Demostración de La Matriz de Rigidez de Elemento de Viga

DEMOSTRACIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE ELEMENTO DE VIGA MÉTODO MATRICIAL Para un elemento prismático sometido a un axial

 =   =   ∆  ∆=    = ∆  = ∆ ( ) Para un elemento prismático sometido a flexión f lexión y corte

 Fi   k 11  Mi  k 21    Fj   k 31     Mj  k 41

Q k  q 

*

k 14  Vi 

k 12

k 13

k 22

k 23 k 24

k 32

k 33

k 42

k 43

  i  *  k 34 Vj     k 44   j 

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Valores de la matriz de rigidez [k]

 12 EI    L  6 EI    L k     12  EI     L  6 EI     L 3

6 EI  2

 12 EI  3

 L 4 EI 

 6 EI 

2

 L  6 EI 

 L 12 EI 

3

 L 2 EI 

2

 L

2

 L

2

3

 L  6 EI  2

 L

   L 2 EI     L   6 EI     L 4 EI     L  6 EI  2

2

Método de ángulos de giro y deflexión (slop deflection)

Momento en el nudo dependerá:

 =  ,  ,∆, 3∆ ) +   =  2 (2  +   +          Demostramos:

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Momentos:

3∆   =  2 (2  +   +  ) +       3 ∗ 1) + 0  = 2   (0+0+    =  6  3 ∗ 1) + 0  =  2   (0+0+    =  6  Fuerzas:

∑ = 0 6 + 6 −  = 0    = 12   =  12 

Momentos:

3∆ ) +   =  2 (2  +   +      =  2  2∗ 1 + 0+ 0 + 0

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 =  2  Fuerzas:

∑ = 0 4 + 2 −  = 0    =  −6   =  6 

Momentos:

3∆ ) +   =  2 (2  +   +     3 ∗ 1) + 0  =  2   (0+0+    =  6  3 ∗ 1) + 0  = 2   (0+0+    =  6  Fuerzas:

∑ = 0 6 + 6 −  = 0    =  12 

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Momentos:

3∆ ) +   =  2 (2  +   +      =  2  2 ∗ 1 + 0+ 0 + 0  =  4   =  2  0+ 1+ 0 + 0  =  2  Fuerzas:

∑ = 0 4 + 2 −  = 0    =  −6   =  6  Ordenando los valores de la matriz de rigidez

 = 1, = 0, = 0,0,   = 0 12  + 6  − 12  + 6  =      2° Fila:   = 1, = 0,  = 0, 0,  = 0 6  + 4  − 6  + 4   =      3° Fila:  = 1, = 0,  = 0, 0,   = 0 6  + 12  − 6   =  − 12  +     1° Fila:

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Ordenando en un sistema de ecuaciones:

 12 EI    L3  6 EI   2   L   12 EI    L3  6 EI     L2

 12 EI 

6 EI  2

  L  Vi    Fi  2 EI     i   Mi   L  *       6 EI   Vj   Fj  2  L    j   Mj      4 EI     L  6 EI 

3

 L

2

 L

4 EI 

 6 EI 

 L  6 EI 

 L2 12 EI 

2

3

 L 2 EI 

 L  6 EI  2

 L

 L

Matriz de rigidez para elemento (flexión, corte, axial)

  EA   L   0   0 k      EA    L  0    0

0

0

12 EI 

6 EI 

  EA  L

3

 L 4 EI 

 L

2

 L

0

0

 L 6 EI 

 12 EI 

2

 6 EI 

3

 L 2 EI 

2

 L

 L 6 EI   L

2

0 0

0

 12 EI  3

 L  6 EI  2

 L  EA

0

 L 0 0

12 EI  3

 L  6 EI  2

 L

  6 EI    2  L  2 EI    L   0    6 EI   2   L 4 EI     L  0