Mathcad - 7-Campo Magnético Fuerzas sobre cargas en movimiento

Serie Serie 6: Camp Campo o magn ético . Fuerzas Fuerzas sobr e cargas en movimiento. Fuerzas magnéticas Fuerzas magnéticas:: Las interacciones magnéticas son fundamentalmente interacciones entre partículas cargadas en movimiento. Estas interacciones se describen mediante el campo magnético vectorial, denotado con B. Una partícula con carga q que se mueva con velocidad v en un campo magnético B experimenta una fuerza perpendicular tanto a v como a B. La unidad del SI para el campo magnético es la tesla: (1 T = 1 N/A·m). 1 G = 10 -4 T

Campo y flujo magnético: magnético: Un campo magnético se representa gráficamente con líneas de campo magnético. P ara un punto punto cualquie c ualquiera, ra, una línea de campo magnético es tangente a la dirección de B en ese punto. Donde las líneas de campo están muy cercanas entre sí, la magnitud del campo es grande y viceversa. viceversa. El flujo magnético ΦB a través de un área se define en forma similar al f lujo eléctrico. La unidad del del SI para el flujo magnético es el weber  (1Wb = 1 T · m 2). El flujo magnético neto a través través de cualquier superficie superficie cerrada cerrada es igual a cero (ley de Gauss del magnetismo). Como resultado, las líneas de campo magnético siempre se cierran sobre sí mismas

Fuerza Fuer za magnética sobre un conductor : Un segmento s egmento rectilíneo de conductor que transporta una corriente corriente I en un campo magnético uniforme B experimenta una fuerza F perpendicular  tanto a B como al vector l que apunta en la dirección de la corriente y tiene magnitud igual a



la longitud del segmento. Una relación similar da la fuerza dF sobre un segmento infinitesimal que transporte corriente dl.

Sobre un conductor cerrado cerrado la fuerza magnética neta es igual a cero.

Par de torsión magnético: Una espira de corriente con área A y corriente I en un campo magnético uniforme B no experimenta fuerza magnética neta, pero sí un par de torsión magnético de magnitud τ. El par de torsión vectorial τ se expresa en términos del momento magnético de la espira μ = IA, igual que la energía potencial U de un momento magnético en un campo magnético El momento magnético de una espira sólo depende de la corriente y del área; es independiente de la forma de la espira.

El efecto Hall: El efecto Hall es una diferencia de potencial perpendicular a la dirección de la corriente en un conductor, cuando el conductor se coloca en un campo magnético. El potencial de Hall está determinado por el requerimiento de que el campo eléctrico asociado debe compensar exactamente la fuerza magnética sobre una carga en movimiento. Las mediciones del efecto Hall se utiliz an para determinar el signo de los portadores de carga y su concentración n.

1. Si una partícula con carga positiva y velocidad ingresa en un campo de inducción magnética uniforme B, demostrar que: a) describe una circunferencia si v es perpendicular a B . b) describe una hélice cilíndrica si v forma una ángulo con B .

2. Un electrón que se mueve a lo largo del eje x perpendicularmente a un campo magnético experimenta una desviación magnética en la dirección del eje y. ¿Cuál es la dirección del campo magnético en est a región?

La dirección del campo magnético es z negativa

3. Una partícula alfa (que es un núcleo del átomo de helio) se mueve hacia el norte con una velocidad de 3.8 x 105 m/s en una región donde el campo magnético es 1.0 T y está apuntando horizontalmente hacia el este. ¿Cuál es la magnitud y la dirección de la f uerza magnética sobre esta partícula alfa? Datos: 5 m

v  3.8 10 

s

B  1T

 19 q  2 1.6 10 C

 19 q  3.2  10 C

θ   90deg F = q (v  B)

El módulo de la fuerza es  13 F  q  v  B sin( θ)  1.216  10 N

La dirección es entrante.

4. El campo magnético sobre cierta región está dado por B =(4i -11j ) T. Un electrón se mueve en el campo con una velocidad v=(-2j +3j -7k ) m/s. Escriba en notación vectorial cuál sería la fuerza ejercida sobre el electrón por el campo magnético Datos:





B = 4  i  11j T



m

v = 2  i  3  j  7  k 

s



F=q vB



  i  19 F = 1.6 10   2

 j

k  

3

7 

  4 11

0  





 19 F = 1.6 10 77 i  28j  10k  N





 18 F = 12.3 i  4.48 j  1.6 k  10  N

5. Demuestre que el trabajo realizado por la fuerza magnética sobre una partícula cargada moviéndose en un campo magnético es c ero para cualquier desplazamiento de la partícula Como la fuerza que actúa s obre la partíc ula es igual a:



F=q vB



Se puede ver que la misma es perpendicular a la velocidad v. La dirección de la velocidad coincide con la dirección del desplazamiento, lo que quiere decir que la dirección de la fuerza es perpendicular a la dirección del desplazamiento. Como el trabajo se c alcula por  T = F ∆  x = F ∆ x cos( θ)

Donde con  ∆x simbolizamos el desplazamiento y con θ el ángulo entre el desplazamiento y la fuerza. Como ese ángulo será de 90º el trabajo que realiza la fuerza magnétic siempre resultará nulo

6. Un alambre lleva una corriente estacionaria de 2.4 A. Un tramo recto de alambre a lo largo del eje x, con longitud de 0.75 m se encuentra dentro de un campo magnético uniforme B =(1.6k ) T. Si la corriente fluye en la dirección del eje +x, ¿cuál es la fuerza magnética sobre el tramo del alambre?

Datos: I  2.4A l  0.75m B  1.6T

θ   90deg F = Il  B

El módulo es F  Il  B sin( θ  )  2.88 N

Dirección eje y positivo

7. Una espira rectangular cuyas dimensiones son 10 cm X 20 cm está suspendida por una cuerda y la parte horizontal inferior de la espira está inmersa en un campo magnético confinado a una región circular (Fig. 29.26). Si una corriente de 3 A se mantiene en la espira en la dirección mostrada, ¿cuál es la dirección y Ia magnitud del c ampo magnético requerido para producir una tensión de 4x10-2 N en la cuerda que lo soporta? (Desprecie la masa de la espira.) Datos: l  10cm I  3A F  4  10

2 N

θ   90deg Las fuerzas en los lados verticales son salientes y se cancela entre sí. La fuerza en la parte inferior debe ser igual a la tensión de la cuerda

F = Il  B sin( θ) B 

F Il  sin( θ)

 0.133 T

Para que se origine una fuerza hacia abajo, el campo debe ser entrante.

El segmento de conductor de la figura 29.27 Ileva una corriente I=0.2 A el tramo corto del segmento tiene 0.80 m de longitud, y el tramo largo tiene 1.6 m de longitud. Determine la magnitud y la dirección de la fuerza magnética sobre el conductor si existe un campo magnético uniforme dado por B=1.9T en esa región

Datos: I  0.2A

θ1   45deg

l 1    0.8m l 2    1.6m

θ2   30deg

B  1.9T

 

F1  I l 1  B sin θ1  0.215 N

saliente

 

F2  I l 2  B sin θ2  0.304 N

entrante

FT  F1  F2   0.089 N

Una espira rectangular que consta de 100 vueltas, tiene dimensiones de 0.4 m x 0,3 m. La espira esta articulada a lo largo del eje y y el plano de la bobina forma un ángulo de 30° con el eje x (Fig. 20.29). ¿Cuál es la magnitud del momento ejercido sobre la espira por un campo magnético de 0.8 T dirigido a lo largo del eje x cuando la corriente en las espiras tiene un valor  de 1.2 A en la dirección most rada. ¿En qué dirección se espera que gire la espira? Datos: LOP    0.4m

B  0.8T

LPQ    0.3m

I  1.2A

LQR   0.4m

LRO    0.3m

θ   30deg

 Ne  100

Las fuerzas sobre cada lado de la espira son: Lado OP: Magnitud de la fuerza: FOP  I LOP B sin( 90deg)  0.384 N

Sentido hacia adentro En los lados PQ y RO las fuerzas son iguales y de sentidos contrarios y se anulan Lado QR: Magnitud de la fuerza: FQR  IL QR  B sin( 90deg)  0.384 N FQR  IL QR  B  0.384 N

Sentido hacia afuera El momento respecto del eje y será en módulo

2

A  LOP L PQ    0.12 m

φ   60deg

M  FQR  LPQ cos( 30deg) M  N I LQR  B LPQ cos( 30deg)  0.1 N newton m

 Aplicando directamente la fórmula:

τ  Ne I B A sin( φ)  9.977 N m

En cierto lugar el campo magnético de la Tierra está dirigido verticalmente hacia abajo y tiene una magnitud de 0.5 X 10-4 T. un protón se mueve horizontalmente hacia el oeste en este campo con una velocidad de 6.2 X 106 m/s. a) ¿Cuál es la magnitud y la dirección de la fuerza magnética ejercida por el campo sobre la carga? b) cuál es el radio del arco circular seguido por  el protón? Datos:  19 q  1.6 10 C

 27 mP  1.67 10 kg

4 B  0.5 10 T 6m

v  6.2 10

s

F  q  v  B  4.96  10

 17

N

v

2

F = mP r  v

2

3

r  mP  1.294  10 m F

Considere el espectrómetro de masas que se muestra esquemáticamente en la figura. El campo eléctrico entre las placas del selector de velocidades es de 950 V/m y el campo rnagnético tanto en el select or de velocidades como en la cámara de desviación tiene una magnitud de 0.93 T. Calcule el radio de la trayectoria en el sistema para un ion simplemente cargado con masa m = 2.18 X 10-26 kg Datos: E  950

 V m

B  0.93T

 26 mi  2.18 10 kg

La velocidad con la que pasa el ion

v 

E B

3m

 1.022  10

s

El radio de la trayectoria FB = q  v  B0 =

mv

2

r 

De donde r 

mi  v qB

4

 1.497  10

m

50. Una placa de plata de espesor t = 0.20 mm se utiliza para medir e1 efecto Hall de un campo magnético uniforme que es perpendicular a la placa, c omo se muest ra en la figura 29.30. El coeficiente Hall para la plata es RH = -0.84 X 10 -10m3/C. a) cuál es la densidad efectiva de los portadores de carga n, en la plata. b) Si una corriente I = 20 A produce un voltaje Hall VH = 15µV ¿cuál es la magnitud del campo magnético aplicado?

Datos: 4 t  0.20mm  2  10 m 3

 10 m R H   0.840  10 coul I  20amp

5 ∆VH  15μV  1.5  10   volt  19 q  1.6 10 coul

a) 1 R H = n  q  n 

1 q R H

b)

∆VH = B 

28 1

 7.44  10 

3

m

R H I B t

∆VH t R H I

  1.786  T

47 Un ciclotrón diseñado para acelerar protones está provisto de un campo magnético de 0.45 T y tiene un radio de 1.2m. a) ¿Cuál es la frecuencia del cic lotr6n? b) ¿cuál es la máxima rapidez adquirida por los protones? Datos: B  0.45T r  1.2m

 19 q P  1.6 10 C  27 mP  1.67 10 kg

FB = q  v  B =

v=

q  B r  m

mv r 

2

ω=

ω 

v r  q P B mP

71

 4.311  10

s

7m

v  ω r   5.174  10

s

59.- Una carga positiva q = 3.2 X 10-19 C se mueve con una velocidad v =(2i +3j -k ) m/s a través de una región donde existen t anto campo magnético c omo eléctrico, a) Calcule la f uerza total sobre la carga en movimiento (en notación vectorial) si B =(2i +4j +k ) T y E =(4i -j -2k ) V/m. b) ¿Qué ángulo forma la fuerza con el eje x?