MATLAN_06_DERET PANGKAT & TAYLOR + FOURIER

MATEMATIKA LANJUT

DERET

4.2. DERET PANGKAT Deret pangkat dari (x-m) merupakan deret tak hingga yang bentuk umumnya adalah : ∞

∑ i =0

C i ( z − m ) i = C 0 + C1 ( z − m ) + C 2 ( z − m ) 2 + .....

( 4-1 ) C1, C2,... = konstanta disebut koefisien deret m

= konstanta disebut titik pusat (center ) deret

z

= Variabel

i

= Bila Bilang ngan an inte intege gerr posi positi tip p

Bila m = 0, terbentuk deret pangkat pangkat khusus (particular) dari z ∞

∑ i=0

C i z i = C 0 + C 1z + C 2 z 2 + C 3 z 2 + . . . . .. .

AGUS.R.UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA

( 4-2 )

1

MATEMATIKA LANJUT

DERET

4.2.1. Konvergensi Konver gensi Deret Deret Teorema 1 Jika deret pangkat ( pers 4-1) konvergen pada titik z = a, maka deret itu akan konvergen konvergen untuk setiap z bila : |z-a| < |zo–a| Ini menunujukkan bahwa setiap z berada di dalam lingkaran yang melewati z o di sekitar a. Misal deret pangkat ( pers 4-1) konvergen untuk zo, berlaku : Cn(zo – a)n → 0 untuk n → ∞ Bila diimplemantasikan untuk z =z o, maka deret jadi dibatasi, misal : |Cn(zo – a)n |< M untuk untuk setiap setiap n = 0,1, 2..... 2..... Sehingga dapat dibentuk n

⎛ z -a ⎞ z -a C n ( z -a ) = C n ( z 0 -a ) ⎜ ⎟ < M z 0 -a ⎝ z 0 -a ⎠ n

n

n


2

MATEMATIKA LANJUT

DERET

4.2.1. Konvergensi Konver gensi Deret Deret Teorema 1 Jika deret pangkat ( pers 4-1) konvergen pada titik z = a, maka deret itu akan konvergen konvergen untuk setiap z bila : |z-a| < |zo–a| Ini menunujukkan bahwa setiap z berada di dalam lingkaran yang melewati z o di sekitar a. Misal deret pangkat ( pers 4-1) konvergen untuk zo, berlaku : Cn(zo – a)n → 0 untuk n → ∞ Bila diimplemantasikan untuk z =z o, maka deret jadi dibatasi, misal : |Cn(zo – a)n |< M untuk untuk setiap setiap n = 0,1, 2..... 2..... Sehingga dapat dibentuk n

⎛ z -a ⎞ z -a C n ( z -a ) = C n ( z 0 -a ) ⎜ ⎟ < M z 0 -a ⎝ z 0 -a ⎠ n

n

n


2

MATEMATIKA LANJUT

DERET

Karena itu : ∞

∑ n=0

∞

Cn ( z - a )

n

=

∑M n=0

z-a z0 - a

n

∞

=M

∑ n=0

n

z-a z0 - a

( 4-3 ) Jika diasumsikan |z-a| < |zo – a|, maka dapat dibentuk pertidaksamaan ( inequality) : z - a z0 - a

< 1

Dengan pertidaksamaan di atas terbukti bahwa deret (pers. 4-1 ) akan konvergen jika : |z-a| < |zo–a| Ruas kanan pers (4-3) adalah deret geometris yang konvergen. Ruas kiri pers. (4-3) juga merupakan deret yang konvergen.


3

MATEMATIKA LANJUT

DERET

Dari teorema 1: Untuk seluruh z di dalam lingkaran, dengan radius R dan pusat a, berlaku : Deret akan konvergen bila | z-a | < R

( 4-4 )

Deret akan divergen bila | z-a | > R Disebut Lingkaran Konvergensi bila | z-a | = R R disebut Radius Konvergensi y R a a-R

a+R

x

x A. B. Gbr. 4.1. Lingkaran dan interval konvergensi AGUS.R.UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA

4

MATEMATIKA LANJUT

DERET

Teorema 2 (Radius Konvergensi) Bila terdapat urutan ( squence) n

cn

, n= 1, 2, .......

Akan kovergence dengan limit L dan radius R pun akan konvergen pula, jika :

R=

1 ( 4-5a )

L

Termasuk di dalamnya L = 0 ketika R = ∞ Bila sequencenya tidak konvergen tapi nilainya terbatas, berlaku rumus Cauchy - Hadamard

R=

1 

( 4-5b )

 adalah titik limit terbesar dari sequence. Bila sequence tak terbatas, maka R = 0 dan deret hanya akan konvergen pada z = a. AGUS.R.UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA

5

MATEMATIKA LANJUT

DERET

Teorema 3 (Produk Cauchy dari Deret Pangkat) Produk Cauchy (Cauchy Product) dari 2 buah deret pangkat merupakan konvergensi mutlak setiap z di dalam lingkaran konvergen dari masing-masing deret konvergen. Bila jumlah masing-masing deret tersebut g(z) dan h(z), maka Produk Cauchy berjumlah : s(z) = g(z)h(z)

( 4-6 )

Contoh Soal : 1. Konvergensi pada sebuah pringan. Deret geometri ∞ m z = 1 + z + z 2 + z 3 ...........

∑ m

Konvergen mutlak ketika |z| < 1 dan divergen ketika |z| > 1. 2. Konvergensi pada seluruh bidang terbatas. Deret Pangkat ∞

z

n

z

2

z

3

∑ n! = 1 + z + 2! + 3! ........... n


6

MATEMATIKA LANJUT

DERET

Persamaan tersebut akan konvergen mutlak untuk setiap bidang (terbatas) z , z n +1

∞

∑ n

( n + 1 )!

z

n

=

n!

z n+ 1

→ 0

;

n → ∞

3. Konvergen hanya pada titik pusat ∞

∑

n !.z n = 1 + z + 2z 2 + 6z 3 + ...........

n

konvergen hanya pada titik z = 0, tetapi divergen untuk setiap z ≠ 0, karena : ∞

∑ m

(n + 1)! . z n +1 n! . z

n

= (n + 1) z → ∞ ; n → ∞

z ≠ 0 (fixed) 4. Produk Cauchy Deret geometris 1 + z + z 2 + z3 + ..... berjumlah 1/(1-z) ketika |z| < 1 2 ∞ ∞ ⎛ 1 ⎞ k m 2 2 z z 1 z z .... 1 z z .... = = + + + + ⎜ 1− z ⎟ ⎝ ⎠ k =0 m= 0 ∞ n 2 n 1 .z + ( ) ; ( z < 1) = 1 + 2z + 3z + ...=

∑ ∑

( ∑=

)(

)

n 0


7

MATEMATIKA LANJUT

DERET

4.2.2 REPRESENTASI FUNGSI DENGAN DERET PANGKAT ∞

∑

cnz

n

Misalkan n = 0 adalah deret pangkat tak tentu dengan radius R ≠ 0, konvergen. Jumlah fungsi ini merupakan fungsi z ; f(z)

f(z) =

∞

∑

cn .zn = c0 + c1 + c2z2 + c3z3 +......

( z < R)

n=0

( 4-7 )

Teorema 1 (Kontinyuitas) Fungsi f(z) dengan R > 0 akan kontinyu pada z=0 ( 4-8 ) lim f(z) = f(0) = c0 z→0

Teorema 2 (Teorema identitas deret pangkat) Misalkan terdapat 2 buah deret : ∞

∑a . z

∞

n

n

n→0

dan

∑

b n . zn

n →0


8

MATEMATIKA LANJUT

DERET

Bila kedua deret identik, maka : an = bn untuk seluruh

( 4-9 )

n = 0,1,2...........

a0 + a1z + a2z2 + ...= b0 + b1z + b2z2 + ... ( 4-10 ) Untuk

∞

∑

|z| < R

n−1

n.cn . z

= c1+ 2 c2 z + 3 c3 z +...... 2

( 4-11 )

n

Disebut sebagai deret pengembangan dari deret pangkat tersedia. Teorema 3 (Differensiasi) Deret pengembangan dari deret pangkat memiliki radius konvergensi yang sama dengan deret asli (original) nya. AGUS.R.UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA

9

MATEMATIKA LANJUT

DERET

Teorema 4 (Integrasi) Misalkan sebuah deret pangkat ∞

cn

∑n +1.z

n+1

c1

= c0z + z + 2

n=0

2

c2 3

z + 3

Deret pangkat tersebut dibentuk oleh pengintegrasian deret c + c1z + c2z2 + .... tahap demi tahap, memiliki radius konvergensi yang sama dengan deret originaknya. Teorema 5 (Fungsi Analitis. Penurunan) Deret pangkat dengan radius konvergensi R ≠ 0 merepresentasikan fungsi analitis pada setiap titik di dalamnya hingga membentuk lingkaran konvergensi. Penurunan fungsi ini akan dibentuk oleh diferensiasi deret original tahap demi tahap ; Seluruh deret yang dibentuk memiliki radius konvergensi yang sama dengan deret originalnya.

b −a n

b−a

n

− na

n −1

= (b − a)A n

( 4-12a )


10

MATEMATIKA LANJUT

DERET

dan

An = b

n-2

+ 2 ab

n-3

+ 3 a2 b

n-4

+.....+ (n-1) a

n-2

( 4-12b ) ∞

∆z

∑

cn n ( n-1) R0n - 2

( 4-13 )

n =2

n-1 = koefisien terbesar 1, 2, 3 ..., n-1. n

= jumlah tahapan (term).

Deret dalam pers. (4-13) berhubungan erat dengan penurunan kedua deret yang memperhitungkan titik pada R 0. Penurunan ke m fungsi f(m)(z) direpresentasikan oleh :

f

(m)

(z) =

∞

∑n( n-1 ) .....( n - m + 1 ) c

n

z

n−m

( 4-14 )

n=m


11

MATEMATIKA LANJUT

DERET

4.2.3. SOLUSI PD DENGAN DERET PANGKAT Menyelesaikan PD dengan mencari harga-harga koefisien yang tak diketahui setelah fungsi PD berubah bentuk menjadi deret pangkat. Langkah-langkah peneyelesaian PD : 1. Representasikan fungsi persamaan dalam bentuk deret pangkat x atau (x-m). ∞

y = c0 + c1x + c 2 x 2 + c3 x 3 + ...... =

∑

cm x m

m =0

2. Diferensialkan (tingkat pertama) fungsi y di atas, sehingga berbentuk : ∞

y' = c1 + 2c2 x + 3c3 x + ...... = 2

∑ mc m=0

mx

m−1

3. Diferensilkan kembali (tingkat kedua dst) fungsi y tersebut. ∞

y '' = 2c2 + 6c3x + ...... =

∑ m(m −1)c m=0

mx

m−2

4. Samakan dengan nol (Nolkan) semua koefisien yang tak diketahui setelah dalam bentuk deret pangkat. Selesaikan PD. AGUS.R.UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA

12

MATEMATIKA LANJUT

DERET

Contoh Soal dan Penyelesaian 1. Carilah solusi dari PD berikut ini : y’ – y = 0 Jawab : Penyelesaian dengan pendekatan deret pangkat. (c1 + 2c2x + 3c3x2 + ...) – (c 0+ c1x + c2x2 + c3x3 +.....) = 0 (c1-c0) + (2c2-c1) x + (3c3-c2) x2 + ..... = 0 Samakan koefisien-koefisien persamaan dengan nol c1 - c0 = 0

;

2c2 - c1 = 0 ;

3c3 - c2 = 0

c1 = c0 ; c2 = c1/2 = c0/2! ; c3 = c2/3 = c0/3!

y = c0 + c0 x + y = c0 (1+ x +

c0 2!

1 2!

x + 2

x + 2

1 3!

z0 3!

x + .......... 3

x3 + .......... = x 0ez


13

MATEMATIKA LANJUT

DERET

2. Carilah solusi dari PD berikut ini y” + y = 0 Jawab : Penyelesaian dengan pendekatan deret pangkat. (2c2 + 3.2c3x + 4.3c4x2 + ...) + (c0+ c1x + c2x2 + c3x3 +.....) = 0 (2c2 + c0)+(3.2c3 + c1)x +(4.3c4 + c2)x2 + ...= 0

2c2 + c0 = 0 ; 3.2c3 + c1 = 0 ; 4.3c4 + c2= 0

c2 = -( c0 /2! )

;

c3 = -(c1/3!)

c4 = -[c2/(4.3)] = -(c0 /4!) y = c 0 + c1 x −

c0 2!

x − 2

c1 3!

x + 3

c0 4!

x 4 + .......


14

MATEMATIKA LANJUT

y = c 0 (1 −

DERET

1

x + 2

1

x + 3

1

x − ... + ....) + 4

2! 3! 4! 1 3 1 5 c1 (x- x + x -...+......) 3! 5!

Solusi Umum :

y = cos x + sin x

3. Carilah solusi dari PD berikut ini (x+1)y’ – (x+2)y = 0 Jawab : Penyelesaian dng pendekatan deret pangkat. (x+1)(c1 + 2c2x + 3c3x2 +…..) -(x+2)(c0 + c1x + c2x2 + ….. ) = 0 c1 x + 2c2x2 + 3c3x3 + 4c4x4 + 5c5x5 +..+ mcmxm + c1+ 2c2x + 3c3x2 + 4c4x3+ 5c5x4 + 6c5x5 + (m+1)cm+1xm + ….c0 x - c1x2 - c2x3 - c3x4 - c4x5 – ... - cm-1xm - …2c0 -2c1x - 2c2x2 - 2c3x3 -2c4x4 ...-2cmxm -… = 0 AGUS.R.UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA

15

MATEMATIKA LANJUT

DERET

c1 - 2c0=0 ; 2c2 – c1 – c0=0 ………dst mcm+ + (m+1)cm+1 – cm-1xm - 2cm = 0 ( 4-15 ) c1 = 2c0 ;

cm+1 = c0x +

( 4-16a )

1 m +1

[cm+1 + (2 − m)cm ]

( 4-16b )

m = konstanta integer = 1,2……………


16

MATEMATIKA LANJUT

DERET

Rumus (4-16b) disebut Rumus Rekursi. Dengan rumus ini dapat dihitung c2, c3, …dst., dapat pula menggunakan tabel di bawah ini :

m C m-1

1

C0

2

C1

3

…

(2-m)Cm

C1

0

Jumlah

C0+C1

C1

S+1

2

CS+1 =

C 2

-C3

C2-C3

4

….

…………

…………

……

S +1

+

2

3

C 4

2

−

Cm+1 sebagai fungsi C0 C1= 2 C0

C1

C1

3

C2

0

Jumlah

C

3

C2 =

3

C3 =

2

C4 =

5

4

…………


2

C0

3

24

C0

C0

…………

17

MATEMATIKA LANJUT

DERET

Solusi umum, lihat persamaan umum soal no. 1 dan tabel rekursi

y = c0 (1 + 2x +

3 2

x + 2

2 3

x + 3

5 2

x 4 + ....)

atau y= c0 ( 1 + x ) e x

SOAL-SOAL LATIHAN (DERET PANGKAT) Carilah solusi PD di bawah ini dengan pendekatan deret pangkat 1. y’ = 3y 6. ( 1-x2 ) y’= y 2. y’ + 2y = 0 7. y”- y = 0 3. y’ – 2xy = 0 8. y”- y’ = 0 4. y’ – xy = 0 9. y”+ 9y = 0 5. (1-x)y’=y 10. y”+ 2y’= 0


18

MATEMATIKA LANJUT

DERET

4.3. DERET TAYLOR 4.3.1 Konsep Dasar y

z* z

•a

C

x Bila f(z) berada di dalam domain D dan z = a pada setiap titik di dalam lingkatran C, dan sebuah lingkaran denan pusat a, maka menurut Cauchy:

f (z) =

1

f (z*)

d(z) ∫ 2πi z * − z

(4.3-1)

c

Z = sembarang titik di dalam lingkaran C Z* = variabel kompleksintegrasi


19

MATEMATIKA LANJUT

DERET

Jika pada pers.(4.3-1) dikembangkan 1/(z*-z) sebagai fungsi z-a, maka didapatkan : 1 z * −z

=

1 z * −a − (z − a)

=

1 z−a ⎞ ⎛ ( z * −a ) ⎜ 1 − ⎟ z * a − ⎝ ⎠

(4.3-2) Selanjutnya diasumasikan z* pada lignkaran dan z di dalam lingkaran C.

z − a

Sehingga

z * −a

<1

(4.3-3)

Dari persamaan deret geometris

1 + q + q + ..... + q = 2

n

1 − qn+1

; q≠1

1− q

Sehingga dapat dibuat hubungan

1 1− q

= 1 + q + ...... + q + n

q

n +1

1− q


20

MATEMATIKA LANJUT

DERET

Jika didefinisikan q =(z-a)/(z*-a), maka : 1 1 − [ (z − a) /(z * − a)]

=

2

z−a

n

⎛ z−a ⎞ ⎛ z−a ⎞ 1 + + ⎜ + ..... + ⎜ + ⎟ ⎟ z * −a ⎝ z * −a ⎠ ⎝ z * −a ⎠ n +1

[(z − a) /(z * −a)] ( z * −z )/ ( z * −a )

Substitusikan ke dalam pers.(4.3-1) dan keluarkan (z-a) dari tanda integral, sehingga : f (z) =

1

f (z*)

dz * + ∫ 2 πi z * − a C

+

(z − a ) 2 πi

n

z−a 2 πi

f (z*)

∫ ( z * − a ) +

n 1

f (z*)

∫ ( z * − a )

dz * + ....

2

C

dz * + R n (z)

C

(4.3-4)

Bagian akhir dari funsi di atas adalah :

Rn (z) =

(z − a)n+1 2πi

f (z*)

∫ ( z − a ) + ( z* −z) dz* n 1

(4.3-5)

C


21

MATEMATIKA LANJUT

DERET

Dengan penurunan dan analitis, maka fungsi di atas berkembang menjadi :

f (z) = f (a) +

z −a 1!

f '(a) +

+

( z − a)

2

f ''(a) + ........

2!

( z − a)

n

f (n) (a)

n!

( 4.3-6) Persamaan (4.3-6) adalah rumus Taylor atau Deret Taylor dengan pusat a. Bentuk umum Deret Taylor adalah sebagai berikut : ∞

f(z) =

∑ m=0

f

(m)

(a)

m!

( z −a)

m

( 4.3-7)

Bila a = 0, maka deret (pers. 4.3-7) disebut dengan Deret Maclaurin. AGUS.R.UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA

22

MATEMATIKA LANJUT

DERET

Dari persamaan-persamaan di atas diketahui bahwa pada Deret Taylor fungsi f(z) dapat di-turunkan berdasarkan variabel bebasnya sampai pada tingkat tak hingga. Teorema Taylor 1. Bila f(z) terletak di dalam domain D dan z=a adalah sembarang titik di dalam domain D tersebut, maka f(z) sebenarnya merupaka bentuk deret pangkat. 2. Setiap deret pangkat dengan radius konvergen tidak nol (R c = 0), maka deret pangkat tersebut adalah deret Taylor. 4.3.2. Fungsi-fungsi Elementer Deret Taylor a. Deret Geometris

1 1− z

∞

= ∑ zn = 1+ z + z2 + .......

; |z|<1 (4.3-8)

n=0


23

MATEMATIKA LANJUT

DERET

b. Fungsi Eksponensial ∞

zn

z2

∑ n! = 1+ z + 2! + .......

ez =

(4.3-9)

n=0

c. Fungsi Trigonometri dan Hiperbolik ∞

∑ (1)

cos z =

z

n

(2n)!

n=0

∞

sin z =

∑ (-1)

2n

= 1−

z

2

2!

2n+1

n

n=0

4

z

+

4! 3

z

(2n+1)!

=z-

z

3!

− + ....... 5

+

z

5!

- + ...... (4.3-10)

∞

∑

cosh z =

n=0

∞

sinh z =

∑ n=0

z

2n

(2n)!

=1+

z2n + 1 ( 2n + 1 ) !

= z+

z

2

2!

z3 3!

+

+

z

4

4!

z5 5!

+ ......

+ ...... (4.3-11)


24

MATEMATIKA LANJUT

DERET

d. Fungsi Logaritmik

ln(1+ z) = z −

− ln(1 − z) = ln

z2 2

1 1− z

+

z3 3

= z+

− + .... +

z2 2

+

z3 3

zn n

+ ...... +

(4.3-12)

zn n (4.3-13)

3 5 n ⎛ (1 + z) z z z ⎞ = 2⎜ z + + + ..... + ln ⎟ (1 − z) 3 5 n ⎠ ⎝

(4.3-14) Untuk seluruh persamaan di atas

|z|< 1


25

MATEMATIKA LANJUT

DERET

Contoh Soal dan Penyelesaian 1. f(x) = ex , uraikan menurut deret Maclaurin pada titik x=0 Jawab : f(x)

= ex

f(0)

f’(x)

= ex

f’(0) = 1

f’’(x) = ex

f’’(0) = 1

x

e = f(0) + x

e =1+x+

f '(0) 1! x2 2!

x+ +

x3 3!

=1

f ''(0) 2!

+ .....

+ .............

2. f(x) = sin x, uraikan dengan deret Taylor pada x = (π/4) ! Jawab : f(x)

= sin x

f(π/4) = ½ √2

f’(x)

= cos x

f’(π/4) = ½ √2

f’’(x) = -sin x

f’’(π/4) = -½ √2

f’’’(x) = sin x

f’’’(π/4) = -½ √2


26

MATEMATIKA LANJUT

DERET

sin x = f(x - π/4)

π

π

f '( ) f "( ) π π π 2 4 4 sin x = f( ) + (x- ) + (x- ) +.... 4 1! 4 2! 4 1 sin x =

1 2 1

2 +

2

2

2 3!

2

(x -

(x -

1!

π 4

π 4

1 )- 2

2 (x -

2!

1 ) + ............+ 2

π 4

2

3

n!

(x -

)2 -

π 4

)n

SOAL-SOAL LATIHAN ( DERET TAYLOR ) Uraikan dengan deret Taylor atu Maclaurin 1. cos 2x , a = 1 7. ex , a=1 2. sin x2 , a = 0 8. ex , a=0 3. cos x , a = - π/4 9. 1/(a-x) , a=1 4. sin x , a = π/2 10. 1/(a-x) , a = ½ 5. cos2 x , a = 0 11. 1/z ,a=-1 6. sin2 x , a = 0 12. ex , a= π


27

MATEMATIKA LANJUT

DERET

4.4. DERET FOURIER Bila terdefinisikan suatu fungsi (t) yang periodik dengan harga real pada sumbu x dan periode T serta kontinyu pada interval : ( 0,T ) dan (-T/2, T/2) Maka fungsi tersebut dapat dituliskan dengan :

f (t) =

Ao 2

∞

+ ∑ [ A n cos n.ωo t + Bn sin n.ωo t ] n =1

(4.4-1)

dengan :

Ao =

An =

T

∫ f (t) dt

(4.4-2)

0

T

2 T

Bn =

2

T

∫

f (t) cos n.ω0 t dt

(4.4-3)

0

2

T

f (t) sin n.ω ∫ T

0t

dt

(4.4-4)

0

n = 1, 2, 3, ............ AGUS.R.UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA

28

MATEMATIKA LANJUT

DERET

Contoh : -8

-4

8

0

4

8

( -4 , 4 ) ⎫

⎧ 8; 0
Interval :

Periode T ditentukan ; T = 8

A0 =

2

T

f (t) dt ∫ T 0

4 0 ⎡ ⎤ 2 = ⎢ ∫ 8 dt + ∫ −8 dt ⎥ T ⎢⎣ 0 ⎥⎦ −4 2 4 0 ⎡ = ( ) .8 (t)0 − t−4 ⎤ = 2[4 - ( 0+4 )] = 0 ⎦ 8 ⎣


29

MATEMATIKA LANJUT

DERET

4 0 ⎡ ⎤ 2 2π 2π An = t dt − ∫ 8 cos n t dt ⎥ = 0 ⎢ ∫ 8 cos n 8 ⎢⎣ 0 8 8 ⎥⎦ −4 4 ⎡ 2 2π Bn = n.t dt − ⎢ ∫ 8 sin 8 ⎢⎣ 0 8

=

16

2π

[1 − cos πn ]

πn

f (t) =

⎤ ∫ 8 sin 8 n.t dt ⎥⎥ −4 ⎦ 0

Ao 2 ∞

∞

+ ∑ [ A n cos n.ωo t + Bn sin n.ωo t ] n =1

π ⎤ ⎡ f (t) = ∑ (1 − cos n.π) sin n t ⎥ ⎢ 4 ⎦ n =1 n.π ⎣ 16 ⎡ 2 3π 2 5π π ⎤ t + sin t + ....⎥ = ⎢ 2 sin t + sin 4 3 4 5 4 π ⎣ ⎦ 16


30

MATEMATIKA LANJUT

DERET

4.4.1. FUNGSI DENAP DAN FUNGSI GANJIL A. Fungsi Genap Fungsi genap f(t) dalam Deret Fourier merupakan fungsi cosinus, lihat pers. 4.4.-1 T

2

Bn =

∫

f (t) sin n.ω n t dt

T

( 4.4-5 )

0

B. Fungsi Ganjil Fungsi ganjil f(t) dalam Deret Fourier merupakan fungsi sinus, lihat pers. 4.4.-1

An =

2

T

f (t) cos n.ω t dt ∫ T n

( 4.4-6 )

0

4.4.2. DIFERENSIAL DAN INTEGRAL A. Diferensial Bila :

f (t) =

Ao 2 ∞

f '(t) =

∞

+ ∑[ An cos n.ωot + Bn sin n.ωo t ] n=1

d

∑ dt [A n =1

n

cos n.ωo t + Bn sin n.ωo t ] ( 4.4-7 )


31

MATLAN_06_DERET PANGKAT & TAYLOR + FOURIER

Recommend Documents