Metalne konstrukcije

6. PRORAČUN OKVIRNIH SUSTAVA 6.1. Uvodne pripreme za dimenzioniranje 6.2. Komponente okvira 6.3. Klasifikacija okvira 6.3.1. Poduprti i nepoduprti okviri 6.3.1.1. Uvjeti klasifikacije

6.3.2. Pomični i nepomični okviri 6.3.2.1. Uvjeti klasifikacije

6.4. Elastično kritično opterećenje okvira za bočno pomičan mod 6.4.1. Približni postupak 6.4.2. Postupak "grinter-ov okvir" 6.4.3. Ostali postupci 6.5. Dužine izvijanja 6.5.1. Uvod 6.5.2. Efektivna dužina stupova 6.5.3. Stupovi nepomičnih okvira 6.5.4. Stupovi pomičnih okvira 6.6. Imperfekcije 6.6.1. Imperfekcije okvira 6.6.2. Imperfekcije za analizu veznih sustava 6.6.3. Lokalne imperfekcije konstrukcijskog elementa 6.7. Analiza okvirnih konstrukcija 6.7.1. Uvod 6.7.2. Ponašanje okvira 6.7.3. Modeliranje konstrukcije građevine 6.7.3.1. Uvod 6.7.3.3. Koncept nosivosti 6.7.3.3. Prostorno ponašanje 215

6.7.3.4. Otpornost na horizontalne sile 6.7.3.5. Međudjelovanje tlo - konstrukcija 6.7.3.6. Modeliranje okvira 6.7.3.7. Konstrukcijsko uobličavanje i priključci

6.7.4. Bitne značajke analize konstrukcija 6.8. Plastična globalna analiza i potrebne provjere pri dimenzioniranju 6.8.1. Plastična analiza prvog reda i dimenzioniranje 6.8.2. Plastična analiza drugog reda i dimenzioniranje okvira 6.8.2.1. Direktna metoda 6.8.2.2. Pojednostavljena plastična analiza drugog reda 6.8.2.3. Merchant- Rankine postupak

6.8.3. Smjernice za primjenu plastičnih metoda dimenzioniranja 6.9. Postupci proračuna okvira 6.9.1. Tradicionalni postupci proračuna okvira 6.9.2. Suvremeni postupci proračuna okvira

215

6. Proračun okvirnih sustava

MK I

6.1. UVODNE PRIPREME ZA DIMENZIONIRANJE Radi velike razlike u nekadašnjoj i sadašnjoj inženjerskoj praksi u pogledu tehničke terminologije u prvom će se redu navesti neki važniji tehnički pojmovi vezani uz modeliranje okvirnih sustava. Terminologija • Okvir (Frame): Dio konstrukcije koji obuhvaća spajanje direktno priključenih konstrukcijskih elemenata tako dimenzioniranih da djeluju zajedno opirući se djelovanjima. Radi važnosti pojma `okvir' u tablici 6.1. prikazat će se različite mogućnosti primjene tog izraza u različitim jezicima. Međutim, nekada se smatralo da su okviri konstrukcijski sustavi koji imaju najmanje jedan priključak stupa i prečke koji ima krutost na spajanje, kako se vidi na slici 6.1. Danas, kada se govori o tipovima uobličavanja konstrukcija (type of framing), često je bolje koristiti širi pojam izraza 'okvir', a to je 'kost' ili 'skelet' konstrukcije. Tablica 6.1: Različite primjene riječi ‘okvir’ na nekoliko jezika

B. Peroš

217

MK I


Slika 6.1. Okvirni sustavi

Na slici 6.2. prikazano je nekoliko tipova okvirnih sustava. Portalom je uobičajeno nazvati okvirne sustave prikazane na slici 6.3. a), b) i d).

Slika 6.2. Praktični primjeri okvirnih sustava

B. Peroš

218


MK I

Dakle, može se vidjeti da se pojam 'okvira' može shvatiti u užem smislu, kako je to do sada bilo uobičajeno, ali može se definirati i 'u širem smislu' prema Eurocode 3. •

Dio okvira (sub-frame):

To je konstrukcijski sustav koji čini dio okvira, ali se kod proračuna tretira kao da je zasebni okvir. •

Tipovi uobličavanja (type of framing):

Izraz se primjenjuje radi modeliranja konstrukcijskih sustava kako slijedi: - Djelomično-kontinuirane (semi-continuous) - u globalnoj analizi zahtijeva se posebno razmatranje konstrukcijskih svojstava priključaka. - Kontinuirane (continuous) - u globalnoj analizi trebaju se uzeti u obzir konstrukcijska svojstava elemenata. - Jednostavne (simple) - priključci ne trebaju pružati otpornost momentu. •

Sustavna dužina (system lenght):

Razmak između dvije susjedne točke u kojima su elementi pridržani protiv bočnog pomaka u danoj ravnini, ili između jedne takve točke i kraja elementa. •

Dužina izvijanja (buckling lenght):

Sustavna dužina nekog sličnog elementa sa zglobovima na krajevima, koji ima istu otpornost na izvijanje kao i dani element. •

Projektant - konstruktor (designer):

Primjereno kvalificirana i iskusna osoba odgovorna za dimenzioniranje konstrukcije. •

Analiza konstrukcije (structural analysis)

Postupak ili algoritam za određivanje učinaka djelovanja u svakoj točki konstrukcije. •

Globalna analiza (global analysis)

Određivanje konzistentnog skupa unutarnjih sila i momenata ili napona, koji su u ravnoteži sa pojedinačno definiranim skupom djelovanja na konstrukciju, i ovise o geometrijskim svojstvima to o svojstvima konstrukcije i materijala. •

Linearno elastična analiza prvog reda bez preraspodjele (first order linear-elastic analysis without redistrubution)

B. Peroš

219


MK I

To je elastična analiza konstrukcije temeljena na linearnom odnosu σ-ε ili M-ϕ koja je provedena na početnoj geometriji nedeformirane konstrukcije. •

Linearno elastična analiza prvog reda s preraspodjelom (first order linear-elastic analysis with redistrubution)

To je linearna elastična analiza u kojoj su unutarnje sile i momenti modificirani za dimenzioniranje konstrukcije konzistentno sa zadanim vanjskim djelovanjima i bez eksplicitnog izračunavanja rotacijske sposobnosti. •

Linearno elastična analiza drugog reda (second order linear-elastic analysis)

To je elastična analiza konstrukcije primjenom linearnog odnosa σ-ε na deformiranu konstrukciju. •

Nelinearna analiza prvog reda (first order non-linear analysis)

To je analiza konstrukcije provedena na nedeformiranoj konstrukciji uzimajući u obzir nelinearna svojstva materijala (materijalna nelinearnost). •

Nelinearna analiza drugog reda (second order non-linear analysis)

To je analiza provedena na deformiranoj konstrukciji uzimajući u obzir nelinearna svojstva materijala (materijalna nelinearnost). •

Elasto-idealno plastična analiza prvog reda (first order elasto-perfectly plastic analysis)

To je analiza temeljena na M-ϕ odnosima koji sadrže linearno elastični dio i plastični dio bez očvršćivanja, provedena na nedeformiranoj konstrukciji. •

Elasto-idealno plastična analiza drugog reda (second order elasto-perfectly plastic analysis)

To je analiza temeljena na M-ϕ odnosima koji sadrže linearno elastični dio i plastični dio bez očvršćivanja, provedena na deformiranoj konstrukciji. •

Elasto-plastična analiza - prvog i drugog reda (elasto-plastic analysis - first or second order)

B. Peroš

220


MK I

To je analiza konstrukcije koja rabi σ-ε odnose ili M-ϕ odnose koji sadržavaju elastični dio i plastični dio sa ili bez očvršćivanja na deformiranoj ili nedeformiranoj konstrukciji. •

Idealno plastična analiza (rigid plastic analysis)

To je analiza provedena na nedeformiranoj konstrukciji, koja koristi teoreme granične analize za direktnu procjenu krajnjeg opterećenja.

Dokazi kod dimenzionirania okvirnog sustava Kod dimenzioniranja okvirnog sustava mora se za kriterij krajnjeg graničnog stanja dokazati sljedeće:

B. Peroš

221


MK I

Također, kod dimenzioniranja okvirnog sustava potrebno je provesti sve dokaze vezane uz granično stanje uporabljivosti. Proračun unutarnjih sila i momenata

6.2. KOMPONENTE OKVIRA Okvir je sastavljen od konstrukcijskih elemenata i priključaka, vidi sliku 6.3. Konstrukcijski elementi su elementi kod kojih je dužina puno veća od visine.

B. Peroš

222

MK I


Priključci su zone gdje su dva ili više konstrukcijskih elemenata spojeni. Konstrukcijske elemente klasificiramo prema vrsti naprezanja kojoj su izloženi. Ako je savijanje dominantno nazivamo ih nosači, ako je uzdužna sila dominantna nazivamo ih stupovi (tlačni ili vlačni konstrukcijski elementi), a ako su prisutni značajni iznosi i savijanja i uzdužne sile nazivamo ih nosači - stupovi. Nosač, nosači - stupovi i njihovi priključci tvore glavne komponente okvirnih konstrukcija.

Slika 6.3. Okvir i njegove komponente

6.3. KLASIFIKACIJA OKVIRA 6.3.1. Poduprti i nepoduprti okviri Sa izvedenim sustavom za podupiranje sprječava se, ili barem ograničava, horizontalni pomak višekatnih konstrukcija. Uobičajeno je izvesti ga ili kao rešetku (vezni sustav), okvir ili kao krutu jezgru, slika 6.4.

Slika 6.4. Sustavi za podupiranje

Okviri

se

klasificiraju

unverschiebliche B. Peroš

kao

Rahmen)

poduprti ako

okviri

posjeduju

(engl.

braced

odgovarajuće

krute

frame,

njem.

sustave

za 223


MK I

podupiranje. Tada je moguće razmatrati okvir i sustav za podupiranje zasebno prema sljedećem: •

Okvir se bez veznog sustava može smatrati kao potpuno bočno oslonjen i razmatra se samo djelovanje vertikalnih opterećenja.

•

Sustav za podupiranje preuzima sva horizontalna opterećenja koja djeluju na okvire koje on pridržava, sva vertikalna opterećenja koja djeluju na vezni sustav i učinke početnih horizontalnih imperfekcija od okvira koje pridržava kao i samog sustava za podupiranje.

Okviri bez sustava za podupiranje i naravno okviri sa sustavom za podupiranje, ali nedovoljno krutim, klasificiraju se kao nepoduprti okviri (engl, unbraced frame, njem. verschiebliche Rahmen). U ovom slučaju, pojedinačni konstrukcijski sustavi, koji se sastoje od okvira i od veza kada je prisutan, analiziraju se i za vertikalna i horizontalna opterećenja kao i za učinke imperfekcija. 6.3.1.1. Uvjeti klasifikacije Samo kada vezni sustav reducira horizontalne pomake barem 80% može se okvir klasificirati kao poduprt. • Vezni sustav nije izveden: ⇒ okvir je nepoduprt. • Vezni sustav je izveden i ispunjava: Ψbr > 0,2 ⋅ Ψunbr ⇒ okvir je nepoduprt, Ψbr < 0,2 ⋅ Ψunbr ⇒ okvir je poduprt, gdje je: Ψbr

- bočna fleksibilnost konstrukcije s veznim sustavom,

Ψunbr - bočna fleksibilnost konstrukcije bez veznog sustava.

B. Peroš

224


MK I

Slika 6.5. Klasifikacija okvira bočno poduprtih veznim sustavom

Okvir bočno poduprt veznim sustavom može se klasificirati kao poduprt prema slici 6.5. kada vrijedi: Ψbr ≤ 0,2 ⋅ Ψunbr gdje je: Ψbr

- bočna fleksibilnost nepoduprtog okvira,

Ψunbr - bočna fleksibilnost veznog sustava. Problem se može svesti i na problem krutosti okvira i vertikalne stabilizacije. Ako je krutost vertikalne stabilizacije Sver.st pet puta veća od krutosti okvira Sokv., onda se okvir može smatrati nepomičnim tj. ako je:

B. Peroš

225

MK I


Slika 6.6. Krutosti vertikalne stabilizacije

Napomena: I se nekada nazivao momentom tromosti (engl. second moment of area, njem. Flachenmoment 2. Grades). U ovoj knjizi usvojen je naziv prema engleskom drugi moment površine.

12 ⋅ S okv. =

hr + ∑ Ic

E hr 1 I ∑ Lb b

∑Ιc - zbroj svih drugih momenata površine za stupove Ιc, u promatranom katu,

6.3.2. Pomični i nepomični okviri Razmatra se okvir na kojeg djeluju u njegovoj ravnini horizontalne sile. Pretpostavlja se da je okvir dovoljno krut. Ovo znači da se mogu zanemariti bilo koje dodatne sile ili momenti koji potječu iz horizontalnih pomaka njegovih čvorova. Za takav okvir kaže se da je nepomični okvir (engl. non-sway frame, njem. seitensteife Rahmen). Dakle,

B. Peroš

226

MK I


globalni učinci drugog reda (Ρ-∆ učinci) mogu se zanemariti kod nepomičnog okvira. Kada se globalni učinci drugog reda ne mogu zanemariti, okvir se naziva pomični okvir (engl. sway frame, njem. seitenweiche Rahmen). Vrlo je vjerojatno da se okvir sa veznim sustavom (poduprti okvir) klasificira kao nepomičan, dok je vrlo vjerojatno da će se okvir bez veznog sustava (nepoduprti) klasificirati kao pomični. Međutim, važno je napomenuti da je teoretski moguće da nepoduprti okvir bude klasificiran kao nepomični. Ovo je čest slučaj portalnog okvira. Također je moguće da okvir sa veznim sustavom (poduprti) bude klasificiran kao pomičan. Ovo je pak moguće za višekatne okvirne konstrukcije. Navedeni slučajevi prikazani su na slici 6.7.

Slika 6.7. Okvir sa i bez veznog sustava

Kada je okvir klasificiran kao nepomičan, uvijek se može koristiti analiza prvog reda (teorija prvog reda). Analiza drugog reda (teorija drugog reda) koristit će se za okvire klasificirane kao pomične. Postupci analize okvira na ovaj način bit će objašnjeni u točkama. Također se mora napomenuti da i vezni sustavi moraju biti klasificirani kao pomični ili nepomični. 6.3.2.1. Uvjeti klasifikacije Klasifikacija okvirnih konstrukcija (ili veznih sustava) kao pomičnih ili nepomičnih temelji se na vrijednosti omjera Vsd i Vcr. Vsd je ukupno vertikalno računsko opterećenje koje djeluje na konstrukciju. Vcr je elastično kritično opterećenje koje proizvodi instabilitet uslijed bočne pomičnosti 'sway instability (otkazivanje u bočno pomičnom modu 'sway mode').

B. Peroš

227

MK I


Vcr je elastično kritično opterećenje kod kojeg dolazi do otkazivanja u bočno pomičnom modu. Moguća je provjera nekoliko različitih modova izvijanja u ovisnosti o okviru. Svaki od pojedinog moda izvijanja povezan je s odgovarajucim Vcr. Za jednostavan portalni okvir prikazan na slici 6.8. mogući su i simetričan (bočno nepomičan) mod i antimetričan (bočno pomičan) mod. Očito, što je opterećenje na konstrukciju bliže kritičnom opterećenju, to je veća opasnost (rizik) od instabiliteta. Također su veći i učinci drugog reda na konstrukciju (P - ∆ učinci).

Slika 6.8. Izvijanje okvira

Uvjeti klasifikacije su:

•

VSd / Vcr ≤ 0.1 , konstrukcija je nepomična,

•

VSd / Vcr > 0.1 , konstrukcija je pomična.

Uvjeti se mogu izvesti i na sljedeći način:

•

λcr = Vcr / VSd ≥ 10 , konstrukcija je nepomična,

•

λcr = Vcr / VSd < 10 , konstrukcija je pomična.

Primjer: Okvir je pomičan Svrha primjera: Potrebno je odrediti može li se nepoduprti okvir prikazan na slici 6.9. smatrati pomičnim.

B. Peroš

228

MK I


• Statički sustav i računska opterećenja

Slika 6.9. Statički sustav i računska opterećenja

Okvir: stupovi: HE 260 B prečka:IPE 550 • Imperfekcije okvira (vidi točku 6.6.1.) F = 2 ⋅ 200 + 50 ⋅ 8 = 800kN

Φ =1 / 200 ⇒ F1 = 800 / 200 = 4.0 kN - ekvivalentno horizontalno opterećenje zbog imperfekcija. • Bočni (horizontalni) pomak okvira

h3 2 ⋅ k +1 δ= ⋅ ⋅H 12 ⋅ EI c k

δ1 =

gdje je

I b h 67120 ⋅ 10 4 ⋅ 5,0 = 2,812 . k= ⋅ = I c L 14920 ⋅ 10 4 ⋅ 8,0

500 3 2 ⋅ 2,812 + 1 ⋅ ⋅ 1,0 = 0,07832 cm, za H=1,0 kN. 1221000 ⋅ 14920 2,812

Ukupni horizontalni pomak (progib) okvira, za ukupno horizontalno opterećenje, uključujući i ekvivalentno horizontalno opterećenje zbog imperfekcija (∑H = 40 + 4 = 44 kN) iznosi:

δ = δ1 ⋅ ∑H = 0,07832 ⋅ 44 = 3,45 cm . • Kriterij pomičan - nepomičan okvir

δ h

∑ V = 34,5 ⋅10 5,0 ∑H

−3

⋅

800 = 0,125 > 0,1 44

Okvir se klasificira kao pomičan. B. Peroš

229

MK I


Zaključak: Okvir se klasificira kao pomičan. To znači da se primjenjuje analiza drugog reda (uzimaju se u obzir učinci drugog reda;).

Primjer: Poduprti okvir je nepomičan Svrha primjera: Potrebno je odrediti može li se poduprti okvir prikazan na slici 6.10. smatrati nepomičnim. • Statički sustav i računska opterećenja


Vezni sustav:

stupovi:

HE 180 A

Ιc= 2510 cm4

prečka:

IPE 200

Ιb= 1940 cm4

ispuna:

∅ 171 x 8

A= 41 cm2

Vezni sustav prenosi ukupna horizontalna opterećenja ∑Hd (vanjsko opterećenje vjetra i imperfekcije): Hd = 80 kN od djelovanja vjetra Imperfekcije (vidi točku 6.6.1.):

φ =kc ⋅ ks ⋅ φo φo = 1/200 kc= 0,5 + 1 / n c = 0,5 + 1 / 6 = 0,816 < 1 ks= 0,2 + 1 / n s = 0,2 + 1 / 1 = 1,10 > 1 ⇒ ks = 1 B. Peroš

230

MK I


φ=0,816 ⋅1⋅

1 1 = 200 245

∆Hd = φ ⋅ N =

1 ⋅ 6 ⋅ 300 = 7,3 kN 245

∑Hd = Hd + ∆Hd = 80 + 7,3 = 87,4 kN • Kriterij pomičan - nepomičan okvir (vidi točku 6.3.2.1.) VSd / Vcr ≤ 0,1 δ V ⋅ h H

VSd / Vcr =

(vidi točku 4.1.)

Pomak veza:

δW =

∑H

d

⋅ hc

SV

SV =

2 ⋅ n ⋅ EA d ⋅ h c ⋅ L2 2 ⋅ 1 ⋅ 21000 ⋅ 41 ⋅ 500 ⋅ 600 2 = = 650658 kN 3 2 2 d3 500 + 600

δW =

87,4 ⋅ 500 = 0,0671 cm 650658

(

)

Vertikalno opterećenje: V=6 ⋅ Pd = 6 ⋅ 300 = 1800 kN (vez stabilizira 6 glavnih poprečnih sustava). Prema tome je:

δ V 0,0671 1800 ⋅ = ⋅ = 0,0028 < 0,1 h H 500 87,4 Zaključak: Okvir se klasificira kao nepomičan. To znači da se primjenjuje analiza prvog reda (ne uzimaju se u obzir učinci drugog reda).

B. Peroš

231

MK I


6.4. ELASTIČNO KRITIČNO OPTEREĆENJE OKVIRA ZA BOČNO POMIČAN MOD 6.4.1. Približni postupak Za ravninske okvire kod kojih su u svakoj razini kata nosači spojeni sa svakim stupom, vidi sliku 6.11., elastično kritično opterećenje izvijanja u bočno pomičnom modu može se izračunati prema sljedećem:

•

Okvir se računa prema elastičnoj analizi prvog reda za kombinaciju opterećenja. Izračuna se horizontalni pomak svakog kata za računska opterećenja (i horizontalna i vertikalna).

•

Elastično kritično opterećenje okvira u bočno pomičnom modu za specificiranu kombinaciju opterećenja može se procijeniti prema sljedećem:

VSd ⎡δ V⎤ = max ⎢ ⋅ ⎥ Vcr ⎣ h H ⎦i gdje i označava i-ti kat, a Vsd je računska vrijednost ukupne vertikalne reakcije na temelj, Vcr

- elastično kritično opterećenje okvira 'sway mode',

δ

- horizontalni pomak vrha i-tog kata u odnosu na dno i-tog kata,

h

- visina i - tog kata,

H

- ukupna horizontalna reakcija na dnu i - tog kata,

V

- ukupna vertikalna reakcija na dnu i - tog kata.

Vidi sliku 6.11. sa ilustracijom navedenih parametara i numerički primjer.

B. Peroš

232

MK I


Slika 6.11. Okvir u bočno pomičnom modu

Navedeni približni postupak temelji se na procjeni omjera momenata pri temeljnoj stopi (bazi) stupa uslijed učinka drugog reda globalno na okvir (P-∆ učinak dan kao Vj

⋅ δj) i momenta prvog reda (danog kao Hj ⋅ hj).

6.4.2. Postupak "grinter-ov okvir" Ideja ovog postupka jest nadomjestiti razmatrani okvir s tipom okvira poznatim kao ekvivalentan 'Grinter-ov okvir', vidi sliku 6.12.

Slika 6.12

B. Peroš

233

MK I


Višekatni višebrodni okvir (engl. multi-storey, multi-bay frame) sa nepopustljivim ili djelomično nepopustljivim priključcima, prvo se nadomjesti s ekvivalentnim zamjenskim jednobrodnim okvirom. Ovaj zamjenski okvir ima nepopustljive priključke i stupove i nosače s ekvivalentnim krutostima. Ekvivalentni okvir određen je iz uvjeta da su bočni pomaci svakog kata jednaki kao za originalni okvir. Dakle, elastično kritično opterećenje treba biti slično za obje konstrukcije. Pretpostavlja se da se stupovi ponašaju elastično i da su kontinuirani po čitavoj visini. Krutost stupa u svakom katu dobije se prema izrazu: KC =

1 ∑ K C, j 2 j

gdje je: Kc,j - koeficijent krutosti j-tog stupa, tj. K c , j =

I c, j L c, j

(Ic,j - moment površine drugog

reda, Lc,j - dužina j-tog stupa). Ekvivalentni koeficijent krutosti nosača sa linearnim pridržanjima u svakom katu dobije se prema izrazu: K b = ∑ K b ,equi ,i j

sa K b ,equi ,i =

I b ,equi ,i L b ,i

,i

⎡ 1 ⎤ I b ,equi,i = ⎢ ⎥ ⋅ L b ,i sa ⎣1 + 3α i ⎦ αi = EI b ,i L b ,i

2EI b ,i S j,ini ,i L b ,i

, (αi =0 za nepopustljivi priključak)

je fleksijska krutost razmatranog i-nosača,

Sj,ini,i je početna krutost priključka na kraju razmatranog nosača aktualne konstrukcije. Budući da ovako definirani zamjenski okvir ima nepopustljive priključke (slika 6.12.b), može se sada formirati odgovarajući Grinter-ov okvir (slika 6.12.c).

B. Peroš

234

MK I


Bočni pomaci svakog kata stvarnog, zamjenskog i ekvivalentnog Grinter-ovog okvira su podjednaki. Može se očekivati da će i vrijednosti elastičnih kritičnih opterećenja za sva tri okvira biti podjednaka. Krutosti nosača i stupova Grinter-ovog okvira su: K *b = 3∑ K b ,equi ,i i

i

K *c = ∑ K c , j . j

Elastično kritično opterećenje aktualnog okvira sa djelomično nepopustljivim priključcima izračunava se preko pridruženog Grinter-ovog okvira prema sljedećim koracima: (1) Izračuna se kritično opterećenje svakog stupa Vcr* na temelju njegove dužine izvijanja u bočno pomičnom modu uzevši u obzir pridržanja na krajevima. (2) Svaki stup Grinterovog okvira ima pridruženu vrijednost Vcr* . Najniža od svih ovih vrijednosti, Vcr* ,min , odabire se kao donja sigurna granica za elastično kritično opterećenje cijelog Grinterovog okvira i prema tome čitavog aktualnog okvira.

6.4.3. Ostali postupci Postoje specijalizirani kompjutorski programi za izračunavanje elastičnog kritičnog opterećenja okvira. Priključke, klasificirane kao djelomično nepopustljive, pri tom uzimamo u analizu s njihovom inicijalnom krutošću. Također, postoje u literaturi za određena uobličenje okvira, specijalni dijagrami koji omogućavaju brzo određivanje elastičnog kritičnog opterećenja.

B. Peroš

235

MK I

6. Proračun okvirnih sustava Tablica 6.2. Postupak određivanja Vcr prema Eurocode 3

Primjer: Klasifikacija okvira kao pomičan/nepomičan Svrha primjera: Potrebno je odrediti može li se nepoduprti okvir sa skošenim prečkama prikazan na slici 6.13. smatrati pomičnim.

Slika 6.13.Statički sustav i geometrija

B. Peroš

236


•

MK I

Imperfekcije okvira

φ = k c ⋅ k s ⋅ φ0 φ 0 = 1 / 200 n c = 3, n s = 3 k c = 0,5 + 1 / n c = 0,5 + 1 / 3 = 0,913 < 1 k s = 0,2 + 1 / n s = 0,2 + 1 / 1 = 1,095 > 1 ⇒ k s = 1 φ = 0,913 ⋅1 ⋅

•

1 1 = . 200 219

Kriterij pomičan - nepomičan okvir

Provedena je globalna elastična analiza 1. reda. U tablici su dani samo rezultati kritične kombinacije opterećenja (G1* + S1) Kriterij:

δ ∑V ⋅ ≤ 0,1 h ∑H ***Najkritičnija kombinacija je C1: g + s.

B. Peroš

237

MK I


Napomena: Metoda prema EC3 nije potpuno važeća u slučaju portalnih okvira skošenih prečaka. Tlačna sila u nosačima (prečkama) nije odgovarajuće uzeta u obzir kada su nosači pod nagibom. Dalje, buduci da su stupovi u strehama sa prilično velikim, ali nasuprotnim, pomacima, pojavljuju se poteškoće pri korektnoj interpolaciji kriterija EC3. Stoga su ovdje prikazane metode za istraživanje stabilnosti bočno pomičnog moda. a) Metoda koja koristi lateralnu krutost okvira Kriterij bočne nepomičnosti EC3 može se prikazati na način:

δ V ⎡δ⎤ ⋅ = h H ⎢⎣ H ⎥⎦ prosječro

⎡V⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎡V⎤ ⋅⎢ ⎥ = ⎢ ⋅ ≤ 0,1 ⎣ h ⎦ ⎣ Krutost ⎥⎦ ⎢⎣ h ⎥⎦

Uvodi se uprosječena lateralna krutost konstrukcije odgovarajuće horizontalnom opterećenju na razini strehe, slika 6.14 Ovime se uvodi učinak uzdužne sile u prečkama.

Slika 6.14.Lateralna krutost okvira

Vrijednost od V odgovara kombinaciji za KGS koja uključuje maksimalno vertikalno opterećenje u stupovima.

B. Peroš

238

MK I


U elastičnoj analizi 1. reda za vertikalna opterećenja i bočni pomak, početne bočne imperfekcije su uključene. Prosječan bočni pomak u razini strehe, slika 6.14 za totalno horizontalno opterećenjeH=10kN je14,4 mm. (δpr). Zbroj V uzdužnih sila u tri stupa za kombinaciju g + s je: V =105,7 + 184,1 + 105,7 = 394,5 kN . Za visinu kata 8, 0 m dobije se:

δ prosječro V 14,4 394,5 ⋅ = ⋅ = 0,071 < 1 . H h 10 8000 Okvir je nepomičan. b) Metoda uprosječene rotacije vrha stupa elastična analiza 1. reda (g + s + ekvivalentne sile imperfekcija)

⎛δ⎞ =⎜ ⎟ = ⎝ h ⎠ prosječro

ϕ prosječro

∑ϕ N ∑N j

j

j

j

j

Za kombinaciju g+s, horizontalno opterećenje je samo od imperfekcija:

H=

V V = φ 219

V = 219 . H

⇒

Za g + s dobije se: δ V ⎡δ⎤ ⋅ = h H ⎢⎣ H ⎥⎦ prosječro

⎡ 22,77 ⎤ ⎡ 2,62 ⎤ ⎡ − 17,62 ⎤ ⋅106,0 ⋅183,0 + ⎢ ⋅105,4 + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ V ⎣ 8000 ⎦ 8000 ⎦ 8000 ⎥⎦ ⎣ ⎣ ⋅ 219 = 0,072 < 0,1 ⋅ = H 105,4 + 183,0 + 106,0

c) Metoda autora Home & Davies Istražuju se dva zasebna slučaja: I. Stup u strehi i prečka II. Srednji stup i prečka sa svake strane

B. Peroš

239

MK I


I. Stup u strehi i prečka

Slika 6.15. Stup u strehi i prečka

3 ⋅ EI r

λ cr =

⎤ ⎡ ⎛ 1,2 ⎞ s ⋅ ⎢0,3 ⋅ Pr ⋅ s + ⎜1 + ⎟ ⋅ Pc ⋅ h ⎥ R⎠ ⎝ ⎦ ⎣ Pc = 45,5 kN ⎫ ⎪ ⎬ prosječro vrijednosti 105,7 + 81,6 = 93,65 kN ⎪ Pc = 2 ⎭ R=

I c ⋅ s 67120 11,86 = ⋅ = 4,30 I r ⋅ h 23130 8,0 3 ⋅ 21000 ⋅ 23130

λ cr =

⎤ ⎡ ⎛ 1,2 ⎞ 1186 ⋅ ⎢0,3 ⋅ 45,5 ⋅ 1186 + ⎜1 + ⎟ ⋅ 93,65 ⋅ 800⎥ ⎝ 4,3 ⎠ ⎦ ⎣ λ cr = 10,97 .

II. Srednji stup i prečka sa svake strane

Slika 6.16. Srednji stup i prečka sa svake strane

λ cr =

1 ⎛ Pr ⎜ ⎜P ⎝ r ,crit

⎞ ⎛ ⎞ ⎟ + (4 + 3,3 ⋅ R 2 ) ⋅ ⎜ Pc ⎟ ⎟ ⎜P ⎟ ⎠ ⎝ c ,crit ⎠ EI c / h 21000 ⋅ 67120 / 800 R2 = = 2,15 . = (EI rl / s l + EI rr / s rl ) (21000 ⋅ 23130 / 1186 + 21000 ⋅ 23130 / 1186)

B. Peroš

240

MK I


π 2 ⋅ EI c π 2 ⋅ 21000 ⋅ 67120 = = 21737 kN h2 800 2 π 2 ⋅ EI r π 2 ⋅ 21000 ⋅ 23130 = = 3408 kN Pr ,crit = s2 1186 2 1 λ cr = ⎛ 46 ⎞ ⎛ 177,6 ⎞ ⎜ ⎟ + (4 + 3,3 ⋅ 2,15) ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ 3408 ⎠ ⎝ 21737 ⎠ λ cr = 9,60 . Pc,crit =

Za I.

1 1 = = 0,09 < 0,1 λ cr 10,97

Za II.

1 1 = = 0,10 = 0,1 λ cr 9,60

Rezultati su konzervativni jer nisu uzeta u obzir ojačanja.

6.5. DUŽINE IZVIJANJA

6.5.1. Uvod Koncept efektivne dužine koristi se kod dimenzioniranja stupova okvirnih konstrukcija prema metodi dužine izvijanja bočno pomičnog moda. Dužina izvijanja obostrano zglobno pridržanog stupa, slika 6.17., jednaka je njegovoj sustavnoj dužini i Eulerova kritična sila dana je izrazom:

N cr =

π2 EI L2

(6.1)

Međutim, takvi slučajevi rijetki su u praksi. Procjena otpornosti stupova koji imaju različite uvjete na krajevima od stupa sa slike 6.17. može se postići primjenom ideje o efektivnoj dužini, Le.. Efektivna dužina stupa Le je dužina sličnog zglobno pridržanog stupa, istog presjeka, koji ima istu silu izvijanja kao promatrani stup. Dane su aproksimativne vrijednosti za efektivnu dužinu za široko područje uvjeta pridržanja na krajevima.

B. Peroš

241

MK I


Slika 6.17. Izvijanje obostrano zglobno pridržanog stupa

6.5.2. Efektivna dužina stupova Efektivna dužina stupa može se izvesti prema teoriji elastične stabilnosti. U tom slučaju je faktor efektivne dužine k, omjer dužine ekvivalentnog stupa LE, i stvarne dužine L. Dužina ekvivalentnog stupa je razmak između točaka infleksije stvarnog stupa, slika 6.18.

Slika 6.18. Definicija dužine izvijanja ekvivalentnog stupa LE i faktora dužine k

Za obostrano zglobno pridržan stup sa slike 6.17., faktor efektivne dužine jednak je 1, a razmak između točaka infleksije (točaka nul momenata) jednak je stvarnoj dužini stupa. Efektivna dužina stupa ovisi o krutosti nosača koji pridržavaju stup. Slika 6.19. ilustrira jedan takav općenit slučaj.

B. Peroš

242

MK I


Slika 6.19. Određivanje efektivne dužine

Pretpostavlja se da je krutost na savijanje nosača (prečka) mnogo veća od krutosti stupova. Spriječena je rotacija vrha stupa pri bočnom pomaku okvira. Pretpostavke su dane na slici 6.19.b). Efektivna dužina stupa može se odrediti pomoću diferencijalnih jednadžbi. Prema slici 6.19.c) vrijedi: M=N⋅v+H⋅z Diferencijalna jednadžba postaje oblika:

d2v M − ( N ⋅ v + H ⋅ z) . = − = dz 2 EI EI

(6.2.)

Uz oznaku k2 = N/EI nakon sređivanja jednadžba (6.2.) glasi:

d2v k2 ⋅ H ⋅ z 2 . +k ⋅v = − dz 2 N

(6.3.)

Rješenje jednadžbe (6.3) dano je s: v = A ⋅ cos ( k ⋅ z ) + B ⋅ sin ( k ⋅ z ) −

H⋅z . N

(6.4.)

Za određivanje konstanata A i B, vrijede rubni uvjeti: za z=0, v=0 i za z=L,

dv = 0 , stoga su: dz

A=0 i B ⋅ k ⋅ cos(k ⋅ L)=0

(6.5.)

Iz (6.5.) slijedi da je ili B=0 ili cos(k ⋅ L)= 0. B. Peroš

243


Ako je B=0, v =

MK I

d2v H⋅z = 0 , i u ovom slučaju treba moment savijanja M biti nula u i dz 2 N

bilo kojoj točki duž stupa. Druga mogućnost je da je cos(k ⋅ L) = 0 . Ovaj uvjet zahtijeva da je: k=nπ/(2L) s n= 1, 3, 5,...

(6.6.)

Najmanja vrijednost od N za koju je zadovoljena jednadžba (6.6.) dobije se koristeći n=1 pa se dobije kL= π/2 iz kojeg je k=π/2L i k2=N/EI, i

N cr = k 2 ⋅ EI =

π2 π2 EI EI . ⋅ = 2 4 ⋅ L2 ( 2 ⋅ L)

(6.7.)

Usporedbom izraza (6.1.) i (6.7.) vidi se da je faktor efektivne dužine k jednak 2. Efektivna dužina stupa je dvostruka dužina stupa. Drugim riječima, kritična sila za stup dužine L, sa slike 6.19., jednaka je kao kritična sila obostrano zglobno pridržanog stupa dužine 2L, vidi sliku 6.19.a). Efektivna dužina dozvoljava da se uspostavi odnos ponašanja stupova u okviru sa ponašanjem temeljnog slučaja obostrano zglobno pridržanog stupa. U tablici 6.3. dane su preporučene k vrijednosti koje su jednake ili neznatno veće od ekvivalentnih teoretskih vrijednosti dobivenih prema teoriji elastične stabilnosti. Tablica 6.3. Vrijednosti k za centrički opterećene stupove različitih uvjeta pridržanja

Usporedbom slučaja (b) i (e) u tablici 6.3., uočljiv je utjecaj pomaka na kritičnu silu. Slučaj (e) predstavlja stup sa slike 6,19.a), sa bočnim pomakom, dok je u slučaju (b)

B. Peroš

244

MK I


pomak spriječen. Ovime se ukazuje na potrebu razlikovanja pomičnih i nepomičnih okvira. Kod nepomičnih okvira vrh stupa nema bočnih pomaka. Izvijanje nepomičnog okvira rezultira s izvijenim oblikom stupa koji ima barem jednu točku infleksije između krajeva elementa, vidi sliku 6.20., kao u slučajevima (a), (b) i (c) iz tablice 6.3. k vrijednosti su uvijek manje ili jednake 1 (0,5
Slika 6.20.Izvijanje stupa nepomičnog okvira

Kod pomičnog okvira vrh stupa se pomiče u odnosu na stopu stupa. Slučajevi (d), (e) i (f) iz tablice 6.3. su slučajevi izvijanja s bočnim pomakom. Izvijanje stupa pomičnog okvira prikazano je na slici 6.21. Faktor efektivne dužine k uvijek je veći ili jednak 1 i neograničen je tj. 1 < k < ∝ .

B. Peroš

245

MK I


Slika 6.21. Izvijanje stupa u pomičnom okviru

Ova razmatranja mogu se poopćiti tako da se protegnu i na višekatne okvire. Puna upetost, slike 6.20.b) ,6.20.d), 6.21.b) i 6.21.d), kao pridržanje rijetko se postiže u praksi. Uobičajeno se radi o djelomičnim pridržanjima (djelomično nepopustljivi). U takvim slučajevima, djelomično nepopustljivih pridržanja na krajevima, faktor efektivne dužine k može se odrediti ili općom metodom rotacije drugog reda ili pomoću funkcija stabilnosti. Rješenje problema dano je u obliku: k = f (ηt,ηb)

(6.8.)

gdje su ηt i ηb koeficijenti elastičnog pridržanja na krajevima razmatranog stupa. Procjena k moguća je pomoću pojednostavljenog postupka, koristeći Donnell-ovu približnu formulu, vidi sliku 6.22.: B. Peroš

246

MK I


k=

1 n

(6.9.)

gdje je: n=

1, 2 ⋅ ( f1 + f 2 ) + 7, 2 ⋅ f1 ⋅ f 2 , 1 + 1, 4 ⋅ ( f1 + f 2 ) + 1,8 ⋅ f1 ⋅ f 2

(6.10.)

fi =

1 M ⋅ i. 6,5 ⋅ EI Qi

(6.11.)

Slika 6.22. Zamjenski sustav za Donnell-ovu formulu

Za tlačni štap rešetke vrijedi:

fi =

1 ⋅ Ri 6,5 ⋅ EI

(6.12.)

gdje je Ri = ∑ 3⋅ j

EI j Ij

(6.13.)

su karakterizirana pridržanja j-tih susjednih štapova. Wood i Johnston također su dali pojednostavljene postupke. EC 3 je usvojio postupak koji je predložio Wood za nepomične i pomične okvire.

6.5.3. Stupovi nepomičnih okvira Wood razmatra zamjenski okvir prikazan na slici 6.23.b), u kojoj je dio AB okvira prikazanog na slici 6.23.a). B. Peroš

247

MK I


Slika 6.23. Primjer zamjenskog okvira

Dva koeficijenta elastičnog pridržanja ηt i ηb izračunavaju se pomoću formula:

ηt = ηb =

Kc K c + ∑ K b,t Kc

(6.14.) i (6.15.)

K c + ∑ K b ,b

gdje je: Kc

- krutost stupa I/L,

∑Kb

- zbroj efektivnih krutosti nosača u priključku, a indeksi b i t označavaju podnožje (engl. bottom) i vrh (engl. top) stupa.

Ako nosači nisu izloženi uzdužnim silama, njihove efektivne krutosti mogu se odrediti pomoću tablice 6.4., uz pretpostavku da ostaju elastični pod računskim momentima. Tablica 6.4. Efektivne krutosti nosača

B. Peroš

248


MK I

Naravno, moguće je da se za isti slučaj opterećenja dogodi da računski moment u nekom od nosača premaši elastični moment. Tada je potrebno pretpostaviti da je u toj točki ili tim točkama zglob (određuje se duljina izvijanja uz prisutnost plastičnog zgloba). Kada je nosač spojen djelomično nepopustljivim priključkom, njegova efektivna krutost mora biti shodno reducirana. Kada su nosači izloženi uzdužnim silama, njihova efektivna krutost mora se odrediti uzevši ovo djelovanje u obzir. U tablici 6.5. dan je jednostavan alternativni postupak. Povećanje krutosti uslijed uzdužne vlačne sile može se zanemariti. Učinak tlačne sile uzima se u obzir pomoću konzervativnih aproksimacija, vidi tablicu 6.5. Navedeno se može prikazati grafički pomoću krivulja danih na slici 6.24. Faktor efektivne dužine može se izračunati pomoću izraza:

k=

1 + 0,145 ⋅ (η b + η t ) − 0,265 ⋅ η b ⋅ η t 2 − 0,364 ⋅ (η b + η t ) − 0,247 ⋅ η b ⋅ η t

B. Peroš

(6.16.)

249


MK I

Slika 6.24. Faktori efektivne dužine za stup nepomičnog okvira

Tablica 6.5. Redukcija krutosti nosača zbog uzdužne sile

B. Peroš

250


MK I

Model se može usvojiti za kontinuirane stupove pretpostavljajući da je svaka dužina stupa opterećena do iste vrijednosti odnosom (N/Ncr). U slučajevima gdje (N/Ncr) varira, dobivaju se konzervativne vrijednosti za k, za najkritičniju dužinu stupa. Koristeći model sa slike 6.25., za svaku dužinu kontinuiranog stupa može se ova pretpostavka uvažiti i dobiti ηt i ηb prema formulama:

ηt =

Kc + Kt K c + K t + ∑ K b ,t

(6.17.)

ηt =

Kc + Kb K c + K b + ∑ K b,b

(6.18.)

Slika 6.25. Koeficijent elastičnog pridržanja za kontinuirane stupove

6.5.4. Stupovi pomičnih okvira k se može izračunati koristeći isti postupak usvojen za nepomične okvire. Međutim, mora se istaći da se dobiveni rezultati moraju smatrati više aproksimativnim od onih za nepomične okvire. Wood-ova metoda za pomične okvire prihvatljiva je samo za regularne okvire, ti. visine, momenti inercije i uzdužne sile u stupovima ne razlikuju se znatno. k za stupove pomičnog okvira može se dobiti iz dijagrama sa slike 6.26. ili prema formuli:

k=

1 − 0,2 ⋅ (η t + η b ) − 0,12 ⋅η t ⋅η b 1 − 0,8 ⋅ (η t + η b ) + 0,6 ⋅η t ⋅ η b

(6.19.)

Koeficijenti elastičnog pridržanja ηt i ηb izračunavaju se kao za slučaj nepomičnih okvira. B. Peroš

251


MK I

Slika 6.26. Faktori efektivne dužine za stup pomičnog okvira

Primjer: Poduprt i nepomičan okvir Svrha primjera: Potrebno je za već klasificirani okvir kao poduprt i nepomičan izračunati dužinu izvijanja stupa u ravnini. Okvir je prikazan na slici 6.27. EC 3

B. Peroš

252

MK I



• Izvijanje u ravnini okvira

η1 =

Kc K c + K11 + K 12

(E.1)

η2 =

Kc K c + K 21 + K 22

(E.2)

Kc =

I c 2510 = = 5,02cm 3 500 Lc

K c = K b = 1,0 ⋅

η1 =

1940 = 3,23cm 3 600

5,02 = 0,61 5,02 + 3,23

Tablica E.1

η 2 = 1,0(zglob)

Poduprt okvir (nepomičan)

Liy / l = 0,85 Liy = 0,85 ⋅ L = 0,85 ⋅ 500 = 425cm • Izvijanje izvan ravnine okvira Dužina izvijanja Liz = L = 500cm

B. Peroš

253

MK I


Primjer: Nepoduprt i nepomični okvir Svrha primjera: Potrebno je za već klasificirani okvir kao nepoduprt i nepomičan izračunati dužinu izvijanja stupa u ravnini. Okvir je prikazan na slici 6.28.

• Statički sustav i računska opterećenja


• Izvijanje u ravnini okvira

η1 =

Kc Kc I = 0,72; η = = 1,0 ( zglob ); K c = c = 18,8 cm 3 K c + K 11 + K 12 K c + K 21 + K 22 Lc

K 11 = K b = 1,5

Ib = 7,3 cm 3 ; Liy = 0,9 L = 540 cm; Liz = L = 600 cm Lb

Primjer: Nepoduprt i pomičan okvir Svrha primjera: Potrebno je za već klasificirani okvir kao nepoduprt i pomičan izračunati dužinu izvijanja stupova u ravnini. Okvir je prikazan na slici 6.29. • Statički sustav i računska opterećenja

B. Peroš

254

MK I



Slika 6.30. Bočno pomičan mod izvijanja Tablica 6.6. Karakteristike elemenata okvira

B. Peroš

255

MK I


• Izvijanje u ravnini okvira Faktori raspodjele η1iη 2

η1 =

K c + K1 , K c + K 1 + K11 + K12

(E.1)

η2 =

Kc + K2 , K c + K 2 + K 21 + K 22

(E.2)

K c - koeficijent krutosti razmatranog stupa,

K1 , K 2 - koeficijent krutosti za dužine stupova ispod i iznad, K ij - koeficijenti efektivne krutosti nosača.

Na nosač ne djeluju uzdužne sile. Oni su obostrano upeti. Njihova deformacija je oblika dvostruke krivulje (vidi mod izvijanja). Njihovi koeficijenti efektivne krutosti: K ij = 1,5 ⋅

I L

Tablica E.1

Rezultati izračunavanja η1iη 2 prikazani su tablično u tablici 6.7. Tablica 6.7. Proračun

η1iη 2

Dužine izvijanja:

B. Peroš

256

MK I


Izračunavanje Liy/L prema izrazu:

Lij L

=

1 − 0,2 ⋅ (η1 + η 2 ) − 0,12 ⋅η1 ⋅ η 2 1 − 0,8 ⋅ (η1 + η 2 ) + 0,6 ⋅η1 ⋅η 2

Tablica 6.8. Dužine izvijanja elemenata okvira

6.6. IMPERFEKCIJE 6.6.1. Imperfekcije okvira Globalne imperfekcije okvira uzimaju se u obzir u globalnoj analizi u obliku ekvivalentnih geometrijskih imperfekcija. Dakle, zadaju se kao početni bočni pomak slika 6.31.a).

Slika 6.31. a) Globalne imperfekcije okvira b) Lokalne imperfekcije (okvira)

Imperfekcije okvira razmatraju se kao jedan od slučajeva opterećenja. Koriste se u svim kritičnim kombinacijama opterećenja koja djeluju na okvir. Početne imperfekcije B. Peroš

257


MK I

primjenjuju se u svim horizontalnim smjerovima. Međutim, treba ih uzeti u obzir samo za jedan smjer istovremeno. Osobitu pozornost treba obratiti za slučajeve antimetričnih imperfekcija na dvije suprotne strane zbog torzijskih učinaka. Moguća su dva načina obuhvaćanja imperfekcija okvira: a) Globalne geometrijske imperfekcije za okvire Imperfekcija se zadaje pomoću početnog kuta rotacije okvira u odnosu na stopu stupova, slika 6.32.a). Vrijedi izraz:

Φ = kc ⋅ k s ⋅ Φ 0 , gdje je k c = (0,5 +

1 0,5 ) , ali k c ≤ 1 , nc

k s = (0,5 +

1 0,5 ) , ali k s ≤ 1 , ns

Φ 0 = 1 / 200, nc - broj stupova koji idu kroz sve katove po jednoj ravnini, ns - broj katova. Numeričke vrijednosti φ dane su u tablici . Tablica 6.11.

b) Zatvoreni sustav ekvivalentnih horizontalnih sila Ova alternativna metoda mote bit prikladnija za primjenu. Postupak je sljedeći: Izračunavaju se ekvivalentne horizontalne sile na svakoj razini kata. One su jednake umnošku vertikalnog opterećenja kata s inicijalnom imperfekcijom. Mogu djelovati u B. Peroš

258

MK I


bilo kojem horizontalnom smjeru. Međutim, uzimaju se u obzir samo u jednom smjeru istovremeno, slika 6.32.b).

Slika 6.32. Globalne imperfekcije okvira

Ekvivalentne horizontalne sile, dobivene množeći vertikalne reakcije s inicijalnim imperfekcijama, djeluju na ležajevima. One djeluju u suprotnom smjeru od onih koje djeluju na katovima. Dakle, ekvivalentne sile na čitavom okviru tvore zatvoreni sustav tj. ekvivalentna sila koja djeluje na čitavu konstrukciju jednaka je nuli.

Primjer: Poduprt i nepomičan okvir-vezni sustav Svrha primjera: Potrebno je za sustav sa slike 6.33. izračunati ekvivalentne horizontalne sile zbog imperefekcije. • Statički sustav i računska opterećenja (podaci kao na slici 6.27.)


B. Peroš

259

MK I


• Imperfekcije

φ = k c ⋅ k s ⋅ φ0 φ 0 = 1 / 200 k c = 0,5 + 1 / nc = 0,5 + 1 / 6 = 0,816 < 1 k s = 0,2 + 1 / n s = 0,2 + 1 / 1 = 1,10 > 1 ⇒ k s = 1

φ = 0,816 ⋅ 1 ⋅

1 1 = 200 245

Vd = 6 Pd , ekvivalentna horizontalna sila zbog imperfekcija je: 1 ∆H d = φ ⋅ V d = ⋅ 6 ⋅ 300 = 7,3kN 245

6.6.2. Imperfekcije za analizu veznih sustava U proračunu veznih sustava od kojih se zahtijeva da bočno pridržavaju (stabiliziraju) nosače ili tlačne konstrukcijske elemente, moraju se uzeti u obzir imperfekcije ovih elemenata pomoću ekvivalentnih geometrijskih imperfekcija (inicijalna strelica luka e0) - vidi sliku 6.34.

Slika 6.34. Imperfekcije za analizu veznih sustava

Numeričke vrijednosti za zamjenske stabilizirajuće sile navedene su u tablici 6.13

B. Peroš

260

MK I

6. Proračun okvirnih sustava Tablica 6.13. Veličine zamjenskih stabilizirajućih sila

Primjer: Imperfekcija veznog sustava (vjetrovni vez) Svrha primjera: Potrebno je za sustav sa slike 6.35. izračunati ekvivalentne horizontalne sile zbog imperfekcije. • Statički sustav i računska opterećenja


B. Peroš

261

MK I


Okviri: stup:

IPE 500

Vez: dijagonalne:

L 60 x 40 x 5

prečka:

IPE 400

pojas 1

HE 120 A

podrožnica: IPE 160

pojas 2

IPE 400

Slika 6.36. Tlocrt krova

Računsko opterećenje vjetrom:

wsd =1,5-2,0 = 3,0 kN .

Maksimalni moment savijanja u sredini prečke: Msd = 310 kNm. Uzdužna sila koja djeluje na vezni sustav: Nsd = Msd/h = 310/0,4 = 775 kN.

• Određivanje imperfekcija veznog sustava Pretpostavka: ukupni progib veznog sustava δ je manji od L/2000. za

nr = 4 (broj okvira koje stabilizira vezni sustav), nr =4 (broj panela) ⇒ ς = 1,0

Σ Nsd = 4 775 = 3100 kN.

Slika 6.37. Ekvivalentno opterećenje

Ekvivalentno stabilizirajuće opterećenje Σq

Σq =

1,0 3100,0 ⋅ = 2,28kN / m. 67,9 20,0

Određivanje deformacija δ veznog sustava Ukupno opterećenje veznog sustava je zbroj Σq + wSd . Ekvivalentna sila u čvoru veznog sustav (ekvivalentno opterećenje panela): B. Peroš

262

MK I


P2, Sd = (2,28 + 3,0 ) ⋅ 20,0 / 4,0 = 26,4kN , P1, Sd = P2, Sd / 2 = 13,2.

δ = 9,5mm < 10mm = L / 2000. (zadovoljava!)

6.6.3. Lokalne imperfekcije konstrukcijskog elementa Lokalna impertekcija konstrukcijskog elementa prikazana je na slici 6.38.

Slika 6.38. Element s lokalnom imperfekcijom

Vidljivo je da je njen učinak isti kao onog uslijed progibanja elementa na koji djeluju uzdužna sila i savijanje. Dakle, učinak drugog reda poznat kao P- δ efekt. U globalnoj analizi okvira mogu se zanemariti učinci imperfekcija elementa. U takvim slučajevima pretpostavlja se da su one uzete u obzir s odgovarajućim izrazima za izvijanje. Slučajevi u kojima se ovaj učinak mora uzeti u obzir su tlačni konstrukcijski elementi u pomičnim okvirima sa priključcima koji prenose momente i za koje je:

λ > 0,5 ⋅ ( A ⋅ f y / N Sd ) 0,5 (alternativno: N Sd / N cr > 0,25iliλcr = N cr / N Sd < 4 ) gdje je: NSd

- računska tlačna sila,

Ncr

- Euler-ova sila izvijanja izračunata za element dužine izvijanja jednake

sustavnoj dužini,

λ = (A ⋅ f y / N cr )0,5 (klase presjeka 1,2 ili 3) - bezdimenzijska vitkost (izvijanje u B. Peroš

263

MK I


ravnini).

Primjer: Nepoduprt i pomičan okvir - imperfekcije okvira i elemenata Svrha primjera: Potrebno je za okvir sa slike 6.39. izračunati imperfekcije okvira (globalne imperfekcije) i imperfekcije elemenata (lokalne imperfekcije) kao i ekvivalentne horizontalne sile zbog imperefekcije. • Statički sustav i računska opterećenja

(EC)


Okvir:

stupovi: IPE 360

Ib=Iy=16270 cm4

A=72,73 cm2

Wpl,y=1019 cm3 prečka: IPE 400

Ic=Iy=23130 cm4

A=84,46 cm2

Wpl,y=1307 cm4 • Imperfekcije okvira

(vidi točku 6.1.)

φ = k c ⋅ k s ⋅ φ0 φ 0 = 1 / 200 nc = 2 ns = 1 k c = 0,5 + 1 / nc = 0,5 + 1 / 2 = 1,0 k s = 0,2 + 1 / n s = 0,2 + 1 / 1 = 1,10 > 1,0 ⇒ k s = 1,0

φ = 1,0 ⋅ 1,0 ⋅

B. Peroš

1 1 = 200 200

264


MK I

Ekvivalentna horizontalna sila: ∆H d = φ 0 ⋅ V d =

1 ⋅ (12 ⋅ 10,0 + 600 ) = 3,6kN 200

• Imperfekcije elementa - Stup CD

λy =

L 1200 = = 80 iy 15

λy =

λy 80 = = 0,85 λ1 93,9

NSd prema teoriji 1. reda - procjena: N Sd =

qd ⋅ L h 12 ⋅ 10,0 12,0 + Pd + (H d + Fd ) ⋅ = + 600 + (15 + 3,6 ) ⋅ = 682kN L 10,0 2 2

uvjet:

λ > 0,5 ⋅ A ⋅ f y / N Sd 0,5 ⋅ 72,73 ⋅ 23,5 / 682 = 0,79 0,85 > 0,79. >> Imperfekcije stupa CD moraju se uzeti u obzir. - Stup AB

λy =

L 1200 = = 80 iy 15

λy =

λy 80 = = 0,85 λ1 93,9

NSd prema treoriji 1. reda - procjena: N Sd =

qd ⋅ L h 12 ⋅ 10,0 12,0 − (H d + Fd ) ⋅ = − (15 + 3,6 ) ⋅ = 38kN L 10,0 2 2

uvjet:

λ > 0,5 ⋅ A ⋅ f y / N Sd 0,5 ⋅ 72,73 ⋅ 23,5 / 38 = 3,35 0,85 > 3,35. >>Nije potrebno uzeti u obzir imperfekcije stupa AB. - Nosač BD

λy =

L 1000 = = 60,6 i y 16,5

λy =

λ y 60,6 = = 0,65 λ1 93,9

B. Peroš

265


MK I

NSd prema teoriji 1. reda - procjena: N Sd ≈

18,6 ≈ 9kN 2

uvjet:

λ > 0,5 ⋅ A ⋅ f y / N Sd 0,5 ⋅ 84,46 ⋅ 23,5 / 9 = 7,4 0,65 < 0,74. >> Nije potrebno uzeti u obzir imperfekcije nosača BD.

6.7. ANALIZA OKVIRNIH KONSTRUKCIJA 6.7.1. Uvod Svrha globalne analize okvira je određivanje raspodjele unutarnjih sila i momenata savijanja kao i odgovarajućih deformacija u konstrukciji izloženoj djelovanju. Za ostvarenje navedenog zahtijeva se usvajanje prikladnog modela. Ovaj model uključuje pretpostavke o ponašanju konstrukcije a posebno o njenim konstrukcijskim elementima i priključcima. Prema tome, u daljnjim razmatranjima istraživat će se glavni aspekti ponašanja okvira i načini na koje se ovi aspekti vežu s metodama za procjenu odgovora okvirne konstrukcije.

6.7.2. Ponašanje okvira Odgovor konstrukcije na opterećenje može se izraziti odnosom između parametra opterećenja λ i parametra pomaka. Primjer ponašanja pomičnog okvira na koji djeluje postepeno rastuće opterećenje dan je na slici 6.40.

B. Peroš

266

MK I


Slika 6.40. Odgovor okvirne konstrukcije opisan odnosom opterećenje - pomak

Parametar opterećenja A (u engleskom poznat i kao "load factor", -load multiplier") primjenjuje se na sve komponente opterećenja. Njime se proizvodi monotono i proporcionalno povećanje svih opterećenja na konstrukciju. Za parametar pomaka uzet je bočni pomak zadnjeg kata okvira Dobivena krivulja karakterizira ponašanje konstrukcije. Nagib krivulje je mjera bočne krutosti okvirne konstrukcije. Do točke nazvane granica linearnosti vidi sliku 6.40., odgovor konstrukcije je skoro linearan. Nakon dosizanja granice linearnosti pozitivan nagib rastućeg dijela krivulje postepeno se smanjuje. Ovo smanjenje je uslijed kombinacije tri vrste nelinearnosti: - geometrijske nelinearnosti, - nelinearnosti priključka, - materijalne nelinearnosti. Nelinearnost priključka obično se pojavljuje već pri relativno malom opterećenju. Geometrijska

nelinearnost

izražava

utjecaj

aktualnog

deformiranog

oblika

konstrukcije na raspodjelu momenata savijanja i poprečnih i uzdužnih sila. Ona postaje očita prilično prije početka tečenja materijala, tj. materijalne nelinearnosti. Nadalje, odgovor konstrukcije postaje progresivno nelinearan kako se opterećenje približava maksimumu. Dosezanjem maksimalnog opterećenja, ravnoteža bi zahtijevala pad veličine opterećenja kako deformacije rastu. Nagib krivulje (tj. krutost) jednak je nuli u točki vršnog opterećenja. Iza toga postaje negativan pokazujući da je konstrukcija od ove točke nestabilna. Vršno opterećenje, nazivamo ga i krajnje opterećenje (engl. ultimate load), je točka skorog kolapsa konstrukcije ukoliko opterećenje ne prestane djelovati.

B. Peroš

267


MK I

6.7.3. Modeliranje konstrukcije građevine 6.7.3.1. Uvod Model potreban za globalnu analizu okvira temelji se na nizu pretpostavki o:

•

konstrukcijskom modelu,

•

geometrijskom ponašanju konstrukcije i njezinih elemenata,

•

ponašanju poprečnih presjeka elemenata,

•

ponašanju priključaka.

Nakon što je provedena analiza okvira, moraju se provesti brojni dokazi otpornosti okvira i njegovih komponenata (konstrukcijskih elemenata i priključaka). Ovi dokazi ovise o tipu provedene analize i kriterijima krajnjeg graničnog stanja. U nastavku se razmatraju jednostavni modeli za građevine izložene pretežno statičkom opterećenju. Također, navedeno se može usvojiti kao alternativa za složenije modele. 6.7.3.2. Koncept nosivosti U razrađivanju ideje o konceptu nosivosti potrebno je razlučiti sljedeće kategorije konstrukcijskih elemenata:

•

glavne konstrukcijske elemente: glavne okvire, njihove priključke i temelje preko kojih se vertikalna i horizontalna opterećenje prenose u tlo,

•

sekundarne konstrukcijske elemente: kao što su npr. podrožnice,

•

ostali elementi: oni koji prenose opterećenje do sekundarnih ili glavnih elemenata.

B. Peroš

268

MK I


Slika 6.41. 3D prikaz konstrukcijskih elemenata

6.7.3.3. Prostorno ponašanje Općenito, glavna konstrukcija ponaša se kao trodimenzijski okvir (prostorni okvir). Uobičajeno je analizirati ih kao neovisne ravninske okvire, prikazane na slici 6.42.

Slika 6.42. 3D i 2D okviri

6.7.3.4. Otpornost na horizontalne sile Ovaj dio obuhvaćen je klasifikacijom okvira na poduprte ili nepoduprte, pomične ili nepomične. Katkad je uobličenje konstrukcije takvo da je moguća pojava ekscentričnog unosa horizontalnog opterećenja u odnosu na težište rotacije konstrukcije.

B. Peroš

269

MK I


Slika 6.43. Nesimetričan unos sile u odnosu na centar rotacije objekta

Ove učinke je također potrebno uzeti u obzir na odgovarajući način. 6.7.3.5. Međudjelovanje tlo - konstrukcija Slijeganje temelja može imati značajan učinak na momente savijanja i poprečne i uzdužne sile konstrukcijskih elemenata. Ukoliko je učinak značajan, Eurocode 3 ne daje kriterije. Međudjelovanje tlo - konstrukcija uzima se u obzir na sljedeći način:

•

U prvom koraku, konstrukcija se proračunava pretpostavljajući da je tlo nedeformabilno. Određuje se opterećenje na tlo iz ovog proračuna i izračunavaju se potom slijeganja.

•

Dobiveno slijeganje uzima se kao djelovanje na konstrukciju i izračunavaju se momenti savijanja i poprečne i uzdužne sile.

•

Ako

su

učinci

značajni

(smanjuju

znatno

otpornost

konstrukcija),

međudjelovanje tlo - konstrukcija mora se uzeti u obzir.

B. Peroš

270

MK I


Slika 6.44. Međudjelovanje tlo - konstrukcija

Ukoliko se otpornost konstrukcije reducira do 5% međudjelovanje tlo – konstrukcija može se zanemariti. 6.7.3.6. Modeliranje okvira Pri modeliranju okvira za globalnu analizu potrebno je držati se sljedećeg: (1) Konstrukcijski elementi i priključci modeliraju se na način koji odgovarajuće odražava njihovo očekivano ponašanje za promatrano opterećenje. (2) Osnovna geometrija okvira predstavlja se težišnim linijama konstrukcijskih elemenata. (3) Uobičajeno se usvajaju linearni konstrukcijski elementi, zanemaruju se preklapanja stvarnih širina elemenata. (4) Alternativno, stvarna širina elementa može biti uzeta u obzir kod priključka između konstrukcijskih elemenata Metode koje su predložene po Eurocode 3 obuhvaćaju posebne fleksibilne priključke. 6.7.3.7. Konstrukcijsko uobličavanje i priključci Pojam konstrukcijsko uobličavanje (engl. framing) u Eurocode 3 upotrebljava se da istakne različite načine na koje se ponašanje priključka može razmatrati u globalnoj analizi. Prije

prihvaćanja

koncepta

'djelomične

nepopustljivosti'

(engl.

semirigidity),

dimenzioniranje čeličnih okvira rađeno je na osnovu dviju krajnjih pretpostavki. Prva

B. Peroš

271

MK I


pretpostavka bila je da su krajevi svih elemenata kod priključka izloženi jednakoj rotaciji i jednakim pomacima uslijed nepopustljivog ponašanja priključka. U ovom slučaju radi se o kontinuiranoj konstrukciji (engl. continuous framing), slika 6.45.a). Druga pretpostavka bila je da priključci ne mogu prenijeti momente i slobodno rotiraju. U ovom slučaju radi se o jednostavnoj konstrukciji (engl. simple framing), slika 6.45.b). Eurocode 3 uvodi koncept da se priključci mogu ponašati između ova dva ekstrema, dakle djelomično nepopustljiv. Dakle, radi se o djelomično kontinuiranoj konstrukciji (engl. semi-continuous framing), slika 6.45.c)

Slika 6.45. Konstrukcijska uobličenja

6.7.4. Bitne značajke analize konstrukcija Formiranje modela konstrukcije započinje se definiranjem njezinog uobličenja (raspored konstrukcijskih elemenata i priključaka). Za tipičnu okvirnu konstrukciju odabiru se ravni konstrukcijski elementi između spojnih točaka (priključaka). Geometrija konstrukcije obično je definirana neovisnim koordinatama priključaka. Iz geometrijskih informacija utvrđuju se stupnjevi slobode konstrukcije. Za upotpunjavanje ove informacije, mora se još voditi računa o ležajnim uvjetima i mogućem ponašanju priključaka (relativni pomaci, rotacije itd.). Stupnjevi slobode, definirani kao pomaci i rotacije priključaka, koriste se u analizi modela za opisivanje deformiranog oblika konstrukcije za promatrano opterećenje.

B. Peroš

272

MK I


Nakon definiranja geometrije konstrukcije, potrebno je definirati svojstva materijala i karakter opterećenja. Preliminarnim dimenzioniranjem određuju se početna svojstva poprečnih presjeka elemenata i priključaka. Ilustracija navedenog dana je na slici 6.46

Slika 6.46. Model okvirne konstrukcije iz QSE-a

Rješenje problema analize konstrukcije zahtijeva da konstrukcijske varijable (sile, deformacije) zadovolje tri osnovna principa:

•

Ravnotežu

Sile u elementima i čvorovima i opterećenje na konstrukciju moraju zadovoljavati jednadžbe statičke (ili dinamičke) ravnoteže u konstrukciji.

•

Kompatibilnost

Deformacije elemenata moraju biti geometrijski kompatibilne s pomacima čvorova i rotacijama (sačuvan je kontinuitet)

•

Zakone ponašanja

Sile u elementima i čvorovima (naponi) i deformacije elemenata i čvorova moraju zadovoljiti zakone ponašanja materijala koji je predviđen za izradu konstrukcije. Temeljni zakon ponašanja materijala je prikazan σ − ε dijagramom u koji je uključen modul elastičnosti, granica popuštanja, sposobnost deformiranja. Analizu konstrukcije moguće je provesti na nekom od kompjutorskih programa. Međutim, još uvijek se u praksi primjenjuje i 'ručni proračun'. Bitno je napomenuti da većina metoda analize konstrukcije, ručne i kompjutorske, ne otkrivaju početak instabiliteta konstrukcije Instabilitet se može pojaviti kao:

•

lokalno izbočavanje hrpta ili pojasnice poprečnog presjeka konstrukcijskog elementa,

•

lokalno izbočavanje dijela priključka,

•

izvijanje konstrukcijskog elementa (uključujući i bočno izvijanje),

B. Peroš

273


•

MK I

izvijanje dijela ili čitave konstrukcije.

Prema tome, kao dopunu analizi konstrukcije, potrebno je provesti dodatnu analizu i/ili mjere dimenzioniranja za osiguranje protiv pojave instabiliteta.

6.8. PLASTIČNA GLOBALNA ANALIZA I POTREBNE PROVJERE PRI DIMENZIONIRANJU

Slika 6.47. prikazuje različite mogućnosti primjene plastične globalne analize i provjera pri dimenzioniranju prema EC 3.

Slika 6.47. Plastična globalna analiza i provjere pri dimenzioniranju prema Eurocode 3

Metode plastične analize primjenjive su uz zadovoljenje sljedećih uvjeta: (1)

Čelik sa svojstvima:

•

B. Peroš

fu ≥ 1,2 fy

274

MK I


gdje je: fu - vlačna čvrstoća čelika, fy - granica popuštanja čelika.

• Izduženje pri lomu vlačne probe (otkazivanju epruvete) dužine 5,65 A0 nije manje od 15% (A0 - površina poprečnog presjeka epruvete).

• σ − ε dijagram pokazuje: gdje je:

ε u - krajnje izduženje koje odgovara krajnjoj čvrstoči fu ε y - izduženje tečenja koje odgovara granici tečenja fy

Slika 6.48.

(2)

Potrebno je izvesti bočna pridržanja kod svih mjesta plastičnih zglobova kod

kojih se može dogoditi rotacija plastičnog zgloba za bilo koji slučaj opterećenja. Pridržanje treba izvesti unutar razmaka duž konstrukcijskog elementa od teoretske lokacije plastičnog zgloba ne većeg od pola visine konstrukcijskog elementa.

Slika 6.49. Pridržanja u području plastičnog zgloba

(3)

Poprečni presjek konstrukcijskog elementa općenito mora udovoljavati

zahtjevima klase 1. Presjeci klase 2 i 3 mogu se dozvoliti samo gdje se ne pojavljuju B. Peroš

275

MK I


plastični zglobovi. Klasa 2 presjeka može se primjeniti na mjestu plastičnog zgloba samo ako se ne zahtijeva veliki rotacijski kapacitet. Dozvoljava li se formiranje plastičnih zglobova u priključcima, oni moraju također biti u duktilnoj klasi. (4)

Kada

se

poprečni

presjeci

mijenjaju

duž

konstrukcijskih

elemenata,

ograničenja su: • debljina hrpta ne smije se mijenjati unutar razmaka 2d, s obje strane zgloba, a d je ravni dio hrpta, • tlačna pojasnica mora biti klase 1 i konstantne debljine na istom razmaku, • tlačna pojasnica mora biti klase 1 na razmaku od zgloba do točke u kojoj je moment savijanja smanjen na 0,8 Mpl,Rd, • na ostalim mjestima tlačna pojasnica mote biti klase 1 ili 2, a hrbat klase 1, 2 ili 3.

Slika 6.50. Zahtjevi za debljinu elemenata u području ojačanja

Zadovoljenjem navedenih uvjeta smatra se da konstrukcijski elementi i priključci posjeduju dovoljan rotacijski kapacitet da se omogući razvijanje svih plastičnih zglobova kroz konstrukciju.

B. Peroš

276

MK I


Za opterećenje se pretpostavlja da raste proporcionalno i monotono, a množitelj opterećenja kolapsa (faktor opterećenja kolapsa) mora imati vrijednost barem 1,0.

6.8.1. Plastična analiza prvog reda i dimenzioniranje Primjenjuju se idealno plastična analiza i elastična - idealno plastična analiza. Analiza prvog reda osobito je prikladna za nepomične okvire. Primjena ove analize na pomične okvire ograničena je na specifične slučajeve. Primjenjuje se i za dimenzioniranje jednobrodnih okvira sa skošenim prečkama. Najprikladnije je uzeti u obzir imperfekcije okvira metodom 'ekvivalentne horizontalne sile'. Ovo osobito vrijedi za idealnu plastičnu metodu. U plastičnoj metodi prvog reda nisu uzete u obzir bilo koje pojave instabiliteta konstrukcijskih elemenata. Stoga je potrebno provesti provjere stabilnosti elemenata u ravnini i izvan ravnine s uzimanjem u obzir prisutnost plastičnih zglobova. Uvijek kada se koristi idealno plastična metoda prvog reda, za provjeru dimenzioniranja konstrukcijskog elementa uzima se dužina izvijanja u ravnini za bočno nepomičan mod i uzevši u obzir učinke plastičnih zglobova. Ne zahtijevaju se daljnje provjere stabilnosti okvira u ravnini za izvijanje bočno pomičnog moda. Idealno plastična analiza prvog reda ne koristi se za analizu nepoduprtih okvirnih konstrukcija s više od dva kata. Osim toga u ovom slučaju, kada se u stupovima formiraju plastični zglobovi, stupovi se moraju provjeriti na otpornost na izvijanje u ravnini sa dužinom izvijanja jednakoj sustavnoj dužini. Stupovi moraju također posjedovati vitkost u ravnini okvira koja zadovoljava sljedeće uvjete, a s time se postiže da imaju odgovarajući rotacijski kapacitet: • Poduprti okviri ⎛ A⋅ fy λ ≤ 0,4⎜⎜ ⎝ N Sd

⎞ ⎟⎟ ⎠

0,5

ili

1

λcr

=

N Sd ≤ 0,16 N cr

=

N Sd ≤ 0,10 N

• Nepoduprti okviri ⎛ A⋅ fy λ ≤ 0,32⎜⎜ ⎝ N Sd

⎞ ⎟⎟ ⎠

0,5

ili

1

λ

gdje je Ncr, Eulerova sila izvijanja u ravnini za stupove. U elastično - plastičnoj analizi izračunavaju se rotacije plastičnih zglobova. Na osnovu toga može se provesti provjera da Ii je raspoloživ zahtijevani rotacijski

B. Peroš

277


MK I

kapacitet presjeka. S idealno plastičnom analizom ovaj podatak nije moguć. Stoga se na mjestima plastičnih zglobova moraju uvijek primijeniti presjeci klase 1 i duktilni priključci. lako ove metode plastične analize prvog reda pružaju neposredne informacije pomoću računske otpornosti okvira, zahtijevaju se provjere otpornosti presjeka i priključaka. Pri tom se uzima u obzir utjecaj uzdužnih i/ili poprečnih sila kada one nisu bile obuhvaćene u metodi analize. Ovo se događa u slučaju mnogih primjena idealne plastične metode. Idealna plastična metoda ne daje nikakve podatke o progibima i rotacijama. U načelu, ova metoda se mora nadopuniti elastičnom analizom konstrukcije s uvjetima opterećenja shodno graničnom stanju uporabivosti. Sve ostale provjere jednake su kao u slučaju elastične analize prvog reda.

6.8.2. Plastična analiza drugog reda i dimenzioniranje okvira Plastična analiza drugog reda, s globalnim imperfekcijama koje su uzete u obzir, može se koristiti u svim slučajevima za koje se dopusta plastična analiza. Ova metoda mora se koristiti za pomične okvire kada se provodi plastična analiza. Za određene tipove okvira koristi se idealno plastična metoda prvog reda s odgovarajućim povećanjem momenata savijanja, poprečnih i uzdužnih sila, kao alternativa direktnoj elasto - plastičnoj analizi. 6.8.2.1. Direktna metoda Uobičajeno primjenjivana direktna metoda je elastična - idealno plastična analiza drugog reda. Koristi se za sve slučajeve bočno pomičnih i nepomičnih okvira. Uglavnom se koristi za istraživačke svrhe. Ograničenja plastične globalne analize odnose se na klasifikaciju konstrukcijskog elementa, duktilnost priključka i svojstva materijala. Učinci drugog reda, zbog globalnih imperfekcija okvira i bočnih pomaka, uzeti su u obzir kada se provodi analiza. Obično se u analizi uzimaju u obzir učinci drugog reda zbog lokalnih imperfekcija konstrukcijskih elemenata, a kada je potrebno, i progiba konstrukcijskih elemenata u ravnini.

B. Peroš

278


MK I

Sa odgovarajućim računskim otpornostima korištenim u analizi može se uzeti u obzir utjecaj uzdužnih i/ili poprečnih sila na plastični moment otpornosti presjeka i priključaka. Navode se sljedeće prednosti elastično - idealno plastične analize drugog reda:

•

Identificiran je kolaps okvira (plastični mehanizam ili instabilitet).

•

Identificirani su svi plastični zglobovi uključujući i one koji se mogu formirati all potom i odteretiti (tako da se ne pojavljuju u mehanizmu kolapsa okvira), ali ih treba pridržati kao i sve plastične zglobove.

•

Mogu se identificirati zglobovi koji se formiraju između krajnjih računskih opterećenja.

•

Mogu se izračunati unutarnje sile i momenti, uključujući učinke drugog reda, za sve faze do kolapsa.

Kada je utjecaj uzdužnih i/ili poprečnih sila uzet u obzir u analizi, ne zahtijevaju se dodatne provjere za poprečne presjeke i priključke. Budući da je izračunata rotacija plastičnih zglobova, moguća je provjera da je zahtijevani rotacijski kapacitet raspoloživ. Za vitke konstrukcijske elemente potrebno je provesti provjeru stabilnosti u ravnini. Pri tom treba uzeti dužinu izvijanja za bočno nepomičan okvir i s uzimanjem u obzir prisutnosti plastičnih zglobova. Ukoliko su lokalne imperfekcije vitkih elemenata uzete u obzir u globalnoj analizi, ova provjera se ne zahtijeva. U većini slučajeva primjene elastične - idealno plastične analize na okvire razmatra se samo ponašanje u ravnini konstrukcijskih elemenata. Prema tome, potrebne su provjere njihove stabilnosti (okvira i konstrukcijskih elemenata) izvan ravnine. Ne zahtijevaju se nikakve druge provjere stabilnosti okvira u ravnini za izvijanje bočno pomičnog moda jer su one pokrivene analizom konstrukcije. Ostale računske provjere iste su kao u slučaju elastične analize prvog reda. 6.8.2.2. Pojednostavljena plastična analiza drugog reda Kao alternativa elastično - plastičnoj analizi drugog reda dopušta se primjena idealno plastične analize prvog reda za pojedine tipove pomičnih okvira. Učinci drugog reda uslijed bočne pomičnosti uzeti su u obzir indirektno, množeći momente i unutarnje

B. Peroš

279

MK I


sile prikladnim faktorom povećanja. Metoda se ne smije primijeniti na okvire s vitkim konstrukcijskim elementima. Faktor povećanja dan je izrazom:

1 V 1 − Sd Vcr oblikom istim kao za elastičnu analizu prvog reda. Metoda je primjenjiva samo ako je VSd/Vcr ≤ 0,20 (isključuju se vitki elementi) i ako konstrukcija zadovoljava uvjete: (1)

Okviri s jednim ili dva kata u kojima

•

ne formiraju se plastični zglobovi u stupovima, ili

•

stupovi imaju vitkost u ravnini temeljenu na dužini izvijanja jednakoj sustavnoj dužini koja zadovoljava uvjete za stupove s plastičnim zglobovima u okvirima proračunatim koristeći idealno plastičnu analizu prvog reda.

(2)

Okviri s upetim stopama stupova, kod kojih bočno pomični mod otkazivanja obuhvaća plastične zglobove samo u stupovima na mjestu upetosti. Proračun se zasniva na nekompletnom mehanizmu u kojem su stupovi dimenzionirani da ostanu elastični za izračunati moment plastičnog zgloba i da zadovolje uvjet vitkosti u ravnini za stupove sa plastičnim zglobovima. Dakle, idealno plastična metoda prvog reda dopustiva je samo za specifične slučajeve bočno pomičnih okvira (okviri s jednim katom ili s dva kata).*** Pri provjerama otpornosti presjeka i priključaka zahtijeva se uzimanje u obzir utjecaja uzdužnih i/ili poprečnih sila na otpornost na savijanje. Provodi se provjera stabilnosti konstrukcijskih elemenata u ravnini i izvan ravnine. Koristi se dužina izvijanja bočno nepomičnog moda s uzimanjem u obzir prisutnosti plastičnih zglobova. Ostale računske provjere iste su kao za slučaj idealno plastične analize prvog reda.

B. Peroš

280

MK I


6.8.2.3. Merchant - Rankine postupak Ovaj postupak nije izričito naveden u EC 3, dio 1-1. Međutim, primjenjen je u kriterijima ograničavanja primjene klasifikacije pomičnih okvira. Također, može se pokazati da je metoda povećanih momenata primjenjena za okvire analizirane plastičnom analizom prvog reda temeljena na ovom postupku. Postoje brojne znanstvene demonstracije o njenoj primjeni na pomične okvire. U nekim nacionalnim standardima metoda je i uključena. Predložena su sljedeća ograničenja njene primjene:

4≤

λcr ≤ 10 λp

gdje je:

λcr - linearni elastični kritični množitelj opterećenja, λ p - množitelj opterećenja kolapsa prvog reda (plastični mehanizam) Provjera sigurnosti čitavog okvira je zadovoljena ako je:

1

λf

≤ 1,0,

gdje je:

λ f - množitelj opterećenja kolapsa izračunat prema Merchant- Rankine formuli. Merchant- Rankine formula (modificirana verzija izvorne Rankine-ove formule) glasi:

1

λf

=

1

λcr

+

0,9

λp

.

Primjena na provjeru okvira vrlo je jednostavna. Unutarnje sile i momenti potrebni za dimenzioniranje, mogu se dobiti pomoću elastične - idealno plastične analize prvog reda. Analiza se ne koristi u slučaju vitkih stupova. Stoga nema potrebe uzimati u obzir učinke drugog reda zbog imperfekcija ili progiba konstrukcijskih elemenata. Pri provjeri otpornosti presjeka i priključaka zahtijeva se uzimanje u obzir utjecaja uzdužnih i/ili poprečnih sila. U primjeni Merchant- Rankine kriterija na okvire, potrebna je provjera stabilnosti konstrukcijskih elemenata izvan ravnine. Ostale su provjere iste kao u slučaju plastične analize prvog reda.

B. Peroš

281


MK I

6.8.3. Smjernice za primjenu plastičnih metoda dimenzioniranja

B. Peroš

282


B. Peroš

MK I

283


MK I

6.9. POSTUPCI PRORAČUNA OKVIRA 6.9.1. Tradicionalni postupci proračuna okvira Postupak u kojem se priključci razmatraju ili kao zglobni ili nepopustljivi dan je dijagramom toka na slici 6.51. Dakle, proces obuhvaća sljedeće korake: •

modeliranje okvira uključujući izbor nepopustljivih ili zglobnih priključaka,

•

početno pretpostavljeni odabir dimenzija nosača i stupova,

B. Peroš

284


•

MK I

kombinacije opterećenja za krajnje granično stanje (KGS) i granično stanje

uporabivosti (GSU): - izračunavanje učinaka opterećenja (unutarnje sile i momenti), - provjera kriterija za KGS i GSU; •

iteracija, ako je potrebna, za odabir presjeka elemenata dok se ne zadovolje

kriteriji, •

dimenzioniranje priključaka shodno s početnim pretpostavkama: nepopustljivi,

zglobni, krutost. Postupak sa zglobnim priključcima prikladan je za okvire klasificirane kao poduprte, nepomične okvire. Najčešći primjer okvirnih konstrukcija s nepopustljivim priključcima je portalni okvir. U tradicionalne postupke može se uvrstiti i postupak poznat pod nazivom Wind moment method. Zanimljivo je u okviru ovog poglavlja spomenuti ovu metodu proračuna budući da je imala veliki utjecaj na današnje poimanje filozofije uvođenja pojma proračuna popustljivosti priključaka u inženjersku praksu. Osnovno značenje sastoji se u tome da se za vertikalno opterećenje usvaja popustljivo (zglobno) ponašanje priključaka, dok se za horizontalna opterećenja usvaja da su ti isti priključci nepopustljivi. Ova metoda primjenjuje se odavno u SAD-a i na postavkama ove metode proračunat je nosivi kostur zgrade UN u New Yorku. Dakle, primjena ove metode potaknula je razvoj i primjenu priključaka, koji su djelomično nepopustljivi. Pojednostavnjeno je ova metoda prikazana na slici 6.52.

B. Peroš

285


MK I

Slika 6.51. Tradicionalni proces proračuna okvira s nepopustljivim i/ili zglobnim priključcima

B. Peroš

286

MK I


Slika 6.52. Wind moment method

6.9.2. Suvremeni postupci proračuna okvira Mnogi priključci, pretpostavljeni kao nepopustljivi, često pokazuju konstrukcijsko ponašanje koje sa nalazi između 'upetog' i 'zglobnog' ponašanja. Eurocode 3 prihvaća činjenicu realnog ponašanja priključka, negdje između ove dvije krajnosti, i omogućava postupak poznat pod imenom 'djelomično nepopustljiv postupak' analize, slika 6.53. Suvremenost ovog postupka očituje se u provođenju analize okvira konzistentno s odgovorom priključka. Ponašanje priključaka uzima se u razmatranje već u samom početku analize. Dakle, u fazi preliminamog dimenzioniranja, kada se određuju početne dimenzije elemenata (nosači, nosači-stupovi) okvira, uzima se u obzir ponašanje priključka. Početna globalna analiza uključuje približnu procjenu karakteristika priključka, njegovu krutost, otpornost i rotacijski kapacitet. Ove karakteristike kasnije mogu biti korigirane kao i u slučaju odabira dimenzija komponenata u završnoj fazi analize. Uobičajeno se priključak, za potrebe provedbe analize, predstavlja kao rotacijska opruga na krajevima konstrukcijskog elementa, u pravilu na nosaču. Ovakav, realističan model priključaka, uključen u globalnu analizu, polučuje ekonomično dimenzioniranje za većinu tipičnih okvirnih konstrukcija.

B. Peroš

287


MK I

Naravno, navedena procedura, sa slike 6.53, može se primijeniti i za priključke koji su zglobni (jednostavno uobličenje) ili nepopustljivi (kontinuirani uobličenje).

Slika 6.53. Procedura za analizu konzistentnu s odgovorom priključka

B. Peroš

288

Metalne konstrukcije

Recommend Documents