BAB I PENDAHULUAN
Metode elemen hingga adalah suatu prosedur numerik untuk memperoleh solusi terhadap banyak permasalah yang sering di jumpai dalam analisis teknik. Secara garis besar di bagi menjadi
dua sub devisi yaitu pertama menjadi elemen-elemen diskrits untuk memperoleh
simpangan-simpangan dan gaya-gaya anggota dari struktur unsure. Kedua mennggunakan elemen-elemen kontinum untuk memperoleh solusi terhadap permasalahan-permasalahan perpindahan kalor, mekanika fluida dan benda padat. Pendekatan pertama, dimana formulasi menggunakan elemen diskrits, biasasnya di sebut sebagai analsisi matriks struktur dan memberikan hasil yang identik dengan analisis struktur. Sedangkan pendekatan kedua
metode elemen hingga sesungguhunya. Pendekatan ini akan
menghasilkan harga untuk menentukan parameter-parameter yang diperlukan pada titik tertentu yang digunakan pada perangkat lunak program elemen hingga biasanya mampu menyelesaikan masalah tersebut Ada dua (2) karakteristik yang membedakan
metode metode elemen hingga untuk
metode numerik antara lain, yaitu : 1. Metoda ini menggunakan formulasi integral untuk menetukan persamaan-persamaan dalam bentuk aljabar. 2. Metoda ini , menggunakan fungsi-fungsi kontinyum sebagai acuan untuk mentukan parameter yang belum di ketahui. Ada lima (5) langkah untuk menyelesaikan persamaan metode elemen hingga, yaitu : 1. Permasalahan fisik di buat elemen-elemen kecil. Elemen elemen tersebut di tandai dengan nomor elemen dan nomor titik nodal dan tempat titik koordinatnya. 2. Tentukan persamaan pendekatannya, linier atau kuadratik. Metode yang digunakan tersebut harus di tulis dalam bentuk harga-harga nodal yang belum di ketahui (unknown nodal values). Ini berlaku untuk setiap elemen harus di definisikan sifatya dalam bentuk persamaan tersebut.
1
3. Bentuk lah sistim persamaan diatas dengan metode Galerkin, Variasional, formulasi energi potensial, collocation, subdomain, dll. khusus untuk formulasi energi potensial, energi potensial dari sist1m di tulis dalam bentuk persamaan dan kemudian diminimalkan, dimana akan di beri satu persamaan setiap simpangan yang belum di ketahui. 4. Selesaikan persamaan diatas. 5. Hitung besaran-besaran yang dicari. Besaran-besaran ini mempunyai komponenkomponen tegangan, aliran panas atau kecepatan fluida.
1.1.
Formulasi integral Ada beberapa macam metoda untuk memformulasikan integral-integral fungsi tersebut Metoda variasional Pendekatan variasional melibatkan integral dari suatu persamaan yang mempunyai harga-harga. setiap fungsi baru menghasilkan harga baru. Funsi tersebut mempunyai nilai terkecil ini mempunyai sifat khusus yaitu memenuhi persamaanpersamaan integral untuk mengklasifikasikan konsep ini, ambil integral berikut.
(1. 1 ) Harga numerik dapat dikalkulasikan dengan memberikan persamaan –persamaan diatas. Misalnya persamaan coba-coba yang memberikan harga terkecil. Akan tetapi persamaan ini merupakan jawab dari persamaan diferensial berikut.
(1. 2 )
Dengan kondisi batas y (0) = y0 dan y (H) = yH . Tentu saja proses ini dapat di defenisikan sebagai suatu persamaan diffrensial, jawab dapat di peroleh dengan mensubsitusikan persamaan coba-coba ke dalam fungsional secara tepat. Fungsi cobacoba yag memberikan harga II minimum adalah merupakan jawab pendekatan.
2
Metode variasional adalah merupakan basis dari banyak formulasi elemen hingga, tetapi metode ini mempunyai kelemahan yaitu : tidak dapat diaplikasikan pada persamaan diferensial yang mengandung derivatif pertama.
Metoda-metoda Weighted Residual Metode ini juga melibatkan suatu fungsi integral. Dalam metode ini, untuk menjawab pendekatan disubstitusikan kedalam persamaan diffrensial dengan pendekatan tidak memenuhi persyaratan persamaan, maka akan menghasilkan permasalahan. Andaikan bahwa y = h(x) adalah merupakan jawab dari pendekatan persamaan (1.2). substitusikan akan memberikan Pendekatan variasional melibatkan integral dari suatu persamaan yang mempunyai harga-harga
(1. 3)
Karena y = h(x) tidak memenuhi persyaratan persamaan. Maka metoda-metoda weighted residual mengharuskan bahwa :
(1. 4)
Fungsi residual R(x) dikalikan dengan fungsi pemberatan fungsi dari Wi(x) dan integral dari dua funsi tersebut harus sama dengan nol. Jumlah fungsi pemberatan persamaan dengan jumlah koefisiens-koefisien yang belum di ketahui dalam persamaan dan beberapa pilihan untuk fungsi-fungsi pemberatan,beberapa metode tersebut adalah
1. Metoda Collocation Fungsi-fungsi impuls Wi(x) = (x-Xi) dipilih sebagai fungsi pemberatan. Fungsi-fungsi ini equivalen ini equivalen dengan fungsi-fungsi residual yang digunakan untuk menghilangkan titik-titik tertentu( mereduksi persamaan). jumlah
3
titik-titik yang dipilih sama dengan jumlah koefisien-koefisien yang belum di ketahui dalam jawaban pendekatan.
2. Metode subdomaint Setiap fungsi pemberatan dipilih sama dengan Wi(x)=1, untuk daerah tertentu. Ini equivalen dengan integral fungsi residual untuk menghasilkan persamaan dari daerah tersebut. Jumlah interval-interval integrasi sama dengan jumlah pemberatan yang belum di ketahui dalam jawaban pendekatan. 3. Metode Galerkin Metode galerkin menggunakan fungsi-fungsi yang sama Wi (x) yang digunakan dalam persamaan pendekatan. Pendekatan ini adalah dasar dari metode elemen hingga untuk masalah-masalah yang menyangkut suku pertama derivative. Metode ini akan memberikan hasil yang sama seperti metoda variasional bila diterapkan untuk analisis “Field Problems” diantaranya mekanika fluida yang digunakan untuk penampang tak silindris dan sebagainya. 4. Metoda Least Squares Metode least squares menggunakan fungsi residual yang di gunakan untuk menghasilkan suatu kesalahan baru yang di definisikan sebagai berikut
(1. 5) Kesalahan ini diminimalkan terhadap koefisien-koefisien yang tidak diketahui dalam jawaban pendekatan. Metode least squares telah digunakan untuk merumuskan solusi elemen hingga tetapi tidak sepopuler metode galerkin dan variasional. 1.2.
Contoh Ilustrasi Untuk lebih jelasnya bagaimana metode-metode diatas dapat di gunakan untuk memperoleh suatu jawaban pendekatan terhadap masalah fisik, maka disini akan di 4
berikan suatu contoh ilustrasi. Contoh tersebut adalah suatu beam di tumpu secara sederhana mengalami momen terkonsentrasi pada masing-masing ujungnya seperti diagram momen lengkung di tunjukan pada gambar 1.1
Gambar 1.1. sebuah beam di tumpu secara sederhana dengan momen dan konsentrasi Persamaan diffrensial yang berhubungan dengan gambar diatas adalah
(1. 6) Dengan kondisi-kondisi batas Y(0) = 0
Y(H) = 0
(1. 7)
Koefisien EI menunjukan tahan beam terhadap defleksi dan M(x) adalah persamaan momen lengkung. Dalam contoh ini, M(x) mempunyai harga konstan terhadap M(0). Persamaan pendekatan untuk defleksi beam adalah :
(1. 8 ) Dengan A adalah suatu koefisien yang belum di ketahui. Jawab ini merupakan kandidat yang dapat di terima, mengingat persamaan diatas memenuhi persyaratan kondisi-kondisi batas Y(0) = Y(H) = 0 dan mempunyai pola menyerupai kurva defleksi yang di harapkan. Jawab ekstrak persamaan diffrensial adalah :
5
(1. 9) 1.2.1 Metoda Variasional Integral untuk persamaan diffrensial (1.6) adalah :
(1. 10 ) Harga A yang membuat (1.8) merupakan pendekatan terbaik untuk kurva defleksi adalah harga yang membuat Π minimum. Untuk mengevaluasi A, Π harus di tulis sebagai fungsi A dan kemudian di minimalkan terhadap A. Catatan bahwa
Kita peroleh bahwa Π menjadi
atau
(1. 11) Minimalkan Π di peroleh
Dan
(1. 1 2)
6
Jawab pendekatan adalah
(1.13 ) 1.2.2. Meode Collocation Metode collocation menyaratkan bahwa persamaan residul untuk jawab pendekatan harus nol pada sejumlah titik-titik yang sama dengan sejumlah koefesien yang belum diketahui. Residual diperoleh dengan mensubtitusikan (1.8) ke (1.6). Hasilnya adalah
Karena
(1.14)
Disini hanya ada satu koefesien yang belum diketahui, Oleh karena itu (R(x) disamakan dengan nol pada satu titik antara 0 dan H. pilih x = H/2 dari kenyamanan, maka kita memperoleh
Dan
(1.15)
7
Jawab pendekatan adalah (1.16)
Jika dipilih titik selain x = H/2, maka akan diperoleh jawaban yang berbeda dari perkiraan yang telah diperoleh. 1.2.3. Metode SubdomainR Metode subdomain menyaratkan bahwa ∫ R (x) dx = 0 pada sejumlah lebih banyak di subinterval karena ada koefesien-koefisen yang belum diketahui. Kita dapat memilih berapa lama untuk membuat masing-masing subinterval. Pada contoh ini hanya ada satu koefesien yang belum diketahui; Kemudian interval yang dimaksud adalah [0, H]. Persamaan residual adalah (1.14), sehingga
Integrasi menghasilkan
Atau (1.17)
Jawaban pendekatan adalah
(1.18)
8
1.2.4. Metode Galerkin Dalam menggunakan metode ini Galerkin. ∫Wi (i) R (x) dx dievaluasi menggunakan fungsi yang sama untuk Wi (x) yang telah digunakan dalam solusi perkiraan. dalam contoh ini hanya satu fungsi pemberat, Wi (x)= sin πx/H. Persamaan residual dan integralnya adalah
Integrasi menghasilkan
Atau (1.19)
Dan jawabannya adalah
(1.20) Jawabannya ini adalah identik dengan jawaban yang diberikan oleh metode variasional.
1.2.5. Metode Leas Squares Sebuah term kesalahan baru ∫ [R (dx), terbentuk jika saat menggunakan kotak least aquares. Subtitusikan persamaan residual akan diperoleh
9
integrasi memberikan
Kesalan ini diminimalkan mumgkin terhadap A, menghasilkan
(1.21) Setelah diperoleh A, jawab pendekatannya adalah
(1.21) Ini juga identik denga jawaban yang diberikan oleh metode variational dan metode galerkin, (1.3), (1.20). Sebetulnya sulit untuk menjustifikasi metode yang paling akurat. Kesalahan tergantung pada fungsi pendekatan dan persamaan yang bias dipecahkan.prosentasi kesalahan untuk mencoba metode yang berbeda diberikan di 1.2. Nampak nya persamaan (1.22) lebih akurat dari persamaan (1.16) atau (1.8). hal terpenting yang dapat diambil dari contoh ini adalah bahwa solusi numerik dari persamaan differensial dapat diformulasikan dalam bentuk integral. Formulasi integral merupakan karakteristik dasar dari metode elemen hingga.
10
Gambar 1.2. Persamaan kesalahan untuk lima solusi jawaban dari contoh beam ditumu sederhana 1.3.
Formulasi Energi Potensial Solusi masalah-masalah mekanika yang solid yang meliputi dua dimensi dan tiga dimensi seperti plat dan cangkang, dapat didekati dengan beberapa cara. Pendekatan klasik adalah memformulasikan persamaan diferensial dan menjawab analitis. Ini mungin tidak bisa berjalan, mengingat kesulitan menjelaskan secara matematik geometri struktur dan atau kondisi batas.alternatif terhadap solusi klasik adalah prosedur numeric didasarkan pada kejadian yang menyatakan bahwa simpangan pada posisi kesetimbangan terjadi sedemikian sehingga energi potesial sistim stabil mempuyai harga minimum. Energi potensial yang memberi sumbangan pada masalah mekanika solid adalah energy regangan (strain energy) yang didenfinisikan sebagai energi tersimpan selama proses deformasi. Energi ragangan adalah suatu integral volume yang melibatkan hasil
11
kali komponen-komponen tegangan dan regangan. Sebagai contoh tegangan pada suatu batang yang mendapatkan gaya aksil adalah
(1.23)
Prinsip energi potensial dan energi regangan akan stabil di bab-bab dibelakang. Yang jelas prinsip ini banyak digunakan untuk masalah-masalah struktur dan mekanika solid.
12
BAB II ELEMEN LINEAR SATU DIMENSI Dalam bab ini akan dibicarakan pembagian daerah satu dimensi ke dalam elemen-elemen linear dan menjabarkan suatu persatuan elemen. Persamaan
itu kemudian digeneralisasikan
sedemikian sehingga suatu persamaan “continuos piecewise smooth” dapat diterapkan didaerah tersebut. Elemen linear digunakan untuk memperoleh jawab pendekatan terhadap persamaan differensial berikut :
(2.1) Persamaan elemen ini akan digunakan untuk menghitung perpindahan yang mengalami pembebanan aksial. 2.1.
Pembagian daerah menjadi elemen-elemen Daerah satu dimensi adalah suatu segmen garis dan pembagian kedalam sub bagian atau elemen cukup mudah dilakukan. Segmen garis dibagi menjadi menjadi segmen garis pendek yang menggunakan nodal (Gambar 2.1). Nodal nodal diberi penomoran secara berurutan dari kiri kekanan seperti pada penomoran nodal-nodal itu. Ada beberapa aturan sebagai petunjuk untuk menentukan nodal-nodal yang kita peroleh untuk mendapatkan jawab pendekatan yang akurat terhadap suatu persamaan diferensial. 1. Tempatkan nodal didekat pada daerah dimana tidak diketahui ukuran parameternya berubah secara cepat. Selanjutnya pada daerah yang jauh belum diketahui relative konstan nodal dibuat lebih jauh. 2. Tempatkan nodal dimana saja terjadi perubahan harga koefesien D dan Q (2.1) secara mendadak. 3. Tempat nodal dimana saja harga numeric ɸ pada (2.1). diperlukan
13
Aturan pertama mensyaratkan bahwa kita harus punya mengetahuan untuk mengetahui kira-kira parameter yang belum diketehui bervariasi, ini menunjukkan dimana pengetahuan ilmu tekik diperlukan dala proses sulosi. Aturan kedua juga perlu karna integral-intergal yang melibatkan parameter D dan Q (2.1) harus dievaluasi. Integral tersebut mudah dievaluasi jika tidak mempunyai koefesien-koefesien yang berubah secara mendadak dakam interval intergrasi.
Gambar 2.1. Pembagian daerah satu dimensi bagian bagian elemen 2.2.
Elemen Linear Gambar 2.2 menunjukkan elemen linear satu dimensi yaitu garis bagian dengan sebuah panjang L dan dua nodal masing-masing pada ujung elemen. Nodal-nodal dinotasikan dengan i dan j dan harga nodal ɸ i dan ɸj. system koordinat asal disebelah kiri adalah nodal i. Parameter ɸ bervariasi secara linear antara nodal, dan persamaan untuk ɸ adalah (2.2) Koefesien-koefesien a1 dan a2 dapat ditentukan dengan kondisi nodal
14
(2.3) Disubtitusikan (2.3) ke dalam (2.2), diperoleh sepasang persamaan
(2.4) Yang menghasilkan a1 dan a2 sebagai
(2.5)
Gambar 2.2. Elemen linear satu dimensi Subtitusi (2.5) kedalam (2.2) diperoleh
(2.6) Dimana Xj-Xi telah diganti dengan L 15
Persamaan (2.6) merupakan elemen hingga. Harga nodal-nodal dikalikan dengan fungsi linear x, yang disebut dengan bentuk fungsi atau fungsi interpolasi. Fungsi-fungsi ini diberi notasi N dengan subscript untuk memperoleh nodal dengan bentuk yang mana fungsi interpolasi spesifik digunakan. Fungsi –fungsi dalam (2.6) dinotasikan Ni dan Nj dengan
(2.7)
Persamaan (2.6) dapat ditulis kembali sebagai (2.8) Dan juga sebagai
(2.9) Dimana [N] = [Ni Nj] adalah vector baris fungsi interpolasi dan
Adalah vektor kolom terdiri dari harga-harga nodal elemen. Fungsi interpolasi mempunyai karekteristik yang unik. Dan yang lain berharga 1 pada nodal nya sendiri dan berharga nol pada nodal yang lain-lain dari fungsi interpolasi adalah bahwa fungsi ini selalu mempunyai harga yang sama dengan persamaan interpolasi asal. Persamaan (2.2) adalah persamaan linear, maka fungsi interpolasi ini juga linear (2.7). karekteristik dalam persamaan penjumlahan derivative fungsi interpolasi terhadap x adalah nol.
16
Gambar 2.3. fungsi interpolasi linear Ni dan Nj
17
Contoh Ilustrasi Sebuah elemen linear satu dimensi digunakan untuk memprediksi distribusi temperature dalam sebuah fin. Solusi menujukkan bahwa temperature pada nodal i dan j masing-masing adalah 120 dan 90o C. tentukan temperature pada titik berjarak 4 cm dari titik asal dan gradien temperature elemen tersebut. Nodal i dan j terletak pada 1,5 dan 6,0 cm dari titik asal seperti ditunjukkan pada gambar 2.4.
Gambar 2.4. harga-harga nodal pada contoh permasalahan Temperatur, ɸ, dalam elemen diberikan oleh (2.6)
Data elemen adalah
Subtitusikan menghasilkan
18
Gradien temperatur adalah direvatif persamaan (2.6)
(2.10) Subtitusikan harga-harga nodal, diperoleh
2.3.
Persamaan “Continuous Piecewise Smooth” Persamaan “Continuous Piecewise Smooth” untuk daerah satu dimensi dapat dikontruksikan
dengan
menggabungkan
beberapa
persamaan
linear
dengan
menggabungkan sifat-sifat yang telah dijelaskan ada seksi sebelumnya. Masalah persamaan ini dapat ditulis sebagai
(2.11) Dimana
(2.12) Superskrip (e) menunjukkan suatu kuantitas elemen. Semua itu membutuhkan untuk memberi harga-harga i, j dan e untuk setiap elemen yang lainnya. Nilai i dan j untuk e tertentu diperoleh dari grid, dimana nodal i sebagai acuan untuk setiap elemen, misalnya pemberian elemen pada grid dalam gambar 2.1 adalah
19
Persamaan untuk masing-masing elemen dalam gambar 2.1 adalah
(2.13) Perlu diperhatikan bahwa
( )
dan
( )
merupakan persamaan differensial, jika
kedua melibatkan nodal 2. Persamaan-persamaan ini ini sebaga berikut
Ingat bahwa masing-masing persamaan (2.13) adalah untuk elemen tunggal dan tidak dapat di-gunakan elemen lain, sehingga persaman pertama, misalnya, seharusnya ditulis sebagai
Tetapi batas x dihilangkan dalam kebanyakan literatur elemen hinggga dan disini juga demikian .
2.4.
Komentar pada Notasi Notasi berikut digunakan sehingga superskrip (e) tidak mempunyai tempat disetiap koefesien.
20
1.
Ungkapan-ungkapan dalam kurung mempunyai superskip (e), itu adalah (Gɸ + Q)(e) kemudian setiap ungkapan harus di interpretasikan sebagai basis elemen.
2.
Ungkapan ɸ(e) = Ni θi + Nj θj mengimplikasikan bahwa Ni dan Nj adalah benarbenar
( )
dan
( )
, dan θ1 dan θj adalah harga nodal elemen.
21
BAB III ELEMEN-ELEMEN DUA DIMENSI Dalam bab ini hanya akan dibicarakan masalah elemen dua dimensi baik elemen segitiga linear maupun elemen segiempat bi-linear. Sedangkan untuk elemen-elemen kuadratik dan polynomial yang lain akan dibicarakan dalam bab yang lain. 3.1.
Grid - Grid Dua Dimensi Elemen segitiga linear ( Gambar 3.1a) mempunyai sisi-sisi lurus dan sebuah nodal pada masing-masing sudutnya. Persamaan interpolasi diberikan oleh
(3.1) Yang mana benar-benar linear sebab persamaan tersebut terdir dari konstanta dan ungkap-ungkapan yang hanya memungkinkan linear, yang disebut x dan y sebagai hasilnya elemen segitiga dapat diorintasikan secara bebas dan mempunyai kontitunitas termasuk perbatasan elemen-elemen. Elemen segiempat bi-linear(gambar 3.1b) mempunyai sisi-sisi yang lurus sebuah nodal pada setiap sudut nya. Persamaan interpolasi diberikan untuk skala kuantitas adalah
(3.2) Persamaan ini hanya menngandung satu dari tiga kemungkinan, xy dan persamaan ini dapat diorintasikan karena persamaan (3.2) tidak segiempat bi-linear karena sumbu x2 dan y2 tidak terlihat. Sisi-sisi segiempat harus tetap parallel terhadapa sistim koordinat xy. Grid elemen segiempat mudah disusun, dimana semua elemen dalam baris parallel dengan sumbu x harus sama tingginya. Begitu juga semua volume parallel pada sumbu y harus sama lebarnya. Elemen segiempat hendaknya digunakan pada berbentuk persegi panjang atau segiempat. Gabungan antara elemen segitiga dan segiempat dapat digunakan pada daerah berbentuk tak beraturan. Pada elemen segitiga digunakan untuk memodelkan bentuk-bentuk tak beraturan.
22
Gambar 3.1. Elemen segitiga linear dan segiempat bi-linear
Pembagian objek berbentuk segitiga kedalam elemen-elemen segitiga dapat mudah dilakukan dengan membagi kedalam sub daerah seperti ditunnjukkan dalam gambar (3.2) pada gambar (3.2a) berlaku hunbungan bahwa jumlah elemen-elemen segitiga adalah (n – I )2, dimana n adalah jumlah nodal pada salah satu sisinya. Jika objek mempunyai objek bentuk kurva, maka dapat dilakukan seperti pada gambar (3.2b), dimana garis putus-putus merupakan bentuk asli dari objek, sedangkan garis utuh menunjukkan elemen. Sub-objek berbentuk segiempat tak beraturan dengan mudah dibagi menjadi elemen-elemen segitiga dengan menghubungkan nodal-nodal pada sisi yang berbentuk 23
seperti ditunjukkan pada gambar (3.3a). perlu diperhatikan bahwa disisi harus dipilih diagonal terpendeknya ( gambar 3.3b). jumlah elemen-elemen segitiga adalah 2 (n – 1) ( m-1 ) dimana n dan m masing-masing adalah jumlah nodal pada sepanjang sisi yang berhubungan.
Gambar 3.2. Daerah dibagi kedalam elemen segitiga
24
Perlu
Tidak Perlu (b)
Gambar 3.3. Pembagian sub daerah segiempat tak beraturan menjadi elemen-elemen segitiga Nodal-nodal pada batas sub daerah harus mempunyai jumlah yang identik dan harus mempunyai posisi relative yang sama. Persyaratan ini perlukan untuk menyakinkan kontinyuitas fungsi θ sepanjang batas elemen. Sebagai ilustrasi misalkan ditunjukan pada gambar (3.4)
Gambar 3.4. Pembagian daerah menjadi sub daerah dan kemudian menjadi elemen-elemen segitiga
25
Gambar 3.5. Pembuatan mesh dengan variasi ukuran elemen
Pembuatan mesh tidak perlu mempunya elemen-elemen dengan bentuk dan ukuran yang sama karena biasanya dalam satu daerah ada sub daerah yang sama perubahan harga nodal relative konstan. Pada sub daerah ini dapat digunaka elemenelemen berukuran besar. Sedangkan pada sub daerah yang mana terjadi perubahan harga nodal secara drastis perlu digunakan elemen-elemen berukuran kecil. Disini sangat menguntungakan jika digunakan elemen segitiga (gambar 3.5).
26
Gambar 3.6. Dua cara penomoran menghasilakan lebar pita berbeda Pemberian nomor-nomor nodal juga perlu diperhatikan, mengigat hal ini berpengaruh terhadap kecepatan penyelesaian masalah. Gambar 3.6 menunjukkan dua cara penomoran pada bentuk benda yang sama. Penomoran pada gambar 3.6b lebih menguntungkan karena mempunyai lebar pita (band witdth) NBW yang ebih kecil.
(3.3) Dimana BW(e) adalah perbedaan nomor nodal terbesar dan terkecil dalam elemen yang sama BW(e) tidak mempengaruhi hasil, akan tetapi sangat mempengaruhi waktu perhitungan memberi. 3.2.
Elemen Segitga Linear Seperti yang telah dijelaskan diatas bahwa elemen segitiga linear mempunyai sisisisi yang lurus dan satu nodal pada setiap sudutnya (gambar 3.7). konsistensi dalam pemberian label perlu dilakukan dan dalam kuliah ini urutan pemberian label adalah berlawanan arah jarum jam dari nodal i. Harga-harga nodal ɸ berturut-turut adalah Фi, Фj dan Фk dimana koordinat nodalnya aalah ( Xi, Yi ), (Xj, Yj ), dan ( Xk, Yk ). Fungsi interpolasinya adalah
27
Gambar 3.7. Parameter-parameter untuk elemen segitiga linear Dengan kondisi-kondisi nodal
Subtitusikan kondisi-kondisi ini kedalam (3.4) mengahasilkan system persamaan berikut
(3.5)
28
Atau
Dimana determinan
(3.6) Dan A adalah luas segitiga. Subtitusikan α1 α2 dan α3 kedalam (3.4) akan menghasilkan suatu persamaan ɸ dalam ungkapan fungsi interpolasi dan Фi, Фj dan Фk, yaitu
(3.7) atau µ =Ni Ui + Nj Uj + Nk Uk dimana
(3.8)
(3.9)
(3.10) 29
Dan
Kuantitas scalar ɸ dihungkan terhadap harga harga nodal dengan satu set fungsi interpolasi yang linear terhadapat x dan y. ini berarti bahwa gradien ∂ɸ ⁄ ∂x atau ∂ɸ ⁄ ∂y adalah konstan dalam elemen. Sebagai contoh,
(3.11) Tetapi
Karena itu,
(3.12) Karena bi, bj dan bk adalah konstan dan Фi, Фj dan Фk tidak tergantung dari koordinat, maka derivatif mempunyai harga konstan. Suattu gradien konstan dalam suatu elemen berarti bahwa sejumlah elemen-elemen kecil harus digunakan untuk memperoleh harga pendekatan ɸ yang akurat pada perubahan drastic.
Contoh Ilustrasi Evalusai fungsi interpolasi elemen dan hitungkan besar tekanan pada titik A seperti yang ditunjukkan pada gambar 3.8, jika harga-harga nodal adalah Фi = 40 N/cm2, Фj = 34 N/cm2, dan Фk = 46 N/cm2. Titik A ditempatkan pada (2,15). Tekanan ɸ diberikan oleh (3.7), dan fungsi interpolsi didefinisikan oleh (3.8), (3.9) dan (3.10). koefisen- koefisen untuk persamaan fungsi interpolasi adalah
30
Gambar 3.8. Parameter-parameter untuk contoh ilustrasi
Sedangkan
Subtitusikan koefesin-koefisien ke dalam persamaan fungsi interpolasi akan memberikan
31
Ingat bahwa Ni + Nj + Nk = 1. Persamaan tekanan menjadi
Harga ɸ pada titik A (2,15) adalah
Sebagai tambahan, karakteristik fungsi interpolasi pada elemen segitiga bervariasi secara linear sepanjang sisi antara titik nodalnya dan dua titik nodal yang lain , misalnya Ni bervariasi secara linear sepanjang ij dan ik. Fungsi interpolasi adalah nol sepanjang sisi dihadapan titik nodalnya; misalnya Ni berharga nol sepanjang sisi jk. Konsekuensinya harga ɸ bervariasi secara linear sepanjang masing-masing tiga sisi. Karakteristik ɸ lain yang penting adalah bahwa suatu garis konstan ɸ adalah merupakan garis lurus yang memotong dua sisi elemen ( kecuali semua nodal mempunyai harga sama). Dua sifat ini memudahkan untuk membuat kontur seperti ditunjukkan pada contoh ilustrasi berikut.
32
Contoh Ilustrasi Tentukan loksi garis kontur 42 N/cm2 untuk elemen segitiga yang digunakan pada contoh sebelumnya.
Gambar 3.9. Garis kontur 42 N/cm2 Kontur tekanan 42 N/cm2 akan berpotongannya dengan sisi ik dan jk. Untuk sisi jk berpotongan pada.
Dan
Dengan jalan yang sama untuk sisi ik = x = 2/3 cm
33
46 − 42 5− = 46 − 40 5−0 y = 5/3 cm
Garis kontur ditunjukkan pada gambar 5.9
3.3.
Elemen Segiempat Bilinear Elemen segiempat bilinear mempunyai panjang 2b dan lebar 2a, sedangkan titik nodalnya diberi label i, j,k, dan m dengan nodal i selalu berada sudut kiri bawah. System koordinat elemen segiempat ditunjukkan pada gambar 3.10. Persamaan interpolasi (3.2) dapat ditulis dalam ungkapan koordinat local s dan t sebagai berikut. (3.13)
Gambar 3.10. Parameter untuk elemen segiempat bilinear Persamaan di atas menunjukkan bahwa ɸ adalah linear terhada s sepanjang garis konstan t dan linear terhadap t sepanjang garis konstan s. oleh karena itu , maka elemen ini disebut bilinear.
Persamaan (3.13) ditulis relatif terhadap system koordinat lokal,
34
yang titik asalnya adalah pada nodal i. kadang-kadang juga digunakan system koordinat qr, yang mempunyai titik asal pada titik pusat elemen ( lihat gambar 3.10) Kooefesin-koefesien C1, C2, C3, dan C4 pada (gambar 3.13) diperoleh dengan menggunakan harga – harga nodal ɸ dan koordinat nodal (dalam system st) untuk memperoleh empat persamaan seperti tertulis berikut.
(3.14) Diselesaikan akan diperoleh
(3.15) Subtitusikan (3.15) kedalam (3.13) memberikan
Atau µ =Ni Ui + Nj Uj + Nk Uk + Nm Um dimana
35
Fungsi interpolasi- interpolasi element segiempat bilinear mempunyai sifat-sifat menyerupai dengan elemen segitiga linear. Tiap-tiap fungsi interepolasi bervariasi secara linear sepanjang sisi-sisi diantara titik nodalnya dan dua titik nodal perbatasan titik titik nodal, sebagai contoh, Ni Bervariasi secara linear sepanjang sisi ij dan im. Masing-masing fungsi interpolasi juga berharga nol sepanjang sisi-sisi, dimana tidak menyentuh, misalnya Ni berharga nol sepanjang sisi jk dan km .Variasi linear ɸ sepanjang sisi-ssi elemen segiempat dan sisi-sisi elemen segitiga berarti bahwa dua elemen ini kompatibel dan dapat digunakan sisi batas satu terhadap yang lain. Persamaan transformasi antara system koordinat qr dan st adalah dan Substitusikan (3.18) kedalam (3.17) memberikan fungsi interpolasi dalam ungkapan q dan r
Fungsi interpolasi didefenisikan (3.19) bermanfaat saat digunakan system koordinat natural yang memungkinkan elemen segiempat dideformasikan kedalam bentuk umum segiempat tak beraturan (quadrilateral). Garis kontur elemen segiempat biasanya melengkung. Perpotongan garis kontur dengan sisi-sisi elemen dapat diperoleh menggunakan interpolasi linier. Metode paling mudah untuk memperoleh titik ketiga adalah dengan cara mengeset s atau t sama dengan nol dalam persamaan fungsi interpolasi dan menyelesaikan persamaan (3.16) untuk harga titik koordinat yang lain. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat contoh ilustrasi berikut.
36
Contoh ilustrasi Tentukan tiga titik pada garis kontur 50oC untuk elemen segiempat seperti ditunjukan pada gambar (3.11). harga harga nodal adalah ɸi = 42oC, ɸj = 54oC, ɸk = 56oC, ɸm = 46oC. Pada sisi-sisi elemenya adalah
Substitusikan harga-harga ini kedalam persamaan (3.17) memberikan fungsi-fungsi interpolasi
Data diatas menunjukan bahwa garis kontur 50oC akan memotong sisi-sisi ij dan km ; karena itu kita perlu mengasumsikan harga t untuk menghitung s dan ssebaliknya. Sepanjang sisi ij, t = 0 dan
Substitusikan harga ɸi dan ɸj diperoleh s = 30. Sepanjang sisi km, t =2α =2, sehingga
Substitusikan harga ɸk dan ɸm diperoleh s = 1.2.
Gambar 3.11. koordinat titik nodal pada contoh ilustrasi 37
Gambar 3.12, Garis kontur 50oC Untuk mempeolah titik ketiga, asumsikan bahwa t = 2α = 1, sehingga
Substitusikan harga-harga nodal menghasilkan
Atau s = 1.64 Koordinat st untuk tiga titik dari atas kebawah masing-masing adalah (1.2, 2), (1.64, 1) dan (2,0). Koordinat xy untuk titik-titik ini adalah (6.2,5), (6.64, 4) dan (7,3). Jika tiga titik ditarik garis, maka akan menghasilkan garis yang tidak lurus ( lihat gambar 3.12). 3.4.
Persamaan “ Continuous Piecewise Smoth)” Persamaan elemen ɸ didefinisikan oleh (3.7) atau (3.16) dapat digunakan untuk elemen segitiga atau segiempat dengan member spesifikasi harga-harga numeric i,j, dan k atau i, j,k, dan m. setiap titik nodal pada elemen segitiga boleh digunakan sebagai nodal i. Tanda asterisk (*) pada gambar (3.13) digunakan untuk membedakannya dari titik-titik nodal yang lain. Titik nodal i pada elemen segiempat selalu berada pada titik asal sistim koordinat st. 38
Data nodal elemen untuk grid 4 elemen pada gambar (3.13) adalah
Gambar 3.13. Grid 4 elemen dengan nomor titik nodal
Persamaan interpolasi untuk elemen satu (1) adalah
Perlu diperhatikan bahwa nomor-nomor nodal elemen tidak lagi berurutan, tetapi mengikuti urutan yang ada pada gambar ( berlawanan jarum jam ). Fungsi-fungsi interpolasi (3.17) adalah fungsi koordinat global hanya dalam hal
39
Dan
Persamaan interpolasi untuk elemen empat (4) adalah
Fungsi-fungsi interpolasi (3.21) adalah fungsi koordinat global dan harga spesifikasi i,j dan k langsung menunjukan koordinat yang mana digunakan. Ambilah sebagai conntoh, ( )
. Dengan menggunakan ( 3.8) diperoleh
Dimana
Karena j = 3 dan k = 7. A adalah luasan elemen empat
40
BAB IV SISTEM-SISTIM KOORDINAT Semua penyelesaian elemen hingga memerlukan evaluasi integral. Kadang-kadang integral tersebut sangat mudah, akan tetapi kadang-kadang sangat sulit dan tidak mungkin diselesaikan secara analitis . tingkat kesulitan ini mungkin dapat dikurangi dengan mengubah variabel integrasi. Ini akan melibatkan integral dalam system koordninat yang baru. Tujuan dari bab ini adalah untuk mendiskusikan beberapa system koordinat dapat digunakan untuk mengurangi tingkat kesulitan sehubungan dengan integral integral elemen hingga. 4.1.
Sistem-sistem koordinat Lokal Fungsi-fungsi interpolasi linear dibahas dalam bab 2, dapat ditulis kembali sebagai berikut:
(4.1 )
Adalah untuk suatu elemen yang mana titik asal dari sistim koordinat disebelah kiri titik nodal i. persamaan diatas adalah persamaan umum yang berlaku untuk semua elemen linear yang satu dimensi tidak memandang lokasinya. Kelemahan fungsi interpolasi ini dapat terlihat ketika mengevaluasi integral-integral yang melibat perkalian fungsi-fungsi interpolasi seperti.
(4.2) Intergral serupa (4.2) akan terjadi pada permasalahan elemen hingga termasuk mekanika solid intergral (4.2) dapat disederhanakan dengan
menggembangkan fungsi-fungsi
interpolasi yang baru di definisikam sebagai sistim yang titik asalnya ditempatkan pada elemen. Tipe sistim ini disebut sistim koordinat lokal. Dua sisitim koordinat lokal yang paling umum elemen satu dimensi mempunyai titik asal titik nodal i atau pada titik pusat elemen (gambar 4.1). fungsi-fungsi intepolasi sisitem
41
ditemukan pada I diperoleh dari (4.1) dengan mengganti x dengan x =Xi + s. subtitusi ini menghasilkan
(4.3) Dan
(4.4)
Gambar 4.1. Sistem koordinat lokal untuk elemen satu dimensi Perlu diperhatikan fungsi-fungsi interpolasi sama dengan satu (1) pada titik nodalnya dan nol pada titik noda yang lain, sehingga jumlah pasangan fungsi intpolasi sama dengan satu.
42
Fungsi-fungsi intrpolasi untuk sistim koordinat ditempat pada titik pusat elemen diperoleh dari (4.1) dengan mengganti x dengan x = Xi + (L/2) + q. fungsi- fungsi terhadap titik asal ini adalah
(4.5) Diman variabel koordinat q berkisar dari -L/2 dan L/2. Fungsi-fungsi interpolasi (4.3) dan (4.4) demikian juga pasangannya adalah (4.5) hanya berguna jika perubahan variabel integrasi dilakukan. Formula perubahan variabel dapat dilakukan sebagai berikut
(4.6) Dimana p adalah variabel koordinat baru dan g (p) adalah fungsi yang menghubungkan x dan p, yaitu x = g (p). Interpolasi (4.6) relative terhadap sistim koordinat pada gambar 4.1 dapat dijelaskan berikut. Untuk koordinat s, dimana x = Xi + s
(4.7) Dimana h (s) adalah f (x) ditulis dalam ungkapan s. batas-batas integrasi diperoleh dengan mensubtitusikan Xi dan Xj untuk x dalam x = Xi + s dan selesaikan untuk s.
(4.8) Dimana r (q) adalah f (x) ditulis dalam ungkapan q. Manfaat persamaan (4.7) dan (4.8) jika dijumpai intergral seperti ∫
dx. Dengan
menggunaka variabel koordinat s, diperoleh 43
Dengan menggunkan variabel koordinat q, diperoleh
Hasil, L/3, diperoleh dari ∫ 4.2.
(x) dx setelah melalui prosedur yang cukup rumit.
Sistim-sistim koordinat Natural Sistim-sistim koordinat s dan q dapat dikonvermasikan menjadi sistim-sistim ko koordinat koordinat natural. Sistim koordinat natural adalah sistim lokal yang memungkinkan memberikan suatu titik salam elemen tak berdimensi, yang harga absolutnya tak pernah melampui satu. Mulai dengan koordinat q pada gambar 4.1 dan dibentuk perbandingan q/(L/2) = 2q/L=ᶓ bervariasi dari -1 dan =1 ( gambar 4.2a). fungsi-fungsi intepolasi dalm (4.5) dapat ditulis dala ungkapan ξ dengan mengganti q = ξL/2. Fungsi - fungsi interpolasi baru adalah
(4.9) Ubah variabel dalam integrasi, menghasilkan
(4.10) Dimana g (ξ) adalah r (q) ditulis dalam ungkapan ξ
44
Gambar 4.2. sistim koordinat natural untuk elemen satu dimensi Keuntungan variabel koordinat ξ adalah batas-batas integrasi dari -1 ke +1 kebanyakan program komputer menggunakan teknik integrasi numerik, yang mempunyai titik –titik sampling dan koefesien –koefesien pemberat didefinisikan pada interval -1 dan +1 Sistem koordinat natural yang lain terdiri sepasang perbandingan panjang, seperti ditunjukkan pada gambar 4.2b. jika s adalah jarak dari titik nodal i. kemudian l1 dan l2 didefinisikan sebagai perbandingan
(4.11) Pasangan koordinat ini tidak berdiri sendiri, karena
(4.12) Karasteristik (4.11) dan (4.12) yang terpenting adalah bahwa l1 dan l2 adalah indentik dengan fungsi-fungsi interpolasi didenfinisikan dalam persamaan (4.3) dan (4.4). manfaat dai koordinat ini adalah jika dijumpai tipe integral berikut ini 45
(4.13) Yang melibatkan hasil kali fugsi-fungsi interpolasi, karena pemyelesaiannya lebih sederhana. Aturan perubahan variabel dan hubungan dan hubungan Ni (s) = l1, Ni (s) = l2, s = L/2 dan ds/dl2 = L memberikan
(4.14) Integral pada sisi sebelah kanan persamaan di atas dapat diubah menggunkan (4.12), menjadi
(4.15) Integral dalam (4.15) bentuknya sama seperti
(4.16) Dimana fungsi Γ (n + 1) = n !, sehingga
(4.17) Persamaan (4.17) dapat membantu mempermudah solusi integral yang cukup sulit , dimana integral tersebut dapat dievaluasi dengan perrsamaan yang hanya melibatkan perkalaian panjang elemen berpangakat
46
Dari (4.12), diperoleh
Contoh lain adalah
4.3.
Elemen Segiempat Sistim korrdinat natural juga dapat diaplikasikan untuk elemen-elemen dua dimensi; keuntungan juga sama seperti pada elemen satu dimensi. Koordinat ini juga lebih sesuai baik untuk integral numerik maupun analitik.
Gambar 4.3. Sistim koordinat natural untuk elemen segiempat Sistim koordinat natural untuk elemen segiempat ditunjukkan ada gambar 4.3. titik asal ditempatkan pada titik pusat elemen dan koordinat nya merupakan perbandingan
(4.18)
47
Dimana q dan r koordinat lokal. Fungsi-fungsi interpolasi dalam (4.19) cukup mudah dikonversi menjadi sistim koordinat natural. Hasil nya adalah
(4.19) Disini harus jelas bahwa ξ dan η berharga antara -1 dan +1, yaitu
4.4.
Elemen Sigitiga (Koordiat Luasan) Sistim koordinat natural untuk elemen segitiga diperoleh dengan mendenfinisikan tiga perbandingan panjang L1, L2, dan L3 seperti ditunjukkan pada gambar 4.41. Masing masing koordinat adalah perbandingan jarak tegal lurus dari satu sisi, misal s, dengan tinggi h, pada sisi yang sama, seperti ditunjukan pada gambar 4.4b. masing –masing kooordinat adalah suatu perbandingan panjang yang bervariasi anatara nol dana satu. Garis garis konstan L1 seperti ditunjukkan pada gambar 4.4c
adalah garis paralel
terhadap sisi yang mana L1 diukur. Koordinat-koordinat L1, L2, dan L3 disebut dengan koordinat luasan karena harganya memberikan perbandingan luasan sub-daerah terhadapa luasan total daerah elemen segitiga. Sekarang pertimbangan titik B dalam gambar 4.5, luasan total segitiga adalah A dan diberikan oleh A=bh/2 , sedangkan luasan segitiga yang diarsir
(4.20) Perbandingan A1/A adalah
(4.21)
48
Gambar 4.4. Tiga koordinat luasan untuk elemen segitiga
49
Gambar 4.5. Segitiga dibagi menjadi luasan-luasan berkaitan degan koordinat luasan Koordinaata luasan L1 adalah perbandingan luasan terasir pada gambar 4.5 luasan total. Persamaan serupa dapat ditulis untuk L2, dan L3 sebagai berikut
(4.22) Karena A1 + A2 + A3= A, maka (4.23) Lokasi suatu titik dapat digunakan dengan menggunakan dua koordinat. Persamaan (4.12) dapat diubah menjadi bentuk lain, dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan dua
(4.24) Dengan menggunakan ekspansi determinan untuk 2A, menghasilkan
Atau
50
(4.25) Dimana x dan y adalah koordinat B pada gambar 4.5. Subtitusikan (4.25) ke dalam (4.24) diperleh
(4.26) Persamaan (4.26) adalah identik dengan (3.8), sehingga (4.27) Analisa serupa untuk L2 dan L3 diperoleh (4.28) Koordinat-koordinat luasan untuk elemen segitiga linear adalah identik dengan fungsi-fungsi interpolasi. Keuntungan menggunakan sistim koordinat luasan adalah bahwa keadaan suatu persamaan integrasi dapat disederhanakan dengan evaluasi integral luasan. Persamaan integral ini dihubungan dengan (4.17) adalah
(4.29) Pengumuman (4.29) dapat diilustrasikan dengan mengevaluasi perkalian fungsi interpolasi terhadap luasan segitiga
(4.30) Integral luasannya adalah
51
Koordinat-koordinat luasan L1 dan L2 masing-masinng dapat disubsitusikan dengan Ni dan Ny karena Nk tidak termasuk dalam perkalian, L3 disertaikan tetapi berpangkat nol. Sedangkan faktorial nol adalah satu. Inkorpoalsi kondisi-kondisi batas derivatif atau beban-beban permukaan ke dalam analisa elemen hingga memerlukan evaluasi integral sepanjang sisi elemen. Integl-integl ini mudah dievaluasi, jika sifat-sifat koordinat luasan diketahui. Pertimbangan titik B pada sisi if
(gambar 4.6). koordinat L3 dan L1 adalah nol dan L1 adalah perbandingan luasan
terarsir terhada luasan total. Definisikan variabel koordinat s, yang parallel terhdap sisi if dan diukur titik nodal i, jika koordinat titik B adalah s, dan panjang sisi adalah b, kemudian
(4.31) Koordinat luasan L2 adalah
(4.32) Koordinat-koordinat area L1 dan L2 tereduksi menjadi fungsi-fungsi interpolasi satu dimensi Ni (s) dan Nj (s) didefinisikan oleh (4.3) dan (4.4). dengan menggunakan koordinat-koordinat natural satu dimensi, l1 dan l2, didefinisikan oleh (4.11), koordinatkoordinat area menjadi (4.33)
52
Gambar 4.6. Koordinat luasan untuk sebuah titik pada sisi segitiga
Hubungan untuk sisi yang lain adalah (4.34) (4.35) Penting hubungan dalam (4.33), (4.34), dan (4.35) adalah bahwa setipa integral sepanjang sisi elemen segitiga dapat diganti dengan integral garis ditulis dalam ungkapan s dan l2, yaitu
(4.36) Dan dievaluasi menggunakan formula factorial (4.17). disini batas elemen dua dimensi diberi notasi Γ
53
Contoh Ilustrasi Evaluasi ∫Γ [N]TdΓ sepanjang sisi ik elemen segitiga linear Integral tersebut adalah
Karena fungsi-fungsi interpolasi segitiga dan koordinat-koordinat luasan adalah equivalen. Sepanjang ik, L1=l1, L2=0, dan L3=L2, sehingga dengan menggunakan (4.35), dan (4.17)
4.5.
Kontiyuitas Fungsi untuk pendekatan Ø (x,y) terdiri dari satu set persamaan “ continuous piecewise smooth”, masung-masing dibatasi oleh satu elemen tunggal. Perlunya mengintergrasi persamaan “ continuous piecewise smooth” ini adalah untuk menempatkan satu persyaratan pada order kontiyuitas antar elemen. Integral ∫
ⁿ
dx didefinisikan hanya jika
mempunyai kontiyuitas order (n-1).
Persyaratan ini memberei arti bahwa derivatif pertama fungsi pendekatan harus kontinyu antar elemen jika integral mengandung ungkapan derivatif ke dua, n = 2. Dalam bahan kuliah ini, kecuali untuk elemen-elemen beam, semua integral mengandung ungakapan derivatif pertama. Karena itu
harus kontinyu antara elemen, tetapi derivatif nya tidak
harus kontinyuitas dalam derivatif hanya diperlukan untuk elemen beam. Kontiyuitas
dalam elemen satu dimensi dijaminn, karean perbatasan dua
elemen mempunyai satu titik nodal umum (a common nodas). Kontiyuitas
sepanjang
batas umum antara dua elemen segiempat realatif mudah dibuktikan, sehingga tidak
54
dibahas disini. Sedangkan kontiyuitas
sepanjang batas umum (a common nodas) dua
elemen sigitiga lebuh sulit dibahas disini. Pertimbangkan dua elemen berbatasan (gambar 4.7) dengan asal sistim koordinat pada titik satu. Haraga-harga nodal adalah Φ1, Φ2, Φ3, dan Φ4. Persamaan –persamaan untuk
adalah
(4.37)
Gambar 4.7. Grid dua elemen Sifat-sifat fungsi interolasi menunjukkan N
( )
= N
( )
= 0 sepanjang batas umum.
Kesamaan antara fungsi interpolasi dan koordinat luasan (4.27) dan (4.38) memungkinkan (4.37) ditulis sebagai
(4.38) Ingat bahwa subskrip pada koordinat luasan tidak dihubungkan dengan nomornomor titik nodal. Karena L
( )
=L
( )
= 0 dengan menggunakan ( 4.23) maka (4.38) dapat ditulis
sebagai
55
(4.39) (1) (2) Pembuktian selesai jika L =L 1 1 (1) (2) Titik pada batas umum ditunjukkan pada gambar 4.8 dengan luasan-luasan L =L 1 1 diarsir. Definisikan jarak antara titik B ke titik nodal 3 sebagai c dan panjang sisi 1-3 sebagai b.
Dan
Pembuktian selesai
Gambar 4.8. Koordinat luasan L
(1) (2) =L panjang batas umum 1 1 56
BAB 5 GAYA AKSIAL PADA BATANG Metode elemen hingga dapat di aplikasikan untuk analaisis baik struktur distrik maupun kontinyu. Struktur distrik adalah struktur yang menpunyai batang-batang individu sepertipadda truss, beam dan frame kaku struktur kontinyu adalah struktur tipe plat, cangkang dan juga komponen-komponen mesin dan struktur yang harus di analisis menggunakan teori elastisitas. Disini hanya pendekatan prinsip energy potensial minimum akan digunakan.
5.1.
Model satu dimensi Gride elemen hingga untuk suatu system batang mendapat gaya aksial adalah identik dengan permasalahanyang akan di biacarakan pada bab II.struktur ini terdiri dari segmengaris lurus dengan titik-titik dimana saya ada perubahan sifat material atau luas penampang melintang.Dismping itu titik nodal juga harus ditempatkan dimana saja ada gaya luar. Ini dilakukan untuk menyederhanakankan kalkulasi ungkapan kerja ( work term) dalam persamaan energi potensial. Dengan menempatkan titik0tik nodal setiap ada gaya luar, kerja dilakukam oleh gaya itu dapat di tulis sebagai perkalian anatar gaya dan simpangan. Ide ini di ilustrasikan pada gambar 5.1, dimana system dibagi mejadi tiga elemen walaupun batang tidak mengalami perubahan sifat material atau luasan penampang lintang. Perbedaan menyolok antara grid batang mendapat gaya aksial dengan solusi pendekkatan pada (2.1) adalah konsep penghalusan grid. Solusi elemen hingga untuk simpangan pada strukturdistrik menghasilkan harga eksak. Tidak ad perbaikan hasildapat di peroleh dengan membagi masng-masing batang menjadi beberapa elemen. Masingmasing batang di wakili oleh sbuah elemen tunggal kecuali jika ada beban di aplikasikan pada ujung-ujungnya. Hasil perhitungan dalam analilsis elemen hingga untuk struktur dari distrik atau kontinyu adalah simpangan. Simpangan-simpangan nodal dan gaya-gaya ekesternal sering ditunjukan dengan anak panah ( gamabar 5.1). simpangan positif slalu dalam arah koordinat positif. Disin simpangan translasi dan rotasi diberi notasi U.
Gambar 5.1. Titik nodal di tempatkan pada setiap gaya eksternal 57
5.2.
Prinsip Energi Potensial Minimum Persamaan yang menghasilkan simpangan sambungan system struktur dapat diturunkan menggunakan prinsip energi potensial minimum. Prinsip energi potensial minimum menyatakan bahwa : diantara semua persamaan-persamaan displacement yang memenuhi persyaratan komptibilitas internal dan kondisi-kondisi batas , maka persamaan-persamaan displacement tersebut juga memenuhi peryaratan persamaanpersamaan kesetimbangan yang membuat energi potenisal minimum dalam suatu sistim yang stabil. Prinsip diatas mengimplikasikan hal-hal berikut : 1.
2. 3. 4.
Tulis persamaan simpangan untuk setiap batang.. persamaan ini harus kompatibel. Persamaan-persamaan ini mensyaratkan bahwa semua anggota batang tersambung secara kaku dan terotasi dengan besar yang sama untuk beam mempunyai derivative pertama kontinyu. Persatukan kondisi-kondisi batas (penumpu) sedemikian sehingga memenuhi semua persyaratan kondisi-kondisi tumpuan secara fisik. Tulis suatu persamaan untuk energy potensial dalam system struktur dalam ungkapan simpangan-simpangan yang belum di ketahui. Minimalkan energy potensial terhadap displacement yang belum di tentukan persamaan persimpangan-persimpangan.
Penyempurnaan empat langkah ini menunju suatu system persamaan keseimbangan untuk menyelesaikan simpangan-simpangan sambungan. Sekali simpangan sambungan diketahui, maka gaya internal atau momen setiap batang dapat di ketahui, maka gaya internal atau momen setiap batng dapat di hitung. Proses minimisasi jelas mengimplikasikan perlunya untuk menulis persamaan energi potensial dalam ungkapan-ungkapan simpangan. Energyipotensial dalam struktur elastis adalah energy yang mengandung distorsi elastic dan kapasitas beban-beban untuk melakukan kerja. Energy potensial mengandung distorsi elastis adalah regangan. Kapasitas suatu beban terkonsentrasi untuk melakukan kerja adalah P kali U, dimana P adalah beban terkonsentrasi dan U adalah simpangan. Gaya dan simpangan positif slalu mempunyai arah yang sama.
58
Energi potensail total pada batang yang mendapat gaya aksial (5.1) Dimana Λ Mewakili enegi regangan dan W adalah kerja dilakukan oleh gaya luar. Jika ada beberapa batang dan gaya luar (5.2) Dimana energi regangan merupakan jumlah dari elemen-elemen, n, dan kerja merupakan jumlah dari titik-titik nodal, p. tanda negative muncul pada ungkapan kerja karena masing-maasing gaya kehilangan kapasitasnya untuk melakukan kerja jika batang menyimpang pada arah dimana bekerja. Persamaan (5.2) digunaka dalam system-sistem dalam dalm bab ini. Ungkapan kerja dalam (5.2) melibatkan sebuah simpangan, tetapi energi regangan harus ditulis dalam ungkapan-ungkapan simpangan titik nodal.
5.3.
Persamaan Energy Regangan Persamaan yang memberikan energi regangan pada batang yang mendapat gaya batang aksial adalah
(5.3) Dimana
xx
dan ! xx mewakili komponen-komponen tegangan dan regangan.
Persaman ini dapat di tulis baik dalam ungkapan tegangan maupun regangan, dengan menggunakan bukum Hooke.
(5.4) sehingga persamaan (4.3) menjadi
(5.5a,b) 59
Dengan mengevaluasi satu dari integral dalam (4.5), maka persamaan energi regangan ditulis dalam ungkapan simpangan-simpangan titik nodal dapat diperoleh. Batang mendapat gaya aksial dimodelkan dengan sebuah segmen garis lurus (Gambar 5.2), dengan simpangan pada setiap ujung, Ui dan Uj. Apabila batang mempunyai luasan penampang melintang A; modulus elastisitas E; koefisien ekspansi panas α ; panjang L; dan gaya luar F(e), sedangkan dari mekanika dasar
(5.6) dimana exx adalah regangan total dan u adalah persamaan simpangan. Regangan total exx tidak sama dengan εxx dalam (5.5b), dan hubungannya adalah
(5.7) Regangan total adalah jumlah dari regangan elastis, εxx hasil dari aplikasi beban-beban dan regangan ini juga dihasilkan dari perubahan termal, εT, sehingga
(5.8) dan substitusi (5.6) menghasilkan
(5.9)
Gambar 5.2. Batang mendapat gaya aksial
60
Karena εT = αδT , dimana δT adalah perubahan suhu. Substitusikan (5.9) kedalam (5.5b) memberikan persamaan energy regangan
(5.10) Dimana incremental dv = dAdx dan integral-integral volume dapat
diganti dengan
(5.11) Asumsikan bahwa luasan penampang melintang adalah konstan, sehingga integral (5.10) menjadi
(5.12) Langkah terakhir adalah memilih persamaan simpangan. Harga konstan εxx mengimplikasikan bahwa simpangan aksial adalah persamaan linear. Bentuk umum dari persamaan linear seperti telah di jelaskan dalam bab 2 (2.6) adalah
(5.13) Dalam kasus ini, Xi = 0, dan Xj = L Derivatif persamaan simpangan adalah
(5.14) Karena du/dx adalah konstan, sehingga dapat dikeluarkan dari integral (5.12), dan integrasinya ,mengahsailkan 61
(5.15) Substitusikan (5.14) menghasilkan energy regangan untuk batang mendapat gaya aksial ditulis dengan ungkapan
(5.16) Simpangan-simpangan titik nodal adalah belum diketahui dalam persamaan energi regangan. Besarnya dapat ditentukan dengan mencari satu set harga yang membuat energj potenisal maksimum. Ungkapan terakhir (5.16) tidak terhubung dengan hargaharga nodal dan tidak muncul selama proses minimisasi, karena konstanta tidak mempengaruhi harga-haga terakhir, dan biasanya diabaikan dan (5.16) ditulis sebagai berikut.
(5.17) 5.4.
sistem batang-batang mendapat gaya aksial Aplikasi (5.17) dalam hubunganya dengan (5.2) diilustrasikan melalui suatu masalah yang terdiri dari tiga batang mendapat sepasang gaya aksial terkonsentrasi dan perubahan suhu(gambar 5.3) system tersebut di modelkan dengan tiga elemen dan empat titik nodal. Analisis masalah secara fisik menunjukan bahwa U1 = U4 = 0 karena tumpuan jepit dan P1 = P4 = 0, P1 = 10000 N, dan P3 = -20000 N (ingat gaya positif bekerja dalam arah yang sama seperti simpangan positif).
62
Gambar 5.3. system tiga batang mendapata gaya aksial Energy potensial sistim di berikan oleh (5.2) dengan n=3 dan p=4. Kebangkan (5.2) diperoleh (5.18) Atau
(5.19) Karena harga-harga U1, U2, P2, dan P3 diketahui, maka energi regangan untuk setiap batang di berikan oleh (5.17). informasi elemen diperlukan untuk (5.17) diringkas dalam tabel berikut
Gunakan informasi elemen dalam tabel, di peroleh
(5.20) 63
(5.21) Dan
(5.22) Persaamaan-persamaan untuk A(1) dan A(3) disederhanakan menjadi
(5.23) Dan karena U1 = U4 = 0, maka
(5.24) Substitusikan persamaan (5.21), (5.23), dan (5.24) kedalam (5.19) menghasilkan
(5.25) Atau
(5.26) Harga-harga U2 dan U3 yang membuat Π minimum adalah
(5.27) Dan
(5.28)
64
Selesaikan sepasang persamaan ini memberikan U2 = -0.0005900 cm dan U3= -0.003480 cm
(5.28)
Tanda-tanda negative menunjukan kedua titik nodal tersebut bergerak kekiri. Biasanya dalam menganalisis struktur diperlukan untuk menghitung tegangan dalam setiap batang. Gaya aksial setiap batang harus diketahui untuk melakukan ini. Gaya-gaya aksial dapat dikalkulasikan sekalim simpangan titik nodal di ketahui. Karena kalkulasi ini mungkin terjadi pada setiap analisis, maka lebih baik mempunyai persamaan umum yang di berikan gaya aksial dalam ungkapan simpangan-simpangan titik nodal.
Gaya aksial dalam suatu elemen adalah
(5.29) Dimana σxx adalah tegangan normal. Tegangan normal dapat di ungkapkan dalam tegangan normal dengan menggunakan hokum Hook sebagai berikut
(5.30) Dan
(5.31) Regangan normal di hubungkan dengan simpangan dan perubahan suhu oleh (5.19); sehingga
(5.32) Ganti ungkapan derivative du/dx dengan (5.14) memberikan
65
(5.33) Persaman (5.33) memberikan gaya aksial internal S(e) dalam ungkapan simpangan titik nodal dan perubahan suhu. Aplikasi persamaan (5.33) terhadap sistim dalam gambar 5.2 memberikan
Dan
Harga-harga negative untuk S(1), S(2) dan S(3) menunjukan bahwa setiap batang mengalami gaya tekan. Sambungan dua :
66
Sambungan tiga :
Gambar 5.4. diagram bodi bebas pada batang secara individu
67
BAB 6 FORMULASI ENERGI POTENSIAL Konsep suatu matriks kekakuan elemen dan vekktor gaya elemen banyak digunakan dalam motode kekakuan langsung, misal permasalahan mekanika struktur dan solid, untuk menyusun koefisien-koefisien [K] dan {F} tanpa menuliskan persamaan residu untuk setiap titik nodal. Penentuan matriks-matriks elemen mengeliminasi perlunya penulisan persamaan energi potensial. Dalam bab ini akan dibahas tentang matiks kekakuan dan vektor gaya untuk batang yang mengalami gaya aksial. 6.1.
Elemen Gaya Aksial Sistim persamaan berhubungan dengan formulasi energi potensial diperoleh dengan meminimalkan energi potensia. Jika kita asumsikan bahwa setiap simpangan tida diketahui
(6.1) Derivatif ini dapat ditulis dalam sebuah vector kolom. Derivatif II terhadap vektor simpangan-simpangan, {U}, adalah
(6.2) Masing-masing komponen dalam vektor ini mewakili saaatu persamaan tunggal. Energi potensial dalam satu sistim batang-batang mendapat gaya aksia/ diberikan oleh (5.2) dan ditulis kembal sebagai
(6.3)
68
Derivatif Π terhadap simpangan maya Uβ diperoleh
(6.4) Kontribusi elemen terhadap persamaan diatas terlihat dengan mengekspansikan persamaan (6.4)
(6.5) Energi regangan dalam elemen yang mendapatkan gaya aksial adalah
(6.6) Dan merupakan sebuah fungsi dari dua simpangan Ui dan Uj. Karena itu derivatif /∂U
β
∂Λ
adalah nol, kecuali untuk β = I atau β = j. jika energi regangan dalam elemen
tidak merupakan fungsi U β, maka elemen tiak memberikan kontribusi terhadap fungsi β. Kontribusi elemen terhadap sistim persamaan diperoleh dengan mengevaluasi derivatif Λ(e) terhadap Ui dan Uj. Ini akan mengahasilkan
(6.7a) Dan
(6.7b) Persamaan-persamaan dalam (6.7) dapat ditulis sebagai
(6.8)
69
Yang equivalen dengan
(6.9) Matriks kekakuan elemen adalah
(6.10) Dan vektor gaya elemen adalah
(6.11) Vektor {U(4)} dalam persamaan (6.9) mengandung simpangan-simpangan elemen {U(4)}T = [U1 U2]. Matriks-matriks elemen seperti diberikan oleh (6.10) dan (6.11) mudah deprogram dengan komputer dan juga mudah menentukan dimana masng – masing koefisien secara individu ditempatkan sistim final persamaan Vektor ∂Π / ∂{U} mewakili sistim persamaan
(6.12) Persamaan (6.8) meyatakan bahwa koefisien-koefisien dalam baris pertama dari [k(e)] dan [f(e)] ditempatkan dalam baris i dari [K] dan [F] karena ∂ Π / ∂ U 1, yang mana merupakan basis i dalam system final persamaan. Juga koefisien-koefisien pada baris kedua dari [k(e)] dan [f(e)] ditempatkan dalam baris j dari [K] dan [F], karena ∂ Λ / ∂U
1
memberi
kontribusi terhadap penjumlahan ∂ Π / ∂U1. Koefisien-koefisien [k(e)] ditempatkan dalam
70
kolom i dan j dari [K] karena koefisien-koefisien dalam kolom pertama dikalikan Ui, sedangkan kolom kedua dikalikan Uj.
6.2.
Sistim Batang-Batang mendapat mendapat Gaya Aksial Prosedur kekakuan langsungan diilustrasikan dengan menyusun sistim persamaan untuk tiga batang mendapat gaya aksial yang telah dianalisis dalam seksi 5.4. model elemen ditunjukan pada gambar 6.1. matriks kekakuan elemen diberikan oleh (6.10) dan vector gaya elemen diberikan (6.11). Data elemen adalah
Gambar 6.1. Sistim tiga batang mendapat gaya aksial
71
Matrik-matriks elemen adalah
Gunakan [K] dan [F] dengan nol-nol dan tambahkan koefisien-koefisien elemen satu, menghasilkan
Tambahkan harga-harga elemen dua, memberikan
Tambahkan harga-harga elemen tiga, menghasilkan
Penambahan elemen tiga menyelesaikan penjumlahan seluruh elemen, sehingga sistim final persamaan adalah
72
(6.13) Hasil final metode kekakuan langsung contoh diatas adalah merupakan suatu sistim empat persamaan. Walaupun demikian, dua dari persamaan berikut tersebut seharusnya tidak disertakan karena U1 dan U4 harganya telah diketahui, yaitu U1 = U4 = 0. Energy potensial hanya dapat diminimalkan terhadap simpangan-simpangan yang belum diketahui. Hilangakan basis pertama dan keempat, di peroleh
(6.14) Substitusikan harga-harga U1 dan U4 dan juga P1 dan P4 menghasilkan
(6.15) Yang hasilnya sama seperti diberikan pada (5.27). 6.3.
Formulasi Umum Matrik kekakuan elemen dan vector gaya yang telah dibicarakan diatas diperoleh dengan mendefinisikan persamaan energy regangan. Persamaan-persamaan energy regangan untuk elemen-elemen struktur yang lain lebih sulit dari pada (6.6). Ada suatu cara untuk mengembangkan [k(e)] dan [f(e)]. Bentuk umum persamaan-persamaan elemen hingga untuk formulasi energy potensial adalah
(6.16) 73
Matrik kekakuan global [K] dan vector gaya global [F] berasal dari kontribusi-kontribusi elemen, sedangkan vector gaya [P] hasil dari gaya untuk setiap kemungkinan simpangan. Vector gaya [P] ada untuk setiap permasalahan struktur dan mekanika solid. Energi potensial total dalam suatu sistim struktur terdiri dari jumlah kontribusi elemen dikurangi kerja dilakukan oleh gaya dan momen terkonsentrasi pada titik nodal.
(6.17)
Dimana r adalah jumlah simpangan total. Kuantitas Π(e) terdiri dari energy regangan elemen di kurangi dengan kerja pada elemen tersebut
(6.18) Persamaan β dalam sistim final adalah
(6.19) Dimana ∂ Π(e) / ∂U β = 0 kecuali β adalah satu dari simpangan-simpangan elemen. Kontribusi elemen terhadap persamaan β berasal dari evaluasi ∂ Π(e) / ∂U β. Kontribusi elemen terhadap sistim final persamaan dari evaluasi ∂ Π(e) / ∂{U(e)}, dimana {U(e)} mengandung simpangan-simpangan elemen. Kontribusi elemen adalah
(6.20) Penjabaran teoritis dalam struktur dan aplikasi mekanika solid menghasilkan Π(e) yang mempunyai matriks
74
(6.21) Dimana [A] adalah simetrik dan {C} adalah vector kolom. Fakta menunjukan bahwa [A] dan {C} dalam (6.21) adalah sebenarnya {k(e)} dan {f(e)}. Pendeferensial (6.21) terhadap {U(e)} dan mengunakan aturan-aturan matriks, dihasilkan
(6.22) Karena [A] = [A]T([A] adalah simetrik), maka
(6.23) Dari (6.20) dan (6.23) di peroleh [k(e)]] = [A]
dan
[f(e)]] = [C]
(6.24)
Matrik kekakuan elemen dan vector gaya langsung dapat diketahui, jika Π(e) di tulis dalam bentuk serupa dengan (6.21). sebetulnya relative mudah untuk menulis Π(e) dalam bentuk (6.21), jauh lebih mudah dari pada memperoleh persamaan Π(e) secara eksplisit dan kemudian mendeferensialkan persamaan ini terhadap simpangan-simpangan elemen. Persamaan energi regangan untuk batang mendapat gaya aksial, (6.8), mempunyai bentuk matriks sebagai
75
(6.25) Kuantitas-kuantitas elemen mudah didefinisikan dan cocok dengan persamaan (6.10) dan (6.11). 6.4.
Gaya-Gaya Internal Gaya-gaya internal bekerja pada ujung-ujung elemen struktur dapat dikalkulasi, jika simpangan-simpangan elemen diketahui. Gaya-gaya ini mudah dikalkulasi dengan menggunakan teorema Castigliano. Teoreman ini menyatakan bahwa
(6.26) Dimana S β adalah gaya yang bekerja pada arah simpangan U β. Jika U
β
adalah suatu
(e)
rotasi, maka S β adalah momen. Satu set gaya-gaya pada elemen, { S } diberikan oleh
(6.27) ( )
Dimana {"# } adalah kontribusi energy regangan {f(e)}. Gaya-gaya internal pada titiktitik nodal elemen dapat dikalkulasikan menggunakan matriks kekakuan elemen dan terpisah dari vector gaya elemen. Aplikasikan (6.27) terhadap elemen gaya aksial, memberikan
76
(6.28) Dimana $
( )
dan $
( )
adalah gaya-gaya aksial pada titik-titik nodal i dan j. harga positif
menunjukan bahwa gaya tersebut adalah searah dengan arah simpangan positif. Aplikasi (6.28) ditunjukan dalam contoh berikut.
Contoh Ilustrasi Tentukan gaya aksial internal dalam sistim dua batang mendapat gaya aksial di tunjukkan dalam gambar 6.1. Simpangan-simpangan titik nodal dua dan tiga telah dihitung dalam bab 5, (5.28), dan disini U2 = -0.0004900 cm
dan
U3 = -0.003480 cm
Parameter-parameter fisik untuk dua batang dua adalah AE / L = 4(106)
dan
AE α∂T = 33000
Substitusikan harga-harga ini, dan dari (6.28) diperoleh
77
Harga positif $ $
( )
( )
menunjukan bahwa arahnya samaseperti arah positif U2. Tanda minus
menunjukan bahwa arahnya berlawanan terhadap arah positif U3. Dapat disimpulkan bahwa
batang dua mendapat gaya batang kompresi.
78
BAB 7 TEORI ELASTISITAS Aplikasi metode elemen hingga terhadap permasalahan mekanika solid meliputi pemsalahan elastisitas, analisis pelat dan cangkang, bukling pada struktur, vibrasi-virbasi kontinum, sifat-sifat elastic-plastic dan analisa elastic viscous. Disini secara berturut-turut dalam tiga bab akan dibahas tentang permasalahan elastisitas. Dalam bab ini akan dipresentasikan darivasi umum persamaan-persamaan matriks elemen. Bab 8 membahas tentang elastisitas dua dimensi dan dalam bab 9 akan dibahas mengenai analisa kongfigurasi aksisimetrik.
7.1.
Tegangan, Regangan dan Hukum Hooke Teori elastisitas melibatkan beberapa konsep yang belum digunakan dalam bab sebelumnya. Kondisi tegangan dalam suatu titik didefinisiskan oeleh enam komponen tegangan yang ditunjukkan dalam gambar 7.1. komponen-komponen tegangan ini dihasilkan oleh gaya-gaya dalam mengimbangi gaya-gaya eksternal. Komponenkomponen tegangan adalah positif jika searah dengan sistim koordinat positif. Definisi serupa berlaku untuk komponen-komponen bekerja pada permukaan negatif. Enam komponen-komponen tegangan ditempatkan dalam vektor {σ}.
(7.1) Aplikasi gaya-gaya dan panas pada bodi solid menyebabkan bodi tersebut berdeformasi, dimana masing-masing titik dalam bodi bergerak menuju lokasi baru. Resultan simpangan mempunnyai tiga komponen u, v, dan w yang paralel terhadap aksisaksis x, y, dan z. enam komponen regangan didefinisikan untuk menunjukkan bagaiman sebuah bodi berdeformasi. Karena deformasi bodi dapat berasal dari gaya-gaya yang bekerja padanya dan atau perubahan-perubahan termal-termal, komponen regangan dipisah menjadi regangan elastic dan rengangan termal. Tiga set komponen-komponen regangan terdiri dari regangan total {e}, termal,{!% } adalah sebagai berikut
79
Gambar 7.1. Enam komponen tegangan bekerja dalam suatu titik
Regangan total (7.2) (7.3) Dan (7.4) Dimana α dan δT masing-masing adalah regangan koefisien ekspansi termal dan perubahan temperatut. Vektor-vektor dari tiga regangan mempunyai hubungan (7.5) Tegangan dan komponen-komponen regangan elastic dihubungan dengan dihubungkan dengan satu koefisien-koefisien yang dikenal dengan sebagai generalisasi hokum Hooke. (7.6) Koefisien-koefesien dalam matriks [C] adalah
80
(7.7) Dimana E adalah modulus elastic, µ adalah perbandingan poisson, dan a=2(l + µ). isen dalam matriks [D] adalah
(7.8) Dimana
(7.9)
Catatan bahwa [D] [C]=[C][D]=[I], dimana [I] adalah matriks identitas.
7.2.
Tegangan Simpangan Regangan Masing-masing komponen simpangan pada setiap titik adalah sebagai sebagai fungsi dar tiga arah koordinat yaitu : (7.10) Objektivitas dari analisa elemen hingga adalah untuk menentukan persamaan-persamaan berhubungan dengan f(x,y,z), g(x,y,z). pendekatan elemen hingga untuk fungsi-fungsi ini adalah kontiyu, persamaan-persamaan “piecewise smooth” didefinisikan untuk semua elemen-elemen secara individu. Persamaan-persamaan elemen tergantung pada jenis elemen yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan elastisitas, maka persamaanpersamaan simpangan dibiarkan dalam bentuk umum, yaitu
81
(7.11)
Dimana{U(e)} vektor kolom yang mengandung simpangan-simpangan titik nodal elemen. Matriks [N] mengandung fungsi interpolasi. Disini ada tiga baaris dan ada kolom-kolom sebanyak komponen dalam {U(e)} Kompnen-komponen regangan dalam{e} dapat dihubungkan dengan simpangan yang biasa disebut persamaan simpangan regangan, yang dapat ditulis sebagai
(7.12) Perlu diperhatikan bahwa persamaan di atas menghubungan tegangan total dan simpangan. Kebanyakan buku mempertimbangkan sebagai persamaan regangan elastis dan simpangan. Ini akan hanya jika regangan termal adalah nol. Persamaan (7.12) digunakan untuk memperoleh persamaan energi regangan pada seksi berikut. Untuk mengevaluasi ini perlu didefinisikan matriks umum [B] sebagai berikut (7.13) Matriks [B] mempunyai enam baris dan jumlah kolom banyak baris dalam {U(e)}.
7.3.
Matrik-Matriks Elemen Matriks kekuatan elemen dan gaya vektor elemen adalah kontribusi elemen terhadap sistim persamaan. Persamaan ini dapat di selesaikan dengan prinsip meminimalkan energi potensial. Energi potensial terdiri dari energi regangan didalam sistim dikurangi kerja yang dilakukan oleh gaya-gaya yang bekerja pada sistim. 7.3.1. Persamaan Energi Regangan Energi raganga dalam bodi elastisitas tiga dimensi adalah
(7.14) 82
Yang dapat ditulis sebagai (7.15) Komponen-komponen tegangan dapat diganti dengan menggunakan bentuk kedua dari (7.6), sebagai berikut
(7.16) Karena matriks [D] simetrik Energi regangan, Λ)e) harus ditulis dalam ungkapan simpangan. Akan tetapi sampingan titik nodal dihubungan denga komponen-komponen regangan total dan tidak dengan komponen-komponen regangan elastic. Dari (7.5) dapat diperoleh (7.17) Subtitusi {ε}ke dalam (7.17), diperoleh
(7.18) Ekspansi persamaan (7.18)
(7.19) Hasil kali [d] {εT} adalah merupakan vektor kolom, eleh karena itu
(7.20) Operasi matrik pada integral kudua dan ketiga dalam (7.19) adalah sehingga dapat dijulah.
(7.22)
83
7.3.2. Perssamaan Kerja Kerja dilakukan oleh beban-beban eksternal dapat dipisahkan menjadi tiga bagian, yaitu kerja akibat beban terkosentrasi, yaitu dihasilkan dari komponendari kompone-komponen tegengan bekerja pada permukaan luar beban-beban tedistribusi, Wp Kerja dilakukan oleh gay-gaya terkosentrasi adalah hasl kali {U(T)}{P} yang dapat diobservasi dari aplikas struktur. Minimisasi {U(T)}{P} menghasilkan vektor {P} dalam sistim persamaan final. Kerja dilakukann oleh gaya-gaya bodi X, Y, Z diberikan oleh
(7.23) Dimana u, v dan w adalah simpangan dalam komponen x,y,vdan z dalam elemen. Dengan menggunakan persaman (7.11) memungkinkan persamaan (7.23) ditulis sebagai
(7.24) Kerja dilakukan oleh-oleh beban terdistribusi yang bekerja pada permukaan adalah
(7.25) Dimana u, v dan w adalah komponen-konponen simpangan dan px, py dan pz adalah komponen-komponen tegangan paralel terhasapa arah koordinat x, y, dan z. persamaan (7.25) dan (7.23) adalah identik, aloeh karena itu
(7.26)
84
7.3.3. Matriks-Matriks Elemen Energi potensial dalam sistim elastic kontiyu tiga dimensi adalah
(7.27) Dimana (7.28) Subtitusikan (7.22), (7.24) dan (7.26) ke dalam (7.28), diperoleh
(7.29) Yang mana mempunyai bentuk yang sama seperti (6.21), dengan (7.30) Dan vektor gaya elemen aalah
(7.31)
7.4.
Komponen-komponen Tegangan Persamaan umum menghitung komponen-komponen tegangan dapat diperoleh
(7.32) Subtitusiakan (7.17), diperoleh
85
(7.33) Persamaan ini dapat ditulis dalam ungkpan simpangan-simpangan titik nodal elemen dalam (7.13). hasil final memberikan komponen-komponen tegangan sebagai fungsi simpangan titik nodal elemen dan vektor regangan termal (7.34)
86
BAB 8 ELASTISITAS DUA DIMENSI Teori elastisitas yang telah di bahas pada bab sebelumnya berhubungan dengan kondisi tegangan dalam bodi elastisitas tiga dimensi. Kasus khusus tentang permasalahan dua dimensi akan dibahas dalam bab ini. Pembahasan dibatasi pada elemen segitiga karena integralnya dapat di evaluasi relative mudah. Matriks elemen untuk elemen segiempat dan semua elemen berorder lebih akan dievaluasi dengan teknik integral numeric pada bab X. 8.1.
plane Stress dan plane Strain Reduksi dari permasalahan tiga dimensi ke permasalahan dua dimensi dapat terjadi melalui dua kondisi, yaitu kondisi plane stress dan kondisi plane strain. 8.1.1. Plane Stress Kondisi plane stress dikatakan ada jika bidi elastic adalah sangat tipis dan tidak ada pembebanan
pada arah kordinat parallel
terhadap ketebalan.
Komponen-komponen tegangan berhubungan dengan arah ketebalan, σzz, , σzx dan , σzy adalah sangat kecil sehingga diasumsikan sama dengan nol, jika ada pembebanan pada permukaan x-y (gambar 8.1) Substitusikan harga-harga nol untuk σzz, , σzx dan , σzy kedalam (7.1) menunjukan komponen-komponen yang tidak nol adalah σzz, , σzx dan , σzy. Vector tegangan dapat ditulis sebagai
(8.1)
Substitusikan harga-harga tegangan nol kedalam hokum Hook {ε}= [C] {σ}menggunakan (7.7) untuk [C] menunjukan bahwa
(8.2)
87
Regangan normal. εzz adalah tidak nol, dan regangan ini dapat dihitung, jika εxx dan εyy diketahui.
Gambar 8.1. bodi tipis dalam kondisi plane stress Dua regangan geser berhubungan dengan aksis-z juga sama dengan nol, sehingga vector regangan adalah
(8.3) Vector regangan total menjadi
(8.4) Sementara
(8.5)
88
Matrik [D], yang menghubungkan {σ} dan {ε}untuk plane stress, diperoleh dengan meghilangkan baris dan kolom tiga, lima, dan enam dari (7.7) dan menginvers sisa matriks 3x3. Hubungan final
(8.6) 8.1.2. Plane Strain Kondisi plane strain terjadi jika sebuah bodi tidak bebas berekpansi pada arah tegak lurus terhadap permukaan beban. Jika kita asumsikan bahwa gaya-gaya bekerja pada permukaan x-y, maka simpangan pada arah-z, adalah nol dan simpangan u dan v hanya sebagai fungsi x dan y saja. Hal ini menyebabkan ezz, exz, dan eyz sama dengan nol. Substitusikan harga-harga nol tersebut, maka vector regangan menjadi
(8.7)
(8.8) Dan
(8.9) Sementara
(8.10) Tiga vector diatas adalah identik terhadap apa yang telah terjadi pada kondisi plane stress. Vector tegangan (8.10) diperoleh dengan mensubstitusikan 89
σzz =σxz=σyz= 0 kedalam hukum Hooke {σ}=[D] {ε}, menggunakan (7.8) untuk [D].
perhatikan
bahwa
disini
kompenen-komponen
tegangan
belum
diketahui.Dalam hal ini σxz dan σyz adalah nol, sedangakan
(8.11) Matriks [D] dapat diperoleh dari (6.8) dengan menghilangkan baris dan kolom tiga, lima, enam.
(8.12) Dimana
(8.13) 8.2.
Persamaan-Persamaan Simpangan Ada dua simpangan belum diketahui dalam permasalahan elastisitas dua dimensi, yaitu u dan v. Simpangan parallel terhadap aksis-z, w adalah nol jika kondisinya plane strain dan sebagai fungsi u dan v jika kondisinya plane stress. Simpangan u dan v di modelkan sebagai elemen kontinum dengan mendefenisikan komponen dua simpangan pada setiap titik nodal (gambar 8.2) Model paling sederhana
unntuk u dan v adalah menggunakan variasi linier
unntuk setiap simpangan adalah elemen. Simpangan horizontal u didekati dengan
(8.13)
90
Sedangkan komponen vertical v diwakili oleh
(8.14)
Gambar 8.2. simpangan-simpangan titik nodal untuk elemen segitiga linier elastic Dalam setiap persamaan, Ni,Nj, dan Nk adalah fungsi-fungsi interpolasi dikembangkan dalam bab III dan diberikan oleh (3.8), (3.9) dan (3.10) Persamaan (8.13) dan (8.14) dapat ditulis dalam ungkapan semua harga titik nodal dengan menambah nol yang dikalikan simpangan-simpangan yang hilang.
(8.15) Dengan menggunakan notasi matriks, menghasilkan
(8.16)
91
Atau
(8.17) Dimana [N] adalah matriks 2x6 mengandung fungsi-fungsi interpolasi dan (e)
{U }mengandung simpangan-simpangan titik nodal elemen. Hubungan tegangan-regangan tiga dimensi (7.12) tereduksi menjadi
(8.18) Karena w adalah nol dan u dan v tidak merupakan fungsi z. substitusikan (8.13) kedalam (8.18), kemudian dideferensialkan, diperoleh
(8.19) Dimana koefisien-koefisien b dan c didefenisikan dalam bab III. Persamaan (8.19) mempunyai bentuk matriks
(8.16)
92
Atau
(8.21) Persamaan (8.21) mendefenisikan matriks gradient 3x6, [B] untuk elemen segitiga. Jumlah baris melampui dimensi dari permasalahan karena memang ada tiga komponnen simpangan yang belum diketahui dalam permasalahan dua dimensi.
8.3.
Matrik-Matriks Elemen Matriks kekakuan elemen diberikan oleh (7.30)
(8.22) Dimana [B] didefenisikan dengan (8.21) dan [D] dengan (8.6) atau (8.12). Integral ini siap dievaluasi karena [B] dan [D] terdiri dari ungkapan-ungkapan konstan. Hasilnya adalah
(8.23) Dimana t adalah tebal elemen dan A adalah luasan elemen. Hasil kali matriks [B]T[D][B] dapat dilakukan dengan computer. Harga t digunakan dalam (8.23) adalah tebal sesungguhnya untuk kondisi plane stress dan sama dengan satu untuk kondisi plane strain Vector gaya elemen di berikan dalam (7.31) setelah mengabaikan gaya bodi, Z dan tegangan permukaan pz. sedangkan dua komponen yang lain eksis dalam permasalahan dua dimensi. Hasil persamaan adalah
(8.24) 93
Dimana [N] didefinisikan oleh (8.17) Integral pertama dalam (8.24) mudah dievaluasi karena matriks-matriksnya hanya mengandung koefisien-koefisien konstan. Hasil integral adalah
(8.25) Perkalian matriks relative mudah dievaluasi, tetapi prosedur terbaik adalah dilakukan dengan computer. Catatan perkalian bahwa [B]T [D] juga terjadi dalam [k(e)], (8.23), sehinga ini dapat di evaluasi dalam DO-loop yang sama. Integral volume melibatkan gaya-gaya bodi adalah mudah dievaluasi jika fungsifungsi interpolasi diganti dengan equivalen koordinat luasannya. Integral gaya bodi adalah
(8.26) Integral (8.24) yang melibatkan tegangan permukaan px dan py harus diintegrasi sepanjang sisi elemen. Catatan bahwa dг = tdl2, sehingga integral menjadi
(8.27)
94
Dimana L adalah panjang sisi. Integral (8.27) mempunnyai tiga harga sisi yang berbeda, yang meliputi sisi ij, jk, ik. Asumsikan bahwa tegangan-tegangan permukaan bekerja pada sisi ij, (8.27) menjadi
(8.28) Akan tetapi, Nk adalah nol sepanjang sisi ij. Dengan menggunakan fakta ini dan substitusikan koordinat luasan untuk fungsi-fungsi interpolasi, menghasilkan
(8.29) Hasil persamaan (8.29) dapat diinterprestasikan bahwa kuantitas px tLij dan py tLij mewakili komponen-komponen gaya yang bekerja pada sisi ij. Evaluasi integral permukaan memberikan hasil serupa untuk sisi yang lain. Hasilnya adalah
95
(8.30) Masing-masing untuk sisi jk dan ik. Perlu diperhatikan bahwa px dan py adalah positif jika diarahkan pada arah-arah koordinat positif. Arah-arah positif ditunjukan dalam gambar 8.3
Gambar 8.3. Arah-arah tegangan permukaan positif.
96
Contoh ilustrasi Hitunglah matriks kekakuan elemen dan vector gaya termal untuk elemen plane stress ditunjukan dalam gambar 8.4. elemen mengalami kenaikan temperature 10oC. Matriks kekakuan elemen diberikan oleh (8.23) sebagai [k(e)] = tA[B]T [D] [B]. Gradien matriks [B] adalah
Gambar 8.4. Elemen elastic segitiga Dimana A = (3) (2) / 2 = 3 cm2 dan
Substitusi memberikan
97
Hukum Hooke dalam matriks [D], (8.6) adalah
Evaluasi [k(e)] dapat dimulai dengan mengevaluasi [B]T[D] karena perkalian ini juga terjadi saat mengevaluasi vector gaya termal.
( )
Vector gaya termal diberikan oleh (8.25) adalah {"& regangan adalah
}= [B]T[D]{εT}tA . vector
98
Gunaka perkalian [B]T[D] sebelumnya, di peroleh
8.4.
Tegangan- Tegangan Elemen Hasil yang di perlukan dalam permasalahan elastisitas adalah komponenkomponen tegangan bekerja pada bodi. Komponen-komponen tegangan dalam suatu elemen dapat dihitung, sekali simpangan-simpangan titik nodal elemen diketahui. Komponen-komponen tegangan diberikan oleh (7.34) menggunakan vector-vektor {σ},{ε}, {εT} seperti di defenisikan pada awal bab ini.
Contoh Ilustrasi Hitunglah komponen-komponen tegangan untuk elemen dalam gambar 8.4 jika simpangan titik nodal adalah
Komponen-komponen tegangan diberikan oleh {σ}= [D][B]{U(e)}-{εT}. Dengan menggunakan [B],[D], dan {εT} pada contoh ilustrasi yang berhubungan dengan gambar 8.4, di peroleh
99
Dan
Komponen-komponen tegangan adalah
Komponen-komponen tegangan adalah konstan dalam elemen linier. Harga ini diasumsikan pada titik pusat elemen segitiga. Harga-harga yang konstan ini merupakan kelemahan dari elemen linier.
100
BAB 9 ELASTISITAS AKSISIMETRIK Dalam bab inni akan dibahas tentang benda putar dengan pembahasan aksisimetrik. Bendanya adalah tiga dimensi, tetapii geometri benda dan pembebanan tidak merupakan fungsi arah keliling, sehingga benda dapat di analisis menggunkan teknik dua dimensi. Aksisimetrik elemen hingga diperoleh memutar elemen segitiga linear melalui 360 untuk membentuk torus segitiga. Integral-integral elemen untuk permasalahan aksisimentrik kelihatannya sangat serupa terhadap permasalahan dua dimensi, akan tetapi proses evaluasi da hasil cukup berbeda. Dalam bab ni akan dibicarakan permasalahan-permasalahan elastisitas aksisimetrik dan memberikan ulasan tentang perbedaannya dengan permsalahan dua dimensi. 9.1.
DEFIFNI DALAM KOORDINAT SILINDRIS Permasalahan aksisimetrik bias diselesaikan menggunkan sistim koordinat silidris, dengan koordinat r, θ, z (gambar 9.1) Vektor komponen-komponen tegangan adalah
(9.1) Komponen-komponen regangan total
(9.2) Dan komponen-komponen regangan toal
(9.3) Vektor regangan termal tetap sama seperti persamaan (7.4). sedangkan [D] dalam ukuran hokum Hooke {σ} = [D] {ε}, adalah matriks didefinisikan dalam (7.7). hubungan (7.5), {e}={ε}+{εT} juga masih berlaku. Komponen-komponen gaya bodi dalam (7.23) dan komponen-komponen teganan permukaan masing-masing adalah {R T Z}T dan {Pr P6 Pz}.
101
Gambar 9.1. Komponen-komponen teganan dalam sistim koordinat silindris Persamaan-persamaan yang mendefinisikan hubungan antara regangan-reganan total dan simpangan u, v, dan, w
(9.4) Diman u, v, dan, w masing-masing adalah simpangan dalam arah r, θ, dan z. Derivasi persamaan-persamaan untuk matriks elemen dalam koordinat silindris sama seperti pada seksi 7.3. dan hasil adalah identik.
(9.5) Dan
(9.6) Koefisien-koefisien actual dalam [B] tentu saja berbeda karena persamaan regangan simpangan (9.4) tidak sama dalam (7.11). 102
9.2.
Elastisitas Aksisimetik pada permsalahan aksisietrik simpangan keliling v, adalah nol, sedangkan simpangan u dan w hanya sebagai fungsi r dan z. bentuk umum persamaan simpangan adalah (9.7) apabila u dan w tidak sebagai θ, maka persamaan regangan simpangan menjadi (9.4) menjadi
(9.8) Ada empat komponen regangan total tidak nol. Harga erθ dan eθz menyebabkan regangan εrθ = εθz = 0, sehingga dapar diperoleh (9.9) (9.10) Dan
(9.11) Subtitusikan harga εrθ = εθz = 0 ke dalam hokum Hooke, {σ}= [D] {ε} menyebabkan bahwa σrθ = σθz = 0 dan ada empat komponen tegangan tidak nol. Vektor komponen tegangan adalah (9.12) Komponen-komponen tegangan adalah ditunjukkan pada gambar 9.1. matriks sifat material [D] dalam hokum Hooke berkurang menjadi
(9.13) Dimana
103
Vektor gaya bodi vektor-vektor tegangan permukaan masing-masing berubah menjadi
(9.14) 9.3.
Matriks-Matriks Elemen Simpangan-simpangan yang belum diketahui dalam permasalahan aksisimetrik adalah u dan z. simpangan-simpangan ini dapat ditulis dalam ungkapan harga-harga titik nodal elemen serupa dengan (8.15). persamaan-persamaan simpangan adalah
(9.15) Atau
(9.16) Fungsi-fungsi interpolsi adalah identik dengan (3.8) sampai (3.10) dengan mengganti x dengan r dan y dengan z,]. Persamaan Ni adalah
(9.17) Dengan ai = RjZk-RkZj, bi=Zj-Zk, dan ci= Rk-Rj. Deferensiasi (9.15) menghasilkan
menggunakan
hubungan
regangan-simpangan
dalam
(9.8)
(9.18) Koefisien matriks dalam (9.18) adalah [B], karena {e}=[B] {U(e)}. 104
Evaluasi integral-integral elemen ternyata tidak sesimpel yang terjadi pada permsalahan dua dimensi. Matriks [B] mengandung ungkapan-ungkapan yang merupakan fungsi koordinat dan tidak dapat diketahui dari integral. Biasanya dibuat [B] konstan dengan mengevaluasi ungakapan 2 AN/β/r menggunakan '̅ dan )̅. Dengan memungkinkan [B] keluar sari integral (9.19) Integral diatas adalah volume elemen yaitu, V=2*'̅ A ; sehingga persamaan akhir untuk [k(e)] adalah (9.20) Tanda bar diatas [>? ] menunjukkan harga pendekatan. Persamaan (9.20) menghasilkan hasil yang dapat diterima jika digunakan ukuran elemen cukup kecil, sehingga distribusi tegangan pada daerah dengan gradien tegangan tinggi dapat dicapai. Vektor kolom berhubungan dengan perubahan termal dikerjakan denga cara yang sam, karena [B] terjadi dalam integral. Solusi pendekatan adalah
(9.21) Integral volume melibatkan gaya-gaya bodi dappat diintegral kan secara eksa dengan menggunakan koordinat luasan, sebagai berikut
(9.22) Dimana telah 2*rdA distribusi untuk dV. Jarak rasial r dapat juga ditulis dalam ungkapan koordinat luasan (9.23) Dan distibusikan ke dalam (9.22). subtitusi ini menghasilkan perkalian tipe L1L2 dan L
2 1
yang dievaluasi dengan (4.29). hasil akhir adalah
105
(9.24)
Dimana 3'̅ = Ri + Rj +Rk. Persamaan (9.24) tidak mendistribusikan R atau Z secara sama antara tiga titik nodal. Titik nodal terjauh dari pusat perputaran memeroleh bagian gaya bodi terbesar. Integral-integral yang melibatkan tegangan permukaan juga dievaluasi menggunakan koordinat luasan . integral tersebut adalah
(9.25) Diman pr dan ps tegangan permukaan dalam arah r dan z. misalnya diambil dari antara titik nodal i dan j yang berarti Nk = 0, maka
(9.26) Dimana dΓ = 2*dl2. Subtitusikan (4.29) ke dalam (9.26), maka kemudian dievaluasi menggunakan (4.29), diperoleh
(9.27) Persamaan (9.27) dapat diaplikasikan pada setiap permukaan. Untuk permukaan vertical, dimana R1 = R2 = R3 diperoleh
106
(9.28) Komponen tegangan dikonversi menjadi gaya dan terdistribusi secara sama antara titik nodal. Ini identik dengan hasil yang diperoleh untuk permasalahan dua dimensi. Sebaliknya, untuk permukaan horizontal, Ri ≠ Rj, proposi gaya yang lebih besar diberikan pada tittik nodal dari putaran. Penyelesaian pada sisi Ljk dan Lik menghasilkan
(9.29) 9.4.
Gaya-Gaya Permukaan Tegangan permukaan Pr an Pz tidak dapat dilakukan =, jika permukaan tidak diketahui, kita ilustrasi hal ini dengan contoh sederhana sebuah silinder mengalami pembebanan kompresi aksial. Pertimbangan silinder seperti ditunjukkan dalam gambar 9.2a dengan sub-divisi elemen dalam gambar 9.2b. asumsikan hanya sisi jk setiap elemen mengalami (A) pembebanan; kemudian { f } diberikan oleh (9.29) B
Ekstra nol diakibatkan oleh pr = 0 Data yang diperlukan untuk komputasi adalah sebagai berikut :
107
Gaya-gaya bekerja pada titik-titik nodal elemen adalah
Gambar 9.2. Beban terdistribusi merata bekerja pada ujung silinder
108
Gambar 9.3. (a) Kontribusi elemen tehadap gaya titik nodal (b) Gaya-gaya titik nodal Subtitusikan Rj dan Rk pada setiap elemen memberikan
Gaya-gaya ini ditunjukkan dalam gambar 9.3a. gaya-gaya final pada titik nodal ditunjukkan dalam gambar 9.3b, atau dapat ditulis sebagai
Disini jelas bahwa gaya terkosentrasi besarnya tidak sama.
109
BAB 10 FUNGSI-FUNGSI INTERPOLASI ELEMEN Elemen-elemen variasi linear dalam harga-harga titik nodal telah digunakan dalam babbab sebelumnya. Metode elemen hingga tidak dibatasi pada penggunaan elemen-elemen linear. Kebanyakan program elemen hingga komersial memungkinkan pemakai memilih jenis elemen baik mempunyai fungsi interpolasi linear maupun kuadratik. Elemen kuadratik bermanfaat karena dengan akurasi yang sama diperlukan jumlah elemen yang lebih sedikit; selain itu elemen-elemen kuadratik dua dimensi dapat digunakan untuk model yang mempunyai batas melekung. Penggunaan elemen-elemen kuadratik tidak selalu mereduksi total waktu komputasi. Teknik integrasi numeric digunakan unutk mengevaluasi matriks-matriks elemen, dan teknik ini dapat melibatkan jumlah komputasi yang besar. Dalam bab ini akan dibahas elemen-elemen satu dan dua dimensi, sedangkan teknik integrasi numeric akan dibicarakan daam bab 11. 10.1.
Penomoran Titik Nodal Lokal Penomoran titik nodal sehubungan dengan bertadak bertambahnya jumlah elemen tidak sesuai lagi dengan huruf. Prosuder standar adalah dengan memberikan notasi setiap elemen denga suati integral. Sistim elemen adalah seperti ditunjukkan pada gambar 10.1. Penomoran titik nodal elemen disebut penomoran titik nodal lokal dan seharusnya tidak membingungkan dengan penomoran titik nodal global. Pertimbangan grid dalam gambar 10.2, yang menunjukkan sebagai penomoran titik nodal global. Penomoran ini juga disusun setiap elemen seperti pada table 10.1. persamaan-persamaan untuk setiap elemen adalah
(10.1)
110
Gambar 10.1. Penomoran titik nodal lokal. (a) Elemen sati dimensi, (b) elemen segitiga, (c)elemem kuadratik
Gambar 10.2. Penomoran titik nodal global untuk grid tiga dimensi
111
Harga-harga titik nodal, Φ mempunyai nomor titik nodal global seperti tertera pada subkrip, tetapi fungsi interpolasi dikembangkan relative sistim koordinat natural didefinisikan dalam elemen.
Tabel. 10.1. Penomoran titik nodal global untuk elemen-elemen dalam gambar 10.2
10.2.
Evaluasi Fungsi-Fungsi Interpolasi Fungsi-fungsi interolasi linear satu dimensi telah dievaluasi pada bab 2, dan fungsi-fungsi interpolas untuk elemen segitiga dan segiempat telah dievaluasi pada bab 3. Dalam setiap kasus, sistim persamaan diselesaikan untuk koefisien-koefesien yang belum diketahui. Koefisien-koefisien tersebut kemudian disubtitusikan ke dalam persamaan interpolasi. Prosedur ini cukup rumit jika aplikasikan pada sejumlah koefisien yanga belum diketahui. Prosedur alternative untuk menurunkan fungsi interpolasi adalah dengan mengasumsikan bahwa setiap fungsi interpolasi adalah merupakam suatu perkalian dua fungsi. Dimana Fβ adalah fungsi yang harganya nol pada titik-titik nodal spesifik dan atau pada sisi spesifik, dan Gβ dipilih sedemikian sehingga Nβ mempunyai pangkat yang sama dari variabel koordinat sebagai fungsi interpolasi. Fungsi pertama Fβ biasanya merupaka suatu perkalian dua atau lebih polinomal-polinomal sederhana. Fungsi ke dua, Gβ mengandung koefisien-koefisien belum diketahui yang evaluasi dengan persyaratan Nβ berharga satu pada titik nodalnya sendiri dan berharga nol pada titik-titik nodal yang tidak termasuk dalam Fβ . Metode ini didasarkan pada tiga sifat berikut ; 1. Setiap fungsi interpolasi mempunyai harga satu pada titik nodalnya sandiri dan nol pada titik-titik yang lain. 2. Fungsi interpolasi untuk elemen dua dimensi berharga nol sepanjang masingmasing sisi yang tidak menyentuh titik nodal yang dimaksud. 3. Setiap fungsi interpolasi mempunyai tingkat polynomial yang sama dengan persamaan interpolasi.
112
Semua fungsi interpolasi dikembangkan dalam bab ini berdasarkan sistim koordinat natural. Alasan adalah bahwa teknik-teknik integrasi numerik yang paling popular untuk mengevaluasi matriks elemen menggunakan sistim koordinat natural. 10.3.
Elemen Satu Dimensi Fungsi-fungsi interpolasi untuk elemen linear satu dimensi relative terhadap sistim koordinat ξ dikembangkan dalam bab 4. Fungsi interpolasi tersebut adalah (10.3) Fungsi interpolasi ini mempunyai bentuk umum (10.2), jika Gβ adalah konstan. Persamaan interpolasi untuk elemen kuadratik satu dimensi (gambar 10.3a) adalah
(10.4) Untuk mengevaluasi NI, kita pilih Fβ = ξ(ξ-1) karena fungsi adalah nol pada titiktitik nodal dua dan tiga. Ini merupakan perkalian dua fungsi seperti ditunjukkan pada gambar 10.3b. karena Fβξ(ξ2-1), berarti mengandung ungkapan ξ dan ungkapan kuadratik ξ2, Gβ harus konstan. Karena itu,
(10.5) Tetapi N1 = I pada titik nodal satu (ξ = -1); sehingga
Dan
(10.6) Sedangkan F2 (ξ) adalah
(10.7)
113
Dan F3 (ξ) adalah
(10.8) Persamaan-persamaan fungsi interpolasi menjadi
(10.9)
Gambar 10.3. (a) Elemen kuadratik satu dimensi (b) Fungsi-fungsi ξ yang berharga nol pada titik-titik 10.4. Elemen-Elemen Segitiga Fungsi-fungsi interpolasi untuk elemen segitiga linear dalam ungkapan koordinat area telah dikembangkan dalam bab 4, yaitu (10.10) Fungsi-fungsi interpolasi adalah koordinat luasan. Setiap fungsi interpolas adalah linear dalam x dan y, yaitu, N1=a1 +b1 + ciy. kemudian setiap luasan juga linear dalam x dan y. Persamaan interpolasi untuk eleen segitiga kuadratik (gambar 10.1b) adalah (10.11) Persamaan ini adalah equivalen dengan (10.12)
114
Karena masing-masing ungkapan dalam kurung adalah linear dalam x dan y dan perkaliannya mengandung ungkapan x2, xy dan y2 yang terjadi dalam (10.11). Persamaan fungsi interpolasi harus mempunyai bentuk sama seperti persamaan diatas, karena itu (10.13) Dimana (La – da) dan Lδ-dδ) menunjukkan dua garis yang melalui semua titik nodal kecuali titik nodal β. Konstan C dievaluasi dengan persyaratan bahwa Nβ berharga satu pada titik nodal β. Kita coba evaluasi Nl. kita cari dua garis yang melalui semua titik-titik nodal kecuali titik nodal satu. Garis-garis ini diperhatikan pada gambar 10.4, dimana Ll =0 dan Ll = 1/2 . fungsi (10.13) karena itu menjadi (10.14) Koordinat Ll pada titik nodal satu adalah Ll = I, sehingga
Dan
(10.15)
Gambar 10.4. (a) Dua garis melaui semua titik nodal kecuali titik nodal Satu (b) Dua garis melalui setiap titik nodal kecuali titik nodal dua
115
Gambar 10.5. fungsi-fungsi interpolasi kuadratik untuk elemen segitiga Dua garis yang melalui setiap titik nodal kecuali titik nodal dua adalah L1 = 0 dan L2 = 0 (gambar 10.4b), sehingga
(10.16) Koordinat titik nodal dua adalah L1 = L2 = ½ dan
(10.17) Fungsi-fungsi interpolasi diberikan dalam ungkapan dua koordinat, L1 dan L2 karena L3 tidak merupakan koordinat yang berdiri sendiri.
10.5.
Elemen Quadrilateral 10.5.1. Elemen Quadrilateral Linier Fungsi-fungsi untuk interpolasi untuk empat titik nodal, elemen quadrilateral linier telah dibahas dalam bab 3 dan diberikan dalam koordinat natural dalam (4.19). fungsi-fungsi interpolasi adalah
(10.18) 116
Gambar 10.6. fungsi-fungsi yang berharga nol sepanjang sisi elemen quadrilateral Catatan bahwa fungsi-fungsi diatas mempunyai bentuk seperti diberikan dalam (10.2), jika Gβ dan Fβ teridiri dari perkalian fungsi sederhana yang berharga nol pada sisi-sisi elemen. Fungsi ini ditunjukan pada gambar (10.6)
10.5.2 Elemen Lagrangian Satu dari elemen-elemen kuadrilateral kuadratik yang tersedia untuk komputasi elemen hingga adalah elemen dengan Sembilan titik nodal seperti ditunjukan pada gambar 10.7.elemen ini disebut dengan elemen lagrangian karena fungsi-fungsi interpolasi merupakan perkalian dari fungsi-fungsi interpolasi Lagrangian satu dimensi. Fungsi Lagrangian ini adalah sama seperti pada (10.6) dan (10.9). sebagai contoh
(10.19)
117
Fungsi-fungsi interpolasi secara keseluruhan adalah
(10.20)
Gambar 10.7. elemen kuadrilateral Lagrangian dan fungsi interpolasi kuadratik satu dimensi Perkalian faktor-faktor dalam setiap fungsi interpolasi menunjukan bahwa bentuk umum untuk Φ adalah
(10.21)
118
10.5.3. Elemen Kuadratik Delapan Titik Nodal Persamaan interpolasi untuk elemen quadrilateral kuadratik delapan titik nodal seperti ditunjukan dalam gambar 10.8 (10.22) Yang identik dengan (10.21) kecuali untuk ungkapan terakhir, yang dihilangkan karena memang elemen ini satu titik nodal lebih sedikit. Fungsi interpolasi mempunyai bentuk umum Nβ = Fβ( ξ,η) Gβ ( ξ,η). Fungsi pertama Fβ( ξ,η) dipilih sedemikian sehingga Nβ adalah nol pada setiap sisi yang tidak menyentuh titik β. Fungsi kedua Gβ ( ξ,η) didefinisikan setelah Fβ( ξ,η) diketahui.koefisien-koefisien Gβ ( ξ,η) ditentuka dengan persyaratan Nβ adalah nol atau satu pada titik-titik nodal yang tidak termasuk dalam Fβ( ξ,η). Missal kita evaluasi N1, Karena tidak nodal satu tidak menyentuh 3-4-5 atau 5-67, maka
(10.23) Fungi G1( ξ,η) harus mengandung tiga ungkapan karena kondisi-kondisi untuk N1 pada titik nodal satu, delapan dan dua belum terpenuhi. Persamaan untuk G1( ξ,η) adalah N1 = 1
jika
ξ =-1
dan
η =-1
N1 = 0
jika
ξ =-0
dan
η =-1
N1 = 0
jika
ξ =-1
dan
η =-0
119
Gambar 10.8. Elemen quadrilateral kuadratik delapan titik nodal
Substitusikan kondisi-kondisi ini ke dalam (10.24) menghasilkan
Yang mana kalau diselesaikan C1 = C2 = C3 = ¼. Fungsi interpolasi menjadi
(10.25) Fungsi-fungsi perkalian Fβ( ξ,η) dan Gβ ( ξ,η) mempunyai bentuk umum sama untuk setiap titik nodal di sudut elemen. Empat titik nodal berada pada tengah sisi juga mempunyai bentuk serupa. Misal kita tinjau N2, persamaan umum dapat ditulis sebagai berikut
(10.26) Dimana
(10.27) 120
Persamaan (10.27) adalah nol pada setiap titik nodal kecuali pada titik nodal dua; karena Gβ ( ξ,η) hanya terdiri satu ungkapan karena hanya kondisi itu yang memenuhi N2 = 1 pada (0,-1). Jika Gβ ( ξ,η) mengandung salah satu ξ dan η, kemudian ungkapan ξ3, ξ3η, ξ2η2 terjadi dalam perkalian F2( ξ,η) G2 ( ξ,η). Karena ungkapan-ungkapan ini tidak ada dalam (10.22), maka dapat disimpulkan bahwa G2 ( ξ,η) = C, maka
Atau C = ½ , dan fungsi interpolasi adalah
(10.28) Fungsi interpolasi untuk elemen quadrilateral kuadratik delapan titik nodal keseluruhan adalah
(10.29)
121
BAB 11 TRUSS ELEMEN Kontruksi rangaka batang dengan ujung-ujungnya ditumpu sendiri 11.1.
Model Struktur
Kondisi batas U1=U2=U4=0
Penyusun elemen matriks elemen : Energi regangan batang :
(11.1) Dimana vector simpangan {U(e)}: (11.2) 122
Sekarang dicari hubungan antara ȗ(e) dan U(e) dari gambar di peroleh :
(11.3) Persamaan (11.3) dapat ditulis :
(11.4) Atau (11.5) Dengan
(11.6) Persamaan (5) disubstitusikan ke persamaan (1) : (11.7) Disini dapat dikenali bahwa : (11.8) Dan (11.9) Dari bab sebelumnya persamaan (8) dan (9) menjadi
(11.10)
123
Dan
(11.11) C = cosθ
dan
S= sinθ
Gaya aksial
(11.12) Atau
(11.13) Contoh
Tentukan gaya tiap-tiap batang
124
Kondisi batas : U1= U2 = U4= 0 P1= P2= P3=P4= P5= 0 P6= -100 Kn Dari persamaan
Harga-harga koefisien didalam matriks batang elemen dapat ditulis :
Pengukuran θ :
125
i= 1 ; j=3
i=1 ; j=2
i=3 ; j=2
matriks setiap elemen :
Kemudian dijumlahkan :
126
Karena U1= U2= U4=0, maka koefisiensiens matriks pada baris 1,2 dan 4 dapat dihilangkan sehingga :
U3= -0,1020 cm
U6= -1,930 cm
U5= 2,500 cm Gaya aksial batang satu i;1 dan j=3
Batang dua : i=1, j=2
Batang tiga; i=3, j=2
127
128
BAB 12 ELEMEN BEAM Setiap batang yang mengalami beban transversal disebut dengan beam. Akibat ada nya beban tranversal ini pada setiap titik nodal mungkin terjadi simpangan vertical dan rotasi 12.1.
Struktur Model Sebuah beam dengan panjang L dan kekakuan EI, pada titik-titik nodalnya terjadi simpangan vertical translasi masing-masing sebesar U2i -1 dan U2j-1, dan rotasi masingmasing sebesar U2i dan U2j, dapat digambarkan sebagai berikut :
Gambar 12.1. Elemen beam dan nodal yang berpindah Simpangan translasi bertanda positif pada arah y positif. Rotasi positif pada arah berlawanan jarum jam. Vektor elemen simpangan titik nodal adalah (12.1) Dimana nomor genap untuk rotasi, sedangkan nomor ganjil untuk translasi. Gaya luar yang bekerja pada beam dapat berupa gaya vertical terkosentrasi atau momen terkosentrasi. Pembeian tanda pada gaya luar sama seperti pada simpangan . Petunjuk penempatan titik nodal : 1. 2. 3. 4. 5.
Pada setiap tumpuan Pada setiap ujung beam Dimana saja, saat terjadi perubahan EI Diman saja, saat terjadi gaya/momen terkosentrasi Diman saja, harga simpangan diperlukan
129
Contoh Ilustrasi
Gambar 12.2. Elemen dan nodal berpindah dari spesifik beam
12.2.
Persamaan Energi Regangan Energi potensial total untuk beam kontiyu dengan n elemen adalah
(12.2) Dimana u = vektor simpangan titik nodal P = vektor gaya luar Untuk meminimalkan *, dimana Λ(e) harus ditulis dalam fungsi simpangan titik nodal. Disini ada 2 proses : 1. Penurunan persamaan energi regangan 2. Penurunan Persamaan defleksi Penurunan persamaan energi regangan
(12.3)
130
Asumsikan bahwa kontribusi tegangan geser (τxy) diabaikan. Regangan total pada beam adalah
(12.4) Jika tidak ada perubahan suhu, exx = εxx, dari persamaan (12.3) dan (12.4) diperoleh :
(12.5) Sedangkan dv = dA dx, maka persamaan (12.5) dapat ditulis :
(12.6) Dimana ∫A y2dA = momen inersia luasan = I, sehingga
(12.7) Persamaan ini merupakan persamaan energi regangan sebagai fungsi defleksi beam. 12.3.
Penurunan Persamaan Defleksi Persamaan diferensial untuk defleksi beam dapat ditulis
(12.8) Dimana : w(x) = gaya terdistribusi Kondisi batas untuk beam adalah :
(12.9)
131
Kondisi batas
titik nodal ini mempunyai kesesuaian dengan persamaan
diferensial order 4 (persamaan 12.8). jika kita asumsikan tidak terjadi beban terdistribusi maka :
(12.10) Yang mempunyai penyelesaian umum : (12.11) Sekarang diaplikasikan kondisi batas persamaan (12.9) dan (12.10) :
(12.12) a1, a2, a3 dan a4 dapat diselesaikan dari 4 persamaan hasilnya adalah :
(12.13) Subtitusikan persamaan ini ke persemaan 12.10) di peroleh : (12.14) Dimana
(12.15)
132
Persamaan (12.14) dapat juga ditulis (12.16) Pada titik nodal i
(12.17) Nzi adalah fungsi bentuk rotasi Pada titik nodal j
(12.18) Juga berlaku
(12.19) Untuk semua harga x. 12.4.
Matriks Kekakuan Elemen Apabila persamaan (12.16) dideferensialka dua kali, kemudian disubtitusikan ke dalam persamaan (12.7), maka besar energi regangan dapat diperoleh Diferensialkan persamaan (12.16) dua kali
(12.20)
133
Dimana
(12.21) Penyelesain dari seluruh koefisien diperoleh
(12.29) Gaya internal dapat dikalkulasi sebagai berikut
(12.30) Sh = gaya geser M = momen
Gambar 12.3. gaya geser internal dan momen lentur yang bekerja pada setiap nodal
134
12.5.
Aplikasi Pada Statis Tak Tertentu
Gambar 12.4. Balok tunggal mendukung beban concentrated Untuk mempermudah perhitungan [K(e)], dihitung dahulu parameter dibawah ini
Matriks kekakuan dapat diperoleh sebagai berikut
(12.31)
(12.32) Dengan superposisi, maka kekakuan total dapat ditentukan. Dari kondisi batas sistim diperoleh U1 = U2 = U5 = 0, sehingga baris dan kolom 1,2 dan 5 dapat dihilangkan, maka 135
Setelah diselesaikan diperoleh
Sehingga simpangan total
Gaya interneal setiap nodal dapat diperoleh dari persamaan (12.30)
(12.33) Kombinasi dengan persamaan (12.31)
Dan
(12.34) Vektor simpangan {U(2)}.
(12.35) Dari persamaan (12.32), akan memberikan 136
(12.36)
Hasilnya tersebeut dapat digambarkan sebagai berikut
Gambar 12.5. Masing-masing nodal dan contoh gabungan dari dua balok
137
BAB 13 FRAME ELEMENT Frame element merupakan kombinasi truss element dan beam element, sehingga menpunyai simpangan vertical dan horizontal pada setiap titik nodal ditambahkan rotasi. Contoh aplikasi elemen ini adalah pada titik-titik simpul yang di sambung kaku, seperti pengelasan atau baut. Model ini dapat diwakili seperti gambar dibawah :
Karena ada enam parameter, maka matrik kekakuan elemen mempunyai enam baris dan kolom. Untuk mengawali analisis elemen ini, digunakan elemen horizontal seperti dibawah ini.
Simpangan titik nodalnya adalah :
(13.1) Energi regangan adalah jumlah energi regangan “ truss element” dan “beam element” atau dapat ditulis :
138
Dimana : ( )
ᴧD = Energi regangan “ truss element” ( )
ᴧE = Energi regangan “ beam element”
Masing-masing komponen dapat ditulis sebagai fungsi titik nodal elemen persamaan (1). Dari “truss element”,hanya ada dua simpangan setiap element yaitu Ui dan Uj, sedangkan Vi, Φi, Vj dan Φj = 0,maka
(13.2) Dengan
(13.4) Sedangakan dari “beam element”, ada empat simpangan yaitu Vi, Φi,Vj dan Φj, Ui = Uj = 0. Energi regangannya adalah
(13.5)
139
Dengan
(13.6) Langkah selanjutnya adalah menuliskan ᴧ(e) dalam bentuk simpangan secara umum. Vektor simpangan elemen umum, {U(e)}, adalah :
(13.7) Transformasi simpangan adalah seperti ditunjukan pada gambar dibawah : untuk nodal (i)
Persamaan transformasinya adalah :
(13.10) Dimana [T] = matriks transformasi koordinat
13.11)
140
Baris dalam kolom 1, 2, 4 dan 5 berasal dari transformasi bab sebelumnya sedangkan baris dan kolom ke 3 dan ke 6 tidak terjadi trasnformasi karena arah U3i dan Φi sama, begitu juga U3j dan Φj. Dari persamaan (7) dan (10) di peroleh :
(13.12) Matriks kekakuan elemen :
(13.13)
Gaya internal : Gaya-gaya internal pada titik nodal untuk “frame element” diberikan oleh :
(13.14) Gaya ini terdiri dari gaya aksial dan gaya geser yang parallel dan tegak lurus terhadap batang. Substitusikan persamaan (13.10) kepersamaan (13.14) diperoleh
(13.15) Dimana komponen {S(e)} terdiri dari :
(13.16) Komponen-komponen tersebut ditunjukan pada gambar dibawah :
141
Contoh
Vektor simpangan untuk kedua frame terssebut adalah :
Tentuka gaya-gaya titik nodal untuk batang Satu Dari persmaan (13.15) dapat ditentukan gaya-gaya titik nodal, harga numeric yang diperlukan untuk menghitung koefisien [K(1)] adalah :
142
Substitusika harga-harga diatas ke persamaan (8) menghasilkan
Sedangkan nilai matriks transformasi [T(1)] dari persamaan (11) adalah
Gaya-gaya titik nodal adalah :
Dimana {U(1)} adalah
Setelah dihitung diperoleh
Diagram gaya-gaya tersebut adalah 143
144
