METODE KUADRAT TERKECIL UNTUK REGRESI LINIER
Cara ini berpangkal pada kenyataan bahwa jumlah pangkat dua ( kuaddrat ) dari pada jarak antara titi-titik dengan garis regrasi yang sedang di cari harus sekecil mungkin . Dari pada menjelaskan panjang lebar tentang istilah ini,lebih baik kita gunakan saja hasil rumus-rumus yang di turunkan dari metoda tersebut
Untuk fenomena yang terdiri dari sebuah variable bebas X dan sebuah variable tak bebas Y dimana model regrasi linier untuk populasi seperti dalam rumus XV (2) telah dapa di dua maka , kita perlu menaksir parameter-parameter sehingga di dapat persamaan seperti dalam rumusXV (3) . Jadi untuk model regresi linier populasi
µy.x = ᶿ1 + ᶿ2 X
Akan di taksirn harga-harga ᶿ1 dan ᶿ2 oleh a dan b sehingga di dapat persamaan regresi menggunakan data sampel :
Y = a + b X
Untuk keperluan ini , sebaiknya data hasil pengamat di catat dalam bentuk seper)ti di bawah ini
Variabel
Tak bebas
(Y)
Variabel
Bebas
(X)
Y1
Y2
.
.
Yn
X1
X2
.
.
Xn
Di sini dapat di dapat pasangan antara X dan Y dan n , seperti biasa , menyatakan ukuran sampel.
Koefosien-koefisien regresi a dan b untuk regrasi linier
Ternyata dapat di hitung dengan rumus :
a = ( Yi ) (X 2I )-( Xi ) (Xi Yi )n X 2i - (Xi )2
b = n Xi Yi-( Xi ) ( Yi )n X2i – (Xi)2
Jika terlebih dahulu di hitung koefisien b , maka koefisien a dapat pula di tentukan oleh rumus :
a = Ȳ-b X̅
Dengan X̅ dan Y̅ masing – masing rata-rata untuk variabel – variabel X dan Y .
Rumus – rumus di atas di pakai untuk menenukan koefisien-koefisiaen regresi Y atas X untuk koefisien – koefisien regresi Y atas X . Untuk koefisien –koefisien regresi X atas Y , rumus yang sama di gunakan tapi
Jadi untuk regresi X atas Y yang di taksir oleh
X̅ = c + d Y
Dengan menggunakan datahasil penelitian , maka koefisien-koefisiennya di hitung dari rumus
a = ( Xi ) (Y 2I )-( Yi ) (Xi Yi )n Y 2i - (Yi )2
b = n Xi Yi-( Xi ) ( Yi )n X2i – (Xi)2
Contoh :
Data berikut melukiskan hasil pengamatan mengenai banyak orang yang datang ( x ) dan banyak orang berbelanja ( Y ) di sebuah toko selama 30 hari .
DAFAR XV
BANYAK PENGUNJUNG DAN YANG BERBELANJA
DI SEBUAH TOKO SELAMA 30 HARI
Pengunjung
(Xi)
Berbelanja
(Yi)
Pengunjung
(Xi)
Berbelanja
(Yi)
34
38
34
40
30
40
40
34
35
39
33
32
42
40
42
32
36
31
38
29
35
33
30
32
36
31
31
36
37
35
42
41
32
34
36
37
36
37
39
40
33
34
36
37
38
38
37
30
30
30
33
32
34
35
36
32
32
34
32
34
Akan di tentukan persamaan regresi Y atas X yang di perkirakan paling cocok dengan keadaan data yang di peroleh . Untuk ini diagram pancaran perlu di perbuat dan dapat di lihat bahwa letak titik-titik ada pada sekitar garis lurus .
DAFTAR XV
NILAI-NILAI YANG PERLU
UNTUK MENGHITUNG KOEFISIEN REGRESI LINIER
Xi
Yi
XiYi
Xi2
Xi
Yi
XiYi
Xi2
34
38
34
40
30
40
40
34
35
39
33
32
42
40
42
32
36
31
38
29
35
33
30
32
36
31
31
36
37
35
1088
1368
1054
1520
870
1400
1320
1020
1120
1404
1023
992
1512
1480
1470
1156
1444
1156
1600
900
1600
1600
1156
1225
1521
1089
1024
1764
1600
1764
42
41
32
34
36
37
36
37
39
40
33
34
36
37
38
38
37
30
30
30
33
32
34
35
36
32
32
34
32
34
1596
1517
960
1020
1080
1221
1152
1258
1365
1440
1056
1088
1224
1184
1292
1764
1681
1024
1156
1296
1369
1296
1369
1521
1600
1089
1156
1296
1369
1444
seteLah di jumlahkan di dapat :
Xi= 1.105 ; Yi =1.001 ; X2i=41.029
Ari rumus kita peroleh harga-harga
A = 1.001 41.029 – 1.105 ( 37.094 )30 41.029 –(1.105 )2 = 8,24
B = 30 37.094 – 1.105 (1.001 )30 41 .029 –( 1.105 )2 = 0,68
Dengan demikian , persamaan regresi linier Y atas X untuk soal di atas adalah :
Y̅ = 8,24 + 0,68
Variabel tak bebas Y dalam regresi telah di nyatakan oleh symbol Y ( baca : ye topi ) untuk menyatakan bahwa kita berhadapan dengan Y yang di dapat dari regresi dan untuk membedakan dengan Y yang di dapat dari regresi dan untuk membedakan nya dengan Y dari hasil pengamatan .
regresi linier dan menyatakan perubahan rata-rata variabel Y un tuk setiap perubahan variabel Y untuk setiap perubahan variabel X sebesar satu unit .. Perubahan ini merupakan pertambahan apabila bbertanda positif dan penurunan atau pengurangan jika bertanda negatif. Demikianlah misalnya , untuk contoh kita b = 0,68 bertanda positif ; sehingga kita dapat mengatakan bahwa untuk setiap
X ( = pengunjung ) bertambah dengan seorang ,maka ata-rata pembeli (Y) bertambah dengan 0,68 orang.
Regresi yang di dapat ,selanjutnya di gunakan untuk keperluan ramalan apabila harga variabel bebas di ketahui . Jika X = 30 Misalnya , dengan jalan memasukan harga tersebut kedalam persamaan di atas di dapat
Y̅ = 8,24 + 0,68 (30) = 28,6
Di perkirakan rata-rata ada 28,6 orang pembeli untuk setiap 30 orang pengunjung yang masuk ke toko itu . Harga-harga ramalan lainnya dapat dihitung dengan jalan yang sama untuk setiap harga X yang di berikan . Jika hara-harga X yang di masukan ke dalam persamaan regresi terletak di dalam daer ruang gerak X hasil pengamatan . dalam contoh kita mulai dari 30 sampai dengan 42 proses itu di namakan Interpolasi
Memasukan harga – harga X di luar batas daerah ruang gerak pengamatan merupakan ekstrpolasi . Khusus mengenai ekstrapolasi ini,jika harus di lakukan , hendaknya di lakukan dengan hati-hati dan penuh pertimbangan . Resiko selalu timbul terkecuali kita tahu dengan cukup alas an bahwa regrasi yang sama berlaku untuk X di luar daerah ruang gerak pengamatan .
Sebuah contoh lagii adalah mengenai hubungan antara tinggi badan dan berat badan mahasiswa yang datanya mdi berikan di bawah ini.
DAFTAR XV
TINGGI DAN BERAT BADAN
Tinggi
(cm)
Berat
(kg)
Tinggi
(cm)
Berat
(kg)
162
168
170
167
159
160
170
163
164
158
164
158
156
48,0
46,3
58,1
53,2
46,8
47,0
63,2
52,7
59,2
47,1
58,4
46,5
46,0
161
163
160
168
169
156
162
159
164
167
158
163
160
58,3
50,7
50,6
60,3
47,0
46,9
49,7
46,9
56,1
58,0
47,0
56,0
49,8
Untuk mene ntukan regresi linier antara tinggi (X) dan berat (Y) dalam hal ini adalah masuk akal jika kedua buah reegresi di tentukan , ialah regresi Y atas X dan regresi antara x atas Y . Dalam hal pertama kita dapat meramalkan Y kalau X di ketahui sedangkan dalam hal kedua dapat meramalkan X apabila Y di ketahui .Haarga-harga yang di perlukan untuk ini adalah :
Xi =4.209 , Yi =1.349,8 , XiYi = 218.682,4
Xi2= 681.777 , Y2i = 70.816,551 dan n = 26
Dari rumus Xv kita dapat menghitung koefisien b untuk regresi Y atas X, yakni
B = 26 218 .682,4 – 4.209 ( 1.349,8 )26 681 .777 –( 4.209 )2 = 0,42
Dengan rumus XIV (7) di dapat koefisien :
A= 1.349,826- 0,49 4.20926=16,08
Regresi Y atas X , persamaannya adalah
Y̅ = -16,08 +0,42 X
Untuk menentukan regresi linier X atas Y .Dengan persamaan X̅ = c + dY, maka koefisien-koefisien c dan d masing-masing di dapat dari rumus XV (8) maka di peroleh :
C = 4.209 70.816,51 – 1.349 ,8 ( 218.682,4 )26 70 .816 ,51 –(1.349,8 )2 = 147,63
D = 26 218.682,4 - 4.209 (1.349,8 ) 26 70 .816 ,51 –(1.349,8 )2 = 0,23
Regresi linier X atas Y mempunyai persamaan persamaan
X̅ = 147,63 + 0,23 Y
Berbagai varians sehubungan dengan regresi linier sederhana.
