kupdf.com_buku-ajar-metode-elemen-hingga-1.pdf

METODE ELEMEN HINGGA

MODUL AJAR METODE ELEMEN HINGGA

PENGANTAR Segala puji bagi Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat serta hidayah-Nya dalam penyelesaian modul ajar Metode Elemen Hingga ini. Mata kuliah Metode Elemen Hingga memiliki 2 mata kuliah prasyarat yaitu Matematika Teknik I dan Mekanika Kekuatan bahan II. Tujuan dari perkuliahan ini adalah agar mahasiswa mampu menjelaskan konsep dasar metode elemen hingga dan memformulasikan problem teknik dalam model serta dapat menyelesaikan pemodelan problem tersebut dalam struktur, frame, shell/plat pada matra garis, 2D, 3D. Materi dalam modul ini disampaikan dengan ringkas, sehingga pembaca tetap diharapkan mempelajari buku-buku yang telah dijadikan sumber pustaka dari modul ini. Penghargaan dan ucapan terima kasih yang sebesarbesarnya kami sampaikan kepada semua pihak yang telah membantu dalam suksesnya penulisan modul ini. Semoga amal baik semua pihak yang terlibat dalam kegiatan ini diterima oleh Allah SWT, dan semoga modul ini bisa memberikan kontribusi


PENGANTAR Segala puji bagi Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat serta hidayah-Nya dalam penyelesaian modul ajar Metode Elemen Hingga ini. Mata kuliah Metode Elemen Hingga memiliki 2 mata kuliah prasyarat yaitu Matematika Teknik I dan Mekanika Kekuatan bahan II. Tujuan dari perkuliahan ini adalah agar mahasiswa mampu menjelaskan konsep dasar metode elemen hingga dan memformulasikan problem teknik dalam model serta dapat menyelesaikan pemodelan problem tersebut dalam struktur, frame, shell/plat pada matra garis, 2D, 3D. Materi dalam modul ini disampaikan dengan ringkas, sehingga pembaca tetap diharapkan mempelajari buku-buku yang telah dijadikan sumber pustaka dari modul ini. Penghargaan dan ucapan terima kasih yang sebesarbesarnya kami sampaikan kepada semua pihak yang telah membantu dalam suksesnya penulisan modul ini. Semoga amal baik semua pihak yang terlibat dalam kegiatan ini diterima oleh Allah SWT, dan semoga modul ini bisa memberikan kontribusi


DAFTAR ISI

PENGANTAR DAFTAR ISI BAB I. PENDAHULUAN BAB II. METODE KEKAKUAN/PERPINDA KEKAKUAN/PERPINDAHAN HAN BAB III. PERSAMAAN PERSAMAAN DAN MATRIK KEKAKUAN KEKAKUAN UNTUK STRUKTUR BAB IV. KEMIRINGAN DAN LENDUTAN PADA BATANG BAB V. DEFLEKSI/LEND DEFLEKSI/LENDUTAN UTAN (SPECIAL CASES ) BAB VI. STRUKTUR DAFTAR PUSTAKA RPKPS

i ii 1 11 31 63 74 89


BAB I PENDAHULUAN 1.1

Sejarah Pekembangan Metode Elemen Hingga

Metode Elemen Hingga, selanjutnya disebut sebagai MEH, adalah metode numerik yang digunakan untuk memecahkan permasalahan dalam bidang rekayasa atau pun bidang fisik lainnya. Permasalahan-permasalahan dalam bidang rekayasa yang dapat dipecahkan dengan metodei ini adalah meliputi analisa struktur,

analisa

tegangan,

perpindahan

panas

dan

masa,

dan

medan

elektromagnetik. Permasalahan-permsalahan yang melibatkan bentuk geometri, kondisi pembebanan dan sifat mekanik material yang komplek tidak mungkin untuk dipecahkan dengan menggunakan persamaan atau rumus matematis yang biasanya disebut dengan penyelesaian analitis. Penyelesaian analitis ini umumnya memerlukan penyelesaian persamaan deferensial parsial. Oleh karena itu, metode


bantu seperti pada masa saat ini. MEH menjadi semakin populer untuk digunakan setelah dikembangkannya prosesor kecepatan tinggi pada komputer. Analisa dua dimensi menggunakan MEH pertama kali dikenalkan oleh Tuner dan kawan pada tahun 1956. Mereka berhasil menurunkan matrik untuk element truss, element batang, dan elemen-elemen untuk analisa kasus-kasus dua dimensi seperti element segitiga dan segi empat pada kondisi tegangan bisang. Disamping itu, Tuner dan kawan-kawan mengenalkan prosedur yang dikenal sebagai metode kekakuan langsung ( direct stiffness method ) dan matrik kekakuan struktrur. Bersama dengan perkembangan teknologi komputer, hasil kerja dari Tuner dkk menjadi perintis perkembangan persamaan kekakuan elemen hingga yang diekspresikan dalam notasi matrik. Istilah metode elemen hingga pertama kali dikenalkan oleh Clough pada tahun 1960 ketika elemen-elemen segitiga dan segi empat digunakan untuk analisa tegangan bidang ( plane stress). Selanjutnya semenjak itu dikembangkan elemen-elemen yang berbentuk tiga dimensi seperti tetrahedral. Umumnya sebagian besar perkembangan elemen


menemukan banyak kesulitan seperti permodelan untuk material dan geometri yang non linier serta tingkat kompleksitas yang relatif lebih tinggi dibanding pada bidang rekayasa. Meskipun demikian saat ini banyak usaha dilakukan untuk meningkatkan kemampuannya dalam menyelesaikan masalah dalam berbagai bidang rekayasa. 1.2

Matrik

Penguasaan metode perhitungan dengan menggunakan matrik adalah sangat perlu di dalam memformulasikan rumus kekakuan elemen dengan sederhana, menyelesaikan dengan cara manual (long hand solution) dari berbagai permasalahan, dan yang penting adalah metode perhitungan dengan menggunakan matrik sangat penting digunakan di dalam pemrograman komputer untuk menyelesaikan perhitungan numeris. Pada sub bab ini diingatkan kembali secara singkat tentang matrik dan notasinya yang umumnya digunakan dalam MEH. Disarankan bagi pembaca yang tidak mengenal metode matrik untuk mempelajari terlebih dahulu.


 d 1 x   F 1 x   d   F   1 y   1 y   d 1 z   F 1 z  d     2 x   F 2 x  d 2 y   F 2 y      [ F ]  F   F 2 z  [d ]  d   d 2 z   .   .       .   .   F   d nx   nx     F ny   d ny     d   F nz   nz 

(1-1)

Tanda subskrip disebelah kanan F dan d mengidentifikasikan nomer node dan arah dari gaya dan perpindahan. Misalnya , F 1x adalah menunjukkan komponen gaya pada node 1 dan mempunyai arah yang sama dengan sumbu X. Matrik pada persamaan 1-1 disebut dengan matrik kolom yang mempunyai ordo m x 1. Tanda kurung [ ] digunakan dalam buku ini untuk menandakan matrik kolom . Sehingga seluruh komponen gaya dan perpindahan di dalam kolom matrik dapat disimbulkan, masing-masing, sebagai [ F ] dan [d ], sedangkan simbol F dan d dengan garis diatasnya menyatakan matrik secara umum artinya dapat berupa matrik kolom atau matrik segi empat.


Pada buku ini akan dipelajari bahwa besar gaya global pada node F dan perpindahan global pada node d tergantung dari harga matrik kekakuan global K , dan dinyatakan sebagai berikut .

F  K d

(1-3)

Persamaan 1-3 disebut persamaan kekakuan global . Dengan mensubtitusi persamaan 1-2 ke dalam persamaan 1-3 menjadi.

 K 11  K  21   F    .  .  .   K m1

K 12

.

.

.

K 22

.

.

.

. . . k m 2

.

.

.

K 1n  d 1 x 

d   1 y  .  .    .  .  .  .    K mn  d nz  K 2 n

(1-4)

Pembahasan matrik kekakuan pada berbagai jenis elemen akan dilakukan pada bab selanjutnya. Disamping itu juga akan ditunjukkan suatu prosedur atau urutan bagaimana menyusun matrik kekakuan global K pada berbagai jenis


untuk menyelesaikan persoalan-persoalan komplek, tetapi penggunaannya tidak praktis dan memerlukan waktu yang sangat lama. Kondisi ini berubah semenjak tahun 1950-an, yang mana pada waktu itu mulai dikembangkan komersial komputer generasi pertama oleh IBM. Bahkan pada saat ini dengan bantuan personal komputer sudah dapat menyelesaikan ribuan persamaan dengan waktu yang sangat singkat dalam hitungan menit. Di samping itu sekarang sudah banyak dikembangkan program-program komputer berbasis elemen hingga. Diantara program – program tersebut bahkan dapat dieksekusi melalui personal komputer ( PC ) dengan satu processor saja, misalnya prgram ANSYS, Algor, Abaqus, MARC , SAP2000 dan lain-lain. Dengan bantuan kapasitas dan kecepatan memori, kemampuan PC dapat ditingkatkan kemampuannya dalam menyelesaikan persoalan dangan jumlah ribuan varibale tidak diketahui. 1.4

Prosedur Umum MEH

Ada dua pendekatan langsung yang digunakan di dalam MEH untuk menyelesaikan persoalan-persoalan pada mekanika struktur. Pendekatan pertama


menunjukkan contoh dari diskritisasi dari suatu bodi dengan elemen. Gbr. 1.1a menunjukkan suatu bodi poros yang belum dibagi menjadi elemen-elemen, dan Gbr 1.1b menunjukkan diskritisasi dari bodi poros dengan elemen.

a). Bodi poros

b). Diskritisasi bodi poros


2

1

a). Elemen sederhana dengan 2 node. y

3

1

2 x

b). Elemen Segitiga dengan 3 node dan 6 node 1

y

8 4

x 3

3 5

4

2

7

1

6 2

z c). Elemen sederhana 3 dimensi berbentuk tetrahedral dan hexahedral

Gambar 1-2 Contoh jenis elemen


Langkah ke 3. Mendefinisikan hubungan antara regangan/perpindahan dan

tegangan/regangan Hubungan regangan/ perpindahan dan tegangan/regangan adalah sangat penting untuk menurunkan tiap-tiap rumus elemen hingga. Untuk kasus deformasi elastis (kecil) pada satu dimensi, misalnya, pada arah x dengan perpindahan u, dinyatakan dengan strain,

 x



du dx

x ,

sebagai berikut.

(1-5)

Selanjutnya hubungan tegangan dan regangan dapat dinyatakan sesuai dengan hukum Hook, yang ditunjukkan pada rumus 1-6, yang mana

x menyatakan

tegangan ke arah sumbu x dan E adalah modulus elastisitas.

 x

 E  x

(1-6)

Langkah ke 4 Menurunkan rumus dan matrik kekakuan elemen

Ada beberapa metode untuk menurunkan rumus dan kekakuan suatu elemen, yaitu

yang

pertama

adalah

metode

kesetimbangan

langsung

( Direct


Langkah ke 6. Menyelesaikan atau memecahkan derajat kebebasan yang tidak

diketahui. Rumus 1-7 menunjukkan rumus kekakuan global dengan jumlah derajat kebebasan sebanyak n. Di sini kita mencari harga-harga d yang tidak diketahui, dan menentukan harga d sebagai kondisi batas. Contoh kondisi batas, misalnya pada suatu node memodelkan suatu jenis tumpuan jepit, maka perpindahan pada node tersebut ke arah sumbu x , y , z mempunyai harga nol. Sehingga kita bisa menentukan harga d pada node tersebut. Untuk mencari harga d yang tidak diketahui kita bisa menggunakan beberapa metode eleiminasi seperti metode Gauss, atau iterasi Gauss-Seidel . Untuk menyelsaikan jumlah node yang banyak atau dimensi matrik yang besar maka penyelesain menggunakan program computer adalah efektif.

 K 11  K  21   F    . 

K 1n  d 1 

K 12

.

.

.

K 22

.

.

. K 2 n

.

.

d   2   .     

(1-7)


BAB II METODE KEKAKUAN/PERPINDAHAN 2.1

Difinisi Matrik Kekakuan

Untuk memahami metode kekakuan, maka familiar dengan matrik kekakuan adalah hal yang sangat penting. Matrik kekakuan k ’ atau {k } didefinisikan sebagai suatu matrik sedemikian rupa sehingga f ’ = k ’ d ’ untuk suatu ’ ’ elemen, yang mana k ’ menunjukkan matrik kekakuan untuk koordinat lokal ( x , y ,

z ’ ) yang berhubungan dengan node d ’ atau [d ] untuk gaya-gaya f ’ atau [ f ] yang bekerja pada satu elemen. Gambar 2.1 menunjukkan suatu elemen pegas satu ’ ’ dimensi dengan 2 node yang ditinjau dari koordinat lokal ( x , y , z’) atau koordinat

global ( x, y, z)perbedaan koordinat lokal dan global pada suatu elemen.

’ ’

2


konstanta material pegas. Jika elemen pegas tersebut dikenakan beban sebesar

T , maka masing masing node akan mengalami perpindahan sebesar d ’ 1x dan d ’ 2x . k

1

2 ’

L T

2 T

1

’

d ’1 x

d ’ 2x

Gambar 2.2. Elemen pegas yang diberi beban T Langkah ke 2. Memilih fungsi perpindahan

Di sini kita menentukan fungsi matematis untuk merepresentasikan bentuk elemen yang terdeformasi. Karena sangat sulit untuk mendapat solusi eksak, maka dapat didekati dengan fungsi yang sering digunakan, yaitu polinomial. Karena elemen pegas menahan gaya aksial saja ke arah atau paralel dengan


u' (0)  a1  a2 x '  d 1' x  a1

(1-10a)

u' ( L)  d 2' x  a1  a2 L  d 1' x  a2 L

(1-10b)

Sehingga harga a 2 adalah,

a2 

d 2' x  d 1' x L

(1-11)

Dengan mensubtitusi masing-masing koefisien ke persamaan (1-8) maka u’ dapat dinyatakan sebagai berikut

 d 2' x  d 1' x  u'  d    x ' L   ' 1 x

(1-12)

Jika persamaan (1-12) dinyatakan dalam bentuk matrik menjadi sebagai berikut

 d 1' x   d 1' x  u'  {1  } ' atau u'  { N 1 N 2 } '  L L d 2 x  d 2 x  x '

Di sini

N 1

x'

 1

x ' L

dan N 2 

x ' L

(1-13)

(1-14)

Persamaan (1-14) ini disebut dengan fungsi bentuk, karena N mengekspresikan


Langkah ke 3. Menentukan hubungan tegangan dan regangan

Gambar 2.4 menunjukkan elemen pegas yang mengalami perpanjangan (elongasi) atau terdeformasi disebabkan oleh gaya T . Besar elongasi sebesar

d ’ 1x kearah kiri (negatif) dan d ’ 2x kearah kanan (positif) sepanjang sumbu x’ .

1

k

2 ’

L T

2 T

1

’

d ’1 x

d ’ 2x

Gambar 2.4. Perpanjangan pada elemen pegas Besar dari elongasi adalah ;

  u' ( L)  u' (0)  d 2' x

 d 1' x

(1-15)

Untuk elemen pegas hubungan gaya dan perpindahan (elongasi) dapat langsung dinyatakan sebagai berikut.


Jika persamaan (1-20) dinyatakan dalam bentuk matrik, menjadi seperti bentuk dibawah ini.

 f 1 x' '   k  f '     2 x '   k

'  k  d 1 x '  k  d 2' x ' 

(1-21)

Dari persamaan (1-21) didapat matrik k’ yang merupakan matrik kekakuan lokal. Jika kita perhatikan matrik tersebut adalah simetris yang mana jumlah kolom dan baris sama ( m = n ).

k '   

k  k

 k  k  

(1-22)

Langkah ke 5. Menggabungkan rumus elemen lokal menjadi rumus global

Prinsip pada langkah ini adalah menjumlahkan masing-masing kekakuan tiap elemen dan gaya tiap elemen sedemikian rupa atau dinyatakan sebagai berikut’. N

 K    k ' e 1

N

(e)

dan

 F    f '

( e)

e 1

Langkah ke 5 ini dijelaskan lebih detail pada sub-bab selanjutnya Langkah ke 6. Menghitung perpindahan node

(1-23)


1 1

k 1 3

2 k 2 3x

2

2x

Gambar 2.5. Gabungan dua elemen pegas Dengan menggunakan persamaan (1-21), maka dapat disusun untuk tiap elemen sebagai berikut; Elemen 1

 f 1' x '   k  f '      k  3 x ' 

 k   d 1 x '  (1)  k    d 3 x '  (1)

(1-24)

dan untuk elemen 2 adalah;

 f 3' x '   k  f '       k

( 2)  k  d 3 x '  k   d ( 2 ) 

(1-25)


Jika dalam bentuk matrik,

 F 3 x  k 1  k 2  F 2 x      k 2  F    k 1  1 x  

 k 2 k 2

 k 1  d 3 x '   ( 2) 0 d 2 x '   (1)  k 1   d 1 x ' 

(1-30)

Persamaan (1-30) dapat diatur sedemikian rupa sehingga bisa berurutan dari node 1 sampai ke node 3.

 k 1  d 1 x '  0  F 1 x   k 1   F 2 x    0  k 2 d 2 x '  k 2  F 3 x   k 1  k 2 k 1  k 2  d     3 x ' 

(1-31)

Persamaan (1-31) dapat disederhanakan sebagai berikut ;

 F    K d 

(1-32)

yang mana [F ] disebut matrik gaya global pada masing-masing node, [ d] disebut sebagai matrik perpindahan global dan {K } disebut matrik kekakuan global. 2.4.

Penggabungan

Matrik

Kekakuan Langsung)

Kekakuan

dengan

Superposisi

(Metode


masing-masing elemen dapat dinyatakan dalam matrik yang berdimensi 3 x 3, maka persamaan (1-33) menjadi sebagi berikut ini; Untuk Elemen 1 ;

d 1 x '

d 2 x '

 1 0 k 1  0 0   1 0

d 3 x '

d 1( x1)'   f 1 x(1')   1  (1) (1) 0 d 2 x '    f 2 x '      1  d 3( x1)'   f 3( x1') 

(1-34)

Untuk Elemen 2 ;

d 1 x '

 0 k 2 0  0

d 2 x ' 0 1 1

d 3 x '

d   f  0   1( x2')   1 x( 2' )   1 d 2 x '  f 2 x '     1  d 3( x2')   f 3( x2' )  ( 2)

( 2)

(1-35)

Sesuai dengan kaidah kesetimbangan gaya maka gaya-gaya yang bekerja di tiaptiap node pada persamaan (1-34) dan (1-35), menghasilkan resultan gaya ( gaya global), seperti berikut ini.


dari penyusunan persamaan kekakuan (1-38) adalah menggabungkan kekakuan tiap-tiap elemen, k , menjadi kekakuan global, K . Untuk menyusun matrik K secara efisien dan efektif dapat dilakukan secara langsung menjumlahkan nilai k pada masing node (Metode Kekakuan Langsung). Untuk itu kita tulis kembali matrik k pada masing-masing

elemen dari persamaan

(1-33). Seperti

dinyatakan

sebelumnya karena jumlah derajat kebebasannya adalah 3, maka matrik K pasti berdimensi 3 x 3, oleh karena itu kita langsung bisa membuat matrik dengan dimensi tersebut. Selanjut perhatikan masing-masing sel ( ditunjukkan dengan anak panah ) pada masing masing matrik k untuk masing masing elemen yang disusun kembali pada matrik K sesuai dengan sel nya, seperti dicontohkan pada Gbr. 2.6 berikut ini.

d 1 x '

 k  k 1   1  k 1

d 3 x '

d 3 x '

 k 1  d 1 x ' k 1   d 3 x ' d 1 x

2 

k

d 2 x

d 3 x

2   k  2

k

d 2 x '  k 2  d 3 x ' k 2   d 2 x '


Dari Gbr. 2.5, dapat kita ketahui bahwa kondisi batas pada node 1 atau pada tumpuan, mempunyai harga perpindahan nol, sehingga persamaan (1 -38), menjadi sebagai berikut.

 k 1  0   F 1 x  0  k 1   k 2 d 2 x    F 2 x  k 2  0  k 1  k 2 k 1  k 2  d 3 x   F 3 x 

(1-39)

Jika dijabarkan maka persamaan (1-39) menjadi,

   0d  k d  F 00  k d  k d  F    k d  k  k d  k 0 k 1 0

2 x

2

1

2 x

2

1

2

2 x

3 x

3 x

1

1x

(1-40)

2x

2

3 x

 F 3 x

sesuai dengan Gbr. 2.5 harga F 1x tidak diketahui, sedangkan harga F 2x dan F 3x diketahui. Jika rumus ke dua dan ke tiga pada persamaan (1-40) dirubah ke bentuk matrik maka,

 k

k

d   F 


Selanjutnya dimisalkan pada node 1 ( tumpuan ) pada Gbr.2.7 mempunyai harga perpindahan tertentu, maka kondisi batas struktur tersebut dikatakan tidak homogen. Misalkan pada node 1, mempunyai harga perpindahan, d 1x =  L.  L

1 1

k 1 3

2 k 2 3x

2

2x

Gbr.2.7. Kondisi batas non homogen Karena kondisi batasnya tidak berharga nol, maka persamaan kekakuan dalam bentuk matrik (1-38) dapat ditulis kembali dan menjadi persamaan berikut ini.

 k 1

0

 k 1   L   F 1 x     


 k 2 d 2 x  k 1  k 2 d 3 x  F 3 x  k 1  L  Jika dinyatakan dalam bentuk matrik, menjadi ;

  k 2 d 2 x    F 2 x  k 2  k k  k d   F  k  L  2 1 2  3 x   3 x 1 

(1-48)

Dari sini harga d 2x dan d 3x dapat ditentukan , sehingga dengan menggunkan rumus pertama persamaan (1-43) harga F 1x , dapat diketahui. Dari uraian penyelesaian pada kondisi batas non homogen, dapat disimpulkan bahwa kolom dan baris pertama matrik K dan baris pertama pada matrik d yang berhubungan dengan kondisi batas tidak dapat dihapus karena merupakan perkalian dengan harga lebih besar dari nol dan hasilnya harus dipindah ke ruas kanan sebelum kita menyelesaikan perpindahan yang tidak diketahui (d 2x dan d 3x ).

Contoh 2.1

Suatu rangkaian pegas seperti ditunjukkan pada Gbr 2.8, mempunyai harga konstanta pegas k 1= 2000 N/m, k 2 = 4000 N/m dan k 3 = 6000 N/m dan diberi


a). Untuk menyusun matrik kekakuan global, terlebih dahulu kita susun matrik kekakuan tiap tiap elemen pegas dengan merujuk pada persamaan (1-33) sebagai berikut : 1

3

2000 k 1    2000 

3

 2000 1 2000  3

4

6000 k 3    6000 

4000 k 2     4000 

4

 4000  3 4000  4

2

 6000 4 6000  2

Dengan menggunakan model superposisi dan Gbr. 2.6 kita mendapatkan matrik kekakuan global seperti di bawah ini. 1

2

3

4

 2000 0 0  2000 1  0  6000  2 6000 0 K    2000  4000  3 0 2000  4000  0  6000  4000 4000  6000  4

(1-49)


0  F 1 x   2000  2000 0 0  0   F   0  6000 10  0  2 x    2000 6000  4000  11  0 2000  4000  F 3 x   0  6000  4000 4000  6000  15   F 4 x    11 

(1-52)

Dengan operasi perkalian matrik pada persamaan (1-52) maka harga gaya global pada masing-masing node adalah ;

 20000

F 1 x



F 3 x

 0 N

11

F 2 x

N



F 4 x



 90000 11 110000

Elemen 1

0  f 1 x    2000  200010  f 3 x   2000 2000    11  Atau jika disederhanakan.

f 1 x



 20000 11

N

f 3 x



20000 11

N

11

N (1-53)

N

(1-54)


perpindahan sebesar  L L = 0,2 m. Konstanta pada semua elemen pegas adalah sama, k = = 100 kN/m. a).Pertama terlebih dahulu kita susun matrik kekakuan tiap-tiap elemen pegas (133) sebagai berikut : 1

100 k 1    100 

3

3

 100 1 100  3

100 k  2     100 

2

2

 100 3 100  2

4

 100 2 100  4 Sehingga matrik kekakuan global dapat ditentukan di bawah ini. 100 k 3     100 

1

2

3

4

0  100  100  0 100  100  100 K   100  100  100  100  0 100 0   1

0   100 0  100  

1 2 3 4

(1-57)


20   200  100d 2 x   0   100 200 d 3 x 

(1-59)

Sehingga harga perpindahan pada node 2, 3 dan 1 dapat ditentukan

d 2 x



2 15

m

d 3 x



1 15

m

c). Selanjutnya dengan mensubtitusi harga-harga perpindahan yang sudah diketahui ke persamaan (1-58) untuk menentukan ga ya-gaya global.

 F 1 x   100  F   0  2 x    100  F 3 x   0  F 4 x   F 1 x



 100 15

0 0  2   100 15  0  1  100   15  0.2

0  100 100  100  100  100 100  100  100 0

F 2 x

0

F 3 x

0

d) Gaya local pada masing-masing elemen Elemen 1

F 4 x

(1-60)



100 15


2.6. Pendekatan Energi Potensial

Salah satu metode alternatif untuk menurunkan rumus elemen dan matrik kekakuan elemen adalah berdasarkan prinsip energi potensial minimum. Prinsip ini lebih sesuai untuk menurunkan rumus elemen yang lebih komplek yang mempunyai lebih banyak derajat kebebasan, seperti untuk elemen plain stress atau strain, tegangan aksis simetri, elemen plat bending dan elemen untuk kondisi tiga dimensi. Energi potensial minimum hanya sesuai untuk menurunkan rumus untuk kasus material elastis dan buku ini hanya membahas untuk kasus-kasus pada permodelan material elastis. Energi potensial, P e, dari struktur merupakan fungsi dari perpindahan. Pada elemen hingga perpindahan ini terjadi pada node dari suatu elemen dan dinyatakan

sedemikian

rupa

sehingga

P e  P e  d 1 , d 2 ,......, d n  .

Jika P e

diminimalkan terhadap perpindahan maka akan menghasilkan kondisi setimbang. Untuk elemen pegas, maka akan dihasilkan persamaan f ' diturunkan pada sub-bab sebelumnya.

 k ' d '

seperti yang


dari persamaan pegas kita tahu bahwa gaya dinyatakan sebagai F = k.x dan jira hubungan ini disubtitusikan ke persamaan (1-65), maka menghasilkan hubungan di bawah ini.

dU  k . xdx

(1-66)

Maka total energi regangannya adalah : x

U 



k . xdx atau U 

0

1 2

k . x 2



1 2

k . x  x  1 Fx

(1-67)

2

Persamaan ini menunjukkan bahwa besar total energi remangan adalah luas area dibawah kurve gaya-perpindahan, seperti ditunjukkan pada Gbr. 2.9. F k

k

F

x

x


Untuk mengevaluasi energi potencial pada pegas tersebut maka kita dapat menggunakan persamaan (1-68).

P e 

1 2

k . x 2  F . x

Untuk memudahkan maka selanjutnya kita subtitusikan harga perpindahan, x , misalnya antara – 5 sampai dengan 13, dan selanjutnya dapat kita plot dalam kurve hubungan P e dan x , seperti dalam Gbr.2.11. Dari gambar tersebut dapat diketahui harga minimum dari petensial energi, yang mengindikasikan juga bahwa pada kondisi tersebut terjadi kesetimbangan. Dari sini dapat diketahui bahwa kondisi potensial enegi minimum terjadi pada perpindahan, ketika x = 4 m 18000

16000

14000

12000

10000

m . N

8000


Dengan menggunakan prinsip energi potensial minimum maka kita dapat menurunkan rumus matrik kekakuan dari elemen pegas. Dari Gbr. 2.10 yang mana suatu elemen pegas yang dikenai beban F , maka harga energi potensialnya dapat dinyatakan sebagai berikut ini;

P e



1 2

k d 2' x

 d 1' x   f 1 x' d 1' x  f 2' x d 2' x 2

Yang mana d 2' x

(1-71)

 d 1' x adalah deformasi dari elemen pegas, dan jika persamaan (1-

71) dijabarkan maka menjadi;

P e



1 2



k d 2' x

2

 2d 2' x d 1' x  d 1' x  f 1 x' d 1' x  f 2' x d 2' x 2

(1-72)

Dengan menggunakan prinsip energi potensial minimum, maka persamaan (1-72) diturnkan secara parsial sesuai dengan masing-masing node nya, menjadi sebagai berikut ini;

 P e 1  k  2d 2' x  2d 1' x   f 1 x'  0 1 x 2 (1-73)


BAB III PERSAMAAN DAN MATRIK KEKAKUAN UNTUK STRUKTUR

Pada Bab II dijelaskan bagaimana menurunkan rumus elemen dan matrik kekakuan pada elemen pegas dengan satu derajat kebebasan. Pada Bab III ini akan dijelaskan bagaimana menurunkan rumus dan matrik kekakuan elemen lebih dari satu derajat kebebasan pada koordinat lokal atau global di suatu struktur berdasarkan metode kekakuan langsung. Pertama akan dijelaskan penurunan rumus dan matrik kekakuan batang atau truss elastis dengan menggunakan tahapan yang telah dijelaskan pada Bab II. Karena elemen pada struktur arahnya tidak selalu paralel dengan suatu arah tertentu yang telah kita tentukan, maka perlu suatu cara untuk mentransformasikan vektor dari koordinat lokal ke koordinat global dengan menggunakan konsep matrik transformasi. Dengan matrik transformasi, kita dapat mengekspresikan matrik kekakuan ke sembarang arah pada koordinat global. Selanjutnya dijelaskan juga bagaimana menyusun


x ' T

Y

’ ’ 2x 2x , d L '

T ’ 1x , d ’1 x α

X

Gambar 3.1. Beban pada batang truss Pertama kita perhatikan pada Gbr. 3.1 sebelah kiri yang menunjukkan detail dari salah satu batang dari truss yang mana batang tersebut mempunyai koordinat lokal x’ - y’ dan mempunyai arah

terhadap koordunat global X-Y . Jika

kita asumsikan batang tersebut adalah suatu elemen yang mempunyai satu derajat kebebasan pada masing-masing node nya, maka dengan cara yang sama pada penurunan rumus elemen dan matrik kekakuan elemen pegas dapat digunakan. Oleh karena itu langkah-langkah umum yang terdiri dari 7 langkah seperti


1.Batang pada truss tidak dapat menahan gaya geser atau momen bending, yaitu ;

f '1 y '  0, f '2 y '  0, m'1  0 dan m' 2  0 2. Perpindahan kearah sumbu y’ dianggap kecil sekali atau tidak ada 3. Berlaku hukun hooke Berikut ini adalah 7 langkah prosedur yang digunakan untuk menurunkan matrik kekakuan pada statu batang truss, sesuai ditunjukkan pada Gbr.3.1 kiri. Di sini kita akan menurunkan berdasarkan koordinat l ocal, x’ - y’ . Langka 1. Menentukan jenis elemen

Menentukan jenis elemen, yaitu elemen batang dan notasinya pada masingmasing node pada masing-masing ujungnya seperti ditunjukkan pada Gbr.3.1. Langkah 2. Menentukan fungsi perpindahan

Karena elemen batang yang kita gunakan untuk merepresentasikan batang truss adalah linier maka, hubungan perpindahan linier sepanjang sumbu x’ adalah sebagai berikut;

u'  a1  a2 x '

(3-4)


dan hubungan tegangan dan regangan dinyatakan sebagai berikut ini

 x

 E . x

(3-8)

Langkah 4. Menurunkan matrik kekakuan elemen

Kita mengetahui dari pelajaran dasar statika bahwa gaya yang bekerja pada truss diteruskan atau didistribusikan ke masing-masing batang searah atau behimpit dengan batang, sehingga besar gaya yang bekerja pada suatu batang truss, T adalah :

T  A. x

(3-9)

atau dengan mennggunakan persamaan (3-7) dan (3-8) persamaan (3-9) dapat dinyatakan sebagai;

 d '2 x d '1x    L 

T  AE 

(3-10)

Jika merujuk pada Gbr.3.1 dan sesuai dengan sumbu x’ -y’, maka f’ 1x = -T , sehingga persamaan (3-10) dapat ditulis kembali sebagai;

f '

 d '1 x d '2 x  

AE 

(3-11)


ditinjau dari sistem koordinat yang sama, dalam kasus ini, misalnya, koordinat lokal tiap-tiap elemen paralel atau behimpit dengan koordinat global. Pada kasus batang pada struktur truss yang mana masing-masing batang dianggap sebagai suatu elemen dan arah orientasi masing-masing elemen bervariasi sesuai dengan koordinat lokal masing-masing elemen. Oleh karena itu untuk menggabung matrik kekakuan lokal menjadi global, masing-masing elemen harus ditransformasikan terlebih dahulu sesuai dengan orientasi koordinat global. Cara transformasi tersebut diterangkan pada sub bab selanjutnya. Berikut persamaan di bawah ini ditulis kembali seperti pada Bab II untuk menggabungkan masing-masing rumus kekakuan elemen menjadi rumus global. N

 K    k ' e 1

N

(e)

dan

 F   f '

(e)

(3-15)

e 1

Langkah 6. Menentukan perpindahan pada masing-masing node

Pada langkah ini perpindahan pada masing-masing node dapat diketahui dengan cara memecahkan persamaan kekakuan global F  K d secara simultan


1 y 1 x 2 2 F 3

3 4

Gambar 3.2. Struktur tiga batang a)

Dengan menggunakan persamaan (3-14) matrik kekakuan untuk masingmasing elemen batang dapat ditentukan sebagai berikut. Elemen 1

k '(1) 

A1 E 1

6

 1  1  0,01.20.10  1  1  105  1  1 N/m  1 1   1 1   1 1 

(3-16)


 F 1 x  1  F 2 x  5  1  10 0  F 3 x  0  F    4 x 

1 0 2 1 1 2 0 1

0  d 1 x  0 d 2 x   1d 3 x  N/m 1 d 4 x 

(3-20)

Dan jika kondisi batas disubtitusikan ke persamaan maka persamaan (3-20) menjadi;

1  0  2000  105  1 0  0  0  0  

1 0 2 1 1 2 0 1

0  0  0 d 2 x   1 d 3 x  N/m 1  0 

(3-21)

Karena mempunyai kondisi batas yang homogen maka persamaan (3-21) d apat diubah menjadi persamaan berikut ini;

2000  105  2  1d 2 x  N/m  1 2 d   0   3 x 

(3-22)

Dengan menyelesaikan persamaan (3-22) dengan cara simultan maka didapat harga perpindahan dari node 2 dan 3.

4

2

2

2


3.2. Transformasi Vektor Dua Dimensi

Untuk menganalisa suatu komponen dalam struktur biasanya kita akan mininjaunnya dari salah satu sistem koordinat, yaitu lokal atau global. Karena arah orientasi dari koordinat lokal belum tentu sama dengan koordinat global maka jika pengamatan dilakukan berdasarkan salah satu sistem koordinat, yaitu lokal atau global, maka salah satu dari sistem koordinat tersebut harus ditransformasikan ke koordinat yang lainnya. Untuk memahami transformasi vektor, Gbr.3.3 menunjukkan suatu titik d yang dapat ditinjau dari dua sistem koordinat, misalkan koordinat x’ - y’ yang mewakili koordinat lokal dan koordinat

X-Y mewakili koordinat global. Y '

d '


Dan jika dinyatakan dalam bentuk matrik menjadi ;

d x '   cos sin   d x   C S  d x  d    sin  cos  d    S C d   y    y   y '  

(3-29)

Yang mana C  cos  dan S  sin  . Persamaan (3-29) menghubungkan perpindahan, d , berdasarkan koordinat lokal dan koordinat global pada suatu node dengan dua derajat kebebasan (perpindahan ke arah x’ dan y’ ). Matrik

 C S  disebut matrik transformasi.  S C  Y

'

d

d y

x ' d x '

d y ' α

d x

X

Gambar 3.4. Hubungan antara koordinat lokal dan global pada vektor d


Untuk memudahkan, seperti telah kita ketahui bahwa, persamaan untuk kekakuan berdasarkan koordinat global pada elemen batang dengan dua node dengan dua derajat kebebasan dapat dinyatakan sebagai berikut;

 f 1 x   d 1 x   f 1 y   d 1 y    k   f  d   2 x   2 x  f  2 y  d 2 y 

(3-31)

atau f=kd yang mana f, k dan d adalah matrik gaya, kekakuan dan perpindahan berdasarkan koordinat global. Telah diketahui bahwa persamaan transformasi untuk node 1 dan 2 pada arah x’ adalah ;

d '1 x '  d 1 x cos   d 1 y sin  d '2 x '  d 2 x cos  d 2 y sin  Jika dinyatakan dalam bentuk matrik maka ;

 d  



 d 1 x   d 

(3-32)


Jika persamaan (3-34) disubtitusikan ke dalam (3-36), maka kita dapat menghubungkan gaya global dan lokal pada masing-masing node;

T * f  k ' T * d

(3-37)

Tetapi untuk mendapat persamaan akhir yang menghubungkan gaya global dan lokal pada masing-masing node, maka T* harus diinverse terlebih dahulu. Untuk matrik T* harus dimodifikasi terlebih dahulu untuk menjadi matrik bujursangkar. Oleh karena itu, kita harus menjabarkan matrik f’,d’ dan k’ sedemikian rupa sehingga konsisten dengan penggunaan koordinat global. Berdasarkan persamaan transformasi (3-29), maka d '  T * d , jika dinyatakan dalam bentuk matrik menjadi sebagi berikut;

 d '1 x '   C  d '1 y '   S d '    0  2 x '   0 d '2 y '   Yang mana

S C 0 0

0 0   d 1 x  0 0   d 1 y  C S   d 2 x   S C  d 2 y   

 C S 0  S C 0 T *    0 0 C

0 0 S 

(3-38)


Dan telah dibuktikan bahwa T *1

 T *T ,

yang mana T *T adalah transpose dari

T * , sehingga persamaan (3-41) dapat ditulis sebagai;

f  T *T k ' T * d

(3-42)

Maka dari persamaan (3-42) di dapat harga k global untuk satu elemen, yaitu;

k  T *T k 'T *

(3-43)

Jika matrik T* dari persamaan (3-38) dan matrik k’ lokal yang telah dijabarkan pada persamaan (3-39) disubtitusikan pada persa maan (3-43) maka didapat matrik

k global sebagai berikut;

 C 2 CS  C 2  CS    S 2  CS  S 2  AE  k    L  C 2 CS   simetri S 2  

(3-44)

Selanjutnya setelah matrik kekakuan berdasarkan koordinat global untuk elemen, persamaan (3-44), telah diketahui, maka matrik kekakuan untuk seluruh elemen atau struktur dapat dilakukan dengan cara menggabungkan matrik kekakuan


Contoh 3.2

Suatu elemen batang dari struktur truss seperti ditunjukkan pada Gbr. 3.5 mempunyai arah relatif terhadap sumbu x-y sebesar 60o. Jika batang mempunyai luas penampang A =0.04 m, panjang L = 6 m dan modulus elastisitas E = 20 x 10 9 N/m2, tentukan matrik kekakuan global berdasarkan sumbu x-y . x'

60o

x

Gambar 3.5. Elemen batang ditinjau dari koordinat lokal dan global

Untuk menghadapi permasalahan seperti ini, yang mana derajat kebebasannya adalah satu. Maka kita bisa langsung menggunakan persamaan (3-44). Sehingga


 f '1 x '  AE  1  1 d '1 x   f '   L  1 1 d '    2 x   2 x ' 

(3-48)

Telah diketahui bahwa tegangan yang bekerja pada suatu batang karena adanya gaya aksial adalah dapat dinyatakan sebagai berikut ini :  

f '1 x' A

(3-49)

Dari persamaan (3-48) dapat diketahui bahwa;

f '1 x ' 

AE L

1

 d '   1 1 x  d '2 x 

(3-50)

Jika persamaan (3-50) disubtitusikan ke persamaan (3-49), menjadi ;

 

E

 

E

L

1

 d '   1 1 x  d '2 x 

(3-51)

1

 1d '

(3-52)

Atau

L


sehingga d1x=0.25, d1y=0.01, d2x= 0.35 dan d 2y=0.5 mm. Tentukan besar tegangan pada batang tersebut. x'

2

60o 1

x

Gambar 3.6. Suatu batang dengan sudut 60 o terhadap sumbu x Untuk menyelesaikan soal ini, maka kita bisa menggunakan persamaan (354), yaitu;

 d 1 x   0.25   d   0.01 E E 1 y    (3-56)   C ' d  C S  C  S   C S  C  S  d 2 x  L  0.35  L     d 0 . 5 d 2 y   


menerima beban kearah bawah sebesar 1000 N. Tentukan perindahan kearah x dan y dan tegangan pada masing-masing batang. Modulus elastisitas batang E = 200 x 10 5 N/m2 dan luas penampang dari batang adalah A= 0,04 m 2. Panjang dari masing-masing batang ditunjukkan dalam gambar.

2 10 m 10 m

10 m 45o

4

1 3 1000 N

Gambar 3.5. Truss Untuk memudahkan, maka pertama kita tentukan dulu harga C dan S pada masing-masing elemen. Tabel 3.1 menunjukkan harga C dan S pada masing-


Elemen 2 d 1 x

 C 2  2  AE  k   L   simetri

CS S 2

d 1 y

d 3 x

d 3 y

 C 2  CS  1   CS  S 2  0.04 x200x105  0   10 C 2 CS   1  0 S 2  

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

  (3-58) 0 0 

Elemen 3 d 1 x

d 1 y

 C 2  3 AE  k   L   simetri

CS S 2

d 4 x

d 4 y

 C 2  CS   0.5 0.5  0.5  0.5   CS  S 2  0.04 x200 x105  0.5 0.5  0.5  0.5    2   0 . 5 0 . 5 0 . 5 0 . 5 10 C CS    2   0.5  0.5 0.5 0.5  S  (3-59)

Setelah matrik kekakuan global, k (e) , untuk masing-masing elemen dapat


 F 1 x   1.5 0.5  F   0.5 1.5  1 y    F 2 x   0 0    1  F 2 y   8 x104  0   F 3 x  0  1    0 0  F 3 y    F 4 x   0.5  0.5    0.5  0.5  F 4 y 

 F x  0   F  1000  y   F x   F  y    8 x10  F x    F   y  F x    F   y 1

1

2

2

3

3

4

4

4

0

0

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

 1.5 0.5  0.5 1.5   0 0  1  0  1 0   0 0   0.5  0.5  0.5  0.5

 0.5  0.5 d 1 x   0.5  0.5 d 1 y  0 0  d 2 x    0 0 d 2 y  (3-61)  0 0  d 3 x    0 0  d 3 y   0.5 0.5  d 4 x     0.5 0.5 d 4 y 

0

0

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

 0.5  0.5  d x   0.5  0.5  d y  0 0   d x  0    0 0   d y  0   d  0 (3-62) 0 0   x  0 0   d y  0    0.5 0.5  d x  0    d 0 0.5 0.5   y   1

1

2

2

3

3

4

4

Selanjutnya setelah persamaan kekakuan dapat disusun adalah mencari


Selanjutnya dengan menggunakan persamaan (3-54), tegangan pada tiap-tiap batang dapat ditentukan.

 d 1 x  125 x104   d    375x10 4  E 200 x105 1 y  1     C ' d  C S  C  S   0 1 0  1  d 2 x   L 10 0      0  d 2 y  125 x104   4  375 x 10 1 5   20 x105 x375 x104  75 x103 N / m 2   20 x10 0 1 0  1  0     0  125 x104    375 x10 4  2  5   20 x105 x125 x104  25 x103 N / m 2   20 x10 1 0  1 0  0     0  125 x104   4  375 x 10  


koordinat lolal x’y’z’ atau koordinat global xyz . Batang tersebut mempunyai arah orientasi yang berhimpit dengan sumbu x’ yang mempunyai sudut α , β dan γ masing-masing terhadap sumbu x, y dan z. Seperti diterangkan pada bab sebelumnya, untuk melakukan operasi transformasi maka kita harus menentukan terlebih dahulu matrik T* . Oleh karena itu, langkah pertama adalah menurunkan matrik transformasi T* , sehingga d '  T * d . d '

'

L

1

2

α

γ

' Gambar 3.6 Batang dalam koordinat tiga dimensi


Berdasarkan Gbr.3.6 dan difinisi dari operasi dot produk, maka didapat hubungan seperti dibawah ini.

i.i' 

x2  xl

j.i '  k .i' 

L y2  y1 L z 2  z 1 L

 cos   C x  cos   C y  cos   C z

Yang mana dari gambar tersebut diketahui bahwa ;

L 

 x

2

 xl 2   y2  yl 2   z 2  z l 2

Dan C , C y dan C z masing-masing adalah proyeksi i’ terhadap sumbu i, j dan k . x Sehingga persamaan (3-65) dapat dinyatakan sebagai berikut;

d ' x  d xC x  d y C y

 d z C z

(3-66)

Dengan menggunkan persamaan (3-66), kita dapat menyatakan secara eksplisit hubungan d '  T * d dalam bentuk matrik untuk node 1 dan 2 adalah sebagai


C x C  y C z k   0 0   0

  0  0  AE  1  1C x    C x  l  1 1  0 C y   C z  0

C y

C z

0

0

0

0

C x

C y

  C z  0

(3-68)

Jika disederhanakan menjadi ;

 C x2   AE   k   L    Simetri

C xC y

C xC z

C y2

C y C z C z 2

 C x2  C x C y  C x C z    C xC y  C y2  C y C z   C x C z  C y C z  C z 2   2 C x C x C y C xC z  C y2 C y C z   C z 2  

(3-69)

Contoh 3.5

Gambar 3.7 menunjukkan truss tiga dimensi yang terdiri dari 3 batang dan


L1

  x2  xl 2   y2  yl 2   z 2  z l 2 

 5   5  0 

5 2

L2 

  x3  xl 2   y3  yl 2   z 3  z l 2 

 5  5   5 

5 3

L3

  x4  xl 2   y4  yl 2   z 4  z l 2 

 5  5  5 

2

2

2

2

2

2

2

2

2

5 3

Elemen 1 Harga C x , C y dan C z dapat ditentukan sebagai berikut ;

i.i ' 

x2  xl

j.i'  k .i ' 

1

L

y 2  y1 L1

z 2  z 1 1

L



5 5 2

 

5 5 2 0 5 2



1



2

 C x

1 2

 C y

 0  C z (1)

Selanjutnya dengan menggunakan persamaan (3-69), matrik k dapat ditentukan.

d 1 x



56 569

d 1 y

56 569

d 1 z

0

d 2 x

d 2 y

 56 569  56 569

d 2 z

0


Elemen 3

x4  xl L3 y 4  y1 3

L

z 4  z 1 L3

  

5 5 3 5 5 3 5 5 3

1



3



1



1

d 1 x

3

3

 C x

 C y  C z d 1 y

d 1 z

d 4 x

d 4 y

d 4 z

 30.485  30.485  30.485  30.485 30.485 30.485   30.485 30.485 30.485 30.485  30.485  30.485  30.485 30.485 30.485 30.485  30.485  30.485 k 3    30.485 30.485 30.485 30.485  30.485  30.485  30.485  30.485  30.485  30.485 30.485 30.485   30.485  30.485  30.485  30.485 30.485 30.485    Untuk memperoleh K struktur, kita dapat mensuperposisikan matrik k dari masing – masing elemen batang. Karena struktur tersebut mempunyai 4 node dan tiap node mempunyai 3 derajat kebebasan, maka matrik K struktur berdimensi 12 x 12.


 0   1000 .54  0   117  F 2 x    04.4  F 2 y   56.57  F   56.57  2 z    0  F 3 x   30.49  F 3 x   30.49  F 3 y   3030..4949  F   30.49  4 x   30.49  F 4 y   F 4 z 



4.4

0

 

56.57

56.57 0

30.49



0 60.97

0

0

0

 56.57  56.57

0

56.57

56.57

0

0

0

0

56.57

56.57

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

30.49

0

0

0

0

30.49

0

0

0

30.49

0

0

0

30.49

30.49 30.49

 

30.49 30.49



30.49

30.49



30.49

30.49

 

30.49

30.49

0

30.49

56.57 0



117.54



56.57

 



30.49

30.49



30.49

30.49



30.49

30.49

30.49



30.49



30.49



30.49

30.49

30.49

 30.49  30.49

0

0

0

0

0

0

0

0

0

30.49

0

0

0

0

30.49





30.49

30.49

30.49

30.49

0

0

0

0

30.49

 30.49

0

0

0

0

0

0

 

30.49

30.49

30.49

30.49

 d 1 x  30.49   d  1 y  30.49    d  30.49  1 z   0 0  0  0  0  0   0  0  0  0  0  30.49   0  30.49  0  30.49  0  0 

Karena kondisi batasnya adalah homogen, maka kita dapat menghilangkan baris dan kolom yang berhubungan karena berharga nol, sehingga rumus persamaan kekakuan global dapat disederhanakan menjadi seperti dibawah ini.

d 1 x  0   0  117.54  4.4  0 d 1 y   1000    4.4 117.54 0 60.97   0   0  d 1 z  Dan jika dijabarkan menjadi;


1



2 



 3









200 x105 5

200 x105 5

200 x105 5

 

 

 0.32   8.54 1 1 1 1  0     0  0 25.06 x106 N / m 2 2 2 2 2   0  0  0   0.32   8.54 1 1 1 1 1 1  0     18.98 x106 N / m 2  3 3 3 3 3 3  0   0   0 

1 1 1 1     3 3 3 3

1 3

 0.32   8.54 1  0   18.98 x106 N / m 2    0 3  0   0 

3.7. Tumpuan Miring

Pada suatu kasus, tumpuan suatu struktur bisa mempunyai arah orientasi


Untuk menghadapi persoalan seperti ini, pertama kita perhatikan bahwa pada node 3, arah gaya yang bekerja sesuai dengan arah dari koordinat lokalnya maka pada node tersebut perlu transformasi arah gaya dari koordinat global ke koordinat lokal. Oleh karena itu rumus trasnformasi pada persamaan (3-29) dapat digunakan, dan untuk memudahkan maka ditulis kembali sebagai berikut ;

 d 3 x '   cos sin  d 3 x   C S d 3 x  d    sin  cos d    S C d   3 y    3 y   3 y '  

(3-71)

atau

d   t d  3'

3

3

    cos

sin  

  sin  cos 

Yang mana t 3'

Untuk transformasi global pada struktur dapat dinyatakan sebagai;

d '  T d 

(3-72)

d   T d '

(3-73)

I

Atau T


 d 1 x  1  d    1 y  0 d 2 x   0   d 2 y  0  d 3 x  0    d 3 y   0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

cos

0

0

0

sin 

 d 1 x '   d  0  1 y '  0  d 2 x '    0 d 2 y '   sin   d 3 x '    d cos    3 y '  0

(3-75)

Untuk gaya yang bekerja pada masing-masing node maka dapat juga ditransformasikan dengan cara seperti pada persa maan (3-34), yaitu;

 f '  T  f  I

(3-76)

Dan telah kita ketahui bahwa gaya sesuai dengan koordinat global dapat dinyatakan dalam persamaan kekakuan, yaitu ;

 f    K d 

(3-77)

Jika kedua sisi dikalikan dengan T I , maka persamaan (3-77) menjadi;

T  f   T  K d  I

I

(3-78)

Jika dinyatakan dengan matrik, maka ruas kiri pada persamaan (3-78) adalah


 F 1 x   d 1 x   F   d   1 y   1 y   F 2 x  T  d 2 x     T I  K T I     F 2 y   d 2 y   F 3 x '  d 3 x '      F  3 y '  d 3 y ' 

(3-82)

Yang mana telah kita ketahui bahwa nilai perpindahan pada node 1 dan 2 jika ditinjau dari koordinat global dan lokal adalah sama.

Contoh 3.6

Gambar 3.8 menunjukkan truss dua dimensi yang terdiri dari 3 batang dan 3 node. Node 1 ditumpu dengan engsel dan node 3 ditumpu dengan jenis tumpuan roll. Sedangkan pada node 2 diberi beban sebesar F = 2000 N. Tumpuan roll pada node 2 membentuk sudut α = 45 0. Luas penampang masing-masing batang 1, 2 dan 3 adalah sama yaitu A = 0,04 m 2 dan E = 200 x 10 5 N/m2. Tentukan perpindahan pada node 2 .


menyusun matrik kekakuan, kita identifikasi dulu arah orientasi masing-masing batang, seperti ditunjukkan pada tabel 3.2. Tabel 3.2. Harga C dan S No Elemen

Node

1

1-2

2 3

Sudut

C

S

C 2

S 2

CS

0

1

0

1

0

0

2-3

90

0

1

0

1

0

1-3

45

0.707

0.707

0.5

0.5

0.5

Selanjutnya dengan menggunakan persamaan (3-44) matrik k untuk masingmasing elemen dapat disusun. Elemen 1

d 1 x

1 0 k 1  16 X 104  1 0  Elemen 2

0 0 0 0

 1 0  16   0 0 0  104    16 1 0  0 0 0  

d 1 y 0 0 0 0

d 2 x

d 2 y

 16 0 0 0 16 0 0 0 


Setelah matrik K global dapat ditentukan, maka dengan menggunakan persamaan (3-82) harga gaya-gaya pada masing-masing node dapat ditentukan.

  

Untuk lebih memudahkan kita tentukan matrik T I K , yaitu; Harga α = -45O.

1 0 0 T I  K    0  0 0

0 1 0



0 0 1



0 0 1

2 0

1

0 0

0 0

4  2  2   4 X 10 4  2 2  2 2  2   2

0

2



1

2

  4  2   2 0  4 4 4 X 10  0 0  2   2  0 1

0 0 0 0

0

2 0 0

1 0

0

0

 2  2

0 0

4 0

0 4

0 0

 2  2

0

0

2

0

4

2

2

4

0

2

0

0

0

2 2

0

2 2

2 2 2 2

 2  2

0

0

2

0

4

2

2

4

0

2

 2  2 0 0

  0  4   2  4  2  2  2

   2 2  2 2  2  4  2   2  2

dan



1

0

0

0

0

0




Dan dengan mensubtitusikan kondisi batas, maka persamaan diatas menjadi ;

4  2  F 1 x   2  F 1 y  2 2  0  4  4 X 10  F 2 y '   2 2   F   2  3 x    2  2000

2

2 2

2 2

2

0

0

 2  2

0

4

0

0

0

0

4

0

 2  2

0

0

2

2 2

2 2

2

 0   0  d 2 x '  2 2  0  2 2  0  2  d 3 y  4  2   2  2

Karena kondisi batas adalah homogen maka didapat ;

 0   4 X 10 4  4  2000 2 2 d 3 y

2 2 4



d 2 x '    2  d  3 y 

,

maka

d 2 x'

 10,35mm

dan

 14,64mm

Dan gaya-gaya global yang bekerja pada masing-masi ng tumpuan dapat dilakukan dangan mensubtitusikan harga-harga d dan d pada persamaan kekakuan 2 x ' 3 y struktur.


BAB IV KEMIRINGAN DAN LENDUTAN PADA BATANG 4.1. Kekakuan Batang

Pada sub bab ini diterangkan bagaimana menurunkan matrik kekakuan untuk elemen batang sederhana ( simple beam). Telah kita ketahui dari statika struktur, bahwa yang dimaksud dengan batang sederhana adalah suatu batang memanjang yang ditumpu pada kedua ujungnya dan menerima beban tranversal atau melintang sehingga menghasilkan efek bending atau tekuk sebagai rea ksi dari rotasi dan efek aksial. Berubahan bentuk tekuk atau lendutan (deformasi bending) diukur dari perpindahan transversal atau melintang dan besar sudut rotasi pada batang, seperti ditunjukan dengan garis putus-putus pada Gbr. 4-1. Sehingga derajat kebebasan pada batang sederhana ini adalah perpindahan melintang dan rotasi. Gambar 4.1 menunjukkan elemen batang sederhana yang terdiri dari dua node dan mempunyai panjang L . Elemen batang tersebut mempunyai koordinat


itu, kita dapat mengetahui besar moment pada tiap bagian beam, M(x) . Sesuai dengan dasar-dasar statika, hubungan antara moment, gaya lintang terhadap defleksi dan kemiringan pada beam dinyatakan sebagai berikut; Deflection Slope 

 y

(4-1a)

dy dx

(4-1b)

   EI

Moment  M x

d 2 y dx 2

 

GayaVertik al  V x

Beban

 w x  

dV dx

dM dx

 EI

(4-1c)

 EI

d 4 y dx 4

d 3 y dx 3

(4-1d)

(4-1e)

Rumus (4-1) berlaku dengan asumsi harga modulus elastisitas E dan momen inersia I adalah konstan. Selanjutnya sesuai dengan prosedur penurunan persamaan dan matrik kekakuan pada bab sebelumnya, maka disini kita turunkan untuk kasus elemen


v' ( L)  d 2 y ' dv' ( L) dx'

 a1 L3  a2 L2  a3 L  a4

(4-3c)

  2 '  3a1 L2  2a2 L  a3

(4-3d)

Selanjutnya dengan menggunakan empat persamaan (4-3), konstanta a1 sampai dengan a 2 dapat ditentukan dan kemudian disubtitusikan kembali ke persamaan (4-2), maka ; 1 1 2   3  v '   3 d 1 y '  d 2 y '   2  1 ' 2 '  x '3    2 d 1 y '  d 2 y '   2 1 ' 2 '  x ' 2 L L  L   L 









  1 ' x' d 1 y ' (4-4) dan jika disederhanakan sesuai dengan parameter perpindahan dan rotasi (kemiringan) maka persamaan (4-4) menjadi sebagai berikut;

1  1  v'   3 2 x'3 3 x'2 L  L3  d 1 y '   3  x'3 L  2 x'2 L2  x' L3  1 '  L   L  1 1   3  2 x'3 3 x'2 L  d 2 y '   3  x'3 L  x'2 L2  2 '  L   L 


3. Mendefinisikan hubungan regangan/perpindahan dan tegangan/regangan

Regangan arah aksial pada bidang dua dimensi dapat dinyatakan sebagai hubungan sebagai berikut ;



 x ' x' , y '

  du'

(4-7)

dx'

yang mana du’ adalah fungsi perpindahan keaarah x’ . Jika merujuk pada Gbr. 4.2 yang menunjukkan terjadinya perubahan bentuk beam, maka hubungan perpindahan arah aksial dan tranversal dapat dinyatakan sebagai ;

u '   y '

dv' dx'

(4-8)

yang mana dv’ adalah fungsi perpindahan kearah y’ . Sehingga persamaan (47) dapat dinyatakan sebagai;



 x ' x' , y '

   y'

d 2 v' dx'2

(4-9)

’,v ’

D


   EI

Moment  M ' x'

d 2v' dx'2

(4-10)

dan

 

GayaVertik al  V ' x'

dM dx

 EI

d 3v ' dx'3

(4-11)

4. Menurunkan rumus dan matrik kekakuan

Dengan mensubtitusikan persamaan (4-4) ke persamaan (4-10) dan (4-11) maka kita mendapatkan persamaan gaya dan momen pada masing-masing node ( f iy’ dan mi ’) .

f 1 y ' .

 V ' 0  EI

   EI 12d

d 3v ' 0 dx'3

f 2 y '

 6 L 1 '12d 2 y '  6L 2 '

   EI 6 Ld

    EI

d 2 v ' 0

 V '  L    EI

d 3v ' L

m'1   M ' 0

1 y '

L3

dx'

1 y '

 4 L2 1 '6 Ld 2 y '  2 L2 2 ' 

   EI  12d

 6 L 1 '12d 2 y '  6L 2 '

2

dx'3



d 2 ' L

3

L

L3

EI

1 y '

(4-12)


Contoh 4.1

y 100 N m 1

3 2

1

x

2 1m

1m 100 N

Gambar 4.3 Beam sederhana Dengan menggunakan persamaan (4-13), maka matrik kekakuan untuk masingmasing elemen dapat disusun. Elemen 1

d 1 y '

 '1

d 2 y '

 2 '

 12 6  12 6   6 6 2  4 k '(1)  EI   12  6 12  6  6  6 4  2  Elemen 2

d 2 y '

 ' 2

d 3 y '

 3 '

(4-14)


 F 1 y   d 1 y  12 6 12 6 0 0     M 1    1  6 4 6 2 0 0     F     2 y   EI  12  6 12 0  12 6 d 2 y  6 2 0 8  6 2   2   M 2   0 0 12 6 12  6  d     F 3 y   0 0 6 2  6 4  3 y    M 3    3 

(4-17)

Dengan mensubtitusikan kondisi batas, maka persamaan (4-17) menjadi ;

 F 1 y  0 0  0   12 6  12 6  M 1  6 2 4 0 0  0   6  100  12  6 12 0  12 6 d 2 y   100  EI  6  6 2   2  2 0 8  F   0 0  12  6 12  6 0  3 y    0  6 4  0  0 6 2   M 3 

(4-18)

Karena kondisi batasnya homogen, maka;

 100  EI 12 0d 2 y   0 8    100  2 Dan jika dijabarkan maka persamaan (4-19) menjadi sebagai berikut;

d

50

(4-19)


W (N/m)

L

a.) Beban merata dengan tumpuan jepit dikeduaujungnya wl 2

wl 2

12

12

wl

wl

2 b) Reaksi pada masing-masing tumpuan

2

Gambar 4.4 Beban merata beam Jika masing-masing tumpuan pada diagram bebas Gbr.4.4b dianggap sebagai node, maka beban equivalen pada beam yang disebabkan oleh beban merata dapat dinyatakan seperti pada Gbr. 4.5. Beban equivalen pada masingmasing node atau tumpuan adalah beban yang mempunyai efek yang sama


yang mana F adalah gaya-gaya pada tiap-tiap node, F 0 adalah gaya-gaya equivalen pada masing-masing node, dan Kd adalah gaya efektif yang bekerja pada node.

Contoh 4.2

Gambar 4.6a menunjukkan suatu kantiliver dengan beban yang terdistribusi, dan pada Gbr.4.6b menunjukkan tegangan equivalen yang terpusat pada tiap-tiap node untuk beam dengan beban merata. Beban equivalen terpusat tersebut adalah semua beban yang memungkinkan dapat diterima pada node.

l a. Kantilever dengan beban merata



wl 2



wl 2


Sehingga harga d dapat ditentukan dangan menggunkan persamaan (4-13) ;

  wl   2   wl 2   d    EI  12 6 L2  12 6 L2  1 y   12   3  6 L 4 L  6 L 2 L   1  12  6 L d 2 y   wl  L  12  6 L  2 2   2   6 L 2 L  6 L 4 L   2   wl 2     12 

(4-22c)

Selanjutnya kita subtitusikan kondisi batas, karena pada node 1 adalah tumpuan jepit maka harga perpindahan dan rotasi adalah nol ( d 1 y

  1  0 ),

sehingga

persamaan (4-22c) disederhanakan menjadi;

 wl   2  EI  12  6l d 2 y   wl 2   L3  6l 4l 2     2    12 

(4-22d)

Dengan meniverse matrik K pada persamaan (4-22d), maka harga matrik d dapat ditentukan sebagai berikut ;


Karena pada node 1 adalah tumpuan jepit maka harga perpindahan dan rotasi adalah berharga nol sehingga persamaan (4-22f) menjadi;

 F 1 y   12 6 L2  12  M 1   6 L 4 L  6 L  F   EI  12  6 L 12  2 y   6 L 2 L2  6 L   M 2 

  wl   0   2  2  6 L   0 4   wl  2 L2    wl   12   6 L  8 EI    wl     4 L2   wl 3   2   6 EI   wl 2   12 

 wl    wl   2   2   F 1 y   5wl 2   wl 2   wl 2   M 1   12   12   wl   F    wl    wl    2   2 y         0   M 2   22   22   0  wl wl      12   12 

(4-22g)


BAB V DEFLEKSI/LENDUTAN (SPE CI AL CASE S )

Dalam perencanaan suatu bagian mesin atau struktur selain perhitungan tegangan ( stress) yang terjadi akibat beban yang bekerja, besarnya lenturan seringkali harus diperhitungkan. Hal ini disebabkan walaupun tegangan yang terjadi masih lebih kecil daripada tegangan yang diijinkan oleh kekuatan bahan, bisa terjadi besar lenturan akibat beban yang bekerja melebihi batas yang diijinkan. Keadaan demikian dapat menyebabkan kerusakan yang serius pada bagian mesin seperti : a. Keretakan pada bahan b. Bantalan pada poros yang berputar cepat rusak. c. Bidang kontak antara roda-roda gigi menjadi tidak sempurna. Besarnya lenturan yang terjadi pada suatu bagian mesin terutama tergantung kepada beberapa faktor sbb.


tahun 1873. Teori dasar metode ini dikembangkan berdasarkan perhitungan besar energi yang tersimpan didalam suatu batang akibat beban yang bekerja padanya. Prinsip kekekalan energi dapat dipakai sebagai dasar pembahasan metode ini, yaitu energi input harus selalu sama dengan output ditambah energi yang hilang dan lain-lain. Pada suatu batang yang terbebani energi inputnya adalah kerja yang dilakukan oleh beban, sedang outputnya adalah energi yang tersimpan didalam batang karena batang tidak melakukan kerja. Teori dasar dari metode Castigliano, yang secara umum dapat dijabarkan sebagai : "Apabila energi strain yang tersimpan didalam batang dapat dinyatakan dalam fungsi gaya-gaya yang bekerja padanya, turunan partial fungsi tsb. terhadap salah satu gaya adalah sama dengan lenturan yang terjadi pada titik bekerjanya gaya tersebut. "

Besar lenturan (yi) yang terjadi pada suatu titik dimana bekerja gaya Pi adalah : yi =

 U  Pi

=

1

EI

L

 0

M

 M  Pi

dx

(5-1)


Solusi pendekatan yang dipilih adalah fungsi polinomial cubic : v(x) = a1 + a2 x + a3 x2 + a4 x3

(5-2)

konstanta a1, a2, a3 dan a4 dapat dicari dengan memanfaatkan persamaan kondisi batas yang ada pada node. v = v1 dan

v = 1 pada x = 0 x

v = v2 dan

v = 2 pada x = L x

(5-3)

Sehingga didapatkan persamaan perpindahan titik node dengan konstanta yang akan dicari dalam bentuk matrik sebagai berikut :

v      v  =     1

1

2

2

1 0  1 0 

0

0

0

1

0

0

L

2

3

L

2L

1

L

2

2L

     

a a  a  a

1

2

3

4

     

Matrik konstanta dapat dicari dengan invers yaitu :

a 



3

L

0

0

0

 v 


 x  N4(x) = –   +  L  2

 x     L  3

2

(5-4)

N1(x), N2(x), N3(x) dan N4(x) adalah Shape Function. Persamaan stiffness dari elemen beam didapat dengan menggunakan teorema Castigliano yaitu : Fi = Dengan :

U q i

(5-5)

Fi = nodal force / moment U = strain energy q = perpindahan / rotasi nodal dof i = jumlah dof

Strain energy elemen beam dengan uniform cross section adalah :

E I   v  L

U=

2

2

2

  x  dx 2

(5-6)

0

Sehingga dibutuhkan differensial terhadap shape function untuk memenuhi


= k 11 v1 + k 12 1 + k 13 v2 + k 14 2 L

dengan :

L



k 11 = E I

N1’’(x) N1’’(x)

k 12 = E I

0

N1’’(x) N2’’(x)

0

L

L



k 13 = E I



N1’’(x) N3’’(x)

k 14 = E I

0



N1’’(x) N4’’(x)

0

diambil contoh untuk menghitung k 11 yaitu : 2

72 x 48 x  6  12 x  dx = E I  k 11 = E I    36x   L  L  L L  L L

2

2

4

3

0

2

3

  

L

0

E I L

= 12

3

Dengan prosedur yang sama maka dapat dirumuskan persamaan stiffness yaitu :

 Y 1

  M     Y  = 1

    E I  

12 2

L 6

L 12

6 L

4 6

 

12 2

L 6

L 12

  L  2   6 6

v      v    1

1


Model Elemen hingga dapat digambarkan sebagai berikut: EI

1 M1, 1

2E I

2

M2, 2

Y1, v1

3 M3, 3

Y2, v2 L

Y3, v3 2L

Persamaan {F} = [K] {d} didefinisikan sesuai informasi kasus, sehingga:

 Y 1    M    1   Y 2    M 2        Y 3    M    3 

[ K ] global  assembly [k 1 ] & [k 2 ]

        

 v1     1  v2   2     v3     3

Masukkan harga pembebanan (Y 2 = -P, M2 = PL dan M 3=0) dan harga displacement kondisi batasnya (v1 =

1 =

v3 = 0), sehingga:


Assembly [k]1 dan [k]2 menjadi elemen kekakuan global [K] G  1

 12  L2    2 EI   K G   2 L      

 1

 2

 2

6

 12

6

L

L2 6

L

4

12 L2

L



 3

0

2 3

6

L2

L



0 3

3

L

L2 3

44

L 3 L2

 3

 0   0   3  L   2    3 L  4 

v1  1

v2  2

v3  3

Dimasukkan ke persamaan {F} = [K] {d} sehingga:

 Y 1   M   1

 12  L2   

6

 12

6

L

L2 6

L

4

L

2

0

0

0

0

   0     0


Contoh 5.2

Hitung lendutan di tengah batang kasus berikut. p(x) = -p

L/2

EI

L/2

Model Elemen hingga dengan menggunakan 2 elemen dapat di gambarkan berikut: 1 M1, 1

EI

2 M2, 2

Y1, v1

L/2

2E I

3 M3, 3

Y2, v2

L/2

Y3, v3

Kasus ini merupakan kasus simetri sehingga bisa dimodelkan dengan ½ bagian. Model Elemen hingga dapat disederhanakan dengan minimal 1 elemen saja. 1

EI

2


dan di kasus ini beban merata perlu ditranformasikan dulu menjadi beban ekuivalen node, dimana: L

M1 =

2

 0

L

Y2 =

2

 0

Sehingga :

  x 2  x3  p L2  p .  x  4   4 3  dx =  48  L  L   3   x 2 p L x     p . 12   16   dx =  4  L     L 

 M 1     Y 2 

 4  12  L  L   1     48 EI  12 48 v2     L L  3

2

Contoh 5.3

Hitung lendutan di ujung batang kasus berikut. p(x) = -p  

x 

  L 



 1  PL3   =  24 EI v2 

 1   51 16 


Masukkan harga displacement kondisi batasnya (v 2 =

2 =

0), sehingga

penyelesaian matrik bisa dikurangi ukurannya menjadi:

12  L  Y 1    M  EI   1   Y 2  L     M   2 

 12

6

2

2

L

L

6

4

L 12

simetri

2

L

 L  v1    2   1   0  6     L   0  4  6

dan di kasus ini beban merata perlu ditranformasikan dulu menjadi beban ekuivalen node, dimana: L

Y1 =

 0

L

M1 =

 0

  x 2  x 3  3 p L  . 1  3   2   dx =  0 20 L   L   L   p0 x

  x 2  x 3  p0 L2  .  x  2   3  dx =  30 L   L  L  p0 x

12  Y  EI  2

6

  v 




Posisi Pembebanan yaitu di ujung batang y A

B

C

D

E

F

G x

L

P

Gambar 5.2. Model Kasus dan Jarak Lokasi Pengambilan Data b) Komparasi yang dilakukan adalah dengan : 1. Ekperimental dengan cara mengukur lenturan 2. Metode Analitis dengan Metode Castigliano 3. Metode Numerik dengan Metode Elemen Hingga

Penyelesaian a. Ekperimental dengan cara mengukur lenturan


400

1,78

6,05

12,18

20,735

28,935

38,93

42,49

500 2,235

7,495

15,2

25,23

36,385

48,115

52,56

600

2,67

8,735

18,4

30,05

43,12

57,39

62,56

700

2,96

10

21,33

34,9

50

66,36

72,35

800

3,2

11,27

24,2

39,59

56,93

75,36

82,08

900

3,71

12,68

27,07

44,33

63,755

84,22

91,58

1000

4,05

14,11

29,595

48,97

70,125

92,52

100,81

1100

4,46

15,345

32,715

53,655

76,645

101,23

109,86

b. Metode Analitis dengan Metode Castigliano

y

x P

x


Tabel 5.3. Hasil perhitungan dengan metode Castigliano P (gr)

Lendutan Plat 1

Lendutan Plat 2

200

8,2845

20,8642

300

12,4267

31,2963

400

16,5689

41,7284

500

20,7111

52,1605

600

24,8534

62,5926

700

28,9956

73,0247

800

33,1378

83,4568

900

37,2800

93,8889

1000

41,4223

104,3210

1100

45,5645

114,7531

c. Metode Elemen Hingga dengan bantuan Ansys.

Pemodelan dilakukan dengan menggunakan elemen beam, yaitu elemen garis dengan 2 node dan masing-masing node memiliki 2 dof yaitu translasi (dalam bentuk lendutan) dan rotasi (dalam bentuk slope). Meshing Kasus dibuat


800 1.1609

4.3872

9.2942

15.497

22.612

30.254

33.138

900 1.3060

4.9356

10.456

17.435

25.439

34.036

37.280

1000 1.4511

5.4840

11.618

19.372

28.265

37.817

41.422

1100 1.5962

6.0324

12.780

21.309

31.092

41.599

45.564

Tabel 5.5. Hasil perhitungan dengan Ansys untuk plat 2 P (gr)

LOKASI PERHITUNGAN DATA LENDUTAN (mm) A

B

C

D

E

F

G

200 0.70275

2.6591

5.6410

9.4207

13.770

18.462

20.864

300 1.0541

3.9886

8.4615

14.131

20.655

27.692

31.296

400 1.4055

5.3181

11.282

18.841

27.540

36.923

41.728

500 1.7569

6.6477

14.103

23.552

34.425

46.154

52.160

600 2.1083

7.9772

16.923

28.262

41.311

55.385

62.593

700 2.4596

9.3067

19.744

32.972

48.196

64.615

73.025

800 2.8110

10.636

22.564

37.683

55.081

73.846

83.457

900 3.1624

11.966

25.385

42.393

61.966

83.077

93.889

1000 3.5138

13.295

28.205

47.104

68.851

92.308

104.32

1100 3.8651

14.625

31.026

51.814

75.736

101.54

114.75


GRAFIK BEBAN - LENDUT AN UNTUK PLAT 1 50

45

40

)35 m 30 m ( N 25 A T U 20 D N E 15 L

HASIL PENGUJIAN

10

METODE CASTIGLIANO METODE ELEMEN HINGG A

5

0 0

200

400

600

800

1000

1200

PEMBEBANAN (gr)

Gambar 5. Hasil pengukuran dan perhitungan lendutan Hasil yang didapatkan metode elemen hingga memiliki kelebihan yaitu dapat memplot besar lendutan pada tiap node sepanjang batang tergantung dari


BAB VI STRUKTUR

Pada bab terdahulu dijelaskan bagaimana menurunkan rumus-rumus dan matrik kekakuan pada beam sederhana, yang mana pada beam tersebut dapat dianggap satu elemen atau lebih dari satu, dan mempunyai arah orientasi yang paralel dengan koordinat global atau juga mempunyai arah tertentu terhadap koordinat global. Pada kenyataan, suatu struktur tidak hanya tersusun dari satu beam saja tetapi lebih dari satu beam dan mempunyai arah orientasi yang berbeda beda dalam satu kesatuan. Struktur tersebut dalam ilmu statika disebut sebagai, truss, frame dan grid . Oleh karena itu, dalam bab ini akan diterangkan bagaimana menurunkan rumus dan matrik kekakuan pada struktur truss, frame dan grid . 6.1. Elemen Beam 2-D Arah Orientasi Sembarang

Gambar 6.1 menunjukkan suatu beam yang membentuk kemiringan atau arah tertentu terhadap koordinat X-Y sebesar α, sehingga beam paralel dengan


Dengan menggunakan rumus ke dua transformasi (6-1), jika efek aksial pada beam diasumsikan tidak ada, maka hubungan perpindahan dan rotasi lokal pada tiap-tiap node terhadap perindahan dan rotasi global dapat dinyatakan sebagai berikut;

 d 1 y '   S   '1   0 d    0  2 y '   0   2 '  

C 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 0  S C 0 0

 d 1 x    0  d 1 y  0   1  0  d 2 x  1 d  2 y   2 

(6-2)

Sehingga matrik transformasi dapat didefinisikan sebagai berikut:

 S 0 T *   0  0

C 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 0 0 0  S C 0 0 0 1

(6-3)

Persamaan 6-2 menindikasikan bahwa rotasi tidak bervariasi atau konstan terhadap sistem koordinat, baik global maupun lokal, sehingga rotasi  ’

 dan


menunjukkan batang dengan beban aksial. Sehingga tiap elemen mempunyai 3 derajat kebebasan yaitu, d iy ' , d ix' ,  'i .

Y

d'2

’

Y’  '2

d'1

L

2

f' 2x

α

 '1

1

f' 1x

Gambar 6.2. Gaya aksial lokal yang beraksi pada batang Untuk efek aksial dapat kita gunakan persamaan (1-13), yaitu;

 f '1 x  AE  1  1 d '1 x   f '   L  1 1 d '    2 x   2 x 

(6-5)

Jika efek aksial diperhitungkan maka persamaan (6-5) dapat dikombinasikan


 C 1 0 0 0 0   C 1  0  12C 2 6C 2 L  12C 2 6C 2 L 0  0 2  6C 2 L 2C 2 L2  6C 2 L 4C 2 L 0 ' k    C 1 0 0 C 1 0 0     6C 2 L 0 12C 2  0  12C 2  6C 2 L  0  6C 2 L 4C 2 L2  6C 2 L 2C 2 L2 0

(6-8)

Dengan mengkombinasikan persamaan (6-1) dan (6-2) maka, koordinat lokal dan global dapat dihubungkan dengan persamaan berikut ini.

 d 1' x  C  d '    1 y'   S   1    0  d 2' x   0 d '   0  2' y   0   2 

S C 0 0 0 0

 d  0 0 0  1 x  d 0 0 0  1 y  0 0 0   1  C S 0  d   2 x  S C 0d 2 y   0 0 1   2 

0 0 1 0 0 0

(6-9)

Sehingga dapat diketahui bahwa matrik transformasi yang meliputi efek gaya aksial lokal adalah ;

 C  S

S 0 C 0

0 0

0 0

0 0


  2 12 I 2   AC  S  2  L          E  k  x   L    Simetri             

    12 I    A  CS   2   L   2 12 I 2 AS  C 2 L

    6 I  2 12 I 2   S   AC  S    2 L   L       6 I 12 I   CS   A  C   2 L   L   6 I 4 I

S L 2 12 I 2 AC  S 2 L

    12 I   CS   A    2   L       12 I  2 2  AS  C    2   L  



6 I C

L     12 I    A  CS   2   L   2 12 I 2 AS  C 2 L

 6 I   S   L    6 I   C   L     2 I     6 I  S   L   6 I   C   L   4 I  

(6-13)

Contoh 6.1

Gambar 6.3 menunjukkan suatu frame yang dijepit pada node 1 dan 4. Frame tersebut mendapat gaya horizontal sebesar 1000 N pada node 2 dan


Elemen 1

C  Cos90  0 d 1 x

  24   0   120 k 1  104    24   0   120 

S  Sin90 1 d 1 y

 1

d 2 x

d 2 y

 120  24

0

0

40000

0

0

40000

0

800

120

0

0

120

24

0

40000

0

0

40000

0

120

120

0

 2

  120  0   400    120   0   800  

Elemen 2

C  cos315  1 2 d 2 x

 

40096

S  sin 315   1 2 d 2 y

39904

 2

240

d 3 x

d 3 y

 3

40096

40048

240

 


Selanjutnya matrik kekakuan struktur mempunyai dimensi 12x12 karena struktur ini mempunyai 4 node dan pada masing-masing node mempunyai 3 derajat kebebasan. d 1 x

d 1 y

 24  0  120   24  0 4   120 k  10  0  0  0  0  0   0

0 40000 0 0 40000 0 0 0 0 0 0 0

 1

d 2 x

120

24

0 800 120 0 400 0 0 0 0 0 0

0 120 40120  39904 360  40096 40048 240 0 0 0

d 2 y 0 40000 0  39904 80096 240 39904 40096 240 0 0 0

d 3 x

 2 120 0 400 360 240 240  240  240 800 0 0 0

0 0 0  40096 39904  240 40288  39904 240 192 0 480

 3

d 3 y 0 0 0 40048 40096  240  39904 120096  240 0 80000 0

0 0 0 240 240 800 240  240 3200 480 0 800

d 4 x

d 4 y

0 0 0 0 0 0 192 0 480 9600 0  240

0 0 0 0 0 0 0 80000 0 0 80000 0

 4 0  0  0  0  0  0  480  0  800   240 0  1600  

Dengan menggunakan hubungan F=Kd , maka;

 F   1 x   F 1 y   M   24  1  0  F 2 x   120     24 F  2 y   0  M 2  4   120    10  0  0  F 3 

0 40000 0 0 40000 0 0 0

 120

 24

0 800 120 0 400 0 0

0 120 40120  39904 360  40096 40048

0 40000 0  39904 80096 240 39904 40096

 120 0 400 360 240 240  240 240

0 0 0  40096 39904  240 40288 39904

0 0 0 40048 40096  240  39904 120096

0 0 0 240 240 800 240 240

0 0 0 0 0 0 192 0

0 0 0 0 0 0 0 80000

0 0 0 0 0 0 480 0

 d 1 x   d    1 y   1   d 2 x  d 2 y      d 2   3 x 


Karena kondisi batasnya homogen maka disederhanakan menjadi:

 40120 1000  0   39904  0   104  360  40096  0   40048  0   240  500  

 39904 80096 240 39904 40096 240

360 240 240 240 240 800

 

 40096 39904 240 40288  39904 240



40048 40096 240  39904 120096 240

 

240 240 800 240 240 3200



 d  d 2 x   2 y    2   d   3 x   d 3 y    3  

Sehingga didapat nilai-nilai sebagai berikut;

d 2 x

 6.13

d 2 y

 0.115  2  1.110rad

d 3 x

 6.285

d 3 y

 0.078

 3  0.483rad

6.2. Tumpuan Miring

Gambar 6.4 menunjukkan suatu frame dengan salah tumpuannya membentuk kemiringan terhadap koordinat global. Untuk menyelesaikan i ni maka node pada tumpuan dapat ditransfomasikan dari koordinat global ke lokal dengan menggunkan persamaan (6-9), dan untuk salah satu node dapat kita tulis kembali


 d '1 x   F 1 x  d '   F   1 y   1 y    1'   M 1      d 2 x    F 2 x   F 2 y   T I  K T I T  d 2 y        2   M 2   d   F   3 x '   3 x '   d 3 y '   F 3 y '     M    3   3

(6-16)

6.3. Grid

Berbeda dengan frame atau truss, pada grid, beban yang bekerja mempunyai arah tegak lurus dengan bidang grid. Gambar 6.5 menunjukkan contoh arah beban dari grid.


'

m' 1x ,  ’ 1x m' 1z ,  ’1 z

1

m' 2x ,  ’2 x 2

x'

m' 2z ,  ’ 2z

L ' ' 1y , d’ 1y

' 2y , d’ 2y

Gambar 6.6 Elemen grid dengan derajat kebebasan pada masing-masing node Untuk menurunkan matrik kekakuan lokal pada elemen grid, maka kita harus memperhitungkan pengaruh torsi ke dalam matrik kekakuan dasar batang. Untuk memudahkan disini kita tulis kembali rumus matrik kekakuan dasar sesuai dengan rumus (4-13).

 12 6 L 12 6 L  EI  6 L 4 L2  6 L 2 L2  k   6 L  12 3  12  6 L  

(6-17)


DAFTAR PUSTAKA

Grandin, Hartley. Jr. “Fundamentals of The Finite Element Method ”. Mac Millan Publishing Company. Yang, T.Y. “Finite Element Structural Analysis”. Prentice Hall International Series. Bathe, Klaus-Jurgen. “Finite Element Procedurs”. Prentice Hall International Editions. Zienkiewicz, O.C. “The Finite Element Method ”. London: Mc.Graw-Hill. Zahavi Eliahu. “The Finite Element Method in Machine Design ”. New York: Prentice-Hall International Editions. R., Thomas J. Hughes. “The Finite Element ethod ”. Prentice Hall Inc. Cook, Robert D. “Concepts and Aplications of Finite Element Analysis”. New York: John Willey & Sons Inc. Knight, Charles E. “The Finite Element Method in Mechanical Design”. PWS Kent Publishing Company.


RENCANA PROGRAM DAN KEGIATAN PEMBELAJARAN SEMESTER ( RPKPS ) ( Lembar 1 ) MATA KULIAH

: METODE ELEMEN HINGGA

Kode Mata Kuliah

: TKM 4204

SEMESTER

: GENAP

JUMLAH SKS

: 3 (W )

DOSEN

: -

PRASYARAT

: TKM 4111, 4202

KOMPETENSI YANG DIHARAPKAN DAPAT DICAPAI OLEH PESERTA ( TIU DAN TIK ) Setelah mengikuti mata kuliah ini mahasiswa dapat : 1 Menjelaskan konsep dasar metode elemen hingga dan memformulasikan problem teknik dalam model. 2 menyelesaikan pemodelan problem teknik dalam struktur, struktur, frame, shell/plat shell/plat pada matra garis, garis, 2D, 3D. PUSTAKA YANG DIGUNAKAN 1 Reddy J. N., "An "An Introduction to the Finite Element Method", Second Edition, Mc Graw-Hill, Inc. 2 Zienkiewicz O. C. and Taylor R. L., "The Finite Element Method", Fifth Fifth Edition, Vol 1-3, Butterworth-Heinemann. Butterworth-Heinemann. 3 Team pengajar Metode Elemen Hingga Universitas Brawijaya, Diktat Metode Elemen Hingga. “Fundamentals of The Finite Element Method ”. ”. Mac Millan Publishing Company. Company. 4 Grandin, Hartley. Jr. “Fundamentals 5 Yang, T.Y. “Finite “Finite Element Structural Analysis”. Analysis”. Prentice Hall International Series.

Dr.Eng. Moch. Agus Choiron, Dr.Eng. Anindito P dan Khairul Anam, MSc. Teknik Mesin UB


RENCANA PROGRAM DAN KEGIATAN PEMBELAJARAN SEMESTER SEMESTER ( RPKPS ) ( Lembar 2 ) PERTEMUAN KE (1)

POKOK BAHASAN (2)

SUB POKOK BAHASAN (3)

BENTUK TUGAS (5)

TAKSONOMI

BOBOT NILAI (6)

(7)

1

2

Kuliah

v

v

Kuliah

v

v

Peranan Komputer

Kuliah

v

v

-

Prosedur Umum Metode Elemen Hingga

Kuliah

v

v

-

Matrik

Kuliah

v

v

-

1

JENIS KEGIATAN PEMBELAJARAN (4)

-

BAB I. PENDAHULUAN -

2

Penjelasan materi, referensi dan sistem penilaian Sejarah Perkembangan Metode Elemen Hingga


3

4

5

6


-

Definisi Matrik Kekakuan

Kuliah

v

v

-

Penurunan Matrik Kekakuan untuk Elemen Pegas

Kuliah

v

v

-

Penggabungan Elemen Pegas

Kuliah

v

v

-

Penggabungan Matrik Kekakuan dengan Superposisi (Metode Kekakuan Langsung)

Kuliah

v

v

-

Kondisi Batas

Kuliah Problem solving

mandiri

*)

v

v

v

-

Pendekatan Energi Potensial


mandiri

*)

v

v

v

v

v

v

3 BAB II. METODE KEKAKUAN/ PERPINDAHAN

4

QUIZ I : Materi BAB I dan II

5

6

BAB III. PERSAMAAN DAN MATRIK

-

Matrik Kekakuan Elemen Batang pada Koordinat Lokal



*)

mandiri

*)


KEKAKUAN UNTUK STRUKTUR

-

Transformasi Vektor 2 Dimensi

-

Matrik kekakuan Global


mandiri

-

Tegangan pada Batang di Bidang 2 Dimensi


-

Penyelesaian Truss 2 Dimensi


-

Transformasi Matrik Kekakuan untuk Batang pada 3 Dimensi (ruang)


-

Tumpuan Miring


-

Kekakuan Batang


-

Beban Merata


7

8

9

10

BAB IV. KEMIRINGAN DAN LENDUTAN PADA BATANG

v

v

v

*)

v

v

v

mandiri

*)

v

v

v

mandiri

*)

v

v

v

*)

v

v

v

*)

v

v

v

mandiri

*)

v

v

v

mandiri

*)

v

v

v

Kuliah


mandiri

mandiri


QUIZ I : Materi Bab III dan IV

11

12

13

14

15

16

BAB V. DEFLEKSI/ LENDUTAN (SPECIAL CASES)

BAB VI. STRUKTUR

BAB VII. SOFTWARE BERBASIS METODE ELEMEN HINGGA

*)

-

Metode Analitis dengan Metode Castigliano

-

Pemodelan Kasus Lendutan dengan Metode Elemen Hingga

Kuliah Problem solving Studi Perbandingan

mandiri

Elemen Beam 2-D - Arah Orientasi Sembarang


mandiri

v

v

*)

v

v

v

*)

v

v

v

Kuliah

-

Tumpuan Miring

Kuliah

v

v

-

Grid

Kuliah

v

v

-

Pemanfaatan Software Berbasis Elemen Hingga

v

v


QUIZ II : Materi BAB V - VII


mandiri

*)

*)

v

v

kupdf.com_buku-ajar-metode-elemen-hingga-1.pdf

Recommend Documents