FUERZA HIDROSTÁTICA SOBRE SUPERFICIE PLANA Y NO-PLANA Un fluido ejerce fuerza de presión en todas las direcciones, por lo tanto también sobre cualquier superficie en contacto con el, sea plana, curva o cóncava. El objetivo de esta sección es determinar las características de esta fuerza hidrostática originada por la presión del fluido. Estas características son: a) la magnitud de la fuerza b) su línea de acción c) el momento de la fuerza desde un eje de articulación Fuerza hidrostática Es la fuerza generada por la presión (P) del fluido sobre la superficie del contenedor ; por lo tanto, de acuerdo con el teorema 3, esta fuerza hidrostática (F) incide de manera normal sobre la superficie (A) en contacto. Superficie en contacto Es la zona del contenedor que tiene contacto con el fluído. Cuando la superficie es plana, todos los elementos de fuerzas (dF) son paralelos entre sí, condición que permite se puedan sumar y se obtenga una sola fuerza resultante (F). A su vez todos los elementos de área (dA) en contacto pueden también sumarse para obtener el área total (A) en contacto con el fluido (la expresión matemática que relaciona estos conceptos):
El área de la superficie en contacto con el fluido puede estar definido simplemente por una fórmula geométrica o por una función matemática que obliga a un cálculo integral para su determinación. Esta superficie puede encontrarse sumergida en tres diferentes posiciones: a) horizontal b) vertical c) inclinada (como en Fig.1) Centroide Es el centro geométrico de una superficie. Sus coordenadas no dependen de alguna propiedad física del fluido, ni de la posición en que se encuentre.
Linea de acción Línea imaginaria que muestra la dirección y sentido del vector fuerza hidrostática y que se prolonga atravezando justo el centro de presión. Centro de Presión Es el punto sobre la superficie donde pasa la línea de acción de la fuerza hidrostática resultante. Sus coordenadas dependen de la profundidad a la que se localiza, por lo tanto de su posición y no de alguna propiedad física del fluido. Momento de la Fuerza Es el efecto de la fuerza sobre la superficie en contacto (en el centro de presión), tomando en cuenta la distancia desde el eje de giro, donde la superficie se encuentra articulada hasta el centro de presión. Se calcula multiplicando la magnitud de la fuerza hidrostática (dF) por la distancia más corta (y) desde el eje de articulación hasta la línea de acción de la fuerza. O como producto cruz de dos vectores, el vector de posición y el vector fuerza hidrostática.
Momento de Area Es el producto de la multiplicación del Area (dA) por la distancia más corta (y) desde el eje de coordenadas hasta en centroide de la figura: Momento de primer orden:
Momento de segundo orden:
FUERZA HIDROSTÁTICA SOBRE SUPERFICIES PLANAS a) Magnitud de la Fuerza hidrostática Sabemos que, en cualquier punto de la superficie en contacto se manifiesta una presión (p) ocasionada por las partículas del fluido. Por definición la presión se expresa como una fuerza (dF) que incide perpendicularmente al área (dA) en contacto con el fluido y su expresión matemática es:
Sabemos tambien que la presión hidrostática en cualquier punto de un fluido depende del peso específico del fluido (g) y de la profundidad (H) a la que se encuentra el punto de presión (Teorema 2 de la hidrostática):
Si se considera que la presión sobre el espejo del fluido es la atmosférica (po), entonces, vale cero manométricamente, se obtiene:
Al igualar las ec. y despejar, se obtiene :
Según la Fig. que muestra el perfil de una superficie en contacto, en posición inclinada :
Sustituyendo:
Sustituyendo en ec. se obtiene la expresión para un elemento (dF) de estas fuerzas:
Si D = 0, Fig. 2.2
Como todos los elementos de fuerza (dF) que inciden sobre la superficie en contacto son paralelos, se pueden sumar (o sea integrar) para obtener una fuerza única resultante, que es la fuerza hidrostática (F) que incide perpendicularmente sobre la superficie en contacto.
Si D = 0, la ecuación se reduce:
Se puede observar que las ec. (2.2.8) y (2.2.10) son expresiones indeterminadas que requieren del cálculo integral; que comparadas con las ec.2.2.9) y (2.2.11) solo requieren de datos que se pueden obtener de tablas de figuras geométricas Fuerza hidrostática (Método Geométrico)
La magnitud de la fuerza hidrostática (F) se calcula usando las ec. y con ayuda de datos que se pueden obtener de la tabla de figuras geométricas sencillas, tales como un circulo, triángulo, etc. Considerando la ec. anterior
Sustituyendo en la ec. y reduciendo:
Fuerza hidrostática (Método por integración) En este caso, cuando la superficie en contacto no es precisamente una figura geométrica sencilla, resulta necesario aplicar las ec. (2.2.8) o (2.2.10)
Que invariablemente requieren de una función matemática, la que determina cómo está delimitado el área entre los ejes cartesianos, para proceder luego al cálculo integral del área (A) y del momento de área (Mx):
Área:
Momento de área: Habiéndolos calculados se puede determinar la coordenada vertical del centroide (yc) de la figura sumergida.
Estas tres últimas expresiones son propiedades de la figura por lo tanto son independientes de la posición que tenga la superficie en contaco con el medio fluídico.
FUERZA HIDROSTÁTICA SOBRE SUPERFICIES NO-PLANAS SUMERGIDAS Se van a considerar tres casos de superficies no planas en contacto con los fluidos: a) Superficie cóncava b) Superficie curva c) Volumen sumergido Los elementos de fuerzas hidrostáticas (dF) sobre estas superficies, en ningún caso son paralelas, sino son vectores tridimensionales Se pretende para estos casos determinar la magnitud de la fuerza hidrostática y las coordenadas de su línea de acción. Superficies Cóncavas Características: 1.- Todos los elementos de fuerzas hidrostáticas (dF) distribuidas sobre la superficie (dA) son ocasionadas por la presión (p) del fluido y por definición inciden perpendicularmente sobre la superficie (desde el espacio tridimensional (x,y,z)) en consecuencia no son paralelas. Según ec.(2.2.1) para un elemento (dF):
2.- Además como la presión hidrostática es, según ec. :
Sustituyendo sobre ec. se obtiene la diferencial de la fuerza hidrostática ec.:
3.- Estas fuerzas (dF) son vectores espaciales (o sea tridimensionales) por lo tanto solo descomponiéndolos en sus componentes cartesianos (x,y,z) se vuelven paralelos y entonces ya se pueden sumar (integrar) todos los de un mismo eje. La Fig. 2.15 muestra los vectores componentes en el eje (x).
Sumas en el eje (x):
Sumas en el eje (y):
Sumas en el eje (z):
Se procede a analizar cada uno de los componentes cartesianos: a) Fuerzas en el eje (x) (horizontal) Los componentes (dFx) son paralelos entre sí e impactan sobre una superficie vertical imaginaria, solo así se pueden sumar y encontrar la fuerza resultante y su correspondiente línea de acción. Este es el mismo caso de una superficie plana vertical analizado en la secc.2.2.1, con la diferencia de que el área a considerar ahora es el área de proyección (Ap) de la superficie cóncava.
El área de proyección (Ap) es el área o sombra proyectada sobre el plano (z,y) y Fx es la fuerza hidrostática componente en el eje x. La Línea de acción se obtiene de la misma manera que en la sección 2.2.2. y se obtienen las ecuaciones :
b) Fuerzas en el eje (z) (también horizontal): Las fuerzas que apuntan en un sentido, anulan a las del otro sentido:
c) Fuerzas en el eje (y) (Vertical): Observe que los componentes verticales son dos conjuntos paralelos y unos apuntan hacia abajo y otros hacia arriba. La fig.2.16 muestra los vectores componentes en el eje (y).
Donde dV corresponde a un elemento de volumen, que se levanta desde la superficie curva hasta tocar el espejo del fluido:
Integrando:
Donde (V) es el volumen encima de toda la curvatura hasta tocar el espejo del líquido. Las fuerzas verticales son: Fuerza vertical hacia arriba:
Fuerza vertical hacia abajo:
Fuerza resultante vertical:
Donde (Ven) es el volumen encerrado en la concavidad. Esta fuerza vertical resultante hacia arriba se conoce con el nombre de empuje y es una propiedad natural de los fluidos. PRINCIPIO DE ARQUIMEDES-EMPUJE Y FLOTABILIDAD
El principio de Arquímedes es un principio físico que afirma que un cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido estático, será empujado con una fuerza igual al peso del volumen de fluido desplazado por dicho objeto. De este modo cuando un cuerpo está sumergido en el fluido se genera un empuje sobre la superficie del cuerpo que actúa siempre hacia arriba a través del centro de gravedad del cuerpo del fluido desplazado y de valor igual al peso del fluido desplazado. Sabemos que la presión hidrostática aumenta con la profundidad y conocemos también que se manifiesta mediante fuerzas perpendiculares a las superficies sólidas que contacta. Esas fuerzas no sólo se ejercen sobre las paredes del contenedor del líquido sino también sobre las paredes de cualquier cuerpo sumergido en él. Cuando un cuerpo esta sumergido las fuerzas se distribuyen en forma simétrica de acuerdo al teorema general de la hidrostática. La simetría de la distribución de las fuerzas permite deducir que la resultante de todas ellas en la dirección horizontal será cero, pero en la dirección vertical las fuerzas no se compensan: sobre la parte superior de los cuerpos actúa una fuerza neta hacia abajo, mientras que sobre la parte inferior, una fuerza neta hacia arriba. Como la presión crece con la profundidad, resulta más intensa la fuerza sobre la superficie inferior. Concluimos entonces que: sobre el cuerpo actúa una resultante vertical hacia arriba que llamamos empuje. "Un cuerpo sumergido recibe un empuje vertical y hacia arriba igual al peso del volumen de líquido desplazado."
Para calcular el empuje que actúa sobre ese cuerpo se tiene en cuenta su peso en el aire y su peso sumergido en el liquido.
Empuje = Peso del cuerpo en el aire – Peso del cuerpo sumergido. Empuje = Peso del líquido desplazado = Densidad del liquido. g . Volumen del liquido desplazado = Densidad del liquido. g . Volumen del cuerpo Flotabilidad: Efectos físicos del agua sobre el cuerpo: · La flotabilidad: Del principio de Arquímedes: “Todo cuerpo sumergido en un líquido recibe un empuje o flotabilidad positiva proporcional al volumen del líquido desplazado”. La respiración es un agente importante en la flotabilidad. Otros agentes son la contextura, la osamenta y la cantidad de tejido adiposo. Si una persona está detenida y relajada la flotabilidad aumenta, pero la agitación disminuye el aire en los pulmones y aumenta la densidad del cuerpo en el agua. · Resistencia al agua: En inmersión la resistencia del agua dependerá de la posición de desplazamiento del sujeto. Por ejemplo, para una embarazada la resistencia del agua depende de la forma que tiene su cuerpo, el que se va modificando a lo largo del embarazo. Generalmente la posición vertical ofrece mayor resistencia al desplazamiento que la posición horizontal. EQUILIBRIO RELATIVO DE LÍQUIDOS QUE SE TRASLADAN
Hasta ahora se ha considerado, para el cálculo de superficies de nivel y de presión en un punto interior de un fluido, que éste se encontraba en reposo, o bien, que podía estar en movimiento uniforme, sin ninguna aceleración. Sin embargo, cuando el fluido se encuentra en el interior de un recipiente, sin ocuparlo en su totalidad, y por lo tanto, con completa libertad de movimiento para desplazarse por el interior del mismo, y se hace mover a este recipiente con un movimiento acelerado o retardado, se observa que el líquido va tomando una cierta inclinación que depende de la aceleración a que se halla sometido el sistema. Para su estudio supondremos un depósito prismático con una cierta cantidad de líquido; una partícula del mismo estará sometida a dos tipos de fuerzas, tal como se indica en la Fig III.1, es decir, la fuerza debida a la aceleración del movimiento y la fuerza debida a la aceleración de la gravedad. Ambas fuerzas se pueden proyectar sobre los ejes, obteniéndose,
Fig III.1.- Equilibrio relativo de un líquido que se traslada III.-29
en las que se ha supuesto masa unidad. Sustituyendo estos valores en las dos ecuaciones fundamentales, se tiene,
quedando así determinadas la presión en cualquier punto y las superficies de nivel. Cálculo del ángulo que forma la nueva superficie libre con la inicial, paralela al eje Ox.La ecuacióndel plano que forma ángulos, α, β, γ , con los coordenados es, x cos α + y cos β + z cos γ = Cte
EQUILIBRIO RELATIVO DE LÍQUIDOS QUE GIRAN ALREDEDOR DE UN EJE VERTICAL Supongamos un recipiente cilíndrico, vertical, que está lleno de un determinado líquido hasta una cierta altura h; si se hace girar dicho cilindro alrededor de un eje vertical, la superficie libre del fluido cambiará de forma. El problema consiste en determinar la forma que adoptará la superficie libre, y la presión en cada punto del líquido, cuando el cilindro que lo contiene gire alrededor de su propio eje.Para los cálculos supondremos un sistema cartesiano de forma que el eje de giro coincida con el eje z, y la base del cilindro esté contenida en el plano (x,y). Al girar el recipiente con una cierta velocidad angular w, cada uno de los puntos del líquido estará sometido a la acción de dos fuerzas, la centrífuga, r w2, y la gravedad, - g, como se indica en la Fig III.3.Las componentes de la resultante de estas fuerzas son,
