Prinsip Kuadrat Terkecil Dari suatu pengukuran yang tidak saling bergantung (independent): d1, d2, d3, d4, ...., dn. Dari pengukuran tersebut dapat dicari nilai rata-rata (d) yang merupakan nilai yang paling mungkin (Most Probable Value)
Residual masing-masing pengukuran: V1 = d1 – d V2 = d2 - d V3 = d3 - d
Vn = dn - d
Persamaan diatas dapat dituliskan sebagai berikut:
∑ v2 = v12 + v22 + v32 +....vn2 = minimun............(1) ∑ v2 = (d1-d)2 + (d2-d)2 + (d3-d)2 + ...+ (dn-d)2 = minimun...........(2)
Hitung Kuadrat Terkecil Metode Kondisi Dalam Metode Kondisi dibuat satu set persamaan independen yang merupakan fungsi dari besaranbesaran pengukuran. Jumlah persamaan yang dibentuk adalah jumlah pengamatan dikurangi syarat minimal pengamatan r=n–u
r = banyaknya persamaan kondisi n = jumlah pengamatan u = syarat minimal pengamatan
Contoh kasus Pengukuran Jarak AB diukur 5 kali d1,d2,d3,d4,d5
Persamaan yang dapat dibentuk: 1) d1 – d2 = 0 2) d2 – d3 = 0 3) d3 – d4 = 0 4) d4 – d5 = 0 5) d1 – d3 = 0 6) d2 – d4 = 0 7) d3 – d5 = 0 8) d1 – d4 = 0 9) d2 – d5 = 0 10) d1 – d5 = 0
Penyelesaian step 1 Menghitung jumlah persamaan kondisi 1.
Menghitung jumlah persamaan kondisinya Dari 10 persamaan yang dapat dibentuk tersebut dipilih sejumlah r persamaan yang independent. n=5 u=1 Maka r = n – u = 5 – 1 = 4
Empat persamaan pertama merupakan sistem persamaan yang independent (bukan merupakan fungsi dari persamaan-persamaan yang lain)
Penyelesaian step 2 Membuat persamaan kondisi 1) 2) 3) 4)
d1 – d2 = 0 d2 – d3 = 0 d3 – d4 = 0 d4 – d5 = 0
1) 2) 3) 4)
Karena d1, d2, d3, d4 dan d5 merupakan hasil pengukuran, maka masingmasing mempunyai kesalahan acak sehingga persamaan diatas dapat ditulis (d1+v1) – (d2+v2) = 0 v1-v2 + (d1-d2) = 0 (d2+v2) – (d3+v3) = 0 v2-v3 + (d2-d3) = 0 (d3+v3) – (d4+v4) = 0 v3-v4 + (d3- d4) = 0 (d4+v4) – (d5+v5) = 0 v4-v5 + (d4-d5) = 0 v1, v2, v3, v4 dan v5 (nilai yang akan dicari) merupakan nilai koreksi terhadap hasil pengukuran d1, d2, d3, d4 dan d5
Penyelesaian step 3 Konversi persamaan kondisi ke matriks W + B. V = 0 Nilai v yang akan dicari adalah yang memenuhi sistem persamaan dengan kondisi jumlah kuadrat v (∑v2) harus minimum. Jika persamaan diatas ditulis dalam bentuk matriks d1-d2 1 -1 0 0 0 v1 d2-d3 0 1 -1 0 0 v2 d3- d4 + 0 0 1 -1 0 v3 = 0 d4-d5 0 0 0 1 -1 v4 v5 W
+
B
. V
=0
Penyelesaian step 3 Cari nilai K dan V dengan rumus dibawah ini Untuk mencari matriks V (koreksi) V = BTK, dalam hal ini : K = - (BBT)-1.W Nilai V yang didapat kemudian dikoreksikan terhadap besaran pengamatan (Lb), sehingga didapat nilai estimasi besaran yang diamat (La)
Penyelesaian step 4 koreksikan data pengukuran (La) dengan nilai residu (v) yang didapat Jika persamaan diatas ditulis dalam bentuk matriks La = Lb + v d1 d2 d3 = d4 d5
d1 d2 d3 d4 d5
+
v1 v2 v3 v4 v5
Pengamatan = Lb (mengandung kesalahan acak) Koreksi =V Pengamatan Terkoreksi = La
Contoh kasus Pengukuran Panjang
A
B D1 = 50,54 D2 = 50,56 Cari nilai Estimasi AB
Solusi pengukuran panjang 1.
Persamaan Kondisi n=2 u=1 r=n–u=2–1=1 (d1 +v1) – (d2+v2) = 0 d1-d2+v1-v2 = 0 v1-v2+ (d1-d2) =0
2.
W+B.V=0 F (Lb) + ∂ F / ∂ Lb . V = 0 d1 – d2 + v1 – v2 = 0 (50,54 – 50,56) + v1 – v2 = 0, dibuat matriksnya menjadi : -2
+ 1
-1
v1 = 0 v2
Solusi pengukuran panjang (lanjutan) 3.
Mencari Nilai Matriks Koreksi (V) V = BTK, dimana K = - (BBT)-1.W
K= -
=-2
1 -1
-1
1 -1
-2 = 1
V = BTK V= 1 1 = 1 -1 -1
-1
-2
Solusi pengukuran panjang (lanjutan) Didapat harga pengukuran terkoreksi : La = Lb + v d1
50,54 =
d2
0,001 +
50,56
-0,001
d1 = 50,55, d2 = 50,55 maka jarak AB terestimasi adalah 50,55
Pengukuran Beda Tinggi h1
B
h2
A h3
Tentukan tinggi titik B (HB) dan titik C (HC)
C
Diketahui tinggi titik A (HA) = 100,510 m Dari pengukuran sipat datar diperoleh: H1 = 2,343 m (beda tinggi AB) H2 = 1,562 m (beda tinggi BC) H3 = 3,902 m (beda tinggi AC) Jarak AB = 1 km Jarak BC = 2 km Jarak AC = 3 km
Hitung Kuadrat Terkecil metode parameter
merupakan metode perataan kuadrat terkecil dengan model matematik yang disusun berdasrkan parameter yang dicari dan besaran ukuran merupakan fungsi dari parameter Model matematik merupakan model persamaan linier sehingga semua persamaan harus dilinearkan terlebih dahulu menggunakan deret taylor
Model matematik La = F (Xa) La = nilai teoritis besaran ukuran Xa = nilai teoritis parameter La = F (Xa) Lb + v = F (Xo + X) La = besaran ukuran terkoreksi Xa = besaran parameter terkoreksi Lb = harga ukuran V = Residual (koreksi harga ukuran) Xo = nilai pendekatan parameter X = nilai koreksi parameter
V = Ax + L = Ax + (Xo)-Lb dengan X = Xa – Xo Dapat dituliskan dalam bebtuk matriks v1 a11 a12 ... a1u x1 L1 • v2 a21 a22.... a2u x2 L2 • v3 = a31 a32.... a3u x3 + L3
vn
nV1
an1 an2.... anu xu
nAu
uX1
Lu
nL1
V = Matriks residu dengan dimensi (nx1) A = Matriks koefisien dengan dimensi (nxu) yang didapatkan dari proses differensial parsial terhadap parameter yang dicari • X = Matriks Parameter dengan dimensi (n x 1) • L = Matriks sisa dengan dimensi (nx1)
Apabila Pengamatan dengan bobot: P = σ02 ∑ Lb -1 = σ02/ σLb2 σ02 = Varian apriori σLb2 = Varian ukuran Untuk mencari besaran parameter terkoreksi: V= Ax + L X = -(AT PA)-1 ATPL Xa = Xo + X
A
B
D1 = 32,51 m D2 = 32,48 m D3 = 32, 52 m D4 = 32, 53 m
Tentukan jarak AB dari hasil perataan dengan metode parameter
Penyelesaian 1 Menyusun persamaan pengamatan: n = 4 (Jumlah pengamatan) n0 = 1 (Banyaknya variabel yang dibutuhkan) u = 1 (Banyaknya parameter /(d)) r=n – n0 = 4 – 1 = 3 (banyaknya ukuran lebih) Jumlah Persamaan: r + u = 3+1 = 4 (banyaknya persamaan)
Penyelesaian 1 Menyusun persamaan pengamatan: La = F (Xa) Lb + V = F (Xo + X) L1 + V1 = Xo + X
L2 + V2 = Xo + X L3 + V3 = Xo + X L4 + V4 = Xo + X
V1 = X + Xo – L1 V2 = X + Xo – L2 V3 = X + Xo – L3 V4 = X + Xo – L4
Penyelesaian 2 Linearisasi dengan deret taylor V = AX + L Matriks A diperoleh dari deferensiasi dari F (Persamaan pengamatan) A =∂F / ∂X, dalam hal ini Persamaan pengamatan ∂V1 / ∂X = 1 dapat ditulis dalam ∂V2 / ∂X = 1 matriks ∂V3 / ∂X = 1 V1 1 L1 V2 1 L2 ∂V4/ ∂X = 1 V3 = V4
1 x + L3 1 L4
Penyelesaian 2 Linearisasi dengan deret taylor Persamaan pengamatan dapat ditulis dalam matriks
V1 V2 V3 = V4
1 Xo - L1 X0 = Rata-rata , L1 : data ukuran 1 Xo - L2 1 x + Xo - L3 1 Xo - L4
V1 V2 V3 = V4
1 0 1 0,03 1 x + -0,01 1 -0,02
Penyelesaian 3 Menghitung koreksi Parameter dan Parameter Terkoreksi Rumus: X = -(AT PA)-1 ATPL Didapat X = 0 Xa = Xo + X Xa = 32, 51 + 0 = 32,51
Latihan: Pemotongan ke mukaengukuran koordinat C??
D2
D1
B1 A
B2
B
Hitung Koordinat C pada pengukuran pemotongan kemuka tersebut dengan metode parameter jika diketahui: A (1000; 1000) B ( 1072,64 ; 1012,1210 S1 = 40 °38 ’30” S2 = 51 ° 55’ 21” D1 = 58, 027 m D2 = 47, 9 m
