Materi Transformasi SMA Kelas XI
Pengertian Transformasi Transformasi T dibidang adalah suatu pemetaan titik pada suatu bidang ke himpunan titik pada bidang yang sama. Jenis-jenis transformasi yang dapat dilakukan antara lain: a. b. c. d.
Translasi (Pergeseran) Refleksi (Pencerminan) Rotasi (Perputaran) Dilatasi (Perkalian)
a)
Translasi (Pergeseran) Translasi (pergeseran) adalah pemindahan suatu objek sepanjang garis lurus dengan arah dan jarak tertentu. Misalkan x, y, a dan b adalah bilangan real. Translasi titik A(x,y) dengan T(a,b) menggeser ordinat y sejauh b, sehingga diperoleh titik A′(x+a, y+b), secara notasi ditulis:
Contoh: Bayangan titik (3,-7) oleh translasi
+ A′ + 42 adalah. . . .
jawab: Misalkan titik P(3,-7) di translasikan oleh T
3 + 4 3 7 P′ 7+2 7 3 7 P′ P′ 5
Jadi bayangan titik (3,-7) oleh translasi
42
.
42
adalah (7,- 5)
b) Refleksi (Pencerminan) 1) Pencerminan terhadap titik asal (0,0) Jika titik P(a,b) P(a,b) dicerminkan terhadap/ke terhadap/ke titik asal (0,0) (0,0) maka banyangannya adalah P′(-a,P′(-a,-
b). Dituliskan
, A′
dengan
1 0 0 11 0 , 0 1 =
pencerminan terhadap titik O ditunjukkan dengan matriks
. Dengan demikian .
2)
Pencerminan terhadap sumbu x (garis y = 0) Jika titik A(a,b) dicerminkan terhadap sumbu x (garis y = 0) maka ma ka bayangannya adalah A′(A′(a,-b). Dituliskan
A′
, dengan
10 10 10 10 =
. Dengan demikian
pencerminan terhadap titik O ditunjukkan dengan matriks
.
Contoh: Titik A(3,-5) dicerminkan terhadap sumbu X. koordinat bayangan titik A adalah . . . Jawab:
A′ 3 ) 53 A′ (5 53 A′ 35
Menggunakan matriks
(′′) (′′) (′′)
3)
= = =
10 10 53 1.3+0.5 ) (0.3+1.5 35
Pencerminan terhadap sumbu y (garis x = 0) Jika titik A(a,b) dicerminkan terhadap sumbu y (garis x = 0) maka bayangannya adalah A′(A′(a,b). Dituliskan
A′
10 10 10 10 01 10 = 01 10 0 1 1 0 . , dengan
=
. Dengan demikian
pencerminan terhadap titik O ditunjukkan dengan matriks 4)
.
Pencerminan terhadap garis y = x Jika titik A(a,b) dicerminkan terhadap garis y = x maka bayangannya adalah A′(b,a). Dituliskan
A′
, dengan
=
. Dengan demikian pencerminan
terhadap titik O ditunjukkan dengan matriks
.
5) Pencerminan terhadap garis y = - x Jika titik A(x,y) dicerminkan terhadap garis y = - x maka bayangannya bayangannya adalah A′(-y,-x). A′(-y,-x). Dituliskan
−A′
, dengan
=
Contoh: Titik P(-3,7) dicerminkan terhadap garis y=-x. koordinat bayangan titik P adalah . . . Jawab:
(′′) 10 10 =
(′′) (′′)
10 10 37 73
= =
−A′ 37 −A′ 73
6) Pencerminan terhadap garis x=h Jika titik A(x,y) dicerminkan terhadap garis y=k, maka bayangannya adalah A’(2h-x,y). A’(2h-x,y). Dituliskan
A′ (2ℎ )
.
7) Pencerminan terhadap garis y=k Jika titik A(x,y) dicerminkan terhadap garis y=k, maka ba yangannya adalah A’(x,2k -y). Dituliskan
A′ 2
.
Contoh: Tentukan koordinat bayangan, jika titik B(-3,4) dicerminkan terhadap garis dengan persamaan y = 3. Jawab: Bayangan dari titik B(-3,4);
B′ 2 3 ) 34 B′ (234 34 B′ 32 8) Pencerminan terhadap titik (a,b) Jika titik A(x,y) dicerminkan terhadap titik (a,b), maka ba yangannya adalah A’(2a-x,2b-y). A’(2a-x,2b-y). Dituliskan
,A′ (2 2)
.
c) 1)
Rotasi (Perputaran) Rotasi terhadap titik pusat O(0,0) Jika titik P(x,y) diputar sebesar θ berlawanan arah putaran jam terhadap titik pusat O(0,0) maka diperoleh bayangan P′(x′, P′(x′, y′) dengan x′ = x cos θ – y – y sin θ dan y′ = x sin θ + y cos θ,
θ →P′(x′y′)P′(xxsinscosin θθ+– yysincos ) c os θ csoins θθ csoisnθθ
dituliskan
. Sedangkan
coinsθθ+– yy sincos θ P′( P′ (xxsinscos cos θ)
=
Contoh: Titik A(2,1)dirotasikan terhadap titik O(0,0) sejauh 90 derajat berlawanan arah putaran jam. Bayangan titik A…. Jawab:
(y′x′) 01 10 xy (y′x′) 01 10 21 (y′x′) 12
2)
21 [,9]A′ 12
Rotasi terhadap titik pusat A(a,b) Jika titik P(x,y) diputar sebesar θ berlawanan arah putaran putaran jam terhadap titik pusat A(a,b) maka diperoleh bayangan P′(x′, y′) dengan x′ - a = (x – (x – a) a) cos θ – (y – (y – b) b) sin θ dan θ dan y′ - b = (x – (x – a) a) sin θ + (y – b) b) cos θ, θ, dituliskan
cos θ – y – b sin θ →P′(xy b)P′xx–– aasincos θ + y – bcos bcos θ cos θ – y – b sin θ cos θ sin θ xy b + P′ P′ xx–– aasincos θ + y – bcos bcos θ sin θ cos θ . Dengan
=
Contoh: Jika garis x – x – 2y 2y = 5 diputar sejauh 90 derajat thdp titik (2,4) berlawanan arah putaran jam, maka persamaan bayangannya adalah…. Jawab:
(y′x′) 01 10 yx ba ba (y′x′) 01 10 (yx 24) + 24 +6 2 (y′x′) y+4 x2 4 x+2 +
+
Dgn demikian x’ = -y + 6 y = -x+ 6 y’ = x + 2 x = y - 2 Subsitusikan ke garis x – 2y 2y = 5 (y – (y – 2) – 2) – 2 2 (-x + 6) = 5 y – 2 2 + 2x -12 = 5 2x + y -14 = 5 2x + y = 5 + 14 2x + y = 19 Jadi persamaan bayangannya adalah 2x + y =19
d) Dilatasi (Perkalian)
1)
, , [,] A′ A′, ′′
Dilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor skala k ad alah
′′k
,
Contoh: Titik A(1,2) bila didilatasikan dengan skala 2 dan pusat (0,0) dilanjutkan dengan dilatasi skala -3 -3 dan pusat (0,0) adalah… Jawab:
Selanjutnya,
1, 2[,]A′ A′, ′′ (′′)k (′′)212 1, 2[,]A′ A′2, 4 (′′) 24 ′2, 4[,−]]A′′, ′′ (′′′′)324 6 (′′′′) 12 ′2, 4[,−]]A′′6, 12
Jadi dilatasinya adalah (-6,-12)
2)
, , [[,,] A′, ′
Dilatasi dengan pusat P(p,q) dan faktor skala k adalah
′′k +
,
Contoh:
+ 24200
Lingkaran pada titik (1,-5). Jawab:
didilatasikan dengan faktor skala -1 dengan d engan pusat rotasi
(′′)k + (′′)1( + 15) + 51 +1) + 51 (′′) (5 +2 ) (′′) (10
x’=-x+2, x’=-x+2, x=-x’+2 x=-x’+2 y’=-y-10, y’=-y-10, y=-y’ y=-y’-10 -10 Subs ke dlm persamaan lingkaran, adalah
+ 24200 +2 +10 2+2410200 4+4+ 20+100+24+4+40200 216+1200 216+1200 +
Jadi dilatasi persamaan tersebut adalah
+
