DEFINICIÓN:
4. Matriz Rectangular: Cuando el número de filas es distinto del número de columnas.
Se llama matriz al arreglo u ordenamiento de elementos cualquiera, dispuestos por filas (horizontales) y columnas (verticales).
5. Matriz Cuadrada: Cuadrada: Si la matriz tiene el mismo número de filas que columnas. 1 5 7 A 2 8 8 6 4 3 3
REPRESENTACIÓN: a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 A a m1 a m 2 a m 3
a1n
a mn mn a 2n
ELEMENTOS DE UNA MATRIZ CUADRADA:
Donde a ij representa el elemento de la fila “i” y la columna “j”, además m n representa el tamaño, orden o dimensión de la matriz A. TRAZA DE UNA MATRIZ CUADRADA: Es la suma de los elementos de la diagonal principal.
NOTACIÓN: A aij mxn También se utiliza: A a ij mxn / aij f i ; j , en caso que los elementos de la matriz sean generados por la fórmula f i; j . CLASES DE MATRICES 1. Matriz Nula: Si todos los elementos son iguales a cero. 0 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 0 0 0 0
Traz A tr A 1 8 3 12
TRANSPOSICIÓN DE MATRICES: Sea A una matriz de orden m n se llama “matriz transpuesta de A” a la matriz de orden n m que se obtiene al colocar las filas de A como columnas; es decir: 1 5 7 A 2 8 9 6 4 3
2. Matriz Fila: Cuando a matriz está formada solo por una fila. M 2 3 5 13
3. Matriz Columna: Si la matriz presenta solo una columna. 5 N 7 11 3 1
1 5 7 Sea: A 2 8 8 6 4 3 3
1 2 6 AT 5 8 4 7 9 3
Donde: A T , se lee “matriz transpuesta de A” IGUALDAD DE MATRICES: Dos matrices A y B del mismo orden son iguales si los elementos de las mismas ubicaciones son iguales es decir: Dados: A a ij mn ; B bij mn A B a ij bij
~ 2 ~
i; j
ÁLGEBRA DE MATRICES
2 3 5 0 7 9 0 0 6
1. Adición de Matrices : Sean A a ij mn y B bij mn Luego: A B aij bij mn ; i; j
b) Inferior: Cuando los elementos por arriba de la diagonal principal son CEROS.
2. Multiplicación de una constante (ESCALAR) por una matriz: Sea: A a ij mn y k . Luego: KA Kaij mn ; i; j 2. Multiplicación de matrices: Sean: A a ij mn ; B bij nxp Luego: A B C c ij mp donde: Cij
n
ai bj .
1
MATRICES ESPECIALES 1. Matriz Diagonal: Es aquella matriz cuadrada que solo presenta elementos no nulos en la diagonal principal y los demás elementos son CEROS. 2 0 0 0 3 0 0 0 5
2 0 0 3 4 0 5 6 7 5. Matriz Simétrica: Cuando A A T 2 3 4 3 5 6 4 6 7 6. Matriz Antisimétrica: Si: A A T 0 4 3 4 0 5 3 5 0
(Diagonal principal compuesta por ceros) T 7. Matriz Hermitiana: Cuando A A . 3 2 i 4 i 2 i 5 7 4 i 5 4
OBS: A es la matriz conjugada de A T 8. Matriz Antihermitiana: Cuando A A .
2. Matriz Escalar: Es aquella matriz diagonal que tiene los mismos elementos en su diagonal principal. 2 0 0 2 0 2 0 0 0 2
3. Matriz Identidad: Es la matriz diagonal cuya diagonal principal está formada solo por “UNOS”.
1 0 0 1 0 I2 ; I3 0 1 0 0 1 0 0 1
9. Matriz Periódica: Si: A p1 A OBS: “p” es llamado período. 10. Matriz Idempotente: Cuando A 2 A 11. Matriz Involutiva: Si: A 2 I 12. Matriz Nilpotente: Cuando A p . OBS: “p” es llamado; índice de nilpotencia 13. Matriz Ortogonal: Si: A A T I 14. Matriz Inversa: Sea A una matriz cuadrada; se llama matriz inversa de A denotada por A 1 aquella que verifica la relación: A A 1 A 1 A I
4. Matriz Triangular : Existen dos clases a) Superior: Si los elementos debajo de la
OBS: Para una matriz de orden 2 podemos usar: a b c d
diagonal principal son “CEROS”.
A
~ 2 ~
A 1
d b ad bc c a 1
PROPIEDADES DE MATRICES
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Sean A; B y C matrices 1. 2. 3. 4. 5.
01. Construir la matriz: a ij i j ; si: i j A a ij 23 a ij ; si: i j ij
A B B A A A A A B C A B C AB BA Si AB BA se
2 2 2 3 4 3 3 4 2 d) 5 3 2
a)
llaman matrices permutables o
conmutables. 6. A BC AB C 7. AI IA A 8. A B C AB AC ; B C A BA CA 9. AB AC B C
1 3 4 2 4 5 4 2 5 e) 3 2 6 b)
2 2 3 3 4 6
c)
02. Halle el valor equivalente de: x y z w 2x z w y
1 2
10. A T A
Si: 2 6 z x w y
11. KA T K A T ; k 0
a) 1
T
T
b) 2
d) 4
c) 3
e) 6
12. A B A T B T 1 2 1 03. Dada: B 3 2 1 , calcular: 3B 2I 1 2 0
13. AB T B T A T 1
14. A 1 A
15. A B 1 A 1 B 1
5 6 3 a) 9 4 3 3 6 0 5 6 1 c) 9 4 2 1 6 0 1 1 1 e) 2 2 2 3 3 3
16. AB 1 B 1A 1 1
T
17. A 1 A T
18. I n I ; n 19. A A s A a ; donde: A s
1 A AT 2
y A a 12 A A T
20. Para matrices triangulares o diagonales: a b c A 0 d e 0 0 f a 0 0 B b c 0 d e f a 0 0 D 0 b 0 0 0 c
a n An 0 0 a n Bn x y a n Dn 0 0
x
y
dn
z ; n
0 0 cn z 0 bn 0
0 0 ; n f n 0 0 ; n cn
f n
5 b) 7 1 5 d) 7 1
4 4
1
1 8 2 4 2
1
2 8 2
04. Calcular el valor de a b m n para que A sea la matriz identidad, siendo:
2a 5 15 a A b 2 a b 10 5 a) 103
Siendo x; y; z elementos por calcular. ~ 3 ~
20 b
40 a
3b m 11 11 5 4 a 4m 1 15 40 11 n
b) 104
c) 105
d) 106
e) 107
05. Sean las matrices: 1 8 A ; B 7 3
09. Sean las matrices:
2 1 1 6 ; C 5 3 2 4 .
x 2y
2X 3 A 2(B C) X A
1 / 4 2 1 / 4 1 3 / 4 1 / 4 d) 1 / 4 1 / 4
1 2 4 1 1 1 d) I 2 e) 4I 2 b) c) 0 1 1 4 4 4
b)
a)
1 2 2 10. Si: A 1 2 1 , halle la suma de los 1 1 0
1 / 2 3 / 4 e) 1 / 4 1
elementos de la diagonal secundaria de A 2 . 2 ;i j , calcular la 1 ; i j
06. Si: A a ij 4 x 3 a ij
b) 2
a 6m 2 4 5 2 8 3 b 2 6 n 1 3 3 c 30 p 1 160 b) 78
c) 78
d) 104
a) 7
e) 113
dos matrices de orden 2 tal que: x 2y A 1 , encontrar la matriz “x” x y B 2 4 / 3 7 / 3 0 1 3 9 / 2 c) 4 / 3 7
e) 2
a) 0
e) 36
d) 30 5
2
0 0
0
0 , entonces el 5
4
b) 16
c) 48
d) 144
e) 192
13. Si: A aij nxn , tal que se cumple: A11 A Hallar: A 4583 A 503
3 / 2 5 / 2 2 1 / 2 4 7 3 0
c) 18
valor de tr A 10 es:
b)
d)
b) 15
0 12. Sea la matriz: A 5 8 0
0 1 2 3 08. Sean: A y B , sean x y 3 2 0 1
a)
d) 1
7 3z x x simétrica: x 2y y 20 11 2y 3z z
e) 3
07. Indicar el mayor de los parámetros: a, b, c, m, m, n ó p; para que se verifique:
a) 140
c) 0
11. Calcular la traza de la siguiente matriz
d) 2
c) 0
b) 1
a) 2
suma de los elementos de A a) 3
; B
x y 3 2 / 3 2 C , si A B . Hallar: A 3C 1 0
Determinar la matriz X 1 si:
1 / 4 1 / 8 a) 1 2 / 3 3 / 4 1 / 4 c) 1 1 / 4
2 y 4 y 3 4
x
A
A I n
a) 2I b) A I c) A 5 A 6 d) 2A 3 e) 2A 4
14. Halle el valor de a b en: 7 0 3 a 0 5 51 0 2 4 5 2 0 3 4 3 15 18 3 0 6 3 0 b 36 0 51
9 / 4 7 / 2 3 / 4 1
e)
a) a, b ~ 4 ~
b) 15
c) 7
d) 2
e) 66
15. Sean las matrices A y B tal que: 1 1 1 u v w A 0 1 / 2 1 , B 0 x y , encontrar 0 0 1 / 4 0 0 z u v w x y z , si se cumple que: AB I a) 21
b) 20
c) 18
d) 15
21. Valor veritativo: I. matriz A n : A A T es simétrica. II. matriz A n : A A T es antisimétrica. III. Si: A B 2 A 2 2AB B 2 , entonces las matrices A y B no son conmutables.
e) 7
a) VVV b) FVV c) VFF d) FVF e) VVF
16. Si “X” es una matriz que satisfice la siguiente a 0
2
1 0
ecuación: X 1 1 5 , determine la 0 b suma de sus elementos, si además se cumple:
2 1 , entonces la suma de 1 2 los elementos de la matriz A n , n es:
22. Si la matriz A
a 2 b2 2 2 a b
a) 3
b) 5
c) 6
a) 3n 2n b) 5 n 1 c) 2 3n d) 2n e) n 2 d) 8
e) 10
3 6 2 23. Sea la matriz: A 2 4 1 , dar el valor 2 3 0
17. Calcule “ n m ” sabiendo que la matriz 2 m 1 n es idempotente. a) 2
b) 1
c) 1
d) 2
de verdad de las siguientes proposiciones: I. A 2 es involutiva II. A 2 es nilpotente III. A 3 es idempotente
e) 4
18. Sean las matrices: A a ij 23x2 / a ij i j , B bij
2x41
a) VFV b) FVV c) VFF d) VVV e) FFF
/ bij 2i 3j 3 j , siendo C AB .
Calcular el valor del elemento C 34 a) 136
b) 134
c) 125
d) 121
24. Sea: A aij 3 una matriz que satisface la condición: A 3B 2A T 4I , donde B es una matriz antisimétrica. Determine: tr A
e) 114
19. Si A y B son matrices conmutables , calcular 2 1 m 1 “ m n ” donde: A y B n 5 3 1 a) 1
b) 1
c) 2
d) 5
e) 7
a) 12
d) 24
e) 10
1 2 , determine la matriz X AC C 1 5
la traza de A A T c) 12
d) 5
A
i j ; a j siguiente forma: a ij ij ; a j , determinar i j ; a j
b) 0
c) 4
25. Si A, B y C son matrices cuadradas donde se cumple que: A BC y A B I 2 , si la matriz
20. Sea la matriz A aij 3x 2 , definida de la
a) 3
b) 3
e) 68
~ 5 ~
1 2 1 5 5 1 d) 3 2
a)
1 2 1 5 1 1 e) 2 5
b)
0 2 1 4
c)
26. Dado el polinomio: F x x 2 2x 1 y la
31. Halle la inversa de las siguientes matrices:
1 2 , calcule la suma de los 1 1
matriz: A
elementos de F A . a) 1
b) 0
c) 1
d) 4
e) 6
27. Calcular “ a b ” si la siguiente matriz: b9 ab a6 , es triangular a b 2 a a b 1 5 2a b 4 b 7a
inferior. a) 0
b) 1
c) 3
d) 6
e) 9
28. Calcular “ m n p ” sabiendo que la matriz: a 8 a 5 5 a
pb
ma
b9
n b , es diagonal. 2c 5
a) 1
b) 3
b 2
c) 5
d) 7
e) 9
29. Sea la siguiente matriz Hermitiana: 2 xi 8 yi 9 xi H 3yi 3 yi zi , halle el valor 4 xi 10 zi 4 zi
numérico de: F a) 3
1 1 2 1 h) H 0 1 3 1
tr H
x z y
b) 2
c) 1
d) 1
e) 2
30. Sabiendo que la siguiente matriz: b 3 a 1 a 0 A 0 b c 1 , es 3 x b 64 2a 5 b c 1 x 1
simétrica. Determine el valor de tr A 99 a) 299
b) 1 299
c) 2100
3 7 2 5 1 2 b) B 3 4 1 2 3 c) C 2 5 3 1 0 8 1 1 1 d) D 2 3 2 3 3 4 1 2 1 e) E 0 0 2 0 1 0 2 1 0 f) F 0 1 3 3 0 0 2 1 1 g ) G 0 3 1 1 2 0 a) A
d) 2198 e) 4 99
~ 6 ~
0
1
1 2 2 1 0 1
