OBE GANCU & KUNCI UNTUK MENYELESAIKAN SPL
VARIABEL DAN INVERS MATRIKS 3 x 3 Ogin Sugianto
[email protected] Wordpress & FB: Penma2B Majalengka, 2 Juli 2016
Masih bingung dengan Operasi Baris Elementer (OBE)? Saya dulu juga pernah mengalaminya. Sekarang,…sekarang kita akan membahas cara baru OBE. Tapi saya tidak akan banyak menulis tentang definisi, konsep, ataupun materi lainnya. Karena materi tentang OBE, SPL, dan invers matriks banyak tersedia di buku dan internet. Saya hanya akan menjelaskan hal-hal penting berkaitan OBE Gancu dan Kunci dan Kunci . Cara yang saya temukan secara tidak sengaja, yang berawal dari rasa penasaran dan bosan dengan cara penyelesaian soal OBE di buku dan internet yang itu-itu aja. aja .
1|OBE “Gancu dan Kunci”
penma2b
1. Unsur dan Rumus Mat riks Seba Sebagi gian an besa besarr dari dari kita kita sud sud h mengetahui unsur dan contoh rumus
atriks. Namun,
tidak tidak ada salahny salahnya a menginga menginga kembali.
Keterangan: R = row = baris
C = Column = Kolom
R1 = baris pertama
C1 = kolom pertama
R2 = baris kedua
C2 = kolom kedua
R3 = baris ketiga
C3 = kolom ketiga
Diagonal utama yaitu a 11, a22, dan a33
Contoh Rumus 2R1 = 2 x R1
Dibaca “dua kali baris pertama”
R3/5 = R3 : 5
Dibaca baca “ba “bar s ketiga dibagi lima”
R2 + 1
Dibaca baca “ba “bar s kedua ditambah satu”
2R3 – R1
Dibaca “dua kali baris ketiga dikurangi baris pertama”
2|O B E “ G a n c u d a n K u
ci”
penma2b
Poin penting yang seringkali diabaikan: Contoh 1. Rumus 2R3 2 R3 – – R1, berarti rumus itu digunakan untuk merubah elemen baris ketiga,, dan bukan untuk merubah elemen baris pertama. ketiga Contoh 2. Rumus R2 R2 + + 3R3, berarti rumus itu digunakan untuk merubah elemen baris kedua,, dan bukan untuk merubah elemen baris ketiga. kedua
2. OBE Gancu dan Kunci
Mungkin kamu bingung apa itu “Gancu “ Gancu”? ”? Tapi pasti kamu tahu karung plastik kan? Karung plastik yang berisi gula, pupuk, tepung, dll. biasanya ada tulisan “Jangan Pakai Gancu”. Masih bingung juga? Kamu tahu Kapten tahu Kapten Hook Hook di di film Peter film Peter Pan Pan?? Tangan kiri kapten bajak laut itu menggunakan gancu. Nah, bentuk gancu itu yang akan kita ki ta gunakan sebagai metode OBE. Dan inilah... Elemen matriks A
= Cara mudah untuk mengingat setiap elemen matriks A yaitu dengan cara mengganti nama setiap elemen dengan huruf a-i. (Ingat ini hanya trik, bukan mengubah konsep elemen matriks). matriks) . 3|OBE “Gancu dan Kunci”
penma2b
Maka elemen matriks A, yaitu :
= ℎ
Terus apa hubungannya deng an “Gancu dan Kunci ”? ”? Perhatikan du dua gambar di di ba ba ah ini!
Seperti yang terlihat pada gamb gambar ar gan gancu cu,, urut urutan an pen penge gerj rjaa aan n O E menyerupai gamb gambar ar... ....y .ya a ganc gancu. u. Oleh Oleh kar kareena itu, urutan pengerjaannya p engerjaannya disebut OBE
ancu.
Sedang dangk kan ga gambar ku kunci, bu bu an gambarnya yang mirip kunci. Tapi me unjukan kunci OBE adalah diagonal utama
atriks.
Cara mengubah suatu matri s menjadi matriks eselon baris ataupun matriks eselon baris tereduksi caranya hamp hampir sama, yaitu:
4|O B E “ G a n c u d a n K u
ci”
penma2b
a. Gancu
Seperti namanya yang dimulai huruf “g”, kerjakan secara berurutan secara berurutan dimulai dari elemen g – d – h – i – c – f – e – b – a. a. (Ingat ya, berurutan!) Ubah elemen berwarna merah menjadi angka nol dan elemen berwarna hijau menjadi angka satu. b. Kunci
Adalah diagonal utama matriks yang berisi elemen huruf vokal vokal yaitu
,, .. dan
Tiap kolom matriks mempunyai kunci:
Elemen
adalah kunci kolom pertama.
Elemen adalah kunci kolom kedua
Elemen adalah kunci kolom ketiga.
.
Fungsi kunci yaitu untuk mengubah elemen diluar diagonal utama menjadi elemen berisi angka nol. Contoh:
Ubah elemen d menjadi nol menggunakan kunci kolom pertama yaitu elemen a.
Ubah elemen h menjadi nol menggunakan kunci kolom kedua yaitu elemen e, dan seterusnya.
Ubah elemen i menjadi angka satu, dengan cara membagi elemen i dengan elemen i sehingga hasilnya satu, dst.
5|OBE “Gancu dan Kunci”
penma2b
3. Contoh Soal
Sering kita temui artikel di blog yang memberikan contoh soal tentang SPL 3 variabel. Namun, seringkali pula kita merasa kurang faham hanya dengan satu contoh soal yang diberikan. Oleh karena itu, pembahasan OBE kali ini akan menjelaskan tiga contoh soal sekaligus. Sebagian contoh soal SPL
3
variabel dan invers matriks 3 x 3 ini saya dapatkan dari
grup FB Matematika Indonesia.
a. SPL 3 Variabel
Contoh: Tentukan nilai x, y, dan z dari tiga sistem sis tem persamaan linier berikut! A.
2+5−=8 3−4+2=5 +5−3=6
B.
++2=8 −−2+3=1 3+7+4=10
C.
3+−=2 2−+=3 ++=6
Cara pertama untuk memperoleh nilai x, y, dan z, yaitu lakukan OBE sampai terbentuk matriks eselon baris kemudian substitusi nilai x, y, dan z . Namun, saya lebih memilih cara kedua yaitu OBE dilanjutkan sampai terbentuk matriks eselon baris tereduksi. Sehingga kita tidak perlu repot-repot lagi substitusi nilai.
6|OBE “Gancu dan Kunci”
penma2b
1. Ubah SPL diatas diatas menjadi matriks
2. Khusus untuk mengubah elemen
me menjadi nol, kita bisa menggunakan kunci
elemen a atau elemen . Pilihlah dua elemen yang lebih mudah dihit ng.
menjadi n l menggunakan kunci elemen
.
4. Ubah elemen menjadi n l menggunakan kunci elemen
3. Ubah elemen
ℎ
5. Ubah elemen
.
menjadi a gka satu dengan cara:
7|O B E “ G a n c u d a n K u
= 1 ci”
penma2b
6. Ubah elemen menjadi n l menggunakan kunci elemen
7. Ubah elemen
menjadi n l menggunakan kunci elemen
8. Ubah elemen
menjadi a gka satu dengan cara:
8|O B E “ G a n c u d a n K u
.
.
= 1
ci”
penma2b
9. Ubah elemen
menjadi n l menggunakan kunci elemen
10. Ubah elemen
menjadi a gka satu dengan cara:
.
= 1
Sehingga diperoleh: A. B. C.
=2,55 =0,525 =−0,275 = = − = =1 =2 = 3
9|O B E “ G a n c u d a n K u
ci”
penma2b
b. Invers Matriks 3 x 3 Contoh: Tentukan inve nvers ma riks berikut ini!
Berbeda dengan OBE untuk SPL 3 variabel, OBE untuk invers matriks membutuhkan bantuan matriks identitas. identitas. 1. Tambahkan matriks ident tas.
2. Ubah elemen me menjadi n l menggunakan kunci elemen
atau elem lemen .
3. Ubah elemen me menjadi n l menggunakan kunci elemen .
10 | O B E “ G a n c u d a n K u n c i ”
penma2b
4. Ubah elemen
ℎ
menjadi n l menggunakan kunci elemen .
5. Ubah elemen m meenjadi angka satu dengan cara:
= 1
6. Ubah elemen menjadi n l menggunakan kunci elemen .
7. Ubah elemen
menjadi n l menggunakan kunci elemen .
11 | O B E “ G a n c u d a n K u n c i ”
penma2b
8. Ubah elemen me menjadi a gka satu dengan cara:
= 1
9. Ubah elemen
menjadi n l menggunakan elemen .
10. Ubah elemen
menjadi a gka satu dengan cara:
12 | O B E “ G a n c u d a n K u n c i ”
= 1
penma2b
Sehingg Sehingga a inver inverss matriks matriks C da D yaitu:
Kesimpulan OBE OBE Ga Gancu mem emud udah ahka kan n kita mengingat urutan pengerjaan OBE d an OBE Kunci membantu pengerjaan lebih efisien. Seperti yang terlihat diatas, ntuk menyelesaikan beberapa SPL 3 vari bel dan invers matriks 3 x 3 masing-masing
emerlukan 10 langkah dan 9 rumus.
13 | O B E “ G a n c u d a n K u n c i ”
penma2b
