İstanbul Teknik Üniversitesi İnşaat Fakültesi Mukavemet 201 Dersi 1. Yıliçi Sınavı CRN: 11184 Tarih: 14/11/2006 13:00-15:00 Öğretim Üyesi: Prof. Dr. Mehmet H. Omurtag, Dersin Yardımcısı: Araş. Gör. Akif KUTLU
P=5qa
(25 Puan)
q
4
Soru1: Yükleme hali Şekil(1)’ de verilmiş olan çubukta; a) Mesnet tepkilerinin hesaplayınız. b) Kesme kuvveti ( T ) , eğilme momenti ( M) ve normal kuvvet ( N ) diagramlarını çiziniz.
3
G A
B
a
a
a
(25 Puan)
Şekil (1)
Soru2: Şekil(2)’ de verilmiş düzlem gerilme halinde q=30o için; a) sq ve tq değerlerini hesaplayınız. b) s1, s2 asal gerilmelerini ve doğrultularını hesaplayınız. c) Mohr dairesini çiziniz, yönlendirilmiş eleman üzerinde gerilmeleri gösteriniz.
sq q 2
20kN/m
tq 2
8kN/m 2
14kN/m
(20 Puan)
Şekil (2)
Soru3: Şekil(3)' de kenar uzunlukları a, b,c olacak şekilde verilmiş dikdörtgen prizmaya düşey P kuvveti etkimektedir. a, b, c uzunluklarında meydana gelecek değişimleri hesaplayınız.
(30 Puan)
Elastik prizma için malzeme sabitleri: E=Elastisite modülü n=Poisson oranı G=Kayma modülü olarak alınacak ve sonuçlar bu malzeme sabitleri ile P, a, b, c cinsinden hesaplanacaktır.
Soru4: Şekil(4)’ de geometrisi ve yükleme durumu verimiş olan, kesit alanları birbirinden farklı iki çubuğun birleşiminden oluşturulmuş sistemde; a) Normal kuvvet diagramını çiziniz. b) C ve D noktalarının yapacağı yerdeğiştirmeleri hesaplayınız. o c) P=0 iken DT =150 C'lik homojen sıcaklık değişimi hali için normal kuvvet diagramını çiziniz. C noktasının yerdeğiştirmesini hesaplayınız. a = 200cm A 2 = 3 A1= 12cm 2 E 1= E 2 = 200GPa a = 12 ´ 10 -6 (1/ C) (ısıl genleşme katsayısı) P = 200kN
z
P
y x
elastik prizma
rijit plak
c b
a Şekil (3)
2
1 A
P
P C a
D a
Şekil (4)
a
B
P=5qa
q
4
Soru1: Yükleme hali Şekil(1)’ de verilmiş olan çubukta; a) Mesnet tepkilerinin hesaplayınız. (5 puan) b) Kesme kuvveti (T) (8 puan), eğilme momenti (M) (8 puan) ve normal kuvvet (N) (4 puan) diagramlarını çiziniz.
3
G A
a
a
Çözüm: İlk olarak G noktasına göre moment dengesi yazılırsa Vb doğrudan hesaplanır; +
MA
8 P = 8qa 5
a
Şekil (1)
SM G = 0 = VB ´ a - P ´ (4 / 5) ´ 2 a VB =
B
P=5qa
q
4 3
HA
düşey denge denkleminden;
G VB
VA
A
SFy = 0 = VB + VA - qa - P ´ (4 / 5) 8qa + VA - qa - 4qa = 0
a
a
B
a
VA = -3qa yatay denge denkleminden; SFx = 0 = H A - P ´ (3 / 5) H A - 5qa ´ (3 / 5) = 0 H A = 3qa
bulunur. G noktasına göre bu kez sol taraftan denge denklemi yazılırsa; +
SM G = 0 = -VA ´ a - M A + q ´ (a 2 / 2) 3qa 2 - M A + q ´ (a 2 / 2) = 0 M A = 3.5qa 2
kesit tesirleri dagramları şu şekilde çizilir. 4qa
-4qa2
(+)
(-) (+)
(-)
(-)
-3qa
2
3.5qa
-3qa
-4qa
a
a (T)
a
a
a (M)
a
a
a (N)
a
Soru2: Şekil(2)’ de verilmiş düzlem gerilme halinde q=30o için; a) sq ve tq değerlerini hesaplayınız. b) s1, s2 asal gerilmelerini ve doğrultularını hesaplayınız. c) Mohr dairesini çiziniz, yönlendirilmiş eleman üzerinde gerilmeleri gösteriniz. (25 Puan) s x = 20kN/m 2
sq q
8kN/m2
s y = 14kN/m 2 t xy = -8kN/m 2
a)
b)
sq =
sx +s y
14kN/m2 s x -s y
cos 2q + t xy sin 2q 2 2 20 + 14 20 - 14 sq = + cos 300o - 8sin 300o = 25.42kN/m 2 2 2 s x -s y tq = sin 2q + t xy cos 2q 2 20 - 14 tq = sin 300o - 8cos 300o = -1.4kN/m 2 2
s 1,2 =
+
sx +s y 2
Şekil (2)
2
æ s x -s y ö 2 ± ç ÷ + t xy 2 è ø 2
s 1,2 =
20 + 14 æ 20 - 14 ö 2 ± ç ÷ +8 2 è 2 ø
s 1 = 25.54kN/m 2 s 2 = 8.45kN/m 2 tan 2f =
2t xy s x -s y
=
2 ´ -8 = -2.666 20 - 14
2f1 = -69.44o 2f2 = 110.56o
c)
20kN/m2
tq
t Y
sq sx
s2=8.45
s1=25.54 q
2f1
s
s1 s2
X
s1
s2
z Soru3: Şekil(3) kenar uzunlukları a, b, c olacak şekilde verilmiş dikdörtgen prizmaya düşey P kuvveti etkimektedir. a, b, c uzunluklarında meydana gelecek değişimleri hesaplayınız (20 puan). Elastik prizma için malzeme sabitleri: E=Elastisite modülü n=Poisson oranı G=Kayma modülü olarak alınacak ve sonuçlar bu malzeme sabitleri ve P, a, b, c cinsinden hesaplanacaktır. Çözüm: Prizmanın dengesi düşünüldüğünde;
z
P
y sx = 0
x
sy = 0
c
sz = -
b
a
P ab
P buna göre; s x -n (s y + s z )
- ns z n P = = E E abE nP Db = e x ´ b = aE s y -n (s x + s z ) - ns z n P ey = = = E E abE nP Da = e y ´ a = bE s z -n (s x + s y ) s z -P ez = = = E E abE Pc Dc = e z ´ c = abE ex =
P
y x
elastik prizma
rijit plak
c a Şekil (3)
b
2
1
Soru4: Şekil(4)’ de geometrisi ve yükleme durumu verilmiş olan, kesit alanları birbirinden farklı iki çubuğun birleşiminden oluşan sistemde; a) Normal kuvvet diagramını çiziniz (11 puan). b) C ve D noktalarının yapacağı yerdeğiştirmeleri hesaplayınız (8 puan). c) P=0 iken DT=150oC'lik homojen sıcaklık değişimi hali için normal kuvvet diagramını çiziniz (7 puan). C noktasının yerdeğiştirmesini hesaplayınız (4 puan).
A
P
P
C
D
a
a Şekil (4)
a = 200cm A 2 = 3 A1= 12cm 2 E 1= E 2 = 200GPa a = 12 ´10-6 (1/ C) (ısıl genleşme katsayısı) P = 200kN Çözüm: İki mesnet bilinmeyeni de yatayda bulunduğundan yatayda yazılacak kuvvet dengesi denklemi bu bilinmeyenlerin belirlenmesi için yeterli olmayactır; ikinci denklem uygunluk koşulunun yazılması ile elde edilecektir. Mesnet bilinmeyenleri uzama formüllerinde doğrudan kullanılabilmeleri için pozitif yönde (çekme) olacak şekilde seçilmişlerdir.
2
1 HA
P
P
A C
B
D
a
a
HB
a
yatayda kuvvet dengesi yazılırsa; SFx = 0 = - H A + P + P + H B H A = 2P + H B
uygunluk koşulu olarak çubuk toplam boyunun değişmediği yazılacaktır; D L çubuk = 0 = D L AC + D L C D + D L D B
sözkonusu aralıklardaki normal kuvvet değerlerini hesaplamak istersek;
1 HA
NAC
A
C
a
N AC = H A
P
A
C
a
NCD
D
SFx = 0 = - H A + P + N CD N CD = H A - P
2
A C
a
NDB
P
P
a
1 HA
a
1 HA
SFx = 0 = - H A + N AC
D
B
SFx = 0 = - H A + 2 P + N DB N DB = H A - 2 P
a
uygunluk koşulunun yazılması; DLçubuk = 0 = DLAC + DLCD + DLDB DLçubuk =
N AC N N H H -P H - 2P LAC + CD LCD + DB LDB = A 200cm + A 200cm + A 200cm = 0 A1 E A2 E A2 E A1 E A2 E A2 E
HA H - P H A - 2P 5 H A - 600kN + A + =0= =0 3 A1 E 3 A1 E 3 A1 E H A = 120kN H B = H A - 2 P = 120 - 400 = -280kN
a
B
a) Normal kuvvet diagramının çizilmesi;
120kN
N AC = H A = 120kN (+)
N CD = H A - P = 120 - 200 = -80kN N CD = H A - 2 P = 150 - 400 = -280kN
b) C ve D noktalarını yerdeğiştirmelerinin hesabı; d C = DLAC =
120 kN -4
2
6
4 ´ 10 m 200 ´ 10 kN / m d D = DLDB =
(-)
2m=3 ´ 10-3 m
2
a
N DB -280kN LDB = 200cm= A2 E 12cm 2 200GPa
-280 kN -4
-80kN
N AC 120kN LAC = 200cm= A1 E 4cm 2 200GPa
2
6
12 ´ 10 m 200 ´ 10 kN / m
a
-280kN
a
(N) diagramı
2m=-2.33 ´ 10-3 m
2
c) Sıcaklık değişimi halinde denge denklemleri;
2
1 HA
A C
D
SFx = 0 = - H A + H B
B
HB
HA = HB
uygunluk koşulu olarak sıcaklık değişiminden ve iç kuvvetlerden meydana gelen toplam uzamanın sıfır olduğunu ifade edeceğiz. DLçubuk = 0 = DLsıcaklık + DLN e L = DT ´ a = 150 ´ 12 ´ 10-6 = 1.8 ´ 10-3 DLsıcaklık = e L Lçubuk DLN =
HA H 200cm + A 400cm A1 E A2 E
DLçubuk = DLsıcaklık + DLN = 1.8 ´ 10-3 ´ 6 00cm + = 1.8 ´ 10-3 ´ 6 00cm +
HA H 2 00cm + A 4 00cm = 0 A1 E A2 E
HA HA 2 00cm + 4 00cm = 0 4cm 2 200GPa 12cm 2 200GPa
H A = -259.2kN
(N) diagramı (-)
-259.2kN C noktasının yerdeğiştirmelerinin hesabı; d C = DLAC =
N AC -259.2kN LAC + a DT LAC = 200cm+150 ´ 12 ´ 10-6 ´ 200cm= A1 E 4cm 2 200GPa
-259.2 kN -4
4 ´ 10 m 2 200 ´ 106 kN / m 2
2m+150 ´ 12 ´ 10-6 ´ 2m=-4.68 ´ 10-3 m
