LAS STAD MATRIKS
Lembar Aktifitas Siswa (LAS) (2) Determinan Matriks Ordo 3 x 3
A. Kompetensi Dasar
B. Indikator
3.4 Menganalisis sifatsifat
determinan
Kompetensi
dan 1.
invers matriks berordo
× ×
Menentukan determinan
dan
4.4
Pencapaian
menggunakan
Menyelesaikan
dengan sarrus
dan kofaktor
masalah yang berkaitan
2.
dengan determinan dan
Menyelesaikan masalah
invers matriks berordo 2×2 dan 3×3
yang
berkaitan
dengan
determinan
dengan
menggunakan sarrus dan kofaktor
C. Tujuan Pembelajaran Pembelajaran 1.
Siswa dapat menentukan determinan matriks dengan menggunakan sarrus dan kofaktor ordo
2.
Siswa
dapat
×
menyelesaikan
masalah
yang
berhubungan
dengan
determinan matriks dengan menggunakan sarrus dan kofaktor ordo
×
Ilmu yang tidak dibagi bagaikan pohon yang tidak berbuah Pada pertemuan sebelumnya, kita sudah mempelajari determinan matriks ordo2 x 2. Kali ini kita akan belajar tentang determinan matriks ordo 3 x3
Apakah untuk menyelesaikan determinan matriks 3x3 hanya bisa menggunakan metode Sarrus? Untuk menemukan jawabannya,ayoo kita simak contoh berikut ini………!
Permasalahan 1
Fase 1: Orientasi siswa pada masalah
1. Aini, Nia, dan Ani pergi bersama-sama ke toko buku . Aini membeli 2 buku, 2 pensil, dan 1 penghapus dengan harga Rp 6.700. Nia membeli 3 buku, 1 pensil, dan 1 penghapus dengan harga Rp 6.100. Ani membeli 1 buku, 3 pensil, dan 2 penghapus dengan harga Rp 8.000. Tentukan harga 1 buku, 1 pensil, dan 2 penghapus?
Gagal lebih terhormat daripada menang tapi hasil dari kecurangan
A. Cara Sarrus
Fase 2: Mengorganisasikan siswa belajar
Diketahui: Langkah 1 Rumuskan masalah nyata diatas dalam model matematika sistem persamaan linear terlebih dahulu Buku
Pensil
Penggaris
Aini
2
2
1
Nia
3
1
1
Ani
1
3
2
Misalkan, Buku = x Pensil= y Penggaris = z
Persamaan linear yang dapat dibentuk dari model tersebut adalah
Langkah 2 Lanjutkan dengan membuat model matematika sebagai berikut. 2x + 2y + z = 6.700 3x + y + z = 6.100
Harga 6.700 6.100 8.000
x + 3y + 2z = 8.000 Ditanya: determinan dengan menggunakan metode sarrus? Jawab:
Langkah 3 Persamaan akan diubah ke matriks, sehinga menjadi
Langkah 4
Dengan menggunakan metode sarrus, maka di peroleh:
det = | | = =
det A =
( + + ) − ( + ) +
Langkah 5
det A =
2 2 2 2 1 2 1 2 det = | | = 31 13 12 = 31 13 12 31 13 {(2)(1)(2)+ (2)(1)(1)+ (1)(3)(3)− {(1)(1)(1)+ (3)(1)(2) (2)(3)(2)
+
={(4+2+9) – (1+6+12) = {15-19} = -5 Jadi, determinannya adalah -4
Keberhasilan seseorang bukan karena takdir, tetapi karena keuletan dan kesabaran yang dimilikinya
Setelah mencari determinan dengan metode sarrus, sekarang kita akan mencari determinan dengan metode kofaktor dan adjoint
Permasalahan 2
2. Suci membeli 2 kg jeruk, 1 kg apel, dan 3 kg kelengkeng dengan harga Rp 38.000. Nisa membeli 1 kg jeruk, 3 kg apel, 3 kg kelengkeng dengan harga Rp 76.000. Farah membeli 1 kg jeruk, 2 kg apel, dan 2 kg kelengkeng dengan harga Rp 24.000
Diketahui: Langkah 1 Rumuskan masalah nyata diatas dalam model matematika sistem persamaan linear terlebih dahulu Jeruk
Apel
Kelengkeng
Suci
2
1
3
Nisa
1
3
3
Farah
1
2
2
Misalkan, Jeruk = x Apel= y Kelengkeng = z
Persamaan linear yang dapat dibentuk dari model tersebut adalah
Langkah 2 Lanjutkan dengan membuat model matematika sebagai berikut. 2x + y + 3z = 38.000 x + 3y + 3z = 76.000 x + 2y + 2z = 24.000 Ditanya: Determinan dengan menggunakan metode kofaktor dan adjoit? Jawab:
Langkah 3 Persamaan akan diubah ke matriks, sehinga menjadi
Langkah 4
Dengan menggunakan metode kofaktor dan adjoint, maka
Harga 38.000 76.000 24.000
= = (−1) )− () = = = (−1) ) − () = = = (−1) ) − ( ) = = = (−1) ) − ( ) = = = (−1) ) − ( ) = = = (−1) ) − ( ) = = = (−1){)− ( ) = = = (−1){)− ( ) = = = (−1){)− ( ) K=
ini merupakan matriks kofaktor
= (-1)1+1
2
{(
}
(-1)1+2
3
{(
(-1)1+3
4
{(
(-1)2+1
3
{(
}
(-1)2+2
4
{(
}
(-1)2+3
5
{(
}
(-1)3+1
}
(-1)3+2
}
(-1)3+3
}
Kemudian susun K=
Matriks Adjointnya(M) = K t Det M =
}
+ +
Langkah 5 Subsitusi masing-masing angka pada rumus matriks, sehingga:
}
= = 211 132 332 = = 211 132 332 = = 112 132 332 = = 112 132 332 = = 112 132 332 = = 112 132 332 = = 112 132 332 = = 112 132 332 =
(-1)1+1
23 32 = (−1) 3.2)− (3.2)} 11 32 = (−1) 1.2) − (1.3) 11 32 = (−1) 1.2) − (1.3) 12 32 = (−1) 1.2) − (2.3) 21 32 = (−1) 2.2) − (1.3) 21 12 = (−1) 2.2) − (1.1) 13 33 = (−1) 1.3) − (3.3) 11 33 = (−1) 1.3) − (1.3) 21 13 = (−1) 2.3) − (1.1) 2
{(
= (1) {(6 – 6)} = 0
(-1)1+2
3
{(
}= (-1) {(2 - 3)}= 1
(-1)1+3
4
{(
}= (1) {(2 - 3)}= -1
(-1)2+1
3
{(
}= (-1) {(2 - 6)}= -5
{(
}= (1) {(4 - 3)}= 1
(-1)2+2
4
(-1)2+3
5
{(
}= (-1) {(4 - 1)}= -3
(-1)3+1
4
{(
}= (1) {(3 - 9)}= -6
(-1)3+2
5
{(
}= (-1) {(3 - 3)}= 0
(-1)3+3
6
{(
}= (1) {(6 - 1)}= 5
−560 101 −351 011 −5−31 605 (2)(0) + (1)(1) + (3)(1) (0 + 1 + 3) =4
Kemudian susun K=
Matriks Adjointnya(M) = K t =
Det M =
=
Jadi, deteminannya adalah 4
Sukses tidak lah selalu dimiliki oleh orang panda, tapi sukses akan lebih dimiliki oleh orang yang gigih
Setelah diberikan penjelasan di awal, coba selesaikan soal-soal latihan ini dengan baik dan benar.
Permasalahan 1
1. Amin membeli 4 buku, 2 pensil, dan 3 penggaris dengan harga Rp 21.000. Fina membeli 1 buku, 2 pensil, dan 2 penggaris dengan harga Rp 18.000. Iman membeli 3 buku, 1 pensil, dan 1 penggaris dengan harga Rp 12.000. Tentukan determinan permasalahan tersebut dengan metode sarrus! Diketahui: ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……… Ditanya: ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… …… Jawab: Langkah 1 Buku Pensil Penggaris Harga 21.000 Amin 4 ……. 3
Fina
1
2
…….
Iman
………..
……..
1
………… 12.000
Misal: Buku = ……. Pensil = y Penggaris = ……. Langkah 2 Model matematika, sehingga menjadi: 4x + 2y +……= 21.000 ….+ 2y +…… = 18.000 ….+ …..+ z
= 12.000
Langkah 3
Mengubah ke bentuk matriks, sehingga menjadi:
… … …… ………… …… …… … … …… ………… …… …… …… …… ……
Langkah 4
Langkah 5
Det = {(….) (….) (1) + (….) (….) (….) + (….) (….) (1)} – {(….) (2) (….) + (….) (….) (4) + (1) (….) (….)} = {(….) + (….) + (….)} – {(….) + (….) + (….)} = {(…..) – (……)} =………. Jadi, determinanya adalah ………..
Mudahkan? Ke jakan soal be ikutnya. Pasti bisa
Belajar Tidak Mengenal Usia Tetap Semangat dan Berusaha
Permasalahan 2
2. Aminah, Intan, dan Sarah ingin membuat donat.Untuk itu, mereka pergi ke pasar membeli bahan-bahan yang dibutuh dalam pembuatan donat. Aminah membeli gula pasir 1 kg, 2 butir telur, dan 1 bungkus mentega. Intan membeli 2 kg gula pasir, 4 butir telur, dan 3 bungkus mentega. Sarah membeli 3 kg gula pasir, 6 butir telur, dan 4 bungkus mentega. Masing-masing mereka membayar Rp 25.000 untuk Aminah, Rp 36.000 untuk Intan, dan Rp 42.000 untuk Sarah. Tentukan determinan permasalahn ditersebut dengan menggunakan metode kofaktor dan adjoint! Diketahui: ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Ditanya: ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Jawab: Langkah 1
Gula Pasir
Telur
Mentega
Aminah
1
…….
1
Intan
…….
4
…….
Sarah
3
……..
4
Misal: Gula pasir = ……. Telur = b Mentega = …….
Harga …….. 36.000 42.000
Langkah 2 Model matematika, sehingga menjadi: a + 2b+……= 25.000 ….+ 4b+…… = 36.000 3a+ …..+4c
= 42.0000
Langkah 3 Mengubah ke bentuk matriks, sehingga menjadi:
Langkah 4
= (-1)1+1
=
… … ………… …… …4 …4 = (−1) 4)(4)− (…)(…)} 2
{(
= (… ){(… ) − (…. )} = (….) (….)
=
= (-1)1+2
= (….)
…2 …4 = (−1) )(…)− (… )(… )} 3
{(2
= (… ){(… ) − (…. )} ( ){( ) ( )} = … … − …. …2 …6 = (−1) ….)(….) − (…)(…)} = (… ){(… ) − (…. )} = (….) (….)
=
= (-1)1+3
= (….)
4
{(
= (….) (….) = (….)
=
= (-1)2+1
[…… ….… ] = (−1) …)(… ) − (…)(…)} 3
{(
= (… ){(… ) − (…. )} = (….) (….) = (….)
…1 …4 = (−1) 1)(4)− (…)(…)} =
= (-1)2+2
4
{(
= (… ){(… ) − (…. )} = (….) (….)
=
= (-1)2+3
= (….)
…1 …… = (−1) …. )(… . ) − (…)(… )} 5
{(
= (… ){(… ) − (…. )} = (….) (….)
=
= (-1)3+1
= (….)
[….4 …3] = (−1) …. )(…) − (4)(…)} 4
{(
= (… ){(… ) − (…. )} = (….) (….)
=
= (-1)3+2
= (….)
…1 …3 = (−1) …. )(3)− (…)(…)} 5
{(
= (… ){(… ) − (…. )} = (….) (….) = ….
=
= (-1)3+3
…1 …4 = (−1) 1)(4)− (…)(…)} 6
{(
= (… ){(… ) − (…. )} = (….) (….) = (….)
Langkah 5 Susun kembali unsur matriks, sehingga menjadi:
Adjoint M = K t =
….. …… …… ………… ……….. ………..
….. …… …… ………… ……….. ………..
Determinan = (1) (…) + (2) (….) + (1) (…) = (….) + (….) + (….) = (……...) Jadi, determinan dari permasalah tersebut adalah………….
Perlu ketelitian dalam menyelesaikan determinan dengan menggunakan metode adjoit dan kofaktor yaa
Jangan pernah berhenti belajar, karena hidup tak pernah berhenti mengajarkan
Ayo semangat, pasti bisa
Permasalahan 3
3. Diberikan matriks C =
. Tentukan determinan matriks tersebut
dengan menggunakan metode sarrus! Diketahui: ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……… Ditanya: ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Jawab :
…… …… …… …………
Det = {(….) (….) (6) + (….) (….) (….) + (….) (….) (….)} – {(5) (….) (….) + (….) (….) (….) + (6) (….) (….)} = {(….) + (….) + (….)} – {(….) + (….) + (….)} = {(…..) – (……)} =………. Jadi, determinan matriks C adalah…………
Belajar lah dari kegagalan, bukan dari kesuksesan
Permasalahan 4
4. Tentukan determinan matriks D = sarrus!
dengan menggunakan metode
Diketahui: ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Ditanya: ………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Jawab :
…… …… …… …… …… …… ……
Det = {(….) (….) (6) + (4) (….) (….) + (….) (….) (….)} – {(2) (….) (….) + (….) (….) (….) + (2) (….) (….)} = {(….) + (….) + (….)} – {(….) + (….) + (….)} = {(…..) – (……)} =………. Jadi, determinan matriks D adalah…………
Kesalahan adalah makna dari proses belajar
Permasalahan 5
5. Tentukan determinan matriks R = kofaktor dan adjoint?
dengan menggunakan metode
Diketahui: ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… Ditanya: ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… Jawab:
=
= (-1)1+1
…2 …3 = (−1) 2)(3) − (…)(…)} 2
{(
= (… ){(… ) − (…. )} = (….) (….)
=
= (-1)1+2
= (….)
…2 …4 = (−1) )(…) − (…)(…)} 3
{(2
= (… ){(… ) − (…. )} = (….) (….) = (….)
=
= (-1)1+3
…3 …5 = (−1) …. )(….) − (…)(…)} 4
{(
= (… ){(… ) − (…. )} = (….) (….)
=
= (-1)2+1
= (….)
[…… ….… ] = (−1) 4)(3)− (…)(…)} 3
{(
= (… ){(… ) − (…. )} = (….) (….) = (….)
…2 …3 = (−1) 2)(3)− (…)(…)} =
= (-1)2+2
4
{(
= (… ){(… ) − (…. )} = (….) (….)
=
= (-1)2+3
= (….)
…2 …… = (−1) …. )(….) − (…)(…)} 5
{(
= (… ){(… ) − (…. )} = (….) (….)
=
= (-1)3+1
= (….)
[….2 …1] = (−1) ….)(… ) − (4)(…)} 4
{(
= (… ){(… ) − (…. )} = (….) (….) = (….)
= (-1)3+2
=
…2 …1 = (−1) ….)(1)− (…)(…)} 5
{(
= (… ){(… ) − (…. )} = (….) (….) = (….)
= (-1)3+3
=
…2 …… = (−1) 2)(2)− (…)(…)} 6
{(
= (… ){(… ) − (…. )} = (….) (….) = (….)
Susun kembali unsur matriks, sehingga menjadi:
Adjoint M = K t =
….. …… …… ………… ……….. ………..
Determinan = (2) (…) + (4) (….) + (2) (…) = (….) + (….) + (….) = (……...) Jadi, determinan matriks R adalah………….
….. …… …… ………… ……….. ………..
