MECANICA DE FLUIDOS 2 - UGARTE.pdf

L

FRANCISCO UGARTE PALACIN U N IV E R S ID A D N A CIO N AL DE IN G EN IER ÍA

MECANICA D

E

FLUIDOS 11

SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES L I M A - P E R Ú

M e c á n ic a d e F lu id o s

II

FRANCISCO UGARTE PALACIN

©

Francisco ligarte Palacio Diseño de Portada: Francisco Ligarte Composición de interiores: Francisco ligarte Responsable de edición: Francisco Ugarte

©

Editorial San Marcos E.I.R.L., editor. RUC 20260100808 Jr. Dávalos Lissón 135 - Lima. Telefax: 331-1522 E-mail: [email protected]

Primera edición: 2008 Primera reimpresión: Agosto 2010 Tiraje: 700 ejemplares Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú Reg. n.° 2010-10168 ISBN 978-9972-38-393-9 Registro de Proyecto Editorial N° 31501001000663 Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra sin previa autorización escrita del autor y el editor. Impreso en Perú / Printed in Perú Pedidos:

Av. Inca Garcilaso de la Vega 974, Lima. Telef.: 331-1535 / 331-0968 / 332-3664 E-mail: [email protected] Composición, diagramación e impresión: Editorial San Marcos de Anibal Jesús Paredes Galván Av. Las Lomas # 1600 - S.J.L. RUC 10090984344

1

Como c.<'ntlnuacló n d e l tlbnu j b ’i.a denominada

MECANICA DE FLUI VOS , pAe.A r nto (¿.¿tu

MECANICA VE FLUI VOS II , en la. cual pAeA ento teoAlaA y pAo-

üíemoA 'ie.Aue.lto.ó que. Aenán de g.Aan ¿nteAfo a pAoíeAOAeé y e¿iud,ia>ile.¿ de. ca s i todaA ¿ai ncunas de. 1nge ru.e’i l a . En eX pAimeA cap í ta to Ae de.AcuiA.otta la te.on.la d e l AnátcAiA Vimen 6¿(mal y

lUlcviidad, ACAaltando l a ap licación de.i1 TEOREMA VE BUCKINGHAM.

d& m t A w é s de. e.bte. cap itu lo que t i le c to n encontAaAá ¿sentido d e l ponqué, ¿e ’¿levasea cabo laA p-uie.baA en modele 6 anteA de conAtiuÂe una máquina , una $

''

pAe¿a, &tc. En e l Atgundo ca p itu lo t e Analiza el e¿tucUo d el Fia jo \/íacü 6o, citando texa d e f i n i d o neA báA¿caj> de. laA matemátlcaA. Aa i también ¿e ha d e ta l la d a l a de.duc.cion de. taA ECUACIONES VE NAI/1ER-5T0KES

pana luego a p lic a r ía

a dLivéJLéüA cciaoa. En e l teA.cex c a p itu lo he. de.AcutAolia d o e l ESTUDIO VEL FLUJO INTER NO con bsteveA teoAlaA, ex.pllcadoneA, tabtaó y

cuavoa

pana e l disejio de tu -

beA,ía¿> y empleo de. acceAodoA. En e l cuanlo c a p ítu lo ü iato AobAe e l teófila

que i n i c i a En e l

ESTUV10 VE LA CAPA LIMITE,

l a nueva ionma d e l a n á lis is de. lo a FiJJJOS REALES. qcunto c a p itu lo Ke.atl.zo e l estudio de. lo A

BLES, que bnlnda leo Ala y pAoblemaó acética de la

FLUJOS COMPRES!

VINAMIGA VI GASES.

Agnadezco a lo a pAoie.ACAeA del Area de TuAbcmcíquauiA de t'a tad

de INGENIERIA MECANICA de l a UNI

ñanza de. la ti

poA Au de.Aempeno y eAmnc cu i'a

Facul enót-

MECANICA VE FLUÍVOS. A¿l también deAeo ex.pAc¿an mi agnadednuen

m¿6 comparieAi’ó d e l

CC PABLO BONER de la F.Z.M. de. ia UNI, y a todo6

l o 6 pAOieAoaqj> y ,itumno¿ de laA diê.AenteA unlvaAAidadeA del. p a l 6 wue me han hecJio llegan, óua ¿ugeAenciaó y a lie n t o paAa contAnuaA escribiendo eAte tip o de obAaA, a n iv e l unlveAAilaAlo y pAofae^ólonal. Lima, 23 de SetlembAe de 1991

FAanc.'lco Manuel Uganle Palacln

L.

Í N D I C E

CAPITULO 1

ANALISIS D IM ENSIONAL Y SIMILARIDAD

Introducción

..

Teorema de BUCKINGHAM

.

Método a seguir para aplicar el Teorema de Buckingham TABLA 1 :

" Dimensiones de las cantidades de Mecánica

..

1 3

..

4

6

de Fluidos "

Significado físico de algunos de los parámetros adimensionales más importantes en Mecánica de Fluidos TABLA 2 :

9

" Grupos adimensionales en Mecánica de Fluidos "

.. '

Semejanza y estudios enmodelos

14

Tipos de semejanza GRUPO DE PROBLEMAS

CAPITULO 2

13 14

M° 1

..22

ESTUDIO DEL FLUJO VISCOSO

Introducción

30

Viscosidad

31

Flujo

..

Campo de Velocidades

,

33

Lineas de Corriente

..

Representación de un vector

33

(en diferentes coordenadas)

..

Operador V

33 33 34

EL Gradiente

..34'

La Divergencia

34

El Rotacional

..

35

El Laplaciano

36

Identidades Vectorialesimportantes

36

Derivada Sustancial o Total

..

Aceleración de una

partícula de

Fuerzas que actúan

scbre una partícula fluida en uncampo

fluido enun campo develocidades

cidades Ecuación de la Cantidad

36, 37

de velo 38

deMovimiento (NAVIER - STOKES)

40

Flujo Laminar y Flujo íurbulento

..

r¿

••

43

..

44

..

54

Intrortucción

••

73

Pérdidas Primarias

••

74

Evaluación del Factro ,de Fricción (f)

..

75

Diagrama del

..76

Flujos Desarrollados Aplicación de las ecuaciones de NAVIER-STOKES

al Fiujo laminar

completamente desarrollado entre dos placas planas paralelas y en ductos ¿e#dS^c íc ;¡ circular GRUPO DE,#ÓBLEMAS N° 2

CAPITUIJ 3;

ESTUDIO DEL F L Ü # INTERNO

M000Y N° 1

Diagrama (e/p) - (D)

77

Pérdidas Secundarias *

..

79

..

79

Longitud Equivalente

..

84 84

Evaluación de la constante de pérdida ÍK)

(DIAGRAMAS)

Diámetro Equivalente

..

Sistema de Tuberías

..84

GRUPO DE PROBLEMAS N° 3

..86

CAPITULO

„

ESTUDIO DE LA CAPA LIMITE

4.1

Introducción

..

122

4.2

Capa Limite

..

123

4.2.1

Contorno de la Capa Límite

..

124

4.2.2

Espesor

de Capa Limite

..

124

4.2.3

Espesor

de Capa Limiteaproximado

..

124

4.2.4

Subcapa

Laminar

..

124

..

4.3

Espesor de Capa Limitepordesplazamiento

4.4

Espesor,de la Capa Limite por deformación de la energía cinética

4.5

Espesor de la Capa Limite por deformación de la cantidad de

4.6

Ecuación de Cantidad deMovimiento

movimiento Velocidad de Corte

L

125 128

.. deVPN KARMAN

..

130

..

132

I

4.7

Solución exacta de BLASIUS

135

'1 .8

Valor Medio temporal

136

4.9

Longitud de Mezcla de PRANDTL

137

4.10

Distribución de Velociadades para números de REYNOLDS 140

elevados

142

4.11

Ley de la Pared

4.12

Estudio de la Capa Limite Turbulenta

'

145

4.13

Fenómeno de Separación de la Capa Limite

148

4.14

Determinación del Gradiente de Presión

149

4.15

Fuerzas

150

4.16

sobre cuerpos sumergidos

4.15.1

Fuerza de Arrastre

151

4.15.2

Fuerza de Sustentación

152

4.15.3

Flujo perpendicular a una placa plana

153

4.15.4

Flujo sobre una placa plana

154

4.15.5

Flujo alrededor de una esfera y de un cilindro

154

Perfi 1 Aerodinámico

154

4.16.1. Características del perfil aerodinámico

155

4.16.2

157

Diagrama polar (LILIENTHAL)

158


CAPITULO 5

FLUJOS COMPRESIBLES

Estudio del Flujo Compresible

..

Definiciones importantes en el estudio del Flujo Compresible

183 185

Expresión para hallar el flujo de masa a través de un ducto de sección variable Flujo isoentrópico en ductos de sección variable Tobera convergente - divergente

..

194

..

195

..

200

o tobera amplia

o Tobera de LAVAL Posiciones relativas de un objeto dentro de un ambiente gaseoso

..

201

Estudio del Flujo Adiabático con fricción (FLUJO FANN0)

..

203

Estudio del Flujo Diabático (FLUJO RAYLEIGH)

..

206

Ondas de Choque

..

211

Choques en una Tobera convergente - divergente

..- 214

Análisis dimensión;: I y sirai];?iiclad

CAPÍTULO I ANALISIS DIMENSIONAL Y ,

SIMILARIDAD

| I

INTRODUCCION El análisis dimensional a estudiar es un método que permite redu-

j

cir el número y complejidad de las variables que intervienen en la descripción de un fenómeno físico dado, con ayuda de una serie ue técnicas. Como el objetivo del análisis dimensional es reducir variables y agruparlas en forma adirnensional, nos presenta las siguientes ventajas: 1”) Un enorme ahorro de tiempo y dinero. 2°) Nos ayuda a pensar y planificar un experimento o teoría. Suqirre fórmulas adirnens ional es de las ecuaciones, ante;-, de gastar tiempo y dinero nara encontrar las soluciones con ordenador. Indica las variables que doDen descartarse; algunas veces se puede rechazar variabl'es, o -¡rupos de variables, mediante el análisis dimensional, haciendo algunos ensavos que mué..tren a>;rj son poco importantes. También nos dá gran información sobre las relaciones fí sicas que estamos intentando estudiar. 3°) Proporciona las leyes de escala

jue pueden convertir los datos

obtenidos sobre un pequeño modelo de información para el di:,eño do un prot.otioo grande. Por ejemplo, antes de construir una nave espacial la debemos de pro bar en base a un pequeño modelo y no en base a un prototipo, con el tamaño de

z

Análisis dim ensional y similaridad

la nave a construir, pues seria muy costoso hacer esto último. Cabe mencionar que no siempre el modelo tendrá que ser de menor tamaño que el prototipo, y a que puede suceder lo contrario. Establece que todo fenómeno

es posible de ser experimentado medi

ante una relación análi tica, la misma que deoe cumplirse en cualquier sistema de unidades. MOTAS

: -

El análisis dimensional se sustenta en el "PRINCIPIO DE LA H

NEIDAD DIMENSIONAL", que establece : "Cualquier ecuación deducida analTtica mente y que represente un fenómeno físico, debe satisfacerse en cualquier sis_ terna de unidades''. -

La desventaja del análisis dimensional radica en que se requ

el conocimiento previo del fenómeno a estudiarse, para seleccionar adecuada mente las variables que han de conformar el o los grupos adimensionales.

Análisis dimeKsicmal y s imilaridad

TEOREMA DE BUCKINGHAM Dado un problema fínico en el cual el parámetro denendiente es una función

de los ( n - 1 ) parámetros independientes, podemos expresar la rela

ción entre

las variables

de la siguiente manera funcional :

9 1 ~ f(clp » q^ > q¿|» .................... donde :

»

~ ^

= parámetro dependiente q2 ’ ^3 * ^4 * ...... Matemáticamente

, qn = son los ( n - 1 ) parámetros i ndepend.

podemos expresar la relación funcional de manera e

quivalente como : 9 ^ql ’ q2 ’ q 3 ’q4 ............... .

qn )= 0

donde g es una función conocida diferente de f. El TEOREMA DE BUCKINGHAM establece : dada una -'elación de la forma g(qi

, q2 , q3 ,q4 , .................... q j

-0

entre n parámetros, éstos se pueden agrupar en ( n - m ) parámetros adimensio nales independientes, generalmente representados

con el si ¡obolo

tt

;

dicha re

lación tiene la forma funcional :

G( tt1 , tt2 , tt3 ,7Ta ................................................................ l 'n ) = 0 o b ie n :

= G1 ( tt7 , tt3 ,ir 4 , ...........................................

,7 ^ ) = 0

Usualmente (pero no necesariamente siempre), el número m es igual al número mínimo de dimensiones independientes necesarias para especificar las dimensiones de todos 'los parámetros H

, ....... . , qp .

teorema no predice la forma funcional de G o

entre los parámetros tt adimensionales independientes deberá

. Esta relación determinarse ex

perimentalmente. Un parámetro tt no es independiente si se puede formar mediante el

Análisis dim ensional

4

y similaridad

producto o el cociente de otros parámetros en el problema. Por ejemplo, si : ~ 1/2 ■ 3 TT -----, o bien 712 V

r ' 5 7T „ resulta evidente que ni tt

ni tt^ son

713 ^4

independientes de los demás parámetros adimensionales

• , t;2 , tt

, tt, .

El análi sis dimensional de un problema se lleva a cabo en las sigm entes tres etapas : - Se establece una lista apropiada de parámetros» - Los parámetros ir adimensionales se obtienen utilizando el teorema de BUCKINGHAM. - La relación funcional entre los parámetros tt se determina mediante experimentos.

METODO A S E G U I R PARA APLICAR EL fBORHMA DE BUCKINGHAM - Clasificación de parámetros : Para llevar a cabo ésta clasificación o selección de parámetros que afecten, directamente al fenómeno bajo estudio» es necesario tener cierta expe* riencia en dicho aspecto. En el caso de personas inexpertas se le recomienda seleccionar la mayor cantidad posible de parámetros, para que tenga la menor probabi1idad de errar. Cualquier parámetro que se sospecha que influye en el fenómeno a es tudiar, debe ser seleccionado. Si el parámetro, después de los experimentos, resulta ajeno al fenómeno en estudio i el análisis dimensional establecerá un parámetro u adimensional que se debe eliminar completamente.

- Método para determinar los parámetros Io ) Indicar todos los parámetros de los que se sospechan influir en el fenómeno. Si no se indican todos los parámetros mencionados, al final S’ólo se logrará obtener relaciones que no refléjen una imagen completa del fenómeno

5

Análisis dim ensional y símilariaad

í

2o ) Determinar un conjunto fundamental de dimensiones, llamado con-

| junto de dimensiones primarias. Por ejemplo : masa (M)» longitud (L) y tiempo ¡ (T); fuerza (F), longitud (L) y tiempo (T)$ etc. I ' 1 3o ) Expresar a todos los parámetros citados en el primer paso, en función de las dimensiones primarias, 4o ) De todos los parámetros indicados en el primer paso, se selec cionará una cantidad de parámetros repetitivos* Dicha cantidad de repetitivos estará dado por el valor

parámetros

del rango de la matriz de dimensiones 8

( ver ejemplo ), Al seleccionar los parámetros repetitivos se tendrá cuidado en que estos no tengan las mismas dimensiones netas; por ejemplo, no deberá incluirse ■" 3 en los parámetros repetitivos a una longitud { L ) y a un volumen ( L ). Los parámetros adimensionales que resulten del procedimiento de BUCKINGHAM son independientes pero no son los únicos. Porque, si se selecciona un conjunto diferente de parámetros repetitivos, se obtendrán diferentes pará metros adimensionales. Los parámetros que se prefieren en la realidad, es la practica quién lo determina, NOTA

Sí el rango de la matriz de dimensiones es la unidad, entonces sólo se

| obtiene un parámetro adimensional ir* En dicho caso, el teorema de indica que el parámetro ir ánico debe

de

BUCKINGHAM

ser una constante»

5o) Crear ecuaciones dimensionales entre los parámetros repetitivos seleccionados en el cuarto paso, con cada uno de los demás parámetros, tratando de formar parámetros adimensionales, 6o ) Comprobar que cada parámetro obtenido resulte adimensional. Tal comprobación se acostumbra realizarlo utilizando o ero conjunto fundamental de dimensiones.

HEMd^

A continuación se presenta la TABLA N°], cuyo contenido se recomien

da anal izarlo y aprenderlo para proceder a resolver problemas í

6 _____ ______ ________

Análisis dim ensional y similaridad T

DIMENSIONES

A

B

L

N" 1

DE MECANICA

DE LAS CANTIDADES

CANTIDAD

A

SIMBOLO

¡DE

M L T

F L i L

Longitud

L

L

Area

A

L

Volumen

¥

Velocidad

V

Velocidad del sonido

c

Flujo volumétrico Flujo más ico Pregón, Esfuerzo Velocidad de deformación Angulo Velocidad angular Viscocidad

FLUIDOS

2

L2

3

L1

L L T-l

.

L T 1

£

L r 1 T-i L3 M 'I'1 -V 2 M L -1 T

0 ÜJ

no existe -1 /T

V . Q m P , Cf

Viscocidad cinemática

w V

Tensión superficial

,T

M L

i

r 1

M T 1

F

M

Momento, Par

M

M

L2

Potencia

P

M

1L

iL 7

,.T

T J

P

M L“ 3

Temperatura

0

■e-7 _' 1 L" T -0-

CP ’Cv

K

Coeficiente de expansión T iempo

T

Peso especifico

T

Aceleración de gravedad

g

r 1

F L~!T F L-2 r 1 no existe T" 1 i„2

r V 1 -1 ■e**

m l

F F

L

f l

L r 2

r 1

r V

f

-97 _ ■;> _ L“ T -9F T'V 0-1

T -2T-2 M L'

r 1 L'1

_7 T ~

Densidad

Conductividad térmica

l3

F L-2T

Fuerza

Calor específico

L r 1

T F L‘3 l

r ¿

7

Análisis dim ensional y simllarldacl

1. EJEMPLO

Se estima que el desempeño de un anillo de aceite lubricante depen de de las siguientes variables: f1 ujo volumétrico 0, diámetro interno del ani_ lio D, velocidad de rotación N (RPM), viscocidad absoluta del aceite

densj_

dad del aceite p v tensión superficial a, Determine Ud, un conjunto conveniente de coordenadas para organi zar los datos* SOLUCION | r)

Q , D , N , y , p ,

a

2o ) M , L , T

[ N ]= T ' 1

[ P 1= M L

[ p J = M L” 1 T "1

[o] = M T

3°)[ Q ]« L 3 r 1 [ D ]=

L

-3

4o ) La "MATRIZ DE DIMENSIONES" es la siguiente : Q

D

M

0

L

3

T

-1

t a

N

)j

p

0

0

1

1

1

1

0

1

-3

0

0

-1

1

0

~2

Recordar que el rango de una matriz esta dado por el orden de su determinante no nulo de mayor orden. 0 3

0

0

1

0

0

-1

0

0

1

3

1

-1

-1

0

-1

= 0 [(l)(-l)-(0 )(0 )]-

- 1 ¿ Q ; entonces :

0 f(3)(-I)

-

( - 1 ) ( 0) ] + 0 [ ( 3 ) ( 0 ) - ( - l ) ( l ) > 0

RANGO = 3

Como el rango de la matriz de dimensiones es 3, se seleccionará 3

Análisis dim ensional y nimilaridarf

B

parámetros repetitivos. Estos serán ; p, D, N 5°) TTa= px Dy N2 CT = M° L° T° = 1 C M L~3)x ( L )y ( r 1) ^ M r 2) = M : x + 1 = 0

x = -*1

L : ~3x + y = 0

y = •>■3

T : -z - 2 = 0

z = -2

M° L° T° El parámetro adirnensional será :

0

'■_ ' 1

p D 3 N2

it2= px Dy N* \¿j= M° '0 T° = 1 -3\x ( M L-J)x { L )y ( T"1)2 ( M L_1r l) = M° L° T° = 1 M : x + 1 = 0

x ="-1

L : -3x + y - 1= 0

y = -2

T : -z - 1 = 0

z=

u 3= px Dy N z Q = M° L° T° =

El parámetro adirnensional será tt2=

y__ p D2 N

1

{ M L"3 )x ( L )y ( T_1)z ( L3 T_1 ) = M° L° T° M : x = 0

'

L : -3x + y H T : -z

-

x = 0

3 = 0

El parámetro adirnensional será :

y = -3

1 = 0

2 . - 1

^ *

6°) Para la verificación, vease la TABLA N°1 -1 F L" 1

1

p D3 N2

(F L"4T2) (L)3 (T"3”)2

p

(F L_/*T2) (L)2 ( T 1)2

F I-2! 1I2=

N Q

DJ N RPTA

= 1

L3 T-1 = 1 (L)3 (T_1)

El conjunto { zar los datos.

^

coordenadas es el conveniente para organi

A nálisis dim ensional y similaridad

9

SIGNIFICADO FISICO DE ALGUNOS DE LOS PARAMETROS ADIMENSIONALES MAS IMPORTANTES EN LA MECANICA DE FLUIDOS A continuación se citará algunos parámetros adimensionales que se se presentan con gran frecuencia en el análisis dimensional :

1. NUMERO DE REYIIOLD

(Re)

Se le define como el cociente entre las fuerzas de inercia y las fu erzas viscosas p Re *

2 2 V L p V L — ----- a ----- ™ — Vi (u V / L) L

(Presión dinámica) x (área)

F* Inercia!

(Esfuerzo viscoso) x (área)

F. Viscosas

L = Longitud característica, descriptiva del campo de flujo. Un valor crítico de éste parámetro

permite distinguir entre el re-

gimen laminar y el regftner. turbulento en un escurrímiento dado; a través de un tubo, en la capa límite o en un

flujo

por

ejemplo ,

al rededor de un cuerpo

sj j

mergido. El valor de este nOmero de Reynold crítico depende de 1a situación que se tenga.

*

En un flujo compresible, el numero de Mach suele ser más significa tivo que el nümero de Reynold, Al nümero de Reynold se le considera, como el más impórtate para des^ cribir al flujo incompresible.

Indicaciones para el cálculo de Re a)

r

b

■> Re = — y V

2

P V2 b


10

b) Para flujos en ductos :

p

v

D = Diámetro hidráulico H Forma de calcular el diámetro hidráulico ( D„ ) :

H

En general : Tt D

4 S

4 a b D

V

= ---------

H °H =

tr

2( a + b

D

Pm = Perímetro mojado

2. NUMERO DE EULER

(Eu)

Se le define como el cociente entre las fuerzas de presión y la fu erza de inercia. Ap p V

Ap 2

JL 2/

p V / L

Fuerza de presión Fuerza de inercia

Ap = Presión local menos la corriente libre p y V son la densidad y velocidad del flujo de la corriente libre.


11

En los ensayos de tipo práctico se utiliza normalmente el coefici2

ente de presión p/(pV / 2 ) , igual al doble del nOmero de Euler. El número de Euler se aplica en todos aquellos casos en donde la fuerza de presión sea importante (diseño de antenas, chimeneas, cascos de bu ques, automóviles, alabes). 3. NUMERO DE FROUDE

(Fr)

Se le define como

el cociente entre la fuerza de inercia y, la fue_r

za de la gravedad. 2 V Fr * — — L g

o p \T/L Fuerza de inercia ----- — = „ -----_ _ — ---- „ p g Fuerza de gravedad

En una superficie libre, tál como en los casos de los ríos* la forma de ésta superficie, al formarse ondas, se verá afectada directamente por la fuerza de la gravedad, y, por tanto, en éste tipo de problemas el número de Froude será significativo. Generalmente el número de Froude se emplea en el estudio de fluidos de canales abiertos o,en todo caso en donde las fuerzas gravitacionales sean importates. el

También el

Fr resulta de gran utilidad en

cálculo de sal tos hidráulicos y en eldiseño deestructurashidráulicas

de barcos.

4. NUMERO DE WEBER

(Sfe)

Es la relación entre las fuerzas de inercia y la fuerza debida a la tensión super— ficial. 9 2 p V“ L p V /L We = --- — — — =* — — or or/L

Fuerza de inercia « — --- — — t — Fuerza de tensión superficial

cr = Tensión superficial del

flujo

L = Longitud característica

del flujo

•

y

12

Análisis dim ensional y ainriilaridad

El número de Weber juega un papel importante

sólo

si es de orden

unidad o menor. Si el número de Weber es grande, sus efectos son despreciables *Se le emplea en los fenómenqs de pulverización y atomización de par tículas ( diseño de toberas, spray, inyectores, eyectores ).

5 . m n ero de m m

(n) .*■

Se le define como la relación de la raíz cuadrada de la fuerza de i nercia entré la raíz cuadrada de la fuerza que tiene su origen en la compresibil idad del fluido. Fuerza de inercia

c

V

p c /L

'V

F Fuerza de compresibilidad

c = Velocidad de sonido V = Velocidad relativa El número de Mach es el

importante de los parámetros adimensio-

nales, para el estudio de los fluidos compresibles ( p ^ cte ). Por ejemplo, a los flujos compresibles se les clasifican :

t

Flujo subsónico

si

M < 1

(V< c

)

Flujo sónico

si

M = 1

- ( Vv= c

)

Flujo supersónico

si

M > 1

(V> c

Flujo transÓnico

si

Flujo hipersdnico

si

( V^c M > 1

(V»

) c )

Si el número de Mach se eleva al cuadrado y se multiplica por pf\/¿ y se divide entre pA/2, el numerador será la fuerza dinámica y e) denominador constituirá la fuerza dinámica del sónido. Se puede interpretar como una medi da de la relación entre la energfa cinética y la energía interna deT flujo.

13

TABLA M *l G H U P O S A D I M B K S I O N A L B S P.M M R C A N f C A D E FLUIDOS PARAMETRO

RELACION CUALITATIVA

DEFINICION

DE Número de Reynolds

Re .

Inercia

p VL

V

Número de Mach

Ha * ~ ' 'C

Número de Froude.

Fr ■

Velocidad flujo Velocidad sonido Inercia Gravedad

19 We . - ^

Número de Euler (número de cavitación)

W

Número de Cauchy

Cu »

Inercia Tensión superficial

o

- AP..P.PV . py2 v2 , PV2

Coeficiente de presiones

Número de Prandtl

Número de Eckert

C

* A P/f V2/2g

pr , J*&L k £c

-

Relación de calores específicos

Y

Número de Strouhal

st «

Rugosidad relativa

Número de Grashof

Presión Inercia

Disipación

Convección de

Conducción

calor

Entalpia a

Energía interna

— — V

Velocidad media

Tw

Pruebas aerodi námicas

Presión de velocidad

Entalpia

Oscilación

Rugosidad Longitud del cuerpo

Gr - ■ 8 A T q L V

Flujo con super ficie libre

Inercia

Energía cinética

JÉ L

Flujo con super ficie libro

Presión estítica

V2

.

Flujo compresible

Módulo Volumétrico

Cp To

v2 Relación de temperaturas

S ier-spre

Viscocidad

V2

Número de Weber

IMPORTANCIA

EFECTOS

Flotabilidad

Disipación

Flujo compresi ble flujo oscilato rio Turbulento, pa red rugosa

Viscosidad

Convección na tural

Temperatura de la pared .*

Transporte de

Temperatura de la corriente

calor

14


SEMEJANZA Y ESTUDIOS Eli MODELOS Debido a que a todos los fenómenos físicos no se les puede explicar \ a través de una expresión matemática, se hace necesario realizar experimentos \

para poder predecir y conocer alguna propiedad en particular; es por ésta ra- I

zón en que nace la denominada "TEORIA DE MODELOS'1, la cuál permitió trasladar i

el comportamiento del MODELO al denominado PROTOTIPO, a través de un factor de j

¡

semejanza llamado "ESCALA" ( puede ser escala de longitudes, de velocidades, de aceleraciones, de tiempos, de fuerzas, etc), MODELO

Es una reproducción a escala adecuada del denominadoprototipo.

No

;

siempre el modelo es más pequeño que el prototipo. PROTOTIPO

Es aquel objeto construido para ser sometido a condiciones rea les de trabajo. •

■ '

TIPO DE SEMEJANZA

Semejanza geométrica

•

■ ' '

'

'

'

! V

m

Un modelo y prototipo son geométricameríte semejantes

si, y sólo si, todas las dimensiones espaciales en las trescoordenadas tie nen la misma relación de escala lineal'.

En la semejanza geométrica todos los ángulos se consevan. Todas las ¡ direcciones de flujo se conservan. La orientación del modelo y el prototipo,

>

con respecto a los objetos de los alrededores debe ser auténticamente idéntica,! Todas las condiciones mencionadas indican que, sólo habrá semejatiza\ geométrica si el modelo fuera una fotografía del prototipo (tomada de cualqui er posición, en forma reducida ó ampliada ). En las figuras que se muestran a continuación, habrá semejanza geo métrica entre el modelo y el prototipo si:


P R O T O T IP O

Semejanza cinemática

15

HODELO

Para que exista semejanza cinemática, necesariamente

debe existir semejanza geométrica. Además, que todas las relaciones entre ti empos homólogos tengan un valor comün, relación de escala de tiempos. Esto se puede expresar : "Los movimientos de dos sistemas son cinemáticamente semejan^ tes si partículas homólogas alcanzan puntos homólogos en instantes homólogos".

Lm

vp

tm

lm t p

Lp

Lp

tm

TP

Lm Si : — Si- = a = ESCALA LINEAL LP

V = a (f1

P

Tm - 2 - = g = ESCALA DE TIEMPOS 1P

V V

y

— V

P

= Y = ESCALA DE VELOCIDADES ó CINEMATICA

16



17

Las equivalencias de las escalas de tiempos puede exigir considera, clones dinámicas adicionales, tales como la igualdad de los nOmeros de Reynold y de Mach. Un flujo de fluido incompresible, sin fricción y sin superficie li-j gP

bre, es cinemáticamente con escalas de longitud y tiempos independientes, y no! son necesarios parámetros adicionales. Los flujos sin fricción y con superficie libre, son cinemáticamente^ semejantes si sus números de Froude son iguales. Si ios efectos de viscosidad, tensión superficial o de la compres i4 bilí dad son importantes, 1 a semejanza cinemática está condicionada a que haya ¡ semejanza dinámica,

Semejanza dinámica ^

'■ ' 1 Para que exista semejanza dinámica, es necesario que ex-|

ista semejanza geométrica ( en caso contrario no se debe proseguir ). La seme-S janza dinámica existe simultáneamente con la semejanza cinemática, si ¿odas

I

las fuerzas aplicadas en el modelo y el prototipo, en puntos correspondientes,i

77777777777777777777777 Las figuras muestran una semejanza dinámica en el flujo por debajo de una compuerta. El modelo y prototipo tienen poligonos de fuerzas semejantes en puntos homólogos, si los números de Reynold y Froude son Í9U3Ies en ambos ca^ sos.

guardan la misma proporción.

Si se desea lograr la semejanza dinámica completa, deberán conside- OBSERVACIONES ; rarse todas las fuerzas que sean importantes en determinada situación. De este! modo, deben tenerse presentes los efectos de las fuerzas viscosas, de las fuer

a) La similitud dinámica implica que se verifica la similitud geonré trica y la cinemática,

zas de presión, de las fuerzas de tensión superficial, etc. b) La semejanza IDEAL, es aquella en la cual todos los números adi También a la semejanza dinámica se le denomina “simi 1 itud de fuerza! mensionales, apiicados al modelo y al prototipo, se verifican. c) Si un objeto está sumergido en el mismo fluido ( como modelo y mp aP

como prototipo )f y la escala es igual a la unidad, entonces se c¡imple que to dos los grupos adimensionales se verifican. d) No siempre el modelo está inmerso en el fluido en el cual se en

Sean

cuentra el prototipo. e) ,Cuando se apiica la semejanza a las diferentes TURBOMAQUINAS o en general a máquinas que trabajan con fluidos, se asume la eficiencia total í = <¡> - ESCALA DE FUERZAS M-

( mecanica, volumétrica.e hidráulica ). p

n

I

= n

m

n

v

ri . n


18


0

2. EJEMPLO

Se cree que la potencia alimentada a una bomba de flujo axial depen de del gasto volumétrico, de la carga, de la velocidad y del diámetro de la

19

0

3

2

-1

«2

-4^0;

entonces : RANGO

bomba, así como de la densidad del fluido, es decir, Como el rango de la ¡natriz de dimensiones es 3, se seleccionará tres P - f(Q, H, N, D, donde

p)

parámetros repetitivos. Estos serán : p, D, N

Q = gasto volumétrico 5°)

H = carga (r>j energía por unidad de masa ) N = velocidad angular i

TTj= Px &

Nz P = f f

( M L~3 )x ( L Y

L° 1° = 1

( T -1)2 ( M L2 T~3 ) = hf

L°

1°

D = diámetro p = densidad

_

o Se requiere una bomba de flujo axial para proveer 25 pies /s de agua;

M : x + 1 = 0

x ■= -1

L : -3x + y = 0

y --- -5

T : -z - 3 = 0

z = -3

El parámetro adimensional será P

V

con una carga de 150 pies Ibf/slug, El diámetro del rotor es 1 pie y se debe o¡

p D5 N3

perar a 500 rpm. El prototipo se debe modelar er, un pequeño aparato de pruebasj que tiene 3 caballos de potencia disponible operando a 1000 rpm. Calcule la

{

carga, el gasto volumétrico y el diámetro del modelo para que el funcionamien-j to resulte semejante entre el prototipo y el modelo.

tt2*

px

D7

Nz

Q; a mP L°

m r 3)x ( l f

T° *

1

( r 1)2 ( l 3 r 1) =

l° t °

’ i M : x = 0

x = 0

SOLUCION

L : y +,3 = 0

y - ~3

Cálculo de los parámetros adimensionales ( TEORCMA DE BUCKINGHAM ) :

T : -z - 1 = 0

z = -1

El parámetro adimensional será :

V

Q — *— D N

1°) p, Q, H, N, D » P tt3=

2o) M. L, T 3o) [ P ] = [ M L2 T'-3 ] [ Q ] = [ L3 T'1 3

[H]=[L2 r 2 ]

[ D > [ L ]

[ N ] = [ T-1 J

[ p ] =[H

4o ) La -MATRIZ DE DIMENSIONES" es la siguiente :

px D5' N z H = M° L° T° = 1

( m l-3)x ( l L-3 ]

y

{ T-1)2 ( L2 T'2) = if L° 1°

M : x = 0

x * 0

L .y + 2 = 0

y - ~2

1 : -c - 2 = 0

z = -2

El parámetro adimensional será ; H D2 N2

0 2 -2

F L T 6°) Verificando :

-1 = 1

( F

L“V )

( L )5 ( r 1 )3


20

L3 T" 1 « 1

v

r r ? T F T L2 T"2

v

T T T T F 1? ’

Para que exista similitud entre el prototipo y el modelo s satisfacer

/lP "

P

P

Pp DP NP

Pm °M " J

--- §— 3=--- f - y

111M

1T2P= ,r2M

D3 N P

P

D3 N M

Hp n 3P= 113M

D

Observese que : Jh q ] s

P

M

Hm N

P

ü¿ N M

M

L5 T 3

Reemplazando en ( I )

hp pp

°P NP

DATOS :

Q = 25 pie H = 150 P i e - M

slu g D = 1 o le

= 4 .6 6 E Í £ - l b f Ib

PM °M NM

A nálisis dimeasiou.a.1 y mmiimrí.dmd

21

Np= 500 rpm

p„= p h n = 52,4 lb /P ie3

p = 3 hp = 1650 M

seg 1000 rpm

e debe d Asumiendo : pm= pR Q= 62.4 1b/pie~

. ( i )

Despejando y reemplazando datos en ( IV ) :

Dm

en ( II ) : en (III ) : .

slug

( i i ) »

.

“m

( ni

SEMEJANZA CUANDO SE CONOCE LA ECUACION DIFERENCIAL En aquellos casos en que sé conozca la ecuación diferencial, que va ha describir el fenómeno en estudio, pueden deducirse los parámetros adimensio^ nales y las leyes de semejanza de su invarianza resultantes, aunque la ecuaci ón diferencial no esté resuelta. Para establecer la semejanza partiendo de las ecuaciones diferencial les que describen el flujo, es un procedimiento bastante riguroso. Si se comienza de las ecuaciones apropiadas y se efectúa cada paso de manera correcta,se

. ( rv ) puede asegurar que todas las variables pertinentes han quedado incluidas.

A continuación se presenta un grupo de problemas con sus soluciones indicadas ó sólo con sus respuestas, con el afán de que el 1ector conozca más acerca del presente capitulo. Por ello, es que se le recomienda resol verlos.

zz

Análisis dim ensional y similar idad

GRUPO DE PROBLEMAS NQ1 01. PR0B.~ En el transcurso del desarrollo de la MECANICA DE FLUIDOS, las va riables que frecuentemente participan son 8 : la diferencia de presiones ( A la longitud característica ( L ), la velocidad ( V ), la densidad ( p ), la viscosidad absoluta ( y ), la aceleración de la gravedad ( g ), la velocidad del sonido ( c ), y la tensión superficial ( a ), Determinar los números adi mensionales que caracterizan a los flujos.

SOLUCION Matriz de dimensiones:

Ap

.L

V

r-

p

y

g

c

cr

0

0

1

i

0

0

1

L

-i

1

1

-3

-i

i

1

0

T

-2

0

-1

0

-i

-2

-1

-2

M

RANGO = 3, entonces : p, V, L parámetros repetitivos Los números adimensionales son ;

>

Ap "i* ~ 7 T

= Eu

P Va

c -1 = ---- = M 4 V

Tr2=

T

Re

l

g

—-

Fr~

p V L

tr

= We '

p V

L

02. PROB,- Al sumergir un pequeño tubo en un recipiente que contiene un 1 íqui do, se forma un menisco en la superficie libre d e M d o a la tensión superfici al. Los experimentos realizados señalan que la magnitud de este efecto capilar ( A h ) es una función del diámetro del tubo ( D ), del peso específico del lí quido ( If ), y de la tensión superfici al ( (T ). Determinar el número de pará-

Ah

■^TUBO

t

Análisis dim ensional y siroilaridad

23

nietros repetitivos y hallar los parámetros adimencionales correspondientes. S O LUCION Matriz ele dimensiones : M

Ah

D

Y

a

0

0

1

1

L

1

i

-2

0

T

0

0

-2

-2

Cálculo del rango de la matriz de dimensiones

1

1

-2

0

0

-2

0

0

0 .'• 0 0

0

1

0

1

1

«2

0

0

*“ 2

-2

!1 O

1 o 1!

0

0

0 -2

Podemos observar que de todas las matrices de ordén 3x3

1

= 0

formadas, sus determi^

nantes son nulos, razón por la cual el rango no va a ser 3 ( bastaba con que uno de ellos tenga un determinante no nulo para que el rango sea 3 ). Probemos con las matrices de ordén 2x2 ; 0

0

1

1

= 0 1

1

0

1

0

0

1

«2 - «2 1 ro

«2

0

= - 1 * 0 1

0

0

0

0

0

1

0

-2

* 0

i

0

Existe dos matrices de ordén 2x2 con determinantes no nulos, entonces el rango es 2. (bastaba con una de las matrices). Se seleccionará dos parámetros repetitivos : D, y Los parámetros adimensionales son : Ah

a

24


03. PROB.- Se cree que la potencia ( P ) necesaria para mover un ventilador de pende de la densidad del fluido ( p )» del gasto volumétrico ( Q ), del diáme tro del impulsor ( D ), y de la velocidad angular ( w ). Utilizando el análi sis dimensional, determine la dependencia de la potencia con las otras varia bles. Selecciónese la densidad, diámetro del impulsor y la velocidad angular como grupo de variables independietes. SOLUCION Matriz de dimensiones

P

p

Q

D

OJ

1

1

0

0

0

t

2

«3

3

1

0

T

-3

0

-1

0

-1

J

M

RANGO = 3 ,

entonces : p, D, to son los parámetros repetitivos.

Los parámetros adimensionales serán :

Q . n5 3 p D oí Hacemos : ir1= f(tt2 )

P = p D5 u 3

■1r2= _3 D 03

fí-*— D - ü)

04. PROB.- En los sistemas de inyección y aspersión de combustible, el chorro de liquido inyectado se rompe formando pequeñas gotas de combustible. El diá metro de las gotas resultantes (. d ), se supone que depende de la densidad del 1 íquido ( p ), la viscosidad ( p )» la tensión superficial ( cr ), la velocidad del chorro ( V ), y el diámetro del chorro ( D ). Determine la dependencia del diámetro de las gotas de combustible en función de las otras variables;

SOLUCION Matriz de dimensiones

ZS


RANGO = 3 ,

d

P

P

0

V

D

Q

1

1

1

0

0

L

1

.~3

-1

0

T

0*

0

-1

entonces : p, V, D

1

1

•1

0

son los parámetros repetitivos.

Los parámetros adimensionales son : d V "

y

a

tt2=

D

Hacemos : 7^ = f (tt2 »

Tr3r * p V

p V D

d - D f(« p V D

D

p v2 D

05 PROB.- £i coeficiente de arrastre para un flujo alrededor de un tubo cilín drico es 1 y para un ducto cuadrado es 2. Calcular la relación de momentos f]actores en la base de dos chimeneas, una de sección recta circular y otra de sección recta cuadrada; diseñados para igual flujo y velocidad de descarga, sí ambas están sometidas a igual velocidad del viento y tienen la misma al tura. NOTA

F =—

C p V2 A

F = fuerza de arrastre p = densidad del fluido V .= velocidad del flujo A = área proyectada

SOLUCION Recordamos que el momento está dado por : M = F L/2

“1 \L

77777777777777

Zi>


Í

vp

Co - 1 M0 = F0 h 1 —2

o

Por lo tanto :

V

n

M o =Fo V2

\p" ñ h o ro o o - —

«

- i C a p D Vq Aa ^

2 Observese que : p

o

C cd

h D

Cp h a

2

= p

V = V o o

0

Q—. = Q sn ô y?D

Cómo : Qn = Qq

Reemplazando

Aa

o

C. »

1 2 D

2

Jí?

1 J?


06,

27

La fuerza de resistencia al movimiento de un barco ( F ), es funci

ón de su longitud ( L ), velocidad ( V ), gravedad ( g ), densidad ( p ) y vis COsidad ( \i ). Escriba dicha relación en forma adimensional. Respuesta :

F = p L 2 V2 f( L i , — tí— ) V p V L

OJ'. PR0B.~ Un modelo de ala tipo placa plana tiene un ancho de 1.5 m

y una

longitud (cuerda) de 0.3 m. El modelo se prueba totalmente sumergido en agua, a una velocidad de 6 m/s, con un ángulo de ataque 0o , la temperatura del agua

es 20°C (v= 1.007 x 10’”7 m2/s ,

p = 1000 Kg/m3 ), y se midió una fuerza de

4.5 N. Calcular las dimensiones del prototipo, que se moverá en aire a 1 bar y 15°C ( v = 1.6 x K f 6 m /s )» con una velocidad de 36 m/s y un ángulo de a-

taque de 0o . ¿ Cuál es la fuerza de arrastre del prototipo ?

SOLUCION aM= 0.3 ¡n í = 1,5 m M

v = 1.007 x 10-7 M

m2 /s

PM- 1009 Kg/n?

FM = 4 .5 N VM= 6 m/s Vp= 36 m/s Vp= 1,6 x 10* m z /$ Observando los parámetros que intervienen en el problema,nos damos cuenta que podemos formar los números adimensionales Re y Eu mediante el análj[ sis dimensional. Además, Ud. podrá notar que el flujo que participa en éste problema puede ser descrito por Re y Eu ( revise

la

parte teórica ).

:1

Análisis dimensional j similaridai!

ZB

Api icando Reynold ; Re =

X =— VM

Entonces :

VP

= 0.377625

LP

£p= 3,972 m

ap* 0.794

Aplicando Euler : a PM

.

&Pp

PM VM

Fm

A ~

AM PM VM

a

V

V

PP VP

Fp

.

»2

:

’

’

PM VM

Ft>= FM ^

P

pp v;

APm

. \

AP

%

PP VP

(^l)2. 0.939 N ;

M

PM A«

VM

'2- ^ X AP

R T „ K1 p = .— _£. = 0.82656 Kg/m , R = 0.287- J ü - , T = J5°C = 288°K , P = 100 KPa Pp V Kg *K 1

08. PROB»- se requiere simular el flujo.de aire ( p =1,3 Kg/m3 , p -1.8 x lü~5 N-s/m2 ) en un duelo, mediante un flujo de, agua { p =990 Kg/m3, y =1.34x 10~J N-s'/m2 ); a escala 1/4* Si el gas tiene una velocidad media de 26 rn/s : deter minar la velocidad en el modelo, SOLUCION Aplicando Reynold :

V

M

= V

■ Pp ’

*

x —

Dp

x — -£■ x -— —

»

PM

p,

= 10.167 m/s

M

09. PRQB»-. Unos estudiantes de la U,N,I, al estar viajando sobre aguas profun das, después de varios dfas de estudio*concluyerón que la velocidad ( V ) de una onda gravitacional en la superficie libre es una función de la longitud de onda.( X }, de la aceleración déla gravedad ( g ), de la profundidad ( h ) y

Análisis dimensional j si milaridad

29

de la densidad del agua ( p ), Determinar la dependencia funciona] de l a velo cidad ( V ) con respecto a las otras variables,

Respuesta

: V = VgTh

f(x/h)

10. PROB.- Las variables independientes

en una turbomáquina son la velocidad

angular ( a> )» el diámetro del impulsor ( D )? la densidad y la viscosidad ab soluta del fluido. Las variables dependientes son el gasto volumétrico ( Q ), la carga eqival ente a energía por unidad de masa ( H ), y la potencia alimen tada ( P ). Utilizando u, y D como parámetros repetitivos efectúese un análi sis dimensional. (a)

Determine los parámetros adimensionales que caracterizan este problema,

(b)

¿ Bajo que condiciones resultarán semejantes los flujos en dos maquinas diferentes?

(c)

Determine la velocidad de operación de la máquina 2 para el mismo flujo que la máquina 1, si D / D ^ y si los efectos vis cosos no son importantes. ¿ Cuál será la razón de cargas (al tu ra piezométricas) bajo estas condiciones ?

Respuestas : W 2 = (ül/8 *

H2 = Hi/16

Estudio del flujo viscoso

30

CAPITULO 2

ESTUDIO DEL FLUJO VISCOSO

INTRODUCCION Dentro de la subdivisión de flujos viscosos, podemos considerar dos clases, principales : flujos llamados incompresibles, en los cuales 'la V a r i a c i ón de la densidad es pequeña y relativamente poco importante; y loc- flujos co nocidos como compresibles, en donde las variaciones de Ja densidad .1 ucean un papel muy importante, como en el caso de los gases a velocidades muv En el presente capítulo se estudiará a los flujos vI scosos iricomprp sibles, dejando para después el estudio detallado de los flu.jos compres ic ies t que se verá en proxirnos capítulos.

Para empezar el estudio del flujo viscoso incompresible, só hará c ) ta de los conceptos y definiciones básicas de las matemáticas y de lo va e s t u diado en el libro "MECANICA DE FLUIDOS". El 1ibro Mecanica de Fluidos tt tiene como objetivo, al desarrol lar e 1 estudio del flujo viscoso, dar lo necesario para que el lector pueda resolver 'problemas referidos al presente capitulo. Si el lector desea mayor información;

31


se ie recomienda leer textos que tratéln con mayor detalle el ESTUDIO

DE

LOS

FLUJOS i por ejemplo el libro ''ADVANCED MECHANÍCS OF FLUIDS" por D. W.Appel, P. G. Hubbard, L. Landweber, E. M, Laursen, J . S. McNown, H. Rouse, T. T, Siao, A.

Toch, y C. S, Y ih ; como también otras obras, Pero desde y á , los estudiantes de ingeniería deben recordar que bastará tener muy en claro la deducción y conclución de los análisis que se real izarán en éste capítulo, para poder apiicar las fórmulas que se vana deducir,

VISCOSIDAD - Es una medida de la resistencia del fluido al corte cuando esta en movimiento. - Es una propiedad dinámica de desequilibrio. - Es la resistencia al desplazamiento relativo entre elementos flui dos adyacentes. - Es una propiedad de los fluidos que causa fricción, es decir, es la propiedad de lo

fluidos que ocasiona los esfuerzos cortantes en un flujo , asi

también, constituye uno de los medios para que se desarrollen las pérdidas e irreversabilidades

Si no existiese viscosidad, no se tendría resistencia al flij

jo. - Se llama flujo newtoniano a áquel flujo cuyo esfuerzo cortante, al que esta somet-^

/ /

nn©Ho v aluar mediante la > iguíente relación:

/ / 7* *7

u - velocidad del fluido en la dirección x.

j f r m r j n 'i i m r h r r TTTrr m t

= esfuerzo cortante

y = viscosidad absoluta

32


- Para los esfuerzos


el caso general» la deformación de un fluido en el espacio

F L U J O Se denomina de esa manera, en forma genérica* al movimiento de un flu

cortantes deben ser evaluados en cada plano (xy, yz» xz), según ido,sea cual fuera su origen.

las ecuaciones de Stokes : / 3VX txy=

W

3VY X + -------- ) = f.

3x

’ 3y

'

CAMPO DE VELOCIDAD!®

‘ YX

El campo de velocidades V- V(x, y, z, t), define la distribución de velocidades como función de las coordenadas del espacio XYZ para un instante t

tyz ~

( 3Vy

:— dz

+ 9Vz

+ ~3y )= TZY

cualquiera. El campo de velocidades.puede ser expresado;en coordenadas cilindricas

XZ

dz

ax

y en coordenadas-esféricas.'Ello de

zx

penderá de la situación en que ros err contremós.

- También la ley de viscosidad de Stokes relaciona Tos esfuerzos normales con el campo de velocidades * LINEAS DK CORRIENTE •

>

o

_

3V Se denomina de esta forma a la envolvente de los vectores velocidad

° x x = _P " — l) V,V + 2v¡ ~

3

3x

de las patfculas fluidas en el flujo»

3V íT

V *

77

0

~P “ ~ ~ P V *V + 3

?

= -p

ZZ

„

3y

REPRESENTACION DE UH VECTOR

3V

V = V i + V j + V k = (V . V , V ) x y z x y 2

V,V + 2pi — -

3

az Ud* también puede representar a cualquier

en donde p es la presjón termodinámica, Ademad :

= ^-(o 3

xx

+ a

yy

+ a

zz

* Esfuerzo promedio

vector en coordenadas cilindricas ó esféricas :

) = -p

r ICxi'j,z)

r~ y ....

x =

r eos

6-

y =

r sen

% # 3 arcotan(y/x)

r =V x

+ y

z =

z

1

=

7

o

34

3V ■Coordenadas esférica s S

y = r sen# sen#

r ayx ■ *

z = r cosí?

3V

v , y - - £ _ ■1,1"r1j'„-|

x * r sen# cos-fr

+ y

0

+ z

M

Estudio d el Atrio--«tecbgfr-

Estudio d el Alijo. viscoso

3x

,» < x ,V >

3V

(coordenadas rectangulares)

+ - J L + — 2-

3y

3z

x/xTTT'

0 * arcotang V «

) • ( i v + r ae

ar

•0* = arcotang (y/x)

y

OPERADOR V- , .

i % ( \i \

1 av

avL

r ae

az

y = JL Í J > r y r ) + ± — 2. +

V

r

ar

+ í v

)

az

^

(coordenadas cilindricas)

í Es un operador vectorial definido por ¡ La divergencia de V, es decir V*V , representa el gasto volumétrico 7 . t ¿-+

ax

ji- + k2-

ay

( Coordenadas rectangulares )

az

neto de fluido que pasa por un volumen de control infinitesimal, en la unidad de volumen. Para un flujo incompresible, V.V = G, es decir, el flujo neto del fluido desde un volumen de control diferencial debe anularse.

7=

1r ¿ - + 1e

r

T 3r

30

+ í2 — 3z

( Coord. ci 1 fndricas EL

ROTACIONAL Es el producto vectorial entre el operador V y un campo vectorial V.

EL GRADIENTE Se llama así a la operación entre el operador V y una función (o car po) escalar derivable E V x V = rot V =

7E = i — + j — + k — 3x El significado función escalar E

3y

3z

de VE es :nrapidez de cambio espacial máximo de la

p^ro que el gradiente de E, es de

LA DIVERGENCIA Se llama así al producto escalar entre 1 y una funqión (o campo) vec tor'ial V.

j

jt.

L.

JL

ax ay

ax

vx

en magnitud,dirección y sentido?

Nótese que E es un campo escalar cir VE, es un campo vectorial,

i

En

n

k

vy

av

av

av

av

av

av

ay

az

■ az

ax

ax.

av

= 1(__5--- 3L)+ j(_ _ * --- í)+ k ( _ X _ _ 5 )

vz


coordenadas cilin dricas 7i

1 av

• í 1

V X V “ 1 ( r r

ae

z

av

av06

•**“““™" / - 'a \ az az

i

ar

v

2

r ar

ae

También se demuestra que : V x V = 2uT , doVide w es el vector de rota ción de una partícula fluida. Por lo tanto, el rotacional de un campo de veloci dades se relaciona con la rotación de un campo de flujo. -


36

EL L A P L A C 1 A N O Es el

V

2

operador 1 elevado

V-

= V , V s -2—

+

3x

7 2= —

r

s2

al cuadrado :

32

.+ — y

3y


3z

— (r ¿-) + i » 3r 3r r2 96

+ -¿W 3z

(coordenadas cilindricas)

IDENTIDADES VECTORIALES IMPORTANTES Io ) Para toda función continua y derivable ; Ademas en toda función continua y derivable,

V x V 53 0 el brden en su derivación nc

es importante*, es decir : 2

?

3x 3y

3y 3x

3 —_ 3_é ■.mwmnmimmm

^ ^

2o ) (V.V)V = - V(V.V-) 4 x ( ! x .2 •

üULcJLíL 3x 3z 3z 3x

^

3y 3z

3z 3y

V)

DERIVADA SUSTANCIAL o TOTAL La derivada sustancial ó total de una función F, se define :

K * 1L
el hecho de que

laderivada

respectoal tiempod

al izarse siguiendo a la partícula, de que se trate, seútil iza la notación —

D Dt

d en vez de — dt

«


37

ACELERACION DE UNA PARTICULA DE FLUIDO EN ON CAMPO DE VELOCIDADES Conociendo el campo de velocidades V- V (x , y, z), se va a determi nar la aceleración ( a ) de una partícula de fluido

El cambio de velocidad, de la partícula, al moverse de la posición r a la posición (r + dr) está dado por :

dV * — dx + — dy + — dz i+Ü L dt dt dz 3x 3y

■dV Como la aceleración es : a - — , entonces dt

a

¿ i 'Él + i i É L + ñ . É L + I I 3x" dt By dt 3z dt 3t

38

Estudio:d el ■flujo yUtcjotio


FUERZAS QUE ACTUAN SOBRE UNA PARTÍCULA DE FLUIDO EN UN CAMPO DE

11

dF = dm

£1 diferencial del vector fuerza está dado por ;

VELOCIDADES

dV dt

Las fuerzas que actúan sobre una partícula de fl uido se pueden cía. Sus componentes rectangulares son : sificar como fuerzas volumétricas y fuerzas superficiales. Las fuerzas volumé. tricas, son aquellas que actúan sin contacto físico, y que se distribuyen

so

bre el volumen de fluído. Las fuerzas superficiales, son aquel las que actúan

av•% + vy

dm( V

dF

■ x

+ vz

3x

a través del contacto directo, sobre 1as fronteras del volumen de fluido; las fuerzas superficiales incluyen a las fuerzas normales y a las tangenciales

3V

av

o

dF

3V

_L

dm( V

+ V y

3x

cortantes. Teniendo en consideración el siguiente volumen de control diferenc

dF

av z

* dm( V

z

x

+

ax

al de fluido, vamos a establecer las relaciones que nos ayuden a calcular las

V y

_JL + v z 3y

av z

+ vz

sy

avX

av + _JL) 3t

3Z 3V —JL 3z

av z az

av

+_Z ) 3t

av + *— — )

at

fuerzas actuantes sobre una partícula de fluido :

Cálculo de la fuerza superficial en la dirección

dF

Sx

- (cr

+

xx

+ (x

yx

+

3aXX

dx

3X

2

zx

é

3a

••

dFS x = ( —

3x

)dy dz — (a

3t y x d/ ay 2 3t

+ (t

+

zx dz

3t

ay

; 3a xx ¿ i )dy dz 3x 2 9t

yx

)dx dy - ( t

2

3z

♦

x

)dx dz

3y 2 3t )dx dy 3z

2

3t

+ — ~ ) d x dy dz

az

Corno la fuerza volumétrica por unidad de masa es :

B = B

x

i 4- B

y

i 4* B

z

entonces la fuerza volumétrica en la dirección x es : ,dm = B

<

.p.dV

x «

k

r 40

Est odio del flujo viscoso


Por lo tanto» la fuerza total en la dirección x será :

3a dFx= = C p.B_ x dFsx bx + dFBx jxx X +

Bx

o 3V + i _ ( . p _ 1 „V.V + 2U - i )

Bt

+ — By

3X

F x

+ ~ Bz

3

3x

Bt d v = d F ^ + d F ^ = ( p.B, + — SL 3x

+ -22. ay

z

3x

y

3y

3y

3x

3z

3V + -* ))

3z

= P-

3x

3V

_

.

3V

,

3V

3y

sy

3x

3y

„

.

,

3V

3V

+ ~ ()i(—

3x

3z

M ) = p.a

3y

pB +-L(-p -i-yV.V +2yÜ£) +JL(p(.Ü*+^)) +_L(ll( i +IÜ¿)) - p.a?

3o

+ ~ ~

3y

+ i- ( « p - - í - p v . v + 2p— *-) + -5 -(p (— 5- + —

p8

+ _ 5 L )dx dy dz 3z

33tt

3t

dK = dFc¡y + dPBz = ( P-Bz +

3t

30

„ 3V 3V , 3V + 2 - b í - 2 - + -J L )) + M H (

)dx dy dz ,

A nálogam ente :

41

r z

+ — -)<** dy dz dz

Bz

3

Bz

Bx

3z

3x

By

32

By

Las tres ecuaciones anteriores reciben el nombre de "ECUACIONES DE NAVIER-STO KES. Bajo ciertas cons ideraciones, que se hacen para resolver un problema, és

ECUACION D E LÁ.CA NTID AD B E MOVIMIENTO

tas ecuaciones se simplifican. Por ejemplo, cuando se aplican a flujos incom Como dF

dF * dm . — = p. d¥ . dt dt

y

simplificar el diferencial de volumen 30

p.B

f luego de reemplazar en cada componente

x

+

y,

3X

3t

3y

3V

p ( - £- + » Bt

3z

I corno sigue : BV

BV

3V

Bx

d¥ ~ dx dy dz , nos queda :

de' presibles en donde la variación de la densidad es cero y la variación de la I viscosidad del fluido se puede despreciar, las ecuaciones quedan simplificadas

Bx

3V

BV

+ V y

—

+ V

By

—

z

)

= p.ax

p(

_

*

+

X

Bt

p.b

.+

y

- j a + -jüL.. 3x Bt

p.B

30

By Bt

Bt .

BV ~ p( — ^ Bt

Bz

da

+ — 21 + -J L £ + _ 5 * .

2

Bx

By

3Vw BV BV •I * V — — h V — ¿L + V — 3 L ) - p.a. x Bx y By z Bz X ' !.

av

3V

Bz

. p(

Bt

+ V

BV * v

Bx

*>y

+ v

—

2L + y Bx y

BV __ x ■) = pB «*

3V

Bx-

Bz

sy

+ )j{

b 2v

b 2v

0 Bx"

3y

32V y Bx2

32V 0 3y"

2

3z BV

3t

V

3V.

p.a_

p( _2L +

Bt

BV

BV V - J L + V -JL + X Bx y

3V

) . PB - Í E . + p (

Bz

ay

3 2V

3z2 "> a v ■4- _ x . Bz"

»

p(

BV _JL 3t

BV +

V

—

X

BV

*- +

Bx

V — 5.+ y

BV

__ z_

} = pB ~-2£. + ¡j(

Bz

3y

z

Bz

i

.

= >

j>á

=

-

Vp + yV V

3z

a2v 32V z 4.___ L .V z Bx2 Bz? 3y2

b 2v

..........(E c. S i n t e t i z a d a )

Si el flujo además de ser incompresible es un flujo si rozamiento ( p = O ) entonces las ecuaciones de NAVIER-STOKES se reducen a : Ahora, recordemos que los esfuerzos normales y cortantes se pueden expresar el términos del gradiente de velocidad y la viscosidad dei fluido (ver ecuacioneí de Stokes de viscosidad)* Reemplazando ;

p — » pB - Vp Dt

)

ECUACION DE EULER


42

\

FLUJO LAMINAR Y FLUJO TURBULENTO

También los flujos viscosos se pueden clasificar en flujos lamina- \ res y flujos turbulentos,

Flujo laminar

1

Son aquellos en el cual el f1uido se mueve en laminas paral e-j

las, donde no existe un mezclado macroscópico de las capas de fluido adyacen- ; tes.

Flujo turbulento

i j La estructura del flujo en un regimen turbulento, se carao*

terizan por los movimientos tridimensionales, aleatorios, de las partículas de| fluido, supuesto al movimiento promedio. Es decir, se denomina flujo turbulen-; to cuando las trayectorias de las partículas fluidas se cruzan y entre cruzan \ i continuamente, sin guardar ningún orden. f

DIFERENCIAS ENTRE UN FLUJO LAMINAR Y UN FLUJO TURBULENTO

|

- Para un flujo laminar estacionario, la velocidad en un punto permanece cons-j tante* A cambio en un flujo turbulento, el registro de velocidad indica una fluctuación aleatoria de la velocidad instantanea,

ill

u, alrededor del valor m£ dio temporal u. De éste modo, en un flujo turbu^lento : u = u + u' Debido a que el flujo es estacionario, la velo

------

cidad media, ü, no cambia con el tiempo. - En un flujo laminar unidimensional, el esfuerzo cortante se relaciona con el gradiente de velocidad mediante la ley de viscosidad de Newton. - Para un flujo turbulento, en el cual el campo de velocidades medias es uni di mensional, no existe relaciones tan simples como las señaladas, u' ,v' ,w' son ve locidades (en los tres ejes respectivamente), que transportan cantidad de movi


43

miento transversal a las líneas de corriente de flujo medio» incrementando

el

esfuerzo cortante efectivo. En consecuencia, no existe una relación universal

para anal izar el comportamiento de un flujo turbulento. El estudio de este ti po de flujos se basa de modo substancial en teorías semiempíricas y en resulta dos experimentales.

FLUJOS DESARROLLADOS Para expli car a los flujos desarrollados se tomará en consideración la figura que a continuación se muestra, en el cual se presenta a un flujo la minar que ingresa y recorre un tubo de sección transversal circular :

— ---- — LONGITUD

DE

ENTRADA

(L)

De aquí para ade

lante el perfil de velocida^

En esta parte del flujo el

des se encuentra completa-

perfil de velocidades recien

mente desarrollado, es

se estádesarrollando, es de

cir, ya no vá a cambiar de

cir, dicho perfil vá cambiari

forma. Esta forma dependerá

/

de/

do de forma mientras avanza

del tipo de flujo» laminar

el flujo.

o turbulento. También, de a .quí para adelante la acele-

total es cero. - Para un flujo incompresible, la velocidad en el centro del tubo debe de in crementarse con la distancia desde 1a entrada, con el objeto de satisfacer la

/

A.« cte )„ Además, debe do satisfacer la sitú el que se dá

ecuación de continuidad (

45



44

entre dos placas planas paralelas infinitas.

ente relación :

Consideraciones

- — A

l u.dA ~ constante / JArea '

(pEir.Ta dirección z las placas son

V = velocidad constante

comp Tetmnente 1 n f ini tas. Se con s ide -JA

ra;constante las propiedades;'del fTuido en tal dirección z..

í0* 06 Re

Para un flujo laminar D

@ E - 1".flujo es 'éstacioiiarto/'é-r-incorn^

Cómo para flujo laminar dentro de un tubo : Re 4 2300 Las0.06 Re D é 0,06 x 2300 D = >

,:.presib1e { y 'no varía y

L¿ 138 D

-pcte

).

© N o existe componente de la veloci dad en las direcciones “y" o Hz:'.

- Si el flujo es turbulento, el mezclado entre diferentes capas de fluido ori-f gina que el crecimiento de la capa límite sea mucho más rápido, Los exp~r imerv tos señalan que el perfil de velocidades medias resulta totalmente desarrolla*

@ L a velocidad sólo es función de "yM más no de Sfx % porque el flujo es comple tamente desarrollado.

do en una distancia a partir de la entrada que vá de 25 a 40 veces el diámetri (5)Las fuerzas volumétricas se desprecian, es decir : B ~ 0 del tubo. Sin embargo, las características del movimiento turbulento pueden n| desarrollarse sino hasta 80 ó más veces el diámetro del tubo.

\

Por consideración

2

las ecuaciones de Navier-Stokes sintetizadas es i 0 , flujo desarrollado p.'IL ■- vp + uv2v

Vp + uV V = o

~

^ 0 , por (5)

APLICACION DE LAS ECUACIONES DE NAVIER-STOK ES AL FLUJO LAMINAR

COMPLETAMENTE DESARROLLADOS

| \

Por (3) y (5), la ecuación se reduce a : -

+ (

)v = o

oX

En esta parte del curso trataremos de obtener información detallad

O, p o r ©

relativa al campo de' velocidades, en un flujo laminar completamente desarrolT do. Su conocimiento nos ayudará a calcular los esfuerzos contantes, la caída

entonces 9x

de presión y el gasto volumétrico. A. Flujo laminar completamente desarrollado entre dos placas planas paralelas A„l„ Ambas placas sin movimiento Cuando el espacio entre las placas

32V ay

*s bastante pequeña (menor que

0.005 mm), el campo de velocidades resultante se puede suponer corno si fuera j

* 0 , por ©

32V

JL y

3y

RELACION PARA HALLAR LA DISTRIBUCION

i

80VX) 3y ay

DE PRESIONES

3(3VX )

3y 3y


46

Integrando consecutivamente :

BV 3y

K ~— -y + y

V

=

x

2y

C..

.....................( I

y 2 + Cy -f C

...............(II ii

Por condición de contorno ;

Reemplazando en ( I ) :

si

y

= 0—

Vx

si

y J

= h .fr» V

X

= 0 =0

- 0

en ( II ) :

0 = — 2y

h2 + C. h r = i > C - - — 1 1 2y ECUACION DE

Por lo tanto : V

= X

— 2y

JUUL 2y

v

=—

k [(^)

x

2y 1 h

[DISTRIBUCION . DE hVELOCIDADES

Cálculo de la distribución de esfuerzos cortantes dy t

1 ECUACION DE

= y --- - = y(

dy

- JÜL)

2u

------ S T = h K(

2w

- —

h

) VDISTRIBUCION DE

2

JESFUERZOS

CORTANTES

Cálculo del caudal_J Q ) ECUACION Q « | Vx . b. dy = b í — ( y 2- h y ) dy 2(1 Cálculo de la velocidad media ( V

Q = -

h3 12 v¡

DEL CAUDAL


47

¿ Donde ocurre la velocidad máxima ? dVx K para responder derivamos :— ^ = Q = > — *-( 2y « h ) = 0 dy 2 p

y = h/2;esto

quiere decir que, la velocidad máxima se dá en la 1 inea central del flujo,

pjjgjlo de la velocidad máxima ( Vmáx ) = -i< _ ( ü i _ üi)

IT'ax

2 y

4

2

v s

^

máx

8y

3 Ahora, Ud. puede comprobar que : \f^x = —

Cálculo de la caída de presión : v' h2 V = - JLÍL m 12 y

12 V p . K --------- g--- h2 dx

12 V \i dp --------- E--- dx h2

12 Vm n integrando :

Ap = h2

-►Todo lo calculado lo podemos expresar en función de la linea central; trans formando coordenadas :

'U

T h

Pasamos

xy

a

xy1 : y - y w+ —h


48

A. 2 Placa superior moviéndose con velocidad

VQ y placa inferior estacionarla

Bajo las mismas condiciones, las ecuaciones que describen éste ca: son las ecuaciones (I) y (II) del caso

A.1 ; es decir : 3V

y* mzzzzzzzzzznt^^

x _

K

ay

y

x

2 y

i >x

•d!

K y2

+ Cx y + C2

■di:

-H

T Condiciones de contorno :

si

y = 0

V

si

y = h ---- >

Vx = Ve

= 0

Reemplazando y resolviendo (I) y (II) ECUACION DE V

= J jl- y + i L k Tí ^ ) . h 2y L h

■DISTRIBUCION VELOCIDADES

Ahora, siguiendo un procedimiento analogo al caso ^ 'iterior A .1 , se vá a encc trar los parámetros determinados en dicho caso :

x = p-^_+ h K ( X _ ¿ ) h h 2

Q =

V

V0 h b

b

12 y

K h3

= - L = J L . - _ _ L _ K h2 A 2 12 p

DISTRIBUCION DE ESFUERZOS CORTANTES

ECUACION DEL CAUDAL

VELOCIDAD MEDIA


ü

ia velocidad máxima ocurre en : y = J l 1 2 (1/jj)K

Ap = ü u

( Vo

j L

J.CAIDA DE p r e s i ó n

A.3 Ambas placas moviéndose con velocidad VQ en sentidos opuestos ^ —

£ -----------

T

Condiciones de contorno

A.4 Ambas placas moviéndose con velocidad V0

si

y = 0

V

= -V»

si

y = h

Vx = +V„

X

en sentidos iguales

si

y = 0

Vx =

si

y = h■

V

X

+v„

= +Vo

H**V.

B, FLUJO LAMINAR COMPLETAMENTE DESARROLLADO EN DOCTOS DE SECCION CIRCULAR Condiciones : (T) El flujo es estacionario e incompre sible ( y no varia y

p = cte )

( D No existe componentes de la veloci dad en las direcciones r y

0.


Estudio dbel flujo viscoso

50

i ©

La velocidad sólo es función de

r

más no de

z, porque el flujo es compl|

51

av Haciendo un cambio de variable ♦

^

p

+ r ^ ~ y

tamente desarrollado.

(4) Las fuerzas volumétricas se desprecian.

| Efectuando ;

r dm + m dr

J<

r dr

u

d (r , m) = — r.dr

Por consideración (T) las ecuaciones de Navier-Stokes sintetizada* e~ : 0, flujo desarrollado

\ Integrando : !

Vp + p V 2V

r ,m ~

Luego :

8 z

K 2

r ----------- —

1índricas :

pí“ L r 7ar (

2

1

,

a vz

r 2 39

(III)

^

0

r

dr

K 2 = — r + C. ln(r) + C9 z 4u M

r = O

:

V

= O + C, ln(0) + C

. por

an

K_ dV^ = — r dr + ™ 2v

-

+ C

IV

Por condiciones de contorno :

7“

, azz

-S i

-UU J i-l_(rüi)J . o 3Z “[7 3r 8r

.................................

?

azv " z

r --- )+ ~ 2--- T " + —

ar

+ C^

2]i

! Cómo el f1ujo tiene simetria, expresemos la última ecuación en coordenadas cii integrando : V

3z

2

2y

3r

av z \ ,

r

~-Vp + yV2\?= 0

"0 , por ©

-U> +

K

, av

y( —

3z

■* av x

si

C J O =±> V

si

C.= O = = > V

1

T

1

RELACION

| +1 _ I = k ar r 8r

2

z z

= O + C, x 00 + C = 00 1 z = O + O x 00 + C,= C, ¿

L

ABSURDO ACEPTABLE

PARA HALLAR •\

LA VARIACION

V

O

DE PRESION -Si

r = Ro

\

V

» O = Velocidad de las partículas fluidas adyacentes a

Cálculo de la distribución de velocidades puntaales

la pared del tubo

De la última ecuación escrita : y

Br

r

3r

J _ A ) 3r ar

+ir 3r

reemplazando en ( IV ) :

o = JL 4y .Finalmente :

r2

+ o + c, = > 1

=

C 1

-

-i4y

R*


52

ECUACION DE

JL

v z

¿ Donde

( r2 — Ro )

¡ 1 - (— V

4 u

4y

ocurre lavelocidad máxima

Pararesponder

derivamos

¡

1

} DISTRIBUCION

[ - ‘í ’ 2]

DE VELOCIDADES

?

¡

i

1

dV I — — =0 zzz^> r = 0 ; esto quiere decir que, la vele! dr ' 1 cidad máxima sedá en la línea? central del flujo.

Cálculo de la velocidad máxima ( V ^ x ) Si

r = 0 = >

V , = — -ü-!¿ mSx 4 p

k

R0 r i

/ ^ ^2i]..,2p

,

r dr

4y

Q = - ~

8v

Cálculo de la velocidad media ( Vm )

vm - X «- J L _ z = * vm =m m A ttR o Ahora, Ud. puede comprobar que :

q

o

y

Ro

53

Estudio d el flujo viscoso

CSleulo de la distribución de esfuerzos cortantes S .

dp Cálculo de la caída de presión ( Ap )

V m

= — -Ü-BÍ = > 8w

K = - % V Ro

=

= = » 3z

dp = -

V

dz

Ro

OBSERVACIONES : - Debido a que el perfil de velocidades no cambia a través del tiempo , ni con respecto a las coordenadas, se deduce que en un flujo completamente desarrollé! do la aceleración total es cero. - En un flujo completamente desarrollado, el gradiente de presión

K = 8p/3x

es constante. Por lo tanto : ^

* ÍP? ~ Pi)/L

3x '

z

1

- Sélo en el caso en que un flujo se encuentre dentro de un tubo :

Al valor de tico.

Si

Re < 2300

el flujo es laminar

Si

Re > 2300

el flujo es turbulento

Re = 2300 , se le conoce con el nombre de número de Reynold cri


1. PROB.- A través lam inar

áûa

de las dos placas planas paralelas fluye en régimen

a 40°C

caída de presión

( f>= 992.2 k
0.656 J O '

toj/m .s),co n une

de 34.5 kPa/r». Para los siguientes casos determ inar el

caudal, y el núm ero de Reymold. a) Vv =0 VjisO tí

(velocidad de placa 1) (Velocidad de placa 2)

V| = + 3 m/s

,

V2 = 0

Vji = 4 tr/s

c) Vj = + 3 m/s ,

SOLUCION Datos:

A p - ^ 34.5 kPa =-34.S«1Q3 fl/W m

a) Caso A.1

Ambas placas sin movimiento

A b = _ 12 Vm R , _ _ 12 ÍQ /b -h ) H , H

=rrr->

h2

L

~~

Í

F

Q-

~

Q_ _ (- 34.5*10* N/m3) (0.08 ffl) (0-00

^

(A p/0 b h B 12 M Q=0.000iSm3A

12 (0.656x103 *9 ) m.s

fc= t

VD a

__= 4.3?5 m /s bh

Re_ 992.2 y m 3 k 4.31-5 vYs , 0.0020m 0 . 6 5 6 , JÓ3 k g /m.5

D - 4 bh = 0.0020-m 2(bfh) =>

R e = 1323 4

b) Caso A.2

Placa superior moviéndose con velocidad V« y plata Inferior quieta

=>0,(0.08X0.001) f _ 1 _ (-34.5 x1o3) . O.OQ12 2

V=

= 5 . 8 7 5 tn.

R

p

- W . 2

5

fcb

c) Caso A . 3 condiciones

^

12<0.65&x -lO

» 5.S75«0.002. q

O.feSé

de contorno: s i y=o = >

Empleando la ecuación

y=h=>

Yx = +Bm /s

(II) del caso A.1 : V*= JL_ n/2 4. G| y + C¿

3= j i _ h 2 + q h - 4 2JI

del ,h

iO'3

Vx = - 4 V s

= * , - H = 0 + 0 + C¿ = > Cj = - 4

cañedo

x

Ambas placas moviéndose en sentidos opuestos si

=*

Q=0.0004 7 rr^s

>

caudal Q. :

= *

c1 = 7 . i h F

2^

17772

=> Q _ ('O.OQ1)(O.Q8) „

34.5 xlO3 ) (O.OOIÜO.08)

2

--- > Q - 0.00039 irrfié

12*0.é56xldy

Cálculo del Re : V= J L = 4.835 m/s

Re= 992.2» 4.635 > 0.0020 _ H Wfe

bh

2.

(USUlfl*-

PROB.- Un fluido viscoso circula con régimen laminar por una rendija ío

rnada por dos paredes plana? separadas una distancia " 2 a " . Ver figura. a) Determinar la ecuación de distribución de velocidad y esfuerzo cortante. b) Para a = 4 r n m ,

b = 60nim, L=50cm,

kPa , Calcular

el Caudal

c) Determ inar el en el calculo del u tiliz a

el

kd td'ulico. SOLUCION

|[=0.018 kg/m .s

porcentaje de error caudal cuando se

concepta de dta'metro

a

5e trata del Caso A.1 Ambas placas sin m o v im ie n to ^

-

b) Datos:

b = 0.0ém

T - hKf- f- H

L -0 .5 tti

h-2a=0.008m

A p^-W O O ^jM /rn2

>L= 0.018 Vg/m.s At> = - ^ Vm M i = _ J2 (fl/b -h ) H. i h5

— >. Q =. _ aP ' ^

3

3 2 L

h2

(_ 1900k # JbJ ) (0.0foim) (0.008™?

„

,,

Q r _ __________ Ü E : __________________a = 0.54 m V s

12 ( 0.018 J « L ) (0.5 un) Tn.S

C) Si nes

u tiliz a m o s

el

d iá m e tro hidráulico , debemos emplear las relacio

encontradas para

el Caso B

rro.lado m duelos d t « c ció ,

Flujo

circular:

laminar completamente ^

^ '

Dh = 4 b K 2(b + b)

^ R?

^

desa^

;í

, 4,O.Ofc»O.OQ8 _ 0.0141tn==> RH= _dJ l =0.00353 w 2(0.04+0.008) 4 Rn : radio hidráulico

reemplazando: -1900 y. \Ol - 8 .0 .0 1 8 \/m (0.5) 0.003532

E rro r = I 0-051-0.541 . m = 0.54

= = > V^n = 328.83 W s 2 Q= J L D h Vm =0.051 4

nv’/s

L

3.

PROB.- ¿ A que

distancia

t*

del centro de

tubo de radio

un

se tiene una velocidad igual a U velocidad promedio, para

un

f lu jc

lam inar ?

SO LUCIO N

V* = V,m K 4n

( r 2. R.z ) -

XR„2 8H

> r 2- R02 , _ ¿

= > r = y | ? R.

r = 0.70? R.

4. flujo

PROB«- Determínese

-Rpta.

el esfuerzo cortante máximo em la pared para un

laminar a través de un tubo de d iim elro D, si las propiedades dei

fluido son

)jl

y

p

SOLUCION

Sabemos cûe :

= _ M L

— s. I -

T u _ L „ ¡<

Vm

R2

4 H. Vm r ~ r T "

El esfucv zo m áxim o

se produce

cuando

r _R<. = W z

5 . PROB-- Determínese e! esfuerzo cortante

H/ií, pu\g de diám etro (

en la pared de un tub^ de

cuando a través de el escurre agua a 80°F

l . f ' W * 10’ 5 ibfx seg/píe2)

ton velocidad de 1 ple/se§.

SOLUCION

o „ w

-5 8 * l . W . l ü lbf»sea.x ipil?

x --TWx = - A ü J k =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ é&L__ -J ___ pie

D

=>

ié> xi 2

T - O.027& Ibí/pie*

PROB.- Determínese la caída de presión por cada metro para el escurrurúeri

to de un bo de

líq u id o , ) j.- í >0 CP, gravedad específica = 0 .8 3 , a través de un tu

3 imn

de diámetro 'onterto*

st

Re = 1 0 0 ,

SOLUCION

Ap = - iL £ _ Vyr, L

-—> L

==>

AP

—

L

Datos:

\

4

£

---- T T p Rf

L

&P _ _ 8 H f Vm D _U_ Rf A jP-2R. ar t if iá o

( verifique e l

D

u r 6 0 CP = 60 * ]Q~3 h ’

~

_

p - 830 Ko/m 3

tn. seg

(830 K3/ms) , (0.0015m)3

R.= 0.0015-m

Re---100

Datos:

f- PROB.-

D - 1/4 pu

A través de un tubo de 3/8 de pukj de diámetro escurre gHcJ

riñ a a 80°F

(

Af> = - 20pie x 55 Ibf = _ 1100 Ib f/W ' píe3

SOLUCION

¡ Sabemos qae: =

5 I k f M 2 __ pie

8 - ,¿ i 3x12

Vjf) - 1.953 pie/seg

8.

PROBCalcúlese

ciando todas

pie4-

z 1/48 pie

L = 16 pie

1 0 '2 Ib x seg/pie2 ) con una caída de presión de 5 psl/piej

Determinar . el caudal.

A P - . Ü L V m

H = ÜJ Poise = 0.1 (2.09 x 10 Ibf* se 3 )

< T = 5 5 I b f / p ie 5

A f-.IB

Vm L

-.V,

pie

!

pi,i

Q= 11. o2 Vm = 0.0015 pieVseq 4

el caudal en e! sistema mosteado en la fig u ra , despre

- . . o o M 8 [ n

==»

= * Luecjo :

ü

<*».«» «fe?»] ^

i

-

K

p¡e

r

= 4.4S I6 pies/se^ Q z J L D2 Vn, = 0.00152 pteVseg

las perdidas, excepto las de fricción del tubo.

:l-Z -£7 f e 55 ibf/pie3 ~ Z ~ .

[-

9.

P R Q B .-

En

la fig u ra :

H=10m,

L = 2 0 m , 4 = 3 0 °, D = 8 T rn n ,í= 10 K ^ T i?

¡ y Ji= 0.08 kg/m .s. Determínese la perdida por unidad de longitud de! tubo y el fe pie

[ :

2 C) pie

^V 4pu^ [ de diain

f e - u *C . 1 Poise Z £ H r

SOLUCION

caudal

en

litro s por minuto.

62

SOLUCION

A f J r - í H =-10 J
^ /l =

a?

_

^ /

= - 5 M m 2 - - 5 kPa/m

20 irn

]

P erdida DE

™

por

u n id a d

LONGITUD

Calculo del cauda! : A M - . 8 H .V m L

= *.

- 100. 103J I = .

R.

™

Vm = 0.125 m/s

= >

Q

Vm = 6.283 * 1 0 fc 4

10.

Vra . 20 m (i.0,CH)8m)

PRO B.~

- 0.37? ih s / W n s

Determínese

H

en

el problema anterior si. la velocidad es 3>tn/s.

SOLUCION

Datos:

L = 2 0 th

Q = 30°

& = 10 kU ¡v? -AH-

&p= -

D= Brotn = 0-008mVxn^ 3 m /s j-t =. 0.08 ^ / ^ . s

yTn,i_

= > - i 0 * 103

H=_

H ^ 240m

8^0.08 r 3 „ 2 0 (£,o.oos )2

63

Estindio del flujo viscoso

11 . prob.-

Dos flu id o s

i flu y e n

iw nisib le s

1

en re'gim en lam inar

¡es situados a una d ista n cia

y 2, cuyas viscosidades son

y

e n tre dos placas paralelas horizonta

2 a . Sí el ancho de las placas es

el grosor de ambas capas de líquido es

b

a , d e m o s tra r que el caudal

del flu id o A es ; Q

^

Ü

l

-

7Ma+ H b

(-Ap)

« w , 1-

L; lo n g itu d de las placas

Por ecuación (II) del presente capítulo : -p a ra

A .

=

+ ^^

+ c¿

....................... {o<)

•Ha

- f ”

B ;

:(P)

VB S J L - ^ C 3 y + C+ ¿H

C ondicione s de c o n to rn o :

1 o)

2 o)

y

y = 0 = > V A= 0

y -.a = * VA r_VB

, T A- T fc

.

64


3o)

y-2a r ^ > Vg-0

CoTidLcLon 1° en ( I ) :

0 = 0 4-0 -v-

= > C2.=0

Condición 3o en (j3 ):

OzJS— ( 2 a )2 4. C3 ( 2 a) 4.C 4. 2^ b

C4 =-2aC3 - 2 k a2 *

Por condicion 2° :

^ -V B

para

d 2 + Cj a

adem ás, T a = T b

Ma

De (J )

fea

t-C,

a2 + c 5 a + Ci¡j ........

p a ra

== $

y -a

_ka

+ C, - - C 3 - 3 Kb ... 2

a

M

\ + H

b

/

Q A - J VA- b. d y = J (JL_ y ¿ 4- Ct y j b . dy

Xa3 A í V i * 2 ]-- t) k a J 3K a

jJ

K

■U)

Hb

/ 3Ma 2Ha I

eH dy

C3 = 4 - c ' .Hb

*? t t 3 = í i1»

De (to) en C¿) '

Qa

TA - | i ft dVA d \j

»H»

2H a

C álculo de QA ;

•(0 )

2Kb

K a

en ( 0 ) :

y= a

=

2Ha

•U )

h

U

Como : k ^ fe - fí _ A l 3 L ~ L

1

j*a '^ -H-a + H b / 12^ a

jL q ■r

a3b A

r

7Ha+Hb ^ a + h b

7 H a + He _

H a + H b,

( - A ¡ d)

65

Estudio d el flujo viscoso

il

X rob-

Establezca Ud. una relación para evaluar la d is trib u c ió n de velod

dades en un flujo laminar

entre dos cilindros concép tríeos. Ver figura.

SOLUCION

U tiliz a d o la ecuación ( E )

del presente capítulo •

V z ; = ~ r z + Q Ltí r - K , 4H

(BT)

¿

Por coTidiciones de coTitortio: - Si r = 3 —►Vz = 0 .. ■ > 0 - _Ü_ aZf C, h a +C 2 .. 4h

.(1 )

r = b — +VZ=0 = $ 0=JL_¡,2j.C Lnb+C ¿ . ..

. 12)

-S í

4ji

De 11)- (2) :

C< = Ü . (a 2 - b ¿) 4>i

De (3) e n d ) :

(3)

LiKb/a)

C, = - J L a 2 -

De (B) V (4) e n ( E l ) : V. =

= -L n (a/b )

*

(a2-b 2 3 h a ......................... (4 ) LnCb/aJ

J<_ [V - a

L

L

:

\ ( a 2-1 > 1)

L n ( r /a ) '

Lníb/a)

^ ií[

COTTtO K - j j - f ? - AIa

Ltí b -L n a = LnCb/a)

DISTRIBUCION DE VELOCIDADES V--

^

a2_ r 2+ Ca2- b¿) L-nCá/rt LnCb/a)



66

13. PROS»- P a ra

el caso a b a liza d o

^ 'n Ia f ’ 3lira i u.T>a placa se mueve con respecto a la o t r a , como

en el problem a a n t e r io r ^ d e te r m in e u^l 15. PR0£ :'

se in d ic a . }i= 0 .8 0 Poise ; j>= 1.7 s lu ^ s /p ie 5. D e te rm ín e s e

relación p a ra evaluar el flujo volumétrico.

cio'n de V e lo c id a d e s , e l caudal SOLUCION

Q = f v ? d A = \ V-,. 2 T f r d r - - I Í . . A l I 2 ) 8fi L 14. prob.-

Eti

una tu b e r ía

|a placa s u p e r io r .

la d is t r ib u -

\¡ el esfu e rzo c o rts n te e je rc id o sobre

( anch o - ' 2 pul^)

a - b4_(a2-b2)2

ÜW bl

h o riz o n ta l ^.ue posee dos tubos coaxiales flu \je

u n flu id o viscoso, Incom pre sible del

67

y en re a m e n la m in a r por el in te r io r

a n illo . D e m o s tra r <|ui? e! p e r f il de velocidades e s : f> = 1 2 p 5 Í

Vz = Ü 4 jil

Donde:

R¡

l - Longitud de la tu b e ría

R=

SOLUCION

El problem a pertenece al caso A.2 de placas p la n a s :

Radio del tu b o e x te r io r

tR = Radio del tu b o in te r n o íj , P2 = P re sió n en los e x tre m o s del tu b o h ■A

|4. = V iscosidad

Vz -Velocidad en la dirección axial

b , f Qh -

M

2 0 Ib f . ^ 4 p ula2- + 1.7 s lu a , 32.2 f t e 10pie = 3 4 2 7 p>ul<^ 1 p ie p ie 5 sec¡ |>i£

| - p 4. 'j> g h = 12 x 1 4 4 + 0 = 1 72 8

Ibf/pte 2

SOLUCION

Resuelva Ua. este problem a

siguiendo

el p ro c e d im ie n to de solución del blem a 2 .

p ro

1 7 2 8 - 3 4 1 7 . i ? n . m lbf/bie5 joJ 2

l - - -

•

.

/r

68


69

Estudio del flujo viscoso Reemplazado:

y

3

_

^

C~ m m )

* ~ ~ 0.02

[ (o j) ~ ia b )

2*Q .aP oi5e

1 lb f.s /p ie ^

Zar como s i se t r a t a r a de u ti flu jo e n tr e dós placas p a ra le la s (c a s o A.1)

47S Poise

ktisideídc io n e s : , ■ . I - f lu jo p e rm a n e n te e uK om prestbte

y 1 j OISTRSB. VELOCID.

Vx = 5(>9 V/ _

- f l u j o la m in a r c o m p le ta m e n te d e s a r r o l l a d o ^ - 3,000)

C a'lcu lo del caud al: 0.02

Ba)o ;

.0.02

tales

co-ndkio*-.

Q r

Kb

12.A

G U ^ Vx . b d \ | = b [2 8 5 . 5 y 2~ 11ít88y3] j = 1. [0 .0 1 8 2 9 6 ] = 0.018296 Cowo C a lc u lo del e s fu e rz o c o r ta n te

en

f e , | ; ) b ,i

12 J4.L

ancho = b r WD * Q-

\j = a o 2 :

D h3 _

( 1 - 2 0 ) ^ ^ ,Q .0 2 5 m x ( 5 x10b) m

j t 'L T r u

M , .- U [ 5 W - * 1 9 3 2 ^ 1 = M i [ 5 ^ 3S ^ 479

*

-

1 2 *0 .0 1 8 K < j/m .S *0 .o l5 -m

0.0 2 ] = u 1.952

Q = 57.5íí2 x .l0 ^ m ^

M

Y e t i f >p e im o s s i el f lu jo es la n u -n a r: I fe. prob.- Eti la

fija r a

se m a e s tra

bos e stá n sin m o v im ie n to .

u n sistem a c ilin d r o - p is tó n ,a m

E l siste m a h id rá u lic o opera a una p re s ió n

m a n ó rn é tric a de 20 MPa y 5 5 8C. El flu id o hidráulico es a ceite (j> ::9 2 0 k g /m 3 j u 0.016 k c j/m .s ). D e te r |¡> _20M P a m ínese el caudal ^ u e se fu â por la knlrt»»**’**»

T í“ -

'

J

r^

’' la ho lg a ra , s i ia presión m anóm e'

t r ic a ja

en el e x tre m o de m ás b a

p re s ió n del em bolo es 1MPa.

71

L=0.0IS1H¡

V-m = - ^ _ rO .W G fc m /s ■ TÍDH R g - f-V m -h

- 0.03*7 4UU -¿12300

^ E l f lu j o es la m in a r R p ta : Q = 57.572 x l o V

0= 0.02 5 m

i

• h=5xlÓ j|

17. prob.-

La chumacera de un cigüeñal de automóvil se lu b ric a me diante aceite a 215“ F. ( = 2x10'^ Ib fs /p ie 2). La chumacera t ie

ne 3pukj de diám etro, con una h o û ra de 0.00125pulg ■y cîra a 3G00 rp tn . Tiene un ancho de 12.5pul<^.Mo encontrándose ia chu SOLUCION macera bajo carcha se puede coTtsiderar ^.ue la holgura es s tm é triDebido a que la holguTa es b a s ta n te p e q u e ñ a ,e l f lu jo se puede ana- ca. Oetermvnar e\ torûe necesario para hacer g ira r el eje y la PB=1 MPa

potencia disipada. ( f - 1.

slug/pte3)

70


71


SOLUCION

18. pROB.-En la f ig u ra se m a e s tra

Como la holgura es si

se t r a t a r a

bien

de u n

p e d e r ía , e l problem a s e ta a n a liz a d o

flu jo

e n tre

dos placas p aralelas (c a s o

h=.0.0125"

Consideraciones: ©

flu jo

la m in a r , p e r m a n e n te

©

flu jo

com pletam ente d e s a rro lla d o

d ) a n ch o i n f i n i t o ( n ó t e s e (7s\ i / ”v ^

®

^=

-°

> poûe

e in c o m p r e s ib le .

l /^

ûe

y*

banda tra n s p o rta d o ra , cê s irv e pa

k.Z)

deraciones -necesarias,determine

■aU“iíi'-

Ji

UA

PERFIL DE

|

la rapidez

con tûe se puede

t r a n s p o r t a r el petróleo por u-

VELOCIDADES nidad de ancKo de la banda, en

- joocf)

función de

'^ w r r r ^ ^ l = i d

\a velocidad U

de

'

el flu jo es s im e 'tric o en ia c h u m acera al

P ftf'AYtl' V»«kY** A

una

co^, ja recocer p e tro le o por ejemplo de la s u p e rfic ie del m a r . R ealizando la s consi-

J -»

e n co n tra rse ca rd a d a .

‘U

no

S

U ba^ da i de

SOBRE

Jf del p e tró le o .

fc&UA

'

1 de *

* de

So l u c ió n

2 x i 0'4 IbfxSeg

Consideraciones: 3É.00 H

£ a c L 3 p u lo « l,

30 seg

p u ¿ rx

r o z

ñ T ^ J - r — r- = 9 0 . * l 7 8 M 0.00125^ j3i¿<

©

La p e líc u la de p e tr ó le o es lo s u fic ie n te m e n te gruesa como para te n e r Un s u m in is tr o

'ilim it a d o , re s p e c to de la o p e ra c ió n del a p a ra to

Cálculo del torcjup:

T= K £

2

z ( T , TT D L ) „ |L = £ T D2 L ^ Z

“ 2

9 0 .4 7 8 * ( A ) 2X 1.25^11.1 Ibfxpu]

©

= (11.1 W . p u l g ) ( 3 4 0 0 . 3 L

rad/seo\„ A j i S . ,

J

P = 0 .6 3 4 hp

,2pul8

h p , se 3

“ o Tpies. í T Ib f

Verificación: R ^ f J U u

í^_,

La

banda

es lo s u fic ie n te m e n te la rtja , de ta l modo ûe el flu jo

se d e s a rro lla

Cálculo de la Potencia d is ip a d a ; P= T. a

@

@

©

co m p le ta m e n te .

El flu jo es permanente e incompresible C y i=c te . , j>=.cte.) V=Vx = f( y )

F lu jo

j

es d e cir

V y= V 2 =0

la m in a r

Bajo ta le s c o n s id e r a c io n e s , el problema puede ser analizado como un ,.™ j g .

340030 5 M « J pul8 » a o °125f>ulg

— ^ t j r ---------- -

2 *1 0

Ibf,seg

K î- ^ 1 -___ __- .c^ .IDT. nr M j e £ . H3>& a

^ 4 pulcF

5 lu^. p ie

flu jo com pletam ente d e sa rro lla d o V - f . v S q v 2£

+ Cz

e n t r e dos placas p la n a s : ...

(n)

Estudio do! flujo interno

72


Por condiciones de c o n to rn o : (H) : C2 = U

a)

Si

)¡--0

b)

Si

v jr a — ► T = o = > T =_ ^ M

Vx = 0 , en

L

l

o

= »

C

-Üa_

• V Vx = ^

r

^

^

V

CAPITULO 3

H

d ^l l * a + U - - U ^ ( a y_ i 2 )

DISTRIBUCION DE VEL0C10ADE:

C á lcu lo del raudal

f - j W

U

y . ^ l V

— s

3)

/

Com o: K = fe L

LS e ttft) ~

L

^

ESTUDIO DEL FLUJO INTERNO

ÍL - Ua - Ü i -

b

K

3

^ Sexi-o"

W ^

'

Q_ _ Ua_ y Sene a b "

H

INTRODUCCION

?PTí Se denomina flujos internos a aquellos que quedan completamente li mitados por superficies sólidas (por ejemplo, flujos a través de tuberías» de

19. PROB. - y-pa chum acera

sellada esta formada por dos cilin d ro s concéntri

conductos, etc). En el presente capítulo, pondremos atención a los flujos a través

cos. Los ta d io s de estos ú ltim o s son, respectivam ente 25 \¡ 26 Tirm j la chum acera

tie n e una lo n g itu d de lOOmvm \¡ g ira con velocidad de

2800 T p m . E l espacio e n tre los dos c ilin d ro s esta* lleno de a c e ite ct

de tuberías; pues ello nos ayudará, más luego, al diseño de redes de tuberías con sus respectivos accesorios; muy frecuente en el campo de trabajo de los in genieros .

m o v im ie n to la m inar. t ! p e r f il de velocid ades es lineal en dicha sepaw c io n . El m om e nto de t o r s ld n para û e ^ ir e la chum acera es 0. 2 MxHi Calcule la v is c o s id a d del a c e ite , d Crece o d is m in u y e , el momento torso;

Antes de empezar, el lector debe recordar que tubo es una pieza ci lindrica hueca, mientras que tubería es un conjunto de tubos dispuestos de al guna forma.

respecto al t ie m p o ? ¿ jjo r ^ u e 7 . Iniciaremos mencionando que, cuando un flujo incompresible o compre j> ^ = W

Kj/m3

Rpta: ( Í . 0 M 5 .N-s/rt

sible viaja a través de una tubería, se producen caídas ó pérdidas de presión. Bichas pérdidas se pueden subdividir en primarias y secundarias.

74

Estudio del flujo interno

A continuación se muestra el paso de un flujo permanente (incompresi ble) por una tubería :

y P r í n a r ia s P ER D ID A S P R IM A R IA S

Son aquellas queestán relacionadas se generan por la

con las pérdidas de energía,que

fricción entre partículasdel mismo fluido al desplazarse

dentro de la tubería y la fricción del fluido con las paredes de dicha tubería La magnitud de las pérdidas primarias se evalúa haciendo uso de la ecuación de

DARCY-WEISBACH : h

= f p

Ap = f

Donde :

L V2 ----D 2g

( en unidades de altura de fluido )

L J:-2—V 2

( en unidades de

presión )

f = factor de fricción D = diámetro hidráulico n V = velocidad media en el tramo de tubería considerado

75

EstiMio del flujo mtertio

L s longitud de toda la tubería, donde se

genera la pérdida

p - densidad del fluido

Evaluación del factor de fricción

(f)

1 , Para flujo laminar completamente desarrollado en conductos (tuberías lisas o rugosas :

f ,- S L . Re 2. Cuando

Re > 4000

— JT

;

- - 2 10g ( - S & + -£¿£i-) 3.7 Re J ?

.... ECUACION DE C0LEBR00K

Esta ecuación graficada, es la que recibe el nombre de DIAGRAMA DE MOODY. Al examinar la ecuación de Colebrook se

deduce que si el

valor de las asperezas

de superf ic i e n e s pequeño comparado

con el diámetrodel tubo

(e/D -*• 0),

entoii

ces el factor de fricción es una función solamente del numero de Reynold. Una tubería lisa es aquella en la cual la relación (e/D)/3.7 es pequeña comparada con

2.51/(Re/f), Por otra parte, si el número de Reynold aumenta hasta

que

2.51/(Re%/P) -*-0 , entonces el factor de fricción llega a ser una función sola mente de la aspereza relativa de la tubería, y se llama tubería rugosa. Por lo tanto, la misma tubería puede ser lisa para unas condiciones de flujo y áspera para otras.

NOTA : El factor de fricción (f) depende de la rugosidad relativa (e) y de.nú mero de Reynold, si es que el flujo se encuentra en regimen de transición laminar a turbulento. e =

;

£ - rugosidad absoluta

de

acor d« roíamienm,

r

r".

J

I

78

79



b) Un flujo homógeneo en una tubería

3. Parra flujos turbulentos a través de tubos lisos se emplea la ecuación de

ó

un ducto,se considera laminar si el

número de Reynold es menor que 2300,

Blasius :

c) Un flujo se encuentra en transición (transito de laminar a turbulento ) cu ando

Re 1/4

2300 < Re < 4000 .

cj) un flujo es turbulento

si

Re > 4000 ,

4. Para un regtmen conocido como flujo completamente rugoso, se emplea la ec ción de Von Karman :

1

PÉRDIDAS SECUNDARIAS y»

4(0.57 - log(£/D}]:

L1amadas también pérdidas menores,son aquel las caídas o pérdidas de de presión que se producen cuando el flujo atravieza una válvula, codos, cam NOTA : aparte de*las relaciones mencionadas, para evaluar el factor de fricc-

bio de sección en la tubería (contracción o expansión), etc.

ón (f), existen otras más.

Las pérdidas secundarias se evalúan mediante la siguiente relación:

hs =

OBSERVACIONES :

; donde, K : constante de pérdida del accesorio V : velocidad del fluido

a)

En conductos cerrados el flujo se clasifica de la siguiente forma : 0 < Re < 1 1 < Re < 10

; en este caso el flujo es lento

2

y altamente viscoso

; en este caso el flujo es laminar y su estudio depende

Evaluación de la constante de pérdida ( K )

5

bás?

camente del número de Reynold.

¡i:.

10

2

< Re < 10

3

1

capa límite.

f f 1

10

3

4 < Re < 1 0 1

i ¡

'

104 < Re < 106

; en este caso el flujo es turbulento y depende muy poco

6

'

< Re < «o

Mr:

L

Tubería proyectan

*

do hacia adentro

dé

detalle

K

¡frém zz

1

¡ 1

Bordes afilados

0.5

yrrrnTTTT

' 7' ' 1 ; en este caso el flujo es turbulento totalmente desarrol lacj

y su estudio depende de la rugosidad relativa.

Tipo de entrada

I v^v I

número de Reynold. 10

- Para entradas de tuberías :

1

; en este caso el flujo se encuentra en un' estado de transí*;

ción, de laminar a turbulento.

i i :

[ | ; en este caso también es lamfnar y su estudio depende de i

[

Entrada redondeada

fy¿tti¿UÜU i

'$7777777777

0.04 m 6 0.05

80


Para descarga de tuberías JL Tipo de salida

detalle

K

Tubería proyectando

'A ¿ m M L ü lu k .....

hacia

7 n r/rm rrrn 7 J^''...

afuera

Borde afilado

ó

1

iluijjjilloÁ

cuadrado

1

rrTrrnnm rm /^

Borde redondeado

1 ’7?7?77777777m^

~ Para expansiones y contracciones Contracción y/////s//A

A\ — — A% A R = Á 2I A 1

Experwíón /

Ai — - A 2 A R * A\!A%

Para contracciones graduarles Detalle

K

o O ro

d i.__ + ----- --- — .— --- -d

Angulo -0-

0.02

45°

0.04

60*

0.07

Estudio del flujo m tem o

, C arta de d iseñ o para el cálcu lo de la resisten cia en c o dos an gu lares d e tubería circulares con flujo turbulento com pleta m ente desarrollado a la entrada (

81

82

Estudio d e l flujo Interno

- Para la recuperación de presión en difusores cónicos con flujo turbulento sarrollado completamente en la tubería de acceso

longitud odimansional, N/Ri REDUCCION

r x D

GRADUAL

.

ENSANCHAMIENTO

K * 0.05

V

T

d

j___/ ■

0

_ ENSANCHAMIENTO

K

K = f 1 -

(d /0 )

1

6RADUAL

K*[.l - (d/D)2 ] 2

(D * d)/2L

X _I

SUBITO

K»

0.05 0.10 0:20 0.30 0.40 0.14 0.20 0.47 0.76 0.95T

83


Contracción

súbita D/d

1,5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

X

0.28

0* 36

0.40

0.42

0.44

0.45

LONGITUD e q u i v a l e n t e r e p r e s e n t a t i v a en d i a h e t r o s DE T U B E R I A

L /D ,

PE DIVERSAS VALVULAS Y CONEXIONES Válvulas de globo, completamente abiertas..... .............. ..... 450 Válvulas de ángulo, completamente abiertas ........... ........... 200 Válvulas de compuerta, completamente abiertas .... ...............

13

abiertas

3/4

....................

abiertas

1 /2

........ ........... 160

35

abiertas

1/4

............. ...... 900

Válvulas de columpio reprimido, completamente abiertas ..........

135

Válvulas de bola reprimida, en línea, completamente abiertas ....

150

Válvulas de mariposa, de 6 pulgadas y mayores, completamenteabiertas ..........

'

20

Codos estándares de 90° ..........................................

30

Codos estándares de 45® ......... ............ ....................

16

Codos de radio largo, de 90°

......... ...................... .....

20

Codos de calle, de 90° .......... ......... . ..................... .

50

Codos de calle, de 45® . .... ................ ....................

26

Te estándares : Flujo a través de la línea principal .............

20

Flujo a través d? un ramal

60

....................... ■

84

Estudio del flujo interno Estudio del flujo interno

LONGITUD EQUIVALENTE Es mas

pérdidas

(L*^)

aquella que

. Tuberías en paralelo

longitud

algún

de

tubería

que

ocasionaría

las

m¡s

accesorio.

-q2

Q— ► D

2g

(-)D

eq

l2

0.

L3

°3

2g

Se debe

de

cumplír:

DIAMETRO EQUIVALENTE Q, + Q, + Q, “ Q Es ha

igualdad

de

presión

el

de que

diámetro

caudal, otra

de

una

longitud

tubería

de

tubería y

fluido

sección

no

de

s e c c ió n

generan

la

circular.

SISTEMAS DE TUBERIAS Tuberías en serie

L,

hp,

Se d e b e

cumplir

:

D,

u3

hp.

h p T » h p 1 + h p 2 + hp^

Q - Q, « Q 2 - Q 3

d3

hp,

ci r c u l a r misma

que

caída

hp.

- hp,

- hp,

« hpn

85

f 86

Estudio d e l flujo interno

------- ,

.

GRUPO DE PROBLEMAS

1. PROB.-

^

N tt 3

En la figura se muestra un bomba que entrega agua, a razón de 0.02a?

3

m /$, a un dispositivo hidráulico* a través de una tubería de 0.1524 metros de diámetro. Si la presión manómetrica de descarga de la bomba

2

es

de

7.03 Kgf/cm , ¿cuál debe ser la presión del flujo a la entrada B del dispositi vo ?

fH20 a 15®C lv « 0.0113 * 1 0 " V / s

S o l u c ió n Datos : Q = 0.023 tn3/s D = 0.1524 m L p 804.6 + 321.9 + 804.6 = 1,931.1 m V *

s 1.551 m/s

PA= 7.03 x 104 Kgf/m2 y = y = 1,000 Kgf/m3 ' 'a g u a 3

87

Estudio del flujo Interno

e c u a c ió n de la energía

por ~~

?

?

J a . + _! a _ + z Y Zg

como. VA = V

, entonces ;, -fS- + ZB + h Y Y

= A Y

+ _! b _ + z b 2g

+ h

.........................

( 1 )

ral r.Ltlo del nOmero de Rey no Id ( Re )

-

Re =

cómo

V D 1.551 x 0.1524 OAn - *— — -------- — — — j— w 209,179 v 0.0113 x 1 0 ^

Re > 2,300 z r ^ e l flujo es turbulento

Cálculo del factor de frfcctón i f ) Debido a que el flujo es turbulento, el valor de uf,( se evaluará empleando el diagrama de Moody ; *Con

D ~ 15.24 cm ~ 6 pulg

se ingresa al diagrama de Moody y se

encuentra

(. para tubo de acero comercial ] : e/D = 0.0003 -Con

Re ~ 209,179 =¡ 2.09 x 10 5

y e/D=0.0003, ingresamos al diagrama de Moody

y se encuentra : f * 0.017 Cálculo de las pérdidas primarías ( h^) haf P

i v2 i . J L . = 26.4115 m D 2g

Cálculo de las pérdidas secundarlas C . h r K

—

2g

v2 V2 + K — - « 2K— 2g 2g

1

* 9.81 x 10

m 89

Estudio del flujo interno Estudio del Pujo interno

SOLUCION

Cálculo de las pérdidas totales ( h )

Datos ; L = 61 + 21 + 61 = 143 m D = 20.3 m ¡= 0.203 m p = 200 CV

Reemplazando en ( 1 } :

Q * 0.283 m /s

p_ x 10 *

4

+ 321.9 x Sen(5o ) + 26.5096

1000

V = i-i ■n D

1000 PB =» i .57 Kgf/cm

r. 8.744 m/s

(manomét; Por ecuación de la energía

,2 2 . PROB.- En la figura se muestra una bomba que extrae agu& de un gran depds

~

de 200 CV sobre el flujo dal de 0.283 m 3 /s.

l cuál será la presión en

B

¿g

+ ZA + HB = “

+^

Y

2g

+ Z B + hE

si se mantiene un ce, cómo

f

+^

y

to y lo entrega al dispositivo. Si la bomba desarrolla una potencia

VA = VB ,

entonces ;

pB = Hg.y + pA - y( ZB + h ) ..........................

61 mcálculo del nfimero de Reynold ( Re ) DISPOSITIVO

Depósito 45.75 m

Entrada redondeada

21 m

(K =0.05) f A

Bn

i

.

.

..

A

*

Agua a 15*C v =• 0.0113 x 10 "4 m 2/s

SOLUCION

>

Flujo Turbulento

Tubería de acero . comercial, toda de con dos codos de 9(|

61 m-

2,300

V

20.3 de diámetro CERO

Re = L £ = 157,825 >

Cálculo del factor de fricción ( f ) Con

D o 20.3 cm * 8 pulg, vamos al diagrama de rugosidad de Moody : e/D = 0.0002

( K2 - 0.9 Con

e/D « 0,0002, vamos al diagrama de Moody : f = 0.0147

Cálculo de las pérdidas primarias (. h )

2

h = f _L 11 = p

D

2g

40.353 m

(1 )

i

I


Cálculo de las pérdidas secundarias ( h$ ) h

^ K 2^ - + 2 K — S

2g

7.029 m

2 2g

Cálculo de las pérdidas totales ( h ) h n h

p

f h

Cálculo de la altura de

s

« 47.562 m

la bomba ( =

)

>

75

7 5 _ P , J ü i 0 0 ---- 53 m

H .

y

1000 x ° - 283

Cálculo de la presión en A PA c y x 45.75 ^---- es incorrecto, debido a que no| exis te el equilibrio apropiado en la proximidad de la salida del depositj Consideremos un flujo sin rozamiento para aplicar la ecuación de Bernoul 1 i :

0 , man + 45.75

+ 2g

í |

Reemplazando en la ecuación (1) :

\ Y

p

= 41,853.082 Kaf/i

A

.

pB » 53 x 1,000 * 41,853,082 - 1,000 x ( 21 + 47.562 )

PB = 26,291.182 Kgf/m p„ = 2.623 Kgf/cm2 D

1

91


■3 ptfOB.- Haciendo uso de un sistema de tuberías, se transporta agua desde un gran depósito, para descargargarlo en forma de chorro libre?, ¿ Cuál ¿era el caudal en la salida ¿g

B ,

si se utiliza un tubería de acero comercial

0.203 m de diámetro con los accesorios indicados ?

Datos :

L = 143 m D = 0.203 m Z = 21 m p_ -- p = 0 » manométricamente B ratrn

Z = 30.5 m A

Aplicando la ecuación de la energía entre los puntos A + l Y

2g

2 a - Ze

A

Pb + _JL vb + l = _JL /\

B

y

+ h

y ¿g 2 Va V‘ V2 V2 f —--- - + K, -2-+ 2 K „ -£• + - ! D 2g 2g ‘ 2g 2g

Reemplazando datos ;

9.5 g = f

V2 V2 — x 704.433 + 2.85 --

(i)

92


Cómo sólo tenemos una ecuación pero con dos incógnitas, debemos realizar ite raciones trabajando conjuntamente con los dos diagramas de Moody, de la siguió ente forma : - con

d =? 28.3 cnr s¡* 8 pulg —

- se asume un valor de

► a diag. de rozamiento : e/D = 0.00022

f , por ejemplo

f - 0.014 , y se reemplaza en

la ecuación (1 ) : V, * 3.823 m/s - Ahora, se halla el nOmero de Reynold : = 6*86 x 105

Re * 0.0113 x 1 0 ^ - Con los valores

e/D = 0.00022

y

Re = 6.B6 x 105encontramos en el

diagrama de Moody : f = 0.0155 - Cómo el valor d e NX f" asumido es diferente al * f " hallado, se asume otro valor para* f" y se procede de igual forma : f

asumido

VB

en ec.(1 )

Re

f

hallado

0.014

3.823

6.86 x 10 5

0.0155

0.0155

3.67*1

6.61 x 10 5

0.015

0.153

3.698

6.64 x 105

0.0153

Por lo tanto ; la respuesta es : Cálculo del caudal

V. ~ 3.6^8 m/s J3

93


j^ p ro b .-S e requiere N -sA n2)

sim ular el f lu jo

de aire (^> -1 3 kg/m 3, j ^ U x I O ' 5

en un d u d o , m e d ia n te un f l u j o

H - 1 .3 4 M -S /m 2) a escala

de agua (j> =

1 / 4 . Si el gas tie n e

K ^ /m 3 ,

utvs velocidad media

¡je 26 m /s • (a) D e te r m in a r la velocidad en el m odelo, (b ) ¿ Cuál sera' de pre sió n en el d u c to , s i en el m o d e lo es de 0 .2 2 bar

la p é r d id a por m e tr o

de

lo n g itu d ?

SOLUCION

D a to s : f p = 1..3 y m 3 ,

j4 p = 1.8 x 10* 5 N- s/m 2 ,

j>M =
Rp x Í

vd

H

ces

f = 6 4 /R e

Vp = 21 m /s

x10"3 *i--s/m z , X = l/ 4 , App =0.22b a r : $ VP

- fe

vm

Hp

VM z l _ . J±M ,_2 e. Vp z i - Ü ü . 1 . Vp

Si considero

‘

Dm

Hm = >

VM - 10.1^7m /s

que e( f lu jo es viscoso la m in a r 6 t u r b u le n t o , et\tor>o

f = 0 .3 1 b /R e 1/Í4 r e s p e c tiv a m e n te . Par lo to n t o :

94


5. P ro b - H a lla r te s

la d is trib u c ió n

en irn flu id o

radios

R,

de velocidades y de esfuerzos cortan

se encuentra e n tr e dos cilindros conceTitncos;de m j>ectiv-aTnente , ^T afitam ente ( R ¿ > R 1). ¿ En don

\¡

de es m a y o r el e sfu e rzo c o r la n te , sabiendo <ûe el c ilin d ro sólido ^ ir a

a velocidad sncjular constante ?

SOLUCION

El e s fu m o cortante m á xim o , ocurre en la pared in te r io r del c ilin d ro h\» co de ra d io

fe. P r o b .- Por la tu b e ría m o strada C tfica

i0 u a t

a

0 .9 2 , a

ra z ó n

d

flu y e

•

u.n a c e it e , de g ra v e d a d espe

Itr/h r

e n el s e n tid o indica'l

do. (3) ¿ e l

flu jo es la m in a r?

Cb) ¿ cu á l es la viscosidad a bso luta (c) Si el

del a c e ite ?

f lu jo

es en sentido

c o n tra rio pero con eí mistao caudal tu ra

¿ c u á l sera la le c del in a n ó rn e tro ?

95


SOLUCION

A s u m ie n d o f lu jo

p e rm a n e n te e in c o m p re s ib le , a d ia b á tic o \j u n ifo rm e .

Por ecuación de la e n e rg ía

1 y 2 ■

e n tr e

z2+ b„

_L +. ¿ + í 29

f

29

Por ec. de c o n t in u id a d : Q , - Q 2 =*>V, A, = V2AZ ; pero A ,= A Z = > V, h ,, = 2

Por

-t- L

¡r

J? _ J L + l .........................(1)

f k .v f

¡r

d 29

í

í +

111

m a n o m e tría :l? + (L + 0 .2 5 -|-X )# - 0 . 2 5 X . —X if = Hg

L

1

í

- . 0 .2 5 i ü y

- L -0 .2 5

£

A - A . - 0.25 J Ü L -1.2 .0.25 = 2.2MÍ) m de aceite Ü * 0.92 R eem p lazan do en (1) : f L . V-HQ

— s

f

tT ?

12 0.025

: 2 . 2 % + 1.2 =. 3. HHí> to de aceite

ÍH x 1.83x10^

l i r » 0.025 /

_1_ 3,. 4 4 6 2 x ^ .8 1 "

NOTA :Q= 1.83*10 m %

f -1 0 .0 9 7 8 Cálculo de Re : f_ ¿ 4 ' Re

0) El

--------v

flujo

Asum iendo cûe el flu jo es la m ina r Rp = Ü

- fe. 338

f

es Lam i-nar

, porgue

Re< 2300

36


Si.

Re

hubiese s id o m a y o r que

m a l) e n tonce s

te n d ría m o s <ûe

2.300, n u e s tr a

u tiliz a r

s u p o s ic ió n esta ^

o t r a re la c ió n e n vez de

f = 6 H / Re. (b)

Re = ± W = > H

X--fV¡> Re

- ^ 0 « (^ l8 3 a Ó % Q .0 2 S 2 ),o .n n 6 .3 3 8 _3 m-5

Ce) Ec. de

la e n e rg ía e n t r e

+. z2 = 1 + V l + 2,

1 í

2 ^ 1

2?

S

*3

Vi = > i . i = u% nán D 23 $ $

P o r manóme t r í a : t £ - W - y

7. prob.- En la fig u r a , ei m id o a

b a rre n o <ûe se m u e s tra

ra z ó n de 0 .2 5 K ^/s

a

La presión m a n o rn e tric a m á xim a El a ire

\j = 0 .2 1 & tn

^ h 8 - (l + x + v )!í = ?

sale del

-Rpta.

re c ib e a ire compti-

una presión m a n o m é tric a de fe50kPa de descaiga del com presor es &R0 kPa.

com presor a HO“C. D e te rm in a r la lo n g itu d más grande

de m anguera que se |>uede u t il iz a r en

MAN&UEftA

0=ü.04m

la

in s ta íacio'n, desprecíese los cambios de densi dad ^ cu alquier efecto ocasionado por ¡a c u r v a t u r a de la m anguera.

-j|- 1.8 * 10

S H A -

97


S o lu ció n

" C o n s id e ra n d o

Datos •

f lu jo p e rm a n e n te "

= ° -2 5 K ^ /s

0 r cte*

J

.5 K.

,

b =:í»50KPd+101.3^KPa r

ü - 1 .8 x 10 J 3 _

r

C

N /r n z

Ti = 4 0 “C = 313°K

la e n e ro ía : J l + J í Í . z., = J L + V a . . l ¿ + \ \ . ,

3

29

¿

- ñ i2

Poi c o n tin u id a d •' D espreciando

Ix io

‘2

Tnv-S

Por ecuación de

KPá 1 101 ,3kPd = ^ 1 * ios H/m1

p

1

rz g

12 V, = V i = V= H _ 22¿m.

^>V, A, - p A * ^

las p e n d id a s s e c u n d a ria s :

i - l - ' - . f - L X 2 ...................( „

S

.

De e c u a c ió n C í ) :

1

rt;

D 23

Rp - j f Y D _ H. 4 2 x 1 0 ^ ¡ de diaojTaTna de W o o d 'j :

ca'culo dg f •

NOTA :

J

•**

L

í = 0.0134

- Jl ~ %

_2D

_ 5 3 .1 m

t

íY2

_______

>.^1x 105N 7f l ? * 9 - *

_ 8
x 3 m ~

J/

N - m

8 . PROB.- E n la fic ju ia se m u e s tra dos codos de ____ ¿

í? '

,f T

eÜos

tie n e

trr

In d iq u e cuál de m a y o r co e ficiente

98

Q0 = 80

T a m b ié n ••

SOLUCION

Le^M =' \_Jíl D p

p í e 3/ n ' m

Q' - f ( - k h por Ecuación de la energía • (T u b e ría

h orizo ntal)

= < ( £ ) £ . » .................... ^ ' 2S 2

' 2 AP.Pat^-Px -f2 ( k ) ^ -

> R-i zzz> Le^. > Leg zz=} K¿ > Kj

C om o

z

S. PROB.-t Um co m bustib le

\

de viscosidad

ra z ó n de

de

0 .5 pies *

t ó m r t r 0 . En su L t C ™

fic a

en

1 ,2

80 bie3/ m in ^3

en

de

tre s ^ ú ltim a s tu b e r ía s son 1 2 5 , 3 2 5 y 700 ptós,

v

a tm ó s fe r a , d e te r m in a r el caudal de co m b u stib le

en

cada

una de

O jO : *

¿t-m

las tu b e ría s .

« *

^

(0 )

_ p _ f / U A Va v 3 v p 3/ 2 ^

x

, . , ,

¿p rs d * una ls 3 * * * * *

"* * ■ "« *

' as ^ u^ >râs m xiTnaci0n in ic ia l *• ^

caTn ia ‘ = *3

1/2 —

De

\/ W

De ip) y

:

1/2

tí* ) •

X

-------------.----------- ll--------- -— .— — ----------------- =*■

V

(y)

,

d i á m e t r o . Si las

lo n g itu d e s de las descarqan a la

a r

p

una tu b e r ía horiaonU

f in a . U tu b e r ía se , «

pulgada

* n

y densidad espec({j

0 .667 cp

a

líneas de

v»

¿3,

ca 0.76 , f lu v e tre s

99

Estudio del flttj o jg tS lfL


___________ _______________________ —............................................... -.......^ssfr—»Reemplazando en í«) *•

£.=O.OOl8p¡es

1/2

r€ > 8 0 JPjL - H

fcO seg “

4

• J ___

1 + 4 (§

t

)

0 /2

V,

H4-

SOLUCION

C onsiderado

f lu j o

P o r c o n tin u id a d t

p e rm a n e n te

e in c o m p re s ib le

Q 0 = Q A + Q z + Q 3 ................. ^

V, = 2 2 .0 3 p ie s /s f^hota te n e m o s

V , = 1^.32. pies/s

û e v e r if ic a r

si

pies/s

100


C á lc u lo

de

R e -fV D /}i

0 .6 b 7 x fc .? 2 *10 ~4

:

O . U * í 2 A Ib / p ie 3 diacy H 00 ü\j

D

f

6/D

Re

L

1.rl4 x 105

0 .0 0 1 8

0 .0 2 4 0

1"

125 '

3 .2 3 x 105

o .o o o q

0 .0 2 0 5

2"

325'

4 . 2 0 * 105

O.OOOfe

0 .0 1 8 5

3"

700'

Ud. observará q u e : ^ f c u la r

dichos

{a c to re s

^ A s u m ie n d o

f f 3 j por ta i raion debemos de Teca]

de fricc'ioTi.

- f ^ - 0 .024

De (p) \¡ C^T) :

,

f z = 0 .0 2 0 5

\)

-0 .0 1 8 5

1/2 V_

V, l2

A . J l_

D,

_

De (/i) \¡ ( 0 ) •

1/2 v ,-_

vI _

L l _S l I l 3 d, fa

Reemplazando en (<*):

t k 3:

'/2

_L

.

tO Seg . 4 144

V1=2 o .4 0 pies/s R e c a lc u la n d o c ie n d o u s o

t/z-i

215. M M _ \ ?00 0.0185/ V2 = 11.7 pies/se^

lo s v a lo r e s

de

Re

d e l d ia tjra T n a de M o o d \j *.

^

V

V 3 = 17.1 pies/seg lo s

de

\¡ f 3 ha

101


D

L

0 .0 1<\

1"

125'

o.oooq

0 .0 2 0

2"

325'

0 .0 0 0 6

0.0 1 8

3"

700'

Re

e /o

1. 6 k 10S

0.0018

3.3 h 105 4.5 x105

f

Debido a (ûe los valores de a los a s u m id o s . se r e c u lo

de

lo s

, f¿ y f 3

hallados son cercanos

pueden c o n s id e ra r c o rre c to s ,

c a u d a le s ;

- 11 ( l / i z ) Z x 2 0 .4

=. O .W pie 3/s e g /= t . 1? p ie | m n

Q 2 - 21 ( 2 / i z ) \ i q .8

^ 0 . 4 ZZ pie^/seg = 26 p ie 3/n v m

Q3^ X (3/jzfx 17.1 - 0.&2>q pieYse^ _ 50.4 pie^-mui c á c u lo

d el p o r c e n t a je d e e r r o r

Q T •= Q 1 + Q ¿ +

= 8 3 .1 pLG^/mir»

% error = .Qt-Q. - 83.1- 80 v 100 - 3.8?S% Qo Como

el e r r o r

80

es p e q u e ñ o , n u e s tr o

c á lc u lo es c o r r e c t o .

IQprob.-Dqs tuberías de acero comercial de D-,=5cTn, y D¿=12cm, L2=40Tn.,se encuentran conectadas en serie a través de las cuales circula un caudal de 0.2 m% de un cierto fluido CD.R.= 0*75). Asumiendo los factores de ■fricción f prácticamente guales, deter-minar el diátnetro equivalente eti una tubería del inisTno ma_

IQ2

te r ia i


q.ue

debe

te n e r

una

lo n g itu d de 30 ttv

SOLUCION

D atos

02 L>j

18 mn

L ¿ =

40

Q - 0 . 2. rríVs D.R. = 0 .7 5

-w Se

debe

L e ^ - BOrn

c u m p lir :

hp.

~ hp

f h [>

2

,2 f l a . . L

= f j í .!¿ + f

2g P e ro :

Q ~ Q 1 ■=.

a

!2

H

p2

D, z<¡

V. ^ Ü Q trc f

29 V z l % _

Tí

=> i f l

Tt De^.

- J¿ J>§L + i r ^

o,

n2 tf

d2

r t£

1/5 De<}. = 5 .5 0 7 cm .

Dea = T

D

D

tt\

PR0B.~ Las puntas de un aspersor de un sistema de -riego agrícola, se alimenta-0 con aoûa mediante conductos de 500 pies hecbos de alumiTúo des ¿s una bomba

operada por un -motor de combustión interna. En el intervalo

^ opexación de Tnaijor rendimiento, la descarga de la bomba es piesy sa una ¡cestón que no exede

3.3.4

6 5 p s i. Paia urna operación s a lu -

factoi'2 , los aspersores debeTi operar a 30 psi o a uta presión "manoT. Las per áidaí menores v¡ tas cambios de nivel en este sistema se pueden despreciar. Oriefmi'naT el diámetro de lu b m a mas peûeío <ûe se puede u tiliia r estandar. • Considexat tubería Üsa. V = 1.2 * id 5 pieVs . f - \.t\ M slutj /pie3 SOLUCION

La caída de presión máxima e s : Ta-mbieM.*

^

} I

23 CoflsideiactoTies:

*

Ap> = <05-3.0 - 2.5 bsi Tnáx

= iL - v ^ í - + í t 4- hp * 28

l) Flujo perTrianemle e incooptesiWe 2) ^

pérdidas

3) D = cié

secundarias ^

=> VJ==V2

v= Ü Q

==*

Ab x 8 f L £ q2 Tí2‘ D5r

TtD2

A d e la s :

f?e =

=

H

H

1 ÍV D

l2, pROB - Se tiene un flu jo llega cada r5Tria tiene ^ ¿ e ra rs e

íjcSí

D = 4.026 pulg

al punto A (v e r figura) pata d iv id irs e

va5 Tamas, cada una de Q

Re = 1*056

x 10°

=í> f = o .o v 'l

de caudal constante 1500 g a l/m ln ,

3 pul^

una tobera

en

que

tre s nue_

de d iá m e tro . El aspersor al final de

de 1.5 pulg

de diám etro

mínimo. Debe

las pérdidas -menores en los codos C Longitud equivalente de

cada codo es 30 D ), los

desniveles se

pueden

despreciar.

( Dia
^ i p i 8 ( o . o f O ( 5 o o P' « ) ( 1. n

^ / pK>) ( _

^

,

D eterm inar el caudal

lbf

en cada rama, la

»o'

K 2 Í H . 0 2 t/ l2 ? p ie 5

“

s ta j.p ie

/ $> C Q: 1500^1/^'^

Af> = 2H1H2.3 Ibf/pve -,168 Ibf/pul^2 >Af> /

sión necesaria en ® la presión

zoo''

tnax

pre

RAMA 2

en cada una RAMA 3

toberas

y

que resulta de

las

aspersores.

íjt Sí D = 6.065 pulcj =S> Re - 7.01 x t( f f = 0 .0 1 2 4

(Diac|. de Moody , tubos lisos) SOLUCION

=*

s 8 C o -° 1¿q^ ( 5 0 0 Pies^ ^:i.9M ^lug/ple*) ( 3<3M

Tí2 ( 6 . 0 6 b / i 2 f pie5 ^

^

s

^

üaf.

slucj . pif

A continuación se muestra esquemáticamente

el sistema de

Af>‘ = 3 m » 3 M ..-5 = Z2.°¡ Jk L_ < At>'Yn"l,>y pie p u if

tu b e r ía s :

D j= 3" L \ = 1.5"

rnax

=$ Re = 8. H3 x iO5

Aplicando la ecuación de la energía a cada rama. Se seleccionara' los sub

r>

f = 0.012

índices

^

k |> = 5 5 . 5 \ W / p u l f > Z i f ^ x

i Ok l

i

para la salida de la tobera *¡

j

para

la tu be ría :

106

(0

hp= f JL Vi , f U

r

Considerando *.

( 1)

VA

D 2

V/

D T

V-L

fe) ZA ^ Ei ^

K = faimosferlca

(4) Se despreciaran las pérdidas ocasionadas por \a división de! flujo en e.| punto ® Por lo tanto, la ecuación se reduce a :

i P

Considerando al

- Z

le. Yl . D

2

D

manómeIr ita

2

flu jo

permanente e incompresible •.

A

vf

Reemplazando:

P

2

V; = g g V P El caudal para cada ram a j

i/z

(*M -ir+¥) s e rá :

Qj = k) Vj = Aj .pOk. i - l_

1-------

Cálcalo del númeTO de Reynold Í?P

Vj Dj

4 Qj

y

Suponiendo

TÍ y Dj

tom o

R e ,A . M 1Y

p rim e ra

1

il Trun

= (¿2 - Q 3 = Q a A = 5 0 0 gal/nun

ap ro xim a ció n'.

1.2 X 10

pie2

3 pulg

Tnln fcOs

p ie 3 7 .4 8 g a !

12 p ii'a p ie

Re - 4.73 x 105 Del

diagrama

de

M oody:

f = 0.0133

para tubo liso.

R eem plazan do: Q ’n - Aj

1/2

/

P Qj! r 0.112

(J.)'1 + ÜOB3 ( ? « ¥ «

Aj / H

V P Q i, = 0.217

J2

Ai

¡JE.

Vf

Qj3 = 0.1U Aj /£ f£

Vf

Por

la ecuación

de continuidad:

+30)

Cálcalo de los caudales: Q jt _ 0.192 = o .328 Qa 0.58b

= >

QJ1 = 4 CI2 Qa^/mlti

fija

-— >

Q j 2 = 5 5 7 gal/tTiL-n

-

0 .2 1 7 = 0 . 'i'71

Qa

0 .5 8 5

Qj3

-

0 .5 8 b

Ahora recálcularetnos Reynold

^

para

Q .j^ = 4 5 2 Cjal/miTi

CXlTé. - 0.501

Qa

el

para

'

obtener m ejores

factor de rodam iento

en

u d a rama :

x 4 ;7 3 x i0 5 = 49Z x 4.73

R e ,* QJ1 500 gal/miTi

del

f

aproximaciones para ei número d

diagrama

de

= 4.65 x 105

500 Mood\¡

■.

= 0.0133

Re2 = 5 5 7 „ 4 . 7 3 , io 5 = 5 .2 7 x 10" ------ v f 2 r 0.0130 500

Re3 = 412 „ 4 .7 3 , 10* ^ 4.28 x 105

------- s

f3 = O.OBfc

500

S u stitu y e n d o valores

en la ecuación:

,1/2

109 por

la ecuación ■-%' continuidad *. C’J1 ^ & ] 2 +<*j3 = 0 . 5 8 4 b j M P

^

Recálcalo de ios caudales ; Qj, -

X1500 = 4 C^

gal/miti

0.584

Esios valores son

Q.J2 = 0 -2 H x1500 - 557 Qal/tniT\ 0.584

O.j'3 ^ O.H5> x 1500 = 4 4 ^ cjal/nim 0.584

aceptables

para

d is e c o

tu b e ría s ,

p e io

de

el

se puede s e g u ir

f e calculan do

si se

desea Tnavjor e x a c ília d

De la ecuación (1) , despejando

S u s L itu \je n d o

valores para

U = i , 1.^4 slua. ^493 3a]_ x ±

\

2

pie3 1 p_)

mln

PA :

la raro a ¿ '

TI 33

f>ulg

1

x jííL , 7.48 gal

+ 0.0133 (200 pies XJ ____ x 1 £ Í h ! í+

v 1.5 /

V

5pulg

pie

m

60s

x i w í

Í )

pie2 '

30V Ibí.s2 „ píe2 ' j slug. pie

|>a - . U 2 Ib f/p u l^

Análogam ente:

= °H.4 Ibí/pulg2- , para PA = % .5 Ib í/p u l^ , para

la rama 1 la rama 3

144 puhj2-

De

los

tres

valores

obtenidos

t>aia

fc»

, se

roncluve :

,

&

C alculo

de

Aplicando

ja

presión

la ecuación

en

la e n t r a d a

d e la energía

, ,

5=11 Ikf/pulg-

de

cada

(S)

entre

y

lobera

aspeiso r a :

la e n í r a d a

a

la

t o b e r a , spccicm

"n’ ', r e s u l t a :

JL+ ^¿+ 3 ?A - A + ¿ f 2Hn + hp ; ?

2

f

hp -- í JL

2

D

Por la ecuación de conUmuidad v Va -Q a //A j,

^

+f j± V>_ 2

D

2

/ Vj = Q j/A j , pox lo W.»

Reemplazando valores para la rama (D : p

91 M _

{juI^

+ i

x

2

W

5ÍM. A500 ü L

pie1 v

x r,_rO.OSSf200ptó5x 1 l

L

'

Bpulg

x 4.

min

_ x

P H L

7.48^1

x mil

x 144 J > u l £ f

605

pieu '

xC B k t 3 0 )4 .fl(Í3 3 f(ÍL \4lM ¿ L _ * -E il" ¡pie

p^= 52.3 Ibf/pul^2 Análogamente '.

1

Tí G }>uig

= í>6-3 Ibf/pulg2= 43.3 Ib f/p u lg 2

'

J V 1500^ ' 3 /

i slucyp$

1 4 4 pui g

13.PPOB -- Un flujo de je tu b e ría s

indicada

CP RAMA *J*1 L, = 61 O ttj

56G iitros/s

e s ta

circulando a través de

en la Cüjura adyacente*

^=30.5 c m

la red

Para una p re sa n m anóm e-

tr ic a

de ?.03 kgf/cm 2 en el mido A ,

d

presión . puede esperarse en el m

do B ? D esp reciar

la

p e rd id as

s e c u n d a r ia s .

Seg

H 8=15.25Tn| .B RAMA >l-2

Tubería de fundición

l¿-457m

total m e n t e

5olü Cion Asumiendo : =>

- 0 .3 Q r - 0. 3 x 566

=>

Q!, = 169.8 litro s /s e g

{j' = 0.0191 (de diagrama de Mootty)

Kp I. = f; A í l . j —í

D1

V,’ z

Q ’i = 2.35 ■‘TT Df

Re, -

U

hp = 0.01^1 r1

m S

= 6.5*10

610 0.305

5

V

hp = 10.57m

i / D- 0.OOO8 ( de diagrama ole

•Moody de rugosidad pa-ra Evaluando

pata

D=30.3cm=12")

la rama t>4 2 ■ —

asumiendo

Í 2 = 0.018 ^2

. 2.33¿ 2» S .8 1

= >

V¡ -

3 .3 9 rn /s

= >

Q'z = I L - D j , V¿ = 0 .5 5 6 mVse^ = 55fclitro s /s e o 4

El

caudal

total bajo las condiciones supuestas e s:

Q y-

Ca Ic u io

Q.\ + Q'^ = 1£>9.£>

de

los caudales

Q. -- _ S L a r = M

Q'r

=. 7 2 5 .8

reales

:

* 5tó = 152 k i m

?25.&

5e3

Q 2 = _ ? 1 . Q t = ^ 5 £ _ , 5 6 6 = M3 3 .fe litros Q't ?25.8 seS

Cálculo

de

las

1 P1

= 2. 6 MTfl/seo

d2

= M.q, 10 5

V £/D= 0.OOO8

Vi

23

Re? = v¿ ° z y

= uacf5

£/[> = 0.00055

(para DcH5.ícm=l8'

Hierro fundido

= 0.019 4 (D e diag. de M.)

> {^ r 0.0178 (d e

h P = 6.H8 m Como C á lc a lo

h(> ~ hp^ de

3

ttd^

% = f2 - i i

23

Re, ; Vi

V? -

perdidas reales

hp : f , k í 1

litro s/setj

no son

fg * Emplea-ndo

^necesarias c ita s itetaciones la

ram a

TiM

2 q +■ hp

A&

diag. de Moodvj

14. PROB L1=

En

la figura cûe se muestra: TRAMO

3000pies

l 2 = 2000 pies

Dn = 1 pie

D ^ - 8 =0.bfc7 pies

£/| = 0.001 pie

í2~

Li = hooo pies

o.ooo 1 pie

-

, D3 =16" = 1.333pies

£ 3 = 0.0008 pie p = 2 5 lúa pie5

ZA=1000 pies

pauto

B

Volumétrico si

el

cauda1

a

través to ta l

ûe

de

Se

pata

asum irá :

tra m o n2 1 ^

Q-! =. i

.

4

Qt

.

■>, pie / seo

4

°

- J _ , 12 - 3

cada

circula

SOLUCION

Evaluando

HB=80 pies

secj

Determ inar el caudal slon en el

£ = 80 psl

V =0.00003

t u b e n 'a es

de

^

la

pre-

1 2 pie 3/ s e c j.

Evaluando paTa tramo

6 ,/o, = 0.001

= > f^v - 0.022

( de diag. de Moodvj)

Sabe

v3¿ 23

^

Di

E v a lu a n d o Se

h¡> =■ tip^ - h'p3

Se sabe ûe

= * 14.95= f , l 3

hp = f* J ±.= 14 . % pie ' 1

para <ûe

lia ra o

ti® 2

asumiendo

^

= = ^ f j = 0.020

= i> 14.95=0.020 4000

h'p = h'p

1.333

= > 14. S5~ f ' J-¿

V¿

?2 ~ í| = > {^, =0.020

=> 14.95 = 0.020

2000 0.667

= * r¿3=

y

= U 8 *io s

£3 /D 3 = 0.0006 2» 32.2

VÍ, = 4.01 pies/setj = * Ra, = M? p2 = 8.92 ,104

= * f j = 0.020 Como el valor de £3 "no vana : V 3 = 4-01 píes/seg

V

£2 / D z =0.00 0 15 =>

%Z 2 ,3 2 .2

V jr 4.01 pi.es/scg

23 asumiendo

3

G[^ = IL D3 V 3 - 5.60 pifó/seg

= 0.019 (d e diacj. de Moodv)

RecalcuU-ndo

V’2 :

^ El caudal total ,2.

14.95 - 0.019 . 2000 Vz 0.6¿7~ 2 .3 2 .2

=> Ql2 = I L

V*2 = 4.11 ples/sej

bajo las

co'ndi clones supuestas ofT = q\ +■ alz + q'3 Q!t = 10.04 pies3/seg

Vi = 1 .4 4 pies3/s«j jífrkft

: Q't t Q t

es:

115

de

lo5 caudales reales

Q |S j L « Q t = - ¿ - * 1 2

= >

a2 ^ i L . aT = - M I xM

==>

Qz- 1-72 pie«Vs«8

= *

a 3 =6.70 ple^Vscg

W'

Q’t

10.04

Q.T

3.58 plesVsej

10.04

Q , e J Í í -.íIt

=. -5=6 ° . .12

a‘T

Comprobando

io.o4

los valores

de h¡> ■>

y hp^: f , = 0.021

V¿ = 4

= 4 . c13 pies/wg

R e ^ -I.O S

10J

- 2 o. 4

V

Tí Df

pies

f2 = 0.0tt

hp2 .:

f 3 =0.011

hp3 -= 20.4 pies

21.6 píes

Tí D*

- 4 - 4.80 pies/seq Tf Pt

Re3 = 2.13 x JO5

0.018 \j

entre

hubiera

0.018 5

seleccionado

habría resultado

Cálculo

de la

presión en el punto B

a

¡t

a

»

Kp

==> po _ 183.62 . 62.4 = = > B 144 —

51

se

hp "í

3

correctos

porgue'.

hp ’ X, hp ~z r3

Cfe) ""considerando tramo ns 1

1 . + Ea + = *8 4 Z R + _ í _ _ 4. hp H + A + 23 T 23 M

=>JL=: J L + z« -

;

2 0 .4 píes.

Finalm ente, los valores obtenidos se pueden considerar .

0.019

,

bp = hP< + h p 2 4-Hp3 = 2 0 ,8 ^ 46

- J Q j d Ü 4.100 - 80 - 20.8 ==> ¿2 . 4

B, * 7 < U 6 pst B

3

. *Sl = 183.82 pies ¿f

15. PROB-- Considerando am bas

en

poseen

s e c c ió n

dimensiones

dos tuberías del mismo

tra n sv e rsa l

<ûe la

o tra

r e c t a n g u la r , doixie

Cancho y

largo) , y

un Tnlsmo tip o de flu id o . D eterm inar en duce

la ma\jor perdida

por

m a te ria l; sabiendo ^ una

poste

ET.tot.ces:

*

h[2 = K

D ^

el doi¡t

cûe por ambas f'm<

cual de las dos tuberías se ¡>f

fricción siambas son del mismo iriatery y la velocidad media es \a mlsti\¡

R azo nando:

RpTA.:

hp¿ >hp^

, porgue

^

tubería de menor sección transversal otutre la perdida.

^

tmôr

SOLUCION

N2 1

2h

46. P R Q B En

la figura

ei que

a ir e

ílusje

se m uestra un tntercaTnbiador de flujo paralelo ^ er»

\¡ aûa* la

n°-2

pared

del cilindro y

los tubos son del

mismo tnaieriaUcuâ rugosidad es

2b

-----— ------------------------------------ £ - 0*2 rom . Déte r mimar la rugosidad re -

D,= 4 (2b) (2h) 2 ( 2 b + 2 h)

Do = 4 b h 2 (b + h )

D1 = 4

D-> = 2

b h b + h

Re, = V Di - 4 V bh V V b th

I

/ íü \

iativa deí ladodel acpa j del aireen el

a

través del inlercatobíador de

c a \o t.

b h b f h

Rbn = V P2

ílujo

Í3JSS

f e AIRE

2 V bh V b +h

□

ASUA

SOLUCION.

No'tese ûe : Asi

D.| = 2D2

y

La ruoosidad re la tiv a
se define .

por :

ta m b ié n : £ i/ D i= 0 . 5 £ 2 /D 2

Ojo :

donde,

f 2 > f<|

Du DH

, DH- ^ ™ c^ro Hidráulico

transversal ocupado por el flu jo )_________ .

p e rím e tro mojado de la sección transversal ocupado p r el flujo

£,= €,, = £ porgue son del m ism o ■material

De diagrama de Moody :

D^| - 4 ( á re a

£/D =

aqua

4 [ - y

- 4 ( - ir - ) ]

^

4 d¿ = 3 4 2 .8 5 7 m m

[D h I aire ' — - ■■— -^^ - 1 3 - = d = 50 mm

4 Tíoi E valuando:

rr / t i

„ .

AGUA

342.B57Yi?m

[ £ / D1 AIRE =

1 7 . PR O B . circu la

Por

(b) La

potencia

°-2 50 m m

el sistema m ostrado

115 litro s /s e c j,

(a) El caudal

-4

^ _A 2m n___ r 5.833 K10 4

[£ /D j

flu ^ e

agua *, s í por el tram o 2

c a lc u la r:

<ûe circuid de la

4 * 10'3

por los

bomba

tram os

C ^ - 0.84)

1 y 3.

SOLUCION Toda a

bomba

im pulsa al flu jo

una rn ism a

p r e s ió n , es d e c ir: J*=|£

vj hz se despTecUn

Ecuación de la energía entre JL + f

+ Hc = *3

VC : V E

*

( por

c

y

E

:

i + - ¿ + ?E + f 2 l i — ! ¿ 29 D» 23

ecuación de continuidad )

2 <¡ ~ O .

% -

âírn = ®

(.mano W trlca m ente) [ 4 x 0 .1 1 5

=> J L = Z r +■ f, L2 v2 t h 23

itLJUS? = 60 +0.023 J>00_____ .. 0.15 2*9.8

Ecuación de la energía

entre B 3 D :

A + J ¿ + íB , S 2J

23

VB = VD

Cpor

i

+ f, h - 4 -

ecuación de continuidad)

V - °

( manóme trlcam ente)

D3 2g

JL = JL-258.6Tn í

»■

I 120

... h ..... v , w

=>

-

z°

= . / f

0.2 C

2 5 8 . 6 - ?5

vi

L3

= >

V 3 = 2.4?4 Tq

0.020x300

’S

Q 3 = J L ü] V3 = 0.078 m3/se ^

C á lc u lo dfi

^ " 0.3 - 0.115 "t~ 0 .0 7 8 = = >

Qi =

= 0.193 tti^

% ademas:

V| = 4 Q-i - 2.T3 ™/seg

Tf cf.

V2 = 4 Qz - (>.51 m/seo ..ti ti.

Ecuación de !a energía

JL »

+

+

Ea

-j-

•=0

4- J Í 4. 23

VA = VE* = O = >

--

Jüi.

H0‘ 4-

+ f,

(manometr ícaTtiei\le)

D1 23

A

\¡ £* :

+ f, _ k J ^

29

H b = M .4 1 5 th

D* 23

+ f, Jd. J l D1 23

=0 (m anoW tricáTrente")

Ho = ( e £ . - 2a ) + f , _ k J ¿ D* 23

JiL

’ C,

¿TD' = 75 m

+ f 1_ k . J ¿ _ 28

+ Hb = l l + _ í¿ 4- ZE' +- f 2 á 29 fg» -

23

»3

Hb = ( 2 0, - Z a ) + f J k

Ecuación de la energía entre

*

0* :

« 2 8

l>3

A

\¡

A

Hb = JdL +

29

V a - Vtf = 0

= >

e n tre

z?t \ - GOtíi l

2g

= *

H b = 238 .% m

Calculo de La

la potencia de la bomba

bomba se

evalúa enbase

a

la

altura maVoma re q u e rid a

Ug

= í > Hg= 238.S8 Tn ==>

_ 1000 » Q . V t t x 236. %

Potencia = > Qi Hb ?é T¡

%

* 0 .8 4

Potencia = 722.5 HP

Comentario : - Para e v ita r cûe el deposito debe -Las a ltu ra - La

colocar

una

a ltu r a s

K1

?5m

presión

y

va'lvula

\¡ í>Om

e n tre

situ a d o a

?5m de a ltu ra

re b a ls e , se

re g u la d o ra de caudal en el tra m o na 3

en comparación con , ra zón por la cual se les desprecian.

D’ ^ D

Ana lobamente sucede entre

son peûafías

las

se desprecia

porgue h 1 es pequeña •

E' ^

£.

1

CAPITULO 4

ESTUDIO DE LA CAPA LIMITE 4*1 INTRODUCCION En el capítulo 2 se desarrolló las ecuaciones que describen el movimier* de un

fluido,

es decir,

las

ecuaciones

de Navier-Stokes

(1827).

Uc.

señor lector, habrá comprobado las dificultades matemáticas para resol vetales

ecuaciones

y aplicarlas

a diversos

problemas

de

la mecánica &

fluidos; salvo algunos casos sencillos, como los vistos en dicho segunr capítulo.

Por lo expuesto, se hace dificultoso continuar con el estudi:

de los flujos viscosos.

En base a las ecuaciones citadas.

Para continuar con el estudio de la "mecánica de fluido", se detallar! las

teorías

desarrolladas

por

el

ingeniero

Ludwing

Prandtl,

introdujo por primera vez el concepto de "CAPA LIMITE" (1904).

quie'

Prandf

demostró que numerosos flujos viscosos se pueden estudiar dividiéndolo: en dos regiones, una cercana a las fronteras sólidas, y la otra cubriera el resto del flujo.

El nuevo concepto de capa límite permitió enlaza'

la teoría y la práctica.

A su vez, éste nuevo concepto de capa 1fmití

nos ayudará a solucionar problemas de flujo viscoso que resultan cas1 imposibles resolverlos a través de las ecuaciones de Navier-Stokes par; un campo de flujo completo.

El concepto de capa 1 ímite inicia el comienz:

de la era moderna de la mecánica de fluidos.

4í2

c apa

límite

La capa 1 ímite es aquella zona adyacente a un contorno sólido, en donde

los capa

efectos

viscosos

1 imite,

el

resultan

efecto

importantes.

vi scosos

es

Fuera

despreciable

de y

esta el

región

fluido

de

puede

considerarse como no viscoso.

En forma análoga a lo que sucede en un i flujo a través de un conducto, el flujo en una capa 1 imite puede ser laminar o turbulento; ello se determinará en base al valor que adquiera

el número de Reynold. Fig. 4.1

Sin

embargo,

no

existe

un

valor

único

correspondiente a la transición del capa 1 imite.

para

el

número

de

Reynolds

flujo laminar a turbulento en

una

Algunos de los factores que afectan dicha transición son:

el grandiente de presión, la rugosidad de la superficie, la transferencia de

calor,

las

fuerzas

volumétricas,

y

las

perturbaciones

exi stentes

en la corriente libre. Al examinar la fig. 4.1, consideraremos de un modo cualitativo el flujo sobre una placa plana.

Obsérvese, como muestra

la figura, que la zona

laminar comienza en el borde de ataque y crece de espesor.

Se alcanza

la región de transición cuando el flujo cambia de laminar a turbulento, con engrosamiento súbito consiguiente de la capa límite. vamos a estudiar el caso en que se produce del

flujo

turbulento

la

cual

predominan

el

concepto

de

existe

una

los

efectos

subcapa

laminar.

zona No

la transición.

adyacente

laminares,

En este capítulo

que

se debe

En la parte

a la placa nos

tener

plana, en

conduce idea

a definir

de que éstas

distintas regiones del diagrama son zonas de flujos diferentes claramente diferenciadas.

En

realidad»

regiones donde predominan los otros.

se produce

una variación

suave desde

unos efectos a las regiones donde predominan

Sólo por cuestión de didáctica y de análisis sencillo,

estudia el

las

comportamiento de las distintas

se

regiones si están separadas

por contornos definidos. 4.2.1 Es el

CONTORNO DE LA CAPA LIMITE 1ugar geométrico de todos

los puntos a partir de los cuales

el

efecto viscoso se considera despreciable. 4.2*2

ESPESOR DE CAPA LIPSITE (¿)

Es aquella altura ó distancia respecto de un contorno solidos a partir del

cual

libre como

las

partículas adquieren

(V0 ó V^), aquella

También

distancia

la denominada velocidad de corriente

se define el espesor de la capa

a

pe'ti r

de la

cual

el

flujo

1 imite

responde

a

"
comportamiento ideal. 4.2.3 Es

ESPESOR DE CAPA LIMITE APROXIMADO (éA )

el

1ugar

geométrico

de

los

puntos

en

donde

la

velocidad

paralela

a la placa alcanza el 97% del valor de la velocidad de corriente libre (V0 ó Vqo). contorno

También

se dice que es aquella distancia

sólido en donde

la partícula

respecto de

un

adquiere el 97% de la velocidad

de corriente libre. 4.2.4 Es el

SUBCAPA LAMINAR (
todas las partículas fluidas en una

zona adyacente a un contorno sólido dentro de una capa límite turbulento, en donde por
los efectos viscosos

son

importantes.

Su espesor

se designa

NOTAS: )

Si el flujo se desplaza sobre una placa plana es impos ible que se presente un gradiente de presiones. El gradiente de presiones, sólo se presenta cuando el contorno sólido tiene una forma no plana, genera el

fenómeno de

la separación o desprendimiento de

la capa

límite. 2„)

cf es mayor que 1 a rugosidad promedio de una tubería, se di ce

Si que

dicha

tubería

responde a

un

comportamiento

hidráulicamente

1 iso. ESPESOR DE CAPA LIMÍTE POR DESPLAZAMIENTO

(

¿*)

Se le define como aquella altura imaginaria a la que debería desplazarse el

contorno

sólido

ideal; es decir,

para que

todo el

flujo

concepto

de espesor de real, (a)

de velocidades

sin

desde la pared. másico real.

del

un

comportamiento

sea un flujo sin rozamiento en el cual el caudal

masa sea el mismo en cualquier sección. velocidades

adquiera

capa

1 imite

(viscoso)

rozamiento

se

por desplazamiento. ha

en

En la fig. 4.2 se i 1ustra el El

reemplazado mediante

(b) (idea) desplazado una

perfil el

de

perfil

distancia, cf*»

perfil

El espesor de desplazamiento,
resulta igual

Para una placa plana de ancho b:

al

correspondiente

del

perfil

126 real :

i#0> « {•00 idoal :

P

%=

V continuidad:

r

ma=rfib

r 00

f> v b dy =

J*

•'o

P

v° !

ando flujo incompresible: \ p = cte

f<5*

\ v0

i - *• 1

v0 dy

i

*<

dy =

v

C l.

*00 <

f°° \ •'O

dy =

v

o

r« 1 J0'

to

•to

*

»co

V0 dy =

L

r®

r » °

dy

Jo

!

lo

v° d y -00

l

Jfr

j

=

(v0

*0

v

d y

- v) dy

>09 í v o

i *

=

J |o

= s

(

-

{ 1

V0 - v) dy

f

)

dy

v0

»

5 (1 0

EJEMPLO 4.1 Considérese la capa límite laminar sobre una pía plana con un perfil de velocidades dado por:

k ■ I <í> - i ¥ siendo este perfil;

^

^ ^

x

/ReJ

a)

Establezca tres condiciones a la frontera aplicables a este perfi1 de velocidades,

b)

Obtenga una expresión para 1a razón ¿.*/ ¿

c)

Obtenga otra expresión para la razón ¿*/x

Solución a)

Las tres condiciones a la frontera son: y a 0

y = í

==*

y =J

==>

(Ver fig. 4.1)

v = 0

................(I)

v»Vo

................................( I I )

o

.(III)

ay

Comprobando; V Vo ■ 1 - Í <í>

0

(I) :

% (II) :

1 #

- 1

< ! )3

vo _ 3 1 (

(III) :

0 = 0

{Correcto!

i =■ i

{Correcto!

>

p. 3y

= 0 y =5 Correcto!

b)

r=

f

t ' - Ü vo

dy

¡ " i * c)

Sabemos que:
y

rf/x - 4.64/7RÍ7

Luego de multiplicar, miembro a miembro, ambas relaciones resulta:

ESPESOR

DE

LA

CAPA

LIMITE

POR

DEFORMACION

DE

LA

ENKRQ j

CINETICA ( í k)

Es aquella altura

hipotética

a la cual

se tendría que desplazar el

contorno sólido para que la energía cinética transferida sea semejante a la' que transfiere un flujo ideal.

Ffg.

4.3

Recordamos que:

2

Efc

..........

Energía Cinética

Luego: Ek(REAL) = Ek(IDEAL) fo f ÍV0 - V) | V2 dy = f \ V0 ék

v0?

ESPESOR DE LA C A PA LIMITE POR DEFORM ACION DE LA CANTID AD DE MOVIMIENTO (

129

Es la altura hipotética a la cual se tendría que desplazar el contorno sólido

para

que

la

cantidad

Flg.

de movimiento

4.4

c Mr e a L = C m ideal

| f b (V0 - v) v dy = j) V0 b <% V0

COMENTARIO

k

* a

ín -

- Para n = 0

:

én “

- Para n * 1

:

én = 4 -

- Para n = 2

:

rfn = 4

Jo

producida

sea

igual

a la

1

130 V0 :

velocidad a una altura <5-

v

velocidad a una altura'\y"

:

NOTA.- Todas que

las fórmulas

atravieza

anteriores

ung placa

han sido deducidas para un flujo

plana,

en la cual

se ha

asumido

que

el gradiente de presiones permanece constante. 4,6

ECUACION DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE VON KARMAN Para deducir la ecuación de Von Karman, vámos a considerar un volumen de control de espesor "b" y longitud dx con una altura correspondiente al

espesor de

Consideraremos

la

capa

para este

permanente, la ecuación x.Las

tensiones

sobre

1 imite,

como

volumen

de control, en el

se muestraen

la

fig.

4.5,

caso de un flujo

de la cantidad de movimiento enla dirección la

superficie de control

en ladirección x

se indica la fig. 4.6.

Fig.

4.5

Sumando las fuerzas en la dirección x:

(Ver fig. 4.6)

dFx = p b S- - (p + | | . dx) b (
dx -

dx dS + j

«0

dx dé- ~ dx] b

«0

dx) b d# - T b dx

Flujo de la cantidad de movimiento, por unidad de tiempo, en la dirección x que sale del volumen de control: . En la parte vertical x:- \

P v 2 b dy

- En la sección vertical (x +. dx) : |

q2 v

b dy +

^

^ v 2 b dy] dx

- A través de la superficie superior del volumen de control: tfm vm Vym dx vm :

vm2 dé) b

velocidad local de la corriente principal en la dirección x,

(vm = V0) V^:

velocidad local de la corriente principal en la dirección y.

fm :

densidad promedio del flujo.

Luego, la ecuación de cantidad de movimiento será: -(¿áE+TJbdx^ljrtJ

v2b dy] dx + ( ,j>Vym dx - f vmd )

Aplicandola ecuación de continuidad, paraflujo permanente,

b.vm

al volumen

de control seleccionado: f f v b dy-fm Vyjrjb dx +fm vmb d«f- [ ] f v b dy-|^( \ f v b dy) dxl = 0 Jo 0 0 v:

velocidad genérica en la dirección x.

Simplificando la ecuación anterior, y ordenando: ■' (^m*vy m ,cíx “ ^rrrvm*d¿) b ~

'■

P<í ( j f v b dy) dx o *

Reemplazando esta ecuación en la ecuación de cantidad de movimiento:

132

<ífx+T)b dx

=

\ f v2b d^ dx*vm fx ( S* P v b dy)dx O

o

Como b =cte, se obtiene luego de simplificar dx:

- * ñ - x ' & [ í f v2 dy] ■ ^ s* c f f v dy] 0

_

Si dp/ax = 0, resulta claro

O

q ue' Vm

»

V0 " es

esencialmente

constante

y podemos combinar las integrales del miembro derecho de la ecuación anterior:

' T = Jx [ j

f (v 2 ■ V'"v) dyl

Para un flujo incompresible:

• ? ■ ! ; [ ( Como

Vm = V0 = Vm

= &

[ L

f = cte

- »• *) < w =í>

%

[ Jo (\/0 v - v2 ) dy]

^

ECUACION DE VON KARMAN

Vo2 dy

^0

Ahora podemos definir la velocidad de corto

jfc.y:'

.•■

.■■

■■.

(V*) :

,

.

Entonces la ecuación de Yon Karman quedará:

ECUACION DE YON KARMÁfl VELOCIDAD DE CORTE (Y*).- ES

una

expresión

mismas dimensiones que la velocidad

matemática

que

tiene

las

(LT“*), pero no es una velocidad

en sí, sino tan sólo un capricho matemático. EJEMPLO 4.2 Considerando

L

una

distribución

de

velocidades

parabólica

en

la

capa

l í mi te: v = a + by + cy2 Determine

la razón

(é/ x ), el

esfuerzo

cortante

(X ) y el coeficiente

¿e rozamiento.

Solución Las condiciones de contorno que se cumplen son: (I) (ÍI)

o

(III)

y

PERFil de

capa

LÍMITE

V =a + b ^ c ^ ^ y y / r r y yyr

X

X Por

(I) :

Por

(II) :

Por

(III) :

0 = a + 0 + 0 V0 * 0 + b ¿ ¿I

==*

a = 0

+ c é2

= b + 2 c
Calculo de la razón (&/x) : Recordando la ecuación de Von Karman:

La distrituv'.iDT\ de veloci dades estará' dada por:

Como se ha elegido el borde de ataque como el origen de referencia Si

x = 0

=$-

reemplazando en la última ecuación : 0

+

c\~

0

— =»

JL f Vo

c] = 0

30

y = so ( ~ h _ ) x2 .pV0 x

30

5.48

R*.

Rp“ 1 / 2 ex

Cálculo del esfuerzo cortante ( X ) : sabemos que

X * -4

{ --7 --) = >

T: 5.48 RéJ/ 2

t

=

0.36496

f

■

R,

1/2

Cálculo del coeficiente del esfuerzo cortante en la pared o de rozamiento se le define de la siguente manera : T

Cf

V 20

0.36496 f

I f V20

Re' 1 / 2

Cf - 0.73 Re

1/2

4.7 SOLUCION EXACTA DE BLASIUS Tal como en el ejemplo anterior de velocidades y encontrar

parabólica»

se

(Ejm.

puede

4.2)

asumir

SOLUCIONES APROXIMADAS

para

se asumió una distribución otro

tipo

de distribución

poder evaluar

las

siguientes

relaciones: é -/x

La

solución

*
exacta

$

de

T

, éq,/x

Blasius

nos

»

C(j

proporciona

un

resultado

correcto

para un caso sencillo especial, permitiéndonos una comprobación de los métodos aproximados que pueden aplicarse de un modo más general. Blasius

analizo

considerando

un

a

un

flujo

gradiente

de

que

se

presión

mueve cero.

sobre En

este

una

placa

plana,

análisis,

acepto

que la forma de la distribución de velocidades se mantiene a lo largo del flujo.

136

La solución exacta de Blasius es la siguiente JL X

=

£ X

4.96 R¿J/2

-

1.73 Re

---

1/2

0 .664 R¿*/2

X

x

T

=

0.332 f V ^ R ¿ * /2

»

1.328 Ré

/ Cd

1/2

NOTA: "Todas las ecuaciones simplificadas dadas hasta esta parte, del presente capitulo, se puede aplicar solamente al flujo laminar" 4.8 VALOR MEDIO TEMPORAL

|

Se le define como aquel valor medio que se mantiene constante con respecto al

tiempo,

y con

respecto

a las oscilaciones

en

torno a dicho valor

medio.* Para estudiar al

FLUJO

TURBULENTO

se emplea el concepto del valor medio

temporal. Para flujos permanentes se le define de la siguiente manera, en el caso de tratarse de una magnitud B cualquiera: t + At

Í

Bdt

t en donde

At

es el

suficientemente de tiempo.

intervalo de tiempo en el que se efectúa

grande

para

hacer que

la ma'gnftud B sea

Así* el valor medio temporal

la media

independiente

equivale a la parte del flujo

bien ordenado. La parte fluctuante del flujo se representa por cantidades que

llevan

la notación

prima. Asf, el campo de velocidades puede ser

representado por Vx

=

■'y = vy + v ; vz

=

vz

+

v;

íambién, es necesario mencionar que

las ecuaciones

de Navier - Stokes

se consideran válidas para un flujo turbulento si se usan las velocidades reales,

etc.

Sin

embargo,

desde

un

punto

de

vista

físico, será

mas

importante lograr relaciones a partir de estas ecuaciones para el valor medio temporal

de

las velocidades,

ya que estas velocidades medias

se

observan fáci1 mente y son más significativas en los cal culo prácticos. Luego de reemplazar el

valor .medio temporal

de las velocidades en las

ecuaciones de Navier - Stokes, y en la ecuación de continuidad; se obtiene un

tensor

de

esfuerzos

aparentes,

que

esta

relacionado

con

1 as

fluctuaciones de la velocidad de la siguiente manera:

®"xx

r

xy

*xz '

Tyx

hy

V

_T Z.X

Tzy

fzz

s

- f (Vi)2

-f V¿ Vy

-f

-f Vy Vi

-f (v; ) 2

- p v ; v¿

■ f rz v;

-p (V¿)2_

f V¿ Vi APARENTE

4.9 LONGITUD DE MEZCLA DE PRANDTL ( j¡ ) Es

un

concepto

teórico,

que

intenta

describir

el

comportamiento

del

flujo turbulento; y a través de él, se puede o b t e n e r una expresión para la

distribución

mezcla

de

de

velocidades

prandtl, se

partículas

define

equidistantes

del

flujo

turbulento.

como aquella

respecto

de

una

longitud

La

que

referencia,

longitud de separa

que

a dos

intercambian

una misma cantidad de movimiento. El las

concepto figuras

precedente 4.7

y

puede

4.8.

La

expresarse

.atemáticamente

diferencia, entre

las

con

ayuda

velocidades

temporales de los elementos de_ fluido que llegan desde

de

medios

(y + J¡ ) y las

del fluido en y, viene dada por:

Análogamente :

• (1 )

AV1

=

Vx(y+S)

'xy

AV2

=

Vxy

Vx(y-H)

..(2 )

*y

1 Vx(y_+!>.. „ .. .

A1 Yxy

,I /

jí

n

% a - h /

mT77m7rmr7777777777r7777m//////m F1g.

Fiq.

4.7

4.8

un desarrollo en serie de Taylor en un entorno del punto y. Debido a que í será bién pequeña, se tomaran dos

términos

de

y (2 ) resultan:

la

serie

solamente.

Por lo tanto las expresiones

(1)

La media

temporal , en la posición y, del

VELOCIDAD en la dirección del

MODULO DE LA FLUCTUACION DE

flujo puede considerarse igual

al módulo

medio de las diferencias de velocidad anteriores. Así :

Vi

= }

+

■=* ■V¿ =

aVv

) J ...................... (5)

Las fluctuaciones de velocidad en dirección transversal tienen un módulo semejante. Es decir:

v;

VÍ

•

vy

=

^

...................(6)

Se demuestra que la tensión o esfuerzo cortante aparente esta dada per

( ^xy) aparente

x ^0

= f vx • vy (ver ^

T0

-

f

(V if

- f

tensor de esfuer -

„ zos apacentes)

[ ( ^ ) í T

VELOCIDAD DE CORTE 0

DE

FRICCION Así de esta forma hemos desarrollado la TEORÍA DE LA LONGITUD DE HEZCLA DE PRANDTL, que será api icada en el desarrollo de posteriores temas.

I

140

4.10

DISTRIBUCION

DE

VELOCIDADES

PARA

NUMEROS

DE

REYNOLDS

ELEVADOS Acomodando la última relación, de velocidad de corte o de fricción, resulta: ..........

avx = ^ d y

(7)

Prandtl , estableció la hipótesis que:

Sl= ay donde "y" es la distancia normal al contorno y "a" es una constante de

proporcional idad

aceptó del

que

la

contorno;

será,

para

que

tensión por

se

cortante

lo tanto

un flujo

determina

experimental mente.

aparente T* es

constante

la velocidad de corte

incomprensible

Además, cerca

V* también

lo

(f = cte). Reemplazando esta

hipótesis en (7):

v*

Integrando resulta:

Vx = ^ l n y

Por condiciones de contorno:

=»

si

Vmáx =

y =¿

( 8)

+ C vmax

= í

11 ln ¿ + c 3

Restando (9) - (8 ) , resulta:

Pero

a = 0.4

Como

las

(constante de NIKURADSE)

expresiones

de

esta

sección

son

para

unas

condiciones

de flujo turbulento, no será de esperar que los resultados tengan validez alguna en la subcapa laminar

L_

•;'-VvV:• V-1.

! í¿,r ’V ?

■

/

‘’ -.t

:§£Ü2 0 " a

Turbulenta V'y;^* i;,í.? v;ví v-;‘J./;,V• ‘ •-.í*v- ; ; >' '- - ... , J&VÍ.zcn* de — ^ k Z s B i B S L S S i S

KV.'!

^

i

w

a

«

a

*

i

«

i

s

“PERFIL LOGARITMICO ( PRANDTt) Pe r f i l r e a l Considerando l a ¿ubcapa laminan de e s p e s o r La

constan te

c o n s id e r a n d o

de que

in teg ra ció n en

la

"C"

p o sició n

de

YQ de

:

la

ecu ación

la

subcapa

(8), lam in ar

se

c a lc u la r á

se

tien e

una

velocid ad n u la. Sf = *

Y = Yo

Vx = o

Reemplazando en la .ecuación ( 8 ) :

o =

V*

w*

— a

C = --

ln Yo + C

1n y -

ln y»

a

y*

—

] D istrib u ción !n y 0

a y0 _______________J V e l o c i d a d e s

a

y V*

V

r.

ln [ . _ ! _ ]

a

y0

y*

= n

a

[ln(j ú ü ) .

v

V x _ V*

. v V* * , Distribución 2.5 [ í n ( J Ü L ) - ln£ ] De Velocidades

V

El valor de En la zona

In p

v

~ In

V*

)„

totalmente rugosa, la experiencia

indica que el término

Inp

tiene la siguiente expresión:'

In p =

r

Finalmente, y

tubería

para

In

3.4

V

la zona de transición entre el

rugosa

se ha desarrollado

los datos obtenidos por Nikuradse.

flujo en tubería

una curva aproximada

lisa

a partir de

Esta se indica en la figura siguiente:

e yt0/> ))

4.11 LEY DE LA PARED Establece

una ecuación

donde

asume

se

esfuerzo

una

cortante

para

aparente

pared* av Sabemos que :

T * H

la

variación

.■■..^y

es

región

de

lineal

de

igual

al

la la

subcapa. laminar, velocidad;

esfuerzo

y

cortante

er

que

e

en

1

La constante

de

integración

Cj

debe

Vx

=

ser cero

para

dar una

velocdiad

c e r o en el contorno, es decir:

5i

y

=

=

V x

0

----*

=->

0

i

y

V

C|

.

E

V*

V

,

0

=

Ley de la Pared

EJEMPLO Un flujo de combustible de densidad 68.3 UTM/m 3 pasa a través de una tubería de fundición de 15.2 cm. de velocidades resistencia tubería.

para

inducida

un

caudal

por el

(5.98 pul). ¿Cuál es la distribución

volumétrico

flujo

sobre

la

de

0.17

m /s? Calcular

unidad de

longitud

Asumir que la viscosidad cinemática del combustible es l> =

0.37 x 10' 6 m 2/s

Solución Datos :

f =

68.3 UTM/m3

Cálculo del número de Reynold

D = 0.152m,,

Q = 0.17 m 3/s

de

la la

Cálculo del factor de fricción (f) Con

D = 15.2 cm = 5.98 pul, vamos a Diagrama de rugosidad de Moody:

Para tubería de Hierro fundido Con

£/D

€/D = 0.0016

vamos a diagrama de Moody: f

=

0.044

Cálculo de la tensión cortante aparente ( T0 )

T

L 4

í ¿ 2

, 1 4

,2 ,

í (J U L 2 tf Dz

32.97 kgf/m2

Cálculo de la distribución de velocidades (Vx) :

^

y* .

=

2.5 ( 1n X-¡?- - ln^ )

y

'

’

- Como el

número de Reynolds encontrado (3.85

asumiremos

que nos =>

ln/

=

V*

ln

es bien elevado,

p

=\/-y*

f

= ln

D

=

rugosa

In- 3.4

£ = 0.0016

= *

x 10 ),

encontramos en una zona totalmente

/

V

= 0.0002432 m.

. 68.3 UTM/m?

=

0.69478 m/s

( M M 1 3 L x _ 0 ^ 9 4 7 8 ) . 3.4

=

2 .7 2 4

0.37 * 10"6 =»

=

ln

V Vx Reemplazando:. -■^ ^

ln

(MMZ§.

y )

=

in (1.8/78 x 106 y)

0.37xl0"6 = 2.5 [ln (1.878 x 10

fi .y) - 2.724 ]

Vx

1.73695 [ln(1.878 x 106 y) - 2.724)

=

Cálculo de la velocidad máxima (Vx)|n^x : Se produce en el centro del tubo, en r,áx =

y = D/2

=

0.076 m

15.883 m /s

Cálculo de la resistencia inducida o arrastre: Arrastre

T0 )(Tí D)

=(

= 15.743 kg f/m

4.12 ESTUDIO DE LA CAPA LÍMITE TURBULENTA El estudio de la capa límite turbulenta se basa en hechos experimentales de manera que, otros autores y profesores parten de ciertos resultados experimentales para determinar ecuaciones que gobiernen el comportamiento del fluido en esta zona turbulenta de la capa 1 imite.

A continuación,

se mostrará una manera de realizar el presente estudio, cuyos resultados difieren en valores bastante pequeños con respecto a los dados por otros autores. Se asume : Io)

Que

el

fluido

atraviesa

un ducto

cuyo diámetro

es el

espesor de la capa límite (D = 2é ) 2o)

La tubería tiene un comportamiento hidráulicamente 1 iso: f

=

iiiü Re

3°)

(Ec

de Blasius)

1/4

Se cumplirá la "Ley de la raíz séptima de PrandtlH :

doble

del

146 4o )

Para hallar la velocidad media se emplea la siguiente expresión: "med

2 n

-

0.B17

(2 n + l) (n + 1 )

Recordando la ecuación de Von Karman : X f

=

J

Ir'I*

lo f'

'o

A - = v2 - i - r l f

°

X

.

X 72

3k

Vo

-

l 8

y~ ) m¿

i 9 y r r -I0

i

f y2 - i i dx

vf dy]

L. v ií72 V° 3x

(1 )

Realicemos el siguiente balance : Fuerzas que originan el movimiento ~ Fzas. que se oponen al mov. A p x Aj

= tc x

T0 =

-AEJLg-

4 L

=*

Ap 2 -3 - = X 0 x tr o l 4

147

pero:

A p

-

_ _ —r -■Z~rr -

x i V i D 2

0.316

To

'•P o•“Vmed

Re 1 / 4

(

f

med

V „ ^ x 2cF 1/4 med )

P (0.817

0.316

v

f V,ned

f

0.316

■

8

=

Vp)

8

1/4

(2)

Igualando las ecuaciones

~

72

f i

v°

(1) =

=

3x

También se demuestra que :

CD= =

0.072

CRe

0.074

*

(2) :

° - ° 233

(según

R¡ 1 / 5 X

.-1/5 R

f r

v°

Vo(f.) 1 / 4

STRETER - WYLIE)

......

COEFICIENTE DE ARRASTRE ANALITICO

....... ........

COEFICIENTE DE ARRASTRE UUth EXPERIMENTAL

4.13 FENOMENO DE SEPARACION DE LA CAPA LIMÍTE

El desprendimiento

de la capa

de

del

fluido de

la

sólida,

cuando el

fluido se

movimiento

superficie

1 imite es debido a capa

límite

en

una exesiva cantidad las cercanias

de ia

mueveaguas abajo en presenta

de un gradiante de presión adverso (d^/dx > 0 ).

Se dice que el gradiante de presión es adverso si la presión se incrementa en

la dirección

del

flujo,

es decir, si do/dx > 0.

Cuando dp/dx < 0,

en otras palabras, cuando la presión disminuye en el sentido del flujo, se dice que el gradiante de presión es favorable. Se deduce que un gradiante de presión adverso, dp/dx >0, es una condicicr necesaria

para

necesariamente

que

ocurra

ocurrirá

la

la

separación de

separación

cuando

la capa

límite.

dp/dx > 0 ; es

Pero, no decir,

1c

más que podemos concluir es que la separación de la capa límite no pued£ presentarse a menos que

dp/dx > 0 .

El lüqar geométrico que ocupan los vórtices que se generan por el flujo secundario,

como

consecuencia

de

la

separación, se

denomina

ESTELA,

Si el v ancho de esta región es grande, la fuerza de arrastre de presión

tarnbién es grande; en consecuencia se debe intentar reducir dicho espacio, Todos

los

deseños

de

maquinas

que

trabajan

ron

fluidos

(bombas,

yenti 1adores, turbinas, inyectores, compresores, etc) tienden a controlar el fenómeno de separación. 4>14

DETERMINACION

DEL GRADIENTE DE PRESION

para calcular la razón de crecimiento y predecir el

comportamiento de

una capa límite, es necesario determinar una expresión para el gradiente de presión (dp/dx). Debido

a que llegar a determinar una expresión general para el gradiente

de presión, en forma detallada, esta fuera del alcance del texto; sólo indicaremos para el caso de un DIFUSOR DE PAREDES PLANAS

=

dx

m2

dA

f A3

dx

Para el caso de un difusor bidimensiorial de paredes planas, de profundidad "b" uniforme, el área de la sección transversal es: ,

150

dp

mL

_

2b

tan

j> A3

dx

También se define el coeficiente de recuperación de presión p 2 - pj i

2

»

1 - ( _V2 2 ) V,

Jp> V‘

(C^)

A1 2 1 - (-) A,

V a lid o para un f l u j o i d e a l .

4.15 FUERZAS SOBRE CU ERPOS SUMERGIDOS Todo c uerp o F,

d e b id o

p a r c ia l a

la

o totalm en te

acción

del

su m ergido e x p e r im e n ta

flu id o .

La

fuerza

una f u e r z a

resu ltan te

neta,

resu ltan te,

p,

se

puede

descomponer

en

las direcciones

a la dirección del movimiento.

La

paralela y

componente

de FUERZA DE ARRASTRE (F^). y la componente

perpendicular

paralela recibe el nombre perpendicul ar se denomina

FUERZA DE SUSTENTACION (F$). Tanto la fuerza de arrastre como la de sustentación» poseen componentes de presión (de forma) y de fricción (viscosas). En

la

realidad*

determinar

la

son

muy

fuerza

pocos

de

los

arrastrey

casos de

resultados experimentales.

Para la

al empleo

determinados

de coeficientes

el cálculo de tales fuerzas.

para

lo s

sustentación

cuales sin

se

pueden

recurrir

a

mayoría de casos, se debe de recurrir experimentalmente

para efectuar

Lo mencionado se debe a que en los casos

reales siempre se presentan gradi ntes de presiones adversas. 4.15.1 FUERZA DE ARRASTRE ( ? A ) Es aquel la fuerza

paralela

a

la dirección

del

movimiento del

cuerpo,

su módulo se puede evaluar por la sgte. relación:

F»

■

J CA f

,2 »

: Coeficiente de arrastre f

:

densidad del fluido

V

:

velocidad relativa entre elcuerpo y

A

:

área proyectada en la direccióndel movimiento del cuerpo

£1

coeficiente

de

arrastre

resulta

una

el

función

fluido

únicamente

del

número

de Reynolds: CA Si

fuera

necesario

tomar en

-

f (Re)

cuenta

los

efectos

de

compresibi1idad

o

de una superficie libre, el coeficiente de arrástre se evaluará en base

al número de Reynolds, Froude y Mach: CA

-

f( Re, Fr, M)

La fuerza de arrastre en su forma general se puede expresar: Fa

=

j T eos 0 dA +

J

p sen 0 dA

4.15.2 FUERZA DE SUSTENTACION (F ) ■s

Es aquella fuerza perpendicular a la dirección del movimiento del fluido. Sólo existe fuerza de sustentación cuando existe la circulación. Se denomina CIRCULACION a la cantidad de energía necesaria para desplazar hacia el

borde de fuga el punto de desprendimiento de la capa límite.

También,

se

le define

como

aquella

integral

de

línea

(componente

de

la velocidad tangencial) alrededor de un contorno real o imaginario. La fuerza de sustentación,

F$ , puede ser (+) hacia arriba

) hacia abajo ( i ); ello depende:

( t ); o

(-

a) De la posición del objeto respecto del movimiento del flujo. ¿e ataque (+)

o

(-).

i,) De la circulación. es

(+),

y

si

Angulo

Si la circulación es (-) la fuerza de sustentación

la circulación

es

(+)

la

fuerza

de sustentación es

;v. (-). 4.15.3 FLUJO PERPENDICULAR A UNA PLACA P L A N A £n este caso

la fuerza de arrastre

sólo se debe a la presión, porque

el esfuerzo cortante en la pared para un flujo perpendicular a una placa plana no contribuye a la fuerza de arrastre. Fa

En esta

= JA

pdA

situación,

el

placa; presentándose,

flujo así,

se separa* a partir de las aristas de

la

un f 1 ujo inverso en la estela detrás de la

placa, caracterizada por un bajo nivel de energía,

la presión que actúa

en la parte posterior de la placa es casi constante» no se puede determinar analíticamente; experimentales. Para el caso de una PLACA CUADRADA:

pero su magnitud

habrá que recurrir a resultados

154

4.15.4 FLUJO SOBRE UNA PLACA PLANA Para el presente caso el gradiente de presión es cero, y la fuerza de arrastre sólo se debe al esfuerzo cortante o de rozamiento, Fa A

=

JT.dA A

4 .1 5 .5 FLUJO ALREDEDOR DE UNA ESFERA Y DE UN CILINDRO

En estos casos la fuerza de arrastre se debe a las fuerzas de presión y de rozamiento. Para

númerosde Reynolds muy bajos (para una esfera)

si

Re 4.1

= = >

Fa C A

\

4.16

= Ii ■■

=3Tí M. V

: 0

Re

PERFIL AERODINAMICO

Es aquella geometría que se le da a un objeto, sumergido en un fluido, con la finalidad de la

fuerza

de presión

de

incrementar la fuerza de sustentación

arrastre.

adversa

El

objeto

que se presenta

principal detrás del

es

y disminuir

reducir el

gradiente

punto de máximo espesor

del cuerpo.

Lo anterior permite retrasar la separación (desprendimiento)

de

límite y reducir,

la

capa

presión.

por

lo tanto,

el

arrastre

debido a la

4.16.1 CARACTERÍSTICAS DEL PERFIL AERODINAMICO a) BORDE DE ATAQUE.-

Es el lugar por donde el flujo ingresa al perfil. Es la zona por donde e l flujo abandona al perfil

b) BORDE DE FUGA.c) EXTRADOS.-

Es la parte superior del perfil

d) INTRADOS.-

Es la^^nferior del perfi1

e ) ENVERGADURA.f) CUERDA.-

Es el ancho del perfil

Es la distancia media que existe entre el borde de ataque y el borde de fuga

g) LINEA MEDIA.-

Es

el

1ugar geométrico

que ocupan

todos

los

puntos

que son equidistantes del extrados y del intradós. h) ESPESOR RELATIVO (e).-

Es el máximo

cociente y

la

que cuerda

existe

entre el

(h/1).

Se

espesor

expresa

en

porcentaje, así por ejemplo: -

si

e < 6 %

-

si

6 %
-

si

e > 12 %

i) FLECHA MAXIMA.-

Es

la

media cuerda.

==>

12 %==-■> el perfi 1 es semigrueso =$?

mayor y

la

el perfil es delgado

el perfi! es grueso

distancia cuerda; se

que

exi ste

expresa

con

entre

la

relación

línea a la

\ 156

I

cV

^ V

espesor

RELATIVO

MOTA :

La flecha máxima

siempre estará

referida a la distancia

*x“ 9 respecto

al borde de ataque. j)

ANGULO DE ATAQUE ( X 6
Es el ángulo oue forma la cuerda media,

del

la

perfil

aerodinámico,

del movimiento del flujo

Ii

x= 0

= > Cs=0 , | = 0

y

1 fnea

que

representa

la

dirección

en la posidcm (b) el perfil lugre, sa a la zona de p érd id a A

4.16.2 Es

DIAGRAMA POLAR (LILIENTHAL)

aquel en

arrastre representa

el

para

cual

se -grafican los

diferentes

en el

eje

coeficientes de

ángulos de

de ordenadas,

ataque;

el

sustentación

coeficiente

y el coeficiente

y se

en el eje de

abs isas. Al cociente que existe entre C$ y

se le denomina fineza,

y caracteriza el rendimiento aerodinámico de un perfi1 . El

valor máximo

de dicho valor se obtiene trazando una tangente a

curva que nace en el origen de cordenadas.

MOTA:

Un buen perfi1 posee un alto valor de fineza

la

u 58

159

GRUPO DE PROBLEMAS N° 4 Senoidal : 1. PROB.-

El

perfil

de velocidades

laminar en una capa

senoidal más general

para el flujo

límite sobre una placa plana está dada

por

SOLUCION v

a)

=

A sen(B y) + f

Recordando la ecuación :

Establézcanse tres condiciones a la frontera aplicables a este perfil de velocidades

b)

Vo

í

i

Determinar las constantes

(i - f

) dy

A, B y C

£ SOLUCION =

,■■■... ■■=»

0

9y y

¡i

<<

/

:

por

(2 )

:

A B

=

0

------- (!)

-

0

■—

~

Vo

---------- (3)

=

0

i

2 ■í*. 1

(2) . = 2

_íü «f

Cúbica

8

O

(1 )

it

por

O

b)

V

........3v

t* o,

y <<

a)

_

S

Senoidal cos(B¿ ) + 0

:

-

0.363

o 2é

por

(3)

:

A

3. PROB.-

V0

*

Determinar cuyo

V =

Vo

Sen ( J L y) .

la

perfil

razón

de

S*/é

velocidades

para

una

se

puede

capa

límite

aproximar

turbulenta mediante

"ley de potencias": 1/7

2. PROB.-

Calcular

la

razón

para

cada

uno

de

los

-

perfiles

Vo

laminares de capas límites dados a continuación: Lineal

:

v_

(*) «

SOLUCION

Vo

Parabólica :

v_ Vo

A

««í»

- <í >‘

/•* f [,-!]„» '0 í <$*/ í

Cúbica

1L Vo

=

l/ 8

1/7 -

í

[.-<*>

7 U ,

- [y-

8

V

8 /7 i
,

¿

- 7

la

4. PROB.-

Por una tubería de 0.5 cm de diámetro circula ace ite de 780 kg/m^.

Si

el

esfuerzo

cortante

en

la

tubería

es

14 N/m^

calcular 1 a caída de presión en 100 ni de tubería. SOLUCION

Sabemos: AP x

T

Ay - X Al

r

4 T L D

77777777777777777777T 777 L

N5

4x14

m

x 100 m = 1 .1 2 xl06 i

0.005 m 5. PROB.-

Para un flujo laminar bidimensional

a lo largo de una placa

plana

asumiendo

de

longi tud

L

y

ancho

b,

un

perfi 1

de

velocidades en la capa límite tipo senoidal: v. Vo

Determine : a)

La razón de crecimiento Í J / x

)

b)

La razón ( J* / x } .

c)

La fuerza total de rozamiento sobre la placa.

SOLUCION a)

)j

v

Sen (“S j ) ,

0 4 y 4 ef

i

y ><5

,

r 161

Haciendo:

^

=

z

= >

dy

= ¿ dz

Si

•

y =

z = 1

=>

Recordando la ecuación de Von Kárman: v Vo

3x

=

d 3x

a ivl¿{

v ] VS y2

dy}

[ S e n ( ^ z ) - Sen¿ (* z)]dy } ¿ ¿

J0

i

a

f

JL f

=

Í

-

t

a ax a 3x

2 2

ii

a ax

v° ¿ n

- ffi) 4

>

= 0.137 f Vo2

?„

ii. ax

(1)

Por otro lado, recordando la ecuación de viscosidad de Newton: -

'*»

yo

Igualando (1) = (2) :

0.137

p ‘

=

1 L vj>JL

dx

2

0.0872 -f-ís- <í d
Integrando:

:

0.0872

-iK

Pero :

Si

x = 0

é 3 0 C «■ 0

. ( 2)

H

2
y=o

=

=

¿

dx

x + C

2 (Ver figura anterior)

1

162

0 .0 8 7 2

• - i2

i.

I

x

Se sabe: £

2

' /xM '

V 0 .0 8 7 2 V f Vo

¿ X

4.79

X

b)

=

2

K

= o.363

(Por

Prob.

=

4.79

Rex/2 *

2)

O

y : -i- =

£

. i.

<í

c)

F

4.7-9 Re*72

0.363 x 4.79

x

=

b

Te =

pero

0.137

Re*/2

V

=

2

d¿_

dx

p V?

^

0.137 p Vo

d x

3x

=>

F

=

f L (0.137 p Vo

—

J«

F =

Como

J

=

F

=

Re,

=

L

) b • dx

=

dx

0.137

f Vo

b

J

f

-V.° L M

(0.137 f

0

¡ÍL

- 1/2 4.79 Rex = >

0.656

-y 2

1-74 Rex

9

Vo

<ÍL

b

L

=

4.79

-1 / 2 ReL

L

- 1/2 Re^

MZ 0 b) dé

g. PROB.-

En

una

tubería

velocidad

de

150

promedio

la pérdida

de

que es 5 * /3 m.

de

carga

¡ron de 4.5

en

diámetro,

m/s.

30 m de

Se

fluye

mide

este

agua

a

una

experimentalmente

tubo,

y se encuentra

calcúlese la velocidad de corte.

SOLUCION Datos

V

:

-

4.5 m/seg (pérdidas)

Sabemos:

X f

-

f

V*

=

V

y?

VELOCIDAD DE CORTE 0 FRICCION

Cálculo de f : h P

=

L V2 f i- J L D 2g

5.33 =

f - 25_ x Ü . 5 ) 0.15 2 x 9.81

f - 0.026

Cálculo de V* : V*

=

7. PROB.-

4.5

0.026

V*

-

0.26 m/s

8

A través de un ducto de sección rectangular, 450 mm por 300 mm, de 600 m de longitud, fluye aire a 101.3 k Pa y 15°C, con una velocidad promedio de 3 m/s. es 1 iso calcúlese

la pérdida de carga,

y la velocidad de corte.

Sabiendo que el

tubo

la caída de presión

164

NOTA :

f =

1.208 kg/m3

=

0,00003795

Pa * s

SOLUCION

Cálculo del diámetro hidráulico (Du) n

0H

=

...4. ah .

=

i

4 x 450 x 30,0 =

2 (a + b)

360 m m

=

0.36

■m

m

2 (450 + 300)

Cálculo del número de Reynolds (Re) Re

f...

=

i - 208 x 3.« 0J 6

= H

=

72 681-894 15

0.00001795

Cálculo del factor de fricción f =

------Re

f

=

(para tubos lisos, ec. de Blasius)

1/4

— —

-------------,1/4 (72 681 • 894 15)

=

0<019

Cálculo de la perdida de carga (h ) h p

= f i . ' Dh

=

2g

0.019

0.36

x --- — --2 x o -8l

=

14.5 m de ai«-e

Cálculo de la caída de presión (& p) Ap

= f r

q

h

=

P

1.208 x 9.81 x 14.5 = 172 — = 0.172 k Pa 2 m

Cálculo de la velocidad de corte (Y*) v*

8.

PROB.-

=

V J -

B lasius

VF-

=

3

su puso

que

=

0.146 m/s

3 f f el

p e r fil

de

t u r b u l e n t o s e p o d r ía aproxim ar por:

v elo cid a d es

para

un

flu jo

vVo

-

v 1/n (*> . R

V Demostrar que la velocidad media se puede evaluar por :

J R 1

_. .

+r .-r 1 r R 1 _____ i_______ _

2 nc (2 n + 1 ) (n + 1) SOLUCION Se define la velocidad media por:

med

= - Q A

=

A

í V

dfl

¡

1/n med

r

De la fig :

En (1)

= „

:

En real idad

Tí R2

med

la

r dr

( ».<*>

J

.(1 )

R

dr

R - y

2 V0

y1/n

= + dy

(R - y) (+ dy)

r 2 Rl/n

integración

se debe

realizar desde

J'

hasta

R, y no

desde 0 hasta R, pero como el espesor de la subcapa laminar ¿' es bien pequeña se puede despreciar. *R med

mee*

2 Vo

Í

.

(R y

1 /n

- y

1 + 1 /n

) dy

1 + 2

R

2 Vo 2 + 1 /n

! + 1/n

[ B_J£_____ 1 +

1

2 + 1 /n

- 1_____ _ 2 +

167

med R

2 Vo 2 + 1 /n

(jgTA :

n

r 2 + 1/" [. n + 1

=

1.45 X 10" 5 m 2/s ,

v=

12.0663 N/m3

SOLUCION X ~

La razón de crecimiento la podemos evaluar por: =

med

med

V0

2

(n + 1 )(2 n + 1 )

fluye ai re en condiciones estándard

como se ilustra en la sgte. figura. la velocidad es

En la sección de entrada,

uniforme con una magnitud VQ - 25 m/s.

colocación de un elemento

“turbulizador"

general

ambas

turbulencias)

en

paredes

Calculo del espesor de capa límite en posición 2:

(o dispositivo para de

la

sección

turbulenta

desde

la

sección

de

entrada.

El

ancho

5 m ,

=

Vo

=

25 m/s

=

0.405 x ( ^ V ~ ) V

=

de

Como ¿ 2 ^

y

se

efectos entre

la

pueden, por en

los

sección

lo

tanto,

extremos. de

Determinar

entrada

desde la entrada.

»© [r

considerar

y una

la

sección

depreciables caída

aplicar la ecuación

de Bernoul 1i

= 0.083m

Pl V + *

los

a lo largo de la 1ínea de

corriente

secciones 1 y 2 :

de del centro entre las

de- presión

colocada

0.405 (5) ( — Ü J Li — ) ~5 1.45 x 10

el flujo no se ha desarrollado completamente y se puede

las placas "b", es mucho mayor que la distancia entre ellas, h,

-1/5

-1/5

La

entrada, permite asegurar que la capa límite que se desarrolla sea

-1/5 ~A 0.405 Rex

2n (n+ 1 ) (2 n + 1 )

Vo

x Entre dos placas planas

=

V

2g

p2

=

+ Z1

V

V

+ -L 2a

+

z

2

a 5 m Asumiendo

(1)

Flujo permanente e incompresible

(2)

Flujo unidimensional

(3)

No existe rozamiento fuera de la capa 1imite

(4)

Zj

âmmmmmmznnnL

P

L - - ......... I

1

2

= I 2g

=

z2

t ( V2 m\)

2

1

-

i2g

V 2 'Jl " - 1 ] vf [ <-£) Vo

.(1 )

V.

Con el propósito de hallar V2> se puede utilizar el concepto de expesor

<3>

de desplazamiento. f

Vi Al

Api icando la ecuación de continuidad:

- f

Siendo el ancho "b* :

Vo Ai

V 2 Az

A.

b h

=

A2 =

V? ^ b(h - 2
168

V„ b h

. ( 2)

V2 b (h - 2 ¿*)

=

V0

Sabemos que:

¿*

2

h - 2 á*

.S¡ \ (1 - — ) dy J0 V0

~

Además podemos emplear:

1/7 (^ ) O

— Vo

á *2 = JT0 [ 1 ' ( l¿l )1 /7 ]d y

"

«2-

Jn

8/7

0.083

8

= 0.010 m

Reemplazando en (2) : V2

_ ■

0.3

=

1.071 m

0.3 - 2(0.010) Reemplazando en (1) : 12.0663

pr - p 2

--- 2 -- --- 2 (25) [(1.071) - 1]

= >

p.A - p2

=

56.519

2 x 0.81 10. PROB.-

El perfil de velocidades para un flujo laminar en una capa límite

con

gradiente

de

presión

cero

se

puede

aproximar

mediante las siguientes expresiones: (a)

v

=

2 n - n

Vo

V

(b)

1

2

Vo

Determine

una

expresión

n3 para

la

-

■ í

"

■ í

razón

coeficiente de rozamiento superficial

de crecimiento

¿ /x y para el

, para ambos casos.

SOLUCION

(a)

dv

• ■ í

\í0 d(?n - n

dy = ¿

dn

Api icando la ley de Newton para viscosidad:

T0 = H

^

= ^

dy

fvo = 1 *

y =0

y*o

<*

dn

(2 n - n2 ) í ’n=0

( 1)

................

o Aplicando la ecuación de Von Karman:

1 »

V2

[

P

V2

T„

De

f _

£

2

í1

Ji.

[n2 . ü!

d*

3

=

Nótese que:

y =
(2n - n2 - 4n2 + 4n3 - n4 ) dn ]

Jn

»f

dv} .

V2

dx

¿ f J.5 (1)

) V¿

5’o, 1 V?

fe'

.1

n3 + n4 .

n! j

3

5

o

. ( 2)

• 3x

(2) :

2 K V„

2

¿

15

15 >4

x

+

C,

f

ví

i--

<í . ó S

3x

15 H

P V° (3)

?V„

Como la capa 1ímite se inicia en el borde de ataque:

1

170

r eem plazan do en ( 3 ) :

.

«j2

Luego:

0 s 0 + Cj

15H

„

___

30 P V„ x

f V.

D e t e r m i n a c ió n de

C.

2 M V„ <í

T.

f

Cf

=

I fl

v?

t f

-i Rex

f

»•

1 -1 / 2 5.48 Rex

i n -I 2 2

n3

;

X ,X

é

r

_

v‘

f

n =

0 .730 Rex

d v « Vo d{ — n - i n 3)

ii

VVo

4

H

4

>4*o

(b)

=

=

2

2

R e a l i z a n d o un p r o c e d i m i e n t o a n á lo g a a l c a s o (a) s e l l e g a :

1 1 . PROB.-

El capa

4 - 64

R*'/z

p e r fil

de

cf = 0 .6 4 7 //^ “ v e lo c id a d e s

para

un

por:

(a)

y. Vo

flu jo

l í m i t e con g r a d i e n t e de p r e s i ó n c e r o ,

j n

"

■

i

tu r b u le n to

en

la

s e puede aproximar

171

M

v i7 O btener

1/8 ’

"

para

ambos

casos

la

de

razón

c o e f i c i e n t e de r o z a m i e n t o s u p e r f i c i a l

crecim ien to

(C^) .

SOLUCION (a)

Ver p a r t e t e ó r i c

del p r e s e n te c a p ít u lo :

1/4

T.-

0.0233 o

vf ( - ^ - ) VoJ

0 .0 2 3 3 a

f

ss

vf T -^ -l VoJ

} f vf 1/4 =

0 .0 4 6 6

] Ved

Reemplazando : 1/4 Cf

=

0.0 4 6 6 r Vo

\

0 .4 0 5 x

-1 /5 Rex

1/4

( < /x )

y

el

(b)

Para este caso también se puede asumir que : V.

2 n

med

2 n = 8

por dato

(2 n + 1 )(n + 1 )

Vo

0.8366 Vo

El procedimiento a seguir es igual al caso (a) de éste problema.

12. PR0B.~

Sobre

una

placa

fluye

velocidadde la corriente T0 , en un

aire

en

condiciones

libre es

15 m/s.

punto colocado a una distancia

del borde

estándard. Determine ¿

La y

x= 1 m a partir

de ataque para los siguientes dos casos:

(a )

Flujo laminar en toda la placa aguas arriba del punto.

(b)

Flujo turbulento en toda la placa aguas arriba del punto.

MOTA :

p =

1.225

,3 kg/m

m - s SOLUCION

(a )

Como

se trata

de flujo

1aminar, se

utilizará

la

solución

exacta

de Blasius, en vista que no nos dicen nada acerca de la distribución de velocidades:

(b)

Para flujo turbulento se puede apiicar la ley de la raíz séptima:

0.405

1/5

-1/5 Rex

¿|

= ro.405 x (

)

1

x= 1 -1/5 -2 0.405 x 1 x ( h l & L J L l L J L I ) = 7.54 x 10* m = 25.4mm -5 1.781 x 10

x--l

1/4

P Vo é 0.0233(1.225)(15)

2

-5 1/4 (----- h 2 3 L A ± ? ------ --- )

x- 1

1.225 x 15 x 2.54 x 10

=

-2

0.5047 N/m

x=l 13 PROB.-

Sobre

una

perfil

de

placa la

fluye

aire

distribución

en de

condiciones velocidades

determinada, esta dada por: v

=

12 x 10

y - 16 x 10

7

Determinar : a)

La velocidad de la corriente libre

VQ

b)

El espesor de la capa límite en dicha posición

c)

La razón de crecimiento

d)

El esfuerzo cortante

e)

el coeficiente de rozamiento superficial.

y

estándard. en

una

El

posición

t

174 NOTA:

h

=

1.781 x l O _5

-ÍS_

,

« B 1 . 2 2 5 kq/m3

m - s

SOLUCION La distribución de velocidades dada:

es semejante a la distribución

3

v = 12 x.10

:

y - 16 x 10

v = a VQ
&

7

y

3

+ c V„

Luego de aplicar las condiciones de contorno: y * 0

y

=é

= = >

(1) : 0

por

(2) :

por De

= 0 + a + c

•—

♦ 1 b ,V° 6

(3) : a Vo + b Vo (4) - (5) :

2b

==>

=

.........(l)

= 0 ....... ,(2)

o y

y =¿ = * po+

=0

v

V = V„ ....... (3 )

»- c = 0 y2 ]

=0

===>

a + 3b « 0 .......(4)

y=0 V„

==*>•

= - 1 = *

a +b = 1 b = - 1/2

Vs3_»Vo»y 2

ó

l_/Vo» 2.

.... ............ (5) ,

a =-

2

3

^3 '

Realizando semejanzas entre ésta última ecuación con la ecuación dada:

12 x 103

=

— 2

Is.

,

i6 x io7

S

= i Is. 2

¿3

dividiendo miembro a miembro :

3 A?..x ^

16 X 10

=

3 Vo JL—

7 — , 2 63

— >

6

Vo

-

0.005 m = 5m m .. ...... (a)

=40

m/s

....

175 La p o s i c i ó n

en la

cual

estam os eva lu a n d o ,

la

vamos a d e te r m in a r h a c ie n d o

uso de l a s o l u c i ó n e x a c t a de B l a s i u s :

1

x

=

4 .96

=

Z-P- ( - 2 — ) R 4 .9 6

Re

n y

x

A c)

y

v X> =

f

=

x

Y

° - 332 f

Cf

14.

PROB.-

'

Sobre

una

co rr ie n te \

y

la

p laca

=

* 1/2

)

-3 )

=

2 Vo

1.7A8 * 10

? „p y x Vo ( * - • "«• - )

0 .3 3 2

flu ye

la m in a r

? = 0 . 2 3 5 N/m¿

K

- 1/2 Rex

p la n a

1im ite

*

2 .796 m

- 1 /2

Re„

agua

1 i b r e de 0 . 5 p i e / s .

capa

x

H

= ------------------- =------- * 0 . 6 6 4 1 ~ c f P Vo

= ------- --------t 9 I P v!

e)

(

1/2

H

2 -1/2 Vo Rev

0.322

4 .9 6

=

*

p # , - 1/2 4 - 96 (

'

x

p y

-1/2

-i-

con

una

No e x i s t e

tien e

un

-6

= 2 3 9 . 4 x 10 X

velo cid a d

de

la

g r a d i e n t e de p r e s i ó n

espesor

de

0 .2 5

pulg.

Supóngase un p e r f i 1 de v e l o c i d a d e s s e n o i d a l :

=

Sen (

Dedúzcase

una

ecu ación

para

d e n t r o de l a capa 1 i m i t e .

y )

26

V0 el

esfuerzo

cortan te

en

cu a lq u ier

c o n s t a n t e l o c a l en l a pared y e l c o e f i c i e n t e de r o z a m i e n t o .

NOTA :

H >

=

1 . 1 0 4 5 x 10* 3

1b;v £ S

pie

.

f

= 62-4 1 b /p ie 3 -

1 .94 s lu g /p ie ^

SOLUCION a)

T

= H

— dy

=

H

pu nto

Para l a s c o n d i c i o n e s d a d a s , c a l c u l e e l e s f u e r z o

Vo

— C os(

Z&

— y) 2o

= 1 . 5 7 H Vo Cos(J

y) Zd

176

b)

1 !

1.57h

Iy-o

c)

C, f

Vo

Cos

=

fi.67 X 10

=

--i 2 -- P Vo ?.'

15. PROB.- Para el

-4

x 1.1045 x 10

= 1.57

Ibf/pie

en

una

x 0.5 x 1

?

--- 8 J>Z_*_iO— i - x1.94 x 0.5¿ 2

=

un flujo perfil

0

tubería

de velocidades

=0.00358 ?

en

se

la capa

límite turbulenta

puede aproximar

mediante

la

"ley de potencias":

1 /n V■ Vo

= (*) í

Determinar una expresión para evaluar la longitud de Prandtl, en función de la velocidad de corte.

SOLUCION

Como la teoría de la longitud de mezcla de Prandtl sostiene: 2 (V *)

2 =

-}-

=

[

(

r

V*

=

^

)

1

]

°y

dy

)

1

=

[

Vo

• • i

'

1

1

1

¿

1 /n 1

=

[

-----

n- 1 . y—

] y*

=>

1 = [—

V.

16.

P R O B .-

(^) "

vo

]V*

<3

Como parte de los festejos nacionales,

un grupo de peruanos

emprendedores

dimensiones

cuelgan

una

bandera

de

gigantes

(59 m de altura y 112m de ancho) de los cables de suspensión de

un

gran

puente.

Los

orgarn zadores

del

acto

se negaron

177 a practicar agujeros en la bandera cuyo objetivo era aliviar la

fuerza

bandera

del

como

1.154).

viento, por una

Como

placa

resultado

desprendió del

lo que se puede considerar a 1 a

plana de

perpendicular

al

lo

1a

anterior,

sistema de sujeción cuando el

la velocidad de 16 km/hr.

flujo

(C^ =

bandera

se

viento alcanzó

Determinar la fuerza que el viento

ejerció sobre la bandera para esta velocidad. SOLUCION FA

= \ CA f

v2 A

F. '

= - (1.154)(1.225 2

2

17. PROB.» La

componente

aterrizaje

en

paracaídas

se

(Cc = 1.42). es 120 kg. NOTA :

)(16 x ^ 2 . ñ )(59x112 3600 s

en un

dirección paracaídas

puede

vertical

de

debe

menor

considerar

ser

como

un

la

velocidad

de

6m/s.

El

que

hemisferio

abierto

La masa total del paracaídas y del paracaidista Determine el diámetro mínimo del paracaídas.

La densidad del ai re es

p = 1.225 kg/m3 ,

g = 9.81 m/s = cte.

SOLUCION El diámetro mínimo debe ser de tal manera que el conjunto paracaidista y paracaídas desciendan a velocidad constante. F$ - mg

=

0

m

(D = 6 mm) que cae 1 9 dentro de aceite de ricino ( f = 967.1 kg/m , H = 0.897 N.s/m )

18. PROB.- Se ha observado que una pequeña esfera

adquiere una velocidad terminal de 60 mm/s. a)

El coeficiente de arrastre para la esfera

b)

La densidad de la esfeVa

Determinar

SOLUCION Datos : D = 0.006 m ,p = 967.1 kg/m3 , Re = -LIO. = o.388 Se cumplirá: H

0.897 N.s/m2 ,v = 0.06 m/s F. = 3TÍ H DV, C. = — A M Re

24 0.388

a)

b)

La esfera al introducirse en el aceite disminuye su velocidad hasta 0.06 m/s, a partir

de la

cual la velocidad se mantiene constante. Empuje + Fa =>

g

=>

fa

=4» 3tf

=

Peso

¥ + F. = j5

g

¥

= g v ( fe - f ) 0 V

=

g | D 3 (f

19. PROB.- Un vehículo alcanza una pies.

Una

acción* Este pies

el

y el

.=*

f

=

3710.219

impulsado por un cohete y cuyo peso es

1600 Ibf,

velocidad de 352 pies/s en una distancia de vez

que

el

vehículo llega a su meta,

mecanismo que abre

paracaídas 2

-f)

tiene

coeficiente

un

área

un

paracaídas

transversal

de arrastre,

1320

el chofer

parafrenarlo. al

constante,

flujo es

de

25

1.2.

El

arrastre ocasionado por el aire directamente sobre el vehículo y el

rozamiento de éste con el

piso,

se pueden despreciar.'

La

densidad

tiempo

del

aire

es

necesario

para

que

3 slug/pies'.

0.0024 el

vehículo

se

Determinar desacelere

el

hasta

146.667 pies/s. SOLUCION

y*

Datos :

P = 1600 Ibf

,

VQ = 352 pies/s

,

^

,

d = 1320 pies,

3 =0.0024 slug/piesw

Aplicando la segunda ley de Newton en la dirección x : dV_ dt

r - F. = m m —dV A dt

£ g

dV dt

nt

. I 2

C, f A i

fli p

cA

A 3. P

f A j

dt Vo

t

/o Vf

= -

-i V

)

Vo

2P CA f

A g

dV 2 V - Vf - (■ Vo v.

t = 5.49 segundos

A = 25pies

180 20. PROB.- En

los

laboratorios

de

la

UNI se ha di señado

un

avión de

"ING.

FEDERICO

acuerdo con las siguientes especificaciones: Peso i?)

=

3000 1 bf

Area del ala (A)

300 pies2

=

Velocidad de despegue (V) Las pruebas COZ"

de

=

100 pies/s

sobre modelos, realizadas

la F.I.M.,

idi can que

pór la PROMOCION

los coeficientes

desustentación

y

de

arrastre varían según las siguientes relaciones:

Para

= 0.35 (1 +

CA

= 0.008 (1 + X

pequeños valores

grados. el

Cs

La densidad

ángulo

de

ataque

0.2 X } )

de X , siendo atmosférica que

X el ángulo

es f =

permite

de ataque medido en

0.00238 slug/pie .Determinar

eldespegue

a la

velocidad

y encontrar la potencia necesaria durante dicho despegue. SOLUCION Para que el avión pueda despegar se debe cumplir; Fc s

1

=

P

3000 1bf

2

~2 P V

F$

2 I (0.00238 Ü i í S . ) ( 100 Si l )

A

2

pie3

o (300 pie2 )

seg

1 'j sluq. pie lbf. s2 factor de Conversión = » Cs =

0.84

= * Cs =

0.84

-=s> CA =

0.008 (1 + 7)

=

0.35 (1 + 0 .2 X ) =*•

CA

X = 7° (Rpta) =

0.064

señalada

181

Potencia

=

Fft .

V

=

( ±

CA f

potencia

= i (0.064)(0.00238 --H2. )(100 £Í£5- ) 3 (300 pie2 ) x ---- ---------

2 Potencia

=

V 2 A)

V

pie 3

41.542 HP

?\. PROB.~ Determinar

(con

el

= i

CA f V 3 A

S

550 I M j L E l e seg

(Rpta) la

fuerza

movimiento

de

rozamiento

un iforme) para

1 mm de grosor a Una velocidad

que es pasar

necesario

una

placa

vencer de

t =

V = 1.2 m/s por la cavidad

entre dos placas (paredes) situadas entre sí a una distancia de h = 4 mm. a rea A

En la planta la placa en movimiento 2 = 6 my se encuentra a una distancia t^

= 0.5 mm

de

de

gl ice riña

una

las paredes; la cavidad

( H = 85 x K f 2 Pa.s). NOTA:

Considerar

que

esta

la velocidad

en las

holguras

«■ v / t .

i

=

1,2

SOLUCION Considerando flujo Newtoniano:

T.1 = —A =M —t, T La fuerza total será : F 1 + F2

F

=

F

=M A V ( 1

de

El flujo es laminar.

con las leyes lineales, es decir:

3v/ay

llena

tiene el

h - t - t.

)

=

14688 N

varían

de acuerdo

5

FLUJOS COMPRESIBLES F. ISOENTROPICO F. FANNO F. RAYLEIGH ONDAS DE CHOQUE

J

ESTUDIO DE FLUJO denomina flujo vauacicm ante

compresible

un cambio

de

£\ número

aditnensional <ûe

e| número

de

aûel cuya

te m p e ra tu ra ( T ) sirve

densidad es sentible de

o de píes ion

para clasificar al

(p).

flujo compresible es

Macb ( M)

5e le denomina ^ ello debido

a todo

COMPRESIBLE

compresible

a

sus

Cl a s i f i c a c i ó n

del

por

grandes

flujo

la capacidad elástica

de

sus moléculas

espacios Inter-nos.

compresible

a) Flujo

subsónico

b) F lu jo

sónico

M -l

c) Flujo

transonico

M «1 (. M > 1 )

d) Flujo

supersónico

M >1

e) Flujo

hipersonico

M >3

NOTA

" M"

se define de la siguiente fo rm a

M = VR

Velocidad

re la t i

c

— ]_______ K Velocidad del sonido en el "p unto'' / o am biente en doride se mueve ef objeto ó flu jo

EJEM PLO S

a)

.jp z > ¿ rr r

..

B

b)

/ M . ' ^ h v

rJf^t

¿ i¿ ///////////X ¿ /y ////y X //A

►

i

\

I M, r

8

C M, =

M & - Vf

Va- v¿ C

Cí

2 o) La

^ ^

velocidad del sonido se evalúa de ¡as siguientes for-roas :

a)

c - v rkR T'

K = Cp/Cv R - C P - Cv

T : tem pera! uta estática

b) c = / i Ü

( ECUACION

DE LAPLACE)

Vdf

^ Sí el medio es sólido : d |> - 0 =

^ Si el medio es

líquido: d^>> 0

a _ oo

, CL— ►grande

-jf Si el ‘medio es gaseoso: dj> > > 0 , Cg— »- peûeíio La

velocidad del solido

^.ueoa Cismo sigue:

paia

a i ie

a condiciones n orm ales ;

_

v

C -.Z O m /fW )

(m/s)

C- H l/T C R )

Cpies/se^)

■

d e f in ic io n e s

C--KT)

im p o r t a n t e s

en

ESTUDIO DEL FLUJO

C O M P R E SIBLE

1°) F.

ideal

ISOENÍ TRO P I C O e s la

2o) F.

sea 3°) F.

y

r e v e r s ib le . En el

e s ta n c a m ie n to

ADIABATICO.- es les

flujo

en el cual se considera tûe

fricción es c e i o , ra tó n por la cual se le define adiabá

tico de

aûel

se

son

flujo isoentrópico la s condiciones

c o n sta n te s.

aûel en el cual mediante mecanismos o materia

lo(jran <ûe el flujo de calor C ga na nc ia o p é r d i d a )

nulo. El5 te

ISO TERM ICO.- es c o n s t a n t e , se

fluô puede

aûel

tener fricción.

en el cual

la

tem p eratu ra

refiere a la te m p e r a tu r a

4') F.

01A BATÍCO •— es aû el en el cual si existe

5°) F.

G E N E R A L IZ A D O .-e s de

el

calor

a

aûel ^ ue

la ve2.

presenta

se mantiene

e stá tic a . tran s fe re n cia de calor.

fricción

y tra n sfe re n cia

i"; *

186

.NOTAS : a) E n

el

í.

diabático la transferencia

de ca\ot es

íu n ú o n

VariacioTi -iotal de tem peratura. i

Q = ñ

b) El

T

Cp AT = íh Cp ( I 2

adiabático

o el diabáticc

pueden o no cireular

T0,)

asi como el f.

generalizado

er> d uctos de sección c o n sta rle s o varia

bles.

(>") COMDICIONES C R IT IC A S " 05 toda coticílcíot) <ûe se locara alcanzar en acuella

Eona

7*) PROPIEDADES región p

o

tc^íot?

donde

CRITICAS.- sonacuellas c r i t i c a . Se les

: presión

desuna

&

9

*

ambos casos:

' T¿ = T*

L .

9

i

!

i i

i i

M, = 1

M 2= 1

C2 - C *

: áiea

(e s ta tic e )

Vz - V 4

°Z- T 0*

T

“

en

la sección o

como s i ^ u e : A

EJEMPLO :

Para

.

<ûe existen

c n 'l i t a

T * : TempeTaiura c r í t i c a

M , = o .8

M r1

A Â *

0¿ ; 0 *

c r ític a

187

g«) C O N D I C I O N E S

wn

DE

cu an d o la p a rtíc u la

iso e T \txo p ico o h0T A : " Em e Ti

el

f lu jo

DE la

ûe

se o b t i e -

O tas p a r t í c u l a s s u f r e n um £re.Tiaek>

a d ia b a tico iso e n ir o p ic o t o d a s las p rop ied ad es

!a tecjtoTi de

q«) PROPIEDADES

son lo,das a c u e lla s

E S T A N C A M IE N T O .-

e sta n c a m ie n to

en

La

REGION

<ûe

ocupan todas

c h isten

sm c o n s t a n t e s "

E ST A N C A M IE N T O sovt

te n

c^ g

W as

acuellas

exis

tcîóri ole e s t a n c a m lento. DE

ESTANCAMIENTO las p á t l í c u l a s

es

el lugar geométrico

cuija velocidad es cero.

En el punto " L " VP = 0

v*> = 0

V

T‘

hE - h 0

oTT

: propiedad de estancam iento o t o t a l

T

a b s o lu ta -------►^Cabs) ~ ^

] °dia m^ tesaT a tablas es

m a n o Tne t r i c a ----- ► - 8 b a r

[ no J

a bsoluta-------- ^ T „ U b s ^ 2 ^ K

¡o V

‘•'relativa-------J . - 20°C

tener ptopifdades absolutas

188

10°) PRESION TOTAL se obtiene

Como

©

O

cuattclo

es una z o n a

p.

DE

ESTANCAMIENTO C E ) . - es amella tma âiiícula

R e m ita

es

V) ' © . e s

lim ad a

ana

p toiró ^

Isoe^bcópicaênte.

legión de estaTioaweTúa;

= P + f ^ t __________PRESION bE VELCiCIBAD Ctubo de Pitcd)

I___________ PREstON

estat

icA (, tubo pie&mé.txíc.o')

____________ PRESION DE ESTANCAMIENTO 0 Rt MANSO Ctuko de impacto o pxaTidtt )

NOTA

La pxeüon de ptesioS-i e s t á t i c a ,

. it

t t i ca .

velocidad sí se

'no

ei absoluta t>i maTioinetiita ¡ pezola

puede e x p i e s a i

como aksoluta o 'ma'no’m

189

11”) TEMPERATURA DE. ESTANCAMIENTO ( T J . - e i <ûe alearla

una partícula

a\ set í tenada

am ella k ^ c t a t u x a a d ia b a tica'roern^-

Q - 2 tii ( h3 +• Y l. ^ ^ 2S) - Z xh (he \ )ls^ \ ^ 2 e) + V/^,.

d e - h 4- X . -f g 2 2 =0 :

Si

C le -h -i-X

■•=> h, + - 1 z

=

f V2_ z

T ± ll

- T0

2Cp

T. de estaTKa, 1 T. está tic a

Tnienio

L.

1— VaiiaciOT de la tempera ÛXa p0r ^ [a

Velocidad NOTA ’. " La

te T n p e x a iu ta de esta-ncaTnientb sí ss m i d e , p e to ta termpe_

ta tu ta

Relación A

paxti'r

e-ntre de :

e s tá ti c a

T¡

T

T„ - T |

se

tío

puede 'medir, se caícula

indirectam ente.

: V ZCp

=>

i

T

= 1 + i 2_

2 CfT

-_H- VÍCirJl

Z kRT

190

T

Relación enlxe

R

Retoi damos que-.

'd

P

_R_ _ /T, \ k_l

-p.

_ f

1 K

1 . p

Relación enlxe

£ JT,

f»

3

f

r -

, ¿ y YK-1 1 4- J l r l M M

2

J

:

Vk-1

N O T A -'v Todas las Condicif-nes de estaTicaTnientc eri arn f>toceso i 5oen ito p ico

te s "

í

t

á

)

50T) CoUSláT'.

(?pI ación

p y iíig

©

'i

©

fL P,

L -

EJEM PLO

1

192

J___________________________________ _____________________________ ______________

GRAFICO

D E : T/To , P/P0 , A / A *

V5

M

C o Tnenía.Tio : Como

To ^ 1 i k - 1 T,

Si M-A

2

~~s

T

7 *

_

:

k 4-V ¿

To , ~í¡

„ ^ 4. k-

T

~

=5>

T* T * T.

-

22 k+ A

PelaciffO__exilie

'j

A

A*

( E-n un duelo

de sección

cual circula um flujo (p

(?)

variable

a t r a v é s de.l

IsoftiAtíOpic-O)

©

P A, V, x j> A3 V3 J\

y A, V, r f

rtf/Z/TT,r77r?77?

k

A3

M *=.!¿!= 1=>

A* V 4

A . - i ! ,

/ peto :

J3

^

vi

f,

•(1)

V,

V * = C* = -/Ü R T * '

c* M| = A . ==>

En M

t.

f*

A*

ft

V, - C, M,

1

/ T *n}rT

,

f

1/2

I~T \

M,

m *h

(\\/l

ItJ

lf j

f/t

f H . x .

M,

N T,

/y*\2U-0

=> A - J _ 1 x 1 J jL A _ = JL Af

. '

i M, / K K T ,

M,

U J

2CK-n

(JAÍfeti [ j j

_ 1 ^

K+-I

II

2 + (K -1)

M|2

2

(k - 0 También

K+-1

Az .

l + C K -0 M 2

t

k+1

a*.. 1

■v+i 1 2CR-1> J K+i

- Júí k z ~ M,

2.4-Ck-O M *

A

-

2. - K K - 0 M i

K-H

194

195

E X P R E S IO N PARA HALLAR EL FLUJO Df FLXi JO ISOENTROP'lCO EN DUCTOS MASA A TRAVES DE UN DUCTO DE SECCIOh de S E C C I O N V A R I A B L E Reíio~nes e n t r e el ato a M nm p r o piedad : V A R IA B L E Cotis\ derando (lu jo hoe'uliópKo: vt i

^ \ k

T,

(?,

,

/w - íV

= hi 4 - ^

2

=>

CpT0 f

2

V¡. = V T

cT

F

v

Tí T

la

z

Cotí

^

T

£-

f, ~ U -

TT1, = A, ( f f

i dA.

Cotí

la

presión

dJP - [ _ k M Í l d A

b

L 1-M M

a

RpT“ 0

temperatura

L

i_ m z

NOTA 1 Todas

las

- _P_ f= RT &

d e n sid a d

Cp = 1 B -

ÚL - (JL ' K "lP 8 .

la

L 1- m2- i A

dM _ í z + ( M t i ) k 1 dk M L 2C mz~ 1) j a

k-i

\

Con

di _ r

al Mach

Con la

i

i

velocidad ;

dV_ _ dA. [ 1 ] V A L m 2-1 1

t

= CpT2 +

2 ,

,k-\

Con

V¿

T, ’ V t

h.+ ^

t

ÍR T - £> £

= *.

h&W'-í

J

dA A

relacioties ¿Y. ,

an terio res dA ■ d f

V

A

se d e m u e stra n O

con

M = vf k R T '

OBSERVACIONES © Se

denom ina

h a -n s fo frn a

a

to bera

todo d is p o s itiv o - de seccita v a ria b le <ûe

la ene rgía e irlá lp ita

ctí

eineigía de velocidad (cunera uxia

expansión). El

flujo

de masa

máximo Seta: .

m MAX

A

r-^

h £ M vT

t^ ;

K4-I

U

_ f

vk+i /

©Se

d e n o m in a

<ûe tr a n s fo r m a ra

una

DIFUSOR la

avm presioTi).

a

e n e rg ía

to d o .d is p o s itiv o de sección va ria b le «.nial pica

anetgva de ptesio'n Cgene

'T 1.97

196

0 Un dispositivo de sección v£riab\e

Pos i. bi lid a d e s: M¿1

M>1

I

D

dv V

D

■fu'oc.ioYt del reî roexi de \ tí egreso C subsónico ó supersónico) 'DIFUSOR"

v2 >v, , p2¿p,

I

f

g) La

D

dT T

D

dM M

I

@ El

"t o b e r a "

>1

M

dP p

-máxima a

tía-ves

la

de

-Flujo

Tmáxitno

d ia n te

&

acelera d e n

tobera

de "masa

a

M>1

I]

" TOBERA

V, > V¿ , tí ¿ P 2

w>1

es la condición sónica..

través

de

una tobera se Calcuta m e

... ■

r

n<±r

/rftM h - . ^ í l . l í i ^ k-M { rt7

M¿1

M¿1

en condición es \so e n tx ó -

siQuxente Velación ’•

Sl V¿>v, ,

I

puede lograr

urva

,

I

D

Corno tobera o diíusoi en

v ¡> v ¿ , picas

di

tra b a ja

gi E xisle una re la tio ri de ^resiories única) la

"DIFUSOR"

se

oía! p em ú te

obtiene

P

l

a

alcanzar

p a ttti

14- J
entre el ingreso ^ Aa sa\xda l^ u e es la m áxim a aceleración, la nus-ma <ûe

de : K/k-1

k/k-i

M-1

2

Ps

s ; salida

(* £ -)

O BSER V A C IO N ES : Con *fAe dalo se enr\p\e-

|

Sí

Ps (absoluto),, -

0 .5 2 8 2 8

=>

5

51 <: P*

P

e!

flujo

tío

'

® La, geometría

de un dispositivo

di Fusor

o tobera

de seccicri Variable

tío

^

define su tw

necesariamente

los

L^íse

producen

biiídades

e*

isoenlto'pico r ondas de choque!

NOTAS:

didon de

S(

Ha \j TûeW eTi

pxoblem ss par
6 (.a b so lu to )

i

M s *1

i

P»l

^

Sí

&

P51 > P

trl

flujo es isoe-ntrópico (no se producen ondas de choq^,

fyjOTA -

El

a'rea

A* ,

M<¿1

Aj

poique

o

h ¿ 'j

e<,ta

cualquier

ávea se puede cn-roârar

A* es consta-nle.

OBSERVACION •

También :

dM _ |~ ¿ -hk CM-1) M

dA A

ZtM-'O

Sí

W -1

=>

onda de cKoque CAs> o')

d A .-o A. f

\

* f°z

p >o1 r p\ ‘*2. M>! A*

RELACIONES © En uti du d o Co'nverê.'nte - diMexênle tío s i e r r e sónica en Ciones

la sección t n í n m a . Si. en la sección

só nica s, el

VERGEmE" tria

tecibe

d is p o s itiv o

o " TOBERA la

C O M E N T A R IO :

DE

d m ir u n a c io r i

¿ J 3Ai

A

M¿1

se

se a le a r ía

K P */P

c o n v e rg e n te -^

V mXx / V *

lAVAl" . Et> ditbo Caso la s e tcisri m\T\i de área.

De tablas

c r ític a

o

A l :#■

área

VMA'X / V * ,

^ M iíx

dft ^ a r g a r \ta .

l. t t í

1.40

13

p V p.

1 .1

0 .4 8 1

0 .5 2 8

0.5M b

0.5(>4

1

2 .4 5

2 .1 1

3 .3 2

0 .2 3 R

0 .2 2 1

0 .18 1

0325

donde:

M,

v * = j i *:

A*

Y k-t-1

i

£

. _

/k

V R+-1

Peto: P0, - B-

\D : íu-nuóti de corriente .M,

,

en

la ccíndidró

m í^ -m a se logra las candi-

dmxnt'na " t o b e r a

PARA

A\

% - = #■

A*

rt

.

1.13 .5 0 .5 11

O .V55

W mn

d e 'V

C j5 T \

T 200

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _

r2

/k

1

_____

_

k+ ^ x

wc# -^r v-Va ^

______ ________ _ _ ___ ___________________ _ _

201

POSICIONES RELATIVAS DE UN OBJETO DENTRO DE UN AMBIENTE GASEOSO

H i f Considerarem os

TOBERA TOBERA Es

acuella

CONVERGENTE-DIVERGENTE 0 AMPLIA O TOBERA DE LAVA[

cu\ja ôrneiria

a la salida

sin la presencia

es decir^ bajo un flujo Er> Sa

permite alcanzar

ptestón

s iti

ia

a

la

presencia

p eralte

la m á x im a

como se mués La

u n fluido ûe se mueve

a

sobre éi o m varias velocidades,

Conti nuación *.

olentro de elfy'

cûe Yespoude a un comportamiento isoentrópico.

salida de

sión (sonido') como

estacionario emitiendo pegúenos impulsos de p a

las condiciones supersónicas

de opadas de choque wmaWs

tobfLTa de L AVAL partiendo de

nica

un o b je to

tûe

permite

con di ritmes alcanzar

subsónicas, exule una ¿. ce>T\diuones ‘supersónicas

irreversaWilidades , es decir es la urúta expansión^ dicha

presión

se denomina

presión ^ prepon de di-

sefTo. Sí

la

presión a

la tobera Sí

la

la

tobera

esta

presión,

es w n o r

Q p la presión

c r í t i c a , se dice ^

s o b re -e x p a n s io n a d a . a

e sta ole

la salida

la

salida

es maMor

ûe la p r e s a n c r í t i c a ^ se dice ^

s u b - e x p a n s i o n a d a ^ puesto

nal

-fuera

la

El

flujo (pe sale de un a to b e ra

to m a

u n a expar^síefh adú:

to b e ia ; fci í lu jo .

convercêmte - divercê/nte es supersónico

cuando la contrapresión, es la de di serio o m e w r . El ná m e ro de Mach as salida cûe.da fijo cuando se especifica des p ara

la

sección de salida puedan

propiedades de estancam iento a

As /A*. T o d a s

la s

demás pr'opi^

relacionadas e n -forma única m te

tx aves dei M

correspondiente.

1. Posición del objeto (Con referencia al v o W e m del ■fluido) 1 secundo antes

2. Pos'icioT» deJ objeto 2 segundos antes

3. Posición del objeto 3 secjumdos antes.

200

201

2/k

r

w© -ífr 2.K

v =

¡t t

'

POSICIONES RELATIVAS DE UN OBJETO DENTRO DE UN AMBIENTE GASEOSO

pT

Rli

vpj

rorísidexaTemos

CONVERGENTE-DIVERGENTE 0 5i
TOBERA TOBERA Es a

acuella la

cu\ja geometría

salida

sin

ia

tobera

nica

p x e s a

sin

la

alean 2ar

de ondas Yespoude

a

de L/O/AL partiendo ole la

presencia

permite

permite

U presencia

es decir^ ba\o un flujo En

un objeto estacionario emitiendo jpeoûenos itnpuuos de pie-

salida de

la m á x im a

cûe

permite

las condiciones

de cViocûe noriales

supersónica dentro de el

un comportaCuento isoentrópico. condiciones

subsorú cas, existe una i

alcanzar

condiciones 'supersónicas

i r r e v e r s a b iU d a d e s , es decir es la única expansión*, dicha

presión

mueve sobre. ¿I cnn varias Meloc\dade^;

se denomina

á)

presión presión de di-

c)

seíTo. Sí

la

presión a

la

tobera

Sí

la

la nal

esta

presión

tobera

la salida

esta

-fuera ole

es menor

<ûe la presión

c rític a «, se dice

sobre - e x pan siona d a . a

la

salida

es m aôr ûe la presan c r ític a

s u b - e x p a n s io n a d a ^ puesto ^.uue to m a

^ se.

dice

una ex.par>stc^ adii?

la tobera ; el flu jo . a) Fluido

El

flujo ûe sale de u n a to b e ra

convergente - d iv e rg e n te

cuando la conAr apresten» es la de diserta o m eno r. El

es supersónico

Tuimero de Mach ala

in c o m p re s ib le

V ^ O c

b) r lujo subsónico V. C

CVcC)

i

Z

1. Posicioii del objeto (con refeientia a! vohrmen del

calida cûeda fijo cuando se. especifica des para

ia

sección de salida puedan

propiedades de estancam iento a

/\S/A*. T o d as

la s

demás pYopi^

relacionadas e n f o r m a (Wca m las

txav es del M

correspondiente.

fluido) 1 secundo antes 2. Poskior» del objeto ?- segundo' antes

3. Posición del objeto 3

segurados antes.

202

d) Flujo supeí sónico (v> c)

c) Flujo lânscínico

V =2

1. Posición del objeto 1 Segurido

c. 1. posición déi objeio 1 seguido avj.

2. Positlbn del objeto 2 seguidos a n te

2. Posición del objeto 2 segundos aTiV

3. Posioon del objeio 3 segundos antes

i . Posición dei objeto 3 secûjpdts av,-,e

i- '

Comentario

^

v, = vA + v P|

^

At1 = (V^ 4- Vp^) tano<

^

V2 - VA - Vp2

r>

A t2 =

h (VV ~ v^p¿) tá.TKX.

j|í.

En

los puntos W

oj X

^

En

el punto

tío se capta e! sonido

jr b t z >

L

At1

V

se capta el sonido

203

ESTUDIO DEL FLUJO A DIABA TIC O CON FRICCION ( F lu jo Fanno) Características ; 1°) El

flujo es compresible

2°) La sección del dado es coTisiai^te. 3b) Existe HD) U

fricción

tubería es ad ia b á tic a

5°) Es un proceso irreversible £>•) El flujo se considera uniditmenn sionat <\j estable.

.

\

V ) Todos los cambios ûe se pro

ducen en este tipo de -flujo son consecuencia de la -fricción ( a maôr longitud "ma yc>t cambio de entropía).

Lime A

Es eJ

fanno

o

de

fanno

lugar geométrico de todos ios puntos o estados ûe cumplen con la ecua

c.íot» de continuidad

^ la ecuación de la energía. C Vet diagrama anterior )

Curvas p a i a valores ol i f ex e n t e s de G - m /A ( la

LIME A FANNO

paxa

5

uti

valor

se de

co n sttiu je

G

p a rtic u la r)

\

204

E c u a c ió n

Fu n d a m e n t a l

para

FAUNO

f lu jo

h 0 = h + G l í/ 2 R E L A C IO N E S

BASICAS

PARA

r2 + C K-1)Mz 1 M- [ 2 - K K - 1 ) M,a J

f,

FLUJO

FANNO

¿¿¿¿//(///////¿¿¿¿¿¿S///////*////

I

t

TT1 77777*77 ’ /

_ 2 V C k - 0 Mf

T,

VolirmeTi específico

*f :

1

I

2 + C k -I) M |

_jC.

1

i

% o

é

Sl. - Ml [ 2 4-
r 4 1 wT/T/M'/r, ;/f/s77' )7y/v;;)>;;

é

Vz

FJ ~ Mj L 2 + C K - 0 M 2 J - K f c - V / R ^

^

^

[

2 i- (K-* l) M?

ZCk-1)

M 2 *■2” + Ck-i)

Perdidas - -f Lma* _ J_ r J — J 1 _K±Í_ f/n rv,

“ k L.m?

La s ig u ie n te la b ia m u e s lx a el dones

©

\¡

©

I

(V e r

r

2K

conjunto de cambios

d ia g x a ’rtia

Pío p\edao¡

. 2 i ( K - l ) Mf j

posibles e n tr e las s

h ^ T -s )

Subsónico (M¿L1 )

Su peí sónico

Tempe T ai a t a C t )

DVsTninu^^

AuTneTita

Presión

DÍ5Tmrsu y?

Aurne-nta

bism in u ye

AuTnemia

C £>)

D e n sid a d ( f ) Velocidad'CV) *3 M

A im e n ta

Au*m&ntci

205

E stados

de

r e fer en c ia

para

el

fl ujo panno

5oti las caiadexislicas dei e s ta d o de e jia t\catsv>ernto ] peto más útiles soti j

p* t * p* s* 3* ; ro ) 1 > r •> J )

Las xelacioTies a ílit a s

scro:

T * " 2 + CK-DM 2-

& k+1 L p* “ M _ 2 /K K -l)M í ' £ . _ v ! . r i_ T 2 ■VCvc-0 Mz ^

y

M l

r

1/2

k-M

-1+■ k M 1 M / 2 C K + Í ) (l + k4-i

i - = i-

$

r x*-x ec-

1 ~ ñ

K

y

1 M!±

1. M

1ro

2K

^ ( j£

xelac-iones

p a ta n ú íc e lo s de 1 .7 , 1.3

K+-1

_ A- ( i - - O 4-

s _ s* _ R

Todas « l a

2 +• C k-1)

M

se

M acl>

eTieue-ntxa - b b u la d a s e/n t a b l a ; salvo la ú lt desde

ceto

a díeü.

^ pata

k de 1. 4 , 10 ; i.l

T 207

?M

E S T U D I O DEL FLUJO D I A B A T I C O (F lu jo Ray l e i g h )

ínea de

Ra\] k i ^ h en

t\

plano

jp-V

Características: -El

flujo pasa

a través de un dudo de sección constante

- E.1 flujo tiene un comportamlento semejante al de un - Se considera

- Todos

los cambios de

n \ie n to

L IN E A

ín ter ñ á m e n t e

del

DE

rev ersible

e s ta d o son con secuencia del e n fria m ie n to o (¿lenta

f lu jo

RAY LEIGH

se denoimna

así

tb ia ceT i

ecuación de co 'n tin m d ad

la

perfecto

al

1

' '-11(1

lugar cjeoW trico cjue ocupan todos \os estados <ûe sa~ ^

la

ecuación

de

ca n tid a d de

tnoV\-

Com eníaT io

/ d)

á)

^ Qt

_T

j|t

Si

M

r a tu r a

max

sji- Sí

ÍT
ta

tem p e ra tu ra

tem p e ra tu ra

e stá tic a

to ta l

- , la tempe \j

la e n ta lp ia

e sta 'lic a

alcan zan

m á x im o

v alor (T3 =Tm^

d ism in u y e

a u m e n ta

, pexo

su.

la

^

lodos lo cambios de

estado,

mentó o disTninuctón de ^ Sólo es

la

posible pasar

daion

salida la

de

condición sea

\j el

ds

supersónica

a la condición

la única p o sib ilid a d ole o,,

sónica ,e s Qê habiéndose alcanzado la con,

una

ole. calor. Si el calor

será mauor

lacondicion

de choque norm al :>

sónica a p a r t i r de

cantidad

consecuencia dn!

calor al flujo-

nica mediante una onda a

en el f. Raylei^h , son

cotídício-n

Q es

supersónica se adicione

u.r\d

g r a n d e , la Inmensidad de la onda

seta g r a n d e . C s ‘. e n t r o p í a ) .

¡ no es tubería' M>A

¿ caior3:S$| M r 1 |AOICIpNAl^

d)

®

d>

(M)

é

M=1

i

2

1)

L. £a\j leigh

^

E x iste

un

tem pera t u r a

punto

sobre

la linea

m áxiina, vj ello ocu rre

Ra\fleicjh

en donde se alcanza la

en el tâmo coTrespoTídieinte a

la

r zvü

coTuiicié'n subsónica cuando Js/\ - \fÍ7 k \ En el rango

/T/v? ¿ M¿.1 ,

Sa íern

peratura estática disminuye peto la tola! siempre aumenta, peyr cuanto se esta

adíctOT\aTido

c a lo r

a! f lu j o .

'

E n él cale n í a m íe n lo Co la to

subsónj

pvesvótv de tan carmen

ctanVvTUUje sj en é e tiír ia

miento subsónico aüTnenia.' L M a n t e n ie n d o ta n te

de

d i ción

sutsÓT\ica v es posible

a le a n ‘¿a t

G - t n / A , ^ la con

la

sónica s i se beta

N O T A S: 1.)

Jínea de

Ra\|l€i^h se constru

ye pana cada valor de G = tvt/A

u n valot c o n s

condición /su perín s ta la

u n a to.

conv&T ênte - d iv ft a e n t e .

RELACIONES BASICAS PARA

EL FLUJO RAYLEIGH

p + 6¿ V =- cte

tn.

<3)

2= ho2- h01 = Cp(T0¿ -T01)

^

_ _ r_

Ó(±)

A¿¿ _ ]KS-t±-ii AA , ^4- kM-i 1 x-i |/n ]*-' h ((

©

2J1 K~ 1

. ¿ Ü -

■M, '

-1 4- k M-J

R

Jl -

j Ec. Fundam ental

í.i±Mñ

T<

M H 1f KM Í

To¿ _ M¿ (14-K m H

[¿+(k-QM|]

M* ( 1 +K V \\f[z 4- ( k - l) Mf]

tM

1.= 1+ f? 1 + km¿ _

E, ~

& i

1fkM>

2 4- C k -l) Mf

1+ k M¿"j = yL-É. ~ M ?2 i. 1 + k Mr ]

ESTADOS DE _P P*

_K_ K-1

1 +■ K M,2

.k

REFERENCIA

PARA EL

RAYLEI 6 H

M Z-(K4-1)¿

X

+1

FLUJO

T * ~ ( 1 + k M * ) 2'

To _ (K -H )M 2- (Z 4 C k -1 )M Zj

f _ V _ (k-H )

T°*

f

(1-l-kM1 )2

V*

1 4- KM

211

JL =, k-M g*

1 4- K M 7

/t \ ir

=

2k BK-1

isot

«Q B :

Z-Kk-1) kíi

Q m á x = C p T .5 ? ' w 7

S - S ^ Ü R k-1

ONDAS ¡Jna

DE

11 + K M 2 J

CHOQUE

onda de choque es aûel cambio b ru s c o

menta un flujo

gaseoso, ante

de propiedades <ûe experi

la presencia de un estimulo exterior. La

oda de choque también es definida

como aûel

\ja Intensidad es elevada, ra^ón por la cual se

pulso de presión cucumple en tales esta-,

dos ûe componen la onda de choque la ecuación de continuidad ^ de ener jía \j de cantidad íx\ e( d ia g r a m a han

en

sentan u n

el inicio y el final de ia onda de c h o q u e } se encuen

su in te rsec ción con las líneas de cambio de en tro p ía

En un flujo pasa de

T -S

de movimiento.

Panno

y Ravjieigh . Siempre pre

p o s itiv o ^ porgue se les co n sid era a d i a b á t i c o ,

Fauno o Ra\¡ leigh ^ a

una condición supersónica

través

de una onda de choque se

a una subsónica.

212

La onda de choque puede ser norma! u oblicua.Será normal cuando e! frente de onda sea cua a

perpendicular a las

cuando, el -frente de onda

las

paredes del d u c t o

-forme un ángulo obtuso

o aûdo respes,

p a r e d e s del d u d o . G enialm ente

i K~1 = 2JL m * - 1 k-1 *

5r

oblicua se pxes^

cuando

el flujo sufre nr;

RELACIONES- PARA (

i

^

cambio de dirección repetí

n-kM*

A través de una onda v ra a \ siem pre se pasa de i*, na condición supersónica a

te

5sino

-

2-K

DE

m

^

BASICAS

Mx Tx Pv Yx

Mv T„3 P, V,

PARA

1 4-kM^. k+1

&

Vx

2

P3 Tx _ _k± i (

*

=

P* T * ~

4 -iti M í li4- -

2

pasar no socamen

también a una condición supersónica,

LAS

NORMAL

k -1 k+V

2 k Mx

-[JSU-MÍ]

k - i ] 1- k

k4-i]

k+-i

dependiendo ello del cambio de dimcioTu

RELACIONES

CHQGdJE

tí-i)

M 1.

subsónica.

de choque oblicua se puede

a una condición subsónica

» * ) ( - &

P* "

V

de una onda

TABLAS

Í Ü ± D i Mx zá-o

tin a .

A través

Sx = R

una onda ¿¡

choque

una

»x - ' “'i

J<^1 Mv

\¡ sera ob|[

ONDAS DE C H O Q U E N O R M A L

MÍ - 1 MV

ÍL

ex NOTAS :

k K—1 ’(k-M) 2 + C k -O M y .

a)

Sí

A Ü C ¿1

I

[ ZK Mx L k +1

=>

Los

1 Ü i_ L " \-K K+1 .

ch oq ues

sor. débiles

INTENSIDAD 1= J L A - i J < _ ( M x - 1 )

px

- k+1

i

DE CHOQUE b)

Sí

A jL

k pv

es u n v a lo i a lio =S> L o í c k o ^ u e s sct íu e x le s

®

Mx Mvf y V T ^ = - i - T. 3

k+1

=» ii

k+i k-i

\ \

J tl k+l

()

íJ?

l1P*

214

CHOQUES EN UNA TOBERA CONVERGENTE D IV E R G E N T E E n un flujo IsoentTopico

con

M=1

a

trav és

de la cârejanta de una to¡¡c

Td convergente-divergente > el fluido puede continuar expendiendo se \¡ su locidad

ve.

llegar a ser supersónica o puede d ifu n d irse a una presión mas ¿

La con una

velocidad subsónica, d Cual de e s t a s . . dos

el fluido ? v depende

de

la presión de e n tr a d a

posibilidades

seguirá el

^ salida.

jjf. PE P0 =>No ha\j flujo ^ £ - PE1

Flujo subsónico f^P
■ Ü -

E-

p „ " p0

¿je ¡e -

^ E Viste cHoûe normal d?ntrc. (en lovia div
PEM ~

1> El

ChoQUP se

da afuera de la

tob era

^ Para relaciones de presiones en la tobera madores <ûf PE i/P. 5 se ptesé-nia una cor va presión-distancia completamente diferente para cada valor de PE/fi ^ PaTs relaciones ole presiones en la tobera menores <ûe PE2 / P. , la curva pw sioTi-distanua

esta

completamente fija

ja ?n la sección divergemte hasta

ûe

en W seccióti convergen te la posición de

estaf¡_

choque es alean 2- ^

Des pues ^ la curva es única pira cada relación de pêsônes. ^ La velocidad del í lujo ole m asa es una (unción de U velación de f-resio

0 sea

nes solamente para el caso de ûe P£ / P

Tnaôx qûe PE i/S . Para otras

reiacíones de presión el flujo de masa es independiente de l a ‘ presión \| puede ser corn putado

a partir

1

de Us con di clones de U cjaro^nta donde M-- .

e je m p l o

Una Lobera cotive rúente- divergente nes de o.;U

se diseña para una reUcioYi cié presio

0 012

( PL /P ~ . ).

a) Calcular ia* presión de escape <ûe localis.ara el plano de choque en la sección de salida.

b)Enconirar la posición del choque cuando la relación de presiones es de 0.6

(

Supóngase que la tobera tiene una divergencia

a) Choque ala salida- de la Lobera

SOLUCION

uto

forme '3 k-~-lL 0

b) Choque con Tela clon de presiones en la tobeia de 0.6

216

a)

i .

P.

S .,0 .1 2 . p. '

^ MZ - M X = 2.,0M (T A B U F. ISOENTRDPICO) con

M X = 2 .D 4

en ÍT a ttlO '5

a

TABLA CHOQUE Ki,

M\j = o . s m a

R¡ / Px = M. É.88G Rj = U m p x = M.fcSBÍ,{0.12P.UO-5&2SÍ

b)

^.0.12

(.Condic'vOTi

de diseío')

las pérdida', se

despreclam'.

P. Como

Az - ^ . ^ 5 2 W

i

:>

A

e,

- U U V a ' m i ' ) ^ 1-04^1

a;

Tamben :

C on

( T kblÁ F. is o w R D P ic o )

'

^

A * - R Z A*

ésVe ú ltim o valor

M O; 53

nz

1.062.45

Mi

í.omu

0.5H

1 .0 4 1 1 3

- 1 . 0 Mil?.

VoWewos a ingresar

a

Pr/P.,

takjas de ■F.

i soEutRg

Pr o , iTiterpolando'. 0.53-0- H

I.OfelMS- 1.0H113

J¿- ~ Si- - 0.?218 p'*1 p.

- P«X

las

C U * . - 0.^30 0.8218

=^> / M i - O- ^>3 :l

217 Con P.\¡ ¡?>x~ 0.->30

entramos a tablas de choque normal '■

Mx =

Mv - 0.5806

Con

Mx = ^ 1 6

entramos a tablas de (lujo isoentrópicD '■ Ax / A* =. 1.

Luego-- J L =xjTÍM 52 = 1.32

=> r*~ r i

= _2L

Tl - Y *

a

L

^

'i

= N|U W = A 2 8 8

2 - 1183=1. L 1^ 2 -1

^

X - O.S L

BALANCEO DE FUERZAS Y EMPUJE -FUE.RH.AS PROPULSORA El

empuje n e to d e s a r ro lla d o

salida

por el

í lujo I n te rn o

sobre \a í r o lie r a

del d u c to , e n t r e dos de sus secciones e s :

F - h Az + f i Ai v z 3.

I - ^ V 4- PA

|

f u n c ió n

im pulso

E JE M P L O En

un l u r b o j e t

con

4

áVea 5 t i e n e

relativa

de

tos

la com bustión

sión

L

pies2 de

el aite e n tr a n d o a tr a v é s

de

moo pie s/s. EL\

a m b ie n te de

de u n a vá\vu\a de admisión

urna t e m p e r a t u r a área de

de 0 ‘F v¡ una velocidad

\a salida es de í> pies2 ^ los produc

salen de la maquina a

M 00 pies/s

^ a la p r e

0.6 atm. Suponiendo ¡lúe los productos de la combus_

218

i-ioT) l\e.wn \as TTiisTnas propiedades tib ie

ûe el aue

y ûe la rnasa del cW rxi:,

¡a salida.

es des pT ec\ah\e ) c a lc u la r el em puje M to d e s a rro lla d o ômt>

agregado

ti Ti r e s u lt a d o

del

í lu jo del flu id o

a tra v é s

de la m á q u in a .

f> ” o. 8 ai-tn

P¿zO.&at*v~

V7-lloop¡e/s ■

-► V( - MOO pie/s T = 0*F= 4G0°R

SOLUCION

SOLUCION P- J _ 1 RT, ■m =

í1

_ 0 .0 6 9 \b /^ \e

- .J L

_

zox\m

RTa

_

O . o q

\b/p¡e

52.3 4 *6 0 0

5 ^ 3 M *M 6 0 m2 - j> A,

V, -

0 . 0 W . 4 » HOOr iio.5 \b /s^

im

5 5 .5S pie/seg

f A,

QO^xO .2

f = _ i_ = ¿ RT¿

3o

15 x ■IHM _ O.O'TZM Ib / p ie ' 5 3 .5 M x 5G0

F = |(0.8 xH .^ xlM4)(6) + ( B l } O l 00} j _ | 0. 8x^ .1 X lH4)(4HîA'iQ.Q-'j

V, = JÜ . - ____ L f A2

F - 5■+ 8^ \b í

tra n d o

a

el em puje n e to la

20 p s i (abs)

to b e ra

y

6 ^ 1 pie/se^

..... . CeI empuje tenderá a 'rno'yer la rnáqunid''! F=

EJEMPLO D e te rm in a r

_

0 . 0 1 2 4 x 0.02,

in t e r n o

<ûe se m u e s tra

urna t e m p e r a t u r a

p ro d u c id o

por

1 lb /s

a o o n trn u a c io T i, 3

de aue en

una presión de

de 1M0“ F y , con 15 psi tabs)

(Í l )L .p ?í b¿) - ( tti-Y l + f> A ,) = I 2 - 1

\¡

lO O f

F’=

.6^1-5 5-S5

■ IM4 C'5 xó.02. - 2 0 x 0 . 2 . ^

32.2

F= - 5 1 5 . Oí, lbf

T

220

COMEN TÍXRIO'. 1=

± Pk

3. É n

el

S i s t e m a

I n t e r n a c i o n a l

f>V*= J l = R T

JP

?

~

f

=>

i

= 1

¡
.m

q =

c2-

U0

M

H. s1

2 . p a -= í> v a .v +. p i \ .= p ^ r _ y T 1 L fp/p (P/f)

i = m Y 1

t>ero:

J M

r pa

_L

k R T

-

I v / k R T '

K

r _y f_

-f

L c2/ lO

ii

K# :

P íU H k M 1'

=:>

11

i

EJEM PLO La tobera

de uti cohete

la presión a tm o s fé r ic a 7 kN

cuando

S

y

e n c u e n tra

es de

la presiorj

K'Pa \( la t e m p e r a t u r a g a r g a n ta

se

fu n c io n a n d o

12 KPa } si

debe

las

ana

a l t u r a en ^

p ro d u c ir u n empaje de

generada en la c a c a r a 3 0 '? 3 K , d e t e r m i n a r

a

d? combustión es WOO secciones ó p tim a s de !a

salid a.

N o ta .: k= VH

o l u c i ó n

^ . _ J L L _ r 0.0085 T

P >o í^12kPd

Con éste valor entramos a

FzTkKi

(£)

d)

1MOO

tablas de

{. isoent.:

M z r.3.&

A,/A*= 8.^506

221

A, ~ ___F f> (1 4-K M ? )

F = P, A2 ( H k M * )

•=í>

Como

A2 =.

700 0 12000 ( 1 + m x 3 .8 2 )

A 1 r _ A 3 _ _ _ 0 .0 0 3 0 1 2 m

A ,n A *

y. 9 5 06

- EMPUJE

EXTERNO

Ademas del

Y

ARRASTRE

empuje desarrollacio por el -flu jo de irn ílu id o a tra v é s de

un ducto de p ropulsió n, se debe considerar a las Q uerías Qûe actúan sobre la su p e rficie

e x te rio r del ducto

o a

d is m in u ir

nales

nacen de las fuerzas ole

la s u p e rfic ie

í¿ actúa so

*

bre

“

el

área

equivalente a

este

el empuje de

las cuales tie n d e n a a u m e n ta r

propulsión & x te rtio . Las fuerzas a d ic io presión

<^.ue el am biente ejerce sobre

e x te rio r de! cuerpo.

-

anillo,.

aciúa

T Ai J.

f í u j q

T

de

max

•fluido

el

------- a 2 .

lente

í

la

sobre e q u i v a

a

a

a n u d a r

" p r o p u l s i ó n

propulsión ”

EMPUJE NETO

F ^ ú i + A 2 (pz - pa)] — 3. consta ti Le

a^-PJ]

3. de

conversión de unidades

este

anillo, t e n d i e n d o

terkdüeTido a r e t e n e r

área

DE

PROPULSION

a

la

GRUPO DE P R O B L E M A S 1. PROB. - A de

cjeno

dh = Cp dT

de un conduelo larcjo de área constante fluê

través

0.15 kc^/s.

N8 5

Un

liquido câe lo rodea. La perdicia de calor en esta sección es

d a = Cv dT => &u = Ul - U 4=Cv C V "fO = °-:f16S- ^ - t o l - 4 4 t í > K = - É > 3 . m 3 / k g kc^. K

\h kJ/s

desde el aire. La presión a b s o l u t a , la te m p e ra tu ra y la velocidad a la ?rttvá

v a m en te. A ia salida, la presión absoluta Calcular para ios

k^K

aire a ra?^

pccûefío tramo de! conducto se eníría mediante

da de la sección de enfriam iento son 1 8 8 k P a , H 4 0 K

Ah ^ - h ^ C p d i - T , ) - - 1.0035 J O - (35\-MHO)K--:-8S31K3/ka

T

ds - dh - \r dp

d s - SÜi _ V dP - Cp d T _ R dP T

\¡ 210 m /s ? respecti

^ la te m p e r a tu r a

213 KPa y iSIK.

T

As - S ¿ - S / | =

T

\

P

C p í L _ \ Z R dp

este ffujoj> el área de la sección t r a n s v e r s a l del conducto ^

cambios en

la e n t a l p i a , energía in te r n a 'j e n t r o p í a .

S o lució n rn = 0.15 k g /s /

///{/¿ u

Q = 1 S k3 /s

p - 188 kPaT,--HM0K 213 KPa

TF77*t?TS"S"?SS SS ¿SS//V '/77

A s _ 1.0055

V,-_ 210%'s

JiL_ J/n 35j_ _ 0.281- ]y_ J m líl kg K

440

18%

T¿ = 3S1.K

A s = - 0 . 2 í > Z é k 3 /k g .K _ A2

d> C onsideraciones:

- F l u jo permanente -F lu jo

- Gas ideal

uniforme en las secciones © \¡ (!)

2 . PROB.- Se dispara ur\a bala con velocidad 810 m/s üTia co rrie n te de aire

cuya t e m p e r a t u r a es 20°C ^

eñ sentido opuesto a su velocidad de 150

m/s. calcule Por continuidad :

J1

R i;

m

2 8 Í

m r j> V, A, - j> V2 Az

188 >10* N / m ^ N .Tn . 4 4 0 K k8 k

_

ole

M a c h para el flujo de a lte

b) El n ú m e ro

de

M a c h de la bala

si

Mach de

respecto

fa fa * d

a ire c)

0 .15 k g /* 1.H913. ^

a) El n ú m e r o

- 4 . ^ x 10~4 m 2

* 210 2l

5

esta

se hubiera 'd isparad o eri

tra n q u il o -

El n u m e r o

de

la

bala

S o l u c ió n

Vb - 810 m/s

T - 293K

Va = 150 ri/s

a

la

corriente d
T 224

?2l>

V- _C____ __ G "514.03) m / s

Vr b = vb +-Va = % 0 rn/s

Vb

Va

Sen 10* C ¿ 'J Y r T = J V h T ’L B ' I x 2 ^ 3 ' = 3M 3>.im rn/s

i

;

4. PROB.- El avión de M = 22

a

a) Ma = y ± ~ 0. 43 ^

c

a

una a ltitu d

( T - 2 8 8 1 0 . ¿ Q ue

b) Mb = Vfe. = 2. 56

te

C

por e n c im a

para

<ûe

pasa je ro s de

tie m p o

de un

el r u i d o tûe

concorde

viaja

Km en u n a

H

ta rd a rá

desde

a tm ó s fe ra

qûe el avión

o b s e rv a d o r s i t u a d o en p ro d u c e

con velocidad de crucero

la

se escuche ?

3. PR O B . - Se dispara

Ib/pie3. Se desde del

el

50 Ibf/pul2, observa proyectil

proyectil

s u p e rfic ie de la Tierra

SOLUCION

c

de

pasa d ire c ta m e n

D eterm inar la te m peratura en la naria del avión.

c) MTb- Vrb .-a.TqT

presión

e s tá n d a r d

un

proyectil en un gas

a b so lu ta

\¡ <ûe tiene

h /ta n c

cûe se encuentra a una u na

den sid ad de

0.2"4

h-HOOOm

experi mentalm ente <ûe el cono de Mach <ûe se forma tie n e

re lativ a

un ángulo total

de 20°. ¿Cuál

es la

] se desprecia

velocidad

al g a s ?

are sen ( _ L ) =

2. 61c

SOLUCION

T- JL Rf

50 M x 1HH 3U Pul1 *

C - \fü RT = / m - *

2 84 j

y 288K = ^MO-I^Tn/s

53.} £ie_M * 0.2^ ib. Ib. °R

pie:

V= c M r

T = 500.31 °R

m /s

t = t ie m p o -

l^ o o o - m /t a n 2 . 61“

V

Cz /KRT

C - Jl.q x 5 3 3 f i e M x 50031, Rx 32.2 Jb. Ib .*R slu3 * sIuIxPíl! '/z

ib f.s * J C - 1096.142 -pie/S

h /ta n « _

^

t

=

H 9 . 8 3

S e g u n d o s

í M B a . ’ÍMxn/s

( R p ^

•)

Rptá .

Ternf>. etí la Tiéxlt . La -naTi ? es um punto de están ca^miewto.

5. P R O B Al en cu en tra

set comunicado

debajo

d e t e c t o r só n ic o s u b m a r i n o . La

de con

onda

0 .5

segundos

ole

tra

eJ s u b m a r i n o ?

ün

é l , el el

buûe

Cû?

el submarino enemigo ^

buûe emite una

afán

de

es c a p ta d a

h a b e r sido

m edir

a

onda

Que p r o fu n d id a d

de 5ll esta

e¡

en el receptor del d e te c to r, iu? a o

e m i t i d a . ¿ A <ûe

( Densidad;

a trav és

D atos:

V0 -- 200 m /s

Va ^ 100m /s

T= 2 88k

r - J k R T - 7 l . H x 2 8~+"X * ZW ÍT =:3M0.1^ni/s V

proíusndidad se emm^

del aaus de m a r - 1 0 2 5

Kcj/m3 , 'module

e la s tic id a d vo l i m e t r i c o del a g u a de m a r =• 22 x i o 8 Pa)

de

Solución

VT = V0 -1- Va = 3 0 0 |( l: 1 l -

300

C

_ 0.8 8 2 .

340. V}

S o l u c ió n

Como

Datos ■. t ~ O. *5 s p ~ I0Z5 k g / V

=> DO existe ángulo de Mach.

MOTA: Sólo

ex iste

á n g u lo

de

Mach

cuando

M >1.

E - 22 x\D8 Pa

flu jo incomptesible;

Asumiendo

7 PR O B locidad

/- C z . [ T ' f-P

f u

~

T

\ _1H 65m /5

* ■ lO ?.5 V ^ / tti^

a la

Se

de 5 0 0 m / s

2L

situ a d a b) El

=> 2L = V t L = i Vt

2

L= 3Gfe. 2 5 tn

espacio

200 m / s to

a

a travos de un ducto

por donde

a

C R p ta)

una velocidad constante df íluê aire gt» sentido opues

100t d / s . D e te rm in a r el ángulo de Mach. si ,R= 2 87 J / k g .K

onda

una ve

H50Tn; en sentíalo contrario

cuya velocidad es de

aire

125 m / s .

( T = 1 5 ° C = 2 8 8 K) determine:

están d ar <}ue

horizontal a

apenas

locyra

escuchar una per sanó

recorrido

cuando

es

por el

proyectil desde

escuchada por la

persona

cûe emite ¡a onda

-mencionada

en (a),

5

c) E.1 tie m p o por

volando

a l i a r a , de

una

atm ó sfe ra la

en trayectoria

en T ie rra

hasta

1 * H 6 5 E L x 0.5 s

2

se encuentra

una

a) El centro de

Espacio re c o rrid o por la onda

fe. PROB.- Un objeto

a

un p ro y e c til

c o r r i e n t e . h o r iz o n ta l de

Considerando

Luego:

dispara

T = 2 &8 K.

la

<^.ue d e m o ra

la

onda

p e rs o n a m encio n a .o la

en

lle g a r a

ser

e scu c h a d a

e.n (a ).

SOLUCION D a to s:

VP = 5 0 0 m / s

Vr =. Vp + Va = G 2 5 m /s

h = 450m

T= 2 88 K

Va = 1 2 5 m / s

K = 1.H

c '• ce ntro V elocid ad

de ¡a

úl el

so n id o :

Setn>ángulo de

N útriero

onda

Mach :

a r e sen

M -

= 3 2.Sf °

&2 5 3M0.11

_ C

De la fi'cj.

ole la persona

C - / k R T 1 = >11.4,* 2 8 7 x 2 8 8 ' = 3H0.17 t o / s

Mach : o c =

de

0: posición

- 1.8H

>

1

;AB=- 0 & / tan<* = H 5 o / táTi 32.ct~f” = 69 3. 7 3 Tn

.

BC = OB . ta-n o i= 2 9 1 . 9 0 m OC = O B / eos Oí =.5 36. 3 ? ™

a) El cenlxo de la onda se encu entra

a

ss&.'iffTn

de la persona

b) d = AB +- BC- b 9 3 . ? 3 . + z q i . S O =• 9 8 5 . É , 3 r n c) t =. J9!__ Vr

OBSERVACION:

^ 8 5 . (g 3 _ 1 .5 S s e g u n d o s 625

£n

eJ

pió. B - se

év

el pto.

A

escacha

perfectatr.er

: Apena s¡e lo^ra escuchar

el pto C •

No se escucha.

0

i #P R O B - E n

j T„ a w/s

la

fig u ra siguien te

se ilu s tra

través de un c o n d u c to , desde como estaolo in ic ia l

C3Tga donde

las

hasta

propiedades oie

un

el

flujo permanente de ai-

185

'iSO KPa (a b s o U ila ) í>OuC \j n ú m e ro

de Mach

estancam iento

de 1.3 fin la des

isoéntropico local

son

365 KPa (a b s o lu ta ) \j 3&OK . Calcular Id presión vj la tem peratura de es Mancamiento está

tita s

a

is o é n tro p ic o

a

la e n tr a d a

\¡ \a presión \| tem peratura

la s a lid a o/el conducto. Localizar

entrada \j a la salida en el diagrama T-S \¡ lie n to .

i

T/?jSr/7777T'

= 3 8 5 KPa

F lu jo

V , - 183 m /s

seria lar el proceso de estars ca i

%= 3 5 0 KPa I,-3 3 3 K

los puntos estáticos a la

T^=350K

Mz =1.3

i k - f 14- JirJ. M,¿ ] K ' = 2 .7 7 P

L

f r it e s

2.

de

P, = 2 8 5 /2 .^ 7 = 13S KPa

.

^ T a f ic a x

c a lc u le m o s :

S-, _ S

- 1.oo35 t m í ? í i k

T, 52 - S

=. 0.0 2 M M

^ ^ ^

"

I33i

> 0

S¿

350/

S>|

k q .k T 'P*1

A _T.1 = T .Z = 3 5 0 K

/ P¿

T,

OBSERVACIONES S ~ c t e . p a ta 5o 2

f lu jo s

el flu jo

¿00 m /s . ¿ Cuanit> valen e s ta n c a m ie n to ?

de ¿ ¿ ia ric a T n i.e ^ to

Ôyj r: Sj, —

T„,= T „2p a ra

PROB. - C otisi derese

p ro ce so s

la

de

is o e T iito pi eos

aire

estándard con una velocidad di

p res ió n , la entalpia \¡ la te m p e ra tu ra de

SOLUCION

A ire

estándar

SISTEMA

Símbolo

propít? dad

a nivel del mar si stema

INGLES

internacional

54°F

Te m peíala ta

T

Px esioS

P

101.3 KPa Cabs)

14.7 psi Cabs)

f

1.2 2 5 kg/tn*

O -O O I^ slug/pie3

De tisid a d Pes.D especifico

*

Vi sco sid ad

U tiliz a n d o

288 K

3.7 19 x 10"^ ib-f-s/pie

1 .7 8 1x10 kg/m-s

H.

d a to s

0 .0 76 51 lb í/p 'e3

S

de

la

c : x / T m T T b T T H F

la b ia

a n terio r:

rs/krf=

bmo.h

k-1.4

™/s

. R_ 2 & } _3

^ k; M=

X

C

=

600

_ U é

^

3H0.1}

T„ - T t 1 4- K-1

i

(

Cp= 1 . 0 0 ^ 5 ! S _ '--- V.

ka.K \ ■'

.v

V

Mz ] = M66 K

z K

P6 = P [ 1 4- KzJL M * ] * ' 1 = 5M^.fc KPa (abs)

X dh = Cr> dT

fTo = c.p I d T

\d h

=>

= » h o - Vi = Cp (T 0 - T ) = ' n 8 , t J a

'

10. P R O R En una

tubería fluye aire

(D el nú-mero de Mach es

0.001

i f r , \j

tem peta tu ra

son

la

V

lien trópicam ente . En la sección

es 0.3 , el área

presión absoluta ^ \a 650 kPa

•pecii va-meTite . E t\ la

ko

ÍL ,

'■

sj £ > 2 ° C « s

sección © j el MTnerü

¿

(2)

de Mach es 0.6 . Grafícar el proceso en un diagrama T-S piedades en la

^ calcular las

sección ©

SOLUCION Dalos:

Mr -0.3

A, = 0.001to2

K -1 .4

f> = É>50 kPa

T, =(>20C= 335K

R- 2 8 7 J /k g .k Cálculo de

X¿ :

T .2 = T., = T, [ U

+

C álc u lo

Tz -

gjt Cálcalo de

J t l M,1 ]=3H1K'

de T 2 :

= 302. K

T 0¿

:

^ cálculo

de

^ Cálculo

de P2 •

4 Cájculo

de

^1 Cálcalo

M2 =0.8

P2 =

V

ole A ,¿::

= M5?_ kPa

RT?

f V, A1 = f

A¡,

3 . A¿ = j í . .

^

f,2

A,, V’2 I/K -1

v

- í í r - t ^ - A ’-

• Mi. m 2

ÜñJil. A, V k r t 2

233

il^L±JL_

y

=> A 2 =. 0.001 J5JL Í-315„) 2(14'1) = 5.12x10 0-8 V 3 02. /

z Ud. puede C om probar

JJOTA*

ll a ti do

P01

,

de

p..t . P, h 4- k -1

JJT E ttot =

l

los r e s u l t a d o s ^.ue se

M* j* - ' -

R esuelvase

a n t e r fó.res

oii^pla .

;

^

^

,

10

el ..problema

evaluando vj Ina

4 9 2 KP¿.

l x 1 0 0“ 1 .

11. PRQ 8

68SkPa.

¿

im añera

m2

los

te

e m p le a n d o

eTT0T es PûtóV)

saltados scrn destables

T a b la s

para

f lu j o

ís c c t

W>b\CO. SOLUCION Datos :

m^

o.b

Ar ~ 0.001

l> = 6 5 0 KPa

T^335K

M¿ = 0.§

k-^1.4 De l a b i a s

p a ta

M

a/a*

0.3

"2.0351

0.8

1.03.8 23,

Paia ílujo

f lu jo

iSO£Ttlró p ito

Ck-I.H )

*.

?/i

t/t0

0.9 3 W

0.^5¿38

0.18 2 3 2

0. feS É.0Z

0.7HOOO

0 .8 8 6 5 2

p/p,

hoeTilTÓ{>ico'. X ^ - T o z - T 0

T; .. T?. .. T. _ (T a / T . ) T. ' T„ T ,. (T ,/T .)

, 0 .8 8 6 5 2 - f l . q o ?.5 0 .^ 8 Í3 Z

234

:=> T2 = 0.90 25 T, = 0.9025», 3 3 5 = 302 K PdTa flujo iso e n tra p ic o :

- £

■= £

#

^

Lueoo:

f = J L

0

RT2

A demás:

fj _

P JP q

_ 0.65602

?,

F^/Po

0 .9 3 W

-

---------- -

0.28?* 302

5 .2 4

T„, = T„2 = T0 = J ¡ ^ _

Po =

_

-

"

Aa

d '

=> T0¿ . TM

650 _ _ 0 .9 3 9 H Í

h í. -

A*= c te

k q / m 3,

^ 341K

0 .9 8 2 3 2

?J P. Como

=*P2 = 0 . ^ 8 2 ^ 4 5 ^ (abs)

335

17/T „ e i & P#i =

_fU 9R 2

6R 2

KPa

tQ3823 _ 0.5101

A -, /A*

2.0351

A 2 = 0. 5101 A 4 - 0 .5 1 0 1 x 0.0 0 1 - 5 . 1 0 X 1Ó 4 Tnz

fin alm en te:

V^= M2 C2 = M2 ^ k R T2 = 2-?6m /s

12. PR 0B- - Los tobera re

estudiantes de la

convergente- divergente de

desde

un tatuque

a

Mach

\j

de la

\a

sección

\¡

1000 kPa

r a . Determinar el diámetro el diám etro

F IM

UNI

circular 500K

van

para

a disersar

alimentarla

descargando a U

de la ârânta para un flujo- de

salida. Evalúe

tem peratura

de la

en

la

también salida.

una

con ai

atmósfe

40 kcj/s

y

\a- vetad dad y el número de

4.

235

So l u c i ó n

•ró ^ MOkg/s M ^- 1

Aquí en el tanque

( pOT ser io b rra

la velocidad del aire ^ casi

K=m

convexêrnte- d iv e T c ^W )

^ T, = T*

cero , por

R=0.2B1 k3/ks k

IJ = P

A,= A*

t'

V,= V*

? rí

iál va 2oín se díte

m el aire se emcurtira

em

cortdl-

&

Calculo de T*

Tfl

Ta

i

T *_

ciones de ESTAkl-

2 _ _ 2_

j_ ~ k-H

0.83-i

1-4+1

CAMIEHTO ¡ :> T * = 0.833*500 r H U . 5

^10 0 0 kPa

d)

T0 - 500 K

K

¿ Cálculo de P* k P+ _/ 2

pO

\k+l

AK+l/

0.52828

^ P ^ 0.52828 * 1000 = 528.28 'KPa.

cálculo de

p* "

------- ---- j

Cálcalo

de V * :

cálculo de A * :

p*=

j

P*

_

RT„ -

528.28_____ H.H 19 Kc\/rn^

0 _281 xHlb-S “

V * = n/ k R T * ' = / Ü U 2 8 T T H Í b T 5 ' = H O ^ x n /s

n* A* V* = m

A* =

J

C a lc u lo

ó

Th jj* v*

_

HQ

^

q.m'UMOS

del d iam elto en la %argarita

a, = a * - jy n 2 h

=>

d . - . n n ? - ,nr~^ó2ZA-o.\m

V¥

" Y TI

m

#í = 0.02*1 n?

Pot dato del problema

?¿ - 101.3 KPa } Presiór> atm osférica slá-ndar

b ó te s e ^.ue la descarga es a la atmosfera ,pero -no a \a atmosfera siatida\' Con

J k ~ 101-3KPa. _ 0.1013 , inaresaiTios a ta b la óe fluio isoentrópta 6 ~ 1000 KPa fV -2 .1 5

Az / a* = 1.^185

T2 / T 0 = 0.51462

r> h2 = 1.4185 ^ , 1 . 4 1 8 5 ( 0 . 0 2 2 0 = 0 .0 4 2 4 =5- D2 - - / j T ^

= °-2 m *

rí> T z _ 0 .5 1 9 6 2 7 . - O.SI'ífe? C500) = 2 5 ^ . 8 1 K

V2 = C2

- /k ~ R T ^ M ¿ - ^ 1 .4 x 2 8 ^ 1 5 ^ 8 1 «2.15 => Vz = 64H.3 Tn/$

)/o ta : Si b descarga Sería \j

T¿ - 28% K . Pero

pide-n

T2 , por

a la a tm o s fe ra sólo "nos dicen

ello es <^.ue

13.P R O B Una tobera convergente trabaja con aire se a lim e n ta

estan cam ien to

sico

con un área en la âraarrta de

\j la te m p e r a tu r a el n ú m e r o de Mach

son a

1000 kPa la salida

paTa el í"lujo isoeTítróplco

b) Tablas para flujo isoentrópico SOjLUGON

0.001

de 541 kPa Cabs'). La tobera

u ti l i z a n d o '.

a) Relaciones

^ nos

F^r 101.3 KFa.

cytan cám ara - de d istrib u c ió n óonde

absoluta

pectivamente. D e te rm in a r

Pz :: iOI.3k|

a la atm ósíera

asu m im os

a una presión en la descarga

desde una

e s tá n d a rd

la presión di \j

3 3 3 K tes

\j el enasto mí

5cgÚTi lo ■mencionado en el problem a, la to b e ra coweirc^Tile opera en \as tiones m o s tra d a s

cot «cJí

en la f ig u r a ; f>=\oook&

Antes de c o n tin u a r se debe V e r ific a r

si

no onda-

e x is tir á ' de

T.= 3B3K

choque : 777777777.

_ l--5 T L .-0 .5 q i

1000

R

P=5^l K P a 2

o

¿777777777777777?

Como j L > J L . - 0 . S 2 822 , Tío e x ls V n á

r>

^

P°

to :

onda de c h o q u e . Por \o ta'n

^=5=11 kPa K*

a) cálculo de

>

o

r t _____ O/ 6 u ^ !

S A ^ r% 1

f w o f * 286_ i ] _ 2 _ _ . r ' ^

U < iw -

c á lc u lo

de

fi :

de

tti

^

m 1 - 0. ^

1

T, - 26? K

~ 1 + oJ- (o.q)z '

2

mRT,

c á lc u lo

’ J 1. 4 - 1

3^3

2 C1 :

1 | ■— ]

1/ 2.

d e T¡ :

de

- j[ ^

M 1=

c á lc u lo

=>

1

/ '

c á lc u lo

<1/2

’

M, " 1 : £ . = p + J ^ ¡. M? ] k_1

0.26} * 2 8 ^

: lh =(?. 18)( 3 4 0x0.9)(O.OOl)

1 2.20

kü/s

T 238

239

b) E m p le an d o

fon

Tablas

= 0.591

p ata

flu jo

i soen t r ó p i c o :

vn^resatnos a

ta b la s

patos: M^-0.52

0.^ j ]L-0.840G ; ÍLZO.GB'-ig

T, = 40’F - 50CTR .2 ¡ ^ 6 0 Psi-tOxWHlbf/pie¡

1/2 c á lc u lo

de

ir) :

rn ~

Jl

M4

Z lL j

A

A1= 0.013 pie2

. RT0 ' ’1

f.

K -1.4

Til - (0.í>870) ( 0 . 8&0&)

'/2...... 3 ,

(10 0 0 x 103 U 0.9 V / 1.4

(0.00-0

\i28'-(x333>

^tiies de continuar se debe yerificaT si existirá onda

7TI ^ 2.20 Kg /s

1

R = '5 3 .3 pie-lbf/lb.-R

de choque : beTnosiración :

T

' ñ i- P J L

.

Tn - ^ v.

= ^ M1^ \

H £

a,

n _ JL

\ÍT0

1

RTo

M,
. Jo f

A,

______, ,

z

= j> M, \T k R I, A, JL

M, / k R T„' | " j 2

£

1

'/y.

k/ C K - O

i , [ 1 + k | i M* J =. A.

= 1.20

p. = 1.20 P, = 7 2 Psi

■=>

1

■1/i

Cabs)

SÍ e x is tir á

Onda de choque en

la sección ©

, de m a n e ra <ûe: m2=

El

14.

PROB.- En una tobera

convergente

fluye

aire

diagram a T-s

correspondiente será

Sin TABLAS

isoentropicameTite.En ^

una sección donde

el área de la sección transversa! es

local, la te m p e r a tu r a Ib/pulgz ( a b s ) ^

e! gasto

el

H0°F ^

(abs). D e te rm in a r d a , \j

\¡

número de Mach

0.13 pie2 5 la presión

son, r e s p e c tiv a m e n te ,

0 . 5 2 . La' presión de descarga

el n ú m e ro

de

M a c h , el área

es

/

1

en la sección de la salí

la

siguiente

fig u ra:

la

tobera

1 p¿ Ta conversifo Ibí, s2, Jde unidades

/ p>

-T.

flu jo -is o e n tro 'p lc o

1

muestra en

y

Lp - J í _ - 60 y-144 problema

q = 3 2 .2 Ib x Pie

=> V, = 0.52 nJ 1.4x53.3 *500 * 32.2

y X

SOLUCION

Según e! enunciado del

V r „ M 1s| K R l 7

T,

y

30 Ibf/pulcj2

8) Las relaciones para flu jo Isoentrópico para

•o

SxI

¿0

Tnásico> u tiliz a n d o :

b) Las tablas

funciona

1

R T ,

~

;„3 _ 0.324 Ib/ple

5 3 3 x 5 0 0

setjún como se |fn =

V,' ^ =,(0.32.4H 5 1 0 ) ( 0 . 0 1 3 ) = 2 . 4 0 Ib/s

p ie s/s

240

I

T, _

I

T,

1

i - r f 1 -f

i

A z =. A/|

1

Tj, x 0. 8' Í » ( 500) -

^

4 3 9 °R

zftK-ilMz

P*

L

1

■2

= 1 .8 9

J

JjL

^

r

UH

3?.1 Psi Cabs)

J L tl_ Mi_

í

V-C*

_

10

Tn2,

] Ve i

?ó-rn\uia em Prc.t 1Q

M ¿ A Tz ' i CON

TABLAS

debe veiificaT

Se

Paw :

si

existirá otida de cKo^üp

M ,= 0 .5 2

K= 1.H

z>

D J L - o. n w

r> ÍU J L _ _ = J C l _ Í2 fo

P.

De ia

ta b la

uo\a tobera

pata

M -1 ;

converne-nte

la Taôn

es :

0

f'*1 0 ;

■ de

A .-

, W

el ílujo

3 .0

P.

0 .8 3 1 7

isoe-rvltópica Tní-nima

cálculo

de presiones en

D J _ - 0 .5 2 8 2 $ n."

-0 .4 ^ ^ 0 .5 2 9 2 8

•

^

{oTr-ma..

<ûe

sí

se encuentra

c v u li T a

onda de choque, <ûe

aViooaduo. Paita

esta

es

pata

tablas, < pata

tti

es

M,, _ 0 . 5 2

e l mismo

<ûe

: _ A j L - 1.303 A* ~

s in

jo

-misino decir;

condición: '

El

o. 8 3 R t

t a b la s .

M z -1

Por otra

p a rte • de

241 j 5. PRQB-

A

xjendo aire velocidad área5

través de un ducto

son

3.5 bar , ^35 K

e n tr e ?a ,

variable se encuentra f lu -

isocntro picam cnte. La presión absolvía , la temperatura \¡ la

\j

y 3oo m /s

-respectivamente. La relación de

la entrada \¡ la salida es de 0 . 4 . Considerando <ûe el

ducto es divergente p \j

de sección

la

detcrm iTie

velocidad

las temperaturas T ^ T0 , las presiones

pn la s a lid a .

SOLUCION

T

p -- P'“i ,'■>1

X

V - T°¿

Xi /S 2

/•?

D a to s:

- 3500 KPa

T, =. 3 3 5 K

V, n 300 m / s

A l = 0 .4 A-?

v( _ V, C1 V K R i; Con M ^ O .8 2

300 -0 .8 1 8 | i .M *2 8 4 x 335'

A<

~ 0.82

entramos a tablas de'flujo vsoentvópiuy.

Av - 1.03046

A* ”

A . -0.64300 P '

4

Aj, - (Ai / a * ) . ^

f

Ar

Cotí

A ^ - 2 .5

(A ,/A *)

=(M /A .U

A1*

( A ¿ / A * ) = 2.58 2.M8

J L - 0.08146 T. (2.5)(1.030M6)i== 2 .5 .‘ 1615

W lffJ

entramos a tablas

á

de flu jo

Mz = 0.23

v so e n tró p ic o :

Como leñemos

dos valores

para

-S i

fu era

d ifu s o r :

1

-S i

fuera

to b e ra :

M t ¿-1

Por lo t a n t o

M ¿ = 0 .2 5

Í L - 0.96383 P„ i

1 -0 .6 M 3

1

P

¿ _ - 0 . 96 3 2 3

i T

]Lr O . m n 6 1¡1

4

R ,-

p

Pdra

, M¿>1

• de

la b i a s

J para

recordar M,, = 0.82¿1

decir, el duelo es

es

difusor

flujo i.so en tró p\co /.

P1

- 3500 . 5 4M 3 .2 KPa 0.643 0.6M3

n

5MH3.2 K Pa

P2 = 0 .9 6 3 8 3 ( 5 H 4 3 . 2 ) = 5 2 4 k .H KPa

T0 - _ 3 L —

-

- 380.051 k 1O . S 8 1 4 6 ' 0.881%

un procedo i s o e - n t r ó p i c o T o ¿ - T 01= 3-80.051 K

.1^ ^ 0 . CÍ^ CÍ5 3

T0¡>

1 Como

um proceso isoentrópteo ;

4

i

debemoi

Z L - 0 .^ 8 ^ 5 3 T0 "

S

Para

Mz

=> T 2 = O M 9 5 5 ( 3 8 0 .0 5 1 ) = 3 7 ¿ .0 }2 .K

^ V2 - c¿ ^ M2 xTkRT^ =L 0 .2 ^1 .4 x 2 81 x 3}fa.C)12v - 89.4% Tn/s

JG. PROB.- Una tobera para un cohete ideal ha de funcionar a una al tura en donde la presión atmosférica es de 101.5 KPa y ha de dar un empuje de GfcÔN cuando la presión en el motores de 135 KPdole presión absoluta y la temperatura del motor es de

21G0°C. d Cuales sovi \as ateas de âtoja-nlLa ^ saKda \¡ \a velocidad \j lempera lin a de

salida ?

Asumn

R = 2 6 7 K j/K g K

SOLUCION

'

PatTn--10UkPa

©

Pairo

-

101.3 - 0 . 1 5

P°

Cotí

> 0.5 2 8 2 & =

135

fk. - Q.'IS p -

e-nÍTatnos a

tablas de

J L - 0.9220&

F-

-p A¿ V2 ^ J L

17. PROB.- Se emplea de

fliú o J

\.soe.Ti tró pico f ProcescA ; V ¡dea! i ,A ¿ _ ~ 1 .1 3 5 6

A*

^ Vz = \/K R T 2 ^10b0m/s

2

6 través

o% Pz z 101.3 KPa

Po

- 27H6.fe’í K

exbtuá" OTidas de choque

J L - 0 .^ 5 2 8 3

Tc. ~

i

t^>No

P°

NU = 0.6 5

^

_P_

2

K ?_V _ :>

A z - RT¿

P¿ V2

F - ?-HBx1Q ^

una bomba de vacio para inducir un flujo de aire

utí conducto aislado térmicamente de 7.1fe m m de díame

tr o . El aire se toma de un cip rio la temperatura

dovele

la

presión absoluta es

101 kPa

es de 296 K> uti libando una tobera convergente cu^

Sección transversal se reduce paulatinamente e n

área. En (a sección

donde la tobera se une di conducto de área constante >la presión-estatua ab soluta es de ,%.5 KPa. Ed la sección

localizada a cierta distancia aquas

244 abajo eti el conducto de a'rea constante, la tem peratura del aire es IM'c D eterm inar el âslo másico sección ( 2 ) ,^ lo

entre

la

fuerza

presión de estancamiento isoenirópico en ^

la

de ToíaTtrienlo cûe actúa

las secciones ©

^

sobre

la pared del CowJt¡f

©

SOLUCION

S 8.5 K Pa

T0z 2 % k

f

m

Po=101 kPa

T i = 2 81 K

Conducto aislado

é cálculo de

M, :

Aplicando

propiedades

pata

F. boenlrópiu) convergente

^

m a-_L2

P, 1-M— 1

|1/Z

M,=

i

1.4-1 Cal culo de Ti : Aplicando

propiedades

Tv = _ J ü

_

1+KzÍMf 2 .

para

=>

M 1 = 0.1%

F. i joen trópico

Z %

=> T1 = 2 q M K

1 + 1¿Lll(0.|C|)2 2

C á l c u l o de fi ’ ■ 6ai ideal

j>1 - JRT,L -

^-5

0.28}

=p

-j5 - 1.1 ■? Kg'/m

245

cálculo de V, :

=>

V1= M,C1= M 7 k r t ^ = ( o . i ^

c a ic u lo ^ e Jl• ^

^ ^ ^

= ^ ^

^ ^

^

V1=é b . 3 ^

^ ^ ^

5> Tn = 3.08x10 1 Como el flujo

adiabático y sim ToHa'mie'nlo:

es

t

To2 = "L = 2% K

=> j k . = 14 J
1

^

V2 3 M 2 / k R l ¿

T2

r

Mz = JL_ (lt¿ . -

2-

T

h

L k -a V T í

J| V2

=>

13L)

Pz = f R T Z - (0.510 )(0.28}) ( 2 87) = H&.S5 r >

e2= p2 J 1+ i<|i M¿ J C acalo

de

ia

-fuetaa de

(p

® — ?> P,

V,

r r r r

- i !/2

= O ^ U n/ÍTH x Z ^ x 283 = 13M V s

1 Por c o n tin u id a d • Q - s> ^L. - ( 1^ ) . i 5-3

f

k^/s

-A-

k~ 1= H } ^ - h

Yo ^ t n i e r i t o

M

P = 0 . 5?0 kq /J2

0

P2= 4T KPa 1,4

^ e2=52.HkPa

(F) *

F=(P2 - ^ ) A + w Cvz _ VO

.^.-l

7

F____

Pi f¿ ■ V2

F-(M^-S8.s)*l0 JLCí.lfexIO3 ) 4 -|- 3 * 0 8 x 10

F =-1.8(>2N

( 1 3H - G^>.3)

246

18. PROB •- En un conduelo

aislado térmica mente

( lado = 0.12 m'), se encuentra terminada sección

Moo kPa

la

7.5 Kg/s . En urna de

a

pies ion absoluta, la

553 K ,respectivamente. El factor

\j

Para' una

de! ducio

-fluyendo a iré

de sección cuadrada

sección aguas

abajo

temperatura

de

donde la presión

son

{ricción es o.oz.

es 300 kPá

determine

a) El número de Mach d)

La distancia lineal entre las dos seccio-nes mencionadas,

c) La

temperatura estática

\¡ de estancamiento

SOLUCION

P~

^ ~

- lado = 0.12 m - 5

H

//.'//(■y■// ss/s.ss///y/Z/SZ//SZS.¿/¿S.¿Z

,

.

1

111

V

™ V FJ= HOO kPa

i

s

'353 K

V

{■ = 0.0 2

R = 300 KPd

k f= JL ~ T

J1

L

RTj

fn = p V, k

.

-=>!> = 2.52.0 Xq/m*

HOO 0.^8^ x 5 5 ^

d

= >

V, -

.. _

J1

A

7 .5

^ ^

/

V l _ _ V j ____ 20b.¿8

C1 Con M,= O.HM

\ÍTr1^

\¡ - 206. fc8 fn/s

^

2.520* 0.12Z M , = O.MH

Víh 728?7553

ingresamos => P* =

a.

ta b la s

R 2.443

-

de. flujo

F a rm o :

1 L = 2 .4 4 3

400 2-443

_s P* = 163.733 KPa

i T

Con

iL p* ~

300

1 .8 3 2

m a m a m o s a ta b la s de F. Fam io: M ¿-0-S8

% i .n i

t ti la miisTtia t a b l a !

{ U a * 2 _ _ 0.515'-/

M ,- - 0 .5 «

D

^

L=

Ltnáv, ¿v -mnax^ - U L-rññ\2

( U ^ - O . S W ) - o iz

(1 .^ 2 -0 .5 7 5 7 )

0 . 02.

í

=> L - f c . & cm

De tablas de

flu jo FaTmo:

M i = O.HH => J L = 1.155 ■ 1*

M 2 = 0.5&

¡jt De ta tís s

r>

pata

5 5 3 /1 .1 5 5 -M 7 8 .7 6 K

= 1 .1 2 4

^

= 1.12H C H í ñ . ? ? )

\

e[

fl uj o

=> Te1 = _ 1 L _ - _553_

es

a d ia b á tic o :

1^. PROB.- Haciendo uso de una aire a de

través

= > T Z = 5 3 8 .1 5 K

-flujo isoe-ntrópvco'.

O.U23

Como

,

~

M, = 0.M 4 => I l = 0 .% 2 7 ^

m

=> T0^ 5 m .M 3 K

0.%2l

T01- T 02 •-- 5 ' r í . í "
bomba de vacío se induce um f lujo de

de un conducto liso aislado térmicamente de ■?.

Ttnn

d i ame tr o . £! aire se absorve de una habitación donde la presionan

soluta

es

770 mm de Hg

\¡

la temperatura

es ? . 1 6 K , a

través

249

248 de una tobera convergente bera

se une con

trica

es - 18.9 m m

cía

*

el tubo de área constante, !a pTesioti estática rnanomé

160

Mi

de Hg. En la sección @ } localizada a cierta distant;

es - M 12 m m de Hcj. Las paredes del conducto son lisas • el f *

n o m é tric a

cesaría

en

la

para

sección © . D e te r m in a r

ahogar e| ílu jo

m ism o, e.\ n ú m e ro de L 12 v ei^ r e

Mach

las secciones

©

a

la

2 %

i f Ü::i M . 2

14-

2

prom edio de r o z a m ie n to , f , se puede considerar iûal al valor ^tie

se tie n e

1J

-

o .M ^ ^ o tc -is.q v

en el condudo de área con 5ta n te ) |a presión estática

aûas abajo

to r

1/2

cuyo contorno es liso. En la sección © , donde ls

L y 1 = M 1 C 1=

longitud del condudo T)e.

X

2.

0.19 / C i . ^ K Z S ^ ) ( 29<-ü

'/”K R T | -

V, r É>5> . 3> rn/s

p a rtíT de la sección ® , determ inar asi !

en la sección @ © .

) la longitud del conducto, : J¡ B = Q P

Considere

!'

f = 0.0235

h , - ( 9.81 rn. ) ( 1 3 .6 ,1000 k g ) x ( K 0 - 18. q.)x U V 'm

0

'

i

’

,

sE

m 3'

:=> O

So l u c ió n

-

* J1

RT,

De tablas =>

98.8 ' 0.28? % 29M

para

L.,^

U

flu \o

=>

fa u n o •

M. - 0. ¡9 => JL - 5 .3 9 5

P*

M3- I

P¿ = -412 rnm Hg ( m a n )

De

Y

ta b la s

p*

para

^

D

L

0 .0 2 3 5

?60i(~M<2)

C5

.

^ M S ')

F ann o :

= M.99m

5

’ =¿’ J L

•=

2 . 6 9 8

pí

H O + H8.9)

f!u io

f küü^.1 _ U . 3#

P*

a'M - 16.38 „P_ = l L S y ^ M k t c !

i - & , Jí

9 8 .8 KPa

£ = 1.17 k ^ / V

f

f ^ - - 18.9tn-m Hg ( m a n )

:: 2 .9 4 K

Í0.190)2

Ü

M 2 -O .M O

- 2.&98 rí?

P* Como

e!

f lu jo

es a d ia b a tic o

f

con T ocam iento \¡ área C onstante,el Flujo es

_ 2.3oq D

Fanno. Asumiendo <ûe ti

flujo en la to b e ra e s isoe-ntrópico;

J i-

P r1

.

'2

m

M

j

“ -t

r

M.= ■■

r°

■ w

M P

1/, ' '

-~4> L i3 - L m a v , - 2.-309

JL f

2 . 3 0 9 L_\ \ 0.0235 J

=>

L.2-. - (UOMrn

’ k

jj¡- Por u l t i m o : L ( 1 - L , ^ ~ t 2 3 - 4.99 - O.'íOM

^

L 1? - 4. 2. 9™,

250

01

2 0 . PROB-- ^ través ole un dudo de seccídr» circular , D= . m , f luvje aae adi^¿

Ileo. El

factor de fricción de la pared interna del dudo es 0.025. En una de

terminada kPa

sección ©

^ la a) La

temperatura es de 32 3K yla ptesión absoluta

200m/s.

velocidad máxima

b) La máxima ran ondas

la

longitud aûas

¡ I I

/T T T T T T 'Á " r r r ? : rr/rm m 'T T T

L

é C otí

abajo sim

sepresenten ondas de choo^ saUda, sabiendo c^.ue no sxis^.

de choque.

SS//J ///////¿¿/ /// /J Ü V

Determinar :

presión \j temperatura en

Solu ci oh

M 1 - 0.56

.H

é

cnc^resa-mos

_!E_ = 1.12^Z T*

D = 0,1-m

f = 0.025

T ,; 323k

P1 = 200k.Pa

Cálculo de

Mi :

M r_ V _ C1

a

V, = 200 Tn/s

200

JA fkRV

f

tw á x i _ ü M 3S?

o,

~

Pava <ûc no se presenten ondas de choque se debe cumplir: M =>

2

= T*

= 28feK

T - _2i 1.1212

=>

P, = P *

=»

P? =

Pj

Rpta. (b)

_ 105.4 kPa

■1.81%

^

U á x = O .U351

._0.%

>ÍÍMÍ28Íx323

tablas de flujo F awno :

J L - 1.8^16 P*

=*

es

Lf^áy ,

2. ^

)

Rpia.Ca)

z-1

21. P R O B k

través de un conducto de sección transversal constante 0.25 pie2,

f!ü\j? aue cea fricción despreciable. En la sección (T) 5 las propiedades del flujo Mvn T^tOOR ^ b - Zo pslCabs^

\j

V^- 3&0 pies/s, t“n la sección ©

la presiones

10 psi cabs). El flujo se calie-nla entre las secciones©^ © . Determinar las pro

piedades

en la

sección

así corno la energía ac^reâda en

BTU/ ib

y

el cambio de entropía. Dibujar £Í proceso en un diagrama T-s. S ol ución

! i H—

j I -------------------¡-— -— H

I C alcu lo

de

fi

A= 0.25 pie1

j

T( - 600R

f>= 20 p5t= 2880ÍbÍ 1

pie2

¡-------- 1 / !»—I — ¥---------------

V|- i6 0 Pies/s

I

p =10pVir 14M0 lbf/pie‘¿

*

I

:

?: JL__28R OIkf/Pie^____ rta

cálculo de V2. :

^53.3 I b f x P i e ^ o o R j

Considéramelo

? lujo pe emaneóle

. F = 0 = CP2 - P , )A + fn ( V i - V , ^ V

■=>■?-

H — fe f/i

0-°^'b/pi-e3

1

nj UTúfoTme txi (T) ^ ©

=> O’ -Pp A= fV, A C V ^ v , }

\I] - ( ^ S 8 0 - lH'iO)lbf/p¡g ( 0 . ° S A . ) ( % 0 j>£_J

-J2..Z ikl£iL-^360J& !tíxS¿

=>Vz - m i p i e / s

Cálculo de

^ r ^

-(O.OS \b/pVe^)

-f = 0.01S1 Ib^ple3

5

T 25?

253

Cálcalo

V

de T¿ :

¿

1HM0 I b f / W

It. xk '

= 1H93R

(0.0181 J L V s'i.B fofxPie \ pieiA Ib * R y C á lcu lo

^

s 2 - s. = 0. ?_é 7 J i l L Ib x R

de M? : cálculo de

M.

' 600

V*

V,

cz

JkRT¿

\J(l.H)(s3 .'í Ib fx fte V m q ^ R j x 3 2 . 2 ib > Pip

V cálculo de

X>¿ :

• .

1 1 rt1 P * / s

Ib
v

Ibf.s1

D ia g t a ir ia

l- j»

deí

p

too

? so

T0? - T2 K

pr«z -- p!¿ If T.2 ‘ T2 i cá;

= - Y i- -

cálculo

K-1

=> E¿ = 17.8Psí = 25M !bf/pir Cabs'j

Vi

3 60

JkR~T,

1201

de Tot : T., = I, j' 1 f 1^1 M¡f ]

c á lc u lo

^

;:í>

M^=0.3

T01 = G11R

de fn :

Q =

tti

2 2 . PROB. - De muestre Ud. cjue en un flujo

cp ( T0¿ _ T01)

Lura e stá tic a

k.-^

^

'

*

Cp(To,-ToO

= 0.240

■

BTü_ ( n t O - é l D R á q - Z í f :

¡b,R

Calculo de (s¿ - S j ) ' : s 2 - s ^ cp f m J A j - R f f n j j , ) = cp l n ( T i ) _ ( C p _ c v ) ! / n f J L ) 7. tP T / ^pJ

T

se alcanza

cuando

Ravjleiî

la máxima le m p e ra-

el TsÚTnexo de Mach e s

V\=.JV/K. .

Bl

ít

S OL UCI ON

R ecordatido

c¡

siûi^Ttle estado de

te f e t e n a s

T

_ M2 ( k k\f

t

+ _ ”(u k m 2 )2

¡>ata e.l flujo

Ra\i\(?i^Vi.

Para obtener el valor rnáxiToo de la temperatura estática se dete 9 (T / T * ) _ n

lü a r :

9 M

!

^

2 M ( K 4 A)1

r>

ZM

M 2 ( K - M ) 2 , 2 (A 4- K M 2-) 2 K M

_ n

CK + 1)2- (14- K M 2 - 2 K M ¿ ) _ 0

( a b s u rd o ') i aceptable

23. PROB.- /\ través de

uti

conducto dt sección transversal constante íluê

alte \j el w a tm e n tc se considera dades

del flujo

© , la

son

v n s i^ n iíic a T v t e .

T, = 3 3 ^K , J> - 135 kPa ( a b s 'l, ^ = 1 3 2 Tn/s. Se ana-

transferencia de calor por unidad de m asa, el cambio de entropía vf

traficar el proceso en

uti

diagrama T -s .

SOLUCION

D ato s:

En ia sección © , las propie_

T1 = BBBK

P1= U 5 kPa

Yt = 7 3 l w / s

$UUL'

¿UtílWMUAr-

I I i ! I nvTrrmnh

m

km

732 c, Cotí

Mi=2

R a\¡\e \g h 1

To/ C

B/R*

T /i *

P/P»

V/V*

2

0.713M

1.503

0.5289

0.363&

1.455

1.2

0.9187

1.019

0.9119

0.795 8

1.1%

las _

T '■ ( V T - í j

V1

i>

M

T2 _ f a / T * )

%

V (1 .4 )U M K 3 3 3 V

¿ mgresatnos a Tablar de flu jo

ReccTdaixlo

i

NÍkRtT

ptopiedades c rític a s

0.9119 -

~ ° * %3fc '

= M ! ) (V, / V*)

T, r 1.12T, 0.528^

- (% /P ^ - M ^ J L =

son constantes *.

2.1 9

1 . 12 (3 33 ) = 513.K

-.

£ - 2.19 R ^ 2.19 (135)

= 296

\
' '

- 0.788 1.455

:=> V2- 0.188Vi =

0.188 ( 1 3 2 )

= 5 7 1 m /s

MECANICA DE FLUIDOS 2 - UGARTE.pdf

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