización: Una vez definidos los componentes de la proposición se plantea su representación matemática en base a términos y predicados. Para la simbolización de términos se supone como base de referencia un dominio genérico, no vacío. Los términos se representan por variables o constantes cuyos valores posibles forman parte del dominio anterior.
x, y, z, t... letras de variables, representan cualquier elemento del dominio. a, b, c, d... letras de constantes, representan elementos concretos del dominio. Para la simbolización de predicados se utiliza la notación funcional: f, g, h...
Así, la proposición “Juan es negro”, que en la lógica proposicional se simboliza con p, en la lógica de predicados queda:
f (a) o bien n (j) donde n: ser negro; j : Juan.
De la misma manera:
x es negro n(x)
Juanita está en clase entre Pedro y Manuela f (a, b, c,) x está en clase entre y y, z, f(x, y, z) donde los sujetos x, y, z están indeterminados.
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