UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMIÁRIDO
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA – MODALIDADE EDUCAÇÃO À DISTÂNCIA
Geometria Euclidiana 1 Professor: Paulo César Linhares da Silva
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Governo Federal Ministro de Educação Fernando Haddad Universidade Aberta do Brasil Responsável pela Diretoria da Educação a Distância João Carlos Teatini de Souza Clímaco Universidade Federal Rural do Semiárido Reitor Josivan Barbosa de Menezes Feitoza Pró-Reitor de Graduação Jose de Arimatea de Matos Equipe NEAD – Núcleo de Educação a Distância Coordenadora UAB Karla Rosane do Amaral Demoly Coordenadora Adjunta UAB Kátia Cilene da Silva Apoio Técnico e Pedagógico Janini Aparecida Dias Máspoly Genes Coordenadora do Curso de Licenciatura em Matemática - Modalidade Educação à Distância Valdenize Lopes do Nascimento
Coordenador de tutoria do Curso de Licenciatura em Matemática Modalidade Educação à Distância Fabrício de Figueiredo Oliveira
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Sumário
Saudações De início queremos saudar e parabenizar todos que tomaram decisão de fazer o curso de licenciatura em matemática à distância da UFERSA, o nosso desejo é que todos que iniciarem o curso perseverem e cheguem à conclusão do mesmo, e que também se sintam, ao final do curso, satisfeitos com o que aprenderam e que; principalmente, esse aprendizado seja bastante útil na vida profissional de todos. Digo a vocês que tanto da parte do professor como dos tutores presenciais e à distância, e da coordenação local e geral e de todos que formam o curso da EAD da UFERSA que nossos esforços serão em atender a todos de maneira eficiente, justa, igualitária e; principalmente, instruir, ensinar e repassar de uma forma coerente e didática o conhecimento. Saibam que um dos maiores investimentos que podemos fazer nessa vida é no ser humano, pois é instruindo pessoas que construiremos uma realidade cada vez melhor. Bem, falando uma pouco sobre min: Sou Bacharel em Matemática formado Universidade Federal do Ceará e Mestre em Computação, com ênfase na área de Combinatória formado pela mesma Universidade. Nosso objetivo Analítica principal como professor da disciplina é contribuir para o sucesso profissional dos alunos e também pelo sucesso do nosso curso. Felicitações Paulo César Linhares 3
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Programa da disciplina Disciplina: Geometria Euclidiana 1 Professor: Paulo César Linhares da Silva Carga horária: 60h Ementa A geometria euclidiana como modelo de sistematização da Matemática: srcem e história. Introdução a um sistema de axiomatização da Geometria Euclidiana Plana. Formalização em Geometria Euclidiana. Medições de segmentos e ângulos; Grandezas comensuráveis, congruências, distâncias. Perpendicularismo e Paralelismo. O axioma das paralelas. Semelhanças. Polígonos quaisquer e regulares. Circunferência, inscrição e circunscrição de polígonos. Objetivo O objetivo da disciplina geometria plana é proporcionar meios ao estudante que está iniciando o curso de licenciatura em matemática a dispor de uma ferramenta bastante útil dentro do da estudo da matemática. A geometria plana está inseridae integral basicamente em todas as áreas matemática e principalmente no cálculo diferencial que será uma disciplina vista mais adiante no curso. Existe também da nossa parte a preocupação de dar subsídios aos estudantes a pensar e agir com argumentações de cunho matemático, pois isto é fundamental para todo o restante do curso de licenciatura em matemática.
Material Utilizado PARENTE, J. B.A; Fundamentos de Geometria Euclidiana.
Curso de
Licenciatura em Matemática- UFPB VIRTUAL. PESCO, D.U; Geometria Básica volume 1. 4.e.d. Rio de Janeiro, Fundação CECIERJ, 2009. SOUZA, C.S.S; Construções Geométricas volume 1. 2. e.d Rio de Janeiro, Fundação CECIERJ, 2009.
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Material utilizado Bibliografia Básica: BARBOSA, J.L; Geometria Euclidiana Plana, 10ª ed. Rio de Janeiro; SBM, 2006. PENEIREIRO,J.B e SILVA, M.F da. Introdução à geometria euclidiana no
plano. Caderno didático. Santa Maria: Gráfica da UFSM, 2000. DOLCE, O. e POMPEO, J.S. Fundamentos de Matemática: geometria plana. São Paulo: Atual, 1996 v.9.
Bibliografia Complementar: MACHADO, A.S., Matemática Temas e Metas vol 4, Atual Editora, São Paulo 1988. IEZZI, G. e HAZZAN, S. Fundamentos de Matemática Vol 9. São Paulo, Atual Editora- 7ª edição. FILHO, M.A; Geometria Plana. Fortaleza, Ceará, 2001.
Recursos: Utilizaremos como material de apoio o site de objetos de ensino aprendizagem do governo federal (MEC), cujo link está logo abaixo.
http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/ No link abaixo encontramos softwares de geometria plana que serão também bastante úteis na disciplina.
http://www2.mat.ufrgs.br/edumatec/softwares/soft_geometria.php Utilizaremos também o software GEOGEBRA como ferramenta de estudo nesse curso, logo abaixo temos o link para download deste software.
http://www.geogebra.org/cms/en/download 5
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Apresentação da disciplina Bem-vindo(a) à disciplina de Geometria Plana 1. Esta disciplina faz parte do Curso de Graduação de Curso de Licenciatura em Matemática - Modalidade Educação à Distância da Universidade Federal Rural do Semi-Árido ( UFERSA). Aqui, o objetivo é disponibilizar informações de como você irá acompanhar o desenvolvimento do curso. Nesta disciplina, Geometria Plana, você irá aprender a história do surgimento da geometria plana, quem forma seus principais precursores, como se deu o processo de formalização e sistematização da geometria até a forma que conhecemos hoje. Iremos também aprender sobre medidas de segmentos e ângulos, segmentos comensuráveis e incomensuráveis, paralelismo, perpendicularismo, axioma das paralelas, semelhanças, polígonos e inscrição e circunscrição de polígonos. Para orientar o estudo, nossas atividades estarão divididas em duas unidades. Essas duas unidades durarão quinze semanas. A Unidade 1 tratará sobre oSurgimento e formalização da Geometria Plana e será o assunto da primeira semana. Em seguida abordaremos o assuntoRealizando medidas em Geometria Plana. Esta primeira unidade durará sete semanas. Na unidade II que corresponde as oito semanas finais, nesta etapa abordaremos assuntos referentes a Paralelismo e Semelhança. E por fim, faremos o Estudo sobre a Circunferência, será estudado nas duas últimas semanas (7 e 8).
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Ao final de cada Unidade, vocês terão lista de exercícios a resolver e enviar. Portanto, quatro listas de exercícios valendo nota. Ao final do curso, teremos uma prova individual e presencial. O cálculo da média será feito como a seguir: Cada unidade terá duas atividades online (A.O) e uma atividade presencial (A.P). As duas primeiras atividades online (A.O) corresponderão cada uma, uma nota de zero a dois. A atividade presencial corresponderá uma nota de zero a seis. A nota da unidade será dada pela soma das notas das duas atividades online juntamente com a nota da atividade presencial. A média parcial será dada por:
.
Caso , o aluno (a) estará aprovado. Caso o aluno(a) ficará para recuperação e a média final será recalculada como a seguir. . Onde é a média final e NR é a nota da avaliação de recuperação. Se , o aluno(a) estará aprovado, caso contrário o aluno(a) reprovará a disciplina.
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Unidade 01
Surgimento e formalização da Geometria Plana e Realizando medidas em Geometria Plana. A geometria euclidiana como modelo de sistematização da Matemática: srcem e história. Introdução a um sistema de axiomatização da Geometria Euclidiana Plana. Formalização em Geometria Euclidiana Medições de segmentos e ângulos; Grandezas comensuráveis, congruências, distâncias. Perpendicularismo e Paralelismo.
Unidade 02
Paralelismo e Semelhança e Estudo sobre a Circunferência. O axioma das paralelas. Semelhanças. Polígonos quaisquer e regulares. Circunferência, inscrição e circunscrição de polígonos.
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Unidade 01- Surgimento e formalização da Geometria Plana. Objetivos da Unidade
Entender como surgiu como se deu o processo histórico do surgimento da geometria plana. Como a geometria plana vem se desenvolvendo dentro da matemática. A sistematização da geometria plana na matemática.
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Conhecer um pouco sobre os fatos históricos nos coloca a par da situação!
Um pouco de História O estudo da geometria nasceu da necessidade do homem de realizar medidas em suas terras. Um exemplo é que os egípcios mediam suas terras para acompanhar o regime de inundações anuais do rio Nilo e também seus construtores se utilizava de um sistema de medida para construir suas edificações, exemplo disso são as pirâmides do Egito. A palavra geometria é derivada do grego, com base no radical geõ de gé = terra e métron = medida. Ademais, há em grego clássico o verbo geõmétrin = medir a terra, ser agrimensor ou geômetra. Com o passar dos tempos a geometria foi se tornando tão
presente na vida do homem, que foi necessário “repensar”
o modo como ela vinha sendo usada e daí nasceu a necessidade de uma sistematização e formalização da geometria. Aparece nesse momento um matemático grego chamado Euclides.
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Pequena Biografia de Euclides Euclides de Alexandria nasceu em 325 a.C. e morre em 265 foi um matemático grego, ficou conhecido peloa.C., seu mais famoso trabalho “Os que Elementos”. Sabe-se pouco sobre sua vida, ensinou em Alexandria, no Egito, durante o reinado do Rei Ptolomeu (306-283 a.c.). Alcançou grande prestígio pela forma brilhante como ensinava Geometria e Álgebra, conseguindo assim atrair para suas lições públicas um grande número de discípulos. É um dos mais influentes matemáticos gregos da Antiguidade. É possível que tenha aprendido matemática em Atenas, com os discípulos de Platão. Euclides estudou e ensinou em uma escola de Alexandria conhecida como Museum. Enquanto esteve no Museum, ele escreveu seu trabalho de maior influência, os Elementos. Foi percusrsor da primeira escola de matemática de Alexandria, onde havia a maior biblioteca da Antiguidade, onde havia cerca de 700.000 volumes e foi ai que suas obras tomaram forma. Como Euclides escreveu Os Elementos, que é usado a
mais de 2.000 anos, esse lhe rendeu o título de “Pai da Geometria”. Fonte: http://www.coladaweb.com/matematica/geometria-euclidiana
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Introdução a um sistema de axiomatização da Geometria euclidiana. Por volta de 600 a.C, filósofos gregos começaram a sistematizar matematicamente os conhecimentos existentes sobre a geometria. Tal trabalho de sistematização foi realizado principalmente pelo matemático grego Euclides, por volta de 300 a.C, e reuniu esses conceitos em uma obra com 13 volumes conhecida como elementos de Euclides, o conteúdo dessa obra versa sobre a geometria plana de Euclides e estuda as propriedades geométricas partindo de idéias de lógicos. Logo abaixo temos uma imagem da página do livro elementos de Euclides que foi descoberto em 1808 na Biblioteca do Vaticano um exemplar de Os Elementos datado do Século IX ou X.
Retirado do site: http://www.e-escola.pt/destaques.asp?id=64
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A geometria euclidiana foi um dos primeiros sistemas de idéias a ser desenvolvido pelo homem, no qual temos como base algumas afirmações axiomas e postulados e que a partir que tomamos por verdadeiras chamadas desses argumentos demonstramos outros fatos mais complexos. Verdade evidente
Princípio não
por si mesma.
demonstrado de um argumento ou teoria
Alguns desses axiomas são:
Esses axiomas são essenciais, para a compreens ão de outros assuntos do curso!
Elementos que são iguais a um mesmo elemento são também iguais entre si.iguais são adicionados a iguais, os resultados são Se elementos elementos iguais. Se elementos iguais são subtraídos de elementos iguais, os restos são elementos iguais. Elementos que coincidem com outros elementos são iguais um ao outro. O todo é maior que a parte.
Fonte: BARBOSA, J.L; Geometria Euclidiana Plana, 10ª ed. Rio de Janeiro; SBM, 2006.
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Os postulados são: Estude bem esses postulados, pois serão, bastantes úteis mais a frentes !
Por dois pontos pode ser traçada uma reta. Uma reta pode ser completada infinitamente. Com um centro e um raio dado pode-se construir uma circunferência. Todos os ângulos retos são iguais. Se uma reta corta duas retas formando ângulos colaterais internos cuja soma é menor que dois retos, estão as duas retas, se continuadas infinitamente encontram-se no lado na qual estão os ângulos cuja soma é menor que dois retos.
Sugestão de Leitura: Consulte o site abaixo para uma leitura sobre a formalização da geometria plana. http://pt.scribd.com/doc/4739182/Hilbert-e-a-Formalizacao-da-Geometria
Fonte: BARBOSA, J.L; Geometria Euclidiana Plana, 10ª ed. Rio de Janeiro; SBM, 2006.
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Plano Cartesiano
Todo o curso de geometria euclidiana será desenvolvido no plano cartesiano (em cursos de álgebra é chamado de , conhecido como um conjunto bidimensional). O plano cartesiano é o conjunto formado pelo produto cartesiano do conjunto dos números reais , pelo próprio conjunto teoria esta vista em um curso de matemática básica. Ou seja, = . Logo abaixo temos uma figura que representa este conjunto. O plano cartesiano é divido em quatro quadrantes, e um ponto para estar no plano deve possuir duas coordenadas, uma no eixo X e outra no eixo Y, respectivamente. A figura abaixo representa a idéia descrita. 2
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A idéia do plano cartesiano é indispensá vel para se estudar Geometria. E será a base para cursos mais avançados.
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Aqui está uma ajuda!
Exercícios Resolvidos
1º Exercício Por que é necessário conhecermos os axiomas e postulados principais da geometria plana?
Resposta: A Geometria plana está apoiada sobre alguns postulados, axiomas, definições e teoremas, tais definições e postulados são usados para demonstrar a validade de teoremas que são construídos e que sua veracidade deve ser demonstrada baseando-se em argumentos válidos. Alguns desses objetos são aceitos sem demonstração (definições), isto é, você deve tais permite conceitosque porque os mesmos parecem funcionar na prática. A aceitar Geometria façamos uso de conceitos elementares (axiomas, postulados, definições) para construir outros objetos com uma estrutura mais complexa como, por exemplo: pontos especiais, retas especiais, planos dos mais variados tipos, ângulos, médias, centros de gravidade de objetos, polígonos. Portanto sem o conhecimento dos axiomas, postulados e definições fundamentais da geometria plana euclidiana, não é possível adentrarmos no estudo e na construção de estruturas planas mais robustas (que contenha uma maior combinação de elementos fundamentais).
2º Exercício Faça um comentário sobre os axiomas básicos sobre reta e plana.
Resposta: Dizemos que, plano é um conjunto formado por elementos denominados de pontos, o ponto é a unidade fundamental da geometria euclidiana já a reta é um subconjunto especial do plano. O plano a reta e ponto são objetos matemáticos caracterizado pelos conjuntos de axiomas
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ou regras. Ou seja, o conceito de ponto, reta e plano são elementos básicos da geometria euclidiana plana. 1ª Axioma (incidência): Dados dois pontos distintos, existe uma única reta que os contém. Esse Axioma é de determinação das retas. De modo informal, seria diríamos que dois pontos distintos determinam uma única reta. 2º Axioma (distinção entre reta e ponto). Toda reta possui pelo menos dois pontos distintos. Esse axioma afirma que uma reta não pode ser um conjunto vazio e nem ser formada com apenas um único ponto, ou de maneira informal um ponto é distinguido da reta. 3º Axioma (distinção entre reta e plano). Em qualquer plano existem pelo menos três pontos não colineares. Esse axioma nos garante que o plano é mais do que uma reta. Esse mesmo axioma também pode ser enunciado como a ela. a seguir. Dado uma reta, existe pelo menos um ponto não pertencente
3º Exercício Usando quatro pontos todos distintos, sendo três retas colineares, quantas retas podemos construir? Resposta: Considere a,b,c três pontos distintos e colineares (que estão sobre a mesma reta) e d um outro ponto distinto de a,b e c. Então com os pontos a,b,c alinhados podemos ter uma reta, com os pontos a e d temos uma segunda reta, com os pontos b e d temos uma terceira reta e por fim com os pontos c e d temos uma quarta reta. Assim, os total de retas que podemos formar, com três pontos distintos e alinhados e um outro ponto não alinhado com os anteriores são quatro retas.
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Vamos Trabalhar!
Exercícios Propostos
Classifique em verdadeiro ou falso, as sentenças abaixo, justificando todas as suas respostas: ( ) Por um ponto passam infinitas retas. ( ) Por dois pontos distintos passa uma reta. ( ) Uma reta contém dois pontos distintos. ( ) Dois pontos distintos determinam uma só reta. ( ) Por três pontos dados passa uma só reta. ( ) Três pontos distintos são sempre colineares. ( ) Três pontos distintos são sempre coplanares. ( ) Quatro pontos todos distintos determinam apenas duas retas. ( ) Por quatro pontos todos distintos pode passar uma só reta. ( ) Três pontos pertencentes a um plano são sempre colineares.
1º Exercício
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João um Lucas a geometria muito Segundo parecida com jogo:Marques partimosBarbosa de elementos que estãoé inseridos em um conjunto (pontos, retas, planos) sendo necessário aceitar certas regras básicas que dizem a respeito das relações que satisfazem estes elementos, as quais são chamadas de axiomas. Objetivo final desse jogo é o de determinar as propriedades das figuras planas e dos sólidos no espaço. Essas propriedades levam o nome de teoremas ou proposições, devendo ser deduzidas para que sejam validadas utilizando para isso argumentos lógicos. Fonte: BARBOSA, J.L; Geometria Euclidiana Plana, 10ª ed. Rio de Janeiro; SBM, 2006.
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Essa atividade é essencial para a avaliação
Atividade Avaliativa
presencial, Estude-a!
1. Comente sobre a srcem e a história da geometria euclidiana plana. 2. Como se deu o processo de axiomatização e formalização da geometria plana? 3. Usando quatro pontos todos distintos, sendo três deles colineares, quantas retas podemos construir? 4. Classifique como verdadeira ou falsa as sentenças abaixo: ( ) Duas retas distintas que têm um ponto comum são concorrentes. ( ) Duas retas concorrentes têm um ponto comum. ( ) Se duas retas distintas têm um ponto comum, então elas possuem um único ponto comum.
Fonte: BARBOSA, J.L; Geometria Euclidiana Plana, 10ª ed. Rio de Janeiro; SBM, 2006.
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Unidade02 Realizando medidas em Geometria Plana. Objetivos da Unidade
Entender a diferença entre segmentos comensuráveis e segmentos incomensuráveis. Como realizar medições de segmentos e ângulos. Entender o que são segmentos côngruos. Entender o que é uma distância em geometria plana. Perpendicularismo e Paralelismo.
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Segmentos de reta Axiomas básicos Procure entender bem esses conceitos!
A noção de ponto é um conceito primitivo (essencial) em geometria plana. Dizemos que um ponto a está entre dois outros pontos b e c, quando os axiomas a seguir são obedecidos. Se a está entre b e c, então a, b, c são colineares. Se a está entre b e c, então a, b, c são distintos dois a dois. Se a está entre b e c, então b não está entre a e c e nem c está entre b e a. Quaisquer que sejam os pontos b e c, se b é distinto de c, então existe um onto a ue está entre b e c.
De posse desses axiomas iniciais, vamos agora à definição de segmento de reta.
Definição (Segmento de reta) Considere distintos, a uniãoque doestão conjunto dois pontosdois comopontos o conjunto dos pontos entredesses eles é um segmento de reta.
DOLCE, O. e POMPEO, J.S. Fundamentos de Matemática Vol 9. São Paulo, Atual Editora- 8ª edição.
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Vejamos outra definição decorrente da definição de segmento de reta e dos axiomas visto nesta seção.
Definição (Semi-reta) Considere dois pontos distintos a e b, a união do segmento de reta ab com o conjuntos de pontos x tais que b está entre a e x é semi-reta ab (indicada por ab ). Veja figura logo a seguir.
Exemplo: Seja AB um segmento de reta e M o seu ponto médio. Consideremos um ponto P entre os pontos M e B. Demonstre que PM é dado pela semidiferença positiva entre PA e PB . Solução: Representando a medida de
AB
por 2m e a de
(Equação01) PA= m + z (Equação02) PB= m - z
Subtraindo a equação 1 da equação 2, temos: PM
PA
PB 2
PM
por z, temos: Refaça este exemplo com bastantes detalhes! Pois, Trata-se de um típico exercício de demonstra ção dedutiva!
Fonte: DOLCE, O. e POMPEO, J.S. Fundamentos de Matemática Vol 9. São Paulo, Atual Editora- 8ª edição. 23
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Grandezas comensuráveis
Segmento comensur ável, que pode ser medido, caso contrário, será dito incomens urável!
Os matemáticos gregos mediam utilizando o conceito de grandeza comensurável, que significa
“medidas simultâneas”. Por exemplo, no caso de um
segmento de reta AB e CD, denote por AB e CD os seus comprimentos respectivamente. Se existem números inteiro positivos m e n e um segmento EF, tais que AB=m.EF e CD=n.EF então os segmentos AB CD msão ditos comensuráveis. Ou seja, a razão AB emEF CD
nEF
n
.
Fonte: Desvendando os números reais. Cristina Cerri IME-USP. Novembro de 2000
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Vamos Trabalhar!
Exercícios Propostos 1º Exercício: Se A, B e C são três pontos colineares, determine AC, sendo AB=20cm e BC=12cm. 2º Exercício: Verifique, demonstre ou crie uma construção geométrica para mostrar que o número 2 é irracional, ou seja, não pode ser escrito na forma de fração. 3º Exercício: Determine a medida do segmento AB, sendo M o ponto médio do segmento AB e sabendo-se que AM=2x-5 e BM=x=8. Fonte: Desvendando os números reais. Cristina Cerri IME-USP. Novembro de 2000
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Congruências, distâncias Classicamente se define distância, como uma função definida do espaço euclidiano cartesiano espaço euclidiano, nos números naturais.
Guarde bem esta definição, pois será utilizada em um curso de geometria analítica ou mesmo álgebra linear!
A noção de distância em geometria euclidiana é essencial. È definida como, distância é função que satisfaz. Dados dois pontos quaisquer A e B do plano, representaremos a distância de a até bB, por (dist(a,b)). i)dist (a, b)≥0. E dist (a, b) =0, se e somente se, a=b. ii) Para quaisquer dois pontos a e b, do plano dist(a, b)=dist(b, a). iii) Para quaisquer três pontos a, b e c do plano, tem-se dist (a, c)≤dist (a, b) +dist (b, c). A igualdade ocorre se e somente se c (caso c=c1) pertence ao intervalo ab. Esta propriedade é conhecida como desigualdade triangular. (Veja figura abaixo)
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Aqui está uma ajuda!
Exercícios Resolvidos
1º Exercício: Calcule a distância do ponto A=(1,5) ao ponto B=(3,7). Solução: Representando a distância do ponto A ao ponto B, por dist(A,B) temos: dist ( A, B)
(1 3) 2
(5 7) 2
4
4
8
2 2
unidades de comprimento.
2º Exercício: Na terceira propriedade vista da definição de distancia entre dois pontos é conhecida como desigualdade triangular. A desigualdade triangular afirma que em todo triângulo, a medida de cada lado é menor que a soma da medida dos outros lados. Prove que em todo triângulo, a medida de cada lado é maior que a medida da diferença dos outros dois lados. Solução: Considerando a, b e c as medidas dos lados de um triangulo qualquer, temos assim as três condições abaixo: (Equação01)
a < b+c
(Equação02) (Equação03)
bc << a+b a +c
cb--bc<
Combinando a segunda e a terceira equação, temos: Por fim, concluímos que b c a b c .
b
c
a
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Vamos Trabalhar!
Exercícios Propostos
1ºExercício:
Seja
verifique que (x (y d ( A, B) x ) y ) é um distância e aplique este resultado para calcular a distância entre os pontos A=(3,2) e B=(-3,4). 1
2
( x1 , y1 ) e
A
2
B
( x2 , y 2 )
2
1
2
2º Exercício: Com os segmentos de medida 8cm, 5cm e 18cm pode-se construir um triângulo? Por quê? 3º Exercício: Dado os pontos A=(1,2); B=(-1,3); C=(2,9) e D=(0,5). Calcule as seguintes distâncias , dist(A,B); dist(A,D); dist(C,B); dist(B,C) e Dist(A,C) Fonte: BARBOSA, J.L; Geometria Euclidiana Plana, 10ª ed. Rio de Janeiro; SBM, 2006.
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Medições de segmentos e ângulos Definição Um segmento de reta, nada mais é do que uma reta com início e fim. O instrumento para de medir o comprimento de um se mento, é a ré ua raduada.
Fonte: http://evarp.blogspot.com/2011_02_01_archive.html
Estes fatos são introduzidos em geometria através dos seguintes axiomas. Axioma I A todo parnúmero de pontos número maior ou igual a zero. Este é zerodoseplano e só secorresponde os pontos sãoum coincidentes.
Fonte: BARBOSA, J.L; Geometria Euclidiana Plana, 10ª ed. Rio de Janeiro; SBM, 2006. 29
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Medições de segmentos e ângulos Axioma II Os pontos de uma reta podem sempre ser colocados em correspondência biunívoca (existe uma correspondência bijetiva) com os números reais, de modo que a diferença entre estes números meça a distância entre os pontos correspondentes.
Este axioma poderia chamar-se axioma da régua infinita, pois, ao ser estabelecido uma correspondência biunívoca entre os como números os pontos da que reta,pode a própria reta torna-se quereais umaerégua infinita ser usada para medir o comprimento de segmentos nela contidos. Ao aplicarmos o axioma II, o número correspondente a um ponto da reta é denominado coordenada do ponto. De acordo com o axioma I o comprimento ( Dist (A,B)=│ab│) de um segmento AB é sempre maior do que zero. De modo que, se a e b são as coordenadas das extremidades deste segmento, o seu comprimento será a diferença entre o maior e o menor destes números.
Fonte: BARBOSA, J.L; Geometria Euclidiana Plana, 10ª ed. Rio de Janeiro; SBM, 2006.
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Medições de segmentos e ângulos Axioma III Se o ponto C encontra-se entre A e B então AC+CB=AB.
Isto equivale a tomarmos a diferença entre a e b em qualquer ordem, e considerar o seu valor absoluto. Indicaremos a medida do comprimento do segmento AB ____
____
AB
pelo símbolo
a
AB
. Portanto
b
=
De posse dos axiomas I, II, III obtemos uma relação de ordenação dos pontos de uma reta, com a ordem dos números reais. Os números reais são ordenados pela
relação de “menor que” representada pelo símbolo (<) (ou “maior que”), representada pelo símbolo (>). Com isso,
dizemos que um número c está entre dois outros números a e b, quando ocorre a
Fonte: BARBOSA, J.L; Geometria Euclidiana Plana, 10ª ed. Rio de Janeiro; SBM, 2006.
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Medições de segmentos e ângulos
Definição Chamamos de ângulo a figura formada por duas semiretas com a mesma srcem.
A
Figura 01
As semi-retas são chamadas de lados do ângulo e a srcem comum, de vértice do ângulo. Um ângulo que é formado por duas semi-retas distintas de uma mesma reta é chamado de ângulo raso. A Fonte: BARBOSA, J.L; Geometria Euclidiana Plana, 10ª ed. Rio de Janeiro; SBM, 2006.
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Medições de segmentos e ângulos Representação de ângulos Destacamos aqui três maneiras de se representar um ângulo. Dado o ângulo da figura abaixo, o mesmo pode ser designado por BÂC ou por CÂB. Ao utilizarmos esta notação, a letra indicativa do vértice deve sempre aparecer entre as outras duas, as quais representam pontos das semi-retas que formam o ângulo.
C A B Figura 02
Quando nenhum outro ângulo exibido tem o mesmo vértice, podemos usar apenas a letra designativa do vértice para representar o ângulo. Ver exemplo abaixo. Fonte: BARBOSA, J.L; Geometria Euclidiana Plana, 10ª ed. Rio de Janeiro; SBM, 2006. 33
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Medições de segmentos e ângulos Representação de ângulos Por exemplo, o ângulo da figura 02 pode ser representado por Â. Em qualquer dos dois casos a letra designativa do vértice levará sempre um acento circunflexo. Também é comum a utilização de letras gregas para representação de ângulos. Neste caso é conveniente escrever a letra designativa do ângulo próximo do seu vértice, como indicado na figura 03.
α Figura 03
Fonte: BARBOSA, J.L; Geometria Euclidiana Plana, 10ª ed. Rio de Janeiro; SBM, 2006.
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Axiomas sobre medições de ângulos
Axioma I Todo ângulo tem uma medida maior ou igual a zero. A medida de ângulo é zero se e somente se ele é constituído por duas semi-retas coincidentes.
Axioma II È possível colocar, e, correspondência biunívoca, os números reais entre zero e 180 e as semi-retas de mesma srcem que dividem um dado semiplano, de modo que a diferença entre estes números seja a medida do ângulo formado pelas retas
Fonte: BARBOSA, J.L; Geometria Euclidiana Plana, 10ª ed. Rio de Janeiro; SBM, 2006.
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Axiomas sobre medições de ângulos
Definição Sejam SOA, SOB e SOC semi-retas de mesma srcem. Se o segmento AB intercepta SOC diremos que SOC divide o ângulo AÔB.
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Exercícios Resolvidos Resolvido. Mas, refaça cada um deles!
1º Exercício: Vejamos algumas definições que utilizaremos em alguns exercícios. Dois ângulos são ditos complementares quando sua soma vale 90º, dois ângulos são ditos suplementares quando sua soma vale 180º e por fim dois ângulos são sitos replementares quando sua soma vale 360º. De posse dessas definições responda a seguinte pergunta: Dois ângulos são suplementares e a razão entre o complemento de um e o suplemento de outro, nessa ordem, é 1 . Determine esses ângulos. 8
Solução: Representado a medida desses ângulos por a e b, temos que: o complemento de a é dado por 90º-a e o suplemento de b é dado por 180º-b. Desse modo a razão entre o complemento de a e o suplemento de b é 90 a e como os ângulos a e b são complementares então a+b=180º. 180
b
Sendo assim formamos o seguinte sistema linear. a
180
b
90
a
1
180
b
8
cuja solução é a=80º e b=100º
2º Exercício: Que ângulo excede seu complemento em 36º? Solução: Representado o ângulo procurado por x e o seu complemento por 90-x, temos que: Como x excede seu complemento em 36º, então; x=90-x+36, o que implica em, 2x=126, logo x=63º
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3ºExercício: O complemento da segunda parte de um ângulo excede o complemento desse ângulo em 40º. Determine o ângulo. Solução: Representando o ângulo procurado por y, o complemento da segunda parte de y é 90- y/2 e o complemento de y é 90-y. Logo seguindo a idéia do exercício dois temos: 90-y/2=40+90-y o que implica em 180-y=80+180-2y, assim temos y=80º.
4º Exercício: Determine dois ângulos opostos pelo vértice de modo que o primeiro seja representado por 9x-2 e o segundo seja representado por 4x+8. Solução: Como ângulos opostos pelo vértice (O.P. V) tem a mesma medida então: 9x-2=4x+8, o que implica em x=2, então os respectivos ângulos medem cada um 16º.
Fonte: DOLCE, O. e POMPEO, J.S. Fundamentos de Matemática Vol 9. São Paulo, Atual Editora- 8ª edição. 38
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Axiomas sobre medições de ângulos
Axioma III Se uma semi-reta SOC divide um ângulo AÔB, então AÔB=AÔC+CÔB.
Exemplo: De acordo com a figura abaixo determine o valor do ângulo α e
o valor do ângulo β.
Solução: Como os ângulos
α e β são suplementares, então α +β=180. Deste
modo 2x-5+3x-5=180º, assim temos 5x-10=180, logo 5x=190, o que
implica em x=38. Por fim, fazendo x=38 em α=2x-5 e β=3x-5 temos,
α=71º e β=109º.
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Essa atividade é essencial para a avaliação presencial, Estude-a!
Atividade Avaliativa. 1. Mostre que se um ângulo e seu suplemento têm a mesma medida então o ângulo é reto. 2. Dois ângulos são ditos complementares se sua soma é um ângulo reto. Dois ângulos são complementares e o suplemento de um deles mede tanto quanto o suplemento do segundo mais 50°. Quanto mede os dois ângulos? 1
3. A razão entre dois ângulosdosuplementares é igual a 7 . Determine o complemento menor. 4. Dois ângulos são suplementares e a razão entre o complemento de um e o suplemento do outro, nessa ordem, é 83 . Determine esses ângulos. Fonte: BARBOSA, J.L; Geometria Euclidiana Plana, 10ª ed. Rio de Janeiro; SBM, 2006.
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Congruências
Diremos que dois segmentos AB e CD são congruentes quando AB=CD; diremos que dois ângulos  e B são congruentes se eles têm a mesma
Fonte: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/geomelem/geometr.htm
De posse desta definição, as propriedades de igualdade entre números reais passam a valer para a congruência de segmentos e de ângulos. O mesmo Após esta definição, atente para o seguinte fato: Para simplificar ao máximo a nossa notação, iremos
utilizar símbolo congruente. Assim, AB=CD odeve ser lido“=” comopara AB ésignificar congruente a CD e Â=B deve ser lido como ângulo A é congruente ao ângulo B. Fonte: BARBOSA, J.L; Geometria Euclidiana Plana, 10ª ed. Rio de Janeiro; SBM, 2006. 41
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Congruências de Segmentos A congruência de segmentos simbolizada por = ou por satisfaz os seguintes postulados.
_____
____
Reflexiva: AB AB (todo segmento é congruente a ele mesmo). Simétrica: Se AB CD , então CD AB . Transitiva: Se AB CD e CD EF , então AB EF . ____
____
_____
_____
_____
_____
____
____
_____
____
Por satisfazer estes três postulados então a congruência é dita uma relação de equivalência.
Fonte: BARBOSA, J.L; Geometria Euclidiana Plana, 10ª ed. Rio de Janeiro; SBM, 2006.
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Triângulos Guarde bem estas definições, pois serão úteis em outros assuntos, como por exemplo, trigonomet ria.
Dados três pontos A, B, C não colineares, a reunião dos segmentos AB,AC e BC chama-se triângulo ABC. Os triângulos são polígonos de três lados. São classificados de duas maneiras.
Quanto à medida dos lados: Eqüilátero: três lados de medidas iguais. Isósceles: dois lados de medidas iguais. Escaleno: três lados de medidas diferentes.
Quanto à medida dos ângulos: Acutângulo: quando cada um dos ângulos internos mede menos que 90º. Obtusângulo: quando um ângulo interno tem medida maior que 90º e Retângulo: quando um ângulo interno tem medida igual a 90º.
Classificação dos triângulos quanto aos lados e quanto aos ângulos.
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Algumas propriedades dos triângulos Se o triângulo tem dois lados iguais, os ângulos que lhes são opostos também são iguais. Num triângulo, ou em triângulos iguais, a lados iguais opõem-se ângulos iguais. Num triângulo, ou em triângulos iguais, a ângulos iguais opõem-se lados iguais. Num triângulo, ao maior lado opõem-se o maior ângulo.
Exemplo: Seja ABC um triângulo isósceles de base BC, determine x sabendo-se que o lado AB mede 2x-7 e que o lado BC mede x+5. Solução: Sendo BC a base do triângulo isósceles ABC, então os respectivos lados AB e BC são iguais. Logo AB=BC, o que implica em: 2x-7=x+5, logo concluímos que x=12. E os lados AB e BC mede 17 unidades de comprimento.
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Congruências de Triângulos Definição
Dois triângulos são congruentes se for possível estabelecer uma correspondência biunívoca entre seus vértices de modo que lados e ângulos correspondentes sejam congruentes.
Casos de congruência de triângulos 1º LAL (lado, ângulo, lado): dois lados c ongruentes e ângulos formados também congruentes.
2º LLL (lado, lado, lado): três lados congruentes.
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3º ALA (ângulo, lado, ângulo): dois ângulos congruentes e lado entre os ângulos congruente.
4º LAA (lado, ângulo, ângulo): congruência do ângulo adjacente ao lado, e congruência do ângulo oposto ao lado.
Fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/congruencia-e-semelhanca-detriangulos.htm
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Congruência versus Semelhança De forma geral dois triângulos ou duas figuras geométricas planas são congruentes quando a mesma forma e ou dimensões, ou seja, o mesmo tamanho. Na possuem semelhança entre triângulos, figuras geométricas planas, tais figuras possuem a mesma forma, mas não necessariamente com o mesmo tamanho. Podemos aqui dizer que a congruência é um caso particular de semelhança entre triângulos de modo que dois triângulos são congruentes necessariamente eles são semelhantes, mas o contrário não é verdadeiro.
Triângulos Semelhantes
Fonte: http://www.blogviche.com.br/2006/12/15/semelhanca-entre-triangulos/ http://www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/modules/mylinks/viewcat.php?cid=15&m in=840&orderby=ratingA&show=10
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Exercícios Resolvidos
1º Exercício: Sabendo-se que o ângulo A é igual ao ângulo D, o ângulo B é igual ao ângulo F e que o ângulo C é igual ao ângulo E. Determine o valor de x e y sendo a=8; b=10; c=12; e=6; f=x e d=y.
Solução: Como ângulo A é igual ao ângulo D, o ângulo B é igual ao ângulo F e que o ângulo C é igual ao ângulo E, então os triângulos ABC e EFD são semelhantes e os lados homólogos são proporcionais. Assim, 12/6=8/y=10/x. Deste modo 12/6=10/x, implica em x=5. Por outro lado temos 12/6=8/y, o que implica em y=4.
Fonte: DOLCE, O. e POMPEO, J.S. Fundamentos de Matemática Vol 9. São Paulo, Atual Editora- 8ª edição.
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Vamos trabalhar!
Exercícios Propostos
1º Exercício Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): ( ) Todo triângulo isósceles é eqüilátero. ( ) Todo triângulo eqüilátero é isósceles. (( )) Um ser isósceles. Todotriângulo triânguloescaleno isóscelespode é triângulo acutângulo. ( ) Todo triângulo retângulo é triângulo escaleo. ( ) Existe triângulo retângulo e isósceles. ( ) Existe triângulo isóceles obtusângulo. ( )Todo triângulo acutângulo ou é isósceles ou é eqüilátero.
2º Exercício Seja ABC um triângulo isósceles de base BC, determine x se AB=2x-7 e AC=x+5.
Fonte: BARBOSA, J.L; Geometria Euclidiana Plana, 10ª ed. Rio de Janeiro; SBM, 2006.
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Perpendicularismo e Paralelismo.
Definição Duas retas são perpendiculares (símbolo: ) se, e somente se, são concorrentes e formam ângulos adjacentes suplementares congruentes. Ou seja, a
b
(a
b= {P} e
)
Fonte: BARBOSA, J.L; Geometria Euclidiana Plana, 10ª ed. Rio de Janeiro; SBM, 2006.
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Perpendicularismo e Paralelismo. Considere as seguintes observações como conseqüências da definição de perpendicularismo.
Observação 01: Duas semi-retas são perpendiculares se, e somente se, estão contidas em retas perpendiculares e têm um ponto comum.
Observação 02: Dois segmentos de reta são perpendiculares se, e somente se, estão contidos em retas perpendiculares e têm um ponto em comum.
Observação 03: Um ângulo a b é reto se a semi^
1
P
1
reta a é perpendicular à semi-reta b . 1
1
DOLCE, O. e POMPEO, J.S. Fundamentos de Matemática Vol 9. São Paulo, Atual Editora- 8ª edição.
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Existência e unicidade da perpendicular. 1ª Parte Num plano, por um ponto P de uma reta r existe uma única reta s perpendicular a r.
2ª Parte
Por um ponto P fora de uma reta r passa uma única reta s perpendicular a r.
DOLCE, O. e POMPEO, J.S. Fundamentos de Matemática Vol 9. São Paulo, Atual Editora- 8ª edição.
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Exemplo: Na figura abaixo encontre o valor dos ângulos α, β e λ.
Resolução: No triângulo CDF, o ângulo interno F é igual a 50º, já que o ângulo externo correspondente ao vértice F é 130º. Como o ângulo interno correspondente ao vértice C é 90º, então α+50º+90º=180º, conclusão α=40º. Agora no triângulo ADE, temos que, 40°+ β+90=180º, assim temos
β=50º.
E por fim, no triângulo ABC, temos 90º+50º+
λ=180º, logoλ=40º. DOLCE, O. e POMPEO, J.S. Fundamentos de Matemática Vol 9. São Paulo, Atual Editora- 8ª edição.
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Existência e unicidade da perpendicular. Paraseque umaum reta seja perpendicular um plano é do Exemplos:que necessário forme ângulo reto com duasaconcorrentes plano. De posse dessa afirmação, considere os três casos a seguir: a) A reta t é considerada perpendicular às duas retas concorrentes do plano.
Fonte: http://www.colegioweb.com.br/matematica/perpendicularismo.html 54
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b) A reta t é considerada perpendicular a uma das retas concorrentes e ortogonal à outra.
Fonte: http://www.colegioweb.com.br/matematica/perpendicularismo.html
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c) A reta t é considerada ortogonal às duas retas concorrentes.
Fonte: http://www.colegioweb.com.br/matematica/perpendicularismo.html
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Texto para Leitura
As noções primitivas de geometria iniciaram-se quando o homem sentiu a necessidade de realizar medidas, ou seja, comparar e determinar as dimensões dos objetos e copos que o rodeava e também efetuar a medição de distâncias. Povos antigos como Egípcios, Assírios e Babilônicos já conheciam principais figuras geométricas a noção de ângulo queas utilizavam nas medidas de e área e na Astronomia. A Geometria Plana, como é conhecida por nós hoje e que foi apresentada por Euclides, foi o primeiro sistema de idéias desenvolvido pelo homem, no qual poucas 57
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afirmações simples são admitidas sem a efetiva comprovação que mais tarde foram utilizadas para provar afirmações mais complexas. Um sistema com essa característica é chamado de dedutivo. A beleza desse sistema dedutivo inspirou homens como Sir Isaac Newton a escrever “Principia”. Pitágoras, que morreu em 490 a.C, foi conhecido por seus contemporâneos como o fundador de um movimento de cunho religioso que veio a ser conhecido como pitagorismo. Os pitagóricos interessavam-se pela ciência de um modoNogeral particularmente pela filosofia matemática. que a concerne à matemática a maiore contribuição dos pitagóricos foi o desenvolvimento da teoria dos números, e a descoberta dos números irracionais. Foram eles que provaram, pela primeira vez, que 2 é irracional. A prova deste fato é apresentada no décimo livro de Euclides.
Fonte: BARBOSA, J.L; Geometria Euclidiana Plana, 10ª ed. Rio de Janeiro; SBM, 2006. 58
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Unidade 03 Paralelismo e Semelhança. Objetivos da Unidade
Realizando medidas em Geometria Plana. Medições de segmentos e ângulos. Grandezas comensuráveis, congruências, distâncias. Perpendicularismo e Paralelismo.
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O axioma das paralelas.
Axioma I Por um ponto fora de uma reta m pode-se traçar uma única reta paralela a reta m.
Proposição Se uma reta m é paralela às retas n 1 e n2, então n1 e n2 são paralelas ou
Demonstração: Suponha que n1 ecoincidentes. n 2 não coincidem e são paralelas a reta m. Se
n1 e n2 não fossem paralelas entre si, elas teriam um ponto de interseção, digamos, P. Mas então n1 e n2 seriam duas retas distintas e paralelas à reta m passando por P. Mas esse fato entra em contradição com o axioma I escrito anteriormente.
Fonte: BARBOSA, J.L; Geometria Euclidiana Plana, 10ª ed. Rio de Janeiro; SBM, 2006.
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O axioma das paralelas.
Quando duas retas são cortadas por uma transversal forma-se oito ângulos como indicado na figura abaixo. Quatro deles são correspondentes aos outros quatro, a saber,
α↔β δ↔ε η↔θ λ↔μ
Fonte: BARBOSA, J.L; Geometria Euclidiana Plana, 10ª ed. Rio de Janeiro; SBM, 2006.
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O axioma das paralelas. Observe que α=λ, β=μ, δ=η e ε=θ por serem opostos pelo vértice. Como conseqüência, se α=β então todos os outros pares de ângulos correspondentes serão iguais. Além disso, teremos que δ+β=180º. Inversamente, se δ+β =180º então α=β. Então de acordo com essa idéia podemos escrever a seguinte proposição:
Proposição Se, ao cortamos duas retas com uma transversal, obtivermos δ+β =180º então as retas são paralelas.
Proposição Se, ao cortamos duas com umaastransversal, o ângulos correspondentes sãoretas iguais, então retas são paralelas.
Fonte: BARBOSA, J.L; Geometria Euclidiana Plana, 10ª ed. Rio de Janeiro; SBM, 2006.
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Exemplo: Na figura abaixo sendo as retas r e s paralelas, cortadas pela transversal t, calcule o valor de x e y.
Solução: Como os ângulos 3x-20 e y+10 são opostos pelo vértices (o.p.v), então 3x-20=y+10. Agora como os ângulos 2x e 2x-20 são alternos internos então, 2x=3x-20. Logo assim, temos 2x-3x=-20 implicando em x=20. E como 3x-y=30, temos que 60-y=30, logo temos y=30. Exemplo: Na figura abaixo as retas r e s são paralelas, determine os valores de x, y e z.
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Solução: Como os ângulos de 50º e x são alternos internos então x=50º. O mesmo raciocínio vale para os ângulos de y e 60º, deste modo y=60º. E por fim z+50+60=180, logo z=70º. Exemplo: Determine o valor de α+β+λ, onde α, β e λ são os ângulos externos do triângulo da figura abaixo.
Solução: Se α, β e λ são os ângulos externos do triângulo em questão, então os ângulos internos do triângulo são: 180º - α, 180º - β e 180º - λ. Sabendo-se soma- dos de ummodo triângulo Então 180º -que α+a 180º β +ângulos 180º - internos λ=180, deste temos,valeα180º. + β+ λ=180+180=360º.
Fonte: DOLCE, O. e POMPEO, J.S. Fundamentos de Matemática Vol 9. São Paulo, Atual Editora- 8ª edição. 64
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Trigonometria no triângulo retângulo O conceito de seno, cosseno e tangente de um ângulo são fundamentais quando estudamos geometria plana. Logo se faz necessário definirmos esses elementos. Tanto o seno, cosseno e tangente são calculados como razão (são chamadas de razões trigonométricas) entre dois números, esses números são a medida do lado de um triângulo retângulo. Vale a pena ressaltar aqui que essas razões trigonométricas são adimensionais (não possuem medida). Outro fato importante é que o valor do seno e do cosseno de ângulo de um ângulo são sempre menores ou iguais a 1(hum).
Fonte: http://cabelovivaolinux.wordpress.com/2009/08/24/triangulo-retangulo/
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Exemplo: Encontre o seno, cosseno e tangente do ângulo de 45º utilizando para isto um quadrado de lado medindo a unidades de comprimento. Solução: Considere o quadrado da figura abaixo de lado medindo a unidades de comprimento.
Fonte: http://alf aconnection.net/pag_avsm/trg0101.htm
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Exemplo: Encontre o seno, cosseno e tangente dos ângulos de 30º e 45º utilizando um triângulo eqüilátero. Solução: Considere um triângulo eqüilátero da figura abaixo de lado medindo a unidades de comprimento.
Fonte: http://alf aconnection.net/pag_avsm/trg0101.htm
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Definição Dois triângulos são semelhantes se for possível estabelecer uma correspondência biunívoca entre seus vértices de modo que ângulos correspondentes sejam iguais e lados correspondentes sejam proporcionais.
Triângulo semelhantes
Fonte: http://www.blogviche.com.br/2006/12/15/semelhanca-entre-triangulos/
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Semelhança de Triângulos Exemplos: Vejamos alguns exercícios sobre semelhança de triângulos. (i) Dado o triângulo ABC abaixo encontre o valor de x e y.
Solução: Como os triângulos ADE e ABC são semelhantes então: y
y
8
4 2
20 2 8
12
12
, ou seja, 20y=4y+32, o que implica emy=2. De modo semelhante, temos:
x
, o que implica em 24+2x=120, ou sejax=48.
(ii) Dado os triângulos ABC e DEF na figura abaixo, encontre o valor de x.
Sendo os triângulos ABC e DEF semelhantes, temos que
10
20
x
6
12
12
, o que implica
em x=20.
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Semelhança de Triângulos (iii) Dado os triângulos ABC e DEF na figura abaixo, encontre o valor de x.
Solução: Sendo os triângulos ABC e DEF semelhantes, temos que
30
20
x
12
8
10
,o
que implica em x=5.
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No link abaixo, temos um vídeo sobre a definição de semelhança que acabamos de estudar.
http://www.youtube.com/watch?v=Nbv3C68NQzQ&feature=related
Logo abaixo, temos vídeos sobre casos de semelhança de triângulos.
1º caso de semelhança de triângulos:
http://www.youtube.com/watch?v=_zcZwgZlj9A&feature=related 3º caso de semelhança de triângulos: http://www.youtube.com/watch?v=lL9udcPqCrE&feature=related Exercício resolvido sobre semelhança de triângulo
http://www.youtube.com/watch?v=XVF9W8-E8lI&feature=related Exercício resolvido sobre semelhança de triângulo
http://www.youtube.com/watch?v=6zNXrKQtBhk
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Polígonos Definição Dada uma seqüência de pontos no plano (A ; ... ;A ) com n 3, todos distintos, onde três pontos consecutivos são não colineares, por exemplo considerando-se consecutivos A n , A e A , assim como A , A e A , chama-se polígono a reunião dos segmentos A A , A A , ... An An , An A . 1
1
n
1
n
1
n
2
1
2
2
3
1
1
Nome dos polígonos De acordo com o número n de lados, os polígonos recebem nomes especiais. Veja na tabela abaixo esses nomes.
Valor de n
Nome do polígono
Número de lados
n=3 n=4
Triângulo ou trilátero Quadrado ou quadrilátero Pentágono hexágono heptágono Octógono eneágono decágono undecágano dodecágono pentadecágono icoságono
3 lados 4 lados
n=5 n=6 n=7 n=8 n=9 n=10 n=11 n=12 n=13 n=15
5 lados 6 lados 7 lados 8 lados 9 lados 10 lados 11 lados 12 lados 15 lados 20 lados
Em geral para um número (n 3) qualquer de lados dizemos que o polígono é um n-látero. 72
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Polígonos quaisquer e regulares
Definição Um polígono convexo é regular se, e somente, tem todos os seus lados congruentes e todos os seus ângulos internos congruentes.
Desse modo, o triângulo eqüilátero é um triângulo regular e o quadrado é o quadrilátero regular. Um polígono regular é eqüilátero e eqüiângulo. Definição: Um polígono é dito convexo se dados dois pontos quaisquer do polígono, o segmento de reta que une estes pontos estiver contido completamente dentro do polígono.
Fonte: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/geomelem/geometr.htm
Fonte: BARBOSA, J.L; Geometria Euclidiana Plana, 10ª ed. Rio de Janeiro; SBM, 2006. 73
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Exercícios Resolvidos
1ºExercício: Defina o que é um polígono Resposta: Polígono é uma figura plana formada por três ou mais segmentos chamados lados de modo que cada lado tenha interseção com somente outros dois lados próximos, sendo que tais interseções denominadas vértices do polígono e os lados próximos não são paralelos. Quando todos os lados do polígono são iguais dizemos que o polígono é regular.
2ºExercício: Defina o que é um polígono convexo Reposta: Polígono convexo é um polígono construído de modo que os prolongamentos dos lados nunca ficarão no interior da figura srcinal. De forma similar podemos dizer que um polígono é convexo quando dado dois pontos pertencentes ao polígono, então todo o segmento tendo estes dois pontos como extremidades, estará inteiramente contido no polígono. Semelhantemente dizemos que um polígono é dito não convexo se dado dois pontos do polígono, o segmento que tem estes pontos como extremidades, contiver pontos que estão fora do polígono.
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Vamos trabalhar!
Exercícios Propostos 1º Exercício: Prove que, se em um triângulo retângulo o menor cateto mede metade do comprimento da hipotenusa, então seus ângulos agudos são de 30º ê 60º. 2º Exercício: Prove que a relação “é semelhança a” é transitiva, isto é, prove que, se dois triângulos são semelhantes a um terceiro, então são semelhantes entre si. 3º Exercício: Prove que alturas correspondentes em triângulos semelhantes estão na mesma razão que os lados correspondentes. 4º Exercício: Toda reta eqüidistante dos extremos de um segmento passa pelo ponto médio dele?
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Recapitulando o conteúdo visto
Com base no estudo feito aqui, em alguns casos de semelhança, temos que: Se a razão de semelhança de dois triângulos é k, então: A razão entre os lados homólogos é k; A razão entre os perímetros é k; A razão entre as alturas homólogas é k; A razão entre as medianas homólogas é k; as bissetrizes internasinscritos homólogas A razão entre os raios dos círculos é k; é k; A razão entre os raios dos círculos circunscritos é k; A razão entre dois elementos lineares homólogos é k; Os ângulos homólogos são congruentes.
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Unidade 04 Estudo sobre a Circunferência. Objetivos da Unidade
Definir Circunferência. Polígonos Inscrição. Polígonos Circunscritos. Inscrição e Circunscrição de polígonos na circunferência.
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Circunferência, inscrição e circunscrição de polígonos. Seja O um ponto do plano e r um Definição número real positivo. O círculo de centro O e raio r é o conjunto constituído por todos os pontos B do plano tais que dist(O,B)=r.
O raio do círculo é o segmento que une o centro do círculo a qualquer de seus pontos. O segmento ligando dois pontos de um círculo será denominado de corda. Toda corda que passa pelo centro do círculo será denominada de diâmetro. Também chamamos de diâmetro à distância 2r.
Fonte: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/geom-circ/geomcirc.htm
Fonte: BARBOSA, J.L; Geometria Euclidiana Plana, 10ª ed. Rio de Janeiro; SBM, 2006.
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Definição: A circunferência é o lugar geométrico dos pontos localizados a uma mesma distância (distância essa chamada de raio) de um ponto fixo chamado da circunferência. Definimos o círculo a região interna da centro circunferência. Podemos com isto, concluir que acomo circunferência limita o círculo, conforme a figura abaixo.
Fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/circulo-ou-circunferencia.htm
Fonte: BARBOSA, J.L; Geometria Euclidiana Plana, 10ª ed. Rio de Janeiro; SBM, 2006.
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Circunferência, inscrição e circunscrição de polígonos. Todo ponto C que satisfaz a desigualdade dist(A,C)r, então C é dito estar fora do círculo. O conjunto dos pontos que estão dentro do círculo é chamado de disco de raio r e centro A. Propriedades Dividindo-se uma circunferência em n (n≥ 3) arcos congruen tes, temos: a) Todas as cordas determinam por dois pontos de divisão consecutivos, reunidas, formam um polígono regular de n lados na circunferência; b) As tangentes traçadas pelos pontos de divisão de divisão determinam um polígono regular de n lados circunscrito à circunferência.
Fonte:http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm98/icm32/problema1.htm Fonte: BARBOSA, J.L; Geometria Euclidiana Plana, 10ª ed. Rio de Janeiro; SBM, 2006.
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Definição Um polígono está inscrito em uma circunferência quando todos os seus vértices são pontos da circunferência. Essa circunferência diz-se circunscrita ao polígono.
Fonte: http://ibiguri.wordpress.com/poligono/pol/
Definição Um polígono está circunscrito a uma circunferência quando possui seus lados tangentes à circunferência. Alternativamente, dizemos que a circunferência está inscrita no polígono.
Fonte: http://ibiguri.wordpress.com/poligono/pol/
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Qualquer função S que satisfaz estas três condições é chamada de função área de um a figura plana P.
Definição A Área S de uma figura plana é um número real positivo associado à superfície de forma que: i) À figuras planas equivalentes estão associadas a áreas iguais. Ou seja, se A≈B implica que a área da figura S(A) = S(B). ii) A soma de áreas de figuras planas está associada uma área que é a soma da área de cada figura plana. Ou seja, se uma figura plana C é soma de duas outras figuras planas A e B então, S(C) =S(A) +S(B). iii) Se uma figura plana A está contida em outra figura plana B, então a área de S(A) é menor ou igual à área de S(B). Ou seja, se a figura A está contida na figura B, então S(A )≤S(B).
Exemplo: Considere a figura abaixo com área das principais figuras planas.
Fonte: DOLCE, O. e POMPEO, J.S. Fundamentos de Matemática Vol 9. São Paulo, Atual Editora- 8ª edição.
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Fonte: http://meninasda1004.blogspot.com/2010/08/areas-planas-triangularretangular.html 83
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Exercícios Propostos
Exercícios sobre inscrição e circunscrição de polígonos. Atividade 01: Acesse o site a seguir para fazer um estudo da construção de polígonos inscritos na circunferência como triângulo eqüilátero, quadrado, pentágono e do hexágono.
http:// mat.absolutamente.net/cg p c.html http://pt.scribd.com/doc/4074672/Matematica-PPT-Poligonos-II
Atividade02: Acesse os sites abaixo para realizar um estudo sobre teoria e exercícios sobre áreas de regiões circulares.
http:// pessoal.sercomtel.com.br/matemática/geometria/geom-areas-cir.htm http:// pessoal.sercomtel.com.br/matemática/geometria/geom-areas/geom-areas-circa.htm
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Vamos trabalhar!
Exercícios Propostos
1º Exercício: Dado uma circunferência de raio 16 cm e um ponto P que dista 7 cm do centro. Determine a distância entre o ponto P e a circunferência. 2º Exercício: Determine o valor do raio do círculo de centro O, de modo que, AB=3x-3 seja o diâmetro e OA=x+3 seja o raio. 3º Exercício: Dado duas circunferências tangentes externamente. Se o valor da distância entre os centros é 28 cm e a diferença entre os raios é 8cm, determine o valor dos raios das circunferências.
4º Exercício: Calcule o comprimento de uma circunferência inscrita em um quadrado de 20 cm de diagonal. 5º Exercício: Quantas voltas dá uma das rodas de um carro num percurso de 50 km, sabendo que o raio dessa roda é 50 cm?
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Essa atividade é essencial para a avaliação presencial, Estude-a!
Atividade Avaliativa 1. A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 10 cm e o raio do círculo inscrito mede 1 cm. Calcule o perímetro do triângulo. 2. Determine o raio de um círculo inscrito em um triângulo retângulo de catetos b e c e hipotenusa a. 3. Em quanto aumenta o comprimento de uma circunferência cujo raio sofreu um aumento de 50%? 4. Usando a lei dos cossenos, determine o lado do octógono regular inscrito em um circulo de raio R. 5. Use a resposta do item 4 para determinar o valor do raio do círculo circunscrito a um octógono regular de lado l.
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Recapitulando o conteúdo visto
Intuitivamente o comprimento do círculo deve ser o comprimento do segmento que obteríamos se pudéssemos, cortando o círculo desencurva-lo, como faríamos com um pedaço de barbante circular. No entanto esta noção de “desencurvamento” não existe em geometria que estudamos aqui. Então partiremos para a idéia mais simples de aproximar o círculo por uma poligonal. Tomemos para isto um polígono regular inscrito no círculo, com n lados, cada um deles medindo S . Se o número de lados for suficientemente grande, será muito próximo do comprimento do círculo. n
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Glossário termos utilizados em geometria euclidiana Ângulo: Reunião de duas semi-retas de mesma srcem, não contidas numa mesma reta (não colineares). Ângulos Consecutivos: Dois ângulos são ditos consecutivos quando, o lado de um deles é também lado do outro. Ângulos Adjacentes: Dois ângulos consecutivos são adjacentes se, e somente se, não têm pontos internos comuns. Ângulos opostos pelo vértice: Dois ângulos são opostos pelo vértice (O.P.V), se e somente se, os lados de um deles são as respectivas semi-retas opostas aos lados do outro. Ângulos complementares: São ângulos cuja soma é um reto (noventa graus). Um deles é o complemento do outro. Ângulos suplementares: São ângulos cuja soma é dois retos (cento e oitenta graus). Um deles é o suplemento do outro. Ângulos replementares: São ângulos cuja soma é quatro retos. (trezentos e sessenta graus). Um deles é o replemento do outro. Ângulo agudo: ângulo cuja medida é menor que noventa graus. Ângulo obtuso: ângulo cuja medida é maior que noventa graus. Ângulo reto: ângulo cuja medida é igual a noventa graus. Ângulo nulo: é um ângulo cujos lados são coincidentes. Ângulo raso: ângulo cujos lados são semi-retas opostas. Bissetriz de um ângulo: Semi-reta que divide o ângulo ao meio. Concorrentes: Que se interceptam em um único ponto. Coincidentes: Que se interceptam em todos os pontos.
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Convexo: Um conjunto ou uma região é dita convexo (a) se, e somente se, dois pontos distintos quaisquer são extremidades de um segmento que está contido totalmente dentro desse conjunto. Consecutivo: Dois segmentos são consecutivos se, e somente se, uma extremidade de um deles é também extremidade do outro. Eqüiângulo: Polígono que possui todos os ângulos iguais. Eqüilátero: Polígono que possui todos os lados iguais. Losango: Paralelogramo que tem todos os quatro lados congruentes. As diagonais de um losango formam um ângulo de 90º. Paralelas: Retas que possuem a mesma inclinação. (Aqui podemos ter duas retas paralelas e coincidentes.) Paralelogramo: É um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Pode-se mostrar que num paralelogramo. Os lados opostos são congruentes. Os ângulos opostos são congruentes;A soma de dois ângulos consecutivos vale 180º.As diagonais cortam-se ao meio. Quadrado: É um paralelogramo que é ao mesmo tempo um losango e um retângulo. O quadrado possui quatro lados com a mesma medida e também quatro ângulos retos. Retângulo: É um paralelogramo com quatro ângulos retos e dois pares de lados paralelos. Segmento de reta: È a reunião do conjunto de dois pontos distintos dados com o conjunto de pontos que estão entre eles. Segmentos colineares: Dois segmentos são colineares se, e somente se, estão numa mesma reta. Segmentos adjacentes: Dois segmentos são consecutivos e colineares são adjacentes se, e somente se, possuem em comum apenas uma extremidade (não têm pontos internos comuns). Semi-reta: È a reunião do segmento de reta dado por dois pontos distintos com o conjunto de pontos que está entre um desses pontos e a semi-reta. Triângulo: Reunião de três pontos não colineares ligados por segmentos de retas. Trapézio: Quadrilátero que só possui dois lados opostos paralelos com comprimentos distintos, denominados base menor e base maior. Pode-se mostrar que o segmento que liga os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e o seu comprimento é a média aritmética das somas das medidas das bases maior e menor do trapézio.
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Trapézio isósceles: Trapézio cujos lados não paralelos são congruentes. Neste caso, existem dois ângulos congruentes e dois lados congruentes. Este quadrilátero é obtido pela retirada de um triângulo isósceles menor superior (amarelo) do triângulo isósceles maior.
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Alfabeto Grego
Fonte: http://rodrigoguedes.wordpress.com/2010/10/08/alfabeto-grego/
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Tipos de demonstração matemática 1. Introdução As provas em matemática empregam lógica e usualmente incluem alguma quantidade de linguagem natural não ambígua. De fato, a forma como a grande maioria das provas na matemática é ensinada pode ser considerada como aplicações da lógica informal, mas uma afirmação só deixa de ser considerada uma conjectura após ter uma demonstração escrita usando lógica formal nos trechos onde pode haver ambigüidades. Independentemente da atitude que se tenha em relação ao formalismo, o resultado provado é um teorema; em uma prova completamente formal isto seria o ponto final, e a prova completa mostra como o resultado segue apenas dos axiomas. Uma vez o teorema provado, ele pode ser usado como base para provar outros enunciados. As chamadas fundações da matemática são aqueles enunciados que não se pode, ou não é necessário, provar. Estes foram uma vez o estudo primário dos filósofos da matemática. Hoje o foco é mais na prática matemática, isto é, técnicas aceitáveis.
2. Técnicas de prova comuns Prova direta: a conclusão é estabelecida através da combinação lógica dos axiomas, definições e teoremas já existentes. Prova por indução: um caso base é provado e uma regra de indução é usada para provar uma série de outros casos. Prova por contradição (também conhecida como reductio ad absurdum): é mostrado que se algum enunciado fosse verdadeiro, ocorreria uma contradição lógica, e portanto o enunciado deve ser falso. Prova por construção: consiste em construir um exemplo concreto com determinada propriedade para mostrar que existe algo com tal propriedade. 92
Prova por exaustão: a conclusão é estabelecida dividindo o problema em um número finito de casos e provando cada um separadamente. Prova pela negativa: a conclusão é uma refutação que prova ser falso o problema especificado. (ou seja, é uma negação matemática). Prova por impossibilidade: a conclusão, neste caso, não significa responder se o problema do caso é verdadeiro ou falso e sim, determinar se o problema pode ser resolvido ou se ele jamais terá uma resposta geral que o solucione. Exemplos de casos assim, tais como: a solução de Yuri Matiyasevich em 1970 para o 10º problema de David Hilbert [no qual este lançou uma lista de 23 problemas matemáticos para serem resolvidos, em 1900) e o Problema das Sete pontes de Königsberg, provado por Leonhard Euler como impossível de ser solucionado, em 1736.
Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Prova_matemática
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CONTATOS Professor: Paulo César Linhares da Silva [email protected] [email protected] Tutora: Angélica de Freitas Alves Angé[email protected] Coordenação de Curso: Valdenize Lopes do Nascimento
[email protected] Coordenação de Tutoria: Fabrício Figueiredo de Oliveira
[email protected]
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