Math CAMP 2017 Bab 1-11.PDF

1. EKSPONEN DAN BENTUK AKAR

 

a. px

Rumus Eksponen a

m

×a

n

= a



 −

m n

am :an = am

a

n

m n

= a

mn

a

a0 = 1; a  0 1

0

−

m

=

1 am

n p

am b

np

= amp b

Jika af(x) > ag(x) , maka berlaku: (i) f(x) > g(x), untuk untuk a > 1 (ii) f(x) < g(x), untuk untuk 0 < a < 1

= tidak terhingga

0 = tidak terdefinisi

0

Beberapa Rumus Bentuk Pangkat

    

2

a+b 2 = a2 + b + 2ab

a

b

3

a3 – b b)

a

2

b 2 = a2 + b – 2ab

3

3

a+b



SOAL LATIHAN:

= a3 + b + 3ab(a+b) 3

3

= a3 – b – 3ab(a– 3ab(a–b)

3

1.

  

= (a – b)(a b)(a2 + ab + b) = a

√

n

m

am = a n

√ √ √  √ √  √ √  √ 1

√ √

a

=

b



a

√ √ √ √ 1

a

b

=

1

×

a

a a

=

  √ √ √   √ √ √ (a+b) (a+b)

(a+b) (a+b)

2 ab ab =

2 ab ab =

a–

a +

1 a

√

a

2.

3

1

3

4

+…+

1

63 63

=…

64 64

b

        x2 4 x  6 2 x =

1

x x2 4 x 4

2 x  1

, x  2

adalah … (A) {1, 2} (B) { – 2, 2, 2} (C) { – 2, 2, 3} (D) { – 2, 2, 1, 3} (E) { – 2, 2, 1, 2, 3}

b, syarat: a > b

MAT DASAR SIMAK UI 2009

Jika af(x) = a maka f(x) = 0

Jika h(x) maka: = h(x) (i) f(x) = g(x) (ii) h(x) = 1 (iii) h(x) = –1, syaratnya f(x) dan g(x) sama-sama genap atau sama-sama ganjil. (iv) h(x) = 0, syaratnya f(x) dan g(x) sama-sama positif

Himpunan penyelesaian dari x x

Jika af(x) = ag(x) maka f(x) = g(x)

g(x)

2

+


Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen

f(x)

1

5 (B) 7 (C) 9 (D) 10 (E) 11

a. a= a

ab ab

2

+

(A)

√ √ √ √ √ a. b=

Nilai dari: 1

b 3 + 3ab(a– 3ab(a–

a3 + b = (a + b)(a b)(a2 – ab + b) = a+b 3 – 3ab(a+b)

Bentuk Akar

+ b. px + c = 0

Jika af(x) < ag(x) , maka berlaku: (i) f(x) < g(x), untuk untuk a > 1 (ii) f(x) > g(x), untuk untuk 0 < a < 1

; a  0

( ) .

2

3.

Jika x Jika x + +

1 x

= 5 maka nilai dari x3 +

1 x3

=…

(A) 140 (B) 125 (C) 110 (D) 75 (E) 15 MAT DAS SIMAK UI 2009

Program Persiapan SBMPTN & SIMAK UI Bimbingan Alumni UI

1

4.

  √ √ √ √ √ 3

2 2 – 2 = …

10.

(A) 4 2 (B) 3 +

5.

(C) MAT DASAR SIMAK UI 2009

25

× 25

0,25

× 25

0,25

0,25

× … × 25

= 125

Nilai dari (A) (B) (C) (D) (E)

(A) (B)

– 2 – 1 1 1,5 2

2+ 2+ 5 +

3

2

− +

1

+

1

=…

16 1 4

m1

√ √ √

MAT DAS SBMPTN 2013

m

m

+ 4 = 15, maka 8 = …

(B) 2 3 (C) 3 (D) 3 (E) 6

MAT DAS SBMPTN 2013


 

13. Jika 8m = 27, maka 4m2 + 4m = … (A) 12 (B) 15 (C) 18 (D) 21 MAT DAS SBMPTN 2013 (E) 24

Nilai 0,5 + 0,6 adalah … (A) 12,10 (B) 11,10 (C) 1,31 (D) 1,21 TPA SNMPTN 2011 (E) 1,11

8.

Jika 53 + 53 + 53 + 53 + 53 = 5n , maka nilai n adalah .. (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 15 TPA SNMPTN 2011 (E) 243

 √ 3

(A) 6,9 (B) 7,9 (C) 8,9 (D) 9,9 (E) 10,9

2

MAT DAS SIMAK UI 2012

(A) 3 3

2

0,81 + 0,81 +

2

12. Jika 4

5 – 3 – 3 adalah …

7.

9.

4 25

(C) 4 (D) 16 (E) 64

 √   √ 3

(D)

25

11. Jika 9m 1 + 9m 1 = 82, maka 4m

n faktor 2 maka (n (n – 3) 3) (n – 2) = … (A) 24 (B) 26 (C) 28 (D) 32 (E) 36 MAT DAS SNMPTN 2010 6.

=…

(E) 25

Jika n memenuhi: 0,25

54020  54016

(A) 1 (B) 3

2

(C) 2 (D) 1 (E) 0

54022  54018

512 512 = …

13. Diketahui a, b, dan c bilangan real yang didefinisikan sebagai berikut. a = b =

  √   √ √ √ 6+

20 20 +

6 + 6 +… 20 20 + 20 20 +…

Nilai a + b = … (A) 26 26 (B) 8

(C) 2 26 26 (D) 16 (E) 26

MAT DAS SIMAK UI 2013 TPA SNMPTN 2011


14. Jika a dan b adalah bilangan bulat positif yang memenuhi persamaan ab = 220 – 219 maka nilai a + b adalah .... (A) 3 (B) 7 (C) 19 (D) 21 MAT DAS SBMPTN 2014 (E) 23

2 x

19. Jika A = 2, maka

(C) 10

20.


3

16. Misalkan a =

124 124

65 65 , b =

3

124 124

33 18

 √ √  +  √ √   √ √ √ √ √ 5+2

52

5+1

– 3

2 2 =…

c= 65 65 65 65 . Hubungan yang benar antara a, b, dan c adalah … (A) a < b < c (B) a < c < b (C) c < b < a (D) c < b < a (E) c < a < b MAT DAS SIMAK UI 2014

√ √ √ √ √ a + 3 =

a + 1, maka

5

2



65 65 , dan

√

2

(E) none of these Basic Mathematic SIMAK UI KKI 2013

21. If i (A) (B) (C)

2

1 1

= – = – 1 then 2( 2( – 1024 1024 – 1024i 1024i 0

18

18

i) + (  i) i = … (D) 1024 (E) 1024i 1024i

Basic Mathematic SIMAK UI KKI 2013

a+1=…

3

5

(D)

3

(A) (B) (C) (D) (E)

9

(C)

    √ √ √ √ √ √  √ √  √

18. Nilai

33

(B) 2 2 – 2 2

(E) 10

(D) 5 (E) 3

18

(A) 1

9999

(C)

=…

TKPA SBMPTN 2016

1099  1

(A) 2 (B) 2

3 x

32

(E)

(D) 10

17. Jika

 A

9

(D)

10100  1 10

3 x

A

31

(C)

(A) 10

99

5 x

18

(B)

10100

(B) 10

 A

31

(A)

15. Dalam basis 10, bilangan bulat positif p p memiliki 3 digit, bilangan bulat positif q memiliki p p digit, dan bilangan bulat positif r memiliki memiliki q digit. Nilai terkecil untuk r adalah r adalah …

 

5 x

A

4

22. If x If x integer, integer, and ( x + 2) + x + x4 = 82, then ( x + 1) (A) 1 (D) 16 (B) 4 (E) 25 (C) 9

MAT DAS SBMPTN 2015

2

= …

Basic Mathematic SIMAK UI KKI 2015

     

100 101 102 103 + 1 = …

10101 10201 10301 10401 10501



3

2. LOGARITMA Pertidaksamaan Harga Mutlak Logaritma

Logaritma merupakan invers dari Eksponen a



(i)

ab = c

log c = b

p

-a < log f(x) < a

syarat: a>0, a 1, dan b>0. a adalah bilangan pokok; b disebut numerus.  untuk bilangan pokok 10, tidak perlu ditulis.

log p

a

log p

a

 

a

a

a

p

a

m

log

a



p

log f(x) > a dengan a > 0 maka: p

logf(x)< -a atau

logf(x)> a

Syarat: p > 0, p 1, dan f(x) > 0

log q = log (p.q) log q =



(ii) Jika

Sifat-sifat Logaritma a



p

Jika log f(x) < a dengan a>0 maka:

 p q

SOAL LATIHAN:

logb = m . log b

an

m

m

logb =

n

p

a

log b =

a

log b

(a)

a

.

b

log x

1.

a

. log b log b

p

log a

log c

.

a

b

nilai log b + 1

=

Jika b = a3 dengan a dan b bilangan bulat positif, maka (A) 0 (B) 1

b

log a

c

a

log d = log d

(am )

= x

log a = …

an

8

(C) log x

m n

= x

3 10

(D)

3

(E) 6 Persamaan Logaritma


a

Jika log f(x) = b maka f(x) = ab

a

Jika log f(x) =

2.

a

logp maka f(x) = p

a

a

log g(x) maka f(x) = g(x)

syarat: a > 0, a ≠ 1, f(x) > 0 dan g( x) > 0

[

] [ 2

p

p

]

Nilai

a logf(x) + b logf(x) + c = 0

3.

syarat: p> 0, p ≠ 1, danf(x) > 0

log

1

b

b

2

log

(A) – 14 (B) – 12 (C) – 10 (D) – 8 (E) – 6

syarat: a > 0, a ≠ 1, f(x) > 0 dan p>0 Jika log f(x) =

    a

syarat: a > 0, a ≠ 1 dan f(x) > 0

2

1

c2

c

log

1

a3

= ….

MAT DAS SNMPTN 2010

2

Jika log3 = a dan log5 = b, maka 30

( √ ) 3

log 75 10 = …

Pertidaksamaan Logaritma  Untuk a > 1

(i)

a

a

(ii)

a

a

(A)

logf(x)> logg(x), maka f(x)> g(x) logf(x)< logg(x), maka f(x) < g(x)

(B)

 Untuk 0 < a < 1

(i)

a

a

(ii)

a

a

logf(x)> logg(x), maka f(x) < g(x) logf(x)< logg(x), maka f(x) > g(x)

Syarat: f(x) > 0 dan g(x) > 0 .

(C) (D) (E)

1 + a + 7b 3+a+b 1 + 3a + 7b 3 + a + b 1 + 3a + 7b 3 + 3a + 3b 1 + 7a + 3b 3 + a + b 1 + 7a + 3b 3 + 3a + 3b MAT DAS SIMAK UI 2010

4


4.

Jika ( p, q) merupakan penyelesaian dari sistem berikut: 3

log x 

3

2

2

log 5 .

8.

log y = 4

  4 

(A) (B) (C) (D) (E)

2

log x – log y = 1,

maka nilai p – q = … (A) 2 (B) 4 (C) 5 (D) 9 (E) 13 5.

9. MAT DAS SIMAK UI 2010

Jika x memenuhi persamaan x

Nilai

2

log x

log 5 +

3

2

3

log 5.

0 1 2 5 6

6

log 5 .

log 5

=…

log 5


Jika 6(3

40

)( 2log a) + 341 ( 2log a)= 343 , maka nilai a

adalah … (A)

= 16,

4

maka log x2 = …

(B)

(A) 2 atau – 2 (B) 4 atau

6

1 8 1 4

(C) 4

1

(D) 8

4

(E) 16

MAT DASAR SNMPTN 2011

(C) 1 atau – 1 (D) 4 atau – 4 (E) 2 atau

6.

1


2

Jika log

2

log x +

2

log

4

(A)

log x = 2, maka

log a = 1 di mana

√

√

2




11. Jika solusi dari persamaan 5 x 5 = 7 x dapat dinyatakan dalam bentuk x =

log x +

3

2

a

(E) a1 

(A)

Jika ( p, q) merupakan penyelesaian dari sistem berikut: 3

b

a2 +1

(D) a2


7.

log b +

(B) 2 a (C) 2a

log x + x + 5 = … (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 5 (E) 16

a2

a, b > 0 dan a, b  0, maka nilai a + b adalah …

( ) ( )  √

4

5

10. Jika diketahui bahwa

2

(B) (C)

log y = 4

 ( ) 2

4

2

log x – log 4 y = 1,

makanilai p – q = … (A) 2 (B) 4 (C) 5 (D) 9 (E) 13

(D) (E)

12 5 7 7 5 12 7 12 5

12. Jika log a = 2 dan a + b adalah … (A) 15 (B) 13 (C) 9 (D) 5 (E) 4


log 55 , maka nilai a = …

5

3


a


( )( ) 2

log a

a

log b = 2, maka nilai

MAT DAS SNMPTN 2012

5

13. Jika diketahui xyz = 26 dan

( )( ) ( )( )   2

2

log x

log xy + 2

x, y, z ≥ 0, maka (A) (B) (C) (D) (E)

2 3 4 5 6

2

log y

log z = 10 dengan

2

2

log x

2

2

log y + log z = …


(( ) )

3

3

3 log b – 2 2 3 6 9 12

log b = 1 dan

(B) MAT DASAR SBMPTN 2013

6

3

log x  log x +

9

6

3

9

6

log

log8

1 48 162

(A) (B) (C) (D) (E)

(A) MAT DAS SIMAK UI 2013

 ( )  ( )  ( ) log

50 58 89 111 1296

log 3

42 17


6 p

log2 = 8 dan

1 1

q

log8 = 4. Jika s = p4 dan

t

log s adalah …

4

3 2 3 3 2

TKPA SBMPTN 2015

20. Diketahui log2 5 = b dan log5 3 = c, maka nilai dari

3

2

6 29

(E) 3

9

1

3

1

log x  log x + log x  log x,

maka nilai x adalah …

4

(C) (D)

log x  log x  log x =

log

=…

4

t = q 2 , maka nilai (A)

2

b

3

19. Diketahui

log a = – 2, maka nilai ab adalah

3

16. Jika

(E)

a

3

15. Diketahui bahwa

(2) (3) (4)

(B) –

√  3

log

(A) – 3

2

(D)

3

(1)

log a = 4, maka

(C) –

14. Jika log a – 2 (A) (B) (C) (D) (E)

2

18. Jika

ab

ab

4

3

log x

log x

=

log

4

log

2

log y

=

= 0, nilai dari x + y + z = ….

(B) (C) (D) (E)

 √  √  5+2 6

52 6 =…

3c + 2b c 3b + 2c cb 2 + bc 6 3 + 2bc 6 4 + 2c


3b

21. Misalkan a, b, c dan d adalah bilangan-bilangan bulat MAT DAS SIMAK UI 2013

positif dimana

a

log b =

3 2

dan

c

5

log d = . 4

2

17. Jika log (log x) = log ( log (1 + y)) + log 2 dan log ( x – 5) = 2 log y, maka x + y = … (A) 7 (B) 11 (C) 15 (D) 17 TKPA SBMPTN 2014 (E) 20

6

Jika a – c = 9, maka nilai dari (a  c) – (b – d ) adalah … (A) – 12 (B) – 10 (C) – 8 (D) – 4 MAT DAS SIMAK UI 2015 (E) – 2


3. PERSAMAAN KUADRAT Rumus Khusus menyusun Persamaan Kuadrat

Bentuk Persamaan Kuadrat: ax2 + bx + c = 0

Akar-akarnya Saling Berkebalikan: Akar-akar Persamaan Kuadrat (PK):

cx2 + bx + a = 0

− ± −

(x – x1)(x – x2) = 0

2

b

x1, x2 =

b

Akar-akarnya Berlawanan Tanda:

4ac

ax2 − bx + c = 0

2a

Jumlah, perkalian dan selisih akar-akar PK: x1 + x2 =

−

b

x1.x2 =

a

c

|x1 – x2| =

a

Akar-akarnya n kali akar-akar semula:

√

ax2 + nbx + n2 c = 0

D

a

Akar-akarnya n lebihnya dari akar-akar semula:

 

Beberapa rumus aljabar yang perlu diingat: 2

2

2

A + B = (A+B) – 2AB 3

2

A –B = (A+B)(A–B) 1

3

3

A +B = (A+B) –3AB(A+B)

A

1

+

=

B

≠

a x

AB

SOAL LATIHAN:

≥

0

1.

Jika kedua akar persamaan

D>0

Real, kembar (x1= x2)

D=0

Imajiner (tidak nyata)

D<0

Kedua akarnya positif

x1+x2>0, x1.x2> 0, D 0

(C)

x1+x2<0, x1.x2> 0, D 0

(D)

Kedua akar berlainan tanda Kedua akarnya berlawanan (x1=–x2)

(A)

  1 x2

≥ ≥

m 1

a+b ab a-b a+b 1 c

(E) 1


x1+x2<0, D > 0

2. x1+x2 = 0, b = 0

x1.x2 = 1, c = a

Menyusun Persamaan Kuadrat Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya

=

(B) c

Kedua akarnya

berkebalikan x1 =

−− −+

x2 bx

saling ax c m 1 berlawanan tanda, tetapi mempunyai nilai mutlak yang sama, maka nilai m sama dengan …

Real, berbeda (x1 x2)

Kedua akarnya negatif

n 2 + b(x + n) + c = 0

Syarat D

Real (Nyata)

n 2 + b(x−n) + c = 0

Akar-akarnya n kurangnya dari akar-akar semula:

A+B

Jenis-jenis akar Persamaan Kuadrat: Jenis-jenis akar PK

a x

2

 dan  adalah:

3.

x2 – ( + )x + . = 0

Misalkan selisih kuadrat akar-akar persamaan x2 – (2m +4) x + 8m = 0 sama dengan 20. Maka nilai m2 – 4 = ... (A) – 9 (B) – 5 (C) 0 (D) 5 MAT DASAR SIMAK UI 2009 (E) 9 Jika akar-akar persamaan x2 – ax + b = 0 memenuhi persamaan 2 x2 – (a+3) x + (3b – 2) = 0, maka … (1) a = 3 (2) b = 2 (3) 2a – 2ab + 3b = 0 (4) ab = 5 MAT IPA SIMAK UI 2009


7

4.

Jika jumlah kedua akar persamaan kuadrat x2 – (2 p – 1) x – 3( p+2) = 0 sama dengan hasil kali keduanya, maka harga mutlak dari selisih kedua akar persamaan kuadrat tersebut adalah (A) 0 (D) 3 (B) 1

√

(C)

5.

(E)

3

5

1

x2 + bx + a = 0, maka nilai a + b adalah …

4

(A)

√

(B)

21

(C) (D)

MAT IPA SIMAK UI 2009

+ − + 5

2 x

= 126, maka x1 + x2 = …

1

(A) 25

(D) – 1

(B) (C)

(E) – 3

5

5 1

(E)

32 2 0 – 2 – 32


(4) 6.

Persamaan x2 – ax – (a + 1) = 0 mempunyai akar-akar persamaan x1> 1 dan x2< 1, untuk … (A) a < 0 (D) – 2 < a < 0 (B) a > 0 (E) a = – 2 (C) a > – 2 MAT DASAR SNMPTN 2010

7.

Persamaan x2 + ax + (a – 1) = 0 mempunyai akar-akar persamaan x1> 1 dan x2< 1, untuk … (A) a  0 (B) a > 2 (C) a > 0

(D) a < 0 (E) a < 2

Persamaan kuadrat yang mempunyai akar a dan b sehingga

1



a

+

1 b

=

7 10

adalah …

x2 10 x + 7 = 0 x2 + 7 x + 10 = 0 x2 + 7 x – 10 = 0 x2 – 7 x + 10 = 0 x2 – 7 x – 10 = 0

(A) (B) (C) (D) (E)

−

(1) (2) (3) (4)

8

 

Nilai x yang memenuhi 2 3 x

log x2 1

2 x + 2 =


12. Jika p+1 dan p – 1 adalah akar-akar persamaan x2 – 4 x + a = 0, maka nilai a adalah … (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 MAT DAS SNMPTN 2012 (E) 4

Jika x1 2 – 2 x1 x2 + x2 2 = – 2a, maka nilai a = … (A) – 8 (B) – 4 (B) 0 (C) 4 MAT DASAR SIMAK UI 2012 (E) 8

2

(A) – (B) –

log4 adalah …

(C)

3

(D)

1 2 3 1 4

16

.

14. Persamaan kuadrat x2 – ( p + 2) x – p = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2. Jika x2( x1 + 1) = – 2, maka nilai p adalah … MAT IPA SNMPTN 2010

9.

1

Hasil kali kebalikan akar-akarnya – .

13. Akar-akar persamaan 2 x2 – ax – 2 = 0 adalah x1 dan x2.


8.


11. Akar-akar persamaan kuadrat x2 – 6 x + 2a – 1 = 0 mempunyai beda 10. Yang benar berikut ini adalah .... (1) Jumlah kedua akarnya 6. (2) Hasil kali kedua akarnya – 16. (3) Jumlah kuadrat akar-akarnya 68.

Jika x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan x 1

10. Jika 2 adalah satu-satunya akar persamaan kuadrat

8 5 5 8

5 8 8 5

(E) 2

MAT DAS SBMPTN 2013



√

15. Diketahui 2 – 63 adalah salah satu akar dari x2 + px + q = 0, dengan q adalah bilangan real negative dan p adalah bilangan bulat. Nilai terbesar yang mungkin untuk p adalah … (A) – 5 (B) – 4 (C) 4 (D) 5 (E) 6 MAT DASAR SIMAK UI 2013

20. Misalkan dua persamaan kuadrat mempunyai satu akar yang sama, yaitu 2 dan akar-akar lainnya berkebalikan. Jika salah satu persamaan itu adalah x2 – ax + 6 = 0, maka persamaan kuadrat ainnya adalah . . . (A) x2 + x – 6 = 0 (B) 3 x2 – 7 x + 2 = 0 (C) 3 x2 + 4 x – 6 = 0 2

(D) x2 – x + = 0 3

2

(E) 2 x – 3 x – 4 = 0 TKPA SBMPTN 2016

16. Jika a dan b adalah akar-akar real per samaan x2 + 3 x + 2 = (A) (B) (C) (D) (E)

2 x2 +

maka nilai ab = ...

3 x + 3

-3 -2 -1 1 2

1  2log x x

MAT DASAR SBMPTN 2014

17. Agar persamaan x2 + 2 x + p = 0 dan x2 + x – 2 = 0 mempunyai sebuah akar yang sama maka nilai p adalah ... (A) 0 atau -3 (B) 1 atau 2 (C) -1 atau -2 (D) 3 atau -3 (E)

1

atau

2

1

x

3

x1 + x2 = 2  log 2 + 1, maka a = … 27 24 18 12 6 a

(B) (C) (D) (E)

( ( (

(B)

20

(C)

30

(D)

60

(E)

90

1 2 +3 x

1 x

MAT IPA SBMPTN 2016

= 10 has solution x1 and x2, (D) 3 (E) 10

3

) ) )

log3 + log 4 3

log3 – log 4 3

2

2

2

log3  log4

2

log3 + log 4 – 2

3

(A) – 1

(D)

(B) 1

(E)

(C)

a+b ba ab ab

a+b ab Basic Mathematic SIMAK UI KKI 2015

3

log3 + log4

2

10

22. If the roots of (m – 1)( x2 + bx) = (m+1)(ax – c) are equal but have opposite signs, the value of m must be …

b

2

√ √ √ √ √    

then x1 + x2 = … (A) – 5 or 2 (B) – 2 or 5 (C) – 3

TKD SAINTEK 2015

19. Jika 2 = 3 dan 3 = 4, dimana a dan b adalah akarakar dari suatu persamaan kuadrat, maka nilai diskriman dari persamaan kuadrat tersebut adalah … 2

– log 10 = log 1 adalah …

Basic Mathematic SIMAK UI KKI 2013 x

(A)

log 10

(A)

22. If


3

18. Jika x1, x2 adalah akar-akar 9 – 4 3 + a = 0 di mana (A) (B) (C) (D) (E)

21. Hasil kali semua nilai real x yang memenuhi

23. Consider an equation of the form x2 + bx + c = 0, if b and c are selected from the integers 1, 2, …, 8. The number of equation that have real roots is … (A) 33 (D) 36 (B) 34 (E) 37 (C) 35 Basic Mathematic SIMAK UI KKI 2015

2



9

LATIHAN SOAL:

4. FUNGSI KUADRAT Persamaan fungsi kuadrat:

y = ax2 + bx + c

1.

Rumus dan Syarat

Nilai

xp =

Sumbu Simetri

yp =

Nilai Ekstrem

− −

1

(A) – 2 2

(B) – 1

2a

(E) –

3

D

1

(C) – 1

4a

Nilai Minimum

jika a > 0

2.

D = b2 – ac D disebut “diskriminan” A. Pengaruh a dan D Terhadap Gambar Fungsi Syarat

Gambar

1 4

1 3

MAT DAS SNMPTN 2009

3

jika a < 0

Gambar

(D) – 1

3

b

Nilai Maksimum

Syarat

Parabola y = ax2 + bx + c melalui titik (0, 1), (1, 0) dan (3, 0). Jika titik minimum parabola tersebut adalah ( p, q), maka q = …

Jika fungsi kuadrat y = f ( x) mencapai minimum di titik (1, – 4) dan f(4) = 5, maka f ( x) = … (A) y = 4 x2 + x + 3 (B) y = x2 – 3 x – 1 (C) y = 4 x2 + 16 x + 15 (D) y = 4 x2 + 15 x + 16 (E) y = x2 + 16 x + 18 MAT DASAR SPMB 2009

Jika a > 0

Jika a < 0

Jjika a > 0 dan D > 0

3.

Jika a < 0 dan D > 0

Diketahui fungsi mx2 – 2 x2 + 2mx + m – 3. Agar fungsi tersebut senantiasa berada di bawah sumbu x, maka nilai m yang mungkin adalah … (A) m < – 3 (B) m < – 2 (C) m < 1

Jika a > 0 dan D = 0

1 5

(D) m < 2

Jika a < 0 dan D = 0

(E) m < 3 MAT IPA SIMAK UI 2009

Jika a > 0 dan D < 0 disebut: Definit Positif

Jika a < 0 dan D < 0 disebut: Definit Negatif

4.

B. Menyusun Persamaan Fungsi Kuadrat Kondisi

Rumus

Bila diketahui titik puncak (x p, yp) dan titik lain (x, y).

y – yp=a(x–xp)2

Bila diketahui titik potong sumbu x (x1, 0), (x2, 0) dan titik lain (x, y).

y=a(x–x1)(x–x2)

Diketahui tiga titik sebarang. Menggunakan eliminasi dan substitusi

Grafik fungsi kuadrat f ( x) = ax2 + bx + c mempunyai sketsa gambar sebagai berikut. Pernyataan yang BENAR dari grafik fungsi f ( x) adalah … (1) (2) (3) (4)

a > 0 b > 0 b2 – 4ac > 0 c > 0

y=ax2+bx+c MAT IPA SIMAK UI 2009 Kode 944

10


5.

Grafik fungsi y = x2 – (a + 3) x + (a + 2) memotong sumbu x di dua titik ( x1, 0) dan ( x2, 0). Jika 0 < x1 < x2 dan x2> 2 maka … (1) (2) (3) (4)

9.

Fungsi f ( x) = x2 + ax mempunyai grafik berikut:

a – 1 a> – 2 a> – 1 a> 0


Grafikfungsi g ( x) = x2 – ax + 5 adalah … 6.

Jika fungsi kuadrat f ( x) = ax2 + bx + c melalui titik (0, 3) dan mencapai minimum di titik (-2, 1), maka a – b + c sama dengan ... (A) (B) (C) (D) (E)

7.

(B)

(E)

8.

(B)

(E)

2 5 2 3 2 2 9



3 2

SIMAK UI 2009

(C)

1 4 MAT DAS SNMPTN 2010

1 2

(C) 1 (D)

(D)

9

Diketahui fungsi kuadrat f ( x) = – x2 + x + 2. Dua buah garis singgung di titik yang merupakan perpotongan antara f ( x) dan y = 2 membentuk sebuah segitiga dengan garis y = 2. Luas dari segitiga yang terbentuk adalah .... (A)

(A)

3 2 5 2

SIMAK UI 2010

Jika fungsi kuadrat f mempunyai sifat f ( x) ≥ 0 untuk semua bilangan real x, f (1) = 0 dan f (2 ) = 2, maka nilai f (0) + f (4) adalah … (A) 25 (B) 20 (C) 15 (D) 10 (E) 5 SNMPTN 2011

10. Grafik fungsi y = ax2 + bx + c ditunjukkan di bawah ini. Pernyataan yang benar adalah … (A) ab > 0 dan a+b+c > 0 (B) ab < 0 dan a+b+c > 0 (C) ab > 0 dan a+b+c ≤ 0 (D) ab < 0 dan a+b+c < 0 (E) ab < 0 dan a+b+c ≥ 0


MAT DAS SNMPTN 2011

11

11. Kedua akar suku banyak s( x) = x2 – 63 x + c merupakan bilangan prima. Banyak nilai c yang mungkin adalah .. (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 MAT IPA SNMPTN 2011 (E) lebih dari 3 12. Jika f adalah fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik (1, 0), (4, 0), dan (0, – 4), maka nilai f (7) adalah … (A) – 16 (B) – 17 (C) – 18 (D) – 19 MAT DAS SNMPTN 2012 (E) – 20 13. Jika grafik fungsi kuadrat f ( x) = ax2 + bx + c mempunyai titik puncak (8, 4) dan memotong sumbu x negatif, maka … (A) a > 0, b > 0, dan c > 0 (B) a < 0, b < 0, dan c > 0 (C) a < 0, b > 0, dan c < 0 (D) a > 0, b > 0, dan c < 0 (E) a < 0, b > 0, dan c > 0 MAT DASAR SBMPTN 2013

12.

Jika gambar di samping ini adalah grafik fungsi kuadrat f dengan titik puncak (2, – 1) dan melalui titik (0, – 5), maka nilai f (5) adalah … (A) – 17 (B) – 15 (C) – 13 (D) – 12 (E) – 10

14. Grafik y = a x2 + bx + c tidak menyinggung dan tidak memotong sumbu x tetapi menyinggung garis y = x untuk ... (A) b < (B) b >

1 2 1 2

(C) b > 1 (D) b > 2 (E) 1 < b < 2


15. Diketahui titik minimum fungsi kuadrat y = x2 + bx + c adalah

 ,  5

1

2

4

. Jika grafik fungsi

tersebut melalui titik ( p, 0) dan (q, 0), maka nilai p2q + pq2 adalah … (A) – 30 (B) – 11 (C) 11 (D) 25 TKPA SBMPTN 2015 (E) 30 16. Jika grafik fungsi y = 4 – x2 memotong sumbu- x di titik A dan B, serta memotong sumbu- y di titik C , maka luas segitiga ABC adalah … (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 (E) 9 TKPA SBMPTN 2015

17. A particle projected vertically upward reaches at the end of t seconds, an elevation of s metres where s(t ) = 180t – 18t 2. The following statement(s) which is(are) TRUE is(are) … (1) Its acceleration is constant (2) Its highest elevation is reached at t = 5 (3) Its velocitiy at t = 5 is zero (4) Its highest elevation is 350 Basic Mathematic SIMAK UI KKI 2015

13. Jika f adalah fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik (-1, 0), (2, 0) dan (0, 2) maka nilai f (7) adalah .... (A) -8 (B) -16 (C) -24 (D) -32 MAT DASAR SBMPTN 2014 (E) -40

12


5. PERTIDAKSAMAAN b. Penyelesaian Pertidaksamaan Bentuk Pecahan

Sifat Pertidaksamaan Sifat 1: a
a+c
Contoh: 1<2, c = 3 2+3

 1+3

<

Sifat 3: 0 < a < b  an
Sifat2: a 0 a
bc

 3+1

3<4 dan 3.4>0 a

<0

b

ab<

2

3

<0

>

−− − −≥ x2

3x 2



x≤0

x2 3x 2 x

0 

(x 2)(x 1) x

0 dan x 0

Batas-batas nilai : x = 2 ; x = 1 dan x  0

≥

≤

Perhatian!  Tanda “ ” atau “ ” diberi bulatan penuh.

< 4+2

Tanda “>”, “<” atau “ ” diberi bulatan kosong.



b

Himpunan penyelesaiannya: 0 < x 1 1



>

3 4

1 atau x

2

c. Penyelesaian Pertidaksamaan Bentuk Akar

Sifat 8: 0, b  0

Contoh: Jika a = -2, b = 3

−

a

−– −+ ≥

3x 2

≤ x

≤ 0 x x (agar mudah pemfaktoran, kalikan dengan –1) 

1 1



3x 2

x Nolkan ruas kanan (tidak boleh kali silang!)

Contoh: 1<2 dan 2 < 3  1 < 3 Sifat 5: a
Jika a=–2, b=3, dan n=2 a0 -2<3  (-2)2.2+1< 32.2+1 -32 < 243 Contoh: Sifat 7:

Tentukan himpunan penyelesaian dari

Contoh: 3<4, c = 2  3.2 < 4.2 3<4, c = -2  3.(-2)>4.(2) Sifat 4: a < b dan b < c  a < c

Contoh: 3<4 dan 1<2 Sifat 6:

−

Contoh:

 ac

 -2.3<0  -6<0

a

>0

b

ab>

Contoh:

0, b  0

Contoh: Jika a = 2, b = 3 2

>0

3

 2.3>0  6>0

 −  −−

TentukanHpdari

2x

< x 1

x 6 x 3

− −− − − − −− − − − −

Langkah 1: Kuadratkan kedua ruas



2x

<

x 6

x 1 x 3 x 6 Langkah 2: Nolkan ruas kanan  – < 0 x 1 x 3 2x(x 3) (x 1)(x 6) Langkah 3: Cari pembuat nol  (x 1)(x 3) 2x

Penyelesaian Pertidaksamaan a. Penyelesaian Pertidaksamaan Bentuk Kuadrat

<0 

Contoh: Tentukanhimpunanpenyelesaian(Hp) pertidaksamaan x2 + 3x < 10 Langkah 1: Nolkan ruas kananx2 + 3x – 10 < 0 Langkah 2: Cari pembuat nol  (x + 5)(x – 2) < 0 x=–5 atau x=2 Langkah 3: Buat garis bilangan  Langkah 4: Buat tanda (“+” atau “–“ ) pada garis bilangan dan menentukan daerah penyelesaian.

−− −−

x2

5x 6

(x 1)(x 3)

<0



−− +−

(x 6)(x 1) (x 1)(x 3)

<0

−− ≥

Langkah 4: Syarat bilangan dalam akar ≥ 0 2x x 6 

−≥

x 1

0

dan

x 3

0

Langkah 5: Ketiga Hp pada Garis bilangan di atas di”iriskan”

Himpunan penyelesaiannya adalah:–5< x < 2 Himpunan penyelesaiannya adalah: –1 < x


0

13

d. Penyelesaian Pertidaksamaan Nilai Mutlak Sifat 1: |f(x)| Sifat 2: |f(x)| Sifat 3: |f(x)|

–a

|g(x)|

≤≤ ≤

a



a

 f(x)

|g(x)|

|f(x)| Sifat 4:

≤≥ ≤

≤

k

f(x)

a

–a atau f(x)

 (f(x)

(f(x)

≥

a

Pertidaksamaan 2 + 5 x – 3 x2 ≤ 2 – 5 x – x2 < – 6 – 7 x mempunyai penyelesaian … (A) x ≤ 0 atau x > 5 (B) x ≤ 0 atau x > 4 (C) x < – 2 atau x > 5 (D) –2 < x ≤ 0 atau 4 < x ≤ 5 MAT DAS SIMAK UI 2009 (E) 0 ≤ x < 4

6.

Diketahui a, b, dan c adalah bilangan real dimana a a > 1 dan < – 1 b c Pernyataan berikut yang BENAR adalah … (A) a + b – c > 0 (B) a > b (C) (a – c)(b – c) > 0 (D) a – b + c > 0 MAT DAS SIMAK UI 2009 (E) abc > 0

7.

Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan x 1 x > adalah … x 1 x 1 (A) –1 ≤ x < 1 (B) x > – 1 (C) x < 1 (D) x < – 1 atau x > 1 (E) x < – 1 atau – 1 < x < 1

≤ ≤

+ g(x))(f(x) – g(x))

+ k.g(x))(f(x) – k.g(x))

5.

0

0

SOAL LATIHAN:

1.

Bentuk |5 – 5 x| < 5 setara (ekuivalen) dengan … (A) – 5 < |5 – 5 x| (B) x | – 1| < 1 (C) 5 x – 5 < 5 (D) 5 x – 5 > – 5 (E) 0 < 5 – 5 x < 5 MAT DASAR SNMPTN 2009

2.

Jika a, b ≥ 0, maka pernyataan di bawah ini yang benar adalah … a b (A) ab ≤

√ + √ √ √ √ √ √ √ √  2

(B)

3.

4.

(C)

ab ≤ b a ab ab ≤

(D)

ab ≥ a b

(E)

ab ≤ ab

++ −

MAT DAS SNMPTN 2010

2

8.

 

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2

MAT IPA SNMPTN 2009

2 x + 1 ≥ |x + 1|, adalah …

(A) {x  R| x = 0}

(D) {x  R| x < 0}

Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan

(B) {x  R| x > 0}

(E) {x  R| x ≤ 0}

x + 3 – x (A) x ≥ – 3 (B) x ≥ 2 (C) x > 4 (D) x > 6 (E) x ≥ 18

(C) {x  R| x ≥ 0}


x2

−

3 3 x + 2

(A) x >

<

2 < 1 adalah … 9.


x2

−

5

benar untuk …

4 x + 3

(D) (E)

( x + 1)( x2 (A) 0 (B) 1 (C) 2

  2 x

1 adalah … (D) 3 (E) 4


2

1<

3 x2

−

7 x+ 8

x2 +

1

≤ 2 adalah …

x>3

(A) { x  R| x ≤ 3 atau x ≥ 3}

1

(B) { x  R| 2 ≤ x ≤ 3}

2

< x < 3

2 < x < 3

(C) { x  R| x ≤ 1 atau x ≥ 6} MAT DASAR SIMAK UI 2009

(D) { x  R| 1 ≤ x ≤ 6} (E) { x  R}

14

7) ≥ x2

10. Himpunan penyelesaian dari

1

(B) x > 2 (C)

Banyaknya bilangan bulat negatif yang memenuhi pertidaksamaan



11. Nilai y yang memenuhi (A) (B) (C) (D) (E)

0 < y ≤ 1 0 < y < 1 y ≤ 0 atau y > 1 y < 0 atau y ≥ 1 y < 0 atau y > 1

1

1

– < 1 adalah … y y  1

MAT DAS SNMPTN 2010


−( +( −+ )− )

16. Semua nilai x yang memenuhi ( x + 3)( x – 1) ≥ ( x – 1) adalah … (A) 1 ≤ x ≤ 3 (B) x ≤ – 2 atau x ≥ 1 (C) – 3 ≤ x ≤ – 1 (D) – 2 ≥ x atau x ≥ 3 (E) – 1 ≥ x atau x ≥ 3 MAT DAS SNMPTN 2012 17. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

(A) { x  R| x < – 3 atau x > 4}

 + − −−   

(B) { x  R| – 3 < x < 4}

(A)

(2 x

8

7) 12

x2

x

x

2

x

2 3

6

< 0 adalah …

x2

2 x 3

x2

x 6

7

(B)

2

(C)

(D) { x  R| 1 < x < atau x > 4} (E) { x  R|

2

x x

1 2

adalah …

(C) { x  R| – 3 < x < – 2 atau 1 < x <4}

7

<

< x < 4}

(D) (E)


           |     |      √ √ √ √ √ √ √ √ √    2 < x ≤ 13 , x  R 1 , x  R x x ≤ 3  2 < x ≤ 3 1 x x <  1 < x ≤ 3, x  R 3 x x ≤ 3  2 < x ≤ 1, x R x 3 ≤ x < 2  1 ≤ x < 3, x R x x <

3


13. Semua nilai x yang memenuhi x2  2 x  2

−+ + 2

3 x

(A) (B)

4 x

1 3 1 3

1)( x2

2

1)

≤ 0 adalah …

< x < 1

(D) x <

≤ x < 1

(E) x <

(C) x ≤

1 3

1 3 1 3

atau x > 1

(1) (2)

atau x ≥ 1

(3)

atau x > 1

(4) MAT IPA SNMPTN 2011

√  √

14. Pertidaksamaan x2 x < 2 mempunyai himpunan penyelesaian … (A) { x | – 1 < x < 2} (B) { x | – 1 < x ≤ 2} (C) { x | –1 ≤ x ≤ 2} (D) { x | 1 ≤ x < 2 atau – 1 < x ≤ 0} (E) { x | 1 ≤ x ≤ 2 atau –1 ≤ x ≤ 0}

2

{ x| 2 – 2< x <3 – 3}

{ x | 3 – 3< x <3 + 3}

{ x | 2 + 2< x <3 + 3}

{ x | x < 2 – 2 atau x >3 + 3}


19. Himpunan Penyelesaian dari … (A) { x | x ≤ 1} (B) { x | – 5 ≤ x ≤ – 2} (C) { x | x ≤ – 1} (D) { x | x ≤ – 2} (E) { x | –3 ≤ x ≤ – 2}


15. Semua nilai x yang memenuhi ( x + 5)( x – 3) < ( x – 3) adalah … (A) x > – 4 (B) x < 3 (C) – 4 < x < 3 (D) – 3 < x < 5 MAT DAS SNMPTN 2012 (E) x < 0 atau x > 1

2

18. Diberikan ( x 1) ( x 4) < ( x 2) . Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah …

1

x ≥ x + 3 adalah


20. Nilai-nilai x yang memenuhi x – 2 ≤ |1 – 2 x| adalah … (A) Semua bilangan real (B) x ≥ – 1 atau x ≤

1 2

(C) –1 ≤ x ≤ 1 (D) x ≤ – 1 atau x ≥ 1 (E) x ≤

1 2

atau x ≥ 1 MAT IPA SIMAK UI 2012


15

21. Jika – 2 < a < – 1, maka semua nilai x yang memenuhi pertidaksamaan (A) (B) (C) (D) (E)

− −

x2  2 x x2

3a

4 x

x > – 4 x < – 2 – 4 < x < 0 x < – 4 atau x > 0 x < – 2 atau x > 1

x + 5

+

  1

x

(A) 1 (B) 2 (C) 5

7

+

1

x

5

+

≥ 0 adalah …

8

MAT DAS SBMPTN 2013

x + 7



1 x + 2

≥

16

adalah … (A) { x | x ≤ – 3 atau x ≥ 2} (B)

1

(C) (D) (E)

≥ 0 adalah … (D) 6 (E) 7


23. Misalkan a adalah banyaknya faktor prima dari 42 dan b adalah akar bilangan bulat dari 3 x2 – 5 x + 2 = 0.

 

b

Nilai-nilai y yang memenuhi

2

log y2  a > 1

adalah ....

√√ √ √ √

(A) – 2 < y < – 3 atau



2 1 8 + 2 x  x

22. Banyaknya bilangan bulat lebih kecil dari 8 yang memenuhi pertidaksamaan 1


(A) (B)

(D)

(B) – 2 < y < 3 atau y > 2 (C) – 3 < y < 3 atau y < – 2 atau y > 2 (D) y < – 2 atau y > 2 MAT DAS SIMAK UI 2013 (E) – 2 < y < 2

x | x ≤ –3 atau x ≥ x | x ≤ –2 atau x ≥ x | x ≤

3

atau x ≥

8

x | x ≤ 2 atau x ≥

   

3

8 8 3 8

8 3

3

TKPA SBMPTN 2014

27. Himpunan penyelesaian x yang memenuhi 2 pertidaksamaan 4 – 3 x ≤ x – 4 x ≤ 2 + 6 x ≤ 5 adalah …

(C)

3 < y < 2

   

(E)

   {

1

x  R | x ≤

1

17

√ 

1  17

 √  √ √  √ } 2

2

2

≤ x ≤

2

atau x ≥

1

x  R | x ≤ x  R |

−√

1  17 2

x  R | 5  3 3 ≤ x ≤

1

2

x  R | 5  3 3 ≤ x ≤ 5 + 3 3


28. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 24. Penyelesaian pertidaksamaan (A) (B) (C) (D) (E)

x + 3

−

x 1

x < -1 atau 1 < x < 3 x < -1 atau x > 3 x < -1 atau x > 1 x > 3 atau -1 < x < 1 -1 < x < 1 atau 1 < x < 3

adalah …

> x adalah ...

(A)

{ x  R | x < 0}

(B)

{ x  R | – 1 < x < 0}

(C)

{ x  R | 0 < x < 1}

(D)

{ x  R | x < – 2 atau x > 1}

(E)

{ x  R | x < – 1 atau x > 0} TKPA SBMPTN 2015

TKPA SBMPTN 2014

29. Nilai c yang memenuhi

− −

25. Semua nilai p yang memenuhi pertidaksamaan p p 1 < adalah … p 2 p  2 (A) p > 2 atau p < – 2 (B) – 2 < p <

2

(C) p < – 2 atau (D)

2 5

2 5

(A) (B) (C)

)

3 x2 + 6 x  c

c < – 27 c < – 29 c < – 31

(

(0,25)

< p < 2 dengan p  0

(E) – 2 < p < – atau p > 2 5

TKPA SBMPTN 2014

)

3 x2 + 2 x  15

adalah …

MAT IPA SBMPTN 2015

)

3 x2  2 x  4

(A) – 4 < c < 0 (B) 0 < c < 4 (C) c < – 4

(

< (0,0625) (D) c > – 31 (E) c > – 33

30. Nilai c yang memenuhi

< p < 2

2

16

(

(0,25)

dan p  0

5

−

x 2 >3 x

(

)

x2 + x  c

< (0,0625) adalah … (D) c < 4 (E) c > 4 MAT IPA SBMPTN 2015


31. Misalkan a, b, c, d  R+ , maka pernyataan berikut yang BENAR adalah … (1) (1 – a)(1 – b)(1 – c)(1 – d ) > 1 – a – b – c – d (2) (3) (4)



3

3

3

(

a + b + c ≥ 3abc

36. If

3

(A) – 2 < x < –

2

(B) – 2 < x ≤ 3 (C) –1 ≤ x ≤ 3

a2 + a + 1 b + b + 1 ≥ 9ab

(a + b)(b + c)(a + c) ≥ 8abc

3

(D) – < x ≤ – 1


2

(E) x > 3

32. Jika a, b > 0, maka pertidaksamaan berikut yang BENAR adalah … (1) (2) (3) (4)

a b

+

b

≥2

(  )    √ a

2

2 a + b a

b

2

1

1

2

≥

≥ a

b

≥

2

ab 4

 | − | −  − a

+

b

a

b

 

log x2 + 1 < 1, and 2 x + 4 < 1 then the

values of x satisfy …

)

2

(2 x + 4)


Basic Mathematics SIMAK UI KKI 2013

√

37. The inequality y – x < x2 is satisfied if and only if … (A) y < 0 (B) y > 0 or y < 2 x (C) y2 < 2 xy (D) y < 0 or y < 2 x (E) x > 0 and y < 2 x Basic Mathematics SIMAK UI KKI 2013

33. Pernyataan yang benar mengenai pertidaksamaan x 2 | x 1| < 1 adalah … | x 3|

a c < < 1, then … b d d 1< c d b < c a b + d bd < a + c ac d bd < c ac

38. If 0 <

(1) Ada bilangan real negatif yang tidak memenuhi pertidaksamaan. (2) Semua bilangan real kecuali 3 memenuhi pertidaksamaan. (3) Ada sejumlah berhingga bilangan bulat positif yang memenuhi pertidaksamaan. (4) Banyaknya bilangan bulat yang tidak memenuhi pertidaksamaan ada 1.

(1) (2) (3) (4)



34. Semua bilangan real x yang memenuhi

2 x 2 x

1 (A) x < – atau 0 < x < 4 2

2

(B) x < – atau 0 < x < 3 3 3 (C) x < – atau 0 < x < 4 2 3 (D) x < – atau 0 < x < 3 2 3 (E) x < – 2

>

x

–3 ≤

3

is …. (1) x < – 1

  5 x  1

x2

 x + 1

<2

(3) x > 3

1

1

2

2

(2) – < x <

(4)

1 2

< x < 3


TKPA SBMPTN 2016

35. Semua bilangan x yang memenuhi adalah … (A) x < 0 (B) 0 < x ≤ 2 (C) 0 ≤ x < 4

+ − 3

39. The values of x satisfying the following inequality

x

| |

x  2  x ≥1 2  |x  2|

(D) 2 ≤ x < 4 (E) x > 4 TKPA SBMPTN 2016


17

6. PERSAMAAN GARIS Jarak Titik dan Jarak Dua Garis

Bentuk Persamaan Garis Eksplisit:

y = mx+ c

Implisit:

m = gradien; garis melalui (0, c).

Kondisi

ax+by+c=0 m=–

a b

Garis yang melaui titik (x1, y1) dan (x2, y2) mempunyai gradien: m =

Syarat

y2 - y1 x 2 - x1

Jarak titik (x1, y1) ke garis Ax + By + C = 0

d=

Jarak dua garis sejajar: g1:Ax + By + C1 = 0 g2: Ax + By + C2 = 0

d=

Melalui titik (x1, y1) dan bergradien m

C1 C2 2

A

2

B

Menyelesaikannya dengan metode eliminasi, substitusi dan grafik

Melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2)

Jika aq ≠ bp, maka SPL akan mempunyai satu penyelesaian (kedua garis berpotongan)

x - x1 y - y1 = y2 - y1 x2 - x1 

2

B

ax + by + c = 0 px + qy + r = 0

y – y1 = m(x – x1) 

2

7. SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)

Membentuk Persamaan Garis 

Ax1 By1 C A

Garis membentuk sudut  dengan arah sumbu x positif mempunyai gradien: m = tan

   +     + 

Jika aq = bp, maka SPL tidak mempunyai penyelesaian (kedua garis sejajar)

Diketahui gambar grafik/garisnya

Jika aq = bp dan cq = br, maka SPL mempunyai tak hingga penyelesaian (kedua garis berimpit) . SOAL LATIHAN:

1. Hubungan Dua buah Garis Jika dua garis yang sejajar mempunyai gradien yang sama (m1=m2) Jika dua garis yang saling tegak lurus mempunyai perkalian gradien sama dengan -1 (m1.m2 = -1)

    

Jika dua garis membentuk sudut  maka : tan  =

m1 m2 1 m1 m2

Garis yang sejajar dengan garis ax + by = c dan melalui titik (x1, y1) persamaannya adalah:

(A)

ax + by = ax 1 + by1

(B)

Garis yang tegak lurus dengan garis ax + by = c dan melalui titik (x1, y1) persamaannya adalah:

(C)

bx– by = bx1–ay1

18

Pak Rahman mempunyai sekantong permen yang akan dibagikan kepada anak-anak. Jika tiap anak diberi 2 permen, maka di dalam kantong masih tersisa 4 permen. Namun, bila tiap anak diberi 3 permen, aka nada 2 anak yang tidak mendapat permen dan 1 anak mendapat 2 permen. Jika x menyatakan banyak permen dalam kantong dan y menyatakan banyak anak, maka sistem persamaan yang mewakili masalah di atas adalah …

  

x + 4 = 2 y x  7 = 3 y

(D)

x  4 = 3 y x  7 = 2 y

(E)

x  4 = 3 y x  7 = y

 

x + 4 = y x  7 = 2 y x  4 = 3 y x  7 = 3 y

MAT DAS SNMPTN 2009




px  qy = 8 3 x  qy = 38 memiliki penyelesaian ( x, y) = (2, 4), maka nilai p adalah … (A) 40 (B) 22,5 (C) 21,5 (D) 20 MAT DAS SNMPTN 2009 (E) 8

2.

Jika sistem persamaan

3.

Diketahui system persamaan: y + 5 y + 8 x + z

–

4.

3 5 7 9 10

x + z

18 2 x + y + z 6

2 x + y + z

√  

Nilaidari y + x2 (A) (B) (C) (D) (E)

2

2 xz

=4

5.

Peserta SNMPTN tahun 2010 naik 10% disbanding tahun lalu. Peserta perempuan naik 20%, sedangkan peserta laki-laki naik 5%. Jika banyak peserta laki-laki tahun lalu 300 ribu orang, maka banyak peserta SNMPTN tahun 2010 adalah … (A) 530 ribu (B) 520 ribu (C) 510 ribu (D) 500 ribu MAT DAS SNMPTN 2010 (E) 495 ribu

6.

Zakiya membeli x tangkai bunga seharga y rupiah, dengan x dan y adalah bilangan bulat, y dalam ribuan (misalnya 2 adalah Rp2.000,00). Saat hendak meninggalkan toko, pramuniaganya berkata, "Jika Anda membeli lagi 18 tangkai bunga, saya akan menjualnya dengan harga 6 sehingga Anda hemat 0,6 per lusin tangkai bunga". Nilai x dan y yang memenuhi kondisi ini adalah .... (A) x = 10, y = 4 (D) x = 10, y = 3 (B) x = 12, y = 3 (E) x = 15, y = 5 (C) x = 12, y = 4

= 18

=3

z 2 adalah …



6.

Empat tahun yang lalu, jumlah umur kakak dan adiknya dalam sebuah keluarga adalah empat kali selisihnya. Sekarang umur kakak adalah

9 7

umur

adiknya. Maka 10 tahun yang akan datang umur kakak dan adiknyaa dalah ... (A) 17 dan 19 (D) 19 dan 17 (B) 20 dan 18 (E) 21 dan 19 MAT DAS SIMAK UI 2009 (C) 18 dan 20 5.

Jika penyelesaian sistem persamaan: (a2) x + y = 0 x + (a2) y = 0 tidak hanya ( x, y) = (0, 0) saja, maka nilai a2 – 4a + 3 = … (A) 0 (B) 1 (C) 4 (D) 9 MAT DAS SIMAK UI 2009 (E) 16



Sigma membeli 5 kg jeruk impor berlabel diskon 10% dan 7 kg jeruk lokal berlabel diskon 5%. Sigma membayar dengan pecahan Rp100.000,00 dan menerima uang kembali Rp26.350,00. Kasir menyatakan bahwa jumlah potongan harga sesuai dengan label diskon adalah Rp5.850,00. Jika pada waktu dan di took yang sama Prima membeli 2 kg jeruk impor dan 3 kg jeruk lokal sejenis dengan yang dibeli Sigma, maka Prima harus membayar sebesar … (A) Rp30.600,00 (D) Rp34.500,00 (B) Rp31.650,00 (E) Rp35.150,00 (C) Rp33.000,00 MAT DAS SIMAK UI 2010

7.


Jika x dan y adalah bilangan bulat yang memenuhi sistem berikut: 3 x + 4 y = 32 y > x 9

y < x, 7

maka x + y = … (A) 5 (B) 7 (C) 8

(D) 9 (E) 12 MAT DAS SIMAK UI 2010

19

8.

9.

Empat tahun lalu jumlah usia dua orang bersaudara adalah 27 tahun, sedangkan sebelas tahun yang akan datang dua kali usia yang tua sama dengan dua kali usia yang uda ditambah 6 tahun. Pada saat ini berapa tahun usia yang tua? (A) 16 tahun (B) 17 tahun (C) 18 tahun (D) 19 tahun TPA SNMPTN 2011 (E) 20 tahun Andi mempunyai permen sebanyak 3 kali banyaknya permen yang dimiliki Budi. Budi mempunyai permen 6 lebih sedikit dari Chandra. Chandra mempunyai permen 2 lebih banyak dari Andi. Perbandingan banyaknya permen yang dimiliki Andi, Budi, dan Chandra adalah … (A) 3 : 6 : 2 (B) 6 : 2 : 4 (C) 3 : 1 : 4 (D) 1 : 3 : 4 TPA SNMPTN 2011 (E) 1 : 2 : 4

10. Empat siswa A, B, C, dan D masing-masing menabungkan sisa uang jajannya. Setelah setahun menabung, tabungan A Rp300.000,00 lebih sedikit daripada tabungan B dan tabungan C Rp200.000,00 lebih banyak daripada tabungan D. Jika tabungan D adalah Rp500.000,00 dan gabungan tabungan C dan D adalah dua kali tabungan A, maka besar tabungan B adalah … (A) Rp600.000,00 (D) Rp850.000,00 (B) Rp700.000,00 (E) Rp900.000,00 (C) Rp800.000,00 MAT DAS SNMPTN 2011

12. Jika 2 x + y = 3, 2 y + z = 5, dan 2 z + x = 7, maka nilai x + y + z adalah … (A) 5 (D) 14 (B) 7 (E) 15 (C) 10 MAT DASAR SNMPTN 2012

11. Pada tahun 2010 populai sapi dikota A adalah 1600 ekor dan di kota B 500 ekor. Setiap bulan terjadi peningkatan pertumbuhan 25 ekor di kota A dan 10 ekor di kota B. Pada saat populasi sapi di kota A tiga kali populasi sapi di kota B, populasi sapi di kota B adalah … (A) 600 ekor (D) 750 ekor (B) 650 ekor (E) 800 ekor (C) 700 ekor MAT DAS SBMPTN 2013

12. Jika suatu kolam diisi air melalui kran A, B, atau C saja, kolam tersebut akan penuh dalam waktu berturutturut 10 jam, 12 jam, atau 15 jam. Jika ketiga kran digunakan bersama-sama selama 3 jam, maka kolam tersebut terisi … (A) 0,4 bagian (D) 0,8 bagian (B) 0,5 bagian (E) 0,85 bagian (C) 0,75 bagian TPA SBMPTN 2013

13. Misalkan x = 1 dan y = 3 merupakan salah satu solusi dari sistem persamaan berikut. ax  by = 2a  b c + 1 x + cy = 10  a + 3b Nilai a + b + c = … 9b + 9 (A) – 2b (D)

 

(B) 11. Tiga buah garis lurus l 1, l 2, dan l 3 mempunyai gradien masing-masing 2, 3, dan 4. Ketiga garis i ni memotong sumbu y di titik yang sama. Jika jumlah nilai x dari titik potong dengan sumbu x dari ketiga garis adalah

1

,

9

maka persamaan garis l 2 adalah … (A) 117 x – 39 y = 4 (B) 117 x  39 y = 4 (C) 117 x – 39 y = – 4 (D) 39 x  117 y = 4 (E) 39 x – 117 y = – 4 MAT DAS SIMAK UI 2011

20

(C)

b+9 4 5b + 9 4

(E)

4 3b + 9 4


14. diketahui titik P(-1, 2), Q( 3, 4) dan R(1, -1). Persamaan garis yang melalui titik tengah PQ dan sejajar QR adalah ... (A) 2 y – 5 x + 8 = 0 (B) 5 y – 2 x – 13 = 0 (C) 2 y – 5 x – 1 = 0 (D) 2 y – 2 x – 1 = 0 (E) 5 y + 2 x – 11 = 0 MAT DAS SBMPTN 2014


15. Diketahui sistem persamaan linear x  2 x  y  =1 2 3 . x  y y  =2



3

1

19. Given the consistent system: The value of

2

Nilai x + y adalah … (A) – 3 (B) – 2 (C) – 1 (D) 3 (E) 5

(B) (C)

17. Jika – x + 3 y = 7, 4 x + 3 y = 17, ax + by = 7, dan ax – by = 1, maka a – b = … (A) 3 (B) 1 (C) 0 (D) – 1 TKPA SBMPTN 2016 (E) – 3 18. Suatu garis lurus melalui titik (0, 0) membagi persegipanjang dengan titik-titik sudut (1, 0), (5, 0), (1, 12), dan (5, 12) menjadi dua bagian yang sama luas. Gradien garis tersebut adalah …

(C) (D) (E)

is …

1 8 1 2

(D) – 8

16. Empat orang siswa akan mengikuti suatu perlombaan karya inovatif. Untuk itu, diperlukan biaya Rp900.000,00. Karena masing-masing memiliki kondisi keuangan yang berbeda, besar kontribusi masing-masing siswa tidak sama. Siswa A memberikan kontribusi setengah dari jumlah kontribusi tiga siswa lainnya. Siswa B memberikan kontribusi sepertiga dari jumlah kontribusi tiga siswa lainnya. Besar kontribusi siswa D adalah Rp …. (A) 150.000,00 (B) 180.000,00 (C) 195.000,00 (D) 225.000,00 (E) 300.000,00 TKPA SBMPTN 2015

(B)

a

(A) 8

TKPA SBMPTN 2015

(A)

b



3 x  4 y = 10 x  2 y = 5 ax  by = 0

1 2

1 2

(E) –

1 8 Basic Mathematics SIMAK UI KKI 2012

20. Each valve, A, B and C , when open, release water into a tank at its own constant rate. With all three valves open, the tank fills in 1 hour, with only valves A and C open it takes 1.5 hours, and with only valves B and C open it takes 2 hours. The number of hours required with only valves A and B open is … (A) 1.1 (D) 1.25 (B) 1.15 (E) 1.75 (C) 1.2 Basic Mathematics SIMAK UI KKI 2013

21. Let the function 4 x + by = c and cx – 3 y = 36 have the same graph on xy- plane. The value of bc = … (A) – 12 (D) 3 (B) – 3 (E) 12 (C) – 1 Basic Mathematics SIMAK UI KKI 2015

22. Ahmad gives Budi as many dinars as Budi has and Cholid as many dinars as Cholid has. Similarly, Budi then gives Ahmad and Cholid as many dinars as each then has. Cholid, similarly, then gives Ahmad and Budi as many dinars as each then has. If each finally has 8 dinars, then the dinars of which Cholid has at the beginning is … (A) 2 (D) 7 (B) 3 (E) 13 (C) 4 Basic Mathematics SIMAK UI KKI 2015

12 5

3

TKPA SBMPTN 2016


21

8. SISTEM PERSAMAAN LINIER & KUADRAT

3.

y1 = mx + k y2 = px2 + qx + r Cara menyelesaikan: (1) y2 = y1 (2) Dibuat menjadi persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0. (3) Dengan D = b2–4ac, didapat hubungan garis dan Parabola.

Jika sistem: x + 2 y = 3k 3 x – ky = 1 Dan sistem: kx – y = 1 x2 + y = – 1 mempunyai satu penyelesaian yang sama, maka hasil kali semua nilai k yang memenuhi adalah .... (A) (B)

Hubungan Garis dan Parabola 



di

satu

2 1 2

(C) 1

Garis memotong parabola di dua titik, maka D > 0 Garis memotong parabola (menyinggung), maka D = 0

3

(D) titik

(E)



Garis tidak memotong maupun menyinggung parabola, maka D < 0



Seluruh Parabola di atas garis, syarat: y2> y1 dan a > 0



Seluruh Parabola di bawahgaris, syarat: y2< y1 dan a < 0

4.

SOAL LATIHAN:





1 2 3 2


Dua titik dengan x1 = – a dan x2 = 3a di mana a  0, terletak pada parabola y = x2. Garis g menghubungkan 2 titik tersebut. Jika garis singgung parabola di suatu titik sejajar dengan garis g , maka garis singgung tersebut akan memotong sumbu y di .... (A) – a2 (D) 4a2 (B) a2 (E) 5a2 (C) 2a2 MAT DASAR SIMAK UI 2011

1.

Jika suatu garis lurus yang melalui (0, – 14) tidak memotong maupun menyinggung parabola 2 y = 2 x + 5 x – 12, maka gradien garis tersebut, memenuhi ... (A) m < – 9 (B) m < – 1 (C) – 1 < m < 9 (D) 1 < m < 9 MAT DASAR SIMAK UI 2009 (E) m > 9 2.

Jumlah x dan y dari solusi ( x, y) yang memenuhi system persamaan x – y = a 2 x + 5 x – y = 2 adalah ... (A) – 12 (B) – 10 (C) – 6 (D) 6 MAT DAS SIMAK UI 2009 (E) 10

22

5.

Jika garis singgung parabola y = 4 x – x2 di titik M (1, 3) juga merupakan garis singgung parabola y = x2 – 6 x+k ,

√

maka nilai dari 5 – k 1 adalah … (A) 0 (D) 3 (B) 1 (E) 4 (C) 2 MAT DAS SIMAK UI 2012

6.

Garis ℓ sejajar dengan garis 4 x – y – 3 = 0 dan melalui titik (1,5). Garis ℓ tersebut juga memotong sebuah parabola yang melalui tiga titik (0, – 1), (1,1), dan ( – 1, – 1) di titik P dan Q. Jumlah absis P dan Q adalah .... (A) – 2 (B) – 1 (C) 0 (D) 3 (E) 4 MAT DASAR SIMAK UI 2012


7.

Diketahui suatu parabola simetris terhadap garis x = – 2, dan garis singgung parabola tersebut di titik (0, 1) sejajar garis 4 x + y = 4. Tititk puncak parabola tersebut adalah … (A) ( – 2, – 3) (D) ( – 2, 1) (B) ( – 2, – 2) (E) ( – 2, 5) (C) ( – 2, 0) MAT IPA SBMPTN 2014

8.

Jika diketahui x < 0, maka banyaknya penyelesaian yang memenuhi sistem persamaan



x2  ax + 2014 = 0 x2  2014 x + a = 0 adalah … (A) 0 (B) 1 (C) 2

(D) 3 (E) 4


9.

Jika ( x, y) = (a, b) adalah penyelesaian dari sistem persamaan 2 xy – y2 + 5 x + 20 = 0 3 x + 2 y – -3 = 0 maka jumlah semua nilai a + b dimana a dan b bukan bilangan bulat adalah … (A) –

8

21 4

(B) –

21 24

(C) –

21 42

(D) –

21

(E) Semua penyelesaian berupa pasangan bilangan bulat. MAT DAS SIMAK UI 2015

10. The straight line y = a2bx + 2ab intersects the parabola y = ax2 + x + ab at two points, where a, b are real numbers. The sum of product of their abscisses and 2b is … (A) – 2ab (D) b (B) – b (E) 2ab (C) 0 Math for Natural Sciences SIMAK UI KKI 2013


23

9. KOMPOSISI FUNGSI DAN INVERS FUNGSI

C.

Invers Fungsi

Jika Fungsi y = f(x), maka invers fungsi tersebut

A. Fungsi

−

1

x = f (x) = f(y)

Sifat-sifat Fungsi

Beberapa contoh bentuk Invers Fungsi

1. Fungsi Injektif  untuk x 1  x2 maka f(x 1)  f(x2) 2. Fungsi Surjektif  f(A) = B 3. Fungsi Bijektif : merupakan fungsi Injektif sekaligus Surjektif. 4. Fungsi Identitas f(x) = x 5. Fungsi Konstan  f(x) = k (k = konstanta)

++

f(x) =

ax

b

cx

d



2. y =

f (x) =



−

bx c

a

dx

cx

b

a

−

ax c b a

1

f (x) =

−

1

f (x) = x

f x , syarat: f(x) > 0

f x

1

− − − + x b

−

log x c b

Sifat Inver Fungsi

     

1

f (x) =

log (bx+c)

f(x) = a

Domain Fungsi

k

1

f (x) =

a

f(x) =

(f + g)(x) = f( x) + g(x) (f – g)(x) = f(x) – g(x) (f × g)(x) = f( x) × g(x) (f : g)(x) = f(x) : g(x) n n f (x) = { f x }

1. y =

− − −

f(x) = ax + b

Operasi Aljabar Fungsi 1. 2. 3. 4. 5.

Invers Fungsi

Fungsi

 − − 1

f (x)

, syarat: f(x) > 0,

1

= f(x)

 o −  − o −   o −  − o −  f g

1 =

g

g

1 =

f

f

1

1

f

g

1

1

dengan k = konstanta LATIHAN SOAL:

3. y =

k f(x)

, syarat: f(x)  0

1.

B. Komposisi Fungsi

Jika F

√  6

2

4 + sin x

= tan x,  ≤ x ≤ 2, maka F(3)=

(A) 0

(D) 

(B) 1

(E) 2

(C)

 2 MAT IPA SNMPTN 2009

2.

h(x) = (g o f)(x) = g(f(x))

Jika g ( x + 1) = 2 x – 1 dan f ( g ( x + 1)) = 2 x + 4, maka f (0) = … (A) 6 (D) – 4 (B) 5 (E) – 6 (C) 3 MAT DAS SNMPTN 2010

3.

Jika g ( x – 2) = 2 x – 3 dan ( f o g )( x – 2) = 4 x2 – 8 x + 3, maka nilai f ( –3)= …. (A) 15 (D) 0 (B) 12 (E) – 4 (C) 4 MAT DASAR SNMPTN 2010

24


4.

Fungsi f : R  R dan g : R  R didefinisikan sebagai 3

9.

1

3 x1 dan g ( x) = 4( x + 2) . Jika f adalah invers f ( x) = 2 1

dari f , maka ( f o g )( x) = … (A) (B)

5.

√

2

3

log 2 x

2

log(2 x)

(C)

2

(D)

2

(E)

2

3

MAT DAS SNMPTN 2012

log(2 x + 4)

1

log2 x log(2 x + 2)


Jika f ( x) = x + 2 dan g ( x) =

−

( g 1 o f )(4) adalah …. (A) – 8 (B) – 6 (C) – 3

x x

+

5

, maka nilai

MAT DAS SNMPTN 2012

(D) 4 (E) 6

( g o f )( x) = 2 x + 4 x – 6. Misalkan juga x1 dan x2 adalah akar-akar dari g ( x) = 0, maka x1 + 2 x2 = .... (1) 0 (2) 1 (3) 3 MAT DASAR SIMAK UI 2012 (4) 5

−

2  x x  5

, maka nilai

( g 1 o f )(1) adalah … 1

(A) – 6

(D)

(B) – 2

(E) 4

4

x x

−+

1 1

(A) –

(B) – (C)

4

(D)

3 3

3

(E) 2 – 2

2

4

3

x

2 x  3

(B) –

1

(C) –

dan g ( x) = 1 – . Batas nilai x di x

mana berlaku ( f o g )( x) < ( g o f )( x) adalah … (A) – 1 < x < 1 (B) – 1 < x < 0 (C) 0 < x < 1 (D) x < – 1 atau x > 1 (E) – 1 < x < 0 atau 0 < x < 1


=

2 x + 3 x  4

(A) – 3

Misalkan fugsi f : R  R dan g : R  R didefinisikan 1

= ….

2

 

13. Jika f

3

dengan f ( x) = 1 +

√  √ √

2

2

(D)

(E) 2

4

1

4


8.

dan xT adalah nilai

(B) 2 – 5 (C) 0

dan g ( x) = 3 x. Jumlah semua

nilai x yang mungkin sehingga f ( g ( x)) = g ( f ( x)) adalah (A) –

2 x+3

tengah dari domain f ( x). Maka f xT

6

Diketahui f ( x) =

 √   

12. Diketahui f ( x)= 2

1 MAT DAS SNMPTN 2011

7.

 R dan g : R  R, f ( x) = x + 2 dan

11. Misalkan f : R 2

Jika f ( x – 1) = x + 2 dan g ( x) =

(C) –

1

10. Jika f ( x) = ax + 3, a  0, dan f ( f (9)) = 3, maka nilai a2 + a + 1 adalah … (A) 11 (D) 5 (B) 9 (E) 3 (C) 7

MAT DAS SNMPTN 2011

6.

1

Jika f ( x) = 2 x + b dan f (9) = 3, maka nilai f ( f (3)) adalah …. (A) 6 (D) 18 (B) 9 (E) 21 (C) 12



(D)

2

3 2

(E) 3

3 1


2

 

1 x + 5

14. Jika f

1



, maka f (1) adalah ….

x  5

=

8 , maka nilai a sehingga x  5

f (a) = – 4 adalah … (A) 2 (B) 1 (C) 0

(D) – 1 (E) – 2 MAT DAS SBMPTN 2013

25

   1

15. Jika f

1

x

=

2 x  1 1 , maka nilai f ( –1) adalah …. x  1

(A) 3 (B) 1 (C)

(D) – 1 (E) – 2

1 2

MAT DAS SBMPTN 2013 x2

21. Jika f ( x) = ax – b dan f – 1( x) = bx + a dengan a dan b bilangan real, maka pernyataan berikut yang terpenuhi adalah … (1) a > 0 (2) a > b (3) a + b merupakan bilangan prima (4) a – b merupakan bilangan ganjil

16. Diketahui f : R  R dan h : R  R dengan f ( x) = 3


dan h( x) = 3 x2 + 3. Untuk x  2, misalkan a adalah nilai 1

dari f (h( x) – 3 x2), maka jumlah kebalikan dari akarakar persamaan kuadrat ax2 – 9 x + 4 = 0 adalah … 9 4 3 (B) – 4 4

(A) –

(C) –

(D) (E)

9


ax  1 7 , g ( x) = x – 2 dan ( g – 1 o f – 1)(2) = , 3 x  1 2

17. Jika f ( x) =

maka a = … (A) – 4 (B) – 3 (C) 2

(D) 3 (E) 4

(B) (C)

1 5 x  2

(E)

5 x 8 x  1

5 x  8 1

√ √ 1  1 3

( g – 1 o f – 1)( x) = x + 3 – 1

– 1

3

(2)

( f o g )( x) = 8 x + 3

(3)

( f o g )( x) = x3 – 3

(4)

( g o f )( x) =

8

8

x  3

24. If the function f defined by f ( x) =

c x , x 3 x  5

5 3

 – with

c constant, satisfies f ( f ( x)) = x for all real number x

8  5 x

5 3

except x = – , then c = ….

19. Jika fungsi f dan g mempunyai invers dan memenuhi

−

1

f ( x  5) = g (2 x – 1), maka 2 f ( x) = ...

− − − −   −

(A) g 1 ( x)  11

2

 6

(E) g 1 (2 x)  6

 1  x 1 x

TKPA SBMPTN 2016

= x

untuk semua x  – 1, maka

(D) 3 (E) 5

(B) 0 (C)

(E)

4 3

1 3

Mathematics for Natural Sciences SIMAK UI KKI 2013

pernyataan berikut yang terpenuhi adalah … (1) f ( – 2 – x) = – 2 – f ( x)



1 (2) f ( – x) = , x  1 f x 1 (3) f = – f ( x), x  0 x

(4) f ( f ( x)) = – x

5 (B) – 3 5 (C) 3

25. Given that the equation f ( x) + x f (1 – x) = x holds for every real number x. The value of f ( – 1) + f (1) is … (A) – 1 (D) 1

(C) g 1 ( x)  6 x

(A) – 5


(B) g 1 ( x)  9



8

(1)

1

TKPA SBMPTN 2015

– 1

1

23. Jika f ( x) = x – 3 dan g ( x) = x3, maka …


5 x

20. Jika f


– 1

(D)

5 x 1  8 x

1

a = – 1 b

, maka f ( x) = …

1  8 x

(D) g

(4)

TKPA SBMPTN 2014

18. Jika f ( x + 2) = (A)

3 4 9 4

22. Jika f ( x) = ax + b dan f – 1( x) = bx + a dengan a dan b bilangan real, maka … (1) a + b = – 2 (2) ab = – 1 (3) a2 + b = 0


26. If h is a linier function and h(h( x) – 4) = 4 x – 20, then (1) h(0) = – 4 (2) h(1) = 26 (3) h(0) + h(1) = 54 (4) h(0)h(1) = 8 Basic Mathematics SIMAK UI KKI 2015

26


10. BARISAN DAN DERET

Suku Tengah

A. Barisan dan Deret Aritmetika

Suku tengah suatu barisan geometri adalah:



1. Barisan Aritmetika

Ut =

Rumus suku ke–Un Beda (b) dua suku yang berdekatan sama. Barisan aritmetika U1, U2, U3, … , Un–1, Un maka:

a.Un

syarat: n harus ganjil

Sisipan Jika pada dua suku barisan geometri yang berdekatan dengan rasio r disisipkan sebanyak k suku, maka akan membentuk barisan geometri baru dengan rasio:

b = Un – Un–1 Suku pertama  U1 = a  U2 = a + b Suku kedua  U3 = a + 2b Suku ketiga dan seterusnya … Rumus suku ke-n:

r* =

√

k+1

r

2. Deret Geometri Jumlah n suku pertama geometri:

Un = a + (n–1)b

atau

Un = Sn – Sn–1

 untuk

Suku Tengah

Ut =

a + Un 2

Sn =

=

Sn

syarat: n harus ganjil

n

Sisipan Jika pada dua suku barisan aritmetika yang berdekatan dengan beda b disisipkan sebanyak k suku, maka akan membentuk barisan aritmetika baru dengan beda: b* =

b

k



r<1

 untuk

 −− 

a 1 rn

Sn =

1 r

r>1

 −− 

a rn 1 r 1

Deret Geometri Tak Hingga a. Deret Geometri Tak Hingga Divergen Deret geometri tak hingga dengan r > 1, sehingga jumlahnya: S =  b. Deret Geometri Tak Hingga Konvergen Deret geometri tak hingga konvergen mempunyai limit jumlah.

1

S =

2. Deret Aritmetika

a

−

1 r

syarat: –1 < r < 1

Jumlah suku-suku ganjilnya: Jumlah n suku pertama deret aritmetika: Sn =

n 2

(a + Un) =

n 2

Sganjil = (2a + (n–1)b)

a

−

1 r2

Jumlah suku-suku genapnya:

B. Barisan dan Deret Geometri

Sgenap =

1. Barisan Geometri

ar

−

1 r2

Rumus suku ke–Un Rasio (r) dua suku yang berdekatan sama. Barisan geometri U1, U2, U3, … , Un–1, Un maka:

r=

Un Un

1

U1 = a U2 = ar

U3 = ar2 dan seterusnya …

Rumus suku ke-n:

Un = a.rn

−

1


27

LATIHAN SOAL:

1.

Jika jumlah 101 bilangan kelipatan tiga yang berurutan adalah 18180, maka jumlah tiga bilangan terkecil yang pertama dari bilangan- bilangan tersebut adalah …. (A) 99 (D) 72 (B) 90 (E) 63 (C) 81

4.

Jika – 6, a, b, c, d , e, f , g , 18 merupakan barisan aritmetika, maka a + d + g = …. (A) 12 (D) 30 (B) 18 (E) 36 (C) 24 MAT DAS SNMPTN 2010

5.

Jumlah 50 suku pertama deret log 5 + log 55 + log 605 + log 6655 + … adalah

MAT DAS SNMPTN 2009

2.

Sejak tahun 2000 terjadi penurunan pengiriman surat melalui kantor pos. Setiap t ahunnya banyak surat yang dikirim berkurang sebesar 1/5 dari banyak surat yang dikirim pada tahun sebelumnya. Jika pada tahun 2000 dikirim sekitar 1 juta surat, maka jumlah surat yang dikirim selama kurun waktu 2000 –2004 adalah … (A) (B) (C) (D) (E)

2101 625

juta surat

125

125

8.

11. Diberikan barisan Un={2, -2, 2, -2, ...} di mana n bilangan asli. Berikut ini merupakan rumus umum untuk barisan itu, KECUALI ... (A) Un = 2 -1 n (B) Un = -2 sin(n



1 2

)

log (2751225 ) 1150 log (5)

MAT DAS SNMPTN 2011

MAT IPA SNMPTN 2009



(D)

Jika jumlah 10 suku pertama suatu deret aritmetika adalah 220 dan jumlah 2 suku berturut-turut berikutnya adalah – 4, maka jumlah 2 suku pertama deret ini adalah …. (A) 36 (D) 72 (B) 40 (E) 76 (C) 44

365

Misalkan Un merupakan suku ke-n suatu barisan geometri. Jika diketahui U5 = 12 dan log U4 + log U5 – log U6 = log 3, maka nilai U4 adalah (A) 12 (D) 6 (B) 10 (E) 4 (C) 8

log (2525 111225 )

7.

juta surat

MAT DAS SNMPTN 2009

3.

(C)

Tiga bilangan bulat positif membentuk barisan aritmetika dengan beda 16. Jika bilangan yang terkecil ditambah 7 dan bilangan yang terbesar ditambah 2, maka diperoleh barisan geometri. Jumlah ketiga bilangan tersebut adalah …. (A) 56 (D) 50 (B) 54 (E0 48 MAT DAS SNMPTN 2011 (C) 52

juta surat

juta surat

log (525 111225 )

6.

juta surat

360

(B)

MAT IPA SNMPTN 2010

125

625

log (551150 )

(E)

369

2100

(A)

Jika 1001, 997, 993, … adalah barisan aritmetika, maka suku bernilai negatif yang muncul pertama kali adalah suku ke-…. (A) 250 (D) 253 (B) 251 (E) 254 (C) 252 MAT DAS SNMPTN 2012

9.

Jika a adalah suku pertama, r adalah rasio, dan

−

(C) Un = -2 cos(n – 1)

Sn = 3(2 –21 n ) adalah jumlah n suku pertama deret

(D) Un = 2 sin (n – 1)

geometri, maka nilai a + 2r adalah …. (A) 4 (D) 7 (B) 5 (E) 9 (C) 6

(E) Un =

2, jika n genap -2, jika n ganjil MAT IPA SNMPTN 2010


28


12. Jika -999, -997, -995, ... maka suku bernilai positif adalah suku ke ... (A) 500 (B) 501 (C) 502

adalah barisan aritmetika yang muncul pertama kali (D) 503 (E) 504

14. Diketahui deret geometri tak hingga U 1 + U 2 + ... Jika rasio deret tersebut adalah r dengan – 1 < r < 1, U 1 + U 2 + U 3 + ... = 6, dan U 3 + U 4 + U 5 + ... = 2, maka nilai r adalah ....

MATDAS SNMPTN 2012



10. Jika diketahui y2 +2 y+1,



 3 y  1 3

(C)

5 2

(E)

4

4

1

1

3

3

1

1

2

2

(C) – atau

suku barisan aritmetika, maka nilai suku kedua yang memenuhi adalah … (1) – 1 (2) – 2 (3) 1 MAT DAS SIMAK UI 2012 (4) 2

(B) 2

1

(B) – atau

, y – 1 adalah tiga

11. Diketahui a, b, c berturut-turut suku ke-2, ke-3, dan ke-4 suatu barisan geometri dengan b > 0. ac Jika = 1, maka nilai b adalah …. 2b + 3 (A) 1 (D) 3

1

(A) – atau

(D) – (E) –

1

1

√ √ √ √ 3

1

2

atau atau

3

1

2 MAT DAS SBMPTN 2013

15. Parabola y = x2 – 2 x + m + 3, memiliki titik puncak ( p, q). Jika 3 p dan

q 2

dua suku pertama deret geometri

tak hingga dengan jumlah 9 maka nilai m adalah ... (A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1 MATDAS SBMPTN 2013 (E) -1

5 2

MAT DAS SBMPTN 2013

16. Jika diketahui bahwa, 12. Diketahui deret geometri tak hingga u1 + u2 + u3+ ... Jika rasio deret tersebut adalah r dengan – 1 < r < 1, 1 u1 + u2 + u3 + ... = 8, dan u1 + u2 = 6, maka 2 adalah … r (A) (B) (C)

1 2 1 3

x =

(A) – (B) –

(E) 4

(C)

2

(D) MAT DAS SBMPTN 2013

Jika

ac 2b + 3

(E)

2

2013

+

3 2013

–

4 2013

+ … –

(B) 2

(E)

2013

,

1007 2013 1006

2013 1

2013 1006 2013 1007 2013


a3 adalah barisan geometri, maka

(D) 3

2012

17. Jika a1, a2, a3 adalah barisan aritmetika dan a1, a2, a1+

= 1 maka nilai b = ...

(A) 1

(C)

2013

–

nilai x yang memenuhi adalah …

(D) 3

13. Diketahui a, b, dan c berturut-turut adalah suku ke-2, ke-3, dan ke-4 suatu barisan geometri dengan b > 0.

1

7 2

5 2

(A) (B) (C) (D) (E)

6 4 3 2 1

a3 a1

= ...

MATDAS SBMPTN 2014

MATDAS SBMPTN 2013


29

18. Diketahui a, a+b, dan 4a+b merupakan tiga suku berurutan suatu barisan aritmetika. Jika a, a+b, 4a+b+9 merupakan suatu barisan geometri maka a+b = ... (A) 2 (D) 5 (B) 3 (E) 6 (C) 4

23. Given a geometric sequence

is

1 26

(A) (B) (C)

(A) 2 +

√ √ √

(B) 1 –

(C) -1 +

3

(D) 2 +

2

3

√ √

(E) 2 –

2

3

2

3

2

3

2

MAT IPA SBMPTN 2015

21. Pada suatu barisan aritmetika dengan suku-suku berbeda, jumlah suku ke-1, ke-3, dan ke-5 sama dengan jumlah suku ke-2 dan ke-4. Jika suku ke-10 sama dengan kuadrat suku ke-4, maka suku ke-13 adalah ... (A) 0 (D) 70 (B) 7 (E) 91 (C) 10 TKPA SBMPTN 2016

22. Jika

a

log (b),

a

log (b+2), dan

a

log (2b+4) adalah tiga

suku berurutan suatu barisan aritmetika dan jumlah tiga suku tersebut adalah 6, maka 2a – b = ... (A) 4 (D) – 2 (B) 2 (E) – 4 (C) 0

1

,

1

9 27

,

1 81

, … . A new

, then its ratio is … 1

(D)

81 1

(E)

27 1

1 9 1 3

26 Basic Mathematics SIMAK UI KKI 2012

24. A circle with area A1 – A 2 is contained in the interior of a larger circle with area A1. If the radius of the larger

√

circle is 2 3, and if A1, A2, A1 – A2 is an arithmetic progression, then the radius of the smaller circle i s .... (A) 0 (D) 8 (B) 2 (E) 12

MATDAS SBMPTN 2015

20. Diketahui deret geometri tak hingga mempunyai jumlah sama dengan nilai minimum fungsi f ( x) = – x3 + 3 x – 2 untuk – 1 ≤ x ≤ 2. Selisih suku kedua dan suku pertama deret geometri tersebut adalah f (0). Rasio deret geometri tersebut adalah ...

3

,

infinite geometric sequence is formed using some terms from the given. If the sum of the new sequence

MAT IPA SBMPTN 2014

19. Jika k adalah bilangan real positif, serta k +3, k +1, dan k adalah berturut-turut suku ketiga, keempat, dan kelima suatu barisan geometri maka jumlah dua suku pert ama barisan tersebut adalah ... (A) 12 (D) 24 (B) 16 (E) 28 (C) 20

1

√

(C) 2 2 Basic Mathematics SIMAK UI KKI 2013

25. In the sequence of numbers 5, 7, 2, ... each term after the first two is equal to the term preceding it minus the term preceding that. The sum of the first one hundred terms of the sequence is .... (A) 0 (D) 9 (B) 2 (E) 14 (C) 5 Basic Mathematics SIMAK UI KKI 2013

26.

If the sum of the first ten terms of the sequence log x, log x3 y2 , log x5 y4 , log x7 y6 , … is 5(a log x + b log y), then the value of a + b is … (A) 18 (D) 30 (B) 20 (E) 38 (C) 28 Math for Natural Sciences SIMAK UI KKI 2013

27. The sumof the first 25 terms of an arithmetic sequence with 50 terms is 400, meanwhile the sum of the next 25 terms is 2275. Then the first termof the sequence is ... . (A) – 50 (D) 10 (B) – 20 (E) 20 (C) 5 Basic Mathematics SIMAK UI KKI 2015

TKPA SBMPTN 2016

30


11. MATRIKS

Operasi pada Matriks 1. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Ordo Matriks

syarat: ordo kedua matriks harus sama

                  

Contoh: 1 3 A= dan B = 2 5

Banyak baris = m Banyak kolom = n

A+B=

1 2

3 + 5

A – B =

1 2

3 – 5

 



TransposeMatriks

×

tulis: Am

  a c e

n



    1 0

0 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

4 Contoh:P = 1

 

b = ad –bc c d

1 2

4 6

kb kd

3 = 5

2 4

6 10

         . ..  - .. . . ..  - .. .    1 2

Contoh:A =

6 2

2

2 4 ; B= 0 6 4

1 1 3 2 5

BA = 0

4

0

1 3 5

4 = 6

2 1 ( 1) 2 01 32 41 52

2 4 ( 1) 6 04 36 44 56

2 18 46

14

Matriks 3 3

Sifat-sifat Matriks

 − −  − −    − A



c f  det. i

Invers Matriks

1

1

AB

det.Q = (aei + bfg + cdh) – (gec + hfa + idb)

b d

b ka = d kc

BA = 6

det.A = a

a c

3 5

Am×nBn×p = Cm×p (C hasil perkalian matriks AB)

det.P = –8 + 6 = –2

Determinan matriks A:

 

1 = 1

2 6

Perkalian matriksAB tidak dapat dilakukan.

  

 

A=

4 3

5 1

b. Perkalian Matriks dengan Matriks Syarat: Banyak kolom A sama dengan banyak baris B.

Matriks 2 2 b d

a c

Contoh: 2

DeterminanMatriks

b e h

1 = 1

       

k

MatriksIdentitas

  



4 3

a. Perkalian konstanta dengan Matriks

b d f

a b a c e t I2×2 = P = c d P = b d f e f t P adalah transpose matriks I × = 3 3 P.

a Q= d g

1 1

2. Perkalian Matriks

Ukuran Matriks disebut Ordo di misalnya: a a b A2×2 = ;B3×1 = b ; P3×2 = c d c

a A= c

4 3

A.I = I.A = A

=A

1 =

− −

B

1

A

1

det A

1

= det(A)

det A

1

=

1 det(A)

−

A.A

1

−

= A

1

.A = I

−

1

AX = B

 X

=A

.B

XA = B

 X

= B.A

−

1

det(AB) = det(A).det(B)

−

Invers matriks A: A

1

−   

d = ad bc c 1

b a

Matriks yang determinannya sama dengan nol disebut Matriks Singular. Matriks Singular tidak mempunyai invers.


31

SOAL LATIHAN:

1.

6.

 

                   ( )                 

2 mempunyai hubungan dengan 1 4 matriks B = . 3 5 3 Jika matriks C = dan matriks D 3 2 mempunyai hubungan seperti A dengan B, maka matriks C + D adalah …. 2 3 7 0 (A) (D) 3 5 0 7 7 7 0 7 (B) (E) 0 0 7 0 0 7 (C) 7 0 Matriks A =

3 4 1 2

Jika diketahui A = B1 AC

3 4 5 4 3 4

(A) (B) (C) 3.

1

1 1

1 4 , C = 1 1

7.

x

5 dan 1

    

3 4a 4 3 1 3c 3 – = , maka nilai dari 2 1 3 6 21 2b d a + b + c + d adalah … (A) 47 (D) 17 (B) 37 (E) 7 (C) 27

(A) (B) (C) (D) (E)

  2 1

8.

9.

Jika 3

Jika A =

-1

2

= ….

1


   

 

1 3 2 0 5 , B = , dan C = 1 0 1 1 2 determinan matriks AB – C adalah … (A) – 5 (D) 6 (B) – 4 (E) 7 (C) 5 Jika A =

3 , maka 1

MAT DAS SNMPTN 2012


5.

= 2, maka

x

(1) – 2 (2) – 1 (3) 2 (4) 1

5 3

Jika M adalah matriks sehingga: a b a+c b+d M = c d c d Maka determinan matriks M adalah …. (A) – 2 (D) 1 (B) – 1 (E) 2 (C) 0

-1

x2

x

MAT DAS SNMPTN 2010

4.

x Jika det. 1

det. 1

8 , maka matriks B sama dengan … 5 4 3 4 (D) 5 4 3 4 3 4 (E) 3 4 5 4 MAT DAS SIMAK UI 2009 5

=

              2          

MAT DAS SNMPTN 2011

MAT DAS SNMPTN 2009

2.

Jika A adalah matriks 22 yang memenuhi 1 4 1 0 A = dan A = , maka hasil kali 2 0 6 2 2 2 A adalah … 4 3 1 0 0 1 (A) (D) 0 2 2 0 2 0 0 2 (B) (E) 0 2 1 0 0 (C) 0 1

6 maka det(6A3) = …. 3

              

2 3 T memenuhi A + B = (A 2 3 (A) 1 5 0 2 (B) 2 0 0 2 (C) 2 0

1 , maka matriks B yang 5 T B) adalah …. 0 1 (D) 1 0 0 1 (E) 1 0

Jika matriks A =


10. Diketahui A =



z



log b

2 a

log

1

1

z

merupakan matriks

singular. a

3

z

b

Maka log b a + log a. log z 2 = ….

7 3

23 2734 2835 2836 2938

(A) – 10 (B) – 6 (C) 0

(D) 6 (E) 10 MAT DASAR SIMAK UI 2012


32


   

2 0 1 5 , B = , dan det.(AB) = 12 1 x 0 -2 maka nilai x adalah .... (A) -6 (B) -3 (C) 0 (D) 3 MAT DAS SNMPTN 2012 (E) 6

11. Jika A =

  

1 2

2 0

(1)

Terdapat satu entri matriks A yang bernilai negatif. (2) det( A) bernilai positif. (3) Jumlah entri-entri pada diagonal utama matriks A bernilai postitif. (4) Jumlah entri-entri pada diagonal utama matriks A bernilai negatif.

3 ,B= 3

13. Sebuah matriks persegi disebut matriks segitiga atas jika semua entri di bawah diagonal utamanaya 4 10 14 bernilai 0, contoh B = 0 9 7 . Diketahui A 0 0 16 matriks segitiga atas dengan entri-entri diagonal positif sehingga A2 = B, maka A = … 2 5 7 (A) 0 3 7 0 0 4 2 10 14 (B) 0 3 7 0 0 4 2 0 0 (C) 0 3 0 0 0 4 2 2 2 (D) 0 3 7 0 0 4 2 2 2 (E) 0 3 1 MAT DAS SIMAK UI 2013 0 0 4



    

   



    

-2 1 14. Jika A = , B = 1 -1 , dan determinan a b c 0 2 -5 5 matriks AB = det. maka nilai 2c – a adalah ... 3 -3 (A) -2 (B) -1 (C) 0 (D) 1 MATDAS SBMPTN 2013 (E) 2 2

-1


2  ( )   3   0      

3 , B memiliki invers dan 1 1 1 1 1 1 AB = , maka matriks B = … 3 0 4 1 (A) 6 1 2 (B) 6 9 2 (C) 0 1 1 6 (D) 4 3 4 5 (E) 6 5

16. Jika A =





 

1 1 1 0 T = 4 A – 9 1 2 -1 0 pernyataan-pernyataan berikut yang BENAR adalah … 2 AT -5

    

3 a 1 b dan determinan 2 c matriks AB adalah 7, maka nilai 2a – 3c adalah (A) – 2 (B) – 1 (C) 0 (D) 1 (E) 2 MAT DAS SBMPTN 2013

12. Jika A =

15. Jika matriks A memenuhi persamaan

TKPA SBMPTN 2014

17. Jika A adalah invers dari matriks

   

1

 

1 3 4

3 , maka 5

x 1 A y = akan menghasilkan nilai x dan y yang 3 memenuhi 2 x + y = … (A) – (B) –

10

(D)

3 1

9 7

(E) –

3

20 3

(C) 1 MAT DAS SIMAK UI 2014

1


    ( 1)

2a 1 merupakan matriks yang mempunyai 6 1 invers, maka jumlah semua nilai a yang mungkin

18. Jika A =

sehingga det. (A) 2 (B) 4 (C) 6

1 2

= det. A

(D) (E)

adalah …

8 10

TKPA SBMPTN 2015

33

Math CAMP 2017 Bab 1-11.PDF

Recommend Documents