1
Matrices y Determinantes Encuentra el valor de las variables en cada caso. 1).
y − u u z +1 x = u
2 z −1
x + 2 2. 2
z
−
3
3 = b − 5 − 2
c − 2
−6
2) Encontrar A T a)
a11 21
A= a
a12
3
b) A = 12
a22
3 4 -5
−1 10
− 6 0
6 7
) A = 1 4 -3 d). B= 0 -4
c
5 0 12 a)
5 1
a11 Respuestas A = a12 T
a 21
a 22
T
b) A =
3 −1 0
12
10
− 6
3 1 5 6 0 5 d). B= c) A = 4 4 0 7 −4 1 -5 -3 12 3) A =
− 5 10 3 7 − 4 − 2 5 0 1 0
3a12 + 5a32 - a33 =
encuentra :
6,. -2a21 + 6a11 + 7a22 =
7. 5a32 + 3a31 =
4)En un Preuniversitario Preuniversitario hay 5 clases ; en la primera hay 30 chicas y 5 chicos ; en la 2ª , 25 chicas y 12 chicos ; en la 3ª , 20 chicas y 20 chicos ; en la 4ª , 13 chicas y 25 chicos ; y , en la 5ª 5 ª , 19 chicas y 11 chicos . Haz una matriz en la que pongas un 1 si el número de chicas excede al de chicos ; un 0 si es al revés ; y un 2 si son igua iguale les. s. Así Así te podr podrás ás hace hacerr una una idea idea de la prop propor orci ción ón de chic chicos os y chic chicas as estudiando en ese Preuniversitario.
2
5) Realiza las siguientes adiciones : 3y + 5 2 x 6 z − 1 − 5 + 2w
y − 6
5-x 2 z + 3
+
7 w + 2
-
5 x - 2 4 y + 1 z + 12 − 5w + 8 =
6) Encuentra el valor de las variables : 2 + x 3 5 − 2 x y 5 3w − 4 + − 8 − 1 = w − 1
0
5z
7) Resuelve las ecuaciones matriciales : 2 − 5 6 − 1 a) X + − 3 12 = 3 0
8) Dadas las matrices : A = a) 2⋅(A + B) =
b) 3 −1
2
0
12 − 6
− 2 ,5 3,6 + X = − 9 4 ,5 − 5,8 0
3
5
,B = − 4
b) 3 ⋅A + 2⋅B =
9
, calcula en cada caso :
c)
(2⋅A - B)T =
9) Determina el valor de las variables , en las expresiones : − 4
− 2 = − 1 w 0
X⋅
2
y
z
3 − 4 2 2 0 ⋅ 1
10)Multiplica
= 6
2 − 9 4 10
Resp =
− 3 2 2 A = 4 −1 , B = 0
11) Dadas las matrices : b) A2 =
a) A⋅ B =
5
c) (A + B) ⋅C =
5
1
3 2
− 1 x 1 ⋅ = 1 y 9
13)Determinantes Calcula: 6 1 3
−4 −2
2
1
3
0
4
−3
−2
5
=
14) Dadas las matrices
=
2 − 3 C = 5 −1
d) A⋅C + B⋅C =
12)Encuentra el valor de las variables : a)
,
Resp: 14
Resp 10
4 0
3
A=
5 3 3 -1
,B=
2 5 − 1 0
,C=
4 -2 1 3
Hallar : a)
A
=
b)
B
c)
=
15. Hallar el determinante de :A =
A + C
=
d)
2B
=
a -2b 3a -5b k k
16)Hallar el valor de k para que :
4 2k
17)
18)
Dada la matriz
2 A= 4 3
1 5 7
=0
-1
2 6
demostrar que det A = 1
Encontrar A -1
3 − 2
a)A = 1 −1 ,
1 − 2
Respuesta a) = 1 −3
b)
1 3 2 1
c).
1 2 -1 3
4
19)Dadas la matrices A =
5 -2 1 0
, B=
6 2 -3 -1
a) A-1, si existe.
b) B-1 , si existe.
c)A-1 · B =
d)det A + det B =
determina :
20)Encuentra la inversa de cada matriz , si existe :
a) A =
1 3 2 1
b)
B=
1 2 -1 3
II) Parte APLICACIONES DE LOS DETERMINANTES: Resolver usando Cramer
a).
6x + 8y = 1 3x + 7y = 4
b)
4x - 3y = 1 5x - 4y = -1
c)
x+y=8 2x - y = 4
Ejercicios varios 1. El consumo, en kilógramos de pan, carne y mantequilla de una familia durante los últimos cuatro años, se puede disponer así PAN CARNE MANTEQUILLA 1996 430 157 8 1997 390 162 6 1998 410 169 10 1999 360 180 9 430 390 La caja de números 410 360
157 162 169 180
6 es una matriz. 10 9 8
Sus elementos aparecen dispuestos en filas ( líneas horizontales ) y columnas (líneas verticales ). Esta matriz tiene 4 filas y 3 columnas, lo que se resume diciendo que es una matriz de 4x3. 2. En las siguientes matrices, colocarás el orden a que pertenecen (1 − 5 8 24 17) filas __ columnas ____ orden ______ 0 − 1 2
filas __
columnas ____ orden ______
5
3 − 1 0 7 1 3
4 1
filas __
2 6
columnas ____ orden ______
3. Consuelo contabiliza las horas semanales que dedica a “ clases “ ; “ estudio y lectura “ ; “ televisión “ y “ salidas, amigos, excursiones…” día a día de la semana del modo que se indica en la tabla clases estudio TV Amigos Lunes 6 2 1 2 Martes 5 3 2 1 Miércoles 8 1 0 2 Jueves 6 1 2 1 Viernes 5 4 0 4 Sábado 1 2 3 6 domingo 0 2 4 6 Realiza tres preguntas que se podrían contestar con sólo mirar la tabla.
Dada la matriz :
A=
4. 3a12 + 5a32 - a33 =
− 5 10 3 7 − 4 − 2 5 0 10
encuentra :
5,. -2a21 + 6a11 + 7a22 =
6. 5a32 + 3a31 =
7. En una tienda se venden cajas de leche de 1, 2, 3, 4 y 5 kilos. El precio de cada una de ellas es de $ 1.600 , $ 3.300 , $ 5.000 , $ 6.800 y $ 9.000 , respectivamente. Ordena estos datos en una matriz. 8. Las existencias de 5 artículos A 1 , A2 , A3 , A4 , A5 , en una cadena de tres almacenes B1 , B2 , B3 , B4 , B5 , vienen indicados por la siguiente tabla ( en miles de unidades) : a)
¿ Qué almacén dispone de un mayor stock de artículos A3 ? B1 B2 B3
b)
¿ A qué término corresponde este dato ? ¿ Cuál es su valor ?
c)
¿ Qué representa el elemento a 32 ? ¿ Y el a23 ?
A1 3 3 7
A2 4 2 4
A3 1 5 3
A4 3 3 2
1 = 2 0
b
c
3
2
Encuentra el valor de las variables en cada caso. 9.
x − 1
5 = 2 y − 1 3
3
8
10.
a 0
2 3
1
A5 4 2 3
6
11.
7x + 1 - 5 = y + 3 0
13.
a + b 3 0
12.
2 b-a 1
0 7 0 = 3 b + c 0
2
−3 1
a+b b 7 - 2 = b - c 4 5 4
0 0 −1
14.
x + y 4
− 3 6 = 0 4
Encuentra la matriz transpuesta de :
15.
25 4 -5 1 A = 1 4 -3 3 2 0 -2 5
16.
6 7 − 1 B= 1 -2 -4 2
Hallar la inversa de cada matriz , si ésta es no - singular :
1.
1 2 2 4
2.
3 -1 4 2
−3 x − y
7
1 3 3. C = 3 4
-3
4 3 5
4.
3 3 D= - 2
2 2
3
5
Resuelve los sistemas usando el método de Cramer :
5
2x + 3y = 3 4x - 5y = 10
-ax + y = ab ax + 2y = 5ab
8.
11.
3x + 2y = 0 -2x + 3y = 0
6.
2x + 3y = x + y + z = 10 2y + 3z = 8
3x + 2y = 4 5x - 3y = 2
7.
9. x + y + z = 6 2x - y + z = 3 3x + 2y - 5z = -8
2x - 2y + z = -1 x - 4y + z = -3 4x + 6y - z = 7
10.
1 2. x - 2y = z y+ z =x x- z=y
2x + 3y = 5 x + y + z = 10 2y + 3z = 8
13.
Sin calcular , indica cuáles de los siguientes determinantes son nulos :
1 2 3 14.
3 7 -2
3 1 2
15.
5 5 5
-1 2 -1
8 -13 19
3 -4
16.
10 12 10
3 7 -2
Encuentra en cada caso el valor de la variable :
2
0
17
=0
0 x-1
3
18.
5 -3 3 k = 2 k -1 4
8
x
1 t t
-1 = 0
19.
x+6 En
1
2
1 2 4 =0
20.
1 3 9
2
IK2x2 determina el elemento identidad :
− 3 2 2 Dadas las matrices : A = 4 −1 , B = 0
f(x) = x2 + 3x + 2I ,
Si
1). f(A) =
5
g(x) = 2x + 3I ,
2) f(B) + g(A) =
,
1
2 − 3 C = 5 −1
3)
f(A) ⋅ g(B) =
4. A⋅ B = B⋅ A
5. ( A + B)2 = A2 + 2⋅A⋅B + B2
6. (A + B)⋅(A - B) = A 2 - B 2
7. A3 + B3 = (A + B)⋅ (A2 - A⋅B + B2)
Encuentra el valor de las variables :
3 2
10.
1 3 − 3 ⋅ x = 9. 21 y 2 5
− 1 x 1 ⋅ = 1 y 9
9 12
5 ⋅ = − 1 y 3
Dadas las matrices A =
Hallar : 11. B 2
1 8
8 x
=
12.
5 3 3 -1
A - C
15. Hallar el determinante de :
=
,B=
13.
B=
2 5 − 1 0 - A
a − b b
,C=
=
a + b a
0
I = identidad , encuentra :
Comprueba si :
8.
4
4 -2 1 3 14.
A
⋅
B
=
9
16.
Calcular los siguientes determinantes :
a)
0
4
1
4
0
-1
1
-4
0
4
-5
6
0
2
-1
-1
5
0
3
A = −1
Dadas las matrices
-6 b)
5
-2
0 -1
3
2 -3
1
5 − 3 7 − 5
− 4 − 2 6 , B = 3 − 2 , C = 6
Encuentra : 1. A + B =
2. A + ( B - C ) =
3. (B + C)T =
4. A - ( B + C ) =
5. A - CT =
6. BT - AT =
7. ¿ Son iguales 3 x 2 + 5x − 8x 2 − 6x 5x + 4 8. 3 x − 2 2 x + 10 5 − 2x 2
AT + BT + 7 x x +8 5x 2 + 6
(A + B)T ?
y
5x 2
+
c)
- 3 x + x 2 6 x + 12 − x 2 − 8
6 x + 2 x 2 x−3
10 + 3x 2
6x − x 2
3x − 9 =
− 7
3x 2
Encuentra el valor de las variables : x + y
9. y + z 10.
w x
w + 1
2y
y − x − 2 z
x − w
6 − 4 = −6 − 1 z
− 2 y 0 0 −x = + − w w z 0 0
Resuelve las ecuaciones matriciales : 1 3 − 7 2 11. x - 3 = − 0 0,2 4
Dadas las matrices :
1 12. 23 − 2
4 5 6 7
A =
3 −1
2
0
,
5 5 − X = 2 3,5 0,5 2
5
B = − 4
3
9
0,8
5 6
, calcula en cada
caso : 13. 2⋅A + 3⋅B - 4 ⋅C=
14. 5⋅(A + B)T =
15.
2 3
⋅ ( A − 2 ⋅ B ) =
10
16. Si
f(x) = 3x
,
encuentra
f(A) + f(2B) =
Determina el valor de las variables , en las expresiones : 17.
− x w⋅ − 8
5
1 = 3 y
3
− 3 x⋅ w
18.
z
−1
Dadas las matrices : A = 0
x 2 = z y + 3
x
4 − 2 1 ,B = 3 0 − 4 − 3
2
3
5
Resuelve las ecuaciones : 19. 3X = A + B
20. 2X + B = C
21. 3A + X = 2B - C 23. 5(X - C) =
22.
2 3
Dadas las siguientes matrices :
108
7 -4 0-9 1 0 3-2 A = B = C = D = -5 7 -2 3 -1 -2 5 7 3 -4 9 -2 1 0 Determina : 1.
2. 3. 4. 5. 6.
(A + C ) C·B= D2 = C-1 =
T
=
= Si f(x) = x2 –3x + 2I C
− A
1 2
A− X
=B
24. 5(2A - 3X ) = B - C
A
w + 2 y
0 , C = −1
2 0
5
4
11
F( C ) = 1.
Encuentra la matriz A igualdad :
para que se verifique la siguiente
5 -1 3 4 =
3A - 5
9 4 15 -7 2.
Dada una matriz A, ¿existe una matriz B , tal que el producto A·B, o bien B·A , sea una matriz de una sola fila ? Poner un ejemplo
con
3.
x
A=
-1 -2 8
-1 0 2 9 1 -1 0 -3 7
1 -1 = 0
x+6
2
4.
5 -3 3 k = 2 k -1 4 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones mediante la regla de Cramer :
12
10.
3x - y = 11 x + 4y = 8
11.
2x - 5y = 2 2y - 8z = -4 7x + 2z = 8
