Math Biostatistics Boot Camp 1

P ( P (A

∪ B)

− P ( P (AC  ∩ B C ) 1 − P ( P (AC  ∪ B C ) 1 − P ( P (AC )P ( P (B C ) P ( P (AC  ∩ B C ) 1

P ( P (A

∪ B ) = 1 − P 



(A

∪ B)C 



=1

− P ( P (AC  ∩ B C ) P  (

√    √  √  

n i=1 P  (E i )



n i=1 P  (E i )



n i=1 E i )



maxi P  (E i ) mini P ( P  (E i ) maxi P ( P  (E i ) mini P ( P  (E i )

A:

B:

P ( P (A

∪ B) = 0.17

P ( P (A

∪ B) = P ( P (A) + P ( P (B ) − P ( P (A ∩ B )

P ( P (B ) = P ( P (A

P ( P (A) = 0.12

P ( P (A

∩ B) = 0.06

∪ B ) + P ( P (A ∩ B ) − P ( P (A) = 0.17 + 0. 0.06 − 0.12 = 0. 0.11

X 

f (x) = 1

0

≤x≤1

f (x) x

F (x) =

 

x

f (t) dt =

0

  0

1 dt = [t]x0 = x

x75 1 x2

1 < x<

∞ 1 −1 x 1 − x1 1 − x1

−0= x

F (x75 ) = 0.75 1 < x<

∞

3

1 x3 1 x

x

F (x) =

  1

1 dt = t2

x

−    1 t

1

1 = t

1

= x

1 1

− x1 = 1 − x1

F (x75 ) = x75

x75 = 0.75

 p

e

x

−

(1 + e

x

−

)

2

−

log ((1  p) /p)

−  p/ (1 − p) (1 − p) /p

1/ (1 + ex ) log( p/ (1

− p))

x

F (x) =

 

−∞

e

t

−

(1 + e t ) −

2

dt

u(t) = 1 + e u(x)

F (x) =

 

u(−∞)

−1 du = u2

t

−

1+e

 

−x

du =

−1 du = u2

∞

−e

x p

t

−

 1 u

dt 1+e−x

1 = 1+e

−

x

−

∞

F (x p ) = p

F (x p ) = p ex =p ex + 1 ex = p (ex + 1) ex = pex + p ex  pex = p ex (1  p) = p p ex = 1  p p x p = log 1  p p

p

p

p

p

p

−

p

p

p

−

p

−

  −

ex e x ex = x x = x e (e + 1) e +1 −

cxk

c>1

0
c k+2 1 k

2 1 k+1

k 1 k k+1

−

1

  0

xk+1 cx dx = c k+1

 

k

c =1 k+1

1

= 0

c xk+1 k+1

⇒ c = k+1

f (x) = 12 e

x/2

−

1 0

 

c (1 k+1

=

− 0) = k +c 1

1

x> 0

F (x) x

F (x) =

  0

1 e 2

t/2

−

dt =

x

0

−    e

t/2

−

0

= e

t/2

−

x

x50

= e0

x/2

−e

−

=1

−e

F (x50 ) = 0.5

F (x50 ) = 0.5 1

−e

x50 /2

= 0.5

x50 /2

= 0.5

−

e

−

   −

−x50/2 = log x50 /2 =

log

1 2

1 2

x50 /2 = log (2) x50 = 2 log (2)

≈ 1.386

x/2

−

2xe

x2

x> 0

−

F (x) x

F (x) =

 

2te

t2

−

dt

0

−t2 u(x) F (x) = − eu du = − u(t) =

 

u(0)

x50

du = x

−

 

2

−2tdt 0

eu du = [eu ]

x2

−

0

= e0

−e

x2

−

=1

F (x50 ) = 0.5 F (x50 ) = 0.5 1

x250

−e

−

2 50

x

e

−

x250

−

= 0.5 = 0.5

   ≈

= log

1 2

x250 = log (2) x50 =

log (2)

0.833

−e

x2

−

h(x) c

0 < h(x) <

∞

x = 1, 2, . . . , I  

c h(x)

·

1 1+



I  x=1 h(x)

I  x=1 h(x)

 

I  x=1

h(I )



h(x)

1

−

0 < c h(x) <

·



∞

x

I 

· 

c h(x) = 1

x=1

I 

c

h(x) = 1

x=1

c=

h(x)

x=1

1

−

I 

 

c h(x) = 1

·