Metode Elemen Hingga FEM (Ir. A. As’ad Sonief, MT.)

K ATA PENGANTAR Denga Deng a n menguc a p syu syuk kur a lhamdulill lhamdulilla a h kehad ira ira t Alla Alla h SWT SWT yang telah

melimpahkan

rahmatNya,

sehingga

dapat

terselesaikan

p embua emb uatan tan dik d iktat tat kul kuliah iah Metod Me tode e Eleme Elemen n Hin Hingg gga a ini. ini. Diktat ini disusun dimaksudkan untuk membantu serta menunjang matakuliah Metoda Elemen Hingga sebagai pegangan dasar. Buku ini disusun berdasarkan beberapa buku acuan serta pengalaman penulis selama ela ma meng menga a jar

mataku mata kulilia a h ini. ini. Dalam Dala m kesemp kesempa a tan ini ini p enulis enulis

mengucapkan pada semua fihak yang telah membantu hingga tersus tersusunnya unnya d ikta iktatt kulia kuliah h ini. Akhirnya penulis menyadari bahwa diktat ini masih banyak kekurangan, untuk itu adanya kritik dan saran yang membangun sangat d iha iha ra pkan pka n aga a ga r karya-kary karya-karya a selanj ela njutny utnya a lebih semp sempur urna na lagi. lag i.

M a lang, lang , Septembe ep temberr 2003 2003

Penulis

DAFTAR ISI PENDAHULUAN DAFTAR ISI

I

II

BAB I : DASAR-DASAR METODE ELEMEN HINGGA 1.1 Pendahuluan

1

1.2 Sistem istem Koordina Koo rdinatt

2

1.1 Sistem istem koor koo rd inat ina t 2-D/S 2-D/ Sistem istem Koor Koo rd inat ina t Luasan 1.2 Sistem istem Koor Koo rd inat ina t 3-D (Eleme (Elemen n Te tra tra hed he d ral) 1.3 T .3 Trra nsfor nsformas masii Koor oo rdinat

3 4

4

1.4 Hubunga Hubungan n Tega eg a ngan-R nga n-Reg ega a ngan nga n 1.5 Konsep Das Da sa r A nalis na lisis is M EH

6

7

1.6 M e toda tod a Untuk Untuk Formul Formula a si Integ Integrra l

8

1.7 A nali na lissis Pri Prins nsip ip Energi Poten Po tenssial M inimum inimum 1.8 Konse Konse p Elemen Hingg Hingga a 2-Dimens 2-Dimensii

10

18

1.9 Elemen Se gitig gitig a Isop Isopa a ra metrik metrik 26 1.10 Elemen emen Se g ie mpat pat

29

BAB II : APLIK ASI PADA STRUK TUR 2.1 T .1 T R U S S

31

2.2 B E A M

41

2.3 F R A M E

31

47

BAB III : INTERPOLASI DAN INTEGRASI NUMERIK 51 BAB IV : APLIK ASI PADA PERPINDAHAN PANAS 4.1 Stead tea d y State ta te Unia Unia xial Heat Hea t Flow Flow

54

54

4.2 M od el Elemen Hingg Hingga a Alira Alira n Pana Pa nass 1-Dim 1-Dime e nsi nsi

56

4.3 O ne Dimens Dimensional ional Heat Hea t Flow With With C onvec tion tion

58

4.4 Per Pe rp indaha inda han n Pana Pa nass d a n Alira Alira n Fluid luid a 2-Dimensi -Dimensi

62

1

DAFTAR ISI PENDAHULUAN DAFTAR ISI

I

II

BAB I : DASAR-DASAR METODE ELEMEN HINGGA 1.1 Pendahuluan

1

1.2 Sistem istem Koordina Koo rdinatt

2

1.1 Sistem istem koor koo rd inat ina t 2-D/S 2-D/ Sistem istem Koor Koo rd inat ina t Luasan 1.2 Sistem istem Koor Koo rd inat ina t 3-D (Eleme (Elemen n Te tra tra hed he d ral) 1.3 T .3 Trra nsfor nsformas masii Koor oo rdinat

3 4

4

1.4 Hubunga Hubungan n Tega eg a ngan-R nga n-Reg ega a ngan nga n 1.5 Konsep Das Da sa r A nalis na lisis is M EH

6

7

1.6 M e toda tod a Untuk Untuk Formul Formula a si Integ Integrra l

8

1.7 A nali na lissis Pri Prins nsip ip Energi Poten Po tenssial M inimum inimum 1.8 Konse Konse p Elemen Hingg Hingga a 2-Dimens 2-Dimensii

10

18

1.9 Elemen Se gitig gitig a Isop Isopa a ra metrik metrik 26 1.10 Elemen emen Se g ie mpat pat

29

BAB II : APLIK ASI PADA STRUK TUR 2.1 T .1 T R U S S

31

2.2 B E A M

41

2.3 F R A M E

31

47

BAB III : INTERPOLASI DAN INTEGRASI NUMERIK 51 BAB IV : APLIK ASI PADA PERPINDAHAN PANAS 4.1 Stead tea d y State ta te Unia Unia xial Heat Hea t Flow Flow

54

54

4.2 M od el Elemen Hingg Hingga a Alira Alira n Pana Pa nass 1-Dim 1-Dime e nsi nsi

56

4.3 O ne Dimens Dimensional ional Heat Hea t Flow With With C onvec tion tion

58

4.4 Per Pe rp indaha inda han n Pana Pa nass d a n Alira Alira n Fluid luid a 2-Dimensi -Dimensi

62

1

BAB V : ANALISA TEGANGAN AXIS Y MMETRIC 5.1 Per Pe rsa maa n Das Da sa r untuk Elemen leme n 5.2 Pers Pe rsa a maa ma a n Ela Ela stisita tisitass A xisymme isymmetri tricc

DAFTAR PUSTAK A

71

66 67

64

DIKTATMETODE ELEMEN HINGGA Oleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.

BAB I

DASAR-DASAR METODE ELEMEN HINGGA Pada bab ini dibahas mengenai dasar-dasar analisa elemen hingga, yang didalamnya meliputi sistem koordinat, transformasi koordinat, hubungan tegangan-regangan, prinsip energi potensial minimum, dan juga konsep model untuk elemen 2 dimensi. 1.1Pendahuluan

Perkembangan

dunia

komputer

telah

begitu

cepatnya

mempengaruhi bidang-bidang penelitian dan industri, sehingga impian para ahli dalam mengembangkan ilmu pengetahuan dan industri telah menjadi kenyataan. Pada trend sekarang ini, metoda da n analisa desain telah banyak menggunakan perhitungan metematis yang rumit dalam penggunaan sehari-hari. Metode elemen hingga (finite element method) banyak memberikan andil dalam melahirkan penemuan-penemuan bidang riset dan industri, hal ini dikarenakan dapat berperan sebagai research tool pada eksperimen numerik. Aplikasi banyak dilakukan pada problem kompleks diselesaikan dengan metode elemen hingga seperti rekayasa struktur, steady state dan time dependent heat transfer, fluid flow, dan electrical potential problem, aplikasi bidang medikal. Gambaran da sar sebagai berikut.

Program Semi-Que IV Fakultas Teknik—J urusan mesin Universitas Brawijaya

1


Proses Analisa M E H

Change of physical problem

Physical problem

Mathematic model Governed by differential equations Assumptions on • Geometry • Kinematics • Material law • Loading • Boundar conditions, etc.

Finite element solution of mathematical model

Finite element solution Choice of • Finite elements • Mesh density • Solution parameters Representation of • Loading • Boundary conditions, etc.

Improve mathematical model

Refine mesh, solution parameter etc.

Assessment of accuracy of finite element solution of mathematical model

Interpretation result

Refine analysis

Design improvements Structural optimization

1.2SISTEM KOORDINAT -

Sistem koordinat global

→ koordinat struktur untuk sebua h titik pada continum

-

-

Ref untuk seluruh continum

-

Ref untuk seluruh struktur

Sistem koordinat lokal

→ Sistem koordinat yang dipasang pa da elemen (acuan pada elemen yang bersangkutan) Program Semi-Que IV Fakultas Teknik—J urusan mesin Universitas Brawijaya

2


-

-

dipasang elemen

-

Ref untuk titik-titik yang ada di elemen

Sistem koordinat natural

→ Terdiri atas koordinat tanpa dimensi untuk identifikasi posisi, denga n tanpa terpengaruh oleh keluaran elemen.

→ Merupakan nisbah koordinat tersebut terhadap ukuran elemen Sistem koordinat Natural 1-D (elemen garis) Koordinat global P(xp) Koordinat lokal P (xs) Koordinat natural P(L1,L2)

L1

S

S

L

L

= 1 − ; L2 =

1.2.1 Sistem Koordinat 2-D / Sistem Koordinat Luasan

(elemen segitiga) P (L1, L2, L3)

Dimana L1 + L2 + L3 = 1 L1

L2 L3


=

∆P − 2 − 3 S 1 = Luas ∆1 − 2 − 3 t 1

Luas

∆P − 1 − 3 S 2 = Luas ∆1 − 2 − 3 t 2 Luas ∆P − 1 − 3 S 3 = = Luas ∆1 − 2 − 3 t 3 =

Luas

3

DIKTATMETODE ELEMEN HINGGA Oleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT. 1.2.2 Sistem koordinat 3-D (elemen tetrahedral)

P (L1, L2, L3, L4)

Dimana

∆ P − 2−3−4 Vol ∆ 1 − 2 − 3 − 4

L1

=

Vol

L2

=

Vol

L3

=

Vol

L1

=

Vol

∆ P −1− 3 − 4 Vol ∆ 1 − 2 − 3 − 4

∆ P −1− 2 − 4 Vol ∆ 1 − 2 − 3 − 4

∆ P −1− 2 − 3 Vol ∆ 1 − 2 − 3 − 4

L1 +L2 +L3 +L4 =1 1.3

TRANSFORMASI KOORDINAT

Koordinat yang banyak digunakan dalam metode elemen hingga adalah koordinat kartesian, da n koordinat

sering dinyatakan da lam

bentuk vektor yang dijabarkan sebaga i berikut :


4


P

 X  =  p   Y p 

p

X p

= X p Cosθ + Y p Sinθ

Y p

= − X p Sinθ + Y p Cosθ

 X  − Cosθ   =  − Sinθ Y  

 X  =  p   Y p 

Sinθ   X  .  Cosθ   Y 

− Cosθ

Matrik transformasi [T] =   − Sinθ

Sinθ 

Cosθ

 X  Cosθ − Sinθ   X   Y  =  Sinθ Cosθ .      Y  [T]-1 = [T] T → orthogonality Koordinat dinyatakan dalam 3 Dimensi

Orientasi X (l1 , m1 , n1 ) Orientasi Y (l 2 , m 2 , n 2 ) Orientasi Y (l 3 , m 3 , n 3 )

 X   l1 Y  = l   2  Z  l   3

m1 m2 m3

n1   X 

  Y     n3    Z 

n2

[T]


5

DIKTATMETODE ELEMEN HINGGA Oleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT. 1.4

HUBUNGAN TEGANGAN – REGANGAN

ε x

=

ε y

=

ε z

=

γ xy

σ x − v.σ y − v.σ z E

σ y − v.σ x − v.σ z E

σ z − v.σ x − v.σ y E

=

τ xy G

; γ yz =

dimana : G =

τ yz G

; γ zx =

τ zx G

E

2(1 + v)

E =Modulus Elastisitas

ν = poisson ratio {ε } = [C ].{σ }

{ε }T = {ε x ε y ε z ε xy ε yz ε zx }

 1 − v − v − v 1 0  1 − v − v 1 c = . E 0 0 0  0 0 0  0 0 0

0

0

0

0

0

0

2.(1+ v) 0 0 2.(1+ v) 0

0

 0   0   0  0  2.(1+ v) 0

Selanjutnya :

{σ } = [ E ].{ε } Dimana ;

a b  b [ E ] = E  1 + V 0 0  0

b

b

0 0 0

a

b

0 0 0

b

a

0 0

0

0

c

0

0

0

0

c

0

0

0 0

 0  0 0  c 

a

=

1− V 1 − 2V

; b =

V

1 − 2V

; c =

1 2

[ E ] = [C ] −1


6


KONSEP DASAR ANALISIS MEH.

Dua kategori model matematik : -

lumped-parameter models (“discrete-system”)

-

continuum-mechanics-based models (“continuous-ystem”).

Kondisi Problem : 1. Steady -State Problems. K . U =R 2. Propagation Problems/Dynamic Problem. M . Ü + K . U =R(t) 3. Eigenvalue Problems. Konsep Dasar Metode Elemen Hingga 1.

Menjadikan elemen-elemen diskrit untuk memperoleh simpa nga nsimpangan da n gaya-ga ya anggota da ri suatu struktur.

2.

Menggunakan elemen-elemen kontinum untuk memperoleh solusi pendekatan

terhadap

permasalahan-permasalahan

perpindahan panas, mekanika fluida dan mekanika solid. Dua karakteristik yang membeda kan metoda elemen hingga dengan metoda numeric yang lain yaitu : -. Metoda ini menggunakan formulasi integral untuk menghasilkan sistem persamaan aljabar. -. Metoda ini menggunakan fungs-fungsi kontinyu untuk pendekatan parameter-parameter yang belum diketahui. Lima langkah untuk menyelesaikan permasalahan fisik dengan metoda elemen hingga yaitu : 1. Permasalahan fisik dibuat elemen-elemen kecil. Elemen-elemen tersebut ditandai dengan nomor elemen dan nomor titik nodal, termasuk juga harga -harga koordinat.


7


2. Tentukan persamaan pendekatannya, linear atau kuadratik. Persamaan-permsamaan tersebut harus ditulis dalam bentuk harga-harga nodal yang belum diketahui. Ini berlaku untuk setiap elemen, artinya setiap elemen harus didefinisikan sifatnya dalam bentuk persamaan diatas. 3. Bentuklah sistem persamaan diatas dengan metoda Galerkin, Varisional, Formulasi energi potensial, Colloc ation, Subdomain, dll. Khusus untuk formulasi energi potensial, energi potensial dari sistem ditulis

dalam

bentuk

simpangan

nodal

dan

kemudian

diminimalkan. Dimana akan diberikan satu persamaan setiap simpangan yang belum diketahui. 4. Selesaikan sistem persamaan diatas. 5. Hitung besaran yang dicari. Besaran bisa berupa komponenkomponen tegangan, aliran panas atau kec epatan fluida . 1.6METODA UNTUK FORMULASI INTEGRAL

Metoda Varisional

H

Π = ∫ 0

 D  dy  2     − Qy dx  2  dx  

(1)

Harga numeric Π dapat dikalkulasi dengan memberikan persamaan coba-coba y=f(x). Misal persamaan coba-coba yang memberikan harga terkecil Π adalah y=g(x), maka persamaan ini merupakan jawab dari persamaan diferensial berikut :

D

d 2y dx

2

+Q = 0

(2)

dengan kondisi batas y(0)=y0 dan y(H)=yH harga Π minimum adalah merupakan jawab pendekatan.


8


Weighted Residual Method; Ritz Method

Andaikan bahwa y=h(x) adalah merupa kan jawab pendekatan terhada p persamaa n (2), denga n subsitusi akan memberikan :

D

d 2 h( x ) dx

2

+ Q = R( x ) ≠ 0

karena y=h(x) tidak memenuhi persyaratan persamaan, WRM mengharuskan : H

∫ W ( x )R( x )dx = 0 0

i

fungsi residual R(x) ;fungsi pemberat (weighting) Wi(x), Beberapa pilihan fungsi pemberat dengan beberapa metoda yang popular : 1. Metoda C ollocation 2. Metoda Subdomain 3. Metoda Galerkin 4. Metoda Least Squares

Formulasi Energ i Potensial

Integral volume dengan hasil kali komponen tega ngan & regangan.

Λ = ∫ v

σ xx .ε xx 2

dV .

Prinsip energi potensial minimum da n energi regangan ba nyak digunakan untuk menganalisis masalah-masalah struktur dan mekanika solid.


9

DIKTATMETODE ELEMEN HINGGA Oleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT. 1.7ANALISIS PRINSIP ENERGI POTENSIAL MINIMUM

Variabel tak bebas → dof Variabel bebas → koordinat Ada syarat kontinuitas → bentuk persamaa n tidak ada gabungan Kompatibilitas → berkaitan dengan dof Elemen linear → node diujung, sebagai contoh seperti pada elemen ∆ linear sederhana Dalam domain mekanika solid → harus ada boundary condition (BC’s) yaitu dof yang direstrin/ diberikan kenda la. Domain yang terbagi sumbu domain merupakan : -

Kasus per elemen dengan f interpolasi

-

Keseimbanga n statis pa da elemen dengan kaidah struktur yang dikenai beban akan terdeferensi (prinsip energi potensial minimum)

Keseimbanga n terjadi kalau energi potensial minimum dalam suatu sistem. Dalam MEH merupakan suatu teknik numerik dari model matematis suatu sistem yang digambarkan dari suatu fenomena problem. Sebagai gambaran dapat diterapkan pada elemen garis, dan dengan konsep energi potensial minimum (pada solid mekanik) kemudian dilakukan dengan teknik numerik murni sehingga membentuk persamaan diskrit sebagai berikut:

[ ] {φ} = {f}, yaitu suatu matrik dikalikan dengan

vektor dof sama denga n vektor beban. Program Semi-Que IV Fakultas Teknik—J urusan mesin Universitas Brawijaya

10


Energi potential total = Kerja gaya luar + Energi reganga n -

Beban terpusat

-

Beban traksi (bekerja pa da permukaan)

-

Body force (centrifugal, ga ya magnit gravitasi, ga ya elektromaknetik) (Beban/Variabel)

Prinsip Energi Potensial Minimum

Analisa tegangan (prob elastisitas benda padat) dengan FEM didasarkan

pada

prinsip

Energi

potensial

minimum

yang

menyatakan : Dari

sekian

persamaan

perpindahan

yang

memenuhi

kompatibilitas interval dan memenuhi syarat batas, maka persamaan

perpindahan

yang

juga

memenuhi

kondisi

keseimbangan stabil adalah persamaan perpindahan yang memberikan / menghasilkan energi potensial yang terkecil (minimum). Prinsip tersebut mengimplikasikan hal-hal seb aga i berikut : -

Perlunya pendefinisian persamaa n perpindahan untuk setiap elemen yang memenuhi syarat kompa bilitas antar elemen.

-

Persamaa n perpindahan tersebut diatas harus memenuhi semua syarat batas

-

Penjaba ran persamaan energi potensial yang dianalisa. Persamaan diumpa makan sebagai fungsi persamaan (dalam hal ini persamaan node) yang akan dicari nilainya (yang tidak diketahui)

-

Minimalisasi energi potensial terhadap persamaa n yang tida k diketahui tersebut.

Energi Potensial Energi regangan – kerja yang dilakukan oleh ga ya-ga ya eksternal yang bekerja pa da sistem. Energi Potensial Energi regangan – kerja yang dilakukan oleh ga ya-ga ya eksternal yang bekerja pa da sistem. Program Semi-Que IV Fakultas Teknik—J urusan mesin Universitas Brawijaya

11


Energi regangan U (e )

1

=

2

∫ (σx .εx + σ y.ε y + σz .εz + τxyγ xy + τyz.γ yz + τzx .γ zx )dv

V

=

1

∫{σ}T{ε}dv = 1 2 ∫ {d }T[B]T[E][B]dv

2

V

V

Kerja yang dilakukan body force W bf

= ∫ (u.b x + v.b y + w.b z )dV V

Kerja yang dilakukan oleh beban traksi (beban terdistribusi)

= ∫ (u. p x + v. p y + w. p z )dA

W t

V

Kerja yang dilakukan oleh beban terpusat W f

= d x .P x + d y .P y + d z .P z

Energi potensial total : π =

n

∑ π

e

− {d }T .{P}

e =1

Dimana : π e = u e − W bf − W t Minimalisasi energi potensial, n

∂ x = 0 , maka ∂d

n

∑ [K ] .{d } = ∑ { f }+ {P} e

e

e =1

e −1

Merupa kan rumus umum. Dimana : f

=

e

e

f bf

+

e

f t

Contoh penyelesaian MEH dari persamaan diferensial :

Persamaa n deferensial :

d 2u dx

2

+u =1

Kondisi batas :

u(0)= 0


; u(2π)=0 12


Solusi eksak : u = 1 – cos x. Prosedur Penyelesaian : 1. Diskrititasi region. Dalam region dibagi dalam 4 elemen dan elemen dan nodal diberi nomor.

u~

1

1

2

3

2

3

π/2

0

4

π

4 3π/2

5 2π

2. Buat trial func tion .

u~ e

i

j x

xi

L

Fungsi asumsi :

u~ = a1 + a2 x u~ = u i

= a1 + a2 x i

u~ = u j

= a1 + a2 x j


− x i u j a1 = x j − x i − u i + u j a2 = x j − x i x j u i

13


 x j − x   x j − x i

u~ =

 u i   u  = [N1 − x i   j 

x − xi x j

N 2 ]{q}

3. Substitusi trial functions kedalam governing equation.

W

du

X2

dx

X1

~ dW du

4

− ∑ ∫ X e =1

e

dx dx

dx +

4

∑= ∫ e 1

~.dx − W .u

Xe

4

∑= ∫ W .dx = 0 e 1

Xe

Weighting function untuk metode Galerkin :

Wi

∂u~ = ∂ai

untuk masing-masing konstanta a 1 dan a 2 :

∂u~ = N1 W1 = ∂ai W1

= N1 =

−x x j − x i

x j

W2

∂u~ = = N2 ∂a j

W2

= N2 =

x x j

− xi − xi

dan :

dW1

=

dx

dN1 dx

=

−1 x j − x i

dW 2 dx

=

dN 2 dx

=

1 x j

− xi

governing equa tion dalam bentuk matrik :

 dN1  x  N1  du dx   dN1 dN 2  u i dx − ..    dN  ∫  u j  x N dx dx dx 2   2 x      dx  u  x N  x N  + ∫x  1 [N1 N 2 ] i dx − ∫ x  1 dx = 0 N 2  N 2  u j  x j

j

i

i

j

i


j

i

14


Pengembangan suku 1 :

 du  N ` dx  x  du N 2  dx x

j

  du   N1 dx − x   du  N 2   dx x

i

ji

i

   0  =  du     dx x 

j

  du −   dx x   0

i

 du  − dx = x   du    dx x j

i

     

Suku 2 :

x j

∫

xi

 dN1 dN1  dx dx  dN dN  2 1  dx dx

 dx  u i dx = i  dN 2   u Le j   dx 

dN1 dN 2 dx dN 2 dx

 1 − 1 u i  − 1 1  u     j 

dimana : Le = x j - xi Suku 3 : x j

∫

xi

 N1  N [N1  2

Suku 4 : x j

∫

xi

u i  N1N 2  u i  x  N1N1 N 2 ] dx = ∫   u dx x u N N N N  2 1 2 2   j   j  x j3 − x i3 − 3 x i x j Le 2 1 u i  =  1 2 u  6.L2e    j  j

i

 N1  N dx =  2

x j2

+ x i2 − 2.x j .x i 1  2.Le 1

Sec ara keseluruhan :

 − du ( x )  dx i  1  du − L  ( x j )  e  dx  −

x j2

 1 − 1 u i  x j3 − x i3 − 3.x i .x j .Le 2 − 1 1  u  + 1 6.L2e    j  

1 u i 

 

 2 u j 

+ x i2 − 2x j .x i 1 0  =  2.Le 1 0

Ap likasi untuk setiap elemen, dengan asumsi Le =L Program Semi-Que IV Fakultas Teknik—J urusan mesin Universitas Brawijaya

15


Elemen 1 : i =1, j =2, x1 = 0 , da n x2 =L

 du  − dx  1  1 − 1 u1  L 2  du x =0  − − u  +     L  1 1   2  6 1  dx x =L 

1 u1 

L 1 0 − u    =    2  2  2 1 0

Elemen 1 : i =2, j =3, x2 = L , da n x3 =2L

 du  − dx  1  1 − 1 u 2  L 2  du x =L  − − u  +     L  1 1   3  6 1  dx x =2L 

1 u 2 

L 1 0 − u    =    2  3  2 1 0

dst.

Diasumsikan du/dxIx=L pa da elemen 1 sama denga n du/d xIx=L pada elemen 2 maka : Asembly persamaa n :

 du  − dx   1 − 1 0 0 0  u1  2 x =0   − 1 2 − 1 0 0  u  1 0   1    2  L   0  − L  0 − 1 2 − 1 0  u 3  + 0  0   0 0 − 1 2 − 1 u  6 0  4    du      0 0 0 − 1 1  u 5  0  dx x =4L 

1 0 4

1 0

1 4 0

0 0   u1  1

1 4

0 0

1

1 0    2 0 0 u 2     L     0 u 3  − 2 = 0 2     1 u 4    2 0 2  u 5  1 0

dengan kondisi batas essential : u1 =0 ; u5 = 0 maka :

 2 − 1 0  u 2  4 − 1   L 1 − 1 2 − 1 u 3  +  L  6    0 − 1 2  u 4  0

` 4 1

0 u 2 

2 0   L     1 u 3  − 2 = 0   2 2 0 4  u  4    

disederhanakan dan denga n L =π/2 didapat :


16


0 − 2.1304 8.4674  u 2  1     − 2.1304 8.4674 u 3  = 14.804 1   1  − 2.1304 u 4  

u 2  1.130  u  = 2.033  3   u  1.130   4   X π/4 2π/4 3π/4 4π/4 5π/4 6π/4 7π/4

Exact 0.293 1.000 1.707 2.000 1.707 1.000 0.293

4 Elemen 1.130 2.033 1.130 -

8 Elemen 0.332 1.038 1.722 2.003 1.722 1.038 0.332

Gambar hasil yang yang dibandingkan dengan solusi eksak da n MEH dengan beda jumlah elemen sebagai berikut : u 2

X(rad)

π


17

DIKTATMETODE ELEMEN HINGGA Oleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT. 1.8KONSEP MODEL ELEMEN HINGGA 2 – DIMENSI

ELEMEN LUASAN (SEGITIGA , SEGIEMPAT).

Y

•

Sistem koordinat.

!

Globa l C oordinate

Fungsi asumsi : U(X,Y) = α1 +α2 X + α3 Y V(X,Y)= β1 +β2X + β3 Y Y

2 U1 1 X

u1  1 u  = 1  2  u  1  3 

X1 X2 X3

Y1  α 1 

 α   2   Y3   α 3  Y2

{q 1}= [A 1] . {α} Program Semi-Que IV Fakultas Teknik—J urusan mesin Universitas Brawijaya

18


v 1  1 v  = 1  2  v  1  3 

X1 X2 X3

Y1   β 1 

  β   2   Y3    β 3  Y2

{q 2}= [A 1] . {β }

1 [ A1 ]−1 = 1 1

X1 X2 X3

Y1 

−1

 =  det er min ant Y3 

adjo int of [ A1 ]

Y2

of [ A1 ]

=

a 1 1  b1  det  c1

a2

a3 

b2

b3

c2

  c 3 

{α}= [A 1] -1 . {q 1} {β }= [A 1] -1. {q 2} {u}= [1 X

Y}.[A 1] -1 . {q 1}

{v}= [1 X

Y}. [A 1] -1. {q 2}

u1    {q1} = u 2  u   3 Ekspansi : [1 X

=

v 1    {q 2 } = v 2  v   3 [1 X

Y}.[A 1] -1 .

Y}.[A 1] -1 .

1 [[a1 + Xb1 + Yc1 ] det

= [N1

N2

[a2 + Xb2 + Yc 2 ] [a3 + Xb3 + Yc 3 ]]

N3]

sehingga :

u = [N1

N2

 u1    N3] . u 2  u   3


19


v = [N1

v 1    N3] . v 2  v   3

N2

dalam bentuk matrik

u  N1  = v   0

0

N2

O

N3

N1

0

N2

0

 u1  v   1 0  u 2    N 3  v 2  u 3    v 3 

atau bentuk symbol : {u} = [N] . {q} Koordinat local :

u(X,Y) = α1 +α2 x + α3 y v(X,Y)= β 1 +β2x + β3 y Y

3 y 2

x

1 X

u1  1 u  = 1  2  u  1  3 

0 x2 x3

 α 1    0 α 2    y 3   α 3  0

{q 1}= [A 1] . {α}


20


a adjo int of [ A1 ] 1  [ A1 ]−1 = = b1 det er min ant of [ A1 ] det   c1 1

a2

a3 

b2

b3

  c 3 

c2

{α}= [A 1] -1 . {q 1} {β }= [A 1] -1. {q 2} {u}= [1 x

y}.[A 1] -1 . {q 1}

{v}= [1 x

y}. [A 1] -1. {q 2}

u  N1  =0 v  

0

N2

O

N3

N1

0

N2

0

 u1  v   1 0  u 2    N 3  v 2  u 3    v 3 

atau bentuk symbol : {u} = [N] . {q}dimana :

N1

=

y 3 (x2

N3

=

yx 2

− x) + y(x3 − x2 ) x 2 .y 3

;

N2

=

x.y 3

− yx 3

x 2 .y 3

x 2 .y 3

Koordinat Na tural

L2

Y

3 L3

2

1

x

L1 X


21


Fungsi asumsi : u = L1 u1 + L2 u2 + L3 u3 Hubungan koordinat natural :

L1 + L2 + L3 = 1

u = L1 u1 + L2 u2 + (1 – L1 – L2) u3 v =L1 v1 + L2 v2 + (1 – L1 – L2) v3 Untuk elemen isop arametrik : X = L1 X1 + L2 X2 + (1 – L1 – L2) X3 Y = L1 Y1 + L2 Y2 + (1 – L1 – L2) Y3

Aplikasi solid (mekanik) : -plane stress -

"

plane strain

Elemen segitiga linear (elemen regangan konstan)

C iri : - 3 node per elemen -

2 dof per node

u : displac ement arah x v : displacement arah y Q variasinya diasumsikan fungsi linear (pada sub domain bervariasi linear) Pada solid mekanik, konsekuensi linear → regangan konstan di titik manapun di elemen sehingga tega nga n juga konstan.


22


Step 1 * membua t fungsi linear Fungsi interpolasi (asumsi) displacement u ( x, y ) = α 1

+ α 2 . x + α 3 . y

v( x, y ) = β 1

+ β 2 . x + β 3 . y

∂u = α 2 ∂ x ∂v ε y ( x, y) = = β 3 ∂ y ε x ( x, y ) =

γ xy ( x, y ) =

∂u ∂v + = α + β ∂ y ∂ x 3 2

u dan v → titik sebarang pada elemen (boleh node /tida k) Shape function ; Step 2 Menyatakan hubungan ∈ dengan displacement node {∈}= [B] {d} Step 3

∫

[ K ( e ) ] = [ B ]T .[ E ].[ B ]dv V

Untuk tebal elemen konstan = h

∫

[ K ( e ) ] = [ B]T .[ E ].[ B].h.dA A

[ K ( e ) ] = [ B ]T .[ E ].[ B].h. A

→ Untuk : plane stress

Plane strain → untuk h = 1 unit yang membedakan [E] "

Beban node ekuivalen akiba t body force

b x   y

{ f }= ∫ [ N ]  dV b T

bf

V


23


"

-

body force → jadi 2 komponen dalam fungsi x dan y

-

ba tas integral untuk elemen

Beban node ekuivalen a kiba t traksi

 p x   y

{ f }= ∫ [ N ]  dA p T

bf

A

"

Beban node ekuivalen akiba t beban thermal (beba n mula)

{∈th }T = [α .∆T α .∆T 0]

[ f th ] = ∫ [ B ]T .[ E ]{∈th }dV V

Untuk setiap elemen perlu dianalisa (e)

K f

(e )

=

e

f bf

Untuk struktur n

[K ] = ∑[ K ( e ) ] e =1

{F } =

n

∑ { f

(e)

}+ {P} ← Beban terpusat

e =1

[K ]{ D} = {F } Solusi kasus 2-D

Fungsi interpolasi u ( x, y ) = α 1

+ α 2 . x + α 3 . y


24

DIKTATMETODE ELEMEN HINGGA Oleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT. U 1

= α 1 + α 2 . x1 + α 3 . y1

U 2

= α 1 + α 2 . x 2 + α 3 . y 2

U 3

= α 1 + α 2 . x3 + α 3 . y 3

U 1  1 U  = 1  2  U  1  3 

Y 1  α 1 

X 1 X 3

    Y 3   α 3 

X 1

Y 1 

Y 2 .α 2 

X 2

α 1  1 α  = 1  2  α  1  3 

  Y 3 

X 2

Y 2

X 3

α 1  a1 α  = 1 b  2  J  1 α   c1  3

−1

U 1    .U 2  U   3

a2

a 3  U 1 

b2

b3 .U 2 

c2

    c3   U 3 

a1

= ( x 2 . y 3 − y 2 .x3 ) ;

b1

= y 2 − y3 ;

c1

= x3 − x 2 ; c2 = x1 − x3 ;

J = ( x 2 . y 3

{U } = [1 {U } = [1

{U } = [1

1

b2

a2

a3

= ( x1 . y 2 − y1 .x 2 )

= y 3 − y1 ; b3 = y1 − y 2 c3

= x2 − x1

− y 2 . x3 ) + x1 ( y 2 − y 3 ) + y1 ( x3 − x2 )

x

y ].{α }

x

α 1    y ].α 2  α   3

x

a1  y ]. b1   c1

a2

a3  U 1 

b2

b3 .U 2 

c2

{U } = [(a1 + b1 x + c1 y ) J

= ( y1 . x3 − x1 . y3 ) ;

    c 3   U 3  (a 2


+ b2 x + c 2 y )

U 1    ( a3 + b3 x + c3 y )].U 2  U 3   

25


{U } = [ N 1

N 1

=

N 2

=

N 3

=

1 ( a1 J 1 J

1 J

N 2

U 1    N 3 ].U 2  U   3

+ b1 x + c1 y )

(a 2

+ b2 x + c 2 y )

(a 3

+ b3 x + c3 y )

1.9ELEMEN SEGITIGA ISOPARAMETRIK

Elemen isoparametrik yaitu

fungsi interpolasi untuk koordinat

geometri-identik dengan fungsi interpolasi untuk perpindahan. Pada Elemen segitiga diga mbarkan sebagai berikut

 X 1   Y   1  X 2   X  = [ ] N .  Y   Y     2  X 3     Y 3  Misal


26


Sehingga yang dibica rakan adalah koodinat natural, tidak hanya : U = L1 .U 1 V = L1 .V 1

+ L2 .U 2 + L3 .U 3

+ L2 .V 2 + L3 .V 3

Tetapi X = L1 . X 1 Y = L1 .Y 1

+ L2 . X 2 + L3 . X 3

X1, Y1 → koordinat node

+ L2 .Y 2 + L3 .Y 3

L1, L2, L3 = koordinat na tural (luasan) L1, L2, L3 =1 Interpolasi Formula X ( s, t ) = N 1 . X 1 Y ( s, t )

+ N 2 . X 2 + N 3 . X 3 + N 4 . X 4

= N 1 .Y 1 + N 2 .Y 2 + N 3 .Y 3 + N 4 .Y 4

N i ( s, t )

Dengan formula interpolasi lagrange Dalam arah x

da lam arah y

Untuk n = 2 l1 ( x) = 1

x − x 2 x1

l1 ( y ) = 1

− x2

y − y 4 y1

− y 4

Elemen shape function N1e N 1 ( x, y ) = l1 ( x ).l1 ( y ) = e

1

1

x − x 2 x1

− x 2

.

y − y 4 y1 − y 4

Untuk : N 1 ( s , t ) =

s − s2 s1

− s2

.

t − t 4 t 1

− t 4


27


Node 1 : s1 = -1 ; t1 = -1

Node 3 : s3 =1 ; t3 =1

Node 2 : s2 = 1 ; t2 =-1

Node 4 : s4 = -1 ; t4 =1

N 1 ( s , t ) = N 1 ( s , t ) = N 2 ( s, t ) =

( s − 1) (t − 1) (1 − s ) (1 − t ) = . . −1−1 −1−1 2 2 (1 − s ).(1 − t ) 4 s − s1 s2

N 2 ( s , t ) = N 3 ( s, t ) = N 4 ( s , t ) =

− s1

.

t − t 3 t 2

− t 3

=

( s + 1) (t − 1) (1 + s ) (1 − t ) = . . 1+1 −1−1 2 2

(1 + s ).(1 − t ) 4 s − s4 s3

− s4

s − s3 s4

− s3

.

t − t 2 t 3

.

− t 2

t − t 1 t 4

− t 1

=

( s + 1) (t + 1) . 1+1 1+1

=

=

( s − 1) (t + 1) . −1−1 1+1

=

(1 + s ).(1 + t ) 4 (1 − s ).(1 + t ) 4

Kelemahan elemen linear -

Berawal dari asumsi U = a1 + a 2 x + a3 . y

→ regangan konstan maka kalau membahas defleksi tegangan ba ik hanya ditengah perba ikan denga n membentuk elemen nonlinear untuk U = N 1 .U 1

+ N 2 .U 2 + N 3 .U 3

V = N 1.V 1 + N 2 .V 2

N 1=Li

i = 1, 2, 3

+ N 3.V 34

dengan asumsi : U = a1

+ a 2 x + a3 . y

V = b1

+ b2 x + b3 . y


28


ELEMEN SEGI EMPAT

Keuntungan : pa da FEM yang didapa t → distribusi Pada konvensional → yang didapat pada titik tertentu "

Elemen Isoparametrik U =

n

. ∑ N U i

X =

i

i =1

V =

∑ N .X 1

i

i

i =1

n

∑ N V . i

n

Y =

i

i =1

n

∑ N .Y 1

i

i

i =1

Ni = Ni1 → isoparametrik "

Elemen Isoparametrik

Linear → hanya mempunyai node diujung-ujungnya Penomoran : sebarang, tapi analisanya dimulai dengan CC W Dimapping ke koordinat s. t → ke koordinat natural Isoparametrik U ( s, t ) = N 1 .U 1 V ( s, t ) = N 1 .V 1

+ N 2 .U 2 + N 3 .U 3 + N 4 .U 4

+ N 2 .V 2 + N 3 .V 3 + N 4 .V 4


29

DIKTATMETODE ELEMEN HINGGA Oleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT. X ( s, t ) = N 1 . X 1 Y ( s, t ) N 1

=

N 2

=

+ N 2 . X 2 + N 3 . X 3 + N 4 . X 4

= N 1 .Y 1 + N 2 .Y 2 + N 3 .Y 3 + N 4 .Y 4

(1 − s )(1 − t ) 4 (1 + s )(1 − t ) 4

N 3

=

N 4

=

(1 + s )(1 + t ) 4 (1 − s )(1 + t ) 4

Asumsi fungsi Interpolasi untuk perpindahan U = L1 .U 1 V = L1 .V 1

+ L2 .U 2 + L3 .U 3

+ L2 .V 2 + L3 .V 3

U   L1 V  =  0   

0

L2

0

L3

L1

0

L2

0


U 1   V   1 0  U 2  .  L3   V 2  U 3     V 3 

30

DIKTATMETODE ELEMEN HINGG HING GA Oleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT. BAB II

APLIKASI P PADA S STRUKTUR Aplikasi elemen hingga untuk analisa struktur, yaitu untuk struktur trus trusss, bea be a m, dan da n fra fra me. J uga d ijela jela skan menge me ngena naii ci c iri-cir -c irii ma ma singingmasing stuktur tersebut, kelebihan dan kekurangannya masing-

2.1 T R U S S

Adalah struktur yang istimewa, dimana joint yang dirancang tidak untuk untuk mendukung mendukung momen, da n dapa da pa t dik dika takan merupa merupak ka n elemen 2 – Force member yang seolah-olah merupakan sambungan pin.

Konsekuensi

Karena tidak mendukung momen dalam keseimbangannya → batang sebagai 2- force member sehingga beban selalu dikerjakan di joint joint.. Sehingg ehingga a ga ya-gaya ya-ga ya berimpi berimpitt denga de ngan n sumbu a ksial ba tang.

Dalam MEH → diskritisasi dengan setiap batang sebagai elemen dengan membuat node-node, dengan berat sendiri diabaikan. Struktur yang dilas bisa didekati dengan truss asal fabrikasinya baik yaitu sumbu aksial b ertemu di sa sa tu titi titik. k. Elemen ga g a ris d a p a t ber be rupa trus trusss, bea be a m, fra fra me. Metoda Me toda langsun angsung g → Hubunga Hubungan n displac displac ement dan da n kekaku kekakua an P

Program Semi-Que IV Fakulta kultas Teknik—J eknik— J urus urusa an mesin Universitas Brawijaya

31

DIKTATMETODE ELEMEN HINGG HING GA Oleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.

∆=

PL AE

=

P AE L

=

P K

Dera Dera ja t keb kebeb eba a sa n (do (dof) f) → dis d isp p lac ement eme nt (dalam (da lam str strukt uktur ur))

→ var va ria ble a nal na lisa isa Per nod node e → memil me milik ikii 1 dof do f Elemen truss yang terletak pada sumbu x

Hubungan → gaya, displacement, stifness Bagaimana dengan display yang ditengah → Fungsi interpolasi (pendekatan) untuk displacement : dipilih polynomial (karena mudah didefferensialkan / diintegrasikan) Syarat ya rat : - Kontinuitas Kontinuita s Kompabilitas

-

U ( x ) = a1 + a 2 . x (asumsi) E ( x ) =

du ( x) dx

= a 2 (konstanta)

T ( x ) = E ε ( x) = E .a 2 (konstanta)

pa d a x =0 U 1 = a 1

a 1 = ui

pa d a x =L U 2 = a 1 + a 2 L U ( x ) = U 1

+

a2

− U 1

U 2

L

 

X = 1 −

U ( x ) = f 1 ( x )U 1

+ f 2 ( x)U 2

E ( x ) = f 1 ( x )U 1

+ f 2 1 ( x)U 2

1

=


u2

− u1 L

x   U 1 L 

+

X L

U 2

32

DIKTATMETODE ELEMEN HINGG HING GA Oleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.

N 1 ( x)

= f 1 ( x) = 1 −

N 2 ( x)

= f 2 ( x) =

x L

x

Shape ha pe Functi unc tion on

L

(Seb (Seba a gai ga i pola umum umum per pe rpindahan pinda han seb seba a gai ga i fungs fungsii dar da ri Shap Shape e func func tion dengan dof)

 L 1 1   L 1 1  X 1 =  EA∫ f 1 . f 2 .dx  u1 +  EA∫ f 1 . f 2 .dx  u 2      0   0  ditulis dalam bentuk vektor [k] [k]

{d }

↓

↓

Stiffnes tiffne ss matrix matrix

=

{f}

↓

vektor ve ktor

vektor ve ktor

disp disp . node nod e load loa d node nod e

[k] = matrik kekakuan elemen L

k ij

= EA∫ f i1 ( x). f j 1 ( x)dx 0

[k ] =

EA  1

− 1  1

− 1   1 − 1 [k ] = k   − 1 1  L

Persamaan kekakuan dengan Metode Energi :

axial force : S = T . A( x) = E ε . A( x)

= EA

∂u ∂ x

= E . A( x)[ f 11 ( x)U 1 + f 21 ( x)U 2 ]

{d }= [T ]{d } dengan denga n ca ra sama : f

= [T ]{ f }


33


[ K ]{d }= [T ]{ f } [ K ].[T ].{d } = [T ]{ f } [T ]T .[ K ].[T ].{d } = { f } [ K ].{d } = { f }

dimana

 Cos 2θ − Cos 2θ − Sin 2θ .Cosθ  Sinθ .Cosθ  2 − Sinθ .Cosθ − Sin 2θ  Sin θ AE  Sinθ .Cosθ [ K ] = L  − Cos 2θ Cos 2θ Sinθ .Cosθ  − Sinθ .Cosθ   2 − Sin 2θ Sinθ .Cosθ Sin θ − Sinθ .Cosθ  model matematis

u1   x1   v   y   1  1 [ K ]   =   u 2   x 2  v 2   y 2  Elemen truss dengan orientasi semba rang

Model matematis (Persamaan keseimba ngan node)

− 1 

− 1 u1   X 1    =   1  u 2   X 2 

[K]

{d}= {f}

AE  1 L

Spesifikasi elemen : Program Semi-Que IV Fakultas Teknik—J urusan mesin Universitas Brawijaya

34

DIKTATMETODE ELEMEN HINGGA Oleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT. -

2 node pe elemen

-

2 dof per node (u dan v)

Data teknis yang diperlukan : E, A, L, θ 2 node per elemen dengan asumsi perpindahan yang terjadi sepanjang

→ merupakan variasi linear X , U , Y ,V

→ Koordinat lokal

Dalam sistem sumbu lokal AE  1 L

− 1 

− 1 U 1   X 1  .  =   1  U 2   X 2 

Dikembangkan dengan 2 persamaa n : nol =nol

1  AE  0 L − 1 0 

0

−1

0

0

0

1

0

0

0   u1 

 X 1      0  v1   Y 1     =   Atau 0 u 2   X 2   v   Y  0   2  2 

[K ].{d } = { f }

Dimana

u1   Cosθ  v  − Sinθ  1=  u   0  2  v 2   0

Sinθ

0

Cosθ

0

0

Cosθ

0

− Sinθ

 u1   v  0 . 1  Sinθ  u 2   v  Cosθ    2 0

Resume

Truss → digunakan tidak untuk mendukung momen * Steps : 1. Diskritisasi dengan setiap ba tang sebaga i elemen dengan membuat node-node da n diberi nomor.


35


2. Membuat tabel, da ta yang diketahui dan C os da n Sin arah setiap elemen 3. Buat model matematis elemen / K elemen 4. Beri notasi pa da K elemen sesuai denga n dof 5. Susun nomor notasi dari K elemen pada susunan K total / assembly 6. Identifikasi B . C 7. Temukan dof aktifnya 8. Temukan problem yang ditanyakan (rea ksi pada tumpuan, tegangan pada batang, dsb) * Ciri [K] struktur / assemble -

Elemen matriknya : 2 x joint

-

Simetris matrik

-

Singular matrik

-

Tida k semua persamaan independent (hanya 2 persamaan independent)

* Konsep K Struktur / Assemble Gaya node d i tiap-tiap node pa da struktur merupakan sigma gaya node elemen yang dikontribusikan masing-masing nodenya. * Konsep keseimba nga n truss Gaya node pada setiap node sama dengan gaya luar (beba n / rea ksi tumpua n) dalam arah yang sama. Contoh


36


Tabel i

j

E

A

L

θ

1

2

E

A

L

0o

1

3

E

A

L

60o

2

3

E

A

L

120o

Cos θ

Sin θ

* K elemen / model matematis elemen

 Cos 2θ − Cos 2θ − Sin 2θ .Cosθ  Sinθ .Cosθ  2 − Sinθ .Cosθ − Sin 2θ  Sin θ AE  Sinθ .Cosθ [ K ] = 2 L  − Cos 2θ − Sinθ .Cosθ Cos θ Sinθ .Cosθ    2 − Sin 2θ Sinθ .Cosθ Sin θ − Sinθ .Cosθ  (1–2):

1  AE  0 [ K ] = L − 1 0  1  AE  0 L − 1 0 

0

−1

0

0

0

1

0

0

0

−1

0

0

0

0

1

0

0

 0  0

0

0  u1 

 x1      0  v1   y1  .  =   0 u 2   x 2   v   y  0   2  2

(1–3):

 14 − 1 4 − 3 4  u1   x1  34   − 3 4 − 3 / 4   v1   y1  3/ 4 AE  3 4 .  =   L  − 1 / 4 − 3 4 1/ 4 3 4  u 3   x3       34 3 / 4   − 3 4 − 3 / 4 v3   y3  (2–3):

 1 4 − 3 4 −1 4 3 4  u 2   x 2    − 3 / 4  v 2   y 2  3/ 4 34 AE − 3 4 .  =   L  − 1 / 4 − 3 4  u 3   x3  34 1/ 4      − − 3 4 3 / 4 3 4 3 / 4    v3   y 3  Program Semi-Que IV Fakultas Teknik—J urusan mesin Universitas Brawijaya

37


* K struktur AE

X 1 (1 − 2) =

L

+ 0.v1 − 1.u 2 + 0.v 2 ]

[1.u1

AE  1

X 1 (1 − 3) =

1

 4 u1 + 4 

L

3.v1

−

1 4

1

−

.u 3

4



.v 3 

 +

X 1

=

AE  5

3

 4 u1 + 

L

AE

Y 1 (1 − 2) =

L

4

 

L

4

1

+ 0.v 2 −

4

u3

3

−

4



.v 3 



+ 0.v1 + 0.u 2 + 0.v2 ]

[0.u1

AE  3

Y 1 (1 − 3) =

.v1 − 1.u 2

+ 3 .v1 −

.u1

3

4

4

.u 3

 − 3 .v3  4  +

Y 1

=

AE  3 L

 

4

AE

X 2 (1 − 2) = X 2 (2 − 3)

.u1

L

=

+

3 4

.v1

[ −1.u1 + 0.v1

AE  1 L

3

+ 0.u 2 + 0.v 2 −

 4 u2 − 

3 4

4

.u 3

−

3 4



v3 



+ 1.u 2 + 0.v 2 ]

.v 2

−

1 4

.u 3

+

3 4



.v3 

 +

X 2

=

AE  L

5

− 1.u1 + 0.v1 + 4 .u 2 − 

Y 2 (1 − 2) = Y 2 ( 2 − 3) =

AE L

[0.u1

AE  L

− 

3 4

.v 2

−

1 4

u3

+

3 4



.v 3 



+ 0.v1 + 0.u 2 + 0.v2 ] 3 4

.u 2

+ 3 .v 2 + 4

3 4

.u 3

 − 3 .v3  4  +


38


Y 2

=

AE  L

+ 0.v1 −

0.u1 

3 4

AE  1

X 3 (1 − 3) =

X 3 ( 2 − 3) =

3

− 4 .u1 − 

L

4

AE  1 L

+

3

.v1

+

..u 2

3

− 4 .u 2 + 

4

4

.v 2

.v 2

1 4

3

+

.u 3

4

.u 3

3

+

4

+ 1 .u 3 −

4



v3 





.v3 

3

4

3

−

4

 

.v3 

 +

X 3

=

AE  1 L

3

− 4 .u1 − 

Y 3 (1 − 3) =

Y 3 ( 2 − 3) =

AE L

[−

 

−

.u1

−

3

.u 2

−

3

4

3 4

AE  3 L

.v1

4

4

4

1 4

.u 2

3

+

.v 2

+

.u 3

+

3

.u 3

+

3

4

.v1

+

3

.v 2

−

3

4

4

4

4

1 2

u3

 + 0.v3  

.v3 ]



.v3 

 +

Y 2

 = AE − L 

3 4

.u1

− 3 .v1 + 4

3 4

..u 2

 − 3 .v 2 + 0.u 3 + 6 v3  4 4 

* Model matematis struktur

 5/ 4 3 − − 1 0 1/ 4 − 3 4  4   U 1 = 0   X 1 = R x1   3  3 − 4 − 3/ 4   3/ 4 0 0   Y = 0   4 V 1 ?     1  −1  3 3 − − 0 5 / 4 1 / 4    4 4 . U 2 ?  =  X 2 = P        V 2 = 0 = Y R 3 3 2 2 y − 4 3/ 4 − 3/ 4   0     0 4    X 3 = R x 3    U 3 = 0 3 3    1/ 2 0   − 1/ 4 − 4 − 1/ 4 4 = Y R   = V 0  3 3 y   3     3  3 − 3/ 4 0 6/4  − 4 − 3 / 4 4  [K]


.

{D} = {f}

39


* Identifikasi B.C U1 =V2 =U3 =V3 = 0 (kondisi tumpuan pada joint) * Dof aktif

  V 1   0  .  =   5 / 4 U 2   P 

AE 3 / 4 L

 

0

0

V1 =0 ; U 2 =

 V 1  4 P. L 0 =   U  2  5 EA 1

4 PL

→

5 EA

* Ga ya reaksi

 3 − 1   4   R  − 3 4   V 1   y 2  = EA  0 .   R  L   U 3  x 3  − 4 − 1 / 4   2   R y 3   3  3 / 4  4   R x1 

 3 − 1   4   R x1   −1     R  − 3 4  4 P. L 0 4 − 3 4   y 2  = EA  0 . 1 = P  − 1 / 4   R  − 3  EA 5 L 3 x   5  − 1/ 4      4  3 4   R y 3   3  3 / 4  4  * Ga ya Aksial S = X 2 .Cosθ + Y 2 .Sinθ

U 2 Sinθ ].  V 2

S = EA[Cosθ

X 2

Y 2

=

EA L

=

EA

=

EA

L L

− U 1  − V 1 

(− C U − SCV + C U + SCV ) 2

2

1

[(C 2 (U 2

1

2

2

− U 1 ) + SC (V 2 − V 1 )]

(− SCU − S V + S (U + S V ) 2

1

2

1


2

2

40


=

EA

S =

EA

L L

[ SC (U 2

EA

=

EA

L L

EA

S 1− 2

=

L

− U 1 ) + SC (V 2 − V 1 )} + S {SC (U 2 − U 1 ) + S 2 (V 2 − V 1 )}]

[C {C 2 (U 2

=

S =

− U 1 ) + S 2 (V 2 − V 1 )]

[C 2 {C (U 2

− U 1 ) + S (V 2 − V 1 )} + S 2 {C (U 2 − U 1 ) + S (V 2 − V 1 )}]

+ S 2 )[C (U 2 − U 1 ) + S (V 2 − V 1 )]

(C 2

[C (U 2 − U 1 ) + S (V 2 − V 1 )]

EA L

[C θ

U 2 S θ ].  V 2

− U 1  − V 1 

* Ga ya batang / axial S (1− 2 )

= =

S (1−3)

S ( 2 −3)

EA L

EA L

U 2 Sinθ 1− 2 ].  V 2

− U 1  − V 1 

 4 . P. L  4 [1 0]. 5 EA  = .P (tension)  0  5

=

EA

=

EA

=

EA

L

L

L

[Cosθ 1−2

[Cosθ 1−3

[1 / 2

U 3 Sinθ 1−3 ].  V 3

− U 1  − V 1 

]0 = 0

3 / 2 .

[Cosθ 2−3

0 

U 3 − U 2  EA Sinθ 2 −3 ].  = [1 / 2 − V V  3 2  L

− 4 . P. L  2 3 / 2 ]. 5 EA  = .P  0  5

(tension) 2.2B E A M

Struktur yang dirancang untuk mendukung beban lateral. Sehinngga utamanya dapat meneruskan bending, meskipun ada shear (sebagai konsekuensi logis) Tegangan Bending → Tegangan normal Program Semi-Que IV Fakultas Teknik—J urusan mesin Universitas Brawijaya

41


Data teknis : E, I, L Pola model matematis

→ titik diluar node ba ga imana defleksi (asumsi dengan interpolasi) Pada elemen ada 4 yang tidak diketahui → 4 suku Fisik J ustifikasi : truss → dapa t menurunkan ∈ yang konstan → sehingga T yang konstan. Beam Fungsi interpolasi (asumsi) : → Upa ya untuk mendukung yang sebenarnya (yang didekati bukan fungsinya tetapi nilai numeriknya) V ( x ) = a1

+ a 2 x + a3 x 2 + a 4 x 3

J ustifikasi : di Beam 2

d v dx

2

=

M ( x) EI

→ EI

2

d v dx

2

= M ( x)


42


Keseimba ngan dV = W .dx

Keseimba ngan ( M + dM ) − M = V .dx

dV

W =

dM = V .dx

dx

W = EI

4

d V dx

4

V =

dM dx

V = EI

3

d V dx

3

Pemisalan harus bisa memodelkan daerah beam tida k ada beba n merata sehingga fungsi interpolasi turunan ke IV nya =nol Model umum ; Displac ement =

∑ f i (x)..di

Dimana f i(x) merupakan fungsi bentuk dan d i merupakan Displacement da ri node. Fungsi Interpolasi (asumsi) V ( x ) = a1

+ a 2 x + a3 x 2 + a 4 x 3 ↓

V ( x ) = f 1 ( x)V 1

θ ( x) =

dV ( x) dx

+ f 2 ( x)θ 1 + f 3 ( x)V 2 + f 4 ( x)θ 2

= f 11 ( x)V 1 + f 2 1 ( x)θ 1 + f 31 ( x)V 2 + f 41 ( x)θ 2

Gambaran penyelesaian pada ap likasi Bea m digambarkan sebagai berikut : Suatu struktur Bea m dengan berba ga i beba n .


43


F

W1(x)

W2(x) M

Langkah yang dilakukan sebaga i berikut : 1. Diskrititasi (minimal) denga n cara sebaga i berikut : -

Pada ujung-ujung beam diberi nodal

-

Pada setiap tumpuan diberi nodal

-

Pada diskontinuitas geometri diberi nodal

-

Pada beban terpusat diberi nodal

-

Pada diskontinuitas beban merata diberi nodal

2. Memberikan nomor nodal da n elemen dilakukan dari kiri ke kanan 3. Membuat tabel spesifikasi dari model yang dianalisa 4. Membuat model matematik atau persamaan kekakuan per elemen Dengan memberikan penomoran do f : Elemen K :

elemen

nomor dof

1 2

1 2

3 4

2 3

3 4

5 6

dan seterusnya. 5. Membuat matrik kekakuan total dengan mengasembly masing elemen


44


6. Dengan adanya beban merata, maka harus dibuat dulu beban ekivalensinya dengan cara sebagai berikut :

Y,V

P(x) M2 X,U

M1 Y1

1 L

Y2

Bentuk beba n ekivalen :

 Y1  M  L   {Fi } =  1  = ∫ P( x ).f i ( x ).dx  Y2  0 M 2  7. Indentifikasi kondisi batas menjadi dof aktif dan dof non aktif


45


8. Dengan persamaa n kesimba ngan total , tentukan dof aktif dengan metoda gauss eliminasi. 9. Menjawab pertanyaan dari problem. Prosedur yang dilakukan dalam struktur bea m seba ga i berikut : "

Elemen Beam

Spesifikasi

"

-

2 node/elemen

-

2 dof / node

Fungsi Interpolasi V ( x ) = f 1 ( x)V 1

θ ( x) =

dV ( x) dx

+ f 2 ( x)θ 1 + f 3 ( x)V 2 + f 4 ( x)θ 2

= f 11 ( x)V 1 + f 21 ( x)θ 1 + f 31 ( x)V 2 + f 41 ( x)θ 2

Shape Function 2 3 X  X    f 1( x ) = 1 − 3  + 2   L   L 

 X 2  X3  f 2 ( x ) = X − 2  L  + L2   2 3 X  X    f 3 ( x ) = 3  − 2   L   L 

f 4 ( x )

=−

X2 L

+

X3 L2

Persamaa n keseimba ngan struktur : {f}= [K] {d} L

∫

dengan Elemen stiffness : k ij = EI f i" (x ).f j" ( x ).dx 0


46

DIKTATMETODE ELEMEN HINGGA Oleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT. 2.3F RA M E

→ masing-masing elemen bisa menerima gaya kearah x da n y dan mampu mendukung momen sehingga dof =3

mampu menerima : -

Beban lateral (bending)

-

Beban aksial

-

Beban terpusat/merata

-

Beban momen

Data teknis E, A, I, L, φ 2 node per elemen 3 dof pernode (u, v, θ) Konsep

Seperti beam yang berorientasi φ terhadap x Dalam pemodelan matematis → kombinasi elemen truss dan beam I. Analisa → elemen tersebut terletak pada sumbu x (tapi bukan beam) (merupakan ide frame = truss + beam)

θ lokal =θ global Program Semi-Que IV Fakultas Teknik—J urusan mesin Universitas Brawijaya

47


(karena diputar pa da sumbu yang sama)

-

Diskritisasi

-

K (6 x 6) elemen

-

Assemble

-

Beba n node ekivalen (karena ada beban merata)

-

B.C

-

Dof aktif

-

• • • • •

J awab pertanyaan

Tida k ada tumpuan (da ri soa l terlihat kesetimbangan statis) Tidak ada rigid body motion Tumpuan → jadi B.C Simetri Sumbu simetri

BC dengan kesimetriannya (dari bentuk defleksi) V1 =θ1 =U3 =θ3 =0 U2 =0 V2 = ? (tidak nol/hampir nol) Penentuan BC -

BC yang lebih / kelewatan bisa membuat K tetap singular

-

Atau kalau tidak singular → maka proses kalkulasinya lebih panjang

Bidang simetri tengah Dua buah titik yang berjarak sama terhad ap bida ng simetri Pada bida ng simetri → syarat : -

Struktur simetri


48

DIKTATMETODE ELEMEN HINGGA Oleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT. -

Beban simetri BC’s u =0

θy = 0 θz = 0 contoh soal

Analisa

Diskritisasi node 1 anggota frame aslinya (v, u, θ) sebaga i truss hanya punya (u, v) dof aktif

12 / L2 x  x x EA  [K frame ] =  x x L  − 6 / L x  0 − x

x

− 6 / L

x

x

x

x

x

8

x

6 / L

 u1    x  u 2    x .v 2   − 6 / L  θ 2  12 / L2    v3  0

Dof aktif

[K truss ] =

EA  1 / 2

2 L

− 1 / 2 

− 1 / 2  1/ 2 


49


12 EI + EA  L3   x  x [ K struktur ] =   −6   L  0 − EA   4 L

x

x

4 L

−6 L

x

x

x

x

x

x

x

x

8

x

x

−6


L3

0 − EA

  4 L   x  x  −6   L  12 EI + EA  4 L 

50

DIKTATMETODE ELEMEN HINGGA Oleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT. BAB III

INTERPOLASI DAN INTEGRASI NUMERIK Interpolasi Lagrange merupakan pendekatan fungsi polynomial. Sedangkan Integrasi Gauss Quadrature merupakan suatu proses integrasi numerik dimana batas integral harus sudah dilihat melalui analisa numerik. Shape function → hubungan matematik dari fungsi interpolasi φ = C 0

+ C 1θ + C 2θ 2

φ = [1 θ

C 0    θ 2 ]. C 1  C   2

Tiga titik di θ = θ 1

→ φ = φ 1

θ = θ 2

→ φ = φ 2

θ = θ 3

→ φ = φ 3

φ 1

φ 2

φ 3

= [1

= [1

= [1

θ 1

C 0   2  θ 1 ].C 1  C 2   

θ 2

C 0   2  θ 2 ]. C 1  C   2

θ 3

C 0  1 C  = 1  1  C  1  2 

φ 1  1  → φ 2  = 1 φ  1  3 

θ 1

θ 12  C 0 

θ 2

θ 22 . C 1 

θ 3

   θ 32   C 2 

C 0   2  θ 3 ].C 1  C   2 θ 1

θ 12 

θ 2

θ 22 

θ 3



θ 32 

−1

φ 1    .φ 2  φ   3


51


φ = N 1 (θ )φ 1 + N 2 (θ )φ 2

+ N 3 (θ )φ 3

C urve fitting → suatu pendekatan Lagrange’s interpolation → pendekatan f polynomial FEM → yang didekati bukan fungsinya karena kompleksnya tapi nilainya "

2 independent variables

φ1, φ2 . . . . . . φ9 → diketahui φ I ( x, y1 ) = N 1 ( x).φ 1 + N 2 ( x).φ 2 N 1

=

N 2

=

N 3

=

( x − x 2 ).( x − x3 ) ( x1 − x 2 ).( x1 − x3 ) ( x − x1 ).( x − x3 ) ( x 2

− x1 ).( x 2 − x3 )

( x − x1 ).( x − x 2 ) ( x3 − x1 ).( x3 − x 2 )

φ II ( x, y 2 ) = N 4 ( x).φ 4 N 1

=

+ N 3 ( x).φ 3

+ N 5 ( x).φ 5 + N 6 ( x).φ 6

( x − x5 ).( x − x 6 ) ( x 4

− x5 ).( x4 − x6 )

φ III ( x, y 3 ) = N 7 ( x).φ 7

+ N 8 ( x).φ 8 + N 9 ( x).φ 9

N 7 ( x ) =

Shape kurva : φ ( x, y ) = N 1 ( y)φ I ( x, y1 ) + N 2 ( y )φ II ( x, y 2 ) + N 3 ( y )φ III ( x, y 3 ) N 1 ( y ) =

( y − y 2 ).( y − y 3 ) ( y1

− y 2 ).( y1 − y3 )

; N 2 ( y ) =

( y − y1 ).( y − y 3 ) ( y 2

− y1 ).( y 2 − y 3 )

N 3 ( y ) =

"

Integrasi numerik

Pada software → yang dipa kai integrasi Ga uss * GAUSS QUADRATURE Batas integrasi :harus sudah lihat : Analisa Numerik Program Semi-Que IV Fakultas Teknik—J urusan mesin Universitas Brawijaya

52

DIKTATMETODE ELEMEN HINGGA Oleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT. "

Mapping → merubah ba tas integral denga n menggunakan

determinan J ac obi titik ga uss → dinyatakan dengan koordinat natural

k i t i t 3

k i t i t 4

koordinat natural

faktor bobot

(½, ½, 0)

1/ 3 A

(0, ½, ½)

1/ 3 A

(½, 0, ½)

1/ 3 A

Koordinat natural

faktor bobot

( 1/ 3, 1/ 3, 1/ 3 )

-27/ 48 A

( 3/ 5, 1/ 5, 1/ 5 ) ( 1/ 5, 3/ 5, 1/ 5 )

25/ 48 A

( 1/ 5, 1/ 5, 3/ 5 ) Hubungan antara x dan interpolasi dalam natural : X = L1 X1 +L2 X2 +L3 X3 Kalau ada y Y = L1 Y1 +L2 Y2 +L3 Y3 Shape function pada elemen segitiga = koordinat natural Ni = Li Dalam pengertian koordinat natural sebaga i interpolasi.


53


BAB IIV V

APLIK ASI PADA PERPINDAHAN PANAS Disamping aplikasi untuk struktur, metode elemen hingga dapat juga diterapkan untuk perpindahan panas. Disini akan dibahas mengenai perpindahan aliran panas untuk 1-Dimensi dan juga untuk 2-Dimensi.

4.1Steady State Uniaxial Heat Flow.

H(x)

Q1

Q2 x H(x)

X1

X2

q+(dq/dx).dx A A+(dA/dx).dx dx

Suatu daerah dengan luas penampang variable A(x) dengan aliran panas Q (energy/time) pada ujung dan sumber fluks panas, H(x) (energy/time-length), didistribusikan sepanjang arah x. Kesetimba nga n energi dari differential element :

d dx

A.q − H ( x ) = 0


54


Fourier’s Law :

q

= −k. dT

k: thermal conductivity. ; T : Temperature

dx

Substitusi Fourier Law ke differential equation :

d dx

A.k

dT dx

+ H(x) = 0

Bentuk varisional ekivalen dari persamaan diferensial :

δ Π

x d dT = 0 = ∫ x  A.k + H ( x ).δ T .dx dx  dx  2

1

x x d dT  = ∫ x   A.k  δ T .dx + ∫ x dx   dx 2

1

2

H ( x ).δ T .dx

1

Integrasi suku pertama da n dikalikan dengan –1 dida pa t :

δ Π

= − Ak

dT dx

x2

δ T x1

x2

+ ∫ x

A.k

1

dT d dx dx

δ T .dx −

x2

∫

x1

H ( x ).δ T .dx

dengan T : essential boundary condition (Dirichlet Boundary C ondition) dT/dx: natural boundary value (Neumann Boundary Condition) untuk : Q =-A.k.dT/dx, maka

δ Π

x2

= δ (Q2 .T2 − Q1.T1 ) + ∫ x

1

A.k

dT d dx dx

δ T .dx −

x2

∫

x1

H ( x ).δ T .dx

Functional untuk 1 dimensi problem pe rpinda han panas ada lah :


55


x2

Π = (Q2 .T 2 − Q1.T1 ) + ∫ x

1

2

 dT  .dx − x A.k   ∫ x  dx 

2

H ( x ).T ( x ).dx

1

Ne wton’s Law of c ooling , aliran pa nas konveksi pada ba tas 1 da n 2:

Q 1 =Q 1c = h.A.(T∝ - T1)

dan

Q 2 =Q 2c = h.A.(T2 - T∝ )

T∝ : temperatur ambient ; h : koefisien perpindahan panas konveksi. Energi yang ditambahkan dengan konveksi pada da erah panjang dx : H(x).dx =h.(P.dx)(T∝ - T(x)) H(x) = h.P.(T∝ - T(x)) 4.2MODEL ELEMEN HINGGA UNTUK ALIRAN PANAS 1-DIMENSI.

Functiona l : x2

Π = (Q2 .T 2 − Q1.T1 ) + ∫ x

1

2

 dT  .dx − x A.k   ∫ x dx  

2

H ( x ).T ( x ).dx

1

model elemen : dua nodal heat flow element. L

Q1

i

j

Q2 X

1

2

1. Asumsi fungsi yang menyatakan variable dependen melalui elemen. Variasi linear temperatur : T = [N] . {q t} [N] =[N 1

N2] =

 X j − X   X j − X i


.

− Xi  . X j − X i  X

56


X j – Xi = L

dT dx

;

{q t} = [Ti

1 = [− 1 1].{q t }

atau

L

dT dx

T j] T

= [B].{q t }

Substitusi :

Π = −[Qi − Q j ].{q t } +

A.k 2

x j

∫

xi

x

{q t }T [B]T [B].{q t }.dx − ∫ x j H ( x ).[N ]{q t }.dx i

atau :

Π = −[Qi − Q j ].{q t } + Dengan Ritz proc edure

A.k 2.L

x  1 − 1 { } − q .  t ∫ x − 1 1 

{q t }T 

i

j

H ( x ).[N ]{q t }.dx

dΠ/d{q t}= 0, maka governing equation for the

single element :

A.k .L

 Qi  x  1 − 1 − 1 1 .{q t } = − Q  + ∫ x    j 

j

H ( x ).[N ].dx

i

atau : [ kcd ] . {q t} = {Q t }N + {Q t}H. dimana : [ kc d ] = element conduc tion matrix ; {q t } = nodal temperature vec tor {Q t }N = nodal heat flow vec tor; {Q t }H = nodal heat flow vector equivalent to the distributed flux. Assembly elemen, dgn Rayleigh-Ritz Procedure thd functional seluruh region : [ K c d ] . {rt} = {Rt }N + {Rt}H. dimana :

[ K c d ] = assembled conduction matrix; {rt } = assembled nodal temperature vec tor {Rt }N = noda l heat flow at boundary and node sources


57


{Rt }H = distributed heat flux vec tor. 4.3 ON E-DIM ENSIO NA L HEAT FLOW WITH C ON V EC TIO N

T∝H , hH T ∝L

T∝R

x

hL

hR L

Persamaan kesetimbangan : [ kcd ] . {q t} = {Q t }N + {Q t}H. asumsi konveksi terjadi hanya pada nodal loc al 1.

h. A(T∞ L − T1 ) h. A.T∞ L  h. A.T1  = −    − − Q Q 0      2 2 

{Qt }N = 

h. A.T∞ L  1 = − h A . .   − Q 0  2  atau :

0T1 

 

0T2 

{Q t }N = {Q cv }L.- [ kcv ]L .{q t}

J ika ujung kanan mempunyai konveksi., kemudian denga n subtitusi Q 2 = h.A. (T2 - T∝R) didapat :

 Q1  0 − h . A .   ∞ h A T . . 0  R

{Qt }N = 

0T1 

 

1T2 

atau : {Q t }N = {Q cv }R.- [ kc v ]R .{q t} dimana :

{Q c v}: Vektor aliran panas konveksi; [K c v] : Matrik konveksi


58


Fluks panas terdistribusi : L

L

{Qt }H = ∫ 0 H ( x )[N ]T .dx =∫ 0 h.P.(T∞H − T ( x )).[N ]T .dx L

atau :

L

{Qt }H = h.P.T∞H ∫ 0 [N ]T .dx − h.P ∫ 0 [N ]T .[N ].dx.{q t } Matrik fungsi bentuk dalam koordinat loc al :

 

[N ] = 1 −

x L

x L 

Fluks terdistribusi :

{Qt }H = atau :

h.P.L.T∞ 2

1 h.P.L 2  −  6 1 H 1

1 T1 

 

 2 T2 

{Q t}H ={Q c v}H – [kc v]H .{q t}.

Asumsi single elemen dengan konveksi pada sisi batas kiri dan sepanjang elemen da n aliran panas Q 2 pa da batas kanan. [ kcd ] . {q t} = {Q t }N + {Q t}H. = {Q cv }L.- [ kc v ]L .{q t}+ {Q cv}H – [kc v]H .{q t}.

T  h. A.T∞L  1 − h A .  0 − T Q   2  2 

[k cd ] 1  = 

0 T1 

T  +  0  2 

h.P.L.T∞H 1 2

h.P.L 2 −   1 6 1

direorganisir : (konveksi pada sisi kiri)

[k cd ] + [k cv ]L + [k cv ]H {q t } = {Qcv }L + {Qcv }H (Konveksi pada sisi kanan ) :

[k cd ] + [k cv ]R + [k cv ]H {q t } = {Qcv }R + {Qcv }H Contoh :


59

1 T1 

 

 2 T2 


Aliran panas dalam sirip segiempat seperti pada gambar dimodelkan sebagai problem 1 dimensi. Sisi kiri sirip dipertahankan pada temperatur 2000C dan semua permukaan diekspos pada temperatur ambien 500C . Koefisien konveksi untuk semua permukaan 0.02 W/cm2.0C. konduktifitas termal bahan 4 W/c m.0C. Pertama menggunakan model elemen tunggal dan kemudian model dua-elemen , estimasikan temperatur pada ujung sirip da n pa nas yang hilang. Penyelesaian :

20 cm 5 cm

20 cm

T∞=50 0C 2000C

Q1

X

1

Model satu-elemen Matrik konduksi :

[k cd ] =

Ak  1 L

− 1 

− 1 100.4  1 − 1  20 − 20  = 20 − 1 1  = − 20 20  1    

Elemen denga n konveksi pada sisi kanan. Matrik konveksi untuk aliran pa nas da ri sisi kanan ada lah : Program Semi-Que IV Fakultas Teknik—J urusan mesin Universitas Brawijaya

60


0 0

[k cv ]R = h.A 

0

0 = 0 . 02 ( 100 )  0 1 

0

0 =   1  0

0



2

Matrik konveksi untuk aliran panas dari semua sisi : hPL 2  6 1

[k cv ]H =

1

= 2

0.02(50)(20)  2 1  1 2 6  

 6 .7 =  3 .3

3.3



6.7

Vektor konveksi untuk konveksi sisi kanan : Q1  Q1     Q1  =   = 100 h . A . T 0 . 02 ( 100 )( 50 )    ∞R   

{Qcv }R = 

Matrik konveksi untuk sisa sisi bebas :

{Qcv }H =

h.P.L.T∞H 1 2

1 = 

0.02(50)(20)(50) 1

500 1 = 500   

2

Asembly persamaan matrik aliran panas komplit :

[k cd ]+ [k cv ]R + [k cv ]H {q t } = {Qcv }R + {Qcv }H

 26.7 − 16.7  T1  Q1 + 500 − 16.7 28.7  T  =  600    2    kondisi batas esensial, T1 =200

 1 − 16.7 

  T1  200   =   28.7 T2  600 0

solusi untuk T2 : -16.7 (200) + 28.7 T2 =600

T2 = 137.3 0C .

Aliran pa nas Q1 dalam sisi kiri dida patkan : 26.7T1 - - 16.7T2 =Q 1 + 500 26.7(200) – 16.7(137.3) = Q 1 + 500

Q 1 = 2547 W.

Aliran pa nas rata-rata dalam elemen : Q 1 =-k dT/dx =- k[B] {q t}= −

=−

4 20

k L

T  T2 

[− 1 1] 1 

 200  = 26.3W / cm2  137.3

[− 1 1]


61

DIKTATMETODE ELEMEN HINGGA Oleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT. 4.4PERPINDAHAN PANAS DAN ALIRAN FLUIDA 2-DIMENSI

•

Governing equation.

Y

Laplac e eq. : ∇ 2T Fourier eq. :

atau

:

=0 ∂T q cd = −k ∂x ∂T q cdy = −k ∂y ∂T q n = −k ∂n

nˆ

X

Newton’s Law

T∞

T(x,y)

S

X

of cooling : q CV = h.A (T - T∞ )

Galerkin Approximation :

∫ W .∇ T .t.dx.dy = 0 2

A

i

da lam bentuk lain : ∇.Wi ∇ T sehingga disubsitusi menjadi :

t

= ∇ W .∇ T + W i ∇ 2T

∫ ∇.W ∇T .dx.dy − t ∫ ∇W .∇T .dx.dy = 0 A

i

i

A

Dengan Gauss Theorem : t

∫ A ∇.Wi ∇T .dx.dy = t ∫ S Wi .∇T .nds !

, maka

∫

t W i .∇ T .nds − t

!

S

∫ ∇W .∇T .dx.dy = 0 A

i

atau :

∫

t Wi . S

 ∂W i ∂T ∂Wi ∂T  ∂T + ds − t ∫  .dx.dy = 0 A ∂n ∂ ∂ ∂ ∂ x x y y  

Interpolation formula :

T = [N] . {q i}

dan

Wi =Ni

Sehingga :

 ∂[N ]T ∂[N ] ∂[N ]T ∂[N ] ∂T ∫Se [N ] . ∂n ds − t ∫ Ae  ∂x ∂x + ∂y ∂y .dx.dy.{qi } = 0 T


62

DIKTATMETODE ELEMEN HINGGA Oleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT. Persamaan Elemen :

Y

Keseimbanga n energi : qc dn =q cv

q cd x .iˆ + q cd y . jˆ .nˆ dan

T∞

q b

q cv Se’’

= q cv

∂T .ds = h.t.ds.(T − T∞ ) ∂n ∂ − T .ds = h (T − T∞ ).ds ∂n k

q cdn

Se’

− t .k.

∂T/∂n=0

untuk : T = [N] . {q t}

X

− subsitusi :

∂T h h .ds = [N ].{q t }.ds − T∞ .ds ∂n k k T

− h ∫Se' [N ]T .[N ].ds.{q t }+ h.∫ Se' [N ]

T

∫ Se'' [N ] .

.T∞ .ds + k.

∂T .ds ∂n

 ∂[N ]T ∂[N ] ∂[N ]T ∂[N ] − k.∫ Ae  + . . .dx.dy .{q t } = 0 ∂ ∂ ∂ ∂ x x y y   da lam bentuk persamaan elemen : [K qt} = {Qcv} + {Qb} T] . { “Thermal stiffness” matrix : [K T] = [k cdx] + [k cdy] + [k cv].

 ∂[N ]T ∂[N ] [k cdx ] = k .∫ Ae  . .dx.dy  ∂x ∂x   ∂[N ]T ∂[N ] [k cdy ] = k.∫ Ae  . .dx.dy ∂ ∂ y y   [k cv ] = h.∫ Se' [N ]T .[N ].ds Convection boundary vector Se’ : [Qcv ] =

Applied heat boundary vector, Se’’ : [Qb ] =


T [ ] N ∫ Se' .T∞ .ds

h.

∫ Se'' [N ]T .

k.

∂T .ds ∂n 63

DIKTATMETODE ELEMEN HINGGA Oleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT. BAB V V

ANALISA TEGANGAN AXIS Y MMETRIC Sekelompok problem yang ada pada kenyataannya meliptui gaya dan domainnya dalam tiga dimensi, tetapi akan diupayakan mereduksi sec ara matematik menjadi dua dimensi. Problem-problem tersebut disebut dengan axisymmetric problems, dan dikarakteristikan dengan putran solid dan sifat-sifat material dan beban yang tak berubah sepanjang sekeliling putaran.Gambar berikut adalah putaran solid, dengan elemen yang akan digunakan pada diskrititasi dari kontinum yaitu toroid dengan penampang segitiga. Suatu hal yang penting untuk merealisasikan pada axisymmetric problems, perpindahan dalam kontinum da pat terjadi hanya d alam arah radial dan aksial; perpindahan tidak dapat terjadi dalam arah sirkumferensial, sebaga i akiba t hal tersebut, menjadi biasa menggunakan sistem koordinat silinder dalam mengembangkan persamaan elemen umum, seperti pa da ga mbar berikut.

Sumbu putaran

Program Semi-Que IV Fakultas Teknik J urusan Mesin Universitas Brawijaya

64


Putaran benda dari elemen toroidal. Sistem Koordinat

ˆ w1 = w1.k

z

2

u1

= u1.eˆr

1

θ

ˆ k

eˆ θ

r

3

eˆ r

Komponen tega ngan koordinat silinder untuk keada an axisymmetric.

z

σz

θ σθ

d θ

τrz

dz

σr

dr

r


65

DIKTATMETODE ELEMEN HINGGA Oleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT. 5.1Persamaan dasar untuk elemen

Persamaan elemen secara umum untuk analisa tegangan kontinum tiga dimensi identik dengan bentuk :

∫ [B]T .[C][. B].d Ω.{q } = ∫ Ω [B]T .[C].{εT }.d Ω + {Q} NF + {Q}T + {Q}BF

Ω

walaupun aplikasi persamaan ini untuk elemen tiga dimensi adalah identik dengan konsep elemen dua dimensi, upaya lebih besar karena perpindahan tambahan pada setiap nodal dan dimensi dalam tiga variabel. Integral garis dan luasan dari elemen problem bidang sekarang menjadi integral permukaan dan volume. Dalam persamaan diatas, jika diaplikasikan ke kontinum tiga dimensi didefinisikan kemba li seb aga i berikut : Matrik kekakuan

[k ] = ∫ [B]T .[C][. B].d Ω Ω

Vektor beban nodal temperatur :

[Q]temp = ∫ [B]T .[C].{εT }.d Ω Ω

Vektor gaya nodal {Q}NF =ga ya-gaya a plikasi pa da nodal Vektor traksi permukaan

[Q]T = ∫ [ N ]T .{T}.d Ω A

Vektor Gaya bodi

[Q]BF = ∫ [ N ]T ..{Bf }.d Ω Ω


66

DIKTATMETODE ELEMEN HINGGA Oleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT. 5.2Persamaan Elastisitas Axisymmetric

Pada Axisymmetric, semua persamaa n harus menjadi bebas da ri θ dan semua perpindahan harus berada dalam bidang rz. Hubungan perpindahan regangan dalam koordinat silinder pada problem khusus sebaga i berikut.

∂u εr = ∂r

∂w ; εz = ∂z

; εθ =

∂w ∂w + ; γ rz = ∂ r ∂ r

u r

dalam bentuk matrik :

∂   εr   ∂r ε   0   {ε} =  z  =   εθ   1 γ rz   r ∂   ∂z

  ∂  ∂z . u  = [℘]. u   w w  0   ∂  ∂r  0

Hubungan untuk material isotropik :

1 − ν  σr   ν σ  E  z =  σ   ν  θ  (1 + ν)(1 − 2 ν)  τrz   0

ν 1 − ν ν

ν ν 1 − ν

0

0

   εr  1         0 ε 1  x  z  − α.∆T    1  0  ε  θ      1 − 2 ν    γ rz  0     2  0

atau {σ}= [C ] . ({ε} - {ε} T) Vektor regangan termal didefinisikan sebaga i

 εr  1 ε  1    z {ε}T =   = α∆T    εθ  1 γ rz  0 Program Semi-Que IV Fakultas Teknik J urusan Mesin Universitas Brawijaya

67


Fungsi perpindahan elemen Nodal dari elemen toroidal sebenarnya adalah lingkaran konsentrik yang lewa t melalui puncak penampang segitiga. Koordinatnya adalah r da n z. Spesifikasi perpindahan radial , u, perpindahan aksial, w, posisi radial, r, dan posisi aksial, z dari suatu toroidal yang akan dide finisikan dengan formulasi interpolasi linear dalam koordinat natural dan sifat-sifat nodal. u = L1u1 + L2u2 +L3u3 w =L1w1 + L2w2 +L3w3 r = L1r1 + L2r2 +L3r3 z =L1z1 + L2z2 +L3z3 dimana :

L1+ L2 +L3 =1

dalam bentuk matrik

1  1  r  =  r   1 z   z   1

1   L1 

1

 L   2   z3    L3 

r 2

r 3

z2

invers matrik :

 L1   a1 L  = 1  a  2  2 L  det a  3  3

b1 b2 b3

c1  1

  r     c3   z 

c2

dimana : a 1 =r2z3 – r3z2 ;

a 2 =r3z1 – r1z3 ;

a 1 =r1z2 – r1z2 ;

b 1 =z2 – z3

;

b 2 =z3 – z1

;

b 3 =z1 – z2

;

c 1 =r3 – r2

;

c 2 =r1 – r3

;

c 3 =r2 – r1

;

da n det = (r1 – r3)( z2 – z3) - (r2 – r3)( z1 – z3) = 2 x luas segitiga.


68


Vektor fungsi perpindahan :

 u  L1 w  =  0   

0

L2

0

L3

L1

0

L2

0

 u1  w   1 0   u2  .  = [ N ].{q } L3   w 2   u3     w 3 

Hubungan regangan dengan vektor dof :

{ε} = [℘][ N ].{q } = [B].{q } derivatif koordinat natural :

∂L1 ∂  a1 + r b . 1 + z.c1  b1 =   = ∂r ∂r  det  det

dan seterusnya.

Selanjutnya matrik [B] menjadi :

 b1 0 1  * [B] =  L det  1  cr  1

0

b 2

0

b3

c1

0

c2

0

0

L*2

0

L*3

b1

r c2

b 2

r c3

0

   0  b3  c3

dimana : L1* =a 1 + r.b 1 + z.c 1 ;

L2* =a 2 + r.b 2 + z.c 2 ;

L3* =a 3 + r.b 3 + z.c 3

Matrik kekakuan

[k ] = ∫ [B]T .[C][. B].d Ω Ω

Metode pendekatan yang sederhana [Zienkiewics] dinyatakan sebagai berrikut :


69


[B] = [B(r , z )] dimana ; r =

r 1 + r 2 + r 3

;z=

3

z1 + z 2 + z3 3

volume : V = 2.π.r .A Matrik kekakuan elemen :

[k ] = 2.π.r .A[B ]T .[C].[B] Vektor beban nodal temperatur :

1 1 T [Q]temp = ∫ [B ] .[C].{εT }.d Ω = 2.π.r .A.α.∆T.[B].[C]  Ω 1 0 Vektor gaya nodal {Q}NF =ga ya-gaya a plikasi pa da nodal {Q}NF =[F1r

F1z

F2r

F2z

F3r

F3z] T

Vektor traksi permukaan T

T  Tz 

[Q]T = ∫ [ N ]T .{T}.d Ω = 2.π.∫ r .[ N] . r .ds A S

 rL1  0  rL [Q]T = 2.π.∫  2 S 0   rL3   0

  rL1  0   Tr  . .ds rL 2  Tz  0   rL3  0

r dalam istilah koordinat natural : r = L1r1+ L2r2+ L3r3 Vektor Gaya bodi

 Br  T  Br  [ ] Ω = π . d 2 . . r . N . .dA  ∫ A B  z Bz 

[Q]BF = ∫ [ N ]T .. Ω


70

Metode Elemen Hingga FEM (Ir. A. As’ad Sonief, MT.)

Recommend Documents