METODE EKSPLISIT BEDA PUSAT UNTUK PERSAMAAN GELOMBANG SATU DIMENSI
MAKALAH UNTUK MEMENUHI TUGAS MATAKULIAH Persamaan Diferensial Numerik II yang dibina oleh Bapak Prof. Dr. Agus Suryanto, Suryanto, M.Sc.
Disusun oleh: Lalu Samsul Ahmadi Dian Lestari Wilianingtyas Abu Sufyan
(105090406111001) (105090406111001) (115090400111008) (115090400111008) (115090413111008) (115090413111008)
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENEGTAHUAN ALAM UNIVERSITAS BRAWIJAYA 2014 0
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan hidayah dan inayah- Nya sehingga makalah “Metode Eksplisit Beda Pusat Untuk Persamaan Gelombang Satu Dimensi“ Dimensi“ dapat diseleasikan tepat waktu. Makalah ini dibuat untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah Persamaan Diferensial Numerik II Program Studi Matematika Universitas Brawijaya tahun 2013/2014 agar mahasiswa dapat menguasai pengetahuan, konsep, prinsip serta sert a penerapan tentang PDN II serta mampu mengembangkan pengetahuan mengenai ilmu PDN II pada umumnya. umumnya. Penyusunan makalah ini dapat selesai berkat bantuan dari berbagai pihak, oleh karena itu, pada kesempatan ini kami sampaikan terima kasih dan penghargaan setinggi-tingginya kepada yang terhormat : 1. Bapak Prof. Dr. Agus Suryanto, S.Si., M.Sc. selaku dosen mata kuliah Persamaan Diferensial Numerik II yang telah meluangkan waktu, tenaga dan pikiran dalam pelaksanaan bimbingan, pengarahan, dorongan dalam rangka penyelesaian penyusunan makalah ini 2. Teman-teman mahasiswa Matematika FMIPA Universitas Brawijaya Malang. Kami menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu kritik dan saran dari semua pihak yang bersifat membangun selalu kami harapkan demi kesempurnaan makalah ini. Kami berharap semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang berkompeten. berkompeten. Amin.
Malang, 29 Mei 2014
Penulis
i
DAFTAR ISI
KATA PENGANTA PENGANTAR R ................................... .................................................... .................................. .................................. .................................. .................... ... i DAFTAR DAFTAR ISI ................................... ................................................... ................................. .................................. ................................... .................................. ................ ii BAB 1 PENDAHUL PENDAHULUAN UAN ...................................... ....................................................... .................................. .................................. ............................ ........... 1
1.1 Latar Belakang Belakang ................................. ................................................. .................................. .................................. ................................. ................. 1 1.2 Rumusan Rumusan Masalah ................................. .................................................. ................................... ................................... ........................... .......... 1 1.3 Tujuan Tujuan ................................. .................................................. .................................. .................................. ................................... ............................ .......... 1 BAB II PEMBAHASAN ..................................................................................................... 3
2.1 Skema Numerik Numerik Persamaan Gelombang Satu Dimensi Dimensi ................... .......... .................. .................. ............ ... 3 2.1.1 Stensil Stensil ................................. .................................................. .................................. .................................. .................................. ................... .. 4 2.1.2 Penentuan Syarat Awal Kedua.................. ......... .................. ................... ................... .................. .................. ............ ... 4 2.2 Syarat Kestabilan Skema Numerik Persamaan Gelombang Satu Dimensi ............ ......... ... 5 2.3 Kesalahan Pemotongan Skema Numerik Persamaan Gelombang Satu Dimensi ... 7 2.4 Solusi Solusi Analitik Analitik ................................. ................................................. .................................. .................................. ................................. ................. 8 2.5 Simulasi Simulasi ................................ ................................................. .................................. .................................. ................................... .......................... ........ 10 BAB III PENUTUP PENUTUP ............................................... ................................................................ .................................. ................................... .......................... ........ 14
3.1 Kesimpulan Kesimpulan .......................... ........................................... .................................. .................................. .................................. .......................... ......... 14 3.2 Saran................................. .................................................. ................................... .................................. .................................. ............................. ........... 14
ii
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Gelombang adalah getaran yang merambat. Gerak gelombang dapat dipandang sebagai perpindahan momentum dari suatu titik di dalam ruang ke titik lain tanpa diikuti perpindahan mater i. Dalam kenyataannya pengklasifikasian pe ngklasifikasian gelombang ge lombang sangat beragam, diantaranya berdasarkan arah rambat, medium, dimensi penyebaran rambatan, dan lainlain. Fenomena gelombang dapat dituliskan secara matematis sebagai suatu persamaan differensial, salah satunya gelombang satu dimensi. Persamaan diferensial umumnya dapat diselesaikan dengan cara eksak dan pendekatan. Pendekatan tersebut terbagi menjadi dua, yaitu pendekatan analitik dan pendekatan numerik. Namun karena tidak semua persamaan diferensial dapat diselesaikan secara analitik, sehingga perlu dilakukan pendekatan secara numerik. Oleh karena itulah, dalam makalah ini akan dibahas solusi dari gelombang satu dimensi secara numerik dan juga analitik. 1.2 Rumusan Masalah Rumusan masalah yang akan dibahas dalam makalah ini adalah sebagai berikut:
1. Bagaimana bentuk skema numerik persamaan gelombang satu dimensi? 2. Bagaimana syarat kestabilan dari skema numerik persamaan gelombang satu dimensi? 3. Bagaimana kesalahan pemotongan dari skema numerik persamaan gelombang satu dimensi? 4. Bagaimana solusi analitik dari skema numerik persamaan gelombang satu dimensi? 5. Bagaimana simulasi dari skema numerik persamaan gelombang satu dimensi? 1.3 Tujuan Tujuan penyusunan makalah ini adalah sebagai berikut:
1. Mengetahui bentuk skema numerik persamaan gelombang satu dimensi. dimensi. 2. Mengetahui syarat kestabilan dari skema numerik persamaan gelombang satu dimensi. 1
3. Mengetahui kesalahan pemotongan dari skema numerik persamaan gelombang satu dimensi. 4. Mengetahui solusi analitik dari skema numerik persamaan gelombang satu dimensi. 5. Mengetahui simulasi dari skema numerik persamaan gelombang satu dimensi dengan gesekan.
2
BAB II PEMBAHASAN
2.1 Skema Numerik Numerik Persamaan Persamaan Gelombang Satu Satu Dimensi
Secara matematis, persamaan gelombang satu dimensi dapat ditulis dalam bentuk
≤≤ ≤≤ − − ∆ − − ∆ − − ∆ − − ∆ −− − ∆∆ − − ∆∆ − − − − −−− − −
persamaan differensial seperti berikut:
2
2
2
=
2
2
Atau dapat pula dituliskan seperti berikut disertai dengan syarat awal dan syarat batasnya:
=
2
,
0
0, 0,
,
=0
0
,
,0 =
=0
,0 = ( )
Untuk mendapatkan skema numerik eksplisit beda pusat pada persamaan diatas, digunakan pendekatan beda pusat untuk
dan
1
yaitu:
2
=
+
+1
+
+1
2
2
1
=
2
Kemudian substitusikan pada persamaan gelombang sehingga diperoleh: 1
2
+
+1
2
2
1
2
=
+
+1
2
2
1
2
+1
+
=
1
2
+
+1
2
Dimisalkan =
, maka diperoleh skema eksplisit beda pusat untuk persamaan
gelombang satu dimensi sebagai berikut: 1
+1
=
2
+ 1
+1
=
+
1
3
+
1
2
+
+1
+ 2(1
+1
)
2.1.1 Stensil
Bentuk stensil untuk skema numerik eksplisit beda pusat untuk persamaan gelombang satu dimensi ditunjukkan pada gambar berikut:
Gambar 1. Stensil skema eksplisit beda pusat
−−
−
Gambar diatas sesuai dengan skema yang diperoleh yaitu bahwa nilai fungsi
(
,
+1 )
(
,
1 ).
1,
bergantung pada nilai fungsi
,
,
, (
+1 ,
), dan
Dari stensil terlihat bahwa skema numerik untuk persamaan gelombang
satu dimensi memerlukan dua syarat awal. Syarat awal yang kedua dapat dihitung dengan mengasumsikan
, 0 = 0.
− − − − − ∙ ∆ − − ∙ ∆
2.1.2 Penentuan Syarat Awal Kedua
(
Untuk mencari nilai fungsi
,
1 ),
diperlukan nilai fungsi
(
Akan tetapi kita tidak mengetahui nilai fungsi
(
lain untuk mendapatkan nilai fungsi
,
,
1 ) yaitu
1 ),
(
,
1 ).
maka diperlukan skema
dengan memanfaatkan syarat
awal persamaan gelombang satu dimensi sebagai berikut:
,0 = ( )
( ). Dimisalkan
Pertama, perlu didefinisikan fungsi
Berdasarkan pendekatan beda pusat diperoleh fungsi
sebagai sebagai berikut:
+1
=
1
2
1
=
4
2
1
=0
= 0.
yang diturunkan terhadap
Dengan substitusi syarat batas yang ditetapkan, ditet apkan, maka diperoleh: diperoleh: 0
,0 =
− −− − − − − − − − − − 1
1
Untuk mencari nilai fungsi
1
=
, berdasarkan skema eksplisit beda pusat
untuk persamaan gelombang satu dimensi adalah sebagai berikut: 1
1
1
=
1
=
2
0
+
0
+
1
=
0
1
=
0
2
1
0 +1
+
1
0 +1
+
+ 2(1
)
+ 2(1
)
1
+
0 +1
+ 2(1
1
+
0 +1
+ (1
0
0
)
)
0
0
(
Skema diatas digunakan hanya untuk menentukan nilai Sedangkan untuk nilai
(
, ) pada
,
1 ).
> 1 digunakan skema yang telah
dijabarkan pada subbab 2.1 berdasarkan syarat awal dan syarat batas yang diketahui.
2.2 Syarat Kestabilan Kestabilan Skema Numerik Numerik Persamaan Gelombang Satu Dimensi
Metode Von-Neumann dapat digunakan untuk menganalisis kestabilan suatu persamaan beda hingga. Untuk menghitung menghitung syarat kestabilan, kita gunakan pendekatan pendekatan
∆ −−− − − ∆ −− ∆ − ∆∆ ∆ − ∆ ∆ −− −∆ ∆ − −− −∆ ∆ − −− ∆ − −− ∆∆ − =
+1
+1
=
=
1
1
+
+
1
+
+1
1
+2
2
+1
+
+ 2(1
)
:
=
1
+
=
1
+
=
1
+ 2cos (
=
1
+ 2 (cos
+
+ 2(1
+
+ 2( 1
)+2
2
1)+2
5
)
)
−− − ∆ − − ∆ − − ∆ ∆ − − ∆ − − − ∆ − ∆ − − ∆ − ≤ ≤ ∆ − ≤ − ∆ ≤ − ≤ − ∆ ≤ ≤ ≤ ∆∆ ≤ ≤ ∆∆ ≥ ≤ 1
=
2
=
2
1
4 sin2
sin2
4
+2
2
4 sin2
2
+2
2
+1=0
2
2
2
2
4 sin
±
2
sin2
2+4
=
2
4
2
2
=1
Misal
=1
2 sin2
2 sin2
±
2
1
2
2
=
2 sin2
1
2
±
1
Untuk | | > 1
>1
Skema tidak pernah stabil.
Untuk Untuk | |
1
| |
1
Ambil nilai sin2
2
1
2 sin2
1
2
2 sin2
0
sin2
1
2
0
2
2
1
terbesar, yakni 1, maka didapat
0
1
2
Karena
=
,
0 selalu terpenuhi, sehingga skema eksplisit beda pusat
untuk persamaan gelombang satu dimensi akan stabil jika
6
1.
2.3 Kesalahan Pemotongan Pemotongan Skema Numerik Numerik Persamaan Gelom Gelombang bang Satu Dimensi
Untuk mendapatkan kesalahan pemotongan dari skema numerik persamaan gelombang satu dimensi, digunakan ekspansi deret Taylor:
−−− − − −−− − − ∆ ∆ ∆ ⋯ ∆ ∆ − − ∆∆ − ⋯ ∆ ∆ − ∆ − ⋯ ∆ ∆ ∆ ⋯ − ∆ ∆ ∆ ⋯ ∆ ∆ − ∆ − ⋯ ∆ ∆ −∆ − ⋯ ∆ ∆ ∆ ⋯ − ∆ ∆ ∆ ⋯ ∆ − ∆ ∆ ∆ ⋯ 2
+
+
+1
=
1
+
+1
=
1
+
2
3
+
2
2
1
1
+
+
+
+
+
3
2
2
+
2
2
2
+
+
+
=
3
3
+
3
+
6
3
+
+
2
6
+
+
3
2
3
2
2
+
3
6
2
2
+
+
3
2
+
2
3
+
3
6
2
+2
+
3
3
+
+
3
2
2
+
3
6
2
2
=
3
3
2
+
2
2
6
2
2
2
3
2
2
+
2
+2
+1
2
2
+2
)
+
3
6
=
+
+ 2(1
+1
3
2
+
+
3
6
2
3
2
+
3
3
3
2
2
3
2
2
+
+
3
6
2
3
+
2
2
2
7
+
6
2
3
2
+
∆ −∆ ∆∆ ∆ 2
2
2
2
2
=0
2
Sehingga diperoleh kesalahan pemotongan untuk skema numerik persamaan gelombang satu dimensi, yaitu
2
2
,
.
2.4 Solusi Analitik
Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, untuk mengetahui solusi dari persamaan gelombang satu dimensi, dapat dilakukan pula melalui solusi analitik. Solusi analitik dari persamaan gelombang satu dimensi diperoleh diperoleh sebagai berikut:
− − − − − − − 2
2
=
2
2
2
2
2
2
2
2
=0
+
Dimisalkan
dan
=
=
+
=
dan
=0
. Dari
=
+
. Sehingga diperoleh:
=
+
=
, dapat diperoleh
− =
1
+
Maka:
+
Dari
=
, dapat diperoleh
=
Maka:
=
=
+
(1)
+
dan
=
− − =
8
= 1
(2)
. Sehingga diperoleh:
Bentuk persamaan (1) dan (2) dapat dikembalikan ke persa maan awal gelombang satu dimensi. Sehingga diperoleh:
− − 2
2
=0
2
=0
Maka, dari persamaan di atas, diperoleh solusi:
,
,
=
=
+ ( )
+
+ ( +
)
Selanjutnya, persamaan diatas diterapkan terhadap s yarat awal persamaan gelombang satu dimensi sebagai berikut:
⇒ ⇒ ′ − ′ ⇒ − ,0 =
+
,0 =
= ( )
=
=
0
Dari kedua persamaan diatas, dapat dilakukan substitusi eliminasi sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut:
− − − =
=
1
2
+
0
1
( )
2
0
Maka, diperoleh solusi analitik:
− − − ,
=
1 2
+
+
9
+
1
2
+
.
2.5 Simulasi
Syarat awal :
− ≤ 1,25
,0 =
,
0,8
=
5 1
,
> 0,8
Digunakan kondisi awal Dirichlet:
0,
=
,
=0
Program menggunakan matlab seperti berikut:
clear all all; ; clc; dx=0.41; dt=0.4; a=50; x=0:dx:a; t=0:dt:150; c=1; nu=(c*dt/dx)^2; N=length(x); M=length(t); u=zeros(N,M); u_eks=zeros(N,M); for i=1:N-1 for i=1:N-1 if x(i)<=0.8*a if x(i)<=0.8*a u(i,1)=1.25*x(i)/a; u_eks(i,1)=u(i,1); else u(i,1)=5*(1-x(i)/a); u_eks(i,1)=u(i,1); end end figure(1) plot(x,u(:,1)); axis([0 a -1 1]); drawnow; for i=2:N-1 for i=2:N-1 u(i,2)= (nu*u(i+1,1)+2*(1-nu)*u(i,1) (nu*u(i+1,1)+2*(1-nu)*u(i,1)+nu*u(i-1,1))/2 +nu*u(i-1,1))/2; ; end figure(1) plot(x,u(:,2)); axis([0 a -1 1]); 10
drawnow; for s=3:M for s=3:M u(1,s)=0; u(N,s)=0; for ix=2:N-1 for ix=2:N-1 u(ix,s)=-u(ix,s-2)+nu*(u(ixu(ix,s)=-u(ix,s-2)+nu*(u(ix-1,s-1)+u(ix+1, 1,s-1)+u(ix+1,ss1))+2*(1-nu)*u(ix,s-1); end figure(1); plot(x,u(:,s)); axis([0 a -1 1]); drawnow; end figure(2) mesh(u) for it=1:M for it=1:M u(1,it)=0; u(N,it)=0; for ix=2:N-1 for ix=2:N-1 if x(ix)<=0.8*a if x(ix)<=0.8*a u_eks(ix,it)=((1.25*(x(ix)c*t(it)))/a+(1.25*(x(ix)+c c*t(it)))/a+(1.25*(x(ix)+c*t(it)))/a)/2 *t(it)))/a)/2; ; else u_eks(ix,it)=((5*(1-(x(ix)-c* u_eks(ix,it)=((5*(1-(x(ix)-c*t(it))/a)+5*( t(it))/a)+5*(11(x(ix)+c*t(it))/a)))/2; end end error(:,it)=u_eks(:,it)-u(:,it); figure(4); plot(x,error(:,it)); drawnow; end
11
1 0.8 0.6 0.4 0.2
0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8
-1 0
5
10
15
20
25
30
35
Gambar 2. Kondisi Awal
Gambar 3. Hasil Mesh
12
40
45
50
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Gambar 4. Grafik Error
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1 0
5
10
15
20
25
30
Gambar 5. Simulasi saat
13
35
40
= 1,05 1,0519 19
45
50
BAB III PENUTUP
3.1 Kesimpulan Kesimpulan yang diperolehdari pembahasan makalah ini adalah sebagai berikut:
∆ −−− − − ∆ − − − − ≤ ∆∆ ∆ − − ≤
1. Skema numerik persamaan gelombang satu dimensi didapat dengan menggunakan metode pendekatan eksplisit beda pusat terhadap state
dan waktu
, sebagai
berikut:
+1
1
=
+
1
+
+1
+ 2(1
)
2
dimana Pada
=
.
1
(0) (0) , dalam skema terdapat nilai ,0 = 0
digunakan nilai
yang tidak diketahui, sehingga
pada syarat awal kedua untuk mencari mencari nilai
1
sebagai berikut:
0
1
=
1
2
0
0 +1
+
0
+2
2
2. Dengan syarat kestabilan Von Neumann diketahui bahwa skema eksplisit beda pusat
1.
untuk persamaan gelombang satu dimensi akan stabil st abil jika
3. Dari ekspansi deret taylor diperoleh kesalahan pemotongan untuk skema numerik 2
persamaan gelombang satu dimensi, yaitu yaitu
,
2
.
4. Solusi analitik dari persamaan gelombang satu dimensi adalah
,
=
1 2
+
+
+
1
+
2
.
5. Dari simulasi yang dilakukan, dapat dilihat bahwa skema akan stabil ketika nilai
1. Jika
melebihi nilai 1 maka simulasi tidak akan stabil. Serta didapat nilai
error maksimum sebesar 1,2694.
3.2 Saran
Saran yang dapat penulis berikan demi perbaikan penulisan makalah selanjutnya yaitu penambahan contoh soal yang diselesaikan berdasarkan solusi analitik untuk memperjelas perbandingan hasil antara solusi numerik dan solusi analitik.
14
