MATRICES INTRODUCCIÓN
La resolu resolució ciónn de sistem sistemas as de ecu ecuaci acione oness lineal lineales es median mediante te las técnic técnicas as usuales de sustitución y de multiplicación y suma, se dificulta en la medida en que aumenta el número de variables y se complica aún más, si es el caso que el número de variables difiere del número de ecuaciones que conforman el sistema. Dado que el conjunto solución de un sistema se obtiene operando los coeficientes y las constantes numéricas, sin necesidad de reiterar la escritura de las variables, podemos señalar que el establecimiento de ciertas relaciones aplicables a conjuntos numéricos facilitara considerablemente el proceso. En tal sentido el estudio de las matrices, como un concepto del alebra lineal, nos ofrece la alternativa de resolver los sistemas lineales implicando las técnicas que se describe en este cap!tulo. Definición:
"na matri# es un arrelo rectanular de números reales ordenados en filas o columnas. SUMA DE MATRICES
$i %& 'aij( y ) & 'bij( ambas son matrices de mxn, entonces la suma a+b es la matri# de mxn obtenida sumando la correspondiente entrada de % y ) esto es %*) & 'aij * bij( EJEMPLOS: 1) HALLA ALLAR R A+B
A =
[
1
3
2
2
−1 −1
1
−2
2
]
B=
[
|
1
2
3
−1
−2 −1
2
1
2
]
+ 3+ 2 A + B= 2 + 3 −1 −1 −2 + 2 −1 + 1
|
2
A
|
−2 1−1 2+ 2
1 1
2
5
|
0
+ B= 5 −2
0
0
4
0
2) DADAS LAS MATRICES A =
[
] [
−1 Y , B= 5−Y 3 −Y 2 X + 1
2 X
2
] |
− X Y C = −2 2
4
5
|
−1
Hallar A+C sabiendo que A=B
SOLUCION
$eún la ecuación +- se tiene A = B ↔
{
−1=5 − y → 2 X + Y = 6 3 − y = x + 1 → X + Y =2
2 x
/esolviendo el sistema obtenemos 0&1, y& 23
[
][
+ = 7 −2 + −2
∴ A C
∴ A
5
2
[
4
5
−1
]
][ ]
+ C = 7 −2 −2+ 5 = 5 +4 2−1
5
3
9
1
PROPIEDADES PARA LA SUMA DE MATRICES
% * ) & ) * %
+4/546ED%D 758"9%96:%-
% * +) * 7- & +% * )- * 7
+4/546ED%D %$576%96:%-
% * 5 & 5 * % & %
+4/546ED%D DEL ;E"9/5 %D696:5-
4ropiedad establece que las matrices pueden ser sumadas en cualquier orden 4ropiedad 3 permite que las matrices sean arupadas para operación de suma 4ropiedad < establece que la matri# cero juea el mismo papel en la suma de matrices que el número cero en la suma de números reales. estas propiedades son ilustradas en el ejemplo siuiente EJEMPLOS: 1) PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES
A =
[−
1 2
[−
C =
2
0
2
1
0
1
]
B=
1
−1
−2
1
]
O=
[
[
0
1
2
1
−3
1
0
0
0
0
0
0
]
]
1.1) Dem!"#a# $%e A+B = B+A Solución: A + B=
[−
1 1
3
3
−3
2
]
A + B=
[−
1 1
3
3
−3
2
]
4or tanto, %*)&)*% 1.&) Dem!"#a# $%e A+ (B+C) = (A+B)+C Solución:
(
)
A + B + C = A +
[−
( A + B ) + C =
[−
2
1
1 1
2
1
−5
2
3
3
−3
2
]=−−
1
4
2
1
−5
3
1
4
2
1
−5
3
]+ =−− C
1.') Dem!"#a# $%e A + O = A Solución: A + O =
[−
1 2
2
1
0
1
]+[
0
0
0
0
0
0
]=[−
1 2
2
1
0
1
]
SUSTRACCION DE MATRICES
Dadas dos matrices % y ) del mismo orden m0n, la diferencia entre % y ) es otra matri# 7, del mismo orden= tal que 7 & 'aij( m0n > 'b ij( m0n & 'aij > bij( m0n EJEMPLOS:
1) Si
A =
[
7
−2
5
3
0
1
]
(
B=
[
−1
4
−2
1
3
3
]
Hallar A – B
SOLUCION
| −+
A − B =
7
1
3
1
|
− 2− 4 0 −3
+2 1 −3
|
−6 7 −3 −2
A − B =
8 2
5
|
2) DADAS LAS MATRICES
[ ] | | 2
6
= −4
A
6
1 YB
3
−2
=4
1
0
3
2
Hallar A-B
SOLUCION
| | | |
−6 A − B = −4 − 4 3− 0 2
−4 A − B = −8 3
−(−2) 1−1 2−3
6
8 0
−1
DETERMINANTE DE UNA MATRI
Determinante es un número real o escalar asociado a una matri# cuadrada %, que se denota por ?%?, det+%-, D+%-. El determinante de una matri# es un solo número real y su cálculo depende del orden de la matri# cuadrada en particular. %s!, para una matri# cuadrada % de orden 3, este número se define como
|
D ( A )=
a ₁₁ a ₂₁
|
a ₁₂ =a ₁ ₁. a ₂₂−a ₂ ₂. a ₁₂ a ₂₂
P# e*em,: A =
El determinante de la matri# ( )=
D A
[
4 1
[
4
−3
1
2
] es
]
−3 = 4 ( 2 )−1 (−3 )=8 +3 =11 2
El cálculo del determinante es una matri# de orden < en un tanto más complicado, pues su valor se define como D ( A )=
[
11
12
13
a a a 21 22 a a a 23 a
31
11
a
32
22
D ( A )=a a a
33
a
33
]
12
23
31
21
32
13
+ a a a + a a a − a a a −a a a − a a a ₃₁
₂₂
₁₃
₃₂
₂₃
₁₁
₂₁
₁₂
₃₃
$e calcula as! "no de los < sumandos que fiuran en el seundo miembro con el sino más es un producto de elementos de la diaonal principal de la matri# %= cada una de los otros 3 sumados es un producto de elementos situados en la paralela a dic@a diaonal y un elemento opuesto del rincón de la matri# de la fi. +- y los sumandos que fiuran en el seundo miembro con el sino menos se construye de modo iual pero esta ve# respecto a la seunda diaonal fi. +3-.
P# e*em,:
$i
[
2
1
−1
4
3
−3
5
]
−4 , su determinante es −2
( )=( 2 ) ( 4 ) (−2 ) + ( 1 ) (−4 ) ( 3 ) + (−1 ) (−3 ) ( 5 )−( 3 ) ( 4 ) ( 5 )−(−3 ) (−4 ) ( 2 )−(−1 )( 1)(−2 )
D A
( ) =−16 −12 + 15− 60−24 −2
∴ D A
( ) =−99
∴ D A
Aemos visto que el cálculo del determinante de una matri# de orden < se @ace un tanto laborioso y podemos pensar que la obtención del determinante de una matri# de orden n ofrece ciertas dificultades= por lo que, es conveniente estudiar previamente alunas propiedades del determinante considerado con una función sobre el conjunto de matrices de orden 3. 4/546ED%DE$ DE L5$ DE9E/86;9E$ 4ropiedad $i % es una matri# cuadrada que tiene una l!nea +fila o columna- compuesto e0clusivamente de ceros, entonces el determinante de la matri# es cero. En efecto, si
A =
[
]
a ₁₁
a ₁₂
0
0
( )= a ( 0)− ( 0 ) a =0
→ D A
₁₁
₁₂
4ropiedad 3 El valor de un determinante no var!a si este se transpone, es decir, si se cambia cada una de sus filas por la columna del mismo número. En efecto, sea % una matri# cuadrada y %t su transpuesta. $i
A =
At =
[
]
a ₁₁ a ₁₂ → D ( A )= a ₁₁ a ₂₂− a ₂₁ a ₁₂ a ₂₁ a ₂₂
[
a ₁₁
a ₂₁
a ₁₂
a ₂₂
]
( )=a
→ D A
₁₁
a ₂₂−a ₁₂ a ₂₁
( ) =¿ D (A )
∴ D A
4ropiedad < $i dos l!neas +filas o columnas- de una matri# % son idénticas, entonces el determinante de la matri# es cero. En efecto, si
[ ] a a b b
→
D +%- & +a- +b- > +b- +a- & B
4ropiedad 1 $ean % y ) dos matrices de orden n a- $i ) es la matri# que resulta de multiplicar una l!nea de % por un escalar C, entonces ∴
En efecto, si % &
D -) / 0D -A)
[
a ₁₁ a ₁₂ a ₂₁ a ₂₂
]
y
B=
[
ka ₁₁ a ₁₂ ka ₂₁ a ₂₂
] , entonces
D+)- & Ca₁₁a₂₂ 2 Ca₂₁a₁₂ = k (a₁₁a₂₂ - a₂₁a₁₂) = k
[
a ₁₁ a ₁₂ a ₂₁ a ₂₂
]
( )= kD ( A )
∴ D B
$eún esta propiedad, un factor común de todos los elementos de una l!nea de un determinante puede ser separado como factor del determinante. b- $i ) es la matri# que resulta de intercambiar dos l!neas de % entonces, D +)- & 2D+%-. En efecto si
A =
y
[
]
a ₁₁ a ₁₂ → a ₂₁ a ₂₂
)&
[
D+%- & a₁₁a₂₂2a₂₁a₁₂
a ₁₂
a ₁₁
a ₂₂
a ₂₁
]
→
D+)- &a₁₂a₂₁2a₂₂a₁₁ & 2+a₁₁a₂₂2
a₂₁a₁₂( )=− D ( A )
∴ D B
c- $i ) es la matri# que se obtiene de % al trasladar una de sus l!neas p luares, entonces ∴ D
( B )=(−1 ) D-A)
d- $i ) es la matri# que resulta cuando un múltiplo de una l!nea de % se le suma a otra l!nea, entonces ( )= D ( A )
∴ D B
RELA DE SARRUS O RELA DEL CERRUC2O.
"n método práctico para evaluar determinantes de tercer orden, es la rela de sarrus, que consiste en repetir las dos primeras columnas y escribirlos en el mismo orden a continuación de la tercera columna. El determinante se calcula sumando todos los productos de las componentes que están en las flec@as que apuntan @acia la derec@a y restándolos todos los productos de las componentes que están en las flec@as que apuntan @acia la i#quierda.
D +%- ¿
[
+*-
+*-
a ₁₁ a ₂₁ a ₃₁
a ₁₂ a ₂₂ a ₃₂
a ₁₃ a ₂₃ a ₃₃
]
+*-
a ₁₁
a ₁₂
a ₂₁
a ₂₂
a ₃₁
a ₃₂
+2-
+2-
+2-
D+%- & a₁₁a₂₂a₃₃ * a₁₂a₂₃a₃₁ * a₁₃a₂₁a₃₂ 2 a₁₃a₂₂a₃₁ 2 a₁₁a₂₃a₃₂ 2 a₁₂a₂₁a₃₃
E*em,: 7alcular el determinante de
=
A
[
1
2
10
2
3
9
4
5
11
]
$olución Disponemos el D+%- como indica el esquema D+%- &
| | 1
2
10
1
2
2
3
9
2
3
4
5
11
4
5
Lueo D+%- & +-+<-+- * +3-+-+1- * +B-+3-+- > +B-+<-+1- > +-+-+2 +3-+3-+& <<*F3*BB23B21211 / 34 TEOREMA DE LA PALCE
El teorema de Laplace +también conocido como rela de Laplace o desarrollo de Laplace-, as! llamado en @onor del matemático francés @omónimo es un teorema matemático que permite simplificar el cálculo de determinantes en matrices de elevadas dimensiones a base de descomponerlo en la suma de determinantes menores. El teorema afirma que el determinante de una matri# es iual a la suma de los productos de cada elemento +de un renlón o columna- por la determinante de su matri# adjunta, lo que reduce un determinante de dimensión n a n determinantes de dimensión n2. %plicado de forma sucesiva, permite llear a matrices <0< +con lo que se puede aplicar la rela de $arrus- o 303 +en el que el determinante es el producto de la diaonal principal menos el de la secundaria-.
