Konsep Dasar Metode Elemen Hingga • Apa itu metode elemen hingga? Sebuah teknik teknik numerik numerik untuk untuk menyelesaikan menyelesaikan masalah‐masalah teknik dan teknik dan matematika fisika fisika
• FEM sangat penting untuk menyelesaikan masalah‐masalah teknik dengan geometri, pembebanan dam sifat material yang omp e , yang a apa se esa an dengan metode analitis.
koneksi antar truss
Tujuan FEM • Penyelesaian analitis Analisa tegangan untuk truss, batang, dan struktur sederhana lain yang penyederhanaan dan idealisasi. Desain berdasarkan hasil kalkulasi dari struktur yang diidealisasi memerlukan , ‐ pengalaman.
• Desain untuk struktur komplek dan dengan keakurasian yang tinggi memerlukan: ‐
‐
‐
pengetahuan perilaku fisik objek komplek (kekuatan, mampu alir panas, aliran fluida dll) untuk memperkirakan performansi dan perilaku desain; menghitung margin angka keselamatan, mengetahui kekurangan desain. mengidentifikasi perfomansi desain secara yakin.
• Prinsip FEM adalah diskretisasi (dibuat kecil‐kecil) • Geometri yang simple dapat selesaikan dengan analisa sederhana (penyelesaian analitis) ataupun • Geometri komplek: memerlukan FEM • Alur FEM (1) Dunia nyata – (2) Penyederhanaan – (3) Persamaan matematis – (4) Diskretisasi (mesh)
• Membagi model menjadi elemen‐elemen kecil (elemen‐elemen ‐ ngga yang sa ng er u ung pa a no e an a au gar s batas. • Jenis‐ jenis elemen
Elemen satu dimensi (1D) Trus, batang, pegas, pipa Elemen dua dimensi (2D) Plat shell membran
Elemen tiga dimensi (3D)
u u, kecepatan aliran
,
,
Objek
Elemen‐elemen
Stress/tegangan displacement u primer
Strain/regangan
o
Kuantitas nodal sekunder
Node‐node
Sebuah kasus
pendekatan, dengan menggunakan elemen persegi panjang; dapat terdiri dari satu elemen, dua elemen, empat elemen dst. Semakin banyak elemen yang digunakan, luasan hitung batang tirus semakin mendekati riil atau erornya semakin kecil (lihat Gb(b)‐(d)
• Dalam FEM, dengan semakin banyak elemen yang dipakai displacement terhitung semakin mendekati penye esa an ana s, seper er a pa a . a-
• Demikian juga tegangan yang terhitung, semakin banyak elemen yang di akai, te an an terhitun semakin mendekati en elesaian analitis.
• Bodi diba i men adi elemen‐elemen kecil. Persamaan sebuah elemen dihitung dan kemudian digabung untuk membuat persamaan • Formula umum untuk persamaan yang merupakan gabungan dari beberapa elemen adalah [k]{U}={F} mana a a a matr e a uan, a aa vektor dari displacement atau suhu nodal, dan {F} adalah vektor a a nodal.
i
F
F L
j x
Batang diasumsikan terdiri dari satu elemen dengan dua node i dan j sepanjang . terhadap x sepanjang L, sehingga u=a+bx, (1) dengan a dan b adalah konstanta. Ji a ui an u j a a a isp acement yang e um i eta ui i setiap no e, ma a ui=a+bxi (2) u j=a+bx j (3) Koordinat x dan x diketahui sehin a a dan b an tidak diketahui da at dihitun a= (uix j‐u jxi)/L (4) b=(u j‐ui)/L, (5) Substitusi a dan b ke pers (1) diperoleh u
x j
L
x
ui
x xi L
u j
(6)
Atau u=Niui +
ju j
(7)
dengan Ni=(x j-x)/L dan Nj=(x-xi)/L Ni dan N j adalah fungsi bentuk elemen atau fungsi interpolasi. Fungsi ini meng u ung an sp acemen pa a no a an no a . Jika i=1 dan j=2, maka u=N1u1 + N2u2
(8)
Setelah mengetahui hubungan displacement antar nodal, berikutnya adalah hubungan antara displacement dengan gaya yang diberikan. δ=PL/EA,
(9)
dengan E modulus elastis, A luas penampang = P=(EA/L)δ, dengan k=EA/L
,
. (10)
• Untuk batang ditarik dengan gaya F, regangan yang muncul a aa • • Sesuai dengan hukum Hook • Jika dihubungkan dengan gaya aksial P
• Gaya setiap nodal adalah f 1 dan f 2
• Secara matrik hubungan gaya nodal dan displacement nodal
Matrik kekakuan
• Contoh 1 ujung yang lain diclam. Luas penampang batang bervariasi mulai Ao di ujung tetap dan Ao/2 diujung bebas. Hitung displacement di ujung bebas dengan (a) satu elemen, (b) dua elemen dan © Hitung dengan metode analitis.
a Untuk en elesaian den an satu elemen batan tirus diwakili oleh erse i an an dengan A=3/4Ao), lihat gambar b. Sehingga k menjadi
Hubungan displacement dengan gaya menjadi, dengan F1 adalah gaya reaksi akibat gaya aksi P
U1=0 karena pada tempat tersebut dijepit, sehingga U2 adalah
(b) Untuk dua elemen, batang tirus dibagi menjadi dua elemen persgi panjang dengan panjang sama, tetapi luasnya berbeda dengan A1=7/8Ao dan A2=5/8Ao (terima saja dulu luasan ini tanpa mengetahui cara menghitungnya). Sehingga
Karena pada dua elemen ada tiga nodal, maka ada displacement U1, U2 dan U3
U1
U2 k1
Matrik kekakuan menjadi [ke]= dengan gaya adalah
F1 adalah a a reaksi F2=0 dan F3=P.
U3 k2 dan hubungan displacement
Karena U1=0 dan F2=0 maka
Dengan menyelesaikan persamaan matrik tersebut, U2 dan U3 dapat diperoleh
(c) Untuk mendapatkan penyelesaian analitis, diagram kesetimbangan gaya pada batang adalah Luasan batang tirus adalah A=(1‐x/2L) dengan x=jarak setiap titik sembarang sepanjang L
Tegangan setiap titik x dihitung sebagai
Dan regangan setiap titik x adalah
Displacement setiap titik x dapat dihitung, dengan x=0 (titik jepit), dan x=L
Perbedaan displacement antara penyelesaian analitis dan terhitung a aa < untu ua e emen cu up kecil), dan eror akan semakin kecil bila jumlah elemen yang dipakai semakin banyak.
Dalam kasus riil tegangan (Gambar f) lebih penting dari displacement , tirus seperti terlihat pada Gambar (f) adalah bervariasi sepanjang x, namun elemen persegi dengan luasan tidak berubah antara 2 nodal berdekatan, te an an terhitun konstan untuk satu elemen dan kelihatan berundak untuk dua elemen.
Bagimana cara untuk mendapatkan hubungan matrik e a uan, matri isp acement an matri gaya 1.
Energi regangan; Teorema pertama Castigliano
2.
Energi potensial minimum 1. Energi regangan; Teorema pertama Pada benda yang dikenai kerja mekanik luar, bila sistem dalam kesetimbangan, kerja yang regangan. Definisi kerja luar
Untuk batang, energi regangan adalah
energi regangan, V adalah volume.
eorema per ama as g ano Untuk sistem elastis dalam kesetimbangan, turunan parsial energi regangan total terhadap defleksi di sebuah titik adalah sama dengan gaya terpakai a am ara e e s .
Untuk elemen batang
Secara matrik hubungan tersebut adalah
Hasil dengan metode ini sama dengan hasil yang diperoleh dari metode .
(a)
Gunakan teorema pertama Castigliano untuk menyelesaikan sistem 4 elemen pegas (seperti gambar) untuk mendapatkan matrik kekakuan. Anggap batang vertikal pada node 2 dan 3 rigid.
(b)
Cari dispalcement setiap node jika, k1=4 kN/m, k2=6 kN/m, k3=3 kN/m. F2= ‐30 N dan F4=50 N.
(a)
Energi regangan total untuk 4 pegas adalah
Teorema Castgliano
Bila disusun dalam bentuk matrik
(b) Dengan memasukkan konstanta yang diketahui, U1=0, F3=0, F1 = gaya reaksi
Untuk menyelesaikan persamaan matrik tersebut ada dua langkah: Langkah1: Hilangkan baris dan kolom tidak aktif
Langkah 2: Kalikan baris pertama dengan 12 dan baris kedua dengan 16, tambahkan keduanya dan tulis hasilnya dibaris ke dua
Langkah 3: Kalikan baris ketiga dengan 32 tambahkan ke baris kedua dan tulis hasilnya pada baris ketiga
Langkah 4: Selesaikan persamaan (baris) dari paling bawah
pero e
,
an
Dan F1 dihitung dengan menyelesaikan persamaan baris pertama
