Matlab Hari 1

MATLAB Terapan 1

1. Apa itu MATLAB MATLA MA TLAB B meru merupa paka kan n baha bahasa sa pemr pemrog ogra rama man n denga dengan n perf perfor orma mans nsii ting tinggi gi untuk untuk komputasi komputasi numerik numerik dan visualisas visualisasi. i. Kombinasi Kombinasi kemampuan kemampuan,, fleksibilita fleksibilitas, s, reability reability dan powerf powerfull ull grafik grafik membua membuatt MAT MATLAB LAB menjad menjadii progra program m yang yang sangat sangat cocok cocok diguna digunakan kan untuk untuk ketekn keteknika ikan. n. MAT MATLAB LAB merupa merupakan kan suatu suatu bahasa bahasa pemrog pemrogram raman an sederhana sederhana dengan fasilitas fasilitas yang jauh lebih hebat dan lebih mudah mudah digunakan digunakan dari bahasa pemrograma pemrograman n lain, seperti BASIC, BASIC, Pascal, Pascal, atau PC, melalui melalui kemampuan kemampuan grafisnya, grafisnya, MATLAB menyediakan menyediakan banyak banyak pilihan pilihan untuk visualisasi visualisasi data. MATLAB adalah adalah suatu lingkungan lingkungan untuk membuat aplikasi dimana anda dapat membuat antarm antarmuka uka grafis grafis

dan menyedia menyediakan kan pendekata pendekatan n visual visual untuk menyelesa menyelesaika ikan n

program-program tertentu. Lebih dari itu MATLAB menyediakan sekelompok alat penyelesaian masalah untuk problem-problem khusus, yang dinamakan Toolbox. Sebagai contoh menyediakan Control System Toolbox, Signal Signal Processing Toolbox, Toolbox, Symbolix Math Toolbox dan bahkan anda dapat membuat t oolbox sendiri.. MATLAB mengintegrasikan komputasi, visualisasi dan pemrograman dalam ruang yang yang mudah mudah diguna digunakan kan dimana dimana masala masalah h dan solusi solusi diekpr diekpresi esikan kan dalam dalam notasi notasi matematika matematika yang umum. umum. MATLAB MATLAB adalah adalah sebuah sistem interaktif interaktif dimana dimana elemen elemen dasa dasarr data data beru berupa pa arra array y yang yang tidak tidak perl perlu u defi defini nisi si dime dimensi nsi.. Ini Ini memb member erik ikan an kebebasan untuk menyelesaikan banyak masalah komputasi teknik, terutama yang berkaitan rumus vektor dan matriks.

2. Bagaimana memulai MATLAB Apabila telah diinstal MATLAB pada PC anda, maka untuk menjalankan MATLAB, anda anda cukup cukup klik klik double double pada pada icon icon MAT MATLAB LAB.. Bebera Beberapa pa saat saat kemudi kemudian an muncul muncul comman command d window window dari dari MAT MATLAB LAB.. Commo Commond nd Window Window merupa merupakan kan jendel jendela a utama utama dimana penggunaannya untuk berkomunikasi dengan interpreter MATLAB. Tampilan prom prompt pt inte interp rpre reter ter MA MATL TLAB AB ( » ) menu menunj njuk ukka kan n bahw bahwa a MA MATL TLAB AB siap siap untuk untuk

Ansar Suyuti - ikhlas ikhlas kitta

1

menerima menerima perintah perintah dari pengguna. Adapun Adapun tampilan tampilan command command window window seperti seperti dibawah ini.

Cara termudah untuk menggamba menggambarkan rkan MATLAB MATLAB adalah adalah menganggap menganggapnya nya sebagai sebagai sebu sebuah ah

kalk kalkul ulat ator or..

Sepe Sepert rtii

umum umumny nya a

kalk kalkul ulat ator or

bias biasa, a,

MATL MA TLAB AB

sang sanggu gup p

mengerjakan perhitungan sederhana seperti penambahan, pengurangan, perkalian dan pembag pembagian ian.. Sepert Sepertii kalkul kalkulato atorr sains, sains, MAT MATLAB LAB dapat dapat menang menangani ani bilang bilangan an kompleks, akar dan pangkat, logaritma, operasi trigonometri seperti sinus, cosinus dan tangen. Seperti kalkulator yang dapat diprogram, MATLAB dapat digunakan untuk menyimpan dan memanggil data. Anda dapat membuat, menjalankan dan meny menyim impa pan n

sede sedere reta tan n

peri perint ntah ah

untuk untuk

meng mengot otom omat atis isas asii

perh perhitu itung ngan an

suatu suatu

persamaan persamaan penting; anda dapat melakukan melakukan perbandingan perbandingan logika logika dan mengatur mengatur urut urutan an pela pelaks ksan anaa aan n peri perint ntah ah.. Sepe Sepert rtii kalk kalkul ulat ator or terb terbai aik k saat saat ini, ini, MA MATL TLAB AB memu memung ngki kink nkan an

anda anda

untu untuk k

meng mengga gamb mbar arka kan n

data data

deng dengan an

berb berbag agai ai

cara cara,,

mengerjak mengerjakan an aljabar aljabar matriks, matriks, memanipuas memanipuasii polinomial, polinomial, mengintegra mengintegralkan lkan fungsi, fungsi, memanipulasi persamaan secara simbol, dll. Sesungguhnya MATLAB menyediakan lebih lebih banyak banyak lagi lagi fasili fasilitas tas dan jauh jauh lebih lebih komple kompleks ks dari dari kalkul kalkulato atorr manap manapun. un. MATLAB adalah alat untuk melakukan perhitungan matematika. Sebagai contoh, untuk menginput sebuah matrik 3x2, dapat diketik : » A=[1 2;3 4;5 6]

Ansar Suyuti – ikhlas kitta

2

MATLAB Terapan 1

setelah ditekan Enter, maka respon MATLAB berupa hasil A= 1 3 5

2 4 6

3. Ruang Kerja MATLAB Ruang kerja MATLAB, merupakan kumpulan tool dan fasilitas dimana kita bekerja dalam pemrograman MATLAB. Termasuk fasilitas untuk mengatur variabel dalam ruan ruang g

kerja erja dan dan

untu untuk k

impo import rt dan dan

eksp ekspo ort

data data,,

term terma asuk suk

tool ool

untu untuk k

pengembangan. Perintah dan variabel yang telah dibuat, dikatakan tinggal dalam ruang kerja MATLAB dan dapat dipanggil kapanpun anda menghendakinya. Jika anda tidak dapat mengingat nama variabel, maka anda tinggal mengetik who: » who Your variables are: A

Untuk memanggil perintah sebelumnya, MATLAB menggunakan tombol panah [ ↑ ↓] pada keyboard anda, Sebagai alternatif mouse dapat digunakan bersama dengan cip-bord untuk menghapus (cut), mengcopy (copy), mengeluarkan kembali (paste), dan mengedit teks yang ada di prompt command.

4. 4. Vari Variab abel el Pada program MATLAB, expresi tanpa nama variabel tetap diproses dan hasilnya dengan nama variabel variabel ans (singkatan (singkatan answer). Tetapi untuk pemrograman pemrograman dimana beberapa konstanta dioperasikan, maka nama variabel mutlat ada. Variabel adalah nama atau simbol yang digunakan untuk mewakili suatu nilai.


3

Contoh 4-1: » A=10; » B=20; » C=A*B C= 200

Pada program contoh di atas, A B, dan C disebut dengan variabel. Variabel A mewakili nilai 10 dan B mewakili nilai 20, sedangkan variabel C mewakili hasil perhitungan, yang mana nilai yang diwakili dapat berubah tergantung dari nilai variabel A dan B. Aturan penulisan nama variabel MATLAB adalah : 1. Nama variabel variabel dibedakan dibedakan antara huruf huruf kecil dan huruf kapital, contoh contoh ; Jumlah, Jumlah, jumlah, juMlah, jumlaH dan JUMLAH. 2.

Panjan Panjang g maksim maksimal al nama nama varia variabel bel adalah adalah 31 karakter karakter,, dan karakter karakter setelah setelah karakter ke-31 diabaikan.

3. Nama variabel variabel harus diawali diawali dengan huruf, diikuti dengan sembarang sembarang bilangan, bilangan, huruf, atau garis bawah. Karakter-kara Karakter-karakter kter tanda baca tidak diperbolehkan diperbolehkan karena banyak diantaranya mempunyai arti tersendiri dalam MATLAB, contoh; biaya_rata_rata, x25065. 4. Tidak menggu menggunakan nakan variab variabel el khusus. khusus.

Beberapa variabel khusus pada MATLAB adalah : ans eps i,j NaN atu nan pi realmax realmin


hasil/jawaban hasil/jawaban untuk untuk statemen yang tidak nama variabel bilanga bilangan n terkecil terkecil sedemikia sedemikian n rupa sehingga sehingga bila ditambahk ditambahkan an satu, menghasilkan bilangan lebih besar dari satu atau simbol simbol yang yang mewaki mewakili li bilang bilangan an imaji imajiner ner pada pada −1 atau bilangan kompleks bukan suatu bilangan/ hasil bukan numerik. nilai dari bilangan π bilangan real positip terbesar bilangan real positif terkecil

4

MATLAB Terapan 1

Variabel dalam ruang kerja MATLAB dapat dihapus dengan menggunakan perintah clear.

» clear A

untuk menghapus variabel A

» clear B*

untuk menghapus semua variabel yang diawali dengan huruf B

» clear

untuk menghapus semua variabel diruang kerja Syarat pemberian nama variabel numerik dan variabel string dalam MATLAB tidak dibedakan. Tetapi penulisan konstanta variabel string harus diapit dengan tanda apostrop tunggal ( ' ). Contoh 4-2: » c='Selamat' c= Selamat » cd=[c,' datang'] cd = Selamat datang

Ansar Suyuti - ikhlas kitta

5

5. Komentar Jika program dibuat cukup panjang dan rumit, akan lebih baik bila di dalam program diberi penjelasan seperlunya sehingga mereka yang membaca program akan dapat mengerti maksud dari program dengan lebih jelas. Komentar pada MATLAB berupa tanda persen (%), sehingga semua teks sesudah tanda persen (%) dianggap sebagai statemen komentar Contoh 5-1: » A=[1 2;3 4]; % matriks A(2x2) » B=[5 6 7;8 9 0]; %matriks B(2x3) » Mat_C=A*B Mat_C = 21 47

24 54

7 21

Kalimat matriks A(2x2)

dan matriks B(2x3) setelah tanda % diabaikan/tidak

diproses oelh MATLAB. Beberapa perintah dapat diletakkan pada baris yang sama jika dipisahkan dengan koma ( , ) atau titik koma ( ; ). Tanda koma memberitahu MATLAB untuk menampilkan hasil dan titik koma untuk tidak menampilkan hasil. Contoh 5-2 : » jml=10; harga=1000, bayar =jml*harga harga = 1000 bayar = 10000


6

MATLAB Terapan 1

Deretan tiga titik berfungsi sebagai tanda sambung/lanjutan statemen pada baris berikutnya. Biasanya digunakan apabila sebuah statemen melebihi dari satu baris.

» harga=bayar/... jml harga = 1000

tetapi nama variabel tidak bisa dipisah menjadi dua baris » bayar=jml*har... ga ??? bayar=jml*harga | Missing operator, comma, or semi-colon.

Terlihat bahwa perintah yang diinput tidak dapat diproses oleh MATLAB

6. Bilangan Kompleks Salah satu kelebihan MATLAB adalah bahwa ia tidak memerlukan penanganan khusus untuk bilangan kompleks. Bagian imajiner (

−1 ) dalam MATLAB, diwakili

oleh variabel i atau j. Contoh 6-1: Carilah nilai V =Zc Cosh g + Sinh g/Zc, Dimana : Zc= 200 + j300 dan g=0,02 + j1,5. » Zc=200+300j; » g=0.02+1.5j; » V=Zc*cosh(g)+sinh(g)/Zc V= 8.1672 +25.2172i


7

Perubahan bentuk polar bilangan kompleks ke bentuk rectanguler-nya juga dapat dilakukan ; θ

M < θ ≡ M .e j

=

a + bi

dengan bentuk polar diberikan oleh besarnya M dan sudut

, sedangkan bentuk

rectanguler diberikan dengan a+bi. Hubungan antara bentuk-bentuk ini adalah: M= (a 2 + b 2 ) θ = tan

−1

(b / a)

a= M cos b=M sin Dalam MATAB, konversi antara bentuk polar dan rectanguler menggunakan fungsifungsi real, imag dan angle. Untuk merubah bentuk rectanguler ( V ) menjadi bentuk polar, maka dapat dilakukan : Contoh 6-2: » Real_V=abs(V) Real_V = 26.5068 » Sudut_V=angle(V)*180/pi Sudut_V = 72.0542

Sedangkan untuk merubah polar ke rectanguler, maka dapat dilakukan :


8

MATLAB Terapan 1

» P_V=Real_V*exp(j*Sudut_V*pi/180) P_V = 8.1672 +25.2172i

» real_PV=real(P_V) real_PV = 8.1672 » imaj_PV=imag(P_V) imaj_PV = 25.2172

Fungsi abs menghitung besarnya bilangan kompleks atau harga mutlak dari bilangan real, tergantung argumen apa yang diberikan. Fungsi angle menghitung sudut bilangan kompleks dalam radian.

7. Menyimpan dan memanggil data MATLAB dapat menyimpan dan memanggil data dari file. Pilihan Save Workspace as...

dalam menu File akan membuka kotak dialog untuk menyimpan semua

variabel yang ada. Mirip dengan itu, pilihan Load workspace as.. dari menu File akan membuka kotak dialog untuk memanggil variabel yang telah disimpan sebelumnya. Memanggil variabel yang bernama sama dengan variabel yang aktif akan membuat isi variabel aktif ditimpa oleh isi variabel yang dipanggil dari file. Jika menu File belum cukup bagi anda, MATLAB menyediakan dua perintah Save dan load yang jauh lebih fleksibel. Perintah save membuat anda dapat menyimpan satu atau lebih variabel dalam file format yang sesuai dengan pilihan anda. » save

Saving to: matlab.mat


9

Menyimpan semua variabel MATLAB dalam format biner di file matlab.mat » save data

menyimpan semua variabel MATLAB dalam format biner di file data.mat » clear » load matlab

memanggil data/variabel-variabel yang telah di save dengan nama matlab setelah dihapus dengan perintah clear dari ruang kerja MATLAB.

8. M- File Script M-FILE Jika masalah yang dihadapi sederhana, mengetikkan beberapa perintah langsung di jendela command memang cukup tepat dan efektif. Akan tetapi jika jumlah perintahnya sangat banyak, atau jika anda ingin mengubah nilai beberapa variabel dan kemudian mengulang kembali perhitungannya, maka mengetikkan perintahperintah langsung akan sangat menyusahkan. Untuk menyelesaikan masalah ini, MATLAB memungkinkan anda untuk mengetikkan sederetan perintah tersebut dalam suatu teks file dan kemudian memerintahkan MATLAB untuk membuka file tersebut

dan

menjalankannya

seolah-olah

diketikkan

langsung

di

jendela

Command. File seperti ini dinamakan file Script atau M-File. Ketika file scrip dipanggil, MATLAB langsung mengeksekusi perintah-perintah yang ditemui dalam file. Statemen file scrip dioperasi secara global terhadap data di workspace. Scrip berguna untuk menyelesaikan analisis atau desain dengan urutan-urutan statemen yang cukup panjang. MATLAB menyediakan beberapa fungsi pada M-File, perintah-perintah itu adalah


10

MATLAB Terapan 1

Disp(ans) Echo input keyboard pause pause (n) waitforbuttonpress

menampilkan hasil tanpa menampilkan nama variabel mengatur jendela command dalam penampilan kembali perintah yang sedang dikerjakan meminta pemakai untuk memberikan input memberikan kontrol pada keyboard sementara waktu. Ketikkan retour untuk kembali berhenti sampai pemakai menekan semarang tombol berhenti selama n detik berhenti sampai ada penekanan tombol mouse atau tombol keyboard

Jika perintah MATLAB tidak diakhiri dengan titik koma, hasil dari perintah itu serta nama variabelnya akan ditampilkan kembali dalam jendela command.

Function M-File File fungsi dari MATLAB, tidak sama dengan file script dalam hal bahwa variabel yang dioperasikan didalamnya bersifat lokal terhadap fungsi itu saja. File script akan bersifat global terhadap variabel yang ada di workspace. File fungsi digunakan untuk suatu keperluan yang berulang satu atau beberapa kali dalam suatu program. File fungsi pada sama fungsinya dengan functions pada bahasa C, subroutines pada FORTRAN dan BASIC dan procedures pada PASCAL. M-file berisi kata function pada awal program adalah file fungsi. File fungsi diawali dengan kata function dengan perintah function [output variabel]=nama fungsi (input variabel)

output variabel berada dalam kurung segi empat atau

[

] dan input variabel

dalam kurung parentheses atau ( ). Nama file fungsi harus di save sama dengan nama fungsi. Misalnya function[S]=tegangan(Z,I), nama file fungsi tersebut harus tegangan.m.

Contoh 8-1 : function [S]=tegangan(V,I) S=V.*conj(I);


11

File tersebut bernama tegangan dengan variabel output V dan variabel input V dan I Untuk menjalankan program tersebut, pada command window dibuat suatu statemen sebagai berikut : Jika nilai V dan I hanya mempunyai masing-masing satu elemen , maka » S=tegangan(10+12j,5+10j) S= 1.7000e+002 -4.0000e+001i

Jika nilai V dan I hanya mempunyai merupakan matrik, maka » s=tegangan([1 2;3 4],[10 10;10 10]) s= 10 20 30 40

Dari hasil diperoleh terlihat bahwa, input untuk varibel V dan I dapat berupa skalar maupun matrik.

9. Operator Aritmetik Operator aritmetik adalah simbol-simbol yang digunakan untuk maksud operasi numerik. MATLAB menyediakan operator aritmatik dasar berikut : Operasi Penambahan a+b Pengurangan, a-b Perkalian, a.b Pembagian, a: b Pemangkatan, ab

Simbol + * / atau \ ^

Contoh 15+10 15-10 15*10 15/10=10\15 15^10

Urutan operasi ini dikerjakan dalam suatu ekspresi yang mengikuti aturan prioritas yang biasa. Aturan ini diringkas sebagai berikut : Ekspresi dikerjakan dari kiri ke kanan, dengan pemangkatan mempunyai prioritas tertinggi, diikuti dengan


12

MATLAB Terapan 1

perkalian atau pembagian yang mempunyai prioritas yang sama, diikuti dengan penambahan dan pengurangan yang juga mempunyai prioritas yang sama. Tanda kurung dapat digunakan untuk mengubah urutan pengerjaan yang biasa, dimana bagian yang dikerjakan lebih dulu adalah bagian yang ada dibagian kurung paling dalam kemudian keluar. Contoh : Carilah nilai  I (1 + I ) N   , untuk P=1000, I=12% dan N=10 A=P  N   (1 + I ) −1  

» P=1000; i=0.12; N=10; » A=P*((i*(1+i)^N)/((1+i)^N-1)) A= 176.9842 % Contoh penggunaan pembagian kiri dan kanan » C=P/N C= 100 » D=N\P D= 100

10.

Operator relasi dan logika

Matlab menyediakan operasi relasi dan logika. Kegunaan dari operator dan fungsi tersebut ialah untuk menyediakan jawaban atas pertanyaan benar salah. Salah satu kegunaan penting dari kemampuan ini ialah untuk mengontrol urutan eksekusi sederetan

perintah

MATLAB

berdasarkan

pada hasil

benar/salah. MATLAB

menganggap semua angka tidak nol sebagai benar, dan nol sebagai salah. Hasil dari ekspresi relasi dan logika adalah satu untuk Benar dan nol untuk Salah dengan tipe


13

array logika, yaitu hasilnya membuat bilangan 1 dan 0 yang tidak saja dapat digunakan untuk statemen matematika, tetapi juga dapat digunakan untuk pengalamatan.

Operator Relasi Operator relasi MATLAB terdiri dari : Operator relasi < <= > >= = ~=

Deskripsi Kurang dari Kurang dari atau sama dengan Lebih dari Lebih dari atau sama dengan Sama dengan Tidak sama dengan

Operator relasi MATLAB dapat dipergunakan untuk membandingkan dua array berukuran

sama atau untuk membandingkan

array dengan skalar. Skalar

dibandingkan dengan semua elemen array dan hasilnya berukuran sama. Contoh penggunaan : » A=1:9,B=9-A A= 1 2 3 4 B= 8 7 6 5 » tf=A>4 tf = 0 0 0 0 » tf=(A==B) tf = 0 0 0 0

5

6

7

8

9

4

3

2

1

0

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

Operator Logika Operator logika menyediakan cara untuk menggabung ekspresi logika. Operator logika terdiri dari : Operator Logika &


Deskripsi AND

14

MATLAB Terapan 1

| ~

OR NOT

Contoh penggunaan : » A=1:9; b=9-A; » tf=A>4 tf = 0 0 0 0 1 » tf=~(A>4) tf = 1 1 1 1 0 » tf=(A>2)&(A<6) tf = 0 0 1 1 1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

» x=[1,1,0,0]; » y=[1,1,1,1]; » z1=~y>x z1 = 0 0 0 » z2=x&y z2 = 1 1 0 » z3=x|y z3 = 1 1 1 » z4=xor(x,y) z4 = 0 0 1

0

0

1

1

» A=[1,1,0,0]'; » B=[0,0,1,1]'; » [A,B,~A,A|B,A&B,xor(A,B)] ans = 1 1 0 0

0 0 1 1

0 0 1 1

1 1 1 1

0 0 0 0

1 1 1 1


15

11.

Fungsi-fungsi Dasar Matematis

Sebagian dari fungsi-fungsi dasar matematis yang dimiliki MATLAB dapat dilihat berikut : Fungsi trigonometri

abs (x) acos(x) acosh(x) angle(x) asin(x) asinh(x) atan(x) atan2(x) atanh(x) ceil(x) conj(x) cos(x) cosh(x) exp(x) fix(x) floor(x) gdc(x,y) imag(x) lcm(x) log(x) log10(x) real(x) rem(x,y) round(x) sign(x) sin(x) sinh(x) sqrt(x) tan(x)


harga mutlak atau besarnya bilangan kompleks invers cosinus invers cosinus hiperbolik sudut pada suatu bilangan kompleks invers sinus invers sinus hiperbolik invers tangen invers tangen empat kuadran invers tangen hiperbolik pembulatan ke arah plus tak berhingga konjuget bilangan kompleks cosinus cosinus hiperbolik eksponensial pembulatan ke arah nol pembulatan ke arah minus tak berhingga faktor persekutuan terbesar bilangan bulat x dan y bilangan imajiner kelipatan persekutuan terkecil bilangan bulat x dan y logaritma natural logaritma biasa bagian real suatu bilangan kompleks sisa pembagian x dibagi y pembulatan ke arah bilangan bulat terdekat menghasilkan tanda dari argumen sinus sinus hiperbolik akar kuadrat tangen

16

MATLAB Terapan 1

contoh : carilah nilai V(t)= A sin wt +30o, dimana A=10 dan t=1,2,3,4,5 » t=1:1:5; » A=10;f=100; » Vt=A*sin(2*pi*f*t+30*180/pi) Vt = -4.0977 -4.0977 -4.0977 -4.0977 -4.0977

Fungsi dasar MATLAB

exp log log10 sqrt abs angle conj imag real fix floor ceil round mod rem sign

exponensial logaritma natural logaritma biasa (basis 10) akar kuadrat harga mutlak sudut fasa kompleks konjugate bagian imajiner bilangan kompleks bagian real bilangan kompleks membulatkan ke arah nol membulatkan ke arah minus tak terhingga membulatkan ke arah plus tak terhingga membulatkan ke arah bilangan bulat terdekat modulus (sisa pembagian) pembagian bilangan bulat tanda bilangan

Contoh :

» x=exp(-0.2696*.2)*sin(2*pi*0.2)/(0.01*sqrt(3)*log(18)) x= 18.0001


17

12.

Format Input

Pemberian nilai pada variabel dalam MATLAB dapat dilakukan dengan mengetikkan nama variabel kemudian tanda sama dengan ( = )

dan nilai variabel yang

diinginkan. Contoh 12-1; Untuk variabel skalar » A=10 A= 10 » B=5; » C=A*B C= 50

dari contoh terlihat bahwa saat kita mengetik nilai A = 10 kemudian ditekan enter, maka MATLAB akan merespon dengan menampilkan hasil, sedangkan pada saat kita ketik B = 10; lalu dienter, MATLAB tidak menampilkan hasilnya karena kita menambahkan tanda titik koma ( ; ). Contoh 12-2: Untuk variabel bentuk array/matriks » A=[1 2 3;4 5 6] A= 1 4

2 5

3 6

» B=[7,6,5;3,2,1]; » C=A+B


18

MATLAB Terapan 1

C= 8 7

8 7

8 7

untuk program yang mempunyai data yang banyak, maka pemberian nilai variabel dapat dilakukan secara terpisah.Data dapat dibuatkan

M-file tersendiri,

selanjutnya kapan data tersebut dibutuhkan maka tinggal mengetikkan nama file M-file yang telah dibuat. Contoh 12-3: Data Y dan I disimpan pada M-file dengan nama data1.m Y=[0-8.5i 0+2.50i 0+5.0i 0+2.5i 0-8.75i 0+5.0i 0+5.0i 0+5.00i 0-22.5i 0+0.0i 0+0.00i 0+12.5i I=[0-1.1i;0-1.25i;0;0];

0+0i 0+0i 0+12.5i 0-12.5i];

Untuk mengguanakan data tersebut, kita tinggal menulis nama M-file ( data1) pada program data1 % nama file data berisi Y dan I % I=Y.V ===>V=inv(Y)*I Z=inv(Y) % membuat invers Y V=Z*I % perkalian

Hasil program Z = 0 0 0 0

+ + + +

0.5000i 0.4000i 0.4500i 0.4500i

0 0 0 0

+ + + +

0.4000i 0.4800i 0.4400i 0.4400i

0 0 0 0

+ + + +

0.4500i 0.4400i 0.5450i 0.5450i

0 0 0 0

+ + + +

0.4500i 0.4400i 0.5450i 0.6250i

V = 1.0500 1.0400 1.0450


19

1.0450

Dalam program contoh di atas, kita membuat dua buah M-file, satu M-file khusus berisi data sedangkan M-file lainnya berisi program. File yang berisi data yang kita beri nama data1.m dapat digunakan dengan hanya mengetikkan data1 pada program, walaupun file tersebut tidak aktif diruang kerja MATLAB. Tetapi kadang-kadang pada kondisi tertentu kita menginginkan bahwa suatu variabel, dapat mempunyai nilai yang berubah sesuai dengan keinginan si pengguna yang dapat di input dari keyboard. Pada M-file input nilai variabel dapat dilakukan dari keyboard dengan menggunakan perintah x = input (' komentar')

dimana x adalah nama variabel, komentar akan ditampilkan dilayar saat program dijalankan. Contoh 12-4 : R=input (' input nilai R (ohm) ='); I=input (' input nilai I (Amp) ='); V=I*R

Jika program tersebut di run, maka hasilnya : » input nilai R (ohm) =10 input nilai I (Amp) =2 V= 20

dengan demikian nilai variabel R dan I dapat berubah sesuai besar nilai yang diinput.


20

MATLAB Terapan 1

Sedangkan untuk variabel string, maka perintahnya x=input ( 'komentar' , 'string' )

string harus berisi hurup

's' atau

' S ',yang menunujukkan string, sedangkan

komentar dapat berisi apa saja yang inginkan

contoh 12-5: tanya=input (' anda ingin lanjut ? Y/N :','s'); if(isempty(tanya))|(tanya=='Y')|(tanya=='y') tanya='Y' else tanya='N' end

Hasil program anda ingin lanjut ? Y/N : tanya = Y

13.

Format Output

Saat MATLAB menampilkan hasil proses numerik, MATLAB mengikuti beberapa aturan. Dalam keadaan biasa, jika hasilnya berupa bilangan bulat, maka akan ditampilkan sebagai bilangan bulat. Jika hasilnya suatu bilangan real, MATLAB akan menampilkan sebagai bilangan dengan empat digit desimal. Perintah format ini hanya mengendalikan format numerik nilai yang ditampilkan dilayar, hanya


21

berefek pada berapa jumlah angka yang ditampilkan, bukan bagaimana MATLAB menghitung atau menyimpannya. MATLAB COMMAND Format short Format long Format short e Format long e Format short g

Average_Cost

Keterangan

50.833 50.83333333333334 5.0833e+01 5.083333333333334e+01 50.833

Format long g

50.83333333333333

Format hex Format bank Format + Format rat

40496aaaaaaaaaab 50.83 + 305/6

5 digits 16 digits 5 digits plus exponent 16 digits plus exponent Better of format short or format short e Better o f format l ongt o r format long e Hexadecimal 2 decimal digits Positive, negative, or zero Rational approximation

Untuk lebih fleksibelnya dalam format output, MATLAB menyediakan statemen fprintf untuk menampilkan hasil/output numerik dari program. Beberapa farmat dari fprintf dapat dilihat pada tabel. Kode Format

%e %E %f %s %i %u %x %X

scientific format, lower case e sientific format, upper case E format desimal string integer mengikuti tipe hexadecimal, lower case hexadecimal, upper case

Kontrol Karakter

\n \r \b \t \g " \\ \a

baris baru permulaan dari baris back space tabulasi halaman baru apostrop back slash bell

Contoh 13-1:

» fprintf('Luas= %7.3f meter per segi \n',pi*10^2) Luas= 314.159 meter per segi


22

MATLAB Terapan 1

Format %7.3f, menunjukkan format bilangan desimal

tujuh angka dengan tiga

angka dibelakang koma. Sedangkan /n untuk baris baru.

Contoh 13-2: » V=[ 10;20;30;40;50]; » R=[ 5;7;9;11;13]; » y=[V R] y= 10 20 30 40 50

5 7 9 11 13

» fprintf('%4i \t %8.2f\n',y') 10 5.00 20 7.00 30 9.00 40 11.00 50 13.00

Program contoh di atas memperlihatkan dua cara menampilkan output, yaitu dengan variabel yang akan ditampilkan diberi kurung empat misal [V R], cara ini akan menampilkan nilai variabel sesuai dengan tipenya, dan yang kedua adalah dengan statemen fprintf (%4i \t %8.2 \n), %4i akan menampilkan pada kolom pertama sesuai dengan tipe maksimum empat angka, \t penulisan selanjutnya dengan jarak sesuai tabulasi, %8.2 menampilkan dengan format desimal delapan angka termasuk titik, dengan dua angka dibelakang koma.

MATLAB juga menyiapkan format output berupa statemen disp, yang berfungsi untuk menampilkan numerik dan string dari programnya. Contoh 13-3: data1 % nama file data berisi Y dan I % I=Y.V ===>V=inv(Y)*I


23

Z=inv(Y); % membuat invers Y V=Z*I ; % perkalian disp ('Hasil program V=inv(Y)*I adalah') disp(V)

Hasil program V=inv(Y)*I adalah 1.0500 1.0400 1.0450 1.0450

Contoh di atas, memperlihatkan bahwa statemen disp dapat digunakan untuk string atau numerik dan hanya menampilkan nilai variabel.

Contoh 13-4: program M-file untuk perkalian bilangan kompleks disp(' '); disp(' PROGRAM PERKALIAN BILANGAN KOMPLEKS'); disp(' '); disp(' Jenis: 1-polar, 2-rectangular'); disp(' '); jumlah=input('Berapa banyak Bilangan Kompleks yang akan dikalikan ?'); disp(' '); for i=1:jumlah; F=input(['Jenis ',num2str(i),' ketik 1 jika polar 2 jika rectanguler = ']); if (F~=1 & F~=2); disp('Anda Salah Input'); end if F==1 M=input(['Nilai ',num2str(i),' = ']); A=input(['Sudut ',num2str(i),' = '])*180/pi; N(i)=M*exp(j*A); disp(' '); else R=input(['Real ',num2str(i),' = ']); I=input(['Imag ',num2str(i),' = ']); N(i)=R+j*I; disp(' '); end end P=N(1); for k=2:jumlah; P=P*N(k); end disp(' '); disp(['HASIL PERKALIAN = ' num2str(real(P)) ' +j '... num2str(imag(P)) ' = ' num2str(abs(P)) '|_'... num2str(angle(P)*pi/180) ' derajat']);


24

MATLAB Terapan 1

Hasil program

PROGRAM PERKALIAN BILANGAN KOMPLEKS Jenis: 1-polar, 2-rectangular Berapa banyak Bilangan Kompleks yang akan dikalikan ?2 Jenis 1 ketik 1 jika polar 2 jika rectanguler = 1 Nilai 1 = 10 Sudut 1 = 90 Jenis 2 ketik 1 jika polar 2 jika rectanguler = 1 Nilai 2 = 10 Sudut 2 = 90

HASIL PERKALIAN = -100 +j 1.2246e-014 = 100|_180 derajat

14.

KONTROL PROGRAM

Kontrol program sangat penting karena memungkinkan komputasi-komputasi yang lalu mempengaruhi komputasi yang akan datang. MATLAB menyediakan struktur pengambilan keputusan atau struktur kontrol program, yaitu : loop for, loop while, if-else-end, dan swicth-case.

Loop for Loop for memungkinkan sekelompok perintah diulang sebanyak suatu jumlah yang tetap. Bentuk umum dari loop for adalah For nama variabel loop = awal:step:akhir


25

Perintah-perintah end

Ekspresi awal adalah nilai awal, ekspresi step adalah langkah/pertambahan dan ekspresi akhir adalah batas nilai akhir variabel loop. Contoh for x=2:2:10, perintah akan diulang dan dimulai untuk x=2, melangkah sebanyak 2 dan berakhir pada nilai x=10.

Contoh 14-1 for x=2:2:10 v(x)=cos(x*pi/180); end

loop for dapat ditulis dalam satu baris for x=2:2:10, v(x)=cos(x*pi/180),end

loop for dapat dibuat didalam loop for yang lain ; Contoh 14-2: % Program perkalian Matriks A * B A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]; B=[9 8 7;6 5 4;3 2 1]; % Proses perkalian for k=1:3 for l=1:3 C(k,l)=0; for m=1:3 C(k,l)=C(k,l)+A(k,m)*B(m,l); end end end

Hasil dari program tersebut adalah C= 30

24

18


26

MATLAB Terapan 1

84 69 54 138 114 90

bandingkan dengan perintah asterik ( * ) untuk perkalian matriks , maka hasil yang diperoleh sama » A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]; B=[9 8 7;6 5 4;3 2 1]; C=A*B C= 30 24 18 84 69 54 138 114 90

Loop While Loop while mengerjakan sekelompok perintah yang diulang sampai syarat yang diberikan terpenuhi. Bentuk umum loop while adalah ; while ekspresi Perintah-perintah end

perintah-perintah yang terdapat di antara while dan end dieksekusi berulang kali selama semua elemen dalam ekspresi adalah benar. Contoh 14-3


27

» x=1; » while x<10 disp(x) x=x+1; end 1 2 3 4 5 6 7 8 9

» x=9; » while x~=0 disp(x) x=x-1; end

If - else -end Bentuk paling sederhana if-else-end adalah if ekspresi perintah … end

Untuk kasus dengan dua pilihan if-else-end adalah if ekspresi perintah…jika memenuhi eksperesi else perintah… jika tidak memenuhi ekspresi (salah) end

Jika terdapat 3 atau lebih pilihan if-else-end :


28

MATLAB Terapan 1

elseif ekspresi1 Perintah.. jika ekspresi1 benar elseif ekspresi2 Perintah.. jika ekspresi2 benar elseif ekspresi3 Perintah.. jika ekspresi3 benar elseif… else perintah.. dikerjakan jika tak ada ekspresi benar end

contoh 14-4 for k = 1:5; if k<2 a=cos (k*pi/180); elseif k<3 b=cos((k-1)*pi/180); elseif k<4 c=cos((k-2)*pi/180); elseif k<5 d=cos((k-3)*pi/180); else e=cos((k-4)*pi/180); end; end; » a,b,c,d,e a= 0.9998 b = 0.9998 c= 0.9998 d= 0.9998 e= 0.9998


29

Switch-Case Bentuk umum dari Switch-Case adalah switch ekspresi case test_ekspresi deret_perintah1 case {test_ekspresi2, test_ekspresi3, test_ekspresi4} deret_ekspresi2 otherwise deret ekspresi3 end

Contoh 14-5: Buatlah program untuk mengkonversi satuan meter kesatuan inchi, feet, millimeter dan centimeter, yang mana nilai satuan meter dan konversi satuan yang diinginkan diinput dari keyboard. x=input('masukkan nilai x dalam meter =' ); satuan=input('konversi ke satuan "in",ft",mm" dan "cm" = ','s'); switch satuan case {'inchi','in'} %konversi ke inchi inchi=x*2.54*100 case{'feet','ft'} % konversi ke feet feet=x*2.54*12*100 case{'milimeter','mm'} % konversi ke millimeter mm=x*10*100 case{'centimeter','cm'} % konversi ke Centimeter cm=x*100 otherwise disp(['anda salah input:' units]) y=nan end; masukkan nilai x dalam meter =3 konversi ke satuan "in",ft",mm" dan "cm" = cm cm = 300

Contoh 14-6: Mencari nilai x minimum, maksimum dan penjumlahan untuk x= e-t .sin t untuk t = 0 sampai 100.


30

MATLAB Terapan 1

% program untuk mencari nilai minimum, % maksimum atau penjumlahan x t = [0:100]; x=exp(-t).*sin(t*pi/180); pilih=input('Mencari x "maks,min atau jumlah" =','s'); switch pilih case {'maksimum','maks'} maks=max(x) case {'minimum','min'} minim=min(x) case {'jumlah','jum'} total=sum(x) otherwise disp('anda salah input') end

15.

Grafik 2-Dimensi

Statemen plot MATLAB menyediakan fasilitas dalam pembuatan suatu grafik dengan sangat sempurna dan mudah untuk digunakan, ini merupakan salah keistimewaan MATLAB, sehingga sangat cocok digunakan untuk komputasi teknik. Statemen yang digunakan dalam pembuatan grafik ini yaitu : plot loglog semilogx semilogy

: Plot linier : plot dengan skala loglog : plot dengan skala semi log : plot dengan skala semilog

Untuk judul, label, garis sumbu dan teks digunakan : title xlabel ylabel text gtext grid axis

: judul grafik : label sumbu x : label sumbu y : teks keterangan : tempat teks diletakkan : grid line : batas sumbu y dan x


31

Statemen

yang digunakan untuk membuat grafik linier, plot (x,y ) ini untuk

menggambar bidang vector x dan vector y. Jika x atau y adalah sebuah matriks maka mereka akan saling menggambarkan sesuai dengan baris dan kolomnya masing-masing. Tetapi bila x adalah sebuah besaran skalar sedangkan y adalah besaran vector maka akan terjadi titik yang tidak terhubung pada plot. Berbagai macam jenis garis, symbol plot dan warna dapat dibuat dengan perintah plot(x,y,s) dimana s adalah karakter string yang dibuat dari salah satu atau lebih dari statemen dibawah ini

SPESIFIKASI WARNA WARNA Istilah Hitam k Biru b Cyan c Hijau g Magenta m Merah r Putih w Kuning y

Jenis Solid Dashed Dotted Dash-dot Point Circle X-mark Plus Star

JENIS GARIS Simbol -: -. . o x + *

Kita bisa membuat tiga pilihan kurva pada grafik yang sama. Sebagai contoh, Plot(x1,y1,’r’,x2,y2.’+b’,x3,y3,’-‘)

Plot (x1, y1) dengan garis merah solid ,(x2,y2) dengan warna biru dan tanda +, ( x3,y3) dengan garis putus-putus. Plot juga dapat ditambahkan dengan keterangan nama pada grafik, label pada sumbu X dan Y dan grid. Perintah grid membuat kotak-kotak gairs / kisi-kisi pada grafik. Cara penulisannya hanya tinggal ditulis sesudah perintah plot. Sedangkan perintah nama/title (‘Graph title’) memberi nama pada plot dan x label (‘x-axis label’), y label (‘y-axis label’) yang memberi label pada plot dengan string yang khusus. Perintah text ( x-coordinate, ycoordinate,’text’) dapat digunakan untuk meletakkan text pada grafik, dimana nilai koordinat diambil dari plot tertentu. Sebagai contoh, kalimat perintahnya adalah : Text(3.5, 1.5,’Voltage’)


32

MATLAB Terapan 1

Kalimat perintah ini akan menuliskan kata Voltage pada titik grafik (3.5, 1.5). Selain itu juga dapat digunakan perintah gtext (‘text’), dimana perintah ini menempatkan teks pada grafik dengan menggunakan mouse. Alternatif perintah lain

adalah

legend(string1,sring2,string3,…)

yang

teks

menggunakan

menempatkan

dalam

grafik

dengan

juga

berfungsi string.

untuk MATLAB

menyediakan skala otomatis. Perintah axis ([x min. x max. y min. y max.]). Sebagai contoh : Axis ([-10 40 -60 60])

Menghasilkan skala sumbu x dari – 10 sampai 40 dan skala sumbu y dari – 60 sampai 60. Mengetik kembali axis (‘auto’) akan menghasilkan skala sendiri. Contoh :

Membuat plot X-Y dengan variabel berikut ini : x y

0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 10 10 16 24 30 38 52 68 82 96 123

Programnya dapat dituliskan sebagi berikut : x = [ 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0]; y = [10 10 16 24 30 38 52 68 82 96 123]; plot(x, y), grid xlabel('x'), ylabel('y'), title('Contoh Grafik Sederhana')

Hasilnya dapat dilihat pada grafik ini :


33

C o n to h G r a f ik S e d e r h a n a 1 4 0

1 2 0

1 0 0

8 0

y 6 0

4 0

2 0

0 0

0 . 5

1

1 . 5

2

2 . 5

3

3 . 5

4

4 . 5

5

x

MATLAB juga menyediakan statement fplot untuk membuat grafik dari fungsi dalam bentuk string. Dengan sintaks sebagai berikut; fplot ('string',[xmin,xmax])

atau fplot ('string',[xmin xmax ymin ymax])

dimana string merupakan sebuah fungsi, [xmin xmax] adalah nilai minimum dan maksimum dari variabel bebas fungsi. Contoh » f='cos(tan(x))-tan(sin(x))'; » fplot(f,[0 3]), title (' Grfaik cos(tan(x))-tan(sin(x))')


34

MATLAB Terapan 1

Grfaik cos(tan(x))-tan(sin(x)) 1

0. 5

0

-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5

-3 0

0 .5

1

1.5

2

2.5

3

Statemen polyval Program ini menggunakan perintah polyfit untuk mendapatkan pencocokan data (koefisien) untuk mendapatkan persamaan polynomial yang sesuai dengan data yang ada. Kata perintah yang lain adalah polyval yaitu digunakan untuk, mengevaluasi polynimial dari data-data yang diberikan :

Contoh :

x = [ 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 y = [10 10 16 24 30 38 52 68 p = polyfit(x, y, 2) yc = polyval(p, x); plot(x, y,'x', x, yc) xlabel('x'), ylabel('y'), grid title('Polynomial curve fitting') legend('Actual data', 'Fitted polynomial')

4.0 82

4.5 96

5.0]; 123];

Hasil penggunaan perintah polyfit dan polyval dapat dilihat berikut ini : P= 4.02333

2.01107


9.6783

35

Polynom ial curvefitting 140 Actual data Fittedpolynom ial 120

100

80 y

60

40

20

0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

x

Pada program ini akan digunakan,* untuk perkalian elemen dengan elemen dari dua bentuk persamaan yang telah diberikan, fungsinya y = 1 + e-2t sin (8t- π /2) dari 0 sampai 3 detik). Program ini juga memakai perintah [cp,k]=max (c ) yang memperlihatkan nilai maksimum dari grafik. Contoh Program untuk mencari nilai maksimum c=1+e-2t.sin(8t-pi/2) t=0:.005:3; c = 1+ exp(-2*t).*sin(8*t - pi/2); [cp, k] = max(c) tp = t(k) plot(t, c), xlabel(' t, sec'), ylabel('c'), grid title('Grafik sinus teredam') text(0.55,1.35,['cp = ',num2str(cp)]) text(0.55, 1.2,['tp = ',num2str(tp)])

Hasil dari M-file diatas :


36

MATLAB Terapan 1

Grafik sinus teredam 1.5 cp = 1.4702 tp = 0.36

1

c

0.5

0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

t, sec

Cara interaktif untuk mendapatkan data-data titik-titik pada kurva adalah dengan menuliskan perintah ginput. Perintah ini akan memudah mendapatkan titik-titik yang diinginkan dengan cara mengklik mouse. t=0:.005:3; c = 1+ exp(-2*t).*sin(8*t - pi/2); [cp, k] = max(c) tp = t(k) plot(t, c), xlabel(' t, sec'), ylabel('c'), grid title('Grafik sinus teredam') text(0.55,1.35,['cp = ',num2str(cp)]) text(0.55, 1.2,['tp = ',num2str(tp)]) %menggunakan statemen ginput [tp, cp] = ginput

Statemen Subplot Statemen subplot ( m, n, p ), berfungsi untuk membagi tampilan gambar menjadi sebanyak m baris, n kolom dan p menunjukkan gambar keberapa. Selain itu memakai perintah subplot (111) yang fungsinya seperti CLF RESET dimana grafik yang satu dengan yang lain tidak saling mempengaruhi sehingga mendapatkan tampilan yang maksimal.

Contoh :


37

wt = 0: 0.05: 3*pi; v=120*sin(wt); i=100*sin(wt-pi/4); p=v.*i; subplot(2, 2, 1),plot(wt,v, wt,i); title('Voltage & current') xlabel('\omegat, radians ');

% Sinusoidal voltage % Sinusoidal current % Instantaneous power % Plot of v & i versus wt

subplot(2, 2, 2),plot(wt,p); % Instantaneous power vs. wt title('Power') xlabel(' \omegat, radians '); Fm=3.0; fa = Fm*sin(wt); % Three-phase mmf's fa, fb, fc fb = Fm*sin(wt-2*pi/3); fc = Fm*sin(wt-4*pi/3); subplot(2, 2, 3),plot(wt,fa, wt,fb, wt,fc ) title('3-phase mmf'); xlabel(' \omegat, radians '); fR = 3/2*Fm; subplot(2, 2, 4),plot(-fR*cos(wt),fR*sin(wt)) title('Rotating mmf') subplot(111)


38

MATLAB Terapan 1

V o l t a g e & c u r re n t

Power

200

15000

100

10000

0

5000

-100

0

-200

-5000 0

5

10

0

t, radians 3 -p h a s e m m f

5

10

t, radians R o t a t in g m m f

ω

ω

4

5

2

0

0

-2

-4 0

5

ωt ,

Statemen

10

-5 -5

0

5

radians

subplot(2, 2, 1),plot(wt,v, wt,i)bertujuan untuk membagi tampilan

grafik menjadi 2 baris dan 2 kolom, sehingga layar grafik menjadi empat bagian. Bagian bagian tersebut diberi nomor grafik berurut-urut, nomor 1 adalah baris pertama kolom pertama, selanjutnya nomor 2 adalah baris pertama kolom kedua, nomor 3 adalah baris kedua kolom pertama dan nomor empat adalah baris kedua kolom kedua. Penempatan grafik disesuaikan dengan nomornya. Contoh » x=0:0.001:3; » f=cos(tan(x))-tan(sin(x)); » subplot(1,2,1),plot(x,f),xlabel('x'),ylabel('y'),axis([0 1.5 -3 1]); » subplot(1,2,2),plot(x,f),xlabel('x'),ylabel('y'),axis([1.5 3 -3 1]);


39

y

1

1

0. 5

0. 5

0

0

-0.5

-0.5

-1

y

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

-3 0

0.5

1

1.5

-3 1.5

2

x

2.5

3

x

Statemen Figure Statemen figure digunakan apabila dalam suatu program terdapat beberapa grafik, tetapi ingin ditampilkan pada halaman grafik yang berbeda. Misal program contoh 6-4, dimana keempat grafik ditampilkan dalam satu layar, maka dengan statemen figure grafik tersebut dapat dibuat pada layar yang berbeda. Statemen figure adalah Figure ( nomor grafik), plot (…,….)

Contoh : clf wt = 0: 0.05: 3*pi; v=120*sin(wt); i=100*sin(wt-pi/4); p=v.*i; figure(1),plot(wt,v, wt,i); title('Voltage & current') xlabel('\omegat, radians ');

% tegangan sinusoidal % Arus sinusoidal % daya Instantaneous % Grafik 1

figure(2),plot(wt,p); % Grafik 2 title('Power') xlabel(' \omegat, radians '); Fm=3.0; fa = Fm*sin(wt); fb = Fm*sin(wt-2*pi/3); fc = Fm*sin(wt-4*pi/3); figure(3),plot(wt,fa, wt,fb, wt,fc ); % grafik 3


40

MATLAB Terapan 1

title('3-phase mmf'); xlabel(' \omegat, radians '); fR = 3/2*Fm; figure(4),plot(-fR*cos(wt),fR*sin(wt)); % Grafik 4 title('mf')

Voltage & current 150

100

50

0

-50

-100

-150 0

1

2

3

4

5

ωt,

6

7

8

9

10

radians

Power 12000

10000

8000

6000

4000

2000

0

-2000 0

1

2

3

4

5

ωt,

6

7

8

9

10

radians

3-phase mmf 3

2

1

0

-1

-2

-3 0

1

2

3

4

5 t, ω


6

7

8

9

10

radians

41

mf 5 4 3 2 1

0 -1 -2 -3 -4 -5 -5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Grafik 3- Dimensi Statemen Plot Statemen plot3(x,y,z), berguna untuk menghasilkan sebuah garis 3 dimensi dari 3 buah vektor x,y,z yang menyatakan besar masing-masing sumbu Contoh : » t=0:pi/50:10*pi; » plot3(sin(t),cos(t),t)

Hasilnya :

4 0

3 0

2 0

1 0

0 1 0 .5

1 0 .5

0 0 -0.5

-0.5 -1


-1

42

MATLAB Terapan 1

atau perintah plot (x1,y1,z1,s1,x2,y2,z2,s2,….)

mengkombinasikan beberapa plot (x,y,z,s), dimana x,y,z vektor atau matriks dan s string.

Statemen Meshgrid Untuk menggambar permukaan koordinat z berdasarkan nilai matriks m x n. Antar elemen matriks dihubungkan garis dalam penyajiannya. Misal z = f(x,y)

z =

sin(

x 2 + y 2 ) x 2 + y 2

ingin ditampilkan pada rentang -8 ≤ x ≤ 8 dan -8 ≤ y ≤ 8 » x=-8:0.5:8; » y=x; » [X,Y]=meshgrid(x,y); » R=sqrt(X.^2+Y.^2)+eps; » Z=sin(R)./R; » mesh(Z)


43

Stateman Contour Statemen countour digunakan untuk memvisualisasi kontur atau garis-garis yang menunjukkan ketinggian tetap. Satatemen contour adalah : CONTOUR(Z), menggambar contour berdasarkan nilai Z CONTOUR (X,Y,Z), dimana X dan Y vektor, untuk membatasi area contour dari Z CONTOUR(Z,N) dan CONTOUR(X,Y,Z,N), menggambar N buah garis CONTOUR(Z,V) dan CONTOUR(X,Y,Z,V), menggambar sebanyak LENGTH(V) garis contour pada nilai vektor V CONTOUR(…..,'linetype') menggambar dengan tipe garis tertentu.

Contoh : » contour(peaks,50)


44

MATLAB Terapan 1

45

40

35

30

25

20

15

10

5

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Statemen Mesh dan Surface Fungsi mesh dan surf menampilkan permukaan secara 3 dimensi. Jika Z matriks dengan elemen Z(i,j) mendefinisikan ketinggian pada grid (i,j), maka mesh(Z)

membangkitkan rangka berwarna permukaan matriks Z surf(Z)

membangkitkan rangka dan pewarnaan permukaan dari Z


45

contoh : » mesh(peaks)

dengan perintah tambahan colormap(hot) atau colormap(pink)

maka warna akan beruba sesuai perintah Memotong sebagian gambar dengan NaN

NaN(Not a Number) bisa untuk menghilangkan sebagian visualisasi

Misal :


46

MATLAB Terapan 1

» p=peaks; » p(25:35,2030)=nan*p(25:35,20:30); » p(25:35,20:30)=nan*p(25:35,20:30); » mesh(peaks,p)

Arah Pandang Grafik Dalam MATLAB anda dapat menentukan sudut untuk melihat garafik tiga dimensi. Statemen view(asimuth,elevation) mengeset sudut pandang dengan menentukan sudut proyeksi pandang mata dan ketinggian anda. Statemen adalah view(a,b)

dimana : a : sudut antara arah pandang terhadap titil (0,0) dengan bidang (x,y) b : sudut antara proyeksi arah pandang mata ke bidang (x,y) dengan bidang (z,y)


47

contoh : » view(20,0)


48

MATLAB Terapan 1

16.

Dasar Operasi Array

Untuk membuat array dalam MATLAB, yang perlu dilakukan hanyalah mengetikkan kurung kotak kiri, memasukkan elemen - elemen dengan dipisahkan oleh spasi atau koma, kemudian menutup array dengan kurung kotak kanan. Contoh : » A=[1 2 3 4 5] A= 1 2 3 4 » B=[5,4,3,2,1]

5

B= 5

4

3

2

1

6

6

6

» C=A+B C= 6

6

Jadi sangat mudah untuk mengoperasikan array dalam MATLAB, begitu pula mengoperasikan. seperti menjumlahkan, dan operasi lainnya.

Pembentukan Array MATLAB menyediakan fasilitas lain untuk pembentukan array, yang mana memasukkan nilai array, tidak perlu mengetikkan elemen demi elemen. Beberapa cara untuk pembentukan array dapat dilihat pada tabel. x = [2 2*pi sqrt(2) 2-3j] x = first:last x = first : increment:last x = linspace (first,last,n) x = logspace (first,last,n)


membentuk array x dengan elemen-elemen khusus membentuk array x dimulai dengan nilai awal first, meningkat setiap 1 dan berakhir pada nilai akhir last Pembentukan array x dimulai dengan nilai awal first, meningkat sebesar nilai incerement dan berakhir pada nilai last Membuat array x dimulai dengan nilai first, berakhir dengan nilai last, dengan jumlah elemen n Membuat array x dimulai dengan nilai awal 10 first, berakhir dengan nilai 10last, dengan jumlah elemen n

49

Contoh : » x=[2 2*pi sqrt(2) 2-3j] x= 2.0000

6.2832

1.4142

2.0000 - 3.0000i

» x=1:5 x= 1

2

3

4

5

5

7

9

» x=1:2:10 x= 1

3

» x=linspace(1,5,5) x= 1

2

3

4

5

» x=logspace(1,5,5) x= 10

100

» a=1:5,b=1:2:9 a= 1 2 3 4 b = 1 3 5 7 » a=1:5,b=1:2:9 a= 1 2 3 4 b = 1

1000

10000

100000

5 9

5

3

5

7

9

» c=[b a] c= 1 3

5

7

9

1

» d=[a(1:2:5) 1 0 1] d= 1 3 5 1 0

1

2


3

4

5

50

MATLAB Terapan 1

Pengalamatan Array Array x yang terakhir mempunyai 5 elemen yang dipisahkan dalam kolom-kolom, dengan demikian dapat dikatakan bahwa array tersebut array satu lima atau suatu array dengan panjang 5. Dalam MATLAB, elemen-elemen array diakses menggunakan subscript; misalnya x(1) adalah elemen pertama x, x(2) adalah elemen kedua x, dst. Contoh :

» x(2) ans = 100 » x(1:3) ans = 10

100

1000

1000

100000

» x(1:2:5) ans = 10 » x(4:end) ans = 10000

100000

» x([5 2 5]) ans = 100000

100

100000


51

Untuk membentuk vektor kolom, maka MATLAB menyediakan operator titik koma ( ; ) untuk membuat baris, apostrop ( ' ) untuk transpose, titik apostrop ( .' ) untuk transpose

tetapi

tidak

melakukan

konjugasi.

Operator

titik-transfose

ini

diinterpretasi sebagai transpose konjugasi non kompleks. Jika suatu array merupakan array kompleks, transpose ( ' ) memberikan transpose

konjugasi

kompleks, yaitu tanda dari bagian imajiner yang berubah sebagai akibat operasi transpose. Tetapi titik transpose melakukan transpose

pada array namun tidak

melakukan konjugat padanya. Contoh :

» A=[1;2;3;4;5] A= 1 2 3 4 5 » B=[1 2 3 4 5]' B= 1 2 3 4 5 » AA=[1+2j 1+0.5j 2+1j]' AA = 1.0000 - 2.0000i 1.0000 - 0.5000i 2.0000 - 1.0000i » BB=[1+2j 1+0.5j 2+1j].' BB = 1.0000 + 2.0000i 1.0000 + 0.5000i 2.0000 + 1.0000i


52

MATLAB Terapan 1

Dari contoh terlihat bahwa bila bilangan kompleks ditranspose dengan statemen apostrop ( ' ) maka terjadi konjugasi atau dengan kata lain tanda imajiner akan berubah. Sedangkan bila bilangan kompleks di transpose dengan statemen titik apostrop ( .' ) maka tidak terjadi konjugasi. Jika suatu array dapat berupa vektor baris atau vektor kolom, maka array dapat dibentuk berupa matriks. Contoh » K=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] K= 1 4 7

2 5 8

3 6 9

» K=[1 2 3 456 7 8 9] K= 1 4 7

2 5 8

3 6 9

selain titik koma, menekan tombol Return atau Enter saat memasukkan nilai matriks juga dapat membuat baris baru.


53

Operasi Operasi Array Operasi Array dengan Skalar

Penambahan, pengurangan , perkalian dan pembagian dengan skalar dapat dikenakan pada semua elemen array. Contoh

» A=[1 2 3;4 5 6] A= 1 4

2 5

3 6

» b=A*4 b = 4 16

8 12 20 24

» c=b/4 c= 1 4

2 5

3 6

» d=A+4 d= 5 8

6 9

7 10

Operasi Array dengan Array Jika dua array mempunyai dimensi yang sama, penambahan, pengurangan, perkalian dan pembagian berlaku pada elemen ke elemen . Tapi jika dimensi tidak


54

MATLAB Terapan 1

sama maka tentu operasi tersebut tidak dapat dilaksanakan. Operator -operator dasar dari operasi array adalah sebagai berikut

penambahan array (a+b) - pengurangan array (a- b) perkalian array (a .* b) pembagian kanan array (a ./b ) pembagian kiri array ( a ./b) pemangkatan array (a.^ b)

+ .* ./ .\ .^

Titik

yang

mendahului

simbol

perkalian,

pembagian

dan

pemangkatan

memberitahu MATLAB untuk melakukan operasi elemen ke elemem. Perkalian tanpa titik berarti perkalian matriks. Contoh : » a=[ 1 1 1;2 2 2] a= 1 2

1 2

1 2

» b=[3 3 3;4 4 4] b = 3 4

3 4

3 4

» c=a+b c= 4 6

4 6

4 6

» d=a-b d= -2 -2

-2 -2

-2 -2


55

e= 3 8

3 8

3 8

» f=a./b f= 0.3333 0.5000

0.3333 0.5000

0.3333 0.5000

» g=a.\b g= 3 2

3 2

3 2

» h=a.^b h= 1 16

1 1 16 16

Dari contoh terlihat bahwa semua operasi array dilakukan merupakan operasi antar elemen-elemen array.

memanipulasi Array Karena array dan matriks merupakan hal mendasar dalam MATLAB, maka terdapat banyak cara untuk memanipulasinya. Cntoh : » A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] A= 1 2 3 4 5 6 7 8 9

» A(3,3)=0 A= 1 2 3 4 5 6 7 8 0


56

MATLAB Terapan 1

mengubah A(3,3) menjadi nol contoh » A(2,6)=1 A= 1 2 3 4 5 6 7 8 0

0 0 0

0 0 0

0 1 0

mengubah elemen pada baris 2 kolom 6 menjadi satu, karena A tidak mempunyai enam kolom, ukuran A diperbesar seperlunya dan diisi dengan nol sehingga matriks tetap segi empat. Contoh » A(:,4)=4 A= 1 2 3 4 5 6 7 8 0

4 4 4

0 0 0

0 1 0

membuat semua elemen di kolom empat menjadi 4. A= 1 4 7

2 5 8

3 6 9

» B=A(3:-1:1,1:3) B= 7 8 9 4 5 6 1 2 3

menciptakan matriks B dengan urutan baris A yang dibalik » B=A(3:-1:1,:) B= 7 8 9 4 5 6 1 2 3


57

menciptakan matriks B dengan urtan baris A yang dibalik, disini titik dua berarti semua kolom (titik dua terakhir dari contoh di atas). Jadi : adalah singkatan 1:end atau 1:3 sebab A memiliki 3 kolom. » C=[A B(:,[1 3])] C= 1 2 3 7 9 4 5 6 4 6 7 8 9 1 3

membuat matriks C dengan menambhkan semua baris pada kolom pertama dan ketiga B ke sisi kanan A. » B=A(1:2,2:3) B= 2 3 5 6

membuat B dengan mengambil dua baris pertama dan dua kolom terakhir A. » B=A(:) B= 1 4 7 2 5 8 3 6 9

membuat matriks B dengan mengurutkan kolom-kolom A » B=B.' B= 1 4

7

2

5

8

3


6

9

58

MATLAB Terapan 1

mentranspose matriks A » B=A B= 1 2 4 5 7 8

3 6 9

» B(:,2)=[] B= 1 3 4 6 7 9

mendefinisikan kembali B dengan membuang semua baris pada kolom kedua matriks B semula. Saat anda mengeset sesuatu menjadi matriks kosong [ ], sesuatu itu akan terhapus, mengakibatkan matriks berkurang menjadi apa yang tertinggal.

Array dengan Elemen Satu dan Nol Karena banyak dipergunakan, MATLAB menyediakan fungsi untuk membuat array yang semua elemennya satu atau nol. Contoh: » ones(4) ans = 1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

» zeros(2,5) ans = 0 0

0 0

0 0

0 0

1 1 1

1 1 1

0 0

» ones(3,4) ans = 1 1 1

1 1 1


59

Statemen ones (4) membentuk array bujur sangkar (4 x 4 )

dengan seluruh

elemennya bernilai satu. Statemen ones (3,4) untuk membentuk array berdimensi 3 baris dan 4 kolom dengan seluruh elemen bernilai satu. Statemen zero (2,5) untuk membentuk array berdimensi 2 baris dan 4 kolom dengan seluruh elemen bernilai nol.

Operasi Matriks Semula MATLAB diciptakan untuk menyederhanakan komputasi matriks dan aljabar linier yang terdapat di berbagai aplikasi adalah sebagai berikut: + * / dan \

det (A) d=eig(A) [V,D] = eig(A) expm(A) inv(A) lu(A) orth(A) pinv(A) poly(A) polyeig(A1,A2,..) sqrtm(A) svd(A) trace(A)

Penjumlahan Pengurangan Perkalian Pembagian kiri dan kanan X=A\B adalah solusi untuk A*X=B X=B/A adalah solusi untuk X*A=B dimensi harus sesuai dengan aturan perkalian matriks Determinan Nilai eigen Nilai eigen dan eigen vektor Pemangkatan matriks Invers matriks Faktor dari eliminasi gaus Ortognalisasi Pseudoinvers Karakteristik polynomial Menyelesaikan masalah nilai eigen polinomial Akar kuadrat matriks Dekomposisi nilai singular Jumlah elemen-elemen diagonal

Jika sebuah persamaan simultan sebagai berikut : a11 X1 + a12 X2 + … + a1n Xn = B1 a21 X1 + a22 X2 + … + a1n Xn = B2 . . . . . . . . an1 X1 + an2 X2 + … + ann Xn = Bn


60

MATLAB Terapan 1

persamaan di atas dapat dituliskan dalam bentuk matriks

a11 a  21  ...  an1

a12

...

a22

...

...

...

an 2

...

a1n      x1 B1      a2 n x 2 .  =  B 2  ...  ...  ...   ann   x3  B3 

atau A.x = B

Sehingga vektor X dapat dihitung : [x] = [A]-1 B

contoh : persamaan dalam bentuk , A X = B hitunglah vektor X 1 4   7

2 5 8

3  x1 

366       6 . x 2 = 804         0 x 3 351    

» A=[1 2 3;4 5 6;7 8 0] A= 1 4 7

2 5 8

3 6 0

» b=[366;804;351] b = 366 804 351


61

Jika anda mempunyai dasar aljabar linier maka sangat mudah untuk menentukan bahwa masalah mempunyai satu jawaban tunggal jika determinan matriks A tidak sama dengan nol. » det(A) ans = 27 » inv(A) ans = -1.7778 0.8889 -0.1111 1.5556 -0.7778 0.2222 -0.1111 0.2222 -0.1111

Penyelesaian persamaan simultan tersebut diselesaikan dalam program MATLAB dengan tiga cara : Cara I

Penyelesaian menggunakan statemen inv » x=inv(A)*b x= 25.0000 22.0000 99.0000

Cara II

Penyelesaian menggunakan statemen / (statemen pembagian kanan matriks). » x=A\b x= 25.0000 22.0000 99.0000


62

MATLAB Terapan 1

Cara III

Penyelesaian dengan menggunakan factorisasi lu (statemen lu) dari hasil dari upper af lower matrik triangular , A=LU, dimana X diperoleh dari X = U-1 L-1 B. » A=[1 2 3;4 5 6;7 8 0]; » B=[366;804;351]; » [L,U]=lu(A) L= 0.1429 0.5714 1.0000

1.0000 0.5000 0

0 1.0000 0

U= 7.0000 8.0000 0 0 0.8571 3.0000 0 0 4.5000 » X=inv(U)*inv(L)*B X= 25.0000 22.0000 99.0000

Untuk mencari nilai eigen values dan eigen vektor » [x,D]=eig(A) x= 0.7471 -0.2998 -0.2763 -0.6582 -0.7075 -0.3884 0.0931 -0.6400 0.8791 D= -0.3884 0 0 0 12.1229 0 0 0 -5.7345

atau » eig(A)


63

ans = -0.3884 12.1229 -5.7345

Contoh :

Carilah nilai x, y dan z dari persamaan dibawah ini 6x - 3y + 4z = 41 12x + 5y - 7z = -26 -6x + 2y + 6z = 14

sebelum kita membuat program MATLAB, maka persamaan dapat dibuat dalam bentuk matrik

6  12   − 6

−3 5 2

4  x 

 41      − 7 y  =  − 26  6    z     14  

atau [ABC][xyz]=[K]

sehingga [xyz]=[ABC]-1 [K]

» ABC=[6 -3 4;12 5 -7;-6 2 6]; » K=[41;-26;14]; » xyz=inv(ABC)*K xyz = 2.0035 -2.6842 5.2316


64

MATLAB Terapan 1

Contoh

Sebuah rangkaian listrik seperti gambar dibawah, hitunglah V1 dan V2 dan daya pada setiap sumber arus.

V

y12

1

y10

V

y20

i1

y12 = 0,35 - j 1,2 y10 = 1,15 - j 0,8 y20 = 0,55 - j 0,4

2

i2

i1 = 30 + j 40 A i2 = 20 + j 15 A

dengan menggunakan hukum kirchhoff, diperoleh persamaan simpul

 1,5 − j2.0 − ,0 3 + j15,2  V 1  3 + j04  =  − ,0 3 + j15,2 0,9 − j1,6   V 2  2 + j10       atau [y].[V] = [I]

sehingga [V]= [y]-1 [I]


65

sedangkan rumus untuk daya sumber ( S ) = V I*.

I=[30+40j;20+15j]; % Arus sumber Y=[1.5-2j -0.35+1.2j; -0.35+1.2j 0.9-1.6j]; disp(' tegangan V1 dan V2') V=inv(Y)*I disp(' daya sumber S1 dan S2') S = V.*conj(I) Hasil program tegangan V1 dan V2 V= 3.5902 +35.0928i 6.0155 +36.2212i daya sumber S1 dan S2 S= 1.0e+003 * 1.5114 + 0.9092i 0.6636 + 0.6342i

Matriks Khusus Matriks dengan kegunaan umum meliputi » zeros(3) ans = 0 0 0

0 0 0

0 0 0

» ones(2,4) % 2x4 matriks berelemen satu ans = 1 1

1 1

1 1

1 1

» zeros(3)+pi ans =


66

MATLAB Terapan 1

3.1416 3.1416 3.1416

3.1416 3.1416 3.1416

3.1416 3.1416 3.1416

» eye(3) % matriks identitas ans = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Statemen zeros(3) digunakan untuk membentuk matriks 3x3 dengan seluruh elemen bernilai nol, statemen zeros(3)+pi digunakan unt uk membentuk matriks nol 3x3 dengan menambahkan nilai pi pada setiap elemen. Statemen eye(3), untuk membentuk matrik identitas berdimensi 3x3.

17.

Akar-akar Polinomial

Mencari akar suatu polinomial merupakan suatu masalah tersendiri muncul dalam berbagai bidang ilmu. MATLAB menyediakan fungsi roots untuk mencari akar polinomial, sedangkan

akar-akar polinimial yang diperoleh dapat dikonversi

kedalam persamaan awal dengan fungsi poly. Contoh :

s 6 +9 s 5 + 31 .25 s 4 + 61.25 s 3 + 67 .75 s 2 + 14.75 s + 15 akar-akar dapat diperoleh dengan menggunakan fungsi roots: Contoh » p=[1 9 31.25 61.25 67.75 14.75 15] p = 1.0000

9.0000 31.2500 61.2500 67.7500 14.7500 15.0000

» r=roots(p) r= -4.0000 -3.0000 -1.0000 + 2.0000i -1.0000 - 2.0000i


67

0.0000 + 0.5000i 0.0 - 0.5000i

akar-akar polinomial tersebut dapat dikonversi ke koefisien polinomial dengan fungsi poly(r): » poly(r) ans = 1.0000

9.0000 31.2500 61.2500 67.7500 14.7500 15.0000

Contoh » r=[-1 -2 -3+4i -3-4i] r= -1.0000

-2.0000

-3.0000 + 4.0000i -3.0000 - 4.0000i

» poly(r) ans = 1

9

45

87

50

berarti persamaan polinomialnya adalah : s 4

+ 9 s

3

+ 45 s

2

+ 87 s + 50 =

0

MATLAB juga juga dapat mencari akar karakteristik persamaan polinomial dalam bentuk matriks : 0  A= −6  −6

1

−11 −11

−1  6  5  

Karakteristik persamaan dari matriks tersebut dapat diperoleh fungsi poly dan akar-akar persamaan diperoleh dengan fungsi roots.


68

MATLAB Terapan 1

Contoh » A=[0 1 -1;-6 -11 6;-6 -11 5]; » p=poly(A) p = 1.0000 6.0000 11.0000 6.0000 » r=roots(p) r= -3.0000 -2.0000 -1.0000

akar-akar dari karakteristik persamaan tersebut sama dengan eigenvalues dari matriks A atau r=eig(A) » eig(A) ans = -1.0000 -2.0000 -3.0000

Perkalian, Pembagian dan Penjumlahan Polinomial Perkalian polinomial dilakukan dengan fungsi conv (melakukan convulotion dari array), pembagian dilakukan dengan fungsi deconv dan penjumlahan dilakukan dengan seperti penjumlahan array biasa tetapi derajat polinomial harus sama, jika polinomial mempunyai derajat yang berbeda maka derajat yang lebih rendah ditambahkan dengan koefisien-koefisien nol atau menggunakan fungsi yang disediakan oleh MATLAB yaitu polyadd. Contoh . A = s 2

+ 7 s + 12

dan B = s 2 + 9 carilah C=A.B , D=C+B dan E=C-B


69

Z = s 4

+ 9 s

3

+ 37 s

2

+ 81s + 52

dan Y = s 2

+ 4 s + 13

carilah X =

Z Y

contoh dapat diselesaikan dengan MATLAB A=[1 7 12];B=[1 0 9]; Z=[1 9 37 81 52]; Y=[1 4 13]; C=conv(A,B) D=A+B E=A-B X=deconv(Z,Y)

Hasil dari program adalah : C= 1 D= 2 E= 0 X= 1

7

21

7

21

7

3

5

4

63 108

Turunan Turunan polinomial dapat dilakukan dengan menggunakan f ungsi polyder. A = s 4

+ 9 s

3

+ 37 s

2

+ 81s + 52

turunan dari polinomial A adalah: » A=[1 9 37 81 52]; » polyder(A) ans = 4 27 74 81

Polynomial Curve Fitting −1

d d p( x) = c1 x + c2 x

+ .... + cn


70

MATLAB Terapan 1

persamaan tersebut mempunyai koefisien n=d+1, dengan derajat d. Maka fungsi pengurangan orde polynomial adalah polyfit(x,y,d). Contoh . X= 0 Y= 1

1 7

2 23

4 6 10 109 307 1231

Carilah sebuah polinomial derajat ke 3 dari data tersebut di atas; » x=[0 1 2 4 6 10]; » y=[1 7 23 109 307 1231]; » c = polyfit(x,y,3) c= 1.0000

2.0000

3.0000

1.0000

Evaluasi Polinomial Evaluasi polinomial dapat dilakukan dengan fungsi polyval(c,x). Contoh, kita ingin mengevaluasi polynomial c terhadap t itik x= 0,1,2,3 dan 4 . » plot(t,x) » c=[1 2 3 1]; » x=0:1:4; » y=polyval(c,x) y= 1

7

23

55 109

» plot(x,y),title('x^3+2x^2+3x+1')


71

3

x

+ 2 x

2

+ 3 x + 1

1 2 0

1 0 0

8 0

6 0

4 0

2 0

0 0

0 .5

1

1 .5

2

2 .5

3

3 .5

4

Partial-fraction Expansion Untuk memperoleh residu atau partial-fraction expantion ( r ) , kutup yang bersesuaian (p) dan dirct terms (K), digunakan fungsi : [r,p,K]=residu(b,a].

P ( s )

=

Q ( s)

bm s m

+ bm −1 s

a n s n

+ a n −1 s

m −1

n −1

+ ... + b1 s + b0 + ... + a1 s + a 0

Vector b dan a merupakan koefisien dari polinomial. Contoh Hitunglah partial fraction expantion dari :

F ( s ) =

3 2 s

s

3

+ s

+ 9 s + 1 2

+ 4 s + 4

Penyelesaian dengan MATLAB adalah » b=[2 0 9 1]; » a=[1 1 4 4]; » [r,p,K]=residue(b,a) r= 0.0000 - 0.2500i


72

MATLAB Terapan 1

0.0000 + 0.2500i -2.0000 p = -0.0000 + 2.0000i -0.0000 - 2.0000i -1.0000 K= 2

Berarti partial fraction expantion-nya adalah

2+

−2 j 0.25 − j 0.25 −2 1 + + =2+ + 2 s + 1 s + j 2 s − j 2 s + 1 s + 4

untuk mengembalikan persamaan polinomial P(s)/Q(s) dapat dilakukan dengan fungsi [b,a]=residue(r,p,K). » [b,a]=residue(r,p,K) b = 2.0000

0.0000

9.0000

1.0000

a= 1.0000

1.0000

4.0000

4.0000


73

18.

Integral Numerik

Trapezoidal Integration (integrasi trapesium) Cara paling sederhana untuk menentukan luas daerah dibawah sebuah kurva adalah dengan membagi-bagi luas daerah itu dengan bentuk persegi . Semakin kecil lebar persegi

yang dibentuk semakin

mendekati

nilai

integral.

Atau dengan

menggunakan bagian-bagian secara trapesium. MATLAB melaksanakan integrasi secara trapesium dengan fungsi "trapz". Syntaksnya adalah trapz (x,y), dimana y merupakan fungsi.

Contoh :

Hitunglah integral


74

MATLAB Terapan 1

π

∫ sin xdx 0

jawabannya adalah π

∫ sin xdx

= − cos x |0 =cos 0 - cos π

π =2

0

Untuk menyelediki pengaruh lebar bagian trapesium, pertama kita gunakan 10 bagian dengan lebar yang sama π / 10 , maka programnya : » x=linspace(0,pi,10); » y=sin(x); » trapz(x,y) ans = 1.9797

jika lebar bagian trapesium diperkecil, misalnya dengan membagi menjadi 100 bagian, maka » x=linspace(0,pi,100); » y=sin(x); » trapz(x,y) ans = 1.9998

contoh : Sebuah accelerometer mengukur percepatan dan digunakan pada pesawat terbang, roket, dan kendaraan untuk memperkirakan kecepatan dan perpindahannya. Accelerometer mengintegrasi sinyal percepatan untuk menghasilkan sebuah perakiraan nilai kecepatan, dan mengintegrasi perkiraan nilai kecepatan untuk menghasilkan perkiraan nilai pemindahan. Misalnya kendaraan mulai bergerak pada t=0 dan percepatan yang terukur seperti pada tabel.


75

Waktu (t) Percepatan (m/dtk 2)

0 0

1 2

2 4

3 7

4 5 6 7 8 9 10 11 17 24 32 41 48 51

Carilah :

•

kecepatan setelah 10 detik

•

kecepatan pada waktu t= 1,2,..,10 detik

Jawab :

•

hubungan antara kecepatan dan percepatan adalah 10

10

∫

∫

V (10 ) = a(t )dt + v(0) = a(t )dt 0

0

» t=[0:10]; » a=[0,2,4,7,11,17,24,32,41,48,51]; » vak=trapz(t,a) vak = 211.5000

kecepatan pada t=10 adalah 211,5 meter/detik

•

untuk menentukan kecepatan pada waktu t=1,2,…,10, untuk v(t1)=0 maka persmaan dapat dituliskan menjadi k

V (t k ) =

k

∫ a(t )dt + v(t ) = ∫ a(t )dt 1

1

1

dimana k=2,3,4….,11 » t=[0:10]; » a=[0,2,4,7,11,17,24,32,41,48,51]; » v(1)=0; » for k=2:11; v(k)=trapz(t(1:k),a(1:k)); end » disp([t',v']) 0 0


76

MATLAB Terapan 1

1.0000 2.0000 3.0000 4.0000 5.0000 6.0000 7.0000 8.0000 9.0000

1.0000 4.0000 9.5000 18.5000 32.5000 53.0000 81.0000 117.5000 162.0000 10.0

211.5000

atau dalam bentuk tabel : Waktu (t) Kecepatan (m/dtk)

0 0

1 1

2 4

3 4 5 6 9,5 18,5 32,5 53

7 81

8 9 10 117 162 211,5

Integrasi Fungsi Kuadrat Jika integral merupakan fungsi linier, maka integrasi secara trapesium merupakan solusi yang paling tepat, tetapi jika integral bukan fungsi linier, maka integrasi fungsi kuadrat akan menghasilkan tingkat akurasi yang lebih tinggi dibandingkan integrasi trapesium. Cara pendekatan yang digunakan pada fungsi kuadrat menggunakan persamaan simpson, yang membagi batas integrasi b - a menjadi bagian-bagian dengan jumlah yang sama dan menggunakan perbedaan kuadrat pada tiap-tiap bagian yang bersebelahan. MATLAB menyediakan dua fungsi untuk menyelesaikan integrasi fungsi kuadrat yaitu : quad yang didasarkan pada penyelesaian integrasi persamaan Simpson dan quadl yang didasarkan penyelesaian integrasi algoritma Labatto. Syntaksnya adalah

quad ('function',a,b) dan quadl ('function',a,b) dimana function adalah nama fungsi , a adalah batas bawah dan b adalah batas atas integrasi untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada contoh . Contoh :


77

π

∫ sin xdx

=2

0

» A=quad('sin',0,pi) A= 2.0000

dari hasil yang diperoleh terlihat bahwa hasil yang diperoleh dari fungsi quad dan quadl lebih akurat dibandingkan dengan fungsi trapz, namun fungsi quad hanya dapat digunakan untuk perhitungan integral fungsi dan tidak dapat digunakan untuk perhitungan integral yang ditentukan dengan nilai set point.

Differenial Numerik Seperti yang telah ketahui bahwa, turunan dari fungsi dapat diartikan secara grafis sebagai kemiringan dari fungsi. Algoritma sederhana untuk perhitungan turunan numerik dapat dilihat pada gambar dibawah ini.

Dari gambar tersebut terlihat ada tiga titik data yang mewakili fungsi y(x), maka : dy dx

= lim∆ x →0

∆ y ∆ x

diasumsikan bahwa jarak antara pengukuran teratur, yaitu x3 − x2 = x2 − x1 = ∆ x . Jika diinginkan untuk memperkirakan turunan dy / dx pada titik


x2

, maka jawaban

78

MATLAB Terapan 1

yang benar adalah kemiringan garis lurus yang dilewati melalui titik ( x2 , y2 ) , tetapi ada dua titik pada garis itu sehingga tidak dapat dicari kemiringannya. Oleh karena itu harus diperkirakan kemiringan dengan menggunakan pendekatan pada titik-titik data. Diperkirakan kemiringannya adalah : y m A = 2 x2

− y1

=

y2

− x1

− y1

∆ x

perkiraan lain dapat dihasilkan dari garis lurus B. kemiringannya adalah

m B

=

y3 − y2 x3 − x2

=

y3 − y2

∆ x

Nilai rata-rata m A dan m B adalah

mC

=

m A + mB 2

y − y  y − y 1 y − y =  +   = 2  ∆ x ∆ x  2∆ x 2

1

3

2

3

1

kemiringan garis ini dinamakan C, yang menghubungkan titik pertama dan ketiga. MATLAB

menyiapkan

fungsi

d

=

diff(x)

untuk

menyelesaikan

persamaan

differensial, dimana x adalah nilai vektor dan hasilnya berupa vektor d berisi diffrensial antara pendekatan elemen-elemen dalam sumbu x. Bila x memiliki n elemen, d akan memiliki n-1 elemen, dimana d=[x(2)-x(1), x(3)-x(2), …. , x(n)-x(n1)]. Sebagai contoh, bila x = [ 5, 7, 12, 20], lalu diff(x) menjadi vektor [ 2, 5, -32].

Solver ODE 23 dan ODE45 Ordenary Differential Equation (ODE), atau persamaan differensial biasa adalah persamaan yang memiliki turunan orde dari variabel bebas. Contoh sederhana adalah dy dt

= t 2


79

variabel y merupakan variabel bebas, dan t merupakan tidak bebas. Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan mengintegralkan persamaan tersebut dengan variabel independent t. t

t

dy

3

t

∫ dt dt = ∫ t dt = 3 0

2

0

t

3

= 0

t

3

hasilnya adalah

y(t ) = y(0) +

t 3 3

untuk selanjutnya kita gunakan notasi turunan diberi simbol "dot" /"titik", misalnya o

y (t ) = oo

y (t ) =

dy dt 2 d y dt

2

Penyelesaian dengan dengan fungsi ode 23 menggunakan solusi penyelesaian persamaan differensial dengan menggunakan kombinasi metode Runge-Kutta orde dua dan tiga dengan step-size, sedangkan ODE 45 menggunakan kombinasi metode Runge-Kutta orde empat dan orde lima. Pada umumnya ODE 45 lebih cepat dan akurat,

tetapi

menggunakan

step-size

yang

lebih

besar

sehingga

dapat

menghasilkan plot yang tidak sehalus dengan plot yang dihasilkan ODE 23. Syntax dari ODE adalah [t,y]=ode23( 'ydot', tspan, y0 )

ydot adalah nama file fungsi yang memiliki input t dan y dan mempunyai output yang berupa vektor kolom yang memperesentasikan dy/dt, yaitu f(t,y). baris dari vektor kolom harus sama dengan orde dari persamaan. Syntax ODE 23 dan ODE 45 adalah solver yang identik. Vektor tspan berisi nilai awal dan akhir dari variabel bebas t dan dapat dipilih dari nilai t yang diinginkan, misalnya nilai t0
tf], dimana t0 adalah nilai awal dan tf adalah nilai akhir dari


80

MATLAB Terapan 1

variabel bebas t. Anda juga memecahkan persamaan secara mundur dengan membuat t0 menjadi lebih besar dari tf.

Contoh Aplikasi ODE untuk penyelesaian persamaan differensial, pada sebuah rangkaian listrik yang terdiri dari elemen R, L dan C

t

R = 1 .4 o h m

V = 1 V + -

L=2 H

C = 0 .3 2 F V c ( t)

Elemen dari rangkaian ini adalah R=1.4 Ω , L= 2 H, dan C =0.32 F. Keadaan awal dari arus ini adalah 0, dan tegangan awal kapasitor 0.5 Volt. Kemudian tegangan Vs =1 Volt digunakan pada saat t =0. Carilah niali i(t) dan v(t) untuk waktu 0
Ri + L

di + Vc = Vs dt

====== L di/dt =vs-Vc-Ri di/dt= (1/L)(Vs-X1-Ri) 0

X 2 =(1/L) (Vs-X1-Ri) dimana : i = C (

dVc dt

)


81

x1 = Vc

x 2 = i •

x1 = (

1 )x2 C

•

x 2 = (1 / L )(Vs − x1 − Rx 2) Xdot=[X(2)/C; 1/L*(Vs-x(1)-RX(2)]

Program File-M untuk penyelesaian persamaan differensial tersebut adalah Program Utama t0= 0; tfinal =15; x0 = [0.5, 0]; tspan = [t0, tfinal]; [t,x] = ode45('electsys',tspan, x0); subplot(2,1,1),plot(t,x) title('Time response of an RLC series circuit') xlabel('t, sec') text(8,1.15,'Capacitor voltage') text(8, 0.1,'Current') vc= x(:,1); i = x(:,2);

sub program function xdot = electsys(t,x); V = 1; R =1.4; L = 2; C = 0.32; xdot = [x(2)/C ; 1/L*( V - x(1) - R*x(2) ) ]

Hasil programnya adalah


82

MATLAB Terapan 1

Time response of an RLCse series ci circ rcuit 1.2 Capacit itor volta tage

1

0.8

0.6

0.4

0.2 Current 0

-0.2 0

5

10

15

t, sec

Aplikasi pada pengaturan motor DC terkenali jangkar Pengat Pengatura uran n kecepa kecepatan tan motor motor dc pengatu pengaturan ran tegang tegangan an termin terminal al jangka jangkar, r, biasa biasa digunakan digunakan pada sistem kontrol kontrol simpal simpal tertutup. tertutup. Diagram Diagram motor motor dc pengaturan pengaturan tegangan jangkar diberikan pada gambar 1. Pada gambar ini v(t) adalah tegangan jangkar yang dianggap sebagai masukan sistem. Resistansi dan induktansi rangkaian jang jangka karr adal adalah ah R dan dan L. Tega Tegang ngan an e(t) e(t) adal adalah ah tega tegang ngan an yang yang timb timbul ul pada pada kumparan jangkar karana adanya pergerakan pada kumparan di dalam magnetik motor dan biasanya disebut emf-balik (back emf ). Sehingga dapat dituliskan

e(t ) = K φ

d θ dl


83

R

L

V(t)

kon stan

e b(t) J B

T(t)

Gambar 1. Motor DC pengaturan p engaturan jangkar

dengan K adalah konstanta motor, φ

adalah fluks medan, dan θ

adalah sudut

θ d θ

poros motor, jadi

dl adalah kecepatan sudut poros (

ω ), jika fluks konstant

maka .

eb (t ) = K m

d θ = K mω dt

Untuk rangkaian jangkar dapat dituliskan

v(t ) = R.ia (t ) + L

di (t ) dt

+ eb (t )

Persamaan torka adalah T (t) = K φ i a ( t)

Karena fluks diasumsikan konstan, maka dapat dituliskan T (t) = K T i a ( t) ( t)

Persamaan tegangan motor menjadi


84

MATLAB Terapan 1

e(t) = K e.ω (t)

Momen inersia J meliputi semua inersia yang dihubungkan ke poros motor dan konstanta B meliputi gesekan udara dan gesekan bantalan poros, maka persamaan toki menjadi :

d 2θ

T (t ) = J

dt 2

T (t ) = J

dw dt

+ B

d θ dt

atau

+ Bω (t )

Subtitusi pers.(5) dan (6 ) kedalam pers. ( 3) diperoleh

di a (t )

=

I [ − R a i a (t ) − k bω (t ) + v (t )] L

I

[ K m ia (t ) − Bω (t )]

dt diperoleh d ω dt

=

J

diperoleh matriks persamaan differensial atau yang biasa disebut model dinamik motor DC

d(t) R K bl − − i (t )  1  d L Lt  a  = L+ a .v(t) d ω K B ω (t) −  0  d  J Jt  Ansar Suyuti - ikhlas ikhlas kitta

85

Dengan mengganti simbol ia(t) menjadi

x1

dan

(t ) ω

menjadi x 2 , maka dapat

ditulis sebagai berikut

 R K   x   1     − −  1  L   x1  =  L L  .  +   v(t )  x   K − B      x2   2   J J   0  e

o

o

m

atau o

X = A. x + B.v Persamaan differensial tersebut di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan program file-M ode23 atau ode45 dari MATLAB. Tabel . Parameter-parameter motor DC pengaturan jangkar, 5 HP, 230 Volt. Parameter-parameter motor DC Tahanan Jangkar (R) 0,200 Ω Induktansi (L) 0,067 H Arus jangkar nominal (Ia ) 18,3 Amp

Momen inersia ( J )

2

0,6700 LB.FT 0,0282 N.m.dt2/rad

Parameter-parameter motor DC Konstanta mekanik (K m) 0,7789 N.m/A Konstanta motor (Ke) 0,9032 V.dt/rad 2500 rpm Putaran nominal ( ω nom

) Konstanta gesekan (B)

0,0545 N.m dt/rad

Program MATLAB-nya t0= 0; tfinal = 7; % time interval x0 = [0, 0]; % initial conditions tspan = [t0, tfinal]; % use with MATLAB 5 [t,x] = ode45('adcmotor', tspan, x0); % use with MATLAB 5 i= x(:,1); w = x(:,2); subplot(2,1,1), plot(t,i),grid on title('Karakteristik arus jangkar Vs waktu ') xlabel('Waktu (dtk)'),ylabel('Arus jangkar (Amp.)') subplot(2,1,2),plot(t,w),grid on title('Karakteristik kecepatan Vs waktu ') xlabel('Waktu (dtk)'),ylabel('kecepatan (rad/det)')


86

Matlab Hari 1

Recommend Documents