UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL. FACULTAD DE INGENIERÍA ELECTRONICA E INFORMATICA. ASIGNATURA: INTRODUCCIÓN A LA MATEMATICA SUPERIOR PROF: LIC. PEDRO SAENZ RIVERA.
1.1 MATRICES
rectangular de números (reales o Definición.- Una matriz de orden mxn es un arreglo rectangular complejos) aij , llamados elementos dispuestos en m líneas horizontales, llamadas filas y en n líneas verticales llamadas columnas; de la forma: .... a1 a11 a12 12 .... a2 a21 a22 2 2 a31 a32 .... a3 32 A ......................... ......................... a 1 a 2 .... a n
n
n
m
m
mxn
mn
Las matrices se nombran con letras mayúsculas A, B, C, …. En forma abreviada abreviada la matriz anterior puede escribirse en la forma A = ( aij ) mxn con i = 1, 2 , 3 , …, m; j = 1,2,3, ,… n , o A mxn . Los subíndices indican la posición posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila ( i) y el segundo la columna ( j j). Por ejemplo el elemento a25 se ubica en la segunda fila y quinta columna de la matriz. La dimensión de una matriz es el número mxn de elementos que tiene la matriz. MATRICES IGUALES.-Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y cuando
los elementos que ocupan los los mismos lugares son iguales ., Si A =( a ij ) mxn y B = ( b ij ) mxn , entonces A = B si y solo si aij = bij para cada cada valor de i , j AL GUNOS TIPOS DE MA TRICES: 1. Matriz cuadr ada: El número de filas es igual al número de columnas, es decir:
m
n
En una matriz cuadrada, la diagonal principal es la línea formada por los elementos a 11, a22,..., ann y la suma de estos elementos se llama traza de la matriz. Por ejemplo:
3 A 1 2
1 4 5
Es una matriz cuadrada a su traza la denotaremos por 5 1 2
donde:
T ( A)
a11
a22
2. Matriz rectang ular.- es toda matriz en la que m
a33
T ( A) de
6
n
3. Matriz fil a - es una matriz de orden 1 x n:
A
a
11
a12 a13 ... a1n 13
1
4. Matriz col umn a.- es una matriz de orden m x 1:
a11 a21 A a31 a 1 m
5. Matriz Nula: Todos sus elementos son cero, es decir:
0(
m ,n )
aij
aij 0, i, j.
Por ejemplo: 0 (3,4)
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
6. Matriz triangular superior : Es una matriz cuadrada donde todos los elementos por
debajo de la diagonal son ceros, es decir: aij
0
si i j
Por ejemplo:
1 1 0 0 0 0 0 0
2
4
3
1
2 2
3 0
7. Matriz triangular inferior : Es una matriz cuadrada donde todos los elementos por
encima de la diagonal son ceros, es decir: aij
0
si i j
Por ejemplo:
1 0 1 2 4 0
0
2
0
8. Matriz diago nal: Es una matriz cuadrada que es triangular superior e inferiormente, de
modo que todos los elementos por encima y por debajo de la diagonal son ceros, es decir: aij
0
si
i j
Por ejemplo:
1 0 A 0 0 0
0 0 0 0
0 2 0 0 diag (1, 3,2,0,1) 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0
2
9. Matriz ident idad: Es una matriz cuadrada tal que todos los elementos de su diagonal
principal son iguales a la unidad, y el resto son todos ceros, es decir: I n n I n diag(1,1,1,..,1)
Por ejemplo:
1 I 0 0 3
0 1 0
0
1 0
10. Matriz escalar: Es una matriz diagonal tal que todos los elementos de su diagonal
principal son iguales entre sí, es decir: a11
a22
...
ann
k
Por ejemplo:
4 A 0 0
0
0
4
0
0
4
11. Matriz traspuesta.- La transpuesta de la matriz A es la matriz resultante al cambiar filas
por columnas de la matriz A. De tal manera que la fila i de la matriz se convierte en la columna i de la matriz transpuesta. A la transpuesta de la matriz A la denotaremos por t A , es decir:
a11 a 21 Si A a 1 m
Ejemplo:
a12
...
a1n
a22
...
a2 n
am 2
...
amn
2 A 1
3 1
a11 a A 12 a1 t
n
a21
...
am1
a22
...
am 2
a2 n
...
amn
2 1 At 3 1 0 5 0 5
t
12. Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A, se dice que es simétrica si A A , es decir
todos los elementos simétricos respecto de la diagonal principal son iguales, es decir: aij a ji , para i j Por ejemplo:
3 A 1 2
1 4 5
5 es una matriz simétrica 1 2
13. Matriz anti si métrica: Una matriz cuadrada A, se dice que es anti simétrica si A
t
A
, es decir todos los elementos simétricos respecto de la diagonal principal son opuestos entre sí y la diagonal principal siempre es nula es decir: aij a ji para i j y aij 0 para i j Por ejemplo:
3
0 1 2 A 1 0 3 es una matriz antisimétrica. 2 3 0 1.2 OPERACIONES CON MATRICES 1. Suma de matri ces
Si A = (aij)mxn y B = (bij)mxn son dos matrices del mismo orden, entonces se define la suma A+B como la matriz de orden mxn, C = (cij)mxn tal que cij = aij + bij . Ejemplo Si
3 2 4 7
A
1
5
9 7
B
y
8 1
6
2
6 11
entonces A+B=
6
7
8
7
Propiedades
Si A, B y C son matrices de orden mxn, se cumple: i. ii. iii.
iv.
+ = + + ( + ) = ( + ) + + 0 = 0 +
Existe la matriz opuesta de la matriz A, denotada por – A , que se obtiene cambiando los signos de todos los elementos de A, tal que + (− ) = 0
2. Diferencia d e matrices La diferencia de las matrices A y B, de orden mxn, se define como la matriz = + (−). Es decir D=(dij)mxn tal que dij=aij-bij
3. Producto d e un escalar por una matriz. Dado el número real k y la matriz Amxn, el producto k.A es otra matriz del mismo orden, que resulta de multiplicar cada elemento de A por k.
a11 a12 .... a1n a21 a22 .... a2 n a31 a32 .... a3n k . A k ......................... ......................... am1 am 2 .... amn mxn
ka11 ka12 .... ka1n ka21 ka22 .... ka2 n ka31 ka32 .... ka3n ......................... ......................... kam1 kam 2 .... kamn mxn
Propiedades:
i. I. II. III.
,
y A aij
mxn
,
B bij
mxn
, se cumple:
( . ) A = ( A)
. A
A.
.( A B) . A .B A.( ) A. A.
4
4. Producto de matrices.- Dadas dos matrices A m x n y B n x p ellas son compatibles para la multiplicación de A por B, si el número de columnas de A es igual al número de filas de B. El producto A. B es la matriz C de orden m x p, tal que los elementos cij de C es cij = ai kbkj para cada i, j
k
Ejemplo: Dadas las matrices A y B, hallar AB
6 4 6 3 B 1 A 1 3 5 10 7 5 2 Solucion El número de columnas de A , n = 2 , es igual número de filas de B entonces existe AB, además: 6 6 4 ( 10) 6 3 4 ( 7) 6 1 4 5 (1) 1 3 5 ( 1) 6 3 ( 10) 5 3 ( 2) ( 7)
AB=
26 4 AB 14 36
8 29
26 4 14 36
8 29
3 x 3
Propiedades . (. ) = ( . ). i. . ( + ) = . + . ii. . . iii. . = 0 = 0 ó = 0 iv. v. . = . =
vi.
A
vii.
A B
viii.
kA k A
t
t
A
t
t
ix.
A.B
A
t
B
t
t
t
t
t
B .A
5. Matriz Inversa: Dada la matriz cuadrada A n, se define a la inversa de esta matriz y denota A 1 a
un matriz que satisface la siguiente relación: A. A
1
1
A .A
I n
Sólo las matrices cuadradas denominadas regulares o no singul ares tienen inversa. A estas matrices se les dice invertibles.
Por ejemplo: 1 2 3 6
2 3 6 2 3 1 2 3 1 0 0 1 3 3 . 1 1 0 1 1 0 .1 3 3 0 1 0 I 1 2 4 1 0 1 1 0 1 1 2 4 0 0 1
Ejemplo 2 Determinar la matriz inversa de
A
2 1
4
2
5
3 x3
x y 1 Se debe cumplir lo siguiente: A 1 A A I z w x 1 A A z
y
2 w 1
2 x y 2 z w 2
4 x 2 y
4
2 x y 1
1 0 4 z 2 w
0
1
0 1 ( F )
4 z 2w 1
0 1 ( F )
4 x 2 y 0 y 2 x 2 z w 0 w 2 z
A no tiene A 1
Propiedades
a. I
1
AB
c.
b. A
1
I
1
B
1
1
A
d.
A t
1
1
A
A 1
t
6. Potenciación.- Sea A una matriz cuadrada de orden nxn, a la potencia la definiremos como: 0
A
1
1, A
2
A, A
n
n , N , A A 0
A A
n1
3
A A, A
A A A ,
formalmente:
A
I
n
A A 1
n
n
1
Las potencias naturales de una matriz son conmutativas: n p q q p p q A M A A A A A , Sin embargo, las matrices no suelen ser conmutativas y, por ello, se tiene que: ,
.
.
2
A B A B . A B AA AB BA BA A AB BA B A B . A B AA BA AB BB A B BA AB A B 2
2
2
Las matrices A y B se llaman conmutables si y solo si
AB
n
n
n
A .B , p ,
2
2
A.B
B. A ,
2
A
2
2 AB B
2
LUEGO:
A y B CONMUTABLES.
6