ANALISI TENSOR
Tensor ensor adalah adalah general generalisa isasi si dari dari skalar skalar dan vektor vektor.. Skalar Skalar adalah adalah tensor tensor orde orde nol, nol, sedangkan tensor orde satu menggambarkan suatu vektor. Dalam ruang 3 dimensi, suatu skal skalar ar memp mempun unya yaii komp kompon onen en seban sebanya yak k 3 0 = 1 komp kompon onen en,, sedan sedangk gkan an suat suatu u vekt vektor or mempunyai jumlah komponen sebanyak 3 1= 3 buah komponen. Demikian juga tensor orde 2 akan mempunyai 3 2 = komponen dalam ruang 3 dimensi. Dari tensor orde dua keataslah kita kita memerl memerluk ukan an anal analisi isiss yang yang berb berbed edaa dari dari s!ala s!alarr dan dan vekt vektor or.. "isa "isaln lnya ya tens tensor or yang yang mengga menggamba mbarka rkan n gaya gaya persatu persatuan an luas luas yang yang dialam dialamii oleh oleh suatu suatu titik titik pada pada materia materiall yang yang mengalami stress dan strain#
1.
Tensor Kartesian Kar tesian
Tinjau vektor r r beserta sumbu $ sumbunya, kemudian rotasikan vektor r terhadap titik pusat yang tetap pada titik % seperti pada gambar. &otasi tersebut digambarkan dengan kosinus kosinus sudut antara masing'masing masing'masing sumbu koordinat koordinat xyz dan x’y’z’ yang bila ditabelkan dapat dinyatakan dalam bentuk
(ambar 1. )raian vektor r
Se!ara Se!ara sederh sederhana ananya nya hubung hubungan an antara antara xyz den denga gan n x’y’z’ dapat diperlihatkan diperlihatkan pada table berikut ini#
Tabel. 1 hubungan antara xyz dan x’y’z’ Dimana nilai dari l 1 merupakan nilai hasil dari !osinus sudut yang dibentuk antara x dan x’. *ektor r dapat dinyatakan baik dalam koordinat xyz maupun x’y’z’ # r =
ix + jy + kz = i’x’ + j’y’ + k’z’
+emudian jika ditinjau dari persamaan komponen r pada sumbu yang telah dirotasikan, perkalian titik vektor
r dengan i’ akan
menghasilkan#
r .i’ = i'.i’ x’ + i'.j’ y’ + i'.k’ z’ = x’
dimana seperti yang kita ketahui mengenai perkalian dot pada materi vektor baha i'.i’ = 1 dan i'.j’ = i'.j’ = 0. Sehingga yang bernilai hanya nilai x’ . Ditinjau dari nilai r pada sumbu xyz jika di lakukan orasi perkaliam titik dengan iakan menjadi seperti berikut ini# r .i’
= i'.i x + i'.j y + i'.k z
dengan menggunakan table.1 di atas nilai'nilai kosinus sudut antara sumbu'sumbu/, dimana nilai i-.i adalah hasil !osinus dari sumbu dan - sehingga i-.i = l 1 ,begitu juga berlaku pada i.j = m1 dan i.k = n 1 maka nilai - dapat dituliskan dalam bentuk seperti berikut ini# x’ = l 1 x + m1 y + n1 z dengan melakukan langkah $ langkah yang sama maka kita akan mendapatkan persamaan berikut ini# y’ = l 2 x + m2 y + n2 z
z’ = l 3 x + m3 y + n3 z persamaan -, y-, - merupakan hasil transormasi dari sumbu ,y,/ menjadi -,y-, -/ Dengan !ara yang sama dengan men4dot4kan nilai r dan i kita akan mendapatkan nilai , y, dan dalam persamaan berikut ini# r .i
= i.i x + i.j y + i.k z = x
r .i
= i.i’ x + i.j’ y + i.k’ z
x = l 1 x’ + l 2 y’ + l 3 z’ dengan !ara yang sama kita akan mendapatkan# y = m1 x’ + m2 y’ + m3 z’ z = n1 x’ + n2 y’ + n3 z’ Sehingga bila disusun dalam bentuk matriks dapat dituliskan
5tau dapat dituliskan sebagai berikut ini# r- = 5.r r = 5T rDengan 5T menyatakan matriks transpose dari 5. Deenisi dari ve!tor kartesia * selalu tetap pada tiga komponen pada setiap tegak lurus dari koordiant system, jika * , *y, * adalah komponen dalam satu system dan * -, *-y, *- adalah komponen dari rotasi system tersebut, dua komponen tersebut memiliki hubungan dalam persamaan seperti berikut ini#
Dimana matrik 5 adalah rotasi matrik pada persamaan diatas. )ntuk mempermudah persamaan kita dengan mengubah perubahan seperti berikut ini#
"aka persamaan
akan menjadi
Sedangkan untuk kebalikannya
"isalkan U dan V adalah dua buah vektor sembarang yang komponennya masing' masing adalah U 1, U 2, U 3/ dan V 1, V 2, V 3/. 6erkalian komponen'komponen tersebut dapat disusun dalam bentuk table
+arena U dan V adalah vektor, maka dapat dinyatakan
6erkalian masing'masing komponen memberikan bentuk
7asil perkalian komponen tersebut dinyatakan dalam bentuk tensor yang dideinisikan T ij =U i V j dan T’ kl =U’ k V’ l sehingga dapat dinyatakan
Dapat diperluas untuk tensor orde 8, sehingga dituliskan
Dari ungkapan transormasi vektor tensor orde satu/ yang telah disebutkan di atas, maka dapat dibuat analogi transormasi tensor orde 0 yaitu skalar/# S- = S yang berarti tensor orde 0 yang mempunyai satu komponen/ komponennya tidak berubah pada transormasi yang berupa rotasi. 7al ini disebut invariant atau scalar.
2.
Penggunaan tensor dalam perkalian langsung (Dadi!"
6ertama kita misalkan ) * adalah tensor orde dua. Sekarang dalam analisis vektor kita dapat menuliskan kedalam komponen i, j, k , katakana baha * = i ' j dan ) = i 9 3k. kita dapat menuliskan tensornya. Dengan !atatan baha perkalian )* adalah bukan perkalian atau perkalian kros, ini berarti# )* = i 9 3 k/i $ j/= ii $ ij 9 3ki $ 3kj 6ersamaan diatas kita sebut dengan dyadi!. Dari hasil perkalian tersebut merupakan tensor orde dua. 7asil dyadi! tersebut dapat kita tuliskan dalam bentuk matriks, yaitu#
6erkalian dyadi! tersebut merupakan tensor, maka dapat kita mengalikannya dengan vektor, katakanlah vektor i perkalian yang digunakan adalah pendotan dengan i seperti pada tensor seblumnya, maka akan menjadi# (UV.i = (ii ! ij + 3ki ! 3kj.i = i(i.i ! i(j.i +3k (i.i" 3k(j.i = i + 3k i.(UV = i .( ii ! ij + 3ki ! 3kj = (i.i# ! (i.ij +3(i.ki ! 3(i.kj =i"j +ita dapat menemukan dari kualitas matematika dapat merubah dari satu vektor ke vektor yang lain dan kita dapat melihat baha nilai tersebut adalah tensor orde dua atau
dyadi!. :ika kita menulis dyadi! dengan T dalam mengenaik komponendan unit basis vektor dalam dua koordinat system dari nilai r = ix + jy + kz = i’x’ + j’y’ + k’z’ , maka nilai T dapat dituliskan sebagai berikut ini# T
= iiT 11 + ijT 12 + ikT 13 + jiT 21 + jjT 22 +$ = i’i’T’ 11+ i'j’T’ 12 + i'k’T’ 13 + j’i'T’ 21 + j’j’T’ 22 +$
"atriks dari persamaan transormasi yang dijelaskan diatas dari tensor orde dua adalah# T’ = %T%"1 Dimana T dan T- adalah matriks, dimana elemennya merupakan komponen dari T dalam dua sistem koordinat, dan 5 adalah rotasi matriknya.
3.
Sistem Koordinat Umum
Tinjau sistem koordinat bola yang variabelnya dinyatakan dengan r , dan . 7ubungan variabel'variabel ini dengan variabel'variabel dalam sistem koordinat kartesian adalah
Transormasi dari variabel x, y, z menjadi variabel r θ φ bukanlah transormasi linier ,
,
seperti yang sebelumnya dibahas rotasi sistem koordinat kartesis/. ;ila diperoleh dierensial dari persamaan'persamaan tersebut maka#
6ersamaan diatas bukanlah transormasi linear, dan kita tidak bias menulis dan menggantinya menjadi persamaan yang sebelumnya untuk mengetahui hubungan antar variabel nya. +ita dapat menemukan nilai d, dy dan d dengan menurunkan terhadap dr, d dan d sehingga bisa disusun dalam bentuk matriks
yang artinya meskipun hubungan transormasi antara variabel'variabelnya tidak linear, namun transormasi dierensialnya dapat dinyatakan dalam hubungan yang linear. Dalam bentuk yang umum, bisa dinyatakan
;iasanya dituliskan dalam bentuk yang sederhana Determinan dari matriks : dinamakan :a!obian dari transormasi tersebut. :adi
+ita dapat menuliskan
+ita dapat melihat baha transormasi antara sumbu yang tegak lurus yang disebut dengan rotasi/
4.
Vektor #o$ariant dan #ontra$ariant
dengan mendeenisikan * adalah vektor !ovariant jika komponen transormasi seperti berikut ini#
Dan V adalah vektor !ontrava!torian jika komponen transorm yang dimiliki adalah sebagai berikut#
Dengan membandingkan kedua persamaan diatas, kita dapat melihat baha dierensial dari koordinat adalah komponen dari !ontravariant vektor. Dimana !ontoh dari vektor !ovariant adalah gradient
V r &r + = V r ar +
Dimana *r dan adalah komponen ordinat. Sekarang terus terang untuk mengartikan tensor dan jenisnya. Tensor mungkin !ovariant dalam pesanan yang lain, !ontravariant atau pen!ampuran.
;erikut ini adalah beberapa tensor dengan beberapa orde
