UNIVERSIDAD “CESAR VALLEJO” - TRUJILLO
TEM A
: HIPERBOLA
NOMBRE DEL CURSO
: MATEM ATICA 1
PROFESOR
: ENGELS RUIZ CHACON
FECH A
: 20 2 0 DE ABRIL 2015
INTEGRANTES: Tamayo Carrana! E"#$n E"%ar"o &$''(na D)a! *o+, &$''a-or.a O'$/ar(+! An"(r+on An%'o An%'o! (n("y
OBSER&ACIONES: 13
…………………………………………………………………………………………………………………………………
23
……………………………………………………………………………………………………………………………………
43
……………………………………………………………………………………………………………………………………
3
……………………………………………………………………………………………………………………………………
INFOR:
EN NUMERO
66 66
EN LETRA
FIRM A DEL PROFESOR
INTRODUCCION Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se dee al matem!tico ".#. $amilton en 185%. En 1858, &. 'ayley introduce la notaci(n matricial como una )orma areviada de escriir un sistema de m ecuaciones lineales con inc(*nitas. Las matrices se utilizan en el c!lculo num+rico, en la resoluci(n de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones di)erenciales y de las derivadas parciales. &dem!s de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de )orma natural en *eometría, estadística, economía, in)orm!tica, )ísica, etc... La utilizaci(n de matrices arrays- constituye actualmente una parte esencial dn los len*uaes de pro*ramaci(n, ya /ue la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como talas or*anizadas en las y columnas hoas de c!lculo, ases de datos,...
1. MARCO TEORICO Se ori*inaron con el matem!tico &lemen 2ott)ried "ilhem Leiniz 13431613Se emplearon en 137% con relaci(n a los sistemas de ecuaciones lineales simult!neas. En el si*lo 9::: se contriuy( al desarrollo de matrices. 'ardano en 1545 en su ora ars ma*na la usa en matrices de oreden ; presentado como una re*la para la resoluci(n de sistemas de dos ecuaciones con dos inc(*nitas. Esta primera )(rmula lleva el nomre de re*ula de modo. 'auchy )ue el primero en emplear el t+rmino determinante con su si*nicado moderno. Se encar*( de realizar una síntesis de los conocimientos anteriores y pulic( en 181; la )(rmula y demostraci(n del determinante de un producto unto con el enunciado y demostraci(n de la re*la de Laplace. Ese mismo año Binet o)reci( otra demostraci(n incorrecta- para la )(rmula del determinante de un producto.
2. OBJETIVOS Generales:
=ar a conocer elm+todo de evaluaci(n de determinantes por sus propiedades para la resoluci(n de matrices
Espec!c"s:
:denticar los tipos de matrices 'alcular la inversa de una matriz cuadrada de orden ; o % por el m+todo de 2auss 'onocer las principales operaciones con matrices.
Matrices Se llama matriz de orden m>n a todo conunto rectan*ular de elementos ai dispuestos en m líneas horizontales las- y n verticales columnas- de la )orma
[
a11 a21 ail aml
a12 a 1 j a1 n a22 a 2 j a2 n ai 2 aij a¿ am 2 a mj a mn
]
#"r
e$e%pl":
(
M =
8 5
1 5
Sea
)
4 Entonces el ordende M es 2 x 3 ( 2 filas y 3 columnas ) y 3
sus elementos son : m11=8, m12=1, m 13=4, m21=5, m22=5, m 23=3
=os matrices bij = aij
A =( aij ) y B =( bij ) ,
para todo
de orden n>m, son i&'ales si
i =1,2,... n y j =1,2, … m . Es decir, dos matrices son
i*uales si tienen la misma dimensi(n y los elementos /ue ocupan la misma posici(n en amas matrices coinciden.
(. Tip"s )e %atrices Matri* C'a)ra)a: Es a/uella /ue tiene i*ual n?mero n de las /ue de columnas
(n =m) . En ese caso se dice /ue la matriz es de orden n.
orden n por
(
A ∈ M 3 . A =
1 0 4
3 −3 0.2
&sí,
.
−2 3 1
en
eleemplo
anterior,
)
Los elementos de la dia*onal principal de una matriz cuadrada son a/uellos /ue est!n situados en la dia*onal /ue va desde la es/uina superior iz/uierda hasta la in)erior derecha. En otras palaras, la dia*onal principal de una matriz - i & @ a est! compuesta por los elementos
a11 a 22 … .. ann
En el eemplo anterior la dia*onal principal est!compuesta por los elementos
a11=1 a22=−3 a33=1
Matri* N'la: Ana matriz es nula si todos sus elementos son i*uales a cero. En el si*uiente eemplo se muestra la matriz nula de orden %>;.
0
( )
=
0
0
0
0
0
0
B!s adelante veremos /ue la matriz nula, respecto a la adici(n y multiplicaci(n de matrices, ue*a un papel similar al n?mero cero respecto a la adici(n y multiplicaci(n de n?meros reales.
Matri* Dia&"nal Ana matriz cuadrada, A @ aij - es diagonal si @ 0 ij a para i C j . Esdecir, si todos los elementos situados )uera
de la dia*onal principal son cero.
D=
(
0
0
0
0
6
0
0
0
−3
)
Matri* Uni)a) " i)enti)a) Es una matriz dia*onal cuyos elementos de
la dia*onal
son todos
1.
& continuaci(n
mostramos la matriz unidad de orden ;.
( )
I =
1 0
0 1
Matri* trian&'lar: Es una matriz cuadrada en la /ue todos los elementos situados por deao o por encima- de la dia*onal principal son cero.
D=
( ) 1
2
−1
0
6
4
0
0
1
3
Este tipo de matrices tami+n se conoce como matriz escalonada. En al*unos casos se hace la distinci(n entre las matrices trian*ulares superiores o in)eriores en dependencia de los elementos nulos de la matrizD los /ue est!n por deao o por encima de la dia*onal principal.
+. Operaci"nes )e %atrices A)ici,n )e %atrices Sean A, B ∈ M mxn . La matriz S =( S IJ ) ∈ M mxn esla sumade las matrices A = ( A ij ) y B =( A ij ) se denota , S = A + B si sus elementoscumlen s ij =aij + bij i= 1,2 ….. m j=1, 2… ,n
E$e%pl" 'onsideremos las si*uientes matrices
A =
( ) 2 −1 0
( )
4 3 2
B=
2 4 −1
(
4 4 0
−1
M = 2
−1
3 0 −3
4 2 5
)
Las matrices & y son de orden %>;, mientras la matriz B es cuadrada de orden %.
( ) ( )( 2
2 4 −1
4
A + B −1
3
0
F
2
4 4 0
2 +4
= (−1 ) + 2 0 +(−1 )
4+ 4 3 +4 2 +0
) ( ) ¿
6
8
1
7
−1
2
Es )!cil deducir las si*uientes propiedades de la adici(n de matrices de orden mGn C"n%'tati-a & F @ F & H A, BIMmxn As"ciati-a: & F F ' @ & F - F ' H A, B, C IMmxn Ele%ent" ne'tr" la %atri* n'la/ & F @ F & Ele%ent" "p'est" H AIMmxn K A-IMmxn A F A- @ A- F A @0
M'ltiplicaci,n )e 'na %atri* p"r 'n n0%er" Se denomina producto de un n?mero M por una matriz & I B mGn a una matriz C @ Cij ) IMmxn cuyos elementos son de la forma Cij @ Mai E$e%pl"
A =
(
2 −2 5
0 0 7
)
−1 4 0
'onsideremos la matriz y el n?mero 5 entonces, el producto de & por 5 es
(
2
!A =(−5 ) −2 5
0
−1
0
4
7
0
) ( = A =
10
0
5
10
0
−20
−25 −35
0
)
El producto de un n?mero por una matriz satis)ace las si*uientes propiedades Distri'ti-a %ita )el pr")'ct" respect" a la s'%a )e
n0%er"s reales
( " +# ) A ="A + #A A" , # ϵ $ ,% A& M mxn As"ciati-a %ita
( " + # ) A =" (#A )
A" , # ϵ $ ,
% A& M mxn
Ele%ent" ne'tr" M'ltiplicaci,n )e %atrices Se )en"%ina %atri*
pr")'ct"
)e
la
%atri*
A =( aij ) ϵ M mxn or lamatriz B =( b IJ ) ϵ M nx aunamatriz' =( c ij ) ϵ M mx cuyos elementos son
n
dela forma c ij =
a ∑ = (
b =ai( b(j + ai 2 b ( 2+ … + a ℑ bnj
i( (j
1
Es )ecir3 l"s ele%ent"s 4'e "c'pan la p"sici,n 3 i$ en la %atri* pr")'ct"3 se "tienen s'%an)" l"s pr")'ct"s 4'e res'ltan )e %'ltiplicar l"s ele%ent"s )e la !la i en la pri%era %atri* p"r l"s ele%ent"s )e la c"l'%na 5 )e la se&'n)a %atri*. Oser-e%"s en )etalle c,%" se "tiene el ele%ent" 2( c en el si&'iente e$e%pl": A =
A =
(
(
2
3
4
4
1
2
2
1
0
1
0
6
2
3
4
4
1
2
2
1
0
1
0
6
)
)
()
B=
2
2
1
1
0
2
3
2
() ( )
B=
2
2
1
1
0
2
3
2
@ ¿
19
23
7
10
19
13
3
2
D"s %atrices se p'e)en %'ltiplicar s,l" c'an)" el n0%er" )e c"l'%na )e la pri%era %atri* sea i&'al al n0%er" )e !las )e la se&'n)a. En el si&'iente e$e%pl" p")e%"s -er a)e%6s c'6l es el "r)en )e la %atri* pr")'ct".
In-ersa )e 'na %atri* Ana matriz cuadrada A es invertile si eGiste una matriz, /ue A
denotaremos por, −1
−1
/ue cumple.
−1
A . A = A . A = I
=onde : es la matriz identidad. En ese caso se dice /ue &1 es la inversa de & .
(
2
A = −2 3
4
3
3
4
0
1
)
es invertile y su inversa es
−1
A =
( ) 2
4
7
31 13 31 −9
31 −7 31 12
31 −11 31 10
31
31
31
Na /ue
−1
(
2
A . A = −2 3
4
3
3
4
0
1
)
( ) 2
4
7
31
31
31
13
−7 −11 =
31
31
31
−9
12
10
31
31
31
( ) 1
0
0
0
1
0
0
0
1
= I
Matri* trasp'esta La traspuesta de una matriz )
A =( aij ) ϵ M mxn
matriz
A =( aij ) ϵ M mxn
es la matriz es la
/ue se otiene a partir de la matriz &
al intercamiar las las por las columnas. La traspuesta de A =
(
4
3
2
1
2
3
)
)
es A =
( ) 4
1
3
2
2
3
#RO#IEDADES: Da)a 'na %atri*3 sie%pre eiste la trasp'esta 7 a)e%6s es 0nica A
A
¿ ¿ ¿
)
)
A + B ¿ = A + B
¿
)
!A
¿ ¿ ¿
¿
)
)
A . B ¿ = B . A
¿
)
A
¿ ¿ ¿ ¿
Deter%inantes & toda matriz cuadrada le podemos asi*nar un n?mero real /ue denominaremos determinante Deter%inantes )e "r)en 2
(
a 11 a12 a 21 a22
)
EJEM#8O:
(
2
5
3
−4
)=
2.
(−4 )−5.3=−8 −15=−23
Deter%inantes )e "r)en ( Si A es 'na %atri* ((3 s' )eter%inate )e "r)en (/ -en)r6 )a)" p"r:
( ( (
a 11 a12 a13 a 21 a22 a23 a 31 a32 a33
) )(
a 11 a12 a13 a 11 a12 a13 a 21 a22 a23 a21 a22 a23 a 31 a32 a33 a31 a32 a33
1 3 4
4 −2 −1
−3 1 5
)
)
¿ 1. (−2 ) .5+ 3. (−1 ) . (−3 ) + 4.4 .1−[ (−3 ) . (−2 ) .4 + 1. (−1 ) .1+ 3.4 .5] ¿−10 + 9 + 16 −[ 24 + (−1 ) + 60 ]=15 −83 =−68
