Contoh Soal Struktur Menggunakan Metode Elemen Hingga (Finite Element Method) Jika diketahui struktur penarik terbuat dari pelat epoksi 200x600 mm dengan tebal 50 mm. pelat diberi beban tekan aksial sebesar 50 kg. kekuatan tarik ,modulus elastisitas, dan perpanjangan patah epoksi adalah 50 Mpa, 2 Gpa, dan 2,5% . Perkirakan perpanjangan dan tegangan pada pelat di 0,200,300,400,500,600 mm dari tumpuan!
Penyelesaian: Untuk menyelesaikan soal tersebut, dilakukan penyelesaian dengan langkah sebagai berikut: 1 Pemotongan sistem dan pembentukan elemen hingga Kita bentuk struktur yang terdiri dari 7 elemen dan 7 node, seperti gambar berikut:
2 Menetukan persamaan perilaku tiap elemen: Di dapatkan hubungan sebagai berikut:
3. Menentukan sifat setiap elemen: a. Node 1 :
Pers: R = K1 (U2-U1)
R = K1U2 - K1U1 R = -K1 (U1 ) + K1 (U2) ……………... (1)
b. Node 2: Pers:
K1(U2 – U1) = K2(U3 – U2) + K4(U4 – U2) K1U2 – K1U1 = K2U3 – K2U2 + K4U4 – K4U2 0 = K1U1 – K1U2 – K2U2 – K4U2 + K4U4 K1U1 + (-K1-K2-K4)U2 + K2U3 + K4U4 = 0 ………(2) c. Node 3:
Pers :
K2(U3 – U2) = K3(U5 – U3) K2U3 – K2U2 = K3U5 – K3U3 K2U2 – K2U3 – K3U3 + K3U5 = 0 K2U2 + (-K2-K3)U3 + K3U5 = 0 ……………………….(3) d. Node 4:
pers:
K4(U4 – U2) = K5(U5 – U4) K4U4 – K4U2 = K5U5 – K5U4 K4U2 – K4U4 – K5U4 + K5U5 = 0 K4U2 + (-K4-K5)U4 + K5U5
= 0 ……………………(4)
e Node 5:
pers:
K3(U5 – U3) + K5(U5 – U4) = K6(U6 – U5) K3U5 – K3U3 + K5U5 – K5U4 = K6U6 – K6U5 K3U3 + K5U4 – K3U5 – K5U5 – K6U5 + K6U6 = 0 K3U3 + K5U4 + (-K3-K5-K6)U5 + K6U6 = 0 …………… (5) f. Node 6:
Pers:
K6(U6 – U5) K6U6 – K6U5
= K7(U7 – U6) = K7U7 – K7U6
K6U5 – K6U6 – K7U6 + K7U7 = 0 k6U5 + (-K6-K7)U6 + K7U7 = 0 …………………. (6) g. Node 7:
Pers:
P = K7(U7 – U6) P = K7U7 – K7U6 P = -K7U6 + K7U7…………….. (7) 4. Memasang elemen dan membentuk persamaan sistem pusat:
Kemudian menentukan kondisi batas: Dimana Node 1 diam,makan U1=0 , dan pada node 7 diberi beban kompresi sebesar P,sehingga mariks diatas menjadi:
5. Mencari solusi dari tiap elemen:
E = 2GPa = 2.109 N/m2 P = -500 N K1
= (AE)/L = (0,2 x 0,05 x 2.109)/0,2 = 107 N/m
Sodium Hydroxide in Water
Temperature in degrees Centigrade (°C) 0°C 15°C 20°C 40°C 60°C Concentration (% Weight) Density (kg/L) 1 1.0124 1.010651.0095 1.0033 0.9941 2 1.0244 1.021981.0207 1.0139 1.0045 4 1.0482 1.044411.0428 1.0352 1.0254 8 1.0943 1.088871.0869 1.0780 1.0676 12 1.1399 1.133271.1309 1.1210 1.1101 16 1.1849 1.177611.1751 1.1645 1.1531 20 1.2296 1.221831.2191 1.2079 1.1960 24 1.2741 1.265821.2629 1.2512 1.2388 28 1.3182 1.309401.3064 1.2942 1.2814 32 1.3614 1.352001.3490 1.3362 1.3232 36 1.4030 1.393301.3900 1.3768 1.3634 40 1.4435 1.433401.4300 1.4164 1.4027 44 1.4825 1.472001.4685 1.4545 1.4405 48 1.5210 1.510201.5065 1.4922 1.4781 50 1.5400 1.529001.5253 1.5109 1.4967
K2
= (AE)/L = (0,05 x 0,05 x 2.109)/0,1 = 5.107 N/m
K3
= (AE)/L = (0,05 x 0,05 x 2.109)/0,1 = 5.107 N/m
K4
= (AE)/L = (0,05 x 0,05 x 2.109)/0,1 = 5.107 N/m
K5
= (AE)/L = (0,05 x 0,05 x 2.109)/0,1 = 5.107 N/m
K6
= (AE)/L = (0,2 x 0,05 x 2.109)/0,1 = 2.108 N/m
K7
= (AE)/L = (0,2 x 0,05 x 2.109)/0,1
80°C
100°C
0.9824 0.9929 1.0139 1.0560 1.0983 1.1408 1.1833 1.2259 1.2682 1.3097 1.3498 1.3889 1.4266 1.4641 1.4827
0.9693 0.9797 1.0009 1.0432 1.0855 1.1277 1.1700 1.2124 1.2546 1.2960 1.3360 1.3750 1.4127 1.4503 1.4690
= 2.108 N/m Sehingga bentuk matriks menjadi :
Menjadi persaman-persamaan sebagai berikut:
U1 U3 0 0 0
= K1U1 + (-K1-K2-K4)U2 + K4U4 = (-107-5.107-5.107) U2 + 5.107 U3 + 5.107 U4 = -11.107 U2 + 10.107 U4 U4 = 1,1 U2 0 0 0 0 0 U5
0 0 0 0 0
0 0 0
=0 = U4
= K2U2 + (-K2-K3)U3 + K3U5 = 5.107 U2 + (-5.107-5.107)U3 + 5.107 U5 = 5.107 U2 – 10.107 (1,1 U2) + 5.107 U5 = 5.107 U2 – 11.107 U2 + 5.107 U5 = -6.107 U2 + 5.107 U5 = 1,2 U2
0 = K3U3 + K5U4 + (-K3-K5-K6)U5 + K6U6 7 = 5.10 U3 + 5.107U4 + (-5.107-5.107-20.107)U5 + 20.107U6 = 10.107 U4 – 30.107U5 + 20.107U6 = 10.107 (1,1 U2) – 30.107 (1,2 U2) + 20.107U6 = 11.107 U2 – 36.107 U2 + 20.107U6 = -25.107 U2 + 20.107U6 U6 = 1,25 U2 0 = K6U5 + (-K6-K7)U6 + K7U7 7 = 20.10 U5 + (-20.107-20.107)U6 + 20.107U7 = 20.107U5 – 40.107U6 + 20.107U7 = 20.107 (1,2 U2) – 40.107 (1,25 U2) + 20.107U7
0
= 24.107 U2 – 50.107 U2 + 20.107U7 0 = -26.107 U2 + 20.107U7 U7 = 1,3 U2 -500 -500 -500 -500 -500 U2 U2
= -K7U6 + K7U7 = -20.107 U6 + 20.107 U7 = -20.107 (1,25 U2) + 20.107 (1,3 U2) = -25.107 U2 + 26.107 U2 = 107 U2 = -5.10-5 m = - 5.10-2 mm
U4 U4 U4 U4
= U3 = U3 = U3 = U3
= 1,1 u2 = 1,1 x -5.10-5 = -5,5.10-5 m = - 5,5.10-2 mm
U5 U5 U5 U5
= 1,2 U2 = 1,2 x -5.10-2 = - 6.10-5 m = - 6.10-2 mm
U6 U6 U6 U6
= 1,25 u2 = 1,25 x -5.10-2 = - 6,25.10-5 m = - 6,25.10-2 mm
U7 U7 U7 U7
= 1,3 U2 = 1,3 x -5.10-2 = - 6,5.10-5 m = - 6,5.10-2 mm
Sehingga dari nilai U1,U2,U3,U4,U5,U6,U7 menunjukkan besarnya perubahan panjang plat pada jarak :
Pada jarak 0 mm dari tumpuan adalah 0 Pada jarak 100 mm dari tumpuan adalah - 5.10-2 mm Pada jarak 300 mm dari tumpuan adalah - 5,5.10-2 mm Pada jarak 400 mm dari tumpuan adalah - 6.10-2 mm Pada jarak 500 mm dari tumpuan adalah - 6,25.10-2 mm Pada jarak 600 mm dari tumpuan adalah - 6,5.10-2 mm Nilai negatif menunjukkan perubahan kea rah kiri ,karena pemampatan.
Berikutnya adalah perhitungan tegangan, sebagai berikut:
Sehingga, tegangan yang terjadi pada pelat Untuk jarak 200 mm dari tumpuan sebesar -0,5 Mpa Untuk jarak 300 mm dari tumpuan sebesar -0,1 Mpa Untuk jarak 400 mm dari tumpuan sebesar -0,1 Mpa Untuk jarak 500 mm dari tumpuan sebesar -0,02 Mpa Untuk jarak 600 mm dari tumpuan sebesar -0,02 Mpa Nilai negative menunjukkan tegangan bekerja pada arah kiri/negatif.
