1.1.1 Solusi Persamaan Gelombang 1-Dimensi Persamaan gelombang dimensi satu yang menyatakan getaran senar yang direntangkan sejajar sumbu-x dengan panjang L dinyatakan oleh persamaan
Karena ujung-ujung dawai simpangannya nol maka kita mempunyai dua syarat batas yaitu
Bentuk gerakan dawai akan bergantung pada simpangan awal dan kecepetan transversal awal. Diandaikan simpangan awal adalah f(x) dan kecepatan transversal awal adalah g(x). Dengan demikian kita mempunyai dua syarat awal, yaitu a) Simpangan awal dengan
. . . (7)
b) Kecepatan transversal awal
karena kedua ujung dawai terikat sehingga selalu diam. Terapkan metode pemisahan variabel dengan menuliskan: . . . (9) Ke dalam persamaan (5) sehingga menghasilkan
Atau
Dengan k sebuah tetapan real positif. Penyelesaian persamaan differensial (10) berturut-turut adalah { Pemecahan umumnya adalah :
{
Perhatian: Pada Pers. (10) kita memilih tetapan persamaan terpisahnya –k2, karena alasan fisika, bahwa getaran dawai dinyatakan oleh fungsi cosinus dan sinus, ketimbang fungsi eksponensial real. Jika seandainya kita memilih tetapannya 2, maka syarat batas pada ujung tali di x = 1 hanyalah dipenuhi untuk = 0; jika 0 maka haruslah imajiner, atau 2 = – k2, dengan k sebuah tetapan real positif seperti di atas. Dengan menerapkan syarat batas persamaan (6.a) :
, kita dapati P = 0
sehingga pemecahan (10) menjadi : . . . (12) Di mana tetapan Q,R dan S setelah diserap di dalam tetapan A dan B. penerapan syarat batas (6.b) :
, memberikan : ( )
Sehingga pemecahan (12) menjadi : ∑
. . . (13)
Tetapan An dan Bn ditentukan oleh kedua syarat awal persamaan (8). “secara sederhana, kedua syarat awal ini berkaitan dengan cara bagaimana kita menyembunyikan dawai pada awalnya. Contoh Soal 1. Tentukan persamaan defleksi y(x,t) dari senar yang panjangnya π dan kedua ujungnya diikat pada posisi tetap. Jika simpangan awalnya f(x) = 0 dan kecepatan awalnya g(x) = (0,01 sin x), c2 =T/ρ =1. Penyelesaian : Persamaan Gelombang :
Syarat batas : y(0, t) = y(π, t) = 0 ; t ≥ 0
Syarat awal : y(x,0) = 0,01 sin x ; 0 ≤ x ≤ L
PD diselesaikan dengan metode pemisahan variable :
Sehingga, PD menjadi :
=
Persamaan differensial menjadi :
Untuk syarat batas : y (0,t) = 0
Penyelesaian PD menjadi :
Untuk syarat batas : y (π,t) = 0
Penyelesaian PD menjadi :
Untuk syarat awal : y’ (x,0) = 0
Penyelesaian PD menjadi :
Untuk syarat awal : y (x,0) = 0,01 sin x
Penyelesaian khusus PD : Latihan Soal 1. Tentukan persamaan defleksi y(x,t) dari senar yang panjangnya π dan kedua ujungnya diikat pada posisi tetap. Jika simpangan awalnya f(x) = 0 dan kecepatan awalnya g(x) = (0,25 sin x), c2 =T/ρ =1. Penyelesaian Persamaan Gelombang :
Syarat batas : y(0, t) = y(π, t) = 0 ; t ≥ 0
Syarat awal : y(x,0) = 0,25 sin x ; 0 ≤ x ≤ L
PD diselesaikan dengan metode pemisahan variable :
Sehingga, PD menjadi :
=
Persamaan differensial menjadi :
Untuk syarat batas : y (0,t) = 0
Penyelesaian PD menjadi :
Untuk syarat batas : y (π,t) = 0
Penyelesaian PD menjadi :
Untuk syarat awal :
Penyelesaian PD menjadi :
Untuk syarat awal : y (x,0) = 0,25 sin x
Penyelesaian khusus PD :
2.
Tentukan defleksi y(x,t) dari tali yang panjangnya L. Kedua ujungnya dipasang tetap, kecepatan awalnya g(x) = 0 dan defleksi awalnya : {
Penyelesaian : Persamaan differensial gelombang untuk syarat batas
adalah :
∑ Selanjutnya dengan meninjau syarat awal pada kasus diatas
Untuk syarat awal :
(
)
(
)
Sehingga persamaan diferensialnya menjadi : ∑(
)(
)
Untuk syarat awal : y (x,0) = f (x) ∑
Dengan koefisien An dapat dihitung melalui persamaan deret fourier sinus : ∫
⁄
∫
(
)
∫ ⁄
Substitusi An pada penyelesaian persamaan diferensial : {
}
