Lendutan Pada Balok

1.

Yang dimaksud dengan lendutan adalah jarak sumbu netral sebelum melendut ke garis netral terdeformasi. Perubahan kedudukan titik yang besesuaian sepanjang sumbu batang menentukan garis elestis batang tersebut.

P

x

P y Gari Garis s elas elasti tis s

Hubungan antara lendutan (y) dan jarak (x) membentuk sebuah fungsi yang disebut fungsi garis elastis. Apablia pusat salib sumbu di A sedangkan sumbu vettikal adaalh sumbu y dan horizontal adalah x maka persamaan garis elastis dapat dituliskan sebagai y = f(x). Perhitungan lendutan sangat penting dalam perancangan sutruktur. Misalnya : lendutan maksimum yang diijinkan pada sebuah balok adalah 1/300 dari panjang balok. Hal ini perlu ditetapkan agar tidak terjadi beban psikologis pada pemakai konstruksi. Selain itu perhitungan lendutan juga sangat penting untuk menganalisis struktur statis tak tentu.

1. Untuk mencegah retak pada elemen konstruksi yang bersifat getas. 2. Memastikan struktur tidak melendut terlalu besar dan terasa aman bagi pemakainya. 3. Membantu menyelesaiakn struktur statis tak tentu.

1

Metode menghitung l endutan

Metode Balok Konyugasi

Metode  Energi

Metode Integrasi Berganda

Metode Geometri

Metode Luasan Momen

Metode Kerja virtual

Metode Castigliano

Ada beberapa metode perhitungan lendutan balok antara lain : o

Integral berganda ( metode integrasi berganda)

o

Metode luasan momen (Moment-area method)

o

Metode Konyugasi

o

Metode energi

Metode fungsi tunggal Pada bagian ini hanya dibahas dua metode pertama. o

Hubungan antara beban, gaya lintang, momen, perputaran sudut dan lendutan dapat dirumuskan sebagai berikut :

 y = lendutan

θ  =  y ' =  M   EI   D  EI  q  EI 

dy dx

=  y ' ' =

d θ  dx

=

=  y ' ' ' =

dM 

=  y ' ' ' ' =

dD

dx dx

d 2 y dx 2 3

= =

d   y dx 3 d 4 y dx 4

2

Asumsi-asumsi : 1. lendutan akibat gaya geser diabaikan karena dibandingkan dengan lendutan akibat momen lentur.

relatif

kecil

2. lendutan yang terjadi sangat kecil dibandingkan dengan dimensi balok 3. semua bagian balok dianggap masih dalam rentang elastis 4. balok dianggap lurus sebelum dibabani. Syarat batas: Pada tumpuan jepit: Y= 0 ( lendutan = nol) θ = 0 (sudut garis singgung = 0) Tumpuan sendi : Y=0 M=0 Ujung bebas : M=0 V=0 Tumpuan Rol : M=0 Y=0 Prosedur umum perhitungan : 1.  EI   y ' ' ' ' =  EI  3

2.  EI 

d   y dx

3

4.  EI 

d   y dx dy dx

5.  EI   y

dx 4

= q( x)  x

=  EI   y ' ' ' = ∫ q dx + C 1 =  D ( x) 0

2

3.  EI 

d 4 y

2

 x

 x

0

0

=  EI   y' ' = ∫ dx ∫ q dx + C 1 x + C 2 =  M ( x)  x

 x

 x

0

0

0

=  EI   y ' = ∫ dx ∫ dx ∫ q dx + 12 C 1 x 2 + C 2 x + C 3 = θ ( x)  x

 x

 x

 x

0

0

0

0

= ∫ dx ∫ dx ∫ dx ∫ q dx + 13 12 C 1 x 3 + 12 C 2 x 2 + C 3 x + C 4

3

dV  dx dθ  dx

d 2 M 

= −w

dx

=

2

d 2ν 

M  EI  

dx

2

= −w

=

∫

 M = ⎡ − wdx ⎤ dx

∫⎣ ∫

V = − wdx

Integrasi

⎛  M  ⎞

M 

∫ ⎝  EI  ⎠⎟ dx

θ  = − ⎜

EI  

⎦

⎡ ⎛  M  ⎞ ⎤ ∫ ⎣ ∫ ⎝  EI  ⎠⎟ dx ⎥⎦ dx

ν  = ⎢ ⎜

Contoh 1: y L

x

 M  = − PL + Px

x

PL

2

P P

 EI 

@x

 EI 

Integrasi pertama

dy

@x=0

dx

Integrasi kedua @x=0

 EIy = −

PLx

2

 EI 

2

2

+P

d   y

= − PLx + P

dx

3

6

 x

 EIy = −

PLx 2

2 PL 2

+P

2

=  M 

+ c1

(0)2 2

 x 3

+ c1 ⇒ c1 = 0

+ c2

6

(0 ) + P 2

dx

2

2

= 0 ⇒  EI (0 ) = − PL(0 ) + P

 y = 0 ⇒  EI (0 ) = −  x

= − PL + Px

2 dx dy

d   y

(0)3 6

+ c2 ⇒ c2 = 0

3

Δ max =

@ x = L y = y max

 EIymax = −

2

PL L

2

+P

3

 L

6

=−

3

PL

6

⇒  ymax = −

3

PL

3 EI 

PL

3 EI 

4

Contoh 2: y W N per satuan panjang

x

x 2

 M  = −

2 WL

 EI  2

 EI 

@x

d   y dx

 EI 

Integrasi pertama

@x=0

=−

2

W 

2

( L − x )

2

W  ( L −  x )

=

dx

= 0 ⇒  EI (0 ) =

dx

 EI 

dy dx

=

W 

6

 EIy = −

2

+ c1

3

W  ( L − 0 )

2

( L −  x ) − 3

−

4

 EIy = −

W 

24

6

6 3

6

−

4

( L −  x ) − 4

3

WL

6

6

3

WL

W  ( L − 0)

WL3

WL

4

 y = 0 ⇒  EI (0) = −

+ c1 ⇒ c1 = −

3

W  ( L −  x )

6

=  M 

3

dy

4

Pada x = 0

dx

2

3

dy

∴

Integrasi kedua

2 d   y

( L −  x )2

2

L

WL

W 

 x + c2 3

WL

6

 x +

(0) + c2 ⇒

c2 =

4

WL

24

4

WL

24

Max. terjadi pada x = L

 EIymax = −

4

W  L

6

+

4

WL

24

Δ max =

=−

4

WL

8

⇒  ymax = −

4

WL

8 EI 

WL4

8 EI 

5

y

x

x L

WL

2

WL WL

 M  =

2

 x

 x − Wx 2 2 2 d   y WL  x 2  EI  2 =  x − W  2 2 dx dy WL  x 2 W   x 3 = − + c1  EI  Integrasi 2 2 2 3 dx  L dy @  x = =0 Karena balok simetris dx 2 3 2  L  L ⎛   ⎞ ⎛   ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ WL3  L WL ⎝  2 ⎠ W  ⎝  2 ⎠ @  x = − + c1 ⇒ c1 = −  EI (0) = 24 2 2 2 2 3

∴ Integrasi

 EIy =

dy

 EI 

WL  x

3

4 3

−

dx

W   x

⇒  EI (0 ) =

WL (0 )

∴  EIy =

Max. terjadi @ x = L /2

−

3

WL

 x − 3

4

−

 x − 2

3

WL

24

W  (0 )

6

4

W 

 x −

24

 EIymax = −

Δ max =

4

W 

6

 x − 3

WL3

24

 x + c2

4

4

12

4

6 4 3

@x=0 y=0

=

WL

−

WL3

24

(0) + c2

⇒ c2 = 0

3

WL

24

 x

5WL4 384

5WL4 384 EI 

6

Teorema I Sudut diantara tangen arah di A dan di B adalah sama dengan luasan diagram momen lentur diantara kedua titik A dan B, dibagi dengan perkalian E da I.  B

θ  =

 M 

∫  EI  dx

 A

B

d

 A

 a t B  t  n  g e  n  a   T

ds

d

dx

x

Teorema II Jarak vertikal titik B pada kurva lendutan ke garis singgung titik A pada kurva lendutan sama dengan besarnya momen terhadap grs vertikal melalui B dari luasan diagram momen diantara A dan B, dibagi EI.

 Mx

 B

Δ=∫

 A

 M  = d θ  = d θ  =

 EI 

 ρ   M   EI   M   EI 

 xd θ  =

ds =  ρ d θ  ⇒  ρ  = ds

 EI 

dx

ds d θ 

untuk segmen kecil ds = dx

dx integrasik an menjadi

 Mx

 EI 

∫

θ  = d θ  =

 B

 M 

∫  EI dx

 A

 B

dx

⇒

Δ=∫

 Mx

 EI   A

dx

7

Prosedur perhitungan 1. Tentukan reaksi perletakan balok 2. gambarkan perkiraan garis elastis. Kurva ini harus konsisten dengan kondisi yang sudah diketahui pada perletakan, seperti tangen arah nol dan lendutan nol. 3. Gambarkan diagram momen balok sehingga dapat diketahui diagram M/EI –nya. 4. pilih titik A dan B, kemudian gambarkan garis singgung kedua titik ini. Dengan asumsi salah satu titik kondisi (lendutan, sudut) diketahui misalnya titik A. 5. Hitung lendutan titik B relatif terhadap titik A dengan teorema II. Contoh 1 PL

 A

L Tangent di A P P

B

Tangent di B M

PL

PL ⎛ 2 L ⎞  EI  Δ = (− PL ) ⎜ ⎟=− 2 3 ⎝  3  ⎠  L

 EI  θ =

 L

2

3

Δ=−

3

PL

3 EI  2

(− PL )

θ=−

PL

2 EI 

8

Contoh 2. W N per satuan panjang

 A

Tangent A =?

WL2

L

2 WL  A =

 x

2

1 WL 3 2

 L

B

WL2

3  x =  L 4

2

 L ⎛  W 

WL  ⎞ ⎛ 3  ⎞  EI  Δ = ⎜ −  L ⎟ ⎜  L ⎟ = − 3 ⎝  2  ⎠ ⎝ 4  ⎠ 8

4

2

Δ=−

WL

4

8 EI 

Contoh 3 a

P

P

a

=?

 A L

P

P

Tangent A

Pa  L

2

a

−a

⎛  L2  La  La a 2  ⎞ P 3 ⎛  L  ⎞⎛  L a  ⎞ Paa 2  EI  Δ = Pa⎜ − a ⎟⎜ − + a ⎟ + a = Pa⎜⎜ + − − ⎟⎟ + a 2 3 8 4 4 2  ⎠ 3 ⎝  2  ⎠⎝  4 2  ⎠ ⎝  2 3 3 3 PaL Pa PL ⎡ 3a 4a ⎤ = − = ⎢ − L3 ⎥ 8 6 24 ⎣  L ⎦ Δ=

3 PL ⎡ 3a

⎢

24 EI  ⎣  L

−

4a 3 ⎤

⎥

L3 ⎦

9

Teorema I   kurva elastis pada suatu titik balok sebenarnya dengan   pada titik yang besesuai dengan titik tersebut pada balok konyugasi. Teorema II   suatu titik pada balok sebenarnya dengan   pada titik yang bersesuaian dengan titik tersebut pada balok konyugasi.

10

Prosedur analisis balok konyugasi 1. Gambarkan balok konyugasi lengkap dengan kondisi batasnya. 2. Buat diagram momen, kemudian bebani balok konyugasi dengan M/EI. Apabila M/EI positif maka beban mengarah ke bawah dan sebaliknya keatas. 11

3. Tentukan reaksi perletakan, gaya lintang dan momen balok konyugasi. 4.

  pada balok konyugasi merupakan pada balok sebenarnya, dan   pada balok konyugasi merupakan  pada balok sebenarnya.

Contoh 1

8 kN B

A

x

3m

9m 2 kN

6 kN 8 kN B

A

x

Balok sebenarnya

18kNm

2 kN 81/EI

18/EI

27/EI

6 kN B’

A’

x 45/EI

63/EI

9m

Lendutan Maximum terjadi pada titik pada slope sama dg nol

3m

Balok Kunyugasi

Sesuai dengan gaya geser sama dg nol

12

18/EI

B’

A’

x

x 45/EI

63/EI

13