ESQUEMA
3
FORMA, ESPACIO Y MEDIDA
Conocimiento Del contenido
Procesos de aprendizaje De los alumnos
Común espacializado
Errores y dificultades Comunes.
M E D I C I
Imaginación Espacial
Figuras y trazos geométricos
Geometría dinámica
Simetrías y transformaciones en transformaciones el lano
Diseño y gestión de entornos de aprendizaje
Teorías didácticas.
Concepciones
Procesos de matematización.
Estrategias de aprendizaje.
Resolución de problemas.
Comprensión.
Uso de las TIC.
Evolución de su razonamiento.
Representaciones.
Normas sociomatemáticas
Gestión del currículo
Articulación entre el conocimiento del contenido y su tratamiento en el plan de estudios de la Educación Preescolar.
Reflexión y transformación de la práctica
Práctica docente con los contenidos del curso. Diseño de instrumentos de recuperación de la información. Sistematización y elaboración de textos.
Evaluación de los aprendizajes.
o h c a n e
Ó N
Cuerpos geométrico geométricoss
M
Vinculación Vinculació ny relaciones de complejidad
A D I D E M
R ES I G N I F I C A C I Ó N
Y O I C A P S E , A M R O F
z e r a v l Á . Y y l a i N . a r t M : O R O B A L E
qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiop qwertyuiopasdfghjklzxcvb nmqwertyuiopa a sdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcv bnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklz xcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwert Licenciatura en Educación Preescolar yuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghj AGENDA SEMESTRAL 2012-2013 PLANEACIÓN SEMESTRAL klzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq Forma, Espacio y Medida wertyuiopasdfghjklzxcvbnm wertyuiopasdfg hjklzxcvbnmqwertyuiop qwertyuiopas as dfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvb nmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuio pasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty Mtra. Nialy Y. Álvarez Menacho
FORMA, ESPACIO Y MEDIDA
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En este curso los docentes docentes en formación abordarán el el estudio de la geometría desde desde la óptica de su aprendizaje y enseñanza en educación preescolar teniendo como referente los contenidos planteados para el nivel de preescolar (SEP, 2011). El curso va más allá del reconocimiento de figuras y cuerpos geométricos, se hace énfasis en el estudio de las propiedades de las figuras con la finalidad de propiciar un análisis profundo de los conceptos y relaciones geométricas, destacando destacando la distinción entre lo perceptible y el objeto geométrico que se analiza. El curso de Forma, espacio y medida, se desarrolla a partir de una exploración empírica basada en la percepción y la manipulación de objetos, y continúa hacia un estudio orientado al conocimiento de las propiedades geométricas que poseen. Se emplea la construcción de figuras y cuerpos geométricos como un vehículo para motivar la formulación de conjeturas, se acude a las estructuras conceptuales previamente desarrolladas como el referente para validarlas o refutarlas y a la resolución de problemas como la estrategia de aprendizaje. En el tratamiento de los temas se acude al uso de software de geometría dinámica (Geogebra), como un recurso para explorar relaciones y propiedades geométricas que conduzca conduzca a la realización de tareas tareas de tres tipos: tipos: exploración, formulación de conjeturas y demostración. Estas tareas se orientarán a construir un esquema para la enseñanza de las nociones en educación preescolar acerca de la forma, el el espacio espacio y la medida, medida, que sentarán las bases para comprender comprender los conceptos geométricos que se abordan en el jardín de niños, de manera que la articulación entre los conocimientos disciplinarios y los conocimientos didácticos presentes en el curso, al resignificarse desde la práctica docente de nivel preescolar, contribuyan al desarrollo de las competencias profesionales de los futuros docentes de ese nivel.
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preescolares.
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UNIDAD DE APRENDIZAJE 2 1. Forma y Espacio CONTENIDOS APRENDIZAJES ESPERADOS DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE 1.1. Cuerpos y figuras geométricas: Aplica habilidades de visualización, comunicación, razonamiento r azonamiento y argumentación al trabajar contenidos de geometría. triángulos, cuadriláteros. 1.2. Revisión de las propiedades del rectángulo, cuadrado cuadrado y triángulo Plantea y resuelve problemas geométricos en diferentes contextos con recursos tradicionales y/o el uso de la geometría dinámica. rectángulo. la 1.3. Ángulos y su medida: rectos, Demuestra comprensión conceptual, procedimental y actitudinal de la geometría al establecer y fundamentar los componentes críticos y la agudos y obtusos. Trazo con regla y interrelación entre contenidos del nivel básico de forma inter y multidisciplinaria. Analiza los niveles de razonamiento geométrico y los procesos cognitivos de los estudiantes, para la comprensión y la enseñanza de la compás. 1.4. Triángulos: equiláteros, geometría. isósceles y escalenos. Usa estrategias de carácter lúdico para la enseñanza y aprendizaje de contenidos de geometría. 1.5. Construcción de triángulos con regla y compás. Congruencia de triángulos. 1.6. Rectas paralelas y perpendiculares en el plano. Construcción con regla y compás. 1 .7. Clasificación de cuadriláteros con base en sus propiedades. 1.8. Suma de los ángulos internos y externos de triángulos, cuadriláteros y otros polígonos. 1.9. Prismas y pirámides. Desarrollos planos. 1.10. Simetría axial y central. Rotación y traslación. UNIDAD DE APRENDIZAJE 3 CONTENIDOS 1.1. Longitud y perímetro. 2.2. Área. 2.3. Volumen. 2.4. Tiempo, peso y otras magnitudes medibles.
Medida y cálculo geométrico APRENDIZAJES ESPERADOS DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE Demuestra habilidades de visualización, comunicación, razonamiento y argumentación al trabajar contenidos de geometría. Plantea y resuelve problemas geométricos en diferentes contextos con recursos tradicionales y/o el uso de la geometría dinámica. Demuestra comprensión conceptual, procedimental y actitudinal de la geometría, al establecer y fundamentar los componentes críticos y la interrelación entre contenidos del nivel básico de forma inter y multidisciplinaria. Analiza los niveles de razonamiento geométrico y los procesos cognitivos de los estudiantes, para la comprensión y la enseñanza de la geometría.
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Usa estrategias de carácter lúdico para la enseñanza y aprendizaje de contenidos de geometría.
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A NEXO NEXO 3 Espacio y forma *
Susan Sperry Smith
El desarrollo del sentido del espacio, haciendo uso de la geometría, es una herramienta esencial para el pensamiento matemático. matemático. Muchos adultos se sienten intimidados por tareas como “contar el número de cubos” en una ilustración, cuando sólo se da una vista de lado. Afortunadamente, la imaginación visual y las habilidades espaciales mejoran con la práctica (Del Grande, 1990; Yackel y Wheatley, 1986). […] La comprensión inicial de la geometría en un niño ocurre como un conocimiento físico del espacio. Un infante ve la cara de su madre madre desde un punto de vista cuando la mira desde abaj abajo, o, de otro cuando está acurrucado acur rucado en sus brazos y de otro ot ro cuando está sentado en su silla. Una cara no es una “fotografía” estática de una persona, por el contrario, hay “varias caras”, dependiendo del ángulo de visión. Los adultos también perciben las formas de manera diferente, dependiendo de la distancia. Un chofer tiene una vista de la última casa de una cuadra cuando maneja por la calle y una visión diferente cuando estaciona el auto enfrente. Debido a que los adultos han desarrollado la perspectiva, pueden visualizar la casa como un objeto estático. Nos orientamos y movemos “en el espacio”: el niño pequeño alcanza una sonaja en la bandeja o gatea hasta la mesa y se levanta agarrado de la orilla; los adultos suben unas escaleras que les son familiares sin mirar hacia abajo, pero en unos escalones nuevos para bajar a la playa, observamos nuestros pies para juzgar dónde daremos el siguiente paso; un jugador de futbol americano tira un pase en el campo de juego y el receptor lo atrapa; dos bailarines entran a una pista de baile con mucha gente y encuentran espacio para moverse; un adolescente toma un par de pantalones de mezclilla en la tienda y decide si esa talla le quedará. Estas actividades ilustran algunas de las formas en que la gente se relaciona con el espacio a su alrededor.
* “Space and Shape”, en Early Childhood Mathematics , 2ª ed., Boston, Allyn & Bacon, pp. 58-78. [Traducción de la SEP realizada con fines académicos, no de lucro.]
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Un segundo tipo de juicio sobre el espacio es el que considera la relación de objetos entre sí o respecto a lo que hay alrededor: ¿Qué distancia hay entre dos árboles? ¿Cabrá una hamaca? ¿Cabrá el juguete en el juguetero? ¿Cuál es el color de la siguiente cuenta en un patrón de cuentas creado con azul, amarillo y verde? Aquí Aquí tomamos decisiones con base en dónde se encuentran las cosas en relación con otras. Los niños pequeños comienzan sus estudios de geometría con el tema de la topología, un tipo especial de geometría que investiga estas relaciones. En la topología, los materiales pueden estar comprimidos o expandidos para crear investigaciones matemáticas. Por ejemplo, una pelota de barro puede convertirse en una serpiente y ser topográficamente equivalente. En la geometría de una forma rígida (Geometría Euclidiana) se hacen dos formas diferentes: una esfera y un cilindro. El maestro muestra una cuerda elástica con cuentas de colores amarradas a intervalos de tres centímetros; la estira y la deja contraerse. Las propiedades esenciales de la tira elástica permanecen igual. La licra, con la que se confeccionan trajes de baño, también se estira bien. Una cara dibujada en un pedazo de licra puede contorsionarse y revertirse. Los títeres hechos con el material de un traje de baño viejo, serán una adición imaginativa para el centro de juego dramático. Un geoplano y unas ligas son herramientas útiles para mostrar muchas formas diferentes, todas creadas con la misma liga (véase figura 1). Figura 1. Formas en un geoplano.
La topología es el estudio de las relaciones entre los objetos, lugares o eventos, más que la habilidad de dibujar figuras comunes como un círculo o un cuadrado. En general, los niños necesitan experiencias topológicas con muchos tamaños de espacios para desarrollar habilidades espaciales.
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Estos espacios incluyen parques y campos de juegos, o parques con aparatos para trepar, columpiarse, lanzarse por la resbaladilla, hacer círculos Espacio grande.
y correr. Los gimnasios también pueden tener suficiente espacio para juegos donde corran, tiren pelotas, se balanceen en cuerdas o brinquen en los trampolines. Estos espacios involucran espacio o espacios en el piso que permitan
Espacio mediano.
actividades como construcción con bloques o tareas de cuidado del hogar, donde los niños entran a sus construcciones o construyen una estructura más grande que ellos. Son espacios que permiten hacer construcciones, como una mesa, con ma-
Espacio pequeño.
teriales como bloques de Lego Lego,, Duplos y juegos de construcción/armado, y con muchos objetos manipulables utilizados como parte del curriculum de matemáticas. Estas piezas generalmente caben en la mano del niño.
Cuatro conceptos topológicos –proximidad, separación, ordenamiento y encerramiento– forman la base de las experiencias en geometría para el nivel preescolar. La pro La proxim ximida idad d se se refiere a preguntas sobre posición, dirección y distancia, tales como: “¿dónde estoy?” o “¿dónde estás tú?” (adentro-afuera, arriba-abajo, enfrente-atrás), “¿por dónde?” (haciadistanciarse, alrededor-atravesar alrededor-atravesar,, hacia adelante-hacia atrás), y “¿dónde está?” (cerca-lejos, cerca de-lejos de). La separación se refiere a la habilidad de ver un objeto completo como un compuesto de partes o piezas individuales. Los niños dibujan la figura humana en forma de huevo con ojos y boca, y agregan líneas para formar brazos y/o piernas. Posteriormente se añade un torso, dedos y dedos de los pies (Sanford y Zelman, 1981). El concepto de partes y enteros surge gradualmente con la experiencia de armar modelos, rompecabezas y construir con bloques: las llantas se quitan y ponen en el carrito de juguete; el osito recibe un suéter y un sombrero; se construye un garaje para guardar los camiones. Después, en los grados de primaria, la habilidad para visualizar 1 000 pequeños cubos dentro de un bloque de madera es necesaria para utilizar este manipulable como un modelo de nuestro sistema de valor posicional. La separación también tiene que ver con reconocer las fronteras. Una cinta amarilla sobre el piso del gimnasio divide el espacio. Los alumnos se paran detrás de la línea amarilla hasta que el maestro da la señal de correr. El río separa al centro de la ciudad del barrio. La niñera dice: “quédate en este lado de las vías del tren”. El ordenamiento se refiere a la secuencia de objetos o eventos. Las dos maneras comunes de describir la sucesión son de “primero al último” o al revés, “del último al primero”. También También se puede referir a la formación de un patrón o a acomodar cosas en un espacio para que sean
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agradables a la vista. Los niños aprenden a secuenciar un día utilizando tarjetas con imágenes antes de que sean capaces de utilizar el lenguaje para primero, segundo o tercero. Revertir la secuencia, como contar para atrás o hablar de los eventos de la semana pasada, es difícil para algunos niños de primer grado. Las actividades con patrones [...] y de igualar un número a un conjunto (donde cuatro elementos contados se igualan al numeral 4, y cinco cosas contadas con el numeral 5) desarrollan desarrollan el sentido de sucesión. El encerramiento se refiere a estar rodeado o encajonado por objetos alrededor. Un punto en una línea puede estar cercado por puntos en ambos lados. En un espacio tridimensional, una barda puede cercar animales o un bote con una tapa puede encerrar al cereal. Mientras que el encerramiento se refiere técnicamente a lo que está adentro, hay en realidad tres dimensiones pertinentes a la geometría. Por ejemplo, al describir la casa del perro, hay encerramiento o espacio para que viva (yardas o metros cúbicos); la frontera o dimensiones de perímetro, las medidas de superficie de las paredes, la medida del techo; y el espacio afuera de la casa, como el jardín para jugar. Con frecuencia, los niños pequeños confunden área con perímetro, piensan que la frontera es lo mismo que el encerramiento. Actividades que involucran plantillas ayudan a desarrollar estos tres espacios diferentes. Por ejemplo, los niños pueden poner la plantilla de un gato sobre un papel, trazan la línea exterior y luego pueden colorear el gato o el fondo (figura 2). Figura 2. Una plantilla de un gato.
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Espacio: aprendizaje informal en el hogar y en la escuela Desarrollar conceptos acerca del espacio es una parte natural del crecimiento. Las oportunidades de jugar en espacios abiertos, con equipo de juego seguro y de crear objetos en espacios medianos son cruciales. Los niños no deben estar confinados a las sillas de infantes, corrales o a un cuarto pequeño amontonado. amontonado. Los conceptos de proximidad se desarrollan cuando los maestros y cuidadores instan a los niños a utilizar palabras del lenguaje especial para posición y dirección: [...] “Mi silla está al lado de la pared”, “Las cuentas cayeron debajo del escritorio”. Los juegos de mesa, como las damas, fomentan el movimiento y la planeación relacionados con el espacio. La separación en partes y enteros ocurre cuando los niños juegan con muñecos y ropa, rompecabezas, Legos Legos,, muñecos de papel o modelos que se separan en partes. Con el tiempo, pueden hablar sobre las diversas partes de un objeto, por ejemplo, una silla tiene un asiento, patas y a lo mejor un respaldo o brazos. Se impulsa la comprensión del ordenamiento al leer literatura infantil como Hansel y Gretel . Una secuencia de eventos sucede y luego se revierte. Muchos clásicos para niños pequeños, como The Very Hungry Caterpillar [ Caterpillar [Una oruga muy hambrienta hambrienta]] (Carle, 1981), utilizan el tiempo como una secuencia. Las actividades que involucran el concepto de encerramiento incluyen construir estructuras con paredes, puertas y techos para pequeños animales como jerbo s y pájaros. Las preguntas que se pueden hacer incluyen: “¿La puerta está cerrada para que Paco, nuestro pájaro, no se escape?”. Las colecciones de animales con corrales también crean oportunidades para encerramientos. Posteriormente, es posible llenar, cerrar y abrir jarras con tapas y cajas cubiertas. Es posible crear muchas actividades de aula para incrementar el aprendizaje de la geometría. Es factible acomodar una pista de obstáculos en el gimnasio para que los niños sigan una serie de órdenes utilizando el lenguaje de la topología. Los niños cruzan por debajo por debajo del caballo de madera y se arrastran a través de la caja. Hay tapetes que se venden comercialmente –se llaman “Workmat Math” [“Matemáticas en tapete de trabajo”] ( Creative Publications)– Publications)– y están diseñados para el uso de instrucciones directas en lenguaje matemático. Estos escenarios motivadores se utilizan en los niveles finales del preescolar y en primer grado de primaria. Tarjetas con forma fo rma de animales ( ETA) se cubren con patrones de bloques. Las primeras tarjetas tienen una silueta de las piezas que se necesitan para llenar el animal y después pueden ser cubiertas con múltiples combinaciones. Estas tarjetas proporcionan trabajo productivo en el pupitre, al tiempo que enseñan acerca de las partes y los enteros. El ordenamiento puede resaltarse en una lección cuando el maestro pone monedas en una alcancía y pregunta: “¿Qué moneda fue la última?”. Hacer composiciones con pedazos de
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tela, encaje y estambre insta un sentido de equilibrio, o arreglos interesantes de artículos sobre una cartulina. Los geoplanos, las ligas y el papel lleno de puntos son herramientas útiles para explorar las formas cambiantes. Los geoplanos exponen a los niños a “curvas cerradas” y también los auxiaux ilian para desarrollar imágenes visuales: una curva cerrada se elabora al detener y comenzar una figura en el mismo punto; un aro de llavero puede ser cerrado para sostener llaves; un gancho en el armario está abierto para colgar la chamarra. Lanzar bolas llenas de frijoles es otro juego de aula que enseña el concepto de encierro: ¿La bolsa está adentro, afuera o en el cuadro? Finalmente, la construcción con bloques es una actividad invaluable para todos los alumnos. La construcción con bloques tendrá que incluirse como una parte del curriculum de geometría que no se debe perder nadie.
Evaluación de relaciones espaciales Observe El niño, ¿sigue las instrucciones que utilizan palabras de posición, ordenamiento y distancia? ¿Puede decir cuándo está presente el objeto completo o identificar si falta una parte? ¿Puede describir las partes de un objeto?, por ejemplo, ¿qué partes conforman sus tenis? ¿Puede consco nstruir un encierro con bardas para que los animales no se salgan? ¿Utiliza las palabras “afueraadentro” o “entre”?
Entrevista Pida al niño que le cuente una historia acerca de las actividades en el aula, como la pista de obstáculos o la construcción de modelos. Con la excepción de las palabras de sucesión o de orden, los conceptos y vocabularios resaltados en este capítulo ya deben dominarse a los seis años. […]
Forma La forma es el estudio de figuras rígidas, sus propiedades y su relación entre una y otra. Las investigaciones más comunes se refieren a las figuras espaciales, como una pelota, y las figuras planas, como un círculo. Un ejemplo del concepto de relación entre formas puede ser: “¿Son iguales los dos triángulos (congruentes)?”. Las figuras tridimensionales o figuras espa-
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ciales que se encuentran en el aula de la infancia temprana incluyen la esfera, el cilindro, el cono, el cubo y el prisma rectangular (figura 3). Figura 3. Figuras espaciales comunes.
Las figuras planas comunes incluyen el círculo, el triángulo, el cuadrado, el rectángulo, el rombo y el elipse (figura 4). Figura 4. Figuras planas comunes.
Los niños encuentran similitudes y diferencias en las formas presentes en el medio ambiente. El desarrollo de la habilidad de discriminar una forma de otra es la meta de instrucción del curriculum temprano sobre las formas.
Forma: Form a: aprendizaje informal en el hogar y en la escuela Los niños pequeños aprenden a diferenciar una forma de otra al manipular objetos: algunos son fáciles de tomar y llevar a la boca; algunos ruedan y otros no; algunos son lisos, como una cuchara; otros son puntiagudos, punt iagudos, como un tenedor. Después de crear una pintura con los ded os o un colage, pueden “ver” una forma: “Se parece a mi perro”. Las figuras espaciales se enseñan primero, porque estas formas se pueden encontrar en el medio ambiente. Con frecuencia se describen los objetos con nombres comunes, por ejemplo: aquello que tiene forma de pelota o aquel objeto en forma de caja. Los cilindros se ven como tubos o latas de refresco. Los cubos parecen bloques pequeños o dados. Los niños inventan sus propios puntos de referencia utilizando experiencias cotidianas. El aprendizaje informal sobre las figuras espaciales ocurre en la casa o en la escuela cuando el ambiente circundante contiene muchos objetos para llenar, vaciar algo desde ellos, anidar,
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separar y unir: una cocina tiene tazas medidoras, ollas y sartenes con tapas para hacer que concuerden, y fregaderos y jarras para verter. Ver imágenes o videos, la televisión o las pantallas de computadora no puede sustituir las experiencias directas. Los niños deben tocar y moldear formas además de reconocerlas. Las figuras planas, como los círculos y los cuadrados, con frecuencia se encuentran en los libros de imágenes. Un ejemplo maravilloso de formas se encuentra en el libro de Lois Ehlert, Color Zoo [Zoológico de color ] (1989). Otros excelentes libros se pueden encontrar con facilidad en los estantes de la biblioteca. Los padres y parientes con frecuencia señalan el nombre de la forma de los artículos comunes del hogar, hoga r, por ejemplo, la tapa de una lata de sopa puede ser un objeto que se presta para una lección de formas: “Ves, “Ves, la tapa es un círculo”. Muchas personas sienten que nombrar formas comunes es una tarea de la geometría infantil temprana, por lo tanto, hacen un esfuerzo para utilizar palabras como cuadrado o redondo.
Planeación de actividades de forma Los niños exploran la forma en una variedad de maneras. Cuatro niveles de dificultad delinean el rango del proceso. Generalmente, Generalmente, comienzan con objetos tridimensionales y continúan con figuras planas.
Nivel I
Nivel II
Nivel III Nivel
IV
Igualar una forma a una forma similar. “Pon el
en la figura del
Separa las formas por su similitud. “Pon todos los juntos todos los
”
en una pila y
en otra”.
Nombra la forma: “¿Qué forma es esta?”. Dibuja las formas. Copia el modelo o dibújalo de memoria (difícil).
Para la edad de seis a siete años, la mayoría de los niños pueden dibujar todas las figuras planas comunes, incluyendo el rombo (Sanford y Zelman, 1981). Las actividades de aula en el nivel preescolar deben apoyar las actividades de concordancia y clasificación. Los niños utilizarán objetos cotidianos como la fruta para practicar la clasificación. Un conjunto de frutas reales está en la mesa, mientras otro conjunto de frutas de plástico está en la bolsa: “Mete tu mano en la bolsa y toma una fruta. ¿Qué tienes?”. Primero
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el niño nombra la fruta misteriosa y luego la suelta. Es posible utilizar otro tipo de colecciones, mientras que los objetos tengan características distintivas. No sería justo poner un lápiz y una pluma en la misma bolsa. Las actividades de concordancia son fomentadas cuando el niño crea “Mi libro de formas”. Se pegan en papel imágenes de figuras espaciales cortadas de revistas y periódicos. Un libro entero puede dedicarse a una forma en particular, como la pelota, o separar algunas páginas individuales a cada forma. En el rincón de actividad matemática se dividirá una mesa y se etiquetará una sección para cada forma. Los niños traen objetos de su casa y los hacen concordar con el lugar correcto en la mesa de formas. La separación ocurre como parte de las actividades de clasificación: se separan botones redondos y cuadrados, y las conchas de mar entre lizas y corrugadas. La separación habilita a los niños a comenzar a enfocarse en las características específicas específicas o en las partes de un todo. Posteriormente, en los grados de primaria, estas habilidades serán de utilidad. Las figuras serán separadas por el número de esquinas o tipos de ángulos. Los niños aprenden a asociar de varias maneras una etiqueta o nombre con un objeto. Es benéfico moldear una forma en plastilina o barro. No es suficiente sólo trazar la figura. Las formas se pueden crear con palillos y malvaviscos o gomitas de dulce. Se puede moldear harina para hacer galletas y luego hornearla. El dibujo de figuras planas puede dejarse para el primer grado. Los niños pequeños con frecuencia no tienen el control motor fino o la habilidad para discriminar las características únicas de las formas comunes y se requiere ubicar la perspectiva para dibujar las figuras espaciales. En cambio, doblar papeles de secciones de figuras espaciales, previamente dibu jadas, ayudará para reconocer reconocer los diferentes lados y esquinas: se traza el patrón, se dibujan líneas discontinuas para doblar, y se usa cinta adhesiva para mantener la forma intacta. También un simple origami es una actividad artística muy agradable al igual que una lección de matemáticas. En las aulas inclusivas, los niños con necesidades educativas especiales pueden descubrir qué objetos ruedan y cuáles son planos o separar los que tienen esquinas de los que no las tienen. El trabajo con arcilla, pinturas de agua, tableros perforados para poner estacas grandes, y con bloques iguales para hacer patrones, les ayudarán a desarrollar las habilidades espaciales.
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Evaluación de formas Observe ¿En niño puede utilizar la forma para separar y clasificar? ¿Puede concordar objetos comunes con figuras tridimensionales de espacio? Utilizando el libro de formas, ¿puede encontrar la forma que va con la historia?
Entrevista Pida al niño que le cuente acerca de un dibujo o un collage, ¿identifica las formas? Pídale que nombre figuras planas básicas y que describa figuras espaciales en términos cotidianos, por ejemplo, un óvalo o una elipse tienen forma de huevo (seis años en adelante).
Evaluación de actuación (cinco a seis años) • Artí Artículos culos necesa necesarios: rios: objetos objetos cotidia cotidianos nos como como pelotas, pelotas, botes botes de avena, avena, conos conos para helados, cajas, triángulos (instrumentos musicales) y el ambiente natural del aula. • Pida al al niño que que busque busque alrededor alrededor de la la habitació habitación n y encuentre encuentre un un ejemplo ejemplo de una una forma en particular. Si es necesario, muéstrele un dibujo de líneas de la figura como estímulo. • Jugar The The Shape Board Game [Tablero de juego j uego de formas ] y “Ready-Set-Math” [“En sus marcas-listos-matemáticas”] marcas-listos-matemáticas”] como se describe en la sección de actividades. […]
Lenguaje preciso Para los niños pequeños un punto es un punto o una bolita en el papel. Para los matemáticos un punto en el papel es una burda aproximación de una idea abstracta. Un punto Un punto matemático es una ubicación y no tiene tamaño. No es la bolita en el papel. Y esta lógica se extiende a las curvas, las líneas y los planos. Los maestros de infancia temprana necesitan utilizar lenguaje adulto y preciso cuando hablan de las figuras como los círculos, cuadrados, triángulos y rectángulos. Un estudio de investigación realizado por Hannibal (1999) demostró que los niños de edades entre tres y seis años son renuentes a abandonar sus nociones sobre lo que constituye una forma en particular. Se rehúsan a identificar un triángulo escaleno como un triángulo, porque “tiene muchas puntas”;
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los triángulos equiláteros sólo son triángulos, y un pentágono podría ser un triángulo, porque tiene una punta. Ellos rechazan la idea de que un cuadrado es un rectángulo. La investigadora también encontró que los niños consistentemente sobrepasaban a las niñas, y la diferencia se ampliaba con la edad. Resaltó que las niñas necesitan más experiencia con la forma. Una manera de ayudar a resolver la situación es comenzar con explicaciones matemáticas matemáticas correctas desde el inicio. Hannibal escribe: “DIGAN que los triángulos tienen tres lados, o segmentos de líneas, y tres puntas, o esquinas, con todos los lados rectos y todos los lados conectados... DIGAN que los rectángulos tienen cuatro lados con lados opuestos congruentes y que tienen cuatro ángulos” (p. 356). Ella sugiere utilizar la esquina de un pedazo de papel para revisar los ángulos rectos; evitar referencias que sugieran que un triángulo es sólo como un pino o que el rectángulo es como una caja. Es importante utilizar tantos ejemplos diferentes como encajen en la definición, pero que no se encuentran comúnmente en los libros sobre formas. El estudio de la topología continúa en los grados de primaria. Las plantillas de metal para las variadas figuras planas están disponibles comercialmente. Se puede trazar un óvalo dentro del trazo de un cuadrado. Los niños utilizan lápices de colores para sombrear el área que no está cubierta por el óvalo. Es posible explorar la relación del área con el perímetro utilizando un geoplano de 11 puntos. Los niños piensan en el geoplano como una pieza de un terreno de siembra: un cerdo necesita una cierta cantidad de terreno y se pueden construir tamaños diferentes de corrales utilizando cercas hechas con ligas; una unidad de la cerca se alarga de estaca a estaca. Cada nueva configuración se registra en un papel graficado con puntos. Por otro lado, si se permite a los estudiantes tener sólo 12 unidades de cerca, el área cambiará mientras que el perímetro permanece igual. El estudio de la geometría de movimiento incluye los conceptos “deslizar”, “rotar” y “girar”, porque las formas se mueven en el espacio, ya sea deslizándose, girando o rotando (figura 5). Figura 5. Movimientos comunes hechos con una forma geométrica.
Taza A
1
Taza A
Deslizar
Taza B
1
Taza B
Rotar
Taza C
1
Taza C
Girar
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Las actividades de patrones con bloques permiten experimentar la geometría de movimiento, pues se mueven, giran o rotan, y los niños pueden crear diferentes diseños. Las unidades que utilizan piezas piezas de rompecabezas del tangram* tangram* y patrones de pentómino,* pentómino,* también estudian los conceptos de la geometría de movimiento. La simetría añade equilibrio a un diseño y es agradable a la vista. Las líneas de simetría se encuentran cuando un objeto, una imagen o un diseño puede separse en dos mitades idénticas. En la naturaleza, las mariposas, algunas flores, algunas hojas y las personas, tienen al menos una línea de simetría (figura 6): muchas colchas tienen líneas de simetría fáciles de encontrar y, si el patrón no es muy complicado, la tela puede ser doblada en una línea; fruta cortada, como una naranja, puede mostrar una línea vertical y una horizontal. Figura 6. Línea de simetría.
Una forma natural de investigar la simetría es doblando papel. En las clases de arte, un pedazo de papel se dobla y se dan unos toques de pintura de colores, la parte seca se presiona contra la parte con la pintura y aparece una imagen refleja. Los diseños de copos de nieve son otra posibilidad. El papel se dobla y se cortan pequeños triángulos, luego se abre para revelar un copo de nieve simétrico. Otra actividad favorita involucra letras del alfabeto alfabe to cortadas. Los estudiantes intentan encontrar líneas de simetría. Las letras A y M tienen líneas verticales, mientras que la B y la D tienen
* El juego del Tangram se jugaba en la antigua China y era considerado como un juego para niños y mujeres. Generalmente se hacía con títeres, y lo que el público veía era la sombra de los títeres reflejada en una pantalla, los detalles de los títeres se perdían y sólo quedaba la silueta de la figura. Los chinos lograban así representar objetos inanimados, pero también animales o personas en movimiento (n. de la t.). * Es un antiguo juego de origen árabe que admite muchas soluciones (n. de la t.).
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líneas horizontales. La letra I y la O tienen ambos tipos de línea. Algunas letras como la H, la I y la O se pueden rotar 180 grados y permanecer igual. Alrededor del del tercer grado, grado, los estudiantes estudiantes están listos para estudiar las líneas de simetría simetría en varias figuras planas. Se investiga la relación del número de líneas de simetría con el número de lados; por ejemplo, un cuadrado tiene cuatro líneas de simetría y cuatro lados. En grados más avanzados el estudio de la simetría lleva al estudio de la congruencia. Seguir un “sendero”, “trazar una ruta” y practicar juegos con cuadrícula desarrolla el conocimiento informal de la geometría de coordenadas. coordenadas . Al utilizar un sistema de coordenadas es posible ubicar una calle en particular en un mapa de la ciudad. Los niños aprenden que cuando se da un par de números, el primero se refiere al número de la l ínea horizontal; el segundo es el vertical. Otra forma de pensar acerca del sistema es “hacia allá y arriba”. Un juego fácil utiliza una cuadrícula, dos estacas de colores diferentes y un dado marcado 1-2-3, 1-2-3. Cada jugada tiene una estaca. estaca. Se tira tira el dado. Si sale sale un 2, el niño lee el número y dice: “sobre dos”, y mueve la estaca horizontalmente. Luego el mismo niño tira otra vez. Si aparece el número uno, dice: “uno arriba”, y mueve la estaca un orificio en el eje vertical. Se pasa el dado al siguiente jugador. jugador. El ganador es la persona que salga primero del tablero. Numerosas compañías compañías publican trabajo de escritorio en el cual los estudiantes buscan puntos utilizando un sistema de coordenadas, como letras o números. Al Al encontrar los puntos el niño los conecta. Un objeto misterio aparece. Los estudiantes pueden hacer sus propios rompecabezas para compartir con la clase. […]
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Construyamos un Tangram
Coordinadora Mtra. Nialy Y. Álvarez Menacho
Construyamos un Tangram Dibuja un cuadrado de 10 cm por lado. (20 cuadritos de la hoja)
Construyamos un Tangram 2. Traza una de las diagonales del cuadrado y la recta que une los puntos medios de dos lados consecutivos del cuadrado; esta recta debe ser paralela a la diagonal.
Construyamos un Tangram 3. Dibuja la otra diagonal del cuadrado y llévala hasta la segunda línea.
Construyamos un Tangram 4. La primera diagonal que trazaste deberás partirla en cuatro partes iguales.
Construyamos un Tangram 5. Traza la recta que se muestra en el dibujo.
Construyamos un Tangram 6. Por último traza esta otra recta.
Construyamos un Tangram Ahora deberás graduar el tangram haciendo marcas de 1cm. Para marcar las diagonales necesariamente deberás usar una regla.
Construyamos Tangram Ahora juega a hacer hacer figuras con tu Tangram y familiarízate con él. Ahora Ahora ya estás lista para jugar con geometría.
Construyamos Tangram Llena la siguiente tabla: Analiza con cuidado cada una de las figuras Figura
Perímetro
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
¿Tiene todas el mismo perímetro? ¿Tienen todas áreas iguales? ¿Por qué?
Área
El Tangram El juego del Tangram se jugaba en la antigua China y era considerado como un juego para niños y mujeres. También se han encontrado libros sobre el Tangram que fueron publicados en 1830, así como juegos de Tangram hechos de arcilla fabricados en 1890. Algunas versiones dicen que el Tangram tiene sus orígenes en las representaciones teatrales que se hacían en la antigua China. Generalmente se hacían con títeres, y lo que el público veía era la sombra de los títeres reflejada en una pantalla, los detalles de los títeres se perdían y sólo quedaba la silueta de la figura. Los chinos lograban así, representar objetos inanimados pero también animales o personas en movimiento.
El Tangram El juego del Tangram es algo muy parecido: con siete piezas obtenidas de un cuadrado se pueden hacer siluetas de objetos, animales o personas.
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El desarrollo de la nocion de espacio en el niño de Educación Inicial Jeannett Castro Bustamante Universidad de Los Andes Táchira
Aceptado:
Julio de 2004
Resumen Esta es una investigación de tipo documental en la cual se trata la Noción de espacio la cual constituye uno de los marcos lógico-matemáticos fundamentales, que ha de servir para estructurar el futuro pensamiento abstracto- formal. En tal sentido, resulta imperioso el conocimiento de tal proceso por parte de los docentes que atienden a grupos de niños en sus primeros años de vida escolar eecial mente en el nivel de pre-escolar, pues de ello dependerá la adecuada selección de estrategia s de enseñanza y de actividades de aprendizaje que fomenten el desarrollo de las nociones de carácter topológico, proyectivo y euclidiano que garanticen, a futuro, la comprensión de los principios fundamentales de la Geometría. Palabras clave: Noción clave: Noción de Espacio, Euclidiano, Proyectivo y Topológico. ***
Abstract DEVELOPMENT THE NOTION OF SPACE IN CHILDREN OF INITIAL EDUCATION This investigation is documentary investigation that addre sses the notion of space which constitutes the base for the logic-mathematical principles underlying the future abstract formal thinking. In this sense, the knowledge of this process is fundamenta fundamentall for teachers that teach children in their first years particularly in kindergarten. That knowledge will allow teachers to plan the strategies that promote the development of notions of space, projective, and Euclidian character, char acter, which will lead to understand the princip les of geometry. Key words: Notion words: Notion of space, Euclidian, and projective. ***
Résumé DÈVELOPPEMENT LA NOTION D’ESPACE DANS ENFANTS D’EDUCATION INITIALE Il s’agit ici d’une recherche de type documentaire dans laquelle on aborde la notion d’espace. Cette notion constitue une des marques logicomathématiques logicomathématiques fondamentales fondamentales qui doit servir pour la structuration de la future pensée abstracto-formelle. C’est en ce sens, que la connaissance d’un tel processus par les enseignants qui s’occupent de groupes d’enfants dans leurs premières années de vie scolaire, plus spécialement au niveau préscolaire, doit être impérieux. Les enfants dépendront de la sélection adéquate de stratégies d’enseignement d’enseignement et d’activité d’apprentissage qui fomenteront le développement des notions à caractère topologique , projectif et euclidien qui garantissent la compréhension des principe s fondamentaux de la géométrie dans le futur. Mots-clés : Notion d’espace, Euclidien, Euclidie n, Projectif et Topologiqu Topologique. e.
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INTRODUCCIÓN En los últimos años hemos experimentado en el ámbito educativo, un realce de la importancia que tienen los primeros años de vida de nuestros niños/ niñas; de allí que se ha planteado la reestructuración de los aspectos organizativos, curriculares y pedagógicos de la educación de los niños/niñas entre 0 y 6 años de edad. Como producto de este proceso, en el Documento Normativo que registra al Currículo Básico Nacional del nivel de Educación Inicial (MECD, 2001), se integran tales aspectos en función de su «pertinencia y adecuación al nivel»; con ello, lo que hasta entonces se llamaba Educación Pre-escolar, pasa a denominarse Educación Inicial. Desde este referente, la Educación Inicial ...«es aquella que busca garantizar el desarrollo inte gral infa infantil ntil…baj …bajo o la conce concepció pción n del niño y la niña como seres sociales, integrantes de una familia y una comunidad, que posee características personales, sociales, culturales y lingüísticas particulares, particu lares, que aprenden en un proceso constructivo y relacional con su medio» (MECD,2001; 4) Así, el desarrollo del niño/niña se concibe desde un enfoque integral que debe favorecer el aspecto físico, social y emocional para lo cual, el docente aparece como un «mediador» y «propiciador» de experiencias de aprendizaje significativas, que permitan al niño/niña avanzar en su formación. Bajo estas circunstancias, cobra importancia la consideración del poder que tienen las estrategias de enseñanza que el docente propone, que involucran las actividades de carácter cognitivo procedimental que realiza el niño/niña niño/niña en los primeros años de su etapa escolar, y que pretenden el desarrollo del pensamiento en general y del lógicomatemático en particular (Hernández y Soriano, 1999). Nos referiremo referiremoss aquí, a las experie experiencias ncias que buscan desarrollar desarrollar la capacidad para organizarse en el espacio mediante el fomento de relaciones de característicass lógico-matemáticas, que el niño/niña característica establece con su medio a través de las experiencias que cotidianamente vive. Desde la perspectiva de la Física Moderna la construcción de los conceptos del continuo espacio-
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tiempo requiere, simultáneamente, de estos dos ti pos de conocim conocimientos. ientos. En la primer primeraa etapa de la vida, esta apreciación de la Física Moderna, encaja perfectamente; en un principio nuestra percepción muestra entremezclada, las nociones temporales y las espaciales. Así por ejemplo, una persona alta representa a un adulto, mientras que una persona baja representa un niño; es decir, en nuestra percepción el tiempo y el tamaño (espacio) se asocian indisolublemente. No obstante, en nuestras continuas experiencias sensoriales estos aspectos se van presentando de forma bastante diferenciada; es decir, nuestras ca pacidades sensoriales permiten ir disociando estas nociones, por lo que resulta aceptado referirnos a ellas de manera separada; es decir, hablamos de espacio y hablamos de tiempo (Viera, 1997). En lo que respecta a la enseñanza de los conceptos matemáticos y más específicamente de las nociones referidas al espacio, tradicionalmente las actividades de enseñanza han quedado, en muchos casos, restringidas exclusivamente a experiencias de carácter euclidiano; es decir, a aquellas relativas al mundo de las medidas, las distancias, los ángulos subsumiéndose allí los aspectos proyectivos y topológicos que configuran, en unión con lo euclidiano, el «espacio total» sobre el cual se debe desarrollar nuestra capacidad de ubicación en el espacio. En virtud de que el niño/niña en sus primeros años de vida escolar se caracteriza por su gran actividad física, por la permanente interacción que establece con su medio, por la constante investigación que emerge de su intuición infantil y que le orienta a la búsqueda de explicaciones mediante la construcción y desarrollo de su pensamiento simbólico y concreto, el docente de los primeros años tiene bajo su responsabilidad la selección y desarrollo de itinerarios y actividades escolares que favorezcan en los niños su conocimiento geométrico y el desarrollo de su capacidad de representación; «El período preescolar es esencialmente el momento del progre so de la habilida habilidad d del niño para usar representaciones. Progresa en sus habilidades para re presen tar su cono cimi ento del mund o a tra través vés de diversos medios y modalidades, dejando ya de depender totalmente del aquí y el ahora y de los objetos concretos de su mundo» (de la Torre
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y Gil, s.f; 124) 124).. Por ello, se aportan a continuación, algunas referencias que pudieran constituir fundamentos esclarecedores de muchas de las estrategias de enseñanza y de actividades de aprendizaje que los docentes realizan o pudieran realizar con sus alumnos(as) como actividades cognitivo procedimentales que favorecen el desarrollo de la noción de espacio en el niño.
LOS TRES TIPOS DE ESPACIO Seguramente el nombre de Euclides y la referencia a conceptos euclidianos, nos resulta bastante familiar.. Sin embargo no podemos decir lo mismo, familiar de los conceptos proyectivos y menos aún de los topológicos, como temas obligados en nuestra educación formal. El estudio formal formal de tales temas, corresponde a especialistas; no obstante se hace indispensable que los docentes, particularmente los que atienden los primeros niveles de educación, conozcan los principios que definen los tres tipos de espacios que se derivan correspondientemente de tres tipos de Geometría y que explican las relaciones espaciales, a fin de poseer los fundamentos epistemológicos que le permitan la selección adecuada de estrategias de enseñanza y aprendizaje orientadas al desarrollo desarrollo de la capacidad de ubicación en el espacio.
«La Geometría Euclidiana, también conocida como «Métrica», trata del estudio y representación de las longitudes, ángulos, áreas y volúmenes como propiedades que permanecen constantes, cuando las figuras representadas son sometidas a transformaciones rígidas»... ordinaria. Los árboles crecen perpendicularmente al suelo, y las paredes de una casa se construyen verticales a propósito, para que tengan estabilidad máxima. Las orillas de un río son paralelas. El constructor que erige una serie de casas conforme a un mismo plano desea que todas ellas tengan el mismo tamaño y la misma forma, es decir quiere que sean congruentes… semejantes al objeto representado»... (Kline, 1997; 129) Esta cita, permite introducirnos en lo que se conoce como nociones del espacio de carácter Euclidiano, que además de un método de razonamiento deductivo nos proporciona todo un sistema de representación formal de los cuerpos y figuras geométricas que dibujan la realidad.
El Espacio Euclidiano:
[Figura 1]
La referencia histórica de la evolución y desarrollo de Geometría nos lleva, en primera instancia, a la época de los griegos y a su afán por establecer un sistema de demostración y razonamiento fundamentado en la «deducción» y en la «formalidad» del pensamiento. Este método busca determinar la verdad de nuevos conceptos, deducidos de otros anteriores, que han sido aceptados como conceptos e ideas abstractas absolutamente ciertas. Todo este sistema de razonamiento encontró su mejor expresión en la Geometría y en Euclides, su mayor exponente. De allí, que se habla de la Geometría Euclidiana. «Las figuras comunes de la geometría, lo mismo que las relaciones simples, como la perpendicularidad, el paralelismo, la congruencia y la semejanza provienen de la experiencia
La Geometría Euclidiana, también conocida como «Métrica», trata del estudio y representación de longitudes, ángulos, áreas y volúmenes como prop ro piedades que permanecen constantes, cuando las figuras representadas son sometidas a transforma-
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«El espacio proyectivo comprende la representación de transformaciones en las cuales, a diferencia de lo que ocurre en las de tipo euclidiano, las longitudes y los ángulos experimentan cambios que dependen de la posición relativa entre el objeto representado y la fuente que lo plasma». ciones «rígidas»; es decir, movimientos en el plano horizontal o verticalmente, giros sobre alguno algun o de sus ejes. Como se observa en la Figura 1, la representación de la forma luego de haber sufrido movimientos rígidos, conserva las longitudes de sus lados, la magnitud de sus ángulos y el área interior sigue siendo la misma. Se trata de la representación de figuras congruentes, puesto que una puede ser obtenida de la otra, trasladando y/o rotando una d e ellas. En estos casos, estamos ante representaciones de carácter euclidiano, que requieren del conocimiento y manejo de sistemas de representación formales; es decir, de sistemas convencionales de re presentación, que incluyen además de la aceptación de conceptos primitivos como «punto, recta, plano, figura geométrica»..., el uso de instrumentos cognoscitivos de un alto grado de abstracción (lenguaje, símbolos, relaciones, clasificacio clasificaciones,…). nes,…).
El Espacio Proyectivo: «Las preguntas que se hicieron los pintores
mientras trabajaban en las matemáticas de la perspectiva ocasionaron que ellos mismos y, más tarde, los matemáticos profesionales, desarrollaran la materia conocida como Geometría Proyectiva. Esta rama, la creación más original del siglo XVII es ahora una de las principales de las matemáticas» (Kline, 1997; 237) La necesidad de hacer representaciones cada vez más realistas, alejadas de los prototipos que inundaban el mundo místico religioso, hizo que los pintores del renacimiento y sus etapas ulteriores, hicieran uso de las líneas, puntos y figuras geométricas para plasmar en en sus cuadros el espacio y la profundidad. Así, la potencialidad de los principios y leyes de la matemática y de la geometría, se incorpora al mundo del arte; «la perspectiva» favoreció la proyección del realismo natural en los lienzos de este importante periodo de la historia. El espacio proyectivo comprende la representación de transformaciones en las cuales, a diferencia de lo que ocurre en las de tipo euclidiano, las longitudes y los ángulos experimentan cambios que de penden de la posición relativa relativa entre el objeto representado y la fuente que lo plasma. Con este tipo de representación, se busca que el objeto representado sea lo más parecido posible al objeto real; no obstante, su proyección es relativa. Cuando se observa, por ejemplo, un paisaje, la representación que se haga de éste dependerá de varios factores: de la distancia de observación, del ángulo visual; aspectos que se convierten en importantes referentes a la hora de observar y comprender varias representaciones de una misma escena u objeto. La figura 2, nos muestra ejemplos de este tipo de representación.
[Figura 2]
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Como se observa, en una transformación proyectiva la representación de d e los puntos siguen siendo puntos; las líneas siguen siendo líneas; los ángulos siguen siendo ángulos; sin embargo, las longitudes de las líneas y la magnitud de los ángulos cambian en función de la perspectiva o de la posición relativa del objeto representado. Otras propiedades, como la proporcionalidad entre líneas y áreas permanecen invariables en una transformación proyectiva por lo cual es posible, a pesar de ellas, reconocer las estructuras geométricas que definen al objeto representado.
Así, los puntos interiores siguen siendo puntos interiores a la región correspondiente; los puntos exteriores siguen siendo exteriores; el orden y la secuencia entre distintos puntos marcados en su contorno, se conserva. Es decir, decir, las relaciones es paciales pacia les que deter determinan minan la proxi proximida midad d o acer acercamie camiennto, la separación o alejamiento entre puntos y/o regiones, la condición de cierre de un contorno, la secuencia, continuidad o discontinuidad de líneas, su perficie perf icie s o volú mene meness cons titu yen prop ieda des geométricas que se conservan en una transformación de carácter Topológico.
El espacio Topológico
La referencia histórica Vs el desarrollo infantil
Las experiencias expresadas mediante el reconocimiento y representación gráfica de acercamientos, separación, orden, entorno y continuidad representan experiencias de carácter «To pológico poló gico». ». En este tipo de representación, las transformaciones sufridas por una figura original son tan profundas y generales que alteran los ángulos, las longitudes, las rectas, las áreas, los volúmenes, los puntos, las proporciones; no obstante, a pesar de ello algunas relaciones o propiedades geométricas permanecen invariables. Por ejemplo en la Figura 3 observamos como los puntos interiores y exteriores a una figura cerrada que cambia de forma y la secuencia de los puntos de su contorno, conservan la relación dada entre ellos, a pesar de la drástica transformación que experimenta la representación del objeto en cuestión.
La revisión al panorama panorama histórico de la evolución de la Matemática, nos muestra que en su seno la Geometría se desarrolla en p rimer lugar, debido a los aportes de los Babilonios, Egipcios y Griegos, por lo que se señala a la Geomet Geometría ría Euclidia Euclidiana, na, como «los cimientos de esta ciencia». En segunda instancia, debido a los aportes de importantes personajes del siglo XVII, se establecen las bases de la Geometría Proyectiva; y más tarde, comienza a formalizarse una nueva vertiente de la Geometría, la Topología. Topología. Así, el orden histórico nos refiere a la Geometría Euclidiana, la Proyectiva y la Topológica. Topológica. No obstante, y a pesar de no haber un absoluto consenso entre diversos autores, existe la tendencia a aceptar que en el desarrollo infantil los procesos de elaboración de los conceptos espaciales atraviesa etapas en orden con-
[Figura 3]
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trario al desarrollo histórico de la Geometría; es decir, en el niño/niña los conceptos espaciales evidencian primero indicadores de carácter carácter topológico, más tarde de carácter proyectivo, para finalmente integrarse en capacidades de representación de tipo euclidianas. Sin duda que esto ha de ser un importante referente teório-epistemológico que debe considerarse por parte de docentes docentes del nivel nivel de Educación Inicial, a la hora de seleccionar y proponer estrategias de enseñanza y de aprendizaje orientadas al desarrollo del pensamiento lógico, que vayan más allá de un tratamiento didáctico que se reduce al manejo conceptual y exclusivo exclusivo de las nociones de lateralidad y posición. posi ción.
La Noción de Espacio en el Niño La estructuración de la noción de espacio, aun cuando está presente desde el nacimiento, cobra fuerza en la medida en que el niño/niña progresa en la posibilidad de desplazarse y de coordinar sus acciones (espacio concreto), e incorpora el espacio circundante a estas acciones como una propiedad de las mismas. En general, el concepto de espacio se obtiene sin mayores contratiempos de modo paralelo a la noción y conciencia de la existencia de «objetos»; sin embargo, en ocasiones puede presentar dificultades derivadas de lagunas que se han creado durante nuestra educación. Tradicionalmente, se ha hecho énfasis en la enseñanza de la Geometría Euclidiana, es decir en el espacio de longitudes, líneas, distancias, áreas, medidas y volúmenes y se descuidan los otros dos aspectos del «espacio total»: el topológico y el proyectivo. De acuerdo con Piaget la noción de espacio espacio se construye paulatinamente siguiendo el orden que parte de las experiencias: Topológicas, Topológicas, Proyectivas y Euclidianas, contrario al orden en que históricamente fueron formalizadas las respectivas respectivas geometrías. En una primera etapa, el espacio del niño/niña se reduce a las posibilidades que le brinda su capacidad motriz; de allí que la noción correspondiente, se denomina «espacio perceptual» y tiene durante largo tiempo, al cuerpo como centro principal de referencia. Durante esta etapa priva el carácter «concreto del espacio», por lo que no se encuentra suficientemente interiorizado, para ser sometido a opeE D U C A C I Ó N
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raciones mentales. Hacia finales de esta etapa el niño percibe las relaciones espaciales entre las cosas pero no se las representa todavía en ausencia de contacto directo. (de l a Torre Torre y Gil, s.f; 110) Aproximadamente a partir de los dos años, las relaciones espaciales más sencillas se expresan mediante palabras como: arriba, abajo, encima, de bajo, más arriba, más abajo, delante, detrás; dichas expresiones contribuyen grandemente a alcanzar las nociones espaciales. Estas categorías preceptuales son favorecidas por experiencias de carácter topológico, que, como ya se ha indicado, representan transformaciones en las que permanecen constantes sólo algunas propiedades geométricas como la delimitación y pertenencia de los puntos interiores y exteriores a una figura cerrada que sufre un a fuerte transformación o la secuencia de los punt os corres pondientes a su contorno. En esta etapa el niño no puede distinguir un círculo de un cuadrado porque ambas son figuras cerradas, pero si las puede diferenciar de la figura de una herradura. Posteriormente logra logra distinguir líneas curvas de rectas y figuras largas de cortas, así como también diferenciar el espacio interior y exterior de una frontera dada o determinar posiciones relativas al interior de un orden lineal. A este nivel, cobra relevancia la capacidad de representación represen tación del niño; esta condición juega un papel importante en el proceso de construcción del conocimiento matemático, pues las relaciones aritméticas y espaciales ...«tratan ...«tratan sobre objetos, eventos, acciones y de las relaciones entre ellos, de tal manera que el conocimiento matemático es una representación simbólica de los mismos» (Gómez, 1994; 30) De tal manera que en esta etapa se va desarrollando en el niño/niña la capacidad de hacer representaciones mentales de las relaciones espaciales que se establecen entre los objetos y su propio cuer po; por ejemplo, puede encontrar un objeto escondido luego de varios desplazamientos, aún cuando hayan sido efectuados fuera de su campo visual (de la Torre Torre y Gil, s/f). En otras palabras, con este tipo de conductas el niño refleja la capacidad de representación de las relaciones espaciales derivadas del desplazamiento, tanto de su propio cuerpo, como de los objetos, y entre los objetos con los que tiene contacto.
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Se entiende entonces, que las relaciones topológicas que establece el niño durante esta primera etapa, permiten la constitución de una geometría del objeto respecto a su espacio; es decir, una geometría de carácter singular. No obstante, la «no conservación» de número, longitud, masa, peso, volumen que caracteriza el pensamiento del niño/niña en esta etapa, limita igualmente la conservación «del espacio». Así, la distancia entre dos objet os parece ser menor si se interpone un tercer objeto entre ellos; una subida parece ser más larga que si la recorremos bajando; es posible describir un recorrido de inicio a final, pero no de modo contrario; una distancia puede ser infra o supra valorada; es posible distinguir un estado inicial y uno final en los desplazamientos, pero la limitación de su capacidad infralógica no le permite considerar los puntos intermedios que se han recorrido en el mismo. Las actividades escolares previstas para los niños/niñas en edad preescolar, están concebidas en función de las condiciones que caracterizan a estos pequeños. De tal modo que los docentes del nivel preescolar o de educación inicial deben tener presente, que, adicionalmente a los aspectos descritos, el lenguaje y los distintos tipos y códigos de representación, que de manera gradual va manejando el niño, median entre las experiencias y su representación. Recordemos que, en primera instancia, el niño necesita estar en presencia del objeto para poder representarlo; luego puede tomar sólo una parte del objeto real como índice de su representación (por ejemplo, una huella permite la reconstrucción reconstrucción mental de un perro que pasó por allí) y finalmente, puede evocar y hacer representaciones mentales, no solo en ausencia del objeto o situación, sino diferidas en el tiempo. Adicionalmente, no debemos olvidar que las representaciones enácticas (gestos, sonidos, movimientos,…), icónicas y simbólicas, que según Bruner (en Miranda, Fortes y Gil, 1998) filogenéticamente se adquieren en este mismo orden, constituyen para el niño/niña un sólido sólido sistema de representación adecuado para codificar y transformar información. Alrededor de los seis años aproximadamente, etapa en la que el niño/niña se incorpora al segundo nivel de escolaridad formal, los conceptos topológicos comienzan a transformarse en conceptos proyectivos
que permiten la construcción de una geometría del espacio exterior al niño/niña; en otras palabras, la «descentración» le permite establecer la representación de su espacio circundante en la que los ejes adelante-atrás, izquierda-derecha dejan de ser absolutos; es decir, van siendo coordinados en la medida en que se efectúan operaciones mentales que permiten al niño/niña ver los objetos desde otro punto de vista. Así, las transformaciones proyectivas, permiten al niño /niña visualizar visualiz ar los cambios que sufren ángulos y longitudes en la representación del objeto observado; por ejemplo cuando dibujan un paisaje con los árboles cada vez más pequeños, reflejan la profundidad y el alejamiento, mediante los cambios en las longitudes y los ángulos que contienen, mientras que las líneas, puntos y proporciones permanecen invariables. Paralelamente a los conceptos proyectivos, los conceptos topológicos se transforman también en conceptos Euclidianos, lo que equivale a decir que el niño comienza a percibir los objetos de su espacio exterior no como algo estático, sino como objetos móviles; por ejemplo, puede describir y dibujar la trayectoria del recorrido de un automóvil (no sólo su punto de partida y llegada como ocurría antes); com prender la congruencia de un cuerpo al sufrir un cambio rígido (movimiento, rotación, traslado), conserva las propiedades de longitud, ángulos, áreas y volúmenes En síntesis, la base del conocimiento Matemático según Piaget, se encuentra en el proceso reflexivo que el niño hace cuando acciona sobre los objetos de su entorno. En este sentido, distingue las operaciones lógicas, que surgen de la manipulación de objetos discretos (clases y relaciones) y las operaciones infralógicas cuyo punto de partida, son las partes de un todo continuo (objeto o infraclase). infraclase). De acuerdo con esto, las relaciones espaciales son de índole infralógica. infralógica. Es en este aspecto, en el que se fundamenta el desarrollo de la capacidad del niño para representar la perspectiva de un cuerpo, posibilidad que se amplía a partir de los 9 años de edad; y ya a los once o nce años, puede dibujar correctamente el desarrollo de un cubo así como también operar mentalmente con figuras. De tal modo, la organización de las primeras acciones transitivas y reversibles que se aplican a objetos reales o imagi-
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narios y la posibilidad de descentraje que ocurre en la etapa de operaciones concretas, permiten al niño la construcción de su noción de espacio desde distintos puntos de vista. En función de los aspectos planteados, es de vital importancia destacar que las actividades que realizan los niños/niñas en edad preescolar y que se refieren a la noción de espacio, son fundamentalmente experiencias de carácter topológico (ordenar, agrupar, amontonar, doblar, estirar, pegar, colorear, completar, recortar, hacer corresponder, describir posiciones, describir desplazamientos…); no obstante, esto no excluye la posibilidad del niño/niña de la etapa de educación inicial, de interpretar y comprender algunas experiencias de tipo proyectivo y euclidiano (al menos en sus primeras aproximaciones). En tal sentido, es primordial que los docentes de educación inicial potencien las fortalezas de este tipo de experiencias, que brindan la posibilidad de consolidar a futuro, las bases de la comprensión de la noción de espacio total.
Algunas orientaciones didácticas En general, las actividades de carácter cognitivo procedimental que se realizan en el preescolar, res ponden a un programa o proyecto a través del cual se busca el desarrollo integral de los niños/niñas.
Bajo este referente resulta fundamental, desde el punto de vista didáctico didácti co y pedagógico, que los docentes reconozcan e identifiquen las características de las actividades o tareas que proponen a sus alumnos y las demandas cognitivas que éstas implican (Hernández y Soriano, 1999). En el aprendizaje y desarrollo de conceptos matemáticos este aspecto cobra relevancia; por ello, en función de los aspectos planteados, se proponen a continuación una serie de actividades que contri buyen a desarrollar en el niño/niña de preescolar, su capacidad de comprensión de las nociones de carácter topológico que implican demandas cognitivas como el reconocimiento de interioridad y exterioridad, acercamientos y alejamientos, fronteras, límites, orden y secuencias, vecindad de puntos, figuras abiertas y figuras cerradas, continuidad y discontinuidad. ¾ Realizar sobre líneas u objetos que las representan marcas, puntos, rayas, nudos… Pueden usarse pabilos, cintas, lápices…diferenciando los puntos con colores, letras o números (Figura 4). Se plantean preguntas como: ¿Cuál es el primer punto? ¿Cuál es el último punto y cuál le sigue a él? ¿Cuál está entre A y C? ¿Cuál o cuáles son los vecinos de C, y los de D? y ¿Qué ocurre si lo estiramos? ¿Y si lo cortamos?...
[Figura 4]
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Trabajar con aros flexibles la idea de líneas Trabajar cerradas. Se pueden usar ligas, gomas o sencillamente representar sobre papel las transformaciones topológicas que puede sufrir una línea cerrada (Figura 5). Se sugieren preguntas como: ¿Tiene ¿Tiene principio o fin la línea? ¿Cuál es el interior y cuál el exterior de la línea? ¿Se puede cruza en algunos puntos la línea? ¿Y si no se permite el cruce de la línea, que otra forma podemos representar con ella? Resultan muy adecuados a este tipo de
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experiencias, los juegos de laberintos, completación de líneas sobre cuadrículas, colorear regiones, plegado de papel identificando las partes en que queda dividido, armar rompecabezas. ¾ Recortar formas y figuras y hacerlas corres pond po nder er con un unaa est ru ructu ctu ra pre de deter ter min ad ada, a, construir maquetas separando regiones con pl as asti ti li na nas, s, ca cart rton on es es.. .. . De Dest stac ac ar la pr es esen en-cia de huecos o regiones y las lín eas frontera que las limitan (Figura 6).
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A C C I Ó N P E D A G Ó G I C A , Vol. V ol. 13, No. No. 2 / 2004
[Figura 5]
[Figura 6]
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A NEXO NEXO 5 ¿Cómo desarrollar el pensamiento matemático en los niños de preescolar? La importancia de la presentación de una actividad*
Irma Fuenlabrada** Fuenlabrada**
Referentes La Secretaría de Educación Pública editó recientemente el Programa de Educación Preescolar 2004 lar 2004 para orientar, a partir del ciclo escolar 2004-2005, el trabajo de las educadoras. La renovación curricular inmersa en dicho Programa, implica una apertura metodológica y una inclusión de contenidos (o su caracterización) caracterización) que, de manera significativa, resultan ajenos tanto a las prácticas docentes dominantes, como a las temáticas que ordinariamente se han abordado en el nivel. Los contenidos referidos al desarrollo del Campo Formativo del Pensamiento Matemático del preescolar, señalados en el Programa citado, refieren a diferentes pesos curriculares que este mismo programa adjudica a las diversas temáticas, a saber: •
El Núm Númer ero o (50% (50%), ), que que los los niñ niños os::1 – Utilicen los números en situaciones situaciones variadas que implican poner en juego los principrincipios del conteo. – Planteen y resuelvan problemas en situaciones que les sean familiares y que implican agregar, reunir, quitar, igualar, comparar y repartir objetos.
* Elaborado ex profeso para profeso para esta guía. ** Cinvestav- DIE, México. 1 Las temáticas enlistadas son las genéricas de las que aparecen en el Programa de Educación Preescolar 2004 , porque la resolución didáctica de éstas conllevan a las específicas.
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– Reúnan información sobre criterios criterios acordados, acordados, representen gráficamente dicha inforinformación y la interpreten. – Identifique Identifiquen n regularidades en una secuencia a partir de criterios de repetición y crecimiento. • El Espacio (18%), las Figuras (18%), y la Medida (14%), que los niños: – Reconozcan y nombren nombren características características de objetos, objetos, figuras y cuerpos geométricos. geométricos. – Construyan sistemas sistemas de referencia referencia en relación relación con la ubicación ubicación espacial. – Utilicen unidade unidades s no convenc convencionales ionales para resolve resolverr problem problemas as que implican medir magnitudes de longitud, capacidad, peso y tiempo. – Identifiquen para para qué sirven algunos algunos instrumentos instrumentos de medición. medición. Se hacen necesarios entonces, entre otras acciones, espacios de reflexión que coadyuven a las educadoras a reorientar su trabajo docente en concordancia con los nuevos lineamientos editados por la SEP. Particularmente, en esta presentación nos ocuparemos de la sutil diferencia, con base en tres ejemplos, entre plantear a los niños situaciones que pongan en juego sus saberes previos y sus posibilidades cognitivas; es decir decir,, que la resolución de la l a situación los comprometa a un trabajo intelectual que les permita interactuar con los conceptos matemáticos que se desea aprendan.
Ubicación de la problemática Las prácticas docentes dominantes (Nemirovsky et al ., ., 1990) evidencian un universo limitado del conocimiento matemático que se desarrolla con los niños de preescolar. Las educadoras –en analogía a lo que hacen los maestros de la escuela primaria– han priorizado, de la enseñanza de la matemática, los contenidos aritméticos (números y cuentas) en detrimento de los contenidos geométricos geométric os (el espacio, las figuras). figura s). Y, Y, a veces, algunas prácticas prácti cas de enseñanza no han sido muy afortunadas, como es el caso del número, en que se observa una tendencia generalizada a suponer –con base en una equivocada interpretación de la Teoría Psicogenética– que siendo la síntesis de la seriación, la clasificación y el orden, significa en términos de enseñanza realizar diversas actividades de seriación (verde, rojo, amarillo, verde, rojo, amarillo…; cuadrado, círculo, triángulo, cuadrado,…, etcétera); de clasificación (con criterios cualitativos: los grandes vs vs.. los chicos; los rojos vs vs.. los azules, etcétera), y de orden (organizar palitos por tamaños: del más chico al más grande, etcétera). Pero Piaget se refería a la clasificación de colecciones desde criterios cuantitativos; es decir, van juntas todas las colecciones que tienen el mismo número de objetos, por ejemplo, 6 elementos, en otro paquete están las que tienen 8 o 3, etcétera, independientemente independientemente de las cualidades de los objetos que constituyen a las co-
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lecciones. Estos “paquetes de colecciones” se pueden ordenar, también en atención a un criterio cuantitativo: un paquete va después de otro si las colecciones que lo conforman tienen un elemento más que las colecciones de otro paquete; así, las que tienen 6 objetos van después de las que tienen 5, porque todas la colecciones que están en el paquete del 6 tienen un elemento más que cualquiera de las que pertenecen al paquete del 5. Finalmente este orden construye una serie: 1, 2, 3, 4, etcétera. Datos empíricos sobre la enseñanza de la matemática en la educación preescolar señalan que las educadoras se han ocupado fundamentalmente fundamentalmente de que los niños aprendan e identifiquen los símbolos de los números, quienes acertadamente sólo lo hacen con l os primeros (hasta el 10), reducen las actividades al conteo de colecciones pequeñas para que los niños escriban las cardinalidades2 correspondien correspondientes tes y viceversa, a partir de un número les piden a los niños que dibujen una colección cuya cardinalidad sea el número dado; de esta manera, en muchas clases de preescolar se observa: “la clase del uno, luego la clase del dos, para seguir con la clase cl ase del tres, etcétera”;3 más adelante aparecen las sumas y restas con los números encolumnados, los signos (+, -) y la rayita para separar el resultado. Otras educadoras realizan las actividades descritas, pero consideran que trabajar sólo con los primeros números es demasi ado poco, así que extienden la serie numérica oral y escrita (ya sin relacionarlas sistemáticamente con las colecciones, llegan hasta el 100 y algunas más osadas hasta el 1 000), y también “enseñan” sumas y restas de números, pero con números de dos cifras, sin transformación. 4 Respecto al trabajo con la geometría al que, como se señalara, se le da menos importancia que al de los números, los niños correlacionan algunas figuras geométricas con su nombre (cuadrado, rectángulo, triángulo, círculo), iluminan figuras, las recortan y las pegan; hacen algunas configuraciones configuraciones con ellas. En relación con el manejo del espacio, circunscriben éste a las relaciones: adelante, atrás, arriba, debajo, derecha e izquierda (esto último sin mucho éxito), y en ningún caso se desarrolla con la importancia requerida la relatividad de estas relaciones. Por ejemplo, situaciones en las que un objeto esté arriba de otro, pero debajo de un tercero, casi no aparecen.
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Cardinalidad es el número de objetos que tiene una colección. Para cada clase se recurre a una colección, a la escritura del número correspondiente, al dibujo, etcétera. 4 Los niños muestran “comprensión” de la serie oral y e scrita de los números con base en las regularidades de estas series (se atoran, por ejemplo, en el 29, se les ayuda un poquito: 30; y siguen 31, 31, 32, etcétera, o bien escriben 204 para el “veinte-cuatro” ; no reconocen por qué 24 es diferente que 42, cuando estos números no están ubicados en la serie numérica escrita. Tales ausencias o confusiones no son banales, un aprendizaje eficiente y eficaz conlleva el desocultamiento de las leyes de los sistemas numéricos de base y posición, que a su vez sustentan sustentan los algoritmos algoritmos de las operaciones. Pero esto es competencia de los primeros dos años años de la escuela escuela primaria primaria y de ello no nos nos ocuparemos, puede consultarse (Block et al .,., 1991). 3
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Alternativas posibles Las prácticas docentes, sucintamente descritas, evidencian lo señalado en cuanto al universo limitado del conocimiento matemático que se desarrolla con los niños de preescolar preescolar,, a lo que se agrega una ausencia de recursos didácticos. Con base en el nuevo curriculum y el enfoque para la enseñaza suscrito por la SEP (2004), las educadoras necesitan de una redefinición de sus concepciones disciplinarias disciplinarias que les posibilite orientar sus acciones en el proceso de enseñanza, en apego a una resolución didáctica que responda de manera más coherente a lo que actualmente se conoce sobre el proceso de aprendizaje infantil de la matemática. Lo que la investigación en didáctica de la matemática ha mostrado en los últimos 30 años de desarrollo, es que los niños aprenden interactuando con el objeto de conocimiento. Una manera concreta de realizar esto es plantear problemas que reten los saberes y las experiencias de los niños, quienes necesariamente, si se les permite, permite, los pondrán en juego para resolverlos. En esta presentación se recurre al análisis de algunas situaciones, anticipando que si bien éstas son realizables en el preescolar, preescolar, no corresponde corresponden n necesariamente al inicio del proceso de aprendizaje del número, ni al de la geometría como tampoco al de la medición; simplemente se pretende abrir un espacio de reflexión sobre lo señalado en el párrafo anterior.
El número Para trabajar con los números, por ejemplo, no es lo mismo pedirle a Genny que saque seis crayolas de un bote, que quizá lo pueda hacer y de no ser así la educadora le “ayudará a contarlas”, que pedirle que tome del bote de las crayolas, las que se necesitan para que a ella le toque una y pueda darle una a cada niño de su equipo (6), de tal manera que no le sobre ninguna crayola. La situación así planteada permite un diálogo entre el alumno y el problema, y éste es posible si a Genny le queda claro en qué consiste la tarea; pero en la forma en que se le presentó no recibe ningún señalamiento sobre cómo debe (o se espera) que actúe. De hecho, no se necesita que Genny haya recibido las “clases de los números”; quizá lo único que sepa es la serie oral de los primeros números, o a lo mejor ni siquiera esto. Pero ello no significa que no pueda hacer algo para resolver la situación que se le propuso. Antes de comentar las posibilidades posibilidades de Genny, Genny, cabe precisar que la libertad de actuación que se le concedió está posibilitada por las característica características s de la tarea propuesta. En Teoría de las Situaciones Didácticas, Didácticas, Brousseau (1998) define a este tipo de actividades como adidácticas, representan un momento de una situación didáctica, 5 porque son situaciones que el maestro
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Una situación “no didáctica” puede producir aprendizaje, pero a diferencia de la situación didáctica, en la primera no hay alguien que tenga expresamente la intención de enseñarle a otro.
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asume (y por tanto propone) para propiciar aprendizajes en sus alumnos. En las situaciones adidácticas el maestro se repliega de alguna manera, observando lo que sus alumnos ponen en juego para resolverlas, cuestiona sus procedimiento procedimientos s en caso necesario, pero procura no indicarles cómo resolverlo. Nótese que en la situación-ejemplo, en ningún momento se le dice a Genny que cuente, esto es algo que hará si sabe hacerlo y si además lo considera conveniente y útil; si es el caso, contará a los niños de su equipo (incluyéndose) para saber cuántas crayolas debe tomar, después contará las crayolas correspondientes y estará segura que con esta manera de proceder garantiza que a cada uno le tocará una crayola y no le va a sobrar ninguna. También puede suceder que aunque Genny sepa contar (hasta el seis o un poco más), todavía no reconozca que contar es una estrategia que le permite resolver la situación. Los números y el conteo son conocimientos que el niño debe aprender, pero esto significa prioritariamente prioritariame nte que su maestra, en su intervención como docente, le dé la posibilidad de ir descubriendo las funciones y el uso de ese conocimiento; conocimiento; es decir, que vaya teniendo la oportunidad de reconocer: ¿qué tipo de problemas se resuelven con el conteo? y ¿para qué sirven los números? Pero si Genny está en la situación descrita, todavía no sabe contar o ni siquiera sabe escribir los números, puede, por ejemplo –y es lo que muchos niños hacen–, establecer una correspondencia uno a uno entre las crayolas que va tomando y el nombre de cada destinatario (una para Juanito, otra para Pedrito, etcétera) y así resolver lo que se le solicitó. Cabe destacar que Genny, como muchos niños que inicialmente establecen, para comparar colecciones, para igualarlas, para construirlas…, correspondencias correspondencias uno a uno de manera espontánea (en el ejemplo: nombre de un compañero-una crayola), no necesita que nadie se la “enseñe”, sólo recurren a su conocimiento y a su experiencia, el que poseen en el momento de enfrentar una situación que implica al conteo. Se trata de un proceso de aprendizaje por adaptación, el niño logra desarrollar una estrategia para resolver el problema, pero no necesariamente es conciente de que en su acción subyace un nuevo conocimiento susceptible de evolucionar (hacia conocimiento conocimiento constituido); en este caso, hacia el proceso de conteo (y a la representación simbólica de los números) que conlleva establecer también una relación uno a uno, sólo que en éste, la relación se establece entre los objetos de la colección que se están contando y la serie numérica oral (uno, dos, tres, etcétera), que irá aprendiendo conforme se involucre en diversas situaciones en que contar tenga sentido, que a su vez le van revelando que el último número que se nombra es el que indica cuántos elementos tiene la colección contada. Las diversas situaciones en las que contar tiene sentido, son los problemas que involucran a una operación, que los niños de preescolar resuelven realizando el conteo de diversas maneras, en función de las relaciones semánticas entre los datos y no con las operaciones que la
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matemática ha establecido para solucionarlos. A fin de ilustrar esto, revisemos los siguientes problemas: 1. Erick tiene 2 canicas rojas y 5 canicas blancas. blancas. ¿Cuántas canicas canicas tiene Erick? Erick? 2. Erick tiene 2 canicas rojas y su su mamá le regaló regaló 5 canicas blancas. blancas. ¿Cuántas ¿Cuántas canicas tiene Erick? 3. Erick tiene 7 canicas, le regala 2 a su su hermana y las otras a su mamá. ¿Cuántas ¿Cuántas canicas le regaló Erick a su mamá? 4. Erick tiene 2 canicas, pero quisiera quisiera tener 7. ¿Cuántas canicas canicas le faltan a Erick Erick para tener 7 canicas? El problema 1 sugiere poner 2 canicas (en su defecto semillitas) en un lado, 5 en otro, juntarlas y contar desde el 1 toda la colección para obtener como resultado 7. El problema 2 se resuelve con la misma operación (2+5) que el problema 1; sin embargo, para solucionarlo, como todavía no saben sumar, los niños recurren al conteo, pero ahora se trata (para ellos) de una organización del conteo diferente a la que utilizaron en el problema 1, a saber: ponen 2 y agregan a esa colección 5 más, al terminar cuentan la colección resultante desde el 1 y obtienen 7. Los problemas 3 y 4 son de resta (7-2), pero los niños no saben “restar”, lo que sí saben es contar pequeñas colecciones y esto es precisamente lo que utilizan. Para el problema 3 ponen 7 canicas, parten la colección en 2 y 5, porque Erick le regaló 2 a su hermana, las canicas de la otra colección son las que cuentan, así averiguan que la mamá recibió 5 canicas de su hijo. Mientras que en el problema 4 optan por poner las 2 canicas que tiene Erick, agregan las canicas suficientes para llegar al 7, el conteo ahora parte del 3 hasta llegar al 7; controlan para no confundir las que agregaron con las 2 primeras, cuentan desde el 1 hasta el 5, para encontrar el resultado. Como se puede observar, no se requiere tomar números muy grandes (como muchas educadoras, e incluso profesores de la primaria han supuesto) para complejizar la actividad intelectual de los niños, sobre los números y sus relaciones. Desde luego, hay muchos más problemas diferentes a los descritos, que implican implican la suma y la resta entre el 2, el 5 y el 7, pero éste no es el espacio para analizarlos, 6 como tampoco lo es para analizar el proceso de representación de los números (Fuenlabrada, 2001).
El espacio y las figuras (geométricas) Lo que permite a los bebés, entre otras cosas, reconocer su biberón o cualquier otro objeto familiar, es precisamente la posibilidad que tienen de percibir su forma. Asimismo, los niños, desde antes de su ingreso al preescolar y dada su necesidad de desplazamiento en el espa-
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¿Cuántas canicas tiene Erick? Las relaciones semánticas entre los datos de un problema, de Irma Fuenlabrad Fuenlabradaa (en prensa).
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cio, también van reconociendo las relaciones espaciales (la ubicación de los objetos entre sí y desde un punto de referencia en particular), así son capaces de realizar diferentes trayectos para desplazarse, por ejemplo, desde su recámara hacia la cocina, por citar una de las múltiples trayectorias que pueden ejecutar, porque se han construido un mapa mental de su espacio cotidiano. Es decir, el conocimiento del espacio, las diversas formas de los objetos que en él existen y su ubicación en éste, es un conocimiento temprano que los niños van construyendo de manera natural (en situaciones no didácticas), para adaptarse al mundo tridimensional en que se ven inmersos. En cambio, siendo la geometría una matematización (o modelización) del espacio, su aprendizaje requiere ser enseñado, porque responde a una particular manera de representar el espacio. De esta manera, desde las diferentes formas que un niño pequeño puede reconocer en los objetos, algunas de ellas son objeto de estudio de la geometría y otras no. Mientras que la forma de un biberón resulta muy interesante para un bebé, la forma rectangular de una ventana le tiene totalmente sin cuidado, pero no es así para la geometría; mientras para un niño pequeño la imagen mental de su espacio cotidiano le es suficiente para resolver sus problemas de ubicación y desplazamiento en él, para la geometría lo importante es la representación gráfica de ese espacio y su manipulación simbólica, el mapa de una ciudad, por ejemplo. Una manera muy general de establecer la diferencia entre los problemas espaciales (propios del nivel preescolar) y los problemas geométricos, geométricos, es señalar que los primeros se relacionan más francamente con la resolución de situaciones cotidianas de desplazamiento y ubicación; mientras que los segundos tienen que ver con el espacio representado a través de figuras y dibujos. En preescolar, así como en el primer ciclo de la escuela primaria, se persigue que los niños amplíen su conocimiento sobre el espacio, poniéndolos en situaciones de comunicación con algo que ya saben: ubicar objetos y desplazarse. En el proceso de comunicación explicitan, a través del lenguaje oral o con diagramas simples: la ubicación de objetos, puntos de referencia consecutivos y relaciones espaciales (que conforman un sistema de referencia). En la expresión: el libro está adentro de la caja que está arriba de la mesa que está entre el estante y el bote de basura. basura. El libro es el objeto que se está ubicando, la caja, la mesa, el estante y el bote de basura son puntos de referencia consecutivos, mientras que “adentro, arriba y entre” son relaciones espaciales. Es posible que los niños sean capaces de ejecutar consignas como la descrita y realizar el proceso inverso, es decir, elaborar las consignas para que otros las lleven a cabo. La elaboración que los niños hacen de las consignas, es posible que en principio las comuniquen a través de la oralidad; luego lo harán mediante un dibujo simple. Evidentemente, producir e interpretar a través de un dibujo, es una tarea más compleja que hacerlo con la oralidad. Análogamente Análogamente
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se espera que los niños comuniquen e interpreten desplazamientos desplazamientos en el espacio, descritos de manera verbal o gráfica. Cabe señalar que ambas actividades –la ubicación de un objeto o los desplazamientos– involucran el control de puntos de referencia y de relaciones espaciales, y se diferencian en que para ubicar un objeto, los niños se ven en la necesidad de interpretar la consigna verbal (no es el caso del dibujo) “en sentido contrario” al que fue elaborada; es decir, en el ejemplo, retienen la información sobre el objeto (el libro), pero ubican primero el basurero o el estante, luego la mesa, para seguir con la caja; en cambio, la consigna de un desplazamiento la realizan en franca correspondencia con la instrucción recibida. A diferencia diferencia del trabajo trabajo con el espacio, espacio, en la geometría geometría (del nivel nivel preescolar preescolar o el inicio de la primaria), para muchos niños son sus primeras experiencias para empezar a desarrollar sistemáticamente sistemáticame nte su percepción geométrica, trabajando con las figuras y los cuerpos. En relación con el trabajo con la geometría, particularmente particularmente con las figuras geométricas, 7 analicemos la siguiente situación: Supongamos, sólo por dramatizar y ponernos en un caso extremo, que la maestra de Mariana un día decide darle “la clase del cuadrado”; para ello le muestra la figura, le dice cómo se llama y aprovecha para que la niña repase (o empiece a aprender los colores), practique el recorte y el pegado; otro día, de manera análoga y a través de las mismas u otras manualidades, la maestra le presenta a Mariana el triángulo, luego quizá el rectángulo o el círculo. En el mejor de los casos, el recaudo de esas clases para Mariana será que logre, antes de ingresar a la primaria, identificar las figuras con su nombre, pero el desarrollo de su percepción geométrica ha tenido pocas oportunidades de realizarse. Resultaría más productivo para el aprendizaje geométrico de Mariana, que su maestra le diera las figuras figur as del Tangram Tangram (figura 1), 1 ), 8 así en una misma oportunidad aparecen el cuadrado, el triángulo y una misteriosa figura llamada romboide. ¿Qué se le puede proponer a Mariana para que ponga en juego no sólo su percepción geométrica sino que, además, le ayude a desarrollarla? Una posibilidad entre otras, es pedirle que de esas figuras tome las que le sirvan para cubrir la flecha dibujada en una hoja (figura 2). Es válido que la maestra explore, en el momento de entregar los Tangram, si sus alumnos ya conocen el nombre de alguna de las figuras; incluso, si lo desconocen, puede dárselos con
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Se escoge esta situación a partir del interés observado en las educadoras por esta temática: las figuras geométricas. El trabajo en el preescolar con diversos rompecabezas (Fuenlabrada, et al .,., 1996) es muy importante para desarrollar la percepción geométrica. En esta presentación sólo nos ocuparemos del Tangram porque, como se anticipará, interesa destacar el trabajo con las figuras geométricas, a lo que se agrega la posibilidad de construir con sus piezas distintas imágenes (peces, f iguras humanas, etcétera), en función de diferentes ubicaciones espaciales de las mismas, a diferencia de las posibilidades que dan otros rompecabezas comerciales, en los que la solución es única.
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Figura 1.9
Figura 2.
el fin de facilitar la comunicación, “a las cosas viene bien nombrarlas por su nombre”, pero la relación figura-nombre no es la parte nodal de la clase; los nombres de las figuras ya se los irán aprendiendo Mariana y sus compañeros compañeros.. Lo esencial es qué hacen los niños para resolver la situación: ¿qué figuras seleccionan?, ¿cuántos intentos hacen para colocar una figura en el lugar que ellos creen que se puede poner?, ¿la desechan?, ¿intentan con otra?, ¿acomodan y reacomodan una figura en particular y no atinan a ubicarla? En esas acciones fallidas o exitosas, los niños ponen en juego su percepción de la flecha contra las figuras disponibles del Tangram Tangram que, por cierto, una vez que toman una figura que les sirve se inutiliza al menos otra. Así que, como en el Tangram Tangram no hay ninguna figura que tenga la forma del dibujo, tienen que empezar a “mirar las figuras ocultas” en la flecha, que explícitamente no están, pero que ellos perciben, empiezan “a ver”: un triángulo y un cuadrado y dejan de considerar al romboide, parece que por el momento no hay nada que sugiera utilizarlo. Pero, ¿será que sirve el cuadrado que tienen?, y de los triángulos, ¿cuál? o ¿cuáles?, ¿serán dos o tres? No hay de otra…, tienen que probar probar.. Mariana se decide por el cuadrado y el triángulo mediano, el primero le sirvió y al colocar el segundo, queda el espacio de un triángulo de igual tamaño que el que ya puso…, no hay problema, lo bueno es que, ¡todavía quedan triángulos!, pero ¡ninguno del tamaño que ella necesita! ¿Será que su compañerito de banca le quiera prestar el triángulo que ella necesita? No, no está dispuesto, la maestra dijo que cada quien con su Tangram…, Mariana tendrá que resolverlo con sus figuras, observa los triángulos y se da cuenta que los dos pequeños pueden
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Las figuras del Tangram se obtienen de cualquier cuadrado (como se muestra en la figura) y consiste en dos triángulos grandes, uno mediano, dos chicos, un cuadrado y un romboide.
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servirle, intenta colocarlos y “no se dejan”, “pero tiene que poderse (piensa), se ve como que sí”; cada vez está más segura, ¡por fin lo logra! (figura 3). Figura 3.
Algunos niños, como como lo hizo Mariana, utilizarán el el cuadrado, cuadrado, el triángulo triángulo mediano mediano y los dos chicos; sin embargo, otros optarán por un camino más sencillo usando el cuadrado y el triángulo grande (figura 4); a unos les parecerá mejor usar sólo triángulos: el grande y los dos chicos (figura 5); mientras algunos más podrán doblegar a esa figura “chueca”: el romboide (figura 6). Figura 4.
Figura 5.
Figura 6.
Evidentemente el problema de la flecha admite varias soluciones, soluciones , cada una en función de la percepción geométrica de los niños. La aparición de tales soluciones, sólo es posible si la maestra de Mariana deja a sus alumnos que resuelvan la situación por sí mismos, como se observó en el caso ya analizado de Genny, cuando decide usar la relación uno a uno para resolver el problema de las crayolas.
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Cabe destacar que el trabajo intelectual de Mariana y del resto del grupo, en sus intentos por resolver el problema propuesto, es totalmente geométrico y dista, por mucho, del que tienen que realizar en las “clases del cuadrado o del triángulo” descritas inicialmente, cuyo recaudo son las manualidades. En ambas situaciones –las clases de las figuras y las del Tangram–, los niños empiezan a reconocer los nombres de las figuras. Puede suceder que algunos niños presenten más dificultades que otros; en estos casos, la educadora, al observar sus intentos, los retoma y les presta un poco de ayuda, ello es particularmente recomendable en los casos en que los niños se estén desesperando. Por ejemplo, si Mariana insistiera en colocar un segundo triángulo mediano (que no existe en el Tangram), su maestra podría sugerirle que utilizara uno de los chicos, incluso dependiendo de las posibilidades de Mariana, podría hasta colocárselo y animarla a que complete lo que falta de la flecha. En las actividades geométricas, a diferencia de las relacionadas con los números (las aritméticas) y las de medición, es más factible el trabajo individual que el de parejas y, en menor medida, el de equipo, porque las acciones se sustentan en lo que el niño percibe, que no siempre coincide con su compañero. Los proyectos de acción, en situaciones de este tipo, son muy personales, difícilmente las posibilidades de solución son comunicables porque conllevan a ejecuciones muy inmediatas: “se ve y se intenta”.
La medición
Desde antes de ingresar al preescolar, preescolar, los niños han tenido diversas experiencias de distintas magnitudes, principalmente con la longitud, el peso, la capacidad y el tiempo. Desde luego que su conocimiento ha estado básicamente relacionado con los efectos de estas magnitudes en sus actividades cotidianas. Así, saben que su casa está más lejos de la casa de su abuelita que del mercado; que unos juguetes son más pesados que otros, unos los pueden cargar y necesitan ayuda para levantar otros o moverlos de lugar; hay juguetes o cacharros de la cocina que les sirven para contener agua pero otros no; asimismo, han registrado el paso del tiempo, por el suceder secuencial de los eventos, por la frecuencia de su repetición, aunque para ellos no es lo mismo dos horas de juego, que dos horas de visita de su mamá a la casa de su amiga, cuando ellos tienen que “comportarse”. En cambio sus experiencias con la medición de esas magnitudes , refieren a un conocimiento nominativo de las mismas; es decir, expresiones como: “tres metros de listón”, “un kilo de frijoles”, “dos litros de leche” o “en media hora llega tu hermana”, les son familiares, pero no les significan mucho más allá que una manera de hablar. En preescolar el trabajo sobre la medición involucra la interacción con las magnitudes de longitud, capacidad, peso y tiempo, a través de la comparación, la estimación y la medición con unidades no convencionales. Hay una tendencia general en las prácticas de enseñanza
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dominantes, a disociar los distintos componentes de un concepto, en un intento de hacer “más accesible” el conocimiento a los niños; pero esto en lugar de favorecer el aprendizaje lo obstaculiza, fundamentalmente se minimiza su funcionalidad.10 Es como si se quisiera que los niños niños apreciaaprecia ran la belleza de una pintura, sólo que en vez de mostrárselas completa la tapáramos con una franela e hiciéramos un orificio, para que nada más vieran un pedacito, luego moviéramos el orificio para mostrarles otro pedacito, y con esta manera de proceder pretendiéramos que se fueran haciendo una idea completa de la pintura en cuestión, ¿no sería más sensato que los dejáramos ver la pintura completa y luego ir analizando con ellos los detalles?: hay una casita…, no, parece que son dos, hay una atrás; tres personas están conversando; cerca de los árboles hay unos niños jugando con un perro, etcétera. En preescolar suelen aparecer actividades de comparación de tamaños, a partir de mostrar diferentes pares de objetos dibujados en una hoja o en un cuaderno de trabajo (pez-ballena, osito-osote, etcétera): etcétera): se solicita a los niños que diferencien iluminando o encerrando objetos grandes y chicos. Otra vez nos encontramos con una actividad, ahora referida a la longitud, que se supone que “lo grande”o “lo chico” refiere, o a la altura de los objetos (osito-osote) (osito-osote) o a lo largo (pez-ballena), sin ninguna posibilidad física para que los niños realicen la comparación entre los objetos, por lo que el trabajo sobre la longitud se diluye una vez más, en el entreteje de las manualidades manualidades.. Una de las pocas actividades que se hacen en el preescolar sobre la longitud, es solicitar a los niños que ordenen distintos palitos por su tamaño. 11 Sin embargo, se logra un trabajo más interesante y sostenido con la comparación y la estimación de las longitudes con el siguiente juego: Organizados en equipos (4), se les entregan semillitas y dos paquetes de tiras de cartoncillo grueso: uno con ocho de distinto color y tamaño (6cm, 7cm…, 13cm 12 ), y el otro con tiras blancas de diferentes tamaños, los mismos que las de colores. Se les anticipa que ninguna de las tiras se puede doblar ni marcar con lápiz. Dispersan en la mesa las tiras de colores, por turnos un niño toma, sin ver, una tira del paquete de las blancas y selecciona [sin tomarla, sólo con la vista] de las de colores, la que crea que es del mismo tamaño que la blanca que tomó, después verifica [ahora sí tomando la tira de color seleccionada] lo acertado ace rtado de su elección; si fue correcta toma una semillita semill ita (si falló no toma ninguna) y regresa ambas tiras, la de color a la mesa (dispersándolas) y la blanca al paquete; es el turno de otro niño. El juego termina cuando alguno junte cinco semillitas. semillitas.13 10
Ejemplo de ello son las “clases” de los números o de las f iguras geométricas, sobre las que ya se ha comentado. Equivocadamente se cree que esta actividad atiende a situaciones de orden referidas a números (clasificación, seriación y orden). Equivocadamente 12 Es claro que las medidas se señalan para la educadora, los niños las desconocen, ellos no van a trabajar con los “centímetros”. 13 El juego se puede complejizar aumentando el número de tiras de distinto tamaño. Desde luego, si con seis tiras es difícil la estimación de la longitud por parte de los niños, se pueden retirar en las primeras experiencias cuatro tiras intermedias (7cm, 9cm, 11 11cm, cm, 13cm.), con las tiras que quedan, además de que son menos posibilidades de elección, la percepción de las longitudes entre ellas es más clara. 11
290
Al realizar realizar el juego, los niños tienen tienen la oportunidad de trabajar trabajar con la estimación de longitudes y, para convencer a sus compañeros que pueden quedarse con una semillita, tienen que encontrar un recurso que les permita verificar su elección, para lo cual tendrán que comparar la longitud de las tiras, ya sea “parándolas” o “acostándolas” sobre la mesa. Juntar cinco semillitas garantiza que al menos en cinco ocasiones hayan estimado y comparado bien las longitudes, a lo que se adiciona las veces que indirectamente lo hicieron, viendo a sus compañeros. En el transcurso del juego es muy importante que la educadora observe que sus alumnos estén haciendo correctamente la comparación de las tiras, ésta es la parte central de la actividad; ello significa que para hacerlo, un extremo de las mismas esté alineado, que queda garantizado si están “parando” las tiras, pero puede ser que haya problemas si para compararlas las tienen “acostadas”. En cuanto a la estimación de la longitud, se irá desarrollando en los niños en la medida en que tengan muchas oportunidades de ponerla en juego en diversas situaciones. Un caso extremo que tal vez suceda, es que en algún equipo ninguno de los niños sepa que alinear un extremo de las tiras (cuando están acostadas sobre la mesa) es condición necesaria para hacer hacer la compa comparació ración n y esto hay que aclararlo, pero sólo en caso de que así ocurra; es decir, lo recomendable es que los niños se autorregulen y se expliquen entre ellos la condición de la comparación de longitudes. Sin embargo, al término de la clase, la educadora propiciará una discusión colectiva sobre el particular. Cabe destacar que un juego es algo más que una actividad lúdica porque tiene reglas, se sabe cuándo termina la actividad y quién gana; gana ; en los juegos subyacen condiciones didácticas que comprometen a los participantes a realizar bien la actividad, porque ninguno de los jugadores está dispuesto a que otro “haga trampa, por ignorancia o mala fe”. El juego descrito propicia, como ya se dijo, el desarrollo de la estimación [de la magnitud] de la longitud planteando problemas de comparación y realizando ésta como recurso para verificar esa estimación. Se puede modificar el juego para que los niños estimen la medida de la longitud , para esto se necesita que sigan comparando, pero ahora comparan la longitud de una tira con la longitud de otra que funciona como unidad (de medida) y lo que estiman es cuántas veces creen que la (tira) unidad cabe en la tira que se quiere medir. medir. El juego se plantea con las mismas condiciones iniciales que el anterior (trabajo en equipo, semillas y participación por turnos), las tiras de colores pueden aumentarse a 10 (6cm, 8cm, 10cm, 12cm, 14cm, 15cm, 16cm, 18cm, 20cm y 21cm) y las tiras blancas también suman 10, de 3cm y seis tiras negras de 4cm. Las tiras de colores se meten a una bolsita, las tiras blancas y las negras se ponen sobre la mesa. Por turnos, un niño saca una tira de color, elige “tiras blancas” o “tiras negras” y dice cuántas veces, las tiras que eligió (blancas, por ejemplo) caben en la tira de color; una vez que hizo la estimación la verifica. Si acierta, toma un semillita y regresa la tira de color a la bolsa; el juego termina cuando algún participante reúne reúne tres semillitas. semillitas.
291
Este juego es evidentemente más complejo que el anterior, porque ahora se trata de propiciar la medición. Los niños tendrán que generar un recurso para verificar su respuesta, como no se vale marcar ni doblar las tiras tendrán que colocar tiras unidad (blanca o negra) sobre la tira de color, o (menos probable, pero posible) trazar la longitud de ésta en una hoja blanca e ir marcando con la unidad cuántas veces cabe. Aunado a ello, es altamente probable que la unidad elegida no quepa un número exacto de veces en la tira de color (es el caso de 10cm y 14cm), bien haber elegido la unidad blanca (3cm) para medir (8cm, 10cm, 14cm, 16cm y 20cm) o querer medir (6cm, 10cm, 14cm, 15cm, 18cm y 21cm)con la unidad negra (4cm). Los niños no “le van a atinar” varias veces, pero se irán dando cuenta que es más acertado decir: “Tres blancas y un poquito”, “casi cuatro negras” o “es más de tres blancas, pero menos que cuatro”. Tendrán que proponer un cambio de regla, para aceptar este tipo de estimaciones (aproximaciones a la medida) y así ganar las semillitas, en cuyo caso se acepta el cambio, pero ahora gana quien junte cinco semillitas. Algunas precisiones son: el juego sobre estimación de la medida y llevar llevar a cabo cabo la medición para verificarla, involucra la medición con unidades no convencionales; el centímetro es una unidad convencional, pero las tiras blancas o negras (longitudes 3cm o 4cm) no lo son. Poner a los niños en situación de medir, cuando la unidad no cabe un número exacto de veces, es una situación más frecuente en lo cotidiano. Por esto, el sistema métrico decimal se organiza con el metro y sus múltiplos y submúltiplos. La expresión “un metro ocho decímetros” da cuenta de una medida más exacta que “más de un metro, pero menos que dos metros” o “casi dos metros”, y éstas últimas expresiones, a su vez, son una mejor aproximación a la medida que decir solamente “un metro”. En preescolar no se pretende que los niños den medidas exactas sino aproximacione aproximaciones s de ésta usando unidades no convencionales, así como que trabajen con diversas unidades (el tamaño de su pie, las cuartas, varitas, etcétera) y seleccionen la unidad tomando en cuenta lo que quieren medir. Es decir, la unidad se elige en función de lo que se quiera medir; a veces conviene usar una unidad grande y otras una chica, las unidades blancas o negras usadas en el juego, no son útiles, por ejemplo, para medir la distancia entre el salón de clase y la dirección. Por eso, utilizando el sistema convencional de medidas de longitud, 14 el metro no es siempre la unidad más conveniente para hacer una medición, si se quiere medir la distancia entre dos pueblos es más razonable usar el kilómetro (múltiplo del metro) y si lo que se necesita es medir el largo de un zapato es mejor usar al centímetro (submúltiplo del metro).
14
Que no se trabaja en el preescolar.
292
Los libros para los niños, diferentes tipos de organización para resolver las actividades y el material didáctico Estudios realizados sobre la escuela primaria (Balbuena et al ., ., 1991), muestran una sobrevaloración en el uso de los libros dirigidos a los niños, incluso la enseñanza se ha organizado alrededor de éstos; esta manera de proceder en la enseñanza tiene como recaudo el bajo nivel de conocimiento matemático que adquieren los alumnos en su tránsito por la escuela, a la vez que se anidan sentimientos de frustración y de rechazo hacia la disciplina matemática. Esto no deja de ser un riesgo instalado en preescolar, máxime ahora que se amplían los contenidos; los niños en general, y con más razón los de preescolar que son muy pequeños, si bien pueden interactuar con el material gráfico que les ofrece algún libro, fundamentalmente deben realizar múltiples y diferentes actividades que son necesarias e ineludibles para acceder a un conocimiento con sentido (funcional) de la matemática. Es decir, el libro para los niños (en caso de existir) debe ser un recurso didáctico cuya principal función es propiciar y favorecer las actividades de aprendizaje, y no necesariamente hacer más fácil la tarea escolar de alumnos y maestros. En didáctica, lo fácil no necesariamente resulta productivo; suele confundirse este principio, por lo que en varios libros dirigidos a alumnos proliferan ejercicios o actividades que lo que exigen de los niños es tiempo y no actividad intelectualmente productiva que les genere aprendizajes con sentido; para ello es recomendable que antes de optar por un libro, se le revise desde la perspectiva del tipo y la calidad del trabajo intelectual que propone propiciar en los niños. Las actividades pueden realizarse en el salón de clase o en el patio, organizando a los niños en parejas o en equipos, también puede tratarse de trabajo individual o de grupo. Estas diferentes organizaciones organizaciones para realizar las actividades propician, en cuanto al aprendizaje de la matemática, espacios de socialización del conocimiento y de las experiencias de (y entre) los niños y colateralmente van propiciando el desarrollo de competencias sociales tales como: exponer y compartir ideas, escuchar a otros, tomar acuerdos o en ocasiones disentir generando argumentos para exponer la propia posición. Cabe advertir que seguramente estas diferentes organizaciones serán visualizadas, no por pocas educadoras, como una tarea compleja tratándose de niños pequeños, con el riesgo además de malograr la disciplina del grupo; sin embargo, iniciar la socialización sistemática del conocimiento desde el preescolar, habilita a los niños para su ingreso a la primaria, que comparte la misma sugerencia metodológica y por ello está asentado en el enfoque de la Propuesta. A esto se adiciona que, investigaciones como las de Rancel, 15 sobre la experi-
Experimentación de una secuencia didáctica sobre los números, en un grupo de preescolar. Estudio de caso , tesis para obtener el grado de Maestría en Ciencias en Investigación Educativa en el Departamento de Investigaciones Educativas del Cinvestav, desarrollada por María de los Ángeles Rangel Yescas, bajo la dirección de la M. en C. Irma Fuenlabrada. Tesis en proceso de defensa para el inicio del 2005.
15
293
mentación de una secuencia didáctica en un grupo de preescolar llevada a cabo por una educadora, han mostrado no sólo su viabilidad con niños pequeños, sino fundamentalmente los beneficios sobre el aprendizaje de la matemática que ello reporta. Una de las conclusiones de dicha investigación señala cómo la educadora logró que sus alumnos trabajaran en equipo, en parejas o grupalmente a partir de una equilibrada respuesta de ella hacia sus alumnos. Por un lado, las diversas organizaciones aparecían sistemáticamente en todas las actividades del aula (no sólo las referidas a la matemática) y, por otro, la educadora daba espacios de participación a todos sus alumnos (no sólo a los que decían o hacían lo que ella pudiera esperar,, como suele suceder en muchas aulas), con el tiempo esta actitud fue minimizando la esperar natural insistencia de los niños por ser atendidos y aumentó en todos la confianza por expresarse libremente sobre sus particulares maneras de enfrentar las situaciones frente a sus compañeros y su maestra. En muchas actividades es necesaria la interacción de los niños con material didáctico o con material escolar 16 que se requiere como apoyo para su razonamiento en la búsqueda de soluciones a las problemáticas que se les propongan; propongan; pero que sirven poco para el aprendizaje si lo utilizan siguiendo indicaciones de aquella educadora cuya única finalidad es que la actividad resulte entretenida y organizada y, si es el caso, limpiecita y bien presentada.
A título de conclusione conclusiones s Una de las aspiraciones del enfoque metodológico de la Propuesta editada por la
SEP es apunta-
lar la autonomía de los niños (competencias cognitivas) y su control sobre el aprendizaje (competencias cognitivas y afectivas; la autoestima, por ejemplo, que se adquiere de saber que es capaz de resolver situaciones sin que nadie le diga cómo hacerlo). Pero pareciera ser que e l proceso de enseñanza que se deriva de dicho enfoque implica un nuevo rol de las educadoras; esto es parcialmente cierto, ya que si bien se espera (esto es lo nuevo) que las educadoras se deslinden de asumir no sólo la dirección paso a paso de la manipulación de un material sino también de lo que sus alumnos consideren necesario necesario hacer para resolver las situaciones (en las situaciones adidácticas), también es cierto que en el proceso didáctico está previsto que las educadoras “recuperen”, “recuperen”, por así decirlo, su rol de enseñantes, pues ellas son las que poseen el conocimiento cultural de las temáticas que se trabajan en el preescolar. Nos parece importante advertir sobre este doble rol que se demanda a las educadoras, con el fin de prever algunas equivocadas interpretaciones de enfoques metodológicos análogos al
16
Se entiende por material didáctico: fichas de colores, tarjetas con escenas, con números colección, rompecabeza rompecabezas, s, dominós, balanzas, recipientes, etcétera; mientras que el material escolar refiere a: estambre, tijeras, crayolas, papel, etcétera.
294
que se sustenta en la Propuesta, en los que erróneamente se ha inferido que el docente sólo es un facilitador u observador del aprendizaje de sus alumnos desprovisto de la facultad de dar informaciones o de intervenir. intervenir. Citaremos algunos ejemplos de intervención: si los niños llegan a preescolar sin el conocimiento del inicio de la serie numérica oral (ya sea porque son muy pequeños, o porque su núcleo social es de analfabetas o su lengua materna no es el español17 ), deben aprenderla de su maestra, porque sin ella no pueden iniciarse en el proceso de conteo,18 lo mismo sucede con los símbolos con los que convencionalmente se escriben los números: si no hay alguien que les diga cómo son, no los aprenderán; de la misma manera requieren que se les diga cómo se llaman algunas figuras geométricas. La prevención opera al saber en qué momento es importante dar esta información, pero sobre todo al no perder de vis ta que la enseñanza –desde lo que actualmente se sabe sobre procesos de aprendizaje infantil de la matemática– no es un acto de informar para que los niños puedan repetir dicha información a solicitud de su maestro, sino que su aprendizaje de la matemática se instale como una herramienta útil, eficiente y eficaz para resolver diversos problemas. De hecho, el aprendizaje conlleva el reconocimiento del significado de los diversos conceptos matemáticos (para qué sirven, qué tipo de problemas resuelven, cómo se representan), que para el preescolar refieren a los primeros números con su representac representación ión para dar cuenta del resultado, el conteo como estrategia de solución de diferentes problemas, el desarrollo de la percepción geométrica, las nociones iniciales de algunas magnitudes y los procesos de medición, por citar algunos.
Bibliografía Balbuena, Hugo, David Block, Irma Fuenlabrada, Leove Ortega y Ruth Valencia (1991), “Reflexiones en torno a la modernización educativa. El caso de las matemáticas en los primeros grados de la escuela primaria”, en Educación Matemática, Matemática, vol. 3, núm. 3, México, Grupo Editorial Iberoamérica Iberoamérica.. Block, David, Irma Fuenlabrad Fuenlabrada, a, Alicia Carvajal y Patricia Martínez (1991), Los números y su representación. representació n. Propuestas para divertirse y trabajar en el aula aula,, México,
SEP
(Libros del
rincón). Brousseau, Guy (1998), “Théorie des situation didactiques”, en Recherches en Didactiques des Mathématiques, Mathématiques, París, La Pensée Sauvage. Fuenlabrada, Irma (2001), “La numerosidad de las colecciones y los números como signos que las representan”, en Memorias (electrónicas) del VI CNIE , Manzanillo, Colima.
17
La serie numérica oral tendrán que aprenderla y trabajar con ella en su lengua, posteriormente la aprenderán en español. Recuérdese que contar pasa por establecer una correspondencia uno a uno, entre los objetos de una colección y la serie numérica oral, y los niños no lo lo harán si todavía todavía no pueden mencionar los nombres nombres de los números en orden (uno, dos, tres, tres, etcétera).
18
295
Fuenlabrada, Irma, Leove Ortega y Ruth Valencia (1996), “La geometría en los libros de texto de Matemáticas del primer ciclo de primaria”, en G. Waldegg y D. Block (coords.), Estudios en Didáctica, Didáctica, México, Grupo Editorial Iberoamérica. Nemirovsky, Miriam et al. (1990), Informe de Investigación: Situación actual de la enseñanza de la Matemática en el Nivel Preescolar , México, Dirección General de Educación Preescolar-Sección de Matemática Educativa-Cinvestav. SEP
(2004), Programa de Educación Preescolar 2004, 2004 , México.
296
E
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C R
FORMA, ESPACIO Y MEDIDA
Segundo Semestre “C” A L
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D
G A
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COORDINADORA Mtra. Nialy Yolanda Álvarez Menacho
[email protected]
FORMA, ESPACIO Y MEDIDA ü En
nuestro entorno ambiental estamos rodeados de objetos, formas, diseños y transformaciones…intuición geométrica.
ü la
geometría es la ciencia que tiene por objeto analizar, organizar y sistematizar los conocimientos espaciales.
FORMA, ESPACIO Y MEDIDA ü El
estudio de la geometría puede ser caracterizada como el estudio de las experiencias espaciales.
ü El
espacio puede ser caracterizado desde diferentes puntos de vista: físico, psicológico, social, geométrico, arquitectónico, etc.
FORMA, ESPACIO Y MEDIDA ü Percepción
espacial según R. Pallascio proponen cinco etapas: visualización, estructuración, la traducción, la determinación y la clasificación. visualización: consiste en poder memorizar imágenes parciales a fin de poder reconocer objetos iguales o semejantes por cambio de posición o de escala, entre una diversidad de obetos teniendo el mismo croquis.
Ø la
FORMA, ESPACIO Y MEDIDA Ø Estructuración:
después de haber visualizado el objeto, su estructuración consiste en poder reconocer y reconstruir el objeto a partir de sus elementos básicos constituyentes.
Ø Traducción:
consiste en poder reconocer un objeto a partir de una descripción.
Ø Determinación:
consiste en poder reconocer su existencia a partir de una descripción de sus relaciones métricas
FORMA, ESPACIO Y MEDIDA Ø Clasificación:
consiste en poder reconocer clases de objetos equivalente según diferentes criterios de clasificación.
NOTA Cada una de estas etapas Permiten desarrollar las habilidades de observar (visualización), abstraer (estructuración), comunicar (traducción), y organizar (determinación y clasificación).
FORMA, ESPACIO Y MEDIDA vla
geometría debe ser un objetivo general para todo ciudadano.
vTener
una cultura geométrica con visión histórica e interdisciplinar, aplicar conocimientos geométricos para modelizar, crear, resolver problemas reales, usar los diferentes lenguajes y representaciones.
FORMA, ESPACIO Y MEDIDA LA FINALIDAD vEn la enseñanza de la geometría, es aquello que sea útil con rango futurible y pueda motivarse desde la actualidad, razonar correctamente, representar, abstraer, relacionar, clasificar y resolver son verbos deseables en el abanico de lo deseable.
FORMA, ESPACIO Y MEDIDA
D E 2 (
FORMA, ESPACIO Y MEDIDA Bases para el trabajo docente en preescolar PEP 2011
ü
Referentes para orientar la organización y el desarrollo del trabajo docente, la evaluación del aprendizaje y de las formas en que se propicia.
ü
Guía para la reflexión (individual y colectiva) sobre las prácticas en el aula y en la escuela.
ü
Organizan en 3 grandes rubros: v v v
Características infantiles y procesos de aprendizaje. Diversidad y equidad. Intervención educativa
Bases para el trabajo docente PEP 2011 LOS NIÑOS Y LAS NIÑAS
Llegan a la escuela con conocimientos y capacidades
CARACTERISTICAS INFANTILES Y PROCESOS DE APRENDIZAJE
Aprenden en interacción con sus pares
El juego potencia el desarrollo y aprendizaje
Bases para el trabajo docente PEP 2011 La educación inclusiva implica oportunidades formativas de calidad para todos.
La atención de los niños y niñas con NEE con o sin discapacidad y con AS. DIVERSIDAD Y EQUIDAD
Igualdad de derechos entre niños y niñas se fomenta desde su participación en actividades de socialización y aprendizaje.
Bases para el trabajo docente PEP 2011 Fomentar y mantener mantener en los niños y las niñas, el deseo de conocer, así como, interés y la motivación de aprender
INTERVENCION EDUCATIVA
La confianza en la capacidad de aprender se propicia en un ambiente estimulante en el aula y la escuela
La intervención educativa requiere de una planificación flexible
La colaboración y el conocimiento mutuo entre la escuela y la familia favorece el desarrollo de los niños (as)
FORMA, ESPACIO Y MEDIDA D
D
Permite identificar en qué aspectos del desarrollo y aprendizaje se concentran (lenguaje, pensamiento matemático, etc.) y constituyen los cimientos de aprendizajes más formales y específicos que los alumnos estarán en condiciones de construir conforme avanzan en su trayecto escolar.
(SEP. PEP 2011)
FORMA, ESPACIO Y MEDIDA Pensamiento Matemático “…El
trabajo con la resolución de problemas matemáticos exige una intervención educativa que considere los tiempos requeridos por los niños para reflexionar y decidir sus acciones, comentarlas y buscar estrategias propias de solución. Ello implica que la maestra tenga una actitud de apoyo, observe las actividades e intervenga cuando los niños lo requieran…” (PEP 2011, Pág. 56)
Matemáticas para la Matemáticas Educación Educa ción Normal Nor mal
Guía para el aprendizaje y enseñanza de la geometría y la medición Tenoch E. Cedillo Ávalos Ávalo s Masami Isoda Antonio Chalini Herrera Valentín Cruz Oliva
II
Geometría y Medición
Secretaría de Educación Pública José Ángel Córdova Villalobos Secretario de Educación
Rodolfo Tuirán Gutiérrez Subsecretario de Educación Superior
Marcela Santillán Nieto Directora General de Educación Superior para Profesionales de la Educación.
'DWRVGHFDWDORJDFLyQELEOLRJUi¿FD
Cedillo, T., Isoda, M., Chalini, A., Cruz,V. Matemáticas para la Educación Normal Guía para el aprendizaje y enseñanza de la geometría y la medición SEP,, México. SEP Méxi co. Contra Punto Editores S de RL de CV, 2012 ISBN: Área : Matemáticas Formato: Páginas:
Todos los derechos reservados. Coordinador general:
Manuel Cerón
Editora:
Paloma Núñez Aguilera
Diseño:
Jaime E. Esquivel
Traducción:
Edgar Krauss
PRIMERA EDICIÓN, 2012. D.R. c 2012 Contra Punto Editores S de RL de CV. 5 de febrero 792, interior11 Colonia Álamos, C.P. 03100 Benito Juárez, México, D.F. (PDLOGLUHFFLRQHGLWRULDOVLQ¿Q#JPDLOFRP
Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes. ISBN: XXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXX XXX Impreso en México. Printed in Mexico.
Geometría y Medición
III
Nuestro profundo agradecimiento por su valiosa contribución a nuestros distinguidos colegas: María Olga Martínez Torres, Escuela Normal “Profr y Gral. Alberto Carrera Torres”, Torres”, Tamaulipas. Tamaulipas. María del Rocío Nava Álvarez, Álvarez, Instituto Superior de Ciencias de la Educación del Estado de México. Enrique Vega Ramírez, Ramírez, Universidad Pedagógica Nacional, Unidad Ajusco. Noé Sanmartín Román, Escuela Normal No. 1 de Nezahualcóyotl, Estado de México.
IV Geometría y Medición
Índice Introducción
VIII
Parte I : La enseñanza de las matemáticas: el papel del análisis de videos y de los libros de texto.
1
Qué es el Estudio de Clases
2
Actividades
2
5HÀH[LRQHV DGLFLRQDOHV
Actividades
3
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Actividades
3
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¿Por qué los niños pudieron decir “hay algo que está mal”? El potencial de un libro de texto bien secuenciado
4
Actividades
4
5HÀH[LRQHV DGLFLRQDOHV
Aprendiendo a aprender matemáticas
7
Parte II:
¿Cómo podemos saber si los niños están aprendiendo por sí mismos?
8
Exploración del entorno entorno desde la perspectiva de las PDWHPiWLFDV UHL¿FDFLyQ \ FRPSUHQVLyQ
Actividades
8
5HÀH[LRQHV DGLFLRQDOHV
El mundo de las matemáticas: belleza, simplicidad, SUHFLVLyQ H¿FLHQFLD \ JHQHUDOL]DFLyQ
Actividades
9
5HÀH[LRQHV DGLFLRQDOHV
¿Dónde podemos ver actividades similares en los demás tomos?
10
Actividades
10
Aprendiendo matemáticas a partir de una situación HVSHFt¿FDGHVDUUROORGHOFRQRFLPLHQWRPDWHPiWLFR
con comprensión
11
Actividades
11
Geometría y Medición
5HÀH[LRQHV DGLFLRQDOHV
Actividades
12
Extensión del mundo de las matemáticas: desarrollo de las matemáticas desde las matemáticas
12
Actividades
12
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Actvidades
13
Piensa cómo lo hiciste: desarrollo de ideas y su generalización mediante representaciones formales
14
Actividades
14
Uso de las representaciones como herramientas del pensamiento
15
Actividades
15
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Actividades
15
5HÀH[LRQHV DGLFLRQDOHV
Resolución de problemas: el gusto por las matemáticas
17
Parte III:
Actividades fructíferas en la resolución de problemas: ¿cómo podemos ir más allá?
19
Actividades
19
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Actividades
19
5HÀH[LRQHV DGLFLRQDOHV
Diferencias entre una tarea y un problema: problematización
20
Actividades
20
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Formulación de preguntas y cambios de representación
21
Actividades
21
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Extensión de las ideas previamente aprendidas
22
Actividades
22
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Desarrollo de la actitud para hacer matemáticas como un matemático
23
Actividades
23
5HÀH[LRQHV DGLFLRQDOHV
Fases de enseñanza en la resolución de problemas
24
V
VI Geometría y Medición
Planeación de la clase empleando el pizarrón
26
Actividades
26
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Actividades
27
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Actividades
28
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Actividades
29
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Actividades
30
5HÀH[LRQHV DGLFLRQDOHV
Actividades
31
5HÀH[LRQHV DGLFLRQDOHV
Actividades
32
5HÀH[LRQHV DGLFLRQDOHV
Una útil lista de cotejo para planear la clase
33
Actividades
33
5HÀH[LRQHV DGLFLRQDOHV
Una lista de cotejo para recopilar las impresiones de los alumnos
34
5HÀH[LRQHV DGLFLRQDOHV
Parte IV: Geometría
37
Formas
38
Construcción de cajas
40
Círculos y esferas (1)
42
Círculos y esferas (2)
43
Círculos y esferas (3)
44
Concepto de circunferencia
46
Ángulos
48
&ODVL¿FDFLyQ GH WULiQJXORV
Construcción de triángulos
52
Conceptualización de rectas perpendiculares
54
Conceptualización de rectas paralelas
56
Paralelas y perpendiculares: aplicación conceptual
58
&XDGULOiWHURV FODVL¿FDFLyQ
El paralelogramo y su didáctica
62
El paralelogramo y sus diagonales
64
Geometría y Medición VII
Ángulos del triángulo: razonamiento inductivo
66
Polígonos: razonamiento inductivo
68
Desarrollos planos
70
Prismas
72
Parte V: Medición
75
Comparemos longitudes (1)
76
Comparemos longitudes (2)
77
Longitud (1): ¿cómo expresar la longitud?
78
Longitud (2): El metro
79
Tiempo y hora
80
¿Cómo medir distancias? El kilómetro
82
Peso de un objeto
83
Volumen
84
Ángulos
86
Área (1)
88
Área (2)
90
Área del paralelogramo
92
Área del triángulo
94
Triangulación
96
Diámetros y circunferencias
98
El área de un círculo
99
Volumen
100
Cálculo del volumen
102
Medición con otro tipo de unidades. Promedio
104
Midamos usando otro tipo de unidades
106
Velocidad
108
Área aproximada
110
Referencias
112
VIII Geometría y Medición
L
a Subsecretaría de Educación Superior de la Secretaría de Educación Pública, a través de la Dirección General de Educación Superior para Profesionales de la Educación, pone a disposición de los docentes y estudiantes de las Escuelas Normales el libro
Matemáticas para la Educación Normal, guía para el aprendizaje y enseñanza de la geometría y la medición. Este volumen consiste en un conjunto de orientaciones didácticas para
el tratamiento de los temas de geometría y medición que se abordan en la educación básica, estas orientaciones se acompañan con actividades que se sugieren para el futuro docente cuya ¿QDOLGDGHVFRDG\XYDUDTXHSURIXQGLFHQVXFRQRFLPLHQWRSHGDJyJLFRPDWHPiWLFRGHOFRQWHQLGR
de la asignatura y lo relacionen con la práctica en el aula. Este libro es uno de los resultados del intenso trabajo de estudio e investigación que la Dirección General de Educación Superior para Profesionales de la Educación llevó a cabo durante cuatro años con el Centro de Investigación y Cooperación Internacional en Desarrollo Educativo de la 8QLYHUVLGDGGH7VXNXED-DSyQ(VHWUDEDMRVHD¿Qy\FRQFUHWyFRQODLPSRUWDQWHFRODERUDFLyQ
de 140 profesores de 90 Escuelas Normales del país que participaron en las acciones de la Comunidad de Práctica Profesional en Enseñanza de las Matemáticas. Matemáticas para la Educación Normal, guía para el aprendizaje y enseñanza de la geometría y la mediciónLQFOX\HHODQiOLVLVGHHSLVRGLRVHQHODXODTXHFRQGXFHQDUHÀH[LRQHVVREUHODV
formas de actuar de experimentados maestros, en particular, cómo elaboran un plan de clase y cómo lo ajustan sobre la marcha a partir de las reacciones de sus alumnos. En este análisis se abordan componentes esenciales en la formación de los futuros docentes, como la determinante LQÀXHQFLDTXHHMHUFHHOF LQÀXHQFLD TXHHMHUFHHOFRQRFLPLHQW RQRFLPLHQWRPDWHPiWL RPDWHPiWLFRSHGDJyJLF FRSHGDJyJLFRGHOPDHVW RGHOPDHVWURHQODVGHF URHQODVGHFLVLRQHVTXH LVLRQHVTXH
debe tomar en una clase, durante todo el curso y sus efectos en los aprendizajes de sus alumnos. El análisis de episodios en la clase de matemáticas se realiza en el marco del método de (VWXGLRGH&ODVHVRULJLQDOPHQWHGHVDUUROODGRHQ-DSyQHVWHWLSRGHDQiOLVLVSHUPLWHLGHQWL¿FDU
la distancia que hay entre lo que un maestro puede lograr trabajando de forma aislada, y lo que puede alcanzar si lo hace colegiadamente con sus pares y con maestros más experimentados. En estos episodios se destacan competencias que el futuro docente debe cultivar, cultivar, como la capacidad de escuchar a sus colegas y a sus alumnos, y sobre todo, la capacidad de generar múltiples formas para que sus alumnos desarrollen esas competencias.
Geometría y Medición IX
/DVH[SHULHQFLDVHQHODXODTXHVHDQDOL]DQHQHVWHYROXPHQFRQ¿UPDQTXHVLTXHUHPRVTXH
a los alumnos les gusten las matemáticas es indispensable que las entiendan, aún más, que las entiendan muy bien. Los resultados de las evaluaciones nacionales e internacionales muestran lo difícil que es lograrlo, en particular porque requiere que el maestro produzca secuencias didácticas cuya articulación matemática permita que los contenidos sean comprensibles para sus alumnos, es decir, que cada paso que avancen se sustente en una clara comprensión de los conocimientos que previamente construyeron. El propósito central de este libro es propiciar que los futuros docentes analicen secuencias didácticas bien articuladas matemáticamente, esto favorecerá que desarrollen competencias docentes que en su momento aplicarán para conducir a sus alumnos en la construcción de una sólida estructura conceptual que les haga posible aprender a aprender matemáticas. Esto último constituye una meta que debe aspirar un docente, y su logro es uno de los grandes propósitos de los nuevos planes y programas de la Educación Normal. En este sentido, nuestra expectativa es que este libro ofrezca oportunidades de aprendizaje para que los futuros docentes disfruten al estudiar matemáticas y que, con base en esto, se inicien en la generación de propuestas didácticas orientadas a que sus alumnos también disfruten al construir conocimientos matemáticos y resolver problemas. Este libro está organizado en cinco partes, en la Parte I se trata lo referente al análisis de una clase de matemáticas empleando el método del Estudio de Clases, en qué consiste y cómo podemos aplicarlo fructíferamente. En la Parte II, a través del estudio de casos se discute qué queremos decir con “aprender a aprender matemáticas”, cómo podemos propiciar que ocurra ese tipo de aprendizaje, cómo podemos darnos cuenta si está ocurriendo y qué tipo de actividades son más adecuadas para propiciar que los alumnos aprendan a aprender matemáticas. En la Parte III se trata lo correspondiente al enfoque de resolución de problemas y las posibilidades que brinda para favorecer que los alumnos cultiven el gusto por las matemáticas. En la Parte IV se analiza pormenorizadamente el tratamiento didáctico y matemático de los temas de geometría que se estudian en la educación básica. La Parte V se aboca al tratamiento didáctico y matemático de los temas de medición que se estudian en la educación básica. Los materiales de análisis en las Partes IV y V son las lecciones sobre geometría y medición que se presentan en los once volúmenes de la serie Matemáticas para la Educación Normal . Marcela Santillán Nieto
Geometría y Medición
Par arte te I La enseñanza de las ma matemáticas: temáticas: el papel del análisis de videos y de los libros de texto
Los once volúmenes que conforman la serie Matemáticas para la Educación Normal fueron diseñados para que los alumnos aprendan a aprender matemáticas y desarrollen habilidades para extender sus conocimientos por sí mismos. Para la consecución de ese ambicioso propósito, se adoptó la resolución de problemas como un método para que los alumnos desarrollaran su pensamiento matemático y cultivaran habilidades para comunicar ideas matemáticas. Los videos a los que se hace referencia, proporcionan ejemplos de lo que consideramos un apropiado e innovador acercamiento a la enseñanza de las matemáticas.
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Qué es el Estudio de Clases El Estudio de Clases es un método que se aplica en el trabajo colaborativo entre maestros que se reúnen para planear, poner en práctica y observar críticamente el proceso de enseñanza/aprendizaje en el aula. Dicho sucintamente, el Estudio de Clases es un estudio sistemático para mejorar la práctica docente y la calidad de los aprendizajes de los alumnos. En el proceso de planear una clase, los maestros determinan el propósito que en ella se quiere lograr mediante un análisis profundo del contenido de enseñanza, enfocándose de manera especial en lo que se pretende que aprendan los alumnos. En la implementación de la clase los maestros siguen estrictamente el plan que se diseñó y los observadores analizan lo que ocurre en la clase en el marco de los propósitos de aprendizaje que se determinaron. Después de la clase los maestros discuten con detalle las observaciones que se hicieron, hacen los ajustes correspondientes y lo sujetan a nuevas sesiones de observación hasta lograr que los alumnos muestren que han alcanzado de forma satisfactoria los propósitos de aprendizaje que se plantearon. El Estudio de Clases se propone mejorar la enseñanza por medio de la innovación, no se centra en la crítica del desempeño del maestro porque el plan de clase fue elaborado colegiadamente, no por un sólo maestro. Aún siendo errónea la conducción del proceso de enseñanza por parte del maestro, lo prioritario es lograr el propósito de aprendizaje, si éste no se alcanzó, lo conducente es revisar de forma minuciosa el plan de clase, buscar alternativas y, colegiadamente, hacer los ajustes del caso. En el Estudio de Clases se asume la premisa de que el conocimiento profesional de los maestros se enriquecerá si tienen la disposición para reunirse y discutir cómo generar mejores alternativas para lograr un propósito compartido.
Actividades Observa y discute el video 3ODQL¿FDFLyQGHODV&ODVHV , Profesor Takao Seiyama, Segundo Grado.
ZZZGJHVSHVHSJREP[VLWHVGHIDXOW¿OHVWFFDSVXODB-,&$]LS 1. Observa el video del minuto 11:53 al 13:34. Toma nota de lo que está escrito en el pizarrón y discute su contenido con tus compañeros. 2. Observa el video del minuto 13:34 al 15:03. El profesor Seiyama usó la expresión “las matemáticas son la ciencia de los patrones”. Discute con tus compañeros qué es lo que quiso decir con esa expresión.
3. Observa el video del minuto 15:03 al 16:46. El profesor HoVRPL]XFUX]yVXVPDQR VRPL]X FUX]yVXVPDQRVUH¿ULp VUH¿ULpQGRVHDDOJR QGRVHDDOJR¢4Xp ¢4Xp es lo que quería explicar con ese gesto? 4. Observa el video del minuto 16:07 al 16:34. El profesor Seiyama describió la secuencia de enseñanza que había diseñado y los aprendizajes que espera que logren sus alumnos. Con base en esa descripción explica su plan de enseñanza
En el Estudio de Clases tiene lugar un proceso de evaluación, pero no se centra en el desempeño del maestro que impartió una clase que fue observada, se enfoca en el logro del propósito de aprendizaje de la clase y el plan para llevarla a cabo en el aula. En este sentido, la evaluación tiene tiene
y el propósito de la clase empleando tus propias palabras. 5. Al inicio del video algunos niños se expresaron acerca del SURIHVRU6HL\DPD¢3RUTXpORVDOXPQRVTXLHUHQDVXSURIH VRU"¢3XHGHVH[SOLFDUVXUHVSXHVWDDSDUWLUGHODIRUPDHQ que él prepara la clase?
FRPR FRP R ¿QDO ¿QDOLGDG LGDG PHMR PHMRUDUHO UDUHO FRQR FRQRFLP FLPLHQWR LHQWR SURI SURIHVLR HVLRQDOGH QDOGH ORV
maestros y obtener óptimos aprendizajes de los alumnos. El concepto de Estudio de Clases sería sensiblemente distor- 5HÀH[LRQHVDGLFLRQDOHV sionado si se entendiera como un instrumento para evaluar El profesor Seiyama está el desempeño del maestro. planeando una clase cuyo propósito es que los alumPara preparar las sesiones del Estudio de Clases se invita a nos encuentren las reglas un destacado educador para que exponga los aspectos teóri- ocultas en la realización cos; su exposición se dirige a docentes en servicio, a futuros de ciertas operaciones GRFHQWHV\DVXVPDHVWURVFRQOD¿QDOLGDGGHFRQVWUXLUFROH- (regularidades). En la segiadamente un marco conceptual que oriente las siguientes cuencia de enseñanza fases del Estudio de Clases. Los participantes ponen en juego está considerando los calo mejor de su conocimiento profesional para formular pregun- sos cuando la diferencia es 1, 2, 3… Él considera que su WDVRULHQWDGDVDODGH¿QLFLyQGHORVSURSyVLWRVGHODFODVH\ plan de clase será exitoso si los alumnos pueden explicar las estrategias de enseñanza para lograrlos. El conocimiento lo que ocurrirá cuando la diferencia es 9 y está ansioso por básico que se requiere para participar en esas reuniones, está realizar la clase y probar sus hipótesis. Cuando el profesor contenido en la parte IV de este volumen. Seiyama explicaba lo anterior, el profesor Hosomizu hizo el gesto de cruzar sus manos. Con ese gesto sugirió lo que harían los niños cuando intenten encontrar el patrón.
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Actividades
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2. Observa el video del minuto 22:30 al 23:26. El profesor Tsubota hizo importantes observaciones acerca del propósito de
Ubica la sección del video titulada: “Seguimiento de clase/
DSUHQGL]DMH DSUHQ GL]DMH¢&XiOIXHHO ¢&XiOIXHHO SURSy SURSyVLWRGHDSUHQGL] VLWRGHDSUHQGL]DMHTXHSUR DMHTXHSUR--
Observación”.
puso el profesor Tsubota?
2EVHU 2EVHUYD YD HO YLGHR GHOPLQXWR DO ,GHQWL ,GHQWL¿FDOD ¿FDOD
3. Al inicio del video los niños se expresaron acerca del pro-
manera en que el profesor Seiyama presenta el problema
IHVRU6HL\DPD¢3RUTXpTXLHU IHVRU6HL\D PD¢3RUTXpTXLHUHQDVXSURIHVRU HQDVXSURIHVRU"¢3RUTXpOHV "¢3RUTXpOHV
\H[SOLFDVXLQWHQFLyQ\HOSURSyVLWRGHVXDFWLYLGDG
JXVWDODFODVHGHPDWHPiWLFDV"¢3XHGHVH[SOLFDUVXUHVSXHV -
de enseñanza.
ta a partir de lo que has observado de la clase hasta ahora?
2EVHUYDHOYLGHRGHOPLQXWR 2EVHUYDHO YLGHRGHOPLQXWRDO DO(OSURIHVRU (OSURIHVRUHP HP SH]yODFODVHFRQHOFDVRGRQGHODGLIHUHQFLDHV¢$VtORSOD -
5HÀH[LRQHVDGLFLRQDOHV
neó originalmente? Explica por qué empezó con este caso
donde la diferencia es 5, un niño dijo: “si… en el caso donde la
En la discusión de la clase hubo dos intervenciones que destacaron. La primera fue la del profesor Hosomizu, él estuvo de acuerdo con el propósito planteado por el profesor Seiyama, pero argumentó que debió empezar con el caso donde la diferencia es 1 porque es más sencillo. El profesor Seiyama contra argumentó explicando que, aún siendo más difícil, el caso donde la diferencia es 3 es mejor para iniciar, porque condujo a los niños a ordenar las operaciones, as-
GLIHUHQFLDHV´¢(QTXpVH GLIHUHQFLDHV ´¢(QTXpVHEDVySDUDGHFLU EDVySDUDGHFLUHVR" HVR"
SHFWRTXHOHVD\XGyDLGHQWL¿FDUHOSDWUyQ3RUFRQVLJXLHQWH
5. Al inicio del video los niños se expresaron acerca del pro-
consideró que los casos donde la diferencia es 1 o 2 no son los más apropiados.
FRQVLGHUDQGRORTXHVHPXHVWUDHQHOPLQXWR 2EVHUYDHOYLGHRGHOPLQXWRDO(QHOPLQXWR un niño dijo: “Señor Seiyama, hay algo mal en las respuestas”. ¢3RUTXpGLMRHVHQLxR³KD\DOJRPDOHQODVUHVSXHVWDV´\PX chos de sus compañeros estaban de acuerdo con él? 4. Observa el video del minuto 19:01 al 19:40. Después del caso
IHVRU6HL\DPD¢3RUTXpTXLHU IHVRU6HL\D PD¢3RUTXpTXLHUHQDVXSURIHVRU HQDVXSURIHVRU"¢3RUTXpOHV "¢3RUTXpOHV JXVWDODFODVHGHPDWHPiWLFDV"¢3XHGHVH[SOLFDUVXUHVSXHV ta a partir de lo que has observado de la clase hasta ahora?
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El profesor Seiyama cambió su secuencia original para iniciar con el caso donde la diferencia es 3. No esperaba que los niños reordenarían las respuestas que daban, que eso les ayudaría a encontrar el patrón y que desarrollarían por sí mismos otros ejemplos. ¿Por qué pudieron hacer eso los niños? Puedes encontrar una respuesta plausible al estudiar posteriormente la parte IV de este libro donde s e analizan las lecciones sobre la resta. Con base en lo que el profesor Hosomizu expresó al cruzar sus manos, el profesor Seiyama comprendió que el orden es la clave para encontrar el patrón. Al observar el video se puede constatar que los niños se dieron cuenta que ordenar los casos es importante para encontrar el patrón. Otro aspecto que es importante considerar es que los niños disfrutaron la clase y valoraron el esfuerzo de su profesor para conducirlos en el mundo de las matemáticas. Esto muestra algo que es obvio, pero que con frecuencia se olvida: el primer paso para que los alumnos disfruten en la clase de matemáticas es que entiendan lo que están haciendo.
Actividades 8ELFDHQHOYLGHRODVHFFLyQ³(YDOXDFLyQ\UHÀH[LyQVREUH la clase”. 1. Observa el video del minuto 20:14 al 22:30. Discute con tus FRPSDxHURV\WXSURIHVRUFXiOHVODGL¿FXOWDGTXHSUHVHQWDQ las actividades que se emplearon en la clase y por qué es me jor iniciar con el caso donde la diferencia es 3, que cuando la diferencia es 1.
La segunda intervención estuvo a cargo del profesor Tsubota, quien fue más crítico. Él no estaba de acuerdo con la forma en que el profesor Seiyama condujo la actividad para lograr el propósito de la clase. Argumentó que la clase fue exitosa porque los niños ya sabían de la importancia de ordenar los casos, eso lo aprendieron en el primer grado. Recomendó al profesor Seiyama que si el propósito es que todos los niños encontraran el patrón, debió problematizar la situación de manera que los alumnos aprendan cómo encontrarlo, no a que lo logren porque eventualmente uno de ellos observó que las operaciones estaban desordenadas. Indicó que si hubiera iniciado con el caso donde la diferencia es 5, el profesor podría decir al grupo que escogería a cinco alumnos al azar para que escribieran cada uno una respuesta en el pizarrón, que así sería muy probable que las respuestas estuvieran en desorden, e incluso que algunas se repitieran. Esto induciría en los niños la necesidad de ordenar las operaciones y observar la “regla oculta” que trataban de encontrar: “si agregas 1 al minuendo y al sustraendo la diferencia no cambia”. Esta es una propiedad importante de la resta. Volviendo al asunto de por qué les gusta a los niños la forma en que enseña el profesor Seiyama, una respuesta plausible es porque él acude a lo que los niños han aprendido previamente y esto les permite aplicar lo que saben para entender las ideas nuevas. Entender siempre es estimulante.
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Geometría y Medición
Actividades
¢3RUTXpORVQLxRVSXGLHURQGHFLU “hay algo que está mal”? El potencial de un libro de texto bien secuenciado. El desarrollo de esta sección se orientará por la siguiente pregunta:¿por qué el profesor Seiyama pensaba que los niños encontrarían el patrón?
Explica cómo pudo haber sido la explicación que dieron los niños para responder esa última pregunta.
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En esta clase los niños no intentaron ordenar las tarjetas, ellos sólo contestaron que para la tarjeta con el “4” las sumas eran “2+2”, “3+1” y “1+3”. Debido a la secuencia de pregun-
Un año antes, cuando esos niños estaban en primer gra-
WDVTXHOHVKL]RHOSURIHVRUORVQLxRVIXHURQLGHQWL¿FDQGRHO
do, el profesor Seiyama trabajó con ellos jugando con las “tarjetas de la suma”. Cada tarjeta tiene en una cara una suma y en la otra, el resultado.
orden de las tarjetas con la ayuda de los patrones que observaban en el pizarrón. Las tres formas de explicación que ellos formularon están relacionadas con los patrones verticales, horizontales y diagonales que se observan en la imagen. Los niños relacionaron el arreglo diagonal con simetría y expresaron que todos los arreglos presentan una bella estructura. El profesor Seiyama les dio tarjetas en blanco después de que reconocieron el patrón. Usando estas tarjetas pudieron explicar la estructura siguiendo los patrones que visualizaban. Los niños mostraron que habían entendido cómo extender los patrones, pero no el orden. En términos del Estudio de Clases, la atención estaba enfocada en cómo inducir la idea de orden mediante el arreglo de las tarjetas.
En esa clase se dio un interesante intercambio de preguntas y UHVSXHVWDVHQWUHHOSURIHVRU\ORVQLxRV$O¿QDOGHHVWDVHFXHQ cia de enseñanza los niños contestaron: “detrás del 4 está 2+2, 3+1 y 1+3”, en ese orden, “1+3” al último. ¿Podemos decir que los niños estaban considerando el orden en ese momento? El profesor Seiyama preguntó a los niños cuál de las respuestas “2+2”, “3+1” o “1+3” debería debe ría ir primero en la tarjeta “4”. Entonces los niños comenzaron a reconocer que hay un orden en las tarjetas y explicaron por qué “1+3” debería ir primero en la tarjeta del “4”. Encontraron esto observando verticalmente el arreglo y explicaron que primero deben ir las respuestas donde
(OYLGHRQRVSHUPLWHD¿UPDUTXHHOSURIHVRU6HL\DPDORJUy
que los alumnos apreciaran la belleza del patrón y que razonaran para encontrarlo mediante un arreglo ordenado de las tarjetas. Vale la pena destacar que los hallazgos del profesor Seiyama fueron incorporados en los libros de texto, esto se
PXHVWUDHQODV¿JXUDV\SiJ7RPR,\SiJV\ ORVVXPDQGRVHPSLH]DQFRQ³´GHVSXpVFRQ³´\¿QDOPHQWH 7RPR,,9ROGH 7RPR,,9ROGHMatemáticas Matemáticas para la Educación Normal ). ).
los que empiezan con “3”. Posteriormente les pidió que encontraran otras maneras para explicar usando el arreglo “1+1”, “1+2” y “2+1” que tenían en el pizarrón. Entonces ellos usaron los términos “horizontalmente” y “simétricamente”. La clase continuó con pregun-
tas y respuestas similares hasta llegar al caso de la tarjeta con el “6”: “1+5”, “2+4”, “3+3” y “4+2”, sin embargo, les faltaba la tarjeta con “5+1”. Entonces el profesor Seiyama les preguntó por qué no habían incluido la tarjeta “5+1”.
El profesor Seiyama pronosticó que si los alumnos usan esos libros de texto, seguramente aprenderán a arreglar las tarjetas para encontrar la propiedad de la resta que podemos enunciar de manera general como sigue: a-b=a+c-(b+c), donde a, b y c son números enteros.
Geometría y Medición
Esta generalización es la conclusión a la que puede llegarVHDO LGH LGHQWL QWL¿F ¿FDUHO DUHO SDW SDWUyQ UyQ SUR SURSXH SXHVWR VWR SDU SDUD D TXH ORV DOX DOXPQ PQRV RV HQFRQWUDUDQHQHVDVOHFFLRQHV&RQ HQFRQWUDUDQHQHVDV OHFFLRQHV&RQHVWD¿QDOLGDGHQH HVWD¿QDOLGDGHQHOOLEUR OOLEUR
de primer grado (Tomo I) se dedican cuatro lecciones para que los alumnos trabajen con tarjetas y aprendan las venta jas de ordenarlas, en el segundo grado (T (Tomo omo II) se dedica una lección que culmina con la propiedad antes mencionada para el caso particular a-b=a+1-(b+1). El profesor Seiyama construyó la secuencia de las preguntas que se incluyen en esas lecciones con el apoyo de las observaciones generadas durante el Estudio de Clases y los ajustes que hizo a su plan de clase con base en ellas. Considerando lo antes expuesWRSRGHPRVD¿UPDUTXHHOWLSRGHWUDEDMRHQHODXODTXHVH
realizó previamente es la principal razón por la cual los niños IXHURQFDSDFHVGHLGHQWL¿FDUHOSDWUyQTXHVHEXVFDED
Fig. 2
Fig.1
Fig. 3
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Geometría y Medición
Par arte te II Aprendiendo a aprender matemáticas Si leemos los Tomos I a VI y establecemos las relaciones correspondientes entre los temas tratados en los distintos grados, es posible observar que se repiten más de una vez ciertas secuencias de enseñanza. Como veremos a continuación, esas secuencias tienen ti enen el propósito de ayudar a los alumnos a que aprendan por sí mismos. Hay tres propósitos centrales en la educación matemática de la escuela primaria en Japón: el primero, es promover el desarrollo de destrezas que son útiles para la vida diaria, y consiste en las destrezas matemáticas mínimas para entendernos con los demás. El segundo, es propiciar el desarrollo del pensamiento matemático, el cual será útil en la construcción de nuevos conocimientos y en la habilidad para formular generalizaciones; este propósito está relacionado con el desarrollo de formas innovadoras para vivir. El tercer propóVLWRVHUH¿HUHD VLWRVHUH¿HU HD FXOWLY FXOWLYDUYDORUH DUYDORUHV\DFWLWXGHV V\DFWLWXGHVSDUDOD SDUDOD YLGD YLGD(Q (Q
las secciones de “Geometría” y “Medición” (parte IV y V) se enfocan en el primer propósito. En la presente sección nos referiremos al segundo y tercer propósitos en el marco de las actividades de enseñanza que se presentan en los Tomos I a VI de la serie Matemáticas para la Educación Normal .
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¢&yPRSRGHPRVVDEHUVLORVQLxRVHVWiQ aprendiendo por sí mismos? Si los niños tienen el deseo de aprender ya están en el umbral para empezar a aprender a aprender matemáticas por
Exploración del entorno desde la perspectiva de las matemáticas matemáticas:: UHL¿FDFLyQ\FRPSUHQVLyQ Actividades
VtPLVPRVGHIRUPDPiVHVSHFt¿FDVLKDQGHVDUUROODGROD
curiosidad intelectual que los conduce a hacer preguntas que van más allá de lo que muestra el material de enseñanza o el profesor, si pueden formular conjeturas y buscan formas para validarlas, si se entusiasman cuando el profesor pregunta: “¿de qué otras maneras podemos hacerlo?”.
¢4Xp VLP VLPLOL LOLWXG WXGHVSUHVH HVSUHVHQWD QWDQ Q ODV SiJ SiJLQD LQDV V \ GHO Tomo I de la serie? ¢3RUTXpFUHHVTXHHO7RPR,FRQWLHQHOHFFLRQHVFRQHVDV similitudes? ¢3XHGHVHQFRQWUDUPiVHMHPSORVFRPRHVWRVHQORVRWURV tomos de la serie?
Para responder preguntas como esas los niños necesitan confrontar en varias ocasiones tareas como las mencionadas en los renglones anteriores. Por ejemplo: si los alumnos han percibido a través de su experiencia escolar que “las matemáticas son la ciencia de los patrones” y que la actividad matemática usualmente está relacionada con la formulación de generalizaciones, seguramente cultivarán el hábito de buscar regularidades que los conduzcan a proponer una generalización.
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En las páginas 14, 44 y 56 (Figs.1,2 y 3) se pide a los niños que dibujen para “hacer libros” de matemáticas usando sus propias ideas. Esta actividad propicia que los alumnos del primer grado desarrollen habilidades para ver el mundo real desde las matemáticas mediante la elaboración de dibujos que usan para expresar apropiadamente sus ideas.
Los videos del profesor Seiyama muestran que es posible propiciar que los niños desarrollen su pensamiento matemático, como el que exhibieron al decir que es necesario ordenar las operaciones aritméticas en la búsqueda de un patrón. Si usamos libros de texto bien secuenciados y el profesor entiende el objetivo de aprendizaje, es posible desarrollar competencias asociadas a los grandes propósitos de la educación matemática: actitudes favorables, emplear herramientas para el pensamiento y aplicar destrezas matemáticas.
Fig.1
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El mundo de las matemáticas matemáticas:: EHOOH]DVLPSOLFLGDGSUHFLVLyQH¿FLHQFLD y generalización Actividades ¢4XpVLPLOLWXGHV ¢4XpVLPLO LWXGHVVHREVHUYDQHQODVSiJLQ VHREVHUYDQHQODVSiJLQDV\ DV\ 92 del Tomo I? ¢3RUTXpFUHHVTXHVHLQFOX\yHOFRQWHQLGRGHHVDVSiJL nas en el Tomo I? ¢3XHGHVHQFRQWUDURWU ¢3XHGHV HQFRQWUDURWURVHMHPSORV RVHMHPSORVGHHVHWL GHHVHWLSRGHDFWLY SRGHDFWLYLGDGHV LGDGHV en los demás tomos de la serie?
5HÀH[LRQHVDGLFLRQDOHV
Fig.3
Los asuntos que discutiremos aquí son similares a los que abordamos en la sección “Aprendiendo a aprender matemáticas”. En la tarea 1 de la página 42 (Fig.4), se pide a los niños que recuerden las respuestas de ciertas sumas, en la tarea 2 se busca que los niños desarrollen destrezas para FDOFXODUH¿FLHQWHPHQWH\HQODWDUHDVHSLGHDORVQLxRV
que encuentren regularidades. Estas actividades se enmarcan en la hipótesis de que si los niños desarrollan destrezas En la página 44 los niños viven su primera experiencia a este respecto. Es conveniente que la tarea sea introducida por el profesor, de antemano se sabe que a los niños les gustará porque se trata de hacer dibujos y que disfrutarán presentando su trabajo al resto de sus compañeros. La oportunidad de ver y discutir el trabajo que hicieron los demás propicia que se genere una actitud de respeto entre ellos y esto los estimula para enfrentar exitosamente nuevos retos. Este es un método básico para que se comprendan y respeten unos a otros en el salón de clases, para que aprendan a escuchar a los demás y para que aprendan cómo actuar para ser escuchados.
SDUD VXP VXPDU DU GH IRUP IRUPD D H¿F H¿FD]HQWRQFH D]HQWRQFHV V SRGU SRGUiQ iQ DSUHF DSUHFLDU LDU OD
belleza de la estructura de la suma, de las formas equivalentes en que pueden expresar una suma y su resultado. En la página 52 aplican lo que han aprendido acerca de la suma para confrontar la operación de restar. Debemos notar que en estas actividades se muestra que la suma y la resta no dependen de las estructuras matemáticas que pueden observarse en los arreglos de las tarjetas, razón por la cual los niños pueden extender los patrones que vieron en la página 42 y aplicar esos conocimientos en las actividades GHODSiJLQD/RVQLxRVDSUHQGHQDTXtTXH³HOPXQGRGH
las matemáticas se puede extender” y usan esa “extensión” en la página 92.
En la página 44 el profesor empieza la clase recordando lo que han aprendido. Si los niños disfrutaron el trabajo que hicieron en la página 14, la página 44 les será más fácil porque es su segunda experiencia. Entonces el profesor puede centrar su atención en las expresiones que usan los niños, por consiguiente, ellos recrean las dos formas de abordar la suma que se resaltan en esa lección. Si los niños aprendieron y disfrutaron del trabajo en las páginas 14 y 44, la actividad de la página 56 les ofrecerá una tercera oportunidad que también disfrutarán. Si el profesor hace un breve repaso de la página 44, seguramente los niños querrán hacer por sí mismos la actividad de la página 56. Esta secuencia se planeó para enseñarles a ver el mundo en que viven relacionándolo con las matemáticas y proSLFLDU TXH DVLJQ SLFLDU DVLJQHQ HQ VLJQL VLJQL¿FDG ¿FDGRV RV D ORV REMHWR REMHWRV V PDWHP PDWHPiWLFRV iWLFRV &RQEDVHHQHVRVVLJQL¿FDGRVORVQLxRVHQFXHQWUDQFyPR\
dónde aplicar las matemáticas que aprenden en la escuela. (VWRVHFRQRFHFRPRUHL¿FD (VWRVHFRQRF HFRPRUHL¿FDFLyQGHVXVFRQRFL FLyQGHVXVFRQRFLPLHQ PLHQWRVPD WRVPDtemáticos (Estándares curriculares, Japón, 1947). Podemos encontrar tareas similares después de la multiplicación, en el Tomo II, Vol. 2, y después de la primera sección sobre la división, en el Tomo Tomo III, Vol. 2.
Fig. 4
10 Geometría y Medición
¢'yQGHSRGHPRVYHUDFWLYLGDGHVVLPLODUHVHQ ¢'yQGHSRGHPRVYHUDFWLYLGDGHV VLPLODUHVHQ los demás tomos?
Actividades Encuentra un tratamiento similar para la división en el
En la lección “Multiplicación 2”, del Tomo II, Vol. 2, en cada
Tomo III y describe la belleza de la estructura que en ella
¿ODGHODWDEODGHPXOWLSOLFDUKD\XQ ¿ODGHODWDEODGHPX OWLSOLFDUKD\XQDWDUHDTXHUHDOL]D DWDUHDTXHUHDOL]DUFRQ UFRQ
se observa.
las tarjetas de la multiplicación. Esto conlleva el propósito de que los alumnos memoricen los resultados, como se hizo en los casos de la suma y la resta. También en la página 21 hay un juego con tarjetas para desarrollar destrezas en el manejo de esta operaciones. En la página 24 (Fig. 1) hay una tabla de multiplicación que los niños construyen usando la propiedad distributiva de la multiplicación, ahí se sugiere TXHOD¿ODGHOPiVOD¿ODGHOGDSRUUHVXOWDGROD¿ODGHO 6LORVQLxRVLGHQWL¿FDQHVWDHVWUXFWXUDSRGUiQFRQVWUXLU SRU Vt PL PLVP VPRVODV RVODV ¿O ¿ODVGH DVGH ODWDEOD GHPXOWL GHPXOWLSOL SOLFD FDFLy FLyQ Q Pi PiV V
allá de la del 5. Esta extensión en el conocimiento de las WDEODVGHPXOWLSOLFDUDSDUWLUGHOD¿ODGHOVHUiUHFRQRFLG WDEODVGHPXOWLSOLFDUDSDUWLUGHOD¿ODGHOV HUiUHFRQRFLGD D SRUORVQLxRV\FRQ¿UPDUiVXVH[SHFWDWLYDVVREUHHVWHWLSR
de actividades. En la lección “Multiplicación 4” se presenta “el mundo de la tabla de la multiplicación”. La imagen de la página 40 (Fig.2 ) muestra la tabla simulada con monedas apiladas. El centro de gravedad de la pila de monedas es el centro de la tabla (5×5); entonces el peso total de las
Al revisar esas lecciones en los Tomos II y III se podrá apreciar a qué nos referimos con la expresión “el mundo de las matemáticas”. Es un error pensar que el estudio de las matemáticas debe empezar con el análisis de situaciones del mundo real para modelarlas matemáticamente. Para que los niños aprecien la existencia “del mundo de las matemáticas”, las situaciones matemáticas son un mejor contexto que las situaciones del mundo real, porque es en las estructuras matemáticas matemática s donde se pueden LGHQWL¿FDUUHJXODULGDGHVSDWURQHVTXHGHPDQHUDQDWXUDOLQGX cen procesos de generalización, esto es lo que permite extender el conocimiento matemático y estar mejor preparado para comprender dónde y cuándo es necesario aplicarlo en situaciones del mundo real. Este tipo de habilidades son el paso previo a lo que en matemáticas se conoce como modelación.
PRQHGDVHVî6LDQDOL]DVFDGD¿ODVHSXHGHHQWHQGHU
cómo calcular el peso de las monedas. Los niños podrán apreciar la belleza de la estructura de la tabla de multiplicar VLORVJXLDPRVSDUDTXHO VLORVJXLDP RVSDUDTXHODLGHQWL¿TXHQ DLGHQWL¿TXHQ
Fig.2
Fig.1
Geometría y Medición 11
Aprendiendo matemáticas a partir GHXQDVLWXDFLyQHVSHFt¿FD desarrollo del conocimiento matemático con comprensión Actividades Compara la secuencia de actividades en la lección “Suma ´GHO7RPR,FRQODVHFXHQFLDHQODOHFFLyQ³5HVWD´ HQHVH PLVPR7RPR PLVPR7RPR ¢4XpVLPLOLWX ¢4XpVLPLOLWXGHVREVHUYDV GHVREVHUYDV" " ¢3XHGH ¢3XHGHV V encontrar otros ejemplos de esto en los otros Tomos?
5HÀH[LRQHVDGLFLRQDOHV
La discusión es muy parecida a la de la sección anterior. anterior. La secuencia de enseñanza en la lección “Resta (1)” es la misma que en las lecciones “Suma (1)”, “Suma (2)” y “Resta (2)”.
Fig.1
Fig.2
hicieron en el capítulo 2); por esto los niños no encuentran difícil hacer la traducción entre bloques y expresiones matemáticas. Sin embargo, es necesario que el maestro se asegure que los niños aprendan cómo trabajar con los bloques, de otra manera muchos niños todavía sumarán contando uno por uno. Si el profesor se limita a que los niños realicen las actividades de esas páginas contando uno por uno los elementos a sumar, no aprovecharán la oportunidad de aprender cómo traducir entre las dos formas de representación que hemos mencionado. En ese caso no están aprendiendo a sumar, sólo estarán contando. La tarea 3 de la página 37 (Fig. 4) es la primera en que se pide a los niños que calculen usando una expresión matemática, podrán completar fácilmente esta actividad si entendieron cómo componer y descomponer los números en el Capítulo 2; si no, tendrán que traducir entre la tarea y la situación usando los bloques.
Fig.3
A continuación analizaremos la secuencia de enseñanza de la lección “Suma (1)”. La lección de la página 34 ( Fig. 1) se inicia pidiendo a los niños que describan verbalmente la situación que observan. En la página 35 ( Fig. 2 ) se pide que describan la situación verbalmente y que después la representen usando los bloques que se les proporcionan. La operación con bloques como dos conjuntos es una representación de las acciones de componer y descomponer números que iniciaron en el Capítulo 2. En la página 36 (Fig.3) la situación de operar con bloques se representa también mediante una expresión matemática; es hasta esta página que se induce cómo representar mediante una expresión matemática las situaciones que han representado usando bloques. Aquí se les está enseñando a los niños cómo traducir de una forma de representación a otra. Debido a que la situación se ubica en un contexto sigQL¿FDWLYRSDUDORVQLxRVHOORVPDQHMDQORVQ~PHURVFRPR
conjuntos que pueden componer y descomponer (como lo
Fig.4
12 Geometría y Medición
En la página 37 del Tomo I se pide a los niños que propongan un problema a partir de una situación que se les da. En esa lección puede observarse una secuencia de enseñanza como la siguiente:
Extensión del mundo de las matemáticas: desarrollo de las matemáticas desde las matemáticas Actividades
Mundo real: situación
1. En las páginas 7 y 11 del Tomo III, Vol. 1, hay situaciones
Situación Relato
TXHHMHPSOL¿FDQODH[SUHVLyQ³GHVDUU TXHHMHPSOL¿FDQOD H[SUHVLyQ³GHVDUUROORGHODV ROORGHODVPDWHPiWLFDV PDWHPiWLFDV desde las matemáticas”. Haz la tarea 2 de la página 7 y lee ODVSiJLQDV\'HVSXpVGHHVWRH[SOLFDHOSDSHOTXHGHV -
Situación
empeña la tarea 2. 2. Completa la tarea 2 de la página 11 y lee las páginas 12 a &RQEDVHHQHVWRFRQ¿UPDVLWXH[SOLFDFLyQIXHDSURSLDGD 3. Hay unas tablas que los niños deben completar en la página 59 del Tomo III, Vol. 1, y en la página 2 del Tomo VI, Vol. 2. Explica el contenido de esas actividades.
Composición y descomposición Mundo de las matemáticas
Expresión Cálculos
En la lección “Suma (1)” se repite esta secuencia una vez más. Es hasta la SiJLQD SiJ LQD Fig. 1) que los niños abordan la situación “poner todos juntos”, en la página 39 los niños confrontan la suma en la situaciones del tipo “agregar”.
5HÀH[LRQHVDGLFLRQDOHV
En la sección “Conociendo el mundo de las matemáticas”, discutimos que la enseñanza de las matemáticas no necesariamente debe partir de problemas que se relacionan con la vida cotidiana, en esta sección abundaremos sobre esto. Si los niños desarrollan pericia para calcular podrán percibir que las matemáticas estudian el comportamiento de patrones en la búsqueda de generalizaciones, entonces probablemente indagarán por sí mismos cómo funcionan los procedimientos para calcular, que usualmente se aprenden durante el proceso de extensión de la magnitud de los números y los cálculos asociados a ellos. En la página 7 del Tomo III, Vol. 1, los niños ya saben sumar en la forma vertical con casos en que la suma de dos dígitos no sea mayor que 10.
En lo que sigue analizaremos la lección “Resta (1)” y discutiremos cómo propiciar que los niños desarrollen habilidades para explorar el contenido matemático en
Fig.1 FRQWH[WRV FRQWH [WRV TXHOHVVRQ VLJQL VLJQL¿FDW ¿FDWLYRV LYRV 6LORV PDHV PDHVWURVORJUDQ WURVORJUDQ
que los niños disfruten la clase y dan seguimiento a la forma en que van aprendiendo, es muy probable que los niños fortalezcan sus aprendizajes y los apliquen en las situaciones que se presentan en lecciones posteriores. Actividades Fig.2 (Q ODVOHFFLRQH ODVOHFFLRQHV V ³6XPD´ \ ³5HVWD ´VH UHSLWH FXDWUR veces la secuencia de aprendizaje que mencionamos en el esquema anterior. 1. Lee en los Tomos II y III la secuencia de enseñanza en las OHFFLRQHV³6XPD´³5HVWD´\ODVGHPXOWLSOLFDFLyQ ¢+D\DOJXQDUHODFLyQHQWUHODVVHFXHQF ¢+D\DOJXQDUHODF LyQHQWUHODVVHFXHQFLDVGHHQVHxDQ]D LDVGHHQVHxDQ]D de esas lecciones en los Tomos II y III?
En la tarea 2 de la página 7 (Fig.2 ) los niños realizan varias sumas en la forma vertical y se les pide que piensen cómo las realizaron. La pregunta “piensa cómo lo hiciste” parece aplicarse VyORDHVWDWDUHDVLQHPEDUJRHQODVSiJLQDV\SXHGHREVHU varse que mediante esta pregunta se está induciendo induc iendo a los niños a que extiendan sus conocimientos sobre el cálculo de la suma HQODIRUPDYHUWLFDO(QODVSiJLQDV\ODVWDUHDVVHSUHVHQWDQ
en el siguiente orden: Shigeru, Susumu, Takeshi, Satoko y Yukie. Este orden está relacionado con la descomposición de un
Geometría y Medición 13
número mediante la estimación anticipada de los resultados de las sumas parciales que ese cálculo requerirá. Lo que propone Satoko es en ese sentido, pero aparece un cero en las decenas. En la operación de Yukie la respuesta es mayor que 1000. Se debe notar que la tarea 2 tiene el propósito de preparar a los niños de acuerdo con sus estilos de aprendizaje.
En la página 59 del Tomo III, Vol. 2 (Fig. 4), se formulan preguntas similares para introducir la multiplicación de números con dos dígitos. Si los niños completan correctamente los espacios en blanco, las actividades que siguen les serán relativamente fáciles. También pueden observar tareas similares en la página 2 del Tomo VI, Vol. Vol. 2 (Fig.5 ). ).
Fig.3
La secuencia para extender sus conocimientos sobre la VXPDHPSLH]DFRQODVXP VXPDHPSLH ]DFRQODVXPDHQVLWXDFLRQHV DHQVLWXDFLRQHVVLJQL¿FDWLY VLJQL¿FDWLYDVSDUD DVSDUD
los niños, después se aborda la suma en forma vertical hasta llegar a sumas de números con tres dígitos, donde ninguna suma parcial es mayor o igual a 10. Posteriormente se extiende a sumas que requieren descomponer y componer ciertos números porque hay sumas parciales que son mayores o iguales a 10.
Fig.5
Actividades 1. Revisa la tarea 2 de la página 7, Tomo III , Vol. 1. Explica de forma detallada la secuencia de actividades que ahí se plantean en términos de lo que pueden aprender los niños en
Al concluir la tarea 2 habrá maestros que puedan decir “ahora mis alumnos entienden mejor la suma, saben cuándo es necesario descomponer los números porque pueden anticipar qué tan grandes son algunas respuestas”. Si un maes-
cada actividad y en ellas en conjunto.
WUR VLHQW VLHQWH H TXH QR WLHQH HYLGH HYLGHQFLDV QFLDV VX¿F VX¿FLHQWHV LHQWHV SDUDD¿UPDU
y en ellas en conjunto.
eso, entonces puede repasar lo que vieron en las tareas 2 y 3 y pedirles que hagan de nuevo las tareas 5, 6 y 7. Si los niños completan esas tareas exitosamente la tarea 2 tendrá XQVLJQL¿FDGRGLIHUHQWHSDUDHOJUXSR
Fig.4
2. Revisa la página 2 del Tomo VI, Vol. 2. Explica detalladamente la secuencia de actividades que ahí se plantean en términos de lo que pueden aprender los niños en cada actividad
14 Geometría y Medición
Piensa cómo lo hiciste: desarrollo de ideas y su generalización mediante representaciones formales Actividades
la calidad de los aprendizajes de sus estudiantes. Por esto es muy importante el trabajo que se desarrolle en las secciones “Piensa cómo calcular”. Si los niños aprenden lo que se propone en estas secciones tendrán más recursos para enfrentar con éxito los retos no triviales que se incluyen en estos libros.
(QODSiJLQDGHO7RPR99RO)LJKD\XQUHFXDGUR
Debemos notar que la tarea de la página 26 es similar a la de la página 23. En la página 23 del Tomo V, V, Vol. 1, los niños recuadros en otras páginas desempeñando el mismo papel? responden preguntas cuya respuesta ya conocen, esta actiLa instrucción “piensa cómo…” en los 11 volúmenes de la vidad aparentemente sencilla los prepara para extender sus serie, corresponde al propósito central de una lección. Al ver la conocimientos sobre la multiplicación con números enteros al instrucción los niños saben que ése ese el tema principal que caso con números decimales. En otras palabras, los conocivan a estudiar. Completar el recuadro no equivale a responder mientos previos permiten traducir un problema nuevo (multila tarea que se plantea, esa actividad introduce una extensión plicación con números decimales) a un problema que antes para irse aproximando a la formulación de generalizaciones. han resuelto (multiplicación con números enteros). Este caso La instrucción “piensa cómo hiciste los cálculos” usualmente es un buen ejemplo de lo que queremos decir con la expreincluye posibles formas para calcular (convencionales y no sión “extender los conocimientos”. En la página 23, cuando convencionales) y varias formas de explicación mediante dis- los niños responden con un número entero reconocen que tintas representaciones. están trabajando con la multiplicación, que es una operación que les es familiar. Si ellos responden con un número deciHQEODQFR¢TXpSDSHOGHVHPSHxD"¢+DVYLVWRHVHWLSRGH
PDOORLGHQWL¿FDQFRPRDOJRTXHD~QQRFRQRFHQELHQVLQ
embargo, reconocerán por analogía lo que aprendieron con la multiplicación de números enteros. En la página 26 hay un “diagrama de cinta”, un “recuadro en blanco” y un “diagrama de caja”. En el proceso de resolución del problema se muestra la relación entre su representación JUi¿FD JUi¿ FD GLDJ GLDJUDPD UDPD GH FLQWD FLQWD OD UHSUHV UHSUHVHQWDF HQWDFLyQ LyQ PDWH PDWHPiWLF PiWLFD D
(expresión matemática) y los cálculos que hay que realizar para resolverlos (diagrama de caja). Veamos dónde aprendieron los niños acerca de esas representaciones antes del quinto grado. Si los maestros reconocen la importancia de preparar a los alumnos para confrontar futuros conocimientos podrán atender este aspecto. Las secciones “Piensa cómo calcular” son una oportunidad para que los maestros hagan un recuento de lo que han aprendido sus alumnos previamente. En la página 26 se usan distintas representaciones para explicar el HQXQFLDGRGHO HQXQF LDGRGHO SUREO SUREOHPD\ HPD\ UHODF UHODFLRQDUO LRQDUOR R FRQORV VLJQL VLJQL¿FDG ¿FDGRV RV Fig.1
La sección “Piensa cómo calcular” es la preparación para lo que se tratará en el capítulo siguiente, el cual propone actividades para extender lo que los niños previamente han estudiado. Los capítulos donde se extienden los conocimientos previos serán más difíciles para los niños si no se atendió cuidadosamente lo que hicieron en “Piensa cómo calcular”. Esta sección es un tipo de organizador avanzado en el sentido de Ausubel, no obstante, lo más determinante para que los niños puedan avanzar es que hayan aprendido bien lo que estudiaron en los grados anteriores. La investigación que se desarrolla en el marco del Estudio de Clases ha arrojado evidencias de que la mayoría de los profesores que se conFHQWUDQHQHOWUDEDMRGHFDGDGtDQRRWRUJDQVX¿FLHQWHDWHQción a las lecciones donde se prepara a los alumnos para los FRQRFLPLHQ FRQRF LPLHQWRV WRV IXWXU IXWXURVHVWR RVHVWR VH UHÀH UHÀHMD MD HQ XQ GHWULP GHWULPHQWRHQ HQWRHQ
que han asignado los alumnos a los números y las operaciones. Es necesaria la traducción entre esas representaciones para lograr un buen aprendizaje conceptual. Si los alumnos QRHQWLHQGHQ QRHQWLHQ GHQ HOVLJQL HOVLJQL¿F ¿FDGR DGR GHFDGDUHSUH GHFDGDUHSUHVHQ VHQWDF WDFLyQ LyQ HVLPposible que puedan hacer la traducción entre las distintas representaciones. Sólo los alumnos que aprendieron en los grados anteriores a usar formalmente esas representaciones pueden emplearlas por sí mismos como herramientas para resolver problemas. Aun si estas representaciones están incluidas en el capítulo suplementario, los maestros deben HQVHxDUDORVQLxRVFyPRXVDUODVU HQVHxDUDORVQLxRV FyPRXVDUODVUHÀH[LRQDQGRVREUHORTXH HÀH[LRQDQGRVREUHORTXH
previamente han aprendido.
Geometría y Medición 15
Uso de las representacione representaciones s como herramientas del pensamiento
La construcción que se muesWUDHQOD¿JXUDSXHGHUHDOL]DUVH
como sigue: Actividades
7UD 7UD]D ]DXQ XQiQJXO iQJXOR R FXDOT FXDOTXLHUD XLHUD \
llama “0” (cero) a su vértice. Veremos cómo construir la recta numérica proporcional. Para iniciar, realiza las siguientes actividades: +D\WUHVHQYDVHVTXHFRQWLHQHQOLWURVFDGDXQR¢FXiQ WRVOLWURVKD\HQWRWDO"SiJLQD7RPR99 WRVOLWURVKD\HQWRWDO"SiJLQD7 RPR99RO RO 2. Si repartimos equitativamente 5.7 litros de leche entre tres DOXPQRV¢FXiQWRVOLWURV DOXPQR V¢FXiQWRVOLWURV OHWRFDQ D FDGDXQR" SiJLQ SiJLQD D 7RPR99RO
5HÀH[LRQHVDGLFLRQDOHV
Hay cuatro operaciones aritméticas, pero en el álgebra sólo se consideran dos operaciones. Esto se debe a que al introducir los números negativos no es necesario distinguir entre la suma y la resta: a + - b = a - b ; y cuando se inicia el uso del inverso multiplicativo no es necesario distinguir entra la multiplicación y la división: a × 1a = aa = 1 (OXVRGHJUi¿FDVGH cinta o de segmentos permite representar esas operaciones formalmente en los libros de texto. Los siguientes diagramas muestran relaciones parte-todo.
0DUFDODORQJLWXGFRUUHVSRQGLHQWHDHQXQRGHORVODGRVGHO ángulo y la longitud correspondiente a a en el otro lado. (QHOODGRGRQGHPDUFDVWHODORQJLWXGFRUUHVSRQGLHQWHD marca la longitud b (con base en la unidad). 7UD]DHOVHJPHQWRTXHXQHFRQa. 7UD]DODSDUDOHODDHVHVHJPHQWRTXHSDVDSRUHOH[WUHPRGHO segmento cuya longitud es b. 0DUFDHOSXQWRGRQGHODSDUDOHODTXHWUD]DVWHLQWHUVHFWDDORWUR lado del ángulo y llama a ese punto a × b. /DORQJLWXGGHOVHJPHQWRFX\RVH[WUHP /DORQJLWXGGHOVHJPHQWR FX\RVH[WUHPRVVRQ³´\ RVVRQ³´\a × b es el resultado de multiplicar a por b.
Si recuerdas lo que aprendiste en tus cursos de geometría podrás hacer la demostración que valida la representación geométrica del producto de dos números cualesquiera. Tiempo antes que Descartes, el matemático italiano Galileo construyó un “compás proporcional”. Actividades 1. Usa el concepto de recta numérica proporcional para reSUHVHQWDUHOSUREOHPD³KD\WUHVHQYDVHVTXHFRQWLHQHQ OLWURVFDGDXQR¢FXiQWRVOLWURVKD\HQWRWDO"´
En los primeros grados de la educación primaria se usan
2. Usa el concepto de recta numérica proporcional para re-
JUi¿FDVGHFLQWDRVHJPHQWRVSDUDUHSUHVHQWDUVLWXDFLRQHV
presentar los datos, y las relaciones entre ellos, en el proble-
aditivas o sustractivas. En casos excepcionales se representa la diferencia en situaciones sustractivas. En los últimos grados se usan estas representaciones en las situaciones donde se involucran los conceptos de razón o fracción. Los niños pue-
ma “Si repartimos equitativamente 5.7 litros de leche entre
GHQIiFLOPHQWHGLEXMDUHVDVJUi¿FDV GHQIiFLOPHQWHGLEXMDU HVDVJUi¿FDVSRUTXHODV SRUTXHODVYHQFRQ YHQFRQPXFKD PXFKD
frecuencia en los libros de texto, ellos empiezan a trabajar con esto desde el volumen 2 del Tomo II. (Q -DS -DSyQVH yQVH OODP OODPD D D JUi JUi¿F ¿FDVFRPRODV DVFRPRODV VLJ VLJXLH XLHQWH QWHV V ³Ot ³OtQHD QHD QXPpULFDSURSRUFLRQDO´&RPRVHREVHUYDHQOD¿JXUDHVWDV JUi¿FDVLQYROXFUDQHOXVRGHGRVUHFWDV
WUHVDOXPQRV¢FXiQWRVOLWURVOHWRFDQDFDGDXQR"´
5HÀH[LRQHVDGLFLRQDOHV /DMXVWL¿FDFLyQGHODFRQVWUXFFLyQGHODUHFWDQXPpULFDSURSRU -
cional es muy abstracta para los alumnos de la escuela primaria, sin embargo, debido a su utilidad didáctica, se introduce su uso en las lecciones sin intentar explicar cómo se construye. Se usa HVWHWLSRGHUHSUHVHQWDF HVWHWLSRGHUHSUHV HQWDFLyQJUi¿F LyQJUi¿FDVGHFLQWDDSDUWLUGHO7 DVGHFLQWDDSDUWLUGHO7RPR RPR
II, Vol. 2, cuando se estudia la multiplicación; en las páginas 53 \GHO7RPR,,,9 \GHO7 RPR,,,9ROVHH[SOLFDFyP ROVHH[SOLFDFyPRFRQVWUXLUHVDVJU RFRQVWUXLUHVDVJUi¿FDV i¿FDV
Una recta proporcional se construye aplicando conceptos de proporcionalidad, sin embargo, no es necesario explicar a los niños esos conceptos porque el diagrama sólo se está usando aquí para preparar sus aprendizajes futuros. Por ejemplo, podemos proceder como sigue para representar geométricamente geométricamente la multiplicación a × b = c3ULPHURGH¿QLPRVODORQJLWXG³a” como la unidad, si “b” es la longitud dada en términos de la unidad, la longitud del segmento “a × b” corresponde al producto “c”.
Hay al menos dos razones importantes para enseñar a los niños a usar este tipo de representaciones: la primera razón es que son herramientas para el pensamiento, y la segunda, porque se familiarizarán con ellas y esto les preparará para entender su uso con mayor facilidad en los cursos posteriores a la primaria. Para propiciar que los alumnos razonen por sí mismos debemos darles las herramientas que les ayudarán en su futuro aprendizaje, los alumnos que aprendan lo que están estudiando en las lecciones que mencionamos en el párrafo anterior podrán hacer un uso FRUUHFWRGHHVHWLSRGHJUi¿FDV
En los Tomos Tomos I a VI se s e emplean las expresiones matemáticas \ODVJUi¿FDVHQVXFDUiFWHUGHUHSUHVHQWDFLRQHVIRUPDOHV/RV GLDJUDPDVFRQEORTXHVVHXWLOL]DQSDUDGDUVHQWLGR\VLJQL¿FD-
(OPDWHP (O PDWHPiWLFRIUDQFpV iWLFRIUDQFpV5HQp 5HQp'HVFD 'HVFDUWHV UWHVXVy XVyOD ODVLJXLHQW VLJXLHQWH H ¿JXUD do al sistema de numeración de base 10, los niños usan esos para explicar la representación geométrica de a × b. Los argumen- diagramas y el material manipulable para construir sus propias
tos que se emplean para mostrar la validez de esta representación se basan en la teoría de la semejanza de triángulos.
ideas y producir respuestas, en otras palabras, los usan como herramientas para el pensamiento.
16 Geometría y Medición
Geometría y Medición 17
Parte III Resolución de problemas: el gusto por las matemáticas Los profesores deben proponer tareas y hacer preguntas que propicien que sus alumnos aprendan por sí mismos, lo cual apoyará el desarrollo de su pensamiento matemático. Con HVWH¿QHQORV7RPRV,D9,VHXWLOL]DQVHF HVWH¿QHQORV7 RPRV,D9,VHXWLOL]DQVHFXHQFLD XHQFLDVGLGiFWLF VGLGiFWLFDV DV
donde se abordan recursivamente los mismos procesos y formas de representación, esto proporciona fundamentos para que los alumnos sustenten las nuevas ideas matemáticas que se les proponen.
Geometría y Medición
La resolución de problemas se introdujo en los salones de clase de Japón siguiendo los principios que a continuación se describen: Los maestros empiezan la clase planteando un problema que los estudiantes no han resuelto antes. Entonces los alumnos trabajan en equipo para encontrar una solución al problema. Minutos después se pide a los alumnos a que presenten sus ideas al grupo; el gru po discute lo que cada equipo propone, dando especial especial atención a las formas de razonamiento interesantes y a los conceptos matemáticos involucrados.
El profesor debe escuchar con mucha atención las ideas de sus alumnos y con base en ello decidir cuál Hatsumon es más adecuado para potenciar su razonamiento. El proceso descrito con anterioridad es un medio para evaluar la calidad de la enseñanza. La habilidad para autoevaluarse es de la mayor importancia en la formación de los maestros, tanto para su desarrollo profesional, como para mejorar la calidad de los aprendizajes de sus alumnos.
Es muy importante que los maestros elijan bien las preguntas que harán a sus alumnos en el contexto de resolución de problemas; las preguntas deben servir para dar retroalimentación al alumno, para que al contestarlas le sea evidente Stigler y Hiebert [1999] por qué lo que propone es correcto o incorrecto, para llevarlo más allá del punto al que ha llegado y vislumbre una posible Cuando hablamos de métodos de enseñanza no nos refe- generalización o una forma más ágil y elegante de resolver rimos únicamente a la enseñanza de las destrezas básicas, el problema. Si los alumnos se apropian del objetivo que sino también al “saber cómo”, “los qué” y los “por qué”, a persigue su maestro, reconocerán el papel de la situación WUDYpVGHODUHÀH[LyQGHORVDOXPQRVVREUHODVDFWLYLGDGHV problemática con relación al propósito de aprendizaje que se en el salón de clases. Este acercamiento no consiste sólo pretende alcanzar. en hacer preguntas y guiar el razonamiento de los alumnos Las preguntas no deben conducir paso a paso a los alumpara que produzcan las respuestas que espera escuchar el SDODEU DEUDHQ DHQ MDS MDSRQp RQpVTXH VTXH VLJ VLJQL¿ QL¿FD FD nos hasta que produzcan la respuesta esperada, en el Esmaestro. Hatsumon HVOD SDO “preguntar en el contexto de la resolución de un problema”. tudio de Clases las preguntas que hace el maestro son un Los profesores de educación primaria en Japón usan ese aspecto que se discute a profundidad por los observadores. término en el Estudio de Clases cuando su propósito es “pro- Isoda (2003) propone tres tipos de preguntas en la clase de piciar que los alumnos piensen por sí mismos”. Las clases matemáticas: el primer tipo corresponde a aquellas preguntas orientadas al logro de este propósito se planean con especial para potenciar el pensamiento matemático de los alumnos, atención. El video del Profesor Seiyama es un ejemplo de que se formulan con la intención de desarrollar, reconocer, cómo se planean estas clases. o reorganizar el conocimiento matemático de los alumnos, el método de resolución empleado y su pertinencia. Las preguntas que se preparan no son necesariamente las mismas que se hacen durante la puesta en práctica de la Este tipo de preguntas se emplea para ayudar a los niños a clase, el maestro las ajusta o las cambia sobre la marcha TXHVHFRQFHQWUHQHQXQDWDUHDHVSHFt¿FD\SDUDHVWLPXODU dependiendo de lo que ocurre en el curso de la clase. una forma particular de pensamiento.
Geometría y Medición 19
Actividades fructíferas en la resolución de problemas: ¢FyPRSRGHPRVLUPiVDOOi"
El segundo tipo son las preguntas orientadas a cambiar las fases de enseñanza en el salón de clases, por ejemplo: algunas fases en la resolución de un problema son conducidas por el maestro y otras por los alumnos. La planeación de las preguntas para cada fase está relacionada con la “planeación del uso del pizarrón”, esto se discutirá más adelante. Para guiar a los niños a que se muevan a la siguiente fase el
1. Realiza la operación 37 × 3 = ____.
PDHVWURXVDSUHJXQWDVHVSHFt¿FDV
¢(QFRQWUDVWHDOJRLQWHUHVDQWH"
Actividades
6LWXUHVSXHVWDIXHSRVLWLYD¢FyPRSXHGHVLUPiVDOOiGHO
El tercer tipo corresponde a las preguntas para favorecer que los niños aprendan a aprender matemáticas, y que se repiten recursivamente en cada clase. Son preguntas que conducen a los alumnos a pensar matemáticamente, por ejemplo: ¿cómo podemos ir más allá de lo que vimos?, ¿hay otras maneras de resolver este problema?, ¿pueden encontrar cómo hacerlo más ágilmente?, ¿pueden encontrar cómo KDFHUORPiVH¿FLHQWHPHQWH"6LORVQLxRVFRPSUHQGHQODUH levancia de este tipo de preguntas, las empezarán a formular a sí mismos, y su maestro podrá reducir los tipos de Hatsumon, porque los niños serán quienes hagan las preguntas retadoras (Isoda, M., 1997).
punto al que llegaste?
5HÀH[LRQHVDGLFLRQDOHV
Un principio básico en la resolución de problemas es favorecer que los niños extiendan su conocimiento matemático por sí mismos. La actividad con que se inició esta sección tiene el propósito de que indaguemos qué podemos desarrollar por nosotros mismos. Si pudiste extender esa actividad ya empezaste a aprender matemáticas por ti mismo. Para propiciar que los niños aprendan matemáticas por sí mismos es necesario que les enseñemos cómo construir y desarrollar las ideas matemáticas. Parece que hay pocas personas que disfrutan de las matemáticas, que tienen un buen sentido numérico y saben cómo extender su conocimiento matemático (dar el paso que sigue). Si se propone esta tarea a niños que “están matemáticamente bien nutridos”, seguramente podrán generar el siguiente paso. Actividades Realiza lo siguiente: 37 × 3 = 37 × 6 = _×_ =
5HÀH[LRQHVDGLFLRQDOHV
No hay problema si los niños no pueden imaginarse el siguiente paso cuando analizan la operación 37 × 3. Si no pueden avanzar por sí mismos se les puede s ugerir que exploren con “37 × 6” y “37 × 9” y pedirles que traten de encontrar el siguiente paso. Si para los niños no es un problema realizar los cálculos, podrán notar algo interesante y empezarán a explicarse entre ellos lo que están observando. Hay que dar a los niños la oportunidad de que generen ideas para proponer el siguiente paso. Si el maestro les da tiempo, algunos niños podrán encontrar algo interesante y espontáneamente lo mostrarán a sus compañeros y a su profesor. Es importante que el maestro escuche con atención sus ideas y los aliente a continuar con expresiones sencillas como “¡eso está muy bien!”. Esto motivará a otros niños y continuarán explorando, eso se observará en el brillo de sus ojos. Si además se preguntan por qué ocurre lo que observan, estarán experimentando un aprendizaje con calidad, porque encontrar y explicarse las reglas que gobiernan un patrón numérico es una acción que está en el corazón de las matemáticas.
20 Geometría y Medición
Tener curiosidad intelectual por desentrañar los “aspectos matemáticos misteriosos” es un buen punto de partida para que los niños vayan más allá de lo esperado y “den el siguiente paso”, esto da lugar a situaciones que les ofrecen oportunidades para desarrollar su conocimiento matemático por sí mismos. No debe ser motivo de preocupación si los niños no muestran interés ni curiosidad, pero el maestro debe tomarlo en cuenta seriamente, porque ese desinterés seguramente se debe a carencias en la enseñanza que previamente recibieron y es importante que el maestro subsane este problema. El momento presente es el mejor para prepararlos y que puedan dar solos “el paso que sigue”. Como antes se ha dicho, los niños disfrutan la clase de matemáticas cuando son conscientes de que están desarrollando su pensamiento matemático. De ahí en adelante se preguntarán por sí mismos “cuál es el paso que sigue”. Por ejemplo, en situaciones similares
Diferencias entre una tarea y un problema: problematización Actividades Analiza las siguientes operaciones: 37 × 3 = 111 37 × 6 = 222 37 × 9 = 333 37 ×12 = 444 37×15 = D6LQKDFHUORVFiOFXORVGLFXiOFUHHVTXHVHUiHOUHVXOWDGR de 37 × 15. E([SOLFDSRUTXpVHSURGXFHHOSDWUyQTXHVHREVHUYDHQ los resultados. F )RUPX )RUPXOD OD ODV SUHJX SUHJXQWDV QWDV TXH FRQVL FRQVLGHUHV GHUHV SHUWL SHUWLQHQWHV QHQWHV SDUD
DODDFWLYLGDG³î´DXQ DODDFWLY LGDG³î´DXQVLWLHQHQ VLWLHQHQGL¿FXOWDGHVSDUD GL¿FXOWDGHVSDUDKDFHUORV KDFHUORV
guiar esta actividad con alumnos de la escuela primaria.
cálculos reconocerán la belleza del patrón numérico que están explorando, podrán apreciar la belleza que está detrás de los aparentemente fríos cálculos aritméticos. Por supuesto, todo esto ocurrirá más fácilmente si los niños no tienen problemas para calcular, por esto es muy importante que hayan desarrollado destrezas para calcular ágilmente.
G )RUPXO )RUPXOD D ODV SUHJX SUHJXQWDVTXH QWDVTXH FRQVL FRQVLGHUHV GHUHV SHUWLQ SHUWLQHQWHV HQWHV SDUD D\XGDUDORVDOXPQRVTXH D\XGDUDO RVDOXPQRVTXHHQFXHQWUHQGL¿FXOWDGHV HQFXHQWUHQGL¿FXOWDGHVSDUDDYDQ SDUDDYDQ-zar en esta actividad.
5HÀH[LRQHVDGLFLRQDOHV
En el enfoque de resolución de problemas las tareas son presentadas por los maestros, pero se espera que sean los alumnos quienes hagan las preguntas y expliquen las GL¿FXOWDGHV GL¿FXO WDGHV TXH HQFXHQW HQFXHQWUDQ UDQ SDUD UHVROY UHVROYHU HU ORV SUREOHP SUREOHPDV DV
matemáticos que dan origen a esas tareas. Para distinguirlo del problema original, llamaremos problemática al nuevo problema que se plantea cuando los alumnos proponen “el siguiente paso”, el cual está relacionado con sus expectativas en el marco de su contexto de aprendizaje. La problemática no es igual al problema original, depende totalmente de las reacciones de los niños y con frecuencia se relaciona de forma directa con lo que previamente han aprendido. Si los alumnos cultivan el hábito de pensar por sí mismos a través de responder la pregunta: “¿cuál es el paso que sigue?”, entenderán mejor lo que están haciend o. Por eso es importante que el maestro mantenga el interés de los alumnos en la tarea y que espere a que sean ellos quienes empiecen a plantear nuevas expectativas. Por ejemplo, si los alumnos pronostican que el resultado que sigue es “555”, es conveniente que el maestro les pregunte: “¿estás seguro?” “¿Por qué?” Usualmente los maes tros son quienes asignan las tareas a realizar, pero es a través de las preguntas que plantea el maestro, que los niños hacen suyo el problema; en otras palabras, la “problemática” es una extensión del problema original que han planteado los alumnos. A este respecto, recomendamos enfáticamente que el maestro se proponga cambiar la actitud de sus alumnos si ellos creen que resolver un problema se trata sólo de obtener una respuesta, para propiciar el desarrollo del pensamiento matemático de los alumnos es de la mayor importancia que empiecen a proponer problemas por sí mismos, problemas que sean una extensión de los problemas que el maestro les propone. Si se les pregunta: “¿por qué crees que el siguiente resultado es 555?”,
Geometría y Medición 21
)RUPXODFLyQGHSUHJXQWDV pueden responder: “porque los resultados anteriores son y cambios de representación 111, 11 1, 222, 333 y 44 4”, “porque hay un patrón”, “porque hic e el cálculo”, etc. Si el profesor pregunta: “¿por qué?”, los niños tendrán oportunidad de desarrollar sus habilidades Actividades para argumentar. Cuando se pregunta: “¿estás seguro?”, dará lugar a que el alumno se cuestione a sí mismo para ¢3RUTXpVHUHSLWHQORVGtJLWRVHQODVUHVSXHVWDVGHî encontrar un fundamento claro para su respuesta. La for37×6, 37×9, 37×12 y 37×15? ma en que se producen los resultados de esas multiplicaciones es un “misterio” que debe desentrañarse, como si al lanzar tres dados muchas veces mostraran todos el 5HÀH[LRQHVDGLFLRQDOHV mismo número de puntos. Incluso antes de que los niños Para explicar este “hecho consigan hacer cálculos con lápiz y papel, pueden prede cir misterioso” puede ser útil TXHODVLJXLHQWHUHVSXHVWDHV³´\D¿UPDUiQTXHHVWiQ un diagrama como el que seguros que qu e esa será la respuesta para “37x15”. Entonces, se muestra a la derecha. En obtener la respuesta no es un problema que valga la pena cada paso se agrega 3 al resolver,, lo valioso es explicar la causa de que “555” será la multiplicador (3, 6, 9, …). El resolver siguiente respuesta. producto se incrementa en 111, independientemente de que el multiplicador se increPHQWHVyORHQ/DÀHFKDĻ
representa la estructura de este patrón. Si los niños comSUHQGHQORTXHLQGLFDHVDÀHFKDHQWHQGHUiQTXHHOGLDJUDma muestra una relación funcional, aun si ellos todavía no conocen el concepto de proporcionalida proporcionalidad. d. Es fructífero usar diagramas como éste para representar relaciones desde el primer grado. Si los niños están familiarizados con esas formas de representación el maestro puede hacer un diagrama en el pizarrón a partir de que los niños encuentran la relación entre los multiplicadores (3, 6, «FRORUHDQGRODVÀHFKDV\HVFULELHQGRMXQWR³´6L ORVDOXPQRV HQFX HQFXHQWUD HQWUDQ Q ³ ³ ´ HQ OD ÀHF ÀHFKD KD HQWU HQWUH H UHQJO UHQJOR RQHVĻHVFRQYHQLHQWHSHGLUOHVTXHH[SOLTXHQORTXHLQGLFDQODVÀHFKDVSDUDSURSLFLDUHOVXUJLPLHQWRGHODLGHDGH
proporcionalidad o el patrón que encontraron al multiplicar relacionándolo con sumas repetidas. A través de conocer la UHODFLyQHQWUHORVGRVWLSRVGH UHODFLyQHQWUH ORVGRVWLSRVGHÀHFKDVORV ÀHFKDVORVDOXPQRVSXHG DOXPQRVSXHGHQ HQ
explorar el concepto de proporcionalidad como antecedente para su posterior formalización. Una vez que una explicación como la anterior es posible, HOPDHVWURSXHGHSURIXQGL]DUHQHOVLJQL¿FDGRGHOSUREOHPD
replanteándolo como sigue: “¿siempre que el multiplicador se incremente en 3, las respuestas se incrementarán en 111 y todos sus dígitos serán iguales?” Después podemos preguntar: “¿por qué en cada respuesta todos los dígitos son iguales?” Los lectores ya habrán adelantado que lo anterior es cierto sólo hasta que el multiplicador es 27, donde la respuesta es 999. Esta actividad muestra la importancia de las preguntas que pueden formular los maestros y las representaciones que usan para favorecer que los alumnos piensen matemáticamente. La representación de las relaciones mediante ÀHFKDVSURSLFLD TXH ORVQLxRV LGHQ ÀHFKDVSURSLFLD LGHQWL¿T WL¿TXHQ XHQ ORVSDWURQHV \ H[SOLTXHQSRUTXpîîBBLQYROXFUDOD¿ODGHOGHOD
tabla de multiplicar (que son múltiplos de 3).
22 Geometría y Medición
La razón por la cual los dígitos del producto son iguales es que 37 × (3 × __ ) = 37 × 3 ×__ , y 37 × 3 = 111; así puede explicarse que resulta lo mismo en 111× ___ . Esta es una oportunidad para darse cuenta que es posible reconocer un patrón con base en el primer elemento.
Extensión de las ideas previamente aprendidas Actividades El patrón de los dígitos idénticos termina después de 37 × 27.
¢3RGUiHQFRQWUDUVHDOJRLQWHUHVDQWHVLVHVLJXHPXOWLSOLFDQGR" Para los niños es interesante notar que pueden utilizar lo que han aprendido para entender nuevas ideas. Usar los conocimientos previos es uno de los aspectos más importantes en el razonamiento matemático. La representación 5HÀH[LRQHVDGLFLRQDOHV
TXHXWLOL]DÀHFKDVHVXQDFODYHSDUDUHFRQRFHU\HQWHQGHU &XDQGRDOJXLHQXVDODIUDVH³SRUHMHPSOR´VLJQL¿FDTXH\DHP-
los argumentos en el caso que acabamos de analizar. Esta forma de representación permite comparar la relación entre expresiones expres iones matemátic matemáticas. as. Para desarrollar el razonamiento raz onamiento matemático es útil usar una representación para expresar las ideas a través de la visualización. La actividad que aquí analizamos da oportunidad para que los alumnos desentrañen el “misterio” usando la propiedad asociativa de la multiplicación. Incluso si los alumnos no conocen esta propiedad, entenderán la relevancia de poder cambiar el orden en la multiplicación.
pezó a reconocer un patrón. En el caso de la actividad con la que inicia esta sección, el patrón es que los dígitos de las decenas y las centenas son iguales. No solamente eso, si uno observa cuidadosamente podrá notar que la suma de los dígitos de las unidades y los millares es igual al dígito de la decenas y al de las centenas, por ejemplo: en “1332”, 1+2=3. Esto HVLQWHUHVDQWH¢SRUTXpRFXUUH"/DLGHQWL¿FDFLyQGHXQQXHYR
patrón produce una sensación de sorpresa en los alumnos, entonces el maestro puede preguntarles: ¿esto es cierto? ¿Se conservará este patrón de aquí en adelante? ¿Por qué?
A partir de este punto hay que hacer algunos cálculos, al multiplicar en forma vertical con lápiz y papel en lugar de sumar 111, podemos observar por qué el patrón presenta ese comportamiento. En general, cambiar y agregar otras formas de representación es un buen recurso para encontrar nuevos elementos para formular una explicación. Si analizamos que 37 × 36 = 37 × (3 × 12) = (37 × 3) × 12 = 111 × 12 = 111 × (10 + 2) = 1110 + 222, observaremos por qué los dígitos de las decenas y las centenas deben ser iguales, y por qué estos dígitos son la suma de los dígitos de las unidades y los millares. Los dígitos idénticos se derivan de 37 × (3 × ___), asimismo, el hecho de que los dígitos de las decenas y las centenas sean la suma de los millares y el de las unidades del número que va en el espacio en blanco. $KRUDWHQHPRV WRWDOPHQWHLGHQWL¿FDGDV ODVUD]RQHV SRU SRUODV ODV
que se produce el nuevo patrón que observamos. Es interesante que este patrón haya surgido de otro que previamente VHKDEtDLGHQWL¿FDGR&LHUWDPHQWH VHKDEtDLGHQWL¿FD GR&LHUWDPHQWHHV\ HV\HQ³ HQ³
9” observamos que “0+9=9”. Observemos que 37 × 27 = 37 × (3 × 09) = (37 × 3) × 09 = 111 × 09 = 0000 + 999 = 0999, de esto tenemos que dos patrones aparentemente distintos, en realidad son el mismo. Pero aún no sabemos hasta dónde se
Geometría y Medición 23
presentará este patrón; cuando uno se propone disfrutar de las matemáticas en esta forma parece ser que este tipo de
Desarrollo de la actitud para hacer matemáticas como un matemático
DFWLYLGDGHVQRWLHQHXQSXQWR¿QDO Actividades
Algunos matemáticos, como Devlin (1994), caracterizaron a las matemáticas como la ciencia de los patrones. En el marco de esa caracterización, completar compl etar una tarea debiera ir más allá de lo que esa tarea aparentemente exige. Cuando uno va más allá puede descubrir fenómenos interesantes, por ejemplo: la existencia de patrones (regularidades). Al examinar si un patrón se conserva bajo cualquier circunstancia, o sólo bajo ciertas circunstancias, uno recrea o redescubre las matemáticas TXHSUHYLDPHQWHFRQRFtD$OLGHQWL¿FDUODH[LVWHQFLDGHSDWUR nes los alumnos aplican lo que previamente aprendieron y experimentan una sensación similar a la que vive un matemático cuando descubre un resultado o resuelve un nuevo problema.
î ¢&yPRVHSXHGHH[WHQGHUORTXHVHREVHUYDDTXt"
5HÀH[LRQHVDGLFLRQDOHV
¿Pudiste encontrar hasta dónde se extiende el patrón que se REVHUYDHQî"6LORKDOODVWHVH REVHUYDHQî"6LOR KDOODVWHVHJXUDPHQWHF JXUDPHQWHFRQWLQXDUiV RQWLQXDUiV H[SORUDQGRVLOOHJDVWHKDVWDHO¿QDOWHVHQWLUiVPX\VDWLVIHFKR 8QDYH]TXHVHREVHUYDTXHî 8QDYH]TXHVHREVHUYDTXHî HVUHFRPH HVUHFRPHQ Q-
dable preguntarse: ¿qué sigue de esto? Si lo hiciste, ya estás desarrollando una actitud favorable hacia la exploración matePiWLFD6LGLVIUXWDVWHODDFWLYLGDG\UHÀH[LRQDVWHVREUHVXVLJ QL¿FDQFLDHVWiVGHVDUUROODQGRDFWLWXGHVTXHVHUHTXLHUHQSDUD
cultivar los métodos del pensamiento matemático. En la página inicial de la Parte II se mencionó que hay tres propósitos prioritarios en la educación matemática de la escuela primaria en Japón: “el primero es promover el desarrollo de destrezas que son útiles para la vida diaria, que consiste en las destrezas matemáticas mínimas para entendernos con los demás. El segundo es propiciar el desarrollo del pensamiento matemático que será útil en la construcción de nuevos conocimientos y en la habilidad para pensar en general, este propósito está relacionado con el desarrollo de IRUPDVLQQRYDGRUDVSDUDYLYLU IRUPDVLQQRYDGRUDV SDUDYLYLU(OWHUFHUSURSyV (OWHUFHUSURSyVLWRVHUH¿HUH LWRVHUH¿HUHD D cultivar valores y actitudes para la vida”.
En el marco de esos propósitos nos preguntaremos cómo podemos saber que los alumnos están aprendiendo por sí mismos. La respuesta inicial que planteamos es: “si los alumnos muestran que tienen el deseo de aprender y que disfrutan en la clase de matemáticas”. (QOD3DUWH,VHKDQGLVFXWLGR\HMHPSOL¿FDGRHVDVLGHDV
y las razones por las cuales la resolución de problemas en un acercamiento promisorio para ayudar a que los alumnos aprendan a aprender matemáticas por sí mismos.
24 Geometría y Medición
)DVHVGHHQVHxDQ]DHQODUHVROXFLyQGHSUREOHPDV Las fases de enseñanza en el marco de la resolución de problemas pueden esquematizarse como sigue:
)DVH
Participación del maestro
Estatus de los alumnos
Presentación del problema
Presenta el problema sin hacer explícito el objetivo de la clase.
Abordan la tarea pero no necesariamente conocen el objetivo de la clase.
Planeación y predicción de la solución
Guía a los alumnos para que reconozcan el objetivo.
Tienen expectativas, expectativas, conocen el objetivo de la clase, reconocen tanto los datos como las incógnitas, incógnitas, de qué se trata el problema y proponen ideas para abordarlo .
Resolución grupal /resolución independiente
Apoya el trabajo individual.
Tratan de resolver el problema con las ideas que compartieron. Establecen relaciones entre lo conocido y lo desconocido y tratan GHUHSUHVHQWDUODVHQGLIHUHQWHVIRUPDV(VVX¿FLHQWHVLDOJXQRV
alumnos proponen ideas, no debe esperarse hasta que todos los alumnos den respuestas correctas, porque responder correctamente no es el propósito principal de la clase. Si se dedica tiempo a esperar a todos, los alumnos pueden perder sus ideas y decrecerá su motivación para discutir las soluciones que se presenten. Explicación y discusión / validación y comparación
Guía la discusión con base en el objetivo de la clase.
Explican cada acercamiento y los comparan relacionando lo conocido con lo desconocido. Se comunican para entender las ideas de los demás considerando sus acercamientos. Valoran el esfuerzo de los demás y reconocen que es una meta a lograr mediante el trabajo en grupo.
Resumen/aplicación y Resumen/aplicación posteriores desarrollos
*XtDODUHÀH[LyQGHORVDOXPQRV
Reorganizan lo que aprendieron durante la clase; valoran sus logros, formas de razonamiento e ideas.
$FRQWLQXDFLyQVHHMHPSOL¿FDQHVWDVIDVHVSRUPHGLRGHOD $FRQWLQXDF LyQVHHMHPSOL¿FDQHVWDVIDVHVSRUPHGLRGHOD lección de la página 11, del Tomo IV, Vol. 2 ( Fig.1).
)DVH Presentación del problema “
”
El maestro propone el problema, la problemática se desarrolla a partir de las nuevas ideas de los alumnos. La tarea simple es obtener la respuesta, a la cual se llega fácilmente si los alumnos cuentan las unidades cuadradas. La problemática consiste en aplicar la fórmula para calcular el área del rectángulo en una situación nueva para los alumnos. La tarea principal del maestro es escuchar las ideas de los alumnos. )DVH Planeación y predicción de la solución 6LUHYLVDPRVODVOHFFLRQHVDQWHULRUHVLGHQWL¿FDUHPRVORTXH “
”
los alumnos ya estudiaron y podremos observar que la planeación y predicción de la solución no es difícil. ParticularPHQWHHQODVSiJLQDV\DSUHQGLHURQDUHFRQ¿JXUDUXQD VXSHU¿FLHPHGLDQWHFRPSRVLFLyQ VXSHU¿F LHPHGLDQWHFRPSRVLFLyQ\GHVFRPSRVLFLyQPDQWH \GHVFRPSRVLFLyQPDQWH-
niendo el área total invariante. )DVH³5HVROXFLyQJUXSDOUHVROXFLyQLQGHSHQGLHQWH´
El maestro sugiere algunas ideas a los alumnos que enFXHQWUDQGL¿FXOWDGHVTXHGHWLHQHQVXWUDEDMR/DGL¿FXOWDG Fig.1
en sí misma es parte de la problemática y es una buena oportunidad para enfrentar retos. El maestro no debe proporcionar la respuesta. Mientras camina entre las bancas
Geometría y Medición 25
)DVH³H[SOLFDFLyQGLVFXVLyQYDOLGDFLyQFRPSDUDFLyQ´
del aula, el maestro debe planear qué preguntas debe hacer Esta fase es la más difícil, por lo que se sugiere sugiere considerar a esos alumnos para ayudarlos a que expliquen más clara- los siguientes niveles: PHQWHHQTXpFRQVLVWHO PHQWHHQTXp FRQVLVWHODGL¿FXOWDGT DGL¿FXOWDGTXHHQIUHQWDQ XHHQIUHQWDQ Nivel del novato: Generalmente los profesores noveles
seleccionan una o dos ideas de las distintas soluciones que presentan los alumnos y piden que las presenten al grupo. En este caso los demás niños se sienten marginados. Nivel del experto: Los maestros que tienen más experien-
cia, y que están mejor preparados, propician que los alumnos den tantas respuestas como les sea posible y tratan de retomarlas todas. Los maestros se mantienen atentos y receptivos a todas las ideas de los alumnos, alientan a los alumnos a que las presenten al grupo y ellos disfrutan esto. Sin embargo, no siempre es posible que puedan aprovechar cada XQDGHODVLGHDVSDUDORJUDUHOSURSyVLWRGHODFODVH\DO¿QDO
de ésta, el maestro presenta sus propias ideas sin conectarlas necesariamente con las de todos sus alumnos. Nivel de resolución de problemas: El maestro anticipa un plan considerando la discusión que se dará en la clase, trata de conectar varias ideas con la problemática que desarrollarán los alumnos.
Fig.2 )DVH³([SOLFDFLyQGLVFXVLyQYDOLGDFLyQ comparación”
Nivel dialéctico: Si los alumnos avanzan bien, los maes-
tros y los alumnos comparan varias ideas valiosas para el pensamiento matemático, como aplicabilidad, simplicidad, SUHFLVLyQH¿FLHQFLDJHQHUDOLGDG\EHOOH]D&RQHVWHWLSRGH
trabajo el maestro está propiciando que sus alumnos disfruEl maestro pide a los alumnos que presenten al grupo sus ten escuchar las ideas de otros y presentar las suyas, las ideas. Es conveniente que inicie planteando una idea senci- comparan y aprecian que la discusión de las ideas matemálla que escuchó de un alumno y avance hacia las ideas más ticas es agradable y fructífera, ven en las matemáticas una generales y poderosas que los alumnos externaron. En la fuente de conocimientos que les permite generar nuevas página 12 (Fig. 2 ) se sugieren varias ideas a este respecto. ideas. En este tipo de trabajo es importante que el maestro haga evidente en qué momentos de la clase se observan )DVH³5HVXPHQDSOLFDFLyQ\ )DVH³5 HVXPHQDSOLFDFLyQ\SRVWHULRUHVGHVDUUROORV´ SRVWHULRUHVGHVDUUROORV´ las características de aplicabilidad, simplicidad, generalidad, En la página 12 se presentan cuatro ideas propuestas por SUHFLVLyQH¿FLHQFLD\EHOOH]DHQODVLGHDVPDWHPiWLFDV3DUD los alumnos, no todas son correctas. Con base en esas KDFHUXQUHVXPHQDO¿QDOGHODFODVHHVLPSRUWDQWHTXHHO ideas los alumnos pueden aprender a aplicar la fórmula del profesor no borre lo que se registró en el pizarrón, porque área del rectángulo mediante la composición y descompo- FDGDUHJLVWURHVREMHWRGHUHÀH[LyQHQODVtQWHVLVGHOWUDEDMR VLFLyQGHOD¿JXUDODF VLFLyQGHOD ¿JXUDODFRQGLFLyQHVT RQGLFLyQHVTXHHOiUHDWRWDO XHHOiUHDWRWDOVHPDQ VHPDQ- realizado en la sesión de aula. Este último aspecto se discutenga invariante. En la tarea 6 los alumnos deben notar que tirá con mayor detalle en la siguiente sección. la idea de Takeshi no se puede aplicar. Valorar las ideas es una componente clave en el desarrollo del pensamiento matemático, un documento para abundar en torno a ODD¿UPDFLyQDQWHULRUVHHQFXHQWUDHQHOVLJXLHQWHVLWLRGH,QWHUQHW http://e-archive.criced.ts http://e-a rchive.criced.tsukuba.ac.jp/ ukuba.ac.jp/result_data. result_data.php?idx_key=1 php?idx_key=1959 959
26 Geometría y Medición
Planeación de la clase empleando el pizarrón En la resolución de problemas es importante que los niños pasen al frente y presenten sus ideas. El resumen del trabajo lo hacen entre los alumnos y el maestro. maestro. Para propiciar que estas acciones ocurran, ocurran, el maestro debe planear cómo usar el pizarrón para desarrollar su clase. A continuación, se muestra un ejemplo: 4. Argumentos y comparación
5. Resumen
1. Presentación
del problema
D Tarea que presenta el maestro
H ¿Qué tipos de soluciones se presentarán
¢4XpWLSRGHD¿UPDFLRQHV\
para la tarea? ¿En qué orden se harán las preguntas a los niños? ¿En qué orden se les pedirá que presenten sus ideas? ¿Qué se discutirá? ¿Qué idea se generalizará?
pistas se remarcan en los niños para que escriban un resumen posterior?
F Generar la problemática
que será el propósito de la lección.
Lo que el maestro piensa
[Problema]
Registrar las preguntas en orden para generar la problemática. Expresiones verbales y matemáticas que plantean los niños para representar el problema que corresponde a la problemática.
¡Lo que conocen!
¡Por encontrar!
¡Seleccionen!
Hoja de presentación 1
Hoja de presentación 2
Hoja de presentación 4
Hoja de presentación 5
Hoja de presentación 3
[Problemática]
Expresión matemática 2. Predicción de la solución E Oportunidades que crea
el maestro para que los niños formulen conjeturas, expresiones matemáticas y respuestas.
Respuesta ¿Qué ideas?
[Ejercicios] Resolución autónoma
F lu jo de de la la le le cc cc ió n
Resumen
Ni ño ño s q ue ue pa pa rtrti ci ci pa pa n
3. Resolución
Comentarios de los niños
Respuestas a ¡Lo que conocen! o al Resumen
autónoma
G Ayudar a los niños al ir recorriendo el salón
Actividades Con base en la distribución de los espacios del pizarrón que se muestra, diseña cómo usarías tu pizarrón para desarrollar una clase usando la lección de las páginas 11 y 12 del Tomo IV, Vol. 2.
5HÀH[LRQHVDGLFLRQDOHV
Este es un buen ejemplo del uso del pizarrón, sin embargo, es necesario considerar lo siguiente:
El resumen se forma con las soluciones a la problemática o a las ideas que se generalizaron.
las mejores ideas que se presentaron. Con base en éstas el maestro puede resumir lo que se aprendió durante la clase. 3. El maestro debe considerar las ideas útiles de los alumnos y la forma de representarlas para resumir la clase de PDQHUDVLJQL¿FDWLYD3DUDKDFHUHOUHVXPHQGHODFODVHUH comendamos enfáticamente que nunca se borre lo que está HQHO SL] SL]DUU DUUyQ yQ ORTXH VHUHJLV VHUHJLVWUy WUy HQpO SHU SHUPLW PLWH H UHÀ UHÀH[L H[LRQD RQDU U VREUHORTXHRFXUULyGHSULQFLSLRD¿Q 4. Al usar de esta manera el pizarrón podemos compartir
la interacción que se dio entre los alumnos y el profesor, las preguntas que se hicieron y las ideas que se plantearon. Para 1. Al planear el uso del pizarrón el maestro debe anticipar hacer claro este proceso el maestro puede usar “globos de las respuestas que los alumnos pueden formular con base en texto” para visualizar el contexto en que se dieron las pregunlo que han aprendido previamente. El pizarrón no debe ser el tas y su relación con las ideas que presentaron los alumnos. 5. El maestro debe tener en cuenta que los alumnos aprecian lugar para escribir las explicaciones del profesor, es el espacio para registrar las ideas de los alumnos y sus procesos de sus propias ideas y no es fácil que se desprendan de ellas razonamiento. Por esta causa, el profesor debe asignar un SDUDHQWHQGHUODVLGHDVGHORVGHPiV3RUHVWDUD]yQDO¿QDO lugar en el pizarrón donde ubicará la secuencia de preguntas. de la clase, cuando se les pide seleccionar las mejores ideas, 2. El maestro debe considerar el potencial de las ideas de muchos niños no eligen aquellas que otros propusieron. Para los alumnos con relación a la problemática y al propósito de entender las ideas de los demás es necesario proponer tareas aprendizaje. La tarea será apropiada sólo si satisface las DGLFLRQDOHVDO¿QDOGHODFODVH3RUHMHPSORHQHOIRUPDWRGH expectativas respecto a la problemática que se anticipó y al pizarrón que se mostró en la sección anterior, se designó un propósito de la lección. Si la problemática y el propósito coin- espacio para “Ejercicios”, ahí pueden analizarse las ideas de ciden, el profesor podrá pedir a los alumnos que seleccionen Takeshi (tarea 6 de la l a página 12, Tomo Tomo IV, Vol. 2).
Geometría y Medición 27
La distribución de espacios en el pizarrón que se muestra es sólo un ejemplo, el maestro debe planear cómo usar el pizarrón dependiendo de los aspectos que considere para anticipar las reacciones de los alumnos; la planeación del uso del pizarrón es GH¿QLGDSRUODVUHDFFLRQHVGHORVDOXPQRV\ODVGHFLVLRQHVTXH
el maestro toma durante el curso de la clase. También debe anticiparse cómo se usará el pizarrón para organizar las fases del proceso de resolución de problemas. En síntesis, no debe intentar generalizarse el ejemplo que mostramos para la distribución de espacios en el pizarrón. Esa distribución debe adaptarse de acuerdo al contenido de enseñanza, al propósito de aprendizaje y a las acciones de los alumnos. La planeación del uso del pizarrón proporciona recursos importantes para la toma de decisiones con base en la evaluación que el maestro hace del desarrollo de su clase. Por último, es necesario destacar que en el pizarrón no puede faltar un espacio para registrar la secuencia de preguntas que ha anticipado el profesor, esas preguntas son el vehículo que determinará en gran medida las acciones que ocurran en la clase. Actividades Diseña un plan de clase para el cuarto grado. Planea cómo usar el pizarrón para conducir la clase usando la lección de ODVSiJLQDV\GHO7RPR,99RO)LJV y 2WRUJD 2WRUJD HVSHFLDODWHQFLyQDODGH¿QLFLyQGHOSURSyVLWRGHODFODVHOD
Fig.2
secuencia de preguntas que harás, las respuestas que creas
5HÀH[LRQHVDGLFLRQDOHV
que darán los alumnos y las preguntas que harás para guiar-
Nota que hay una barra vertical al lado de algunas actividades, esta barra indica que son actividades enmarcadas en la resolución de problemas, la barra también representa la instrucción “Piensa cómo hacerlo”. Esta instrucción es el objeto central de esta clase. Estas lecciones se presentan en dos páginas, de manera que los alumnos vean ambas al tener el libro abierto. En la página de la derecha se sugieren varias respuestas. Esto hace obvio que el propósito de la clase no es obtener la respuesta, sino la sección “Piensa cómo hacerlo”, el maestro debe dar énfasis a que los alumnos atiendan esa instrucción. En las lecciones hay “globos de texto” que sugieren ideas o preguntas interesantes a los alumnos. Por ejemplo, la tarea 5 de la página 11 es acerca
los hacia la consecución del propósito de aprendizaje.
GHXQD¿JXUDHQIRUPDGH³/´DQWHVGHHVWDOHFFLyQORVDOXPQRV
sólo conocen la fórmula para calcular el área de un rectángulo. “¿Cuántos centímetros?” es la tarea inicial y “piensa cómo hacerlo” es el propósito principal, si los alumnos se plantean “puedo calcular el área si…” ya comprendieron el propósito de la clase. Todas las respuestas que se sugieren parecen ser apropiadas para la tarea 5, el maestro debe señalar que la composición y Fig. 1
GHVFRPSRVLFLyQGHODV¿JXUDVVHSXHGHQKDFHUVLHPSUHTXHQR VHDOWHUHHOiUHDWRWDOGHOD¿JXUD(OVLJXLHQWHSDVRHVTXHORV
alumnos confronten el reto de resolver la tarea 6, ahí deben reconocer que de las ideas que se sugieren algunas son aplicables y otras no, la idea de Takeshi no funciona para la tarea 6. Entonces los alumnos deben revisar lo que hicieron en la tarea 5 y aprenderán cuando una idea es aplicable o no. El libro de texto presenta una secuencia de enseñanza que conduce a formalizar las ideas a través de extender la experiencia que han tenido al componer y descomponer números y no se intenta aplicar la fórmula general desde el principio. Mediante esta secuencia los alumnos tienen la oportunidad de valorar cada idea y el maestro les debe orientar para que desarrollen su pensamiento matemático por sí mismos.
Geometría y Medición
DWHQFLyQDODGH¿QLFLyQGHOSURSyVLWRGHODFODVHODVHFXHQ -
números hasta el 20. “¿Cuántos hay?” es la tarea inicial y “Piensa cómo hacerlo” es el propósito mayor de la lección. Los alumnos pueden contestar de inmediato porque ya pueden contar, lo que se espera es que se pregunten cómo pueden formar un grupo de 10. Si ellos hacen esa pregunta han logrado el propósito de la clase. En la pági-
cia de preguntas que harás, las respuestas que creas que los
QDVHVXJLHUHQYDULDVVROXFLRQHV7RGDVODVUHVSXHVWDV
alumnos darán y las preguntas que harás en concordancia
sugeridas son apropiadas para la tarea 1 pero el objeto de la clase es “Piensa cómo hacerlo”, en este caso, “cómo hacer un grupo de 10”. Entonces ellos discuten cómo lograrlo como parte del proceso para hacer el cálculo que se les pide, aquí deben aplicar su experiencia en la composición y descomposición de números. El libro presenta una secuencia de enseñanza que se basa en lo que los alumnos han aprendido antes. Esto indica que esta clase está orientada a prepararlos para su futuro aprendizaje.
Actividades Diseña un plan de clase para el primer grado. Planea cómo usar el pizarrón para conducir la clase usando la lección de ODVSiJLQDV\GHO7RPR,)LJV y 2WRUJDHVSHFLDO 2WRUJDHVSHFLDO
para guiarlos hacia la consecución del propósito.
Fig.1 5HÀH[LRQHVDGLFLRQDOHV
Como señalamos antes, la barra vertical al lado de una actividad indica que ésta corresponde al enfoque de resolución de problemas y que el objeto central de la lección es “Piensa cómo hacerlo”. La tarea en la página 77 es encontrar el número de niños, antes de esto, los alumnos han aprendido cómo componer y descomponer los números, la suma y resta hasta 10 y los Fig.2
Geometría y Medición 29
Actividades Diseña un plan de clase para el segundo grado. Planea cómo usar el pizarrón para conducir la clase usando la lección de ODVSiJLQDV\GHO7RPR,,9RO )LJV y 'DHVSHFLDO 'DHVSHFLDO DWHQFLyQDODGH¿QLFLyQGHOSURSyVLWRGHODFODVHODVHFXHQ cia de preguntas que harás, las respuestas que creas que los alumnos darán y las preguntas que harás en concordancia para guiarlos hacia la consecución del propósito.
La tarea 3 de la página 31, Tomo II, Vol. 1, consiste en encontrar el número de libros. Antes de esto, los alumnos ya conocen los números hasta el 1000, las representaciones del sistema de numeración de base 10 con bloques y un primer acercamiento a la forma vertical de la suma en el caso en que todas las sumas de los dígitos son menores que 10, es decir, no es necesario descomponer números. “¿Cuántos hay?” es la tarea original y “Piensa cómo hacerlo” es el objeto principal de la clase. Los alumnos pueden encontrar la respuesta usando los diagramas de bloques, lo que se les está pidiendo es que apliquen lo que aprendieron antes, se ha logrado el objetivo de la clase si los alumnos se dan cuenta que es necesario descomponer algunos números y que tienen que pensar cómo pueden usar esto en la forma vertical de la suma. La página 32 sugiere varias soluciones usando la forma vertical. Todas las respuestas sugeridas son correctas para la tarea 3, pero el propósito de la clase es “pensar cómo hacerlo”. Los alumnos discuten sobre las distintas opciones sabiendo de antemano que son correctas todas y el maestro introduce la forma convencional con la ayuda de los diagramas de bloques. La lección muestra la secuencia para formalizar las ideas matemáticas y se aborGDODIRUPDJHQHUDOKDVWDHO¿QDOGHODOHFFLyQ$WUDYpVGH
esta secuencia los alumnos tienen la oportunidad de aprender por sí mismos.
Fig. 1 5HÀH[LRQHVDGLFLRQDOHV
Como señalamos antes, la barra vertical al lado de una actividad indica que ésta corresponde al enfoque de resolución de problemas y que el objeto central de la lección es “Piensa cómo hacerlo”.
Fig. 2
30 Geometría y Medición
Actividades Diseña un plan de clase para el tercer grado. Planea cómo usar el pizarrón para conducir la clase usando la lección de ODVSiJLQDV\GHO7RPR,,,9RO )LJV y 'DHV 'DHVSHFLDODWHQFLyQDODGH¿QLFLyQGHOSURSyVLWRGHODFODVHOD secuencia de preguntas que harás, las respuestas que creas que darán los alumnos y las preguntas que harás en concordancia para guiarlos hacia la consecución del propósito.
La tarea 1 de la página 45, Tomo III, Vol. 2, consiste en encontrar el número de bolsas. Antes de esta lección l os alumnos han estudiado la división sin residuo, la cual incluye la noción de la multiplicación como inversa de la división y el reparto uno a uno de los objetos hasta agotarlos. “¿Cuántos hay?” es la tarea original y “Piensa cómo hacerlo” es el objeto principal de la clase. Los alumnos pueden contestar mediante la simple inspección de la ilustración, los “globos de texto” sugieren que hay que producir una expresión matemática que represente los datos y sus relaciones en el problema, si los alumnos proponen esto se ha alcanzado el propósito de la clase. La página 46 sugiere varias soluciones mediante diagramas y expresiones matemáticas. Todas las respuestas sugeridas son apropiadas para resolver el problema pero la discusión debe centrarse en el residuo y su tamaño, esto se resalta en las expresiones matemáticas que se sugieren. La lección muestra la secuencia de enseñanza para formalizar las ideas PDWHPiWLFDVFXDQGRVHDUULEDDO¿QDOGHODOHFFLyQ$WUDYpV
de esta secuencia los alumnos tienen la oportunidad de valorar cada idea y el maestro debe orientarlos para que desarrollen su pensamiento matemático por sí mismos.
Fig.1
5HÀH[LRQHVDGLFLRQDOHV
Como señalamos antes, la barra vertical al lado de una actividad indica que ésta corresponde a la resolución de problemas y que el objeto central de la lección es “Piensa cómo hacerlo”.
Fig.2
Geometría y Medición 31
Diseña un plan de clase para el quinto grado. Planea cómo
La tarea de la página 23 del Tomo Tomo V, Vol. Vol. 1, prepara la extensión de la multiplicación con números enteros a la multiplicación con números decimales. Para hacer esto los alumnos tienen que re-
usar el pizarrón para conducir la clase usando la lección de
GH¿QLUODPXOWLSOLFDFLyQ\DSOLFDUODFRQQ~PHURVGHFLPDOHVXVDQGR
ODVSiJLQDV\GHO7RPR99RO)LJV y 'DHVSHFLDO 'DHVSHFLDO
los conocimientos que antes adquirieron. Al inicio la tarea consiste en completar el recuadro en blanco, antes de esto los alumnos han aprendido algunas cosas sobre los números decimales pero no cómo multiplicar o dividir con ellos. A través de completar los recuadros en blanco los alumnos pueden extender por su experiencia con números enteros al caso de los números decimales y preguntarse cómo calcular usando números decimales. En la página 24 se sugieren varias formas de respuesta con base en lo que antes han aprendido acerca de los números enteros. En la siguiente lección aplicarán esas ideas para el caso de los números decimales. Dado que ya obtuvieron las respuestas en el capítulo anterior, el objetivo principal es enfocarse en “Piensa cómo hacerlo” en el contexto de la resolución de problemas.
Actividades
DWHQFLyQDODGH¿QLFLyQGHOSURSyVLWRGHODFODVHODVHFXHQ cia de preguntas que harás, las respuestas que creas que darán los alumnos y las preguntas que harás en concordancia para guiarlos hacia la consecución del propósito.
Fig.1 5HÀH[LRQHVDGLFLRQDOHV
Como señalamos antes, la barra vertical al lado de una actividad indica que ésta corresponde al enfoque de resolución de problemas y que el objeto central de la lección es “Piensa cómo hacerlo”. Adicionalmente, Adicionalmente, el libro incluye una sección titulada “Piensa cómo hacerlo”. Esta sección tiene como propósito preparar a los alumnos para el capítulo siguiente que se enmarca en la resolución de problemas. Algunas Algunas veces los alumnos olvidan lo que han aprendido antes y en algunos casos el profesor del grado anterior no se aseguró que se apropiaran adecuadamente del conocimiento necesario para abordar los contenidos del grado siguiente. La sección “Piensa cómo hacerlo” se incluye para prevenir que se presenten estos casos, en ella hay “globos de texto” que sugieren ideas para los maestros y los alumnos. Los maestros deben hacer preguntas apropiadas para que los alumnos aprovechen lo que se sugiere en los “globos de texto”.
Fig.2
32 Geometría y Medición
Actividades Diseña un plan de clase para el quinto grado. Planea cómo usar el pizarrón para conducir la clase usando la lección de ODVSiJLQDV\GHO7RPR9,9RO )LJV y 'DHV'DHV SHFLDODWHQFLyQDODGH¿QLFLyQGHOSURSyVLWRGHODFODVHOD secuencia de preguntas que harás, las respuestas que creas que darán los alumnos y las preguntas que harás en concordancia para guiarlos hacia la consecución del propósito.
GHEHQFRQFHQWUDUVHHQHQFRQWUDUYDULDVPDQHUDVH¿FLHQWHV SDUDUHVROYHUHOSUREOHPD\TXHDO¿QDOGHODFODVHWRGRVORV
alumnos deben haberlas comprendido. Ya saben que en la siguiente página encontrarán varias soluciones y globos de texto en los que se les sugieren ideas interesantes. Saben que ellos deberán analizar esas ideas y producir otras ideas propias. Para que esto ocurra los maestros deben haber anticipado qué preguntas pueden orientar mejor el desarrollo del pensamiento matemático de los alumnos. El propósito de la tarea 1 de la página 53, Tomo VI, Vol. 1, es introducir la noción de volumen, no cómo calcular el volumen. Los alumnos ya conocen algunas medidas de capacidad, como litros y decilitros, y cómo calcular áreas. La tarea se centra en la actividad de comparar, primero mediante comparación directa, posteriormente se hacen comparaciones indirectas usando unidades arbitrarias y por último, usando unidades convencionales. Los alumnos que han venido trabajando con los volúmenes anteriores están familiarizados con esta secuencia. Se recomienda que los maestros hagan estas comparaciones acudiendo a las longitudes y al iUHDWRWDOGHODVXSHU¿FLHGHORVVyOLGRV(QORVHVSDFLRVD
completar de la página 54 se consideran las c uatro formas de comparación que mencionamos en este párrafo. En el caso de la idea de Satoshi la comparación acude a la noción de “la parte que queda”, la cual puede tomarse como unidad para medir ambos objetos. La unidad de volumen no se limita sólo al caso de las unidades cúbicas, pero se da preferencia a la unidad cúbica para realizar los cálculos.
Fig.1 5HÀH[LRQHVDGLFLRQDOHV 5HÀH[LRQHVDGLFLRQDOHV
Como antes se ha señalado, la barra vertical al lado de una actividad indica que corresponde a resolución de problemas y que el objeto central de la lección es “Piensa cómo hacerlo”, los alumnos del sexto grado ya están familiarizados con esta secuencia de enseñanza y tienen claro que encontrar la solución no es el objeto central de la lección, sino que
Fig.2
Geometría y Medición 33
Una útil lista de cotejo para planear la clase Actividades
Toma como referencia cada una de las categorías que se mencionan en la lista que se muestra a continuación para analizar las páginas 11 y 12 del Tomo IV, Vol. 2. Indica qué actividades de esas páginas se pueden asociar a las categorías que se mencionan en la lista, si una categoría no puede aplicarse elige NA. )DVH3UHVHQWDFLyQGHOSUREOHPD\SUHGLFFLRQHV SHUVSHFWLYDVSDUDODVROXFLyQ
Actividad
NA
Actividad
NA
Actividad
NA
Actividad
NA
(1) Presentación del “problema” para inducir que se genere la “problemática”. (2) Ubicación del planteamiento del problema en el contexto cotidiano o el c ontexto matemático que es de utilidad para el niño. 3URSLFLDHOGHVDUUROORGHODSUREOHPiWLFDSRUSDUWHORVDOXPQRVSDUDTXHFODUL¿TXHQFXiOHV
el propósito de la clase del día.
(4) Anticipa los métodos de resolución y la solución.
)DVH6ROXFLRQDQSUREOHPDVSRUVtPLVPRV
(1) Ayuda a los niños a que apliquen lo que previamente han aprendido. (2) Anticipa las respuestas de los niños o lo que pueden pensar. (3) Anticipa los tropiezos de los niños, sugiere ideas para ayudarlos a que avancen por sí mismos. (4) Propicia que los niños solucionen los problemas c omprendiendo la importancia de la “representación” (escritura)” en la resolución. (5) Pide a los niños que escriban una solución usando una representación que les permita explicar.
)DVH6ROXFLRQDQSUREOHPDVSRUVtPLVPRV
(1) Anticipa distintas ideas de solución de los niños considerando el orden de su posible ocurrencia en la clase. (2) Privilegia la elaboración de los niños sobre la ex plicación del profesor (3) Escuchar y s eleccionar lo que los niños murmuran para conducir la discusión (desde el punto de vista de la problemática o el propósito). (4) Considera las intervenciones de los niños que se pueden derivar en explicaciones comprensibles. (5) Propicia el desarrollo de la c apacidad de los niños para escucharse y entenderse unos a otros. (6) Usa la “problemática” para que generalicen y s e alcance el objetivo de la sesión. (7) Elaboración y manejo de los argumentos de los niños.
)DVH,QWHJUDFLyQUHÀH[LyQ
(1) Propicia el proceso de aprender cómo desarrollar el conocimiento matemático. (2) Propicia que los niños expresen su satisfacción por lo que han experimentado. (3) Resume los logros respecto al propósito de la lección.
5HÀH[LRQHVDGLFLRQDOHV
Esta lista de cotejo incluye condiciones deseables para una buena práctica en el enfoque de resolución de problemas. La lista fue pensada para ayudar al maestro a preparar mejor sus intervenciones en la clase cuando trabaja con lecciones que se ubican en el marco de la resolución de problemas. En el contenido de la lista se asume la premisa de que este tipo de lecciones deben ayudar a los alumnos a que aprendan a aprender matemáticas por sí mismos. Los maestros pueden usar esta lista para revisar su plan de clase y mejorarlo.
Esta lista fue tomada de: Isoda, M., Olfos, R. (2009). El Enfoque de Resolución de Problemas. En la Enseñanza de la matemática a partir del estudio de clases. EdiFLRQHV8QLYHUVLWDULDVGH9DOSDUDtVR3RQWL¿FLD8QLYHUVLGDG&DWyOLFDGH9DOSDUDtVR (Puede descargarse libremente http://www.criced.tsukuba.ac.jp/renkei/msa/ )
34 Geometría y Medición
Una lista de cotejo para recopilar las impresiones de los alumnos Consideramos que las habilidades para la comunicación verbal y escrita son de vital importancia para el desarrollo integral de los alumnos y su formación como ciudadanos productivos. A este respecto, a continuación se presenta una lista de cotejo que permite que los alumnos se autoevalúen, esta lista ha mostrado ser útil para que los maestros(as) comparen las impresioQHVGHVXVDOXPQRVDO¿QDOGHXQDRYDULDVFODVHVFRQODVTXHpOHOODUHJLVWUyGXUDQWHHOWUDWDPLHQWRGHXQWHPD/D¿QDOLGDG
de este cotejo es que los maestros(as) que atienden de 4º, 5º o 6º grado cuenten con un instrumento para retroalimentar los resultados de su clase.
Capacidad para tomar notas
Capacidad para escuchar
Capacidad para hablar
y hacer preguntas
Colorea en amarillo el número de estrellas que consideres adecuado Entre más estrellas, el nivel es más alto
Capacidad para tomar notas para resumir tus razonamientos Nivel
0
Colorea el círculo si tomas notas sistemáticamente. Qué tan bien utilizas tus notas. Tu capacidad de copiar correctamente lo que se escribe en el pizarrón. Tu capacidad para registrar tus pensamientos con palabras, dibujos y diagramas. Tu capacidad para resumir usando el orden lógico de las expresiones “en primer lugar”, “después” etc. Tu capacidad para corregir tus ideas equivocadas cuando escuchas las presentaciones de tus compañeros. Tu capacidad para resumir tus pensamientos registrando sólo las palabras clave. Tu capacidad para agregar las buenas ideas aportadas por tus compañeros. Tu capacidad para escribir claramente con suposiciones y perspectivas, anotando razones y fundamentos. Capacidad para hacer correcciones al comparar tus pensamientos con los de tus compañeros.
bien se relaciona con la forma en que los niños perciben cómo se intenta enseñarles el contenido de una lección y cómo se desempeñan en la clase en general. Lo que incluye esta lista de cotejo está lejos de ser un instrumento estandarizado, se SXQWRGHYLVWDGHORV SXQWRGHYLVWD GHORVDOXPQRV6X DOXPQRV6XSULQFLSDO¿QDOLGDGHV SULQFLSDO¿QDOLGDGHVPHMRUDU PHMRUDU desarrolló teniendo en mente el logro de los tres grandes prola práctica de enseñanza en el aula de matemáticas. Este tipo pósitos de la educación matemática de la escue la primaria que de evaluación no se relaciona con el propósito de la clase, más se mencionaron anteriormente. 5HÀH[LRQHVDGLFLRQDOHV
Los métodos para recabar las impresiones de los niños después de una clase fueron desarrollados para obtener evidencia de la efectividad de las prácticas de enseñanza desde el
Geometría y Medición 35
Capacidad para tomar notas para resumir tus razonamientos Nivel
0
Si escuchas sistemáticamente para hacer preguntas colorea el círculo. Sabes escuchar lo que otra persona está diciendo. Sabes expresar tus puntos de acuerdo y desacuerdo. Sabes escuchar lo que está diciendo otra persona desde que inició hasta que concluyó. 0LHQWUDVHVFXFKDVDRWURVLGHQWL¿FDVORV 0LHQWUDVHVFXFKDV DRWURVLGHQWL¿FDVORVSXQWRVHQFRP~Q\ORVTXHV SXQWRVHQFRP~Q\ORVTXHVRQGLIHUHQWHVD RQGLIHUHQWHVD
la forma en que tú piensas. Tomas nota de los puntos que no entiendes y haces preguntas. Escuchas los puntos expuestos por otros y tomas nota de todo lo que tú consideras necesario. Formulas preguntas a la persona que está haciendo una presentación, de modo que lo que está comunicando sea más claro para ti.
Capacidad para hacer presentaciones Nivel
0
Colorea el círculo si consideras que en general haces tus presentaciones ante la clase correctamente. Tu capacidad para hablar con claridad y usar correctamente el lenguaje. Tu capacidad para hablar usando expresiones que articulen tu discurso, como “en primer lugar” o “luego”. Tu capacidad para hablar y dar información usando diagramas, resúmenes y materiales manipulables. Tu capacidad para presentar verbalmente con claridad la conexión entre “lo que has entendido” y “las razones”. Tu capacidad para hablar de manera que quienes escuchan puedan entender. Tu capacidad para hablar considerando lo que otros han dicho.
El contenido de la lista pretende incluir las destrezas y habilidades que los alumnos requieren para su aprendizaje en el salón de clases. Mediante la información que proporcionan estas listas los alumnos comparten libremente con sus maestros cómo se ven a sí mismos en un momento dado. Esta relación se puede apreciar en el número de estrellas que los alumnos se auto asignan. Cada vez que los alumnos completan una de estas listas se les pide que tengan en mente la forma en que quisieran verse en el futuro. Generalmente ellos piensan que el siguiente paso es mejorar y esto les estimula para desarrollar actitudes positivas respecto a sus aprendizajes.
Esta lista fue tomada de: Isoda, M., Olfos, R. (2009). El Enfoque de Resolución de Problemas. En la Enseñanza de la matemática a partir del estudio de clases. EdiFLRQHV8QLYHUVLWDULDVGH9DOSDUDtVR3RQWL¿FLD8QLYHUVLGDG&DWyOLFDGH9DOSDUDtVR (Puede descargarse libremente http://www.criced.tsukuba.ac.jp/renkei/msa/ )
36
Geometría
Geometría
Parte IV Geometría
37
38 Geometría
)RUPDV 'LYLVLyQFRQUHVWR
5HÁH[LRQHV DGLFLRQDOHV Poliedro. Sólido geométrico limitado por planos. Prisma. Es un poliedro en el el que dos de sus caras son polígonos iguales situados en planos paralelos, y sus otras caras son paralelogramos.
En las páginas 60 a 63 del Tomo I de Matemáticas para la Educación Normal se plantea el tema GHODVIRUPDVJHRPpWULFDV6HLQLFLDFRQODLGHQWL¿FDFLyQGHODVIRUPDVGHFDMDVHQYDVHV\RWURV REMHWRVDWUDYpVGHODYLVWD\HOWDFWR En las imágenes que se presentan en la página 60 (Fig. 1SRGHPRVREVHUYDUTXHODDWHQFLyQ GHORVQLxRVVHFHQWUDHQODVFDUDVODWHUDOHV\EDVHVGHORVSULVPDVDVtFRPRHQODUHGRQGH]GH ODVHVIHUDV\ORVFLOLQGURV
Cilindro. Sólido limitado por WUHV VXS VXSHUÀF HUÀFLHV LHV XQDGH HOOD HOODV V es cilíndrica y dos son circulares planas y paralelas. Esfera. Sólido limitado por XQDVXSHUÀFLHHQHOTXHWRGRV sus puntos equidistan de un punto interior llamado centro. Triángulo. Figura cerrada cuyos límites son tres rectas. Cuadrilátero. Figura cerrada cuyos límites son cuatro rectas llamadas lados. Paralelogramo. Es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos. Rectángulo. Paralelogramo cuyos ángulos son rectos. Rombo. Paralelogramo cuyos cuatro lados son iguales. Cuadrado. Paralelogramo cuyos ángulos son rectos y sus cuatro lados tienen la misma ORQJLWXG(VWD ORQJLW XG(VWD ÀJXUDSHUWHQH ÀJXUDSHUWHQH-ce también a la clases de los rectángulos y los rombos.
Fig.1
(QOD SiJQ SiJQLQD LQD D DSDUW SDUWLUGH LUGH REMHW REMHWRVWULGLP RVWULGLPHQVL HQVLRQDOH RQDOHVORV VORV DOXP DOXPQRVFRQVW QRVFRQVWUX\ UX\HQ¿JXUDV HQ¿JXUDV SODQ SODQDV DV sobre cartoncillo (Fig. 2 \GHPDQHUDLPSOtFLWDKDFHQHOGHVDUUROORSODQRGHORVFXHUSRVJHRPp \GHPDQHUDLPSOtFLWDKDFHQHOGHVDUUROORSODQRGHORVFXHUSRVJHRPp tricos correspondientes. La estrategia didáctica de esta lección consiste en pasar del mundo tridimensional al bidimensional. En la págnina 63 (Fig. 3DOWUD]DUORVGHVDUUROORVSODQRVGHREMHWRVWULGLPHQVLRQDOHVVHKDFHQ VXUJLUODV¿JXUDVEiVLFDVGHODJHRPHW VXUJLUODV¿JXUDV EiVLFDVGHODJHRPHWUtDSODQDFXDGUDG UtDSODQDFXDGUDGRUHFWiQJXORWULiQ RUHFWiQJXORWULiQJXOR\FtUFXOR6LQ JXOR\FtUFXOR6LQHO HO XVRGHODUHJOD\HOFRPSiVORVDOXPQRVLQLFLDQODFRQVWUXFFLyQGH¿JXUDVJHRPpWULFDV
Círculo. Figura plana limitada por una curva cerrada cuyos puntos equidistan de un punto interior llamado centro.
Fig.2
Fig.3
'HDFXHUGRFRQODWHRUtDGH9DQ+LHOHORVDOXPQRVGHVDUUROODQXQDFRP 'HDFXHUGRFRQODWHRUtDGH9DQ+LHOHORVDOXPQRV GHVDUUROODQXQDFRPSUHQVLyQLQWHJU SUHQVLyQLQWHJUDOGHODV DOGHODV ¿JXUDVSHURQRDQDOtWLFDGHpVWDV(VGHFLUQRWLHQHQXQDLGHDFRPSOHWDGHODVSURSLHGDGHVTXH FDUDFWHUL]DQDXQD¿JXUDFRPRXQHOHPHQWRGHXQDFODVHJHQHUDO6LQHPEDUJRODVQRFLRQHVGH GHVFRPSRVLFLyQ\FRPSRVLFLyQGHODV¿JXUDVVHDERUGDQHQODVDFWLYLGDGHVGHHVWDOHFFLyQHVWR VHREVHUYDFXDQGRVHOHVSLGHUHFRQRFHUTXHORVFXHUSRVJHRPpWULFRVHVWiQOLPLWDGRVSRU¿JXUDV SODQDV\TXHSXHGHQFRQVWUXLUVHDSDUWLUGHVXVUHVSHFWLYRVGHVDUUROORVSODQRV
KWWSZZZPDWXVRQP[GHSWRGLSORPDGRVHFXQGDULDOHFWXUDVSGI http://www.mat.uson.mx/depto/diplomado/secundaria/lecturas.pdf
Geometría 39
Actividades que se sugieren para los futuros docentes 1.'HVFULEHFLQFRHMHPSORVGHFXHUSRVTXHVHDQSROLHGURV¢+D\SROLHGURVLUUHJXODUHV" 1.'HVFULEHFLQFRHMHPSORVGHFXHUSRVTXHVHDQSROLHGURV¢+D\SROLHGURVLUUHJXODUHV" 2.,QGDJDHQYDULDVIXHQWHVFXiOHVVRQORVVyOLGRVSODWyQLFRV\FyPRFRQVWUXLUVXVGH 2. ,QGDJDHQYDULDVIXHQWHVFXiOHVVRQORVVyOLGRVSODWyQLFRV\FyPRFRQVWUXLUVXVGHsarrollos planos. 3.¢4XpYHQWDMDVROLPLWDFLRQHVGLGiFWLFRPDWHPiWLFDVSUHVHQWDQODVSiJLQDVD 3. ¢4XpYHQWDMDVROLPLWDFLRQHVGLGiFWLFRPDWHPiWLFDVSUHVHQWDQODVSiJLQDVD SDUDXVDUVHFRPRODSULPHUDOHFFLyQGHJHRPHWUtD"'RFXPHQWDWXUHVSXHVWDFRQVXOWDQ-SDUDXVDUVHFRPRODSULPHUDOHFFLyQGHJHRPHWUtD"'RFXPHQWDWXUHVSXHVWDFRQVXOWDQ GRYDULDVIXHQWHVELEOLRJUi¿FDV\GHVSXpVGLVF~WHODFRQWXVFRPSDxHURV\WXSURIHVRU 4¢4XpYHQWDMDVGLGiFWLFDVSURSRUFLRQDHOKHFKRGHLQWURGXFLUODV¿JXUDVSODQDVDSDUWLU GHODH[SORUDFLyQLQWXLWLYDGHORVVyOLGRV"¢6HUtDPiVSURYHFKRVRKDFHUORHQVHQWLGR LQYHUVR"'RFXPHQWDWXUHVSXHVWDFRQVXOWDQGR LQYHUVR"'RFXP HQWDWXUHVSXHVWDFRQVXOWDQGRYDULDVIXHQWHVELEOLRJUi¿FDV YDULDVIXHQWHVELEOLRJUi¿FDV\GLVF~WHOD \GLVF~WHOD FRQWXVFRPSDxHURV\WXSURIHVRU'HVFULEHXQSULVPDDSDUWLUGHVXVFDUDV\EDVHV 5¢'HFXiQWDV¿JXUDVSODQDVGLIHUHQWHVHVWiFRQVWLWXLGRXQSULVPD" &RQVWUX\HHOGHVDUUROORGHGLIHUHQWHVSULVPDV 6.&RQVWUX\HHOGHVDUUROORGHGLIHUHQWHVSULVPDV 6. 7.'HVFULEHXQFLOLQGURDSDUWLUGHVXVFDUDV\EDVHV 7. 'HVFULEHXQFLOLQGURDSDUWLUGHVXVFDUDV\EDVHV 8.¢'HFXiQWDV¿JXUDVSODQDVGLIHUHQWHVHVWiFRQVWLWXLGRXQFLOLQGUR" 8. ¢'HFXiQWDV¿JXUDVSODQDVGLIHUHQWHVHVWiFRQVWLWXLGRXQFLOLQGUR" 9. &RQVWUX\HHOGHVDUUROORSODQRGHXQFLOLQGUR'LVFXWHGHWDOODGDPHQWHHOSURFHGLPLHQWR TXHWHFRQGXFHDFRQVWUXLUHOGHVDUUROORSODQRGHXQFLOLQGUR\ORVFRQRFLPLHQWRVJHRPp-TXHWHFRQGXFHDFRQVWUXLUHOGHVDUUROORSODQRGHXQFLOLQGUR\ORVFRQRFLPLHQWRVJHRPp WULFRVTXHHVWRLQYROXFUD 10.&RQVWUX\HXQFLOLQGURFX\DDOWXUDPLGD 10. &RQVWUX\HXQFLOLQGURFX\DDOWXUDPLGD cm\TXHHOUDG \TXHHOUDGLRGHVXEDV LRGHVXEDVHPLGD HPLGDcm. 11. ¢&RQFXiOHVGHORVVLJXLHQWHVGHVDUUROORVVHSXHGHFRQVWUXLUXQFXER"
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
K
i)
M
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
Geometría
&RQVWUXFFLyQGHFDMDV 0XOWLSOLFDFLyQ7DEODVGHPXOWLSOLFDU
5HÁH[LRQHV DGLFLRQDOHV
(QODVSiJLQDVDGHO7RPR,,,9RO VHDWLHQGHFyPRVHFRQVWUX\HQODVFDMDV
Al explorar estas páginas los alumnos ponen en acción varias capacidades, entre éstas, aquellas relacionadas con la habilidad de visualización.
&RPRDQWHFHGHQWHGHHVWDOHFFLyQVHWLHQH ODGH SUL SULPHU PHU JUD JUDGR GR ³)R ³)RUPD UPDV´ V´ \ HQHOOD ORV DOXPQR DOX PQRV V PD PDQLS QLSXOD XODURQ URQ FDM FDMDV DV UHF UHFWDQ WDQJXO JXODUH DUHV V UHFLSLHQWHVFLOtQGULFRV\REMHWRVHVIpULFRV
La actividad de visualizar LPSOLFDDOPHQRVGRVSURFHVRV
En la página 78 (Fig. 1HOSUREOHPDDUHVRO HOSUREOHPDDUHVRO-YHUSRUORVDOXPQRVHVODFRQVWUXFFLyQGHFD MDV UHFWDQJXODUHV (O SUREOHPD SUREOHPDHV HV UHOHYDQWH QR~QLFDPHQWHSRUTXHHODOXPQRUHSURGXFH XQDFDMDVLPLODUDRWUDWRPDGD XQDFDMDVLPLODU DRWUDWRPDGDFRPRPRGHOR FRPRPRGHOR VLQRWDPELpQSRUODVDFFLRQHV\SURFHGLPLHQ WRVHVSHFt¿FRVLQYROXFUDGRVHQODWDUHDSRU HMHPSO HMH PSOR R GHO GHOLQH LQHDU DU \ UHF UHFRUW RUWDU DU ODV FDU FDUDV DV SDU SDUD D GHWHUPLQDUODVFRQGLFLRQHVQHFHVDULDV\VX ¿FLHQWHVSDUDSRGHUDUPDUODFDMD(QVXPD VHWUDWDGHYLVXDOL]DUODGHVFRPSRVLFLyQGHOD Fig.2 FDMDHQVXVSDUWHVUHSURGXFLUHVWDVSDUWHV FDMDHQVXVSDUWHV UHSURGXFLUHVWDVSDUWHV\ \ GHVSXpVDFRSODUODVSDUDFRQVWUXLURWUDFDMD 7DQW DQWR R SDU SDUD D HO FXE FXER R D]X D]XO O GH OD LPD LPDJHQ JHQ GH similar al modelo. la página 80 como para los prismas de la DFWLYLGDGGHODSiJLQDFig. 3GDUUHV GDUUHV-SXHVWDDODVSUHJXQWDVVREUHFDUDVDULVWDV\ YpUWLFHVLPSOLFDSRQHU YpUWL FHVLPSOLFDSRQHU HQ MXHJR KDELOL KDELOLGDGHV GDGHV GH FRP FRPSUH SUHQVL QVLyQ yQ YLV YLVXDO XDO GH HVD HVDV V LPi LPiJHQ JHQHV HV SODQDV TXH HYRF HYRFDQ DQ IRUP IRUPDV DV WULGLP WULGLPHQVLR HQVLRQDOHV QDOHV KD\TXHH[WUDHULQIRUPDFLyQSDUDUHVSRQGHU lo que se pregunta. En el caso de la segunda DFWLYLGDGGHODSiJLQDKD\TXHFRPSOHWDU ODUHGGHSXQWRV\UHFWDV\KDFHUORGHIRUPD TXHDOLPDJLQDURUHDOL]DUHIHFWLYDPHQWHVX WUDQVIRUPDFLyQGREODUSRUODVOtQHDV\FHUUDU ODIRUPDVHGpOXJDUDXQDFDMD
1. Interpretación de la inforPDFLyQÀJXUDGD 2. Procesamiento visual. La interpretación de informaFLyQÀJXUDGDKDFHUHIHUHQFLD al proceso de comprensión e interpretación de las representaciones visuales, que implica extraer la información que contienen las imágenes. El procesamiento visual hace referencia a la interpretación GHLQIRUPDFLyQQRÀJXUDGDHQ imágenes, o bien al proceso de transformación de unas imágenes en otras. /D LQIRU LQIRUPDFLyQ PDFLyQ ÀJXUDGD es aquella que se expresa por medio de imágenes.
Puede observarse que ambos procesos de pensamiento están presentes cuando los alumnos se involucran en llevar a cabo las actividades de estas páginas. 1. Todas las imágenes deben ser comprendidas e interpretadas con base en lo que se DÀUPD DÀU PD R SU SUHJX HJXQW QWD D GH HO HOODV ODV además, debemos tener presente que la mayoría son imágenes planas que evocan formas tridimensionales. 2. Por otro lado, en la última imagen plana hay la indicación de completarla para que, al imaginar su transformación, conforme una caja tridimensional. Esto se ha denominado como procesamiento visual.
Fig.1
En la página 80 (Fig. 2 SXHGHREVHUYDUVH SXHGHREVHUYDUVH TXHODIRUPDGHODFDMDSHUWHQH TXHODIRUPD GHODFDMDSHUWHQHFHDODFODVH FHDODFODVH GHORVSROLHGURVHQSDUWLFXODUDORVSULVPDV rectos de base rectangular. Los poliedros se IRUPDQSRUFDUDVSODQDVSROLJRQDOHVDULVWDV \YpUWLFHV/D³FDMD´ \YpUWLF HV/D³FDMD´HVOD HVOD SULP SULPHUDIRUPD HUDIRUPDSR SR-liédrica que los alumnos conocen. Luego se KDFHUHIHUHQFLDDO³GDGR´F KDFHUHIHUHQFLD DO³GDGR´FX\DIRUPD X\DIRUPDFRUUHV FRUUHV-SRQGHDOSROLHGUROODPDGRFXERRKH[DHGUR regular. Cabe destacar que no se usan las Fig.3 denominaciones matemáticas de estas forPDV PDV VLQ VLQR R DTX DTXpOO pOODVTXH DVTXH HYR HYRFDQ FDQ ORPLVP ORPLVPR R \ TXHVRQVLJQL¿FDWLYDVSDUDHODOXPQR
Geometría
Actividades que se sugieren para los futuros docentes /DVVLJXLHQWHVLPiJHQHV /DVVLJXLHQW HVLPiJHQHVUHSUHVHQWD UHSUHVHQWDQXQFXHUSRO QXQFXHUSROODPDGRGRGHF ODPDGRGRGHFDHGUR DHGUR
1.¢&XiQWDVFDUDVDULVWDV\YpUWLFHVWLHQH" 1.¢&XiQWDVFDUDVDULVWDV\YpUWLFHVWLHQH" 2.'HPDQHUDVLPLODUDORSODQWHDGRHQODDFWLYLGDGGHODSiJLQDGLEXMDODUHGGH 2. 'HPDQHUDVLPLODUDORSODQWHDGRHQODDFWLYLGDGGHODSiJLQDGLEXMDODUHGGH SXQWRV\UHFWDVTXHGDQOXJD SXQWR V\UHFWDVTXHGDQOXJDUD UD XQDSODQW XQDSODQWLOODGHXQDVRODSLH] LOODGHXQDVRODSLH]DFRQODFXDOVHSXHGD DFRQODFXDOVHSXHGD armar el dodecaedro. /DVLJXLHQWHHVODLPDJHQGHXQLFRVDHGU /DVLJXLHQWHHVODLPDJHQGH XQLFRVDHGURVXVFDU RVXVFDUDVVRQWULi DVVRQWULiQJXORVHTXLOiWH QJXORVHTXLOiWHURV URV 3.¢&XiQWDVFDUDVDULVWDV\YpUWLFHVWLHQHHOLFRVDHGUR" 3. ¢&XiQWDVFDUDVDULVWDV\YpUWLFHVWLHQHHOLFRVDHGUR"
4.¢6HSXHGH 4. ¢6HSXHGHDUPDUGHIRU DUPDUGHIRUPDFRPS PDFRPSOHWDXQLFRVD OHWDXQLFRVDHGURFRQODV HGURFRQODVLJXLHQWHSODQWLOO LJXLHQWHSODQWLOOD" D"
42 Geometría
&tUFXORV\HVIHUDV
5HÁH[LRQHV DGLFLRQDOHV Los cuerpos geométricos existen en la realidad o pueden concebirse mentalmente y están FRPSXHVWRVSRUÀJXUDVJHRPpWULFDV2FXSDQXQOXJDUHQHOHV-WULFDV2FXSDQXQOXJDUHQHOHV pacio, por lo tanto cuentan con tres dimensiones: alto, ancho y ODUJR/RVFXHUSRVJHRPpWULFRV VH SX SXHG HGHQ HQ FO FODV DVLÀ LÀFDU FDU HQ poliedros o cuerpos redondos. Los cuerpos redondos son aquellos que tienen al menos una de sus FDUD FD UDV V R VX VXSH SHUÀ UÀFL FLHV HV GH IR IRUP UPD D curva. Entre los más conocidos VH HQ HQFX FXHQW HQWUD UDQ Q OD HV HVIH IHUD UD FR FRQR QR FLOLQGURHVIHURLGH\WRUR/D esferaHVXQFXHUSRJHRPpWULFROL HVXQFXHUSRJHRPpWULFROL-PLWDGRSRUXQDVXSHUÀFLHFXUYD cerrada cuyos puntos equidistan de un punto interior llamado FHQWURGHODHVIHUD8Qcono recto es un sólido de reYROX YR OXFL XFFLyQ yQ JH JHQH QHUD UDGR GR SR SRU U HHO JLU JLUR J R GH XQ WUL WULiQJX iQJXOR OR UHFW UH FWiQ iQJX JXOR OR DO DOUH UHGH GHGR GRU U de uno de sus catetos. $OFtUFXORFRQIRUPD-$OFtUFXORFRQIRUPD do por el otro cateto se denomina base y al punto donde FRQÁX\HQODVJHQHUDWULFHVVHOH OODPDYpUWLFH Un cilindro es la superÀFLH ÀF LH IR IRUP UPDG DGD D SR SRU U OR ORV V puntos situados a una GLVW GL VWDQ DQFL FLD D ÀM ÀMD D GH XQ XQD D OtQHDUHFWDGDGDHOHMH del cilindro. (QJHRPHWUtDXQ toro HVXQDVXSHUÀFLHGHUHYROXFLyQ JHQHUDGDSRUXQDFLUFXQIHUHQFLD TXHJLUDDOUHGHGRUGHXQDUHFWD exterior coplanaria (que está en su plano y no la corta). La palabra “toro” proviene del vocablo en latín torusFX\RVLJQLÀFDGR en castellano es “bocel” o “murecillo”, que se trata de una moldura redondeada de la basa, con IRUPDGHKRJD]DGHSDQ
(QODVSiJLQDVDGHO7RPR,99ROVH DERUGDHOWHPDGHORVFtUFX DERUGD HOWHPDGHORVFtUFXORV\ODVHVIHU ORV\ODVHVIHUDV(O DV(O UHSDVRTXHVHKDFHHQHVWDOHFFLyQUHWRPDHO FRQRFLPLHQWRTXHORVQLxRVWLHQHQVREUHORVRE MHWRV MHW RVUHG UHGRQG RQGRV RVRF RFLUF LUFXOD XODUHV UHVF FRQ RQEDV EDVHH HHQH QHOU OUHFR HFRQRFLPLHQWRGHODVIRUPDV QRFLPLHQWRGH ODVIRUPDVFXUYDVTXH FXUYDVTXHSUHVHQWDQ SUHVHQWDQ /RV DOX DOXPQ PQRV RV GHE GHEHUi HUiQ Q GLV GLVWLQ WLQJXL JXLU U ~QL ~QLFDP FDPHQW HQWH H ORVFXHUSRVUHGRQGRVTXHWLHQHQDOPHQRVXQD GHVXVFDUDVGHIRUPDFXUYDFRPRHOFRQRHO FLOLQGURRODHVIHUD &RQHVWRVHMHUFLFLRVVH &RQHVWRV HMHUFLFLRVVHSUHWHQGHTXHORV SUHWHQGHTXHORVQLxRV QLxRV REVHUYHQODV¿JXUDVTXHDSDUHFHQHQODSiJLQD \OXHJRVHOHVSLGHTXHODVGHVFULEDQSRUVXDSD-\OXHJRVHOHVSLGHTXHODVGHVFULEDQSRUVXDSD ULHQFLDVHOHVSUHJXQWDVLODVFRQRFHQ\FyPR HVTXHODVFRQRFHQ $ FRQ FRQWLQ WLQXDF XDFLyQ LyQ ORV QLx QLxRV RV GHV GHVFUL FULELU ELUiQODV¿JX iQODV¿JX-UDVSRUVXVSURSLHGDGHVFXHVWLRQiQGROHV¢SDUD TXpVLUYHQ"¢TXpIRUPDWLHQHQ"'HVSXpVVHOHV SLGHTXHFODVL¿TXH SLGHTXHFODV L¿TXHQREMHWRV QREMHWRVGHVXHQWRUQRTXH GHVXHQWRUQRTXH SRVHDQFDUDFWHUtVWLFDVVLPLODUHV 6H HVSHUD 6HHVSHU D TXH TXHORV ORVDOXPQ DOXPQRV RVLGHQWL LGHQWL¿TXHQ ¿TXHQ TXH ODVWDSDVGHORVIUDVFRV ODVWDSDV GHORVIUDVFRV\VXVEDVHV \VXVEDVHVDVtFRPR DVtFRPR ODVFDUDVGHOUHORMVRQVXSHU¿FLHVSODQDVUHGRQGDV6HLQGXFHTXHFRQFOX\DQTXHORVREMHWRV GHODVLOXVWUDFLRQHVVRQFXHUSRVSXHVRFXSDQ XQOXJDUHQHOHVSDFLR\TXHWLHQHQWUHVGLPHQ-XQOXJDUHQHOHVSDFLR\TXHWLHQHQWUHVGLPHQ VLRQHVDOWXUDDQFKR\ODUJR
Fig. 1
(QODSiJLQDFig. 1REVHUYDPRVTXHODV SHOR SH ORWD WDV V UH UHSU SUHV HVHQ HQWD WDQ Q D OD HV HVIH IHUD UD OR ORV V IU IUDV DVFR FRV V WLHQHQXQDFDUDFXUYDHOUHORMWLHQHGRVEDVHV FLUFXODUHV\XQDDOWXUDODVOODQWDVGHODELFLFOHWD UHSUHVHQWDQHOFXHUSRJHRPpWULFRGHQRPLQDGR ³WRUR´\XQERWHLOXVWUDDOFLOLQGUR Fig. 2
3DUDGLVWL 3DUD GLVWLQJXLU QJXLU HVWRV FXHUS FXHUSRV RVGH GH ODV ODVVXSH VXSHU¿ U¿-FLHVSODQDV UHG FLHVSODQDV UHGRQG RQGDVVHSLGHD DVVHSLGHD ORV QLx QLxRVTXH RVTXH GLEXMHQXQFtUFXORFig. 2 )
Actividades que se sugieren para los futuros docentes 8Q círculoHVHOOXJDUJHRPp HVHOOXJDUJHRPp-trico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto ÀMR ÀM R OO OODP DPDG DGR R FH FHQW QWUR UR HV LJ LJXD XDO O TXHODORQJLWXGGHOUDGLR(VHO FRQMXQ FRQ MXQWR WR GH ORV SXQ SXQWRV WRV GH XQ plano que se encuentran dentro GHXQDFLUFXQIHUHQFLD$XQTXH ambos conceptos están relacioQDGRV QDG RV QR GHE GHEH H FRQ FRQIXQ IXQGLU GLUVH VH OD FLUFXQIHUHQFLDOtQHDFXU FLUFXQIHUHQFLD OtQHDFXUYDFRQ YDFRQ HOFtUFXORVXSHUÀFLH
1,QGDJDHQY ,QGDJDHQYDULDVIXHQWHVELEOLRJUi¿FDVOD DULDVIXHQWHVELEOLRJUi¿FDVODIRUPDHQTXH IRUPDHQTXHVHGH¿QH³F VHGH¿QH³FXHUSR´ XHUSR´ en geometría. 2.([SOLFDFRQWXVSURSLDVSDODEUDVDTXpVHGHQRPLQD³FXHUSRVUHGRQGRV´ 2. ([SOLFDFRQWXVSURSLDVSDODEUDVDTXpVHGHQRPLQD³FXHUSRVUHGRQGRV´ 3.¢4XpYHQWDMDGLGiFWLFDRIUHFHHOKHFKRGHLQLFLDUHOHVWXGLRGHORVFtUFX 3. ¢4XpYHQWDMDGLGiFWLFDRIUHFHHOKHFKRGHLQLFLDUHOHVWXGLRGHORVFtUFX ORV\ODVHVIHUDVDSDUWLUGHTXHORVQLxRVUHFRQR]FDQORVFXHUSRVUHGRQ-ORV\ODVHVIHUDVDSDUWLUGHTXHORVQLxRVUHFRQR]FDQORVFXHUSRVUHGRQ GRVSDUDGLIHUHQFLDUORV\GHDKtSDVDUDODVVXSHU¿FLHVFXUYDV"$UJXPHQWD WXUHVSXHVWDWDQVyOLGDPHQWHFRPRWHVHDSRVLEOH 4.¢4XpVLWXDFLyQGLGiFWLFDSURSRQGUtDVSDUDTXHORVQLxRVGHGX]FDQODV 4. ¢4XpVLWXDFLyQGLGiFWLFDSURSRQGUtDVSDUDTXHORVQLxRVGHGX]FDQODV SURSLHGDGHVGHORVFXHUSRVJHRPpWULFRVUHGRQGRV\GLVWLQJDQODGLIHUHQFLD HQWUHpVWRV\ODVFXUYDVSODQDV"
Geometría 43
&tUFXORV\HVIHUDV (QODSiJLQDGHO7RPR,99ROORVQLxRVHQIUHQWDQXQDVLWXDFLyQSUREOHPiWLFDDOSDUWLFL SDUHQHOMXHJRGHODVDUJROODVFig.1 VHWUDWDGHTXHODV GHTXHODVODQFHQGHP ODQFHQGHPDQHUDTXHTXHGHQ DQHUDTXHTXHGHQDWUD DWUDFig.1VHWUDWD SDGDVDOFDHUVREUHXQDHVWDFDF SDGDVDOFDHUV REUHXQDHVWDFDFRORFDGDHQHOSLVR/ RORFDGDHQHOSLVR/RVQLxRVGHEHQGHFLGLU RVQLxRVGHEHQGHFLGLUFyPRFRORFDUV FyPRFRORFDUVH H SDUDTXHWRGRVWHQJDQODPLV SDUDTXHWRGRV WHQJDQODPLVPDRSRUWXQLGDGGH PDRSRUWXQLGDGGHDFHUWDUFXDQGR DFHUWDUFXDQGRHVWiQDOUHGHGRU HVWiQDOUHGHGRUGHODHVWDFD GHODHVWDFD HVGHFLUTXHHVWpQDODPLVPDGLVWDQF HVGHFLU TXHHVWpQDODPLVPDGLVWDQFLDGHODHVWDFDDOPRPHQWRGHODQ] LDGHODHVWDFDDOPRPHQWRGHODQ]DUODVDUJROODV DUODVDUJROODV (QHOHMHPSORGHOOLEURORVQLxRVGHFLGHQFRORFDUVHIRUPDQGRXQDHVWUHOOD\VHDUJXPHQWD SRUTXpQRHVODPHMRURSFLyQSRVWHULRUPHQWHVHFRORFDQHQOtQHDUHFWD\REVHUYDQTXHORV QLxRVTXHVHHQFXHQWUDQHQORVH[WUHPRVWLHQHQPHQRVRSRUWXQLGDGGHGDUHQHOEODQFR/R PLVPRVXFHGHFXDQGRVHRUJDQL]DQIRUPDQGRXQFXDGUDGRORVSHTXHxRVTXHVHHQFXHQWUDQ HQODVHVTXLQDVQRHVWiQDODPLVPDGLVWDQFLDTXHHOUHVWRGHVXVFRPSDxHULWRV(OMXHJR LPSOLFDDFFLRQHVGHHQVD\R\HUURU
5HÁH[LRQHV DGLFLRQDOHV El círculoHVXQDVXSHUÀFLH plana que está limitada por XQDFLUFXQIHUHQFLD
r a d i o
arco centro
t r o m e d i á
El círculo comparte con la FLUFXQIHUHQFL FLUFXQI HUHQFLD D VXV HOHPHQ HOHPHQ-tos principales: el centro, el radio, el diámetro, el arco. 8QD circunferencia es el FRQMXQWRGHWRGRVORVSXQ-FRQMXQWRGHWRGRVORVSXQ tos de un plano que equiGLVWDQ GLV WDQ GHRWURSXQWRÀMR\ coplanar llamado centro. /DFLUFXQIHUHQFLDHVXQDOt nea curva, plana y cerrada, TXHVyORSRVHHORQJLWXG6H GLVWLQJXHGHOFtUFXORHQTXH pVWHHVHOFRQMXQWRIRUPDGR por los puntos que están en HOLQWHULRUGHXQDFLUFXQIH-HOLQWHULRUGHXQDFLUFXQIH rencia; es decir, la circunIHUHQFLDHVHOSHUtPHWURGHO círculo.
&LUFXQIHUHQFLD
Círculo
Fig.1
Actividades que se sugieren para los futuros docentes 1.([SOLFDFRQWXVSURSLDVSDODEUDVODGLIHUHQFLDHQWUHFtUFXOR\HVIHUD 1.([SOLFDFRQWXVSURSLDVSDODEUDVODGLIHUHQFLDHQWUHFtUFXOR\HVIHUD 2.¢&XiOHVODLQW 2. ¢&XiOHVODLQWHQFLyQGLGiFW HQFLyQGLGiFWLFDGHSUHVHQ LFDGHSUHVHQWDUDORVQLxRV WDUDORVQLxRVGLIHUHQWHVIRU GLIHUHQWHVIRUPDVGHRUJDQ PDVGHRUJDQL]DUVHSiJ L]DUVHSiJLQDSDUD LQDSDUD JDUDQWL]DUTXHWRGRVWHQJ JDUDQWL]DU TXHWRGRVWHQJDQODPLVP DQODPLVPDRSRUWXQLGDG DRSRUWXQLGDGGHGDUHQHOEODQ GHGDUHQHOEODQFRHQHOMXHJR FRHQHOMXHJRGHODVDUJROOD GHODVDUJROODV" V"
44 Geometría
&tUFXORV\HVIHUDV
5HÁH[LRQHV DGLFLRQDOHV El círculo comparte con la FLUFXQIHUHQFLDTXHORGHOLPL-FLUFXQIHUHQFLDTXHORGHOLPL WDORVVLJXLHQWHVHOHPHQWRV Centro: el punto interior equidistante de todos los SXQWRVGHODFLUFXQIHUHQFLD Radio VHJ VHJPHQ PHQWR WR TXH XQH el centro con un punto cualTXLHUDGHODFLUFXQIHUHQFLD Diámetro HO PD PD\R \RU U VH VHJ Jmento que une dos puntos de OD FLUFXQ FLUFXQIHUHQFL IHUHQFLD D QHFHVD QHFHVDULD ULD-mente pasa por el centro). CuerdaVHJPHQWRTXHXQH GRVSXQWRVGHODFLUFXQIHUHQ-GRVSXQWRVGHODFLUFXQIHUHQ FLD FLD ODV FXH FXHUGDV UGDV GH ORQ ORQJLW JLWXG XG máxima son los diámetros. Recta secante: corta a la FLUFXQIHUHQFLDHQGRVSXQWRV Recta tangente: toca a la cirFXQIHUHQFLDHQXQVyORSXQWR Punto de tangencia: el punto de contacto de la recta tanJHQWHFRQODFLUFXQIHUHQFLD Arco: HO VH VHJP JPHQW HQWR R FXU FXUYL YL-líneo determinado por dos puntos que pertenecen a la FLUFXQIHUHQFLD Semicircunferencia: cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.
a e r d c u
(QODSiJLQDGHO7RPR,99ROVHSXHGHYHUTXH¿QDOPHQWHORVDOXPQRVGHFLGHQ RUJDQL]DUVHSDUDIRUPDUXQDUXHGDFig. 1 SRUTXHHVWROHVSHUPLWHHVWDUD SRUTXHHVWROHV SHUPLWHHVWDUDODPLVPDGLV ODPLVPDGLVWDQFLDGHODHVWDFD (QODOHFFLyQVHIRUPDOL]DHVWDVROXFLyQDO PHQFLRQDUTXHDODUXHGDTXHIRUPDURQVHOH OODPDFLUFXQIHUHQFLD 6HPXHVWUDTXHODIRUPDUHGRQGDTXHVH SRSXVRSXHGHFRQVWUXLUVH SRSXVRSXHGH FRQVWUXLUVHGLEXMDQGRXQF GLEXMDQGRXQFRQ RQ- MXQWR GH SXQWRV SXQWRVFX\DGLVWDQFLD FX\DGLVWDQFLD D RWUR SXQWR Fig. 1 GDGROODPDGRFHQWUR GDGROODP DGRFHQWURHVVLHPSUHODPLVPD HVVLHPSUHODPLVPD (VDGLVWDQFLDROtQHDTXHVHIRUPDVHGHQR PLQD PLQ D UDG UDGLR LR TXH KDF KDFLpQ LpQGRO GROR R JLU JLUDU DU GHV GHVGH GH HO FHQWURYDHVER]DQGRXQDFLUFXQIHUHQFLD 6HLQGXFH ODLGHDHQ ORV DOX 6HLQGXFH DOXPQR PQRVGH VGH TXH SXHG SX HGHQ HQ IR IRUP UPDU DU Ft FtUF UFXO XORV RV Fig.2 XW XWLO LOL] L]DQ DQGR GR XQDWDFKXHODFRPRSXQWRGHDSR\RFHQWUR DOKDFHUJLUDUXQDWLUDGHSDSHORXQKLOR\ DSR\iQGRVHFRQXQOiSL]SDUDWHQVDUHOKLORR VXMHWDUHOWUR]RGHSDSHO\WUD]DUORVFtUFXORV
e t e n t s e c a
WDQJHQWH
Fig. 2
Actividades que se sugieren para los futuros docentes 1¢ ¢&yP &yPRH[ RH[SOLF SOLFDUtD DUtDVD VDXQ XQDOXP DOXPQRG QRGHF HFXDUW XDUWRJU RJUDGR DGRFX FXiOH iOHVO VODGL DGLIHUH IHUHQFL QFLDHQ DHQWUH WUHFtU FtUFXO FXOR\ R\FL FLUFX UFXQIH QIHUHQF UHQFLD" LD" $UJXPHQWDWXUHVSXHV $UJXPHQWDWX UHVSXHVWDWDQD WDWDQDPSOLDP PSOLDPHQWHFR HQWHFRPRWH PRWHVHDSRV VHDSRVLEOH\ LEOH\GLVF~W GLVF~WHODFRQ HODFRQWXVF WXVFRPSDxHU RPSDxHURV\ RV\WXSURIH WXSURIHVRU VRU 2.¢&XiOHVVRQORVHOHPHQWRVTXHFRPSDUWHQHOFtUFXOR\ODFLUFXQIHUHQFLD" 2. ¢&XiOHVVRQORVHOHPHQWRVTXHFRPSDUWHQHOFtUFXOR\ODFLUFXQIHUHQFLD" 3. ¢4XpSURSLHGDGFRP~QSRVHHQWRGRVORVUDGLRVGHXQDFLUFXQIHUHQFLD" 4.¢4XpSURSLHGDGFRP~QSRVHHQWRGRVORVGLiPHWURVGHXQDFLUFXQIHUHQFLD" 4. ¢4XpSURSLHGDGFRP~QSRVHHQWRGRVORVGLiPHWURVGHXQDFLUFXQIHUHQFLD" 5.¢&yPRVHOODPDDODOtQHDTXHFRUWDDODFLUFXQIHUHQFLDHQGRVSXQWRV" 5. ¢&yPRVHOODPDDODOtQHDTXHFRUWDDODFLUFXQIHUHQFLDHQGRVSXQWRV" 6.¢&XiOHVHOQRPEUHGHOVHJPHQWRTXHXQHGRVSXQWRVGHODFLUFXQIHUHQFLD" 6. ¢&XiOHVHOQRPEUHGHOVHJPHQWRTXHXQHGRVSXQWRVGHODFLUFXQIHUHQFLD" 7.,QGDJDTXpUHODFLyQJHRPpWULFDH[LVWHHQWUHHOUDGLRGHXQDFLUFXQIHUHQFLD\ODWDQJHQWHHQHOSXQWRGHOD 7. ,QGDJDTXpUHODFLyQJHRPpWULFDH[LVWHHQWUHHOUDGLRGHXQDFLUFXQIHUHQFLD\ODWDQJHQWHHQHOSXQWRGHOD FLUFXQIHUHQFLDTXHGHWHUPLQDHVHUDGLR 8.,QGDJDFyPRFRQVWUXLUODWDQJHQWHDXQDFLUFXQIHUHQFLDHQXQSXQWRGDGRXVDQGRODUHJOD\HOFRPSiV 8. ,QGDJDFyPRFRQVWUXLUODWDQJHQWHDXQDFLUFXQIHUHQFLDHQXQSXQWRGDGRXVDQGRODUHJOD\HOFRPSiV 9.¢&yPRVHGHQRPLQDHOVHJPHQWRFXUYLOtQHRGHWHUPLQDGRSRUGRVSXQWRVGHODFLUFXQIHUHQFLD" 9. ¢&yPRVHGHQRPLQDHOVHJPHQWRFXUYLOtQHRGHWHUPLQDGRSRUGRVSXQWRVGHODFLUFXQIHUHQFLD" 10.¢&XiOHVVHUtDQODVOLPLWDFLRQHVGLGiFWLFDVVLVHXWLOL]DQORVWpUPLQRVFtUFXOR\FLUFXQIHUHQFLDGHPDQHUDLQ 10. ¢&XiOHVVHUtDQODVOLPLWDFLRQHVGLGiFWLFDVVLVHXWLOL]DQORVWpUPLQRVFtUFXOR\FLUFXQIHUHQFLDGHPDQHUDLQ GLVWLQWD"'LVFXWHWXUHVSXHVWDFRQWXVFRPSDxHURV\WXSURIHVRU
Geometría 45
46 Geometría
&RQFHSWRGHFLUFXQIHUHQFLD 'LYLVLyQFRQUHVWR 5HÁH[LRQHV DGLFLRQDOHV La siguiente fórmula es un modo de ver la construcción conceptual que se desarrolla en estas páginas:
1. Se plantea un problema VLJQLÀFDWLYRSDUDHODOXPQR 2. La solución conduce a conceptualizar algún objeto geométrico o relación entre REMHWRVJHRPpWULFRV 3. Se presentan casos que ilustran el concepto que se está construyendo, junto con los casos que no satisfacen el FRQFHSWR
Fig.1
En las páginas 17 a 21 del Tomo IV, Vol. 1 se aborda el concepto de circunferencia.
En la página 19 (Fig. 3) se plantea en la actividad 2 un problema y tres respuestas, al reproducir las hojas y recortar el papel, la correcta será la de Yoshio, porque sólo en ésta se puede comprobar que los puntos de la periferia se encuentran a la misma distancia del punto de intersección de los dobleces de la hoja (que es el centro de la circunferencia). Los otros casos son importantes porque muestran ejemplos que no producirán la forma redonda que se solicita hacer. La estrategia de presentar casos que ilustran un concepto y casos que no lo ilustran es de mucha importancia para la formación de conceptos.
La página 17 inicia con el planteamiento del siguiente problema: ¿cómo deberán colocarse los niños para que al tirar la argolla todos tengan la misma oportunidad de ensartarla en el poste azul? (Fig. 1).
4.6HGDQRPEUH\VHGHÀQH HOFRQFHSWR 5. Se construyen casos que ilustran al concepto y se reconocen en el entorno casos que lo ilustran y que no lo LOXVWUDQ 6. Se procede a ampliar el VLJQLÀFDGRGHOFRQFHSWR
Fig.3 Esta es la secuencia que se ve en estas páginas para la construcción conceptual y que se volverá a aplicar sucesivamente en otras partes del texto HQORVWHPDVGHJHRPHWUtD
Fig.2
Para que el juego sea equitativo, la única YDULDEOHVLJQL¿FDWLYDHVODGLVWDQFLDGHVGHOD cual se lanza la argolla, ya que otras como estatura, fuerza, longitud de los brazos, etc., más o menos están controladas por ser los niños y niñas de la misma estatura, edad y complexión. En la página 18 se encuentra la solución: colocar a los niños en torno del poste azul y a la misma distancia de él (Fig. 2 ). ). Las siguientes dos imágenes de esa página generalizan la idea abstrayéndola de su contexto y UHSUHVHQWiQGRODFRQXQD¿JXUDJHRPpWULFDD ODFXDOOODPDQHQODOHFFLyQ³¿JXUDUHGRQGD´ aún no se le conoce como circunferencia.
$UHQJOyQ VHJXLGR VH GH¿QH \ GHQRPLQD el concepto de circunferencia. Se enseña a los alumnos cómo trazar circunferencias con compás, instrumento que construye conjuntos de puntos equidistantes del punto donde VHDSR\DHOFXDOHVMXVWDPHQWHODGH¿QLFLyQ de circunferencia. diámetro 'HVSXpVGHGH¿QLUHOFRQFHSWRGHdiámetro en la página 21 (Fig. 4) se pide a los alumnos completar enunciados acerca de varias relaciones entre diámetro y circunferencia que proporcionan una ampliación del concepto de diámetro: su punto medio es el centro de la circunferencia, es un eje de simetría, es la cuerda de mayor longitud. Finalmente, se plantea el problema de reproducir una circunferencia, este es un problema clásico de la geometría.
Fig.4
Geometría 47
Actividades que se sugieren para los futuros docentes 1. Dos diámetros diferentes de una circunferencia se intersectan es un punto. ¿Qué VLJQL¿FDpVWHHQWpUPLQRVGHODFLUFXQIHUHQFLD"$UJXPHQWDWXUHVSXHVWD\GLVF~WHODFRQ tus compañeros y tu profesor. 2. La siguiente imagen fue tomada de la página 21, las líneas rojas son cuerdas trazadas desde un mismo punto. Traza una circunferencia en una hoja y desde un mismo punto (como en la imagen) traza muchas cuerdas, después localiza y marca con color rojo los puntos medios de las cuerdas trazadas. a) ¿Qué forma evoca la curva que describen los puntos medios de las cuerdas? b)¢&yPRSRGUtDVYHUL¿FDUTXHHVDHVODIRUPDTXHSDUHFHQHYRFDUORVSXQWRVPHGLRV" b) ¢&yPRSRGUtDVYHUL¿FDUTXHHVDHVODIRUPDTXHSDUHFHQHYRFDUORVSXQWRVPHGLRV" Notas: Se llama cuerda de una circunferencia a cualquier segmento de recta cuyos puntos extremos están en la circunferencia. Se llama punto medio de un segmento al punto del segmento que lo divide por la mitad. 3. En la actividad 7 de la página 21, en la pregunta 2 se plantea cómo encontrar el centro de una circunferencia cuando no se le conoce, o bien no está marcado en la imagen. En la imagen del texto un chico sugiere: “Recorta el círculo y examínalo. Si lo doblamos SDUDKDFHUGRVVHFFLRQHVLJXDOHV«´ a) Encuentra la solución al problema aplicando esta sugerencia. b) Argumenta la solución y busca en un texto de geometría su sustento.
48 Geometría
ÉQJXORV 0XOWLSOLFDFLyQ7DEODVGHPXOWLSOLFDU 5HÁH[LRQHV DGLFLRQDOHV
En las páginas 59 a 63 del Tomo IV, Vol. 1 se integra el concepto de ángulo.
Concepto de medida: Por medición se entiende el proceso por medio del cual asignamos un número a una magnitud física de algún ob jeto o conjunto conjunto de de objetos con SURSyVLWRVGHFRPSDUDFLyQ
Como antecedente a esta lección, en la página 20 del Tomo III Vol. 2, se estudió la GH¿QLFLyQGHiQJXORUHFWR/DFXDOQRVHIXQda en la idea de medida, sino en la acción de girar en la comparación con un modelo llamado ángulo recto.
El nombre de medida se usa para denotar el número de unidades que corresponden a ODPDJQLWXGTXHVHPLGH
En la página 59 del Tomo IV, Vol. 1, se de¿QHSRUSULPHUDYH]ODIRUPDiQJXOR\HQODV siguientes dos páginas se plantea al alumno HO SUR SUREOH EOHPD PD GH FRP FRPSDU SDUDU DU ³iQ ³iQJXO JXORV´ RV´ SRU VX WDPDxR WDP DxR (V GHF GHFLU LU FXD FXDQWL QWL¿FD ¿FDU U HO WDP WDPDxR DxR GH los ángulos, medirlos relacionándolos con otros. Posteriormente se aborda la cuestión de cómo asociar a cada ángulo un número que sea su medida y además que se cumpla un aspecto fundamental: si dos ángulos tienen diferente tamaño, deberán tener también medidas diferentes. En el fondo este es el problema que se plantea al alumno al preguntarle sobre cuál animal tiene más abierta la boca y cuál menos, y que los ordene según el tamaño del ángulo formado por sus bocas abiertas (Fig. 1).
La medida cuenta con las siguientes propiedades: /D PH PHGL GLGD GD GH GHOO WR WRGR GR HV igual a la suma de las mediGDVGHFDGDXQDGHVXVSDUWHV /D PHGL PHGLGDHV GDHV VLH VLHPSU PSUH H XQ Q~PHURPD\RURLJXDODFHUR (QLJXDOG (QLJXDOGDG DG GHFRQGLF GHFRQGLFLR LR-nes de realización de una medición, la repetición de ésta GDUHVXOWDGRVLJXDOHV
Medición directa: Es un proceso visual que consiste en hacer una comparación directa de la cualidad de un objeto con una unidad de meGLGDHVWiQGDU Medición indirecta: Hay propiedades físicas que no pueden medirse de forma directa como la temperatura, la presión atmosférica, la veORFLGDGHWF3DUDPHGLUODVVH debe utilizar instrumentos de medición indirecta, como el termómetro, el manómetro o HOYHORFtPHWUR El transportador es un instrumento que cuenta con una escala para medir ángulos de PDQHUDGLUHFWD La medida de los ángulos, FRPRVHGHÀQHHQHVWDVSiJLQDV cumple las tres propiedades que WRGDPHGLGDGHEHVDWLVIDFHU
Fig.1
En la página 62 (Fig. 3) se ve que las ideas GH +LU +LURVK RVKL L \ 0DV 0DVDNR DNR WLH WLHQHQ QHQ OD ¿QD ¿QDOLG OLGDG DG GH Fig.2 proponer un patrón con respecto al cual comparar los casos concretos: cuántas veces cabe el patrón en un ángulo dado, ¿la mitad, un tercio, dos veces, tres y media veces…? La idea de Masako consiste en crear un instrumento que permita una mejor apreciación de las comparaciones que se pide hacer. En la página 63 se introduce el patrón de medida para los ángulos, patrón universalmente aceptado, así como el instrumento para medirlos. En la página 66 (Fig. 4) se enseña cómo construir ángulos con medidas dadas.
Fig.3
De esta forma se da solución al problema de medir ángulos mediante un sistema que a todo ángulo le asigna un único número como su medida y a los ángulos con diferente abertura les asigna diferentes medidas.
Fig.4
Geometría 49
Actividades que se sugieren para los futuros docentes 1. En estas páginas se pretende que los alumnos aprendan a medir ángulos con el WUDQVSRUWDGRU8WLOL] WUDQVSRUWDGR U8WLOL]DiQJXORVHVSHFt¿F DiQJXORVHVSHFt¿FRVSDUDHMHPSOL¿F RVSDUDHMHPSOL¿FDUTXHODPHGLFLyQGHiQJXORV DUTXHODPHGLFLyQGHiQJXORV así realizada satisface las tres propiedades que toda medida debe cumplir. 2. Supongamos que alguien inventó un método para medir ángulos basado en el área que éstos encierran. Este método se ilustra en OD¿JXUDGHODGHUHFKD A una distancia de un centímetro del vértice del ángulo, se traza sobre uno de sus lados el segmento perpendicular a él. El área del triángulo así formado será la medida del ángulo. En este caso es: 0HGLGDGHȕòFPîGòG (ODXWRUGHOPpWRGRD¿UPDTXHHVWDPHGLGDVLHPSUHHVXQ número positivo. Argumenta por qué los resultados de este procedimient procedimiento o no cumplen las propiedades que debe tener una medida. 3. A la luz de las tres propiedade propiedades s que toda medida debe cumplir, comenta casos de otras medidas, como: temperatura, longitud, volumen, peso, etc.
50 Geometría
&ODVLÀFDFLyQGHWULiQJXORV y solamente si se cuelga del vértice formado por los popotes del mismo color el lado opuesto estará en posición horizontal. 3. Si un triángulo está formado por popotes de diferente color, todos sus lados serán de diferente longitud y en ningún caso al colgar el triángulo de uno de sus vértices el lado opuesto será horizontal. Los comportamientos enlistados se muestran en el método de la maestra y en el de Hiroshi (Fig. 3).
5HÁH[LRQHV DGLFLRQDOHV Un aspecto notable en esta forma de abordar el concepto de triángulo y sus diferentes tipos es el papel que se le hace jugar a la fuerza de gravedad, gravedad, o de otra manera, al peso de ORV OR V FX FXHU HUSR SRV V (Q HI HIHF HFWR WR los popotes de la misma longitud pesan lo mismo mismo Por lo tanto: 6L XQ WU WULi LiQJ QJXO XOR R VH IR IRUP UPD D con tres popotes del mismo tamaño, entonces al colgarlo por cualquiera de sus vértices, éste quedará en equilibrio con VXEDVHVLHPSUHKRUL]RQWDO 6LHOWULiQJXORVHIRUPDFRQ dos popotes de igual tamaño y el tercero es de diferente longitud, entonces, solamente si se le cuelga por el vértice formado por los popotes iguales, la base quedará horizontal, en cualquier otro caso la base TXHGDUiLQFOLQDGD 6LHOWULiQJXORHVWiIRUPDGR por tres popotes de diferente tamaño cada uno, entonces al ser colgado por cualquiera de sus vértices, la base quedará VLHPSUHLQFOLQDGD Si en lugar de longitud se hablara de color, el resultado sería el mismo, pues los popotes del mismo color tienen la PLVPDORQJLWXG
Fig.1
En las páginas 72 a 78 y en la 80 del Tomo ,9 ,9 9RO VH DWLH DWLHQGH QGH OD FOD FODVL¿ VL¿FDF FDFLyQ LyQ GH ORV triángulos. Como antecedentes a esta lección VHFXHQWDFRQODVGH¿QLFLRQHVGHWULiQJXOR\ ángulo y la medición de ángulos. En la página 72 (Fig. 1), los triángulos construidos por medio de popotes de colores poseen cualidades singulares a partir de los popotes que se usen para su construcción. Lo anterior sucede de esta forma porque los popotes tienen diferente longitud según sea su color, entonces los del mismo color pesan lo mismo. Estas características de los triángulos que se construyen explican su comportamiento al ser colgados en el pizarrón (Fig. 2 ): ):
Es una forma ingeniosa de ORJUDU ORJU DU OD FODV FODVLÀFD LÀFDFLyQ FLyQ GH ORV triángulos por la longitud de sus lados, que puede dar lugar a preguntas cuya respuesta puede ser interesante: ¿Por qué cuando se cuelga un triángulo equilátero por cualquiera de sus vértices, al lograrse el equilibrio, la base siempre queda horizontal? ¿Por qué en el caso del triángulo isósceles isósceles únicamente sucede con un vértice? ¿Por qué para el triángulo escaleno esto nunca ocurre? Después de esta experiencia, los alumnos pueden observar que los triángulos se divididen HQWUHVFODVHV
Fig.3
A partir de esta esta experiencia, en donde interviene la acción de la gravedad, se propicia GHPDQHUDLQGXFWLYDODVGH¿QLFLRQHVGHWULiQ gulos equiláteros e isósceles. (QODVSiJLQDV\GDGDVODVGH¿QLFLRnes, y como en otros casos de conceptualización, se procede a reconocer en el entorno real y en el abstracto, casos particulares que ilustren estos conceptos (Figs. 4 y 5 ). ).
Fig.4
Fig.2
1. Si un triángulo está formado por popotes del mismo color, el lado opuesto al vértice de donde se cuelga será siempre horizontal y todos los lados tendrán la misma longitud. 2. Si un triángulo está formado por dos popotes del mismo color y otro de un color diferente el triángulo tendrá dos lados del mismo tamaño
Fig.5
Geometría 51
Actividades que se sugieren para los futuros docentes 1. En la página 80 del texto se encuentra la siguiente imagen. La indicación es doblar y recortar hojas como se ilustra en la parte superior para formar triángulos isósceles. Se indica hacer varios triángulos con la misma forma y superponerlos como se YHHQOD¿JXUDGHDEDMR(OGREOH]GHODKRMDPDUFDXQDOtQHD recta y esta línea aparece sin importar el número de triángulos que así se construyan. Esta última imagen es muy sugerente y la línea que ahí aparece.
D
a) Escribe enunciados geométricos cuyo sujeto sea esta línea usando en ellos algunas o todas las siguientes palabras:simetría, altura, mediatriz , punto medio med io, perpendicular. A Deben ser enunciados verdaderos y para cada uno debes argumentar sobre su veracidad.
C
B
2. La siguiente imagen se encuentra en la página 86 del libro:
En el contenido de la página 78 se declara: “En un triángulo isósceles, hay 2 ángulos TXHPLGHQORPLVPR(QX TXHPLGHQORP LVPR(QXQWULiQJXORHTXL QWULiQJXORHTXLOiWHURFDGDXQ OiWHURFDGDXQRGHVXV RGHVXViQJXORVPLGH iQJXORVPLGH´ ´ Respecto a la imagen se dice: A y B son los centros de las circunferencias, BD y AE son diámetros. Se pregunta: ¿qué tipo de triángulo es CDB? Responde la pregunta, pero no midiendo sobre la imagen, sino argumentand argumentando o la validez de tu respuesta con base en las conceptos expuestos en estas páginas.
52 Geometría
&RQVWUXFFLyQGHWULiQJXORV 5HÁH[LRQHV DGLFLRQDOHV
En las páginas 79 a 85 del Tomo IV, Vol. 1 se aborda la construcción de triángulos con regla y compás.
La construcción con regla y compás es uno de los temas FOiVLFRVGHODJHRPHWUtD(Q estas páginas se introduce la FRQVWUXFFLyQGHWULiQJXORV /DVLJXLHQWHÀJXUDVHUHÀHUH al primer teorema de los Elementos de Euclides: Dado un segmento, construir sobre él un triángulo equilátero
En las páginas 84 y 85 (Figs. 3 y 4) se desarrollan respuestas a la pregunta anterior. Para la primera actividad de la página 84, Yoshiko y Tamotsu plantean cada uno formas diferentes de proceder que conducen a soluciones correctas para la construcción. La solución de Yoshiko hace referencia al caso del inciso 2 del listado anterior, anterior, mientras que la de Tamotsu corresponde al inciso 4, en ambos casos se dan tres elementos de los seis que contiene el triángulo.
(QODÀJXUDHOVHJPHQWRGDGR HV$% c
A
C
c‘
B
Esta construcción, con una ligera diferencia, es la que se usa en la página 79, inciso )LJSDUDFRQVWUXLUXQ WULiQJXORLVyVFHOHV En geometría los problemas de construcción no se terminan al realizar ésta; se exige además explicar cómo se hace, fundamentarla con base HQGHÀQLFLRQHVHQSULQFLSLRV y en resultados ya probados y establecidos como teoremas GH OD JHR JHRPHWU PHWUtD tD (O UD] UD]RQD RQD-miento de Euclides es más o menos el siguiente: &RQFHQWURHQ A A y radio AB se traza la circunferencia c &RQFHQWURHQ B y radio BA se traza la circunferencia c· C es un punto de intersección GHODVFLUFXQIHUHQFLDV 6HWUD]DQORVVHJPHQWRVCA y CB (OVHJPHQWR AC AC es radio de la circunferencia c, entonces AC = AB (OVHJPHQWR BC BC es radio de la circunferencia c’, entonces BC = BA. 3XHVWRTXH AB= BA, entonces AC = BC 3RUORWDQWRORVVHJPHQWRV AB, AC y BC son iguales en ORQJLWXG 'H 'HEL ELGR GR D OR DQ DQWH WHUL ULRU RU HO triángulo ABC es equilátero y está construido sobre el segmento AB
Fig.1
1. Al principio se trata la construcción de triángulos isósceles o equiláteros para los cuales se da la longitud de sus lados. 2. En otro caso se aborda la construcción de un triángulo dando la longitud de un lado y la medida de los ángulos adyacentes a él. 3. En el siguiente, se da la longitud de los lados de un triángulo donde todos sus lados son diferentes. 4. En el último, se dan las longitudes de dos lados y el ángulo formado por ellos.
Fig.3
Este problema no es simple. En la sección (VRV (V RV FD FDVR VRV V FR FRQ¿ Q¿JX JXUD UDQ Q HO FR FRQW QWHQ HQLG LGR R GH GHO O 3 de la página 85, solamente para el primer tema de congruencia de triángulos, cuyo es- caso es posible construir el triángulo, en los tudio culmina en el nivel de bachillerato. En otros dos, no se puede construir sólo con el nivel de educación primaria sólo se em- esos datos. En los tres casos de la pregunpieza a esbozar a partir de la siguiente pre- ta se dan tres datos del triángulo. Si en los gunta: “si un triángulo tiene tres lados y tres casos 2 y 3, se da un dato más (4 datos en ángulos, ¿cuántos y cuáles de estos elemen- total) ya es posible la construcción, pero entos necesitas conocer como mínimo para re- tonces estos casos se pueden reducir a los SURGXFLUHVHWULiQJXOR"´ planteados por Yoshiko o Tamotsu, es decir, WUHV WUH V GDW GDWRV RV VRQ VX¿ VX¿FLH FLHQWH QWHV V SHU SHUR R QR FXD FXDOHV OHV-quiera de ellos.
Fig.2
Fig.4
Geometría 53
Actividades que se sugieren para los futuros docentes Revisa en cualquier libro de texto de geometría el tema de congruencia de triángulos y después, resuelve los siguientes problemas. ABD es equilátero. 1.(QODF 1. (QODFROXPQDGH³5 ROXPQDGH³5HÀH[LRQHVDGLFLRQDOHV HÀH[LRQHVDGLFLRQDOHV´VHD¿U ´VHD¿UPDTXHHO PDTXHHOWULiQJXOR WULiQJXOR D
A
B
C
(QODVLJXLHQWH¿JXUDVHKDWUD]DGRODUHFWDTXHSDVDSRUORVSXQWRVC y D intersecciones de las circunferencias. Esa línea recta es perpendicular al segmento AB. D
A
B
C
8QDIRUPDGHGHPRVWUDUODYDOLGH]GHODD¿UPDFLyQDQWHULRUHVSUREDQGRSULPHURTXHORV triángulos DAC y DBC son congruentes. Argumenta por qué esos triángulos efectivamente son congruentes. D
A
B
C
2.'HVSXpVGHKDFHUORDQWHULRU 2.'HVSXpVGHKDFHU ORDQWHULRUGHPXHVWUDTXHHQOD¿JXU GHPXHVWUDTXHHQOD¿JXUDGHDEDMRORVWULiQJXORV'$ DGHDEDMRORVWULiQJXORV'$( ( y DBE son congruentes. D
A
B
C
Observa que al ser congruentes los triángulos DAE y DBE, entonces los ángulos de esos triángulos con vértice E son congruentes, es decir, miden lo mismo. Como esos ángulos suman 180°, entonces cada uno mide 90°. Por lo tanto, la recta DC es perpendicular al segmento AB. Nota. Los criterios planteados en los incisos de la página anterior son útiles para este problema.
54 Geometría
&RQFHSWXDOL]DFLyQGHUHFWDVSHUSHQGLFXODUHV 'LYLVLyQFRQUHVWR 5HÁH[LRQHV DGLFLRQDOHV Ángulo recto: es la esquina que se forma de la manera TXHLQGLFDODÀJXUD
Como antecedente a esta lección se encuentran las OHFFLRQHVGHODVSiJLQDV \ GHO 7RPR ,9 ,9 9RO TXHDERUGDQ ORVVLJXLH ORVVLJXLHQWHV QWHV FRQFHSWRV
Medida del ángulo recto: iQJXORUHFWR ORV V iQ iQJX JXOR ORV V VH Medición OR PLGHQFRQHOWUDVSRUWDGRU
En el entorno es frecuente KDOODUODVLJXLHQWHHVWUXFWXUD
Fig.1 En las páginas 45 a 47 del Tomo 5, Vol. 1 se trata la conceptualización de rectas perpendiculares.
/DV SUH SUHJXQ JXQWDV WDV QR FRQ FRQGXF GXFHQ HQ D REV REVHUY HUYDU DU esta relación, pues no es el propósito del WHPD WHP D 6LQ HPE HPEDUJ DUJR R HO PD PDHVW HVWUR UR GHE GHEH H WHQ WHQHU HU muy claro ese contexto matemático por lo que a los alumnos se les pueda ocurrir en ODFODVH(QJHQHUDOORPHQRVTXHVHGHEH concluir es que en el caso de Yoshio, Yoshio, los ángulos son diferentes, mientras que en el esquema de Mari los cuatro ángulos tienen la misma medida: 90°. Más adelante, el alumno SXHGH SXH GH HQF HQFRQW RQWUDU UDU OD GH¿ GH¿QLF QLFLyQ LyQ GHO FRQ FRQFHS FHSWR WR de rectas perpendiculares.Es necesario hacer notar que este concepto se enuncia frente a un caso que lo ilustra y otro que no.
En la página 45 (Fig. (Fig. 1) 1) se acude a una imaJHQTXHHVVLJQL¿FDWLYDSDUDHODOXPQR6HOH pide trazar dos rectas que unan puntos rojos. Del conjunto de respuestas se presentan la 1, de Yoshio y la 2, de Mari (Fig. (Fig. 2 ): ): 6HOODPDD REV REVHUY HUYDUFyPRVH DUFyPRVH FUX FUX]DQ ]DQ ODV líneas en los dos casos. (VWDVVROXFLRQHVVRQREMHWRGHXQDQiOLVLV JXLDGRSRUSUHJXQWDVVREUHODVPHGLGDVHQ grados de los cuatro ángulos.
(Q OD LP LPDJ DJHQ HQ GH DE DEDM DMR R D FDGDXQDGHODVSDUHMDVGH iQJXORVDE\FGVHOHV OODPDiQJXORVRSXHVWRVSRU HOYpUWLFH
Fig.3
Con respecto a los ejercicios de la página 47 (Fig. 3): (O SU SULP LPHU HUR R Vy VyOR OR SU SUHW HWHQ HQGH GH TX TXH H HO DO DOXP XPQR QR LGHQWL¿TXHORVFDVRVTXHLOXVWUDQHOFRQFHSWR de rectas perpendicualres y aquellos que no ORKDFHQODUHVSXHVWDVHREWLHQHFRQODPH-ORKDFHQODUHVSXHVWDVHREWLHQHFRQODPH dida de ángulos y contrastando el resultado FRQODGH¿QLFLyQ
(VWRViQJXORVWLHQHQODPLV(VWRViQJXORVWLHQHQODPLVPDPHGLGD DE\FG /DV /D V VL VLJX JXLH LHQW QWHV HV LP LPiJ iJHQ HQHV HV apoyan la veracidad de la DÀUPDFLyQ
Fig.2 Do -
(QYLUWXGGHORVDQWHFHGHQWHVGHORV alumnos, la respuesta esperada es que midan los ángulos. $PERVSDUHV $PER VSDUHVGHOtQHDVVRQ GHOtQHDVVRQOtQHDVTXH OtQHDVTXHVH VH cruzan. Cuando dos líneas rectas en un mismo plano se intersecan, forman cuatro ángulos y se induce que entre éstos siempre existe la siguiente relación: los
ángulos opuestos por el vértice miden lo mismo.
(O~OWLP (O~OWLPR R HMH HMHUFL UFLFLR FLR PXH PXHVWU VWUDSRU DSRU PH PHGLR GLR GH ORV OR V GR GREO EOHF HFHV HV GH XQ XQD D KR KRMD MD GH SD SDSH SHO O Fy FyPR PR construir rectas perpendiculares.
Geometría 55
Actividades que se sugieren para los futuros docentes 1(QODLPDJHQGHOEDQFRHQODFROXPQDGH³5HÀH[LRQHVDGLFLRQDOHV´ a. ¿Cuál es la medida del ángulo x? b. ¿Qué relación guardan los ángulos x y z? c. ¿Cuál es la medida del ángulo y? 2. (QODFROXPQDGH³5HÀH[LRQHVDGLFLRQDOHV´VHPRVWUyTXHDE8VDXQUD]RQD (QODFROXPQDGH³5HÀH[LRQHVDGLFLRQDOHV´VHPRVWUyTXHDE8VDXQUD]RQD-PLHQWRVLPLODUSDUDGHPRVWUDUTXHFG
56 Geometría
&RQFHSWXDOL]DFLyQGHUHFWDVSDUDOHODV 0XOWLSOLFDFLyQ7DEODVGHPXOWLSOLFDU 5HÁH[LRQHV DGLFLRQDOHV /DGHÀQLFLyQGHUHFWDVSDUD/DGHÀQLFLyQGHUHFWDVSDUDlelas se aborda en términos YLVX YL VXDO DOHV HV \ RS RSHU HUDF DFLR LRQD QDOH OHVV Esto es adecuado para un primer acercamiento a este FRQFHSWR (VWDGHÀQLFLyQVHKDFHRSH UDWLYDLQGLFDFRPRFRQVWUXLU la caracterización “intuitiva” que inicialmente se da (ver SiJLQ SiJ LQD D VR VRQ Q UH UHFWD FWDV V TX TXH H “nunca se cruzan por mucho TXHVHH[WLHQGDQµ Esta idea se formaliza como VLJXH (QODLPDJHQGHDEDMRORViQ(QODLPDJHQGHDEDMRORViQJXORVGHOPLVPRFRORUPLGHQ OR PL PLVP VPR R 'R 'RV V iQ iQJX JXOR ORV V GH GLIHUHQWHFRORUVXPDQ
Fig.1
En la página 50 (Fig. (Fig. 1) 1) se plantea un proEOHPDHQHOTXHQRVHSLGHWUD]DUUHFWDVSD-EOHPDHQHOTXHQRVHSLGHWUD]DUUHFWDVSD UDOHODVVLQRUHFWDVFRPRODVGHODVEDQGH-UDOHODVVLQRUHFWDVFRPRODVGHODVEDQGH ras. Los tres chicos de la imagen expresan WUHV WUH V PDQ PDQHUD HUDV V LQW LQWXLW XLWLYD LYDV V GH SUR SURFHG FHGHU HU FRQ HO trazo pedido. La mejor mejor solución solución planteada planteada se sustenta en alguno de los antecedentes. 'HEHPRVQRWDUTXHODEDQGHUDGHODLOXVWUD-'HEHPRVQRWDUTXHODEDQGHUDGHODLOXVWUD FLyQ$GDODFODYHGHODVROXFLyQ En la página 51 se plantea: ¿cómo se trazan rectas paralelas a una recta dada? (Fig. (Fig. 2 \ODVROXFLyQVHEULQGDGHXQDPDQHUDFDVL \ODVROXFLyQVHEULQGDGHXQDPDQHUDFDVL matemáticamente correcta, que corresponde DO QLY QLYHO HO GH GHV GHVDUU DUUROOR ROOR GHO FXU FXUVR VR ³7 ³7UD] UD]D D XQD UHFWDTXHVHDSHUSHQG UHFWDTXH VHDSHUSHQGLFXODUDODUHF LFXODUDODUHFWDD´(O WDD´(O ³FDVL´VHGHEHDTXHODVROXFLyQLQGLFDGDVRODmente es cierta si la línea (a) es perpendicular DODUHFWDGDGD6RODPHQWHVLVHFX DODUHFWDGDGD6ROD PHQWHVLVHFXPSOHHVWD PSOHHVWD condición, los ángulos b y c miden lo mismo. (VWHKHFKRVHXVDSDUDGH¿QLUSRVWHULRUPHQWH el concepto de rectas paralelas.
En las páginas 50 a 52 del Tomo V, Vol. 1, se trata el concepto de rectas paralelas.
(QWRQFHVEG 6XSRQJD 6XS RQJDPRV PRV TXH ODV UHF UHFWDV WDV se cruzan en un punto cuando VHH[WLHQGHQ Entonces se forma un triánJXOR FRQ iQJ iQJXOR XORV V b d y un WHUFHU WHU FHU iQ iQJX JXOR OR GL GLIH IHUH UHQWH QWH GH GR GRQG QGH H VH FU FUX] X]DQ DQ (Q HO WULiQJXORTXHVHIRUPD b d HO WH WHUF UFHU HU iQJ iQJXO XOR R Entonces b G OR cual contradice el hecho de que bd
6H GHV GHVWDF WDFDQ DQ ORV VLJ VLJXLH XLHQWH QWHV V DQW DQWHFH HFHGHQ GHQWHV WHV de este tema: 1. En las páginas 22 y 24 del Tomo III, Vol. VHDERUGDQORVFRQFHSWRVGHUHFWiQJXOR\ cuadrado, que son cuadriláteros cuyas cuatro esquinas son ángulos rectos. 2. En la página 23 del Tomo III, Vol.2 se PHQF PH QFLR LRQD QD TX TXH H ³O ³ORV RV OD ODGR GRV V RS RSXH XHVW VWRV RV GH XQ UHFWiQJXORWLHQHQODPLVPDORQJLWXG´ 7DPELpQVHXVDODFXDGUtFXODRUWRJRQDO TXHSDUDTXHORVDOXPQRVWUDFHQ¿JXUDV 4. En las páginas 46 y 48 del Tomo V, Vol.1, VHDERUGDHOWUD]RGHUHFWDVSHUSHQGLFXODUHV Fig.3
La contradicción ocurre por la VXSRVLFLyQTXHVHKL]R3RUOR WDQWRVHFRQFOX\HTXHHVWDDÀUPDFLyQ PDFLy Q HVIDOVDOR YHUGD YHUGDGHUR GHUR HVQXQFDVHFUX]DQODVUHFWDV
Igual que para las rectas perpendiculares, ODGH¿QLFLyQGHUHFWDVSDUDOHODVHVYLVXDO\ RSHUDWLYD³'RVOtQHDVVRQSDU RSHUDWLYD³'RV OtQHDVVRQSDUDOHODVVLDO DOHODVVLDOFUX FUX-zarlas con otra línea recta los ángulos señaODGRVPLGHQORPLVPR´ 8QDYH]TXHVHGDHOFRQFHSWRVHSLGHGLV tinguir entre rectas que son parelalas de las que no lo son midiendo los ángulos. Es decir, VHSRQHDXQODGRODSHUFHSFLyQYLVXDOSDUD acudir al concepto formal.
(ODWULEXWRGHTXH´/DGLVWDQFLDHQWUHOtQHDVSDUDOHODVHV la misma en cada punto” es XQUHVXOWDGRGHODGHÀQLFLyQ GHOtQHDVSDUDOHODV
5HVXOWDGH SURE 5HVXOWDGH SUREDUODV DUODV UHFW UHFWDV DV QHJUDVVRQSDUDOHODVHQWRQFHV ORVWULiQJXORVVRQLJXDOHV
Fig.2
En la página 52 (Fig. (Fig. 3VHGDRWURDWLEXWR 3VHGDRWURDWLEXWR GHODVUHFWDVSDUDOHODVTXHYDOLGDODWHUFHUD VROXFLyQHQODFRQVWUXFFLyQGHODEDQGHUDHQ ODSiJLQD(O~OWLPRHMHUFLFLRGHODSiJLQD GHEHVHUUHVXHOWRGHIRUP GHEHVHUUHV XHOWRGHIRUPDGHGXFWLY DGHGXFWLYDODV DODV rectas son paralelas, entonces las dos preguntas prácticamente se contestan aplicando ODVGH¿QLFLRQHV³VLVRQSDUDOHODVHQWRQFHV«´
Geometría 57
Actividades que se sugieren para los futuros docentes 1.(QODSiJLQDHOQLxRFRQDQWHRMRVD¿UPDTXHVXVROXFLyQHVODPHMRU(QHVHSXQWR ORVDOXPQRVQRFRQRFHQORVDWULEXWRVGHODV ORVDOXPQRVQRFRQRFHQORV DWULEXWRVGHODVUHFWDVSDUDOH UHFWDVSDUDOHODV¢4XpFR ODV¢4XpFRQRFLPLHQWRV QRFLPLHQWRVSUH SUHYLRVVXVWHQWDQODFRQYLFFLyQGHHVHQLxR" 2.(QODSiJLQDVHGDODLQGLFDFLyQ³7UD]DXQDUHFWDTXHVHDSHUSHQGLFXODUDODUHFWD D &RUU &RUURERU RERUD D PLGL PLGLHQGR HQGR ORViQJXOR ORViQJXORV Vb b y c ´(QJHRPHWUtDKD\XQSULQFLSLRTXHGLFH ´ (QJHRPHWUtDKD\XQSULQFLSLRTXHGLFH ³'RVOtQHDVUHFWDVGLIHUHQWHVHQXQPLVP ³'RVOtQHDVUHFW DVGLIHUHQWHVHQXQPLVPRSODQRTXHVRQSHUSHQGLFXODU RSODQRTXHVRQSHUSHQGLFXODUHVDXQWHUFHUD HVDXQWHUFHUD OtQHDUHFWDVRQSDUDOHODVHQWUHVt´-XVWL¿ OtQHDUHFWDVRQSDUDOHOD VHQWUHVt´-XVWL¿FDHVWH~OWLPRHQXQF FDHVWH~OWLPRHQXQFLDGRWRPDQGRFRP LDGRWRPDQGRFRPREDVH REDVH ODGH¿QLFLyQGHODSiJLQD 3. $O ¿QDO GH OD FROXPQD GH ³5HÀH[LRQHV DGLFLRQDOH DGLFLRQDOHV´ V´VH VH GHVDUUROOD XQ HVER]R GH GHPRVWUDFLyQSDUDHODWULEXWR³/DGLVWDQFLDHQWUHOtQHDVSDUDOHODVHVODPLVPDHQFDGD XQRGHVXVSXQWRV´XVDQGR XQRGHVXVSXQWRV ´XVDQGRHO HO KHFK KHFKRGH RGH TXHHVWH TXHHVWHUHVXOWDG UHVXOWDGRVHGHULYDGHODGH¿QLFL RVHGHULYDGHODGH¿QLFLyQ yQ GHOtQHDVSDUDOHODV'HVDUUROODORVGHWDOOHVGHODGHPRVWUDFLyQDSDUWLUGHOHVER]RGH SUXHEDSODQWHDGRHQODOHFFLyQ
58 Geometría
3DUDOHODV\SHUSHQGLFXODUHVDSOLFDFLyQFRQFHSWXDO 0XOWLSOLFDFLyQ7DEODVGHPXOWLSOLFDU 5HÁH[LRQHV DGLFLRQDOHV $XVEHO $XVEHO VHxD VHxDODTXH ODTXH ORV estudiantes pueden aprender muchos conceptos si se les da HOQRPEUHGHGLFKRVFRQFHSWRV GHÀQL GHÀ QLFLR FLRQHV QHV YHU YHUEDO EDOHV HV HMH HMHP PSORV GHO FRQF FRQFHSWR HSWR \ HMHP HMHPSORV SORV LPSU LP SURS RSLR LRV V SD SDUD UD HO FR FRQF QFHS HSWR WR 7DO FRQ FRQVL VLGHU GHUDFL DFLyQ yQ H[S H[SOL OLFD FD OD forma en que en estos textos se va desarrollando el conociPLHQW PLH QWR R JHR JHRPpW PpWUL ULFR FR HV HVWD WD LG LGHD HD se complementa con las que han orientado el análisis de las SiJLQDV\GDQOXJDUDXQDLQWHU-SiJLQDV\GDQOXJDUDXQDLQWHU SUHWDFLyQVREUHODHQVHxDQ]D\ HODSUHQGL]DMHFRQFHSWXDO
En las páginas 48, 49, 53 y 55 del Tomo V, Vol. 1 se DEXQGDHQODDSOLFDFLyQFRQ-DEXQGDHQODDSOLFDFLyQFRQ ceptual de rectas paralelas y perpendiculares. Al momento momento de estu estudiar diar estas páginas los alumnos conocen los conceptos de rectas perpendiculares y paralelas. Estos conceptos se presentan IRUP IR UPDO DOPH PHQW QWH H VX VXV V GH GH¿Q ¿QLF LFLR LR-QHV QH V QR QRPH PHQF QFOD ODWX WXUD UD FR FRQY QYHQ HQ-cional y además se muestran ejemplos de éstos.
/DGHÀQLFLyQGHXQFRQFHSWR implica la delimitación de un XQLYHUVRIRUPDGRSRUREMHWRV TXHUHSUHVHQWDQDOFRQFHSWR HV GHFL GHFLU U REM REMHWR HWRV V HQ ORV TXH se expresan los atributos que OR GHÀQ GHÀQHQ HQ $ ORV HOHP HOHPHQW HQWRV RV de este universo se les llama LQVWDQFLDVGHOFRQFHSWR
Fig.3
Fig.4 (QHVWDVSiJLQDVVHDERU da la aplicación de estos conceptos tanto en la idenWL¿FD WL¿ FDFLy FLyQ Q GHFDVR GHFDVRV V TXH VD VD-tisfacen o no el concepto, como en la construcción de ejemplos de ellos. En el primer caso el razonamiento VH ED EDVD VD HQ OD IR IRUP UPXO XODF DFLy LyQ Q GHKLSyWHVLVVREUHVLORVFD
(QJHQHUDOXQFRQFHSWRHVWi ELHQ EL HQ GH GHÀQ ÀQLG LGR R VL DQ DQWH WH FX FXDO DO-TXLHUFDVRHVSHFtÀFRVHSXH-TXLHUFDVRHVSHFtÀFRVHSXH GHGHFLGLUVLQDPELJHGDGHV si éste es instancia o no del FRQFHSWRHQFXHVWLyQ
Fig.1
Fig.2
Fig.5
sos satisfacen o no al conFHSWR FH SWR OD HY HYDOX DOXDFL DFLyQ yQ GH WDO hipótesis se hace acudiendo D ORVDWULEXW ORVDWULEXWRV RV HVWD HVWDEOHF EOHFLGRV LGRV HQ VX VXV V GH GH¿Q ¿QLF LFLR LRQH QHV V (Q OD construcción de ejemplos, el razonamiento es en el sentiGRGHSURGXFLUXQREMHWRTXH SRVHDORVDWULEXWRVTXHLQGLFDODGH¿QLFLyQ
Geometría 59
Las construcciones de las páginas 48 (Fig. (Fig. 1) 1) y 53 (Fig. 2 ) ilustran lo anterior. Hiroshi parte de una recta en la que marca un punto SDUD DSUR DSURYHF YHFKDU KDU HO XVRGHO transportador y realiza la construcción que cumple FRQHODWULEXWRTXHSUHVFULEH OD GH¿Q GH¿QLFLy LFLyQ Q .HQM .HQML L SURF SURFHGH HGH de la misma manera para construir rectas paralelas: apoya la escuadra en la regla y la coloca perpendicularmente a la recta dada; de
esa forma puede trazar otra recta diferente que es perpendicular a la regla y tamELpQSDUDOHODDODUHFWDGDGD en concordancia con lo que HVWDE HV WDEOHF OHFH H OD GH¿ GH¿QLF QLFLyQ LyQ ORV ángulos formados por la regla y las rectas que están igualmente situados miden lo mismo, 90°. El ejercicio 6 de la página 49 (Fig. (Fig. 3) 3) y el 4 de la página 53 (Fig. (Fig. 4) 4) tienen el propósito de practicar las construcciones que se han mostrado.
El ejercicio 1 de la página 55 (Fig. (Fig. 5 ) pide que se identifiquen casos que ejemplifican los conceptos. 6H X VD VD H O U D] D] RQ RQ DP DPL HQ HQ WR WR TXHVHGHVFULELyDUULEDVH YHULIL YHU LILFD FD VL OD KLS KLSyWH yWHVLV VLV VD VD-tisface o no al concepto de rectas perpendiculares o paralelas midiendo los ánJXORVLQYROXFUDGRVHQFDGD definición. /RVSUREOHPDV\GHOD misma página, son de naturaOH]DGHGXFWLYD
Con respecto al 3, las rectas son paralelas, se aplica OD GH¿ GH¿QLF QLFLyQ LyQ GRV YH YHFH FHV V \ HO conocimiento que ya se tiene de la medida de los ángulos formados por dos rectas que se intersecan. 3DUDHOVHXVDQODVGH¿ niciones de rectángulo y de rectas perpendiculares para deducir la perpendicular perpendicularidad idad de los lados. El paralelismo VHMXVWL¿FDFRQVXGH¿QLFLyQ R EL ELHQ HQ SR SRUT UTXH XH OD GL GLVW VWDQ DQFL FLD D entre las rectas es la misma.
Actividades que se sugieren para los futuros docentes 1. Enlista los antecedentes de que disponen los alumnos al momento de iniciar la reali]DFLyQGHODVDFWLYLGDGHVGHODVSiJLQDVDQDOL]DGDV 2. Analiza la image n que muestra el tra zo de rectas paralel as con regla y escuadra, jusWL¿FDSRUTXpODVUHFWDVWUD]DGDVVRQHMHPSORVGHOFRQFHSWRGHUHFWDVSDUDOHODV 3. 2EVHUYDODUHFWD f HQHOSUREOHPDGHODSiJLQD\H[SOLFDSRUTXpODVUHFWDV a y b no son ejemplos del concepto de rectas paralelas. 4. -XVWL¿FDSRUTXpODVUHFWDV c y g no son ejemplos del concepto de rectas perpendicuODUHVHQHOSUREOHPDGHO ODUHVHQHOSU REOHPDGHODSiJLQD DSiJLQD 5.(QHODQiOLVLVGHORVSUREOHPDV\VHGLFHTXHVRQGHQDWXUDOH]DGHGXFWLYD(VWR VLJQL¿FDTXHQRVHUHVXHOYHQPLGLHQGRGLUHFWDPHQWHORViQJXORVVLQRDSOLFDQGRSULQ-VLJQL¿FDTXHQRVHUHVXHOYHQPLGLHQGRGLUHFWDPHQWHORViQJXORVVLQRDSOLFDQGRSULQ FLSLRVJHRPpWULFRV\DFRQRFLGRV&RPSOHWDGHGXFWLYDPHQWHHOVLJXLHQWHUD]RQDPLHQWR
Es un dato que la recta a es paralela a la recta b, ¿cuál es la medida del ángulo d? 'HOD¿JXUDVHWLHQHTXHd y del ángulo f ?
f
forman un ángulo de 180°, ¿cuál es la medida
Es un dato que la recta b es paralela a la recta c, ¿cuál es la medida del ángulo g? 'HOD¿JXUDVHWLHQHTXHe y ángulo e?
f
forman un ángulo de 180°, ¿cuál es la medida del
6. &RP &RPRVH RVH KL]R HQHO SURE SUREOHPD OHPD DQWHU DQWHULRU LRUHVFULEH HVFULEH HOUD]RQDP HOUD]RQDPLHQW LHQWRSDUD RSDUD UHVR UHVROYHU OYHU HO SUREOHPD
60 Geometría
&XDGULOiWHURVFODVLÀFDFLyQ 0XOWLSOLFDFLyQ7DEODVGHPXOWLSOLFDU 5HÁH[LRQHV DGLFLRQDOHV 5HDOL]DUFODVL 5HDOL]DU FODVLÀFDFLRQ ÀFDFLRQHVHV HVHV XQD de las habilidades matemáticas más importantes a desarrollar HQORVHGXFDQGRV3DUDKDFHUOR es necesaria la capacidad de GLVF GL VFUL ULPL PLQD QDFLy FLyQ Q (V GHF GHFLU LU D partir de la consideración de VXV DWU DWULEX LEXWRV WRV GHWH GHWHUPL UPLQDU QDU VL dos o más casos satisfacen el PLVPRFRQFHSWR Ante varios casos del mismo FRQFHSWRODKDELOLGDGGHGLV-FRQFHSWRODKDELOLGDGGHGLV FULPLQDUHQWUHHOORVKDFHSR-FULPLQDUHQWUHHOORVKDFHSR sible determinar las diferentes VXEFDWHJRUtDV VXEFDWHJRU tDV FRQFHSWXDOH FRQFHSWXDOHV V D ODVTXHSHUWHQHFHQ (Q HO WH WHPD PD ´9DU DULR LRV V WL WLSR SRV V GH FXDGULO FXDG ULOiWHU iWHURVµ RVµ GHV GHVSXp SXpV V GH ODV SiJLQDV\VHSURFHGHD crear los conceptos de trapeFLR FL R SD SDUD UDOH OHOR ORJU JUDP DPR R \ UR URPE PER R Estos conceptos se usan para LGHQWLÀ LGHQ WLÀFDU FDU FRQM FRQMXQW XQWRV RV GH REM REMHHWRVJHRPpWULFRVHVHOXQLYHU-WRVJHRPpWULFRVHVHOXQLYHU so conceptual mencionado en XQD XQ D RE REVH VHUY UYDF DFLy LyQ Q DQ DQWH WHUL ULRU RU OD VLJXLHQWH VLJXLH QWH LPDJHQ LOXVWU LOXVWUD D FyPR VHUHODFLRQDQ Cuadriláteros Trapecios ra l e log r m r a o a s P
6XVWHQWDGRHQODVGHÀQLFLRQHV GDGDVHQHOWH[WRODFDWHJRUtD de trapecios es una subcateJRUtD JRU tD GH ORV FXD FXDGUL GULOiW OiWHUR HURV V OD GH ORV SDUD SDUDOHOR OHORJUDP JUDPRV RV HV XQD VXEFDWHJ VXEF DWHJRUtD RUtD GH ORV WUDS WUDSHFLR HFLRV V /DUHJLyQURMDUHSUHVHQWDDORV UHFWiQJXORVODUHJLyQERUGHDGD GHQHJURDORVURPERV\OD]RQD en que se intersecan representa DORVFXDGUDGRV
En las páginas 58 y 59 del Tomo V, Vol. Vol. 1, se HVWXGLDQORVFXDGULOiWHURV\VXFODVL¿FDFLyQ (QODDFWLYLGDGGHODSiJLQDFig. Fig. 1) 1) se estudian los cuadriláteros y se realiza un inWHUHVDQWHHMHUFLFLRGHFODVL¿FDFLyQ 6HGHVWDFDQORVVLJXLHQWHVDQWHFHGHQWHV &RQ &RQFHS FHSWRV WRV GH FX FXDGU DGULOi LOiWHU WHUR R UHF UHFWiQ WiQJXO JXOR R cuadrado, rectas paralelas y perpendiculares. &RPSUHQVLyQ\XVRGHODPDOODRUWRJRQDO de puntos. (Q HVWD DFWL DFWLYLGD YLGDG G VH VROL VROLFLWD FLWD DJUX DJUXSDUORV SDUORV Fig.1 cuadriláteros de acuerdo con su forma, utilizando las etiquetas, las maneras de dibujarlos y sus características. características. 8QHOHPHQWRYLVXDOTXHDSR\DHVWDWDUHDHVTXHODVUHFWDVSDUDOHODVHVWiQFRORUHDGDV 8QDFODVL¿FDFLyQSRVLEOHDSDUWLUGHORVDQWHFHGHQWHVFRQTXHFXHQWDQORVDOXPQRV\SRU ODVFXDOLGDGHVFODUDPHQWHREVHUYDEOHVHVODVLJXLHQWH
Etiqueta Lados paralelos
Ángulos rectos
Lados de igual medida
g D
8QR
E M
8Q SDU
G
8Q SDU
c, h
Dos pares
Los lados opuestos
i
Dos pares
Cuatro
e
Dos pares
Cuatro
Los lados opuestos
f, k
Dos pares
Cuatro
Cuatro
'RV
A partir de este agrupamiento agrupamiento (Fig. 2 ), ), desWDFDQWUHVFDWHJRUtDVGHFXDGULOiWHURVVHJ~Q sus lados y el paralelismo entre ellos: sin lados paralelos, con un par y con dos pares GHODGRVSDUDOHORV'HHVWD~OWLPDFDWHJRUtD VHGHVWDFDQODVVXEFDWHJRUtDVFXDWURODGRV iguales y/o cuatro ángulos rectos. La categoría más general es la correspondiente a los cuadriláteros e incluye a todos los casos de la página. Los que tienen un SDUGHODGRVSDUDOHORVIRUPDQXQDVXEFD-SDUGHODGRVSDUDOHORVIRUPDQXQDVXEFD tegoría que incluye a todos menos los casos a y g$ $VXYH]pVWD~OWLP VXYH]pVWD~OWLPDFRQWLHQ DFRQWLHQHD HD los que tienen dos pares de lados paralelos TXH IRU IRUPDQ PDQ XQD VXE VXEFDW FDWHJR HJRUtD UtD SUR SURSLD SLD TXH contiene los casos e, f , i, k, los cuales, a su YH]VXJLHUHQRWUDVVXEFDWHJRUtDVFRPRVH LQGLFyDO¿QDOGHOSiUUDIRDQWHULRU
Fig.2
Geometría 61
Actividades que se sugieren para los futuros docentes 1.+DFHUODDFWLYLGDGSURSXHVWDHQHVWDVSiJLQDVUHTXLHUHFRQRFHUODVSRVLELOLGDGHVGHO XVRGHODPDOODGHSXQWRV(QFXHQWUDDOPHQRVFXDWURDWULEXWRVJHRPpWULFRVGHODPDOOD 2. En el caso bGHODSiJLQDODVUHFWDVGHFRORUURMRVHPDUFDQFRPRSDUDOHODV-XV WL¿FDORDQWHULRUHPSOHDQGRODGH¿QLFLyQGHOFRQFHSWRGHUHFWDVSDUDOHODV\ORVDWULEXWRV de la malla. 3. En el caso eGHODPLVPDSiJLQDKD\UHFWDVSDUDOH GHODPLVPDSiJLQDKD\UHFWDVSDUDOHODV\SHUSHQGLFXODUHV ODV\SHUSHQGLFXODUHV-XVWL¿FDOR -XVWL¿FDOR DQWHULRUHPSOHDQGRODVGH¿QLFLRQHVGHHVRVFRQFHSWRV\ORVDWULEXWRVGHODPDOOD 4. En los casos c, h, iKD\UHFWDVREOLF KD\UHFWDVREOLFXDVSDUDOHODV-XV XDVSDUDOHODV-XVWL¿FDORDQWHULRUHP WL¿FDORDQWHULRUHPSOHDQGROD SOHDQGROD GH¿QLFLyQGHOFRQFHSWR\ GH¿QLFLyQGH OFRQFHSWR\ORVDWULEXW ORVDWULEXWRVGHODPDO RVGHODPDOOD OD
62 Geometría
(OSDUDOHORJUDPR\VXGLGiFWLFD 0XOWLSOLFDFLyQ7DEODVGHPXOWLSOLFDU 5HÁH[LRQHV DGLFLRQDOHV En este tema se estudian DOJX DO JXQR QRV V FX FXDG DGUL ULOi OiWH WHUR URV V \ VH formulan los conceptos de WUDS WU DSHF HFLR LR SD SDUD UDOH OHOR ORJU JUDP DPR R \ URPER URP ER 'HV 'HVSXp SXpV V GHKDFHUOD FRQF FR QFHS HSWX WXDO DOL] L]DF DFLy LyQ Q OR TX TXH H VLJX VL JXH H HV HP HPSO SOHD HDUO UOD D SD SDUD UD OD LGHQW LG HQWLÀ LÀFD FDFLy FLyQ Q GH HM HMHPS HPSOR ORV V que correspondan o no a dichos conceptos y construir HVWRVFXDGULOiWHURV 3D 3DUD UD OD LG LGHQ HQWL WLÀF ÀFDF DFLy LyQ Q GH HMHPS HMH PSOR ORV V HO SU SURF RFHGL HGLPL PLHQ HQWR WR FRQV FR QVLV LVWH WH HQ SU SUHJ HJXQ XQWD WDUV UVH H VL los casos satisfacen o no el concepto dado; la validación de la respuesta se hace acudiendo a los atributos que se LQYROXFUDQHQHOFRQFHSWR
En las páginas 61 a 63 del Tomo V, Vol. 1, se analiza el paralelogramo y su didáctica. 2EVHUYDODSUHJXQWDHQHODSDUWDGRGHOD página 61 (Fig. (Fig. 1), 1), nota que además de los casos c y hKD\RWURVTXHODUHVSRQGHQD¿U PDWLYDPHQWH 8QDYH] GH¿QL GH¿QLGR GR HO FRQF FRQFHSWRGH HSWRGH SDUDO SDUDOHOR HOR-JUDPR JUD PR VX QRP QRPEUH EUH \ DWU DWULEX LEXWRV WRV VH SUR SURFHG FHGH H DODLGHQWL¿FDFLyQGHHMHPSORV\HOSURFHGL-DODLGHQWL¿FDFLyQGHHMHPSORV\HOSURFHGL miento para su construcción. La construcción FRQODFXDGUtFXODQRGHEHVHUSUREOHPDSDUD ORVDOXPQRVSRUODH[SHULHQFLDSUHYLDFRQOD malla de puntos, aunque hay que tener claras las limitaciones de este recurso.
Fig.2 (QHOFDVRGHODFRQVWUXFFLyQ GH HMH HMHPSO PSORV RV VH UD UD]RQ ]RQD D HQ HO VHQWLGRGHSURGXFLUXQREMHWR TXH WHQ WHQJDORV JDORV DWU DWULE LEXWR XWRV V TXH HVWDEOHFHODGHÀQLFLyQ
sentido de que si uno de ellos ocurre en un cuadrilátero, entonces es un paralelogramo. La geometría permite demostrar de manera GHGXFWLYDHVDHTXLYDOHQFLD (OSUREOHPDGHODSiJLQDFig. (OSUREOHPDGHODSiJLQD Fig. 3) 3) consiste en la construcción de un paralelogramo a partir de ciertos datos. El pollito plantea SDUWHGHOSUREOHPD³¢FyPRORFDOL]DUHOSXQWR '"´$GHPiV '"´$GHPiV HV QHFHV QHFHVDULR DULR TXH VH FXPS FXPSOD OD que los lados sean paralelos. Tal propósito se logra como lo hace Takeshi, quien opta por la construcción de paralelas a partir de VXGH¿QLFLyQ/DSURSXHVWDGH
(VH HV HO JX (VH JXLy LyQ Q Ei EiVL VLFR FR TX TXH H subyace en estas lecciones VREUHFRQFHSWRVJHRPpWULFRV Otro aspecto que se aborda es la extensión de los conceptos mediante el descubrimiento de atributos diferentes a los que se UHÀHUHVXGHÀQLFLyQ(VWHKH cho se encuentra en el interés de las lecciones de este tema y muestra cómo los conceptos se GHVDUUR GHVD UUROODQ OODQ \ HYRO HYROXFLR XFLRQDQ QDQ YtD HOSHQVDPLHQWRGHODVSHUVRQDV Para el desarrollo del pensaPLHQWRJHRPpWULFRHVGHJUDQ imporetancia estudiar cómo VH UHO UHODFL DFLRQDQ RQDQ ORV FRQ FRQFHSW FHSWRV RV WDQWRSDUDGDUOXJDUDQXHYRV FRQFH FRQ FHSW SWRV RV S SRU RU HMH HMHPS PSOR OR HO listado de antecedentes para HVWHWHPDFRPRSDUDHVWDEOHcer relaciones conceptuales que constituyan teoremas de ODJHRPHWUtD
Fig.1 En la página 62 (Fig. (Fig. 2 ) se usan la regla y la escuadra, estos instrumentos permiten la construcción de los pares de rectas paralelas con DSHJRDVXGH¿QLFLyQ DSHJRDVXGH¿ QLFLyQ/DWpFQLFD /DWpFQLFDGHGHVOL]DU GHGHVOL]DUOD OD HVFXDGUDVREUHHOFDQWRGHXQDUHJODSHUPLWH construir muchos paralelogramos, pero para TXHFRWHQJDQiQJXORVFRQPHGLGDVHVSHFt¿FDV VHUHTXLHUHWDPELpQHOWUDQVSRUWDGRU En el apartado 4 se orienta la atención del DOXPQRKDFLDODYHUL¿FDFLyQGHKHFKRVTXH YDQDSHUPLWLUDPSOLDUHOFRQFHSWRGHSDUDOH-YDQDSHUPLWLUDPSOLDUHOFRQFHSWRGHSDUDOH ORJUDPRLQFRUSRUDQGRGRVQXHYRVDWULEXWRV 6LQHPEDUJRDXQFXDQGRHVWRV 6LQHPEDUJRDXQ FXDQGRHVWRVDWULEXWRVKD DWULEXWRVKDcen referencia a cualidades diferentes como ³ODGRV ³OD GRV RSX RSXHVW HVWRV RV WLH WLHQHQ QHQ LJX LJXDO DO ORQ ORQJLW JLWXG XG \ ORV ángulos diagonalmente opuestos tienen la PLVPD PLV PD PHG PHGLGD LGD´ ´ HVW HVWRV RV VRQ HTX HTXLYD LYDOHQ OHQWHV WHV DO DWULEX DWU LEXWR WR TXH VHXVD HQ OD GH¿ GH¿QLF QLFLyQ LyQ SD SDUHV UHV GH ODGRV SDUDO SDUDOHORV HORV VRQHTXLYDOHQW VRQHTXLYDOHQWHV HV HQ HO
Fig.3
Geometría 63
Actividades que se sugieren para los futuros docentes 8VDQGRVyORODUHJODF yORODUHJODFRQVWUX\H RQVWUX\HHQXQDFXDGU HQXQDFXDGUtFXODXQSDUDOH tFXODXQSDUDOHORJUDPRTXH ORJUDPRTXHWHQJD WHQJD 1.8VDQGRV dos ángulos de 135°. 2. Construye con regla y escuadras un paralelogramo que tenga dos ángulos de 75°. 3. Construye un paralelogramo que tenga dos ángulos de 15°. 4. Haz la siguiente construcción y explica de qué tipo es el cuadrilátero que se forma. 1RVHSHUPLWHPHGLUVLQRDUJXPHQWDUVLVHFXPSOHQRQRORVDWULEXWRVGHOD¿JXUD 0DUFDHQXQDKRMDHQEODQ 0DUFDHQ XQDKRMDHQEODQFRGRVSXQW FRGRVSXQWRVTXHHVWpQ RVTXHHVWpQDXQDGLVWDQF DXQDGLVWDQFLDGHSRFRP LDGHSRFRPiV iV de tres centímetros, llama a esos puntos A y B. $FRQWLQXDFLyQWUD]DXQDFLUFXQIHUHQFLDFRQFHQWURHQ$TXHSDVHSRU% 'HVSXpVWUD]DRWUDFLUFXQIHUHQFLDFRQFHQWURHQ%\TXHSDVHSRUHOSXQWR$ /ODPD&\'DORVSXQWRVGHLQWHUVHFFLyQGHODVFLUFXQIHUHQFLDV 7UD]DXQFXDGULOiWHURFX\RVYpUWLFHVVHDQORVSXQWRV$%&\' 5.5HDOL]DODFRQVWUXFFLyQVLJXLHQGRODVLQVWUXFFLRQHVTXHVHGDQDFRQWLQXDFLyQ\ explica de qué tipo es el cuadrilátero que se forma. 7UD]DXQDFLUFXQIHUHQFLDHQXQDKRMDHQEODQFR 7UD]DGRVGLiPHWURVGLIHUHQWHVGHHVDFLUFXQIHUHQFLD 8QHORVSXQWRVGHLQWHUVHFFLyQGHORVGLiPHWURVFRQODFLUFXQIHUHQFLDSDUDIRUPDU un cuadrilátero. 6.5HDOL]DODFRQVWUXFFLyQVLJXLHQGRODVLQVWUXFFLRQHVTXHVHGDQDFRQWLQXDFLyQ\ explica de qué tipo es el cuadrilátero que se forma. 7UD]DXQFXDGU 7UD ]DXQFXDGULOiWHURFXDOTX LOiWHURFXDOTXLHUDHQXQDKRMD LHUDHQXQDKRMDHQEODQFR HQEODQFR /RFDOL]DORVSXQWRVP /RFDOL]DOR VSXQWRVPHGLRVGHORV HGLRVGHORVODGRVGHOF ODGRVGHOFXDGULOiWHUR XDGULOiWHUR 8QHORVSXQWRVPHGLRVSDUDIRUPDUXQFXDGULOiWHUR 7.5HDOL]DODFRQVWUXFFLyQVLJXLHQGRODVLQVWUXFFLRQHVTXHVHGDQDFRQWLQXDFLyQ y explica de qué tipo es el cuadrilátero que se forma. 'LEXMDXQUHFWiQJXORFXD 'LEXMDXQUH FWiQJXORFXDOTXLHUDHQXQDK OTXLHUDHQXQDKRMDHQEODQFR RMDHQEODQFR /RFDOL]DORVSXQWRVP /RFDOL]DOR VSXQWRVPHGLRVGHORV HGLRVGHORVODGRVGHOUH ODGRVGHOUHFWiQJXOR FWiQJXOR 8QHORVSXQWRVPHGLRVSDUDIRUPDUXQFXDGULOiWHUR 8.5HDOL]DODFRQVWUXFFLyQVLJXLHQGRODVLQVWUXFFLRQHVTXHVHGDQDFRQWLQXDFLyQ y explica de qué tipo es el cuadrilátero que se forma. 'LEXMDXQURPERFXDOTXLH 'LEXMDXQUR PERFXDOTXLHUDHQXQDKRMD UDHQXQDKRMDHQEODQFR HQEODQFR /RFDOL]DORVSXQWRVPHGLRVGHORVODGRVGHOURPER 8QHORVSXQWRVPHGLRVSDUDIRUPDUXQFXDGULOiWHUR
64 Geometría
(OSDUDOHORJUDPR\VXVGLDJRQDOHV 0XOWLSOLFDFLyQ7DEODVGHPXOWLSOLFDU 5HÁH[LRQHV DGLFLRQDOHV
6H SXH SXHGH GH FDU FDUDFW DFWHUL HUL]DU ]DU D ORV FXD FXDGUL GULOiW OiWHUR HURV V SRUODSRVLFLyQUHODWLYDGHVXVGLDJRQDOHV Paralelogramo Paralelogramo:: sus diagonales se cortan en su punto medio. Rombo Rombo:: sus diagonales son mutuamente perpendiculares y se cortan en su punto medio. Rectángulo Rectángulo:: sus diagonales tienen igual longitud y se cortan en su punto medio. Cuadrado Cuadrado:: sus diagonales tienen igual longitud, son mutuamente perpendiculares y se intersecan en su punto medio. (VWRVVRQORVFDVRVTXHGHEHQREVHUYDUORV alumnos.
/DJUiÀFDTXH VHSUHVHQW VHSUHVHQWy y HQ SiJLQDV SiJL QDV DQWH DQWHULRU ULRUHV HV PXHV PXHVWUD WUD OD UHODFLyQHQWUHORVFXDGULOiWHURV Cuadriláteros Trapecios r a l e log r m r a o a s
P
3RU FXH FXHVW VWLyQ LyQ GH HVS HVSDFL DFLR R VH VHxDOyTXHODUHJLyQGHFRORU URMR URM R UHS UHSUHV UHVHQW HQWD D D ORV UHF UHFWiQ WiQ-JXOR JX ORV V DT DTXH XHOO OOD D ER ERUG UGHD HDGD GD GH QHJURDORVURPERV\OD]RQD GRQGHVHLQWHUVHFDQORVGRVD ORVFXDGUDGRV La caracterización de los cuadriláteros por la posición UHODWLYDGHVXVGLDJRQDOHVHV consistente con lo que repreVHQWDHOGLDJUDPDDQWHULRU (QWRGRVORVSDUDOHORJUDPRV VXV GLDJ GLDJRQDO RQDOHV HV VH LQWH LQWHUVHF UVHFDQ DQ HQVXSXQWRPHGLR /RV UHFW UHFWiQJX iQJXORV ORVVRQ VRQSDUD SDUDOH OH-ORJUDP ORJ UDPRV RV FRQ XQD SU SURSL RSLHGD HGDG G DGLFLRQDOODVGLDJRQDOHVWLHQHQ LJXDOORQJLWXG /RVURPERVVRQSDUDOHORJUD/RVURPERVVRQSDUDOHORJUDmos con una propiedad adicioQDOODVGLDJRQDOHVVHLQWHUVHFDQ HQVXVSXQWRVPHGLRV
Fig.1
En las páginas 66, 67, 71 y 72 del Tomo V, Vol. 1, se estudia el paralelogramo y sus diagonales. En el caso de los cuadriláteros las diagonaOHVWLHQHQSURSLHGDGHVLQWHUHVDQWHV(OREMH-OHVWLHQHQSURSLHGDGHVLQWHUHVDQWHV(OREMH WLYRGHODVUHODFLRQHVTXHVHSLGHHVWDEOHFHU en el apartado 2 de la página 67 (Fig. (Fig. 3) 3) es que los alumnos comprendan esas propiedades. El ejercicio se enlaza con la página 66 (Fig. ( Fig. 1), 1), se pide trazar las diagonales de cada cuadrilátero, realizar las mediciones coUUHVSRQGLHQWHVHLGHQWL¿FDUORVFXDGULOiWHURV cuyas diagonales muestran las relaciones TXHVHEXVFDQ
Fig.3
Fig.4
/RVFXDGUDGRVSHUWHQHFHQD ODFODVHGHORVUHFWiQJXORV\D ODGHORVURPERV
En la página 72 (Fig. (Fig. 4) 4) se presenta un ejercicio de aplicación de estos casos; los DOXPQRVSXHGHQUHVROYHUORV DOXPQRVSXHGHQ UHVROYHUORVPLGLHQGRODV PLGLHQGRODVORQ ORQ-JLWXGHV\ORViQJXORVSHURWDPELpQSXHGHQ deducir sus respuestas por la posición de los puntos con relación a las circunferencias. /DVHFXHQFLDGHSUREOHPDVGHODSiJLQD (Fig. 2 GDOXJDUDXQDUHYLVLyQVLVWHPiWLFDGH GDOXJDUDXQDUHYLVLyQVLVWHPiWLFDGH los conceptos aprendidos: 'HQRPLQDFLyQGH¿QLFLyQ (Y (YDOX DOXDFL DFLyQ yQ GH ORV DWU DWULEX LEXWRV WRV SDU SDUD D FDV FDVRV RV concretos. 'LVFULPLQDFLyQGHFDVRVDSDUWLUGHYDORUHV SDUWLFXODUHVGHORVDWULEXWRV 5HFRQRFLPLHQWRGHFXDGULOiWHURVPHGLDQte la aplicación de la caracterización de sus diagonales. Fig.2
Geometría 65
Actividades que se sugieren para los futuros docentes 8QDOXPQRD¿UPDTXHHQ D¿UPDTXHHQWRGRSDUDOHORJUDPRVXVGLDJRQDOHVWLHQHQODP WRGRSDUDOHORJUDPRVXVGLDJRQDOHVWLHQHQODPLVPDORQJLWXG LVPDORQJLWXG 1.8QDOXPQR ¢(VFRUUHFWRORTXHD¿UPD"¢3RUTXp"6LQRORHV¢FyPRORFRQYHQFHUtDVGHVXHUURU" 2.8QDOXPQRD¿UPDTXHORVFXDGUDGRVVRQXQDVXEFDWHJRUtDGHORVUHFWiQJXORV¢(V FRUUHFWRORTXHD¿UPD"¢3RUTXp"6LQRORHV¢FyPRORFRQYHQFHUtDVGHVXHUURU" 3.8QDOXPQRD¿UPDTXHQRHVSRVLEOHFRQVWUXLUXQSDUDOHORJUDPRHPSH]DQGRFRQHO WUD]RGHVXVGLDJRQDOHV¢(VFRUUHFWR WUD]RGHVXVGLDJRQDOHV ¢(VFRUUHFWRORTXHD¿UPD"¢3RUTXp"6LQRORHVHV¢FyPR ORTXHD¿UPD"¢3RUTXp"6LQRORHVHV¢FyPR ORFRQYHQFHUtDVGHVXHUURU" 4.8QDOXPQRD¿U 8QDOXPQRD¿UPDTXHHOSXQWRGRQGHV PDTXHHOSXQWRGRQGHVHLQWHUVHFDQODV HLQWHUVHFDQODVGLDJRQDOHVGHXQUHF GLDJRQDOHVGHXQUHFWiQJXOR WiQJXOR HTXLGLVWDGHVXVYpUWLFHV¢(VFRUUHFWRORTXHD¿UPD"¢3RUTXp"6LQRORHVHV¢FyPR ORFRQYHQFHUtDVGHVXHUURU" 5.8QDOXPQRD¿UPDTXHSXHGHFRQVWUXLUXQFXDGUDGRHPSH]DQGRFRQHOWUD]RGHVXV GLDJRQDOHV¢(VFRUUHFWRORTXH GLDJRQDOHV¢(V FRUUHFWRORTXHD¿UPD"¢3RU D¿UPD"¢3RUTXp"6LQRORHV¢FyP TXp"6LQRORHV¢FyPRORFRQYHQFHU RORFRQYHQFHUtDV tDV de su error?
66 Geometría
ÉQJXORVGHOWULiQJXORUD]RQDPLHQWRLQGXFWLYR 0XOWLSOLFDFLyQ7DEODVGHPXOWLSOLFDU 5HÁH[LRQHV DGLFLRQDOHV /RV UHV UHVXOW XOWDGRV DGRV JHR JHRPpW PpWULF ULFRV RV GH HV HVWD WDVV Si SiJL JLQD QDVV VR VRQ Q GR GRV V aunque en realidad uno se REWLHQHGHORWUR (QWRGRWULiQJXORODVXPD GHODVPHGLGDVGHVXViQJXORV LQWHUQRVHV /D PHGL PHGLGDGH GDGH WRG WRGR R iQJ iQJX XORH[WHUQRGHXQWULiQJXORHV LJXDODODVXPDGHODVPHGL GDV GH ORV iQJX iQJXORV ORV LQW LQWHUQ HUQRV RV QRDG\DFHQWHV La primera se obtuvo como XQDFRQMHWXU XQDFRQMH WXUD(VWDFODVH D(VWDFODVH GH MXLFLRVQRVRQYHUGDGHV MXLFLRVQR VRQYHUGDGHVPDWH PDWH-máticas plenamente estableFLGDVVRODPHQWHVRQYiOLGDV SDUD SDU D DOJ DOJXQR XQRV V FDV FDVRV RV DXQT DXQTXH XH pVWRV pVW RV SDU SDUH]FD H]FDQ Q VHU PXF PXFKRV KRV (QPDWHPiWLFDVFXDQGRXQD FRQMHWX FRQM HWXUD UD VH GHPX GHPXHVW HVWUD UD FRQ ULJRUDGTXLHUHODFDWHJRUtDGH teorema Un teorema se establece mediante el procedimiento de demostración en el marco de una construcción axiomáticoGHGXFW GHG XFWLYD LYD (Q 0p[ 0p[LFR LFR QR VH plantea tal nivel de estudio de las matemáticas en la primaria QL HQ OD VHF VHFXQG XQGDUL DULD D PXF PXFKRV KRV de los resultados matemáticos TXHVHHQVHxDQHQHVWRVQLYH-TXHVHHQVHxDQHQHVWRVQLYH les simplemente se declaran o VHHVWDEOHFHQSRULQGXFFLyQ (QXQWH[WRGHJHRPHWUtDGH EDFKLOOHUDWRODSULPHUDFRQMH-EDFKLOOHUDWRODSULPHUDFRQMH WXUDVHHVWDEOHFHDVt ABC HV XQ WU WULi LiQJ QJXO XOR R FX FXDO DO-TXLHUD
6HWUD]DODUHFWDCD paralela al lado BAVHVLPEROL]D DVt&',,%$ &' &',, ,,%$ %$ HQ HQWR WRQF QFHV HV e Eson ángulos adyacentes &' &',, ,,%$ %$ HQ HQWR WRQFH QFHV V d DDOVHUiQJXORVDOWHUQRV LQWHUQRV &( HV SU SURO RORQ RQJD JDFL FLyQ yQ GH GHO O lado BCHQWRQFHVHOiQJXOR BCEPLGH 'HODÀJXUD GHF 3RUORVSDVRV\VHWLHQH DEF
En las páginas 99 a 101 del Tomo V, Vol. 1, 6XSRQLHQGRTXHC mide 50°, al desarrollar VHDERUGD HO UD]R UD]RQDPLH QDPLHQWRLQGXFWLYR QWRLQGXFWLYR GH ORV ODDFWLYLGDGVHSXHGHJHQHUDUODWDEODTXHVH ángulos del triángulo. muestra (Fig. (Fig. 3). 3). La exactitud de las medidas depende de la precisión que se haya logrado. (QOD DFW DFWLYL LYLGDG GDG GHOD SiJ SiJLQD LQD Fig. Fig. 1) 1) y HOSUREOHPDSXHGHQFRQGXFLUDXQDWDEOD (ODQiOLVLVGHORVGDWRVGHODWDEODFRQGXFH FRPRODXELFDGDEDMRODLOXVWUDFLyQFig.2 FRPRODXELFDGDEDMRODLOXVWUDFLyQ Fig.2 ): ): a la siguiente conjetura (Fig. (Fig. 4): 4):
Fig.4 2EWHQL 2EW HQLGD GD OD FRQ FRQMHW MHWXUD XUD ODV VLJ VLJXLH XLHQWH QWHV V WUH WUHV V imágenes de la página 100 tienen la función GHDSR\DUYLVXDOPHQWHVXYHUDFLGDG
Fig.1 A
60° 50°
40°
30°
20°
10°
B
30° 40°
50°
60°
70°
80°
6XPD
Fig.2 'HORVGDWRVVHREVHUYD &XDQGRODPHGLGDGHOiQJXOR$DXPHQWD la de B disminuye. A + % /RV GDW GDWRVGH RVGH ODWDEODFRUUH ODWDEODFRUUHVSR VSRQGH QGHQ Q D ORV WULiQJXORVTXH WULiQJ XORVTXH VH IRUPD IRUPDQ Q FXDQG FXDQGR R HO YpUWL YpUWLFH FH B toma diferentes posiciones en la recta BC VHJ~QODGLUHFFLyQGHODÀHFKD7 VHJ~QODGLUHFFLyQGHODÀHFKD 7DOHVFRQFOX DOHVFRQFOX-siones se llaman conjeturas, es decir: juicios decir: juicios que se forman a partir de indicios u observaFLRQHVHQFDVRVHVSHFt¿FRV . Al procedimiento TXHKDFHSRVLEOHSODQWHDUFRQMHWXUDVVHOHKD llamado método inductivo. inductivo.
Fig.5 1yWHVH TXH 1yWHVH TXHOD OD FRQM FRQMHWXU HWXUD D VH VHHVF HVFULELy ULELy HQ JHQHUDO³/DVXPDGHORVWUHViQJXORV de cualquier triángulo es 180°, siendo que HQUHDOLGDGVyORVHREVHUYyHQQXHYHFD-HQUHDOLGDGVyORVHREVHUYyHQQXHYHFD sos. A esta forma de expresar la conjetura se le llama generalización y constituye una HWDSDGHOPpWRGRLQGXFWLYR (V HYLGH HYLGHQWH QWH TXH HVWDV SUHF SUHFLVLRQH LVLRQHV V QR proceden con los alumnos, éstas serán REMHWR GH LQWHU LQWHUpV pV HQ QLYHO QLYHOHV HV VXSHU VXSHULRUHV LRUHV de su formación.
En la página 100 (Fig. (Fig. 5 ) se presenta al DOXP DO XPQR QR RW RWUR UR HM HMHU HUFL FLFL FLR R GH LQ LQGX GXFF FFLy LyQ Q 6H OH SLGH REVHU REVHUYDU YDU HO FRPS FRPSRUWDP RUWDPLHQWR LHQWR GH YDULR YDULRV V WULiQJXORVTXHVHREWLHQHQGHIRUPDVLPLODU al punto 3 de la página 99 para completar la D¿UPDFLyQLa suma de los tres ángulos de un triángulo es_____ grados .
Fig.6 A
80°
70°
60°
50°
40°
30°
B
50°
60°
70°
80°
90°
100°
CA
50°
50°
50°
50°
50°
50°
6XPD
Fig.3
Geometría 67
Actividades que se sugieren para los futuros docentes 1./DDFWLYLGDGGHODSiJLQDVHUHODFLRQDFRQ HVWD ¿JX HVWD ¿JXUD UD 2EV 2EVpUY pUYDOD DOD \ UHV UHVSRQ SRQGH GH ODV VLJ VLJXLH XLHQWH QWHV V preguntas: a + b¢3RUTXpUD]yQ" c¢3RUTXpUD]yQ" a + bc Porque dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí. 6LPSOL¿FDODH[SUHVLyQDQWHULRU Al ángulo c se le llama ángulo externo, a los ángulos internos a y b se les llama ángulos no adyacentes al ángulo c. $SDUWLUGHORDQWHULRUHVFULEH XQDFRQMHWXUDTXHLQ YROXFUHDORViQJXORVa, b y c9HUL¿FD ODYDOLGH]GHWXFRQMHWXUD ODYDOLGH]GH WXFRQMHWXUDHQDOJXQRVWU HQDOJXQRVWULiQJXORV LiQJXORV
2. 6DE 6DEHP HPRV RV TXH OD VXP VXPD D GHORV WUH WUHV V iQJ iQJXOR XORV V GH FX FXDOT DOTXLH XLHU U WULiQJXORHV WULiQJXORHV $SOLFD $SOLFD HVWH FRQR FRQRFLP FLPLHQWR LHQWR D OD ¿JXU ¿JXUD D SDUD mostrar que la suma de los ángulos del cuadrilátero es 360°
3. 6DEHPRVTXHODVXPDGHORVWUHViQJXORVGHFXDOTXLHUWULiQJXORHV$SOLFDHVWH conocimiento para contestar la pregunta que se hace en la imagen, utiliza en cada caso ODVLGHDVTXHWLHQHQHOQLxR\ ODVLGHDVTXH WLHQHQHOQLxR\ODQLxD\YH ODQLxD\YHUL¿FDTXHOD UL¿FDTXHODVXPDGHORV VXPDGHORViQJXORVHV iQJXORVHVGH GH
68 Geometría
3ROtJRQRVUD]RQDPLHQWRLQGXFWLYR 0XOWLSOLFDFLyQ7DEODVGHPXOWLSOLFDU 5HÁH[LRQHV DGLFLRQDOHV
En las páginas 102,104, 105 y 107 del Tomo 99ROVHDERUGDHOHVWXGLRGHORVSROtJRQRV FRPRUD]RQDPLHQWRLQGXFWLYR
El método inductivo trata de GHVFXEULU GHVFXEU LU UHJ UHJXOD XODULG ULGDGHV DGHV PH PH-GLDQWHOD REVHU REVHUYDFLyQ YDFLyQ (Q ORV FDVRV FDV RV TXH DER DERUGD UGDPRV PRV OD RE RE-servación y el estudio de las tablas conduce al estableciPLHQWRGHFRQMHWXUDV/RVHOH-PLHQWRGHFRQMHWXUDV/RVHOH mentos más visibles de esta IRUPDGHUD]RQDUVHJ~Q*HRUJH3yO\DVRQOD analogíaODgeneralización y la especialización
Analogía$ODQDOL]DUODWDEOD se observó que en cada caso WUL W ULiQ iQJX JXOR OR SDUD SD UDOH OHOR ORJU JUDP DPR R SHQWiJ SHQ WiJRQR RQR \ KH[ KH[iJR iJRQR QR la suma de las medidas de los ángulos es 180° por el número de triángulos formados. En este sentido los casos son anáORJRV\ ORJ RV\ ODH[SUH ODH[SUHVL VLyQGH yQGH HVW HVWD D DQDORJ DQD ORJtD tD HV OD FRQ FRQMHW MHWXUD XUD TXH se anota en letras negritas
En la página 105 (Fig. (Fig. 1) 1) se propone una acWLYLGDGTXHHVODFRQFOXVLyQGHXQSURFHVRLQ-WLYLGDGTXHHVODFRQFOXVLyQGHXQSURFHVRLQ GXFWLYRTXHVHLQLFLDFRQHOWHPD³)LJXUDV\VXV iQJXORV´YLVWRHQODSiJLQD Como en el caso de los ángulos del triángulo, para el caso de otros polígonos, la formulación GHFRQMHWXUDVVHDERUGDWDPELpQPHGLDQWHSUR-GHFRQMHWXUDVVHDERUGDWDPELpQPHGLDQWHSUR FHGLPLHQWRVLQGXFWLYRV Veamos el caso del cuadrilátero: en la página 102 ( Fig.2 Fig.2 )) se pide calcular la suma de los cuatro ángulos. De la primera parte de esta página VHREWLHQHODFRQMHWXUD/DVUHVWDQWHVLPiJHQHV GHHVDSiJLQDVLUYHQSDUDYHUL¿FDUVXYHUDFLGDG Veamos el caso del pentágono, en la página 104 (Fig. (Fig. 3 3 VH SL SLGH GH DO DO DOXP XPQR QR TX TXH H GL GLEX EXMH MH XQ SHQWiJRQR\VHOHSUHJXQWDVREUHODVXPDGH VXVFLQFRiQJXORV$O¿QDOVHOHSLGHTXHFRPSOHWHODH[SUHVLyQ³/DVXPDGHORViQJXORVGH FXDOTXLHUSHQWiJRQRHVBBJUDGRV´
Fig.1
GeneralizaciónHVXQDVSHFWR IRUPDOSRUHMHPSOR´HQWRGR SROtJRQRODVXPDGHODVPHGL-SROtJRQRODVXPDGHODVPHGL GDVGHORViQJXORVHV o por HOQ~PHURGHWULiQJXORVTXHVH IRUPDQµ (VWHDVSHFWRQRVHKL]RH[SOtFL-(VWHDVSHFWRQRVHKL]RH[SOtFL to en los cinco procedimientos inductivos que se presentan en HVWDOHFFLyQ3HURHQORVKHFKRV VHGLRDODVXPLUTXHODVFRQMH-VHGLRDODVXPLUTXHODVFRQMH turas encontradas son válidas VLHPSUH\DVtVHDSOLFDQDOUH-VLHPSUH\DVtVHDSOLFDQDOUH VROYHU VROY HU HMHU HMHUFLFL FLFLRV RV \ SUR SUREOHP EOHPDV DV TXHHOWH[WRSURSRQHDODOXPQR 6LQHPEDUJR SDUD DFHS 6LQHPEDUJR DFHSWDUXQ WDUXQ resultado en matemáticas se UHTXLHUHDOJRPiV1RVHSXHGH HVWDEOHF HVWD EOHFHU HU XQD JHQH JHQHUDOL UDOL]DFL ]DFLyQ yQ GHHVDPDQHUD&RQHOPpWRGR LQGXFWLYRVHDYDQ]DSHURQRVH resuelve el problema matemáWLFRGHODJHQHUDOL]DFLyQ
Especialización FR FRQV QVLV LVWH WH
HQ SUREDUODYDOLGH]GHODFRQMH-SUREDUODYDOLGH]GHODFRQMH tura en nuevos casos y si se FRQÀUPDOR~QLFRTXHRFXUUH es que aumenta nuestra conÀDQ]DHQHOOD\VyORHVR 'HVGH HO SXQ 'HVGH SXQWR WR GH YLV YLVWD WD GHO establecimiento del conociPLHQW PL HQWR R PD PDWH WHPiW PiWLF LFR R HO Pp Pp-WRGR WRG R LQGX LQGXFWL FWLYR YR HV OLP OLPLWD LWDGR GR VLQHPEDUJRHVIXQGDPHQWDO para el descubrimiento de los KHFKRVPDWHPiWLFRV
El siguiente caso se encuentra en la página 105 (Fig. (Fig. 1) 1) que corresponde al hexágono. Al OOHJDUDHVWHSXQWRVHGH¿QHQORVFRQFHSWRVGH polígono y diagonal de un polígono. Estas diagonales han estado siempre presentes, como lo FRQ¿UPDQODVLPiJHQHVGRQGHVHWULDQJXODQORV polígonos, pero no han sido utilizadas. Ahora, la VLWXDFLyQFDPELD\VHSURSRQHOOHQDUXQDWDEOD que las incorpora (Fig. (Fig. 5 /DWDEODGDOXJDUD /DWDEODGDOXJDUD pensar en una conjetura no circunscrita a un polígono en particular sino a los polígonos en JHQHUDODGHPiVREOLJDDEXVFDUXQDUHODFLyQ HQWUHODV HQWU HODV YDUL YDULDEOHV DEOHVQ~PHURGHWULiQJXO Q~PHURGHWULiQJXORVTXH RVTXH se forman y suma de ángulos, incorporando en el razonamiento un tipo de triangulació triangulación n de los SROtJRQRV(OUHVXOWDGRGHFRPSOHWDUODWDEODHV la siguiente conjetura: La suma de los ángulos de cualquier polígono se obtiene multiplicando 180° por el número de triángulos que se pueden construir al trazar las diagonales desde un vértice. vértice. (VWD (VW D FRQ FRQMHW MHWXUD XUD VHKD REW REWHQL HQLGR GRD D SDU SDUWLU WLU GH GHOD OD consideración de cuatro casos particulares, es XQDD¿UPDFLyQYiOLGDSDUDHVRVFDVRV/DLPD-XQDD¿UPDFLyQYiOLGDSDUDHVRVFDVRV/DLPD gen de la página 107 (Fig. (Fig. 6 SODQWHDXQQXHYR SODQWHDXQQXHYR FDVRSHURWLHQHXQVLJQL¿FDGRGLIHUHQWHHQpO se aplicará la conjetura para dar respuesta a las SUHJXQWDV6HYHUL¿FDV SUHJXQWDV6H YHUL¿FDVXFXPSOLPHQ XFXPSOLPHQWRPLGLHQGR WRPLGLHQGR los ángulos.
Fig.2
Fig.3
Fig.4
Fig.5
6HSURSRQHXQUHWR³HQFRQWUDUODVXPDGHORV iQJXORVGHXQRFWiJRQR´$KRUD\DVHSXHGH UHVROYHUHVWHSUREOHPD Fig.6
1
2
3
4
180
360
540
720
Geometría 69
Actividades que se sugieren para los futuros docentes 1. /OHQDORVHVSDFLRVYDFtRV\H[SUHVDXQDFRQMHWXUDTXHFRQVLGHUHODFDQWLGDGGHODGRV GHOSROtJRQR\ODVXPDGHVXViQJXORVYHUL¿FDODYHUDFLGDGGHODFRQMHWXUDSDUDRWURV polígonos. Finalmente, calcula la suma de los ángulos de un polígono de 53 lados. Triángulo
Cuadrilátero
Pentágono
Hexágono
1
2
3
4
1~PHUR GH ODGRV 1~PHURGHWULiQJXORVTXH VHIRUPDQDOGLYLGLUHOSROtJRQR FRQ GLDJRQDOHV GHVGH XQ YpUWLFH 6XPD GH iQJXORV
2. Traza un círculo y tantos diámetros en él como se indica en cada caso. Las partes en TXHTXHGDGLYLGLGRHOFtUFXORSRUHOWUD]RGHORVGLiPHWURVVHOODPDQVHFWRUHV&RPSOHWD ODWDEOD\IRUPXODXQDFRQMHWXUDJHQHUDOL]DGD&DOFXODFXiQWRVVHFWRUHVVHIRUPDQDO trazar 137 diámetros.
1~PHUR GH GLiPHWURV
Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 4
Caso 5
Caso 6
1~PHURGHVHFWRUHVTXHVHIRUPDQ
3.$ $SDUWLUGHODVLJXLHQWHWDEODFDOFXODORV SDUWLUGHODVLJXLHQWHWDEODFDOFXODORVGDWRVGHODVGRV~OWLPDV¿ODVSDUD GDWRVGHODVGRV~OWLPDV¿ODVSDUDORVFDVRV ORVFDVRV 5, 7 y 20. Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 4
1~PHURGHWULiQJXORV
1
4
9
16
Perímetro del triángulo mayor
3
6
9
12
Figura
70 Geometría
'HVDUUROORVSODQRV 'LYLVLyQFRQUHVWR
5HÁH[LRQHV DGLFLRQDOHV El desarrollo plano de una forma tridimensional es una representación en el plano que al ser transformada de forma adecuada permite obtener la forma tridimensional dada. No todos los cuerpos tienen un desarrollo plano. También puede haber más de un desarrollo plano para un cuerpo. Por ejemplo, para el cubo:
Se comentó con anterioridad HQ OD FRO FROXPQ XPQD D GH UHÁ UHÁH[L H[LR Rnes adicionales) la relevancia que tiene para este tema la actividad de visualización, la cual implica, en general, dos procesos: interpretación GHLQIRUPDFLyQÀJXUDGD\ procesamiento visual.
La interpretación de inforPDFLyQ ÀJXUDGD hace referencia al proceso de comprensión e interpretación de las representaciones visuales, el FXDOSHUPLWHH[WUDHUODLQIRU-FXDOSHUPLWHH[WUDHUODLQIRU mación que contienen éstas.
En las páginas 37 a 42 y 46 del Tomo VI, Vol.1 se estudian los desarrollos planos. Como antecedente a esta lección, se cuenta con la lección de las páginas 78 a 80 del Tomo III, Vol.2 en la cual se trabajó con cajas rectangulares (prismas rectangulares y cubos). En el sexto grado se les da nombre a estas formas y se avanza en su formalización. En la página 38 (Fig. (Fig. 1) 1) se caracteriza al prisma rectangular y al cubo, recordando que estas formas están constituidas de caras, aristas y vértices (esta información se dio a conocer en el tercer grado).
Fig.1
Fig.3 6L GH GHWH WHUP UPLQ LQDG DGR R GH GHVD VDUU UURO ROOR OR SO SODQ DQR R SX SXHG HGH H generar o no un prisma o un cubo. &X &XiO iOHV HV HO HOHP HPHQ HQWR WRV V GH XQ SU SULV LVPD PD F FDU DUDV DV aristas, vértices) van a coincidir al armar su desarrollo plano. &RPSOHWDUXQGHVDUUROOR &RPSOHWDU XQGHVDUUROORSODQRTXHHIHF SODQRTXHHIHFWLYD WLYD-mente dé lugar a un prisma. 7U 7UD]D D]DU U GHV GHVDUU DUUROO ROORV RV SOD SODQRV QRV GLI GLIHUH HUHQWH QWHV V TXH den lugar a un mismo prisma.
A partir de un prism prisma a rectang rectangular ular,, en la siguiente página se ilustra cómo “extraer” sobre un papel una red de puntos y rectas que formarán lo que se conoce como el desarrollo plano del prisma (Fig. (Fig. 2 ), ), que al ser doblado como ahí se ilustra, se obtiene un prisma rectangular similar al que sirvió de modelo.
El procesamiento visual hace referencia a la interpretación de información no ÀJXUDGDHQLPiJHQHVRELHQ al proceso de transformación de unas imágenes en otras.
Fig.4 En estos cuatro casos se apela a la capacidad de imaginar la transformación espacial de estas redes de puntos y líneas (Figs. (Figs. 4 y 5 ). ).
,QIRUPDFLyQ ,QIRUPDFLy Q ÀJXU ÀJXUDGDHV DGDHV LQIRUPDF LQIR UPDFLyQ LyQ H[SU H[SUHVDG HVDGD D SRU medio de imágenes.
Fig.2 Esta experiencia es relevante porque enseña al alumno a apropiarse de algunas formas que aparecen en el entorno, le capacita para desagregarlas e integrarlas, transitando de una representación plana a otra tridimensional y recíprocamente. Las actividades de las páginas siguientes ilustran las habilidades de percepción visual que esta forma de enseñanza posibilita (Fig. (Fig. 3). 3). Utilizando únicamente la capacidad de visualización el alumno debe poder concluir lo siguiente:
Fig.5
Geometría 71
Actividades que se sugieren para los futuros docentes Una proyección isométrica isométricaHVXQPpWRGRJUi¿FRSDUDODUHSUHVHQWDFLyQGHXQREMHWR HVXQPpWRGRJUi¿FRSDUDODUHSUHVHQWDFLyQGHXQREMHWR WULGLPHQVLRQDOHQGRVGLPHQVLRQHV6HDSR\DHQWUHVHMHVRUWRJRQDOHV;<=ORVFXD les en la proyección isométrica forman ángulos de 120° y las dimensiones paralelas a dichos ejes se miden con la misma escala. Este recurso tiene la ventaja de permitir la UHSUHVHQWDFLyQDHVFDOD\ODGHVYHQWDMDGHQRUHÀHMDUODGLVPLQXFLyQDSDUHQWHGHWDPD-UHSUHVHQWDFLyQDHVFDOD\ODGHVYHQWDMDGHQRUHÀHMDUODGLVPLQXFLyQDSDUHQWHGHWDPD ño –proporcional a la distancia– que percibe el ojo humano. =
a r u t l A 1 Módulo <
;
1 Módulo
300
1 Módulo
An c h
did un f o Pr
o
ad
300
A
1. En la página 46 el texto aborda la representación plana de objetos tridimensionales que son justamente representaciones isométricas. Haz las representaciones isométricas de las siguientes formas tridimensionales:
2. Dibuja el desarrollo plano del siguiente cuerpo.
72 Geometría
3ULVPDV 0XOWLSOLFDFLyQ7DEODVGHPXOWLSOLFDU Además de completar la tabla, es interesante analizarla con la idea de descubrir alguna relación entre caras, vértices y aristas.
5HÁH[LRQHV DGLFLRQDOHV El método inductivo permite descubrir mediante la obserYDFLyQ YDF LyQ UHJ UHJXOD XODUL ULGDG GDGHV HV \ FRK FRKHHrencia. Los elementos más visibles de esta forma de razonar, VHJ~ VH J~Q Q *H *HRU RUJH JH 3y 3yO\ O\D D VRQODDQDORJtDODJHQH-VRQODDQDORJtDODJHQH UDOL]DFLyQ\ODHVSHFLDOL]DFLyQ
$QDORJtD ocurre al realizar el análisis de la tabla, estudiarla con la intención de descubrir alguna regularidad entre las columnas de datos. Si el análisis permite descubrir una relación entre los datos de cada columna que se cumpla para las otras columnas, entonces se dice que los FDVRVVRQDQiORJRV\ODH[SUH-FDVRVVRQDQiORJRV\ODH[SUH sión verbal o escrita de esta DQDORJtDVHOODPDFRQMHWXUD *HQHUDOL]DFLyQ es un aspecto formal, se da al demostrar que las conjeturas encontradas son válidas siempre. Por ejemplo: en el caso de los prismas, que la regularidad descubierta es válida para todos los prismas. La generalización ocurre cuando se dice o escribe: Para todo prisma pri sma re rectan ctangul gular ar se cum cum- ple… (en el lug lugar ar de los los punt puntos os suspensivos, se debe escribir la conjetura). El método inductivo permite avanzar en la formulación de una conjetura, pero esto no resuelve el problema de la generalización en el sentido que lo H[LJHQODVPDWHPiWLFDV
(VSHFLDOL] (VSHFLD OL]DFL DFLyQ yQ Fonsiste en probar la validez de la conjetura en nuevos casos. Si se cumple la conjetura en un nuevo caso, lo único que sucede es que auPHQWHQXHVWUDFRQÀDQ]DHQHOOD \QDGDPiV Desde el punto de vista del establecimiento del conocimiento matemático el método inductivo es limitado, sin embargo, es fundamental para el descubrimiento de éste.
Fig.2
Fig.1 En las páginas 43 a 50 del Tomo VI, Vol.1 se abunda en la comprensión del tema de los prismas.
6L ORV DOX DOXPQ PQRV RV GHV GHVFX FXEUH EUHQ Q XQD UHO UHODF DFLyQ LyQ D partir de los datos de la tabla, varias cosas VLJQL¿ VLJ QL¿FD FDWLY WLYDV DV KDE KDEUiQ UiQ RF RFXUU XUULGR LGR KDV KDVWD WD DKR DKRUD UD además de conocer globalmente a los prismas y de saber que están constituidos por elementos más simples, algunos relacionados por medio de la perpendicularidad y el paralelismo, ahora han descubierto que estos cuatro prismas rectangulares cumplen una relación que los asemeja aún más. Casi de forma natural puede plantearse: ¿la relación descubierta se cumple para otros prismas?
Cuando los alumnos inician el estudio de estas páginas ya han transitado de un conocimiento global de formas tridimensionales (prisma y cubo) al reconocimiento de sus partes constitutivas: caras, aristas, vértices y los desarrollos planos que los articulan. Ahora en la página 43 (Fig. 1) 1) se muestran otras características de estas formas relacionadas con las nociones de paralelismo y perpendicularidad: 3DUDOHOLVPR\SHUSHQGLFXODULGDGHQWUHODV caras. 3DUDOHOLVPR\SHUSHQGLFXODULGDGHQWUHODV caras y las aristas. 3DUDOHOLVPR\SHUSHQGLFXODULGDGHQWUHODV aristas. De esta forma se amplían los conceptos de prisma y cubo al reconocer que se encuentran formados por elementos mas simples, los cuales a su vez se encuentran relacionados de diferentes maneras y que son objeto de la mayoría de las preguntas que se hacen en estas lecciones. En la página 48 (Fig. (Fig. 2 ) hay una tabla a la que el alumno debe completar a partir de los cuatro prismas que se muestran en la imagen de la página 47 (Fig. (Fig. 3). 3). A manera de ejemplo, la tabla tiene llena la primera columna correspondiente al prisma de base triangular y se pide al alumno que la complete.
Fig.3
Geometría 73
Actividades que se sugieren para los futuros docentes 1.,GHQWL¿FD 1. ,GHQWL¿FDORVSROLHGURV ORVSROLHGURVTXHVHP TXHVHPXHVWUDQHQOD XHVWUDQHQODVLJXLHQWHWDEOD VLJXLHQWHWDEOD
1. Prisma triangular 2. Cubo 3. Prisma pentagonal 4. Tetraedro 5. Pirámide cuadrada 6. Pirámide pentagonal 7. Octaedro 8. Torre 9. Antiprisma
1
2
3
4
5
6
7
8
9
a) Analogía a) Analogía:: Completa la tabla y busca analogías que permitan establecer una conjetura:
Prisma Prisma Pirámide Pirámide Tetraedro Octaedro Torre Antiprisma Cubo triangular pentagonal cuadrada pentagonal Vértices Aristas Caras
Escribe la conjetura que encontrast encontraste. e. b) Generalización Generalización:: Escribe la generalización generalización de tu conjetura. conjetura. c) Especialización Especialización:: Prueba la validez de tu conjetura para el SROLHGURGHOD¿JXUDHOFXDO SROLHGURGHOD¿ JXUDHOFXDOWLHQHWRGDVV WLHQHWRGDVVXVFDUDV XVFDUDVSHQWDJRQDOHV SHQWDJRQDOHV Número de vértices: ____ Número de aristas: ____ Número de caras: ____ Conclusión:: ______________ Conclusión _____________________________ ______________________ _______
74
Medición
Medición
Parte V Medición
75
76 Medición
&RPSDUHPRVORQJLWXGHV
5HÁH[LRQHV DGLFLRQDOHV
En las páginas 101 a 103 del Tomo I de Matemáticas para la Educación Normal , se plantea la comparac comparación ión de longitudes.
La construcción matemática de la acción de medir puede concebirse en dos pasos:
En la página 101 (Fig. 1) se aborda la noción de longitud mediante la comparación del tamaño de diversos objetos. La pregunta generadora es: “¿cuál es más largo?”
1) pr pre-m e-medic edición ión, que se basa en el uso de procedimientos empíricos para comparar, ordenar y combinar de manera directa un conjunto de objetos que poseen un atributo dado. 2) medición, se asigna un número real no negativo a cada objeto, de tal forma que ese número expresa la magnitud que interesa medir. La longitud es una de las magnitudes físicas fundamentales, en tanto que no SXHG SX HGH H VH VHU U GH GHÀQ ÀQLG LGD D HQ Wp WpUUminos de otras magnitudes. En nuestro sistema de medición la longitud es la unidad fundamental, de la cual se derivan otras mediciones. Por ejemplo, el área y el volumen se obtienen con base en la longitud. La longitud es una medida unidimensional (lineal), mientras que el área es una medida bidimensional y el volumen es una medida tridimensional.
Fig. 1
Al momento de abordar esta lección el alumno aún no dispone de una unidad de medida me dida para responder dicha pregunta. Los recursos de que dispone son procedimientos empíricos para hacer directamente la comparación, ordenación y combinación de los objetos. En la página 102, los procedimientos que se ilustran en la lección son: - Medir el largo de los objetos usando listones para comparar comparar sus longitudes (Fig. 2).
Fig. 2
- Colocar un objeto junto al otro para compararlos (Fig. 3).
Fig. 3
- Marcar el largo y ancho de un libro sobre un objeto que sea más largo para comparar las longitudes de ambas dimensiones (Fig. 4). En esta primera parte de la lección el tratamiento del tema se basa en los procesos de comparación, ordenación y combinación de ob jetos, los cuales cuales son de de gran utilidad para introducir a los Fig. 4 alumnos en la comprensión de la noción de medir.
Actividades que se sugieren para los futuros docentes 1. ¿Con qué antecedentes cuenta el alumno de primer grado para iniciarse en el estudio de la medición? Discute tu respuesta con tus compañeros y tu profesor. 2. ¿Presenta alguna ventaja didáctica didáctica el hecho de iniciar el estudio de la medida de longitudes con unidades arbitrarias en lugar de usar las unidades convencionales de un sistema de medición preestablecido? Discute tu respuesta con tus compañeros y tu profesor. 3. ¿Por qué se consideran importantes los procesos de comparación, ordenación y combinación de objetos para la comprensión de la medición? Discute tu respuesta con tus compañeros y tu profesor. 4. Desarrolla una secuencia secuencia de actividades para que un alumno de primer grado se inicie en el proceso de medición.
Medición 77
&RPSDUHPRVORQJLWXGHV En las páginas 104 a 106 del Tomo I, se puede observar que la lección continúa con la pregunta: “¿cuál objeto es más largo?”. La diferencia aquí es el método que se emplea para responderla.
5HÁH[LRQHV DGLFLRQDOHV Medición:
consiste en asignar un número real no negativo a una magnitud de un objeto, de tal forma que ese número la describe en sus características esenciales.
Para determinar cuál de los objetos es más largo se acude a la estrategia de encontrar cuántas veces cabe un objeto en otro para asignar una medida. Por ejemplo, en la primera imagen se observa cómo medir el largo y ancho de una mesa con un lápiz (Fig. 1). En la segunda imagen (Fig. 2) se muestra un bolígrafo y un lápiz sobre una cuadrícula para conocer el número de cuadritos que ocupa su l argo. En ambos casos, los alumnos están en posibilidad de asignar un valor numérico a la longitud de los objetos: el largo de la mesa es 3 lápices y su ancho 4; el largo del bolígrafo abarca 6 cuadros y el del lápiz 7. Para determinar con esta información cuál objeto es más largo deben comparar las medidas asignadas a cada longitud. En la actividad de la página 106 (Fig. 3): “¿cuál tren es el más largo?”, el método que se usa consiste en medir el largo de los trenes a partir del número de vagones que los conforman (la unidad de medida es un vagón). El uso de este método hace innecesaria la alineación de los objetos o el uso de otros objetos para comparar sus longitudes, como los listones del inicio de la lección. Es entonces cuando el alumno comienza a utilizar unidades de medida no convencionales para efectuar mediciones.
Fig. 1
Fig. 2
Fig. 3
El rasgo que distingue al proceso de medición del proceso de contar, es que en el priPHURVHSXHGHQGH¿QLUXQDRPiVXQLGDGHV y con éstas medir la misma cantidad.
Actividades que se sugieren para los futuros docentes 1.,QGDJDODGH¿QLFLyQGHPHGLFLyQHQYDULDVIXHQWHV\GLVF~WHODVFRQWXVFRPSDxHURV\WXSURIHVRU 1.,QGDJDODGH¿QLFLyQGHPHGLFLyQHQYDULDVIXHQWHV\GLVF~WHODVFRQWXVFRPSDxHURV\WXSURIHVRU 2. ¿Qué diferencias encuentras en el uso del número como medida y como expresión de una cantidad? Discute tu respuesta con tus compañeros y tu profesor. 3. ¿De qué manera contribuye esta parte de la lección al desarrollo de la noción de medición? -XVWL¿FDWXUHVSXHVWD 4. ¿Qué unidades de medida conoces y cómo y dónde se usan?
78 Medición
/RQJLWXG¢FyPRH[SUHVDUODORQJLWXG"
5HÁH[LRQHV DGLFLRQDOHV Una magnitud es una característica de un objeto que se puede medir y expresar de forma numérica. La longitud es una magnitud. Algunas acciones que ayudan a desarrollar la noción GH ORQ ORQJLW JLWXG XG VRQ FOD FODVL VLÀFD ÀFDUU ordenar y construir patrones.
En las páginas 72 a 80 del Tomo Tomo II, Vol. 1 se analiza cómo expresar la longitud. En esta lección se aborda la medición de longitudes transitando de lo cualitativo a lo cuantitativo. Primero, en la página 72 (Fig. 1) se comparan las longitudes de los objetos sin el auxilio de otros elementos (comparación directa) y posteriormente, en la siguiente página (Fig. 2) se utiliza algún objeto externo (comparación indirecta).
La medición se realiza cuando contamos el número de veces que cabe una cierta unidad en el objeto a medir. Al usar unidades más pequeñas aumentamos la precisión de la medición. Con la asignación de una unidad de medida es posible construir un instrumento graduado que permite medir objetos de forma indirecta. El centímetro (cm) y el milímetro (mm) son unidades de medida que permiten expresar la longitud de los objetos. Estas unidades pertenecen al 6LVW 6L VWHP HPD D 0p 0pWU WULF LFR R 'H 'HFL FLPD PDO O que es un sistema de unidades construido con base en múltiSORV\VXEP~OWLSORVGHSRU HMHPSORcm = 10 mm.
Fig. 1
Fig. 2
El proceso de medición culmina al determinar el número de veces que cabe una unidad previamente establecida en el objeto que se quiere medir. En la lección se establece una unidad de medida usando papel cuadriculado como un instrumento de medición (como la regla graduada), esto permite determinar la longitud de objetos como el ejemplo del lápiz en la página 74 (Fig. 3).
Fig. 3
El uso del papel cuadriculado tiene como propósito introducir medidas convencionales, ya que la distancia entre sus líneas es de un centímetro. Por ejemplo, en la página 75, la longitud de la cinta (Fig. 4) es de “9 cuadritos” (9 cm).
Fig.4
Fig.5
La longitud de muchos objetos no se puede medir de manera exacta en centímetros, este hecho permite introducir la necesidad de determinar unidades de medida más pequeñas para aumentar la precisión de una medición. Por ejemplo, en la actividad 5 de la página 77 (Fig. 5), se muestra la pertinencia de usar una regla graduada hasta milímetros para encontrar que la tira de madera mide 7 cm 2 mm. El milímetro es otra unidad de longitud y diez de estas unidades componen un centímetro (1 cm=10 mm). En esta lección se ilustra el cálculo con estas unidades de medida, así como la equivalencia entre centímetros y milímetros. Fig.6
Actividades que se sugieren para los futuros docentes 1. Elabora un esquema que te permita ilustrar la secuencia didáctica de esta lección. Después, compárala con la de tus compañeros y comenten. 2.¢4XpRWUDVDFWLYLGDGHVFRQVLGHUDVTXHVHUtDIDFWLEOHLQWHJUDUDODOHFFLyQ"'HVFUtEHODV\MXVWL¿FDWXSURSXHVWD 2. ¢4XpRWUDVDFWLYLGDGHVFRQVLGHUDVTXHVHUtDIDFWLEOHLQWHJUDUDODOHFFLyQ"'HVFUtEHODV\MXVWL¿FDWXSURSXHVWD 3. ¿Cuál es el propósito didáctico de transitar de una comparac comparación ión cualitativa a una cuantitativ cuantitativa? a? 4. ¿Qué importancia tiene en el proceso de medición la construcción y uso de un instrumento de medición? Discute tu respuesta con tus compañeros y tu profesor. 5. ¿A qué obedece, en términos didácticos, didácticos, la incorporación de unidades de longitud como el centímetro y el milímetro? 6. ¢8QD ¢8QDPHGLFLyQHVVLHPS PHGLFLyQHVVLHPSUHH[DFWD UHH[DFWD",QGDJDHQIXHQWHVELEOLR ",QGDJDHQIXHQWHVELEOLRJUi¿F JUi¿FDVTXHFRQVLGH DVTXHFRQVLGHUHVDGHFX UHVDGHFXDGDV DGDVVL VL H[LVW H[LVWHQ HQ magnitudes que sólo admitan una medición aproximada. Discute tu respuesta con tus compañeros y tu profesor profesor..
Medición 79
/RQJLWXGHOPHWUR En las páginas 49 a 51 del Tomo II, Vol. 2 se continúa con el tema de la longitud y se incorpora la noción del metro. En la lección 8 se introdujeron dos unidades convencionales para medir longitudes (el centímetro y el milímetro). En esta lección se aborda un problema cuya solución hace evidente la necesidad de contar con otras unidades de longitud que estén relacionadas entre sí a través de un sistema de equivalencias que en conjunto conforman un sistema de medidas. Se plantean situaciones orientadas a introducir una nueva unidad convencional: el metro. Por ejemplo, en la página 49 (Fig. 1), la extensión de los brazos de la niña se mide con una cinta y la longitud de esta última se determina usando reglas de 30 cm. Los alumnos observan que caben tres reglas más 25 cm en el largo de la cinta.
5HÁH[LRQHV DGLFLRQDOHV Fig. 3
La imagen muestra la relación que existe entre el centímetro y el metro (1 m = 100 cm). Debemos destacar la importancia de medir un mismo objeto con distintas unidades, esto da sentido al establecimiento de equivalencias entre las unidades de medida y a que los alumnos comprendan gradualmente el funcionamiento del sistema de medición.
Fig. 4
El uso de diferentes unidades permite también expresar las medidas con mayor precisión, por ejemplo, en la actividad 2 de la página 50 (Fig. 4), 4), el largo de la jardinera es de 2 m 80 cm. Fig. 1
Con base en esto (Fig. 2) concluyen que la extensión de los brazos es de 115 cm. Al usar una regla de un metro (Fig. 3), la longitud equivalente queda expresada como 1 m 15 cm.
Fig. 5
La longitud es una magnitud continua y esto facilita crear unidades de medición más precisas. Se hace énfasis en que el sistema de unidades de medida permite el cálculo usando diferentes unidades. En la página 51 (Figs. 5 y 6) se ilustran algunas estrategias para efectuar dichos cálculos.
En esta lección es importante observar que las unidades de medida y las relaciones de equivalencia entre ellas se abordan acudiendo a situaciones prácticas en el entorno inmediato de los alumnos. 1RVyORVHHMHPSOLÀFDQHVDV VLWXDFLRQHVVLQRTXHVHSLGH a los alumnos que midan disWLQWRVREMHWRVFRQODÀQDOLGDG de agotar la utilidad de una cierta unidad de medida y crear la necesidad de contar con otra que permita medir con mayor precisión. 3XHVWRHQ RWUD 3XHVWRHQ RWUDV V SDOD SDODEUDV EUDV OD lección se basa en ofrecer oportunidades para que los alumnos le den sentido al sistema de medición a través la construcción de unidades de medida más adecuadas a cada situación. El metro es la unidad principal de longitud del Sistema Métrico Decimal. (QWUHORVP~OWLSORVGHOPHWUR están el decámetro (10 mHO hectómetro (100 m HONLO HONLOy ym metro (1000 HOPHJiPH HOPHJiPH-WUR WUR mHWF (QW (QWUH UH los submúltiplos del metro se encuentran el decímetro (0.1 PHOFHQWtPHWURPHO milímetro (0.001 m) y el micrómetro (0.000001 m).
Fig. 2
Fig. 6
Actividades que se sugieren para los futuros docentes 1. ¢&yPRVHMXV ¢&yPRVHMXVWL¿FDHQODOHF WL¿FDHQODOHFFLyQODLQWURGXFFLyQ FLyQODLQWURGXFFLyQGHOXVRGHOPHWUR GHOXVRGHOPHWURFRPRXQLGDGGH FRPRXQLGDGGHORQJLWXG"'LVFXWHWX ORQJLWXG"'LVFXWHWXUHVSXHVWDFRQWXV UHVSXHVWDFRQWXV compañeros y tu profesor. 2. ¿Cuál es la relevancia de resaltar en la lección el uso de diferentes unidades de medida para medir un mismo objeto? Discute tu respuesta con tus compañeros y tu profesor. 3. ¢4XpGL¿FXOWDGHVFRQVLGHUDVTXHHQIUHQWDUiQORVDOXPQRVFXDQGRUHDOLFHQFiOFXORVFRQORQJLWXGHVH[SUHVDGDVPHGLDQWH diferentes unidades de medida? Discute tu respuesta con tus compañeros y tu profesor. ¢4XpHVWUDWHJLDVGLGiFWLFDVVXJLHUHVSDUDDWHQGHUODVGL¿FXOWDGHVH[SXHVWDVHQHOSXQWRDQWHULRU"'LVFXWHWXUHVSXHVWD 4.¢4XpHVWUDWHJLDVGLGiFWLFDVVXJLHUHVSDUDDWHQGHUODVGL¿FXOWDGHVH[SXHVWDVHQHOSXQWRDQWHULRU"'LVFXWHWXUHVSXHVWD 4. con tus compañeros y tu profesor. 5. ¿Qué ventajas y/o limitaciones ofrece el hecho de que en los textos de segundo grado se introduzca el sistema métrico decimal? Discute tu respuesta con tus compañeros y tu profesor. 6. ¿Cuáles deben ser las características y propiedades que debe tener un sistema de unidades de medición? Detalla tu respuesta y discútela con tus compañeros y tu profesor.
80
Medición
7LHPSR\KRUD
5HÁH[LRQHV DGLFLRQDOHV 1 hora= 60 minutos 1 minuto= 60 segundos
(QODVSiJLQDVDGHO7RPR,,,9ROVHDWLHQGHHOFRQFHSWRGHWLHPSR\KRUD (QHVWDOHFFLyQVHDFRPSDxDODSUHVHQWDFLyQGHOFRQWHQLGRFRQLPiJHQHVUHSUHVHQWDWLYDVGH XQFRQWH[WRUHDO)LJTXHLQGLFDQGLIHUHQWHVWLHPSRVGHGLVWLQWDVDFWLYLGDGHV6HFRQVLGHUDQ ODVUHSUHVHQWDFLRQHVGHOWLHPSRHQXQUHORM\HQXQDJUi¿FDGHEDQGD
Para medir tiempos se necesitan dos cosas: - Una unidad de medida. -Un aparato, que mediante un movimiento regular, reproduzca dicha unidad.
La unidad principal del tiempo es el segundo. El aparato que se utiliza para medir el tiempo es el reloj.
Fig. 1
(QODSiJLQD)LJVHDFXGHDODQiOLVLV (QODSiJLQD)LJVHSODQWHDQSURFH- GHODVPDUFD GHODVPDUFDVTXH VTXH UHF UHFRUU RUUH H ODPDQHF ODPDQHFLOOD LOOD GHO VRVGHDQiOLVLVGHOWLHPSRH[SUHVDGRHQKRUDV PLQXWHURHQXQUHORMSDUDOOHJDUDODLQWHUSUH\PLQXWRVSRUPHGLRGHSUHJXQWDVUHIHUHQWHV WDFLyQGHOFRQFHSWRGHPLQXWR DODVLPiJHQHV
En el Sistema Internacional de Unidades, un segundo equivale a 9.192.631.770 periodos de radiación correspondientes a la transición entre los dos niveOHV OH V KL KLSH SHUÀ UÀQR QRV V GH GHO O HV HVWD WDGR GR fundamental del isótopo 133 del átomo de cesio (133Cs).
Fig. 3
(Q ODV SiJLQDV D VH DQ DQDO DOL] L]D D HO WL WLHP HPSR SR WUDQV WUD QVFX FXUU UULGR LGR GXU GXUDQ DQWH WH XQ GtDODFDQWLGDGGHKRUDV TXHKD\HQXQGtDRELHQ HOUHFRUULGRGHODVPDQHFLOODVGH FLOO DVGH XQUHORMGXUDQW XQUHORMGXUDQWH H XQ Gt GtD D GL GLYL YLGL GLpQ pQGR GROR OR HQ PDxDQD\WDUGH)LJ Fig. 2
Fig. 4
Actividades que se sugieren para los futuros docentes 1. (QODFROXPQDGH³5HÀ (QODFROXPQDGH³5HÀH[LRQHVDGLFLRQDOHV´V H[LRQHVDGLFLRQDOHV´VHSURSRUFLRQDODVLJXLHQWHLQIRUP HSURSRUFLRQDODVLJXLHQWHLQIRUPDFLyQ DFLyQ ³(QHO6LVWHPD,QWHUQDFLRQDOGH8QLGDGHVXQVHJXQGRHVLJXDODSHULRGRVGHUDGLDFLyQFRUUHVSRQGLHQWHD ODWUDQVLFLyQHQWUHORVGRVQLYHOHVKLSHU¿QRVGHOHV ODWUDQVLFLyQHQWUHORVGRV QLYHOHVKLSHU¿QRVGHOHVWDGRIXQGDPHQWDOGHOLVyWRSRGH WDGRIXQGDPHQWDOGHOLVyWRSRGHOiWRPRGHFHVLR&V OiWRPRGHFHVLR&V´ ´ ,QGDJDHQIXHQWHVELEOLRJUi¿FDVHOVLJQL¿FDGRGHODVH[SUHVLRQHV\ORVWpUPLQRVWpFQLFRVTXHDKtVHHPSOHDQ\KD]XQ UHSRUWHGHWXLQGDJDFLyQ 2.+D]XQDLQGDJDFLyQVREUHODV 2. +D]XQDLQGDJDFLyQVREUHODVXQLGDGHVGHWLHPSRTXHVHXVDQ XQLGDGHVGHWLHPSRTXHVHXVDQSDUDPHGLUODGLVWDQFLDHQWUHHVWUHOODVODVTXH SDUDPHGLUODGLVWDQFLDHQWUHHVWUHOODVODVTXHVH VH XVDQSDUDPHGLUODYHORFLGDGGHSURFHVDP XVDQSDUDPHGLU ODYHORFLGDGGHSURFHVDPLHQWRGHLQIRUPDFLyQGHXQ LHQWRGHLQIRUPDFLyQGHXQVLVWHPDFRPSXWDUL]DGRQDQRVHJXQGRV\ VLVWHPDFRPSXWDUL]DGRQDQRVHJXQGRV\ORV ORV JLJDKHUWVFXiQWDVRSHUDFLRQHVSXHGHKDFHUHOSURFHVDGRUGHXQDFRPSXWDGRUDHQXQPLQXWR+D]XQUHSRUWHGH HVWDLQGDJDFLyQ 3.¢4XpSDSHOGLGiFWLFRGHVHPSHxDODDFWLYLGDGGHH[SORUDUORVFRQRFLPLHQWRVSUHYLRVGHORVDOXPQRVDSDUWLUGHSUH 3. ¢4XpSDSHOGLGiFWLFRGHVHPSHxDODDFWLYLGDGGHH[SORUDUORVFRQRFLPLHQWRVSUHYLRVGHORVDOXPQRVDSDUWLUGHSUHJXQWDVVREUHVXVKiELWRV\UXWLQDVFRWLGLDQRV JXQWDVVREUHVXV KiELWRV\UXWLQDVFRWLGLDQRV"'LVFXWHWXUHVSXHV "'LVFXWHWXUHVSXHVWDFRQWXVFRPSD WDFRQWXVFRPSDxHURV xHURV
Medición
$VLPLVPR VH DQDOL]D HO $VLPLVPR WLHPS WLH PSR R WU WUDQV DQVFX FXUU UULG LGR R HQ PRPHQW PH QWRV RV HV HVSH SHFt Ft¿F ¿FRV RV GHO GtD PDxDQDWDUGHQRFKH (Q SU SULP LPHU HU OXJ OXJDU DU VH FR FRQV QVLLGHUD GHU D FX FXiQ iQWDV WDV KR KRUDV UDV KD\ HQ XQGtDXELFDQGRHOLQLFLR\HO WpUPLQRGHpVWH 3RVW 3R VWHU HULRU LRUPH PHQWH QWH VH XEL XELFD FDQ Q ODVDFWLYLGDGHVHQGRVHVSDFLRV FL RV P PDx DxDQD DQD \ WD WDUGH UGH SD SDUD UD FRPSDUD FRP SDUDU U ORV GLIH GLIHUHQ UHQWHV WHV PRPHQWRV PHQ WRV UHV UHVSHF SHFWR WR D RWUR PRPHQWRGDGR)LJ (QODVSiJLQDV\VH WUDEDMDVREUHODPHGLFLyQGH WLHPSRVFRUWRVFRQWHPSODGRV HQVHJXQGRV\PLQXWRV)LJ $ WUD WUDYp YpV V GH VL VLWXD WXDFL FLRQH RQHV V UHDOHVVHSODQWHDQSUHJXQWDV TXHFRQGXFHQDH[SUHVDUPL QXWRV\VHJXQGRVHQXQDVROD XQLGDGGHWLHPSR)LJ (QODSiJLQDVHSUHVHQWDQ XQ XQD D VH VHULH ULH GH SU SUREO REOHP HPDV DV TXHFRQWHPSODQODHTXLYDOHQFLDHQWUHGLIHUHQWHVXQLGDGHV GH PHG PHGLFLy LFLyQ Q GHO WLHP WLHPSR SR DVt FRPR FRP R RSH RSHUDF UDFLRQH LRQHV V HQHO VLVWHPDVH[DJHFLPDO
5HÁH[LRQHV DGLFLRQDOHV Para medir periodos de tiempo mayores a un día, se utilizan unidades mayores que una hora: - Un día es el tiempo que tarda la Tierra en dar una vuelta completa alrededor de su eje.
Fig. 5
- Un año es el tiempo aproximado que tarda la Tierra en dar una vuelta completa alrededor del Sol. Otras unidades de tiempo son: 1 minuto = 60 segundos (1 min = 60 s)
Fig. 6
1 hora = 60 minutos (1 h = 60 min) 1 día = 24 horas 1 año normal = 365 días 1 año bisiesto = 366 días 1 lustro = 5 años
Fig. 7
1 década = 10 años 1 siglo = 100 años 1 milenio = 1,000 años Cuando es necesario medir tiempos cortos, se utiliza el segundo como unidad de medida.
Fig. 8
Fig. 9
4.¢4XpKDELOLGDGHVDULWPpWLFDVGHEHSR 4.¢4XpKDELOLGDGHV DULWPpWLFDVGHEHSRQHUXQQLxRHQMXHJRSDUD QHUXQQLxRHQMXHJRSDUDOHHUODKRUDHQXQUHOR OHHUODKRUDHQXQUHORMUHGRQGRGHPDQHFLOODV MUHGRQGRGHPDQHFLOODV\HQXQUHORMGLJL \HQXQUHORMGLJL WDO"'LVFXWHWXUHVSXHVWDFRQWXVFRP WDO"'LVFXWHWXUHVSXH VWDFRQWXVFRPSDxHURV\WXSURIHVRU SDxHURV\WXSURIHVRU 5.(ODERUDXQUHORMFLUFXODUFRQPDWHULDOHVVHQFLOORVTXHVHWHQJDDODPDQR\HPSOpDORSDUDSODQWHDUSUHJXQWDVFRPRODVVLJXLHQWHV 5. (ODERUDXQUHORMFLUFXODUFRQPDWHULDOHVVHQFLOORVTXHVHWHQJDDODPDQR\HPSOpDORSDUDSODQWHDUSUHJXQWDVFRPRODVVLJXLHQWHV a) ¢4XpUHODFLyQH[LVWHHQ ¢4XpUHODFLyQH[LVWHHQWUHODVKRUDVPDUFD WUHODVKRUDVPDUFDGDVHQHOUHORMFLUFXODU\ORV GDVHQHOUHORMFLUFXODU\ORVJUDGRVGHODFLUFXQIHU JUDGRVGHODFLUFXQIHUHQFLD" HQFLD" b)¢4XpiQJXORVGHVFULEHQODVVLJXLHQWHVKRUDV" b) ¢4XpiQJXORVGHVFULEHQODVVLJXLHQWHVKRUDV" c)(QHOODSVRFRPSUHQGLGRHQ c) (QHOODSVRFRPSUHQGLGRHQWUHODV\ODLQGLFDDTXpKRU WUHODV\ODLQGLFDDTXpKRUDFRUUHVSRQGHODDSHUWXUDGHiQ DFRUUHVSRQGHODDSHUWXUDGHiQJXORVGHRR\R JXORVGHRR\R 6. 5HVXHOYHHOVLJXLHQWHSUREOHP 5HVXHOYHHOVLJXLHQWHSUREOHPD\GHVFULEHSRUHV D\GHVFULEHSRUHVFULWRFyPRORKLFLV FULWRFyPRORKLFLVWH WH -XDQKDFHHMHUFLFLRWUHV -XDQKDFHH MHUFLFLRWUHVYHFHVDO YHFHVDOGtDHQLQWHUYDORV GtDHQLQWHUYDORVGHWLHPSRGLIHUH GHWLHPSRGLIHUHQWHVKR\KL] QWHVKR\KL]RKRUD RKRUDPLQXWRV\ PLQXWRV\VHJXQGRVS VHJXQGRVSRUODPDxDQD RUODPDxDQD DOPHGLRGtDPLQXWRVVHJXQGRV\SR DOPHGLRGtDPLQXWRV VHJXQGRV\SRUODQRFKHPLQXWRV UODQRFKHPLQXWRV¢&XiQWRWLHPSRKL]RHMHUF ¢&XiQWRWLHPSRKL]RHMHUFLFLRHVWHGtD"6LFDGD LFLRHVWHGtD"6LFDGDGtDGHORVFLQFR GtDGHORVFLQFR TXHVHHMHUFLWDDODVHPDQDKDFHHMHUFLFLRHOPLVPRWLHPSR¢FXiQWRWLHPSRKDFHHMHUFLFLRHQXQDVHPDQD"
82 Medición
¢&yPRPHGLUGLVWDQFLDV"(ONLOyPHWUR
5HÁH[LRQHV DGLFLRQDOHV En la lección se induce la noción de que la distancia más corta entre dos puntos es la longitud del segmento de recta que los une. Asimismo, se induce que el concepto de distancia no se UHÀHUHSRUVtPLVPRDODGLV WDQFLDPtQLPDSRUHVRVHLQ-WDQFLDPtQLPDSRUHVRVHLQ siste en el empleo del término distancia para referirse a la longitud de un recorrido que no necesariamente se realiza HQOtQHDUHFWDGHVGHHOSXQWR GHSDUWLGDDOSXQWRÀQDO El sistema métrico decimal tiene como patrón de medida al metro. A las unidades que son mayores a un metro se denominan múltiplos, por ejemplo: el decámetro equivale a 10 metros (1 dam=10 m), el hectómetro a 100 metros (1 hm=100 m) y el kilómetro a 1000 metros (1 Km= 1000 m)
En las páginas 73 a 80 del Tomo III, Vol. 1 se estudia cómo la medición de longitudes grandes requiere de unidades de medida e instrumentos propios para el caso. En esta lección una longitud “grande” es la distancia que recorre un avión de papel, y una cinta métrica es el instrumento adecuado para determinar cuánto avanza. Esta situación requiere determinar un punto inicial \XQSXQWR¿QDO\PHGLUODGLVWDQFLDHQOtQHD recta entre ellos.
Fig. 1
En la página 73 (Fig. 1), los niños usan una cinta métrica para medir. Con la cinta es posible medir longitudes mayores a 3m, como en los casos que se muestran en la página 75 (Fig. 2).
Fig. 2
Se aborda el problema de medir distancias mayores para dar sentido a la introducción de otra unidad, el kilómetro (Km), y muestra la conveniencia de expresar en kilómetros distancias que son mayores a mil metros. Para introducir la noción de distancia entre dos puntos, en la página 77 hay una imagen (Fig. 3), en la cual se muestra que es posible determinar de dos maneras la distancia que hay entre la casa de Yoshiko y la escuela. Por el camino marcado: 280 m + 510 m + 370 m =1160 m =1Km 160 m y la correspondiente al segmento que une los dos lugares en línea recta: 1050 m = 1Km + 50 m. La organización y distribución de los elePHQWRV PHQW RV GHOD ¿JXU ¿JXUD D VLP VLPLODU LODU D XQDVLWXDFL XQDVLWXDFLyQ yQ real) permite dar sentido a la incorporación del cálculo con medidas, como es el caso de la distancia por el camino marcado. Un aspecto importante en la lección es que SURPXHYHODDVLJQDFLyQGHVLJQL¿FDGRVSDUD distancias mayores a través de preguntas como: ¿qué distancia conoces que sea aproximadamente de 10 metros?, ¿qué distancia en kilómetros habrá desde la puerta de tu casa a la escuela? o ¿qué sitios están a un kilómetro de distancia de donde te encuentras?
Fig. 3
Actividades que se sugieren para los futuros docentes 1. Describe en forma detallada, mediante un esquema, la secuencia didáctica de la lección (inicio, desarrollo y cierre). 2. ¿Consideras pertinente la secuencia didáctica que se emplea en la lección? 3. ¿Qué propondrías para mejorarla? Discute tu respuesta con tus compañeros y tu profesor profesor.. 4. Enlista los contenidos matemáticos incluidos en la lección y las relaciones que hay entre ellos. Discute tu respuesta con tus compañeros y tu profesor. 5. En la sección “¿Puedes hacer esto?”, en “Explora el centro de tu ciudad”, página 81, aparece un mapa y preguntas relacionadas con esta lección. Formula una serie de preguntas que permitan aprovechar esta sección para apoyar esta lección. Discute tu respuesta con tus compañeros y tu profesor. 6. Elabora una secuencia didáctica que permita abordar el aprendizaje y la enseñanza de los contenidos matemáticos de esta lección con base en la actividad “Organicemos una carrera de 1Km” de la página 96.
Medición 83
3HVRGHXQREMHWR En las páginas 68 a 77 del Tomo III, Vol. 2, se inicia con el concepto de peso.
5HÁH[LRQHV DGLFLRQDOHV Por medición se entiende el proceso por medio del cual asignamos un número a una SURSLHGDGItVLFDGHDOJ~QRE-SURSLHGDGItVLFDGHDOJ~QRE MHWRR MHW RRFRQ FRQMXQ MXQWR WRGHR GHREMH EMHWRV WRVFR FRQ Q propósitos de comparación. (OQRPEUHGH medida se usa para denotar el número de unidades de la propiedad que se mide.
El peso de los objetos es una cualidad que todos conocemos y sentimos. Entonces, de igual forma que para el tiempo, la longitud y el volumen revisados en el segundo grado, para esta nueva cualidad el problema que se plantea es cómo medir el peso de los cuerpos. Al intentar determinar entre varios objetos (con forma y tamaño distintos) cuál pesa más que otro (Fig. 1), puede pensarse que a mayor tamaño corresponde mayor peso, tal conclusión no es verdadera en general. La comparación es parte del proceso de medición y al comparar el peso de diversos objetos debe responderse a la pregunta “¿cuál es más pesado?” Una primera conjetura puede hacerse al sopesar los objetos (Fig. 2 'H¿'H¿nir una unidad de medida es el siguiente paso en la solución del problema. Por ejemplo, en las páginas 69 y 70 se ilustra cómo equilibrar (utilizando la idea de balanza) los objetos con respecto a una cierta cantidad de monedas iguales, lo cual permite expresar el peso de los objetos en función de éstas, que juegan la función de unidades de peso (Fig. 3). El gramo (g ) es una unidad de peso convencional. Una balanza es una herramienta hecha para medir el peso, y dependiendo de su precisión pueden expresarse las medidas tomadas de ella (Figs. 4 y 5 ): ): en gramos (g ), ), miligramos (mg ), ), kilogramos (Kg ) o toneladas (T ). ). Las equivalencias entre estas unidades son 1000 mg =1 g , 1000 g =1Kg , 1000 Kg =1 =1T . El cálculo con las unidades de peso se realiza operando entre unidades iguales y haciendo en su caso las conversiones correspondientes. Por ejemplo, 300 g del canasto más 900 g de naranjas son 1200 g que equivalen a 1 Kg 200 g .
Fig. 1
Una medida tiene las siguientes propiedades: 1. La medida del todo es igual a la suma de las medidas de cada una de sus partes. 2. La medida es siempre un número mayor o igual a cero. 3. En igualdad de condiciones de realización de una medición, la repetición de ésta da resultados iguales.
Fig. 2
Medición directa: Es un pro-
ceso visual que consiste en hacer una comparación direcWDGHODFXDOLGDGGHXQREMHWR con una adecuada unidad de medida estándar. Medición
indirecta: Hay SURSLHGDGHV SURSLHG DGHV ItV ItVLFDV LFDV TXHQR VH pueden medir directamente como la temperatura, la presión atmosférica, la velocidad, etc., para medirlos hay que usar instrumentos de medición indirecta como el termómetro, HOPDQy HO PDQyPHWU PHWUR RHO HOYHOR YHORFtPH FtPHWUR WUR SDUDUHJLVWUDUVXFDQWLGDGVREUH una escala numérica.
Fig. 3
Fig. 4 /DEDODQ]DGHEUD]RVFig. Fig. 3) es un instrumento que mide directamente el peso de los cuerpos.
Fig. 5
Actividades que se sugieren para los futuros docentes 1. De acuerdo con la lección, ¿qué secuencia didáctica se propone para desarrollar en los alumnos el proceso de medición del peso de un cuerpo. Descríbelo en forma detallada. Fig.1 2. ¿Compartes la propuesta de la lección para abordar el tema de la medición del peso de un cuerpo? ¿Tienes sugerencias? ¿Cuáles? 3. Anticipa las posibles estrategias y respuestas de un alumno para la actividad de la página 76 (Fig. 1¢4XpGL¿FXOWDGHVFRQVLGHUDVTXHSXHGHHQIUHQWDUSDUDUHVROYHUOD"¢4XpVXJH ¢4XpGL¿FXOWDGHVFRQVLGHUDVTXHSXHGHHQIUHQWDUSDUDUHVROYHUOD"¢4XpVXJH-UHQFLDVSURSRQHVSDUDD\XGDUDODOXPQRDVXSHUDUHV UHQFLDVSURSRQHVSDUDD\ XGDUDODOXPQRDVXSHUDUHVDVSRVLEOHVGL¿FX DVSRVLEOHVGL¿FXOWDGHV" OWDGHV" Fig.2 4. Responde la pregunta de la página 72 (Fig.2 ) y argumenta. Compara tu respuesta con la de tus compañeros y escribe tus conclusiones. 5. En la página 77 (Fig. 3) aparece el siguiente planteamiento. ¿Cuál es la respuesta a la pregunta que se hace? Argumenta, revisa en grupo las respuestas y escribe tus conclusiones. Fig.3
La medida del peso de los cuerpos como se caracteriza en las páginas analizadas cumple las tres propiedades que toda PHGLGDGHEHVDWLVIDFHU
84 Medición
9ROXPHQ 'LYLVLyQFRQUHVWR 5HÁH[LRQHV DGLFLRQDOHV Volumen es la medida que se
asocia al espacio que ocupa un cuerpo. Capacidad : los objetos que son susceptibles de ser medidos respecto a su capacidad se llaman comúnmente recipientes. Son objetos en los que podemos introducir otros objetos o sustancias. El volumen puede expresarse en unidades de capacidad (el litro) y en unidades de volumen (el metro cúbico), con sus respectivos múltiplos y submúltiplos. La relación entre estas unidades es la equivalenci equivalenciaa que existe entre el litro y el decímetro cúbico (1 C =1dm3).
En las páginas 83 a 92 del Tomo III, Vol. 1, se trata el concepto de volumen. El volumen de un cuerpo es la medida que se asocia al espacio que ocupa. Para comparar el volumen de dos objetos es necesario disponer de un referente que permita determinar cuál tiene mayor volumen. En la página 83 (Fig. 1) 1) se puede ver que si dos objetos tienen formas diferentes, una comparación directa entre ellos resulta poco práctica y estaríamos apoyándonos básicamente en nuestra percepción visual. Fig.1 Una comparación indirecta recurre a objetos auxiliares. Por ejemplo: en la página 84 (Figs. Figs. 2 y 3), 3), conservando el volumen, el líquido contenido en los envases puede trasladarse a otros que sirvan como unidades de medida intermedias.
Fig.2 En este proceso surge la necesidad de crear XQDXQLGDGGHPHGLGDTXHD\XGHDFXDQWL¿FDU el volumen; en la página 85 (Fig. (Fig. 4) 4) vemos por ejemplo el número de vasos que pueden llenarse vertiendo el líquido de cada recipiente. Fig.5
Fig.3 En el caso del volumen que ocupa un líquido en un recipiente (Fig. (Fig. 4) 4) la unidad de medida básica es el litro (1 C).
Para hacer cálculos como 1 C 6 d C + 1 C 2 d C, en la página 88 (Fig. 6 ) se muestra que deben agruparse las unidades homólogas y en su caso hacer las conversiones necesarias. En este caso el resultado es 2 C, 8 d C.
Fig.4 Para una mayor precisión, en la página 86 (Fig. 5 ) se introducen otras unidades de medida y se hace notar que corresponden a su décima o milésima parte, como el decilitro (mC) y el mililitro (mC).
Fig.6
Medición 85
Actividades que se sugieren para los futuros docentes 1. Describe la secuencia didáctica utilizada en la lección para desarrollar el tema de la lección. 2. ¿Qué contenidos matemáticos incluye implícitamente la lección? 3. ¿Qué propones para enriquecer la secuencia didáctica utilizada en la lección? Discútelas con tus compañeros y tu profesor. 4. ¿Qué diferencias y similitudes encuentras entre los términos volumen y capacidad? ¢&yPRHVWiQLQFOXLGRVHQODOHFFLyQHVWRVFRQWHQLGRV"+D]XQDLQGDJDFLyQELEOLRJUi¿FD para documentar tus respuestas y discútelas con tus compañeros y tu profesor. 5. ¿Cuáles son los múltiplos y submúltiplos del litro y del metro cúbico? 6. ¿Cuáles consideras que pueden ser los obstáculos que un alumno enfrente para resolver la siguiente situación? Discútelas con tus compañeros y tu profesor.
7. Describe diferentes estrategias que te permitan auxiliar a los alumnos que tengan GL¿FXOWDGHVDOUHVROYHUODVLWXD GL¿FXOWDGHV DOUHVROYHUODVLWXDFLyQGHOSXQWRDQWHULRU FLyQGHOSXQWRDQWHULRU'LVF~WHODV 'LVF~WHODVFRQWXVFRPSDx FRQWXVFRPSDxHURV\ HURV\ tu profesor.
86 Medición
ÉQJXORV 0XOWLSOLFDFLyQ7DEODVGHPXOWLSOLFDU 5HÁH[LRQHV DGLFLRQDOHV
En las páginas 59 a 68 del Tomo IV, Vol. 1 se abunda en el estudio de los ángulos.
La medida de un ángulo solamente depende de la amplitud del giro que se realiza para llevar un lado a la posición del otro, a este movimiento se le llama rotación.
En esta lección se aborda la noción de ángulo como la unión de dos rectas en un punto, el punto de unión es su vértice y las rectas sus lados (Fig. 1). 1). Se induce la idea de que la abertura entre las dos rectas requiere ser medida y expresada mediante unidades para determinar cuánto mide un ángulo; se hace énfasis en que no importa la longitud de los lados, sino la abertura entre ellos (Fig. 2 ). ).
Un ángulo es mayor que otro cuando la rotación que se realiza para llevar un lado a la posición del otro es mayor. La longitud de los lados de un ángulo no afecta su medida.
Un primer paso en el proceso de medición es la comparación entre ángulos; en la página 62 (Figs. (Figs. 3 y 4) vemos que dos posibles estrategias son: superponiendo un ángulo con otro o construyendo un auxiliar que permita determinar cuántas veces cabe en los ángulos que se están comparando. Se sugiere que haciendo girar un par de tiras de cartón unidas en uno de sus extremos pueden generarse diversos ángulos (Fig. (Fig. 5 ), ), esto da lugar a que se observe su relación con la circunferencia o con una parte de ella (un cuarto, la mitad, etc.). De esta acción se GHULYDODGH¿QLFLyQGHXQDXQLGDGGHPHGLGD para expresar cuánto fue girada una de las tiras de cartón respecto a la otra. Se divide la circunferencia en 360 partes iguales y se indica que cada una de éstas es un grado (1°), que es una unidad de medida en el sistema sexagesimal ya que 1°=60 minutos y 1 minuto=60 segundos. De esta manera se induce que un ángulo que abarca la cuarta parte de una circunferencia tiene por medida 90°. Se introduce el transportador como el instrumento con el cual es posible determinar la medida de ángulos y la forma correcta de usarlo. La medición de ángulos permite explorar propiedades geométricas (Fig. (Fig. 6 ), ), como los ángulos que se forman al cortarse dos rectas o los ángulos internos de triángulos (Fig. (Fig. 7 ), ), como los de las escuadras (45°90°- 45° y 30°-60°-90°) La suma y resta de ángulos es entre unidades de medida homólogas (grados con grados, minutos con minutos y segundos con segundos), de esta manera al sumar 60°+30° se obtienen 90°.
Fig.1
Fig.2
Fig.4
Fig.5
Fig.6
Fig.7
Fig.8
Fig.3
Medición 87
Actividades que se sugieren para los futuros docentes 1. Analiza la lección y describe con detalle la secuencia didáctica que propone. 2. ¿Consideras conveniente esa secuencia? ¿Qué sugerencias harías? Argumenta con detalle. 3.¢4XpWLSRGHGL¿FXOWDGHVFRQVLGHUDVTXHHQIUHQWDHODOXPQRGHHGXFDFLyQSULPDULD 3. ¢4XpWLSRGHGL¿FXOWDGHVFRQVLGHUDVTXHHQIUHQWDHODOXPQRGHHGXFDFLyQSULPDULD para el estudio del tema de la lección? 4.¢/DOHFFLyQFRQVLGHUDHVWDVGL¿FXOWDGHV"¢4XpHVWUDWHJLDVSURSRQHSDUDVXSHUDUODV" 4. ¢/DOHFFLyQFRQVLGHUDHVWDVGL¿FXOWDGHV"¢4XpHVWUDWHJLDVSURSRQHSDUDVXSHUDUODV" 5. ¿Qué estrategias consideras que puedes implementar para apoyar al alumno a superar GLFKDVGL¿FXOWDGHV" 6. ¿Cuáles son los antecedentes que requiere un alumno para abordar la lección? 7. ¿Cuáles son los contenidos matemáticos implícitos y explícitos de la lección? 8. ¿Qué otras unidades de medida para ángulos conoces? Descríbelas. 9. Realiza la siguiente actividad y anota tus conclusiones.
88 Medición
ÉUHD 0XOWLSOLFDFLyQ7DEODVGHPXOWLSOLFDU 5HÁH[LRQHV DGLFLRQDOHV En esta lección se asume el área como la medida de una VXSHUÀFLHHQFHUUDGDSRU XQD VXSHUÀFLHHQFHUUDGDSRU ÀJXUDJHRPpWULFD
Se induce la noción de que HO iUHD GH XQD VXS VXSHUÀ HUÀFLHVH FLHVH
expresa en unidades cuadradas mediante la actividad de contar cuántos cuadrados de igual tamaño la cubren.
3RUHMHPSORHQODÀJXUDGH
abajo, el barco mide 14 unidades cuadradas y su vela 10.
En las páginas 4 a 8 del Tomo IV, Vol. 2, se abunda en el tema del área. El objeto de estudio de la lección es medir ODVXSHU¿FLHSODQDGHDOJXQRVREMHWRV(QOD página 4 (Fig. (Fig. 1) 1) se comparan dos trozos de tela y se pregunta cuál tiene mayor super¿FLH8QDPDQHUDGHUHVSRQGHUDHVWDSUH-¿FLH8QDPDQHUDGHUHVSRQGHUDHVWDSUH Fig.6 gunta es comparando en forma directa, superponiendo los trozos de tela, sin embargo En la página 7 (Figs. (Figs. 6 y 6 y 7 ), ), los cuadrados HVWHSURFHVRQRSHUPLWH HVWHSURFHVR QRSHUPLWHFXDQWL¿FDUTXp FXDQWL¿FDUTXpWDQWR WDQWR que se usan son de igual tamaño, cada uno uno es más grande que el otro. es una unidad cuadrada. Si el lado del cuadrado mide un centímetro, la unidad de medida se denomina “un centímetro cuadrado” (1 cm2), la cual es una unidad de área.
Una unidad convencional para expresar el área es el centímetro cuadrado (cm2). Fig.1
(OiUHDGHXQDVXSHU¿FLHHVVXPHGLGDH[(OiUHDGHXQDVXSHU¿FLHHVVXPHGLGDH[presada en forma numérica. Por ejemplo, al contar los cuadrados de las siguientes super¿FLHVHQFRQWUDPRVTXHVXiUHDHV cm2 y 15 cm2.
La comparación indirecta, que se auxilia de XQLGDGHV XQLGDG HV LQWHUP LQWHUPHGLDU HGLDULDV LDV SHUP SHUPLWH LWH FXDQW FXDQWL¿FD L¿FDU U ODVXSHU¿FLHGHORVREMHWRVSRUHMHPSORXQD VXSHU¿FLHFRQWLHQHRFKRGLEX VXSHU¿FLHF RQWLHQHRFKRGLEXMRV\RWU MRV\RWUDQXHYH DQXHYH (Fig. 2 ), ), una contiene 16 sellos y otra 13 (Fig. (Fig. 3). Con base en esto se determina cuál y por cuánto es una mayor que otra. Fig.7 De igual forma puede determinarse el área GHVXSHU¿FLHVFRPRODVTXHVHPXHVWUDQD FRQWLQXDFLyQDSHVDUGHTXHVRQ¿JXUDVFRQ diferente forma todas tienen un área de un centímetro cuadrado (Fig. (Fig. 8 ). ).
Fig.2
Fig.8 Fig.3 ¢&yPRGHWHUPLQDUFXiOGHODV¿JXUDVGHLJXDOSHUtPHWURWLHQHQPD\RURPHQRUiUHD"3DUD esto (Figs. (Figs. 4 y 5 ) se acude a la estrategia de cuadricular los rectángulos y contar cuántos FXDGUDGRVFRQWLHQHFDGDXQRFRPRVHPXHVWUDSDUD FXDGUDGRVFRQWLHQHFDGDXQRF RPRVHPXHVWUDSDUDODV¿JXUDVF\G ODV¿JXUDVF\GGHODSiJLQD GHODSiJLQD
Fig.4
Fig.5
Medición 89
Actividades que se sugieren para los futuros docentes 1. Describe en forma detallada la secuencia didáctica propuesta en la lección para introGXFLUHOSURFHVRGHPHGLFLyQGHVXSHU¿FLHV 2. ¿Cuáles antecedentes consideras necesarios para que tenga un alumno de cuarto grado de primaria para abordar el estudio de la lección? 3. ¿Qué contenidos matemáticos aborda la lección? 4. Realiza las siguientes actividades y discútelas con tus compañeros.
5. Encuentren en equipos una estrategia para determinar el área a de de la la hoja de un árbol. ¿Cuál es el área que encontraron? ¿Es igual la medida edida que encontraron todos los equipos? ¿A qué se debe que haya diferenerentes resultados? ¿Todos usaron la misma unidad de medida de área? rea? ¢(VSRVLEOHXVDUXQLGD ¢(VSRVL EOHXVDUXQLGDGHVGHiUHDTXHQR GHVGHiUHDTXHQR VHDQ FXDG FXDGUDGRV UDGRV"-XVWL¿ "-XVWL¿ V quen sus respuestas.
90 Medición
ÉUHD 0XOWLSOLFDFLyQ7DEODVGHPXOWLSOLFDU 5HÁH[LRQHV DGLFLRQDOHV La fórmula para calcular el área de un rectángulo es:
En las páginas 9 a 17 del Tomo IV, Vol. 2 se continúa con el estudio del área. El cálculo del área del rectángulo y el cuadrado puede resultar relativamente sencillo si se conocen las medidas de sus lados, ya que sólo basta con multiplicarlas para conocer cuántas unidades FXDGUDGDV FXDGU DGDVFXEUHQVXVXSHU¿F FXEUHQVXVXSHU¿FLH6LQHPEDUJR LH6LQHPEDUJRQR QR GHEHSHUGHU GHEHSHUGHUVHGHYLVWDHOVLJQL¿FDG VHGHYLVWDHOVLJQL¿FDGRGHO RGHO resultado que se obtiene al utilizar las fórmulas para el cálculo de su área.
Área = base × altura a r u t l a
base
La fórmula para calcular el área de un cuadrado es: Área = lado × lado
Fig.1
Fig.2
En esta lección, el uso de fórmulas permite proponer actividades en las que a partir del área y un lado se pide calcular la medida del otro lado, lo cual da origen al estudio de las ecuaciones (la noción de incógnita, el signo igual, etc.).
lado
lado
Unidades de medida de área convencionales son el metro (m2) cuadrado, el kilómetro cuadrado (Km2), el centímetro cuadrado (cm2), entre otros. Algunas equivalencias son: 1 Km2 = 106 m2 1 m2 = 104 cm2
2
Fig.3
Fig.4
(VSRVLEOHFDOFXODUHOiUHDGHVXSHU¿FLHVFRQIRUPDGDVSRUUHFWiQJXORV\FXDGUDGRVPHdiante métodos de composición y descomposición de áreas. Por ejemplo, en las siguientes LPiJHQHVVHREVHUYDTXHOD¿JXUDRULJLQDOSXHGHGHVFRPSRQH LPiJHQHVVHREVHUY DTXHOD¿JXUDRULJLQDOSXHGHGHVFRPSRQHUVHHQGRVUHFWiQJXORV UVHHQGRVUHFWiQJXORV
6HPXHVWUD TXHSDUDPHGLUVXSHU¿F TXHSDUDPHGLUVXSHU¿FLHVJUDQGHV LHVJUDQGHV HVQHFHVDU HVQHFHVDULRHPSOHDURWUDVXQLGDGH LRHPSOHDURWUDVXQLGDGHVGH VGH 2 2 medida, como el metro cuadrado (m (m ), y el kilómetro cuadrado (Km (Km ).
El uso de nuevas unidades cuadradas de área genera la necesidad de establecer relaciones entre las unidades, dando origen a un sistema de unidades de medida. Por ejemplo: un metro cuadrado es igual a diez mil centímetros cuadrados.
Medición 91
Actividades que se sugieren para los futuros docentes 1. Realiza las siguientes actividades y compara tus respuestas con las de tus compañeros. ¿Fueron iguales todas las estrategias? ¿Obtuvieron el mismo resultado?
2. Realiza la siguiente actividad en equipos. Preparen un presentac presentación ión detallada de sus respuestas y preséntelas al grupo.
3. Elabora una secuencia de actividades para abordar la conversión entre unidades de medida de área, preséntala al grupo y discutan su pertinencia.
92 Medición
ÉUHDGHOSDUDOHORJUDPR 'LYLVLyQFRQUHVWR 5HÁH[LRQHV DGLFLRQDOHV Las imágenes de los paralelogramos de la página 3 plantean una situación interesante que no se hace explícita en el texto: los tres paralelogramos tienen el mismo perímetro (sus lados tienen igual longitud), sin embargo, sus áreas son diferentes. Esto puede motivar el interés del alumno. Este problema puede ser planteado así: de todos lo paralelogramos posibles con lados de 5 y 6 unidades, ¿cuál es el que tiene mayor área? Un problema diferente que involucra a los paralelogramos anteriores es: de todos los paralelogramos de perímetro de 22 unidades, ¿cuáles son las dimensiones del que tiene mayor área? Esta clase de problemas son casos elementales de la clase de problemas denominados isoperimétricos:: entre todas isoperimétricos las curvas cerradas en el plano que tienen el mismo perímetro, ¿qué curva (si la hay) maximiza el área de la región que encierra? Si la parte de la curva que está por debajo de la línea URMD UR MD VH UH UHÁHM ÁHMD D DX DXPHQ PHQWD WD HO área pero no el perímetro.
Si la elipse vertical se modiÀFDFRPRORLQGLFDQODVÁH chas aumenta el área pero no cambia el perímetro.
En las páginas 3 a 8 del de l Tomo Tomo V, V, Vol. 2, se abunda en el tema del paralelogramo. Los antecedentes del tema del cálculo de área de un paralelogramo que se han abordado en el texto son:
ÈUHDGHOUHFWiQJXOREDVHîDOWXUD ÈUHDGH¿JXUDVFRPSXHVWDVSRUUHFWiQJXORV El propósito de la página 3 (Fig. 1) es que el alumno piense cómo calcular el área de varios paralelogramos, sabiendo que: 1. Los tres paralelogramos tienen lados de la misma medida. 2. El alumno puede calcular el área de (a (a). 3. El alumno puede estimar las otras dos áreas contando cuadrados (unidad de área) completos, o que se pueden completar entre ellos.
Fig.1
En la página 4 (Fig. 2 ) se presenta la solución prevista para el paralelogramo (a (a). La solución mostrada para el paralelogramo (b (b) introduce un conocimiento nuevo. La esencia de esta solución es que se transforma el paralelogramo en un rectángulo y entonces el problema se reduce al caso (a (a): calcular el área de un rectángulo. La pregunta en este último caso es: ¿al llevar el ángulo ABF a una nueva posición realmente se completa un rectángulo? Lo anterior se cumple si el triángulo CDE es igual al triángulo BAF (Fig. 3). Esto se satisface por lo siguiente: 1. AB es paralela a DC y BE es un segmento de recta que pasa por F y C , entonces: ABF =DCE . 2. DE se construye paralelo a AF para que sean lados opuestos de un rectángulo, entonces: CED=BF BFA A. 3. De los dos pasos anteriores, y porque la suma de los ángulos de un triángulo es 180°, se tiene: CDE =BAF . 4. Además, AB=CD, por ser lados opuestos de un paralelogramo. 5. De los pasos 1, 3 y 4 y el criterio de congruenǻDCE . cia ALAVHFRQOX\HTXHǻ ABF ǻ Por lo tanto la transformación es válida y el cálculo de AF îEF proporciona el área del paralelogramo inicial. Hay que hacer notar que EF es la base del rectángulo que se forma con la transformación y AF es su altura. Esta última conclusión se establece en la siguiente página al formalizar la expresión para calcular el área del paralelogramo. Hay que hacer notar tres cosas:
Fig.2
Fig.3
/DHVWUDWHJLDVHJXLGDWUDQVIRUPDU /DHVWUDWHJLD VHJXLGDWUDQVIRUPDUHOSUREOHPD HOSUREOHPD http://es.wikipedia.org/ Isoperimetría
en otro del cual se conoce la solución.
(OKHFKRGHTXHHQHOSDUDOHORJUDPRORVODGRV opuestos son paralelos.
(QODH[SUHVLyQSDUDFDOFXODUHO (QODH[SUHVLyQ SDUDFDOFXODUHOiUHDQRDSDUHFH iUHDQRDSDUHFH el concepto rectángulo.
Fig.4
Medición 93
Actividades que se sugieren para los futuros docentes 1. $O¿QDOGHODSiJLQDVHPXHVWUDTXHHOQLxRQRFRUWDHQ³XQDHVTXLQD´FRPRORKDFH
ODQLxDVLQRTXHORKDFHHQDOJ~QSXQWRLQWHUPHGLRGHHVHODGR(QODSiJLQDDQWHULRUVH MXVWL¿F yODVROXFLyQGH$NLUD MXVWL¿FyODVROX FLyQGH$NLUD([SOLFDF ([SOLFDFyPRMXVWL yPRMXVWL¿FDUTXH ¿FDUTXHODVROXF ODVROXFLyQGHOQ LyQGHOQLxRWDPEL LxRWDPELpQHV pQHV correcta y conduce al mismo resultado. 2.5HVXHOYHHOSUREOHPDSODQWHDGRHQODFROXPQDGH´5HÀH[LRQHVDGLFLRQDOHV´GHWRGRV los paralelogramos cuyo perímetro es 22 unidades, ¿cuáles son las dimensiones del que tiene mayor área? Construye una tabla de resultados que ilustre la respuesta dada al problema al considerar otros casos. 3. ([SOLFDDXQFRPSDxHURDODLGHD.DRUXXVDQGRWXVSURSLDVSDODEUDV'HVSXpVTXH
VHDWXFRPSDxHURDTXLHQWHH[SOLTXHODLGHDGH
94 Medición
ÉUHDGHOWULiQJXOR 0XOWLSOLFDFLyQ7DEODVGHPXOWLSOLFDU En las páginas 9, 10 y 12 del Tomo V, Vol. 2 se refuerza el conocimiento respecto al área del triángulo. Los antecedentes que se han abordado en el texto sobre este tema son:
/DH[SUHVLyQSDUDHOFiOFXORGHOiUHDGHO rectángulo.
/DH[SUHVLyQSDUDHOFiOFXORGHOiUHDGHO
Fig.3
paralelogramo.
/RV /R V QL QLxR xRV V GH OD LP LPDJ DJHQ HQ Fig. 1) sugieren dos transformaciones con base en sus conocimientos anteriores. La manera en que se ubicaron los triángulos en la malla sugiere cómo hacer las transformaciones para traducir el problema del área del triángulo a otro problema que los alumnos ya saben resolver.
Debemos notar que el cálculo del área que se estableció anteriormente es de carácter general, no se encuentra ligado a las particularidades del triángulo usado ni a sus dimensiones o a la cuadrícula. Esto es así porque el razonamiento que se empleó para obtener las soluciones de la página 10 es válido en general y no depende de la cuadrícula, aunque
pVWDHVXQDX[LOLDULQGLVSHQVDEOHHQYLUWXGGH la corta edad de los alumnos.
Fig.1
Se muestran cuatro soluciones en la página 10 (Fig. 2 ) que se explican por sí mismas y en que hacen ver el potencial heurístico de la cuadrícula para apoyar la explicación.
Fig.4
La altura es un concepto que requiere atención para el cálculo de áreas del triángulo y del cuadrilátero. La altura es un concepto que está atado al lado que se toma como la base,
SRUORTXHVHUHVDOWDTXHQRWLHQHSRUTXpVHU el lado que está en posición horizontal. Este concepto es la razón de ser del contenido de las páginas 6 (Fig. 4) y 12 (Fig. 5 ). ).
Fig.2
El problema se plantea en el contexto del cálculo de áreas de rectángulos y paralelogramos,
VHDSOLFDODIRUPDGHFDOFXODUHOiUHDGHpVWRV para calcular la del triángulo con las transforma-
FLRQHVTXHODVVROXFLRQHVJUi¿FDVLQGLFDQ(Q la página 12 (Fig. 3) se establece lo siguiente:
Fig.5
Medición 95
Actividades que se sugieren para los futuros docentes 1.([SOLFDDXQFRPSDxHURDFRQWXVSURSLDVSDODEUDVODVLGHDVGH7RPRNR\$NLUD
'HVSXpVTXHVHDWXFRPSDxHUR 'HVSXpVTXHVH DWXFRPSDxHURDTXLHQWHH[S DTXLHQWHH[SOLTXHODVLGHDVGH0 OLTXHODVLGHDVGH0DVDUXH+LWRP DVDUXH+LWRPLL 2. Resuelve el problema:
3. Resuelve los siguientes ejercicios:
96 Medición
7ULDQJXODFLyQ 5HÁH[LRQHV DGLFLRQDOHV Un propósito central de la formación en matemáticas es que el alumno aprenda a utilizarlas como herramienta para resolver problemas. Uno de los más relevantes conocedores del tema fue George Pólya (1887-1985). Que caracteriza en cuatro pasos la solución de problemas: 1. Comprender el problema. 2. Concebir un plan para descubrir la solución. 3. Ejecución del plan. 9HUL HULÀFDF ÀFDFLyQ LyQ GHO SUR SURFHG FHGLLmiento y la comprobación del resultado. Con respecto a los problemas que nos ocuparon, la comprensión del problema pasa por el conocimiento de las imágenes que en todos los casos forman parte del enunciado y apoyan su comprensión. Para los problemas de triangulación, en todos los casos las ilustraciones que se emplean SUHÀJXUDQXQSODQVROXFLyQ(O siguiente paso es ejecutarlos. Sin embargo, no es explícito el paso 4, YHULÀFDFLyQGHOSUR YHULÀFDFLyQGHOSUR-cedimiento y comprobación del resultado. Este aspecto se aborda en el problema de la página 87, donde la cuadrícula claramente sugiere una soluFLyQ\ FLy Q\ XQD IRU IRUPDSDUD PDSDUD YHU YHULÀ LÀcarla. En los otros casos este paso se apoya principalmente en la corrección del procedimiento realizado.
En las páginas 8, 14, 15, 20 y 87 del Tomo V, Vol. 2, se estudia la triangulación. Al lle llegar gar a esta estas s pági páginas nas el alu alumn mno o cono conoce: ce:
ÈUHDGHOSDUDOHORJUDPREDVHîDOWXUD ÈUHDGHOWULiQJXOREDVHîDOWXUD· El uso de estas fórmulas requiere conocer los valores de la base y la altura. En la página 8 (Fig. 1), la imagen plantea el SUREOHPDLQYHUVRTXHHQHVWHFDVRVLJQL¿FDFRnocer el área y uno de los datos, base o altura; ahora el problema es calcular el otro dato que se desconoce.
Fig.1
Esta variación da lugar a los problemas 5 y 6 de la página 14. En el 5, el dato por calcular es la base del paralelogramo, mientras mientras que en el 6 lo que hay que calcular es la altura del triángulo (Fig. 2 ). ).
(VWRV SUREOHPDV (VWRVSUREO HPDVWLHQH WLHQHQ Q LQWHUp LQWHUpV V IRUPDW IRUPDWLYR LYR HQ WDQWRTXH WDQWR TXHÀH[LEL ÀH[LELOL]DQ OL]DQHVWUX HVWUXFWXUDV FWXUDV FRQFHS FRQFHSWXDOH WXDOHV V
Fig.2
como las de los incisos 1 y 2. Para el problema 5 ODVROXFLyQHVEDVHiUHD·DOWXUD\SDUDHOSUR -
EOHPDODVROXFLyQHVDOWXUDiUHDî·EDVH Las soluciones requieren aplicar una operación inversa respecto a las de las de los incisos 1 y 2. Triangulación: En esta imagen de la página 15 (Fig. 3) se describe la estrategia de triangulación para calcular áreas de cuadriláteros y pentágonos. En realidad la idea es no solamente usar triángulos, sino dividir las áreas que se quieren
FDOFXO FDO FXODU DU XWL XWLOL] OL]DQG DQGR R FXD FXDOHV OHVTXL TXLHUD HUD ¿JX ¿JXUDV UDV GH ODV cuales se sepa y se pueda calcular su área. Por ejemplo, para los tres problemas de la imagen de la página 20 (Fig. 4), se procede de las siguientes formas: Para 1: la imagen se divide en siete paralelogramos: cuatro azules y tres blancos, y para todos se pueden conocer sus dimensiones para calcular sus áreas. Para 2: Conviene considerar el área rosa como el resultado de restar las áreas de dos triángulos: uno mayor de altura 10 y base 12 y el blanco, de altura 5 y base 12. 3DUD/D¿JXUDHVXQWUDSHFLR\WLHQHGRVODdos paralelos, entonces basta dividirlo por una de sus diagonales, forman dos triángulos cuyas dimensiones se conocen.
Fig.3
Fig.4
Para el pentágono de la página 87 (Fig. 5 ), ), es una solución inmediata que se apoya en el uso de la cuadrícula. Fig.5
$ULWPpWLFD 97
Actividades que se sugieren para los futuros docentes. 1. Enlista los antecedentes que poseen los alumnos al momento de iniciar la realización de las actividades de las páginas analizadas. 2. Para los problemas de triangulación, desarrolla el plan de solución delineado en la
OHFFLyQ\YHUL¿FDVLHOSURFHGLPLHQWR OHFFLyQ\YHUL¿FDVL HOSURFHGLPLHQWRTXHXWLOL]DVWHHVF TXHXWLOL]DVWHHVFRUUHFWR RUUHFWR 3. Realiza las actividades de la página 86 del libro.
98 Medición
'LiPHWURV\FLUFXQIHUHQFLDV
5HÁH[LRQHV DGLFLRQDOHV
En las páginas 40 a 43 del Tomo V, Vol. 2 se estudia la relación entre el diámetro y la circunferencia.
Circunferencia.
Es una línea curva cerrada cuyos puntos están a la misma distancia de XQSXQWRÀMROODPDGRFHQWUR Círculo.(VODÀJXUDSODQD
comprendida en el interior GHXQDFLUFXQIHUHQFLD
un valor constante en la relación entre la circunferencia y el diámetro, lo cual no le debe VLJQL¿FDUXQDPD\RUGL¿FXOWDG\DTXHKDGH-VLJQL¿FDUXQDPD\RUGL¿FXOWDG\DTXHKDGH sarrollado habilidades para trabajar con los Q~PHURV\ODLGHQWL¿FDFLyQGHUHJXODULGDGHV En las siguientes actividades se pide a los alumnos que mediante la operación de división encuentren la razón entre las medidas de la circunferencia y el diámetro.
Cuerda.(VHOVHJPHQWRGH
recta que une dos puntos de ODFLUFXQIHUHQFLD Diámetro.
Es una cuerda que pasa por el centro de la FLUFXQIHUHQFLD Razón.
Es el cociente entre dos números o dos cantidades comparables entre sí, lo cual puede expresarse como a XQDIUDFFLyQ b 3RUHMHPSORODUD]yQHQWUH 3 y 4 es 3, que se lee “3 es 4 WUHVFXDUWDVSDUWHVGHµ
Fig. 2 El cociente entre dos números es interpretado como la razón entre dichas cantidades. La primera parte de la lección en la pági- Así que que conforme conforme el alumno completa la tabla na 40 (Fig. (Fig. 1) 1) aborda la relación entre las de la página 42 (Fig.2 (Fig.2 ) puede observar que medidas de la circunferencia y el diámetro todos los valores que obtiene para el último del círculo. En la actividad inicial el alumno renglón (Circunferencia ÷ Diámetro) son muy construye círculos a partir de la medida de parecidos, a tal resultado se le denomina en su diámetro, mide las circunferencias de los la lección Razón de la circunferencia y el diácírculos que construyó, estima la medida de metro metro,, que aproximado a centésimos es 3.14, otra circunferencia dado su diámetro, com- en la página 54 hay una breve reseña de esta pleta una tabla y hace conjeturas a partir de razón que se representa con la letra griega griegapi pi preguntas como: ¿qué sucede con la medida ʧTXHLQIRUPDVREUHODVYHFHVTXHODFLU de la circunferencia si aumenta la del diáme- cunferencia es mayor que el diámetro, y que tro? ¿Qué pasa si se duplica la medida del los alumnos ya habían intuido. diámetro? ¿Y si se triplica? ¿Cuántas veces En las siguientes actividades, como las que es más larga la circunferencia que el diáme- se incluyen en la página 43 (Fig.3 (Fig.3)) los alumtro? ¿Es la misma cantidad de veces para nos deberán determinar las medidas de la todos los círculos utilizados? Se conduce a circunferencia y el diámetro de círculos con que el alumno gradualmente intuya que hay ecuaciones sencillas. Fig. 1
Fig. 3
Actividades que se sugieren para los futuros docentes 1. ¿Reconoces posibles obstáculos para que los alumnos no puedan intuir la relación entre las medidas de la circunferencia y el diámetro de un círculo mediante las actividades que propone la lección? 2. ¢4XpHVWUDWHJLDVXWLOL]DUtDVSDUDD\XGDUDORVDOXPQRVTXHWHQJDQGL¿FXOWDGHVFRQODFRPSDUDFLyQ de la circunferencia con el diámetro de un círculo? 3. ¿Qué estrategias utilizarías para discutir con tus alumnos acerca de que el valor de la razón de circunferenciaSLWLHQHXQDFDQWLGDGLQ¿QLWDGHFLIUDVGHFLPDOHV" cunferencia SLWLHQHXQDFDQWLGDGLQ¿QLWDGHFLIUDVGHFLPDOHV" ,QGDJDPiVGDWRVVREUHHOQ~PHURSLʧ\SUHSDUDXQDSUHV ,QGDJDPiVGDWRVVREU HHOQ~PHURSLʧ\SUHSDUDXQDSUHVHQWDFLyQSDUDFRPSDUWLUODFRQWXJU HQWDFLyQSDUDFRPSDUWLUODFRQWXJUXSR XSR
Medición 99
(OiUHDGHXQFtUFXOR En las páginas 44 a 50 del Tomo V, Vol. 2, se estudia el cálculo del área del círculo y se abordan varias maneras para deducir una fórmula para calcular esa área En la página 45 (Fig. 1) podemos ver que un acercamiento para el cálculo del área es mediante el cuadriculado del círculo en cuadrados de 1 cm2, se obtiene una aproximación al sumar el total de cuadrados azules con la mitad del total de cuadrados rosas. Se muestra que para mejorar esta aproximación es necesario hacer XQDFXDGUtFXODFDGDYH]PiV¿QD(VHSURFHGLPLHQWRGDSDVR a la búsqueda de una fórmula que permita calcular el área de manera Fig. 1 directa. Para ello, en la página 46 (Fig. 2) se sugiere la descomSRVLFLyQGHOFtUFXORHQ¿JXUDVLJXDOHV\PHGLDQWHXQUHDUUHJOR de estas piezas construir formas conocidas. Al trazar radios se divide al círculo en sectores circulares que conforme el ángulo central disminuye se asemejan a triángulos, es una manera de “triangular el círculo”. La lección presenta tres arreglos (Fig. (Fig. 3): 3): dos triángulos y un rectángulo, de los que se conoce una fórmula Fig. 2 para determinar su área.
5HÁH[LRQHV DGLFLRQDOHV (Q HV HVWD WDV V DF DFWL WLYL YLGD GDGH GHV V VX VXUJ UJH H una idea muy intuitiva del SURFHVRGHOSDVRDOOtPLWH1R se presenta el concepto como tal, pero sí aparece como un proceso implícito a través del Método Mét odo de Exhau Exhaució ción n que se XWLOL]DHQHOFiOFXORGHOiUHD GHOFtUFXOR Este método se atribuye al PDWHPi PDW HPiWLF WLFR R JUL JULHJR HJR (XG (XGR[R R[R y se aplicaba al cálculo de iUHDV GH ÀJXU ÀJXUDV DV YRO~P YRO~PHQHV HQHV GH FX FXHU HUSR SRV V OR ORQJ QJLW LWXG XGHV HV GH FXUYDV FXU YDV WDQ WDQJHQ JHQWHV WHV D ODV FXU FXU-YDVHQWUHRWUDV El Método de Exhaución consiste en aproximar una ÀJXU ÀJ XUD D SR SRU U RW RWUD UDV V HQ OD ODV V TX TXH H VHSXHGD VH SXHGD PHGLU OD PDJQL PDJQLWXG WXG correspondiente, de tal forma TXHpVWDVHDFHUTXHDODPDJ-TXHpVWDVHDFHUTXHDODPDJ QLWXGRULJLQDOPHQWHEXVFDGD
Fig. 3 A parti partirr de las las fórmula fórmulas s del área área del del triángulo triángulo ( b x h ) y del del rectáng rectángulo ulo (b x h) el alumno deberá 2 llegar a la del círculo (Radio x Radio x 3.14). Para ello establece equivalencias (como el hecho de que el diámetro es igual a dos radios y que la base del rectángulo construido es la mitad de la longitud de la circunferencia ), y realiza sustituciones que apoyen la deducción.
Actividades que se sugieren para los futuros docentes 1. ¿Consideras que alumnos de quinto grado de educación primaria pueden comprender las deducciones que se hacen para obtener la fórmula para calcular el área del círculo? Explica con detalle tu respuesta. 2. En la deducción de la fórmula para el cálculo del área del círculo se usó el arreglo con sectores circulares que se muestra a la derecha. Explica en forma clara y detallada cómo y por qué es plausible usar este arreglo. 3. Indaga qué otras estrategias se han usado para deducir la fórmula para el cálculo del área del círculo y prepara una presentación para discutirla con tus compañeros y con tu profesor.
100 Medición
9ROXPHQ 'LYLVLyQFRQUHVWR
5HÁH[LRQHV DGLFLRQDOHV Una propiedad de los objetos es el espacio que ocupan, la medida de dicho espacio es su volumen. Una unidad de volumen es el espacio que ocupa un cubo cuya arista mide un centímetro. Si las dimensiones de una habitación están expresadas en metros, se toma por unidad de volumen el metro cúbico, que es el espacio ocupado por un cubo cuya arista mide un metro. El volumen de un sólido es el número de unidades cúbicas que contiene. Si dos cuerpos tienen el mismo volumen se dice que son equivalentes.
Fig.1
En las páginas 53 a 56 del Tomo VI, Vol. 1 se estudia el volumen de cuerpos y cómo puede expresarse usando unidades de medida convencionales. Primero se hace una comparación de dos o más cuerpos y se pregunta cuál tiene mayor tamaño. Las estrategias que se sugieren para responder esta pregunta son las siguientes:
Fig.4
igual medida) y se indica que el volumen del cuerpo es su expresión numérica en unidades de medida. El centímetro cúbico (cubo cuyas aristas miden un centímetro) es una unidad de medida de volumen. Por ejemplo: el volumen de los siguientes cuerpos es de ocho, cuatro y doce centímetros cúbicos respectivamente. Fig.2
Cortar los objetos y reacomodar los trozos de manera que las formas puedan compararse al tener dos dimensiones de igual medida. Otra manera es cortar en trozos iguales los cuerpos (cubos de un centímetro de arista) y contar cuántos contiene cada uno. Por último se aborda el uso de elementos externos (cubos) para reproducir los objetos y contar cuántos se requirieron en cada caso.
Fig.5
Se induce la idea de que los cuerpos geométricos con diferente forma que tienen igual volumen, están compuestos por la misma cantidad de unidades cúbicas.
Fig.3
Las comparaciones directa e indirecta que se utilizan permiten determinar cuál de los cuerpos es mayor; las dos últimas estrateestrateJLDVFXDQWL¿FDQORVWDPDxRVFRQORFXDOHV posible decir qué tanto es uno mayor que el otro. La medición del tamaño de los cuerpos se hace con unidades cúbicas (cubos de Fig.6
Medición 101
Actividades que se sugieren para los futuros docentes 1. Describe con detalle la secuencia didáctica que sugiere la lección en esta parte para introducir la noción de volumen. Compara tu descripción con la de tus compañeros. 2. ¿Qué sugerencias puedes hacer para mejorar esta lección? 3. Revisa en equipo las actividades de la página 92 “¿Cómo es una caja de 1000 cm3?” a. ¿Cuáles consideras que son los propósitos de estas actividades? b. ¿Qué conocimientos matemáticos pone en juego el alumno al realizar estas actividades? c. ¢4XpGL¿F ¢4XpGL¿FXOWDGHVSXHGH XOWDGHVSXHGHHQIUHQWDUHODO HQIUHQWDUHODOXPQRDOUHV XPQRDOUHVROYHUODV" ROYHUODV" d. ¢4XpDFWLYLGDGHVSURSRQHVSDUDD\XGDUOHDHQIUHQWDUODVSRVLEOHVGL¿FXOWDGHV"
Comparen su trabajo con los de los demás equipos.
102 Medición
&iOFXORGHOYROXPHQ 0XOWLSOLFDFLyQ7DEODVGHPXOWLSOLFDU
5HÁH[LRQHV DGLFLRQDOHV Un poliedro es un sólido limitado por planos. Un prisma es un poliedro en el que dos de sus caras son polígonos iguales situados en planos paralelos y sus otras caras son paralelogramos.
En las páginas 56 a la 62 del Tomo VI, Vol. 1 se aborda la forma en que debe calcularse un volumen. La fórmula para el cálculo del volumen de un prisma rectangular es: Volumen del prisma rectangular= largo × ancho × altura
Fig.3 Los dos polígonos paralelos se llaman bases del prisma y los paralelogramos se llaman caras laterales; las intersecciones de las caras laterales se llaman aristas. En el caso de los prismas, el término cara se aplica exclusivamente a las laterales. Un prisma recto es aquél cuyas caras son perpendiculares a las bases. En el Sistema Internacional la unidad para medir volúmenes es el metro cúbico (m3). El decímetro cúbico (dm3) y el centímetro cúbico (cm3) son submúltiplos del metro cúbico. Sus equivalencias con el metro cúbico son: 1 m3 = 1 000 dm3 1 m3 = 1 000000 cm3
Fig.1
Esta fórmula se deriva de considerar el total de unidades cúbicas que caben en la base del prisma (largo × ancho) y enseguida el total de capas como éstas que abarcan su altura (largo × ancho × altura), lo cual se ilustra en la página 56 (Fig. 1). Aunque el uso de esta fórmula permite calcular en forma casi automática el volumen del prisma, es recomendable tener SUHVHQWHVX SUHVH QWHVX VLJQL¿ VLJQL¿FDGR FDGR 3RU ejemplo: el volumen de ese prisma es 2 × 3 × 4 =24 cm3. Una consecuencia de esto es la fórmula para el cubo: Volumen del cubo = arista × arista × arista. En la lección se muestra que para cuerpos de mayor volumen es conveniente usar como unidad el metro cúbico, su equi-
Fig.2
valencia en centímetros cúbicos se obtiene al multiplicar 100 × 100 × 100 = 1000000 cm3, como se muestra en la ¿JXU ¿J XUD D (Q OD ED EDVH VH GH XQ metro cúbico hay 100 × 100 cubos de un centímetro por lado y para cubrir su altura se necesitan 100 grupos de 100 × 100 cubos. Las equivalencias más usuales entre las unidades de volumen y las de capacidad son las siguientes: 1cm3=1ml , 1dm 3 = 1l y 1m3 =1000l , en la imagen de la página 61 (Fig. 3) se
Fig.4
Fig.5
ilustran estas equivalencias y las proyecciones dan una idea de la proporción que guardan entre sí estas unidades de medida. Para el cálculo del volumen de cuerpos compuestos por prismas rectangulares y cubos pueden seguirse estrategias como la composición y descomposición de cuerpos.
Fig.6
Este tipo de actividades inducen la noción de conceptos como conservación del volumen, por ejemplo: el elefante tiene el mismo volumen que el prisma y el cubo (Fig.6 ), ), ya que fue moldeado con la plastilina que están hechos ambos cuerpos.
Medición 103
Actividades que se sugieren para los futuros docentes 1. Realiza la actividad que se encuentra en la página 58 y compara tus respuestas con las de tus compañeros. ¿Son todas iguales? ¿A qué se debe?
2. Realiza las siguientes actividades.
a. Compara tus respuestas con las de tus compañeros. b.¢4XpGL¿FXOWDGHVWXYLVWHSDUDUHDOL]DUODV"¢&yPRODVVXSHUDVWH" b. ¢4XpGL¿FXOWDGHVWXYLVWHSDUDUHDOL]DUODV"¢&yPRODVVXSHUDVWH" c.¢4XpGL¿FXOWDGHVFRQVLGHUDVTXHHQIUHQWDUiXQDOXPQRGHVH[WRJUDGRDOUHVROYHUODV" c. ¢4XpGL¿FXOWDGHVFRQVLGHUDVTXHHQIUHQWDUiXQDOXPQRGHVH[WRJUDGRDOUHVROYHUODV" d.¢4XpSURSRQ d. ¢4XpSURSRQHVSDUDD\X HVSDUDD\XGDUDTXHHODOX GDUDTXHHODOXPQRVXSHUH PQRVXSHUHODVSRVLEOHV ODVSRVLEOHVGL¿FXOWDGH GL¿FXOWDGHV" V" e. ¿Consideras que la secuencia didáctica de la lección provee los conocimie conocimientos ntos y experiencias necesarias para que el alumno aborde estas actividades? f. ¿Qué propones para mejorar la lección? 3. Revisa cuidadosamente en equipo las páginas 64 y 65 “Volumen de un prisma”. Anota tus observaciones o bservaciones y come ntarios.
4. ¿De qué manera puede comprobarse que el volumen del elefante es el mismo que el de los cuerpos geométricos? Puedes revisar la página 67 “¿Puedes hacer esto?: El volumen de distintos cuerpos”.
5. Realicen en equipos las actividades de las páginas 96 y 97 “Construyamos cubos y rellenémoslos”. a. ¿Qué contenidos matemáticos están involucrados en estas páginas? b. ¿Qué relación hay entre los conocimientos geométricos y aritméticos en estas actividades? c. ¿Qué aspectos didácticos debe tener en cuenta un profesor al utilizar estas actividades con sus alumnos de sexto grado?
104 Medición
0HGLFLyQFRQRWURWLSRGH 0HGLFLyQFR 'LYLVLyQFRQUHVWR QRWURWLSRGHXQLGDGHV XQLGDGHV3URPHGLR 3URPHGLR
5HÁH[LRQHV DGLFLRQDOHV
En las páginas 70 a 73 del Tomo VI, Vol. 1, se estudia la medición de situaciones que por las caracWHUtVWLFDVGHORVGDWRVTXHODVUHSUHVHQWDQUHTXLHUHQ WHUtVWLFDVGHORVGDWRV TXHODVUHSUHVHQWDQUHTXLHUHQHPSOHDUXQLGDGHVGHPHGLF HPSOHDUXQLGDGHVGHPHGLFLyQHVSHFt¿FDV LyQHVSHFt¿FDV
Si en una habitación hay tres personas, la media aritmética de la cantidad de dinero que tienen en sus bolsillos sería el resultado de reunir el dinero de los tres y dividirlo en partes iguales entre cada uno de ellos. El promedio (media aritmética) es una medida estadística que permite representar los datos de una población, por ejemplo: el dinero que tiene cada persona. En este caso, el promedio informa la cantidad de dinero que aproximadamente posee cada persona. Si los datos son muy dispersos la información que proporciona el promedio SXHGH SXHG H QR VHU FRQÀ FRQÀDEO DEOH H 3RU ejemplo: si las edades en años cumplidos de cinco niños fueran 5, 5, 5, 10 y 10 años, el promedio sería (5+5+5+10+10)÷5=7.
Fig.1
Por ejemplo: ¿cómo comparamos los registros diarios de lectura de dos niños?, sus resultados son mostrados en las tablas (Fig.1). El número de páginas que leen cada día es dife rente, ¿qué medida le corresponde a cada uno de esos conjuntos de valores? La unidad de medida para esta situación es repartir de manera equitativa el número de páginas entre los días en que IXHURQWRPDGDVORVUHJLVWURVGHOHFWXUD/DVJUi¿FDVPXHVWUDQODGLVWULEXFLyQHTXLWDWLYDGHWDO modo que en el primer caso se observa que se leyeron en promedio cinco páginas por día y en el segundo caso seis. El segundo niño tiene un promedio mayor de páginas leídas por día.
3XHGHREVHUYDUVHTXHHOYD3XHGHREVHUYDUVHTXHHOYDlor “7 años” no representa de un modo adeptable las edades de los niños que forman esa población. En resumen, el promedio es una medida representativa de los datos de una población si esos datos no son muy dispersos.
Fig.2
De un conjunto de valores obtenidos en una cierta cantidad de momentos, el promedio es una unidad de medida que representa los datos registrados de mejor manera. En la lección se avanza hacia un procedimiento analítico para calcular el promedio, para esto se presentan dos estrategias que permiten encontrar entre cuatro cantidades de jugo una que las represente (el promedio).
Una manera de medir la dispersión es mediante la desviación estándar.
Fig.4
La segunda estrategia induce el procedimiento, la suma del contenido de todos los recipientes y su repartición equitativa entre los cuatro sugiere el algoritmo convencional para calcular el promedio: Promedio = (suma de todas las cantidades) ÷ (número de cantidades) El promedio puede contener números decimales, por ejemplo: el peso promedio de los huevos que pone la gallina blanca es de 57g y el de la otra es de 65.33 g . Aun para cantidades discretas es válido usar decimales, por ejemplo: el número de libros leídos en un mes por cinco alumnos, con los datos que aparecen en la tabla, es de 2.8 libros por niño.
Fig.5 Fig.4
Medición 105
Actividades que se sugieren para los futuros docentes 1. ¿Consideras conveniente la secuencia didáctica utilizada para abordar el concepto de promedio estadístico? Explica con detalle tu respuesta. 2. ¿Es el promedio siempre el mejor valor para representar un conjunto de datos como ORVTXHDSDUHFHQHQODOHFFLyQ"-XVWL¿FDFODUDPHQWHWXUHVSXHVWD 3. Realiza las siguientes actividades y compara tus procedimientos y respuestas con las de WXVFRPSDxHURV¢4XpGL¿FXOWDGHVSXHGHHQFRQWUDUXQDOXPQRGHVH[WRJUDGRGHSULPDULD SDUDDERUGDUODV"¢/DOHFFLyQFRQVLGHUDHVDVSRVLEOHVGL¿FXOWDGHV"¢4XpSURSRQHVDJUHJDU DODOHFFLyQSDUDTXHORVDOXPQRVUHGX]FDQODVSRVLEOHVGL¿FXOWDGHV"
4. Revisa en equipo con todo detalle la actividad de las páginas 100 y 101 “¿Cuántas monedas hay?” a) Expongan en equipos las dos estrategias de la página 101. ¿Cuáles son los contenidos y procedimientos matemáticos explícitos e implícitos de esta actividad? b) ¿Hay otras formas de resolver la actividad? Describe cuáles y explícalas con detalle. c) Pon en práctica la actividad con un grupo de sexto grado de primaria, registra todo lo sucedido y comparte tus experiencias con las de tus demás compañeros. ¿Qué aprendizajes observaron? ¿Encontraron estrategias diferentes a las de la lección? 5. Indaga cómo calcular la desviación estándar y construye poblaciones de cinco elementos que arrojen los siguientes resultados: a) Promedio igual a 8 y desviación estándar igual a cero. b) Promedio igual a 10 y desviación estándar igual a 1.
106 Medición
0LGDPRVXVDQGRRWURWLSRGHXQLGDGHV 0XOWLSOLFDFLyQ7DEODVGHPXOWLSOLFDU
5HÁH[LRQHV DGLFLRQDOHV La relación entre un espacio determinado y el número de personas que lo habitan se llama densidad de población, la cual se calcula al dividir el número de personas que viven en XQDVXSHUÀFLHHVSHFtÀFDHQWUH el número de kilómetros cuadrados que mide ese territorio. La medida por unidad puede determinarse al encontrar la razón entre las variables. 3RU HMH HMHPSOR PSORVL VL PHWURV GH DODPEUH DODP EUH SHV SHVDQ DQ JUD JUDPRV PRV ODUD]yQHQWUH\HV SRUORTXHVRQJUDPRVSRU metro de alambre (medida por unidad).
En las páginas 74 a 80 del Tomo VI, Vol. 1, se aborda el concepto de densidad de población, la cual mide cuántas personas habitan un territorio por unidad de área. (QOD¿JXUDKD\QLxRVSDUDGRVVREUHWDSH tes de 1m2, se pregunta en cuál caso hay una mayor o menor concentración de niños. Al distribuírlos en grupos del mismo tamaño en cada tapete tenemos que para a) hay 6 niños por metro cuadrado, para b) hay 4 y para c) VRQHVWDLQIRUPDFLyQSHUPLWHD¿UPDUTXH en a) hay la mayor concentración y en b) la menor. La unidad de medida para esta situación es la densidad de población, la cual se calcula mediante la fórmula: 'HQVLGDGGHSREODFLyQSREODFLyQ·VXSHU¿FLH Fig.1 La lección continúa con el estudio de otras situaciones que requieren el uso de una medida por unidad auxiliándose de tablas de doble entrada (con el valor por unidad de medida como interrogante) y rectas donde se señala la posición del 1 y su valor correspondiente en la tira (modelos continuos). Cada situación pide hacer una comparación, la cual puede realizarse una vez que se conoce el valor por unidad de medida. Por ejemplo: en qué huerta se logra una mejor producción de papa, cuál cuaderno es el de mejor precio, cuál alambre es el más pesado. Las comparaciones pueden hacerse si se conocen el peso de la papa por metro cuadrado, el valor unitario de los cuadernos y el peso por metro de los alambres.
Fig.2
Conocido el valor por unidad de medida pueden determinarse otros valores. En la taEOD GHOD ¿JX ¿JXUD UD DOYDORU XQL XQLWDU WDULR LR PHW PHWUR UR de alambre) le corresponden 20 gramos de peso, se pregunta cuántos gramos le corresponden a 15 metros. El procedimiento mostrado consiste en multiplicar al valor unitario por la nueva longitud. (OYDORUIDOWDQWH (OYDORU IDOWDQWHGHODWDEODGHOD¿JXU GHODWDEODGHOD¿JXUDSXH DSXHde determinarse con una división: Longitud = (peso) ÷ (peso por unidad de longitud).
Fig.4
Fig.3
Fig.5
Medición 107
Actividades que se sugieren para los futuros docentes 1. Describe con detalle la secuencia didáctica de esta parte de la lección. Usa un esquema. 2. ¿Consideras pertinente la forma de abordar el contenido matemático de esta parte de la lección? Explica con detalle. 3. ¿Qué ajustes sugieres a esta parte de la lección? Descríbelos claramente. 4. ¿Qué conocimientos matemáticos consideras que debes poseer como docente para guiar y orientar esta lección con alumnos de sexto grado de educación primaria? 5. Realiza las siguientes actividades y revísalas con tus compañeros. Discutan su perWLQHQFLD\ODVSRVLEOHV WLQHQ FLD\ODVSRVLEOHVGL¿FXOWD GL¿FXOWDGHVTXHSXHGHQ GHVTXHSXHGHQ SUHV SUHVHQWDU HQWDU DOXP DOXPQRVGHVH[WRJUDGR QRVGHVH[WRJUDGR GH educación primaria.
6. Trabaja en grupo la actividad de la página 88 “¿Puedes hacer esto?” “El promedio y la aglomeración con el medio ambiente”. Consideren Consideren el posible escenario en un salón de clases de un grupo de sexto grado de primaria y realicen las conjeturas necesarias en una situación real. 7. Indaga los datos necesarios y calcula la densidad de población de la entidad federativa en la que vives.
108 Medición
9HORFLGDG 0XOWLSOLFDFLyQ7DEODVGHPXOWLSOLFDU
5HÁH[LRQHV DGLFLRQDOHV
En las páginas 81 a 85 del Tomo VI, Vol. 1, se estudia la medición de la velocidad, la cual puede ser expresada mediante una unidad de medida. En el proceso para comparar la velocidad de tres carritos de juguete se construye una tabla con los datos de la distancia y el tiempo que recorren.
En la lección la velocidad es la relación entre la distancia que recorre un carrito de juguete y el tiempo que tarda en recorrerla. Si la velocidad GHXQDXWRHVKm/h, quiere decir que recorre una distanFLDGHKm en cada hora. Decir que la velocidad es la relación entre la distancia y el tiempo, es equivalente a decir que se trata de la razón entre la distancia y el tiempo. 3RU 3R U HMH HMHPS PSOR OR VL XQ DX DXWR WR UH UH-corre 150 Km en 3 horas, su velocidad es: 150 Km / 3h = 50 Km/h
Fig.1
Se pregunta cuál de los tres carritos es más veloz. Si emplean el mismo tiempo o recorren la misma distancia la comparación es directa, por ejemplo: los autos de los incisos a) y b) emplearon el mismo tiempo y el inciso a) recorrió mayor distancia por lo que a) fue más veloz que b); en el caso de los carros de b) y c) ambos recorrieron la misma distancia pero c) empleó menos tiempo así que c) fue más veloz.
Fig.2
Para comparar a) y c) que no recorrieron la misma distancia o emplearon tiempos iguales es necesaria otra consideración: se debe calcular el desplazamiento por unidad de tiempo, esto es, a) recorre 8 metros por minuto y c) 7.5 metros por minuto, así que a) es más rápido. La unidad de medida para la velocidad es la distancia recorrida por unidad de tiempo: Velocidad Velocida d = distancia ÷ tiempo En la lección se muestra que las unidades de medida de tiempo no se limitan a los minutos, también es posible usar segundos y horas, con los respectivos procedimientos para su conversión de una a otra unidad, como se PXHVWUDHQOD¿JXUD Fig.3 A partir de la relación para expresar la velocidad se muestra que pueden determinarse la distancia o el tiempo: Distancia = velocidad × tiempo y Tiempo = distancia ÷ velocidad
Fig.4
La velocidad puede expresarse mediante medidas por unidad que hacen posible determinar entre varias cuándo una es mayor. Con esta parte la lección concluye el estudio de diversas situaciones que pueden ser medidas y expresadas con unidades de medida como el promedio, la densidad y la medida por unidad.
Medición 109
Actividades que se sugieren para los futuros docentes 1. ¿Consideras conveniente el tratamiento didáctico de esta parte de la lección? Explica con detalle. 2. ¿Qué sugerencias puedes hacer para mejorarla? Descríbelas con detalle. 3. ¿Cuáles consideras que son los contenidos matemáticos necesarios para que un alumno de sexto grado de educación primaria aborde el estudio de esta parte de la lección? 4. Realiza las siguientes actividades y revisa tus respuestas con las de otros compañeros. ¢/DV FRQV FRQVLGHU LGHUDQSHUWLQHQ DQSHUWLQHQWHVGHVSXp WHVGHVSXpVGH VGH HVWX HVWXGLDU GLDU ODOHFFLyQ ODOHFFLyQ" " ¢4Xp GL¿F GL¿FXOWD XOWDGHVSXHGHQ GHVSXHGHQ enfrentar los alumnos de sexto grado de primaria? ¿Qué otras actividades propones?
5. Realiza la actividad de la página 93 (“El juego de la velocidad”) con un grupo de sexto grado de educación primaria. Intercambia tus experiencias con las de otros compañeros que también la hayan puesto en práctica. ¿Es factible su puesta en práctica en un grupo escolar? ¿Qué conocimientos y habilidades matemáticas son puestas en práctica por los alumnos al realizarla? ¿Requieren hacerse ajustes a la actividad? ¿Cuáles y por qué?
110 Medición
ÉUHDDSUR[LPDGD 'LYLVLyQFRQUHVWR 5HÁH[LRQHV DGLFLRQDOHV A lo largo de esta serie de textos el proceso de medición se ha desarrollado mediante procesos que incluyen la comparación, el uso de un patrón, OD GHÀ GHÀQLF QLFLy LyQ Q GH XQD XQL XQLGDG GDG de medida convencional y un sistema de unidades con el cual es posible hacer conversiones y cálculos. Aunque en muchas de las situaciones reales no siempre es posible usar en forma directa fórmulas o los procedimientos convencionales, éstos son las herramientas que ayudan a construir nuevos recursos para medir.
En las páginas 29 y 30 del Tomo VI, Vol. 2 se DERUGD DER UGD HO HOFiO FiOFXO FXOR R GHO iUH iUHD D GHVXSHU GHVXSHU¿F ¿FLHV LHV LUU LUUH HJXODUHVSDUDHVWDV JXODU HVSDUDHVWDV¿JXUDVQRKD\XQDIyUPXO ¿JXUDVQRKD\XQDIyUPXOD D
para calcular su área. En la lección se proponen dos métodos, el primero consiste en colocar la VXSHU¿FLH VREUH XQD VXSHU¿FLH XQDUHWtF UHWtFXOD XODFX\R FX\RV VFXDG FXDGUDGRV UDGRV WLHQHQGLPHQVLRQHVGHXQPHWURXQFHQWtPHWUR
y un kilómetro, con base en esto los alumnos cuentan la unidades cuadradas enteras conteniGDVHQODVXSHU¿FLH\ODVTXHTXHGDQHQODIURQWHUD3DUDHVWDV~OWLPDVFDGDGRVIUDFFLRQHVGH
cuadrados son consideradas como una unidad entera; de esta manera se obtiene una aproxiPDFLyQGHOiUHDGHODVXSHU¿FLHLUUHJXODU(OVHJXQGRPpWRGRDVRFLDXQD¿JXUDJHRPpWULFDDOD VXSHU¿FLH VXSHU ¿FLHTXHVH TXHVHTXLHU TXLHUHPHGLU HPHGLUODHVWUDWHJL ODHVWUDWHJLDHV DHV TXHSDUDHVD¿JXUDVtVHF TXHSDUDHVD¿ JXUDVtVHFXHQWDFRQXQDIyU XHQWDFRQXQDIyUPX PX-
la para el cálculo de su área. Es decir, el nuevo Hoy en día contamos con una gran variedad de recursos tecnológicos que auxilian en el proceso de medición, sin embargo, no debiera dejarse a un lado la curiosidad de los alumnos por desentrañar las bases matemáticas que permiten la construcción y funcionamiento de los sistemas y procedimientos de medición, teniendo en cuenta que IXHURQWpFQLFRV\FLHQWtÀFRV quienes los desarrollaron.
SUREOHPDVHWUDGXFHDXQRTXHSUHYLDPHQWHVH KDUHVXHOWR
La lección sugiere el empleo de los métodos antes descritos SDUDFDOFXODUHOiUHDGHODKRMDVGHXQiUERO\GHO/DJR,NHGD
Para este último, es posible consultar su área en diversas IXHQWHVODFXDOHVWiUHSRUWDGDHQKm2. Como se observa en la siguiente tabla las medidas obtenidas son aproximacioQHVTXHSHUPLWHQXQDEXHQDHVWLPDFLyQGHODPHGLGDUHDO
Método
Cálculo
Área (km ) 2
6
6
7
7
8
12
1
2
3
8
12
11
4
5
9
11
10
10
9
A=
12 Km
2
$ʌîU $ʌ îU 2
12.56 Km
%EîK
10.5 Km
2
2
2
/DFXOPLQDFLyQGHOWHPDGHPHGLFLyQSUHVHQWDHVWUDWHJLDVTXHKDFHQXVRGHXQLGDGHVGHPHGLGD FRQYHQFLRQDOHV\SURFHGLPLHQWRVIRUPDOHV
Medición 11 111 1
Actividades que se sugieren para los futuros docentes 1. ¿Consideras pertinente la propuesta didáctica para abordar el tema de la lección? -XVWL¿FDFODUDPHQWHWXUHVSXHVWD 2. ¢4XpKDELOLGDGHV\FRQRF ¢4XpKDELOLGDGHV\FRQRFLPLHQWRVPDWHP LPLHQWRVPDWHPiWLFRVFRQVLGH iWLFRVFRQVLGHUDVTXHUHTXLHUHXQDOXPQR UDVTXHUHTXLHUHXQDOXPQR
de sexto grado de educación primaria para abordar esta lección? 3. ¢4XpQXHYRVDSUHQGL]DMHVHVSHUDUtDVTXHDGTXLHUDQORVDOXPQRVGHVSXpVGHOWUDED MRGHHVWDOHFFLyQ" MRGHHVWD OHFFLyQ" 4. Selecciona una de las actividades de la lección y ponla en práctica con un grupo de
alumnos de sexto grado de educación primaria. Registra tus observaciones e intercámbialas con las de tus demás compañeros 10 m 10 m
5.6XSRQJDPRVTXHVHKDGHFLGLGRXWLOL]DUWULiQJXORVHQODUHWtFXODSDUDGHWHUPLQDUHO 5.6XSRQJDPRVTXHVHKDGHFLGLGRXWLOL]DUWULiQJXORVHQODUHWtFXODSDUDGHWHUPLQDUHO iUHDGHOWHUUHQRTXHVHP iUHDGHOWHUUHQ RTXHVHPXHVWUDHQODV XHVWUDHQODVLJXLHQWH¿JXUD LJXLHQWH¿JXUD a) ¿Cuál es aproximadamente el área del terreno? b) ¢3RUTXp ¢3RUTXpHVPHMRU HVPHMRUXWLOL]DUWULiQJXORV XWLOL]DUWULiQJXORVTXHFXDGUDGRV TXHFXDGUDGRVSDUDODDSUR[LP SDUDODDSUR[LPDFLyQGHHV DFLyQGHHVWDiUHD" WDiUHD" 6. El matemático George Pick determinó la relación existente entre los nodos (puntos de interVHFFLyQUHFWDVKRUL]RQWDOHV\XQDVYHUWLFDOHVHQODUHWtFXOD\HOiUHDGHXQSROtJRQRFRQVWUXLGR sobre ella. Si f UHSUHVHQWDHOQ~PHURGHQRGRVVREUHODIURQWHUDGHOSROtJRQRHQXQDUHWtFXODHi HOQ~PHURGHQRGRVHQH HOQ~PHURG HQRGRVHQHOLQWHULRUGHO OLQWHULRUGHOSROtJRQRHOiU SROtJRQRHOiUHDGHGLFKRS HDGHGLFKRSROtJRQRHVWi ROtJRQRHVWiGDGDSRU GDGDSRU
A f ,i
f 2
(i 1)
QXGRVHQODIURQWHUD
a) 6LVHKDWUD]DGRXQDUHWtFXODTXHSHUPLWHDVRFLDUQRGRV HQODIURQWHUD\QRGRVHQHOLQWHULRUGHXQSROtJRQRTXHVH KDFRQVWUXLGRWUDWDQGRGHFXEULUHOWHUUHQRFRPRVHPXHVWUD HQOD ¿J ¿JXUD XUD¢FXi ¢FXiO O HVOD PH PHGLG GLGD D GHVX iUH iUHD D HP HPSOH SOHDQG DQGR R OD IyUPXODGH3LFN" b) ¢&XiOHVVHUtDQORVEHQH¿FLRVGLGiFWLFRVGHXWLOL]DUODIyU PXODGH3LFNSDUDTXHORVQLxRVGHJUDGRHQFXHQWUHQHO iUHDGHSROtJRQRVLUUHJXODUHV"
nudos en el interior
7. /D VLJX VLJXLHQW LHQWH H ¿JXU ¿JXUD D PXH PXHVWUD VWUD XQD UHSU UHSURGXF RGXFFLyQ FLyQ GHO ODJR ,NHGDHQHOODVHKDWUD]DG ,NHG DHQHOODVHKDWUD]DGRXQDUHWtF RXQDUHWtFXOD\ORVSXQWR XOD\ORVSXQWRVPiV VPiV FHUFDQRVGHOFRQWRUQRGH FHUFDQRV GHOFRQWRUQRGHOODJRVHKDQDV OODJRVHKDQDVRFLDGRDQRGRV RFLDGRDQRGRVGH GH ODUHWtFXOD'HWHUPLQDHOiUH ODUHWtFXOD'H WHUPLQDHOiUHDGHODVXSHU¿ DGHODVXSHU¿FLHGHOODJR,NH FLHGHOODJR,NHGD GD XWLOL]DQG XWLOL ]DQGR R GLIHU GLIHUHQWHV HQWHV PpWR PpWRGRVGH GRVGH DSUR DSUR[LPD [LPDFLyQ FLyQ \ FRP FRPSDUD SDUD HVDVDSUR[LPDFLRQHVFRQODPHGLGDTXHREWLHQHVXVDQGROD IyUPXODGH3LFN
112 Geometría y Medición
Referencias
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Geometría y Medición 113
Isoda, M.; Murata, Aki; Santillán, Marcela; Cedillo, Tenoch et al trans. and eds. (2011). 6WXG\ZLWK
114 Geometría y Medición
Colofón Itatibusa vendisi quiamusa dusamus. Us, iur sim quasi qui dolluptam con coria et laccatustio core, quostrunt, si nos et etur? Qui sinctem ut volum et ressus suntoreptat. Iquisse repratur, audam, coratas eturiat. Lupta quos re nobit voluptatio. Et etur? Occus est od molorru ptatis is nempos demporeped exceaque velessi nctatur? Occuptatio. Cerum voloris earchicia as sed quasimus et PDJQLPLXQGDTXDWHWYLWTXLGHQWRI¿FLDYHQWXU")DFLLVTXLGROXP quid modit voluptam endis sunt exceperchici tet re sit quatur antibus, il eatem et maion pra dolenim intotatis dolupta quaturi RULEXVVXPODQGLVHWRI¿FWXU"0XVVLDOLFLDFXOOLDTXLVHFWLDtem quiatior sime re, soluptae. Ut delest eum et et aditionsed untemporrum eum re parum harumque nonsequi aute labor reiciam que evel molore, sam, sit qui omnimo ipsaepedis sit ut et et, quundit, ut reicide molupta ssit
